y(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n,

Transcript

1 ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÊÎÌÈÒÅÒ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÎ ÂÛÑ ÅÌÓ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈ ÊÐÀÑÍÎSSÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Íà ï àâàõ óêîïèñè ÓÄÊ ÐÎÃÀËΞÅÂ ÀËÅÊÑÅÉ ÍÈÊÎËÀÅÂÈ ÂÅÐÕÍÈÅ È ÍÈÆÍÈÅ ÎÖÅÍÊÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÅ ÅÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌ ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ âû èñëèòåëüíàß ìàòåìàòèêà ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈSS íà ñîèñêàíèå ó åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè åñêèõ íàóê íàó íûé óêîâîäèòåëü àêàäåìèê.è. îêèí Ê àñíîß ñê, 1996

2 ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÂÂÅÄÅÍÈÅ 4 ÃËÀÂÀ 1. Îïèñàíèå ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è èõ âîë öèè Âêë åíèå å åíèé îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé Íåêîòî ûå èíòå âàëüíûå ìåò èêè è îñîáåííîñòè èõ ï èìåíåíèß äëß îöåíêè èíòå âàëüíûõ âêë åíèé Ãà àíòè îâàííûå èíòå âàëüíûå îöåíêè ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. 42 ÃËÀÂÀ 2. Ðå åíèå çàäà è Êî è äëß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè Âëèßíèå ôôåêòà Ìó à (wrapping effect) íà ïîâåäåíèå èíòå âàëüíûõ îöåíîê Àíàëèòè åñêèå âû àæåíèß ñïëàéí-àïï îêñèìàöèé å åíèé è ñäâèã ïî ò àåêòî èè Ìåòîäû ïîñò îåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê, îñíîâàííûå íà àíàëèòè åñêîì ï åäñòàâëåíèè ï èáëèæåííûõ å åíèé. 82 ÃËÀÂÀ 3. Êîìïü òå íàß åàëèçàöèß èíòå âàëüíûõ àëãî èòìîâ è âîï îñû íàäåæíûõ âû èñëåíèé Âîï îñû åàëèçàöèè èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è îïå àöèé ñ íàï àâëåííûìè îê óãëåíèßìè (äèíàìè åñêîé òî íîñòü ) Ï èìåíåíèå ñèìâîëüíûõ àëãî èòìîâ äëß íàõîæäåíèß ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé. 107 ÇÀÊË ÅÍÈÅ (îñíîâíûå âûâîäû) 115 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 118 Ï èëîæåíèå 1. Ñèìâîëüíûå ôî ìóëû ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó- ùèõ å åíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. 130 Ï èëîæåíèå 2. Ðåçóëüòàòû àñ åòîâ è ã àôèêè èíòå âàëüíûõ îöåíîê ìíîæåñòâ òî íûõ å åíèé

3 Ââåäåíèå Ìíîãèå çàäà è íàóêè è òåõíèêè ï èâîäßò ê íåîáõîäèìîñòè èçó àòü ìàòåìàòè åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå äèôôå åíöèàëüíûìè ó àâíåíèßìè. Ïîëó åííûå ìàòåìàòè åñêèå ìîäåëè àñòî ïîääà òñß èññëåäîâàíè òîëüêî ñ ïîìîùü èñëåííûõ ìåòîäîâ. Îäíèì èç ñå üåçíûõ âîï îñîâ, êîòî ûé âîçíèêàåò ï è òîì, ßâëßåòñß êîíò îëü òî íîñòè ïîëó åííîãî èñëåííîãî å- åíèß, à òàêæå ãà àíòè îâàííîé òî íîñòè, îáåñïå èâà ùåé ó åò âëèßíèß âñåõ î èáîê, â òîì èñëå î èáîê îê óãëåíèß. Ñëåäóåò îòìåòèòü òàêæå íåîáõîäèìîñòü å àòü çàäà è, ó êîòî ûõ ßä ïà àìåò îâ çàäàí ëè ü íåòî íî, ñëåäîâàòåëüíî íåîáõîäèìîîïèñûâàòü ìíîæåñòâà å åíèé. è îêèé ê óã ïîäîáíûõ çàäà âûçâàë àçâèòèå ìåòîäîâ ïîñò îåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê èëè ìåòîäîâ âêë åíèß å åíèé (enclosure methods). Òàêèå ìåòîäû îáû íî îñíîâûâà òñß ëèáî íà èñïîëüçîâàíèè òåî åì ñ àâíåíèß å åíèé, ëèáî íà åàëèçàöèè îñíîâíûõ îïå àöèé ñ íåêîòî ûìè ìíîæåñòâàìè, âêë à ùèìè âñ ñîâîêóïíîñòü å åíèé èñõîäíîé çàäà è, ïà- àëëåëåïèïåäàìè (èíòå âàëàìè â R n ), ëëèïñîèäàìè, à àìè â íåêîòî îé íî ìå è òîìó ïîäîáíûìè. Ï è òîì îïå àöèè íàä òèìè ìíîæåñòâàìè äîëæíû ñò îèòüñß òàê, òîáû âûïîëíßëñß ï èíöèï ìîíîòîííîñòè ïî âêë åíè [1], òîåñòü ãà àíòè îâàëîñü ñîõ àíåíèå â åçóëüòè ó ùåì ìíîæåñòâå åçóëüòàòîâ âñåõ îïå àöèé íàä âåùåñòâåííûìè èñëàìè (òî êàìè) èç ìíîæåñòâîïå àíäîâ. Äëß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, â òîì èñëå ñèñòåì, èìå ùèõ íåòî íî çàäàííûå ïà àìåò û, âû èñëåíèå âå õíèõ è íèæíèõ å åíèé ï åäñòàâëßåò áîëü îé çíà èòåëüíûé èíòå åñ â ï èêëàäíûõ çàäà- àõ. Ýòî îáúßñíßåòñß âîçìîæíîñòü ñò îèòü íà èõ îñíîâå ãà àíòè îâàííûå îöåíêè å åíèé è ìíîæåñòâ å åíèé. Ðàññìîò èì çàäà ó ñ íà àëüíûìè äàííûìè y(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n, y = f(t, y), (1) òî íîå å åíèå êîòî îé àâíî y(t). Ìû õîòèì âû èñëèòü èíòå âàëüíó ôóíêöè Y (t) = [ Y (t), Y (t) ], äëß êîòî îé y(t) Y (t) ï è âñåõ t [t 0,t f ]. Ôóíêöèß Y (t) ó èòûâàåò òàêæå ãà- àíòè îâàííûå ã àíèöû ãëîáàëüíîé î èáêè å åíèß çàäà è (1). Ýòîò ïîäõîä àñ è ßåò ìåòîäèêó îöåíêè èñëåííûõ å åíèé ñ ó åòîì âñåõ òèïîâ ïîã å íîñòåé. 3

4 Ñëåäóåò îòìåòèòü, òî îäíèì èç ïå âûõ ó åíûõ, êîòî ûé îòìåòèë íåîáõîäèìîñòü ïîñò îåíèß äâóñòî îííèõ îöåíîê å åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé áûë óññêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê Ñ.À. àïëûãèí â 1919 ãîäó â àáîòå, ïîñâßùåííîé íîâîìó ìåòîäó å åíèß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ïîä îáíîå îïèñàíèå òîãî ìåòîäà è îáçî íó ñòàòü àêàäåìèêà Í.Í. Ëóçèíà ìîæíî íàéòè â ñáî íèêå ò óäîâ Ñ.À. àïëûãèíà [7]. Äàëüíåé åå àçâèòèå ìåòîäîâ ïîñò îåíèß äâóñòî îííèõ îöåíîê è èõ èñïîëüçîâàíèß äëß àíàëèçà å åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñîäå æèòñß â àáîòàõ [3, 8, 14]. Ïîò åáíîñòü ñîçäàíèß áîëåå íàäåæíîãî ï îã àììíîãî îáåñïå åíèß äëß ìåòîäîâ èñëåííîãî å åíèß îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ï èâåëà ê ïîßâëåíè èññëåäîâàíèé, íàï àâëåííûõ íà îöåíêó ãëîáàëüíîé î èáêè. Èíòå âàëüíûå ìåòîäû å åíèß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, âïå âûå ï åäëîæåííûå Ìó îì [1], ßâëß òñß ëîãè åñêèì àçâèòèåì òîãî íàï àâëåíèß, ïîñêîëüêó ï è òîì ï îèçâîäßòñß ïîñò îåíèß ãà àíòè îâàííûõ âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê ìíîæåñòâà òî íûõ å åíèé, èíà å íàçûâàåìûõ èíòå âàëüíûìè å åíèßìè. Äàëååâñ äó â äèññå òàöèè áóäóò èñïîëüçîâàòüñß àñï îñò àíåííûå äîñòàòî íî è îêîòå ìèíû è îáîçíà åíèß èíòå âàëüíîãî àíàëèçà, íàï èìå, [a, b] äëß èíòå âàëîâ {x a x b}, f(x) ={f(x) x X}, F (x) =[f(x), f(x)] = {f(x) f(x f(x) f(x) x X}. Ïîíßòèå èíòå âàëüíîãî å åíèß ò åáóåò ñâîåãî îñìûñëåíèß â êîíòåêñòå èíòå âàëüíûõ àëãî èòìîâ. Èíòå âàëüíàß âåëè èíà ìîæåò ïîßâèòüñß â çàäà å (1) êàê èíòå âàëüíîå íà àëüíîå çíà åíèå, èëè êàê èíòå âàëüíûé ïà àìåò â ï àâîé àñòè f. Òàêèå èíòå âàëû îáû íî ï åäñòàâëß ò íåîï åäåëåííîñòè è íå îáßçàòåëüíî ßâëß òñß ìàëûìè âåëè èíàìè. Çàäà è, â êîòî ûå ï èñóòñòâó ò èíòå âàëû, ìîãóò àññìàò èâàòüñß ëèáî êàê äèôôå åíöèàëüíûå èíòå âàëüíûå ó àâíåíèß (ó àâíåíèß, â êîòî ûå âõîäßò èíòå âàëüíûå êî ôôèöèåíòû è àññìàò èâà òñß èíòå âàëüíûå ôóíêöèè), ëèáî êàê ïà àìåò èçîâàííûå ñåìåéñòâà äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. òîáû ï îèëë ñò è îâàòü òî îòëè èå, àññìîò èì îáûêíîâåííîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå y (t) = y, y(0) = [1, 2]. (2) Åñëè àññìàò èâàòü ó àâíåíèå (2) êàê äèôôå åíöèàëüíîå èíòå âàëüíîå ó àâíåíèå, òî å åíèå, ï îõîäßùåå å åç íà àëüíó òî êó (t 0,y 0 )=(0, 2) ìîæåò èìåòü òàíãåíñ óãëà íàêëîíà, îã àíè åííûé ñâå õó èñëîì 1, å åíèå, ï îõîäßùåå å åç òî êó (0, 1) ìîæåò èìåòü òàíãåíñ óãëà íàêëîíà, îã àíè åííûé ñíèçó çíà åíèåì 2. 4

5 Îïòèìàëüíîå âêë åíèå [ Y (t), Y (t) ] òî íîãî å åíèß y óäîâëåòâî ßåò ñèñòåìå Y = Y, Y (0) = 2 Ñëåäîâàòåëüíî, Y = Y, Y(0) = 1 y(t) [ Y (t), Y (t) ] = [ (3e t e t )/2, (3e t + e t )/2 ], Â àñòíîñòè, å åíèå îáûêíîâåííîãî äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß, èíòå ï åòè óåìîãî êàê èíòå âàëüíîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå, íå ìîæåò èìåòü óìåíü à ùó ñß è èíó. Ñ ä óãîé ñòî îíû, åñëè ìû àññìàò èâàåì ó àâíåíèå (2) êàê ïà àìåò èçîâàííîå ñåìåéñòâî, îïòèìàëüíûì âêë åíèåì áóäåò [e t, 2e t ] ñîâå åííî ä óãîå å åíèå. Ïîäîáíîå ïîâåäåíèå îáíà óæèâàåòñß, åñëè çàäà à (1) âêë àåò èíòå âàëüíîçíà íûé ïà àìåò. Íàï èìå, êîãäà y = ay, y(0) = 1, a=[1, 2] àññìàò èâàåòñß êàê èíòå âàëüíîå ó àâíåíèå, åãî å åíèåì áóäåò e 2t e 2t, e 2t t 2 e,t [0, 0.623]. Ðàññìàò èâàß å åíèå êàê ïà àìåò èçîâàííîå ñåìåéñòâî, ìû ìîæåì ïîëó- èòü ã àíèöó [ e 2t,e t]. Â àáîòàõ, ñò îßùèõ èíòå âàëüíûå ìåòîäû, èìå ò ìåñòîîáà òèõ ïîäõîäà, õîòß äëß êîíöåïöèè, â êîòî îé ìû ñîïîñòàâëßåì ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ïà àìåò èçîâàííîå ñåìåéñòâî, âîçíèêà ò ñëîæíîñòè ñ íàõîæäåíèåì ôôåêòèâíûõ èñëåííûõ àëãî èòìîâ. Íàï èìå, åñëè â çàäà å (1) âêë åíû ïà àìåò û â ôóíêöèè f,òî Ëîíå (Lohner) [38, 39, 40] ñ èòàåò, òî êàæäûé ïà àìåò òî äîïîëíèòåëüíàß çàâèñèìàß ïå åìåííàß, ï îèçâîäíàß êîòî îé àâíà íóë. Êàæäûé èç ìåòîäîâ îöåíêè ãëîáàëüíîé î èáêè, îïèñàííûé â àáîòå [35] ìîæåò îá àçîâûâàòü áàçèñ èíòå âàëüíîãî àëãî èòìà. Íàõîæäåíèå âêë åíèé äëß y(t) îñíîâàíî íà äèôôå åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâàõ, êîíå íî- àçíîñòíûõ àïï îêñèìàöèßõ ñ îöåíêîé ïîã å íîñòè, 5

6 àçëîæåíèßõ â ßäû Òåéëî à (èëè ä óãèå ßäû) ñ îöåíêîé îñòàòî íîãî ëåíà, ï èíöèïàõ êî åêöèè äåôåêòà, èòå àöèßõ Ïèêà à èëè Íü òîíà â ñîîòâåòñòâó ùåì ôóíêöèîíàëüíîì ï îñò àíñòâå. Âàæíûì ìîìåíòîì äëß âñåõ òèõ ïîäõîäîâ ßâëßåòñß ò åáîâàíèå ïîèñêà âêë åíèß, êàê ìîæíî áîëåå áëèçêîãî ê òî íûì å åíèßì. Äëß äîñòèæåíèß òîãî, ìåòîä äîëæåí ï åîäîëåòü âëèßíèå òàê íàçûâàåìîãî ôôåêòà Ìó à (wrapping effect), êîòî ûé îçíà àåò ñèëüíîå óâåëè åíèå è èíû âêë åíèé, êàê ï àâèëî êñïîíåíöèàëüíîå. Îïè åì êî îòêî àëãî èòì íàõîæäåíèß âêë åíèß å åíèé çàäà è ñ íà- àëüíûìè äàííûìè. Ýòîò àëãî èòì îñíîâàí íà ï èíöèïàõ, çàëîæåííûõ â òåî åìå ñóùåñòâîâàíèß è åäèíñòâåííîñòè Ïèêà à. Äëß ï îñòîòû ñôî ìóëè- óåì îäíîìå íûé ñëó àé. Òåî åìà ñóùåñòâîâàíèß è åäèíñòâåííîñòè Ïèêà à. Ïóñòü R = {(t, y) R 2 : t 0 a t t 0 + a, y 0 β y y 0 + β.} Ï åäïîëîæèì, òîâ Rf(t, y) íåï å ûâíà è óäîâëåòâî ßåò óñëîâè Ëèï èöà. Òîãäà çàäà à y = f(t, y), y(t 0 )=y 0 èìååò åäèíñòâåííîå å åíèå. Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà. Ï ßìîóãîëüíèê R îï åäåëßåò ï åäïîëàãàåìó àï èî íî ã àíèöó å åíèß y. Âíà àëå ìû íàéäåì îê åñòíîñòü t 0, â êîòî îé ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî, çàäà ùåå àï èî íó ã àíèöó. Ïîñêîëüêó f íåï å ûâíà, f äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà åíèß M â R. Îï åäåëèì h =min{α, y 0+β M }. Òîãäà äëß t [t 0 h, t 0 ],y(t) [y 0 + M(t t 0 ),y 0 M(t t 0 )] äëß t [t 0,t 0 + h], y(t) [y 0 M(t t 0 ),y 0 + M(t t 0 )] Ñëåäîâàòåëüíî, ï è t [t 0 h, t 0 + h], y Y (t) =y 0 +[ M,M](t t 0 ) R, (3) à îïå àöèè Ïèêà à ñõîäßòñß àâíîìå íî ê y íà èíòå âàëå [t 0 h, t 0 + h]. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû ñóùåñòâîâàíèß è åäèíñòâåííîñòè Ïèêà à äåìîíñò è óåò ñóùåñòâîâàíèå àëãî èòìà íàõîæäåíèß âêë åíèß Y(t), òàêîãî, òî 6

7 y(t) Y (t) ãäå y(t) å åíèå ó àâíåíèß (3). Îäíàêî â êà åñòâå îöåíêè y âåëè èíà Y ßâëßåòñß íåóäîâëåòâî èòåëüíîé, ïîñêîëüêó âêë åíèå âå íî íà ñ àâíèòåëüíîêî îòêîì èíòå âàëå [t 0 h, t 0 +h] è íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì ìàëîñòè è èíû. Ìíîãèå èçâåñòíûå èíòå âàëüíûå àëãî èòìû îáîáùà ò àçëè íûå àñïåêòû òîãî äîêàçàòåëüñòâà è óñò àíß ò ìíîãèå èç òèõ íåäîñòàòêîâ, íî ïîëíîãî å åíèß çàäà è î ïîñò îåíèè ôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ èíòå âàëüíûõ îöåíîê íå äà ò. Â àáîòàõ [3, 8] ñîäå æèòñß äîñòàòî íî ïîëíîå èçëîæåíèå òåî èè äèôôå- åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâ. Â íèõ ï èâåäåíû ï èìå û ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, äëß îöåíêè å åíèé êîòî ûõ ìîæåò ôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòüñß òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâ. Ôóíêöèß f(t, y) íàçûâàåòñß êâàçèìîíîòîííî âîç àñòà ùåé (óáûâà ùåé) ïî y, åñëè äëß ν =1,...,n, f ν (t, y) f(t, z) (ñîîòâåòñòâåííî ) äëß y z ïîêîìïîíåíòíî, y ν = z ν. Ë áàß îäíîìå íàß ôóíêöèß n =1êâàçèìîíîòîííà. Ïî òîìó èíòå âàëüíûå àëãî èòìû ìîãóò õî î î àáîòàòü äëß ñêàëß íûõ ó àâíåíèé è, êàê ñëåäñòâèå òîãî, âûçûâàòü ï åäïîëîæåíèå, òî òè àëãî- èòìû ñëåäóåò ï èìåíßòü ê ñèñòåìàì ó àâíåíèé. Íà àãå èíòåã è îâàíèß i ìû ïîëó àåì âêë åíèå y(t i ) Y (t i )= [ Y (t i ), Y (t i ) ], ãäå Y, Y R n. Â îáùåì ñëó àå ìû äîëæíû å àòü çàäà ó (1) ñ èíòå âàëüíûìè íà àëüíûìè äàííûìè y(t i ) Y (t i ). Îäíàêî, åñëè f(t, y) êâàçèìîíîòîííà, ìû îòñëåæèâàåì çà 2 n å åíèßìè ñèñòåìû ó àâíåíèé, èìå ùèõ èñëîâîå íà àëüíîå çíà åíèå è íå àáîòàåì ñî âñåì ñèìïëåêñîì,èìå ùèì n âå èí è îïèñûâà ùèì ìíîæåñòâî òî íûõ å åíèé. Åñëè f ëèíåéíàß ôóíêöèß, íàì ò åáóåòñß ëè ü (n +1) òî êà. Ìû âûïîëíßåì çíà èòåëüíî áîëü èé îáúåì àáîòû, åì â îáùåì ñëó àå, íî åçóëüòè ó ùåå âêë åíèå çíà èòåëüíî áëèæå ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé. Òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëß âû- èñëåíèß îïòèìàëüíîãî âêë åíèß å åíèß ó àâíåíèß y = f(y), äîëæíûì îá àçîì ò àêòóß íà àëüíîå óñëîâèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ï èìåíßòü ëèíåéíûå ï åîá àçîâàíèß, òîáû èñïîëüçîâàòü ï åèìóùåñòâà ìîíîòîííûõ å- åíèé (ïîòîêîâ). Ï îã àììû å åíèß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ ãà àíòè îâàííûì êîíò îëåì î èáîê, äîëæíû îáåñïå èâàòü âîçìîæíîñòü àñïîçíàâàòü îäíîìå íûå, êâàçèìîíîòîííûå èëè ëèíåéíûå çàäà è è ò àêòîâàòü èõ êàê ñïåöèàëüíûå ñëó àè. Êîíå íî àçíîñòíûå àïï îêñèìàöèè èñïîëüçó òñß âîìíîãèõ àëãî èòìàõ, 7

8 èíòå âàëüíûå âå ñèè òèõ àëãî èòìîâ ìîæíîñôî ìóëè îâàòü, äîáàâëßß èíòå âàëüíûå îöåíêè äëß ãëîáàëüíîé î èáêè [5, 6]. Èòàê, çàäà è ñ èñëîâûìè êî ôôèöèåíòàìè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôî ìå y(t i )=ôî ìóëà + Cy p (ξ), ξ (t i,t i+1 ), (4) ãäå ôî ìóëà (4) ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü ßâíîìó èëè íåßâíîìó îäíî àãîâîìó (ìíîãî àãîâîìó) ìåòîäó, âêë àß âû èñëåíèß f(t, y). Âêë åíèå y (p) (ξ) y (p) ([t i,t i+1 ]) âû èñëßåòñß ñ èñïîëüçîâàíèåì à èôìåòèêè äèôôå åíöèàëîâ [1, 2]. Òîãäà âû èñëåíèå óêàçàííîé ôî ìóëû â ó àâíåíèè (4) îáåñïå èâàåò âêë - åíèå å åíèß â òî êàõ t i : y(t i+1 ) Y i+1 = ôî ìóëà + Cy (p) ([t i,t i+1 ]). (5) Ôóíêöèß âêë åíèß ìîæåò áûòü ñêîíñò óè îâàíà èç èíòå ïîëßíòîâ, èñïîëüçóåìûõ òèìè ìåòîäàìè. Èíòå âàëüíûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà êîíå íî àçíîñòíûõ àïï îêñèìàöèßõ, íå ßâëß òñß ôôåêòèâíûìè, ïîñêîëüêó îíè äà ò âêë åíèß ëè ü â óçëàõ ñåòêè, à íå ôóíêöèè âêë åíèß, è ïîòîìó, òî ìåòîäû ßäîâ Òåéëî à äà ò îáû íî áîëåå óçêèå âêë åíèß. Ôî ìóëà âèäà y i+1 = y i +...,âû èñëßåìàß ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòå âàëüíîé à èôìåòèêè, ï èâîäèò ê ïîßâëåíè èíòå âàëüíûõ ôóíêöèé, è èíà êîòî- ûõ âîç àñòàåò ñ óâåëè åíèåì çíà åíèé à ãóìåíòà ( âîç àñòà ùèõ ïî è- èíå). Îäíàêî ïà û ôî ìóë, èñïîëüçóåìûõ ìíîãèìè èçâåñòíûìè àëãî èòìàìè äëß êîíò îëß çà âåëè èíîé àãà, ßâëß òñß ï èâëåêàòåëüíûìè äëß èíòå âàëüíîãî èñïîëíåíèß. Â èíòå âàëüíîé ïîñòàíîâêå çíà åíèß èíòå âàëîâ (âêë åíèß), ïîëó åííûå ïî äâóì ï àâèëàì ñëåäóåò ïå åñåêàòü, òîáû íàõîäèòü áîëåå óçêîå âêë åíèå. Ìó â ñâîèõ àáîòàõ [1, 2] èñïîëüçîâàë à èôìåòèêó äèôôå åíöèàëîâ, òîáû ñîçäàâàòü ßäû Òåéëî à äëß å åíèé è èíòå âàëüíûå ìåòîäû, îáåñïå èâà ùèå âêë åíèå îñòàòî íîãî ëåíà ßäîâ. Ïóñòü T i =[t i,t i+1 ], ŷ i îáîçíà àåò îöåíêó å åíèß y(t i )=y i. Ìó àçëàãàë ŷ(t) â ßä Òåéëî à â òî êå t = t i ñ àãîì h = t t i : ŷ(t) =ŷ i +ŷ ih +ŷ i h 2 /2! +...+ŷ (p) i h p /p!+e p Ï îèçâîäíûå ŷ (j) i =ŷ j (t i ) âû èñëß òñß èç äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß ñ ïîìîùü à èôìåòèêè äèôôå åíöèàëîâ e p =ŷ (p+1) (ξ)h p+1 /(p +1)!,ξ T i 8

9 Îáû íîå ï èìåíåíèå ìåòîäîâ ßäîâ Òåéëî à ñîâìåñòèìî ñî ñòàíäà òíûìè ìíîãî àãîâûìè ìåòîäàìè òèïà Ðóíãå-Êóòòà äëß å åíèß íåæåñòêèõ çàäà â àìêàõ îáû íîé (íåèíòå âàëüíîé à èôìåòèêè). Åñëè Y i èíòå âàë, òàêîé òî y i Y i, òî y(t) Y i (t) äëß t T i, ãäå Y i+1 (t) =Y i + Y i h + Y i h 2 /2! Y (p) i h p /p!+e p. (6) Â ó àâíåíèè (6) Y (j) i âû èñëßëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì òî íîãî åêó åíòíîãî ñîîòíî åíèß òàêîãî, êàê äëß ŷ (j) i ñ îòìå åííûìè îïå àöèßìè, åàëèçîâàííûìè â èíòå âàëüíîé à èôìåòèêå. Î èáêà óñå åíèß çàêë åíà â èíòå âàë E p = Y (p+1) i (T i )h p+1 /(p +1)! Òîãäà äëß Y i+1 = Y i (t i+1 ) ìû èìååì y i+1 Y i+1. Ó àâíåíèå (6) âû èñëßåò èíòå âàëû, èìå ùèå óâåëè èâà ùó ñß è èíó òàê, òî äëß óìåíü åíèß è èíû Y i+1 ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ìåòîäû êî åêöèè äåôåêòà èëè ñæèìà ùèõ èòå àöèé [22, 36, 37, 41]. Îäíî èç íàï àâëåíèé â ïîñò îåíèè èíòå âàëüíûõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèß îñíîâàíî íà ïîïûòêàõ î èåíòè îâàòü èíòå âàëüíûé âåêòî ( èíòå âàë) â ï îñò àíñòâå R n òàê, òîáû îí ó èòûâàë íàèáîëü åå è íàèìåíü åå îòêëîíåíèß ìíîæåñòâà òî íûõ å åíèé, âîîáùå ãîâî ß, èñïîëüçóß îöåíêè ñîáñòâåííûõ çíà åíèé ìàò èöû, ñîñòàâëåííîé èç ï îèçâîäíûõ ï àâîé àñòè. Âïå âûå òà èäåß áûëà ï åäëîæåíà Ê óêåáå ãîì ( KrΞuckeberg )[21], íî íàèáîëåå ïîëíîå àçâèòèå îíà ïîëó èëà â öèêëå àáîò Ëîíå à (Lohner) [38, 39, 40], êîòî ûé äîïîëíßåò îáû íûé àçíîñòíûé ìåòîä å åíèß ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé íàõîæäåíèåì âû àæåíèé, ï åäñòàâëß ùèõ ãëîáàëüíûå ïîã å íîñòè. Ýòà ìåòîäèêà ìîæåò áûòü åàëèçîâàíà òîëüêîï è âûïîëíåíèè äîâîëüíî ñëîæíûõ ï îöåäó äèôôå åíöè îâàíèß ôóíêöèé â ñèìâîëüíîì âèäå, ñîçäàíèåì êîòî ûõ çàíèìàëñß èíñòèòóò ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè ï è óíèâå ñèòåòå ã. Êà ëñ ó â òå åíèå íåñêîëüêèõ ëåò. Ìåòîä Ëîíå à ïîçâîëßåò ñò îèòü èíòå âàëüíûå îöåíêè äëß ìíîãèõ ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, íî è îê ê óã çàäà, â êîòî ûõ òè îöåíêè ñëè êîì è îêè. Â ë áîì ñëó àå îí ò åáóåò î åíü ìíîãî êîìïü òå íîãî â åìåíè è êîìïü òå îâ áîëü îé ï îèçâîäèòåëüíîñòè. Àëãî èòì ßäîâ Òåéëî à ïîçâîëßåò ïîëó èòü íåï å ûâíûå èíòå âàëüíîçíà íûå êóñî íûå ïîëèíîìû íà èíòå âàëå [t 0,t f ], ãäå Y (t) =Y i (t) íà T i. Âêë åíèå y(t) Y (t) âûïîëíßåòñß äëß âñåõ t [t 0,t f ], äàæå åñëè t èëè y(t) íå ßâëß òñß ìà èííîï åäñòàâèìûìè. Ñîñòàâëåíû àëãî èòìû íà îñíîâå àçëîæåíèé â ßäû Òåéëî à, ïîçâîëß ùèå âû èñëèòü âêë åíèß äëß y(t). 9

10 Âîçìîæíû ìíîãèå âà èàíòû ìåòîäà êî åêöèè äåôåêòà, îäíàêî âñå îíè èìå ò ñëåäó ùó îáùó ôî ìó: âû èñëßåòñß àïï îêñèìàöèß å åíèß ŷ(t) äëß y(t), äåôåêò îï åäåëßåòñß êàê d(t) =ŷ f(t, ŷ(t)), èñïîëüçóåòñß å åíèß ŷ çàäà è, êî ôôèöèåíòû êîòî îé áëèçêè ê êî ôôèöèåíòàì èñõîäíîé çàäà è, ŷ = f(t, y)+d(t) (ñóùåñòâîâàíèå å åíèß), âû èñëßåòñß ŷ ï èáëèæåííîå å åíèå çàäà è y = f(t, y)+d(t) ïîòîìó æå àëãî èòìó, òî è ŷ(t),, ï åäïîëàãàåòñß, òî ŷ ŷ(t) ŷ(t) y(t), òî åñòü ïîëàãàåì, òî î èáêè, ñäåëàííûå ï è å åíèè áëèæàé åé çàäà è, ï èáëèæåííî àâíû î èáêàì, ñäåëàííûì ï è å åíèè ïå âîíà àëüíîé (èñõîäíîé) çàäà è, òîãäà y(t) ŷ(t) (ŷ ŷ(t))., ï îèçâîäßòñß èòå àöèè àãîâ. Èíòå âàëüíûé âà èàíò ìåòîäà êî åêöèè äåôåêòà, ï åäëîæåííûé òåòòå îì [41] íàõîäèò èñëîâó àïï îêñèìàöè ñîâìåñòíî ñ èíòå âàëüíûì âêë - åíèåì î èáêè íà îñíîâå èíòå âàëüíîãî àëãî èòìà äëß ó àâíåíèß î èáêè. Çàìåòèì, òî ó àâíåíèå î èáêè ìîæåò áûòü ìîíîòîííûì, äàæå åñëè èñõîäíîå ó àâíåíèå íå îáëàäàåò òèì ñâîéñòâîì. Åñëè âêë åíèå, ïîëó åííîå â ìåòîäå, íå ßâëßåòñß äîñòàòî íî óçêèì, âûáè àåì ñëåäó ùó èòå àöè ñ èñëîâûìè çíà åíèßìè. Â åçóëüòàòå, å åíèå âñåãäà âû àæàåòñß êàê èñëîâîå ï èáëèæåíèå ñ ó åòîì èíòå âàëüíîãî âêë åíèß î èáêè. Äëß çàäà, íå àññìàò èâà ùèõ èíòå âàëüíûå íà àëüíûå äàííûå èëè ïà- àìåò û, ìåòîä êî åêöèè äåôåêòà ïîçâîëßåò íàõîäèòü âêë åíèß íàñòîëüêî óçêèå, íàñêîëüêî òî ìîæíî ñäåëàòü ï è âû èñëåíèßõ ìà èííîé à èôìåòèêå. Äëß çàäà, ñîäå æàùèõ èíòå âàëüíûå çíà åíèß èëè ïà àìåò û, òî íîñòü å åíèß çàâèñèò îò òî íîñòè, ïîëó àåìîé ïî èíòå âàëüíîìó àëãî èòìó ï è å åíèè ó àâíåíèß î èáêè. Ïîäõîä Êàóõå à [42] ê å åíè çàäà è (1), îñíîâàííûé íà òåî åìå ñóùåñòâîâàíèß è åäèíñòâåííîñòè Ïèêà à, èñïîëüçóåò ñæèìà ùèå èòå àöèè â èíòå âàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ï îñò àíñòâàõ. 10

11 Åñëè [a, b] ñîîòâåòñòâó ùàß îê åñòíîñòü òî êè t 0, à C I [a, b] îáîçíà àåò ìíîæåñòâî íåï å ûâíûõ èíòå âàëüíîçíà íûõ ôóíêöèé íà [a, b], òîãäà îòîá- àæåíèå Φ:C I [a, b] C I [a, b], çàäàííîå ôî ìóëîé Φ(Y )(t) =y 0 + t t 0 f(s, Y (s))ds, (7) ßâëßåòñß α ñæàòèåì, ãäå Y IC[a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè Φ(Y )(t) íàõîäèòñß ñò îãî âíóò è Y (t) êàê ìíîæåñòâà, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå å åíèå y çàäà è (1) è y Y. Ïîñêîëüêó Φ ßâëßåòñß ñæàòèåì, ìû ìîæåì ïîëó èòü âêë åíèå å åíèß, äîñòàòî íî áëèçêîå ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé ñ ïîìîùü èòå àöèé Y j+1 =Φ(Y j ). Â ï àêòè åñêèõ âû èñëåíèßõ èòå àöèè â ïîëó åííîì èòå àöèîííîì ó àâíåíèè äîëæíû áûòü âûïîëíåíû â ìíîæåñòâå íåï å ûâíûõ èíòå âàëüíûõ ôóíêöèé ñ êî ôôèöèåíòàìè, ã àíè íûå òî êè êîòî ûõ ßâëß òñß ìà èííî ï åäñòàâèìûìè èñëàìè (ïîíßòèå ìà èííî ï åäñòàâèìîãî èñëà îï åäåëåíî â [17, 69]). Èíòåã è îâàíèå â òîì ó àâíåíèè ï îèçâîäèòñß ïî àëãî èòìó èíòå âàëüíûõ êâàä àòó [42, 24]. Åñëè óçëû èíòåã è îâàíèß âûá àíû çà àíåå, íåâîçìîæíî, âîîáùå ãîâî ß, âû èñëßòü äîñòàòî íî òî íûå âêë åíèß, ñëåäîâàòåëüíî, óçëû îï åäåëß òñß àäàïòèâíî. Ðåçóëüòàò ñîñòîèò â òîì, òî àçìå íîñòü ìíîæåñòâà èíòå âàëüíûõ ôóíêöèé àñòåò ï è ñõîäèìîñòè èòå- àöèé. Èñïîëüçîâàíèå ñæèìà ùèõ èòå àöèé ï èâëåêàòåëüíîñ òåî åòè åñêîé òî êè ç åíèß, ïîñêîëüêó òî äàåò è òî íûå âêë åíèß, è ãëàäêèå å åíèß. Îäíàêî ìåòîä ê àéíå ò óäîåìîê, îñîáåííî åñëè íå âûá àíî äîñòàòî íî òî íîå íà àëüíîå âêë åíèå. Òàêî å íà àëüíîå âêë åíèå ìîæåò áûòü ïîëó åíî ëèáî ïî ìåòîäó ßäîâ Òåéëî à, ëèáî ïî ìåòîäó êî åêöèè äåôåêòà. Íàï èìå, àçóìíî èñïîëüçîâàòü àëãî èòì ßäîâ Òåéëî à [23, 24] äëß âû- èñëåíèß òî íûõ íà àëüíûõ ï èáëèæåíèé, çàòåì àëãî èòì êî åêöèè äåôåêòà äëß íàõîæäåíèß âêë åíèß å åíèß ó àâíåíèß î èáêè; è èñïîëüçîâàòü ñæèìà ùèå èòå àöèè ñ àäàïòèâíûìè óçëàìè, òîáû ïîëó èòü ãëàäêîå è òî íîå âêë åíèå å åíèß. Ýòîò ñîñòàâíîé àëãî èòì âû èñëßåò òî íîå âêë åíèå, íî ï èâîäèò ê áîëü èì âû èñëèòåëüíûì çàò àòàì. Â ïîñëåäíåå â åìß ïîßâëßåòñß ã óïïà àáîò, îñíîâàííàß íà àïï îêñèìàöèè ìíîæåñòâ òî íûõ å åíèé è èõ äèíàìèêè ëëèïñîèäàìè â n-ìå íîì ï îñò àíñòâå. Òàêèå àëãî èòìû áûëè ï åäëîæåíû â íàèáîëåå ïîëíîì âèäå â àáîòàõ Ô.Ë. å íîóñüêî[11] è çàòåì èõ èññëåäîâàíèß ï îäîëæàëèñü À.Ô. Ôèëèïïîâûì [46, 47] è ä óãèìè ó åíûìè [30, 45]. 11

12 Öåëü íàñòîßùåé àáîòû ßâëßåòñß: ñîçäàíèå íîâîãî êëàññà àëãî èòìîâ äëß ïîñò îåíèß ãà àíòè îâàííûõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, îáåñïå èâà ùèõ ïîêîî äèíàòíó ñõîäèìîñòü òèõ îöåíîê ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé èëè íåóëó àåìîñòü ïîëó àåìûõ îöåíîê äîêàçàòåëüñòâîòåî åì ñõîäèìîñòè èíòå âàëüíûõ îöåíîê, ïîëó åííûõ ïî óêàçàííûì ñõåìàì àíàëèç àçëè íûõ ìîäèôèêàöèé òèõ àëãî èòìîâ äëß ôôåêòèâíîãî íàõîæäåíèß èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ïîëó åíèå è èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ óï îùåíèß àíàëèòè åñêèõ àëãî èòìîâ ïîäñòàíîâêè ôî ìóë ñïëàéí-ôóíêöèé èññëåäîâàíèå è åàëèçàöèß àëãî èòìîâ ìà èííûõ èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è êîíò îëß òî íîñòè èñëåííûõ åçóëüòàòîâ. Íàó íàß íîâèçíà è ï àêòè åñêàß öåííîñòü. Îñíîâíûå åçóëüòàòû äèññå òàöèè ßâëß òñß íîâûìè è èìå ò êàê òåî åòè åñêó, òàê è ï àêòè åñêó öåííîñòü. Îáîñíîâàíà ñõîäèìîñòü èíòå âàëüíûõ îöåíîê ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé â õàóñäî ôîâîé ìåò èêå, ï è òîì îï åäåëåíèå å åíèß ñîäå æèò îáúåäèíåííîå èíòå âàëüíîå àñ è åíèå, è äîêàçàíû òåî åìû î ïîêîî äèíàòíîé ñõîäèìîñòè òèõ îöåíîê ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé. Òåì ñàìûì, ï åäëàãàåòñß ïîäõîä, ïîçâîëß ùèé ï åîäîëåòü âëèßíèå ôôåêòà Ìó à, ï îßâëß- ùåãîñß âî âñåõ ñóùåñòâó ùèõ àëãî èòìàõ íàõîæäåíèß äâóñòî îííèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Îáùàß ñõåìà òîãî àëãî èòìà îáúåäèíßåò íàõîæäåíèå ñèìâîëüíûõ ôî ìóë ñïëàéíôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèå ïî ìåòîäó êîëëîêàöèè, è èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ïî òèì ôî ìóëàì. Ñóùåñòâåííûì ôàêòîì ßâëßåòñß òî, òî â î òëè èå îò áîëü èíñòâà ñèìâîëüíûõ ìåòîäîâ å åíèß ó àâíåíèé [70, 71, 72] çäåñü èñïîëüçóåòñß è àçûñêèâàåòñß íå òî íîå å åíèå, à àíàëèòè åñêàß ôî ìóëà äëß ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, â ñîâîêóïíîñòè ñ èíòå âàëüíîé îöåíêîé ãëîáàëüíîé î èáêè, òî ïîçâîëßåò ï îèçâîäèòü ñò îãîå èññëåäîâàíèå å åíèé ñèñòåìû è ïîëó àòü ãà àíòè îâàííûå îöåíêè. Ï åäëîæåíû àçëè íûå ñïîñîáû íàõîæäåíèß èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ôóíêöèé â òîì èñëå ñóïå ïîçèöèé ôóíêöèé, òî ïîçâîëßåò ôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü èõ äëß íàõîæäåíèß îáëàñòåé çíà åíèé å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. 12

13 Ïîëó åííûå â äèññå òàöèè åçóëüòàòû èñïîëüçîâàëèñü äëß ñîçäàíèß ï îã àììíûõ ñ åäñòâ, åàëèçó ùèõ àëãî èòìû íàäåæíûõ âû èñëåíèé ( ßçûê åàëèçàöèè Borland Pascal 7.0, Object Windows for Pascal), à òàêæå óòèëèò äëß ïîëó åíèß ñèìâîëüíûõ ôî ìóë ñïëàéí-àïï îêñèìàöèé å åíèé ( åàëèçàöèß â ñèñòåìå Maple). Â ï èëîæåíèßõ 1 è 2 ï èâåäåíû ñèìâîëüíûå ôî ìóëû è ã àôèêè å åíèé, íàéäåííûõ ïî àç àáîòàííîìó àëãî èòìó. Îñíîâíûå ïîëîæåíèß, âûíîñèìûå íà çàùèòó. Íà çàùèòó âûíîñßòñß ìåòîäû, ïîñò îåííûå äëß íàõîæäåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, à òàêæå àëãî èòìû åàëèçàöèè ñèìâîëüíûõ ï åîá àçîâàíèé ïîëó àåìûõ ôî ìóë ñïëàéí- å åíèé è èíòå âàëüíûõ îïå àöèé ñ êîíò îëåì òî íîñòè. Îñíîâíûå àãè èñëåííî àíàëèòè åñêèõ àëãî èòìîâ âêë à ò Âû àæåíèå çíà åíèß ñïëàéíà â ë áîé èíòå åñó ùåé íàñ òî êå t èíòå âàëà [t 0,t k ] êàê ôóíêöèè îò íà àëüíûõ çíà åíèé ëèíåà èçàöè äàííîé ôóíêöèè ïî íà àëüíûì çíà åíèßì â íåêîòî îé òî êå Îöåíêó íî ìû àçíîñòè çíà åíèé ñïëàéíà S(t) è òî íîãî å åíèß y(t) ñ ïîìîùü îöåíîê ãëîáàëüíîé î èáêè Îï åäåëåíèå èíòå âàëüíîé îöåíêè ìíîæåñòâà å åíèé ïî êàæäîé êîìïîíåíòå êàê îáúåäèíåíèå èíòå âàëüíîãî àñ è åíèß ñïëàéí-ôóíêöèè, àïï îêñèìè ó ùåé å åíèå èñõîäíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå- åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è èíòå âàëüíîé îöåíêè ãëîáàëüíîé î èáêè Àï îáàöèß àáîòû. Ðåçóëüòàòû äèññå òàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñåìèíà å êàôåä û âû èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ ìåõàíèêè ñïëî íîé ñ åäû Íîâîñèáè ñêîãî ãîñóäà ñòâåííîãî óíèâå ñèòåòà ïîä óêîâîäñòâîì àêàäåìèêà Í.Í. SSíåíêî; íà ñåìèíà å ïî èñëåííîìó àíàëèçó ïîä óêîâîäñòâîì àêàäåìèêà.è. îêèíà (ÈÒÏÌ ÑÎ ÐÀÍ, ã. Íîâîñèáè ñê); íà ñåìèíà å Ï îáëåìû ìàòåìàòè åñêîãî è èñëåííîãî ìîäåëè îâàíèß (ÂÖ ÑÎ ÐÀÍ ã. Ê àñíîß ñê); íà êîíôå åíöèßõ ìîëîäûõ ó åíûõ ÈÒÏÌ ÑÎ ÐÀÍ ã.íîâîñèáè ñê (1981, 1983 ãã.); 13

14 íà ìåæäóíà îäíîì ñèìïîçèóìå ïî èíòå âàëüíîé ìàòåìàòèêå ( Ô ßéáó ã, Ãå ìàíèß, 1980 ã.); íà Âñå îññèéñêèõ ñîâåùàíèßõ ïî èíòå âàëüíîìó àíàëèçó ( 1985, 1986, 1988ãã. μ ã. Ê àñíîß ñê, 1992ã. μ Àá àó-ä ñî); íà Âñå îññèéñêîé êîëå Âû èñëèòåëüíûå ìåòîäû è ìàòåìàòè åñêîå ìîäåëè îâàíèå Èíñòèòóò ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè èì.ì.â.êåëäû à, Ê àñíîß ñêèé ãîñóíèâå ñèòåò (1986 ã. ó åíñêîå); íà Âñå îññèéñêîéêîíôå åíöèè Àêòóàëüíûå ï îáëåìû ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè Ñà àòîâñêèé ãîñóíèâå ñèòåò ( 1991ã. Ñà àòîâ); íà 8-é ìåæäóíà îäíîé êîëå-ñåìèíà å Êà åñòâåííàß òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ãèä îäèíàìèêè μ Èíñòèòóò ãèä îäèíàìèêè èì. Ì.À.Ëàâ åíòüåâà, Ê àñíîß ñêèé ãîñóíèâå ñèòåò ( 1992ã. Ê àñíîß ñê); íà ìåæäóíà îäíîé êîíôå åíöèè ïî èñëåííîìó àíàëèçó è àâòîìàòè åñêîé âå èôèêàöèè åçóëüòàòîâ Óíèâå ñèòåò òàòà Çàïàäíàß Ëóèçèàíà (1993ã. Ëóèçèàíà, Ñ À); íà ìåæäóíà îäíîé êîíôå åíöèè ïî êîìïü òå íûì ñèñòåìàì è ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêå Ñ.-Ïåòå áó ãñêèé ãîñóíèâå ñèòåò (1993ã. Ñ.-Ïåòå áó ã); íà ìåæäóíà îäíîé êîíôå åíöèè ïî èíòå âàëüíûì è êîìïü òå íî-àëãåá àè åñêèì ìåòîäàì â íàóêå è èíæåíå èè Ñ.-Ïåòå áó ãñêèé ãîñóíèâå ñèòåò ( 1994ã. μ Ñ.-Ïåòå áó ã); íà Âñå îññèéñêîì ñîâåùàíèè ïî èíòå âàëüíîé ìàòåìàòèêå Èíñòèòóò âû- èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé ÑÎ ÐÀÍ, Íîâîñèáè ñê (1994,1995 ãã. Íîâîñèáè ñê); íà ìåæäóíà îäíîé êîíôå åíöèè ïî èñëåííîìó ìîäåëè îâàíè â íàó íûõ èññëåäîâàíèßõ, êîìïü òå íîé à èôìåòèêå è ãà àíòè îâàííûì âû èñëåíèßì (SCAN-95) Óíèâå ñèòåò ã. Âóïïå òàëü, Ãå ìàíèß ( 1995ã.- Âóïïå òàëü, Ãå ìàíèß). Ñò óêòó à è îáúåì àáîòû. Äèññå òàöèß ñîñòîèò èç ââåäåíèß, ò åõ ãëàâ, çàêë åíèß, ñïèñêà ëèòå àòó û (86 íàèìåíîâàíèé) è ï èëîæåíèé. Â ïå âîé ãëàâå, ñîñòîßùåé èç ò åõ ïà àã àôîâ ï îâåäåíî àññìîò åíèå çàäà è íàõîæäåíèß äâóñòî îííèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ï è òîì ìû îñíîâûâàåìñßíààíàëèçå íå îäíîãî å åíèß, à öåëîé ñîâîêóïíîñòè å åíèé. 14

15 Òîãäà èñëåííûé ìåòîä âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé äîëæåí ñîçäàâàòüñß ñ ó åòîì ñëåäó ùèõ öåëåé: 1. Íàõîæäåíèå âêë åíèß å åíèß ñ êîíò îëåì èñòèííîñòè òîãî âêë åíèß; 2. Îï åäåëåíèå êîëè åñòâåííîé îöåíêè âëèßíèß âà èàöèè èñõîäíûõ äàííûõ íà å åíèå; 3. Èññëåäîâàíèå ï àêòè åñêîé óñòîé èâîñòè å åíèß îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà èçìåíß ùèõñß (âîçìóùà ùèõ) ôóíêöèé; 4. Îïèñàíèå ñîâîêóïíîñòè å åíèé ìíîæåñòâ ñèñòåì ÎÄÓ. Â ïå å èñëåííîì ñïèñêå åòâå òûé ïóíêò ßâëßåòñß îñíîâîé äëß åàëèçàöèè ò åõ ï åäûäóùèõ ïóíêòîâ. Ìàòå èàë äàííîé ãëàâû ñîäå æèò îñíîâíûå âîï îñû, îñâåùà ùèå ïîíßòèå ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è èõ îñíîâíûõ õà àêòå èñòèê. Ðàññìàò èâàåòñß ñëó àé îäíîãî ó àâíåíèß è ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ïîíßòèå ñå åíèß ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ìåò èêè Õàóñäî ôà. Ïîêàçàíî, òî ìåò èêà Õàóñäî ôà ï èìåíèìà äëß çàäà îöåíèâàíèß ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ ñ êîìïàêòíûìè ìíîæåñòâàìè íà àëüíûõ äàííûõ è ñîîòâåòñòâó ùåé ãëàäêîñòü ï àâîé àñòè. Ââîäèòñß ïîíßòèå ñõîäßùèõñß îöåíîê è ï èâîäèòñß ï èìå ñõîäßùèéñß îöåíêè îäíîãî äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß. Âî âòî îé ãëàâå, âêë à ùåé ò è ïà àã àôà, àññìàò èâà òñß âîï îñû, ñâßçàííûå ñ ïîñò îåíèåì âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè è îòêëîíåíèé òèõ îöåíîê îò ã àíèö ñîâîêóïíîñòè âñåõ òî íûõ å åíèé óêàçàííîé çàäà è. Çäåñü îïèñàí ìåòîä ïîñò îåíèß èíòå âàëüíûõ îöåíîê, êîòî ûé îñíîâàí íà ï åäâà èòåëüíîì îï åäåëåíèè ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé â àíàëèòè åñêîì âèäå, ãà àíòè îâàííîé îöåíêå ãëîáàëüíûõ î èáîê è íàõîæäåíè èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé (ñîâìåñòíî äëß ôî ìóë è ãëîáàëüíûõ î èáîê). Ò åáîâàíèå ñò îèòü ôî ìóëû ï èáëèæåííûõ å åíèé â ë áîé òî êå t îáëàñòè G ïîçâîëßåò áî îòüñß ñ âëèßíèåì ôôåêòà Ìó à, ïîñêîëüêó ïå åíîñèò îï åäåëåíèå èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé íà ïîñëåäíèé òàï àëãî èòìà, òî åñòü ñíèìàåò ïî àãîâîñòü îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé. Ï è òîì ï èìåíß- òñß êóñî íî-ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèè (èëè ñïëàéí-ôóíêöèè) àçëè íûõ 15

16 ñòåïåíåé ãëàäêîñòè è äåôåêòîâ, òî îáúßñíßåòñß íåîáõîäèìîñòü ôôåêòèâíî âûïîëíßòü àíàëèòè åñêèå âûêëàäêè äëß êîìïü òå îâ ñ åäíåé ï îèçâîäèòåëüíîñòè è êîíôèãó àöèè. Çàìåòèì, òî âûáî âèäà ñïëàéí-ôóíêöèé çàâèñèò îò òîãî, äëß êàêèõ ñèñòåì ó àâíåíèé ï îèçâîäßòñß îöåíêè: äëß ñèñòåì ó àâíåíèé, èìå ùèõ ëèíåéíó ï àâó àñòü, èëè íåëèíåéíó ï àâó àñòü. Ðåçóëüòàòû íàñòîßùåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â àáîòàõ [76, 77, 78, 79, 81, 86]. Ò åòüß ãëàâà ñîñòîèò èç äâóõ ïà àã àôîâ è ñîäå æèò îïèñàíèå àëãî èòìîâ è ï àêòè åñêèõ âîï îñîâ åàëèçàöèè, ñâßçàííûõ ñ ïîñò îåíèåì ï îã àìì èíòå âàëüíûõ îïå àöèé ñ êîíò îëåì òî íîñòè è ï îöåäó äëß àíàëèòè åñêèõ îïå àöèé àëãî èòìà. Ï è âûïîëíåíèè èñëåííûõ àëãî èòìîâ, â òîì èñëå èíòå âàëüíûõ, ìîãóò ïîßâëßòüñß ôôåêòû, âûçâàííûå âëèßíèåì î èáîê îê óãëåíèß è ïîòå åé òî íîñòè ï è ñîê àùåíèßõ. Êîìïü òå íûå ñèñòåìû íå ï åäóñìàò èâà ò ôôåêòèâíîãî ìåõàíèçìà îï åäåëåíèß òî íîñòè âû èñëåíèé èëè ïå åêîìïèëßöèè íåòî íûõ åçóëüòàòîâ äëß ïîëó åíèß áîëü åé òî íîñòè. Ðåàëèçàöèß ñèìâîëüíî èíòå âàëüíûõ àëãî èòìîâ å åíèß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, îïèñàííûõ â ïà àã àôàõ 2,3 ãëàâû 2, íàëàãàåò ñâîè ò åáîâàíèß ê èñïîëüçîâàíè ï îã àììíûõ ìîäóëåé è ï îã àììíûõ îáîëî åê, âûïîëíß ùèõ äåéñòâèß ïî âû èñëåíè çíà åíèé èíòå âàëüíûõ âû àæåíèé, èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ôóíêöèé è òîìó ïîäîáíûõ. Â àáîòàõ [73, 74] ïàêåò èíòå âàëüíûõ îïå àöèé èñïîëüçóåòâïîäï îã àììàõ òèïû äàííûõ âåùåñòâåííûõ è öåëûõ èñåë, à ñàìè èíòå âàëüíûå âåëè èíû ï åäñòàâëåíû êàê ìàññèâû äëèíû 2. Ñàìè àëãî èòìû èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è ìà èííûõ à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé ìîãóò áûòü åàëèçîâàíû íà ë áîì ßçûêå âûñîêîãî ó îâíß è â íàñòîßùåå â åìß èñïîëüçîâàíû ï îã àììíûå ñ åäñòâà íà ßçûêàõ Ïàñêàëü è ÑÈ. Îñíîâà òàêîé åàëèçàöèè îï åäåëßåòñß ò åáîâàíèßìè, îáóñëîâëåííûìè ñîâìåñòíûì èñïîëüçîâàíèåì ñèìâîëüíûõ âû èñëåíèé è èíòå âàëüíîãî îöåíèâàíèß î èáîê ï èáëèæåííûõ å åíèé, à òàêæå èíòå âàëüíûõ âû èñëåíèé àñ è åíèé äëß ïîëó åííûõ ñïëàéí- å åíèé. Â ï îã àììàõ, åàëèçó ùèõ à èôìåòè åñêèå îïå àöèè íàä ã àíè íûìè çíà åíèßìè èíòå âàëîâ, èñïîëüçó òñß íàï àâëåííûå îê óãëåíèß, òî ïîçâîëßåò äîáèòüñß ãà àíòè îâàííîãî âêë åíèß â ïîëó åííûé èíòå âàë òî íîãî åçóëüòàòà à èôìåòè åñêèõ îïå- àöèé, à òàêæå ïîëó åíèß ãà àíòè îâàííîé âåëè èíû òî íîñòè. Ìà èííàß à èôìåòèêà â çíà èòåëüíîé ìå å çàâèñèò îò àïïà àòíûõ åàëèçàöèé, êîòî ûå ï åäîñòàâëßåò ïîëüçîâàòåë ÝÂÌ, ïî òîìó ï è íàïèñàíèè ï îöåäó à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé ãà àíòè îâàííîé òî íîñòè (ñ íàï àâëåííûìè îê óãëåíèßìè) ñ åäñòâàìè ßçûêà âûñîêîãî ó îâíß ï èõîäèòñß ï î- 16

17 èçâîäèòü íî ìàëèçàöè èñåë, ñäâèãè, ï îâå êó ïå åïîëíåíèß, îê óãëåíèß èñåë. Ðåçóëüòàòû íàñòîßùåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â àáîòàõ [74, 75, 76, 81]. 17

18 ÃËÀÂÀ 1. Îïèñàíèå ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ è èõ âîë öèè 1.1. Âêë åíèå å åíèé îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ðàññìîò èì îáûêíîâåííîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå ñ íà àëüíûìè çíà åíèßìè, çàäàííûìè â âèäå èíòå âàëà du dt = f(u) (1.1) u(t 0 ) U 0 =[u 0, u 0 ] Ïóñòü ôóíêöèß f(u) íåï å ûâíà íà íåêîòî îì îòê ûòîì èíòå âàëå G, ñîäå æàùåì t 0 è óäîâëåòâî ßåò óñëîâè Ëèï èöà íà çàìêíóòîì èíòå âàëå [t 0,t k ] G. Îáîçíà èì å åç U t îá àç ìíîæåñòâà U 0 â ìîìåíò â åìåíè t â ñèëó ñèñòåìû (1.1), òî åñòü U t = { u(t) u(t 0 ) U 0} (1.2) Ìíîæåñòâî U t ìîæíî íàçâàòü ñå åíèåì ñîâîêóïíîñòè å åíèé, ñîîòâåòñòâó- ùèõ çíà åíè U 0 ï è ôèêñè îâàííîì â åìåíè t. Åñëè ï åäïîëîæèòü, òî âûïîëíåíî óñëîâèå íåï å ûâíîé äèôôå åíöè óåìîñòè å åíèß ïî íà àëüíûì äàííûì, òîäëß ñå åíèß ñåìåéñòâà ò àåêòî èé ìîæíî âû èñëèòü äëèíó ïîëó à ùåãîñß èíòå âàëà: w(u t )=U t U t = [U,U] du = [u 0,u 0 ] u(t) u 0 du 0 = U 0 e t t 0 f u u(s)ds du 0 (1.3) Ñîäå æàòåëüíîé ï è òîì ßâëßåòñß ïîñòàíîâêà çàäà è îöåíèâàíèß ìíîæåñòâà U t â ë áîé ìîìåíò â åìåíè t è îï åäåëåíèå ñòåïåíè òî íîñòè òîãî îöåíèâàíèß. Äàëåå àññìîò èì èíòå âàëüíûé ìåòîä, êîòî ûé ïîçâîëßåò ñò îèòü ñõîäßùèåñß èíòå âàëüíûå îöåíêè, òî ìîæåò ïîñëóæèòü èëë ñò àöèåé ïîíßòèß ñõîäèìîñòè è àñõîäèìîñòè âå õíèõ è íèæíèõ (èíòå âàëüíûõ) îöåíîê â ñëó àå ñèñòåì ó àâíåíèé. Âñ äó ìû ï åäïîëàãàåì, òî íàä âñò å à ùèìèñß â ôî ìóëàõ èíòå âàëàìè ï îèçâîäßòñß ñîîòâåòñòâó ùèå èíòå âàëüíûå îïå àöèè, â òîì èñëå âçßòèå èíòå âàëüíîãî èíòåã àëà [1]. Ââåäåì íà èíòå âàëüíîì ï îñò àíñòâå I ìåò èêó Õàóñäî ôà h(a, B) =max{ a b, a b }, 18

19 ãäå íèæíèé íàä å ê îáîçíà àåò íèæí ã àíèöó èíòå âàëà, âå õíèé íàä å ê âå õí ã àíèöó èíòå âàëà. Îáîçíà èì å åç C I ([t 0,t k ]) ï îñò àíñòâî íåï å- ûâíûõ èíòå âàëüíîçíà íûõ ôóíêöèé, îï åäåëåííûõ íà èíòå âàëå [t 0,t k ] ñ ìåò èêîé h I (F, G) =max t max { f(t) g(t), f(t) g(t) }. Ï åîá àçóåì ó àâíåíèå 1.1 ê èíòåã àëüíîìó ó àâíåíè u(t) =u 0 e L(t t 0) + ãäå t t 0 [f(u(s)) + Lu(s)]e L(t s) ds == u 0 e L(t t 0) + t t0 g(u(s))ds (1.4) g(u(s)) = e L(t s) [f(u(s)) + Lu(s)], (1.5) L = max t [t 0,t k ] { f u (u(t)) Ëåãêî âèäåòü, òî ï îèçâîäíàß g u 0 äëß ë áîãî t [t 0,t k ]. Ðå åíèå çàäà- è (1.1) êâèâàëåíòíî îòûñêàíè âñåõ íåï å ûâíûõ å åíèé èíòåã àëüíîãî ó àâíåíèß (1.4) òàêèõ, òî u 0 U 0. Äëß å åíèß èíòåã àëüíîãî ó àâíåíèß (1.4) èñïîëüçóåì èíòå âàëüíûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé (ìåòîä Ïèêà à). Èìååì ãäå V n+1 (t) =U 0 e L(t t 0) + t G(V (n) (s)) = [g(v (n) (s)),g(v (n) (s))], }. t 0 G(V (n) (s))ds, (1.6) V (n) (s) =[v (n) (s), v (n) (s)],n=1, 2,..., ßâëß òñß åñòåñòâåííûìè èíòå âàëüíûìè àñ è åíèßìè ôóíêöèé g(v),v, V (0) (s) =[u (0) e L(s t0), u (0) e L(s t0) ], V (0) (s) íåêîòî îå íà àëüíîå ï èáëèæåíèå, ñîäå æàùåå U t. Ï è òîì V (1) âûáè àåòñßòàê, òîáû V (2) (s) V (1) (s), ï è òîì ìîãóò ïîßâèòüñßíåêîòî ûå îã àíè åíèß íà çíà åíèß s. Îòìåòèì òàêæå, òî èíòå âàëüíîå àñ è åíèå óäîâëåòâî ßåò íå àâåíñòâó G(V (n) (s)) = [g(v (n) (s)),g(v (n) (s))] h I (G(V (n),g(v (n+1) ) Lh I (V (n),v (n+1) ), 19

20 ï è íåêîòî ûõ åñòåñòâåííûõ óñëîâèßõ. Íåñëîæíûìè àññóæäåíèßìè ìû ìîæåì ïîêàçàòü, òîìåòîä 1.6âï î- ñò àíñòâå I(R)) èìååò íåïîäâèæíó òî êó V, êîòî àß ñîâïàäàåò ñ U t ï è ë áûõ â åìåííûõ çíà åíèßõ t. Äëß äîêàçàòåëüñòâà òîãî çàìåòèì, òî îïå àòî Pic(V ) V 0 + t t0 G(V (s))ds ïå åâîäèò íåï å ûâíûå èíòå âàëüíîçíà íûå ôóíêöèè â íåï å ûâíûå èíòå âàëüíîçíà íûå ôóíêöèè è ßâëßåòñß ñæèìà ùèì â ìåò èêå h I è íåêîòî ûõ åå àíàëîãàõ. Â êà åñòâå êâèâàëåíòíîé åé ìåò èêè îï åäåëèì ĥ I (F, G) = max t [t 0,t k ] max { e L 1(t t 0 ) ( f(t) g(t), f(t) g(t) ) } (1.7) çäåñül 1 L. Èçâåñòíî, òî îáå ìåò èêè h I è ĥi îáëàäà ò èíâà èàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ñäâèãà. Ê îìå òîãî ĥ I (V (n+1) (t),v (n) (t)) = ĥi( t G(V (n) t (s))ds, G(V (n 1) (s))ds). t 0 t 0 Èíòå âàëüíûé èíòåã àë â ñèëó íåï å ûâíîñòè ïîäûíòåã àëüíîé ôóíêöèè G çàïè åòñß òàê t G(V (n) t (s))ds =[ g(v (n) t (s))ds, g(v (n) (s))ds]. t 0 t 0 t 0 Òîãäà èñïîëüçóß îáîçíà åíèß C e = e L 1(t t 0), C s = e L 1(s t) e L 1(s t 0), ïîëó- àåì íå àâåíñòâà max t C e max max t max t t t ĥ I ( G(V (n) t (s))ds, G(V (n 1) (s))ds) = t 0 t 0 t 0 g(v (n) )ds e L 1(t t 0 ) max t L t t L t 0 g(v (n 1) )ds t 0, t t 0 g(v (n) )ds v (n) v (n 1) t ds, L t 0 t t 0 g(v (n 1) )ds v (n) v (n 1) ds t 0 C s max( v (n) (s) v (n 1) (s), v (n) (s) v (n 1) (s) )ds t L max e L 1(t t 0 ) dsĥi(v (n),v (n 1) L ( 1 e L 1 (t k t 0 ) ) t t 0 L ĥi(v n,v (n 1) ). 1 Ïîñêîëüêó ìû âûá àëè L 1 L,òîï èk = L/L 1 èìååò ìåñòî ( 1 e L 1(t k t 0 ) ) < 1. Ñëåäîâàòåëüíî ïîëó èì óñëîâèå ñæèìàåìîñòè. 20

21 Ýòî îçíà àåò, òî èòå àöèîííûé ï îöåññ (1.6) èìååò íåïîäâèæíó òî êó V. Ï è äîêàçàòåëüñòâå ìû èñïîëüçîâàëè òîò ôàêò, òî h I (g(v (k) ),g(v (k+1) )) ĥi(g(v (k) ),G(V (k+1) )) LĥI(V (k),v (k+1) ), à òàêæå àíàëîãè íîå íå àâåíñòâî äëß g(v (k), v (k+1) ). Âêë åíèå U t V ñëåäóåò èç ìîíîòîííîñòè îòíîñèòåëüíî âêë åíèß ôóíêöèè g è èíòå âàëüíûõ îïå àöèé. Ï àâàß ã àíèöà èíòå âàëà V ßâëßåòñß ï åäåëüíîé òî êîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè v n+1 = v (0) t + g(v (n) )ds t 0 â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè g, îáóñëîâëåííîé âûïîëíåíèåì íå àâåíñòâà g v 0. Ýòî îçíà àåò, òî V ßâëßåòñß òàêæå ìàêñèìàëüíûì å åíèåì ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ïîäîáíûå àññóæäåíèß îáîñíîâûâà- ò, òî V ßâëßåòñß ìèíèìàëüíûì å åíèåì. Ïî òîìó U t = V. Èíòå âàëüíûé âà èàíò ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé ïîëåçåí òåì, òî îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñõîäèìîñòè ê èíòå âàëó òî íûõ å åíèé íà âñåì èíòå âàëå â åìåíè t ï è âûïîëíåíèè äîñòàòî íî î åâèäíûõ è íåîá åìåíèòåëüíûõ óñëîâèé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, òî ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé â ñëó àå ñèñòåì ó àâíåíèé íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì áëèçîñòè ê èíòå âàëó òî íûõ å åíèé íà âñåì èíòå âàëå, à ëè ü íà íåêîòî îì ìàëîì ïîäèíòå âàëå, õîòß âêë åíèå ñîõ àíßåòñß. Äëß îïèñàíèß âîë öèè ìíîæåñòâ å åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ìîæíî å àòü áîëåå îáùèå çàäà è îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè å- åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ïà àìåò û êîòî ûõ èçìåíß òñß íà íåêîòî îé ñîâîêóïíîñòè çíà åíèé. Íàï èìå, ïîä ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè ñ íà àëüíîãî ìíîãîîá àçèß R 0 ïîíèìàåòñß âñå ìíîæåñòâî ï àâûõ êîíöîâ x(τ) ò àåêòî èé x(t), t 0 t τ, íà èíà ùèõñß íà R 0, òî åñòü x(t 0 ) R 0. Ìåòîäû èíòå âàëüíîãî àíàëèçà ìîãóò áûòü ôôåêòèâíî èñïîëüçîâàíû äëß èññëåäîâàíèß ñîâîêóïíîñòè å åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Îñíîâíûì èíñò óìåíòîì èññëåäîâàíèß ï è òîì ßâëßåòñß ï èâîäèìàß íèæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îï åäåëåíèé è óòâå æäåíèé. Ïóñòü U è U n òî èíòå âàëû ï è n =1, 2,... Òîãäà U n ñõîäèòñß ê U ï è n, ñò åìßùèìñß ê áåñêîíå íîñòè, åñëè lim U n n = U è n lim U n = U. Ïóñòü P îòîá àæåíèå èíòå âàëîâ, çàäà ùåå ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé. Ñôî ìóëè óåì ñëåäó ùåå óòâå æäåíèå. 21

22 Ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòå âàëüíàß ôóíêöèß U 0 òàêàß, òî PU 0 U 0. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíûå èòå àöèè U n+1 = PU n îá àçó ò óáûâà ùó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòå âàëüíî-çíà íûõ ôóíêöèé è lim n U n (t) =U(t), ãäå U(t) èíòå âàëüíàß ôóíêöèß íà I. Ê îìå òîãî, åñëè u ï îèçâîëüíîå å åíèå ó àâíåíèß pu =0, òî u(t) U(t) íà îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèß å åíèé J. Ðàññìîò èì çàäà ó ñ èíòå âàëüíûìè íà àëüíûìè äàííûìè äëß ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ï àâûå àñòè êîòî îé óäîâëåòâî ß ò óñëîâè Ëèï èöà. Ïîëàãàåì, òîêàæäàß çàäà à ñ íà àëüíûìè äàííûìè du = f(t, u), (1.8) dt u(t 0 )=u 0 K îäíîçíà íî àç å èìà ï è äîñòàòî íî ìàëûõ âåëè èíàõ íà èíòå âàëå K = {u : u u 0 r 1,r 1 > 0} Îï åäåëèâ îïå àòî T, îòîá àæà ùèé ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ èñåë â ñåáß t Tu = u(t 0 )+ f(s, u(s))ds, (1.9) t 0 ìû ïîëó àåì, òî å åíèå çàäà è 1.8 ìîæåò áûòü ï èáëèæåíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà åíèé èòå àöèîííîãî ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé u j+1 = Tu j,j=1, 2... (1.10) ãäå u(t 0 )=u, u 1 (t) K, u 1 R ï îñò àíñòâó âåùåñòâåííûõ èñåë. Çàìåòèì, òî ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé 1.10 õà àêòå åí îòñóòñòâèåì èíòå âàëüíûõ âåëè èí â êà åñòâå ïà àìåò îâ è ìíîæèòåëß e L(t t 0), êîòî ûå îáåñïå èâà ò ñõîäèìîñòü ìåòîäà 1.6 äëß ë áîãî t. Ìîæíî ïîëó èòü ã àíèöû î èáîê ìåòîäà (1.10), îáåñïå èâà ùèå âîçìîæíîñòü ïîñò îåíèß îöåíîê è âîë öèè òèõ ã àíèö u j+1 (t) u j (t) t ãäå u 2 (s) u 1 (s) ε äëß s [t 0,t] I, t 0 L u j (s) u j 1 (s) L j 1 ε (t t 0) j 1, (j 1)! 22

23 1.2. Íåêîòî ûå èíòå âàëüíûå ìåò èêè è îñîáåííîñòè èõ ï èìåíåíèß äëß îöåíêè èíòå âàëüíûõ âêë åíèé. Ï èìåíåíèå èíòå âàëüíûõ ìåò èê è èõ ñâîéñòâà îñíîâàíû íà êëàññè- åñêèõ ïîíßòèßõ òîïîëîãè åñêèõ è ìåò è åñêèõ ï îñò àíñòâ, îá àçîâàííûõ êàê äëß îáû íûõ, òàê è äëß èíòå âàëüíûõ èñåë. Î åíü àñòî â çàäà àõ èíòå âàëüíîé ìàòåìàòèêè, àññìàò èâà ùèõ âîï îñû ñêî îñòè ñõîäèìîñòè è ìåò è åñêèå ñâîéñòâà, èñïîëüçóåòñß ìåò èêà Õàóñäî ôà. Ñâîéñòâà ìåò èêè Õàóñäî ôà ìîæíî îïèñàòü, ââîäß âíà àëå ñîîòâåòñòâó ùåå òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî. Íàïîìíèì, òî òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî íàçûâàåòñß õàóñäî ôîâûì, åñëè äëß ë áûõ äâóõ åãî àçëè íûõ òî åê a è b èç A íàéäóòñß îê åñòíîñòè U a è V b, ïå åñå åíèå êîòî ûõ ïóñòî (U V =0). Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñß ï îñò àíñòâîì òîïîëîãèè. Îá àçóåì èíòå âàëüíó òîïîëîãè, ââîäß ñèñòåìó îòê ûòûõ è çàìêíóòûõ èíòå âàëîâ. Õîòß íàñ èíòå åñóåò âîï îñû ñõîäèìîñòè â èíòå âàëüíîì ï îñò àíñòâå ñ ìåò èêîé, òà òîïîëîãèß ïîçâîëßåò ëó å ïîíßòü íåêîòî- ûå êîíê åòíûå âîï îñû ñõîäèìîñòè. Áóäåì íàçûâàòü îòê ûòûì (çàìêíóòûì) ëó îì ìíîæåñòâà âèäà {x A : a<x}({x A : a x}), à îòê ûòûì (çàìêíóòûì) èíòå âàëîì ëèáî îòê ûòûé (çàìêíóòûé) ëó, ëèáî ìíîæåñòâî âèäà (a, b) ={x A : a<x<b}([a, b] ={x A : a x b}); a, b A Â íà åé ñèñòåìå ìíîæåñòâî îòê ûòûõ (çàìêíóòûõ) èíòå âàëîâ òî íàèìåíü àß ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, çàìêíóòàß îòíîñèòåëüíîêîíå íîãî ïå åñå åíèß è ñîäå æàùàß âñå îòê ûòûå (çàìêíóòûå) ëó è. Äàëåå îï åäåëèì, òî èíòå âàëîì â A íàçûâàåòñß ìíîæåñòâî, êîòî îå ßâëßåòñß ëèáî îòê ûòûì, ëèáî çàìêíóòûì èíòå âàëîì, ëèáî ìíîæåñòâîì âèäà [a, b) ={x A : a x b} Áóäåì íàçûâàòü èíòå âàëüíîé òîïîëîãèåé íàèìåíü ó ñèñòåìó ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, çàìêíóòó îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèß è êîíå íîãî ïå åñå åíèß è ñîäå æàùó âñå îòê ûòûå ëó è. Ìîæíî äàòü êâèâàëåíòíîå îï åäåëåíèå: èíòå âàëüíàß òîïîëîãèß òî íàèìåíü àß ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, çàìêíóòàß îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèß è ñîäå æàùàß âñå îòê ûòûå èíòå âàëû. Ëåãêî ïîêàçàòü, òî èíòå âàëüíàß òîïîëîãèß õàóñäî ôîâà. 23

24 Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a, b A è a<b. Åñëè ñóùåñòâóåò ëåìåíò c (a, b), òî îòê ûòûå èíòå âàëû, ßâëß ùèåñß îòê ûòûìè ëó àìè, íå ïå åñåêà òñß è ñîäå æàò ëåìåíòû a è b ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè èíòå âàë (a, b) ïóñò, òî îòê ûòûå ëó è (îòê ûòûå èíòå âàëû), ñîäå æàùèå a è b, ñîîòâåòñòâåííî, íå ïå åñåêà òñß. Êàê ñëåäñòâèå òîãî ôàêòà è òîãî, òî èíòå âàëüíàß òîïîëîãèß õàóñäî ôîâà, êàæäàß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò íå áîëåå îäíîé ï åäåëüíîé òî êè. Äëß ìåò è åñêèõ ï îñò àíñòâ îï åäåëåíèå õàóñäî ôîâîé ìåò èêè ï èìåò ñëåäó ùèé âèä. Õàóñäî ôîâûì àññòîßíèåì ìåæäó äâóìß êîìïàêòíûìè íåïóñòûìè ïîäìíîæåñòâàìè A, B ìåò è åñêîãî ï îñò àíñòâà X ñ ìåò èêîé d íàçûâàåòñß îòîá àæåíèå ãäå h(a, B) =inf{ε : A ε B,B ε A}, C ε = {x X : d(x, c) ε} äëß íåêîòî îãî c C.  âîï îñàõ îöåíèâàíèß èíòå âàëüíûõ âåëè èí àñòî èñïîëüçóåòñßìåò- èêà h : I(R n ) I(R n ) R h(a, B) = max max{ a i b i, a i b i }. (1.11) 1 i n  àñòíîì ñëó àå n =1èìååì êëàññè åñêó ìåò èêó äëß îöåíêè àññòîßíèß äâóõ èíòå âàëîâ h(a, B) =max{ a b, a b } Ëåãêî âèäåòü, òî h ßâëßåòñß õàóñäî ôîâîé ìåò èêîé h, ñîîòíîñßùåéñß ñ ìåò èêîé ìàêñèìóìà d : R n R n R, ãäå òî åñòü h(a, B) =h (A, B) =max d (a, b) = max 1 i n a i b i, { sup a A inf d (a, b), sup b B b B } inf d (a, b) a A (1.12) Ïîñêîëüêó ëåìåíòû (èíòå âàëû) â ï îñò àíñòâå I(R n ) êîìïàêòíû, ìåò è- åñêîå ï îñò àíñòâî (I(R n ),h ) áóäåò ïîëíûì. Èìååò ñìûñë äåòàëüíåå àññìîò åòü ñâîéñòâà õàóñäî ôîâîé ìåò èêè, ï èìåíßåìîé äëß îáû íûõ ìíîæåñòâ. Åñëè X áàíàõîâî ï îñò àíñòâî ñ íî ìîé 24

25 è ïî îæäåííîé åé ìåò èêîé d 0, ìîæíî îï åäåëèòü ïñåâäîìåò èêó Õàóñäî ôà p(a, B) =max sup x B d(x, A), sup y A d(y, B) ãäå d(x, A) =inf{d(x, y) : y A}, A,B ïîäìíîæåñòâà áàíàõîâà ï îñò àíñòâà X. Ðàññìàò èâàß ñîâîêóïíîñòü compx(convx) âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòíûõ (âûïóêëûõ êîìïàêòíûõ) ïîäìíîæåñòâ èç X êàê ïîäï îñò àíñòâî ï îñò àíñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ X, èìååì, òî òîïîëîãèß òîãî ï îñò àíñòâà èíäóöè óåò ìåò èêó Õàóñäî ôà (1.12). Åñëè Y X è Y êîìïàêò, òî comp Y ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâ èç Y, ßâëßåòñß êîìïàêòîì â ñîâîêóïíîñòè comp X. Èòàê, ï èìåíåíèå õàóñäî ôîâîé ìåò èêè äëß èíòå âàëüíûõ ëåìåíòîâ îï àâäàíî â ñèëó èõ âûïóêëîñòè è êîìïàêòíîñòè. Áëèçêî ñâßçàíà ñ òèì âîï îñîì çàäà à ï èìåíåíèß õàóñäî ôîâîé ìåò èêè äëß ñîâîêóïíîñòåé å- åíèé ñèñòåì ÎÄÓ èëè ìíîæåñòâ òî åê ôàçîâîé ïëîñêîñòè, äîñòèæèìûõ ê ìîìåíòó â åìåíè T 0 èç íà àëüíûõ òî åê x 0 X 0 ïî ò àåêòî èßì èñõîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ. Ï è åñòåñòâåííûõ ï åäïîëîæåíèßõ îäîñòàòî íîé ãëàäêîñòè ï àâîé àñòè ìîæíî ïîëó èòü óñëîâèß êîìïàêòíîñòè ñå åíèé ñîâîêóïíîñòåé å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ. Ï åîá àçîâàíèå ìíîæåñòâà U 0 â U t, îï åäåëßåìîå ò àåêòî èßìè ñèñòåìû, áóäåò íåï å ûâíîäèôôå åíöè óåìûì ïîíà àëüíûì äàííûì å åíèé èñõîäíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, èç êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà U 0 áóäåò âûòåêàòü êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà U t, òî åñòü ê U t âîçìîæíî ï èìåíåíèå õàóñäî ôîâîé ìåò èêè. Èñïîëüçîâàíèå õàóñäî ôîâîé ìåò èêè äëß àíàëèçà ñõîäèìîñòè è ïîëó åíèß îöåíîê îñíîâàíî íà ñâîéñòâàõ òîé ìåò èêè. Èíòå âàëüíîå îòîá àæåíèå V : I(R n ) I(R n ) ìåò è åñêîãî ï îñò àíñòâà (I(R n )),h) áóäåì íàçûâàòü ñæèìàåìûì, åñëè, h(v (x),v(y)) αh(x, y) äëß ë áûõ x, y I(R n ) ãäå 0 <α<1 (êî ôôèöèåíò ñæàòèß). Ï îâå êà òîãî îï åäåëåíèß ï îèçâîäèòñß äîñòàòî íî ëåãêî. Ïîëåçíûìè ßâëß òñß òàêæå ñëåäó ùèå ñâîéñòâà. Ñèììåò è íîñòü (àíàëîãè íî ìåò èêå ï îñò àíñòâà R n ) h(x + y, u + v) h(x, u)+h(y, v), ãäå x, y, u, v R n 25

26 h(x + Y,U + V ) h(x, Y )+h(y,v ), ãäå X, Y, U, V I(R n ); îäíî îäíîñòü h(αx, αy )= α h(x, Y ), ãäå α R, X, Y I(R n ). Åñëè [a j, a j ],j =1,..., n - èíòå âàëû â R, òî ï ßìîå ï îèçâåäåíèå òèõ èíòå âàëîâ n j=1 [a j, a j ] ï èíàäëåæèò I(R n ). Ïóñòü [a j, a j ]=[a j,b j ],j=1,..., n, èñïîëüçóß îáû íûå èíòå âàëüíûå îïå- àöèè, äëß ñóìì ï ßìûõ ï îèçâåäåíèé è óìíîæåíèß íà èñëî λ ïîëó èì : λ( n [a j,b j ]) = n [λa j,λb j ], åñëè λ 0 j=1 λ( n j=1 j=1 [a j,b j ]) = n [λb j,λa j ], åñëè λ<0 k n i=1 j=1 j=1 [a j i,b j i]= n k j=1 i=1 b j i i=1 a j i, k Ï èâåäåì îöåíêè â õàóñäî ôîâîé ìåò èêå äëß àññòîßíèé ìåæäó äâóìß ìíîæåñòâàìè : (a) (b) h( n j=1 h( n j=1 [a j,b j ], n j=1 [a j,b j ], [ã j, b j ]) max n j=1 j=1,2,...n { a j ã j, b j b j } [â j, ˆb j ]) n ( a j â j, b j ˆb j ) Äîêàçàòåëüñòâî òèõ îöåíîê íåñëîæíî. (a) Îáîçíà èì ìíîæåñòâà n j=1 [a j,b j ] è n j=1 [ã j, b j ] â ï îñò àíñòâå B(R n ) å åç A è Ã ñîîòâåòñòâåííî. Âûáå åì ï îèçâîëüíîå ε>d H(A, Ã), òîãäà â ñèëó h(a, B) inf{ε >0 J ε [A] B,J ε [B] A} ìû èìååì J ε [A] Ã, Jε[Ã] A. Åñëè α j < ã j, ìû ïîëó àåì èç J ε [Ã] A ñîîòíî åíèå ε ãj a j = ã j a j. Ñ ä óãîé ñòî îíû, åñëè a j > ã j, òî J ε [A] Ã âëå åò çà ñîáîé, òî ε a j ã j = ã j a j. Èòàê äëß j =1, 2,..., n ìû èìååì ε = ã j a j. Ïîäîáíûå à ãóìåíòû ïîêàçûâà ò, òî ε = b j b j,j =1,..., n. Ñëåäîâàòåëüíî, ï àâàß àñòü (a) íå ï åâîñõîäèò ε. Ïîñêîëüêó ε>d H (A, Ã) ï îèçâîëüíî, òî äîêàçûâàåò (à). (b) j=1 26

27 Îï åäåëèì ï è j =1, 2,..., n x j 1 =ã j ( a j ã j + b j b j ) x j 2 = b j ( a j ã j + b j b j è ïîëîæèì X = n j=1 [x j 1,x j 2]. Î åâèäíî, òî X Ã èïîñêîëüêó xj 1 a j, x j 2 b j (j =1, 2,..., n) X òàêæå ñîäå æèò A. Îáîçíà èì å åç ε = n j=1 ( a j ã j + b j b j ); òîãäà ïîñêîëüêó [ j=1( a n j ã j + b j b j ) 2 ] 12 n ( a j ã j + b j b j ), j=1 ìû èìååì A X J ε [Ã]. Àíàëîãè íûì îá àçîì ìîæíî ïîêàçàòü, òî J ε [A] ε h(a, Ã), òî äîêàçûâàåò (b). Ã. Ñëåäîâàòåëüíî 27

28 1.3 Ãà àíòè îâàííûå èíòå âàëüíûå îöåíêè ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ï îáëåìû îöåíêè îäíîãî å åíèß èëè ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé âîçíèêà ò â ñàìûõ àçíîîá àçíûõ ï èêëàäíûõ çàäà àõ, ñâßçàííûõ ñ èñëåííûì å åíèåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Îïè åì èíòå åñó ùèå íàñ ïîñòàíîâêè çàäà ãà- àíòè îâàííîãî îöåíèâàíèß èñëåííûõ å åíèé, ñâîéñòâåííûå òèì çàäà àì ïîíßòèß è àñòî èñïîëüçóåìûå îï åäåëåíèß. Â èññëåäîâàíèßõ ìû áóäåì âñò å àòüñß ñ ïîíßòèßìè âå õíèõ è íèæíèõ å åíèé, îáîñíîâûâà ùèõ îï åäåëåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê. Ðàññìîò èì çàäà ó Êî è äëß äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß y = f(t, y) (1.13) y(t 0 )=y 0, Åñëè ôóíêöèß f(t, y) íåï å ûâíà â íåêîòî îé îáëàñòè G ï îñò àíñòâà (t, y 1,y 2,...,y n ), òî å åç êàæäó òî êó òîé îáëàñòè ï îõîäèò ïî ê àéíåé ìå å îäíà èíòåã àëüíàß ê èâàß ñèñòåìû ó àâíåíèé (1.13). Ï è íàëè èè áîëåå îäíîãî å åíèß ìîæíî ãîâî èòü î ïó êå å åíèé, âûõîäßùèõ èç îäíîé òî êè. Âûïîëíåíèå îï åäåëåííûõ óñëîâèé, íàëàãàåìûõ íà ï àâûå àñòè ó àâíåíèé, íàï èìå, óñëîâèé Îñãóäà [13] ãà àíòè óåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü. Ï åäïîëîæèì, òî ôóíêöèß f(t, y) îï åäåëåíà è íåï å ûâíà â âûïóêëîé îáëàñòè G G. Ïóñòü P 0 (t, y 0 ) ï îèçâîëüíàß òî êà òîé îáëàñòè. Òî êó A áóäåì íàçûâàòü äîñòèæèìîé èç P 0, åñëè ñóùåñòâóåò èíòåã àëüíàß ê èâàß ó àâíåíèé (1.13), ñîåäèíß ùàß òî êè P 0 è A. Åñëè ìû àññìàò èâàåì îäíîäèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå, òîìîæíîââåñòè ïîíßòèß âå õíåãî (ìàêñèìàëüíîãî) è íèæíåãî (ìèíèìàëüíîãî) å åíèé. Îï åäåëåíèå. Ðå åíèå y(t) =U(t) ó àâíåíèß (1.13), âûõîäßùåå èç òî êè P 0 (t 0,y 0 ) îáëàñòè D è îï åäåëåííîå íà íåêîòî îì îò åçêå [a, b], ñîäå æàùåì âíóò è òî êó t 0, áóäåì íàçûâàòü âå õíèì (ìàêñèìàëüíûì), åñëè äëß ë áîãî ä óãîãî å åíèß ϕ(t), âûõîäßùåãî èç òîé æå òî êè, ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî ϕ(t) U(t) äëß âñåõ t [a, b], äëß êîòî ûõ å åíèß ϕ(t) è U(t) îï åäåëåíû îäíîâ åìåííî. 28

29 Àíàëîãè íî ôî ìóëè óåòñß îï åäåëåíèß íèæíåãî å åíèß. Îï åäåëåíèå. Ðå åíèå y(t) =L(t), îï åäåëåííîå ï è óñëîâèßõ, óêàçàííûõ â ï åäûäóùåì îï åäåëåíèè, áóäåì íàçûâàòü íèæíèì (ìèíèìàëüíûì) å åíèåì òîãî ó àâíåíèß, åñëè ϕ L(t) äëß ë áîãî ä óãîãî å åíèß ϕ(t), âûõîäßùåãî èç òîé æå òî êè. Ðàññìàò èâàß ñèñòåìó ó àâíåíèé y = f(t, y), (1.14) y(t 0 )=y 0, ãäå y(t)- âåùåñòâåííûé âåêòî àçìå íîñòè 2, ìû ìîæåì ñôî ìóëè îâàòü óñëîâèß, îáåñïå èâà ùèå ëîêàëüíîå ñóùåñòâîâàíèå â ñèñòåìå (1.14) âå õíåãî (íèæíåãî) å åíèß, â âèäå óòâå æäåíèß [13]. Óòâå æäåíèå. Åñëè ôóíêöèß f(t, y) íåï å ûâíà âíåêîòî îé îòê ûòîé îáëàñòè D D, òî äëß ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé (1.14) å åç êàæäó òî êó òîé îáëàñòè ï îõîäèò âå õíåå (íèæíåå) å åíèå, îï åäåëåííîå ïî ìåíü åé ìå å â íåêîòî îé äîñòàòî íî ìàëîé îê åñòíîñòè òî êè t 0. Åñëè ï ßìîóãîëüíèê t t 0 a, x x 0 b ëåæèò âíóò è îáëàñòè D è f(t, y) M, òî â òîì ï ßìîóãîëüíèêå ñóùåñòâóåò âå õíåå (íèæíåå) å åíèå â îê åñòíîñòè t t 0 δ, δ =min(a, b/m). Èòàê â ñëó àå ñèñòåì ó àâíåíèé, àçìå íîñòü ï àâîé àñòè êîòî ûõ áîëü- å èëè àâíà äâóõ, ìû ìîæåì ãîâî èòü î âå õíèõ è íèæíèõ å åíèßõ ëè ü â êàæäîé ôèêñè îâàííîé òî êå (t, y), òî åñòü, âîîáùå ãîâî ß, íà âñåì èíòå âàëå ñóùåñòâîâàíèß å åíèé èìåòü äåëî ñ âå õíèìè è íèæíèìè îöåíêàìè å åíèé. Çàäà à îöåíêè å åíèéμ òî áîëåå îáùàß ïîñòàíîâêà òàêèõ çàäà, ïîñêîëüêó ïîçâîëßåò íàõîäèòü âå õíèå è íèæíèå îöåíêè å åíèé (èëè âêë - åíèß å åíèé) â ë áîé òî êå. Íàï èìå, ìåòîä âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê, îáúåäèíåííûé ñ ìîíîòîííûì èòå àöèîííûì ìåòîäîì, ñîñòàâëß ò ãèáêèé è óäîáíûé ìåõàíèçì êîíñò óêòèâíîãî äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèß å åíèé. òîáû ïîëó èòü íå àâåíñòâà äëß å åíèé àçëè íûõ ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, íàï èìå, îòëè à ùèõñß íà àëüíûìè äàííûìè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåî è äèôôå åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâ, îáåñïå èâà ùó ñ àâíåíèå å åíèé. Â äàííîé îáëàñòè êëàññè åñêèì ï èìå îì ßâëßåòñß ïîäõîä Ñ.À. àïëûãèíà, ôî ìóëè îâêó êîòî îãî ìîæíîçàïèñàòü â ñëåäó ùåì âèäå. Ïóñòü çàäàíî 29

30 äèôôå åíöèàëüíîå íå àâåíñòâî v <f(t, v) (1.15) ãäå ôóíêöèß f îï åäåëåíà íà íåêîòî îì îòê ûòîì ìíîæåñòâå F 0, íåï å ûâíà è äèôôå åíöè óåìà íà èíòå âàëå [t 0,t 0 + τ 1 ],τ 1 > 0 è äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå z = f(t, z) (1.16) t [t 0,t 0 + τ 1 ] äëß êîòî îãî å åíèå z(t) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì z(t 0 )=z 0 äîïóñêàåò ï îäîëæåíèå íà ï îìåæóòîê [t 0,t 0 + τ 1 ]. Òîãäà å åç ë áó íà àëüíó òî êó (t 0,z 0 ) ï îõîäèò åäèíñòâåííîå å åíèå ó àâíåíèß (1.16). Åñëè âçßòü ë áó ôóíêöè v(t) òàêó, òî v(t 0 ) z(t 0 ), (1.17) è äëß êîòî îé íà èíòå âàëå [t 0,t 0 + τ) âûïîëíßåòñß (1.15), òî íà âñåì èíòå âàëå [t 0,t 0 + τ) áóäåò ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî v(t) z(t). (1.18) Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåî åìîé Ïåàíî äëß ôóíêöèè f(t, z), çàäàííîé íà íåêîòî îì îòê ûòîì ìíîæåñòâå F 0, è íåï å ûâíîé íà íåêîòî îì èíòå âàëå, çàâèñßùåì, âîîáùå ãîâî ß îò F 0 è íà àëüíûõ óñëîâèé (t 0,z 0 ) ñóùåñòâóåò å- åíèå çàäà è Êî è, íî îíî ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííûì, è å åç ë áó òî êó (t 0,z 0 ) èç îáëàñòè F 0 ìîæåò ï îõîäèòü ìíîæåñòâî èíòåã àëüíûõ ê èâûõ, êàæäàß èç êîòî ûõ èìååò âå èíó â (t 0,z 0 ). Ìàæî è ó ùó (ìèíî è ó ùó ) ìîäåëü ñ àâíåíèß â òîì ñëó àå ïîñò îèòü ìîæíî, åñëè ñ åäè âñåõ å åíèé z(t) èíòåã àëüíîé âî îíêè ñóùåñòâóåò âå õíåå å åíèå z(t) (ñîîòâåòñòâåííî íèæíåå å åíèå z(t).) Çíà èòåëüíî óñëîæíßåòñß âîï îñ îá îöåíèâàíèè ñâå õó è ñíèçó å åíèé ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ïîñêîëüêó êëàññ àññìàò èâàåìûõ ñèñòåì ñâîäèòñß ê ñèñòåìàì, äëß êîòî ûõ âûïîëíåíû óñëîâèß è òåî åìà Ò. Âàæåâñêîãî. Óñëîâèß Ò. Âàæåâñêîãî ï èìåíß òñß ê âåêòî íûì, íåï å ûâíûì, íî íå îáßçàòåëüíî äèôôå åíöè óåìûì ôóíêöèßì è ãà àíòè ó ò ñóùåñòâîâàíèå âå õíåãîè íèæíåãî å åíèé ñèñòåìû z = f(t, z) ï è ñîáë äåíèè óñëîâèé: μ íåï å ûâíîñòè, ôóíêöèß f( ) =f 1 ( ),...,f i ( ),...,f r ( ) îï åäåëåíà â îòê ûòîé îáëàñòè è íåï å ûâíà â íåé; 30

31 μ êâàçèìîíîòîííîñòè è íåóáûâàåìîñòè, âñå ñêàëß íûå êîìïîíåíòû f i (t, z) ìîíîòîííûå íåóáûâà ùèå ôóíêöèè âñåõ ñâîèõ à ãóìåíòîâ, ê îìå t è z i, êîòî ûå ñ èòà òñß ôèêñè îâàííûìè, òî åñòü èç z i z j,z i = z i,i j ñëåäó ò íå àâåíñòâà f i (t, z ) f i (t, z ) äëß ë áîãî i. Îòñóòñòâèå ò åáîâàíèß ìîíîòîííîñòè ïî t ñóùåñòâåííî äëß ï àêòè åñêèõ çàäà, òàê êàê ï è òîì íå óñò àíßåòñß âîçìîæíîñòü îöåíèâàòü å åíèß íåñòàöèîíà íûõ ñèñòåì, ó êîòî ûõ ôóíêöèè f i (t, ) ñ òå åíèåì â åìåíè ìîãóò êàê óáûâàòü, òàê è âîç àñòàòü, â àñòíîñòè äëß ó àâíåíèé ñ ïå åìåííûìè è ïå èîäè åñêèìè êî ôôèöèåíòàìè. Íå ìåíåå âàæíî îòñóòñòâèå ò åáîâàíèé íà õà àêòå ïîâåäåíèß ôóíêöèè f i ( ) ïî ñîáñòâåííîé ïå åìåííîé z i. Ýòîèìååò çíà åíèå, â àñòíîñòè, â òåõ ñëó- àßõ, êîãäà èçîëè îâàííàß ïîäñèñòåìà óñòîé èâà è ââåäåíèå óñëîâèß íåóáûâàíèß f i ( ) ïî z i ñäåëàëî áû ìåòîä îöåíêè, îñíîâàííûé íà òåî åìå Âàæåâñêîãî, ï àêòè åñêè áåñïîëåçíûì. Óñëîâèß Âàæåâñêîãî ëåãêî ï îâå ßåòñß â ñëó àå ëèíåéíûõ ñèñòåì. Ïóñòü äàíà ëèíåéíàß ñèñòåìà äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé z = W (t)z, ëåìåíòû ìàò èöû W (t) ìîãóò áûòü ôóíêöèßìè, çàâèñßùèìè îò t è ïîñòîßííûìè âåëè èíàìè: W (t) = w 11 (t) w 12 (t)... w 1r (t) w r1 (t) w r2 (t)... w rr (t) Â ñîîòâåòñòâèè ñ îï åäåëåíèåì Âàæåâñêîãî ôóíêöèß f( ) áóäåò êâàçèìîíîòîííîé è íåóáûâà ùåé â òîì è òîëüêîòîì ñëó àå, êîãäà âñå âíåäèàãîíàëüíûå ëåìåíòû ìàò èöû W áóäóò íåîò èöàòåëüíûìè: w ij 0, i j, i, j =1, 2,...,r. Ïîñòîßííûå ìàò èöû W ñ íåîò èöàòåëüíûìè âíåäèàãîíàëüíûìè ëåìåíòàìè äåòàëüíî èçó àëèñü Ë. Ìåòöëå îì è ïîëó èëè íàçâàíèå M-ìàò èö (ìåòöëå- îâûõ). Èòàê, ëèíåéíàß ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ M ìàò èöåé êî ôôèöèåíòîâ óäîâëåòâî ßåò óñëîâè Âàæåâñêîãî. Ñôî ìóëè óåì òåî åìó Âàæåâñêîãî (T. Wazewsky) [20]. Ïóñòü â ñèñòåìå z = f(t, z) (1.19) 31

32 ñ íà àëüíûìè óñëîâèßìè z(t 0 )=z 0, (1.20) âåêòî ôóíêöèß f( ) îï åäåëåíà èì íåï å ûâíà â îáëàñòè F = {(t, z) : t 0 τ 2 t t 0 + τ 1,τ 1 > 0,τ 2 > 0, z z 0 <ρ}, (1.21) è óäîâëåòâî åíû óñëîâèß Âàæåâñêîãî êâàçèìîíîòîííîñòè è íåóáûâàíèß f( ). Òîãäà: 1)åñëè å åíèå çàäà è Êî è (1.19,1.20) åäèíñòâåííî è çàäàíà âåêòî ôóíêöèß v(t), íåï å ûâíàß íà èíòå âàëå [t 0,t 0 + τ 1 ] èëè [t 0 τ 2,t 0 ], òàêàß, òî âûïîëíß òñß ñò îãèå íå àâåíñòâà èëè v(t 0 ) <z 0 (1.22) D + v(t) <f(t, v), t 0 t t 0 + τ 1 (1.23) D v(t) <f(t, v), t 0 τ 2 t t 0 (1.24) òîãäà ñï àâåäëèâî ñëåäó ùåå íå àâåíñòâî ( âñå íå àâåíñòâà ïîêîìïîíåíòíûå) v(t) <z(t) (1.25) ñîîòâåòñòâåííî íà èíòå âàëàõ [t 0,t 0 + τ 1 ] èëè [t 0 τ 2,t 0 ], 2) åñëè å åíèå çàäà è Êî è (1.19,1.20) íååäèíñòâåííî, òî íà íåêîòî îì èíòå âàëå [t 0 δ 2,t 0 +δ 1 ], δ 1,δ 2 > 0 ñóùåñòâó ò âå õíåå (ìàêñèìàëüíîå) è íèæíåå (ìèíèìàëüíîå) å åíèß z è z òàêèå, òî z(t) z(t) z(t), (1.26) è òè å åíèß ï îõîäßò å åç òî êó (t 0,z 0 ). Ïîäîáíûå óòâå æäåíèß ìîãóò áûòü äîêàçàíû òàêæå è äëß íåñò îãèõ íå àâåíñòâ, ï è åì D +,D +,D,D μ ï îèçâîäíûå Äèíè, êîòî ûå ìîæíî çàìåíèòü îáû íûìè ï îèçâîäíûìè, íå íà ó àß èñòèííîñòè òåî åìû. Ïîñò îåíèå âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê, à òàêæå èíòå âàëüíûõ îöåíîê ìîæåò áûòü óñïå íî ï îâåäåíî, åñëè îíè ïîëó à òñß íà îñíîâå ôóíêöèé, óäîâëåòâî ß ùèõ óñëîâèßì Âàæåâñêîãî, òî åñòü âå õíßß è íèæíßß ã àíèöû ñîâïàäà ò ñ âå õíèìè è íèæíèìè å åíèßìè. Ï è òîì ãà àíòè îâàííîñòü îöåíîê îáåñïå åíà ôî ìóëè îâêîé òåî åìû î ìàæî è îâàíèè ë áîãî å åíèß âå õíèì å åíèåì, ï è åì äëß íèõ ñîîòâåòñòâåííî îã àíè åíû èõ íà àëüíûå çíà åíèß. Àíàëîãè íîå àññóæäåíèå ñï àâåäëèâî îòíîñèòåëüíî îã àíè åííîñòè ñíèçó íèæíèì å åíèåì. 32

33 Åñëè ìû àññìàò èâàåì ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ, òî ìîæíî îòìåòèòü, òî ñ êàæäîé òî êîé x ñâßçàíî íå îäíî íàï àâëåíèå, à öåëûé êîíóñ, ñîäå æàùèé ïó îê äîïóñòèìûõ íàï àâëåíèé ñêî îñòåé ( êàñàòåëüíûõ ê ò àåêòî èßì). Òàêèì îá àçîì â îòëè èå îò ñèñòåìû ó àâíåíèé ñ èñëîâûìè êî ôôèöèåíòàìè, êîòî àß çàäàåòñß ïîëåì íàï àâëåíèé (èçîêëèíàìè), ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì çàäà òñß ïîëåì êîíóñîâ äîïóñòèìûõ (âîçìîæíûõ) íàï àâëåíèé ñêî îñòåé. Íàïîìíèì, òî äëß äèíàìè åñêèõ ñèñòåì ââîäèòñß ïîíßòèå ïîòîêîâ è âîë öèè ôàçîâûõ òî åê. Ðå åíèå x(t) ó àâíåíèß x = F (x), x S R n, óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìó óñëîâè x(t 0 )=x 0, îï åäåëßåò âîë öè ôàçîâîé òî êè, êîòî àß â ìîìåíò t = t 0 çàíèìàëà ïîëîæåíèå x 0, òî åñòü åå ï î ëîå (ï è t<t 0 ) è áóäóùåå (ï è t>t 0 ) ïîëîæåíèß. Ýòó èäå ìîæíî ôî ìàëèçîâàòü, ââåäß ôóíêöè ϕ t : S S. Òàêó ôóíêöè íàçûâà ò ôàçîâûì ïîòîêîì èëè îïå àòî îì âîë öèè. Òå ìèí îïå àòî âîë öèè îáû íî óïîò åáëßåòñß â ï èëîæåíèßõ, ãäå ϕ t îïèñûâàåò èçìåíåíèå ñîñòîßíèß íåêîòî- îé åàëüíîé ôèçè åñêîé ñèñòåìû âî â åìåíè. Òå ìèí ïîòîê àùå óïîò åáëßåòñß â ñëó àå, êîãäà èçó àåòñß äèíàìèêà â öåëîì, à íå âîë öèß äàííîé êîíê åòíîé òî êè. Ôóíêöèß ϕ t ïå åâîäèò òî êó x 0 S â òî êó ϕ t (x 0 ), ïîëó åííó èç x 0 çà â åìß t ï îäâèæåíèåì ïî èíòåã àëüíîé ê èâîé ñèñòåìû ÎÄÓ, ï îõîäßùåé å åç x 0. Äëß òîãî, òîáû ôóíêöèß ϕ t áûëà îï åäåëåíà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî íî âûïîëíåíèå òåî åìû ñóùåñòâîâàíèß è åäèíñòâåííîñòè äëß ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Äëß ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ìîæíî òàêæå ââåñòè çàäà ó èññëåäîâàíèß õà àêòå à äîïóñòèìûõ ò àåêòî èé è ìíîæåñòâà îäíîòèïíûõ êîíóñîâ íàï àâëåíèé ñêî îñòè. Îäíàêî â îáùåì ñëó àå âñò å àåòñß áîëü îå àçíîîá àçèå àçëè íûõ âà èàíòîâ, ïîä àñ ò åáó ùèõ âåñüìà ñê óïóëåçíûõ è íåò èâèàëüíûõ àññìîò åíèé. Ìîæíî âûäåëèòü çàäà ó ãëîáàëüíîãî èçó åíèß, âêë à ùó âñåáß âîçìîæíîñòè èõà àêòå û ïå åõîäîâ èç îäíîãî ìíîæåñòâà ï îñò àíñòâà ñîñòîßíèé â ä óãîå, ñîñåäíåå ñ íèì. Êà òèíó ãëîáàëüíûõ ñâßçåé ìîæíîï åäñòàâèòü â âèäå ã àôà, âå èíû êîòî îãî ï åäñòàâëß ò ñîáîé ìíîæåñòâà ïîñòîßííîãî òèïà êîíóñîâ (èëè èõ ïîäìíîæåñòâà), à åá à óêàçûâà ò íà âîçìîæíûå ïå åõîäû èçîá àæà ùåé òî êè èç îäíîãî ìíîæåñòâà â ä óãîå. Íàï èìå, ïóñòü K(x(t)) êîíóñ äîïóñòèìûõ íàï àâëåíèé, ïîñò îåííûé â ï îñò àíñòâå x(t) ñ âå èíîé â òî êå x(t). Äëß òîãî, òîáû íåêîòî àß ê èâàß x = x(t), t 0 t t 1, àñïîëîæåííàß â x, t, áûëà äîïóñòèìîé èíòåã àëüíîé ê èâîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî - 33

34 íî, òîáû ïîëîæèòåëüíûé ëó êàñàòåëüíîé S + (x(t)) ê x(t) ï èíàäëåæàë êîíóñó äîïóñòèìûõ íàï àâëåíèé K(x(t)) ïî òè âî âñåõ òî êàõ (x(t)), òî åñòü S + (x(t)) K(x(t),t) ïî òè äëß âñåõ t [t 0,t 1 ]. Åñëè ìû àññìàò èâàåì èíòå âàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâà å åíèé, ìîæíî ââåñòè îòîá àæåíèå âîë öèè, êîòî îå îï åäåëßåò ñâßçè è èçìåíåíèß èíòå âàëîâ, îöåíèâà ùèõ òî íûå å åíèß. Îïèñûâàß ïîâåäåíèß å åíèé ñèñòåìû y (t) =A(t)y(t)+b(t) (1.27) ñ çàäàííûìè y 0 (t),áóäåì ï åäñòàâëßòü âëèßíèå âîçìóùåíèé äèñê åòíûì ìíîæåñòâîì {E k k =0, 1, 2,...,N}, ãäå N èñëî àãîâ ï è âû èñëåíèè å åíèé. Ýòî îçíà àåò, òî ôî ìóëó å åíèé ñèñòåìû : y(t) =U(t, t k )(y k + t t k U 1 (s, t k ) b(s)ds), (1.28) ãäå U ôóíäàìåíòàëüíàß ìàò èöà, óäîâëåòâî ß ùàß ñèñòåìå U (t, t k )=A(t)U(t, t k ), U(t k,t k )=I, (I åäèíè íàß ìàò èöà), ìîæíî ïå åíåñòè íà ñëó àé ñèñòåìû ñ âîçìóùåíèßìè E k ñîãëàñíî ñëåäó ùåìó àëãî èòìó R 0 = E 0, (1.29) R k = {y(t)+e y(t 0 ) R k 1 },e E k, (1.30) å åíèå y(t) çàäàíî ôî ìóëàìè (1.28). Ôî ìóëû (1.30) îò àæà ò àñï îñò àíåíèå âíóò åííèõ î èáîê, ñ åäè êîòî ûõ âûäåëåíà ëîêàëüíàß î èáêà, èõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå R 0 = E 0, (1.31) tk R k = U(t k,t k 1 )+ U(t k,s)b(s)ds + E k. t k 1 Ëåãêîâèäåòü, òî òè ôî ìóëû ìîæíî ñâåñòè ê ñîîòíî åíèßì, ïîçâîëß ùèì ï èáëèæàòü àñï îñò àíåíèå ìíîæåñòâ å åíèé ïóòåì ï åäñòàâëåíèß è ï åîá àçîâàíèß èíòå âàëîâ, ñîäå æàùèõ ìíîæåñòâà å åíèé. 34

35 Ìîæíî ïîêàçàòü, òî íåïîñ åäñòâåííîå ï èìåíåíèå èíòå âàëüíûõ ôî ìóë, àïï îêñèìè ó ùèõ, íàï èìå, (1.30) ï èâîäèò ê îñòó è èíû ïîëó- àåìûõ èíòå âàëîâ, Âûâîäû: Â íàñòîßùåé ãëàâå îïèñûâàåòñß ïîäõîä, îñíîâàííûé íà àíàëèçå íå îäíîãî å åíèß, à öåëîé ñîâîêóïíîñòè å åíèé. Ï è àññìîò åíèè ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé (ÎÄÓ) åå å åíèå çàâèñèò îò ââîäèìûõ äàííûõ(íà àëüíûõ óñëîâèé, êî ôôèöèåíòîâ), êîòî ûå çà àñòó èçìåíß òñß íà íåêîòî ûõ ìíîæåñòâàõ èëè èíòå âàëàõ. Òîãäà èñëåííûé ìåòîä å åíèß ñèñòåì ÎÄÓ äîëæåí ñîçäàâàòüñß ñ ó åòîì ñëåäó ùèõ öåëåé: 1. Íàõîæäåíèå âêë åíèß å åíèß ñ êîíò îëåì èñòèííîñòè òîãî âêë åíèß; 2. Îï åäåëåíèå êîëè åñòâåííîé îöåíêè âëèßíèß âà èàöèè èñõîäíûõ äàííûõ íà å åíèå; 3. Èññëåäîâàíèå ï àêòè åñêîé óñòîé èâîñòè å åíèß îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà èçìåíß ùèõñß (âîçìóùà ùèõ) ôóíêöèé; 4. Îïèñàíèå ñîâîêóïíîñòè å åíèé ìíîæåñòâ ñèñòåì ÎÄÓ. 5. Â ïå å èñëåííîì ñïèñêå åòâå òûé ïóíêò ßâëßåòñß îñíîâîé äëß åàëèçàöèè ò åõ ï åäûäóùèõ ïóíêòîâ. Ìàòå èàë äàííîé ãëàâû ñîäå æèò îñíîâíûå âîï îñû, îñâåùà ùèå ïîíßòèå ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è èõ îñíîâíûõ õà àêòå èñòèê. Ðàññìàò èâàåòñß ñëó àé îäíîãî ó àâíåíèß è ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ïîíßòèå ñå åíèß ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ìåò èêè Õàóñäî ôà. Ïîêàçàíî, òî ìåò èêà Õàóñäî ôà ï èìåíèìà äëß çàäà îöåíèâàíèß ñîâîêóïíîñòè å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ ñ êîìïàêòíûìè ìíîæåñòâàìè íà àëüíûõ äàííûõ è ñîîòâåòñòâó ùåé ãëàäêîñòü ï àâîé àñòè. Ââîäèòñß ïîíßòèå ñõîäßùèõñß îöåíîê è ï èâîäèòñß ï èìå ñõîäßùèéñß îöåíêè îäíîãî äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß. 35

36 ÃËÀÂÀ2.Ðå åíèå çàäà è Êî è äëß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè 2.1. Âëèßíèå ôôåêòà Ìó à (wrapping effect) íà ïîâåäåíèå èíòå âàëüíûõ îöåíîê. Ïî òè âñå ñóùåñòâó ùèå ìåòîäû ïîñò îåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê ìíîæåñòâà å åíèé ñèñòåìû ÎÄÓ ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè èñïîëüçó ò äâà îñíîâíûõ àñïåêòà: 1. àáîòà ñ îäíîòèïíûìè, çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè çíà åíèé, îïèñûâàåìûõ êîíå íûì íàáî îì ïà àìåò îâ (ï ßìîóãîëüíûìè ïà àëëåëåïèïåäàìè â R n, ëëèïñîèäàìè, à àìè â íåêîòî îé íî ìå è òàê äàëåå), ï è òîì ââåäåííûå íàä íèìè îïå àöèè íå âûâîäßò âíå ñîâîêóïíîñòè òàêèõ ìíîæåñòâ; 2. ï èìåíåíèå òåî åì (ï èíöèïîâ) ñ àâíåíèß å åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ïîíßòèß ñõîäèìîñòè îöåíîê ìîãóò áûòü îõà àêòå èçîâàíû íà îñíîâå äâóõ ïîäõîäîâ: òåî åòè åñêîãî, àññìàò èâà ùåãî ñõîäèìîñòü â õàóñäî ôîâîé ìåò- èêå, ï è óñëîâèè çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâ îöåíîê è òî íûõ å åíèé; è ï àêòè åñêîãî, îïèñûâà ùåãî ïîêîî äèíàòíûå íåóëó àåìûå îöåíêè. Ðàññìîò èì ñèñòåìó äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ èíòå âàëüíûìè íà àëüíûìè äàííûìè y = f(t, y) (2.1) y(t 0 )=y 0 Y 0, (2.2) ãäå y(t) âåùåñòâåííûé âåêòî àçìå íîñòè n. Ïóñòü Y (t) îáîçíà àåò ñîâîêóïíîñòü òî íûõ å åíèé çàäà è 2.1, òî åñòü ìíîæåñòâî {y(t) y = f(t, y), y(t 0 ) Y 0 }. Ï è âûïîëíåíèè äîñòàòî íî î åâèäíûõ è ëåãêî ï îâå ßåìûõ óñëîâèé, íàï èìå, ñóùåñòâîâàíèå àâíîìå íûõ îöåíîê y(t) <bäëß âñåõ å åíèé ñèñòåìû íà èíòå âàëå t [s, T ], b > 0, âûïóêëîñòè è êîìïàêòíîñòè èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ï àâîé àñòè (2.1) ï è ë áûõ ôèêñè îâàííûõ t è y, ìîæíî ãà àíòè îâàòü êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà å åíèé Y (t). Äîêàçàòåëüñòâî òîãî ôàêòà ßâëßåòñß íåáîëü èì ñëåäñòâèåì äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè íîé òåî- åìû èç [15]. Îäíàêî, êàê ëåãêî çàìåòèòü, ìíîæåñòâî Y (t) ìîæåò îáëàäàòü äîñòàòî íî ñëîæíîé ãåîìåò è åñêîé ôî ìîé è ã àíèöà åãî ßâëßåòñß ñëîæíîé 36

37 ãåîìåò è åñêîé ôèãó îé. Âñòàåò çàäà à îöåíèòü ìíîæåñòâî å åíèé Y (t) ñ ïîìîùü ï îñòî îïèñûâàåìîãî îöåíî íîãî ìíîæåñòâà, â êà åñòâå êîòî îãî ìîæåò áûòü âûá àí, íàï èìå, èíòå âàë z(t). Åñòåñòâåííîå ò åáîâàíèå ï è òîì çàêë àåòñß â îöåíêå áëèçîñòè Y (t) è Z(t). Îäíî èç óñëîâèé, ñâßçûâà- ùèõ Y (t) è Z(t), ñîñòîèò âî âíå íåì âêë åíèè Z(t) Y (t). Â îáùåì ñëó- àå Z(t) ßâëßåòñß âåêòî íîé èíòå âàëüíîé ôóíêöèåé, òî åñòü ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó I(R n ) ï è êàæäîì çíà åíèè t. Ñ àâíåíèå áëèçîñòè äâóõ ìíîãîçíà íûõ ôóíêöèé, îäíà èç êîòî ûõ íå ßâëßåòñß èíòå âàëüíîçíà íîé, ìîæíî ï îèçâîäèòü ñ ïîìîùü ìåò èêè Õàóñäî ôà, àíåå îïèñàííîé â ïà àã àôå 2 ãëàâû 1. Îáùàß ôî ìóëà, çàäà ùàß õàóñäî ôîâó ìåò èêó, âûãëßäèò òàê { } h(a, B) =max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b), (2.3) a A b B b B a A ãäå A, B íåêîòî ûå ìíîæåñòâà â R n, d(a, b) =max max a i b i. i= 1,n Ïîñò îåíèå èíòå âàëüíûõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñèëüíî óñëîæíßåòñß îñòîì ñî â åìåíåì îòêëîíåíèß ã àíèö èíòå âàëîâ ä óã îò ä óãà î åíü àñòî êàê êñïîíåíòà îò â åìåíè. Ï è èíû òàêîãî ôôåêòà, âïå âûå îïèñàííîãî Ìó îì [1], òàê íàçûâàåìûé wrapping effect, ê î òñß âî ìíîãèõ ôàêòî àõ: íåñîâïàäåíèå èíòå âàëîâ (n ìå íûõ ï ßìîóãîëüíûõ ïà àëëåëåïèïåäîâ) ñ ñîâîêóïíîñòßìè òî íûõ å åíèé; àñ è åíèè îòíîñèòåëüíî èñõîäíûõ ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé àçìå íîñòè ñèñòåì ó àâíåíèé, îï åäåëß ùèõ âå õíèå è íèæíèå ã àíèöû; íåîáõîäèìîñòü îïèñûâàòü âîë öè âå õíèõ è íèæíèõ ã àíèö íà îñíîâå îïå àöèé, íàêàïëèâà ùèõ âîçìîæíûå çíà åíèß âî â åìåíè ñ ïîìîùü êàêèõ-ëèáî ï èíöèïîâ, íàï èìå ìîíîòîííîñòè ïî âêë åíè è òîìó ïîäîáíûõ. Èëë ñò è ó ùèé ï èìå ìîæíî îïèñàòü â ñëåäó ùåì âèäå. Ïóñòü àññìàò èâàåòñß ñèñòåìà ëèíåéíûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè y = Ay, (2.4) ãäå y âåêòî àçìå íîñòè äâà, A ìàò èöà êî ôôèöèåíòîâ A = Ëåãêî âèäåòü, òî å åíèå çàäà è Êî è äëß òîé ñèñòåìû ñ íà àëüíûìè äàííûìè y 0 =(y0,y 1 0) 2 îï åäåëßåòñß ïî ôî ìóëå y(t) = ( C 1 e t + C 2 e 2t) y 0, 37

38 ãäå îáîçíà åíî C 1 = C 2 = Ïóñòü èçâåñòíî, òî íà àëüíûå äàííûå çàäàíû íåêîòî îé èíòå âàëüíîé îöåíêîé y0 1 [ a 0,a 0 ],y0 2 [ b 0,b 0 ]. Òîãäà â ìîìåíò â åìåíè t 1 êîìïîíåíòû èíòå âàëüíîãî âåêòî à, îöåíèâà ùåãî ìíîæåñòâî òî íûõ å åíèé, çàäàíû âû àæåíèßìè y1 1 [ a 1,a 1 ],y1 2 [ b 1,b 1 ], ãäå a 1 = ( 3e h 2e 2h) a 0 + ( 2e h 2e 2h) b 0, (2.5) b 1 = ( 3e h 3e 2h) a 0 + ( 2e h +3e 2h) b 0. (2.6) Ï îäîëæàß òàêèå âûêëàäêè, ìû ìîæåì îñóùåñòâèòü âû èñëåíèå ã àíèö èíòå âàëîâ, âêë à ùèõ ìíîæåñòâà å åíèé â ìîìåíòû t 2,t 3,...,t n. Äëß òèõ ã àíèö ñï àâåäëèâû ñîîòíî åíèß a i = ( 3e h 2e 2h) a i 1 + ( 2e h 2e 2h) b i 1, b i = ( 3e h 3e 2h) a i 1 + ( 2e h +3e 2h) b i 1, êîòî ûå îá àçó ò ñèñòåìó àçíîñòíûõ ó àâíåíèé. Îáùåå å åíèå òîé ñèñòåìû àçíîñòíûõ ó àâíåíèé èìååò âèä a i =2N 1 λ i 1 + N 2 λ i 2,b i = N 1 λ i 1 3N 2 λ i 2, ãäå λ 1 è λ 2 êî íè õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß Ýòè êî íè ëåãêî íàéòè: λ 2 λ ( e h + e 2h) 12e 2h +25e 3h 12e 4h =0 λ 1 =4e h 3e 2h,λ 2 = 3e h +4e 2h, (2.7) è ìîæíî çàìåòèòü, òî ï è 0 <h<1 λ>1, ïî òîìó a i è b i àñòóò íåîã àíè åííî, òî åñòü êàæäûé èç ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòå âàëîâ èìååò âîç àñòà ùó è èíó, õîòß ñîâîêóïíîñòü å åíèé ñèñòåìû (2.4) ßâëßåòñß îã àíè åííûì ìíîæåñòâîì. Âîç àñòàíèå èíòå âàëîâ âêë åíèß äëß îáëàñòè çíà åíèé å åíèé ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, íà àëüíûå äàííûå êîòî îé áå óòñß èç 38

39 èíòå âàëà y 0, îáóñëîâëåíî ãëàâíûì îá àçîì òåì, òî ã àíèöû îáëàñòè çíà åíèé íå ïà àëëåëüíû êîî äèíàòíûì îñßì, íî îï åäåëß ò ïà àëëåëîã àìì, íàêëîíåííûé ïîä íåêîòî ûì óãëîì ê êîî äèíàòíûì îñßì. Ï è òîì íà êàæäîì àãå èíòå âàë âêë åíèß (ï ßìîóãîëüíûé ïà àëëåëåïèïåä) áóäåò âêë àòü ïîìèìî îáëàñòè çíà åíèé è ïîñòî îííèå òî êè, è òàêàß ïîã å íîñòü âîç àñòàåò îò àãà ê àãó. Âïå âûå ßâëåíèå êñïîíåíöèàëüíîãî îñòà è èíû èíòå âàëüíûõ îöåíîê áûëî îòìå åíî Ð.Ìó îì â êíèãå [1] íà ï èìå å ï îñòîé ëèíåéíîé ñèñòåìû äâóõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé y 1 = y 2,y 2 = y 1 (2.8) ñ èíòå âàëüíûìè íà àëüíûìè äàííûìè y 1 (0) [0, 1], y 2 (0) [0, 1]. Òîãäà èíòå âàëüíûå îöåíêè ñîâîêóïíîñòè å åíèé èìå ò âèä y 1 (t) [0, 1] cos t +[0, 1] sin t, y 2 (t) [ 1, 0] sin t +[0, 1] cos t. Íà îñíîâå åçóëüòàòîâ òåî èè äèôôå åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâ [3] ìîæíî çàïèñàòü ñëåäó ùó àñ è åííó ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî âå õíåé è íèæíåé îöåíîê å åíèé y 1 = y 2, y 2 = y 1, (2.9) y 1 = y 2, y 2 = y 1, ñ íà àëüíûìè äàííûìè y 1 (0) = 0, y 2 (0) = 0, y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 1. Ðå åíèå ñèñòåìû (2.9) èìååò âèä y 1 (t) = 1 2 ( e t +sint +cost ), y 2 (t) = 1 ( e t +cost sin t ), 2 39

40 y 1 (t) = 1 ( e t +sint +cost ), 2 y 2 (t) = 1 ( e t +cost sin t ), 2 Ñëåäîâàòåëüíî îòêëîíåíèå ã àíèö ä óã îò ä óãà ñîñòàâëßåò âåëè èíó ïî- ßäêà e t. Â òî êå t =2π òà âåëè èíà ñîñòàâëßåò e 2π Ïóñòü âåêòî (y 1,y 2,...,y n ) çàïèñàí â âèäå (y k, k y), ãäå îáîçíà åíèå k y îçíà àåò ñîâîêóïíîñòü êîìïîíåíò âåêòî à y çà èñêë åíèåì êîìïîíåíòû y k. Ôóíêöè f, çàâèñßùó îò y 1,y 2,...,y n, íàçîâåì àñòè íî èçîòîííîé (àíòèòîííîé) íà îáëàñòè D R n îòíîñèòåëüíî ïå åìåííîé y k, åñëè f(y k, k y) f(z k, k y) äëß âñåõ y k z k (y k z k ). Îï åäåëèì êëàññ ôóíêöèé f k (t, x k, k x), àñòè íî ìîíîòîííûõ îòíîñèòåëüíî ë áîé êîìïîíåíòû k x íà èõ îáëàñòè îï åäåëåíèß, íî íî íå ìîíîòîííûõ îòíîñèòåëüíî x k. Äëß ë áîé ôóíêöèè òîãî êëàññà óäîáíî çàïèñàòü f k (t, x k, k x)=f k (t, x k, k x i, k x a ), òîîçíà àåò, òîâåêòî û k x è y àçäåëåíû íà äâà ìíîæåñòâà êîìïîíåíò,äëß êîòî ûõ f k ßâëßåòñß èçîòîííîé îòíîñèòåëüíî k x i, è àíòèòîííîé îòíîñèòåëüíî kx a. Òîãäà äëß å åíèß ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé u k = f k (t, u), k=1, 2,...,n (2.10) âå õíèå u k è íèæíèå u k ã àíèöû å åíèß óäîâëåòâî ß ò ñèñòåìå ñ 2n íà àëüíûìè óñëîâèßìè: 2n ó àâíåíèé u k (t) =f ( k t, uk (t), k u(t) i, k u(t) a), (2.11) u k(t) =f k ( t, uk (t), k u(t) i, k u(t) a), u k (0) = a k, u k (0) = a k, Îäíàêî ôóíêöèè u(t), u(t) â îáùåì ñëó àå íå ßâëß òñß å åíèßìè (2.11), ñëåäîâàòåëüíî èíòå âàëüíûé âåêòî [u, u] ìîæåò áûòü íàçâàí èíòå âàëüíîé îöåíêîé å åíèé (2.11). 40

41 Êàê áûëî îòìå åíî, îäíîé èç ï è èí ïîßâëåíèß êñïîíåíöèàëüíîãî èëè áëèçêîãî ê íåìó îñòà äëèí èíòå âàëîâ ßâëßåòñß ïî àãîâîå óâåëè åíèå ïîã å íîñòåé ïîñò îåíèß èíòå âàëîâ âêë åíèß, ñîäå æàùèõ ñîâîêóïíîñòè òî íûõ å åíèé. Ðàññìîò èì ñëó àé ñèñòåìû äâóõ ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ ó àâíåíèé, íà ï èìå å êîòî îé, êàê áûëî îòìå åíî, ïîêàçûâàë âëèßíèå òîãî ôôåêòà Ð.Ìó [1]. Ïóñòü y 1(t) =y 2, y 2 (t) = y 1, y(x 0 )=(y1 0,y0 2 ) [Y 0, Y 0 ]. Ï èìåíèì äëß îöåíêè ìíîæåñòâ òî íûõ å åíèé èíòå âàëüíûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé, ñõîäèìîñòü êîòî îãî è íåêîòî ûå ä óãèå âîï îñû îáñóæäàëèñü â ïà àã àôå 1 ãëàâû 1. Çàìåòèì, òî èíòå âàëüíûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé ñíèìàåò ïî àãîâîñòü èíòå âàëüíûõ ìåòîäîâ, òàê êàê ïîçâîëßåò ïîëó èòü îöåíêè ñ àçó ï è èíòå åñó ùåì íàñ çíà åíèè à ãóìåíòà t. Îáîçíà èì ã àíèöû èíòå âàëîâ íà n àãå ï èáëèæåíèß Y (n) 1, Y (n) 1,Y (n) 2, Y (n) 2, òîãäà ìîæíî çàïèñàòü ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé â âèäå [ Y (n+1) 1, Y (n+1) ] t [ 1 = Y (n) 2 (s), Y (n) ] [ 2 (s) ds + Y 0 1, Y 0 ] 1, 0 [ Y (n+1) 2, Y (n+1) ] t [ 2 = Y (n) 1 (s), Y (n) ] [ 1 (s) ds + Y 0 2, Y 0 ] 2, 0 Ïóñòü Y 0 1 = a 1, Y 0 1 = a 1,Y 0 2 = a 2, Y 0 2 = a 2, òîãäà t n 1 t n 2 t n 3 Y (n) t n 1 = a 1 n! a 2 (n 1)! a 1 (n 2)! + a 2 (n 3)! t n 4 +a 1 (n 4)! a t n 5 2 (n 5)! a 1, t n 1 t n 2 t n 3 Y (n) t n 1 = a 1 n! a 2 (n 1)! a 1 (n 2)! + a 2 (n 3)! t n 4 +a 1 (n 4)! a t n 5 2 (n 5)! a 1, 41

42 Y (n) t n 2 = a 2 n! + a t n 1 1 (n 1)! a t n 2 2 (n 2)! a t n 3 1 (n 3)! t n 4 +a 2 (n 4)! + a t n 5 1 (n 5)! a 2, Y (n) t n 2 = a 2 n! a t n 1 1 (n 1)! a t n 2 2 (n 2)! a t n 3 1 (n 3)! t n 4 +a 2 (n 4)! + a t n 5 1 (n 5)! a 2. Íåñëîæíûå ï åîá àçîâàíèß òèõ ôî ìóë è ïå åõîä ê ï åäåëó ïîçâîëß ò ïîëó èòü âû àæåíèß äëß äëèí èíòå âàëüíûõ îöåíîê Y 1 (t) Y 1 (t) =(a 1 a 1 )cosht +(a 2 a 2 )sinht, Y 2 (t) Y 2 (t) =(a 2 a 2 )cosht +(a 1 a 1 )sinht, òî åñòü áëèçêèé ê êñïîíåíöèàëüíîìó îñò äëèí èíòå âàëîâ. Ñëåäîâàòåëüíî ïîñò îåíèå ìåòîäîâ èíòå âàëüíîãî îöåíèâàíèß äîëæíî ï îèñõîäèòü íà îñíîâå óìåíü åíèß âëèßíèß èíòå âàëüíûõ âû èñëåíèé, íàï èìå çíà åíèé ôóíêöèé. 42

43 2.2. Àíàëèòè åñêîå ï åäñòàâëåíèå å åíèé ñ ïîìîùü ñïëàéí-ôóíêöèé. Ðàññìàò èâàß ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé dy = f(t, y), dt ï àâûå àñòè êîòî îé óäîâëåòâî ß ò óñëîâèßì, îáåñïå èâà ùèì ñóùåñòâîâàíèå å åíèß äîñòàòî íîé ãëàäêîñòè, ìû ìîæåì ò àêòîâàòü åå êàê çàêîí äâèæåíèß òî êè y =(y 1, y 2,..., y n ) âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà R n. Ê îìå òîãî, áóäåì ñ èòàòü, òî êàæäîå íà àëüíîå óñëîâèå îäíîçíà íî îï åäåëßåò å åíèå y(s) =y 0 y(t) =u(t, s, y 0 ) èñõîäíîãî, ï è åì òî å åíèå îï åäåëåíî ï è ë áîì t. Òî êà y 0, äâèãàßñü ïîò àåêòî èßì ñèñòåìû (), çà â åìß îò s äî t ïå åéäåò â íîâó òî êó y(t). Îïå àòî U(t, s), îï åäåëß ùèéñß àâåíñòâîì U(t, s)y 0 = u(t, s, y 0 ) è çàäà ùèé ïå åõîä îò òî êè y 0 ê íîâîé òî êå y(t) íàçûâàåòñß îïå àòî îì ñäâèãà ïîò àåêòî èßì ñèñòåìû. Ëåãêî óñòàíîâèòü, òî îäíîçíà íàß àç å èìîñòü ï è êàæäîì íà àëüíîì óñëîâèè ñèñòåìû ó àâíåíèé () îçíà àåò íåï å- ûâíîñòü îïå àòî à ñäâèãà. Êàê áûëîçàìå åíîâ ïà àã àôå 1 ãëàâû 2, íàõîæäåíèå èíòå âàëüíûõ îöåíîê ñîâîêóïíîñòåé òî íûõ å åíèé ñèëüíî óñëîæíßåòñß îñòîì è èíû òèõ èíòå âàëîâ. Ïî òè âñå èçâåñòíûå ìåòîäû âêë åíèß å åíèé îñíîâàíû íà ïî àãîâîì óòî íåíèè îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé, òî ï èâîäèò ê âîç àñòàíè èõ è èíû îò àãà ê àãó. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïîäõîäîâ ê îöåíèâàíè ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè ñîñòîèò â îáúåäèíåíèè ñèìâîëüíîãî âû èñëåíèß ôî ìóë ï èáëèæåííîãî å åíèß ñ ïîñëåäó ùèì íàõîæäåíèåì èíòå âàëüíîãî àñ è åíèß. Òåì ñàìûì ìû àïï îêñèìè óåì îïå àòî ñäâèãà ïî ò àåêòî èßì ñèñòåìû ôî ìóëîé â ñèìâîëüíîì âèäå, òî â îï åäåëåííîé ñòåïåíè îñëàáëßåò ò åáîâàíèß ê ìåòîäó íàõîæäåíèß å åíèé â àíàëèòè åñêîì âèäå, õîòß âíîñèò íåêîòî ûå õà àêòå íûå å òû. Ìû ï èìåíßåì äëß ïîäîáíûõ öåëåé ñïëàéí-ôóíêöèè, îáëàäà ùèå õî î î èçâåñòíûìè àïï îêñèìè ó- ùèìè ñâîéñòâàìè è óäîáíûå äëß âû èñëåíèé ñèìâîëüíûõ âû àæåíèé. 43

44 Ðàññìîò èì å åíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ íà àëüíûìè äàííûìè â âèäå èíòå âàëà dy = f(t, y), (2.12) dt y(t 0 )=y 0 Y 0, ãäå Y 0 ï ßìîóãîëüíûé ïà àëëåëåïèïåä â R n. Îáîçíà èì ñîâîêóïíîñòü òî íûõ å åíèé çàäà è (2.12) êàê Y (t) ={y(t) y(t 0 ) Y 0 }. (2.13) Ïóñòü íà èíòå âàëå [t 0,t k ],ãäå àññìàò èâàåòñßçàäà à (2.12) ââåäåíà ñåòêà óçëîâ t 0 <t 1 <...,t n = t k,τ=max{t i+1 t i }. i Àëãî èòì ïîñò îåíèß èíòå âàëüíûõ îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèéîñíîâàííà àíàëèòè åñêîì âû èñëåíèè êî ôôèöèåíòîâ ñïëàéí-ôóíêöèé, óäîâëåòâî ß ùèõ óñëîâèßì êîëëîêàöèè â óçëàõ ñåòêè, ñ ïîñëåäó ùèì íàõîæäåíèåì èõ èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé è ñ èíòå âàëüíîé îöåíêîé ïîã å íîñòè ñïëàéíêîëëîêàöèè. Âíà àëå àññìîò èì ñëó àé, êîãäà ï àâàß àñòü èñõîäíîé ñèñòåìû ó àâíåíèé ëèíåéíàß ôóíêöèß îòíîñèòåëüíî âñåõ y j. Òîãäà äëß îï åäåëåíèß êî- ôôèöèåíòîâ ñïëàéí- å åíèé â ìåòîäå êîëëîêàöèè ìîæíî å àòü ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé îòíîñèòåëüíî òèõ êî ôôèöèåíòîâ òî íî, ïîëüçóßñü ñèñòåìàìè àíàëèòè åñêèõ âû èñëåíèé. Çàìåòèì, òî å åíèå íåëèíåéíûõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ïîò åáóåò íåêîòî ûõ èçìåíåíèé ï è âûáî å ñïëàéí-ôóíêöèé, èõ êî ôôèöèåíòîâ, õîòß íå âíîñèò ï èíöèïèàëüíûõ îòëè èé. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ íà àëüíûìè äàííûìè y = A(t)y + B(t) (2.14) y(t 0 )=y 0 Y 0, ãäå y =(y 1,...,y n ) T,A(t) =(a ij (t)) n n ), B(t) =(b 1 (t),...,b n (t)). Îáîçíà èì A(t)y + B(t) å åç M(t, y), m k (t, y) = n a kj (t), k=1, 2,...,n. j=1 44

45 Äëß M(t, y) âûïîëíåíî óñëîâèå Ëèï èöà â âèäå m (i) k (t, y) m (i) k (t, z) L ki y z y z, m (i) k ãäå L>0, L ki > 0, i=0, 1,...,p 1, k=1, 2,...,n, îï åäåëßåòñß ïî ôî ìóëàì m (i) m 0 k(t, y) =m k (t, y) k (t, y) = t m(i 1) k (t, y)+ n à â êà åñòâå íî ìû âûá àíî l=1 max y k z k. k y l (m (i 1) k )m k, Äëß àïï îêñèìàöèè êàæäîé êîìïîíåíòû y k âåêòî à å åíèé y èñïîëüçóåì ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéí-ôóíêöèè S k ñòåïåíè m äåôåêòà d. Ïîäáî çíà åíèé ïà àìåò îâ m è d áóäåò îñóùåñòâëßòüñß íà îñíîâå ò åáîâàíèß óñòîé èâîñòè ïîñò îåííîé ñïëàéí-ôóíêöèè. Îñíîâíûå òàïû íà åãî àëãî èòìà ìîæíî îïèñàòü òàê. Ýòàï 1. Âû àæàåì çíà åíèå ñïëàéíà S k (t) âë áîéèíòå åñó ùåé íàñ òî êå t èíòå âàëà [t 0,t K ] êàê ôóíêöè îò íà àëüíûõ çíà åíèé y 1 (t 0 ),..., y n (t 0 ). Ýòàï 2. Îöåíèâàåì àçíîñòü çíà åíèé ñïëàéíà S k (t) è òî íîãî å åíèß y k (t) ñ ïîìîùü îöåíîê âèäà max y k (t) S k (t) h m r(t), k ãäå r(t) íå çàâèñèò îò h, m > 0 íåêîòî àß êîíñòàíòà äëß ë áîãî k. Ýòàï 3. Â êà åñòâå èíòå âàëüíîé îöåíêè ìíîæåñòâà å åíèé ïî êàæäîé êîìïîíåíòå áå åì èíòå âàëüíó ôóíêöè. Y k (t) =S k(t)+h m [ r(t),r(t)], ãäå S k(t) îáúåäèíåííîå àñ è åíèå íàéäåííûõ ñïëàéí-ôóíêöèé ïî âñåì y 0 Y 0, ò.å. S k (t) = y 0 Y 0 S k (t). Ïå åéäåì ê îïèñàíè òàïà 1. 45

46 Íà èíòå âàëå [t 0,t k ] ââåäåì àâíîìå íó ñåòêó t i = t 0 + iτ, h =(t k t 0 )/n1, i=0, 1,...,n1. Íà êàæäîì ïîäèíòå âàëå J i =[t i,t i+1 ],i=0, 1,...,n1 1, äëß k êîìïîíåíòû ñïëàéí-ôóíêöèè S k (t) ñï àâåäëèâî ï åäñòàâëåíèå S k (t) = q j=0 Cij k (t t i ) j j! + d j=1 Ci,q+j k (t t i ) q+j (q + j)! ãäå êî ôôèöèåíòû óäîâëåòâî ß ò â òî êå t i óñëîâèßì Cij k = S(j) k (t i), j=0, 1,...,q, ï è åì C0j k = y(j) k (t 0), j=0, 1,...,q, à òàê æå óñëîâèßì êîëëîêàöèè â òî êå t i+1 : (2.15) S j k (t i+1) =m (j 1) k (t i+1,s(t i+1 )), j=1, 2,...,p. (2.16) Äëß äîêàçàòåëüñòâà àç å èìîñòè è åäèíñòâåííîñòè ñõåìû ñïëàéí-êîëëîêàöèè çàïè åì (2.15) â âèäå Dz = F (z, h), (2.17) ãäå z =(z i ) T R nd,z i = h q+l 1 Ci,q+l k 1, F (z, h) =(F l (z, h)) T R nd, F l (z, h) =h l 1 m (l 1 1) k (t i+1,s(t i+1 )) q Cir k r=l h r (r 1)!. Ìàò èöà D èìååò àçìå íîñòü nd nd è íå çàâèñèò îò âûáî à ï àâîé àñòè çàäà è (), îíà ñîñòàâëåíà èç n äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ D b. Ï è òîì D b =[(q + j l 1 )!] 1,l 1,j =1, 2,...,d, [( p)!] 1 =0, p N,l =(k 1)d + l 1,l 1 =1, 2,...,d, k =1, 2,...,n. Ïîëàãàß, òî â êà åñòâå ï àâîé àñòè m âûá àíà ôóíêöèß m(x), íå çàâèñßùàß îò y, ïîëó àåì çàäà ó èíòå ïîëè îâàíèß ïî Ý ìèòó, èìå ùó åäèíñòâåííîå å åíèå [9]. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàò èöà D íå âû îæäåíà äëß ë áûõ m(x, y). Ôóíêöèß F óäîâëåòâî ßåò óñëîâè Ëèï èöà â íî ìå ï îñò àíñòâà R nd. Ï èìåíßß òåî åìó Áàíàõà î íåïîäâèæíîé òî êå ê îòîá àæåíè D 1 F (z, h) :R nd Rnd, èìååì ï è äîñòàòî íî ìàëîì h ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîé íåïîäâèæíîé òî êè. Ðàç å èìîñòü è åäèíñòâåííîñòü ñõåìû ñïëàéí-êîëëîêàöèè ñëåäóåò èç òèõ àññóæäåíèé è ñõåìû äîêàçàòåëüñòâà. 46

47 Ï îâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ñõîäèìîñòè ïîëó åííûõ ñïëàéí-ôóíêöèé ê å- åíè çàäà è () è îöåíêó ïîã å íîñòè. Íà èíòå âàëå J i êàæäàß êîìïîíåíòà ñïëàéí-ôóíêöèè S k ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå S k (t) = q j=0 S (j) k (t i )L 1j (t)+ d S (j) k (t i+1 )L 2j (t)+ (2.18) j=1 +S k (t i+1 )L 20 (t), ãäå L 1j (t), L 2j (t) áàçèñíûå ïîëèíîìû èíòå ïîëè îâàíèß ïî Ý ìèòó, â îáùåì âèäå çàïèñûâà ùèåñß òàê: L ij (t) = w(t) j! dα i j r dt α i j r α i j (t t i ) r (α i j r)! (2.19) (t t i ) α i w(t) (t=t i ), r=1 à òî êè t i,i=1, 2,...,n 1, óçëû èíòå ïîëßöèè ê àòíîñòè α i [?] : w(t) = n1 (t t i ) α i i=1. Â íà åì ñëó àå èíòå ïîëßöèß ï îèñõîäèò ïîäâóì óçëàì t i,t i+1 ê àòíîñòè q +1è d +1ñîîòâåòñòâåííî. Ïî òîìó èç (2.19) ïîëó àåì Çäåñü L 1j (t) = 1 j! (t t i+1) d+1 r=1 q +1 j( h) j+r m 2 (2.20) L 2j (t) = 1 j! (t t i) d 1 q +1 j r d+1 j q+1 q 1 d +1 j r r=1 d 1 = q +1 j r àíàëîãè íîå âû àæåíèå ìîæíî âûïèñàòü äëß (t t i ) q+1 r ( h) j+r m 2 (2.21) (t t i+1 ) d+1 r (2.22) ( d 1)( d 2) ( d 1 q 1+j + r +1) (q +1 j r)! q 1 d +1 j r 47

48 Ñ àâíèâàß ñòåïåíè ïîëèíîìîâ â (2.16), çàìå àåì, òî ñï àâà â (2.16) ñòîßò ïîëèíîìû, íàèâûñ àß ñòåïåíü êîòî ûõ àâíà m +1, à ñëåâà μ ïîëèíîìû ñòåïåíè m. Îòñ äà ñëåäóåò, òî êî ôôèöèåíòû ï è ñòà èõ ñòåïåíßõ àâíû íóë. Íà îñíîâå òîãî ïîëó èì ñîîòíî åíèå èëè ãäå + d j=0 q j=0 S (j) k (t i) 1 j! hj+1 ( 1) j+1 S (j) k (t i+1) 1 j! hj+1 ( 1) j+1 S k (t i+1 )=S k (t i )+ q j=1 d 1 q j q 1 d j =0, a j h j S (j) k (t i)+ d b j h j S (j) k (t i+1), (2.23) j=1 (m j)! a j = q,j=1, 2,...,q, m! j b j =( 1) j+1(m j)! d,j=1, 2,...,d,k=1, 2,...,n. m! j ãäå m = q + d ñòåïåíü ñïëàéíà. Ñîîòíî åíèß (2.23) ìîæíî àññìàò èâàòü êàê îäíî àãîâûé àçíîñòíûé ìåòîä å åíèß çàäà è (2.23). Ïîñêîëüêó ï îèçâîäíàß y òàêæå ßâëßåòñß å åíèåì ñîîòâåòñòâó ùåé èíòå ïîëßöèîííîé çàäà è Ý ìèòà, òî âû àæåíèå q j=1 a j h j S (j) k (t i )+ d b j h j S (j) k (t i+1 ) j=1 ßâëßåòñß êâàä àòó íîé äâóõòî å íîé ôî ìóëîé Ý ìèòà, ï èìåíåííîé ê èíòåã àëó ti+1 m k (t, y(t))dt = y i+1 y i,i=0, 1,...,n 1 1, k=1, 2,...,n, t i ï è åì t i óçåë ê àòíîñòè q, t i+1 óçåë ê àòíîñòè d. Ï è q = d îäíî àãîâûé ìåòîä ï èíèìàåò âèä S k (t i+1 ) S k (t i )= q j=1 h j a j [ S (j) k (t i)+( 1) (j+1) S (j) ] k (t i+1). Ëîêàëüíàß î èáêà ìåòîäà (2.23) îï åäåëèòñß ï è ïîäñòàíîâêå òî íîãî å åíèß ñîîòâåòñòâó ùåé ãëàäêîñòè: y k (t i+1 ) y k (t i ) q j=1 h j a j y (j) k (t i) d h j b j y (j) k (t i+1) = (2.24) j=1 48

49 = 1)m ti+1 y ( m +1)(ξ)(ξ t i ) q (ξ t i+1 ) d dξ = (m!) t i =( 1) d d!q! m!(m +1)! y(m+1) (η)h (m+1),η (t i,t i+1 ) Ââåäåì îáîçíà åíèå e k (t i )=S k (t i ) y k (t i ) è ïå åïè åì (2.23) â âèäå + d j=1 S k (t i+1 )=e k (t i )+y k (t i )+ h j b j y (j) k (t i+1)+ q j=1 q j=1 h j a j e (j) k (t i)+ d j=1 Âû èòàß y k (t i+1 ) èç îáåèõ àñòåé (2.25), ïîëó àåì e k (t i+1 )=e k (t i )+y k (t i ) y k (t i+1 )+ + d j=1 h j b j y (j) k (t i+1)+ q j=1 q j=1 h j a j e (j) k (t i) d j=1 Ó èòûâàß (2.21), îöåíèâàåì e k (t i+1 ) èç (2.26) : h j a j y (j) k (t i)+ (2.25) h j b j e (j) k (t i+1). h j a j y (j) k (t i )+ (2.26) h j b j e (j) k (t i+1). d!q! e k (t i+1 ) e k (t i )) + m!(m +1)! max y(m+1) (η) h (m+1) + + q j=1 a j h j e (j) k (t i)+ d j=1 b j h j e (j) k (t i+1). Â ñèëó äîñòàòî íîé ãëàäêîñòè å åíèß y(t) è ñïëàéíà S(t), èç ñîîòíî åíèé S (j) k = m (j 1) k (t i,s(t i )), y (j) k = m (j 1) k (t i,y(t i )), k =1, 2,...,n, j =1, 2,...,d,d =max(q, d), ïîëó àåì ñ ó åòîì óñëîâèß Ëèï èöà ï àâîé àñòè íå àâåíñòâà e (j) k (t i ) L e k (t i ). Ïîäñòàâëßß òè àâåíñòâà â (2.25) èìååì e k (t i+1 ) e k (t i ) + + q j=1 d!q! m!(m +1)! max η J I y (m+1) (η) h (m+1) + a j h j L e (j) k (t i) + 49 q j=1 b j h j e k (t i+1 ),

50 èëè ãäå α = 1+ e k (t i+1 ) α e k (t i ) + γ, (2.27) q j=1 a j h j L 1 d b j h j L j=1 1 d!q! γ = m!(m +1)! [max η i y (m+1) (η) h m+1 ](1 d b j h j L) 1 j=1 íàëàãàß óñëîâèß íà h, èìååì 1 d b j h j L>δ>0. j=1 Äàëåå ïîñëåäîâàòåëüíîé ïîäñòàíîâêîé èç (2.27) âûâîäèì e k (t i+1 ) α (i+1) e k (t 0 ) + γ(α (i+1) 1)/(α 1). Âåëè èíà e k (t 0 )=0â ñèëó ïîñòàíîâêè çàäà è, α i+1 ï åîá àçóåì ê ñëåäó- ùåìó âèäó + = 1+hL d j=1 d j=1 Îáîçíà èì âåëè èíó d j=1 α i+1 = b j h j L + b j h j 1 + b j h j d b j h j L q j=1 j=1 a j h j L q j=1 q j=1 å åç p, òîãäà (2.28) ï èíèìàåò âèä a j h j 1 a j h j 1 1 d b j h j L j=1 1 d b j h j L j=1 1 d b j h j L j=1 1 d b j h j L j=1 α i+1 =(1+hLp) i+1 e hpli è ïîã å íîñòü e k (t i+1 ) îöåíèâàåòñß òàê: e k (t i+1 ) γ ( e hpli 1 ) /(hlp), k =1, 2,...,n, i=1, 2,...,n 1 1. ; 1 1 i+1 + (2.28) = 1 i

51 Äëß âåêòî à î èáêè ìåòîäà ñïëàéí-êîëëîêàöèé E(t) =(e 1 (t),...,e n (t)) T â íî ìå ìàêñèìóìà ìîäóëß ïîëó èì àíàëîãè íîå íå àâåíñòâî, îáîñíîâûâà ùåå ñõîäèìîñòü ìåòîäà: E(t i+1 ) =max e k (t i+1 ) γ[exp(t k Lp) 1]/(hLp). k Çàìåòèì, òîïîäîáíûå íå àâåíñòâà ìîæíîâûâåñòè äëß ïîã å íîñòåé ï îèçâîäíûõ S (j) k (t i) y (j) k (t i), j=1, 2,...d, k =1, 2,...,n, i=1, 2,...,n 1. Äàëåå, èñïîëüçóß èíòå ïîëßöèîííûå ñâîéñòâà ñïëàéí-ôóíêöèé, òè íå àâåíñòâà ìîæíî àñï îñò àíèòü íà ë áó òî êó t èíòå âàëà [t 0,t k ]. Ï îèçâåäåì ï îâå êó ñâîéñòâà A óñòîé èâîñòè ìåòîäà (2.23) íà å åíèè òåñòîâîãî ó àâíåíèß y k = λy k,y k (0) = 1, k=1, 2,...,n, Reλ<0. (2.29) Ï èìåíßß (2.21) ê çàäà å (2.29), ïîëó àåì äëß k êîìïîíåíòû ñïëàéíôóíêöèè S âû àæåíèå S k (t i )=R(λh) i, ãäå R(z) = 1+ q j=1 a j z j 1 d b j z j j=1 1,z= λh. Òàêèì îá àçîì óñòàíîâëåíî, òî ìåòîä (2.23) àïï îêñèìè óåò çàäà ó () ñ ïî ßäêîì m +1, ñëåäîâàòåëüíî e z = R(z)+O ( z m+1), ò.å. R(z) òî (q, d) àïï îêñèìàöèß Ïàäå ôóíêöèè e z. Êàê óñòàíîâëåíî, ìåòîäû, îñíîâàííûå íà àïï îêñèìàöèßõ Ïàäå, A óñòîé èâû, åñëè q = d èëè q = d 1, q= d 2. òîáû àññìîò åòü ïîâåäåíèå èíòå âàëüíîé ôóíêöèè Y (t, h), âíîâü îá àòèìñß ê ñõåìå ïîñò îåíèß ñïëàéí- å åíèß è ïîêàæåì, òî ïîëó åííûé ñïëàéí áóäåò ëèíåéíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî íà àëüíûõ çíà åíèé y 1 (t 0 ),...,y n (t 0 ), à êî ôôèöèåíòàìè ï è íèõ ñëóæàò ïîëèíîìû îòíîñèòåëüíî t. Ìîæíî âû èñëèòü S (l) k (t) = q j=l c k (t t i ) j 1 ij (j 1)! 51 + d j=1 c k (t t i ) q+j 1 i,q+j (q + j l)!

52 è m (l) k (t i+1,s(t i+1 )) = dl dt l = n l j=1+1 r=1 Òîãäà (2.15) çàïè åòñß â âèäå q j=l = n l l j=1 r=1 r + d c k i,q+j 1 j 1 =1 c k (t t i ) j 1 ij (j 1)! n j=1 a kj (t)s j (t)+b k t=ti+1 = a kj (t) (r) s (l r) j (t) l r t=ti+1, k =1, 2,...,n, l =1, 2,...,d. [a kj (t i+1 )] (r) + d j=1 q c k i,j 1 h q+j 1 l+r j 1 =l r (q + j 1 l + r)! c k (t t i ) q+j 1 i,q+j (q + j l)! = (2.30) h j 1 l+r (j 1 1)! +,l=1, 2,...,d. Îòíîñèòåëüíî âåêòî à íåèçâåñòíûõ ( c k i,q+1,c k i,q+2,...,c k T i,q+d) ó àâíåíèå (2.30) çàïè åòñß â âèäå d c k i,q+j j=1 = n l j=1 r=1 h q+j l (q + j l)! n l r l l j=1 r=1 r d c k h q+j 1 l+r i,q+j 1 j 1 =1 (q + j 1 l + r)! = q c k h j 1 l+r i,j 1 j 1 =l r (j 1 1)! q c k h j 1 i,j j=l [a kj (t i+1 )] (r) [a kj (t i+1 )] (r) (2.31) (j 1)!. Ðàññìàò èâàß (2.31) êàê k ó àâíåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé îòíîñèòåëüíî âåêòî à íåèçâåñòíûõ (c k i,q+1,c k i,q+2,...,c k i,q+d) T àçìå íîñòè nd, çàìå àåì, òî ìàò èöà êî ôôèöèåíòîâ íå ñîäå æèò êîìïîíåíò, çàâèñßùèõ îò íà àëüíûõ çíà åíèé y 1 (t 0 ),...,y n (t 0 ). Íà ïå âîì èíòå âàëå [t 0,t 1 ] ï àâàß àñòü ñèñòåìû (2.31) ï åäñòàâëßåò ñîáîé ëèíåéíó ôóíêöè îòíîñèòåëüíî y 1 (t 0 ),...,y n (t 0 ) â ñèëó (2.15). Ðå àß ñèñòåìó (2.31) â óçëå êîëëîêàöèè t 1 ïîëó àåì âåêòî å åíèé, ßâëß ùèéñß ëèíåéíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî y 1 (t 0 ),...,y n (t 0 ). Ï èìåíåíèå 52

53 îïèñàííîé ï îöåäó û íà èíòå âàëå [t 1,t 2 ] íà èíàåòñß ñ âû èñëåíèß êî ôôèöèåíòîâ c k 2j ïî ôî ìóëàì (2.28), òî òàêæå ñîõ àíßåò ëèíåéíó çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíî íà àëüíûõ çíà åíèé. Çàòåì âíîâü å àåòñß ñèñòåìà (2.31), â ï àâó àñòü êîòî îé ïîäñòàâëåíû çíà åíèß êîìïîíåíò ñïëàéíà S. Ìåòîä ìàòåìàòè åñêîé èíäóêöèè ïîçâîëßåò äîêàçàòü, òî ïîñëåäîâàòåëüíîå ï èìåíåíèå îïèñàííîãî âû å ìåòîäà íàõîæäåíèß êî ôôèöèåíòîâ ñïëàéíà äàñò íàì â ë áîé òî êå t i çíà åíèå ñïëàéí- å åíèß êàê ëèíåéíó ôóíêöè îòíîñèòåëüíî çíà åíèé y 1 (t 0 ),...,y n (t 0 ). Èòàê, êîìïîíåíòû ñïëàéí- å åíèß ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå S k (t) =P k1 (t, h)y 1 (t 0 )+...+ P kn (t, h)y n (t 0 ). Ïî òîìó îáúåäèíåííîå èíòå âàëüíîå àñ è åíèå òîé ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñ åñòåñòâåííûì èíòå âàëüíûì àñ è åíèåì [1, 4], ò.å. S k(t) = y0 Y 0 s k (t 0,y 0,t)=P k1 (t, h)y 0, P kn (t, h)y 0,n. (2.32) Ýòî îçíà àåò, òî íà ìåòîä ïîçâîëßåò ïîëó èòü ïîêîî äèíàòíó ñõîäèìîñòü èíòå âàëüíîé îöåíêè ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé èëè íåóëó àåìîñòü îöåíîê â îáùåì ñëó àå. Êàê ìû óæå îòìå àëè, ï àêòè åñêîå ï èìåíåíèå òîãî àëãî èòìà îñíîâûâàåòñß íà íàõîæäåíèè èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé äëß ïîëó åííûõ ñèìâîëüíûõ âû àæåíèé ñïëàéí-àïï îêñèìàöèé å åíèé, ï è òîì òîëüêî îò âèäà òèõ àñ è åíèé çàâèñèò è èíà èíòå âàëüíîé îöåíêè ìíîæåñòâ å åíèé. Ðàññìîò èì íåêîòî ûå àñïåêòû âû èñëåíèé èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé. Íàïîìíèì, òî îáúåäèíåííûì èíòå âàëüíûì àñ è åíèåì ôóíêöèè f(x) ìû íàçûâàåì èíòå âàëüíî-çíà íó ôóíêöè f(x) = f(x) = {f(x) x X}. x X Ë áîå îòîá àæåíèå F (X) íà ìíîæåñòâî èíòå âàëüíûõ èñåë ( èíòå âàëîâ èç R n ) òàêîå, òî f(x) F (X)èf(x) =F (x)äëß x X íàçûâàåòñß èíòå âàëüíûì àñ è åíèåì ôóíêöèè f(x) íà X. Åñëè äëß ë áûõ äâóõ èíòå âàëîâ X 1 X 2 ìû èìååì F (X 1 ) F (X 2 ),òî F (X) íàçûâà ò ìîíîòîííûì ïî âêë åíè èíòå âàëüíûì àñ è åíèåì. Èíòå åñíî ïîëó èòü êîíñò óêòèâíûå îöåíêè, ïîçâîëß ùèå èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòü âûáî à íàèëó åãî ïî è èíå âêë åíèß èíòå âàëüíîãî àñ è åíèß ôóíêöèè f. Â íà åì ñëó àå ìû ï îèçâîäèëè ïîñò îåíèå èíòå âàëüíîãî 53

54 àñ è åíèß ïî ôî ìóëàì ñïëàéí- å åíèé, ï åîá àçîâàííûì òàê, òî îòíîñèòåëüíî íà àëüíûõ çíà åíèé y 0 1,...,y 0 n îíè ï åäñòàâëßëè êóñî íî-ëèíåéíûå ôóíêöèè, òî ëåãêî óâèäåòü èç 2, 3 ãëàâû 2. 54

55 2.3. Ìåòîäû ïîñò îåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê, îñíîâàííûå íà àíàëèòè åñêîì ï åäñòàâëåíèè ï èáëèæåííûõ å åíèé ñ ó åòîì èíòå âàëüíûõ îöåíîê. Íàõîæäåíèå ôî ìóë å åíèé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ïîçâîëßåò î ãàíèçîâàòü ï îöåññ âû èñëåíèß èíòå âàëüíûõ îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåìû, â êîòî îì îï åäåëåíèå èíòå âàëüíûõ îöåíîê ( àñ è åíèé) ï îèçâîäèòñß òîëüêî â êîíå íîé òî êå îáëàñòè à ãóìåíòà å åíèé, òî ïîëíîñòü êîìïåíñè óåò âëèßíèå ôôåêòà Ìó à. Ï è òîì è- èíà èíòå âàëüíûõ å åíèé áóäåò çàâèñåòü ëè ü îò åàëèçàöèè ôî ìóë, ïî êîòî ûì âûïîëíßåòñß âû èñëåíèå èíòå âàëüíûõ âû àæåíèé, ñîñòîßùèõ èç íåñêîëüêèõ èíòå âàëüíûõ îïå àöèé, òî íå âûçîâåò êñïîíåíöèàëüíûé îñò è èíû èíòå âàëîâ. Êàê áûëî îòìå åíî â 2 ãëàâû 2 îáùàß ñõåìà ï åäëàãàåìîãî ïîäõîäà ê ïîñò îåíè èíòå âàëüíûõ îöåíîê ñîâîêóïíîñòåé å åíèé îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé âêë àåò â ñåáß àíàëèòè åñêîå íàõîæäåíèå ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé, èõ ïîëíûõ ïîã å íîñòåé ñ ïîñëåäó ùèì èíòå âàëüíûì îöåíèâàíèåì. Èìååò ñóùåñòâåííîå çíà åíèå äëß âû àæåíèß ñïëàéí- å åíèé êàê ôóíêöèé, çàâèñßùèõ îò íà àëüíûõ äàííûõ. Ðàññìîò èì å åíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé y k (x 0 )=yk 0, k =1,...,n, y k (x) =f k(x i 1,y 1 (x i 1 ),...,y n (x i 1 )), k =1,...n r, (2.33) ãäå ï àâàß àñòü òî ôóíêöèß, êîòî àß îï åäåëåíà è íåï å ûâíà â ï ßìîóãîëüíîé îáëàñòè D è óäîâëåòâî ßåò òàì óñëîâè Ëèï èöà. Ââåäåì îáîçíà åíèß f (q) k (x, y 1,...y n )= x f (q 1) k (x, y 1,...,y n )+ (2.34) n f l (x, y 1,...,y n ) f (q 1) k (x, y 1,...,y n ), l=1 y l f (0) k (x, y 1,...,y n )=yk 0, q =1,...,r, k =1,...,n. Áóäåì ñò îèòü ïîëèíîìèàëüíó ñïëàéí-ôóíêöè ñòåïåíè r +1,ãëàäêîñòè 1, àïï îêñèìè ó ùó å åíèå y(x) ñîãëàñíî ñõåìå s k (x 0 )=y 0 k, k =1,...,n, s k (x) =s k (x i 1 )+ r j=0 f (j) k (x i 1,s 1 (x i 1 ),...,s n (x i 1 )) (x x i 1) (j+1), (2.35) (j +1)! 55

56 x [x i 1,x i ], i =1,...,n, k =1,...n r. Îòìåòèì, òî ñïëàéí-ôóíêöèß òàêîãî áîëü îãî äåôåêòà åäêî èñïîëüçóåòñß â ìåòîäàõ ñïëàéí-êîëëîêàöèè å åíèß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è, âîîáùå ãîâî ß, òàêàß ñõåìà âåñüìà ïîõîæà íà ìåòîä ßäîâ Òåéëî à, îäíàêî ïîçâîëßåò ñâßçàòü âîï îñ îöåíêè ïîã å íîñòè ìåòîäà ñïëàéí-êîëëîêàöèè ñ òî íîñòü ïîñò îåíèß äâóñòî îííèõ îöåíîê ñ àçó íà âñåì èíòå âàëå â çàâèñèìîñòè îò âåëè èíû àãà ñåòêè h. Çàïè åì àçëîæåíèå êîìïîíåíò òî íîãî å åíèß y(x) ïîôî ìóëå Òåéëî- à íà èíòå âàëå [x i 1,x i ]: y k (x) = r j=0 y (j) k (x i 1) j! (x x i ) j + y(r+1) k (ξ k,i ) (x x i 1 ) (r+1), (r +1)! ξ k,i (x i,x i+1 ), k =1,...,n r. Îáîçíà èì e k (x) = y k (x) s k (x), k =1,...n r. Òîãäà y k (x) s k (x) = s k (x i 1 ) r r j=0 f (j) j=0 y k (x i 1 ) s k (x i 1 ) + r 1 y (j) k (x i 1) j! (x x i 1 ) j + y(r+1) k (ξ k,i 1 ) (x x i 1 ) (r+1) (r +1)! k (x i 1,s 1 (x i 1,...,s n (x i 1 )) (x x i 1) j+1 (2.36) (j +1)! j=0 y (j+1) k (x i 1 ) f (j) k (x i 1,...,s n (x i 1 ) (x x i 1) j+1 + (j +1)! y k (r+1) (ξ k ) f (r) k (x i 1,...,s n (x i 1 )) (x x i 1) r+1 (r +1)! Ó èòûâàß íåï å ûâíîñòü ñïëàéí-ôóíêöèè è óñëîâèå Ëèï èöà, êîòî îå âûïîëíßåòñß äëß ï îèçâîäíûõ ï àâîé àñòè (2.33), ìû ïîëó èì y (j+1) k (x i 1 ) f (j) n k (x i 1,s 1 (x i 1 ),...,s n (x i 1 )) L k y l (x i 1 ) s l (x i 1 ) l=1 (2.37) L nl=1 k e l (x i ),k =1,...n. Àíàëîãè íûå àññóæäåíèß ï èâîäßò ê îöåíêå y k (r+1) (ξ k,i ) f (r) k f (r) k (x i 1,s 1 (x i 1),...,s n (x i 1 )) y (r+1) k (ξ k,i ) y (r+1) k (x i 1 ) + (2.38) (x i 1,y 1 (x i 1 ),...,y n (x i 1 )) f (r) k 56 (x i 1,s 1 (x i 1 ),...,s n (x i 1 ))

57 ω(y (r+1) k,h)+l k n l=1 e l (x i 1 ). Çàìåòèì, òî â òèõ íå àâåíñòâàõ ìû èñïîëüçîâàëè ìîäóëè íåï å ûâíîñòè ω ï îèçâîäíîé r +1-ãî ïî ßäêà å åíèß, êîòî ûå â îáùåì âèäå îï åäåëß- òñß, êàê ôóíêöèß ω(f,δ) =sup{ f(x ) f(x ) : x x δ, x,x [a, b]. Íåïîñ åäñòâåííî èç îï åäåëåíèß ßñíî, òî ìîäóëü íåï å ûâíîñòè ω ôóíêöèè f õà àêòå èçóåò âåëè èíó ìàêñèìàëüíîé îñöèëëßöèè òîé ôóíêöèè íà îò åçêå äëèíû δ>0. Ìîäóëè íåï å ûâíîñòè êàê è ìîäóëè ãëàäêîñòè ñ óñïåõîì èñïîëüçîâàëèñü â íåêîòî ûõ àïï îêñèìàöèîííûõ çàäà àõ, â îñîáåííîñòè îíè óäîáíû äëß âû àæåíèß ïîã å íîñòåé èñëåííûõ ìåòîäîâ, â êîòî ûõ ó àñòâó ò ôóíêöèè ñ êîìïàêòíîé îáëàñòü îï åäåëåíèß, êîãäà çíà åíèß ôóíêöèé ìîãóò áûòü çàäàíû èëè èñëåííî îï åäåëåíû ñ íàïå åä çàäàííîé òî íîñòü â êîíå íîì ( èëè ñ åòíîì ) ìíîæåñòâå òî åê òîé îáëàñòè. Ñóùåñòâåííî äëß íàñ òî, òî èñïîëüçîâàíèå òèõ ìîäóëåé ïîçâîëßåò îöåíèâàòü ïîã å íîñòü èñëåííîãî ìåòîäà èëè ï èáëèæåííîé ôî ìóëû äëß äàííîãî èñëåííîãîìåòîäà áåç êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ îã àíè åíèé íà ó àñòâó ùèå ôóíêöèè, ê îìå òåõ, êîòî ûå íåîáõîäèìû ï è ôî ìóëè îâêå çàäà è. Ïîäñòàâëßß (2.37), (2.38) â (2.36 ) ìû èìååì Çàìåòèì, òî e k (x) e k (x i )+L k ( (r 1) n h j+1 l=1 e l (x i )) j=0 (j +1)! + h r+1 ( (r +1)! (L k( n r 1 j=0 l=1 e l (x i )+ω(y (r+1) k,h)). h j (j +1)! exp(h) e Òîãäà íå àâåíñòâî (2.39) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå e k (x) e k (x i )(1 + hl k exp + hr+1 (r+1)! )+ n l=1, l k e l (x i )hl k exp + hr+1 (r+1)! L k + h r+1 (r+1)! ω(y(r+1) k ãäå,h) e k (x i )(1 + hc k )+c k h n l=1, l k e l (x i )+ hr+1 c k = L k (exp + 1 (r +1)! ). Ââåäåì âåêòî E(x), ñîñòàâëåííûé èç âåëè èí e k (x) E(x) =(e 1 (x),...,e n (x)) T ), (r+1)! ω(y(r+1) k,h), 57

58 òîãäà ñîâîêóïíîñòü ïîêîìïîíåíòíûõ íå àâåíñòâ (2.39) çàïè åòñß â ìàò è íîì âèäå E(x) (I + ha)e(x i )+ hr+1 (r +1)! ω(h)b ãäå A -ìàò èöà àçìå íîñòè n n A = B- åäèíè íûé âåêòî àçìå íîñòè n, å åç ω(h) ìû îáîçíà èëè âåëè èíó c 1 c 1... c 1 c 2 c 2... c 2... c n c n... c n, B = ) ω(h) =max k {ω(y (r+1) k,h)}. Â äàëüíåé åì ìû èñïîëüçóåì íî ìó âåêòî à E(x i )=max k E k (x), è ñîîòâåòñòâó ùó ìàò è íó ôî ìó A = max i n j=1 a ij, ãäå a ij -êîìïîíåíòû ìàò èöû A. Çàïè åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå àâåíñòâ hr+1 E(x) (1 + h A ) E(x i ) + (r +1)! ωh (1 + h A ) E(x i ) (1 + h A ) 2 E(x i 1 + h r+1 ω(h)(1 + h A ) (r +1)! (1 + h A ) 2 E(x i 1 ) (1 + h A ) 3 E(x i 2 + (2.39) h r+1 ω(h)(1 + h A )2 (r +1)! (1 + h A ) i E(x 1 ) (1 + h A ) i+1 E(x 0 + h r+1 (r +1)! ω(h)(1 + h A )i. 58

59 Ñêëàäûâàß òè íå àâåíñòâà è ó èòûâàß, òî e k (x 0 )=0, ïîëó èì E(x) (exp( A 1) (r +1)! A hr ω(h). (2.40) Åñòåñòâåííî, òî íå àâåíñòâî (2.40) ñï àâåäëèâî è äëß îòäåëüíûõ êîìïîíåíò âåêòî à E(x). Àíàëîãè íî ï åäûäóùèì àññóæäåíèßì ìû îöåíèâàåì îòêëîíåíèå ï îèçâîäíûõ òî íîãî å åíèß è ñïëàéí- å åíèß, è ïîëó àåì y k (q) (x) s q k (x),q=1,...,r y (q) (x) s (q) (x) (exp( A 1) (r +1)! A hr q ω(h). (2.41) Ïîäîáíûå îöåíêè îáîñíîâûâà ò ñõîäèìîñòü äàííîãî ìåòîäà ïîñò îåíèß ñïëàéí- ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèå èñõîäíîé çàäà è, íà âñåì èíòå âàëå [x 0,x T ] ï è àãå ñåòêè h, ñò åìßùåìñß ê 0. Âîï îñû óñòîé èâîñòè òàêîãî àëãî èòìà ìîãóò áûòü ïîëó åíû íåñëîæíûìè àññóæäåíèßìè. Èòàê, ìû ï åäëîæèëè àëãî èòì, êîòî ûé ñò îèò èíòå âàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâ òî íûõ å åíèé çàäà è (2.33) íà îñíîâå ñî åòàíèß äâóõ àãîâ: ïîñëåäîâàòåëüíîãî íàõîæäåíèß àíàëèòè åñêèõ ôî ìóë, çàäà ùèõ âû àæåíèß, ïî êîòî ûì ìîæíî âû èñëèòü çíà åíèß ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèå, è îï åäåëåíèß ïî òèì ôî ìóëàì èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé, âêë à ùèõ å åíèå. Ïîñêîëüêó ìû èçáåãàåì ï è òîì ïî àãîâîãî ï èìåíåíèß èíòå âàëüíûõ îïå àöèé, ìû îáõîäèì âëèßíèå ôôåêòà Ìó à. Îäíàêî â ñëó àå îöåíêè å åíèé ñèñòåì ó àâíåíèé ñ ëèíåéíîé ï àâîé àñòü, ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñß ñõåìîé ñïëàéí-êîëëîêàöèè ñ ïà àìåò àìè ñïëàéíà (ñòåïåíü n è äåôåêòîì d ), ïîäáè àåìûìè èç óñëîâèé óñòîé èâîñòè è òî íîñòè ï èáëèæåíèé. Ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü, ïîñêîëüêó ìû óìååì íàõîäèòü àíàëèòè åñêè â óçëàõ êîëëîêàöèè ôî ìóëû äëß å åíèé ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé, îï åäåëß ùèõ ïà àìåò û ñïëàéí-ôóíêöèé, òî åàëèçîâàíî âî ìíîãèõ ñèñòåìàõ ñèìâîëüíûõ âû èñëåíèé. Åñëè íåîáõîäèìî íàõîäèòü îöåíêè ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ íåëèíåéíîé ï àâîé àñòü, âñòàåò çàäà à ïîëó èòü àíàëèòè åñêè ôî ìóëû å åíèé ñèñòåì íåëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé, òî â îáùåì ñëó àå íåâîçìîæíî. Ïî òîìó ï åäëîæåí ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïîñò îåíèè ñïëàéíôóíêöèé áîëü îãî äåôåêòà, âî ìíîãîì îí ïîõîæ íà ñõåìó ìåòîäà ßäîâ Òåéëî à, íî â î òëè èå îò íèõ ï èìåíåíèå ñïëàéíîâ ïîçâîëßåò ñóùåñòâåííî óï îñòèòü äîêàçàòåëüñòâî ñõîäèìîñòè èíòå âàëüíûõ îöåíîê. 59

60 Â ñëó àå òîãî ïîäõîäà íàì óäàåòñß ïîëó èòü ôî ìóëû äëß ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèå, êàê ñóïå ïîçèöèè ôóíêöèé, çàâèñßùèõ îò íà- àëüíûõ äàííûõ. Ï è âûïîëíåíèè ñëåäó ùåãî àãà äàííîãî ìåòîäà, ñâßçàííîãî ñ âû èñëåíèåì èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé, äëß íàñ âîçìîæíî âûá àòü îäíî èç äâóõ íàï àâëåíèé: íàõîäèòü èíòå âàëüíó îöåíêó îáëàñòè çíà åíèé âåêòî íî çíà íûõ ôóíêöèé, ïîñëåäîâàòåëüíî å àß 2n êñò åìàëüíûõ çàäà äëß êîî äèíàò òèõ ôóíêöèé, ëèáî äîïîëíèòåëüíî íà êàæäîì àãå ï îèçâîäèòü ëèíåà èçàöè ñèìâîëüíûõ ôî ìóë òèõ å åíèé ïîíà àëüíûì çíà åíèßì. Äàëåå ìû îñòàíîâèìñß íà òîì íàï àâëåíèè áîëåå ïîä îáíî. Èòàê, ñèìâîëüíûå ôî ìóëû ñïëàéí-ôóíêöèé s k (x), àïï îêñèìè ó ùèõ êîìïîíåíòû å åíèé çàäà è (2.33) òî ñóïå ïîçèöèè ôóíêöèé, çàâèñßùèõ îò íà àëüíûõ çíà åíèé y1 0,...,y0 n äëß ë áîãî k. Äëß íàñ óäîáíî ââåñòè îáîçíà åíèß Φ ijk (y1 0,y0 2,...,y0 (j) n ) äëß ï îèçâîäíûõ f k, ó àñòâó ùèõ â ï îöåññå âû èñëåíèß. Áóäåì ï îèçâîäèòü ëèíåà èçàöè òèõ ôóíêöèé íà èíòå âàëå Y 0, ßâëß ùèìñß ï îèçâåäåíèåì èíòå âàëîâ Y1 0 Y Y n 0. Èñïîëüçóåì ôî ìóëó Òåéëî à + φ ijk y 0 n Φ ijk (y1 0,y0 2,...,y0 n )=Φ ijk(y1,y 2,...,y n )+ Φ ijk y 0 z (y1 0 y 1 )+... (2.42) z (y0 n y n )+ 1 2 nl,s=1 2 φ ijk y 0 l y0 s z (y l + θ l (y 0 l y l ))(y s + θ s(y 0 s y s )), θ l,θ s [0, 1], z,z Y Yn 0 Îáîçíà èì å åç m k,i,j ëèíåéíó àñòü òîãî àçëîæåíèß m ijk =Φ ijk (y 1,y 2,...,y n)+ n Ëåãêî âèäåòü ñï àâåäëèâîñòü íå àâåíñòâà l=1 Φ ijk y 0 (y0 l y l ) (2.43) ãäå 1 2 n l,s=0 Φ ijk (y 0 1,y0 2,...,y0 n ) m ijk(y 0 1,y0 2,...,y0 n ) 2 φ ijk yl 0 w(y y0 l 0 )w(y s 0 ) 1 s 2 max 2 φ ijk l, s, Y 0 yl 0 y0 s 1 2 max l, s, Y 0 2 φ ijk yl 0 w 2 (Y 0 n(n 1) max) y0 s 2 = n l,s=0 w(y 0 l )=Y 0 l Y 0 l, w(y 0 )=max l w(y 0 l ) w(y 0 l )w(y 0 s ) n(n 1) Φw 2 (Y 0 4 max), (2.44) 60

61 Φ=max 2 φ ijk l, s, Y 0 yl 0 y0 s l, s =1,...,n. Èòàê àëãî èòì çàêë àåòñß â ñëåäó ùåì: Íà êàæäîì èíòå âàëå [x i 1,x i ] ï åäñòàâëßåì âû àæåíèß f ( kj) êàê ôóíêöèè, çàâèñßùèå òîëüêî îò íà àëüíûõ äàííûõ Çàòåì îï åäåëßåì èõ ëèíåéíûå àñòè ñîãëàñíî ôî ìóëå (2.43) Ïîäñòàâëßåì èõ â âû àæåíèß, ïî êîòî ûì ìû âû èñëßëè êîìïîíåíòû ñïëàéí- ôóíêöèé s k (x) =s k (x i 1 )+ r j=0 m kij (y 0 1,y 0 2,...,y 0 n) (x x i 1) j+1 (j +1)! k =1,...,n r, (2.45) s k (x 0 )=y 0 k (2.46),i =1,...,n Îöåíèì ïîã å íîñòü ìåòîäà (2.45) è èñïîëüçóåì ï è òîì îáîçíà åíèß e k (x) = y k (x) s k (x). Òîãäà ïîëó àåì y k (x) s k (x) = r y (j) k (x i 1) j=0 (x x j! i 1 ) j + y(r+1) k (ξ k,i 1 ) (x x (r+1)! i 1 ) (r+1) s k (x i 1 ) r j=0 m kij (y1,y 0 2,...,y 0 n 0 (x x i 1 ) j+1 (j+1)! (2.47) y k (x i 1 s k (x i 1 ) + r 1 j=0 (x x i 1) j+1 (j+1)! + y (r+1) k (ξ k ) m kij (x i 1,s 1 (x i 1 ),...,s n (x i 1 )) x x i 1 r+1 (r+1)! Âîñïîëüçîâàâ èñü íå àâåíñòâîì (2.44), ïîëó àåì îöåíêè äëß ï îèçâîäíûõ y (j+1) k àíàëîãè íî îöåíèâàåì y (r+1) k (x i ) m kij (y1,...,y 0 n) 0 y (j+1) k (x i ) f (j) k (x i 1 ) + n(n 1)/4Φw 2 (Y 0 ), (2.48) k =1,...,n,j =1,...,r 1, (ξ ki ) m kir (y 0 1,...,y 0 n) y (r+1) k n(n 1)/4Φw 2 (Y 0 ) (ξ ki ) f (r) k (x i 1) + 61

62 Ïîäñòàâëßß ïîëó åííûå îöåíêè â (2.47), èìååì y k (x) s k (x) e k (x i )+(L k ( n e l (x i )) + n(n 1) 4 ω(y (r+1) k,h)+(l k ( n e l (x i )) + l=1 ãäå hl k e + Φw 2 (Y 0 )) r 1 n(n 1) 4 hr+1 n )( e l (x i ))(hl k e + (r +1)! l=1 j=0 l=1 h j+1 (j +1)! + h r+1 Φw 2 (Y 0 )) (r +1)! e k(x i )(1+ (2.49) hr+1 (r +1)! 1) )+hen(n Φw 2 (Y 0 )+ 4 h r+1 1) )n(n Φw 2 h r+1 (Y 0 ) (r +1)! 4 (r +1)! ω(y(r+1) k,h) e k (x i )(1 + c k h)+ n c k l=1, l k e l (x i )+hw 2 (Y 0 )b 1 + hr+1 (r +1)! b 2. c k = L k ((exp + 1 (r +1)! ),b n(n 1) 1 = e Φ, 4 b 2 = n(n 1) Φw 2 (Y 0 )+ω(y (r+1) k,h), 4 k =1,...,n Äëß âåêòî à î èáîê E(x) ìîæíî çàïèñàòü íå àâåíñòâî E(x) (I + ha)e(x i )+hw 2 (Y 0 )b 1 B + ãäå ìàò èöà A è âåêòî B áûëè îï åäåëåíû àíåå. Òîãäà ñëîæèâ ïîñëåäîâàòåëüíî íå àâåíñòâà hr+1 hr+1 (r +1)! b 2B, (2.50) E(x) (1 + h A ) E(x i ) + (r +1)! b 2 + hw 2 (Y 0 )b 1 (1 + h A ) E(x i ) (1 + h A ) 2 E(x i 1 + h r+1 (1 + h A )( (r +1)! b 2 + hw 2 (Y 0 )b 1 ) (1 + h A ) 2 E(x i 1 ) (1 + h A ) 3 E(x i 2 + h r+1 (1 + h A ) 2 ( (r +1)! b 2 + hw 2 (Y 0 )b 1 ), 62

63 (1 + h A ) i E(x 1 ) (1 + h A ) i+1 E(x 0 + (2.51) h r+1 (1 + h A ) i ( (r +1)! b 2 + hw 2 (Y 0 )b 1 ), è ó èòûâàß, òî e k (x 0 )=0äëß âñåõ k ìû ïîëó àåì h r+1 ( (r +1)! + hw2 (Y 0 )b 1 ) exp A 1 A E(x) i (1 + h A ) l (2.52) l=0 h r+1 ( (r +1)! + hw2 (Y 0 )b 1 ). Íå àâåíñòâî (2.52) îçíà àåò ñõîäèìîñòü ï åäëîæåííîãî ìåòîäà ñïëàéíêîëëîêàöèè ï è h 0, w(y 0 ) 0. Â ñõåìå ï àêòè åñêîé åàëèçàöèè òîãî àëãî èòìà òî ï èâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè àçáèâàòü èíòå âàë íà àëüíûõ çíà åíèé íà ìàëûå ïîäèíòå âàëû è ïîñëåäîâàòåëüíî å àòü çàäà è ïîñò îåíèß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê äëß çàäà ñ ïîëó åííûìè ïîäèíòå âàëàìè íà àëüíûõ çíà åíèé. Ï è ôèêñè îâàííûõ çíà åíèßõ h, w(y 0 ) âå õíèå è íèæíèå îöåíêè áóäóò âêë àòü ìíîæåñòâî òî íûõ å åíèé, îòêëîíåíèå òîãî âêë åíèß ìîæíî îöåíèòü êàê âåëè èíó, çàâèñßùó îò àãà è èíòå âàëà íà àëüíûõ çíà åíèé. Âûâîäû. Â òîé ãëàâå àññìàò èâà òñß âîï îñû, ñâßçàííûå ñ ïîñò îåíèåì âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè è îòêëîíåíèé òèõ îöåíîê îò ã àíèö ñîâîêóïíîñòè âñåõ òî íûõ å åíèé óêàçàííîé çàäà è. Ï è òîì ââîäßòñß ïîíßòèß ñõîäèìîñòè â õàóñäî ôîâîé ìåò- èêå îáúåäèíåííîãî èíòå âàëüíîãî àñ è åíèß, ñîîòâåòñòâó ùåãî ïîñò îåííîé â ï åäëàãàåìîì ìåòîäå èíòå âàëüíîé îöåíêå, ê ñîâîêóïíîñòè òî íûõ å- åíèé, è íåóëó àåìîé (ïîêîî äèíàòíîé) èíòå âàëüíîé îöåíêè. Ñõîäèìîñòü â õàóñäî ôîâîé ìåò èêå îáúåäèíåííîãî àñ è åíèß íîñèò ñêî åå òåî åòè åñêèé õà àêòå, à íåóëó àåìîñòü (ïîêîî äèíàòíàß áëèçîñòü) îöåíîê èìååò ï àêòè åñêîå çíà åíèå, ïîñêîëüêó îò àæàåò ôàêò ïà àëëåëüíîñòè îñßì êîî äèíàò ã àíèö èíòå âàëîâ è áëèçîñòü èõ ê ñîâîêóïíîñòßì òî íûõ å åíèé. Èíòå âàëüíûå ìåòîäû íàõîäßò èíòå âàëüíûå ôóíêöèè, ãà àíòè îâàííî ñîäå æàùèå òî íûå å åíèß ñèñòåì ÎÄÓ ñ èñïîëüçîâàíèåì àçëè íûõ ïîäõîäîâ. Ìîæíî âûäåëèòü àëãî èòìû, ïîñò îåííûå íà îñíîâå äèôôå åíöèàëüíûõ íå àâåíñòâ [22, 31, 32], êîíå íî àçíîñòíûõ àïï îêñèìàöèé ñ ó åòîì ã àíèö î èáîê [5, 6], àçëîæåíèßõ â ßä Òåéëî à (èëè ä óãèå ßäû) ñ îöåíêîé îñòàòî íîãî ëåíà [1, 2, 16, 18, 21, 22], êî åêöèè äåôåêòà [26, 28], èòå àöèßõ 63

64 Ïèêà à èëè Íü òîíà â ñîîòâåòñòâó ùåì ôóíêöèîíàëüíîì ï îñò àíñòâå [37], à òàêæå âû èñëåíèé îöåíîê ñ èñïîëüçîâàíèåì ëëèïñîèäîâ [11, 30, 43, 44, 45]. Îáùèì ïîäõîäîì äëß âñåõ òèõ ìåòîäîâ ßâëßåòñß ò åáîâàíèå íàõîæäåíèß âêë åíèß å åíèé êàê ìîæíîáîëåå óçêîãî, à òàêæå èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâà ìîíîòîííîñòè îòíîñèòåëüíî âêë åíèß. Ñå üåçíîå îã àíè åíèå èíòå âàëüíûõ ìåòîäîâ îöåíêè å åíèé ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñâßçàíîñ âëèßíèåì òàê íàçûâàåìîãî ôôåêòà Ìó- à (wrapping effect), ï èâîäßùåãîê êñïîíåíöèàëüíîìó àñ è åíè è èíû ïîëó àåìûõ îöåíîê [11, 22]. Îñíîâíîé ï è èíîé òîãî ñëóæèò íåòî íîñòü ï èáëèæåíèß èíòå âàëîì, âêë àåìîãî èì ìíîæåñòâà å åíèé è ñèëüíûé îñò, çà àñòó êñïîíåíöèàëüíûé, òîãî îòêëîíåíèß. Ýòî ìîæíî îáúßñíèòü òàêæå óâåëè åíèåì êîëè åñòâà ó àâíåíèé â ñèñòåìå, ñîîòâåòñòâó ùåé ïîâåäåíè èíòå âàëüíûõ îöåíîê, òî åñòü àñ è åíèåì àçìå íîñòè ï îñò àíñòâà â êîòî îì ìû íàõîäèì îïèñûâàåìó îöåíêó. Çàìåòèì, òî èíòå âàëüíûå ìåòîäû äà ò ãà àíòè îâàííûå îöåíêè ãëîáàëüíîé î èáêè, ïîçâîëß ùèå ïîëó àòü ãëîáàëüíîå âêë åíèå òî íûõ å åíèé. Èíòå âàëüíûå çíà åíèß ìîãóò ïîßâèòüñß â çàäà å ëèáîêàê èíòå âàëüíîå íà àëüíîå çíà åíèå, ëèáî êàê èíòå âàëüíûé ïà àìåò â ï àâîé àñòè. Òàêèå èíòå âàëû îáû íî ï åäñòàâëß ò íåîï åäåëåííîñòè è íå îáßçàòåëüíî ßâëß- òñß ìàëûìè âåëè èíàìè. Çàäà è, â êîòî ûå âêë åíû èíòå âàëû, ìîãóò àññìàò èâàòüñß ëèáî êàê ó àâíåíèß (ñèñòåìû ó àâíåíèé) íàä èíòå âàëàìè, ëèáî êàê ïà àìåò èçîâàííûå ñåìåéñòâà ó àâíåíèé. Â òîé ãëàâå îïèñàí ìåòîä ïîñò îåíèß èíòå âàëüíûõ îöåíîê, êîòî ûé îñíîâàí íà ï åäâà èòåëüíîì îï åäåëåíèè ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé â àíàëèòè åñêîì âèäå, ãà àíòè îâàííîé îöåíêå ãëîáàëüíûõ î èáîê è íàõîæäåíè èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé (ñîâìåñòíî äëß ôî ìóë è ãëîáàëüíûõ î èáîê). Ò åáîâàíèå ñò îèòü ôî ìóëû ï èáëèæåííûõ å åíèé â ë áîé òî êå t îáëàñòè G ïîçâîëßåò áî îòüñß ñ âëèßíèåì ôôåêòà Ìó à, ïîñêîëüêó ïå åíîñèò îï åäåëåíèå èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé íà ïîñëåäíèé òàï àëãî èòìà, òî åñòü ñíèìàåò "ïî àãîâîñòü"îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé. Ï è òîì ï èìåíß- òñß êóñî íî ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèè (èëè ñïëàéí-ôóíêöèè) àçëè íûõ ñòåïåíåé ãëàäêîñòè è äåôåêòîâ, òî îáúßñíßåòñß íåîáõîäèìîñòü âûïîëíßòü àíàëèòè åñêèå âûêëàäêè. Çàìåòèì, òî âûáî âèäà ñïëàéí-ôóíêöèé çàâèñèò îò òîãî, äëß êàêèõ ñèñòåì ó àâíåíèé ï îèçâîäßòñß îöåíêè: äëß ñèñòåì ó àâíåíèé, èìå ùèõ ëèíåéíó ï àâó àñòü, èëè íåëèíåéíó ï àâó àñòü. Ðåçóëüòàòû íàñòîßùåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â àáîòàõ [76, 77, 78, 79, 81, 86]. 64

65 ÃËÀÂÀ3. Êîìïü òå íàß åàëèçàöèß èíòå âàëüíûõ àëãî èòìîâ è âîï îñû íàäåæíûõ âû èñëåíèé Âîï îñû åàëèçàöèé èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è îïå àöèé ñ íàï àâëåííûìè îê óãëåíèßìè (äèíàìè åñêîé òî íîñòü ). Îïè åì ñò óêòó ó äàííûõ, ïîçâîëß ùèõ òî íî ï åäñòàâëßòü âåùåñòâåííûå èñëà. Ýòà ôî ìà ï åäñòàâëåíèß äàííûõ ïîçâîëèò ï îâîäèòü òî íûå âû- èñëåíèß íàä èñëàìè, âêë àß à èôìåòè åñêèå îïå àöèè íàä àöèîíàëüíûìè èñëàìè. Ï è òîì ìîæíîòî íîâû èñëèòü çíà åíèß ôóíêöèé, èñïîëüçóß ßäû ñ áåñêîíå íûì èñëîì ëåíîâ. Ïóñòü R ï îñò àíñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, M íåêîòî îå åãîïîäìíîæåñòâî, îòîá àæåíèå ϕ : R M íàçîâåì îê óãëåíèåì, åñëè ϕ(x) =x äëß ë áîãî x M. Îê óãëåíèå íàçûâàåòñß ìîíîòîííûì, åñëè ϕ(x) ϕ(y) äëß âñåõ x, y R òàêèõ, òî x y; îê óãëåíèå íàçûâàåòñß íàï àâëåííûì âíèç îê óãëåíèåì, åñëè ϕ(x) x äëß âñåõ x R; îê óãëåíèå íàçûâàåòñß íàï àâëåííûì ââå õ îê óãëåíèåì, åñëè ϕ(x) x äëß âñåõ x R. Êàê ï àâèëî, äëß ìîíîòîííûõ î èåíòè îâàííûõ îê óãëåíèé ï èíßòî èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå îáîçíà åíèß, íàï èìå, ϕ up (x) x äëß ìîíîòîííîãî, íàï àâëåííîãî ââå õ îê óãëåíèß, ϕ low (x) x äëß ìîíîòîííîãî, íàï àâëåííîãî âíèç îê óãëåíèß, ϕ near (x) =(ϕ up (x) ϕ low (x))/2 äëß îê óãëåíèß ê áëèæàé åìó ìà èííî-ï åäñòàâèìîìó èñëó. Àëãî èòìû ìà èííûõ à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé ìîãóò áûòü ï åäñòàâëåíû ñõåìàòè åñêè â ñëåäó ùåì âèäå: äåêîìïîçèöèß îïå àíäîâ, âûïîëíåíèå îïå àöèé íàä ïîêàçàòåëßìè ñòåïåíè è ä îáíûìè àñòßìè, îê óãëåíèå, íî ìàëèçàöèß, óïàêîâêà â ôî ìàò èñåë ñ ïëàâà ùåé òî êîé. òîáû ï îèçâîäèòü íåîáõîäèìûå îê óãëåíèß, à èôìåòè åñêèå îïå àöèè âûïîëíß òñß ñ òî íîñòü, ï åâû à ùåé ñòàíäà òíó äëß à èôìåòè åñêîãî óñò îéñòâà ÝÂÌ, çàòåì ï îâå ßåòñß îñòàòîê. Äëß òîãî âûäåëåíèß ä îáíûå àñòè àññìàò èâà òñß êàê öåëûå èñëà è íàä íèìè ï îèçâîäßòñß îïå àöèè ïîâû åííîé òî íîñòè. Ï è âûïîëíåíèè à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé â êîìïü òå å âåùåñòâåííûå èñëà ï åäñòàâëåíû êàê èñëà ñ ïëàâà ùåé òî êîé, à èíòå âàëû âåùåñòâåííûõ èñåë êàê èíòå âàëû ñ ã àíè íûìè çíà åíèßìè μ èñëàìè ñ ïëàâà ùåé 65

66 òî êîé. Ï è âñåõ îïå àöèßõ íàä èñëàìè ñ ïëàâà ùåé òî êîé ï îèçâîäèòñß âûáî â êà åñòâå åçóëüòàòà èñåë, áëèæàé èõ ê íåìó. Ï è òîì ï èáëèæåíèå èñåë ìîæåò âûïîëíßòüñß äâóìß ñïîñîáàìè: ñ ïîìîùü îê óãëåíèß ê áëèæàé åìó ìà èííî ï åäñòàâèìîìó èñëó, ñ ïîìîùü îê óãëåíèß ê áëèæàé åìó ìåíü åìó ìà èííîìó èñëó. Äëß îïèñàíèß äàëüíåé èõ îïå àöèé ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñß ñëåäó ùèìè îáîçíà åíèßìè, áëèçêèìè ê òèïàì äàííûì è îïå àòî àì ßçûêà Ïàñêàëü. Ïóñòü èíòå âàëû ï åäñòàâëåíû ëåìåíòàìè, ï èíàäëåæàùèìè òèïó äàííûõ çàïèñü: type interval = record inf:real; sup:real; end; Çäåñü ïîëå inf ñîîòâåòñòâóåò ìåíü åé ã àíèöå èíòå âàëà, ïîëå sup ñîîòâåòñòâóåò áîëü åé ã àíèöå èíòå âàëà. Ïîñòîßííûå âåëè èíû const small=... ; large=...; òîï åäñòàâëåíèß, îòâå à ùèå íàèìåíü åìó è íàèáîëü åìó ïîëîæèòåëüíîìó çíà åíè ñ åäè èñåë ñ ïëàâà ùåé òî êîé. Ïîßâëåíèß èñåë ñ ïëàâà ùåé òî êîé, âûõîäßùèõ çà ã àíèöû îáëàñòè ìà èííî ï åäñòàâèìûõ èñåë, îï åäåëß òñß çíà åíèßìè ôëàãîâ: var underflow : boolean; var overflow : boolean; Åñëè ï îèñõîäèò ï å ûâàíèå îïå àöèè, íàï èìå, â ñèëó äåëåíèß íà 0, ìû ïîëàãàåì ñóùåñòâîâàíèå ï îöåäó û procedure error; ï å ûâàåò îïå àöè ñ ñîîáùåíèåì îá î èáêå. Èòàê, îáùèé àëãî èòì ñëîæåíèß èíòå âàëüíûõ âåëè èí ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåí â ñëåäó ùåì âèäå function add(a,b:interval):interval; begin add.inf:=a.inf+ low(b.inf ); if overflow then error; if underflow then if add.inf>0 then add.inf:=0 else add.inf:=small; add.sup:=a.sup+up(b.sup); 66

67 if overflow then error; if underflow then if add.sup<0 then add.sup:=0 else add.sup:=small end; Àíàëîãè íî ìîæíî ï åäñòàâèòü àëãî èòì âû èòàíèß èíòå âàëüíûõ âåëè- èí, èíòå âàëüíîå óìíîæåíèå è äåëåíèå áóäóò îòëè àòüñß çà ñ åò äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèçà ã àíè íûõ òî åê. Ï è åàëèçàöèè ï îöåäó äëß îïå àöèé íàä ã àíè íûìè òî êàìè èíòå âàëîâ ìû äîëæíû îáåñïå èòü ï èñóòñòâèå óòèëèò, ïîëó à ùèìè áëèæàé èõ ê çàäàííîìó ìà èííîìó èñëó âåëè èí, è îáîçíà àåìûõ succ(v) è pred(v). Òîãäà ï îöåäó à, îñóùåñòâëß ùàß ñëîæåíèå ñ íàï àâëåííûìè îê óãëåíèßìè ï èìåò âèä function add up(u,v:real):real; var x,y:real begin x=:u+near v; if overflow then error; if underflow then if x<0 then add up:=0 else add up:=small else if x=u then if v>0 then add up:=succ(v) else add up:=u else if x=v then add up:=succ(v) if u>0 then add up:=succ(v) else add up:=u else if x>0 then begin y:=x-near v; if(y<>x) or underflow then add up:=succ(x); else add up:=x; end else add up:=x; end; 67

68 Äëß êîíñò óè îâàíèß àëãî èòìîâ èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è îïå àöèé ñ íàï àâëåííûìè îê óãëåíèßìè âåñüìà ôôåêòèâíî ï èìåíßòü ñîîòíî åíèß, ñâßçûâà ùèå åçóëüòàòû ìà èííûõ à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé è à èôìåòè- åñêèõ îïå àöèé ãà àíòè îâàííîé òî íîñòè, â àñòíîñòè òî íûõ îïå àöèé. Îáîçíà èì å åç M ìà èííó à èôìåòè åñêó îïå àöè, u, v íî ìàëèçîâàííûå îïå àíäû, íàï èìå, + M ìà èííîå ñëîæåíèå, / M ìà èííîå äåëåíèå. Òîãäà âîçìîæíî äîêàçàòü àâåíñòâà, àíàëîãè íûå ñëåäó ùåìó u + v =(u + M v)+ M ((u M u 1 )+ M (v M v 1 )) ãäå u 1 =(u+ M v) M v, v 1 =(u+ M ) M u 1,u+v òî íûé åçóëüòàò îïå àöèè ñëîæåíèß. Äîêàçàòåëüñòâîåãîñâîäèòñß ê àññìîò åíè âîçìîæíûõ ñîîòíî åíèé ìåæäó ïîêàçàòåëßìè ñòåïåíè îïå àíäîâ. Èòàê, ìû èìååì ôî ìóëó äëß ñâßçè ìåæäó u + v è u + M v â òå ìèíàõ âåëè èí, êîòî ûå ìîãóò áûòü âû èñëåíû ñ ïîìîùü îïå àöèé îäíîê àòíîé òî íîñòè. Ïî òîìó òî íîñòü âû èñëåíèé ìîæíî ïîâû àòü, íàêàïëèâàß ïîï àâî íûå ëåíû ï è óñëîâèè, òî íå ï îèñõîäèò ïå åïîëíåíèå. Ï åäñòàâèâ ä îáíó àñòü èñëà èìå ùèì ïîâû åííîå êîëè åñòâî àç ßäîâ, ìîæíî ïîëó èòü àëãî èòìû à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé íàä ã àíè íûìè òî êàìè èíòå âàëîâ ïîâû åííîé òî íîñòè, íàï èìå, äâîéíîé òî íîñòè. Ïóñòü x, y èñëà, çàïèñàííûå â ÝÂÌ, z åçóëüòàò ìà èííîé à èôìåòè åñêîé îïå àöèè, ï èìåíåííîé ê íèì, zz ïîï àâî íûé ëåí. Äîïóñêàåì, òî èñëà x è y ìîãóò áûòü àçäåëåíû íà äâå àñòè, ãäå ìëàä èå àç ßäû ñîäå æàòñß â ïå åìåííûõ xx, yy, áûòü ìîæåò àâíûõ íóë. Òîãäà àëãî èòìû à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé, ñ ãà àíòè îâàííîé îöåíêîé òî íîñòè íà îñíîâå ïîâû åíèß êîëè åñòâà àç ßäîâ äëß ï åäñòàâëåíèß åçóëüòàòîâ èìå ò âèä: ñëîæåíèå x + y = z + zz, ãäå z = x + M y, zz = w + M y, w = x M z, âû èòàíèå x y = z + zz, ãäå z = x M y, zz = z 1 z 2, 68

69 z 1 = y M w, z 2 = v M x w = z M x, v = z M w, óìíîæåíèå x y = z + zz, ãäå z = p + M q, p = x M y, q = x M yy + M xx M y, zz = p M z + M q + M xx M yy, äåëåíèå x/y = z + zz, ãäå z = p + M q, zz = p M z + M q, p = x/ M y, q =(x + M xx M p M yy)/ M y. Ðåàëèçàöèß ï åäñòàâëåííûõ àëãî èòìîâ õà àêòå íà òåì, òî ìû èñïîëüçóåì îáû íûå à èôìåòè åñêèå îïå àöèè, ï åäñòàâëåííûå â áîëü èíñòâå àëãî èòìè åñêèõ ßçûêîâèîïå àöèîííûõ ñ åä êîìïü òå à, è âñïîìîãàòåëüíûå ïå åìåííûå, ï èíàäëåæàùèå ñòàíäà òíûì òèïàì äàííûõ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, òî ôôåêòèâíûì ßâëßåòñß ïîäõîä, ñâßçàííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì íàêîïèòåëß. Íàêîïèòåëü òî îáëàñòü ïàìßòè, äîñòàòî íàß äëß ï åäñòàâëåíèß èñåë ñ ïëàâà ùåé òî êîé êàê èñåë ñ ôèêñè îâàííîé òî êîé. Äëèíà íàêîïèòåëß îï åäåëßåòñß ïî ìèíèìàëüíîìó è ìàêñèìàëüíîìó çíà- åíè ïîêàçàòåëß ñòåïåíè è äëèíå ìàíòèññû èñåë. Ýòà âåëè èíà íàêîïèòåëß îï åäåëßåòñß òàê, òîáû ìû ìîãëè õ àíèòü â íåì òî íîå çíà åíèå ï îèçâåäåíèß äâóõ ìà èííûõ èñåë. Îáùåï èçíàííûì ò åáîâàíèåì ßâëßåòñß òî, òîáû ìû ìîãëè òàêæå õ àíèòü çíà åíèß ñóììû n èñåë è ï îèçâåäåíèß n ìå íûõ âåêòî îâ áåç ï îìåæóòî íûõ ïå åïîëíåíèé ïàìßòè. Ï îöåäó û, â êîòî ûõ åàëèçó òñß äåéñòâèß íàä èíòå âàëàìè, îñíîâûâà- òñß íà îïèñàííûõ âû å îïå àöèßõ ñ íàï àâëåííûìè îê óãëåíèßìè è äèíàìè åñêîé òî íîñòü. Â èñëîï îöåäó, àáîòà ùèõ ñ èíòå âàëüíûìè èñëàìè, âêë åíû ï îöåäó û, âûïîëíß ùèå à èôìåòè åñêèå îïå àöèè, ëîãè åñêèå îïå àöèè, ñïåöèàëüíûå èíòå âàëüíûå îïå àöèè, òàêèå êàê îáúåäèíåíèå, ïå åñå åíèå èíòå âàëîâ, àññòîßíèå ìåæäó èíòå âàëàìè è íåêîòî ûå ä óãèå. Ê íèì îòíîñßòñß òàêæå óòèëèòû äëß íàõîæäåíèß èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ñòàíäà òíûõ ìàòåìàòè åñêèõ ôóíêöèé. Äëß êàæäîé èç ï îöåäó, îáúåäèíåííûõ èíòå ôåéñíîé ï îã àììíîé îáîëî êîé, õà àêòå íûìè ßâëß òñß äâà ìîìåíòà: 69

70 íàëè èå äîñòàòî íî áîëü îãî èñëà ïà àìåò îâ, óï àâëß ùèõ ï îâåäåíèåì îïå àöèè, à òàêæå êîíò îëü çà ïîßâëåíèåì âîçìîæíûõ î èáîê, â ïå âó î å åäü çà âûõîäîì åçóëüòàòîâ çà ã àíèöû îáëàñòè ìà èííî ï åäñòàâèìûõ èñåë. Íà îñíîâå èçëîæåííûõ ï èíöèïîâ àç àáîòàí íàáî ï îöåäó, ïîçâîëß ùèé ôôåêòèâíî å àòü âîï îñû, âîçíèêà ùèå ï è âû èñëåíèè èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé, ïîßâëß ùèõñß íà îñíîâå ñèìâîëüíûõ âû èñëåíèé. 70

71 3.2. Ï èìåíåíèå àíàëèòè åñêèõ àëãî èòìîâ äëß íàõîæäåíèß ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé. Âîï îñû âçàèìîäåéñòâèß ñèìâîëüíûõ è âû èñëèòåëüíûõ àëãî èòìîâ ßâëß òñß âàæíûìè â îïèñûâàåìûõ ìåòîäàõ ïîëó åíèß ãà àíòè îâàííûõ îöåíîê ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ñèìâîëüíûå îïå- àöèè ï îèçâîäßòñß ñ ïîìîùü ñïåöèàëèçè îâàííûõ ï îã àììíûõ ñ åäñòâ, ßçûêîâ REDUCE[71, 72], MARPLE [15], ACRITH[18] è òîìó ïîäîáíûõ, à òàêæå ï îã àììíûõ ñèñòåì, åàëèçó ùèõ êîíê åòíûå ñèìâîëüíûå ìåòîäû. Òàêîé ïîäõîä ï èâëåêàòåëåí ñâîåé íàï àâëåííîñòü íà å åíèß êîíê åòíûõ âîï îñîâ è çàäà, âîçìîæíîñòü ïîëó èòü ôôåêòèâíûå åàëèçàöèè. Ìîæíî îòìåòèòü ñëåäó ùèå âàæíûå âçàèìîäåéñòâèß ñèìâîëüíûõ è âû- èñëèòåëüíûõ àëãî èòìîâ: àíàëèç èñõîäíûõ ñèñòåì è ïîäãîòîâêà ê ï èìåíåíè óäîáíîãî ñèìâîëüíîãî è èñëåííîãî ìåòîäîâ; ïîñò îåíèå èñëåííîãî àëãî èòìà ñîãëàñíî çàäàííûì óñëîâèßì; ã àôè åñêèé èëè òàáëè íûé âûâîä åçóëüòàòîâ. Îòìåòèì, òî îïèñàííûé çäåñü ïîäõîä îòëè àåòñß îò èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ñèìâîëüíîãî å åíèß ó àâíåíèé [69, 70, 71] òåì, òî â òèõ ìåòîäàõ ñò îßòñß òî íûå å åíèß ó àâíåíèé, à â ï åäñòàâëåííûõ ìåòîäàõ äëß îöåíèâàíèß - íåî èåíòè îâàííûå ñâßçíûå ã àôû áåç öèêëîâ, çàäà ùèå ñïëàéí-ôóíêöèè, àïï îêñèìè ó ùèå òî íîå å åíèå èñõîäíîé ñèñòåìû ó àâíåíèé, è äàëåå èñïîëüçóåìûå äëß íàõîæäåíèß èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ïî ïîëó åííûì ôî ìóëàì. Ïîä ã àôîì ïîíèìàåòñß ìíîæåñòâîâå èí C è ñîâîêóïíîñòü ï åîá àçîâàíèé α íà íèõ. Ï åäñòàâëåíèåì äå åâà íàçûâàåòñß ñïîñîá çàïèñè èíôî ìàöèè î íåì, îäíîçíà íî è ïîëíîñòü âîññòàíàâëèâà ùèé ñò óêòó ó äå åâà è ïîçâîëß ùèé âû èñëßòü åãî õà àêòå èñòèêè. Ìîæíî âûäåëèòü îáùèå ñïîñîáû ï åäñòàâëåíèß μ äëß âñåõ ã àôîâ ï åäñòàâëåíèß è ñïåöèôè åñêèå μ äëß äå- åâüåâ. Ï åäñòàâëåíèå ñ ïîìîùü ìàò èöû ñìåæíîñòè ßâëßåòñß îáùèì äëß ã àôîâ, îíî îï åäåëßåò ã àô îäíîçíà íî ñ òî íîñòü äî èçîìî ôèçìà. Äîñòîèíñòâîì òîãî ï åäñòàâëåíèß ßâëßåòñß ëåãêîñòü ïîëó åíèß, à òàêæå âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèß äëß ßçûêîâ, äîïóñêà ùèõ ïîáèòîâó îá àáîòêó äâîè íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îäíàêî òî ï åäñòàâëåíèå íå ßâëßåòñß ñàìûì êîíîìíûì è ò óäîåìêîñòü àëãî èòìîâ, àáîòà ùèõ ñ òàêèì ï åäñòàâëåíèåì, íå ìîæåò áûòü íèæå O(n 2 ). Íàïîìíèì, òî ìàò èöà ñìåæíîñòè åñòü êâàä àòíàß ìàò èöà àçìå îì n n ó êîòî îé ëåìåíò a ij îï åäåëßåòñß 71

72 ñëåäó ùèì ñîîòíî åíèåì. a ij = 1 åñëè âå èíû x i,y j ñìåæíûå, 0 â ï îòèâíîì ñëó àå. Èòàê, ïîä óíèâå ñàëüíîé ñèñòåìîé ñèìâîëüíûõ èëè àíàëèòè åñêèõ ï åîá- àçîâàíèé ï èíßòî ñ èòàòü ï îã àììíó ñèñòåìó, ïîçâîëß ùó ï îâîäèòü àëãåá àè åñêèå ï åîá àçîâàíèß íàä îáúåêòàìè äîñòàòî íî îáùåé â ìàòåìàòè åñêîì ñìûñëå ï è îäû. Îíè, êàê ï àâèëî âêë à ò â ñåáß ï îöåäó û äëß àáîòû â àíàëèòè åñêîì âèäå ñ ìàò èöàìè, äëß å åíèß àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé è ñèñòåì ëèíåéíûõ ó àâíåíèé, äëß ãåíå àöèè ï îã àìì èñëåííîãî ñ åòà, äëß âû èñëåíèß â ñèìâîëüíîì âèäå ( êîãäà òî âîçìîæíî) èíòåã àëîâ è ñóìì, äèôôå åíöè îâàíèß è ä óãèõ çàäà. Âåñüìà óäîáíî ï è òîì, òî âñå èñëåííûå êî ôôèöèåíòû ï åäñòàâëß òñß îáû íî â âèäå àöèîíàëüíûõ ä îáåé ñ íåîã àíè åííûìè äëèíàìè èñëèòåëß è çíàìåíàòåëß. Â êà åñòâå îñíîâíîé ñèñòåìû äëß åàëèçàöèè íà åãî àëãî èòìà áûëà âûá àíà ñèñòåìà MARPLE[19]. Âàæíî îòìåòèòü, òî èñïîëüçóåìîå â àëãî èòìå ñèìâîëüíîå äèôôå åíöè îâàíèå íå âñåãäà äîïóñêàåò ôôåêòèâíó åàëèçàöè, òî ò åáóåò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé. Äåëî â òîì, òî, õîòß ñèìâîëüíîå äèôôå åíöè îâàíèå ßâëßåòñß áàçîâûì îïå àòî îì, â ôî ìóëàõ áîëü îé äëèíû ò óäíî ïîëó èòü âû àæåíèå äëß ï îèçâîäíîé èç-çà ñò åìèòåëüíîãî îñòà ï îìåæóòî íûõ åçóëüòàòîâ. Âîçìîæåí ä óãîé ïîäõîä. Åñëè èìååòñß ï îã àììà íà êàêîì-ëèáî ßçûêîâ àíàëèòè åñêèõ âû èñëåíèé, åçóëüòàòîì âûïîëíåíèß êîòî îé áóäåò èíòå åñó ùåå íàñ âû àæåíèå, òî ï îàíàëèçè îâàâ àã çà àãîì âñå îïå àòî û òîé ï îã àììû, ìîæíî àâòîìàòè åñêè ñãåíå è îâàòü ï îã àììó, âû èñëß ùó åãîï îèçâîäíó áîëåå êîíîìíûì îá- àçîì. Òàêîé ïîäõîä íàçûâàåòñß àâòîìàòè åñêèì äèôôå åíöè îâàíèåì. ï è òîì àçìå ïîëó åííîé ï îã àììû ìîæåò îêàçàòüñß íåáîëü èì. Â àëãî èòìå èñïîëüçîâàíû âîçìîæíîñòè òèõ äâóõ ïîäõîäîâ. Îòìåòèì, òî â çàäà àõ âû èñëåíèß èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ôóíêöèé áîëü îå çíà åíèå ï èîá åòàåò óï îùåííàß ôî ìà çàïèñè âû àæåíèé è ï èâåäåíèå ïîäîáíûõ ëåíîâ, ïîñêîëüêó òî ïîçâîëßåò ñóùåñòâåííî ñíèçèòü ò óäîåìêîñòü àëãî- èòìà, â åìß èñïîëíåíèß. Ïóñòü Y = F (X 1,...,X n ) ï åäñòàâëßåò îïå àòî ï èñâàèâàíèß. Ëåâó àñòü ( ïå åìåííó Y ) íàçîâåì îï åäåëßåìîé ( defined, def) ï àâîñòî îííèìè ïå åìåííûìè èç F, êîòî ûå áóäåì ñ èòàòü èñïîëüçóåìûìè (used). Ýòîìîæåò áûòü ï åäñòàâëåíî ëåìåíòà íûì ã àôîì ñ âå èíàìè Y,X 1,...,X n. Àíàëîãè íî ìû ñâßæåì áëîê, ñîñòîßùèé èç m îïå àòî îâ ï èñâàèâàíèß ñ ã àôîì G m, ïîêàçûâàß ñîîòíî åíèß ìåæäó îï åäåëßåìûìè è èñïîëüçóåìû- 72

73 ìè ïå åìåííûìè â êàæäîì îïå àòî å è èõ îëü â áëîêå. òîáû îï åäåëèòü, ñóùåñòâóåò ëè çàâèñèìîñòü ìåæäó ïå åìåííûìè X i è X j,îòêîòî ûõ çàâèñèò îäíà è òà æå ïå åìåííàß Y íàì íóæíî ïîñò îèòü çàâèñèìîñòü X i d X j = X i succ X j X j succ X i X i ptcom X j ãäå X j succ X i X i uses X j or X k (X i succ X k ) and (X j succ X k ) è X i ptcom X j { X k (X ksucc X i )and(x ksucc X j )} Ï îöåññ ãëîáàëüíîãî óï îùåíèß ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåí â âèäå àëãî èòìà, ó êîòî îãî ï èñâàèâàíèå ï îèñõîäèò íà âõîäå, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîäèôèöè îâàííûõ îïå àòî îâ ìîæíî ïîëó èòü íà âûõîäå. Y i = F (t) i (X 1,...,X n ) (STATEG t 1 )= Y 1 = F (t+1) 1 (X 1,...,X n )... Y i = F (t+1) i (X 1,...,X n ) Êàæäûé àã àëãî èòìà, îáîçíà åííûé íàìè 't', ñîñòîèò èç ôàçû ñîçäàíèß è ìîäèôèêàöèè ã àôà, çà êîòî îé ñëåäóåò ôàçà èñêë åíèß çàâèñèìîñòè ñ åäè ïå åìåííûõ, èñïîëüçóåìûõ â àãàõ F (t) 1,...,F (t) Íà ôàçå ñîçäàíèß ã àôà âûäåëßåòñß íåñêîëüêî àíàëèçè óåìûõ ñëó àåâ, çàâèñßùèõ îò òîãî ßâëßåòñß ëè Y i îï åäåëåíà è èñïîëüçîâàíà â âû àæåíèè íà äàííîì àãå àëãî èòìà Íà ôàçå èñêë åíèß çàâèñèìîñòåé ìîæíî îï åäåëèòü àãè ï îâå êè: 1. Ñóùåñòâóåò ëè ïà à (X i,x j ), òàêàß, òî X i d X j. Òîãäà a) X i succ X j âëå åò, òî X j çàìåíßåòñß íà ñâîå îï åäåëåíèå â Y i. Íàï èìå, X 1 =2X 2 Y i = X 1 X 2 = i. X 1 =2X 2 Y i =2X 2 X 2 b) X i ptcom X j âëå åò, òîêàê X j òàê è X j çàìåíßåòñß íà ñâîå îï åäåëåíèå â Y i. Íàï èìå, = X 1 = Z X 2 =3Z Y i = X 2 X 1 73 X 1 = Z X 2 =3Z Y i =2Z

74 2. Ñóùåñòâóåò Y j, òàêîå, òî Y i succ Y j and ( X k (X k succ Y i ) and (X k succ Y j ). Â òîì ñëó àå åàëèçóåòñß ïîñëåäîâàòåëüíàß çàìåíà ñâå õó âíèç ïå åìåííûõ, ï èìåíßåìûõ â Y j,y i, íà èõ îï åäåëåíèß. Íàï èìå, = Y l Y i Y j Y j = Y l + X n Y l = Y i = Y i = X 1 X n = X l = X 1 X n = X 1 X n Y j Y l Y i = Y l + X n = X 1 X n = X 1 X n Öèêëû â òîì íàï àâëåííîì ã àôå áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü èñïîëüçóåìûì ( used), íî íå èíèöèàëèçè îâàííûì ïå åìåííûì, òî ïîçâîëßåò ïîïóòíî âûßâèòü ñåìàíòè åñêèå î èáêè â ï îã àììå. Èòàê, ìû ñò îèì àëãî èòì, ïîñëåäîâàòåëüíî óï îùà ùèé âû àæåíèß äëß òîãî, òîáû ìèíèìèçè îâàòü êîëè åñòâî ïîßâëåíèé êàæäîé èç ïå åìåííûõ â âû àæåíèßõ è è èíó èõ èíòå âàëüíîãî àñ è åíèß. Ìîäóëè, ñîçäà ùèå àíàëèòè åñêèå ôî ìóëû âû àæåíèé ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèß ïîìåòîäó ñïëàéí-êîëëîêàöèè, ïîçâîëß ò íàêîïèòü òè ôî ìóëû â ôàéëàõ äëß ïîñëåäó ùåãî èñïîëüçîâàíèß â àëãî èòìå. Âûâîäû Äàííàß ãëàâà ñîäå æèò îïèñàíèå àëãî èòìîâ è ï àêòè åñêèõ âîï îñîâ åàëèçàöèè, ñâßçàííûõ ñ ïîñò îåíèåì ï îã àìì èíòå âàëüíûõ îïå àöèé ñ êîíò îëåì òî íîñòè. Ï è âûïîëíåíèè èñëåííûõ àëãî èòìîâ, â òîì èñëå èíòå âàëüíûõ, ìîãóò ïîßâëßòüñß ôôåêòû, âûçâàííûå âëèßíèåì î èáîê îê óãëåíèß è ïîòå åé òî íîñòè ï è ñîê àùåíèßõ. Êîìïü òå íûå ñèñòåìû íå ï åäóñìàò èâà ò ôôåêòèâíîãî ìåõàíèçìà îï åäåëåíèß òî íîñòè âû èñëåíèé èëè ïå åêîìïèëßöèè íåòî íûõ åçóëüòàòîâ äëß ïîëó åíèß áîëü åé òî íîñòè. òîáû äîáèòüñß ïîâû åíèß òî íîñòè èíòå âàëüíûõ àëãî èòìîâ è íàäåæíîñòè èñëåííûõ àëãî èòìîâ, ï èìåíßëèñü ìíîãèå ï îã àììíûå ñ åäñòâà. Íà àííèõ òàïàõ àçâèòèß ñèñòåìû èíòå âàëüíûõ âû èñëåíèé è ìà èííîé èíòå âàëüíîé à èôìåòèêè ñîçäàâàëèñü ï îã àììíûå ïàêåòû, îáåñïå èâà ùèå åàëèçàöè îñíîâíûõ îïå àöèé íàä èíòå âàëàìè è à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé íàä èñëàìè, âûïîëíßåìûõ ñ ïå åìåííîé òî íîñòü [60, 61, 62,65]. 74

75 Ïîçäíåå ñòàëè ïîßâëßòüñß ï îã àììíûå ßçûêè âûñîêîãî ó îâíß, êîòî ûå ñîäå æàò äàííûå íîâûõ òèïîâ, êîìàíäû è èíñò óêöèè, âûïîëíß ùèå äåéñòâèß íàä íèìè ñ êîíò îëè óåìîé òî íîñòü. Â ßçûêàõ âûñîêîãî ó îâíß äëß îáåñïå åíèß âû èñëåíèé ñ àäàïòèâíîé òî íîcòü âîçìîæíû äâà ñïîñîáà. Ïîäõîä, åàëèçó ùèé îïå àöèè ñ ìíîãîê àòíîé òî íîñòü, ï åäóñìàò èâàåò èñïîëüçîâàíèå äëß âåùåñòâåííûõ èñåë áîëü îãî êîëè åñòâà äâîè íûõ àç ßäîâ è åàëèçàöè îïå àöèé íàä íèìè ñ åäè ñòàíäà òíûõ ï îöåäó -îïå àöèé. Ïîäõîä íà îñíîâå áîëü èõ èñåë bignum èñïîëüçóåò äèíàìè åñêè àñïà àëëåëåííó ïàìßòü, â àñòíîñòè äëß ï åäñòàâëåíèß áîëü èõ èñåë. Íåäîñòàòîê à èôìåòèêè ìíîãîê àòíîé òî íîñòè ñîñòîèò â òîì, òî òî íîñòü îñòàåòñß êîíå íîé. Ï îáëåìû èñïîëüçîâàíèß áîëü èõ èñåë bignum ñîñòîßò â òîì, òî äàæå àñï îñò àíßß ìåòîäèêó íà àöèîíàëüíûå êîìáèíàöèè öåëûõ èñåë, íåâîçìîæíîïîëó àòü å åíèß êîíê åòíûõ çàäà è åçóëüòàòû âû èñëåíèß âû àæåíèé, èñïîëüçóß åñó ñû ÝÂÌ ìàññîâîãî èñïîëüçîâàíèß. Ðåàëèçàöèß ñèìâîëüíî èíòå âàëüíûõ àëãî èòìîâ å åíèß ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, îïèñàííûõ â ïà àã àôàõ 3,4 ãëàâû 2, íàëàãàåò ñâîè ò åáîâàíèß ê èñïîëüçîâàíè ï îã àììíûõ ìîäóëåé è ï îã àììíûõ îáîëî åê, âûïîëíß ùèõ äåéñòâèß ïî âû èñëåíè çíà åíèé èíòå âàëüíûõ âû àæåíèé, èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ôóíêöèé è òîìó ïîäîáíûõ. Â àáîòàõ [73, 74] ïàêåò èíòå âàëüíûõ îïå àöèé èñïîëüçóåòâïîäï îã àììàõ òèïû äàííûõ âåùåñòâåííûõ è öåëûõ èñåë, à ñàìè èíòå âàëüíûå âåëè èíû ï åäñòàâëåíû êàê ìàññèâû äëèíû 2. Ñàìè àëãî èòìû èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è ìà èííûõ à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé ìîãóò áûòü åàëèçîâàíû íà ë áîì ßçûêå âûñîêîãî ó îâíß è â íàñòîßùåå â åìß èñïîëüçîâàíû ï îã àììíûå ñ åäñòâà íà ßçûêàõ Ïàñêàëü è ÑÈ. Îñíîâà òàêîé åàëèçàöèè îï åäåëßåòñß ò åáîâàíèßìè, îáóñëîâëåííûìè ñîâìåñòíûì èñïîëüçîâàíèåì ñèìâîëüíûõ âû èñëåíèé è èíòå âàëüíîãî îöåíèâàíèß î èáîê ï èáëèæåííûõ å åíèé, à òàêæå èíòå âàëüíûõ âû èñëåíèé àñ è åíèé äëß ïîëó åííûõ ñïëàéí- å åíèé. Â ï îã àììàõ, åàëèçó ùèõ à èôìåòè åñêèå îïå àöèè íàä ã àíè íûìè çíà åíèßìè èíòå âàëîâ, èñïîëüçó òñß íàï àâëåííûå îê óãëåíèß, òî ïîçâîëßåò äîáèòüñß ãà àíòè îâàííîãî âêë åíèß â ïîëó åííûé èíòå âàë òî íîãî åçóëüòàòà à èôìåòè åñêèõ îïå- àöèé, à òàêæå ïîëó åíèß ãà àíòè îâàííîé âåëè èíû òî íîñòè. Ìà èííàß à èôìåòèêà â çíà èòåëüíîé ìå å çàâèñèò îò àïïà àòíûõ åàëèçàöèé, êîòî ûå ï åäñòàâëßåò ïîëüçîâàòåë ÝÂÌ, ïî òîìó ï è íàïèñàíèè ï îöåäó à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé ñ íàï àâëåííûìè ñ åäñòâàìè ßçûêàâû- 75

76 ñîêîãî ó îâíß ï èõîäèòñß ï îèçâîäèòü íî ìàëèçàöè èñåë, ñäâèãè, ï îâå êó ïå åïîëíåíèß, îê óãëåíèß èñåë. Íàïîìíèì, òî òåî åòè åñêèå îñíîâû äëß àññìîò åíèß îê óãëåíèß êàê îòîá àæåíèß ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë â ìíîæåñòâî ìà èííî ï åäñòàâèìûõ èñåë, óäîâëåòâî ß ùåãî ßäó ñâîéñòâ, çàëîæåíû â àáîòàõ [17, 18, 61]. Ðåçóëüòàòû íàñòîßùåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â àáîòàõ [72, 73, 74, 79]. Çàêë åíèå (îñíîâíûå âûâîäû). Ðåçóëüòàòîì âûïîëíåííîé àáîòû ßâëßåòñß ñîçäàíèå íîâûõ àëãî èòìîâ äëß ïîñò îåíèß âå õíèõ è íèæíèõ ( èíòå âàëüíûõ ) îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ èíòå âàëüíûìè ïà àìåò àìè, îáëàäà ùèõ ñâîéñòâàìè ïîêîî äèíàòíîé ñõîäèìîñòè, à òàêæå ñ åäñòâ äëß åàëèçàöèè òèõ àëãî èòìîâ â ìíîæåñòâå èíòå âàëüíûõ èñåë. Ï åäëîæåííûé ïîäõîä ïîçâîëßåò îñóùåñòâëßòü ïîñò îåíèå ñèìâîëüíûõ ôî ìóë ï èáëèæåííûõ å åíèé, òî ñëóæèò îñíîâîé äëß àçëè íûõ èñëåííûõ àëãî èòìîâ îöåíêè å åíèß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, â òîì èñëå ñ íåòî íî çàäàííûìè ïà àìåò àìè. Â ï îöåññå àáîòû å åíû ñëåäó ùèå çàäà è: ñîçäàíèå íîâîãî êëàññà àëãî èòìîâ äëß ïîñò îåíèß ãà àíòè îâàííûõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, îáåñïå èâà ùèõ ïîêîî äèíàòíó ñõîäèìîñòü òèõ îöåíîê ê ìíîæåñòâó òî íûõ å åíèé èëè íåóëó àåìîñòü ïîëó àåìûõ îöåíîê äîêàçàòåëüñòâîòåî åì ñõîäèìîñòè èíòå âàëüíûõ îöåíîê, ïîëó åííûõ ïî óêàçàííûì ñõåìàì àíàëèç àçëè íûõ ìîäèôèêàöèé òèõ àëãî èòìîâ äëß ôôåêòèâíîãî íàõîæäåíèß èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé ïîëó åíèå è èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ óï îùåíèß àíàëèòè åñêèõ àëãî èòìîâ ïîäñòàíîâêè ôî ìóë ñïëàéí-ôóíêöèé èññëåäîâàíèå è åàëèçàöèß àëãî èòìîâ ìà èííûõ èíòå âàëüíûõ îïå àöèé è êîíò îëß òî íîñòè èñëåííûõ åçóëüòàòîâ. Â íàñòîßùåå â åìß ï åäñòàâëßåòñß àêòóàëüíîé àáîòà â òàêîì íàï àâëåíèè, êàê àñï îñò àíåíèå ñîçäàííûõ àëãî èòìîâ íà àçëè íûå êëàññû çàäà, ò åáó ùèõ ãà àíòè îâàííîãî êîíò îëß çà òî íîñòü èñëåííûõ åçóëüòàòîâ, òî ïîäòâå æäàåòñß åçóëüòàòàìè, ïîëó åííûìè ï è åàëèçàöèè òèõ àëãî èòìîâ. 76

77 Ñïèñîê ëèòå àòó û [1] Moore R.E. Interval analysis. Prentice Hall: Englewood Cliffs, N.-J., p. [2] Moore R.E. Methods and applications of interval analisis. Philadelphia: SIAM, p. [3] Walter W. Differential and integral inequalities. Berlin, Springer, p. [4] Àëåôåëüä Ã., Õå öáå ã. Ââåäåíèå â èíòå âàëüíûå âû èñëåíèß. Ì.: Ìè, ñ. [5] Êàëìûêîâ Ñ.À., îêèí.è., ëäà åâ Ç.Õ. Ìåòîäû èíòå âàëüíîãî àíàëèçà. Íîâîñèáè ñê: Íàóêà, ñ. [6] îêèí.è. Èíòå âàëüíûé àíàëèç.- Íîâîñèáè ñê: Íàóêà, ñ. [7] àïëûãèí Ñ.À. Íîâûé ìåòîä ï èáëèæåííîãî èíòåã è îâàíèß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé.- Â êí. àïëûãèí Ñ.À. Èçá àííûå ò óäû. Ìåõàíèêà æèäêîñòè è ãàçà. Ìàòåìàòèêà. -Ì.: Íàóêà, ñ [8] Ìà òûí ê À.À., Ãóòîâñêè Ð. Èíòåã àëüíûå íå àâåíñòâà è óñòîé èâîñòü äâèæåíèß.- Êèåâ: Íàóêîâà Äóìêà, ñ. [9] Áàáåíêî Ê.È. Îñíîâû èñëåííîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, ñ. [10] Õàé å Ý., ÍΞå ñåòò Ñ., Âàííå Ã. Ðå åíèå îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Íåæåñòêèå çàäà è. Ì.: Ìè, ñ. [11] å íîóñüêî Ô.Ë. Îöåíèâàíèå ôàçîâîãî ñîñòîßíèß äèíàìè åñêèõ ñèñòåì. Ì.: Íàóêà, ñ. [12] Ê àñíîñåëüñêèé Ì.À., Âàéíèêêî Ã.Ì., Çàá åéêî Ï.Ï. è ä. Ï èáëèæåííîå å åíèå îïå àòî íûõ ó àâíåíèé. Ì.: Íàóêà, ñ. [13] Õà òìàí Ô. Îáûêíîâåííûå äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß.- Ì.: Ìè, ñ. [14] Äîá îíåö Á.Ñ., àéäó îâ Â.Â. Äâóñòî îííèå èñëåííûå ìåòîäû.- Íîâîñèáè ñê: Íàóêà, ñ. [15] Ëè Ý.Á., Ìà êóñ Ë. Îñíîâû òåî èè îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß.-ì.: Íàóêà, ñ. 77

78 [16] Çàâüßëîâ.Ñ., Êâàñîâ Á.È., Ìè î íè åíêî Â.Ë. Ìåòîäû ñïëàéíôóíêöèé. Ì.: Íàóêà, ñ. [17] Kulisch U., Miranker W. Computer arithmetic in theory and practice.- New York, Academic Press, p. [18] Klatte R., Kulisch U., Neaga M., Ratz D., Ullrich Ch. PASCAL XSC languages reference with examples. Berlin, Springer p. [19] Heck A. Introduction to Maple. - Berlin, Springer p. [20] WaΦzewski T. Systemes des equation et des inequalities differentielles ordinaires aux deuxiemes membres monotones et leurs applicationes // Ann. Soc. Polonaise de mathematiques ü23 P [21] KrΞuckeberg F. Ordinary differential equations. Topics in interval analysis. Ed.by Hansen E. Oxford: Clarendon Press P [22] Stewart N.F. A heuristic to reduce the wrapping effect in the numerical solution of x = f(t, x) // BIT ü11. P [23] Corliss G., Chang Y. Solving ordinary differential equation using Taylor series // ACM Trans. Math. Software Vol. 8 - ü2. P [24] Corliss G.,Rall L. Adaptive seft-validating quadrature // SIAM J. Sci. Stat. Comput Vol. 8, ü5 P [25] Eijgenraam P. The solution of initial value problems using interval arithmetic: formulation and analysis of an algorithm //Mathematical Center Tracts ü144. [26] Nickel K. How to fight the wrapping effect // Lecture Notes in Computer Science ü212. P [27] Âå áèöêèé Â.È., Ãî áàíü À.Í., Óò áàåâ Ã.., îêèí.è. Ýôôåêò Ìó- à â èíòå âàëüíûõ ï îñò àíñòâàõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ T. 304, ü1. P [28] Nickel K. Using interval methods for the numerical solution of ODE's // Z. Angew. Math. Mech Vol. 66, ü11. P [29] Adams E. Enclosure methods and scientific computation // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math Vol. 1, ü1-4. P

79 [30] Neumaier A. The wrapping effect, ellipsoidal arithmetic, stability and confidence regions // Computing Suppl.9. P [31] Lakshmikantham V., Sivasundaram S. The methods of upper and lower solutions and interval methods for first order differential equations // Appl. Math. and Comput Vol.23, ü1. P [32] Lakshmikantham V. Application of interval analysis to minimal and maximal solution of differential equations // Appl.Math. and Comput Vol. 41, ü1. P [33] Gambill T., Skeel R. Logarithmic reduction of the wrapping effect with application to ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal Vol. 25, ü1. P [34] Jackson L. Interval arithmatic error-bounding algorithms // SIAM J. Numer. Anal Vol.12, ü2. P [35] Skeel R. Thirteen ways to estimate global error // Numer. Math Vol. 48, ü1. P [36] Adams E. Invers Monotonie, directe und indirecte intervall methoden // Ber. Math. Stat. Sek. Forschungzent. Graz ü S. 185/1 185/56. [37] Bauch H., Kimmel W. Solving ordinary initial value problems with guaranted bounds // Z. Angew. Math. Mech Band 69, ü4. P [38] Adams E.,Cordes D.,Lohner R. Enclosure of solutions of ordinary initial value problems and applications // Math. Res ü36. P [39] Lohner R. Einschließungen bei Anfangs-und Randwertaufgaben gewξonlicher Differentialgleichungen. Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverification / Hrsg. Kulish U S [40] Lohner R. Praktikum einschließung bei Differentialgleichungen. Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverification / Hrsg. Kulish U S [41] Stetter H. Sequential defect correction for high accuracy algorithms // Lect. Notes in Math Vol P [42] Kaucher E. Methoden zur LΞusung von Integral-und-Gleichungen. Math. Res ü58. P

80 [43] Íåê àñîâ Ñ.À. Î ïîñò îåíèè äâóñòî îííèõ ï èáëèæåíèé ê å åíè çàäà è Êî è // Æ. âû èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç T. 28. ü5. Ñ [44] Íåê àñîâ Ñ.À. Äâóñòî îííèå ìåòîäû èñëåííîãî èíòåã è îâàíèß íà àëüíûõ è ê àåâûõ çàäà // Èçâ. âóçîâ. Ýëåêò îìåõàíèêà ü1. Ñ [45] Ermakov O.B. Two sided methods for solving system of ordinary differential equations with automatic determination of guaranteed estimates // Interval Computations ü3. P [46] Filippov A.F. Ellipsoidal estimates for a solution of a system of differatial equations // Interval Computations ü2. P [47] Filippov A.F. Ellipsoidal error estimates for Adams method // Interval Computations. 1992, ü3. P [48] Dobronets B.S. Interval methods based on a posteriori estimates // Interval Computations ü3. P [49] Dobronets B.S. On some two sided methods for solving systems of ordinary differential equations // Interval Computations ü1. P [50] Ïàõíóòîâ È.À. Ñïëàéíû ñ äîïîëíèòåëüíûìè óçëàìè è çàäà à Êî è // Ìàòåìàòè åñêèå çàìåòêè T. 23, âûï. 1. Ñ [51] Ïàõíóòîâ È.À. Ðå åíèå çàäà è Êî è äëß îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ ïîìîùü ñïëàéíîâ // Ñá. Âû èñëèòåëüíûå ñèñòåìû. Íîâîñèáè ñê, 1975, âûï.65. Ñ [52] MΞulthei H. Numerische LΞosung gewξonlicher Differentialgleichungen mit Splinefunctionen.// Computing Vol. 25, ü3. P [53] Alefeld G. On the approximation of the range of values by interval expressions // Computing Vol. 44, ü3. P [54] Cornelius H., Lohner R. Computing the range of values of real functions with accuracy higher than second order // Computing Vol. 33, ü1. P [55] Alefeld G.,Lohner R. On higher order centered forms // Computing Vol. 35, ü 2. P

81 [56] Rokne J., Bao P. Interval Taylor Forms // Computing Vol. 39, ü3. P [57] Krawczyk R., Nickel K. Die zentrische Form in der Intervall-arithmetic, ihre quadratische Konvergenz // Computing Vol. 28, ü2. P [58] Jahn K.-U. Evaluation of Hausdorff distances in interval mathematics. // Computing Vol. 45, ü2. P [59] Popova E.D. Extended interval arithmetic in IEEE floating point environment // Interval computations ü4. P [60] Cole A., Morrison R. Triplex: A system for interval arithmetic // Software Pract. Exper Vol. 12, ü4. P [61] Klatte R., Ullrich Ch., Gudenberg J. Arithmetic specification for scientific computation // IEEE Trans. Comput Vol. C-34, ü11. P [62] Kulisch U., Bohlender G. Features of a hardware implementation of optimal arithmetic // A new approach to scientific computation / Ed. Kulisch U., Miranker W. New York etc.: Academic Press P [63] Bundi A. A generalized interval package and its use for semantic checking // ACM Trans. Math. Software Vol. 10, ü4. P [64] Velitchkov T., Cohen R., Stoyanov P. Hificomp: basic computer arithmetic operations // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math Vol. 7, ü1-4. P [65] Kulisch U. Formalization and implementation of floating point arithmetic // Computing Vol. 14, ü4. P [66] Olver F.W. Further developmentof RP and AP error analysis // IMA Journal of Numerical Analysis Vol. 2, ü3. P [67] Ukkonen E. On the calculation of effects of roundoff errors // ACM Trans. Math. Software Vol. 7, ü3. P [68] Kulisch U. An axiomatic approach to rounded computations // Numer. Math Vol. 18. P [69] Íåñòå îâ Â.Ì. Àâòîìàòè åñêîå ñèìâîëüíîå å åíèå ó àâíåíèé / Ìåòîäû è ñ åäñòâà èíôî ìàöèîííîé òåõíîëîãèè â íàóêå è ï îèçâîäñòâå. C.- Ïåòå áó ã: Íàóêà, C

82 [70] Moussiaux A. CONVODE: a REDUCE package for solving differential equations // J.Comp.Appl.Math Vol. 48. P [71] Âàñèëüåâ Í.Í., Åäíå àë Â.Ô. Êîìïü òå íàß àëãåá à â ôèçè åñêèõ è ìàòåìàòè åñêèõ ï èëîæåíèßõ // Ï îã àììè îâàíèå C [72] De Gregorio S. Narrow bounds for numerical integration of differential equations // J. Stat. Phys Vol. 41, ü8. P [73] SSíåíêîÍ.Í., îêèí.è., Ðîãàëåâ À.Í. Î ï èíöèïàõ ïîñò îåíèß ïàêåòà èíòå âàëüíûõ îïå àöèé // Ñá. èñëåííûå ìåòîäû ìåõàíèêè ñïëî íîé ñ åäû.- Íîâîñèáè ñê , ò.11, ü5. Ñ [74] îêèí. È., Ðîãàëåâ À.Í. Ïàêåò èíòå âàëüíûõ îïå àöèé äëß ÝÂÌ ÁÝÑÌ-6 // Ï åï èíò ÈÒÏÌ ÑÎ ÐÀÍ ü Íîâîñèáè ñê ñ. [75] îêèí.è., Ðîãàëåâ À.Í., ëäà åâ Ç.Õ. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ èíòå âàëüíîãî àíàëèçà â ï îáëåìå ò àíñïî òàáåëüíîñòè ï îã àìì // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. Òà êåíò, ü670. Ñ [76] Íîâèêîâ Â.À., Ðîãàëåâ À.Í. Îá îäíîì ìåòîäå å åíèß îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñíà àëüíûìè äàííûìè â âèäå èíòå âàëà // Èíôî ìàöèîííî-îïå àòèâíûé ìàòå èàë (èíòå âàëüíûé àíàëèç). Ï åï èíò ÂÖ ÑÎ ÐÀÍ. Ê àñíîß ñê, ü9. Ñ [77] Íîâèêîâ Â.À., Ðîãàëåâ À.Í. Èññëåäîâàíèå èíòå âàëüíîãî ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ï èáëèæåíèé // Èíôî ìàöèîííî-îïå àòèâíûé ìàòå èàë (èíòå âàëüíûé àíàëèç). Ï åï èíò ÂÖ ÑÎ ÐÀÍ.- Ê àñíîß ñê, ü9. Ñ [78] Íîâèêîâ Â.À., Ðîãàëåâ À.Í. Âëèßíèå ôôåêòà " àñê óòêè"íà ïîëó åíèå âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé // Æ. âû. ìàò. è ìàò. ôèç Ò. 29, ü10.- Ñ [79] Ðîãàëåâ À.Í. Ïîñò îåíèå ñõîäßùèõñßâå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé // Ìàòå èàëû Âñåñî çíîé êîíôå åíöèè "Àêòóàëüíûå ï îáëåìû ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè". Ñà àòîâ, Ñ

83 [80] Ðîãàëåâ À.Í. Äâóñòî îííèå èñëåííî-àíàëèòè åñêèå ìåòîäû îöåíêè å- åíèé ñèñòåì ÎÄÓ ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè // Âîñüìàß ìåæäóíà îäíàß êîëà-ñåìèíà "Êà åñòâåííàß òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ãèä îäèíàìèêè (èíñòèòóò ãèä îäèíàìèêè, Íîâîñèáè ñê - Ê àñíîß ñêèé ãîñóíèâå ñèòåò)". Ê àñíîß ñê, Ñ [81] Rogalev A.N. Numerical Methods for Enclosing Solutions of Ordinary Differential Equations with Interval Data // Abstracts for an International Conference on Numerical Analysis with Automatic Result Verification. Mathematics, Applications and Software. February 25 Mach 1, University of South Western Louisiana, USA. P [82] Rogalev A.N. Outer and inner estimates for sets of solutions of ODE's with interval data // International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics. St.Peterburg State University, Russian Local ACM Chapter (St. Peterburg) P [83] Íîâèêîâ Â.À., Ðîãàëåâ À.Í. Ïîñò îåíèå ñõîäßùèõñß âå õíèõ è íèæíèõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé // Æó íàë. âû. ìàò. è ìàò. ôèç Ò. 33, ü2. Ñ [84] Rogalev A.N. Optimal upper and lower bounds for sets of solutions of ODE's with interval data // International Congress on Interval and Computer- Algebraic methods in Science and Engineering. St.Peterburg State University, International Journal Interval Computations, P [85] Ðîãàëåâ À.Í. Íàõîæäåíèå îïòèìàëüíûõ ãà àíòè îâàííûõ îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì ÎÄÓ ñ èíòå âàëüíûìè äàííûìè // Ñá. Âû èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè. Íîâîñèáè ñê, Ò. 4, ü13. Ñ [86] Rogalev Alexei N. Solving Systems of Ordinary Differential Equations with Interval Data: Rigorous and Optimal Bounds // IMACS/GAMM International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Validated Numerics, Sept , Bergische UniversitΞat Gesamthochschulle Wuppertal, Fachbereich Mathematic und Institut fξur Angewandte Informatic (Germany). P

84 Ï èëîæåíèå 1. Ñèìâîëüíûå ôî ìóëû ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Â òîì ï èëîæåíèè ìû ï èâîäèì ñèìâîëüíûå ôî ìóëû ñïëàéí-àïï îêñèìàöèé å åíèé, êîòî ûå ïîëó à òñß ïîñëå îäíîãî, äâóõ àãîâ ï èìåíåíèß íà åãî ìåòîäà. Ï è àñ åòå ã àíèö å åíèé íà äîñòàòî íî áîëü îì èíòå âàëå ìû ïîëó àåì ôî ìóëû, çàíèìà ùèå ï è çàïèñè èõ â ïàìßòü êèëîáàéò. Ï àêòè åñêàß åàëèçàöèß ìåòîäà îçíà àåò âûçîâ òèõ ôî ìóë â ìîäóëè, êîòî ûå ï îèçâîäßò àñ åò çíà åíèé èíòå âàëüíûõ àñ è åíèé, òî ôôåêòèâíî ìîæíî ï îèçâåñòè äëß ï îã àììíûõ èíñò óìåíòîâ êàê â ñèñòåìå MARPLE, òàê è íà ßçûêå Borland Pascal. Â ïå âîì ñëó àå ìû äåìîíñò è óåì ñïëàéí-àïï îêñèìàöèè äëß ñèñòåìû Ìó à [1], íà ï èìå å êîòî îé íàãëßäíî èëë ñò è óåòñß âëèßíèå ôôåêòà Ìó à äëß áîëü èíñòâà ìåòîäîâ. Íà àëãî èòì äàåò íåóëó àåìûå îöåíêè, ñâîáîäíûå îò âëèßíèß ôôåêòà. Èòàê, ìû àññìàò èâàåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè y = Ay, (3.1) ãäå y âåêòî àçìå íîñòè äâà, A ìàò èöà êî ôôèöèåíòîâ A = ñ èíòå âàëüíûìè íà àëüíûìè äàííûìè y0 1 [ 0.1, 0.1], y2 0 [0.9, 1.1]. Ïîñëå ïå âîãî àãà ïîëó àåì äëß êîìïîíåíò âåêòî à å åíèé ôî ìóëû, çàâèñßùèå òîëüêî îò íà àëüíûõ çíà åíèé y0,y 1 0: 2, y 1 (t) =y y2 0 h h2 y y2 0 h3 6 + h4 y h5 y y 2 (t) =y 2 0 hy 1 0 h2 y h3 y y2 0 h 4 24 h5 y

85 Ïîñëå âòî îãî àãà - ôî ìóëû: y 1 (t) = 2 h 2 y y h4 y y0 2 h + 4 h5 y y2 0 h h6 y h 7 y h8 y h9 y h10 y y 2 (t) =y h5 y y2 0 h h 8 y h3 y h 2 y hy1 0 + h 9 y h7 y h6 y h10 y Ïîñëå ò åòüåãî àãà-ôî ìóëû: y 1 (t) = 9 h2 y y h4 y y 2 0 h + 81 h5 y y2 0 h h6 y h 7 y h8 y h11 y h9 y h15 y h 14 y h13 y h12 y h10 y h2 y y 2 (t) =y0 2 h14 y h15 y h13 y h11 y h12 y hy h8 y h9 y h5 y h7 y y2 0 h h6 y h3 y h10 y

86 Âî âòî îì ñëó àå ìû ïîëó èëè åçóëüòàòû ï èìåíåíèß ìåòîäà ê íåñêîëüêèì ìîäåëüíûì ñèñòåìàì ó àâíåíèé, îïèñàííûõ â ìîíîã àôèè àêàäåìèêà ÐÀÍ å íîóñüêî Ô.Ë. Îöåíèâàíèå ôàçîâîãî ñîñòîßíèß äèíàìè åñêèõ ñèñòåì. Ì.: Íàóêà, Ýòè åçóëüòàòû èíòå åñíû äëß ñ àâíåíèß ñ îïèñàííûì â ìîíîã àôèè îäíèì èç ïîäõîäîâ ê îöåíêå ìíîæåñòâ å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ñîçäàííûì àâòî îì ìîíîã àôèè. Ï èâåäåì çäåñü ôî ìóëû äëß ñïëàéí-ôóíêöèé, àïï îêñèìè ó ùèõ å åíèß. Çäåñü àññìàò èâàëñß ëèíåéíûé óï àâëßåìûé îñöèëëßòî ñ âßçêèì ò åíèåì ï è íóëåâûõ íà àëüíûõ óñëîâèßõ d 2 y dt + αdy + ky = u, 2 dt u 1, y(0) = dy(0) =0. dt Çäåñü y ñêàëß íàß ïå åìåííàß, u ñêàëß íîå óï àâëåíèå, k, α ïîñòîßííûå êî ôôèöèåíòû. Áåç ïîòå è îáùíîñòè ìîæíî ñ èòàòü, òî êî ôôèöèåíò k ï èíèìàåò îäíî èç ò åõ çíà åíèé k { 1, 0, 1}; ñëó àé ï îèçâîëüíîãî k ñâîäèòñß ê îäíîìó èç ò åõ çà ñ åò èçìåíåíèß ìàñ òàáîâ. Ìû ï èâîäèì ñëó àé, êîãäà k =0,α = 1. Ìû ââîäèì îáîçíà åíèß y 1 äëß y è y 2 äëß dy. dt Ïîñëå ïå âîãî àãà ïîëó àåì äëß êîìïîíåíòû y 1 (t) âåêòî à å åíèé ôî ìóëû, çàâèñßùèå òîëüêî îò íà àëüíûõ çíà åíèé y0,y 1 0: 2 y 1 (t) = + y y2 0 h y y2 0 9 h 3 + y y h 4 y y2 0 h y0 1 h + y1 0 Ïîñëå âòî îãî àãà äëß êîìïîíåíòû y 1 (t) âåêòî à å åíèé ôî ìóëû: y 1 (t) = y y1 0 h y y2 0 3 y y2 0 h h 4 + y y2 0 h y y y y h y y2 0 h y y h 5 + h 3 + ( 2 y y2 0 ) h 2 +2y 1 0 h +

87 Ï èâåäåííûå â äàííîì ï èëîæåíèè ôî ìóëû ñïëàéí-àïï îêñèìàöèé å- åíèé äåìîíñò è ó ò ï îöåññ âû èñëåíèé âû àæåíèé, èñïîëüçóåìûõ íàìè äëß íàõîæäåíèß èíòå âàëüíûõ îöåíîê ìíîæåñòâ å åíèé. Ýòè ôî ìóëû ï èáëèæà ò òàêæå îïå àòî ñäâèãà ïîò àåêòî èè å åíèé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. y

88 Ï èëîæåíèå 2. Ðåçóëüòàòû àñ åòîâ è ã àôèêè èíòå âàëüíûõ îöåíîê ìíîæåñòâ òî íûõ å åíèé. Äëß ñèñòåìû Ìó à [1], îïèñàííîé â êíèãå Ìó à, êîòî ó èñïîëüçîâàëè â êà åñòâå òåñòîâîé àâòî û âñåõ ìåòîäîâ èíòå âàëüíûõ îöåíîê å åíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, ìû ïîëó èëè ï àêòè åñêè òî íûå ïî êàæäîé êîî äèíàòå âåêòî à å åíèé îöåíêè. Íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî å åíèé ñèñòåìû y = Ay, (3.2) ãäå y âåêòî àçìå íîñòè äâà, A ìàò èöà êî ôôèöèåíòîâ A = 0 1, 1 0 ñ èíòå âàëüíûìè íà àëüíûìè äàííûìè y 1 [ 0.1, 0.1], y 2 [0.9, 1.1], ï åäñòàâëßåò äâèæóùèéñß ïî êîíöåíò è åñêèì îê óæíîñòßì êâàä àò è ïîâî à- èâà ùèéñß îòíîñèòåëüíî êîî äèíàòíûõ îñåé. Äëß áîëü èíñòâà ìåòîäîâ, ãà- àíòè ó ùèõ òî íîå âêë åíèå ìíîæåñòâà å åíèé, ñòî îíà òîãî êâàä àòà óâåëè èâàåòñß ïîñëå k îáî îòîâ â e 2πk àç, òî åñòü ïîñëå ïå âîãî îáî îòà ïî òè â 600 àç. Â íà åì ñëó àå ìû ïîëó àåì ï àêòè åñêè òî íîå âêë åíèå ïîâî à èâà ùåãîñß êâàä àòà ïîñëå îäíîãî îáî îòà, òî èçîá àæåíî íà èñóíêå 1. Çäåñü ïî îñè àáñöèññ îòëîæåíà y 1 ïî îñè î äèíàò y 2. 88

89 Íà èñóíêå 2 èçîá àæåíî ïîâåäåíèå å åíèé ñèñòåìû Ìó à ïîñëå 60 îáî- îòîâ, äâèæåíèß êâàä àòà èçîá àæåíû íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïëîñêîñòåé, àñïîëîæåííûõ ïà àëëåëüíî ä óã ä óãó â íàï àâëåíèè îñè Z. Çàìåòèì, òî â åìß àñ åòîâ äëß îöåíêè å åíèé ïîñëå 1000 îáî îòîâ â ôàçîâîì ï îñò àíñòâå çàíèìàåò 30 ìèíóò äëß ÏÊ IBM PC SX è ìåíåå 8 ìèíóò äëß ÏÊ IBM PC DX4. 89