Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α, όπου σύνολο {( xyz) ( xyz) ( xyz) } Ε= :,, :,, και F,, = Α Το λέγεται επιφάνεια του χώρου µε αναλυτική εξίσωση F ( xyz,, ) = Επίσης το σύνολο Ε λέγεται γεωµετρικός τόπος της εξίσωσης F ( xyz,, ) = F ( xyz,, ) z f( xy, ) Gf : = {( xyf,, ( xy, )):( xy, ) Β} z = f ( x, y) Λέµε ότι η συνάρτηση z f ( x, y) Ε ή ότι η επιφάνεια Ε έχει καρτεσιανή εξίσωση z f ( x, y) Αν z = f ( x, y) είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Β, τότε η επιφάνεια Ε µε αναλυτική εξίσωση της συνάρτησης επιφάνεια Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς { ( xyz) } = = είναι το γράφηµα = ορίζει την = xyz στο χώρο, Α, το σύνολο Σ= : r = OP : Ρ,, Α και τη συνάρτηση F:Σ Τότε το σύνολο των σηµείων Ρ του Α, των οποίων η διανυσµατική ακτίνα r ικανοποιεί την εξίσωση F r = είναι µία επιφάνεια του µε διανυσµα- τική εξίσωση Αν οι εξισώσεις F r = { x x ( uv, ), y y ( uv, ), z z ( uv, ), ( uv, ) J } = = = Ι ()

2 6 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο ικανοποιούν την εξίσωση F ( xyz,, ) =, δηλαδή, αν ισχύει F ( x( u, v), y( u, v), z( u, v) ) =, για κάθε (, ) J uv Ι, τότε αυτές λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας Ε του µε αναλυτική εξίσωση F xyz,, =, ενώ η εξίσωση r = r ( uv, ) = x( uv, ) i+ y( uv, ) j+ z( uv, ) k, (, ) J uv Ι, () λέγεται διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της επιφάνειας Ε Μία καµπύλη στο χώρο δίνεται συνήθως ως τοµή δύο επιφανειών Αν F ( xyz,, ) = και F ( xyz,, ) = είναι οι εξισώσεις των επιφανειών Ε και Ε, αντίστοιχα, τότε το σύστηµα { F ( xyz,, ), F ( xyz,, ) } = = () ορίζει µία καµπύλη Γ του χώρου Αν οι εξισώσεις x = x t, y = y t, z = z t, t Ι (4) () επαληθεύουν το σύστηµα (), τότε λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης Γ που ορίζεται από το σύστηµα () Η εξίσωση r = r t = x t i+ y t j+ z t k t Ι (5) (), λέγεται διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της καµπύλης Γ Μέσω των παραµετρικών εξισώσεων είναι δυνατόν να γίνει εισαγωγή της έννοιας της καµπύλης του χώρου, χωρίς τη χρήση του συστήµατος () Αν Ι είναι ένα διάστηµα του και r : Ι είναι συνάρτηση µε τύπο r t = x t i + y t j+ z t k t Ι, τότε το σύνολο τιµών της r () (), { x t, y t, z t : t Ι} () Ι = ( ) ορίζει µία καµπύλη του χώρου µε διανυσµατική παραµετρική εξίσωση r = r t t Ι ή µε παραµετρικές εξισώσεις (), () x = x t, y = y t, z = z t, t Ι Παράδειγµα ι παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας Ε δίνονται από x = α cos usin v, y = αsin usin v, z = αcos v, u < π, v π, όπου α σταθερά Να βρεθεί η αναλυτική εξίσωση της επιφάνειας Ε Λύση Υψώνουµε τις παραµετρικές εξισώσεις στο τετράγωνο και τις προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε λαµβάνουµε x + y + z = α

3 6 Η ευθεία στο χώρο 7 Παράδειγµα Να βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας x y z + + = α β γ Λύση Αν θέσουµε x = αχ, y = βy, z = γ Ζ, τότε η δεδοµένη εξίσωση γίνεται Χ + Y +Ζ =, οπότε µία κατάλληλη επιλογή παραµετρικών εξισώσεων αυτής δίνεται από το παράδειγµα, ως εξής: X = cos usin v, Y = sin usin v, Z = cos v, u < π, v π x = α cos usin v, y = βsin usin v, z = γ cos v, u < π, v π 6 Η ευθεία στο χώρο I Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz και υποθέτουµε ότι η ευθεία ε περνάει από το σηµείο Ρ µε διάνυσµα θέσης Ρ = r και είναι παράλληλη προς το δεδοµένο διάνυσµα = ( α, β, γ) Αν Ρ είναι τυχόν σηµείο της ευθείας ε µε διάνυσµα θέσης Ρ = r, τότε ισχύει: z Ρ r Ρ r ε Ρ ε ΡΡ r r = t, t r = r + t, t, () x η οποία είναι η διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της ευθείας ε Η τελευταία είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση Σχήµα 6 y r r =, () η οποία είναι η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας ε Αν υποθέσουµε ότι Ρ = r = ( x, y, z) και Ρ = r = ( x, yz, ), τότε από την () προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας ε x = x + tα, y = y + tβ, z = z + tγ, t () Από την (), µε απαλοιφή της παραµέτρου κές ή κανονικές εξισώσεις της ευθείας ε : t, προκύπτουν οι αναλυτι-

4 8 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο x x y y z z = =, αν αβγ (4) α β γ x x y y ή =, z z =, αν αβ και γ = (5) α β Αν είναι β = γ =, τότε οι αναλυτικές εξισώσεις γίνονται: y = y, z = z ΙΙ Αν δίνονται δύο σηµεία Ρ ( x, y, z ) και ( x, y, z ) Ρ της ε, διαφορετικά µεταξύ τους, τότε ΡΡ = r r = και θεωρώντας Ρ Ρ αναγόµαστε στη προηγούµενη περίπτωση, οπότε έχουµε τις εξισώσεις: r = r + t( r r ), t, διανυσµατική παραµετρική εξίσωση x = x + t x x, y = y + t y y, z = z + t z z, t, παραµετρι- ( r r) ( r r) =, διανυσµατική εξίσωση ( ) ( ) ( ) κές εξισώσεις και, αν ( x x )( y y )( z z ) αναλυτικές εξισώσεις Συνηµίτονα κατεύθυνσης, λαµβάνουµε τις x x y y z z = = x x y y z z Θεωρούµε ευθεία ε µε παράλληλο διάνυσµα Αν,,, ijk είναι δεδοµένο ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς, τότε στην ευθεία ε, µέσω του διανύσµατος, αντιστοιχίζουµε τις γωνίες α = i,, β = j,, γ = k,, ( ) ( ) όπου α, βγ, [, π] ι γωνίες α, βγ, λέγονται γωνίες διεύθυνσης της ευθείας ε ή γωνίες κατεύθυνσης του διανύσµατος Αν Ρ = και ΑΒΓ,, είναι οι προβολές του Ρ πάνω στους άξονες x xy, y και zz, αντίστοιχα, τότε: Α x z k i ε Γ Ρ γ β j B α Q Σχήµα 6 y

5 6 Η ευθεία στο χώρο 9 Α = ( cosα ) i, Β = ( cosβ ) j, ( cosγ ) Γ = k και Ρ = Α + Β + Γ ( α) ( β) ( γ) = cos i+ cos j+ cos k Εποµένως, οι συντεταγµένες του µοναδιαίου διανύσµατος της κατεύθυνσης που ορίζεται από το είναι cos α,cos β, cosγ και λέγονται συνηµίτονα κατεύθυνσης του Επιπλέον, ισχύει: Ρ = cos α + cos β + cos γ = Παράδειγµα Να βρείτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας ε που περνάει από το σηµείο Ρ,, και είναι παράλληλη στο διάνυσµα (,,) = Λύση Σύµφωνα µε τη εξισώσεις (4) έχουµε τις κανονικές εξισώσεις x y z+ = = Παράδειγµα ίνονται οι ευθείες ε : = + t, t r r και ε : = + s, s r r b, όπου b, Να αποδείξετε ότι: (i) ε, ε συνεπίπεδες ( r r,, b) = (ii), ε ε ασύµβατες r r,, b Απόδειξη (i) Έχουµε τις ισοδυναµίες: ε, ε συνεπίπεδες ΡΡ,, b συνεπίπεδα ΡΡ, b, = ( ) ( r r,, b) (ii) Έχουµε τις ισοδυναµίες:, = Ρ r ε ε ασύµβατες Σχήµα 6 ε ε µη συνεπίπεδες, ΡΡ, b, µη συνεπίπεδα (,, ) r r,, b Ρ ΡΡ b b Παράδειγµα Αν οι ευθείες ε : = + t, t r r και ε : = + s, s r r b,

6 4 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο όπου b,, είναι ασύµβατες, να αποδείξετε ότι η απόστασή τους, δηλαδή το µήκος του κοινού κάθετου τµήµατος είναι: (, ) d ε ε = ( r r,, b) b Ρ Λ ε Λύση Αν υποθέσουµε ότι ΚΛ είναι το κοινό κάθετο τµήµα των δύο ευθειών, τότε ένα γνωστό διάνυσµα παράλληλο µε το διάνυσµα ΚΛ είναι το διάνυσµα b και ακόµη (, ) = ΛΚ Έχουµε ( ) = ( ) pr ( b) d ε ε ΡΡ b b ΡΡ ( ) ( ) =± b ΛΚ r-r b (, ) r r Ρ Κ b b Σχήµα 6 4 d ε ε = ΛΚ = ε ( r-r, b, ) b Παράδειγµα 4 Αφού αποδείξετε ότι οι ευθείες y 9 x 6 y+ 7 ε : x = = z 5 και ε : = = z 7 6 είναι ασύµβατες, να βρείτε την ελάχιστη απόσταση καθώς και την εξίσωση της κοινής κάθετης αυτών Λύση Σύµφωνα µε το παράδειγµα έχουµε: r r,, b ε, ε ασύµβατες ( ) Από τα δεδοµένα έχουµε: r = (, 9, 5) r = ( 6, 7, ), = (,,) και b = ( 7, 6,), οπότε r- r = ( 5,6, 5) (,, ) και r r b = = r Ρ Ρ r Α Β Σχήµα 6 5 b ε ε τύπος του παραδείγµατος δίνει την ελάχιστη απόσταση, όχι όµως και τα ίχνη της κοινής κάθετης των δύο ασύµβατων ευθειών Για το λόγο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε µία διαδικασία µε την οποία ταυτόχρονα αποδεικνύεται και η ύπαρξη του κοινού κάθετου τµήµατος των δύο ασύµβατων ευθειών

7 6 Η ευθεία στο χώρο 4 Το τυχόν σηµείο της ε είναι το Το ε είναι το Β (6+ 7 s, 7 6 s, s), s, οπότε θα είναι Α + t,9 t,5 + t, t και όµοια της ( 5 t 7 s, 6 t 6 s, 5 t s) ΑΒ = ΑΒ είναι κοινό κάθετο τµήµα των ε και ε, αν, και µόνον αν, ισχύουν ΑΒ = t s 6 = t =, s =, ΑΒ b = t 4s 6= οπότε τα ίχνη της κοινής κάθετης πάνω στις ευθείες ε και ε είναι τα ση- µεία Α (, 5, 7) και Β(,, ) Εποµένως η ελάχιστη απόσταση των ε και ε, είναι (, ) ( ) ( 5) ( 7) d ε ε = ΑΒ = + + = 9, ενώ η εξίσωση της ευθείας του κοινού κάθετου τµήµατος είναι η ( r-rα ) u=, όπου = ΑΒ = ( 4, 6, 8) r Α =, 5, 7 ή ισοδύναµα οι αναλυτικές εξισώσεις της είναι u και x y 5 z 7 = = Παράδειγµα 5 ( Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών) ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : = + t, t r r και ε : r = r + s, s d ε, ε δίνεται από τη σχέση Να αποδείξετε ότι η απόσταση τους ( ) ( r r) d ( ε, ε ) = Λύση Έστω αναφοράς τέτοιο, ώστε xyz ορθοκανονικό σύστηµα Ρ = r και Ρ = r Στη συνέχεια παίρνουµε σηµεία Α και Β ε τέτοια, ώστε ΡΑ = ΡΒ = και θεωρούµε το εµβαδόν Ε= ( ΡΡ ΒΑ) παραλληλογράµµου ΡΡΒΑ Έχουµε ε του r Ρ Α r ε d ε Ρ Β Σχήµα 6 6

8 4 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Ε= ΡΡ = r r, αλλά και Ε= d ( ε, ε ), οπότε από τις δύο προηγούµενες ισότητες προκύπτει και η ζητούµενη ισότητα Παράδειγµα 6 Η απόσταση σηµείου από ευθεία του χώρου ίνεται η ευθεία ε : r = r + t, t και σηµείο Ρ µε Ρ = r Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = d Ρ ε του σηµείου Ρ ισότητα από την ευθεία ε δίνεται από την, d (, ε r r Ρ ) = Β Ρ r ε Α Ρ r Σχήµα 6 7 Λύση Έστω Ρ είναι το σηµείο της ευθείας ε µε Ρ = r Κατασκευάζουµε το παραλληλόγραµµο ΡΡΑΒ που ορίζεται από τα διανύσµατα = ΡΑ και ΡΡ = r r Τότε έχουµε ( ) ( ) αλλά και την ισότητα Ε ( Ρ Ρ ΑΒ ) = d ( Ρ ε ) ζητούµενη ισότητα 6 Το επίπεδο Ε Ρ Ρ ΑΒ = r r,,, από τις οποίες προκύπτει η Το επίπεδο είναι η απλούστερη από τις επιφάνειες που θα µελετήσουµε και ορίζεται αξιωµατικά στην Ευκλείδεια Γεωµετρία από τρία σηµεία µη συνευθειακά Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τον προσδιορισµό διαφόρων µορφών εξισώσεων του επιπέδου, όταν δίνονται διάφορα στοιχεία που οδηγούν στον ορισµό κατά µοναδικό τρόπο ενός επιπέδου Έτσι έχου- µε τις περιπτώσεις κατά τις οποίες για ένα επίπεδο, έστω Π, δίνονται τα στοιχεία: Ι (α) Ένα σηµείο του Ρ και δύο µη µηδενικά µη συγγραµµικά διανύσµατα b, παράλληλα προς το επίπεδο Π (β) ύο σηµεία του Ρ Ρ, διαφορετικά µεταξύ τους, και ένα διάνυσµα, παράλληλο προς το Π έτσι, ώστε ΡΡ λ, λ (γ) Τρία σηµεία του Ρ, Ρ, Ρ µη συνευθειακά

9 6 Το επίπεδο 4 ΙΙ Ένα σηµείο του Ρ και ένα διάνυσµα n Π z Ρ b Ρ Π r r y x Σχήµα 6 8 Ι (α) Σύµφωνα µε τα δεδοµένα στοιχεία, αν θεωρήσουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz, τότε έχουµε: Ρ Π, µε Ρ = r ΡΡb,, συνεπίπεδα υπάρχουν λ, µ µε ΡΡ= λ + µ b r = r + λ + µ b, λ, µ, () η οποία είναι η διανυσµατική παραµετρική εξίσωση του επιπέδου Π Επειδή τα διανύσµατα r- r,, b είναι συνεπίπεδα, έχουµε την εξίσωση που είναι η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου Π Αν υποθέσουµε ότι = x, y, z, = x, y, z, = α, α, α r-r,, b =, () Ρ Ρ και = ( β, β, β ) b, τότε από την () προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις του επιπέδου Π x = x + λα + µβ y = y + λα + µβ, λ, µ, () z = z + λα + µβ ενώ από τη () προκύπτει η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου Π x x y y z z α α α β β β = (4)

10 44 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Η περίπτωση Ι(β) ανάγεται στην Ι(α), αν θεωρήσουµε =, ενώ η περίπτωση Ι(γ) ανάγεται στην Ι(α), αν θεωρήσουµε = ΡΡ και b = ΡΡ ΙΙ Έστω ότι δίνεται το σηµείο ( x, y, z) του διάνυσµα n = ( α, β, γ) Αν Ρ ( x, yz, ) είναι το τυχόν σηµείο του επιπέδου Π µε Ρ = r, τότε Ρ Π ΡΡ n ( r r ) n = b ΡΡ Ρ του επιπέδου Π και το κάθετο η οποία είναι η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου Π Η εξίσωση (5) γράφεται και ως εξής: x Σχήµα 6 9 r n r n = αx+ βy+ γz αx + βy + γz = όπου α, β, (5) Α x+β y+γ z+ =, (6) Α= Β= Γ=γ και ( αx + βy + γz ) = Παρατήρηση Η περίπτωση Ι(α), άρα και οι Ι(β) και Ι(γ), ανάγεται στην περίπτωση (4), αν θεωρήσουµε n = b Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις, η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου είναι της µορφής (6) Γενικότερα, ισχύει και το αντίστροφο που δίνεται από το θεώρηµα που ακολουθεί Θεώρηµα 6 Κάθε εξίσωση της µορφής x y z, µε ΑΒΓ,,,, Α +Β +Γ + = είναι η καρτεσιανή εξίσωση επιπέδου µε κάθετο διάνυσµα = ( ΑΒΓ,, ) z Ρ n Ρ n y Απόδειξη Θεωρούµε το σηµειοσύνολο Π= xyz,, : Α x+β y+γ z+ =,µε ΑΒΓ,,,, { } Θα αποδείξουµε ότι η γεωµετρική αναπαράσταση του συνόλου Π είναι ένα επίπεδο κάθετο προς το διάνυσµα n = ( Α, Β, Γ) Έστω Ρ ( x, y, z) ένα σηµείο του συνόλου Π, δηλαδή ένα σηµείο που ικανοποιεί την εξίσωση Α x +Β y +Γ z + = (7) z x Ρ n Σχήµα 6 Ρ y

11 6 Το επίπεδο 45 Θεωρούµε το τυχόν σηµείο Ρ( xyz,, ) Π, οπότε θα ισχύει η ισότητα Α x+β y+γ z+ = (8) Με αφαίρεση της (7) από την (8) λαµβάνουµε Α x x +Β y y +Γ z z = n ΡΡ =, από την οποία προκύπτει ότι το διάνυσµα ΡΡ είναι κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα n = ( ΑΒΓ),, Άρα το τυχόν σηµείο του συνόλου Π βρίσκεται σε ευθεία κάθετη προς το φορέα του n στο δεδοµένο σηµείο Ρ, οπότε τα σηµεία του συνόλου Π ορίζουν το µοναδικό επίπεδο που είναι κάθετο προς το φορέα του στο σηµείο Ρ n ιερεύνηση της εξίσωσης x y z Α +Β +Γ + =, (,, ) (,,) ΑΒΓ Επειδή είναι ( ΑΒΓ,, ) (,,), ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές Α, Β και Γ είναι διάφορος του, οπότε διακρίνουµε τις περιπτώσεις: Ι Α =Β=Γ Τότε η εξίσωση γίνεται =, όπου x x x = Α, ενώ το κάθετο διάνυσµα = Α Εποµένως το επί- προς το επίπεδο Π είναι το n = ( Α,,) (,,) = Αi πεδο Π είναι κάθετο προς τον άξονα x x στο σηµείο του x,, Όµοια, η εξίσωση y = y ορίζει επίπεδο κάθετο προς στον άξονα yy στο σηµείο του (, y, ), ενώ η εξίσωση z = z ορίζει επίπεδο κάθετο προς στον άξονα zz στο σηµείο του (,, z ) Ειδικότερα, για τα επίπεδα συντεταγµένων έχουµε ότι: z = είναι η εξίσωση του επιπέδου xy, z Π y = είναι η εξίσωση του επιπέδου xz, x = είναι η εξίσωση του επιπέδου yz ΙΙ ΑΒ = Γ Είναι n = ΑΒ,, = Α+Β i j, οπότε ισχύει ότι n k = Άρα το επίπεδο Π είναι παράλληλο προς τον άξονα zz µοίως, η εξίσωση Β y+γ z+ = ορίζει επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα x k n Σχήµα 6 y

12 46 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο x x, ενώ η εξίσωση Α x+γ z+ = ορίζει επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα yy ΙΙΙ = Τότε η εξίσωση Α x+β y+γ z = αρχή (,, ) των αξόνων ορίζει επίπεδο που περνάει από την ΙV ΑΒΓ Τότε η δεδοµένη εξίσωση είναι ισοδύναµη µ ε την εξίσωση x y z + + =, (9) α β γ όπου α =, β = Α Β, γ = είναι οι Γ λεγόµενες συντεταγµένες επί την αρχή του επιπέδου Π Η εξίσωση (9) λέγεται κανονική εξίσωση τ ου επιπέδου Π και έχει το πλεονέκτηµα ότι µε αυτήν είν αι εύκολη η σχεδίαση του επιπέδου Π, αφού τα σηµεία τοµής του µε τους άξονες συντεταγµένων είναι τα Α ( α,, ), Β (, β, ) και Γ (,,γ ) Α x z Γ Σχήµα 6 Β y Παράδειγµα Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζεται από,,,,, Γ,, (α) Τα σηµεία Α Β και (β) Το σηµείο Ρ,, και είναι παράλληλο προς το επίπεδο x+ y 4z 8= (γ) Το σηµείο (,, ) Ρ και είναι παράλληλο προς τις ευθείες x y z ε : = = και ε : x + = y = z Λύση (α) ι αριθµοί, και - είναι οι συντεταγµένες επί την αρχή του επιπέδου Π, οπότε η εξίσωσή του είναι x y z + + = x+ y 6z 6= (β) Το επίπεδο x y 4z 8 n =,, 4, οπότε + = έχει κάθετο διάνυσµα το n είναι κάθετο διάνυσµα και προς το επίπεδο Π Άρα το επίπεδο Π έχει την εξίσωση r r n = xyz,,,,,, 4 = ( ) ( )

13 6 Το επίπεδο 47 ( x y z ), +,,, 4 = x+ y 4z+ = (γ) Τα παράλληλα διανύσµατα των ευθειών ε και ε είναι τα = (,, ) και = (,,), αντίστοιχα Έτσι, τα διανύσµατα και είναι παράλληλα προς το επίπεδο Π, οπότε η διανυσµατική παραµετρική εξίσωσή του είναι r = r + λ + µ, λ, µ, όπου = = ( x, y, z ) = (,,) r Ρ Η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου Π είναι x y+ z = ι σχετικές θέσεις δύο επιπέδων ( x ) ( y ) ( z ) = x 4y+ 5z = Θεωρούµε τα επίπεδα Π : Α x+β y+γ z+ = () Π : Α x+β y+γ z+ = µε κάθετα διανύσµατα n = Α, Β, Γ και ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: Α Β Γ Ι n n = = = λ, Α Β Γ () ( ) n = ( Α, Β, Γ), αντίστοιχα Αν υποθέσουµε ότι το σύστηµα αυτό έχει µία λύση όπου όταν κάποιος παρανοµαστής είναι, τότε και ο αντίστοιχος αριθµητής πρέπει να είναι Τότε τα επίπεδα Π και Π έχουν το ίδιο κάθετο διάνυσµα, οπότε είναι παράλληλα ή συµπίπτουν Αυτό εξαρτάται από το πλήθος των λύσεων του γραµµικού συστήµατος των εξισώσεων () και () x, y, z, τότε λαµβάνουµε Αx Βy Γz Α x+β y+γz λ = = = = = = Α x Β y Γ z Α x +Β y +Γ z Άρα έχουµε την ισοδυναµία των εξισώσεων () και (), αφού Α x+β y+γ z+ = λ Α x+β y+γ z+ = Α x+β y+γ z+ =,

14 48 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο δηλαδή τα επίπεδα και Π έχουν όλα τα σηµεία τους κοινά, οπότε συ- Π µπίπτουν Εποµένως η συνθήκη λ = είναι αναγκαία και ικανή για να έχουν τα δύο επίπεδα ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο Έτσι, αν υποθέσουµε ότι λ, τότε τα επίπεδα Π και Π δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο, οπότε είναι παράλληλα Με τα παραπάνω έχουµε καταλήξει στις υποπεριπτώσεις: Ι(α) Αν Α Β Γ = = = = λ, τότε τα επίπεδα Π και Π Α Β Γ συµπίπτουν Α Β Γ Ι(β) Αν = =, τότε τα επίπεδα Π, Π είναι παράλληλα Α Β Γ ΙΙ Τα διανύσµατα n και n είναι µη συγγραµµικά Α Β Γ Τότε δύο τουλάχιστον από τους λόγους,, Α Β Γ µεταξύ τους Αν είναι Α Α είναι διαφορετικοί Β, τότε το γραµµικό σύστηµα των () και () Β µε τις δύο εξισώσεις και τους τρεις αγνώστους γίνεται Γ z Β Α Γ z Α x+β y = Γz Γ z Β Α Γ z x =, y = Α x+β y = Γ z ΑΒ ΑΒ ΑΒ ΑΒ, οπότε λύνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις ως προς z αυτό γίνεται τελικά ισοδύναµο µε τις αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων x x y y z = =, α β όπου οι παράµετροι x, y, α, β ορίζονται κατάλληλα µετά τις πράξεις Εποµένως, αν τα διανύσµατα n και n είναι µη συγγραµµικά, τότε τα επίπεδα Π και Π τέµνονται κατά µία ευθεία γραµµή

15 6 Το επίπεδο 49 Παράδειγµα Να βρεθούν οι αναλυτικές και οι παραµετρικές εξισώσεις της τοµής των επιπέδων Π :6x+ y z+ = και Π : x y+ z 4 = Λύση ( ος τρόπος) Σύµφωνα µε την περίπτωση ΙΙ, έχουµε 6x+ y z+ = 6x+ y = z 8x = z+ x y+ z 4= x y = z+ 4 4y = z 44 8x 4y+ 44 x y+ z x y+ z = = z = = = = οι οποίες είναι οι αναλυτικές εξισώσεις ευθείας που περνάει από το σηµείο Α,, και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα (,, 4) = Η ευθεία αυτή έχει παραµετρικές εξισώσεις: x = + t, y =, t z = 4, t t ( ος τρόπος) Αρκεί να προσδιορίσουµε ένα σηµείο καθώς και το παράλληλο διάνυσµα της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων Όπως είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωµετρία, η τοµή δύο επιπέδων (αν υπάρχει) είναι κάθετη προς τα κάθετα διανύσµατα και n των δύο επιπέδων, οπότε είναι παράλληλη µε το διάνυσµα i j k n n = 6 = i j 8k n Για να βρούµε ένα σηµείο της ευθείας της τοµής δίνουµε µία αυθαίρετη τιµή σε έναν από τους αγνώστους, έστω z = z, και από τις δύο εξισώσεις των δεδοµένων επιπέδων προσδιορίζουµε τα x, y, οπότε το σηµείο ( x, y, z ) ανήκει στην ευθεία της τοµής Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε z=, τότε λαµβάνουµε 6x+ y = x = x y = 4 y =

16 5 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Άρα το Α,, είναι ένα σηµείο της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων, η οποία έχει πλέον αναλυτικές εξισώσεις x y+ z x y+ z = = = = 8 4 Παράδειγµα Να βρεθεί η ορθή προβολή του σηµείου Α(,, 6) στο επίπεδο Π: x+ y z = Λύση Αν Β είναι η ορθή προβολή του σηµείου Α πάνω στο επίπεδο Π, τότε η ευθεία ε που ορίζεται από τα Α και Β έχει παράλληλο διάνυσµα το κάθετο διάνυσµα i Α n = (,, ) του επιπέδου Π n Εποµένως η ευθεία ε έχει εξίσωση r = r Α + tn, t ( xyz,, ) = (,,6) + t(,, ), t Β Π { x t, y t, z 6 t, t } = = + = () Για τον προσδιορισµό του Β θα λύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων της ευθείας ε και του επιπέ- Σχήµα 6 δου Π Έτσι αντικαθιστώντας τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας στην εξίσωση του επιπέδου Π, λαµβάνουµε: t + + t 6 t = 4t 8= t =, οπότε από τις () προκύπτει η λύση του συστήµατος ( xyz,, ) = ( 4,,4) Εποµένως είναι Β( 4,, 4) y Παράδειγµα 4 Να βρεθεί η προβολή της ευθείας ε : x = = z πάνω στο επίπεδο Π: x y+ z = Λύση Αν Q είναι το επίπεδο που ορίζεται από τη δεδοµένη ευθεία ε και την προβολή της, έστω δ, πάνω στο επίπεδο Π, τότε θα είναι δ =Π Q Ένα κάθετο διάνυσµα u προς το επίπεδο Q είναι κάθετο προς το (,, (παράλληλο της ε ), ) Π n Q ε Σχήµα 6 4 δ ε

17 6 Το επίπεδο 5 αλλά και προς το n = (,, ), (κάθετο προς το επιπέδου Π ) Εποµένως είναι i j k u = n = = 8i j 4k, οπότε, αν r = Ρ =(,, ) είναι το διάνυσµα θέσης του δεδοµένου σηµείου της ευθείας ε, άρα και του επιπέδου Q, η εξίσωση του επιπέδου Q είναι r r u = x y z+ = 4 Εποµένως έχουµε x y z x y z x z δ : + = = + = 4x y z+ = 4x y = z y = z y + δ : x + = = z Παράδειγµα 5 (Απόσταση σηµείου από επίπεδο) Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz, επίπεδο Π µε εξίσωση Α x+β y+γ z+ = και σηµείο ώστε Ρ Π Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = d ( Ρ, Π) του σηµείου Ρ από το επίπεδο Π δίνεται από την ισότητα d x +Β y +Γ z + ( Ρ, Α Π ) = Α +Β +Γ Λύση Έστω το σηµείο ( Π ) Ρ Κ το ίχνος της κάθετης από προς το επίπεδο Π Τότε είναι Ρ µε = = ( x, y, z ) Ρ r τέτοιο, z Ρ d Ρ, x = ΡΚ Θεωρούµε τυχόν σηµείο Ρ του επιπέδου Π µε διάνυσµα θέσης Σχήµα 6 5 Ρ = r = ( x, yz, ) και το κάθετο διάνυσµα n = ( Α, Β, Γ) του επιπέδου Π Τότε έχουµε: ΡΡn = n pr ΡΡ = n ΡΚ - = ± n ( rr) n n ΡΚ ( r r ) n x y z Α +Β +Γ + d = = n Α +Β +Γ Κ Ρ Π y n rr - n= d n

18 5 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο έσµες επιπέδων ρισµός 6 Αξονική δέσµη επιπέδων είναι το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από την ίδια ευθεία ε, η οποία λέγεται άξονας της δέσµης Αν Πi : Α ix+β iy+γ iz+ i =, i =, είναι δύο επίπεδα που έχουν τοµή µία ευθεία ε, τότε αυτά ορίζουν µία αξονική δέσµη επιπέδων µε άξονα την ευθεία ε και εξίσωση λ Α x+β y+γ z+ + λ Α x+β y+γ z+ =, λ, λ ρισµός 6 Κεντρική δέσµη επιπέδων, λέγεται το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο, το οποίο λέγεται κέντρο της δέσµης Αν Π : Α x+β y+γ z+ =, i =,, i i i i i που διέρχονται από το ίδιο σηµείο κεντρική δέσµη επιπέδων µε εξίσωση i= ( x y z ) Ρ είναι τρία διαφορετικά επίπεδα ( x, y, z ) λi Α i +Β i +Γ i + i =, µε λ, λ, λ, τότε αυτά ορίζουν Μελέτη ανισοτήτων Α x+β y+γ z+ >, Α x+β y+γ z+ < Θεωρούµε επίπεδο Π µε εξίσωση: Α x+β y+γ z+ = Ρ ( x, y, z ) και Ρ ( x, y, z ) Αν είναι δύο τυχαία σηµεία του χώρου µε ΡΡ n, τότε η ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Ρ και Ρ τέµνει το επίπεδο Π σε σηµείο ( x, y, z ) Ρ για το οποίο υποθέτουµε ότι ισχύει: x ΡΡ = λρρ, λ Σχήµα 6 6 y Τότε κατά τα γνωστά από το Κεφάλαιο 4 έχουµε Ρ = ( Ρ + λρ ) + λ και το σηµείο έχει συντεταγµένες x, y, z, που δίνονται από τις ισότητες: Ρ Ρ z n Ρ Ρ

19 6 Το επίπεδο 5 x+ λx y+ λ y z+ λz x =, y = και z = + λ + λ + λ Επειδή Ρ Π, έπεται ότι x+ λx y+ λy z+ λz Α +Β +Γ + = + λ + λ + λ Α x +Β y +Γ z + + λ Α x +Β y +Γ z + = Αν υποθέσουµε ότι λ Α x +Β y +Γ z +, = αν Α x +Β y +Γ z + Ρ, Ρ Π Ρ Π, τότε από την τελευταία ισότητα προκύπτουν: Τα σηµεία βρίσκονται στον έναν από τους δύο ηµίχωρους που ορίζει το επίπεδο Π, αν, και µόνον αν, λ < ή ισοδύναµα, αν είναι οµόσηµοι οι αριθµοί Α x +Β y +Γ z +, Α x +Β y +Γ z +, Τα σηµεία Ρ Ρ βρίσκονται σε διαφορετικούς ηµίχωρους ως προς το επίπεδο Π, αν, και µόνον αν, ετερόσηµοι οι αριθµοί Α x +Β y +Γ z +, Α x +Β y +Γ z + Έτσι καταλήγουµε στο συµπέρασµα: λ > ή ισοδύναµα, αν είναι Κάθε επίπεδο Π: Α x+β y+γ z+ =, διαµερίζει τον χώρο σε τρία υποσύνολα της µορφής: + Π : = x, y, z : Α x+β y+γ z+ > (θετικός ηµίχωρος) { } {( xyz) x y z } {( xyz) x y z } Π : =,, : Α +Β +Γ + < (αρνητικός ηµίχωρος) Π= :,, : Α +Β +Γ + = (επίπεδο Π)

20 54 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν, Ρ και Q είναι τρία µη συνευθειακά σηµεία τέτοια, ώστε Ρ = p και Q =q, να περιγραφεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του χώρου µε διάνυσµα θέσης Μ =r ως προς το, στις περιπτώσεις: (i) ( ) = r p q, (ii) = ίνονται οι ευθείες ε = : r p q p = r p q p, (iii) r και ε r r b =, όπου b : (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε έχουν ένα κοινό σηµείο, αν, ( b) = (,,) = (,, ) = (,, ) ε Q και µόνον αν, r = (ii) Αν, b και r να αποδείξετε ότι r b και να βρείτε σηµεία Ρ και ε έτσι, ώστε η ευθεία Ρ Q να είναι κάθετη προς τις ευθείες ε και ε Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε : x =, y+ z = και x + y+ z+ ε : = = είναι ασύµβατες και να προσδιορίσετε τα ίχνη και το µήκος της κοινής κάθετης αυτών 4 Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών ε : r = + λi και ε : r = b+ µ ( j+ k ), λ, µ, αν είναι = (,, ) και b = (,,) 5 Θεωρούµε το σηµείο Α (,, και τις ευθείες ) x y z x y ε : = = και ε : = = z 4 (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι ασύµβατες (ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από το σηµείο και τέµνει τις ε και ε Α 6 Να βρείτε το ίχνος της κάθετης από σηµείο Α(,, ) προς την ευθεία y 4 z ε : x = =

21 Ασκήσεις 55 7 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζεται από (i) το σηµείο Α (,, ) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο: y z =, (ii) τα σηµεία Α(,, ), Β (,, ) και Γ (,, 4), (iii) το σηµείο Α(,, ) και είναι κάθετο προς τα επίπεδα: Π : x+ y+ z = και Π : x+ y+ 4 z = 8 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την τοµή των επιπέδων Π :7 x+ z 6 =, Π :7 x+ y 8 = καθώς και το σηµείο Α (,, ) 9 Τα σηµεία ΑΒ, έχουν διάνυσµα θέσης, + b, αντίστοιχα, ως προς την αρχή ίνεται ότι η ευθεία ε : r = + λu, λ, u = τέµνει το επίπεδο που περνάει από το σηµείο Β και είναι κάθετο στο n, µε n = Να αποδείξετε ότι η τιµή του λ που αντιστοιχεί στο σηµείο το- µής είναι ίση προς b cos ( b, n) cos un, Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου (i) που περιέχει τις ευθείες ε : r = + λb και ε : r = c+ µ b, λ, µ, όπου bc,, είναι δεδοµένα διανύσµατα, (ii) που περιέχει την ευθεία ε : r = λ, λ και είναι κάθετο προς το επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες ε : r = λ, ε : r = µ b, λ, µ, b Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση της τοµής των επιπέδων Π : ( r ) b = και Π :( r ) c =, µε b c Να αποδείξετε ότι η διανυσµατική εξίσωση r = r + λ + µ b, λ, µ, επιπέδου Π, µπορεί να γραφεί στη µορφή r n = α και να προσδιορίσετε τα n και α σε συνάρτηση των r και b ίνεται η ευθεία ε : r n = (i) Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία των και n ; (ii) Αν η ευθεία ε είναι η τοµή των επιπέδων Π : x+ y+ z = και Π :4x y z+ =,,

22 56 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο να βρείτε τα, n και να εξηγήσετε γιατί δεν είναι µοναδικά 4 Το επίπεδο Π έχει κάθετο διάνυσµα = (,,) σηµείο (,, ) Το επίπεδο Π έχει εξίσωση ( + j) = Α n και περνάει από το r i (i) Να βρεθεί η οξεία γωνία των επιπέδων Π και Π (ii) Αφού επαληθεύσετε ότι το σηµείο Μ (,, ) ανήκει και στα δύο επίπεδα, να βρείτε την εξίσωση της τοµής των Π και Π (iii) Να βρεθεί σηµείο Β της τοµής των Π και Π έτσι, ώστε η ευθεία της τοµής και η ευθεία ΑΒ να είναι κάθετες 5 Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε της ορθογώνιας προβολής του παραλληλογράµµου ΑΒΓ µε ΑΒ = u, Α = v πάνω σε ένα επίπεδο µε µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα n, δίνεται από την ισότητα Ε= u v n

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. 5.1 Η ευθεία στο επίπεδο-οι κωνικές τοµές. (α) Η ευθεία στο επίπεδο. Ο xy του επιπέδου, µία ευ- π π

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. 5.1 Η ευθεία στο επίπεδο-οι κωνικές τοµές. (α) Η ευθεία στο επίπεδο. Ο xy του επιπέδου, µία ευ- π π ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕ Πολλές από τις καµπύλες του επιπέδου είναι γνωστές από τα µαθήµατα του Λυκείου. Αυτές είναι οι ευθείες του επιπέδου µε εξίσωση ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΑ 009 1. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 Α ίνονται τα διανύσµατα á, â, x, y 1 για τα οποία ισχύουν: x+ â = y+ á και 11 y+ 11 â = á x Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα