ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [,]. ξ. i. Αν ισχύουν να βρείτε ξ (,) τέτοιο ώστε f f f ii. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη ευθεία της τέμνουσα της C f, ευθεία ε : + y + 4. C στο σημείο (,f) f f () + 5 Μ ξ ξ, είναι παράλληλη στην i. Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [,] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (,). Οπότε ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (,) τέτοιο, ώστε: f () f ( ) f ( ξ ) f ( ξ ) f () f ( ) ( ) () Όμως + + f () 5 και f () f ( ) + 5 Επομένως η σχέση () γίνεται:

2 6 ξ + ξ ξ + ξ ξ + ξ ± 4 ( ) ± 4 ξ ξ ξ 6 ή ξ Δεκτό είναι μόνο το ξ γιατί (,). ii. Η εφαπτομένη ευθεία ( ε ) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f) f () f ( ) 6 ( ) συντελεστή διεύθυνσης λ ε f( ξ ). ( ) Μ ξ ξ έχει Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε λ ε. Άρα η εφαπτομένη ευθεία ( ε ) της C f στο σημείο (,f) ευθείας ΑΒ ( ε ), που ορίζουν τα σημεία Α(, f ( ) ) και (, f () ) Μ ξ ξ, είναι παράλληλη της Β. Μεθοδολογία Για την εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής, αλγεβρικά και γεωμετρικά ελέγχουμε, αν ισχύουν οι προϋποθέσεις και εξάγουμε τα αλγεβρικά και γεωμετρικά συμπεράσματα.

3 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση f με, f(). Να αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί, > τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [,] και να βρείτε τα σημεία ξ (, ) για τα f () f () οποία ισχύει f( ξ ). Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε < ως πολυωνυμική και σε κάθε > ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο έχουμε: limf() lim (), limf() lim + + () και f () Επομένως limf() limf() f() δηλαδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο. + Έτσι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο οπότε και στο [,]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < ως πολυωνυμική με f () και σε κάθε > ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f(). Στο έχουμε: f() f() ( )( + ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( + ) lim ()

4 f() f() lim lim lim lim ( ) + (4) Επομένως. f() f() f() f() lim lim δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη και στο + Έτσι η f είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή και στο (,) με αν < f () αν αν > Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για την f στο διάστημα [,] και συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε f () f () f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). Αν Αν ξ (,) : ξ ξ (δεκτό). ξ ξ ξ ξ (, ) : (δεκτό) ή ξ (απορρίπτεται). Μεθοδολογία Για τον έλεγχο των προϋποθέσεων του θεωρήματος μέσης τιμής σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου ιδιαιτέρως μελετούμε τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο, όπου αλλάζει μορφή ο τύπος της αν αυτό ανήκει στο διάστημα μελέτης [ α,β ]. Για τον προσδιορισμό του ξ ελέγχουμε την ύπαρξή του σε όλες τις μορφές του τύπου εντός του διαστήματος ( α,β ). 4

5 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. 4, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(), ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. 8 6, > ξ, 4 για τα οποία ισχύει το στο διάστημα [, 4 ] και στη συνέχεια να βρείτε όλα τα θεώρημα. Η f για < και > είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με: f () 4 4, f () 8 6 8, για κάθε [ ) και ( ), για κάθε (, 4] Θα εξετάσουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο. Έχουμε: f() f() 4 4 lim lim lim lim ( + ) 8 f () f () lim lim lim f() f() f() f() Εφόσον lim lim 8 + με f () 8. η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο [, 4 ], με [, 4 ]. 4, < f (), άρα και συνεχής 8, 4 Επομένως η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [, 4 ], οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, 4) τέτοιο, ώστε: Για <ξ< είναι 6 ξ δεκτή ( (, ) f (4) f () 6 f( ξ ) f ( ξ ) ξ 4 ξ 4 4 ξ ξ± 6 ) ή 6 6 ). ξ απορ. ( (, ) 5

6 Για ξ< 4 είναι f( ξ ) 8, άρα δεν υπάρχει ξ, 4) τέτοιο ώστε f( ξ ) 4. Συνεπώς υπάρχει μοναδικό ξ (, 4) τέτοιο ώστε f (4) f () f( ξ ). 4 Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει το Θ.Μ.Τ στο [ αβ, ] σε συνάρτηση διπλού τύπου, πρέπει με τον ορισμό να δείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, στο σημείο ( αβ, ) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αλλάζει τύπο. 6

7 Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, 5 ] με f (), f (5). Να δείξετε ότι: i. Υπάρχει εφαπτομένη (ε) της C f τέτοια ώστε να είναι παράλληλη στην διχοτόμο του ου τεταρτημορίου. ii. Υπάρχουν ξ, ξ (, 5) τέτοια ώστε f f ξ ξ. i. Η f είναι παραγωγίσιμη στο [, 5 ] άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα αυτό (f είναι συνεχής στο [, 5 ] και παραγωγίσιμη στο (, 5 ) ). Επομένως υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (, 5) τέτοιο, ώστε: f(5) f() ( ) f( ξ ) 5 4 Δηλαδή υπάρχει σημείο A (,f ) ξ ξ της C f τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α να είναι παράλληλη στη διχοτόμο του ου τεταρτημορίου (συντελεστής διεύθυνσης λ f( ξ ) ). ii. Θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [,] και [,5] [, 5 ] ). ( το μέσο του διαστήματος Οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. ισχύουν και για τα δύο διαστήματα. Επομένως υπάρχουν ξ (, ) και ξ (,5) τέτοια, ώστε: f() f() f() ( ) f() + f( ξ ) και f (5) f () f () f( ξ ). 5 Άρα: f () + f () f ( ξ ) f ( ξ ). 7

8 Μεθοδολογία i. Όταν δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [, ] αβ, καθώς και τα f( α), f( β ) και παραλληλία ευθειών, οδηγούμαστε στην εφαρμογή του Θ.Μ.Τ, αλγεβρική και γεωμετρική. ii. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή f( κ ) + f( λ ) τότε συνήθως εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [ αµ, ] και [ µβ, ], όπου μ το μέσο του διαστήματος [, ] αβ δηλαδή α+β µ. 8

9 Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και f γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι f( + ) f ( + 7) < f( + ) f( + 5) για κάθε. Για κάθε αρκεί να δείξουμε ότι: f ( + ) f ( + 7) < f ( + ) f ( + 5) f ( + ) f ( + ) < f ( + 7) f ( + 5) f( + ) f( + ) f ( + 7) f( + 5) < f ( + ) f ( + ) f ( + 7) f ( + 5) < ( + ) ( + ) ( + 7) ( + 5) () Για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ +, + ] και [ + 5, + 7] εφόσον: f είναι συνεχής στο [ +, + ] και στο [ 5, 7] + +, f παραγωγίσιμη στο ( +, + ) και στο ( 5, 7) Άρα υπάρχουν ξ ( +, + ) και + +. ξ + 5, + 7 τέτοια, ώστε f ( + ) f( + ) f( ξ ) ( + ) ( + ) f ( + 7) f ( + 5) και f( ξ ). ( + 7) ( + 5) Επομένως: f γν. αύξουσα () f( ) f( ) ξ < ξ ξ <ξ που ισχύει ( ξ < + < + 5 <ξ ). Μεθοδολογία Αν θέλουμε να δείξουμε μια ανισότητα και δίνεται η μονοτονία της f, ισοδύναμα τη f f μετασχηματίζουμε σε άλλη της μορφής β α, oπότε εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την f στο β α [ αβ, ] και αξιοποιούμε τα υπόλοιπα δεδομένα της άσκησης. 9

10 Παράδειγμα 4. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f (), f (), f () διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του λ. Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f λ. ii. Υπάρχει σημείο (,f ) στον. Αµ µ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Α να είναι παράλληλη i. Επειδή f (), f (), f (), διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια του λ, έχουμε: f () f () f () f () λ. Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [, ] και [, ]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) και ένα τουλάχιστον (, ) ώστε: τέτοια, f () f () f λ f () f () και f λ. Επομένως: f f λ f λ f λ, δηλαδή υπάρχουν δύο,. τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f λ στο διάστημα ii. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μ τέτοιο ώστε f ( µ ). Επειδή f f λ, f συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο ( ) οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ] [,]. Επομένως υπάρχει (, ) µ τέτοιο, ώστε f ( µ )., ισχύουν Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να δείξουμε συνθήκη που περιέχει f ή f σκεπτόμαστε να εφαρμόσουμε Θ.Μ.Τ. ή Θ.Rolle για την f ή την f.

11 Παράδειγμα 5. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση έχει προφανείς ρίζες τις και. Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε με την μονοτονία ή με το θεώρημα Rolle να βρούμε αν έχει και άλλες ρίζες. Ορίζουμε συνάρτηση f( κ ) κ, κ> και θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ 6,7] και [ 8,9 ], αφού η f είναι συνεχής στα διαστήματα [ 6,7 ], [ 8,9 ] και παραγωγίσιμη στα ( 8,9 ) με f( κ ) κ (). Άρα υπάρχουν ξ ( 6,7) και ( 8,9) ξ τέτοια, ώστε: 6,7, f (7) f (6) f ( ξ ) f (7) f (6) 7 6 f(9) f(8) και f ( ξ ) f(9) f(8). 9 8 Όμως f(7) f(6) f(9) f(8) εφόσον Οπότε: () f( ξ ) f( ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ή ξ ξ ξ < ξ ξ ξ ξ ξ ξ. ξ Επομένως η εξίσωση έχει μοναδικές ρίζες τις,. Μεθοδολογία Για να λύσουμε εξίσωση της μορφής: α β γ δ, όταν α β γ δ εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ αβ, ], [ γδ, ] στη συνάρτηση f( κ ) κ, κ>, από τα οποία προκύπτει f( ξ ) f( ξ ) (), όπου ξ ( αβ, ), και ξ ( γδ, ). Από τη σχέση () βρίσκουμε τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης.

12 Παράδειγμα 6. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο +α +β f() αν + + αν >. Α. Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε για τη συνάρτηση f να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [, ]. Β. Αν α και β να προσδιορίσετε τα ξ (, ) ώστε f () f ( ) f( ξ ). 4 Α. Η f είναι συνεχής σε κάθε ως πολυωνυμική. Στο έχουμε: limf() lim( +α +β ) β (), limf() lim( + + ) () και + + f () β () Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-,] και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο. Επομένως πρέπει: limf() limf() f() απ όπου με τη βοήθεια των (), (), () προκύπτει ότι β. + Έτσι η συνάρτηση f γίνεται +α + f() + + > αν αν. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ως πολυωνυμική με f () +α για κάθε < και f + για κάθε >. Στο έχουμε: f() f() +α + ( +α) lim lim lim lim f() f() + + ( + ) lim lim lim lim ( +α ) α (4) + (5)

13 Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη στο (-,) και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως πρέπει και f() f() f() f() αρκεί lim lim f () απ όπου με τη βοήθεια + των (4), (5) προκύπτει ότι α και + + αν f() + + αν > + αν f '(). + αν >, Β. Για α και β όπως προκύπτει από το (Α) εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο [-,] και έτσι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε f () f ( ) 4 f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). ( ) 4 Έτσι αν ξ (,] είναι αν ξ (, ) είναι ξ (δεκτό). f( ξ ) ξ+ ξ (απορρίπτεται) και f( ξ ) ξ + ξ ξ (απορρίπτεται) ή Μεθοδολογία Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου με παραμέτρους, απαιτούμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο όπου αλλάζει μορφή ο τύπος της, αν αυτό ανήκει στο διάστημα μελέτης [ α,β ]. Από την προηγούμενη απαίτηση προκύπτουν σχέσεις για τις παραμέτρους τις οποίες εκμεταλλευόμαστε για τον προσδιορισμό τους.

14 Παράδειγμα 7. Για μια συνάρτηση f ισχύει στο [ α, β ] το θεώρημα Rolle. Να δείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ και f( ξ ) + f( ξ ). ξ του διαστήματος ( α, β) τέτοια ώστε Αφού για την f ισχύει στο [ α, β] το θεώρημα Rolle, η f είναι συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και f( α ) f( β ). α+β αβ το διάστημα [ ] α β, α+β Χωρίζουμε με το (, ) α, β στα διαστήματα, α, α+β, β σε καθένα από τα οποία φανερά εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής. α+β Επομένως υπάρχουν ξ α, και α+β ξ, β τέτοια ώστε: α+β α+β f f( α) f f( α) f( ξ ) α+β β α α α+β α+β f( β ) f f( β ) f f( ξ ) α+β β α β () () Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και () και έχουμε: α+β α+β f f( α ) + f( β) f β α f( α ) + f β β α 4

15 αφού f( α ) f( β ). Μεθοδολογία Για την επιλογή των διαστημάτων εφαρμογής του Θ.Μ.Τ εργαζόμαστε ως εξής. κ α, β, τότε μετασχηματίζοντας ισοδύναμα την αποδεικτέα έχουμε: Αν f( κ ) f( α) f( β ) f( κ) + κ α β κ f( κ) f( α) f( α) f( κ) + κ α β κ f( κ) f( α) f( κ) f( α) κ α β κ f( κ) f( α) κ α β κ β κ κ+α f( κ) f( α) κ α β κ+α f( κ) f( α) κ α Από την τελευταία διαπιστώνουμε ότι ένα τέτοιο σημείο δημιουργίας των διαστημάτων α+β εφαρμογής του ΘΜΤ είναι το κ. 5

16 Παράδειγμα 8. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). Για τη συνάρτηση f ισχύει επιπλέον f f + f ( ). i. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, ), τέτοια ώστε f f ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f. ξ ξ. i. Λόγω των υποθέσεων, ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα,. διαστήματα [, ] και [ ] Επομένως υπάρχουν ξ (, ) και (, ) ξ τέτοια ώστε: f() f() f ( ξ ) f() f() () f() f() f ξ f() f() και () f f f f (), Όμως, από τη δοθείσα ισότητα f f + f ( ), έχουμε δηλαδή τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα f ( ξ ) f ( ξ ). ii. Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ), συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ξ, ξ ]. Επειδή λόγω του προηγούμενου συμπεράσματος ισχύει και f ( ξ ) f ( ξ ), συμπεραίνουμε ότι για τη συνάρτηση f ισχύουν στο διάστημα [ ξ, ξ ] οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει ξ (, ξ ) τέτοιο ώστε f ( ). Όμως ( ξ, ξ) (, ) που σημαίνει ότι (, ). Άρα τελικά υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ). 6

17 Μεθοδολογία Στο ερώτημα (i), η δοθείσα ισότητα f f + f ( ) γράφεται f f f f και μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Το ερώτημα (ii) μας ζητάει να δείξουμε ότι έχει λύση η εξίσωση f, δηλαδή ότι έχει λύση η εξίσωση ( f ) θεώρημα Rolle. και αυτό μας οδηγεί στο να εξετάσουμε αν ισχύει για την f το 7

18 Παράδειγμα 9. Μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο. Επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β και γ με α<β<γ ισχύει: ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) > ( γ α) f( β ) Επειδή η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, είναι και συνεχής στο. Επομένως η f, β, γ. Αυτό είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα [ α β] και [ ] σημαίνει ότι για την f ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα,, ξ β γ τέτοια ώστε: [ α β] και [ β γ ]. Άρα υπάρχουν ξ α ( β ) και,, f( β ) f( α) f ( ξ ) β α f( γ) f( β) ξ γ β και f Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και α<ξ <β<ξ <γ, παίρνουμε: f( β ) f( α) f( γ ) f( β) f ( ξ ) < f ( ξ) < β α γ β ( γ β) ( f( β) f( α )) < ( β α) ( f( γ) f( β )) ( γ β) f( β) ( γ β) f( α ) < ( β α) f( γ) ( β α) f( β ) ( γ β+β α) f( β ) < ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) ( γ α) f( β ) < ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) ( γ β) f( α ) + ( β α) f( γ ) > ( γ α) f( β ) Μεθοδολογία Το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού είναι χρήσιμο για την απόδειξη ανισοτήτων. Στην επιλογή του θεωρήματος αυτού στη συγκεκριμένη άσκηση μας οδηγεί η ζητούμενη ανισότητα, η οποία γράφεται ισοδύναμα στη μορφή f( β ) f( α) f( γ ) f( β) < β α γ β 8

19 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,e ]. Αν η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων και f() + f(e) () με f() f(e). Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης f στο [,e ). ii. Η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,e ). iii. Αν f ( e) z 4κλ + όπου z με z κ λi, κ, λ. Υπάρχει (,e) ώστε f ( ξ ) >. ξ τέτοιο i. Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Ο (,) ισχύει f( ). Αρκεί να βρούμε άλλη μια ρίζα της f. Η σχέση () γίνεται ισοδύναμα: f() Άρα f(e) και επειδή f() f(e) f() f(e). f () f (e) f (e) <. Η f είναι συνεχής στο [, e ] ως παραγωγίσιμη και f() f(e) <, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) τέτοιο, ώστε f( ). Συνεπώς η εξίσωση f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [,e ). ii. Επειδή f( ) f( ), στο διάστημα [ ] Rolle για την f ([, ] [,e] αφού < < < e). Άρα υπάρχει ξ (, ) (,e) τέτοιο ώστε iii., ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος f ξ. f e z 4κλ + κ λi 4κλ + κ λi 4κλ + κ + 4λ 4κλ+ κ + 4λ 4κλ+ κ λ + >. Για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ ξ,e ] ([ ξ,e] [,e] ). 9

20 Άρα υπάρχει ξ ( ξ,e ) τέτοιο ώστε <ξ < < e ). f(e) f( ξ ) κ λ + ξ > e ξ e ξ f ( αφού Επειδή ( ξ,e) (,e) θα υπάρχει ξ (,e) τέτοιο ώστε f ξ >. Μεθοδολογία α) Aν ζητάμε μία τουλάχιστον ρίζα της f(), δουλεύουμε με Θ.Bolzano. β) Aν ζητάμε μία τουλάχιστον ρίζα της f ή της f δουλεύουμε με Θ.Rolle. γ) Η ύπαρξη και απόδειξη ανισότητας μας οδηγεί σε μονοτονία ή σε Θ.Μ.Τ.

21 Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει ότι: f () f να αποδείξετε Α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον Β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε f ξ. ξ ξ, τέτοιο ώστε π πσυν + ξ. ξ f Α. Η ζητούμενη σχέση γίνεται: f ξ f ξ ξ ξ ξ προφανές ότι η συνάρτηση που θα χρησιμοποιηθεί είναι η g() f με, αφού g () f. ξ> ξ απ όπου είναι Η g είναι συνεχής στο (, + ) ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων (πηλίκο συνεχών) και f( ) (ως παραγωγίσιμη στο (, + ) ). Επομένως η g είναι συνεχής και στο,. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων και f( ). Επομένως η g είναι παραγωγίσιμη και στο, με g () f (). Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε g() g f g( ξ ) f () f( ) ξ ξ f f f () ξ ξ ΥΠΟΘΕΣΗ f f ξ ξ ξ ξ

22 π π Β. Έχουμε πσυν + ξ πσυν ξ. Οπότε αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ξ ξ f με f() ηµ ( π ) έχουμε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με π f () f ηµ π ηµ π f () συν( π) και Άρα σύμφωνα με το (Α) ερώτημα υπάρχει τουλάχιστον ένα π π π ξ συν ξ πσυν + ξ ξ ξ ξ f. ξ, τέτοιο ώστε Μεθοδολογία Όταν ζητείται η ύπαρξη αριθμού ξ που ικανοποιεί σχέση στην οποία συμμετέχει η παράγωγος μιας συνάρτησης προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε τη ζητούμενη σε μορφή G () κ και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την G σε κατάλληλο διάστημα.

23 Παράδειγμα. Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ( α,β ) και συνεχής στο [ α,β ]. Α. Αν f( α ) f( β ), να δείξετε ότι υπάρχουν εφαπτομένες ( ε ) και ( ε ) της γραφικής παράστασης της f οι οποίες σχηματίζουν με τον άξονα ισοσκελές τρίγωνο. Β. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α( α,f( α )), (,f) Ββ β, Γγ (,f ( γ )) όπου γ ( α, β ), είναι ορθογώνιο στο Γ, να δείξετε ότι υπάρχουν ρ, ρ αβ (, ) με f( ρ )f( ρ ). Α. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ε με τον και θ είναι η γωνία που σχηματίζει η ε με τον τότε για να σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο πρέπει οι γωνίες της βάσης να είναι ίσες. Και επειδή οι γωνίες ω και θ είναι η μια εσωτερική και η άλλη εξωτερική ο αντίστοιχα, θα ισχύει ω + θ 8 επομένως: εϕω εϕθ εϕω + εϕθ f( ξ ) + f( ξ ) Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν ξ, ξ στο α,β τέτοια ώστε f( ξ ) + f( ξ ) (). α+β Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα α, και α+β, β αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ), συνεχής στο [ α,β ]. Επομένως θα υπάρχουν: α+β f α+β f( α ) ξ α, τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) α+β α

24 α+β f f( α ) f( ξ ) () και β α α+β f( β ) f α+β ξ, β τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) α+β β α+β f( β) f f( ξ ) () β α Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () και αφού f( α ) f( β) προκύπτει η ζητούμενη f( ξ ) + f( ξ ). Β. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν ρ, ρ στο Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [ α, γ ] και [ ] παραγωγίσιμη στο ( α,β ), συνεχής στο [ α,β ]. α,β τέτοια ώστε f( ρ)f( ρ ). γ,β αφού η f είναι Επομένως θα υπάρχουν: ρ αγ (, ) τέτοιο ώστε να ισχύει και ρ (, γβ ) τέτοιο ώστε να ισχύει f γ f f α f y ρ ρ y f( ρ ) λ Γ Α γ α Γ Α f β f f γ f y ρ ρ y f( ρ ) λ Β Γ β γ Β Γ ΑΓ ΓΒ (4) (5) όπου λ ΓΒ, λ ΑΓ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των ΓΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (4) και (5) και αφού ΓΒ ΑΓ προκύπτει f( ρ )f( ρ ) λ λ. ΓΒ ΑΓ Μεθοδολογία Για την ύπαρξη δύο αριθμών ξ, ξ σε διάστημα ώστε να ικανοποιείται σχέση με παράγωγο συνήθως εφαρμόζουμε κάποιο από τα βασικά θεωρήματα (εδώ εφαρμόσαμε το Θ.Μ.Τ ) σε δύο υποδιαστήματα του αρχικού, χωρίς κοινά στοιχεία. Αν τα δεδομένα της άσκησης υποδεικνύουν τον σχηματισμό των υποδιαστημάτων (βλέπε Β: [α,γ] και [γ,β] ) τότε εργαζόμαστε σε αυτά. Διαφορετικά αναζητούμε το σημείο γ ανάλογα με την ζητούμενη (μια καλή επιλογή είναι το α+β κα + λβ μέσο ή ο σταθμικός μέσος ). κ+λ 4

25 Παράδειγμα 4. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f. Α. Αν f (9) f () να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ, ξ (,9) τέτοιοι ώστε f ξ + f ξ + 4f ξ. + να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ρ, ρ, ρ (,9) f ρ + f ρ + 4f ρ. Β. Αν 4f ( 9) f f ( ) f ( 7) τέτοιοι ώστε Α. Το μήκος του διαστήματος [,9] είναι κ 9 8. Χωρίζουμε το διάστημα [,9] σε τρία υποδιαστήματα των οποίων τα μήκη να είναι ανάλογα των συντελεστών,, 4 της ζητούμενης (μερισμός σε μέρη ανάλογα, Α Γυμνασίου). Είναι: C C , 4 4 C , Δηλαδή Δ [,+ 4] [, 5], Δ [ 5,5 + 6 ] [ 5,], Δ [, 8] [,9] +. Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [,5], [5,] και [,9] αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο (,9), συνεχής στο [,9]. Επομένως θα υπάρχουν: ξ, 5 τέτοιο ώστε να ισχύει f 5 f f 5 f f( ξ ) f( ξ ) 5 () και ξ 5, τέτοιο ώστε να ισχύει f f 5 f f 5 f( ξ ) f( ξ ) 5 () ξ,9 τέτοιο ώστε να ισχύει f 9 f f 9 f f( ξ ) 4f( ξ ) 9 () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () και () και αφού f f( 9) προκύπτει η ζητούμενη f ( ξ ) + f ( ξ ) + 4f ( ξ ). Β. Τα δεδομένα υποδεικνύουν διαμέριση του διαστήματος [,9] στα υποδιαστήματα [,7], [7,], [,9]. Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [,7], [7,] και [,9] αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο (,9), συνεχής στο [,9]. Επομένως θα υπάρχουν: ρ, 7 τέτοιο ώστε να ισχύει f 7 f f 7 f f( ρ ) f( ρ ) 7 6 (4) και 5

26 ρ 7, τέτοιο ώστε να ισχύει f f 7 f f 7 f( ρ ) f( ρ ) 7 6 (5) ρ,9 τέτοιο ώστε να ισχύει f 9 f 4f 9 4f f( ρ ) 4f( ρ ) 9 6 (6) Με πρόσθεση κατά μέλη των (4), (5) και (6) και αφού 4f ( 9) f f ( ) + f ( 7) προκύπτει η ζητούμενη f ( ρ ) + f ( ρ ) + 4f ( ρ ). Μεθοδολογία Η συνθήκη κf ξ + λf ξ + μf ξ συχνά αντιμετωπίζεται με διαμέριση του διαστήματος εργασίας σε διαδοχικά διαστήματα πλάτους αναλόγου των συντελεστών κ, λ, μ και εφαρμογή σε αυτά κάποιου από τα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού (στο συγκεκριμένο παράδειγμα Θ.Μ.Τ.). 6

27 Παράδειγμα 5. Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη, παραγωγίσιμη και θετική σ ένα διάστημα Δ. Αν η f () συνάρτηση h() (*) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ να αποδείξετε ότι για κάθε α,β Δ f() f ( β) l n (f ( β)) l n (f ( α)) f ( α) με α< β ισχύει < < f( β) β α f( α ). Β. Αποδείξτε ότι εϕα < ln( συνα) ln( συνβ) π < εϕβ, <α<β<. β α Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() ln(f()) η οποία είναι καλώς ορισμένη στο Δ, αφού η f() είναι θετική στο Δ. Επιπλέον: g συνεχής στο [ α,β ] ως σύνθεση των συνεχών ln και f(). g παραγωγίσιμη στο ( α,β) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ln και f() με f () g () για κάθε αβ (, ). f() Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) τέτοιο ώστε ( β ) ( α ) g( β ) g( α) f ( ξ) ln f ln f g( ξ ) β α f( ξ) β α () Όμως h γν.φθίνουσα (*) () f( α) f( ξ) f( β) α<ξ<β h( α ) > h( ξ ) > h( β) > > f( α) f( ξ) f( β) f ( β) l n (f ( β)) l n (f ( α)) f ( α) < < f( β) β α f( α) Β. Εφαρμογή του (Α) ερωτήματος για f() συν () η οποία είναι θετική και παραγωγίσιμη π στο,. ηµ π Επίσης είναι h() εϕ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο, όπως εύκολα συν προκύπτει με εφαρμογή του ορισμού. Επομένως η f() συν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του (Α) και συνεπώς θα ισχύει εϕβ < ln(f ( β)) ln(f ( α)) β α < εϕα 7

28 () ln(f ( β)) ln(f ( α)) ln(f ( α)) ln(f ( β)) εϕα < < εϕβ εϕα < < εϕβ β α β α εϕα < ln( συνα) ln( συνβ) β α < εϕβ. Μεθοδολογία Όταν έχουμε να αποδείξουμε ανίσωση της μορφής F( β ) F( α) Α< <Β β α για την F στο [ α,β ] και προσπαθούμε να αποδείξουμε την ισοδύναμή της Α< F( ξ ) <Β όπου το ξ είναι το σημείο του εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. α,β που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος. Συνήθως μετασχηματίζουμε την ανίσωση α< ξ< βστην Α< F( ξ ) <Β. 8

29 Παράδειγμα 6. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε είναι e e + +. Β. Να βρείτε το όριο e lim. Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) t f (t) e t e η οποία είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο με και επομένως εφαρμόζεται γι αυτή το Θ.Μ.Τ. σε οποιoδήποτε διάστημα [ ] Αν > σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την (, ) f(t) t e στο [ ] f() f() ξ e e ξ e ξ τέτοιο ώστε f( ξ ) e e α,β. Έτσι:, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον Όμως e γν.αύξουσα () e > ξ <ξ< e < e < e < < e < e < e + < e < e +. Αν < σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την ξ (,) τέτοιο ώστε f(t) (). t e στο [,] θα υπάρχει ένα τουλάχιστον f() f() ξ e e ξ e f( ξ ) e e Όμως e γν.αύξουσα () e < ξ <ξ< e < e < e e < < < e < e + < e < e +. Αν η ζητούμενη ισχύει προφανώς ως ισότητα. (). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν έχουμε e e + + για κάθε. Β. Από το ερώτημα (Α) έχουμε: Αν < είναι e e < < και lime e, lim οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι e lim. Αν > είναι e < < και e lime e +, lim οπότε από κριτήριο + 9

30 παρεμβολής θα είναι e lim + Άρα e lim. Μεθοδολογία Αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f, σε διάστημα με μεταβλητά άκρα τύπου [g(),h()] προκύπτει ανισότητα η οποία συνδυάζεται με το κριτήριο της παρεμβολής για τον υπολογισμό ορίου.

31 Παράδειγμα 7. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [, ] και ισχύει f( ) και f. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f. ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, ), τέτοια ώστε f ξ f ξ. i. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f έχει λύση στο διάστημα (, ). Ορίζουμε τη συνάρτηση g f + / [, ]. Για τη συνάρτηση g, ισχύουν στο κλειστό διάστημα [, ] οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, αφού είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων f και h() + g ( ) g() ( ) <. Άρα υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: g f( ) + f( ) Παρακάτω δίνεται μια γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος.

32 ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] [, ] (, ) (, ) λογισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε και παραγωγίσιμη στο. Επομένως ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού f f() f ξ () Ομοίως υπάρχει ξ (,), τέτοιο ώστε f() f( ) + f ( ξ ) () Με πολλαπλασιασμό των () και () κατά μέλη έχουμε: f ( ξ) f ( ξ ) Μεθοδολογία Το γεγονός ότι στην άσκηση δίνεται το πρώτο ερώτημα, μας διευκολύνει στη λύση της. Πώς όμως θα μπορούσαμε από μόνοι μας να οδηγηθούμε στην αναζήτηση του σημείου (, ), προκειμένου να απαντήσουμε στο (ii) ερώτημα της άσκησης; Θα αναζητούσαμε σημείο κ (, ), τέτοιο ώστε: f( κ) f() f() f( κ) κ κ f( κ) f( κ) κ κ f( κ) ( f( κ )) κ( κ) ( f( κ) κ)( κ f( κ )) Από την τελευταία ισότητα διαπιστώνουμε ότι ένα σημείο που μπορεί να μας οδηγήσει σε λύση, f κ κ. είναι το σημείο κ με την ιδιότητα

33 Παράδειγμα 8. Για μια συνάρτηση f υποθέτουμε ότι: Είναι συνεχής στο διάστημα [, + ). Είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + ). f (). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). i. Αν f() g(), δείξτε ότι g () > για κάθε (, ) +. ii. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση ϕ σε ένα διάστημα για την οποία ισχύει ότι ϕ () > για κάθε, είναι γνησίως αύξουσα στο, δείξτε ότι: α >α α >α για α>. f f f() i. Για κάθε >, είναι: f() f () f() () f () f() g () f () f() f() f () Όμως ισχύει για την f στο διάστημα [, ] το θεώρημα της μέσης τιμής, οπότε f() f() f() f( ξ), για κάποιο ξ (, ). f(). Επειδή όμως η f είναι γνησίως αύξουσα f( ξ ) < f() f() f( ξ ) > f() f( ξ ) >, Επομένως g () f () ( f () f ( ξ) ) στο (, + ) και <ξ<, έχουμε ( )

34 δηλαδή g () ( f () f ( ξ )) > στο, +. γνησίως αύξουσα στο, +, που σημαίνει ότι η συνάρτηση g είναι ii. Επειδή α> και g () > στο (, + ), η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), οπότε: α >α> g( α ) > g( α ) > g() f( α ) f( α) f() α > > α > α α > α α f f f() Σημείωση: Η απόδειξη της πρότασης του (ii) ερωτήματος παρουσιάζεται στην Ενότητα 8. Μεθοδολογία Ύστερα από τον υπολογισμό της g (), πρέπει να αξιοποιήσουμε τις δυο άλλες υποθέσεις της άσκησης, ότι δηλαδή: f () και Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). f() Αυτό γίνεται με το να γράψουμε την g () στη μορφή g () f () και στη συνέχεια να παρατηρήσουμε ότι f() f() f() f( ξ) Φυσιολογικά κατόπιν χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της f., για κάποιο ξ (, ). Γενικότερα και σε ανάλογες περιπτώσεις, κάνουμε χρήση του θεωρήματος της μέσης τιμής για μια συνάρτηση f σε κατάλληλο διάστημα [ α, β ], της μονοτονίας της f και αξιοποιούμε το γεγονός ότι για το σημείο ξ που επαληθεύει το θεώρημα ισχύει α<ξ<β. 4

35 Παράδειγμα 9. λ λ λ λ Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ισχύει Έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση με άγνωστο το λ. Παρατηρούμε ότι οι όροι της εξίσωσης είναι οι τιμές της συνάρτησης f() λ, >, για 99,, και αντιστοίχως. Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα: λ λ λ λ λ λ λ λ Η συνάρτηση f() λ, > είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) οπότε εφαρμόζεται για αυτήν το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού στα διαστήματα [ 99, ] και [, ]. Επομένως υπάρχουν ξ και ξ, τέτοια ώστε: 99,, f () f (99) λ f ( ξ ) f () f (99) λ () f () f () λ f ξ f () f () και λ () f () λ. λ λ Όμως λ λ Επομένως ( ξ ) λ ξ και f Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: f ξ λ ξ. λ ξ λ ξ λ ξ ξ λ ή λ λ λ λ ξ ξ λ λ Έχουμε: ξ ξ ξ ξ λ λ λ λ ξ ξ λ λ λ ξ ξ λ λ Άρα οι ζητούμενες τιμές του είναι λ και λ. 5

36 Μεθοδολογία Ο μετασχηματισμός της εξίσωσης στη μορφή λ λ λ λ είναι που μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για τη συνάρτηση f() λ,., στα διαστήματα [ 99, ] και [ ] 6

37 Παράδειγμα. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] με f( ) και, στο διάστημα [, ], τέτοιοι ώστε: αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί + f f f. Να Έστω κ ένας αριθμός του διαστήματος (, ) για τον οποίο ισχύει f κ. Η ύπαρξη του αριθμού αυτού εξασφαλίζεται από το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [, κ ], και [ κ,] τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχουν (, κ ) και ( κ,) f( κ) f() f κ κ κ f() f( κ) f ( ) κ κ κ, τέτοια ώστε το θεώρημα μέσης Άρα + κ+ ( κ ). f f Μεθοδολογία Ποιά ήταν η ιδέα που μας οδήγησε στο να διαιρέσουμε το διάστημα του συνόλου τιμών της συνάρτησης σε δυο υποδιαστήματα ίσου μήκους; Αναζητούμε ένα σημείο κ στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, δηλαδή κ, τέτοιο ώστε + f( κ) f() f() f( κ) κ κ κ κ + f( κ) f( κ) 7

38 Εκτελούμε τις πράξεις στην τελευταία παράσταση, και με παραγοντοποίηση βρίσκουμε f f, [ κ κ ] [ κ ]. Αυτό σημαίνει ότι αν μπορούμε να επιλέξουμε ένα κ στο τέτοιο ώστε f ( κ ), το πρόβλημα έχει λυθεί. Μια τέτοια επιλογή του κ μπορεί να γίνει σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/ 8

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 1 ΘΕΜΑ 1 Α. Σχολικό βιβλίο Σελ. 251. Β. Σχολικό βιβλίο Σελ. 213. Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ 2 Α. α. Έστω η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε θα έχουμε: η οποία είναι η ζητούμενη

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα