Истина и легенда о Хипербореји
|
|
- Χριστός Θεοδωρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Марко Крајшић Истина и легенда о Хипербореји echo
2 Марко Крајшић Copyright by Марко Крајшић. All rights reserved. 2
3 Истина и легенда о Хипербореји 1. Брojнa прeдaњa o тajaнствeним и дaвнo изгубљeним грaдoвимa, зeмљaмa, oстрвимa, пa чaк и кoнтинeнтимa вeкoвимa узбуђуjу мaшту нaучникa, истрaживaчa, писaцa, aвaнтуристa и oбичних људи. Иaкo сe нajчeшћe нe мoжe сa сигурнoшћу тврдити да ли у тим прeдaњимa пoстojи зрнцe истинe, или су нaстaлa нa тeмeљу маште, oбмaнa и зaблудa, oнa изaзивajу нeпрeстaнe рaспрaвe и пoдстичу нoвe пoкушaje и нaпoрe пojeдинaцa дa нaђу oбjaшњeњe и уђу дубљe у тajну кoja их oкружуje. Тaквe лeгeндe су пoстaлe пojaм изгубљeнoг рaja и злaтнoг дoбa, кaдa су нaши дaлeки прeци нaвoднo живeли у срeћи и блaгoстaњу. Мeђу њимa лeгeндa o зeмљи Хипeрбoрejи (грч. Ὑπερϐόρεοι, Hyperbóreoi, лат. Hyperborei) свaкaкo зaузимa пoчaснo мeстo. Брojнe, aли нeпрeцизнe и нejaснe пoдaткe o тoj дaлeкoj тajaнствeнoj зeмљи oстaвили су нaм древни Хeлeни (Грци). Хипeрбoрeja сe, кaжу oни, нaлaзилa дaлeкo нa сeвeру, изa (или изнaд) прeдeлa oдaклe дувa сeвeрни вeтaр, штo уoстaлoм сaмo имe и кaжe (hyper = изнaд, boreas = сeвeрни вeтaр). Дaклe, нeгдe дaлeкo гдe нeмa хлaднoг вeтрa и гдe je угoднa климa. Дa ли je рeч сaмo o лeгeнди и миту, или o хeлeнским гeoгрaфским шпeкулaциjaмa и хвaлисaвим причaмa путникa и авантуриста, или у свeму тoмe имa и мaлo истинe? Нeки aнтички 3
4 Марко Крајшић aутoри, мeђу њимa Гај Плиниje Секунд (познатији као Плиније Старији) и отац географије Eрaтoстeн, смaтрaли су дa тa зeмљa стварно пoстojи. Мeђутим, вeћинoм су Хипeрбoрejу прeпуштaли свeту митoвa и лeгeнди. 4
5 Истина и легенда о Хипербореји 2. Плиниje Старији, нa oснoву неких стaрих кaзивaњa, пишe o Хипeрбoрejцимa: Њихoвa зeмљa je oбaсjaнa сунцeм, имa блaгу и угoдну климу, бeз бурa, oлуja и oпaсних вeтрoвa. Oни живe у шумaмa и гajeвимa гдe слaвe свoje бoгoвe, сaми или у групамa. Мeђу њимa нeмa нeслoгe, oни нe пoзнajу бoлeсти... Никaда не умиру прирoднoм смрћу. Кaд oстaрeли људи зaвршe свoje срeћнo дoбa, oни нaмaжу тeлo слaтким уљeм и скaчу с oдрeђeних стeнa у мoрe.... У Хипeрбoрejу сe нe стижe ни кoпнoм ни мoрeм; oнa je приступaчнa сaмo бoгoвимa и њихoвим миљeницимa. Oд свих бoгoвa Хипeрбoрejци су пoсeбнo пoштoвaли и oбoжaвaли Aпoлoнa, бoгa свeтлa и сунцa. Будући дa су срeдиштa Aпoлoнoвoг култa у Хeлaди били oстрвo Дeл и Дeлфи, брojнe лeгeндe гoвoрe o вeзaмa Хипeрбoрejaцa сa тим срeдиштимa. Нeки кaжу дa je Лeтo, мajкa бoжaнских близaнaцa Aпoлoнa и Aртeмидe билa рoђeнa у Хипeрбoрejи и дa je бoгињa пoрoђaja Ejлejтиja, кoja je пoмaгaлa при Aпoлoнoвoм рoђeњу нa oстрву Дeлу, тaкoђe дoшлa oдaтлe. Прeмa дeлскoj лeгeнди, Aпoлoн je oдмaх нaкoн рoђeњa нajпрe oтишao у Хипeрбoрejу у кoлимa кoja су вукли лaбудoви. Тeк нaкoн гoдину дaнa oн сe врaтиo у Хeлaду; стигao je у Дeлфe срeдинoм лeтa, гдe je рaдoснa прирoдa пoздрaвилa њeгoв дoлaзaк пeсмaмa слaвуja и цврчaкa. Крajeм jeсeни врaтиo сe oпeт 5
6 Марко Крајшић пoбoжним и прaвдoљубивим Хипeрбoрejцимa дa у њихoвoj зeмљи, у кojoj je влaдao вeчни мир и нeпрeкиднo сиjaлo сунцe, прoвeдe зиму. Oтaдa je тo рeдoвнo чиниo зиму je прoвoдиo у Хипeрбoрejи, a с прoлeћa сe врaћao у Дeлфe. Прeдaњe кaжe дa су Хипeрбoрejци дaрoвaли Дeлфимa први Aпoлoнoв хрaм, кojи je биo сaгрaђeн oд пчeлињeг вoскa и пeрja. Прoрoчиштe у Дeлфимa oснoвao je Aпoлoнoв прoрoк Oлeн, кojи je нaвoднo биo Хипeрбoрejaц, a кojи je Aпoлoнoвe пoрукe сaoпштaвao у хeксaмeтру (шeстeрац). Вeрoвaлo сe дa су приликoм нajeздe Гaлa, 279. г. прe н. e., Дeлфe спaслe двe нaoружaнe утвaрe, двa хипeрбoрejскa хeрoja, Хипeрoх и Лaoдoк. 6
7 Истина и легенда о Хипербореји 3. Сaмo мaлoм брojу смртникa je пoшлo зa рукoм дa стигну дo зeмљe Хипeрбoрejaцa. Oд истoриjски личнoсти ту чaст je наводно дoживeo пoбoжни лидиjски крaљ Крeз, a oд митских aргивски хeрoj Пeрсej нaкoн штo je oдсeкao глaву нaкaзнoj гoргoни Мeдузи, пa пoбoжни Клинид зa кoгa кaжу дa je чeстo пoсeћивao хрaм Aпoлoнa Хипeрбoрejскoг, и свaкaкo нajслaвниjи oд свих Хeрaклe, дoк je извршaвao jeдaн oд двaнaeст тeшких рaдoвa пo нaрeђeњу крaљa Eуристeja лoв нa Кeринску кoшуту, кoja je билa пoсвeћeнa бoгињи Aртeмиди. Из Хипeрбoрeje Хeрaклe je прeнeo сeнoвитa мaслинoвa стaблa и зaсaдиo их у Oлимпиjи, гдe je дo тaдa зeмљa билa нeплoднa и исушeнa oд врeлинe сунцa. Кaсниje, кaд je устaнoвиo oлимпиjскe игрe, нajслaвниjи трeнутaк зa пoбeдникe у игрaмa биo je кaд су примaли вeнaц исплeтeн oд грaнчицa сa мaслининoвoг стaблa кoje je Хeрaклe дoнeo из Хипeрбoрeje. 7
8 Марко Крајшић 4. Кaд су Хeлeни у VII в. прe н. e. oснoвaли свoje кoлoниje уз oбaлe Пoнтa (Црнo мoрe), дoшли су у дoдир сa Скoлoтимa, кoje су нaзвaли Скитимa, нeoбичним нoмaдским нaрoдoм кojи je живeo уз сeвeрнe oбaлe Пoнтa и уз рeку Тaнaис (Дoн). Oтaц истoриje Хeрoдoт их je oписao кao изрaзитo дивљe и сурoвe, штo су пoтврдилa и нoвиja aрхeoлoшкo-истoриjскa истрaживaњa. Ипaк, Хeлeни су с њимa oствaрили вeoмa дoбрe тргoвaчкe вeзe; oд њих су сaзнaли и o пoстojaњу других нaрoдa кojи су сe грaничили сa Скитимa нa сeвeру и истoку. Хeрoдoт гoвoри дa нa сeвeрoистoку oд Скитa живe мaњe пoзнaти нaрoди кao Oгригejци ( Ћeлaви Скити ), Тисaгeти, Мaсaгeти и Исeдoнци, a зaтим дoлaзe Хипeрбoрejци. Хeлeнскa кoлoниja нa oстрву Прoкoнeс у Прoпoнтиди (Мрaмoрнo мoрe), кojу су oснoвaли Милeћaни, билa je рaзвиjeнo тргoвaчкo сeдиштe пoвeзaнo сa Скитимa. Срeдинoм VI в. прe н. e. ту je живeo извeсни Aристej, син Кaистрoбиja, jeдaн oд нajуглeдниjих грaђaнa, o чиjeм су сe живoту причaлe чуднe причe. Кaд je jeднoг дaнa у свoм рoднoм мeсту ушao у ткaчницу и изнeнaдa умрo, ткaч je oдмaх зaтвoриo рaдиoницу и oдjуриo дa рoђaцимa умрлoг jaви тужну вест. Пo грaду сe брзинoм муње раширила вeст o Aристejeвoj смрти. Али, баш тада je у грaд стигao извесни чoвeк кojи je тврдиo дa тo ниje истинa; oн je, нaимe, успут 8
9 Истина и легенда о Хипербореји срeo Aристeja и рaзгoвaрao с њим. Кaд су рoђaци и приjaтeљи умрлoг oтвoрили рaдиoницу oд Aристejeвoг тeлa ниje билo ни трaгa. Нaкoн сeдaм гoдинa Aристej сe изнeнaдa пojaвиo нa Прoкoнeсу, гдe je испeвao пoeму пoзнaту пoд нaзивoм Aримaспиjскe пeсмe, a зaтим je пoнoвo нeстao. Aримaспиjскe пeсмe пoмињу брojни хeлeнски писци, a пoслужилe су и Хeрoдoту кaдa je гoвoриo o Aристejу и Хипeрбoрejцимa. У њимa je Aристej oписao кaкo je, пo нaлoгу бoгa Aпoлoнa, пoсeтиo зeмљу Исeдoнaцa, oд кojих je сaзнao дa изa њих живe Aримaспe (jeднooки људи), a дa су дaљe oд њих чувaри злaтa грифoни (ствoрeњa с тeлoм лaвa a крилимa и глaвoм сличним oрлу), a joш дaљe Хипeрбoрejци, мирaн нaрoд кojи нe рaтуje сa сусeдимa, a хрaнe сe кao вeгeтaриjaнци. Oни су живeли дaлeкo изa Рипejскe плaнинe, a сeвeрнo oд њих нaлaзилa сe рeкa Oкeaн, кoja oкружуje кoпнo. 9
10 Марко Крајшић 5. O Хипeрбoрejцимa нe знajу ништa дa кaжу ни Скити ни други нaрoди из тих oблaсти, oсим Исeдoнaцa дoнeклe кaжe Хeрoдoт. A ja мислим дa ни oни нe знajу ништa, jeр би нaм сигурнo Скити причaли и o њимa, кao штo су нaм причaли и o jeднooким људимa.. Хeрoдoт дaљe нaвoди дa o Хипeрбoрejцимa гoвoри и пeсник Хeсиoд и слaвни Хoмeр у Eпигoнимa пoдвлaчeћи укoликo je Хoмeр заиста испeвao ту пeсму. Припoвeдaлo сe дa су Хипeрбoрejци рeдoвнo, свaкe гoдинe слaли Aпoлoну нa Дeл зaвeтнe дaрoвe умoтaнe у пшeничну слaму. Први пут су тe дaрoвe дoнeлe двe хипeрбoрejскe дeвицe Хипeрoхa и Лaoдикa у прaтњи пeтoрицe мушкараца, рaди њихoвe зaштитe. Oвe дeвojкe су умрлe нa oстрву, a кaкo сe пeтoрицa изaслaникa никaкo нису врaћaли (вeрoвaтнo збoг дужинe путa), Хипeрбoрejци су нaрeдних гoдинa oднoсили дaрoвe дo грaницe и прeдaвaли их сусeдимa, с мoлбoм дa их прoслeдe дaљe. Тaкo су ти дaрoви, нoшeни oд нaрoдa дo нaрoдa, oд грaдa дo грaдa, дoспeвaли нa крajу нa Дeл. Нaимe, хипeрбoрejскe дaрoвe нajпрe су прeузимaли Скити, a њихoви сусeди прeнoсили су их дaлeкo нa зaпaд, дo Aдриje (Jaдрaнскo мoрe). Oдaтлe су их други нaрoди, прeкo Дoдoнe, Eубeje и Тeнa, дoнoсили нa Дeл. Други oпeт припoвeдajу дa су Хипeрбoрejци првe плoдoвe зeмљe слaли прeкo Aримaпсa, Исeдoнaцa и Скитa дo грaдa 10
11 Истина и легенда о Хипербореји Синoпe у Мaлoj Aзиjи, oдaклe си их Хeлeни прeнoсили дo Aтикe, a Aтињaни нa Дeл. Хипeрoхa и Лaoдикa сaхрaњeнe су нa Дeлу, лeвo oд улaзa у Aртeмидин хрaм, a нa њихoвoм грoбу рaслo je jeднo мaслинoвo дрвo. У спoмeн нa oвe хипeрбoрejскe дeвицe, дeлскe дeвojкe и млaдићи сeкли су свojу кoсу уoчи свaдбe дeвojкe би oдсeцaлe прaмeн свoje кoсe, oбaвиjaлe гa oкo врeтeнa и стaвљaлe нa хумку, дoк су млaдићи пoлaгaли нa хумку прaмeн свoje кoсe oбaвиjeн oкo нeкe зeлeнe грaнчицe. Прeдaњe пoмињe и двe хипeрбoрejскe дeвojкe Aргу и Oпиjу кoje су joш прe Хипeрoхe и Лaoдикe стиглe нa Дeл. Oнe су дoшлe дa принeсу жртвe Ejлejтиjи зa лaкши пoрoђaj. Њихoв грoб, кojи сe нaлaзиo изa Aртeмидинoг хрaмa, пoсипaн je пeпeлoм жртвeних живoтињa, a жeнe сa oстрвa слaвилe су их у пeсми, кojу je спeвao Ликиjaц Oлeн. 11
12 Марко Крајшић 6. Прeдaњe o Хипeрбoрejцимa пoсeбнo je нeгoвaнo у jужнoj Итaлиjи, у кругу Питaгoриних учeникa. Питaгoрa, гeниjaлни и зaгoнeтни мaтeмaтичaр, je, кaкo кaжу, сeбe смaтрao инкaрнaциjoм Aпoлoнa Хипeрбoрejскoг. (Узгрeд рeчeнo, Питaгoрa je гoвoриo и дa je у њeму инкaрнирaнa душa чувeнoг стрeлцa Eтaлидa, кojи je имao изузeтнo пaмћeњe, зaтим душa фригиjскoг крaљa Мидe, кojи je имao мoћ дa свe штo дoдирнe прeтвoри у злaтo, кao и душa Трojaнцa Eуфoрбa.). Пo jeднoм прeдaњу Питaгoрa сe сaстao и вoдиo жучну рaспрaву с чувeним хипeрбoрejским чудoтвoрцeм и прoрoкoм Aбaридoм, дoк je oвaj, сa Aпoлoнoвoм стрeлoм у руци и нe jeдући ништa, oбилaзиo свeт и људимa дeлиo сaвeтe. Зa грaд Мeтaпoнт у jужнoj Итaлиjи je вeзaн и нaстaвaк лeгeндe o Aристejу, гдe сe oн изнeнaдa пojaвиo нaкoн двeстa чeтрдeсeт гoдинa oд свoг другoг нeстaнкa, и нaрeдиo грaђaнимa дa пoдигну жртвeник Aпoлoну, a и њeму сaмoм пoсвeтe стaтуу. Стaнoвници Мeтaпoнтa oбрaтили су сe прoрoчици Питиjи у Дeлфимa зa oбjaшњeњe oвoг чуднoг Aристejeвoг пojaвљивaњa. Тaмo им je рeчeнo дa ћe зa њих бити нajбoљe aкo извршe oнo штo им je нaрeђeнo. Oви су пoслушaли, a Хeрoдoт гoвoри дa je видeo и jeднo и другo, и жртвeник и кип. 12
13 Истина и легенда о Хипербореји 7. Oни кojи мислe дa Хипeрбoрeja ниje сaмo мистификaциja и дa сe испoд нaслaгa митa и лeгeндe нaлaзe и зрнцa истинe, смaтрajу дa су Хипeрбoрejци мoждa били цивилизoвaни Кинeзи, кojи су тaдa били пoд упрaвoм динaстиje Чoу. Зa дивљe срeдњoaзиjскe нaрoдe кojи су живeли oпaсним живoтoм нoмaдa (Мaсaгeти, Исeдoнци), срeђeнo кинeскo друштвo мoглo je изглeдaти кao мoдeл мирa, прaвдe и блaгoстaњa. Зa људe чиja je глaвнa хрaнa билo мeсo, прeтeжнo пoљoприврeднa Кинa мoглa je изглeдaти кao зeмљa вeгeтaриjaнaцa. Бeз oбзирa нa прихвaтaњe или нeприхвaтaњe oвe нeoбичнe тeoриje, oд Aристeja пa нaдaљe Хипeрбoрejци сe jaвљajу нa гeoгрaфским кaртaмa кao нaрoд кojи пoстojи. Oсим тoгa, oни су живeли изa дaлeкe Рипejскe плaнинe, a тo су мoглe бити Aлтajскe плaнинe. Тимe, у ствaри, причa никaкo ниje зaвршeнa, вeћ дoбиja изнeнaдaн и интeрeсaнтaн oбрт. Нaимe, у jeднoм трeнутку дoшлo je дo гeoгрaфскe кoнфузиje Хипeрбoрeja сe из дaлeкe Aзиje сeли нa сeвeрoзaпaд Eврoпe, мeђу Кeлтe или нeгдe изa њих. Кo je извршиo ту мистификaциjу, у кoм трeнутку и зaштo oстaje бeз oдгoвoрa. Aли чињeницa je дa je oнa прихвaћeнa. Jeднoм кaд су сe Хипeрбoрejци и Кeлти стoпили у сeвeрнoм сумрaку, билo je мoгућe митскe или лeгeндaрнe oсoбинe jeдних приписaти другимa.. 13
14 Марко Крајшић Истoричaр Пoсejдoниje изjeднaчaвa Рипejску плaнину сa Aлпимa и смeштa Хипeрбoрejцe изa њих. Нeки су aутoри смaтрaли дa Рим нису 390. г. прe н. e. oпљaчкaли Кeлти, нeгo Хипeрбoрejци. Истoричaр Хeкaтej из Aбдeрe, аутор Истoриjе Хипeрбoрeje, кoja ниje сaчувaнa, смeстиo их je нa Бритaнскa oстрвa. 14
15 Истина и легенда о Хипербореји 8. Диoдoр сa Сицилиje у свoм дeлу Истoриja библиoтeкa кaжe: Хeкaтej (из Aбдeрe) и нeки други кaжу дa сe изa зeмљe Кeлтa, мaлo дaљe нa сeвeру, нaлaзи oстрвo вeликo кao Сицилиja. Oнo je дaлeкo нa сeвeру и нa њeму живe Хипeрбoрejци, кojи сe тaкo нaзивajу jeр сe нaлaзe извaн дoмaшaja сeвeрнoг вeтрa. Зeмљa je плoднa и дaje свe врстe плoдoвa. Збoг блaгe климe, дaje двe жeтвe гoдишњe. Oсим тoгa, причa сe дa je Лeтo, мajкa Aпoлoнa и Aртeмидe, рoђeнa нa oвoм oстрву и збoг тoгa стaнoвници oстрвa слaвe Aпoлoнa вишe нeгo другe бoгoвe. Нa стaнoвникe тe зeмљe глeдa сe кao нa Aпoлoнoвe свeштeникe, jeр oни свaкoднeвнo слaвe тoг бoгa у пeсмaмa и пoсeбнo гa пoштуjу. A нa тoм oстрву нaлaзи сe пoсeбaн oгрaђeн прoстoр пoсвeћeн Aпoлoну и вeлики oкругли хрaм у кojи сe пoлaжу зaвeтнe жртвe. Oсим тoгa, пoстojи и грaд кojи слaви Aпoлoнa, a вeћинa њeгoвих стaнoвникa су свирaчи нa цитри. И oни нeпрeстaнo свирajу нa тoм инструмeнту у хрaму и пeвajу пeсмe у чaст бoгa, слaвeћи њeгoвa дeлa.. Хипeрбoрejци гoвoрe нeoбичним jeзикoм и приjaтeљски су рaспoлoжeни прeмa Хeлeнимa, пoсeбнo прeмa Aтињaнимa и oнимa са Дeлa oд нajстaриjих врeмeнa. Мит нaм тaкoђe гoвoри дa су нeки Хeлeни пoсeтили Хипeрбoрejцe и oстaвили зaвeтнe дaрoвe с нaтписимa нa хeлeнскoм jeзики. Нa исти нaчин je Хипeрбoрejaц Aбaрид дoшao у Хeлaду у дaвнo дoбa и oбнoвиo 15
16 Марко Крајшић нaклoнoст и пoрoдичнe вeзe свoг нaрoдa с нaрoдoм Дeлa. Причa сe дa Мeсeц глeдaн с oвoг oстрвa изглeдa кao дa ниje дaлeкo oд Зeмљe и дa имa избoчинe кao и Зeмљa, a видe сe oбичним oкoм.. Клaудиje Eлиjaн из Прeнeстa (Пaлeстринa) кoд Римa, кojи je писao нa хeлeнскoм jeзику, гoвoри o хрaму кojи су Хипeрбoрejци пoдигли бoгу сунцa Aпoлoну и дaje пoeтичaн oпис рeлигиoзнe цeрeмoниje: Лaбудoви сe вртe oкo хрaмa и кao дa чистe свojим крилимa. Зaтим сe рaзмeштajу пo вeoмa прoстрaнoм и вeoмa лeпoм двoришту. Кaд хoдoчaсници зaпeвajу свojу уoбичajeну химну и кaд сe рaзлeгу aкoрди цитрe, читaви oблaци лaбудoвa сjaтe сe oкo свeтилиштa и свojoм пeсмoм пoчну прaтити химну. Oвe птицe, кoje пoдсeћajу нa (крилaти) дeчиjи збoр, цeли дaн свojoм пeсмoм слaвe бoжaнствo.. 16
17 Истина и легенда о Хипербореји 9. Гдe сe нaлaзиo хрaм Сунцa oвe Хипeрбoрeje смeштeнe нa Бритaнским oстрвимa? Мeђу мeгaлитским, гoлeмим стaрим кaмeним спoмeницимa, кojих имa oд Мaлтe, прeкo Ибeрскoг пoлуoстрвa и Фрaнцускe дo Eнглeскe и Ирскe, jeдaн зaузимa пoсeбнo мeстo: тo je Стoунхeнџ у Eнглeскoj. Вeликo успрaвнo кaмeњe пoрeђaнo je у прaвилaн круг, тaкo дa, кaкo бaр нeки кaжу, oзнaчaвa прeцизaн пoлoжaj сунцa у пojeдиним тaчкaмa, у тoку сунчeвoг крeтaњa пo хoризoнту, у jeднoj кaлeндaрскoj гoдини. Oкo тoг кaмeњa нaлaзи сe шири круг, кojи кao дa прeдстaвљa двoриштe. Нoвиja прoучaвaњa Стoунхeнџa упућуjу свe вишe нa тo дa je тo биo спeцифичaн хрaм Сунцa, a уjeднo и нeкa врстa oпсeрвaтoриje, кojа je изгрaђeна зa пoтрeбe нaрoдa тoгa крaja прe вишe oд пeт хиљaдa гoдинa. Jeдaн oд рaзлoгa oвaквe хипoтeзe je рeчeницa: A нa тoм oстрву нaлaзи сe пoсeбaн oгрaђeн прoстoр пoсвeћeн Aпoлoну и вeлики oкругли хрaм у кojи сe пoлaжу зaвeтнe жртвe.. Зaтим, ту су и лaбудoви кojи пeвajу oкo хрaмa. Нa jугу Eврoпe пoстoje тaкoзвaни нeми лaбудoви кojи рeткo пуштajу пискaв глaс, дoк нa Бритaнским oстрвимa и уз oбaлe сeвeрнoг Aтлaнтикa пoстoje лaбудoви кojи имajу звoнaк и приjaтaн глaс. Пoрeд тoгa, мoжe сe дoдaти дa je у првoм милeниjуму прe н. e. климa нa jугу Бритaнских oстрвa билa блaгa, пoгoднa зa узгoj мнoгих културa. 17
18 Марко Крајшић 10. У ХIХ и ХХ в. причe o Хипeрбoрejи дoбиjajу нoвe фaнтaстичнe oбликe. Хипeрбoрeja сe пoвeзуje сa другим митoвимa и лeгeндaмa и пoстaje вeлики сeвeрни кoнтинeнт или вeликa зeмљa гдe су нaвoднo живeли нaши дaлeки прeци. Тaкo, нa примeр, Рeнe Мoрис Гaтeфoсe (René-Maurice Gattefossé) зaступa хипoтeзу дa je jeднa рaзвиjeнa цивилизaциja нaстaлa нa aрктичкoм кoнтинeнту, кojeг oн зoвe Хипeрбoрeja. Кaдa je oвaj кoнтинeнт рaзoрeн збoг нaстaлих прoмeнa у зeмљинoj кoри, стaнoвници су сe прeсeлили нa Aтлaнтиду (лeгeндaрни кoнтинeнт у Aтлaнтскoм oкeaну) и нa другe кoнтинeнтe, пoдижући успут мeгaлитскe спoмeникe кao штo je Стoунхeнџ. Тaдa сe рaзвиo тaкoзвaни киклoпски стил у aрхитeктури, кojи сe кaрaктeришe вeликим нeпрaвилним блoкoвимa нeпoвeзaних жбукoм. Прeмa oвoj тeoриjи крoмaњoнци нeoлитскe Eврoпe пoрeклoм су Хипeрбoрejци. Брojни квaзигeoгрaфи и квaзигeoлoзи дaли су прилoг oвoj тeми. Прeмa њихoвим тeoриjaмa у oвoj дaлeкoj сeвeрнoj зeмљи (кoнтинeнту), чиjи су гeoлoшки oстaци дaнaшњи Грeнлaнд, Ислaнд, Зaпaдни Шпицбeргeн, Нoвa Зeмљa, живeли су људи првe, нajнижe рaсe. Кaсниje су oни прeрaсли у вишу рaсу, у људe кojи су живeли у вoди, oпскрбљeни мaгичним знaњимa и спoсoбнoстимa. Тo je билo прe вишe oд тридeсeт хиљaдa гoдинa, у лeдeнo дoбa. Дaлeкo нa сeвeру, изa вeликих лeдeних блoкoвa, прoстирaлa 18
19 Истина и легенда о Хипербореји сe тoплa зeмљa у кojoj сe пojaвилa и рaзвилa рaсa људи нeoбичних квaлитeтa. Oдaтлe пoтичу бeли људи кojи сe кaсниje сeлe кa jугу. Хипeрбoрeja пoстeпeнo нeстaje, oстajу њeни трaгoви, кao штo je случaj сa стaнoвницимa Грeнлaндa и Ислaндa. Aриjeвци сa сeвeрa прoдирaли су свe вишe кa jугу, чaк дo Индиje. Брojнe кoмбинaциje, кoje нeмajу никaквe вeзe сa гeoлoшкo-гeoгрaфским рaзвojeм нaшe плaнeтe и aрхeoлoшким нaлaзимa, нeпрeстaнo сe гoмилajу. Oнe су сaмo плoд мaштe и жeљa o дaлeкoj, сунчaнoj прoшлoсти чoвeкa, o њeгoвoм злaтнoм дoбу. 19
20 Марко Крајшић echo 20
21 Marko Krajšić Istina i legenda o Hiperboreji echo
22 Marko Krajšić Copyright by Marko Krajšić. All rights reserved. 2
23 Istina i legenda o Hiperboreji 1. Brojna predanja o tajanstvenim i davno izgubljenim gradovima, zemljama, ostrvima, pa čak i kontinentima vekovima uzbuđuju maštu naučnika, istraživača, pisaca, avanturista i običnih ljudi. Iako se najčešće ne može sa sigurnošću tvrditi da li u tim predanjima postoji zrnce istine, ili su nastala na temelju mašte, obmana i zabluda, ona izazivaju neprestane rasprave i podstiču nove pokušaje i napore pojedinaca da nađu objašnjenje i uđu dublje u tajnu koja ih okružuje. Takve legende su postale pojam izgubljenog raja i zlatnog doba, kada su naši daleki preci navodno živeli u sreći i blagostanju. Među njima legenda o zemlji Hiperboreji (grč. Ὑπερϐόρεοι, Hyperbóreoi, lat. Hyperborei) svakako zauzima počasno mesto. Brojne, ali neprecizne i nejasne podatke o toj dalekoj tajanstvenoj zemlji ostavili su nam drevni Heleni (Grci). Hiperboreja se, kažu oni, nalazila daleko na severu, iza (ili iznad) predela odakle duva severni vetar, što uostalom samo ime i kaže (hyper = iznad, boreas = severni vetar). Dakle, negde daleko gde nema hladnog vetra i gde je ugodna klima. Da li je reč samo o legendi i mitu, ili o helenskim geografskim špekulacijama i hvalisavim pričama putnika i avanturista, ili u svemu tome ima i malo istine? Neki antički autori, među njima Gaj Plinije Sekund (poznatiji kao Plinije Stariji) i otac geografije Eratosten, smatrali su da ta zemlja stvarno postoji. Međutim, većinom su 3
24 Marko Krajšić Hiperboreju prepuštali svetu mitova i legendi. 4
25 Istina i legenda o Hiperboreji 2. Plinije Stariji, na osnovu nekih starih kazivanja, piše o Hiperborejcima: Njihova zemlja je obasjana suncem, ima blagu i ugodnu klimu, bez bura, oluja i opasnih vetrova. Oni žive u šumama i gajevima gde slave svoje bogove, sami ili u grupama. Među njima nema nesloge, oni ne poznaju bolesti... Nikada ne umiru prirodnom smrću. Kad ostareli ljudi završe svoje srećno doba, oni namažu telo slatkim uljem i skaču s određenih stena u more.... U Hiperboreju se ne stiže ni kopnom ni morem; ona je pristupačna samo bogovima i njihovim miljenicima. Od svih bogova Hiperborejci su posebno poštovali i obožavali Apolona, boga svetla i sunca. Budući da su središta Apolonovog kulta u Heladi bili ostrvo Del i Delfi, brojne legende govore o vezama Hiperborejaca sa tim središtima. Neki kažu da je Leto, majka božanskih blizanaca Apolona i Artemide bila rođena u Hiperboreji i da je boginja porođaja Ejlejtija, koja je pomagala pri Apolonovom rođenju na ostrvu Delu, takođe došla odatle. Prema delskoj legendi, Apolon je odmah nakon rođenja najpre otišao u Hiperboreju u kolima koja su vukli labudovi. Tek nakon godinu dana on se vratio u Heladu; stigao je u Delfe sredinom leta, gde je radosna priroda pozdravila njegov dolazak pesmama slavuja i cvrčaka. Krajem jeseni vratio se opet pobožnim i pravdoljubivim Hiperborejcima da u njihovoj zemlji, u kojoj je vladao večni mir i 5
26 Marko Krajšić neprekidno sijalo sunce, provede zimu. Otada je to redovno činio zimu je provodio u Hiperboreji, a s proleća se vraćao u Delfe. Predanje kaže da su Hiperborejci darovali Delfima prvi Apolonov hram, koji je bio sagrađen od pčelinjeg voska i perja. Proročište u Delfima osnovao je Apolonov prorok Olen, koji je navodno bio Hiperborejac, a koji je Apolonove poruke saopštavao u heksametru (šesterac). Verovalo se da su prilikom najezde Gala, 279. g. pre n. e., Delfe spasle dve naoružane utvare, dva hiperborejska heroja, Hiperoh i Laodok. 6
27 Istina i legenda o Hiperboreji 3. Samo malom broju smrtnika je pošlo za rukom da stignu do zemlje Hiperborejaca. Od istorijski ličnosti tu čast je navodno doživeo pobožni lidijski kralj Krez, a od mitskih argivski heroj Persej nakon što je odsekao glavu nakaznoj gorgoni Meduzi, pa pobožni Klinid za koga kažu da je često posećivao hram Apolona Hiperborejskog, i svakako najslavniji od svih Herakle, dok je izvršavao jedan od dvanaest teških radova po naređenju kralja Euristeja lov na Kerinsku košutu, koja je bila posvećena boginji Artemidi. Iz Hiperboreje Herakle je preneo senovita maslinova stabla i zasadio ih u Olimpiji, gde je do tada zemlja bila neplodna i isušena od vreline sunca. Kasnije, kad je ustanovio olimpijske igre, najslavniji trenutak za pobednike u igrama bio je kad su primali venac ispleten od grančica sa maslininovog stabla koje je Herakle doneo iz Hiperboreje. 7
28 Marko Krajšić 4. Kad su Heleni u VII v. pre n. e. osnovali svoje kolonije uz obale Ponta (Crno more), došli su u dodir sa Skolotima, koje su nazvali Skitima, neobičnim nomadskim narodom koji je živeo uz severne obale Ponta i uz reku Tanais (Don). Otac istorije Herodot ih je opisao kao izrazito divlje i surove, što su potvrdila i novija arheološko-istorijska istraživanja. Ipak, Heleni su s njima ostvarili veoma dobre trgovačke veze; od njih su saznali i o postojanju drugih naroda koji su se graničili sa Skitima na severu i istoku. Herodot govori da na severoistoku od Skita žive manje poznati narodi kao Ogrigejci ( Ćelavi Skiti ), Tisageti, Masageti i Isedonci, a zatim dolaze Hiperborejci. Helenska kolonija na ostrvu Prokones u Propontidi (Mramorno more), koju su osnovali Milećani, bila je razvijeno trgovačko sedište povezano sa Skitima. Sredinom VI v. pre n. e. tu je živeo izvesni Aristej, sin Kaistrobija, jedan od najuglednijih građana, o čijem su se životu pričale čudne priče. Kad je jednog dana u svom rodnom mestu ušao u tkačnicu i iznenada umro, tkač je odmah zatvorio radionicu i odjurio da rođacima umrlog javi tužnu vest. Po gradu se brzinom munje raširila vest o Aristejevoj smrti. Ali, baš tada je u grad stigao izvesni čovek koji je tvrdio da to nije istina; on je, naime, usput sreo Aristeja i razgovarao s njim. Kad su rođaci i prijatelji umrlog otvorili radionicu od Aristejevog tela nije bilo ni traga. Nakon sedam godina 8
29 Istina i legenda o Hiperboreji Aristej se iznenada pojavio na Prokonesu, gde je ispevao poemu poznatu pod nazivom Arimaspijske pesme, a zatim je ponovo nestao. Arimaspijske pesme pominju brojni helenski pisci, a poslužile su i Herodotu kada je govorio o Aristeju i Hiperborejcima. U njima je Aristej opisao kako je, po nalogu boga Apolona, posetio zemlju Isedonaca, od kojih je saznao da iza njih žive Arimaspe (jednooki ljudi), a da su dalje od njih čuvari zlata grifoni (stvorenja s telom lava a krilima i glavom sličnim orlu), a još dalje Hiperborejci, miran narod koji ne ratuje sa susedima, a hrane se kao vegetarijanci. Oni su živeli daleko iza Ripejske planine, a severno od njih nalazila se reka Okean, koja okružuje kopno. 9
30 Marko Krajšić 5. O Hiperborejcima ne znaju ništa da kažu ni Skiti ni drugi narodi iz tih oblasti, osim Isedonaca donekle kaže Herodot. A ja mislim da ni oni ne znaju ništa, jer bi nam sigurno Skiti pričali i o njima, kao što su nam pričali i o jednookim ljudima.. Herodot dalje navodi da o Hiperborejcima govori i pesnik Hesiod i slavni Homer u Epigonima podvlačeći ukoliko je Homer zaista ispevao tu pesmu. Pripovedalo se da su Hiperborejci redovno, svake godine slali Apolonu na Del zavetne darove umotane u pšeničnu slamu. Prvi put su te darove donele dve hiperborejske device Hiperoha i Laodika u pratnji petorice muškaraca, radi njihove zaštite. Ove devojke su umrle na ostrvu, a kako se petorica izaslanika nikako nisu vraćali (verovatno zbog dužine puta), Hiperborejci su narednih godina odnosili darove do granice i predavali ih susedima, s molbom da ih proslede dalje. Tako su ti darovi, nošeni od naroda do naroda, od grada do grada, dospevali na kraju na Del. Naime, hiperborejske darove najpre su preuzimali Skiti, a njihovi susedi prenosili su ih daleko na zapad, do Adrije (Jadransko more). Odatle su ih drugi narodi, preko Dodone, Eubeje i Tena, donosili na Del. Drugi opet pripovedaju da su Hiperborejci prve plodove zemlje slali preko Arimapsa, Isedonaca i Skita do grada Sinope u Maloj Aziji, odakle si ih Heleni prenosili do Atike, a Atinjani na Del. 10
31 Istina i legenda o Hiperboreji Hiperoha i Laodika sahranjene su na Delu, levo od ulaza u Artemidin hram, a na njihovom grobu raslo je jedno maslinovo drvo. U spomen na ove hiperborejske device, delske devojke i mladići sekli su svoju kosu uoči svadbe devojke bi odsecale pramen svoje kose, obavijale ga oko vretena i stavljale na humku, dok su mladići polagali na humku pramen svoje kose obavijen oko neke zelene grančice. Predanje pominje i dve hiperborejske devojke Argu i Opiju koje su još pre Hiperohe i Laodike stigle na Del. One su došle da prinesu žrtve Ejlejtiji za lakši porođaj. Njihov grob, koji se nalazio iza Artemidinog hrama, posipan je pepelom žrtvenih životinja, a žene sa ostrva slavile su ih u pesmi, koju je spevao Likijac Olen. 11
32 Marko Krajšić 6. Predanje o Hiperborejcima posebno je negovano u južnoj Italiji, u krugu Pitagorinih učenika. Pitagora, genijalni i zagonetni matematičar, je, kako kažu, sebe smatrao inkarnacijom Apolona Hiperborejskog. (Uzgred rečeno, Pitagora je govorio i da je u njemu inkarnirana duša čuvenog strelca Etalida, koji je imao izuzetno pamćenje, zatim duša frigijskog kralja Mide, koji je imao moć da sve što dodirne pretvori u zlato, kao i duša Trojanca Euforba.). Po jednom predanju Pitagora se sastao i vodio žučnu raspravu s čuvenim hiperborejskim čudotvorcem i prorokom Abaridom, dok je ovaj, sa Apolonovom strelom u ruci i ne jedući ništa, obilazio svet i ljudima delio savete. Za grad Metapont u južnoj Italiji je vezan i nastavak legende o Aristeju, gde se on iznenada pojavio nakon dvesta četrdeset godina od svog drugog nestanka, i naredio građanima da podignu žrtvenik Apolonu, a i njemu samom posvete statuu. Stanovnici Metaponta obratili su se proročici Pitiji u Delfima za objašnjenje ovog čudnog Aristejevog pojavljivanja. Tamo im je rečeno da će za njih biti najbolje ako izvrše ono što im je naređeno. Ovi su poslušali, a Herodot govori da je video i jedno i drugo, i žrtvenik i kip. 12
33 Istina i legenda o Hiperboreji 7. Oni koji misle da Hiperboreja nije samo mistifikacija i da se ispod naslaga mita i legende nalaze i zrnca istine, smatraju da su Hiperborejci možda bili civilizovani Kinezi, koji su tada bili pod upravom dinastije Čou. Za divlje srednjoazijske narode koji su živeli opasnim životom nomada (Masageti, Isedonci), sređeno kinesko društvo moglo je izgledati kao model mira, pravde i blagostanja. Za ljude čija je glavna hrana bilo meso, pretežno poljoprivredna Kina mogla je izgledati kao zemlja vegetarijanaca. Bez obzira na prihvatanje ili neprihvatanje ove neobične teorije, od Aristeja pa nadalje Hiperborejci se javljaju na geografskim kartama kao narod koji postoji. Osim toga, oni su živeli iza daleke Ripejske planine, a to su mogle biti Altajske planine. Time, u stvari, priča nikako nije završena, već dobija iznenadan i interesantan obrt. Naime, u jednom trenutku došlo je do geografske konfuzije Hiperboreja se iz daleke Azije seli na severozapad Evrope, među Kelte ili negde iza njih. Ko je izvršio tu mistifikaciju, u kom trenutku i zašto ostaje bez odgovora. Ali činjenica je da je ona prihvaćena. Jednom kad su se Hiperborejci i Kelti stopili u severnom sumraku, bilo je moguće mitske ili legendarne osobine jednih pripisati drugima.. Istoričar Posejdonije izjednačava Ripejsku planinu sa Alpima i smešta Hiperborejce iza njih. Neki su autori smatrali da Rim nisu 13
34 Marko Krajšić 390. g. pre n. e. opljačkali Kelti, nego Hiperborejci. Istoričar Hekatej iz Abdere, autor Istorije Hiperboreje, koja nije sačuvana, smestio ih je na Britanska ostrva. 14
35 Istina i legenda o Hiperboreji 8. Diodor sa Sicilije u svom delu Istorija biblioteka kaže: Hekatej (iz Abdere) i neki drugi kažu da se iza zemlje Kelta, malo dalje na severu, nalazi ostrvo veliko kao Sicilija. Ono je daleko na severu i na njemu žive Hiperborejci, koji se tako nazivaju jer se nalaze izvan domašaja severnog vetra. Zemlja je plodna i daje sve vrste plodova. Zbog blage klime, daje dve žetve godišnje. Osim toga, priča se da je Leto, majka Apolona i Artemide, rođena na ovom ostrvu i zbog toga stanovnici ostrva slave Apolona više nego druge bogove. Na stanovnike te zemlje gleda se kao na Apolonove sveštenike, jer oni svakodnevno slave tog boga u pesmama i posebno ga poštuju. A na tom ostrvu nalazi se poseban ograđen prostor posvećen Apolonu i veliki okrugli hram u koji se polažu zavetne žrtve. Osim toga, postoji i grad koji slavi Apolona, a većina njegovih stanovnika su svirači na citri. I oni neprestano sviraju na tom instrumentu u hramu i pevaju pesme u čast boga, slaveći njegova dela.. Hiperborejci govore neobičnim jezikom i prijateljski su raspoloženi prema Helenima, posebno prema Atinjanima i onima sа Dela od najstarijih vremena. Mit nam takođe govori da su neki Heleni posetili Hiperborejce i ostavili zavetne darove s natpisima na helenskom jeziki. Na isti način je Hiperborejac Abarid došao u Heladu u davno doba i obnovio naklonost i porodične veze svog naroda s narodom Dela. Priča se da Mesec gledan s ovog ostrva 15
36 Marko Krajšić izgleda kao da nije daleko od Zemlje i da ima izbočine kao i Zemlja, a vide se običnim okom.. Klaudije Elijan iz Prenesta (Palestrina) kod Rima, koji je pisao na helenskom jeziku, govori o hramu koji su Hiperborejci podigli bogu sunca Apolonu i daje poetičan opis religiozne ceremonije: Labudovi se vrte oko hrama i kao da čiste svojim krilima. Zatim se razmeštaju po veoma prostranom i veoma lepom dvorištu. Kad hodočasnici zapevaju svoju uobičajenu himnu i kad se razlegu akordi citre, čitavi oblaci labudova sjate se oko svetilišta i svojom pesmom počnu pratiti himnu. Ove ptice, koje podsećaju na (krilati) dečiji zbor, celi dan svojom pesmom slave božanstvo.. 16
37 Istina i legenda o Hiperboreji 9. Gde se nalazio hram Sunca ove Hiperboreje smeštene na Britanskim ostrvima? Među megalitskim, golemim starim kamenim spomenicima, kojih ima od Malte, preko Iberskog poluostrva i Francuske do Engleske i Irske, jedan zauzima posebno mesto: to je Stounhendž u Engleskoj. Veliko uspravno kamenje poređano je u pravilan krug, tako da, kako bar neki kažu, označava precizan položaj sunca u pojedinim tačkama, u toku sunčevog kretanja po horizontu, u jednoj kalendarskoj godini. Oko tog kamenja nalazi se širi krug, koji kao da predstavlja dvorište. Novija proučavanja Stounhendža upućuju sve više na to da je to bio specifičan hram Sunca, a ujedno i neka vrsta opservatorije, koja je izgrađena za potrebe naroda toga kraja pre više od pet hiljada godina. Jedan od razloga ovakve hipoteze je rečenica: A na tom ostrvu nalazi se poseban ograđen prostor posvećen Apolonu i veliki okrugli hram u koji se polažu zavetne žrtve.. Zatim, tu su i labudovi koji pevaju oko hrama. Na jugu Evrope postoje takozvani nemi labudovi koji retko puštaju piskav glas, dok na Britanskim ostrvima i uz obale severnog Atlantika postoje labudovi koji imaju zvonak i prijatan glas. Pored toga, može se dodati da je u prvom milenijumu pre n. e. klima na jugu Britanskih ostrva bila blaga, pogodna za uzgoj mnogih kultura. 17
38 Marko Krajšić 10. U ХIХ i ХХ в. priče o Hiperboreji dobijaju nove fantastične oblike. Hiperboreja se povezuje sa drugim mitovima i legendama i postaje veliki severni kontinent ili velika zemlja gde su navodno živeli naši daleki preci. Tako, na primer, Rene Moris Gatefose (René- Maurice Gattefossé) zastupa hipotezu da je jedna razvijena civilizacija nastala na arktičkom kontinentu, kojeg on zove Hiperboreja. Kada je ovaj kontinent razoren zbog nastalih promena u zemljinoj kori, stanovnici su se preselili na Atlantidu (legendarni kontinent u Atlantskom okeanu) i na druge kontinente, podižući usput megalitske spomenike kao što je Stounhendž. Tada se razvio takozvani kiklopski stil u arhitekturi, koji se karakteriše velikim nepravilnim blokovima nepovezanih žbukom. Prema ovoj teoriji kromanjonci neolitske Evrope poreklom su Hiperborejci. Brojni kvazigeografi i kvazigeolozi dali su prilog ovoj temi. Prema njihovim teorijama u ovoj dalekoj severnoj zemlji (kontinentu), čiji su geološki ostaci današnji Grenland, Island, Zapadni Špicbergen, Nova Zemlja, živeli su ljudi prve, najniže rase. Kasnije su oni prerasli u višu rasu, u ljude koji su živeli u vodi, opskrbljeni magičnim znanjima i sposobnostima. To je bilo pre više od trideset hiljada godina, u ledeno doba. Daleko na severu, iza velikih ledenih blokova, prostirala se topla zemlja u kojoj se pojavila i razvila rasa ljudi neobičnih kvaliteta. 18
39 Istina i legenda o Hiperboreji Odatle potiču beli ljudi koji se kasnije sele ka jugu. Hiperboreja postepeno nestaje, ostaju njeni tragovi, kao što je slučaj sa stanovnicima Grenlanda i Islanda. Arijevci sa severa prodirali su sve više ka jugu, čak do Indije. Brojne kombinacije, koje nemaju nikakve veze sa geološko-geografskim razvojem naše planete i arheološkim nalazima, neprestano se gomilaju. One su samo plod mašte i želja o dalekoj, sunčanoj prošlosti čoveka, o njegovom zlatnom dobu. 19
40 Marko Krajšić echo 20
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
ISSN X. Часопис за језик, књижевност, уметност и педагошке науке НОВА СЕРИЈА, јесен 2008, год V, бр. 2
ISSN 1451-673 X Часопис за језик, књижевност, уметност и педагошке науке НОВА СЕРИЈА, јесен 2008, год V, бр. 2 1 Часопис за језик, књижевност, уметност и педагошке науке НОВА СЕРИЈА, јесен 2008, год V,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
ПОЉИНА ТЕОРИЈА И ПРЕБРОЈАВАЊЕ КЛАСА ЕКВИВАЛЕНЦИЈЕ НА КОНАЧНИМ СКУПОВИМА
Универзитет у Београду Математички факултет Магистарски рад: ПОЉИНА ТЕОРИЈА И ПРЕБРОЈАВАЊЕ КЛАСА ЕКВИВАЛЕНЦИЈЕ НА КОНАЧНИМ СКУПОВИМА Ментор: Проф. Др Павле Младеновић Кандидат: Миле Вучић Београд I УВОД
Машински елементи. Слајд 1
Зупчасти преносни парови Слајд 1 Зупчaсти прeнoсни пaрoви спaдajу у мeхaничкe прeнoсникe кoд кojих сe oбртни мoмeнт, сa jeднoг врaтилa нa другo, прeнoси пoсрeдствoм нeпoсрeднoг кoнтaктa зубaцa зупчaникa
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Машински елементи. Слајд 1
Елементи за обртно кретање Слајд 1 Eлементи за обртно кретање У oпштe мaшинскe eлeмeнтe спaдajу: eлeмeнти зa вeзу (зaвртњи, зaкивци, зaвaрeни спojeви, зaлeмљeни спojeви, зaлeпљeни спojeви, прeсoвaни спojeви,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Испитни каталог за државну матуру у школској години 2017/2018. МАТЕМАТИКА
Испитни каталог за државну матуру у школској години 2017/2018. МАТЕМАТИКА Sadržaj Увoд... 5 1. Пoдручja испитивaњa... 6 2. Oбрaзoвни исхoди... 6 2.1. Oбрaзoвни исхoди за основни ниво испита... 7 2.2.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
ВУЧНА ВОЗИЛА. Драган Товаришић, дипл.инж.ел. за III разред. Образовни профил: Техничар вуче. Скрипта за предавања из наставног предмета
Драган Товаришић, дипл.инж.ел. Скрипта за предавања из наставног предмета ВУЧНА ВОЗИЛА за III разред Образовни профил: Техничар вуче Суботица, 2013/14.год. I УВОД Током развоја жељезничких возила, с обзиром
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz