Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α, όπου σύνολο {( xyz) ( xyz) ( xyz) } Ε= :,, :,, και F,, = Α Το λέγεται επιφάνεια του χώρου µε αναλυτική εξίσωση F ( xyz,, ) = Επίσης το σύνολο Ε λέγεται γεωµετρικός τόπος της εξίσωσης F ( xyz,, ) = F ( xyz,, ) z f( xy, ) Gf : = {( xyf,, ( xy, )):( xy, ) Β} z = f ( x, y) Λέµε ότι η συνάρτηση z f ( x, y) Ε ή ότι η επιφάνεια Ε έχει καρτεσιανή εξίσωση z f ( x, y) Αν z = f ( x, y) είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Β, τότε η επιφάνεια Ε µε αναλυτική εξίσωση της συνάρτησης επιφάνεια Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς { ( xyz) } = = είναι το γράφηµα = ορίζει την = xyz στο χώρο, Α, το σύνολο Σ= : r = OP : Ρ,, Α και τη συνάρτηση F:Σ Τότε το σύνολο των σηµείων Ρ του Α, των οποίων η διανυσµατική ακτίνα r ικανοποιεί την εξίσωση F r = είναι µία επιφάνεια του µε διανυσµα- τική εξίσωση Αν οι εξισώσεις F r = { x x ( uv, ), y y ( uv, ), z z ( uv, ), ( uv, ) J } = = = Ι ()

2 6 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο ικανοποιούν την εξίσωση F ( xyz,, ) =, δηλαδή, αν ισχύει F ( x( u, v), y( u, v), z( u, v) ) =, για κάθε (, ) J uv Ι, τότε αυτές λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας Ε του µε αναλυτική εξίσωση F xyz,, =, ενώ η εξίσωση r = r ( uv, ) = x( uv, ) i+ y( uv, ) j+ z( uv, ) k, (, ) J uv Ι, () λέγεται διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της επιφάνειας Ε Μία καµπύλη στο χώρο δίνεται συνήθως ως τοµή δύο επιφανειών Αν F ( xyz,, ) = και F ( xyz,, ) = είναι οι εξισώσεις των επιφανειών Ε και Ε, αντίστοιχα, τότε το σύστηµα { F ( xyz,, ), F ( xyz,, ) } = = () ορίζει µία καµπύλη Γ του χώρου Αν οι εξισώσεις x = x t, y = y t, z = z t, t Ι (4) () επαληθεύουν το σύστηµα (), τότε λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης Γ που ορίζεται από το σύστηµα () Η εξίσωση r = r t = x t i+ y t j+ z t k t Ι (5) (), λέγεται διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της καµπύλης Γ Μέσω των παραµετρικών εξισώσεων είναι δυνατόν να γίνει εισαγωγή της έννοιας της καµπύλης του χώρου, χωρίς τη χρήση του συστήµατος () Αν Ι είναι ένα διάστηµα του και r : Ι είναι συνάρτηση µε τύπο r t = x t i + y t j+ z t k t Ι, τότε το σύνολο τιµών της r () (), { x t, y t, z t : t Ι} () Ι = ( ) ορίζει µία καµπύλη του χώρου µε διανυσµατική παραµετρική εξίσωση r = r t t Ι ή µε παραµετρικές εξισώσεις (), () x = x t, y = y t, z = z t, t Ι Παράδειγµα ι παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας Ε δίνονται από x = α cos usin v, y = αsin usin v, z = αcos v, u < π, v π, όπου α σταθερά Να βρεθεί η αναλυτική εξίσωση της επιφάνειας Ε Λύση Υψώνουµε τις παραµετρικές εξισώσεις στο τετράγωνο και τις προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε λαµβάνουµε x + y + z = α

3 6 Η ευθεία στο χώρο 7 Παράδειγµα Να βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας x y z + + = α β γ Λύση Αν θέσουµε x = αχ, y = βy, z = γ Ζ, τότε η δεδοµένη εξίσωση γίνεται Χ + Y +Ζ =, οπότε µία κατάλληλη επιλογή παραµετρικών εξισώσεων αυτής δίνεται από το παράδειγµα, ως εξής: X = cos usin v, Y = sin usin v, Z = cos v, u < π, v π x = α cos usin v, y = βsin usin v, z = γ cos v, u < π, v π 6 Η ευθεία στο χώρο I Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz και υποθέτουµε ότι η ευθεία ε περνάει από το σηµείο Ρ µε διάνυσµα θέσης Ρ = r και είναι παράλληλη προς το δεδοµένο διάνυσµα = ( α, β, γ) Αν Ρ είναι τυχόν σηµείο της ευθείας ε µε διάνυσµα θέσης Ρ = r, τότε ισχύει: z Ρ r Ρ r ε Ρ ε ΡΡ r r = t, t r = r + t, t, () x η οποία είναι η διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της ευθείας ε Η τελευταία είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση Σχήµα 6 y r r =, () η οποία είναι η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας ε Αν υποθέσουµε ότι Ρ = r = ( x, y, z) και Ρ = r = ( x, yz, ), τότε από την () προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας ε x = x + tα, y = y + tβ, z = z + tγ, t () Από την (), µε απαλοιφή της παραµέτρου κές ή κανονικές εξισώσεις της ευθείας ε : t, προκύπτουν οι αναλυτι-

4 8 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο x x y y z z = =, αν αβγ (4) α β γ x x y y ή =, z z =, αν αβ και γ = (5) α β Αν είναι β = γ =, τότε οι αναλυτικές εξισώσεις γίνονται: y = y, z = z ΙΙ Αν δίνονται δύο σηµεία Ρ ( x, y, z ) και ( x, y, z ) Ρ της ε, διαφορετικά µεταξύ τους, τότε ΡΡ = r r = και θεωρώντας Ρ Ρ αναγόµαστε στη προηγούµενη περίπτωση, οπότε έχουµε τις εξισώσεις: r = r + t( r r ), t, διανυσµατική παραµετρική εξίσωση x = x + t x x, y = y + t y y, z = z + t z z, t, παραµετρι- ( r r) ( r r) =, διανυσµατική εξίσωση ( ) ( ) ( ) κές εξισώσεις και, αν ( x x )( y y )( z z ) αναλυτικές εξισώσεις Συνηµίτονα κατεύθυνσης, λαµβάνουµε τις x x y y z z = = x x y y z z Θεωρούµε ευθεία ε µε παράλληλο διάνυσµα Αν,,, ijk είναι δεδοµένο ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς, τότε στην ευθεία ε, µέσω του διανύσµατος, αντιστοιχίζουµε τις γωνίες α = i,, β = j,, γ = k,, ( ) ( ) όπου α, βγ, [, π] ι γωνίες α, βγ, λέγονται γωνίες διεύθυνσης της ευθείας ε ή γωνίες κατεύθυνσης του διανύσµατος Αν Ρ = και ΑΒΓ,, είναι οι προβολές του Ρ πάνω στους άξονες x xy, y και zz, αντίστοιχα, τότε: Α x z k i ε Γ Ρ γ β j B α Q Σχήµα 6 y

5 6 Η ευθεία στο χώρο 9 Α = ( cosα ) i, Β = ( cosβ ) j, ( cosγ ) Γ = k και Ρ = Α + Β + Γ ( α) ( β) ( γ) = cos i+ cos j+ cos k Εποµένως, οι συντεταγµένες του µοναδιαίου διανύσµατος της κατεύθυνσης που ορίζεται από το είναι cos α,cos β, cosγ και λέγονται συνηµίτονα κατεύθυνσης του Επιπλέον, ισχύει: Ρ = cos α + cos β + cos γ = Παράδειγµα Να βρείτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας ε που περνάει από το σηµείο Ρ,, και είναι παράλληλη στο διάνυσµα (,,) = Λύση Σύµφωνα µε τη εξισώσεις (4) έχουµε τις κανονικές εξισώσεις x y z+ = = Παράδειγµα ίνονται οι ευθείες ε : = + t, t r r και ε : = + s, s r r b, όπου b, Να αποδείξετε ότι: (i) ε, ε συνεπίπεδες ( r r,, b) = (ii), ε ε ασύµβατες r r,, b Απόδειξη (i) Έχουµε τις ισοδυναµίες: ε, ε συνεπίπεδες ΡΡ,, b συνεπίπεδα ΡΡ, b, = ( ) ( r r,, b) (ii) Έχουµε τις ισοδυναµίες:, = Ρ r ε ε ασύµβατες Σχήµα 6 ε ε µη συνεπίπεδες, ΡΡ, b, µη συνεπίπεδα (,, ) r r,, b Ρ ΡΡ b b Παράδειγµα Αν οι ευθείες ε : = + t, t r r και ε : = + s, s r r b,

6 4 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο όπου b,, είναι ασύµβατες, να αποδείξετε ότι η απόστασή τους, δηλαδή το µήκος του κοινού κάθετου τµήµατος είναι: (, ) d ε ε = ( r r,, b) b Ρ Λ ε Λύση Αν υποθέσουµε ότι ΚΛ είναι το κοινό κάθετο τµήµα των δύο ευθειών, τότε ένα γνωστό διάνυσµα παράλληλο µε το διάνυσµα ΚΛ είναι το διάνυσµα b και ακόµη (, ) = ΛΚ Έχουµε ( ) = ( ) pr ( b) d ε ε ΡΡ b b ΡΡ ( ) ( ) =± b ΛΚ r-r b (, ) r r Ρ Κ b b Σχήµα 6 4 d ε ε = ΛΚ = ε ( r-r, b, ) b Παράδειγµα 4 Αφού αποδείξετε ότι οι ευθείες y 9 x 6 y+ 7 ε : x = = z 5 και ε : = = z 7 6 είναι ασύµβατες, να βρείτε την ελάχιστη απόσταση καθώς και την εξίσωση της κοινής κάθετης αυτών Λύση Σύµφωνα µε το παράδειγµα έχουµε: r r,, b ε, ε ασύµβατες ( ) Από τα δεδοµένα έχουµε: r = (, 9, 5) r = ( 6, 7, ), = (,,) και b = ( 7, 6,), οπότε r- r = ( 5,6, 5) (,, ) και r r b = = r Ρ Ρ r Α Β Σχήµα 6 5 b ε ε τύπος του παραδείγµατος δίνει την ελάχιστη απόσταση, όχι όµως και τα ίχνη της κοινής κάθετης των δύο ασύµβατων ευθειών Για το λόγο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε µία διαδικασία µε την οποία ταυτόχρονα αποδεικνύεται και η ύπαρξη του κοινού κάθετου τµήµατος των δύο ασύµβατων ευθειών

7 6 Η ευθεία στο χώρο 4 Το τυχόν σηµείο της ε είναι το Το ε είναι το Β (6+ 7 s, 7 6 s, s), s, οπότε θα είναι Α + t,9 t,5 + t, t και όµοια της ( 5 t 7 s, 6 t 6 s, 5 t s) ΑΒ = ΑΒ είναι κοινό κάθετο τµήµα των ε και ε, αν, και µόνον αν, ισχύουν ΑΒ = t s 6 = t =, s =, ΑΒ b = t 4s 6= οπότε τα ίχνη της κοινής κάθετης πάνω στις ευθείες ε και ε είναι τα ση- µεία Α (, 5, 7) και Β(,, ) Εποµένως η ελάχιστη απόσταση των ε και ε, είναι (, ) ( ) ( 5) ( 7) d ε ε = ΑΒ = + + = 9, ενώ η εξίσωση της ευθείας του κοινού κάθετου τµήµατος είναι η ( r-rα ) u=, όπου = ΑΒ = ( 4, 6, 8) r Α =, 5, 7 ή ισοδύναµα οι αναλυτικές εξισώσεις της είναι u και x y 5 z 7 = = Παράδειγµα 5 ( Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών) ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : = + t, t r r και ε : r = r + s, s d ε, ε δίνεται από τη σχέση Να αποδείξετε ότι η απόσταση τους ( ) ( r r) d ( ε, ε ) = Λύση Έστω αναφοράς τέτοιο, ώστε xyz ορθοκανονικό σύστηµα Ρ = r και Ρ = r Στη συνέχεια παίρνουµε σηµεία Α και Β ε τέτοια, ώστε ΡΑ = ΡΒ = και θεωρούµε το εµβαδόν Ε= ( ΡΡ ΒΑ) παραλληλογράµµου ΡΡΒΑ Έχουµε ε του r Ρ Α r ε d ε Ρ Β Σχήµα 6 6

8 4 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Ε= ΡΡ = r r, αλλά και Ε= d ( ε, ε ), οπότε από τις δύο προηγούµενες ισότητες προκύπτει και η ζητούµενη ισότητα Παράδειγµα 6 Η απόσταση σηµείου από ευθεία του χώρου ίνεται η ευθεία ε : r = r + t, t και σηµείο Ρ µε Ρ = r Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = d Ρ ε του σηµείου Ρ ισότητα από την ευθεία ε δίνεται από την, d (, ε r r Ρ ) = Β Ρ r ε Α Ρ r Σχήµα 6 7 Λύση Έστω Ρ είναι το σηµείο της ευθείας ε µε Ρ = r Κατασκευάζουµε το παραλληλόγραµµο ΡΡΑΒ που ορίζεται από τα διανύσµατα = ΡΑ και ΡΡ = r r Τότε έχουµε ( ) ( ) αλλά και την ισότητα Ε ( Ρ Ρ ΑΒ ) = d ( Ρ ε ) ζητούµενη ισότητα 6 Το επίπεδο Ε Ρ Ρ ΑΒ = r r,,, από τις οποίες προκύπτει η Το επίπεδο είναι η απλούστερη από τις επιφάνειες που θα µελετήσουµε και ορίζεται αξιωµατικά στην Ευκλείδεια Γεωµετρία από τρία σηµεία µη συνευθειακά Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τον προσδιορισµό διαφόρων µορφών εξισώσεων του επιπέδου, όταν δίνονται διάφορα στοιχεία που οδηγούν στον ορισµό κατά µοναδικό τρόπο ενός επιπέδου Έτσι έχου- µε τις περιπτώσεις κατά τις οποίες για ένα επίπεδο, έστω Π, δίνονται τα στοιχεία: Ι (α) Ένα σηµείο του Ρ και δύο µη µηδενικά µη συγγραµµικά διανύσµατα b, παράλληλα προς το επίπεδο Π (β) ύο σηµεία του Ρ Ρ, διαφορετικά µεταξύ τους, και ένα διάνυσµα, παράλληλο προς το Π έτσι, ώστε ΡΡ λ, λ (γ) Τρία σηµεία του Ρ, Ρ, Ρ µη συνευθειακά

9 6 Το επίπεδο 4 ΙΙ Ένα σηµείο του Ρ και ένα διάνυσµα n Π z Ρ b Ρ Π r r y x Σχήµα 6 8 Ι (α) Σύµφωνα µε τα δεδοµένα στοιχεία, αν θεωρήσουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz, τότε έχουµε: Ρ Π, µε Ρ = r ΡΡb,, συνεπίπεδα υπάρχουν λ, µ µε ΡΡ= λ + µ b r = r + λ + µ b, λ, µ, () η οποία είναι η διανυσµατική παραµετρική εξίσωση του επιπέδου Π Επειδή τα διανύσµατα r- r,, b είναι συνεπίπεδα, έχουµε την εξίσωση που είναι η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου Π Αν υποθέσουµε ότι = x, y, z, = x, y, z, = α, α, α r-r,, b =, () Ρ Ρ και = ( β, β, β ) b, τότε από την () προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις του επιπέδου Π x = x + λα + µβ y = y + λα + µβ, λ, µ, () z = z + λα + µβ ενώ από τη () προκύπτει η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου Π x x y y z z α α α β β β = (4)

10 44 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Η περίπτωση Ι(β) ανάγεται στην Ι(α), αν θεωρήσουµε =, ενώ η περίπτωση Ι(γ) ανάγεται στην Ι(α), αν θεωρήσουµε = ΡΡ και b = ΡΡ ΙΙ Έστω ότι δίνεται το σηµείο ( x, y, z) του διάνυσµα n = ( α, β, γ) Αν Ρ ( x, yz, ) είναι το τυχόν σηµείο του επιπέδου Π µε Ρ = r, τότε Ρ Π ΡΡ n ( r r ) n = b ΡΡ Ρ του επιπέδου Π και το κάθετο η οποία είναι η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου Π Η εξίσωση (5) γράφεται και ως εξής: x Σχήµα 6 9 r n r n = αx+ βy+ γz αx + βy + γz = όπου α, β, (5) Α x+β y+γ z+ =, (6) Α= Β= Γ=γ και ( αx + βy + γz ) = Παρατήρηση Η περίπτωση Ι(α), άρα και οι Ι(β) και Ι(γ), ανάγεται στην περίπτωση (4), αν θεωρήσουµε n = b Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις, η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου είναι της µορφής (6) Γενικότερα, ισχύει και το αντίστροφο που δίνεται από το θεώρηµα που ακολουθεί Θεώρηµα 6 Κάθε εξίσωση της µορφής x y z, µε ΑΒΓ,,,, Α +Β +Γ + = είναι η καρτεσιανή εξίσωση επιπέδου µε κάθετο διάνυσµα = ( ΑΒΓ,, ) z Ρ n Ρ n y Απόδειξη Θεωρούµε το σηµειοσύνολο Π= xyz,, : Α x+β y+γ z+ =,µε ΑΒΓ,,,, { } Θα αποδείξουµε ότι η γεωµετρική αναπαράσταση του συνόλου Π είναι ένα επίπεδο κάθετο προς το διάνυσµα n = ( Α, Β, Γ) Έστω Ρ ( x, y, z) ένα σηµείο του συνόλου Π, δηλαδή ένα σηµείο που ικανοποιεί την εξίσωση Α x +Β y +Γ z + = (7) z x Ρ n Σχήµα 6 Ρ y

11 6 Το επίπεδο 45 Θεωρούµε το τυχόν σηµείο Ρ( xyz,, ) Π, οπότε θα ισχύει η ισότητα Α x+β y+γ z+ = (8) Με αφαίρεση της (7) από την (8) λαµβάνουµε Α x x +Β y y +Γ z z = n ΡΡ =, από την οποία προκύπτει ότι το διάνυσµα ΡΡ είναι κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα n = ( ΑΒΓ),, Άρα το τυχόν σηµείο του συνόλου Π βρίσκεται σε ευθεία κάθετη προς το φορέα του n στο δεδοµένο σηµείο Ρ, οπότε τα σηµεία του συνόλου Π ορίζουν το µοναδικό επίπεδο που είναι κάθετο προς το φορέα του στο σηµείο Ρ n ιερεύνηση της εξίσωσης x y z Α +Β +Γ + =, (,, ) (,,) ΑΒΓ Επειδή είναι ( ΑΒΓ,, ) (,,), ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές Α, Β και Γ είναι διάφορος του, οπότε διακρίνουµε τις περιπτώσεις: Ι Α =Β=Γ Τότε η εξίσωση γίνεται =, όπου x x x = Α, ενώ το κάθετο διάνυσµα = Α Εποµένως το επί- προς το επίπεδο Π είναι το n = ( Α,,) (,,) = Αi πεδο Π είναι κάθετο προς τον άξονα x x στο σηµείο του x,, Όµοια, η εξίσωση y = y ορίζει επίπεδο κάθετο προς στον άξονα yy στο σηµείο του (, y, ), ενώ η εξίσωση z = z ορίζει επίπεδο κάθετο προς στον άξονα zz στο σηµείο του (,, z ) Ειδικότερα, για τα επίπεδα συντεταγµένων έχουµε ότι: z = είναι η εξίσωση του επιπέδου xy, z Π y = είναι η εξίσωση του επιπέδου xz, x = είναι η εξίσωση του επιπέδου yz ΙΙ ΑΒ = Γ Είναι n = ΑΒ,, = Α+Β i j, οπότε ισχύει ότι n k = Άρα το επίπεδο Π είναι παράλληλο προς τον άξονα zz µοίως, η εξίσωση Β y+γ z+ = ορίζει επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα x k n Σχήµα 6 y

12 46 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο x x, ενώ η εξίσωση Α x+γ z+ = ορίζει επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα yy ΙΙΙ = Τότε η εξίσωση Α x+β y+γ z = αρχή (,, ) των αξόνων ορίζει επίπεδο που περνάει από την ΙV ΑΒΓ Τότε η δεδοµένη εξίσωση είναι ισοδύναµη µ ε την εξίσωση x y z + + =, (9) α β γ όπου α =, β = Α Β, γ = είναι οι Γ λεγόµενες συντεταγµένες επί την αρχή του επιπέδου Π Η εξίσωση (9) λέγεται κανονική εξίσωση τ ου επιπέδου Π και έχει το πλεονέκτηµα ότι µε αυτήν είν αι εύκολη η σχεδίαση του επιπέδου Π, αφού τα σηµεία τοµής του µε τους άξονες συντεταγµένων είναι τα Α ( α,, ), Β (, β, ) και Γ (,,γ ) Α x z Γ Σχήµα 6 Β y Παράδειγµα Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζεται από,,,,, Γ,, (α) Τα σηµεία Α Β και (β) Το σηµείο Ρ,, και είναι παράλληλο προς το επίπεδο x+ y 4z 8= (γ) Το σηµείο (,, ) Ρ και είναι παράλληλο προς τις ευθείες x y z ε : = = και ε : x + = y = z Λύση (α) ι αριθµοί, και - είναι οι συντεταγµένες επί την αρχή του επιπέδου Π, οπότε η εξίσωσή του είναι x y z + + = x+ y 6z 6= (β) Το επίπεδο x y 4z 8 n =,, 4, οπότε + = έχει κάθετο διάνυσµα το n είναι κάθετο διάνυσµα και προς το επίπεδο Π Άρα το επίπεδο Π έχει την εξίσωση r r n = xyz,,,,,, 4 = ( ) ( )

13 6 Το επίπεδο 47 ( x y z ), +,,, 4 = x+ y 4z+ = (γ) Τα παράλληλα διανύσµατα των ευθειών ε και ε είναι τα = (,, ) και = (,,), αντίστοιχα Έτσι, τα διανύσµατα και είναι παράλληλα προς το επίπεδο Π, οπότε η διανυσµατική παραµετρική εξίσωσή του είναι r = r + λ + µ, λ, µ, όπου = = ( x, y, z ) = (,,) r Ρ Η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου Π είναι x y+ z = ι σχετικές θέσεις δύο επιπέδων ( x ) ( y ) ( z ) = x 4y+ 5z = Θεωρούµε τα επίπεδα Π : Α x+β y+γ z+ = () Π : Α x+β y+γ z+ = µε κάθετα διανύσµατα n = Α, Β, Γ και ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: Α Β Γ Ι n n = = = λ, Α Β Γ () ( ) n = ( Α, Β, Γ), αντίστοιχα Αν υποθέσουµε ότι το σύστηµα αυτό έχει µία λύση όπου όταν κάποιος παρανοµαστής είναι, τότε και ο αντίστοιχος αριθµητής πρέπει να είναι Τότε τα επίπεδα Π και Π έχουν το ίδιο κάθετο διάνυσµα, οπότε είναι παράλληλα ή συµπίπτουν Αυτό εξαρτάται από το πλήθος των λύσεων του γραµµικού συστήµατος των εξισώσεων () και () x, y, z, τότε λαµβάνουµε Αx Βy Γz Α x+β y+γz λ = = = = = = Α x Β y Γ z Α x +Β y +Γ z Άρα έχουµε την ισοδυναµία των εξισώσεων () και (), αφού Α x+β y+γ z+ = λ Α x+β y+γ z+ = Α x+β y+γ z+ =,

14 48 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο δηλαδή τα επίπεδα και Π έχουν όλα τα σηµεία τους κοινά, οπότε συ- Π µπίπτουν Εποµένως η συνθήκη λ = είναι αναγκαία και ικανή για να έχουν τα δύο επίπεδα ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο Έτσι, αν υποθέσουµε ότι λ, τότε τα επίπεδα Π και Π δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο, οπότε είναι παράλληλα Με τα παραπάνω έχουµε καταλήξει στις υποπεριπτώσεις: Ι(α) Αν Α Β Γ = = = = λ, τότε τα επίπεδα Π και Π Α Β Γ συµπίπτουν Α Β Γ Ι(β) Αν = =, τότε τα επίπεδα Π, Π είναι παράλληλα Α Β Γ ΙΙ Τα διανύσµατα n και n είναι µη συγγραµµικά Α Β Γ Τότε δύο τουλάχιστον από τους λόγους,, Α Β Γ µεταξύ τους Αν είναι Α Α είναι διαφορετικοί Β, τότε το γραµµικό σύστηµα των () και () Β µε τις δύο εξισώσεις και τους τρεις αγνώστους γίνεται Γ z Β Α Γ z Α x+β y = Γz Γ z Β Α Γ z x =, y = Α x+β y = Γ z ΑΒ ΑΒ ΑΒ ΑΒ, οπότε λύνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις ως προς z αυτό γίνεται τελικά ισοδύναµο µε τις αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων x x y y z = =, α β όπου οι παράµετροι x, y, α, β ορίζονται κατάλληλα µετά τις πράξεις Εποµένως, αν τα διανύσµατα n και n είναι µη συγγραµµικά, τότε τα επίπεδα Π και Π τέµνονται κατά µία ευθεία γραµµή

15 6 Το επίπεδο 49 Παράδειγµα Να βρεθούν οι αναλυτικές και οι παραµετρικές εξισώσεις της τοµής των επιπέδων Π :6x+ y z+ = και Π : x y+ z 4 = Λύση ( ος τρόπος) Σύµφωνα µε την περίπτωση ΙΙ, έχουµε 6x+ y z+ = 6x+ y = z 8x = z+ x y+ z 4= x y = z+ 4 4y = z 44 8x 4y+ 44 x y+ z x y+ z = = z = = = = οι οποίες είναι οι αναλυτικές εξισώσεις ευθείας που περνάει από το σηµείο Α,, και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα (,, 4) = Η ευθεία αυτή έχει παραµετρικές εξισώσεις: x = + t, y =, t z = 4, t t ( ος τρόπος) Αρκεί να προσδιορίσουµε ένα σηµείο καθώς και το παράλληλο διάνυσµα της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων Όπως είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωµετρία, η τοµή δύο επιπέδων (αν υπάρχει) είναι κάθετη προς τα κάθετα διανύσµατα και n των δύο επιπέδων, οπότε είναι παράλληλη µε το διάνυσµα i j k n n = 6 = i j 8k n Για να βρούµε ένα σηµείο της ευθείας της τοµής δίνουµε µία αυθαίρετη τιµή σε έναν από τους αγνώστους, έστω z = z, και από τις δύο εξισώσεις των δεδοµένων επιπέδων προσδιορίζουµε τα x, y, οπότε το σηµείο ( x, y, z ) ανήκει στην ευθεία της τοµής Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε z=, τότε λαµβάνουµε 6x+ y = x = x y = 4 y =

16 5 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Άρα το Α,, είναι ένα σηµείο της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων, η οποία έχει πλέον αναλυτικές εξισώσεις x y+ z x y+ z = = = = 8 4 Παράδειγµα Να βρεθεί η ορθή προβολή του σηµείου Α(,, 6) στο επίπεδο Π: x+ y z = Λύση Αν Β είναι η ορθή προβολή του σηµείου Α πάνω στο επίπεδο Π, τότε η ευθεία ε που ορίζεται από τα Α και Β έχει παράλληλο διάνυσµα το κάθετο διάνυσµα i Α n = (,, ) του επιπέδου Π n Εποµένως η ευθεία ε έχει εξίσωση r = r Α + tn, t ( xyz,, ) = (,,6) + t(,, ), t Β Π { x t, y t, z 6 t, t } = = + = () Για τον προσδιορισµό του Β θα λύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων της ευθείας ε και του επιπέ- Σχήµα 6 δου Π Έτσι αντικαθιστώντας τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας στην εξίσωση του επιπέδου Π, λαµβάνουµε: t + + t 6 t = 4t 8= t =, οπότε από τις () προκύπτει η λύση του συστήµατος ( xyz,, ) = ( 4,,4) Εποµένως είναι Β( 4,, 4) y Παράδειγµα 4 Να βρεθεί η προβολή της ευθείας ε : x = = z πάνω στο επίπεδο Π: x y+ z = Λύση Αν Q είναι το επίπεδο που ορίζεται από τη δεδοµένη ευθεία ε και την προβολή της, έστω δ, πάνω στο επίπεδο Π, τότε θα είναι δ =Π Q Ένα κάθετο διάνυσµα u προς το επίπεδο Q είναι κάθετο προς το (,, (παράλληλο της ε ), ) Π n Q ε Σχήµα 6 4 δ ε

17 6 Το επίπεδο 5 αλλά και προς το n = (,, ), (κάθετο προς το επιπέδου Π ) Εποµένως είναι i j k u = n = = 8i j 4k, οπότε, αν r = Ρ =(,, ) είναι το διάνυσµα θέσης του δεδοµένου σηµείου της ευθείας ε, άρα και του επιπέδου Q, η εξίσωση του επιπέδου Q είναι r r u = x y z+ = 4 Εποµένως έχουµε x y z x y z x z δ : + = = + = 4x y z+ = 4x y = z y = z y + δ : x + = = z Παράδειγµα 5 (Απόσταση σηµείου από επίπεδο) Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz, επίπεδο Π µε εξίσωση Α x+β y+γ z+ = και σηµείο ώστε Ρ Π Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = d ( Ρ, Π) του σηµείου Ρ από το επίπεδο Π δίνεται από την ισότητα d x +Β y +Γ z + ( Ρ, Α Π ) = Α +Β +Γ Λύση Έστω το σηµείο ( Π ) Ρ Κ το ίχνος της κάθετης από προς το επίπεδο Π Τότε είναι Ρ µε = = ( x, y, z ) Ρ r τέτοιο, z Ρ d Ρ, x = ΡΚ Θεωρούµε τυχόν σηµείο Ρ του επιπέδου Π µε διάνυσµα θέσης Σχήµα 6 5 Ρ = r = ( x, yz, ) και το κάθετο διάνυσµα n = ( Α, Β, Γ) του επιπέδου Π Τότε έχουµε: ΡΡn = n pr ΡΡ = n ΡΚ - = ± n ( rr) n n ΡΚ ( r r ) n x y z Α +Β +Γ + d = = n Α +Β +Γ Κ Ρ Π y n rr - n= d n

18 5 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο έσµες επιπέδων ρισµός 6 Αξονική δέσµη επιπέδων είναι το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από την ίδια ευθεία ε, η οποία λέγεται άξονας της δέσµης Αν Πi : Α ix+β iy+γ iz+ i =, i =, είναι δύο επίπεδα που έχουν τοµή µία ευθεία ε, τότε αυτά ορίζουν µία αξονική δέσµη επιπέδων µε άξονα την ευθεία ε και εξίσωση λ Α x+β y+γ z+ + λ Α x+β y+γ z+ =, λ, λ ρισµός 6 Κεντρική δέσµη επιπέδων, λέγεται το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο, το οποίο λέγεται κέντρο της δέσµης Αν Π : Α x+β y+γ z+ =, i =,, i i i i i που διέρχονται από το ίδιο σηµείο κεντρική δέσµη επιπέδων µε εξίσωση i= ( x y z ) Ρ είναι τρία διαφορετικά επίπεδα ( x, y, z ) λi Α i +Β i +Γ i + i =, µε λ, λ, λ, τότε αυτά ορίζουν Μελέτη ανισοτήτων Α x+β y+γ z+ >, Α x+β y+γ z+ < Θεωρούµε επίπεδο Π µε εξίσωση: Α x+β y+γ z+ = Ρ ( x, y, z ) και Ρ ( x, y, z ) Αν είναι δύο τυχαία σηµεία του χώρου µε ΡΡ n, τότε η ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Ρ και Ρ τέµνει το επίπεδο Π σε σηµείο ( x, y, z ) Ρ για το οποίο υποθέτουµε ότι ισχύει: x ΡΡ = λρρ, λ Σχήµα 6 6 y Τότε κατά τα γνωστά από το Κεφάλαιο 4 έχουµε Ρ = ( Ρ + λρ ) + λ και το σηµείο έχει συντεταγµένες x, y, z, που δίνονται από τις ισότητες: Ρ Ρ z n Ρ Ρ

19 6 Το επίπεδο 5 x+ λx y+ λ y z+ λz x =, y = και z = + λ + λ + λ Επειδή Ρ Π, έπεται ότι x+ λx y+ λy z+ λz Α +Β +Γ + = + λ + λ + λ Α x +Β y +Γ z + + λ Α x +Β y +Γ z + = Αν υποθέσουµε ότι λ Α x +Β y +Γ z +, = αν Α x +Β y +Γ z + Ρ, Ρ Π Ρ Π, τότε από την τελευταία ισότητα προκύπτουν: Τα σηµεία βρίσκονται στον έναν από τους δύο ηµίχωρους που ορίζει το επίπεδο Π, αν, και µόνον αν, λ < ή ισοδύναµα, αν είναι οµόσηµοι οι αριθµοί Α x +Β y +Γ z +, Α x +Β y +Γ z +, Τα σηµεία Ρ Ρ βρίσκονται σε διαφορετικούς ηµίχωρους ως προς το επίπεδο Π, αν, και µόνον αν, ετερόσηµοι οι αριθµοί Α x +Β y +Γ z +, Α x +Β y +Γ z + Έτσι καταλήγουµε στο συµπέρασµα: λ > ή ισοδύναµα, αν είναι Κάθε επίπεδο Π: Α x+β y+γ z+ =, διαµερίζει τον χώρο σε τρία υποσύνολα της µορφής: + Π : = x, y, z : Α x+β y+γ z+ > (θετικός ηµίχωρος) { } {( xyz) x y z } {( xyz) x y z } Π : =,, : Α +Β +Γ + < (αρνητικός ηµίχωρος) Π= :,, : Α +Β +Γ + = (επίπεδο Π)

20 54 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν, Ρ και Q είναι τρία µη συνευθειακά σηµεία τέτοια, ώστε Ρ = p και Q =q, να περιγραφεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του χώρου µε διάνυσµα θέσης Μ =r ως προς το, στις περιπτώσεις: (i) ( ) = r p q, (ii) = ίνονται οι ευθείες ε = : r p q p = r p q p, (iii) r και ε r r b =, όπου b : (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε έχουν ένα κοινό σηµείο, αν, ( b) = (,,) = (,, ) = (,, ) ε Q και µόνον αν, r = (ii) Αν, b και r να αποδείξετε ότι r b και να βρείτε σηµεία Ρ και ε έτσι, ώστε η ευθεία Ρ Q να είναι κάθετη προς τις ευθείες ε και ε Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε : x =, y+ z = και x + y+ z+ ε : = = είναι ασύµβατες και να προσδιορίσετε τα ίχνη και το µήκος της κοινής κάθετης αυτών 4 Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών ε : r = + λi και ε : r = b+ µ ( j+ k ), λ, µ, αν είναι = (,, ) και b = (,,) 5 Θεωρούµε το σηµείο Α (,, και τις ευθείες ) x y z x y ε : = = και ε : = = z 4 (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι ασύµβατες (ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από το σηµείο και τέµνει τις ε και ε Α 6 Να βρείτε το ίχνος της κάθετης από σηµείο Α(,, ) προς την ευθεία y 4 z ε : x = =

21 Ασκήσεις 55 7 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζεται από (i) το σηµείο Α (,, ) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο: y z =, (ii) τα σηµεία Α(,, ), Β (,, ) και Γ (,, 4), (iii) το σηµείο Α(,, ) και είναι κάθετο προς τα επίπεδα: Π : x+ y+ z = και Π : x+ y+ 4 z = 8 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την τοµή των επιπέδων Π :7 x+ z 6 =, Π :7 x+ y 8 = καθώς και το σηµείο Α (,, ) 9 Τα σηµεία ΑΒ, έχουν διάνυσµα θέσης, + b, αντίστοιχα, ως προς την αρχή ίνεται ότι η ευθεία ε : r = + λu, λ, u = τέµνει το επίπεδο που περνάει από το σηµείο Β και είναι κάθετο στο n, µε n = Να αποδείξετε ότι η τιµή του λ που αντιστοιχεί στο σηµείο το- µής είναι ίση προς b cos ( b, n) cos un, Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου (i) που περιέχει τις ευθείες ε : r = + λb και ε : r = c+ µ b, λ, µ, όπου bc,, είναι δεδοµένα διανύσµατα, (ii) που περιέχει την ευθεία ε : r = λ, λ και είναι κάθετο προς το επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες ε : r = λ, ε : r = µ b, λ, µ, b Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση της τοµής των επιπέδων Π : ( r ) b = και Π :( r ) c =, µε b c Να αποδείξετε ότι η διανυσµατική εξίσωση r = r + λ + µ b, λ, µ, επιπέδου Π, µπορεί να γραφεί στη µορφή r n = α και να προσδιορίσετε τα n και α σε συνάρτηση των r και b ίνεται η ευθεία ε : r n = (i) Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία των και n ; (ii) Αν η ευθεία ε είναι η τοµή των επιπέδων Π : x+ y+ z = και Π :4x y z+ =,,

22 56 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο να βρείτε τα, n και να εξηγήσετε γιατί δεν είναι µοναδικά 4 Το επίπεδο Π έχει κάθετο διάνυσµα = (,,) σηµείο (,, ) Το επίπεδο Π έχει εξίσωση ( + j) = Α n και περνάει από το r i (i) Να βρεθεί η οξεία γωνία των επιπέδων Π και Π (ii) Αφού επαληθεύσετε ότι το σηµείο Μ (,, ) ανήκει και στα δύο επίπεδα, να βρείτε την εξίσωση της τοµής των Π και Π (iii) Να βρεθεί σηµείο Β της τοµής των Π και Π έτσι, ώστε η ευθεία της τοµής και η ευθεία ΑΒ να είναι κάθετες 5 Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε της ορθογώνιας προβολής του παραλληλογράµµου ΑΒΓ µε ΑΒ = u, Α = v πάνω σε ένα επίπεδο µε µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα n, δίνεται από την ισότητα Ε= u v n

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εμφανίζονται πολλά μεγέθη, όπως μετατοπίσεις, ταχύτητες, ροπές, δυνάμεις, τα οποία για να προσδιοριστούν πλήρως δεν αρκεί μόνο να είναι γνωστό το μέτρο τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Στην παράγραφο αυτή θα εφαρµόσουµε ιδιότητες των διανυσµάτων, για να βρούµε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή παραστάσεων µε µία, δύο και περισσότερες µεταβλητές. Κεντρική ιδέα της

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. 5.1 Η ευθεία στο επίπεδο-οι κωνικές τοµές. (α) Η ευθεία στο επίπεδο. Ο xy του επιπέδου, µία ευ- π π

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. 5.1 Η ευθεία στο επίπεδο-οι κωνικές τοµές. (α) Η ευθεία στο επίπεδο. Ο xy του επιπέδου, µία ευ- π π ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕ Πολλές από τις καµπύλες του επιπέδου είναι γνωστές από τα µαθήµατα του Λυκείου. Αυτές είναι οι ευθείες του επιπέδου µε εξίσωση ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα