ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [,]. ξ. i. Αν ισχύουν να βρείτε ξ (,) τέτοιο ώστε f f f ii. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη ευθεία της τέμνουσα της C f, ευθεία ε : + y + 4. C στο σημείο (,f) f f () + 5 Μ ξ ξ, είναι παράλληλη στην i. Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [,] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (,). Οπότε ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε: f () f ( ) f ( ξ ) f ( ξ ) f () f ( ) ( ) () Όμως + + f () 5 και f () f ( ) + 5 Επομένως η σχέση () γίνεται:

2 6 ξ + ξ ξ + ξ ξ + ξ ± 4 ( ) ± 4 ξ ξ ξ 6 ή ξ Δεκτό είναι μόνο το ξ γιατί (,). ii. Η εφαπτομένη ευθεία ( ε ) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f) f () f ( ) 6 ( ) συντελεστή διεύθυνσης λ ε f( ξ ). ( ) Μ ξ ξ έχει Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε λ ε. Άρα η εφαπτομένη ευθεία ( ε ) της C f στο σημείο (,f) ευθείας ΑΒ ( ε ), που ορίζουν τα σημεία Α(, f ( ) ) και (, f () ) Μ ξ ξ, είναι παράλληλη της Β. Μεθοδολογία Για την εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής, αλγεβρικά και γεωμετρικά ελέγχουμε, αν ισχύουν οι προϋποθέσεις και εξάγουμε τα αλγεβρικά και γεωμετρικά συμπεράσματα.

3 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση f με, f(). Να αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί, > τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [,] και να βρείτε τα σημεία ξ (, ) για τα f () f () οποία ισχύει f( ξ ). Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε < ως πολυωνυμική και σε κάθε > ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο έχουμε: limf() lim (), limf() lim + + () και f () Επομένως limf() limf() f() δηλαδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο. + Έτσι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο οπότε και στο [,]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < ως πολυωνυμική με f () και σε κάθε > ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f(). Στο έχουμε: f() f() ( )( + ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( + ) lim ()

4 f() f() lim lim lim lim ( ) + (4) Επομένως. f() f() f() f() lim lim δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη και στο + Έτσι η f είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή και στο (,) με αν < f () αν αν > Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για την f στο διάστημα [,] και συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε f () f () f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). Αν Αν ξ (,) : ξ ξ (δεκτό). ξ ξ ξ ξ (, ) : (δεκτό) ή ξ (απορρίπτεται). Μεθοδολογία Για τον έλεγχο των προϋποθέσεων του θεωρήματος μέσης τιμής σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου ιδιαιτέρως μελετούμε τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο, όπου αλλάζει μορφή ο τύπος της αν αυτό ανήκει στο διάστημα μελέτης [ α,β ]. Για τον προσδιορισμό του ξ ελέγχουμε την ύπαρξή του σε όλες τις μορφές του τύπου εντός του διαστήματος ( α,β ). 4

5 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. 4, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(), ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. 8 6, > ξ, 4 για τα οποία ισχύει το στο διάστημα [, 4 ] και στη συνέχεια να βρείτε όλα τα θεώρημα. Η f για < και > είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με: f () 4 4, f () 8 6 8, για κάθε [ ) και ( ), για κάθε (, 4] Θα εξετάσουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο. Έχουμε: f() f() 4 4 lim lim lim lim ( + ) 8 f () f () lim lim lim f() f() f() f() Εφόσον lim lim 8 + με f () 8. η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο [, 4 ], με [, 4 ]. 4, < f (), άρα και συνεχής 8, 4 Επομένως η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [, 4 ], οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, 4) τέτοιο, ώστε: Για <ξ< είναι 6 ξ δεκτή ( (, ) f (4) f () 6 f( ξ ) f ( ξ ) ξ 4 ξ 4 4 ξ ξ± 6 ) ή 6 6 ). ξ απορ. ( (, ) 5

6 Για ξ< 4 είναι f( ξ ) 8, άρα δεν υπάρχει ξ, 4) τέτοιο ώστε f( ξ ) 4. Συνεπώς υπάρχει μοναδικό ξ (, 4) τέτοιο ώστε f (4) f () f( ξ ). 4 Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει το Θ.Μ.Τ στο [ αβ, ] σε συνάρτηση διπλού τύπου, πρέπει με τον ορισμό να δείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, στο σημείο ( αβ, ) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αλλάζει τύπο. 6

7 Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, 5 ] με f (), f (5). Να δείξετε ότι: i. Υπάρχει εφαπτομένη (ε) της C f τέτοια ώστε να είναι παράλληλη στην διχοτόμο του ου τεταρτημορίου. ii. Υπάρχουν ξ, ξ (, 5) τέτοια ώστε f f ξ ξ. i. Η f είναι παραγωγίσιμη στο [, 5 ] άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα αυτό (f είναι συνεχής στο [, 5 ] και παραγωγίσιμη στο (, 5 ) ). Επομένως υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (, 5) τέτοιο, ώστε: f(5) f() ( ) f( ξ ) 5 4 Δηλαδή υπάρχει σημείο A (,f ) ξ ξ της C f τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α να είναι παράλληλη στη διχοτόμο του ου τεταρτημορίου (συντελεστής διεύθυνσης λ f( ξ ) ). ii. Θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [,] και [,5] [, 5 ] ). ( το μέσο του διαστήματος Οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. ισχύουν και για τα δύο διαστήματα. Επομένως υπάρχουν ξ (, ) και ξ (,5) τέτοια, ώστε: f() f() f() ( ) f() + f( ξ ) και f (5) f () f () f( ξ ). 5 Άρα: f () + f () f ( ξ ) f ( ξ ). 7

8 Μεθοδολογία i. Όταν δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [, ] αβ, καθώς και τα f( α), f( β ) και παραλληλία ευθειών, οδηγούμαστε στην εφαρμογή του Θ.Μ.Τ, αλγεβρική και γεωμετρική. ii. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή f( κ ) + f( λ ) τότε συνήθως εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [ αµ, ] και [ µβ, ], όπου μ το μέσο του διαστήματος [, ] αβ δηλαδή α+β µ. 8

9 Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και f γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι f( + ) f ( + 7) < f( + ) f( + 5) για κάθε. Για κάθε αρκεί να δείξουμε ότι: f ( + ) f ( + 7) < f ( + ) f ( + 5) f ( + ) f ( + ) < f ( + 7) f ( + 5) f( + ) f( + ) f ( + 7) f( + 5) < f ( + ) f ( + ) f ( + 7) f ( + 5) < ( + ) ( + ) ( + 7) ( + 5) () Για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ +, + ] και [ + 5, + 7] εφόσον: f είναι συνεχής στο [ +, + ] και στο [ 5, 7] + +, f παραγωγίσιμη στο ( +, + ) και στο ( 5, 7) Άρα υπάρχουν ξ ( +, + ) και + +. ξ + 5, + 7 τέτοια, ώστε f ( + ) f( + ) f( ξ ) ( + ) ( + ) f ( + 7) f ( + 5) και f( ξ ). ( + 7) ( + 5) Επομένως: f γν. αύξουσα () f( ) f( ) ξ < ξ ξ <ξ που ισχύει ( ξ < + < + 5 <ξ ). Μεθοδολογία Αν θέλουμε να δείξουμε μια ανισότητα και δίνεται η μονοτονία της f, ισοδύναμα τη f f μετασχηματίζουμε σε άλλη της μορφής β α, oπότε εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την f στο β α [ αβ, ] και αξιοποιούμε τα υπόλοιπα δεδομένα της άσκησης. 9

10 Παράδειγμα 4. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f (), f (), f () διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του λ. Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f λ. ii. Υπάρχει σημείο (,f ) στον. Αµ µ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Α να είναι παράλληλη i. Επειδή f (), f (), f (), διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του λ, έχουμε: f () f () f () f () λ. Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [, ] και [, ]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) και ένα τουλάχιστον (, ) ώστε: τέτοια, f () f () f λ f () f () και f λ. Επομένως: f f λ f λ f λ, δηλαδή υπάρχουν δύο,. τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f λ στο διάστημα ii. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μ τέτοιο ώστε f ( µ ). Επειδή f f λ, f συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο ( ) οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ] [,]. Επομένως υπάρχει (, ) µ τέτοιο, ώστε f ( µ )., ισχύουν Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να δείξουμε συνθήκη που περιέχει f ή f σκεπτόμαστε να εφαρμόσουμε Θ.Μ.Τ. ή Θ.Rolle για την f ή την f.

11 Παράδειγμα 5. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση έχει προφανείς ρίζες τις και. Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε με την μονοτονία ή με το θεώρημα Rolle να βρούμε αν έχει και άλλες ρίζες. Ορίζουμε συνάρτηση f( κ ) κ, κ> και θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ 6,7] και [ 8,9 ], αφού η f είναι συνεχής στα διαστήματα [ 6,7 ], [ 8,9 ] και παραγωγίσιμη στα ( 8,9 ) με f( κ ) κ (). Άρα υπάρχουν ξ ( 6,7) και ( 8,9) ξ τέτοια, ώστε: 6,7, f (7) f (6) f ( ξ ) f (7) f (6) 7 6 f(9) f(8) και f ( ξ ) f(9) f(8). 9 8 Όμως f(7) f(6) f(9) f(8) εφόσον Οπότε: () f( ξ ) f( ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ή ξ ξ ξ < ξ ξ ξ ξ ξ ξ. ξ Επομένως η εξίσωση έχει μοναδικές ρίζες τις,. Μεθοδολογία Για να λύσουμε εξίσωση της μορφής: α β γ δ, όταν α β γ δ εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ αβ, ], [ γδ, ] στη συνάρτηση f( κ ) κ, κ>, από τα οποία προκύπτει f( ξ ) f( ξ ) (), όπου ξ ( αβ, ), και ξ ( γδ, ). Από τη σχέση () βρίσκουμε τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης.

12 Παράδειγμα 6. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο +α +β f() αν + + αν >. Α. Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε για τη συνάρτηση f να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [, ]. Β. Αν α και β να προσδιορίσετε τα ξ (, ) ώστε f () f ( ) f( ξ ). 4 Α. Η f είναι συνεχής σε κάθε ως πολυωνυμική. Στο έχουμε: limf() lim( +α +β ) β (), limf() lim( + + ) () και + + f () β () Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-,] και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο. Επομένως πρέπει: limf() limf() f() απ όπου με τη βοήθεια των (), (), () προκύπτει ότι β. + Έτσι η συνάρτηση f γίνεται +α + f() + + > αν αν. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ως πολυωνυμική με f () +α για κάθε < και f + για κάθε >. Στο έχουμε: f() f() +α + ( +α) lim lim lim lim f() f() + + ( + ) lim lim lim lim ( +α ) α (4) + (5)

13 Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη στο (-,) και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως πρέπει και f() f() f() f() αρκεί lim lim f () απ όπου με τη βοήθεια + των (4), (5) προκύπτει ότι α και + + αν f() + + αν > + αν f '(). + αν >, Β. Για α και β όπως προκύπτει από το (Α) εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο [-,] και έτσι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε f () f ( ) 4 f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). ( ) 4 Έτσι αν ξ (,] είναι αν ξ (, ) είναι ξ (δεκτό). f( ξ ) ξ+ ξ (απορρίπτεται) και f( ξ ) ξ + ξ ξ (απορρίπτεται) ή Μεθοδολογία Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου με παραμέτρους, απαιτούμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο όπου αλλάζει μορφή ο τύπος της, αν αυτό ανήκει στο διάστημα μελέτης [ α,β ]. Από την προηγούμενη απαίτηση προκύπτουν σχέσεις για τις παραμέτρους τις οποίες εκμεταλλευόμαστε για τον προσδιορισμό τους.

14 Παράδειγμα 7. Για μια συνάρτηση f ισχύει στο [ α, β ] το θεώρημα Rolle. Να δείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ και f( ξ ) + f( ξ ). ξ του διαστήματος ( α, β) τέτοια ώστε Αφού για την f ισχύει στο [ α, β] το θεώρημα Rolle, η f είναι συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και f( α ) f( β ). α+β αβ το διάστημα [ ] α β, α+β Χωρίζουμε με το (, ) α, β στα διαστήματα, α, α+β, β σε καθένα από τα οποία φανερά εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής. α+β Επομένως υπάρχουν ξ α, και α+β ξ, β τέτοια ώστε: α+β α+β f f( α) f f( α) f( ξ ) α+β β α α α+β α+β f( β ) f f( β ) f f( ξ ) α+β β α β () () Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και () και έχουμε: α+β α+β f f( α ) + f( β) f β α f( α ) + f β β α 4

15 αφού f( α ) f( β ). Μεθοδολογία Για την επιλογή των διαστημάτων εφαρμογής του Θ.Μ.Τ εργαζόμαστε ως εξής. κ α, β, τότε μετασχηματίζοντας ισοδύναμα την αποδεικτέα έχουμε: Αν f( κ ) f( α) f( β ) f( κ) + κ α β κ f( κ) f( α) f( α) f( κ) + κ α β κ f( κ) f( α) f( κ) f( α) κ α β κ f( κ) f( α) κ α β κ β κ κ+α f( κ) f( α) κ α β κ+α f( κ) f( α) κ α Από την τελευταία διαπιστώνουμε ότι ένα τέτοιο σημείο δημιουργίας των διαστημάτων α+β εφαρμογής του ΘΜΤ είναι το κ. 5

16 Παράδειγμα 8. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). Για τη συνάρτηση f ισχύει επιπλέον f f + f ( ). i. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, ), τέτοια ώστε f f ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f. ξ ξ. i. Λόγω των υποθέσεων, ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα,. διαστήματα [, ] και [ ] Επομένως υπάρχουν ξ (, ) και (, ) ξ τέτοια ώστε: f() f() f ( ξ ) f() f() () f() f() f ξ f() f() και () f f f f (), Όμως, από τη δοθείσα ισότητα f f + f ( ), έχουμε δηλαδή τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα f ( ξ ) f ( ξ ). ii. Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ), συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ξ, ξ ]. Επειδή λόγω του προηγούμενου συμπεράσματος ισχύει και f ( ξ ) f ( ξ ), συμπεραίνουμε ότι για τη συνάρτηση f ισχύουν στο διάστημα [ ξ, ξ ] οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει ξ (, ξ ) τέτοιο ώστε f ( ). Όμως ( ξ, ξ) (, ) που σημαίνει ότι (, ). Άρα τελικά υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ). 6

17 Μεθοδολογία Στο ερώτημα (i), η δοθείσα ισότητα f f + f ( ) γράφεται f f f f και μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Το ερώτημα (ii) μας ζητάει να δείξουμε ότι έχει λύση η εξίσωση f, δηλαδή ότι έχει λύση η εξίσωση ( f ) θεώρημα Rolle. και αυτό μας οδηγεί στο να εξετάσουμε αν ισχύει για την f το 7

18 Παράδειγμα 9. Μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο. Επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β και γ με α<β<γ ισχύει: ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) > ( γ α) f( β ) Επειδή η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, είναι και συνεχής στο. Επομένως η f, β, γ. Αυτό είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα [ α β] και [ ] σημαίνει ότι για την f ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα,, ξ β γ τέτοια ώστε: [ α β] και [ β γ ]. Άρα υπάρχουν ξ α ( β ) και,, f( β ) f( α) f ( ξ ) β α f( γ) f( β) ξ γ β και f Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και α<ξ <β<ξ <γ, παίρνουμε: f( β ) f( α) f( γ ) f( β) f ( ξ ) < f ( ξ) < β α γ β ( γ β) ( f( β) f( α )) < ( β α) ( f( γ) f( β )) ( γ β) f( β) ( γ β) f( α ) < ( β α) f( γ) ( β α) f( β ) ( γ β+β α) f( β ) < ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) ( γ α) f( β ) < ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) > ( γ α) f( β ) Μεθοδολογία Το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού είναι χρήσιμο για την απόδειξη ανισοτήτων. Στην επιλογή του θεωρήματος αυτού στη συγκεκριμένη άσκηση μας οδηγεί η ζητούμενη ανισότητα, η οποία γράφεται ισοδύναμα στη μορφή f( β ) f( α) f( γ ) f( β) < β α γ β 8

19 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,e ]. Αν η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων και f() + f(e) () με f() f(e). Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f στο [,e ). ii. Η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,e ). iii. Αν f ( e) z 4κλ + όπου z με z κ λi, κ, λ. Υπάρχει (,e) ώστε f ( ξ ) >. ξ τέτοιο i. Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Ο (,) ισχύει f( ). Αρκεί να βρούμε άλλη μια ρίζα της f. Η σχέση () γίνεται ισοδύναμα: f() Άρα f(e) και επειδή f() f(e) f() f(e). f () f (e) f (e) <. Η f είναι συνεχής στο [, e ] ως παραγωγίσιμη και f() f(e) <, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) τέτοιο, ώστε f( ). Συνεπώς η εξίσωση f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [,e ). ii. Επειδή f( ) f( ), στο διάστημα [ ] Rolle για την f ([, ] [,e] αφού < < < e). Άρα υπάρχει ξ (, ) (,e) τέτοιο ώστε iii., ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος f ξ. f e z 4κλ + κ λi 4κλ + κ λi 4κλ + κ + 4λ 4κλ+ κ + 4λ 4κλ+ κ λ + >. Για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ ξ,e ] ([ ξ,e] [,e] ). 9

20 Άρα υπάρχει ξ ( ξ,e ) τέτοιο ώστε <ξ < < e ). f(e) f( ξ ) κ λ + ξ > e ξ e ξ f ( αφού Επειδή ( ξ,e) (,e) θα υπάρχει ξ (,e) τέτοιο ώστε f ξ >. Μεθοδολογία α) Aν ζητάμε μία τουλάχιστον ρίζα της f(), δουλεύουμε με Θ.Bolzano. β) Aν ζητάμε μία τουλάχιστον ρίζα της f ή της f δουλεύουμε με Θ.Rolle. γ) Η ύπαρξη και απόδειξη ανισότητας μας οδηγεί σε μονοτονία ή σε Θ.Μ.Τ.

21 Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει ότι: f () f να αποδείξετε Α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον Β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε f ξ. ξ ξ, τέτοιο ώστε π πσυν + ξ. ξ f Α. Η ζητούμενη σχέση γίνεται: f ξ f ξ ξ ξ ξ προφανές ότι η συνάρτηση που θα χρησιμοποιηθεί είναι η g() f με, αφού g () f. ξ> ξ απ όπου είναι Η g είναι συνεχής στο (, + ) ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων (πηλίκο συνεχών) και f( ) (ως παραγωγίσιμη στο (, + ) ). Επομένως η g είναι συνεχής και στο,. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων και f( ). Επομένως η g είναι παραγωγίσιμη και στο, με g () f (). Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε g() g f g( ξ ) f () f( ) ξ ξ f f f () ξ ξ ΥΠΟΘΕΣΗ f f ξ ξ ξ ξ

22 π π Β. Έχουμε πσυν + ξ πσυν ξ. Οπότε αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ξ ξ f με f() ηµ ( π ) έχουμε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με π f () f ηµ π ηµ π f () συν( π) και Άρα σύμφωνα με το (Α) ερώτημα υπάρχει τουλάχιστον ένα π π π ξ συν ξ πσυν + ξ ξ ξ ξ f. ξ, τέτοιο ώστε Μεθοδολογία Όταν ζητείται η ύπαρξη αριθμού ξ που ικανοποιεί σχέση στην οποία συμμετέχει η παράγωγος μιας συνάρτησης προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε τη ζητούμενη σε μορφή G () κ και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την G σε κατάλληλο διάστημα.

23 Παράδειγμα. Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ( α,β ) και συνεχής στο [ α,β ]. Α. Αν f( α ) f( β ), να δείξετε ότι υπάρχουν εφαπτομένες ( ε ) και ( ε ) της γραφικής παράστασης της f οι οποίες σχηματίζουν με τον άξονα ισοσκελές τρίγωνο. Β. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α( α,f( α )), (,f) Ββ β, Γγ (,f ( γ )) όπου γ ( α, β ), είναι ορθογώνιο στο Γ, να δείξετε ότι υπάρχουν ρ, ρ αβ (, ) με f( ρ )f( ρ ). Α. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ε με τον και θ είναι η γωνία που σχηματίζει η ε με τον τότε για να σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο πρέπει οι γωνίες της βάσης να είναι ίσες. Και επειδή οι γωνίες ω και θ είναι η μια εσωτερική και η άλλη εξωτερική ο αντίστοιχα, θα ισχύει ω + θ 8 επομένως: εϕω εϕθ εϕω + εϕθ f( ξ ) + f( ξ ) Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν ξ, ξ στο α,β τέτοια ώστε f( ξ ) + f( ξ ) (). α+β Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα α, και α+β, β αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ), συνεχής στο [ α,β ]. Επομένως θα υπάρχουν: α+β f α+β f( α ) ξ α, τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) α+β α

24 α+β f f( α ) f( ξ ) () και β α α+β f( β ) f α+β ξ, β τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) α+β β α+β f( β) f f( ξ ) () β α Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () και αφού f( α ) f( β) προκύπτει η ζητούμενη f( ξ ) + f( ξ ). Β. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν ρ, ρ στο Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [ α, γ ] και [ ] παραγωγίσιμη στο ( α,β ), συνεχής στο [ α,β ]. α,β τέτοια ώστε f( ρ)f( ρ ). γ,β αφού η f είναι Επομένως θα υπάρχουν: ρ αγ (, ) τέτοιο ώστε να ισχύει και ρ (, γβ ) τέτοιο ώστε να ισχύει f γ f f α f y ρ ρ y f( ρ ) λ Γ Α γ α Γ Α f β f f γ f y ρ ρ y f( ρ ) λ Β Γ β γ Β Γ ΑΓ ΓΒ (4) (5) όπου λ ΓΒ, λ ΑΓ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των ΓΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (4) και (5) και αφού ΓΒ ΑΓ προκύπτει f( ρ )f( ρ ) λ λ. ΓΒ ΑΓ Μεθοδολογία Για την ύπαρξη δύο αριθμών ξ, ξ σε διάστημα ώστε να ικανοποιείται σχέση με παράγωγο συνήθως εφαρμόζουμε κάποιο από τα βασικά θεωρήματα (εδώ εφαρμόσαμε το Θ.Μ.Τ ) σε δύο υποδιαστήματα του αρχικού, χωρίς κοινά στοιχεία. Αν τα δεδομένα της άσκησης υποδεικνύουν τον σχηματισμό των υποδιαστημάτων (βλέπε Β: [α,γ] και [γ,β] ) τότε εργαζόμαστε σε αυτά. Διαφορετικά αναζητούμε το σημείο γ ανάλογα με την ζητούμενη (μια καλή επιλογή είναι το α+β κα + λβ μέσο ή ο σταθμικός μέσος ). κ+λ 4

25 Παράδειγμα 4. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f. Α. Αν f (9) f () να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ, ξ (,9) τέτοιοι ώστε f ξ + f ξ + 4f ξ. + να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ρ, ρ, ρ (,9) f ρ + f ρ + 4f ρ. Β. Αν 4f ( 9) f f ( ) f ( 7) τέτοιοι ώστε Α. Το μήκος του διαστήματος [,9] είναι κ 9 8. Χωρίζουμε το διάστημα [,9] σε τρία υποδιαστήματα των οποίων τα μήκη να είναι ανάλογα των συντελεστών,, 4 της ζητούμενης (μερισμός σε μέρη ανάλογα, Α Γυμνασίου). Είναι: C C , 4 4 C , Δηλαδή Δ [,+ 4] [, 5], Δ [ 5,5 + 6 ] [ 5,], Δ [, 8] [,9] +. Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [,5], [5,] και [,9] αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο (,9), συνεχής στο [,9]. Επομένως θα υπάρχουν: ξ, 5 τέτοιο ώστε να ισχύει f 5 f f 5 f f( ξ ) f( ξ ) 5 () και ξ 5, τέτοιο ώστε να ισχύει f f 5 f f 5 f( ξ ) f( ξ ) 5 () ξ,9 τέτοιο ώστε να ισχύει f 9 f f 9 f f( ξ ) 4f( ξ ) 9 () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () και () και αφού f f( 9) προκύπτει η ζητούμενη f ( ξ ) + f ( ξ ) + 4f ( ξ ). Β. Τα δεδομένα υποδεικνύουν διαμέριση του διαστήματος [,9] στα υποδιαστήματα [,7], [7,], [,9]. Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [,7], [7,] και [,9] αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο (,9), συνεχής στο [,9]. Επομένως θα υπάρχουν: ρ, 7 τέτοιο ώστε να ισχύει f 7 f f 7 f f( ρ ) f( ρ ) 7 6 (4) και 5

26 ρ 7, τέτοιο ώστε να ισχύει f f 7 f f 7 f( ρ ) f( ρ ) 7 6 (5) ρ,9 τέτοιο ώστε να ισχύει f 9 f 4f 9 4f f( ρ ) 4f( ρ ) 9 6 (6) Με πρόσθεση κατά μέλη των (4), (5) και (6) και αφού 4f ( 9) f f ( ) + f ( 7) προκύπτει η ζητούμενη f ( ρ ) + f ( ρ ) + 4f ( ρ ). Μεθοδολογία Η συνθήκη κf ξ + λf ξ + μf ξ συχνά αντιμετωπίζεται με διαμέριση του διαστήματος εργασίας σε διαδοχικά διαστήματα πλάτους αναλόγου των συντελεστών κ, λ, μ και εφαρμογή σε αυτά κάποιου από τα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού (στο συγκεκριμένο παράδειγμα Θ.Μ.Τ.). 6

27 Παράδειγμα 5. Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη, παραγωγίσιμη και θετική σ ένα διάστημα Δ. Αν η f () συνάρτηση h() (*) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ να αποδείξετε ότι για κάθε α,β Δ f() f ( β) l n (f ( β)) l n (f ( α)) f ( α) με α< β ισχύει < < f( β) β α f( α ). Β. Αποδείξτε ότι εϕα < ln( συνα) ln( συνβ) π < εϕβ, <α<β<. β α Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() ln(f()) η οποία είναι καλώς ορισμένη στο Δ, αφού η f() είναι θετική στο Δ. Επιπλέον: g συνεχής στο [ α,β ] ως σύνθεση των συνεχών ln και f(). g παραγωγίσιμη στο ( α,β) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ln και f() με f () g () για κάθε αβ (, ). f() Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) τέτοιο ώστε ( β ) ( α ) g( β ) g( α) f ( ξ) ln f ln f g( ξ ) β α f( ξ) β α () Όμως h γν.φθίνουσα (*) () f( α) f( ξ) f( β) α<ξ<β h( α ) > h( ξ ) > h( β) > > f( α) f( ξ) f( β) f ( β) l n (f ( β)) l n (f ( α)) f ( α) < < f( β) β α f( α) Β. Εφαρμογή του (Α) ερωτήματος για f() συν () η οποία είναι θετική και παραγωγίσιμη π στο,. ηµ π Επίσης είναι h() εϕ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο, όπως εύκολα συν προκύπτει με εφαρμογή του ορισμού. Επομένως η f() συν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του (Α) και συνεπώς θα ισχύει εϕβ < ln(f ( β)) ln(f ( α)) β α < εϕα 7

28 () ln(f ( β)) ln(f ( α)) ln(f ( α)) ln(f ( β)) εϕα < < εϕβ εϕα < < εϕβ β α β α εϕα < ln( συνα) ln( συνβ) β α < εϕβ. Μεθοδολογία Όταν έχουμε να αποδείξουμε ανίσωση της μορφής F( β ) F( α) Α< <Β β α για την F στο [ α,β ] και προσπαθούμε να αποδείξουμε την ισοδύναμή της Α< F( ξ ) <Β όπου το ξ είναι το σημείο του εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. α,β που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος. Συνήθως μετασχηματίζουμε την ανίσωση α< ξ< βστην Α< F( ξ ) <Β. 8

29 Παράδειγμα 6. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε είναι e e + +. Β. Να βρείτε το όριο e lim. Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) t f (t) e t e η οποία είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο με και επομένως εφαρμόζεται γι αυτή το Θ.Μ.Τ. σε οποιoδήποτε διάστημα [ ] Αν > σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την (, ) f(t) t e στο [ ] f() f() ξ e e ξ e ξ τέτοιο ώστε f( ξ ) e e α,β. Έτσι:, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον Όμως e γν.αύξουσα () e > ξ <ξ< e < e < e < < e < e < e + < e < e +. Αν < σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την ξ (,) τέτοιο ώστε f(t) (). t e στο [,] θα υπάρχει ένα τουλάχιστον f() f() ξ e e ξ e f( ξ ) e e Όμως e γν.αύξουσα () e < ξ <ξ< e < e < e e < < < e < e + < e < e +. Αν η ζητούμενη ισχύει προφανώς ως ισότητα. (). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν έχουμε e e + + για κάθε. Β. Από το ερώτημα (Α) έχουμε: Αν < είναι e e < < και lime e, lim οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι e lim. Αν > είναι e < < και e lime e +, lim οπότε από κριτήριο + 9

30 παρεμβολής θα είναι e lim + Άρα e lim. Μεθοδολογία Αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f, σε διάστημα με μεταβλητά άκρα τύπου [g(),h()] προκύπτει ανισότητα η οποία συνδυάζεται με το κριτήριο της παρεμβολής για τον υπολογισμό ορίου.

31 Παράδειγμα 7. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [, ] και ισχύει f( ) και f. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f. ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, ), τέτοια ώστε f ξ f ξ. i. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f έχει λύση στο διάστημα (, ). Ορίζουμε τη συνάρτηση g f + / [, ]. Για τη συνάρτηση g, ισχύουν στο κλειστό διάστημα [, ] οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, αφού είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων f και h() + g ( ) g() ( ) <. Άρα υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: g f( ) + f( ) Παρακάτω δίνεται μια γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος.

32 ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] [, ] (, ) (, ) λογισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε και παραγωγίσιμη στο. Επομένως ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού f f() f ξ () Ομοίως υπάρχει ξ (,), τέτοιο ώστε f() f( ) + f ( ξ ) () Με πολλαπλασιασμό των () και () κατά μέλη έχουμε: f ( ξ) f ( ξ ) Μεθοδολογία Το γεγονός ότι στην άσκηση δίνεται το πρώτο ερώτημα, μας διευκολύνει στη λύση της. Πώς όμως θα μπορούσαμε από μόνοι μας να οδηγηθούμε στην αναζήτηση του σημείου (, ), προκειμένου να απαντήσουμε στο (ii) ερώτημα της άσκησης; Θα αναζητούσαμε σημείο κ (, ), τέτοιο ώστε: f( κ) f() f() f( κ) κ κ f( κ) f( κ) κ κ f( κ) ( f( κ )) κ( κ) ( f( κ) κ)( κ f( κ )) Από την τελευταία ισότητα διαπιστώνουμε ότι ένα σημείο που μπορεί να μας οδηγήσει σε λύση, f κ κ. είναι το σημείο κ με την ιδιότητα

33 Παράδειγμα 8. Για μια συνάρτηση f υποθέτουμε ότι: Είναι συνεχής στο διάστημα [, + ). Είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + ). f (). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). i. Αν f() g(), δείξτε ότι g () > για κάθε (, ) +. ii. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση ϕ σε ένα διάστημα για την οποία ισχύει ότι ϕ () > για κάθε, είναι γνησίως αύξουσα στο, δείξτε ότι: α >α α >α για α>. f f f() i. Για κάθε >, είναι: f() f () f() () f () f() g () f () f() f() f () Όμως ισχύει για την f στο διάστημα [, ] το θεώρημα της μέσης τιμής, οπότε f() f() f() f( ξ), για κάποιο ξ (, ). f(). Επειδή όμως η f είναι γνησίως αύξουσα f( ξ ) < f() f() f( ξ ) > f() f( ξ ) >, Επομένως g () f () ( f () f ( ξ) ) στο (, + ) και <ξ<, έχουμε ( )

34 δηλαδή g () ( f () f ( ξ )) > στο, +. γνησίως αύξουσα στο, +, που σημαίνει ότι η συνάρτηση g είναι ii. Επειδή α> και g () > στο (, + ), η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), οπότε: α >α> g( α ) > g( α ) > g() f( α ) f( α) f() α > > α > α α > α α f f f() Σημείωση: Η απόδειξη της πρότασης του (ii) ερωτήματος παρουσιάζεται στην Ενότητα 8. Μεθοδολογία Ύστερα από τον υπολογισμό της g (), πρέπει να αξιοποιήσουμε τις δυο άλλες υποθέσεις της άσκησης, ότι δηλαδή: f () και Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). f() Αυτό γίνεται με το να γράψουμε την g () στη μορφή g () f () και στη συνέχεια να παρατηρήσουμε ότι f() f() f() f( ξ) Φυσιολογικά κατόπιν χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της f., για κάποιο ξ (, ). Γενικότερα και σε ανάλογες περιπτώσεις, κάνουμε χρήση του θεωρήματος της μέσης τιμής για μια συνάρτηση f σε κατάλληλο διάστημα [ α, β ], της μονοτονίας της f και αξιοποιούμε το γεγονός ότι για το σημείο ξ που επαληθεύει το θεώρημα ισχύει α<ξ<β. 4

35 Παράδειγμα 9. λ λ λ λ Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ισχύει Έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση με άγνωστο το λ. Παρατηρούμε ότι οι όροι της εξίσωσης είναι οι τιμές της συνάρτησης f() λ, >, για 99,, και αντιστοίχως. Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα: λ λ λ λ λ λ λ λ Η συνάρτηση f() λ, > είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) οπότε εφαρμόζεται για αυτήν το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού στα διαστήματα [ 99, ] και [, ]. Επομένως υπάρχουν ξ και ξ, τέτοια ώστε: 99,, f () f (99) λ f ( ξ ) f () f (99) λ () f () f () λ f ξ f () f () και λ () f () λ. λ λ Όμως λ λ Επομένως ( ξ ) λ ξ και f Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: f ξ λ ξ. λ ξ λ ξ λ ξ ξ λ ή λ λ λ λ ξ ξ λ λ Έχουμε: ξ ξ ξ ξ λ λ λ λ ξ ξ λ λ λ ξ ξ λ λ Άρα οι ζητούμενες τιμές του είναι λ και λ. 5

36 Μεθοδολογία Ο μετασχηματισμός της εξίσωσης στη μορφή λ λ λ λ είναι που μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για τη συνάρτηση f() λ,., στα διαστήματα [ 99, ] και [ ] 6

37 Παράδειγμα. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] με f( ) και, στο διάστημα [, ], τέτοιοι ώστε: αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί + f f f. Να Έστω κ ένας αριθμός του διαστήματος (, ) για τον οποίο ισχύει f κ. Η ύπαρξη του αριθμού αυτού εξασφαλίζεται από το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [, κ ], και [ κ,] τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχουν (, κ ) και ( κ,) f( κ) f() f κ κ κ f() f( κ) f ( ) κ κ κ, τέτοια ώστε το θεώρημα μέσης Άρα + κ+ ( κ ). f f Μεθοδολογία Ποιά ήταν η ιδέα που μας οδήγησε στο να διαιρέσουμε το διάστημα του συνόλου τιμών της συνάρτησης σε δυο υποδιαστήματα ίσου μήκους; Αναζητούμε ένα σημείο κ στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, δηλαδή κ, τέτοιο ώστε + f( κ) f() f() f( κ) κ κ κ κ + f( κ) f( κ) 7

38 Εκτελούμε τις πράξεις στην τελευταία παράσταση, και με παραγοντοποίηση βρίσκουμε f f, [ κ κ ] [ κ ]. Αυτό σημαίνει ότι αν μπορούμε να επιλέξουμε ένα κ στο τέτοιο ώστε f ( κ ), το πρόβλημα έχει λυθεί. Μια τέτοια επιλογή του κ μπορεί να γίνει σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/ 8

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 Βασικά σημεία προσοχής για την τελευταία επανάληψη στην ύλη των Μαθηματικών Γ Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Χρήσιμο βοήθημα για όλους

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι, αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση ¾½ Ø Å Ñ Ø Ò È Ø Ì Ü Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ ¾¼ Å ÓÙ ¾¼¼ 1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) 0, 8 και P (B) 0, 4 να αποδείξετε ότι: (αʹ) 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Τα A και B δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα