f(n) cf + bg(n)+dn, kf(n) f(kn), k>1. f(n) f + b g(n)+d n,

Transcript

1 ÏÎ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÌ ËÅÊÖÈÈ Â ÊÐÈÏÒÎÃÐÀÔÈÈ ÀËÃÎÐÈÒÌÀÌ åäàêòî À. Á. Ï êó Íàó íûé åäàêòî Â. óâàëîâ Òåõí åñêé Ìîñêîâñêîãî Öåíò à Èçäàòåëüñòâî ìàòåìàò åñêîãî îá àçîâàíß íåï å ûâíîãî â ïå àòü ã. Ôî ìàò /16. Ïå àòü îôñåòíàß. Ïîäïñàíî îôñåòíàß 1. Ïå. ë. 6,5. Ò àæ 000 êç. Çàêàç Áóìàãà ÌÖÍÌÎ Ìîñêâà, Áîëü îé Âëàñüåâñêé ïå., , â ÔÃÓÏ Ï îçâîäñòâåííî-çäàòåëüñêé êîìáíàò ÂÈÍÈÒÈ. Îòïå àòàíî ã. Ë áå öû Ìîñêîâñêîé îáë., Îêòßá üñêé ï -ò, 403. Òåë , ïî à ôìåò åñêì Ëåêö â ê ïòîã àô àëãî òìàì Ó åáíî-ìåòîä åñêì îáúåäíåíåì âóçîâ Äîïóùåíî îá àçîâàí â îáëàñò íôî ìàöîííîé áåçîïàñíîñò ïî êà åñòâå ó åáíîãî ïîñîáß äëß ñòóäåíòîâ, â ïî ñïåöàëüíîñò Êîìïü òå íàß áåçîïàñíîñòü îáó à ùõñß ÌÖÍÌÎ 00 À. Â. å åìó êí å åìó êí Àëåêñàíä Âàñëüåâ Ëöåíçß ÈÄ îò ã.

2 3.81â6 ÁÁÊ 46 Ò âí.ä., ï î åêòî Ìîñêîâñêîãî ãîñóäà ñòâåííîãî íñòòóòà Ðåöåíçåíòû: àäîòåõíê, ëåêò îíê àâòîìàòê (òåõí å- óíâå ñòåòà), ï åäñåäàòåëü ó åáíî-ìåîä åñêîé êîìñññêîãî ïî âîï îñàì êîìïü òå íîé áåçîïàñíîñò, êàíääàò òåõí. À. Á., çàâåäó ùé êàôåä îé íôî ìàöîííîé áåçîïàñíîñòìîñêîâñêîãî Ëîñü ãîñóäà ñòâåííîãî íñòòóòà ëåêò îíê ìàòåìàòê (òåõí åñêîãî óíâå ñòåòà), êàíääàò òåõí. íàóê. ïî à ôìåò åñêì àëãî òìàì â ê ïòîã àô.μ Ëåêö 00. μ 104 c. Ì.:ÌÖÍÌÎ, ISBN ï åäñòàâëßåò ñîáîé ê àòêîå ââåäåíå â îáëàñòü ñîâ å- Ïîñîáå âû ñëòåëüíîé òåî ñåë åå ï ëîæåíé ê ê ïòîã àô åñêìåííîé çàäà àì. äëß ñòóäåíòîâ âóçîâ, îáó à ùõñß ïî íôî ìàöîííîé Ï åäíàçíà åíî áåçîïàñíîñò, âñåõ æåëà ùõ ïîëó òü ïå âîíà àëüíîå Îöåíêà ñëîæíîñò à ôìåò åñêõ îïå àöé 6 I. Ñâîéñòâà ôóíêöé îöåíê ñëîæíîñò Ñëîæíîñòü à ôìåò åñêõ îïå àöé ñ öåëûì ñëàì 8. Ñëîæíîñòü àëãî òìà Åâêëäà Ñëîæíîñòü îïå àöé â êîëüöå âû åòîâ Èñïîëüçîâàíå ìîäóëüíîé à ôìåòê Âû ñëåíß ñ ìíîãî ëåíàì Äñê åòíîå ï åîá àçîâàíå Ôó üå Ýëåìåíòû òåî ñåë 6 II. Íåï å ûâíûå ä îá õ ñâîéñòâà Êâàä àò íûå âû åòû Òåî åìà åáû åâà î àñï åäåëåí ï îñòûõ ñåë.. 38 À ôìåò åñêå àëãî òìû 4 III. Ï îâå êà ï îñòîòû Ðå åòî Ý àòîñôåíà Ê òå é Âëüñîíà Òåñò íà îñíîâå ìàëîé òåî åìû Ôå ìà Ñâîéñòâà ñåë Êà ìàéêëà Òåñò Ñîëîâåßμ ò àññåíà Òåñò ÐàáíàμÌëëå à Ïîëíîìàëüíûé òåñò àñïîçíàâàíß ï îñòîòû Ïîñò îåíå áîëü õ ï îñòûõ ñåë Ê òå é Ë êà Òåî åìà Ïîêëíãòîíà Òåî åìà Äåìòêî Ìåòîä Ìàó å à Ìåòîä Ìõàëåñêó ( +1)-ìåòîäû ñëà Ìå ñåííà Àëãî òìû ôàêòî çàö öåëûõ ñåë Îãëàâëåíå íàóê, ï îôåññî. Â. Ï., ï îôåññî Ìîñêîâñêîãî ãîñóäà ñòâåííîãî íñòòóòà Çßçí àäî ëåêò îíê àâòîìàòê (òåõí åñêîãî óíâå ñòåòà), êàíääàò ôç.-ìàò. íàóê. å åìó êí À. Â. 46 ï åäñòàâëåíå î ï åäìåòå. ÁÁÊ 3.81â6 c À. Â. å åìó êí, 00 c ÌÖÍÌÎ, 00 Ìåòîä Ïîëëà äà Àëãî òì Ïîëëà äàμ ò àññåíà Ôàêòî çàöß Ôå ìà Àëãî òì Äêñîíà ISBN

3 Àëãî òì Á ëõà òàμìî ñîíà Ìåòîä êâàä àò íîãî å åòà Ê ïòîã àô åñêàß ññòåìà RSA 87 IV. Âûáî ïà àìåò îâ ññòåìû RSA Âçàìîñâßçü ìåæäó ïà àìåò àì ññòåìû RSA Óñëîâß íà âûáî ñåë p q îñíîâó êíã ïîëîæåíû ëåêö, òàâ åñß â òå åíå 1994μ Â ãã. â Èíñòòóòå ê ïòîã àô ñâßç íôî ìàòê íà ïîòîêå 000 áåçîïàñíîñòü. Öåëü òîé êíã μ ï âåñò ñ âîçìîæíî Êîìïü òå íàß áîëåå ïîëíûì äîêàçàòåëüñòâàì íà àëüíûå åçóëüòàòû â îáëàñò âû ñëòåëüíîé òåî ñåë åå ï ëîæåíé ê ê ïòîã àô åñêì ñîâ åìåííîé çàäà àì. âû åä õ íà óññêîì ßçûêå êíã ïî òåî ñåë åå ï ëîæåíßì Îò ê ê ïòîã àô äàííûé êó ñ îòë àåò êîìïàêòíîñòü ï î- çëîæåíß. Ï âûáî å ìàòå àëà àâòî ñò åìëñß ñõîäòü ñòîòà ìíìàëüíûõ ò åáîâàíé ê íà àëüíîé ïîäãîòîâêå òàòåëß, êàê ç ñîîòâåòñòâó ùåé äâóì êó ñàì òåõí åñêîãî âóçà. Ïî òîìó ï àâëî, êíãó íå âî ë ìåòîäû, äà ùå íàëó å ç ñóùåñòâó ùõ â íà- â â åìß îöåíîê ñëîæíîñò ò åáó ùå ï âëå åíß ïîíßòé ñòîßùåå àëãåá à åñêîé ãåîìåò. ñîâ åìåííîé äàëüíåé åãî áîëåå äåòàëüíîãî îçíàêîìëåíß ñ ï åäìåòîì Äëß åêîìåíäîâàòü êíã [9], [10], [13], [15]. ìîæíî ñîîòâåòñòâóåò ï îã àììå äñöïëíû Òåî åòêî- ñëîâûå Êíãà â ê ïòîã àô ãîñóäà ñòâåííîãî îá àçîâàòåëüíîãî ñòàí- ìåòîäû ïî ñïåöàëüíîñò μ Êîìïü òå íàß áåçîïàñíîñòü. äà òà áëàãîäà åí Ê óãëîâó È. À. Ñåìàåâó È. À. çà ï åäîñòàâ- Àâòî ìàòå àëû, à òàêæå Ï êó ó À. Á. Çßçíó Â. Ï. çà ìíîãî- ëåííûå çàìå àíß. ñëåííûå 4 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ Ï åäñëîâå (p 1)-ìåòîä ôàêòî çàö Ïîëëà äà Âûáî ïà àìåò îâ e d Êîììåíòà 99 Ëòå àòó à 100

4 Ïîíßòå ñëîæíîñò àëãî òìà. Àëãî òì å åíß âû ñëòåëüíîé 1.1. çàäà ï åäñòàâëßåò ñîáîé íåêó äåòå ìí îâàííó ï îöå- âûïîëíßåìó íàä íàáî îì âõîäíûõ äàííûõ. Â êà åñòâå îöåíê äó ó, àëãî òìà îáû íî âûá àåòñß â åìß àáîòû àëãî òìà. ñëîæíîñò àçíûõ íàáî àõ äàííûõ àëãî òì ìîæåò ìåòü àçë íîå â åìß Ï Ïî òîìó,ïîä ñëîæíîñòü àëãî òìà ïîíìàåòñß ìàêñìàëü- àáîòû. â åìß àáîòû äëß âñåõ íàáî îâ äàííûõ ç íåêîòî îãî ôêñ- íîå ìíîæåñòâà. Âñ äó íæå â êà åñòâå ìíîæåñòâà ñõîäíûõ îâàííîãî äëß àëãî òìà áóäåò âûñòóïàòü ìíîæåñòâî ñåë, êîòî ûå äàííûõ íåêîòî îé ïîçöîííîé ññòåìå ñ ñëåíß ( àùå âñåãî äâî íîé) â äëíó çàïñ íå ï åâîñõîäßùó íåêîòî îãî ñëà. Ïî òîìó, ìå ò àëãî òìà îöåíâàåòñß íåêîòî îé ôóíêöåé f(). ñëîæíîñòü ñàìîé âû ñëòåëüíîé çàäà îáû íî ïîíìàåòñß Ïîäñëîæíîñòü ìíìàëüíàß ñëîæíîñòü àëãî òìà, å à ùåãî äàííó çàäà ó. ï àêò åñê íåâîçìîæíî îïñàòü ìíîæåñòâî âñåõ àëãî- Ïîñêîëüêó å à ùõ êîíê åòíó çàäà ó, òî äàííûé ïîäõîä ïîçâîëßåò òìîâ, íå àâåíñòâî f() cg(). Åñë îäíîâ åìåííî âûïîëíß- âûïîëíßåòñß íå àâåíñòâà f() g() f(), òî áóäåì ñïîëüçîâàòü òñß áóäåì ïîíìàòü ñëî áòîâûõ îïå àöé, íåîáõîäìûõ äëß îïå àö åàëçàö. åå îäíîãî îñíîâàíß ññòåìû ñ ñëåíß ê ä óãîìó îñóùåñòâëßåòñß îò ò åáóåò âûïîëíåíß O(log N) à ôìåò åñêõ îïå àöé (äå- áûñò î ñ îñòàòêîì, óìíîæåíå ë ñëîæåíå ñåë), ãäå log N μäëíà ëåíå ñëà N (îñíîâàíå ëîãà ôìà íå óêàçûâàåì, òàê êàê îíî çàïñ âëßåò íà âä îöåíê ñëîæíîñò). À òàê êàê ïå åõîä ê ä óãîìó íå ßâëßåòñß åäêîé îïå àöåé, òî çàò àòàì íà åå âûïîë- îñíîâàí ìîæíî ï åíåá å ü. Íàêîíåö, áòîâàß îöåíêà äîñòàòî íî õî î- íåíå îò àæàåò åàëüíó ñëîæíîñòü îïå àöé, ïîñêîëüêó, êàê ï àâ- î îöåíê ñëîæíîñò äëß ä óãõ îñíîâàíé ññòåì ñ ñëåíß ï âîäßëî, ë ü ê îòë ßì â êîíñòàíòíîì ìíîæòåëå ôóíêö îöåíê ñëîæíîñò. Îöåíê ôóíêö ñëîæíîñò. Ï îöåíêå ñëîæíîñò âû ñ çàäà îáû íî ï ìåíß ò ìåòîäû åäóêö ñâåäåíß ê ëòåëüíûõ çàäà àì ñ çâåñòíûì îöåíêàì ñëîæíîñò. Ýò ìåòîäû îñíî- ä óãì íà ïîñò îåí íåêîòî îãî àëãî òìà å åíß äàííîé çàäà, âàíû çàêë àåòñß â àçáåí çàäà íà ïîäçàäà ìåíü åé àç- êîòî ûé äëß å åíß êîòî ûõ ìîæåò ñïîëüçîâàòüñß êàê äàííûé, ìå íîñò, ä óãå çâåñòíûå àëãî òìû. Ï òîì äëß ôóíêöé ñëîæíîñò òàê a, b, c d μíåêîòî ûå ïîëîæòåëüíûå êîíñòàíòû. ãäå ï åäïîëàãàòü, òî ôóíêö ñëîæíîñò f() îáëàäà ò äâó- Áóäåì ñâîéñòâàì: ìß f() ; (a) kf() f(k), k>1. (b) ïîëó åíß îöåíîê ôóíêöé ñëîæíîñò âàæíû äâå ëåììû. Äëß 1. Åñë ôóíêö f() g() óäîâëåòâî ß ò ñâîéñòâàì (a) Ëåììà (b) ï íåêîòî ûõ êîíñòàíòàõ a>1, b>0 d>0 âûïîëíßåòñß 1. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÔÓÍÊÖÈÉ ÎÖÅÍÊÈ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ 7 ïîäõîä óäîáåí ïî ñëåäó ùì ñîîá àæåíßì. Âî-ïå âûõ, Äàííûé êîìïü òå àõ äàííûå ï åäñòàâëß òñß îá àáàòûâà òñß â äâî - â âäå, à ä óãå ï åäñòàâëåíß â îñíîâíîì ñïîëüçó òñß òîëüêî íîì ââîäå äàííûõ âûâîäå åçóëüòàòîâ. Âî-âòî ûõ, ïå åâîä ñëàn ï I. Îöåíêà ñëîæíîñò à ôìåò åñêõ îïå àöé 1. Ñâîéñòâà ôóíêöé îöåíê ñëîæíîñò òîëüêî âå õíå îöåíê ñëîæíîñò çàäà. Ôóíêöß ñëîæíîñò ïîëó àòü êàæäîãî àëãî òìà áóäåò ßâëßòüñß âå õíåé îöåíêîé ñëîæíîñò çàäà. åì áîëåå ôôåêòâíûé àëãî òì, òåì ïîëó àåòñß àññìàò âàåìîé áîëåå òî íàß âå õíßß îöåíêà ñëîæíîñò çàäà. áóäåì ïîëó àòü îöåíê ñëîæíîñò àëãî òìîâ â âäå f()= Ìû O(g()), ò. å. îï åäåëßòü ôóíêö ñ òî íîñòü äî êîíñòàíòíîãî ñîìíîæòåëß, = ï åíåá åãàß ï òîì ìàëûì ëåíàì â âû àæåí äëß íå àâåíñòâà ïîëó àòñß âäà ( ) f() cf + bg()+d, a g(). Â ñâßç ñ òì óäîáíî ââåñò ñëåäó ùåå îáîçíà åíå. ôóíêö ñïîëüçîâàòü çàïñü f() g(), åñë f() =O(g()), òî Áóäåì íàéäåòñß êîíñòàíòà c>0 òàêàß, òî íà íàß ñ íåêîòî îãî åñòü çàïñü f() g(). Ìîäåëü âû ñëåíé. Áóäåì ñ òàòü, òî ñëà ï åäñòàâëåíû 1.. äâî íîé ññòåìå ñ ñëåíß, à ïîä ñëîæíîñòü à ôìåò åñêîé â íå àâåíñòâî f() f ( ) + b g()+d, a òî f()=o(g()).

5 Ñëîæíîñòü à ôìåò åñêõ îïå àöé. öåëûì ñëàì ñ Ñëîæåíå âû òàíå. Ï åæäå âñåãî çàìåòì, òî ñòàíäà òíûå.1. êîëüíûå àëãî òìû ñëîæåíß âû òàíß ñåë ñòîëáêîì, ìå ò îöåíêó ñëîæíîñò O(log N), ãäå N μ áîëü åå ç äâóõ î åâäíî, Ýòî ìíìàëüíàß âîçìîæíàß îöåíêà ñëîæíîñò (íàïîìíì, ñåë. ñîâïàäà ò ñ òî íîñòü äî êîíñòàíòíîãî ìíîæòåëß. Ïîä îá- ñëó ê äàííîìó ñëó N, çàïñàííîìó â âäå ïîñëåäîâàòåëüíîñò àòíûì D() μ ñëîæíîñòü îïå àö äåëåíß ñ îñòàòêîì - àç ßäíîãî ñåë, íà - àç ßäíîå ñëî, S() μ ñëîæíîñòü îïå àö âîçâåäåíß â ñëà îöåíêó S() 3R()+. Çäåñü ñëåäóåò ñäåëàòü ñëåäó ùåå ïîëó àåì çàìå àíå. Äàííîå àâåíñòâî âûïîëíßåòñß äëß òî íûõ çíà- âàæíîå. ÑËÎÆÍÎÑÒÜ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ 9 8 I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ Òàê â ñâîéñòâà (b) Äîêàçàòåëüñòâî. êàê ñëó ( ) ( a f f a ) = f(), a a f() 1 f()+b g()+d. a ìû àññìàò âàåì îöåíê ñëîæíîñò ñ òî íîñòü äî êîíñòàíòíîãî òî ìíîæòåëß), ïî òîìó íåò ñìûñëà çàíìàòüñß îïòìçàöåé òõ îïå àöé. âûïîëíåíß Óìíîæåíå äåëåíå. Äëß óìíîæåíß äåëåíß äâóõ ñåë N.. M àëãî òìû óìíîæåíß ñòîëáêîì äåëåíß óãëîì äà ò îöåíêó O(log N M). Ïî òîìó äëß ôóíêöé îöåíê ñëîæíîñò óìíîæåíß log òî ïîëó àåì, òî Îòñ äà f() b + d 1 1/a g()=o(g()).. Åñë ï íåêîòî ûõ êîíñòàíòàõ a>0, c>0 d>0 Ëåììà f() óäîâëåòâî ßåò óñëîâ f(1) = d f()=c f( a )+d ôóíêöß äåëåíß äâóõ - àç ßäíûõ ñåë âûïîëíßåòñß íå àâåíñòâî f() O( ). äîêàæåì, òî ñëîæíîñò îïå àöé óìíîæåíß, äåëåíß ñ Ñíà àëà âîçâåäåíß â êâàä àò íàõîæäåíß îá àòíîãî ê äàííîìó îñòàòêîì, >1, îíà ìååò âä: ï òî O(), a>c, f()= O( log ), a= c, O( log a c ), a<c. äâî íûõ çíàêîâ, çäåñü ïîíìàåòñß ï àâëüíàß ä îáü, ìå ùàß ç äâî íûõ çíàêîâ ïîñëå çàïßòîé ïîëó åííàß ç ñëà 1/N áîëåå ìëàä õ àç ßäîâ. îòá àñûâàíåì M() μ ñëîæíîñòü îïå àö óìíîæåíß äâóõ - àç ßäíûõ Ïóñòü t 1 ( ) i c f()=d + d c t = d a i=0 t i=0 ( ) i c, a - àç ßäíîãî ñëà R() μñëîæíîñòü îïå àö îá àùåíß êâàä àò ñëà. - àç ßäíîãî Âï åäïîëîæåí, òî ôóíêö M(), D(), S() R() Òåî åìà. Äîêàçàòåëüñòâî ï îâåäåì òîëüêî äëß ñëó àß = a t. Èìååì êàê = a t òàê.îòñ äà ïîëó àåì: f() d = O(), åñë a>c, 1 c/a f()=d t = d åñë log, a = c, f()=d (c/a)t+1 1 c/a 1 åñë a<c. c d a ct a t 1 c/a 1 = O(ct )=O( log a c ), óñëîâßì (à) (b), ñï àâåäëâî óòâå æäåíå: óäîâëåòâî ß ò M() D() S() R(). Â ñàìîì äåëå, M() S(),òàê êàê â ñëó Äîêàçàòåëüñòâî. òîæäåñòâà AB = 1 ((A + B) A B ) îöåíêà M() 3S()+4. Äåëåí íà ñîîòâåòñòâóåò ñï àâåäëâà ñäâãà. îïå àöß S() R(), òàê êàê â ñëó àâåíñòâà Àíàëîã íî, N 1 = 1 N 1 N N +1 åíé äåéñòâòåëüíûõ ñåë, à ó íàñ ñëà âäà 1/N ßâëß òñß õ

6 ï äàííîé òå àö,, ïîñòîßííî óäâàâàß ñëî ï àâëüíî ßòü çíàêîâ, å åç log àãîâ ïîëó ì íóæíîå êîë åñòâî ïîäñ òàííûõ òåïå ü âîï îñ îá îöåíêå ñëîæíîñò îïå àö óìíîæåíß. Ðàññìîò ì. ÑËÎÆÍÎÑÒÜ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ çíà åíßì. Ïî òîìó äëß ñï àâëåíß âîçìîæíûõ ï áëæåííûì â ìëàä õ àç ßäàõ â àëãî òìå íåîáõîäìî ï åäóñìîò åòü î áîê ï îöåäó û õ óòî íåíß. Âêë åíå òàêõ ï îöåäó â ñïåöàëüíûå íå âëßåò íà îöåíêó ñëîæíîñò (ïîä îáíåå ñì. â []). öåëîì ïîâòî åí ñëåäó ùåãî àãà. Ïóñòü A B μäâà - àç- åêó ñâíîì ñëà. Ðàçîáüåì õ íà äâà ñëàãàåìûõ (äëß ï îñòîòû ñ òàåì, ßäíûõ =k) òî A = k A 1 + A 0, B = k B 1 + B 0. äîêàçàòåëüñòâà îöåíê R() M() âîñïîëüçóåìñß òå àöîííûì Äëß ìåòîäîì Íü òîíà äëß âû ñëåíß çíà åíß îá àòíîãî. Îí çàêë àåòñß â âû ñëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñò òå àöé x(0),x(1),... ïî ôî ìóëå...,x(i),... x(i +1)=x(i) Nx(i). Òîãäà AB =( k A 1 + A 0 )( k B 1 + B 0 )= k A 1 B 1 + k (A 0 B 1 + A 1 B 0 )+A 0 B 0 = =( k + k )A 1 B 1 + k (A 0 B 1 + A 1 B 0 A 0 B 0 A 1 B 1 )+( k +1)A 0 B 0 = =( k + k )A 1 B 1 + k (A 0 A 1 )(B 1 B 0 )+( k +1)A 0 B 0. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâòåëüíî ñõîäòñß ê 1/N, òàê Äàííàß åñë x(i)= 1 N (1 δ), òî êàê x(i +1)=x(i) Nx(i) = N (1 δ) 1 N (1 δ) = 1 N (1 δ ). Ïî òîìó ï âûáî å íà àëüíîãî çíà åíß x(0) òàê, òî δ< 1 (à òî îá àçîì, äëß âû ñëåíß ï îçâåäåíß äâóõ - àç ßäíûõ Òàêì íóæíî âûïîëíòü ò óìíîæåíß /- àç ßäíûõ ñåë íåêî- ñåë êîë åñòâî âû òàíé ïå åíîñîâ. Ïî òîìó äëß òî îå ñëîæåíé, àëãî òìà óìíîæåíß ñï àâåäëâà îöåíêà ñëîæíîñò äàííîãî ( ) f()=3f + c, c > 0, ñäåëàòü ïî äâóì ñòà ì çíà àùì àç ßäàì ñëà N), ìû ëåãêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòî îé êàæäûé àç ñëî ï àâëü- ïîëó àåì âû ñëåííûõ çíàêîâ ïîñëå çàïßòîé óäâàâàåòñß. Áëàãîäà ß òîìó íî ìîæåì ï îñòî çàìåíòü íóëßì òå çíàê, êîòî ûì íåëüçß äîâå- ìû ïî ëåììå, ïîëó àåì M() f() =O( log 3 ), ãäå log îòêóäà, 3= =1, ( R() R çíàêîâ. âûòåêàåò îöåíêà Îòñ äà ) +M()+. ñëó ëåììû 1, ïîëó àåì R() M(). Â öåïî ê íå àâåíñòâ M() S() R() M() òåïå ü âûòåêàåò Èç òõ ôóíêöé. êââàëåíòíîñòü ò åõ R() A D(). Èç àâåíñòâà B = A 1 B ñëåäóåò, òî Äîêàæåì, òî D() M() R(). Íàêîíåö, â ñëó î åâäíîé îöåíê +R() D(), ïîëó àåì ò åáóåìó êââàëåíòíîñòü. R() òî òîò àëãî òì íà å ìîæíî íòå ï åò îâàòü êàê Çàìåòì, âû ñëåíß â òî êå x= k çíà åíß ìíîãî ëåíà, àâíîãî ï îç- ñïîñîá äâóõ ìíîãî ëåíîâ U(x)=xA âåäåí 1 +A 0 V (x)=xb 1 +B 0 Â áîëåå. ñëó àå, ïîäîáíûé åêó ñâíûé àëãî òì, îñíîâàííûé íà àç- îáùåì ñåë íà r ñëàãàåìûõ ñâåäåí çàäà óìíîæåíß ñåë ê áåí âû ñëåíß çíà åíé ìíîãî ëåíîâ, äàåò îöåíêó çàäà àìóìíîæåíß M()=O( 1+log r+1 Çàìåòì, òî çäåñü log ). r+1 ï 0. r ôôåêòâíûì â íàñòîßùåå â åìß ßâëßåòñß àëãî òì Íàáîëåå (1970), äà ùé îöåíêó M() = O( log åíõàãåμ ò àññåíà log log (ïîä îáíåå ñì. []). Ïîììî àçáåíß ñåë íà ñëàãàåìûå ) ñïîëüçóåò òåõíêó áûñò îãî ï åîá àçîâàíß Ôó üå ìîäóëüíó îí êîòî ûå áóäóò àññìîò åíû íæå. à ôìåòêó, Âîçâåäåíå â ñòåïåíü. Â çàêë åíå ï âåäåì îöåíêó ñëîæíîñò.3. îïå àö âîçâåäåíß â ñòåïåíü. Äëß âû ñëåíß ñòåïåí N a íàòó àëüíîå ñëî a ï åäñòàâëßåòñß â âäå ìåíü ó O( ), íàáîëåå ï îñòî ìîæíî ïîëó òü, ï ìåíßß Îöåíêó, åêó ñâíûé àëãî òì, îñíîâàííûé íà àçáåí ñåë íà äâà Î åíü óäîáíàß âå ñß òîãî àëãî òìà áûëà ï åäëîæåíà ñëàãàåìûõ. â àáîòàõ Êà àöóáû Îôìàíà (196). Åãî ñóòü çàêë àåòñß â k 1 a = a i i =(...(a k 1 +a k ) a 1 ) + a 0. i=0

7 âîçâåäåíå â äàííó ñòåïåíü ìîæíî ñâåñò ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó Òåïå ü âûïîëíåí îïå àöé äâóõ òïîâ:óìíîæåí íà N âîçâåäåí â àëãî òìå Åâêëäà äëß íàõîæäåíß íàáîëü åãî îáùåãî äåëåíé ñåë A B, 0 <B<A N íå ï åâîñõîäò 1+ log äåëòåëß R N. òî f Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì, i r k+1 i i=1,...,k+. ï i =1âå íî. Äëß i +1, â ñëó ï åäïîëîæåíß íäóêö, ìååì Ï ñ òåì, òó îöåíêó ìîæíî óòî íòü, åñë çàìåòòü, òî Âìåñòå îïå àö äåëåíß óãëîì ñëà A íà ñëî B, 0 <B <A, íà ñëîæíîñòü äàííûé ïîäõîä íåóëó àåò îáùó îöåíêó ñëîæíîñò ìîäôö îâàííîãî Îäíàêî, àëãî òìà Åâêëäà O(M(log N)logN) =O(M()), =logn μ äëíà çàïñ ñåë A B. ãäå àëãî òìû, â êîòî ûõ âîîáùå íå âûïîëíßåòñß îïå- Ñóùåñòâó ò äåëåíß. Íàï ìå, â àëãî òìå LSGCD (left shift greatest àöß divisor) îïå àöß äåëåíß ñ îñòàòêîì çàìåíåíà íà ëåâûé commo 3. ÑËÎÆÍÎÑÒÜ ÀËÃÎÐÈÒÌÀ ÅÂÊËÈÄÀ 13 1 I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ êâàä àò. Îòñ äà ïîëó àåòñß ñëåäó ùàß îöåíêà ñëîæíîñò â O(M(log N)loga)=O(M()k). 3. Ñëîæíîñòü àëãî òìà Åâêëäà Îáû íûé àëãî òì Åâêëäà. Áóäåì îáîçíà àòü íàáîëü é 3.1. äåëòåëü ñåë A B å åç (A, B). Íàïîìíì, òî àëãî òì îáùé äåëå ìååò âä O(log A(log A log B +1)).Îòñ äà, îáîçíà àß ñàìîì å åç i çàïñ îñòàòêà r äëíó i i = 1, 0, 1,...,k, ïîëó àåì áîëåå, îöåíêó àëãî òìà Åâêëäà òî íó ñëîæíîñò k k O( i ( i 1 i +1)) O( 0 ( i 1 i +1))= i=0 i=0 ( = O 0 k i=0 ) ( i 1 i +1) = = O( 0 ( 1 k + k +1))= = O( 0 1 )=O(log A log B)=O( ). çàêë àåòñß â ïîñëåäîâàòåëüíîì âûïîëíåí îïå àö äåëåíß Åâêëäà ñ îñòàòêîì äî ïîëó åíß íóëåâîãî îñòàòêà. Ïóñòü A>B>0.Îáî- A=r çíà ì 1 B=r, 0 r i =d i r i 1 +r i i=1,...,k r ï k 1 =d k+1 r k. (A, B)=r Òîãäà k äî ïîëó åíß îñòàòêà r k+1 âûïîë- =0íåîáõîäìî k+1 äåëåíå. íòü ñëî äåëåíé, âûïîëíßåìîå â àëãî òìå Åâêëäà. Äëß Îöåíì àññìîò ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåë Ôáîíà f òîãî 0,f 1,... Ä óãå àëãî òìû. Îöåíêà ñëîæíîñò àëãî òìà Åâêëäà íå 3.. îïòìàëüíîé äëß çàäà íàõîæäåíß íàáîëü åãî îáùåãî ßâëßåòñß...,f k ãäå,..., f 0 f =0, 1 f =1, k = f k 1 + f k k., Ï k>1 ñï àâåäëâî íå àâåíñòâî f Ëåììà. k R k ãäå R= 1+ 5., î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ï ìåíì íäóêö ïî.ï k= óòâå æäåíå Ä î åâäíî. Äàëåå, ñïîëüçóß ï åäïîëîæåíå íäóêö, ìååì f k+1 = f k + f k 1 R k + R k 3 = R k 3 (R +1)=R k 3 R = R k 1, äåëòåëß. ìíîæåñòâî àçë íûõ ìîäôêàöé àëãî òìà Åâêëäà. Èìååòñß íàï ìå, óìåíü òü ñëî àãîâ àëãî òìà, ìîäôö- Ìîæíî, àëãî òì ñ öåëü óìåíü åíß àáñîë òíûõ çíà åíé îñòàòêîâ. À óß áóäåì çàìåíßòü îñòàòîê r ìåííî, i r íà i r i 1 åñë r, i ri 1. Ï òàêîì ïîëó àåòñß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåë, óäîâëåòâî ß ùàß ñï àâëåí r óñëîâ i < ri 1 êàê R ßâëßåòñß ïîëîæòåëüíûì êî íåì ó àâíåíß x = x +1. òàê (Ëàìå, 1844). Äëß ë áîãî íàòó àëüíîãî ñëà N>0 ñëî Òåî åìà.òî, òî ï òîì íåêîòî ûå ç ñåë áóäóò îò - íå âëßåò íà âä îáùõ äåëòåëåé. Â åçóëüòàòå ïîëó àåòñß ï åì R=1,618...<. öàòåëüíûì, îöåíêà ñëà äåëåíé k log N, r k i = d k i+ r k i+1 + r k i+ r k i+1 + r k i+ f i + f i 1 = f i+1. A r Ïî òîìó, 1 f k+ R k îòêóäà ïîëó àåòñß ñêîìàß îöåíêà, äåëåíé k log ñëà R N. äåëòåëß ñ ïîñëåäó ùì âû òàíåì ç äåëìîãî, òàêîé, òî ñäâã ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà êàæäîì àãå óäîâëåòâî ßåò óñëî- ïîëó åííàß ç ï åäûäóùåãî àëãî òìà. Â äàííîì àëãî òìå âûïîëíßåòñß â àãîâ, êàæäûé ç êîòî ûõ ìååò ñëîæíîñòü O(), ïî òîìó O() ç òîé òåî åìû ìîæíî ïîëó òü îöåíêó ñëîæíîñò Íåïîñ åäñòâåííî àëãî òìà Åâêëäà äëß íàõîæäåíß íàáîëü åãî îáùåãî äåë- äâóõ - àç ßäíûõ ñåë òåëß O(M()(k +1))=O(M()log) O( log ). îöåíêà ñëîæíîñò ìååò âä O( ). îáùàß íàêîíåö, òî ìååòñß àëãî òì íàõîæäåíß íàáîëü- Çàìåòì, îáùåãî äåëòåëß ñ îöåíêîé ñëîæíîñò O(M(log N)loglogN) = åãî = ), îäíàêî, åãî îïñàíå äîñòàòî íî ñëîæíî çäåñü O(M()log ï âåäåíî íå áóäåò (ñì. []).

8 Ðàñ åííûé àëãî òì Åâêëäà. Ðàññìîò ì òåïå ü àñ àëãî òì Åâêëäà, ïîçâîëß ùé íà ßäó ñ íàáîëü ì îá- åííûé äåëòåëåì ñåë A B íàõîäòü íàòó àëüíûå ñëà x y, óäîâëåòâî ß ùùì àâåíñòâó Ax + By =(A, B). Îò îáû íîãî àëãî òìà x Çíà åíß k y k ï êîòî ûõ r, k B), áóäóò ñêîìûì â =(A, ñëåäó ùåãî óòâå æäåíß: ñëó âäåòü, òî ñëîæíîñòü äàííîãî àëãî òìà îòë àåòñß îò Ëåãêî îáû íîãî àëãî òìà Åâêëäà íå áîëåå, åì íà êîíñòàíò- ñëîæíîñò ñîìíîæòåëü, ñîñòàâëßåò O(M(log N)logN) =O(M()), ãäå íûé μ äëíà çàïñ ñåë =logn B. A Ñëîæåíå âû òàíå. Ï ñëîæåí ñåë â íòå âàëå A, B < ñóììà N A + ìîæåò âûéò çà ã àíöû íòå âàëà, ïî òî- B ìîæåò ïîíàäîáòüñß åùå îäíî âû òàíå A + B N. Àíàëîã íî, ìó âû òàí ìîæåò ïîò åáîâàòüñß åùå îäíî ñëîæåíå A B + N. ï a if i the =1 R = R B; + R μ íå åòíî the R = R + N; if âûïîëíßåòñß çà àãîâ, íà êàæäîì ç êîòî ûõ îñóùåñòâëßåòñß Îíî ê òåêóùåìó çíà åí R çíà åíß a ï áàâëåíå i i =0,..., 1, B, ïîñëåäó ùì äåëåíåì íà. Áëàãîäà ß òîìó äåëåí ïîëó åííûå ñ çíà åíß âñåãäà íàõîäßòñß â íòå âàëå 0 <R<N. åçóëüòàòå äàííîãî àëãî òìà ïîëó àåòñß ñëî AB mod N. Òåïå ü àáîòû ïîëó åíß ñëà AB mod N íåîáõîäìî ï ìåíòü åùå îäí àç äëß 4. ÑËÎÆÍÎÑÒÜ ÎÏÅÐÀÖÈÉ Â ÊÎËÜÖÅ ÂÛ ÅÒΠI. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ îí îòë àåòñß òåì, òî íà ßäó ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îñòàòêîâ i åùå äâå âñïîìîãàòåëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñò x âû ñëß òñß Åâêëäà r i y i : r 1 A, = r 0 B; = x 1 y =1, 1 x =0, 0 y =0, 0 =1; ñëîæíîñòü òõ îïå àöé àâíà O(). Ïî òîìó, Óìíîæåíå. Äëß íàõîæäåíß âû åòà, ñîîòâåòñòâó ùåãî ï î- 4.. äâóõ âû åòîâ, íàäî âûïîëíòü îäíî óìíîæåíå - àç ßäíûçâåäåí ñåë îäíî äåëåíå - àç ßäíîãî ñëà íà - àç ßäíîå. Ïî- for i =0 util r i > 0 do begi d i = r i /r i 1 ; r i = r i d i r i 1 ; x i = x i d i x i 1 ; y i = y i d i y i 1 ; i = +1; i ñëîæíîñòü äàííîé îïå àö àâíà O(M()). òîìó, ìíîãõ ñëó àßõ, îñîáåííî ï àïïà àòíîé åàëçàö àëãî ò- Âî óäîáíî îòêàçàòüñß îò îïå àöé óìíîæåíß äåëåíß çàìåíòü ìîâ, îïå àößì ñëîæåíß. Îäí ç òàêõ àëãî òìîâ, ï åäëîæåííûé õ Ë. Ìîíòãîìå â 1985 ã., ñîñòîò â ñëåäó ùåì. Ïóñòü N μ íå åòíîå i B. Ðàññìîò ì Ï. ñëî, ò åáóåòñß óìíîæòü âû åòû A = 1 i a i=0 àëãî òì =0; R ed for i =0 util i < do begi Ï âñåõ i, 1 <i k, âûïîëíßåòñß àâåíñòâî Ëåììà. x i A + y i B = r i. ed R = R/; if R N the R = R N. Ñóòü äàííîãî àëãî òìà â òîì, òî â ñëó àâåíñòâà Ï ìåíì íäóêö ïî i. Ï i = 1, 0 Äîêàçàòåëüñòâî. î åâäíî. Åñë àâåíñòâà äîêàçàíû äëß âñåõ çíà åíé í- àâåíñòâî ìåíü õ i, òî äëß i, ïîëüçóßñü íäóêòâíûì ï åäïîëîæåíåì, äåêñîâ ïîëó àåì x i A + y i B =(x i d i y i 1 )A +(y i d i y i 1 )B = =(x i A + y i B) d i (x i 1 A + y i 1 B)=r i. 1 A = i a i =(...(a 1 + a ) +...a 1 ) + a 0 i=0 ñëà B íà ñëî A ñâîäòñß ê âû ñëåí âû àæåíß óìíîæåíå AB = a 0 B +(a 1 B +...(a B +a 1 B)...). 4. Ñëîæíîñòü îïå àöé â êîëüöå âû åòîâ Áóäåì îòîæäåñòâëßòü ëåìåíòû êîëüöà âû åòîâ Z N ñ ñëàì â íòå âàëå 0 A<N.Ïóñòü = log N.

9 O( ) äâî íûõ îïå àöé (åãî ìîæíî âû ñëòü çà àíåå ñëîæíîñòü õ àíòü ïîëó åííîå çíà åíå), à àëãî òì òàêæå âûïîëíßåòñß O( ) îïå àöé, òî îáùàß ò óäîåìêîñòü âû ñëåíß ï îçâåäåíß çà âåë íîé O( ) äâî íûõ îïå àöé. îöåíâàåòñß Îá àùåíå. Äëß çàäàííîãî ñëà A, 0 A<N,íàõîäì ñ ïîìîùü 4.3. àñ åííîãî àëãî òìà Åâêëäà ñëà x y,óäîâëåòâî ß ùå xa+yn =(A, N).Åñë(A, N)>1,òîAíå ìååò îá àòíîãî. àâåíñòâó æå (A, N) =1, òî â êà åñòâå îá àòíîãî ìîæíî âçßòü x mod N. Åñë Ï âû ñëåíßõ ñ öåëûì ñëàì àñòî ï ìåíßåòñß ñëåäó ùé 5.1. ï åì. Åñë çâåñòíî, òî ñõîäíûå ñëà åçóëüòàòû âû- ôôåêòâíûì òàêîé ïå åõîä ßâëßåòñß â ñëó àå, êîãäà Íàáîëåå M ï åäñòàâìî â âäå ï îçâåäåíß íåáîëü õ âçàìíî ï î- ñëî ñåë M =m ñòûõ 1 m...m k ïîñêîëüêó â òîì ñëó àå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñß, çîìî ôçìîì êîëåö òîì ñîîòâåòñòâ êàæäîìó ñëó u ç íòå âàëà 0 u<m ñîîòâåòñòâóåò 1,u,...,u k u ),ãäå i =u mod m i i=1,...,k. (Çäåñü Ï íàáî (u, ñ ïîìîùü b äâî íûõ çíàêîâ, òî ñëî u çàïñûâàåòñß çàïñûâà òñß ñ ïîìîùü kb äâî íûõ çíàêîâ. Ñëîæíîñòü äåëåíß kb-áòîâîãî íà b-áòîâîå àâíà O(kM(b)), ïî òîìó ñëîæíîñòü ïå åõîäà îöåíâàåòñß ñëà âåë íîé O(k M(b)). îöåíêóìîæíî óëó òü, åñë ï ìåíòü òåõíêó àçäåëßé Ýòó âëàñòâóé àçáòü ï îöåññ âû ñëåíé íà äâà òàïà. Ïóñòü äëß âûïîëíßåòñß àâåíñòâî k = t. Íà ïå âîì òàïå ïîñëåäîâàòåëüíî ï îñòîòû íàõîäßòñß ï îçâåäåíß ñåë 5. ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÌÎÄÓËÜÍÎÉ ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÈ I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ àëãî òì ê ñëàì mod N AB mod N. Ïîñêîëüêó äàííûé mod N âû ñëßåòñß ñ ïîìîùü ñäâãîâ âû òàíé ñî ñëî Äëß âû ñëåíß íàáî à (u 5.. 1,u,...,u k ïî ñëó ) íóæíî âûïîëíòü i i=1,...,k. Åñë âñå ñëà m, u k äåëåíé ñëà u íà ñëà m i îá àçîì, îá àùåíå â êîëüöå âû åòîâ ìîæíî âûïîëíòü çà Òàêì áòîâûõ îïå àöé. O(M()) Äåëåíå. Òàê êàê A/B = A 1 B, òî äåëåíå â êîëüöå âû åòîâ 4.4. òàêæå ñîñëîæíîñòü O(M()). âûïîëíßåòñß 5. Èñïîëüçîâàíå ìîäóëüíîé à ôìåòê m 1 m, m 3 m 4,..., m k 1 m k, m 1 m m 3 m 4,..., m k 3 m k m k 1 m k,... m 1 m...m k/4,..., m 3k/4+1...m k, m 1 m...m k/, m k/+1...m k. îã àí åíû íåêîòî ûì ñëîì M (ï òîì äîïóñêà òñß ñëåíé äâóõ âäîâ 0 N<Më M/ <N<M/), òî âû ñ- íå àâåíñòâà ìîæíî ï îçâîäòü â êîëüöå âû åòîâ Z ëåíß M ñëà,îòîæäåñòâëßß óêàçàííûõ íòå âàëîâ ñîîòâåòñòâó ùå âû åòû. Ñàìî ñëî M ç âûá àòü àçë íûì ñïîñîáàì, ï åì åãî âûáî âî ìíîãîì ìîæíî ñëîæíîñòü âû ñëåíé. îï åäåëßåò âòî îì òàïå âûïîëíß òñß äåëåíß Íà u 11 = u mod (m 1 m...m k/ ), u 1 = u mod (m k/+1...m k/ ), u 1 = u 11 mod (m 1 m...m k/4 ),..., u 4 = u 1 mod (m 3k/4+1...m k/ ),... u t 1,1 = u t,1 mod (m 1 m ), u t 1, = u t,1 mod (m 3 m 4 ),..., u t 1,k/ = u t,k/4 mod (m k 1 m k ), u 1 = u t 1,1 mod m 1, u = u t 1,1 mod m,..., u k = u t 1,k/ mod m k. Z M = Zm1 + Z m Z mk. âäåòü, òî äëß âûïîëíåíß ïå âîãî òàïà ò åáóåòñß Ëåãêî t 1 M(b)+ t M(b)+...+M( t 1 b)=o(tm(kb)) îïå àöé. Íà âòî îì òàïå ò åáóåòñß âûïîëíòü äâî íûõ M( t 1 b)+ M( t b)+...+ t 1 M(b)=O(tM(kb)) äàëåå çàïñü u mod m, âîòë å îò çàïñ ï àâîé àñò ñ àâíåíß u m), îáîçíà àåò íàìåíü é íåîò öàòåëüíûé îñòàòîê îò äå- (mod ñëà u íà ñëî m.) Â äàííîì ñëó àå âìåñòî âû ñëåíé ñ ëåíß ñëàì ìîæíî ñíà àëà ïå åéò ê õ îñòàòêàì ï îç- ñõîäíûì âñå âû ñëåíß â êîëüöàõ Z âîäòü mi i =1,...,k, à çàòåì, ïîëó â, âûïîëíòü îá àòíûé ïå åõîä âîññòàíîâòü ïî îñòàòêàì åçóëüòàò, îïå àöé. äâî íûõ îá àçîì, îáùàßîöåíêà ñëîæíîñò ìååò âä O(M(kb)logk) Òàêì äâî íûõ îïå àöé. ñêîìîå ñëî.

10 Ïóñòü M = m Òåî åìà. 1 m...m k ãäå ñëà m, i âçàìíî ïîïà íî ï îñòû, îïå àöé, ãäå å åç T äâî íûõ XEA îáîçíà åíà ñëîæíîñòü íàõîæäåíß mi log m, i ñ ïîìîùü àñ - (b) îá àòíîãî ëåìåíòàâêîëüöå Z =b, àëãî òìà Åâêëäà. Ò óäîåìêîñòü ìîæíî óìåíü òü, åñë åííîãî ï åäûäóùåìó ñëó à âîñïîëüçîâàòüñß òåõíêîé àçäå- àíàëîã íî âëàñòâóé, ï ìåíßß êàæäûé àç àíàëîã äàííîé ôî ìóëû ï ëßé =. Â òîì ñëó àå ïîëó àåòñß îöåíêà k O(M(kb)logk + kt XEA (b)). ñëà q ãäå 1,q,...,q k â ï îöåññå âûïîëíåíß ñëåäó ùåãî âû ñëß òñß àëãî òìà: âû ñëåíßì â êîëüöå ìíîãî ëåíîâ íàä ï îçâîëüíûì Ìåæäó R âêîëüöå öåëûõ ñåë, çàïñàííûõ â êàêîé-ëáî ññòåìå êîëüöîì 6. ÂÛ ÈÑËÅÍÈSS Ñ ÌÍÎÃÎ ËÅÍÀÌÈ I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ âûïîëíåíß îá àòíîãî ïå åõîäà îò íàáî à ñåë (u Äëß 1,u,...,u k ) ñëó u ï ìåíßåòñß êòàéñêàß òåî åìà îá îñòàòêàõ. ê c i = m 1...m i 1 m i+1...m k = M/m i, d i = c 1 i mod m i, =1,...,k.Òîãäà å åíå ññòåìû ñ àâíåíé i u u i (mod m i ), i=1,...,k, =1, c u = u 1 mod m 1 ; i =1 to k 1 do for begi c = c m i ; d = c 1 mod m i+1 ; q = d(u i+1 u) modm i+1 ; u = u qc; + ed retur(u). îäíîçíà íî ìîäóë M íàõîäòñß ïî ôî ìóëå ñóùåñòâóåò, ïî k u = c i d i u i mod M. i=1 êî åêòíîñò äàííîãî àëãî òìà íàõîæäåíß ñëà Äîêàçàòåëüñòâî u ï îâîäòñß ñ ïîìîùü íäóêö ï åäëàãàåòñß âûïîëíòü â óï àæíåíß. êà åñòâå ò óäîåìêîñòü âû ñëåíß ïî òîé ôî ìóëå òàêàß æå, êàê Õîòß îêàçàòåëüñòâî ëåãêî âûòåêàåò ç ñëåäó ùõ ñâîéñòâ âûá àííûõ Ä ñåë: c i d i 0(modm j ï ) j i, äëß ñõîäíîé ôî ìóëû, ï âåäåííîé â òåî åìå, ñîñòàâëßåò O(k M(b)+kT XEA äâî íûõ îïå àöé, äàííàß ôî ìóëà âî ìíî- (b)) ñëó àßõ îêàçûâàåòñß áîëåå óäîáíîé. Ýòî âûçâàíî òåì, òî ï îöåññ ãõ å åíß ññòåìû âîññòàíîâëåíß c i d i 1(modm i ), i,j =1,...,k. u u i (mod m i ), i=1,...,k, k (O((k 1)M(b)) + T XEA (b)) + M(kb)= i=1 = O((k M(b)+kT XEA (b)+m(kb))) = = O(k M(b)+kT XEA (b)) â íåé ïîñëåäîâàòåëüíî: ñíà àëà äëß ïå âûõ äâóõ îñóùåñòâëßåòñß çàòåì äëß ïå âûõ ò åõ, òàê äàëåå äî ïîëó åíß îáùå- ñ àâíåíé, å åíß. Åñë ê ññòåìå äîáàâòü åùå îäíî ñ àâíåíå, òî õîä ãî íå çìåíòñß, íàäî áóäåò âûïîëíòü âñåãî îäí äîïîë- âû ñëåíé àã. Â òî æå â åìß â ñëó àå ñõîäíîé ôî ìóëû äîáàâëåíå íòåëüíûé îäíîãî ñ àâíåíß ïîëíîñòü ìåíßåò ñõåìó âû ñëåíé. åùå Äëß âû ñëåíß çíà åíß u ïî äàííîé ôî ìóëå ò åáóåòñß 6. Âû ñëåíß ñ ìíîãî ëåíàì ä óãàß ôî ìóëà äëß âû ñëåíß ñëà u, Ñóùåñòâóåò u = q 1 + q m 1 + q 3 m 1 m q k m 1...m k 1, ìíîãî îáùåãî. Îí âûïîëíß òñß ïîïîõîæì ôî ìóëàì, ñ ñëåíß, çàêë àåòñß ë ü â òîì, òî äëß ñåë íåîáõîäìî ó òû- àîòë å çíàê ïå åíîñà îò ìëàä õ àç ßäîâ ê ñòà ì, â òî â åìß êàê âàòü ñëó àå ìíîãî ëåíîâ íêàêõ ïå åíîñîâ ï îïå àößõ ñ êî ôôö- â ìíîãî ëåíîâ íå âîçíêàåòμ ñõîäíûå âåë íû çíà åíß åíòàì âêîëüöå R. Ïî òîìó âû ñëåíß ñ ìíîãî ëåíàì â åì-òî äàæå ëåæàò ï îùå, åì âû ñëåíß ñ öåëûì ñëàì.

11 ñëîæíîñòü â ñëó àå, êîãäà âêà åñòâå êîëüöà R àññìàò âàåòñßêîëüöî B Áòîâó öåëûõ ñåë, ìîæíî îöåíòü âû àæåíåì O (ml),ãäå âûïîëíß òñß ñâîéñòâà: åñë ω 1; 1. êîòî îå êàæäîìó âåêòî ó a =(a îòîá àæåíå, 0,a 1,...,a 1 a ), i R, 0 i ñòàâò â ñîîòâåòñòâå âåêòî 1 F (a)=b =(b 0,b 1,...,b 1 ), 7. ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÐÜÅ 1 0 I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ îïå àöé ñ ìíîãî ëåíàì îáû íî îöåíâà ò êîë- Ñëîæíîñòü à ôìåò åñêõ îïå àöé êîëüöà R, âûïîëíßåìûõ íàä åãî åñòâîì Åñë çâåñòíà áòîâàß ñëîæíîñòü îïå àöé â ïîëå, êî ôôöåíòàì. òî ìîæíî òàêæå îöåíòü åçóëüò ó ùó áòîâó ñëîæíîñòü ñ ìíîãî ëåíàì. òîáû îòë àòü à ôìåò åñêó ñëîæíîñòü A îïå àöé îò áòîâîé â îöåíêàõ ìû áóäåì ñïîëüçîâàòü ñìâîëû O () O B (). çíà åíé ìíîãî ëåíîâ. Ïóñòü R μ ï îçâîëüíîå êîëü- Âû ñëåíå Ðàññìîò ì õî î î çâåñòíûé àëãî òì ÐóôôíμÃî íå à äëß öî. çíà åíß ìíîãî ëåíà âû ñëåíß f(x)=a x + a 1 x a 1 x + a 0 êîëüöîì R â òî êå x=b. Îí îñíîâàí íà ñëåäó ùåì ï åäñòàâëåí íàä ìíîãî ëåíà f(x)=((a x + a 1 )x a 1 )x + a 0 çàêë àåòñß â ïîñëåäîâàòåëüíîì âû ñëåí çíà åíé p 0,p 1,...,p ôî ìóëàì ïî p 0 = a, p i = p i 1 b + a i, ( 1 ) (x b) p i 1 x i + f(b)= i=0 ( 1 ) ( 1 ) = p i 1 x i+1 p i 1 bx i + f(b)= i=0 i=0 ( ) ( 1 ) = p i x i p i 1 bx i + f(b)= = = = i=1 i=0 (p i p i 1 b)x i p 1 b + f(b)= i=1 a i x i p 1 b +(p 1 b + a 0 )= i=1 a i x i = f(x). i=0 Òåî åìà äîêàçàíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì 7. Äñê åòíîå ï åîá àçîâàíå Ôó üå Ïîñëåäíåå ñëî p i=1,...,. ñêîìûì çíà åíåì ìíîãî ëåíà. A áóäåò À ôìåò åñêàß ñëîæíîñòü àëãî òìà, î åâäíî, àâíà O (). Ïóñòü R μêîììóòàòâíîå êîëüöî ñ åäíöåé. Òîãäà ëåìåíò ω 7.1. R íàçûâàåòñß ï ìòâíûì êî íåì ñòåïåí ç åäíöû, êîëüöà m îáîçíà åí ìàêñìóì ç äâóõ ñåë: ñëà äâî íûõ çíàêîâ å åç çàïñ íàáîëü åãî êî ôôöåíòà ñëà b, à ñëî l =( +)m â ñëî äâî íûõ çíàêîâ â çàïñ íàáîëü åãî ç ñåë p îáîçíà àåò i, =1,...,k.Òàêì îá àçîì, ïîëó àåòñß îöåíêà i O B ( m ). ω =1;. 1 ω ij =0, 1 i<. 3. j=0 ÐóôôíμÃî íå à ïîçâîëßåò ïîëó òü íå òîëüêî çíà- Àëãî òì f(b) =p åíå Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäó ùàß òåî åìà, âåë íû. p 0,p 1,...,p 1 â òî íîñò êî ôôöåíòàì ìíîãî ëåíà, ßâëß òñß ê îìå òîãî, ëåìåíò ßâëßåòñß îá àòìûì ëåìåíòîì êîëüöà Åñë, R, òî ìîæíî îï åäåëòü äñê åòíîå ï åîá àçîâàíå Ôó üå êàê îñòàòêîì îò äåëåíß ìíîãî ëåíà f(x) íà (x b). ßâëß ùåãîñß Ñï àâåäëâî àâåíñòâî Òåî åìà. ( 1 ) f(x)=(x b) p i 1 x i + f(b). i=0 ãäå 1 b i = a i ω ij, 0 i 1. j=0

12 òî ï ßìîå îá àòíîå äñê åòíûå ï åîá àçîâàíß Ôó üå âçàìíî Òî, îá àòíû (ò.å. F 1 (F (a)) = a, F (F 1 (b)) = b), ëåãêî ñëåäóåò ç Òî, òî äàííûå òî ê îá àçó ò öêë åñêó ìóëüòïëêàòâíóêàõ. ïîäã óïïó â R, ïîçâîëßåò ïîñò îòü áûñò ûé àëãî òì âû ñ- çíà åíß êàê ï ßìîãî, òàê îá àòíîãî äñê åòíîãî ï åîá àçîâàíëåíß Ôó üå. õ ï îçâåäåíå àâíî x 1. Ïî òîìó ìîæíî ï ìåíòü ï îñòû êîòî ûé àññìàò âàëñß â ï. 5. ï íàõîæäåí çíà åíé ïîäõîä, îò äåëåíß ëåìåíòà íà âçàìíî ï îñòûå ìîäóë. îñòàòêîâ òî ω / = 1, ïî òîìó Çàìåòì, åçóëüòàòå ïîëó àåì, òî äëß âûïîëíåíß âñåãî àëãî òìà íàäî Â íå áîëåå âûïîëíòü îïå àöé êîëüöà R, ò.å. ñëîæíîñòü àëãî òìà áûñò- à ôìåò åñêõ ï åîá àçîâàíß Ôó üå àâíà O( log ). îãî, íàêîíåö, âå íóòüñß ê êî ôôöåíòàì ìíîãî ëåíà ñ ïîìîùü çíà åíß îá àòíîãî ï åîá àçîâàíß Ôó üå). Îäíàêî, îíî îáëàäàåò òåì 7. ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÐÜÅ 3 I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ äñê åòíîå ï åîá àçîâàíå Ôó üå Îá àòíîå F 1 ãäå êîî äíàòû âåêòî à c àâíû (b)=c, c i = 1 1 b i ω ij, 0 i 1. j=0 îï åäåëßåòñß êàê àçäåëßé âëàñòâóé ïóòåì äåëåíß f(x) ñíà àëà íà ìíîãî ëåíû òåõíê x / 1 x / ω /, çàòåì êàæäûé ç äâóõ ïîëó åííûõ äâà àçà äåëì íà ìíîãî ëåíû âäà x /4 ω j/4,òàê äàëåå. îñòàòêîâ Ïóñòü Ëåììà. 1 f(x)= a i x i i=0 c R. Òîãäà îñòàòîê îò äåëåíß f(x) íà (x / c) àâåí i=0 ï ìòâíîãî êî íß. îï åäåëåíß òî åñë âåêòî ó a ïîñòàâòü â ñîîòâåòñòâå ìíîãî ëåí Çàìåòì, f(x)= 1 a i x i äñê åòíîå ï åîá àçîâàíå Ôó üå ñîîòâåò-,òîï ßìîå âû ñëåí çíà åíé ìíîãî ëåíà â òî êàõ ω i, 0 i 1, ñòâóåò îá àòíîå μ íòå ïîëßö ìíîãî ëåíà ïî åãî çíà åíßì â òõ òî - à 1 r(x)= i=0 (a i + ca i+ )xi. 1 f(x)=(x / c) i=0 a i+ xi + r(x). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î âûòåêàåò ç àâåíñòâà Ï âåäåì àëãî òì âû ñëåíß ï åîá àçîâàíß F (a) (àëãî- 7.. äëß âû ñëåíß F 1 (b) ñò îòñß àíàëîã íî), íàçûâàåìûé àë- òì áûñò îãî ï åîá àçîâàíß Ôó üå. Äëß ï îñòîòû ïîëàãàåì, ãî òìîì = k. Íàïîìíì, òî çíà åíå ìíîãî ëåíà f(x) â òî êå x = ω i òî òîé ëåììû âûòåêàåò, òî äëß âû ñëåíß âåêòî à êî ôôöåíòîâ Èç îñòàòêà íàäî àçäåëòü âåêòî êî ôôöåíòîâ ìíîãî ëåíà ïîïîëàì, çàòåì óìíîæòü íà f(x) êî ôôöåíòû âòî îé ïîëîâ- c ñëîæòü õ ñ êî ôôöåíòàì ïå âîé ïîëîâíû âåêòî à. Ýòî íû âûïîëíåíß íå áîëåå à ôìåò åñêõ îïå àöé êîëüöà R. ò åáóåò ñ îñòàòêîì îò äåëåíß ìíîãî ëåíà f(x) íà ìíîãî ëåí x ω i, ñîâïàäàåò Ï òîì ìíîãî ëåíû x ω i, 0 i 1 ïîïà íî âçàìíî 0 i k k = k x 1= ( x / 1 )( x / ω /). Äàëåå x / 1= ( x /4 1 )( x /4 ω /), x / ω / = ( x /4 ω /4)( x /4 ω 3/4). Áëàãîäà ß àëãî òìó áûñò îãî ï åîá àçîâàíß Ôó üå äñê åòíîå 7.3. ï åîá àçîâàíå Ôó üå ßâëßåòñß î åíü óäîáíûì íñò óìåí- ï ï îâåäåí âû ñëåíé ñ ìíîãî ëåíàì. Òàê, íàï ìå, ñ òîì ïîìîùü ìîæíî âû ñëßòü ï îçâåäåíå ìíîãî ëåíîâ ñî ñëîæ- åãî O( log ) (âûïîëíâ ñíà àëà ï åîá àçîâàíå Ôó üå ïîëó- íîñòü çíà åíß ìíîãî ëåíîâ â òî êàõ, çàòåì ïå åìíîæâ ïîëó åííûå â òî äëß ñóùåñòâîâàíß ï åîá àçîâàíß Ôó üå íàä êîëüöîì íåäîñòàòêîì, R ò åáóåòñß âûïîëíåíå äâóõ óñëîâé:ñóùåñòâîâàíß ï ìòâíîãî êî íß ñòåïåí îá àòìîñò ñëà â êîëüöår, à ò óñëîâß òîò ï îöåññ äî ïîëó åíß ëíåéíûõ ñîìíîæòåëåé Ï îäîëæàåì x ω i. Òàêì îá àçîì, íàõîæäåíå îñòàòêîâ îò äåëåíß ìíîãî ëåíà f(x) íà x ω i, 0 i 1,ìîæíî ï îâåñò ñ ñïîëüçîâàíåì

13 äàëåêî íåâñåãäà. Ê îìå òîãî, êàê ñëåäóåò ç àëãî òìà âûïîëíß òñß áûñò îãî ï åîá àçîâàíß Ôó üå, æåëàòåëüíî, òîáû ñëî áûëî ï åîá àçîâàíå Ôó üå â êîëüöå öåëûõ ñåë. Åñë çâåñòíî, áûñò îå êî ôôöåíòû ìíîãî ëåíîâ îã àí åíû íåêîòî ûì ñëîì M,òî òî ìîæíî ï îçâîäòü â êîëüöå âû åòîâ Z âû ñëåíß M,îòîæäåñòâëßß ç óêàçàííûõ íòå âàëîâ ñîîòâåòñòâó ùå âû åòû. Ïîñêîëü- ñëà ï òîì ñëî M ìîæíî âûá àòü àçë íûì ñïîñîáàì, òî ìû êó ñêàòü òàêå ñëà M, äëß êîòî ûõ ñëî = k, ê îìå òîãî, áóäåì êà åñòâå ï ìòâíîãî ëåìåíòà ω ìîæíî âûá àòü òàêæå íåêîòî- â ñòåïåíü ñëà. Ýòî ïîçâîëßåò î åíü ôôåêòâíî åàëçîâàòü ó îá àòìûì ëåìåíòîì êîëüöà Z ßâëßåòñß M à ëåìåíò ω μ ï ìòâíûì, êî íåì ç åäíöû ñòåïåí. îêàçàòåëüñòâî. Ï ìåíì íäóêö ïî k. Ï k =1 àâåíñòâî Ä î åâäíî. Åñë îíî âå íî ï k 1, òî ï k ïîëó àåì ò åáîâàëîñü äîêàçàòü. òî. Ï M = ω / +1, 0 ω R, äëß âñåõ 1 i< ìååì Ëåììà îêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 1 äîñòàòî íî ïîêàçàòü, Ä ï âñåõ 1 i<íàéäåòñß j òàêîå, òî òî êàê t íå åòíî. òàê êäîêàçàòåëüñòâó òåî åìû. Ýëåìåíò îá àòì, òàê êàê Âå íåìñß = k M =ω / +1= q/ +1 âçàìíî ï îñòû. Ýëåìåíò ω= q 1, ñëà ω / = 1+M 1 (modm). Îòñ äà ω 1(modM).Íàêîíåö, ï åì 7. ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÐÜÅ 5 4 I. ÎÖÅÍÊÀ ÑËÎÆÍÎÑÒÈ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ ñòåïåíü ñëà. íåêîòî îé îäí ïîäõîä, ïîçâîëß ùé ôôåêòâíî ï ìåíßòü Ï âåäåì 1+ω ij 0(modM). i = s t,ãäå t íå åòíî, òî ïîëàãàåì j = k 1 s. Òîãäà Åñë 1+ω ij =1+ω k 1t =1+(ω / ) t 1+( 1) t 0(modM), ï åîá àçîâàíå Ôó üå íà ÝÂÌ, ãäå ñïîëüçóåòñß äâî íîå áûñò îå ñåë. ï åäñòàâëåíå Åñë = k ω = q 1, òî ï M = ω / +1 ëåìåíò Òåî åìà. ãà àíò óåò âûïîëíåíå ò åòüåãî óñëîâß, íåîáõîäìîãîäëß ëåììà êî íß ç åäíöû. Òåî åìà äîêàçàíà. ï ìòâíîñò ïîò åáó òñß äâå ëåììû. Íàì 1. Â êîììóòàòâíîì êîëüöå ñ åäíöåé äëß ë áîãî ëå- Ëåììà a = k àâåíñòâî ìåíòà âûïîëíßåòñß 1 k 1 a i = (1 + a j ). i=0 j=0 1 a i =(1+a) a i. i=0 1 i=0 Ïî ï åäïîëîæåí íäóêö ïîëó àåì 1 i=0 k a i = j=0 k 1 (1 + (a ) j )= j=1 (1 + a j ), 1 ω ij 0(modM). j=0

14 r k 1 = d k+1 r k (A, B)=r.Òîãäà k òåïå ü ïîëó à ùó ñß 1,d,...,d k+1 Íåò óäíî.ðàññìîò ì â äàííîì àëãî òìå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü d. (î ôóíäàìåíòàëüíîì ñîîòâåòñòâ). Äëß ë áîé ïîñëåäîâàòåëüíîñò 1,a,...,a àâåíñòâà Òåî åìà íàòó àëüíûõ ñåë a,... â òîì òîëüêî â òîì ñëó àå, êîãäà âûïîëíß òñß âûïîëíß òñß àâåíñòâà ìàò íûå Äëß óäîáñòâà ïîëàãàåì P Äîêàçàòåëüñòâî. 0 Q =1, 0 =0. ï îâîäì íäóêöåé ïî. Ï =1óòâå æäåíå Äîêàçàòåëüñòâî 8. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÄÐÎÁÈ È ÈÕ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 7 [a 1,a,...,a ]= P Q, =1,,... II. Ýëåìåíòû òåî ñåë 8. Íåï å ûâíûå ä îá õ ñâîéñòâà Íàïîìíì, òî àëãî òì Åâêëäà äëß íàõîæäåíß íàáîëü îáùåãî äåëòåëß ñåë A B, A>B, çàêë àåòñß â ïîñëåäî- åãî âûïîëíåí îïå àö äåëåíß ñ îñòàòêîì ï ìåíòåëüíî âàòåëüíîì ïîñëåäîâàòåëüíîñò ñåë A = r ê 1,B = r 0,r 1,r,...,r k ïîëó åíß k+1 ãäå r =0, i = d i r i 1 + r i i =1,...,k äî íóëåâîãî îñòàòêà r ï ( a )( ) a ( ) ( ) a 1 P P = 1, =, 3, Q Q 1 òî ñëà óäîâëåòâî ß ò àâåíñòâó âäåòü, ò A B = d d + 1 d d k+1 ê àòêîñò áóäåì îáîçíà àòü ï àâó àñòü òîãî âû àæåíß Äëß [d å åç 1,d,...,d k+1 íàçûâàòü íåï å ûâíîé (ë öåïíîé) ä îáü. ] ä îá ïîßâëñü â ìàòåìàòêå åùå â XVI â. îêîå Íåï å ûâíûå àñï îñò àíåíå îí ïîëó ë ïîñëå àáîò Õ. Ã éãåíñà (XVII â.), ï ìåíßë õ äëß ïîäáî à çóá àòûõ êîëåñ, ñ çàäàííûì ïå åäàòî íûì êîòî ûé îòíî åíåì. Òåî ß íåï å ûâíûõ ä îáåé áûëà ññòåìàò- àç àáîòàíà Ë. Ýéëå îì, à çàòåì Æ. Ëàã àíæåì. åñê ï îñòåé å ñâîéñòâà òàêõ ä îáåé. Îòìåòì Åñë äëß 1 îíî âûïîëíåíî, òî ïî ï åäïîëîæåí íäóêö,...,a ]= X 1 Y î åâäíî. äëß íåï å ûâíîé ä îá [a äîëæíî âûïîëíßòüñß 1 ( ) àâåíñòâî a ( ) a 1 = 1 0 ( ) X 1 X. Y 1 Y ä óãîé ò ä îá ñâßçàíû ñîîòíî åíåì Ñ ñòî îíû, P 1 =[a 1,a,...,a ]=a 1 + Q [a,...,a ] = a 1 + Y 1 = a 1X 1 + Y 1, X 1 X 1 ïîëíîñòü ìàò íîìó òî àâåíñòâó ñîîòâåòñòâóåò ( ) ( ) ( ) P P 1 a1 1 X 1 X =. Q Q Y 1 Y äîêàçàíà. Òåî åìà [a Ä îá 1,a,...,a ]= P Q, =1, íàçûâà òñß ïîäõîäßùì,... ñï àâåäëâû Äëß ë áîãî ë áûõ íàòó àëüíûõ d 1,d,...,d àâåíñòâà [d 1,d,...,d ]=d 1 + [d 1,d,...,d ]= 1 [d,...,d ] ; [ d 1,d,...,d,d d k =1,..., 1 ï [ ] 1 [d 1,d,...,d ]= d 1,...,d k +. [d k+1,...,d ] ] ; ñëåäñòâß ç òîé òåî åìû ìû ïîëó àåì ï àêò- ä îáßì.âêà åñòâå âñå îñíîâíûå ñâîéñòâà ïîäõîäßùõ ä îáåé. åñê P 1. Q 1 P 1 Q =( 1) =1,,..., ñëà P. Q ï îñòû ï âñåõ =1,,... âçàìíî P 3. Q P 1 Q 1 = ( 1), Q Q 1 =1,,... P 4. Q = a 1 + k=1 ( 1) k Q k Q k 1, =1,,... Ïîñëåäîâàòåëüíîñò P 5. Q åêó åíòíûì óäîâëåòâî ß ò P ñîîòíî åíßì =a P 1 +P Q, =a Q 1 +Q =, 3,... ï 6. Q = a Q 1 + Q Q 1 + Q Q, =, 3,...

15 âñåãäà ñóùåñòâóåò â ñëó ñõîäìîñò çíàêî å åäó ùåãîñß êîòî ûé ñ áåñêîíå íî óáûâà ùì ëåíàì. ßäà Åñë íà àãå +1 ñëî α íå ñîâïàäàåò ñî çíà åíåì Ëåììà. ä îá, òî âûïîëíßåòñß îäíî ç äâóõ íå àâåíñòâ: ïîäõîäßùåé ñëó ï âåäåííûõ âû å ñâîéñòâ ïîäõîäßùõ ä îáåé äëß ôóíêö  f(x) äîëæíî âûïîëíßòüñß àâåíñòâî ñàìîì äåëå íåò óäíî âäåòü, òî äîëæíû âûïîëíßòüñß íå àâåíñòâà Íà êîíå íîé íåï å ûâíîé ä îáåé ñ öåëûì íåïîëíûì Çíà åíå î åâäíî, ßâëßåòñß àöîíàëüíûì ñëîì. Íàîáî îò,ñï à- àñòíûì, âåäëâà 1. Ðàöîíàëüíûå ñëà îäíîçíà íî ï åäñòàâëß òñß â â- Òåî åìà êîíå íûõ íåï å ûâíûõ ä îáåé ñ öåëûì íåïîëíûì àñòíûì. äå îêàçàòåëüñòâî. Åñë α àöîíàëüíîå ñëî, òî ñîãëàñíî Ä 8. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÄÐÎÁÈ È ÈÕ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 9 8 II. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÈÑÅË f(x)= xp 1 + P xq 1 + Q. Ðàññìîò ì òåïå ü âîï îñ î ï åäñòàâëåí äåéñòâòåëüíûõ 8.. íåï å ûâíûì ä îáßì. Ïóñòü α μ íåêîòî îå ïîëîæòåëü- ñåë äåéñòâòåëüíîå ñëî. Âûäåëì â íåì öåëó ä îáíó àñò: íîå α = α {α}. Ïîëàãàåì + a 1 α, åñë = =0, òî çàêàí âà- {α} à åñë {α} 0, òî ïîëó àåì àâåíñòâî α = a åì, α. Ïîâòî ßß 1 ï îöåññ äëß ñëà α òîò 1 ò.ä. ïîëó ì â åçóëüòàòå ïîñëåäîâà-, a òåëüíîñòü 1,a,...,a äëß êîòî îé ï êàæäîì,..., âûïîëíßåòñß α =[a àâåíñòâî 1,a,...,a,α =1,,... ñëà a ], (α íàçûâà òñß ) f(x) μ ãïå áîëà, ïî òîìó ßâëßåòñß ñò îãî ìîíîòîííîé <a + 1 α Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöåé. Ó òûâàß íå àâåíñòâà a <a + 1 a, ïîëó+1 (ïîëíûì) àñòíûì. íåïîëíûì äâà ñëó àß: ëáî ï îöåññ çàêîí òñß íà íåêîòî îì Âîçìîæíû âûïîëíåíî àâåíñòâî α =[a àãå 1,a,...,a ëáî ï âñåõ ], òî â çàâñìîñò îò òîãî, ìîíîòîííî âîç àñòàåò ë óáûâàåò àåì, f(x), âûïîëíßåòñß îäíî ç ò åáóåìûõ íå àâåíñòâ. Ëåììà äîêàçàíà. ôóíêöß íå àâåíñòâà α [a âûïîëíß òñß 1,a,...,a  ñëó àå áåñêîíå íîé ]. a ïîñëåäîâàòåëüíîñò 1,a,...,a çíà åíå áåñêîíå íîé,...îï åäåëì ä îá íåï å ûâíîé [a 1,a,...,a,...] êàê ï åäåë ( P ( 1) k ) lim = lim a 1 +, Q Q k Q k 1 k=1 P 1 Q 1 < P 3 Q 3 <... α...< P 4 Q 4 < P Q. êàê ñâßçàíû ìåæäó ñîáîé ñëî α ïîäõîäßùå ä îá Ðàññìîò ì [a 1,a,...,a ]= P Q, =1, äëß ïîëó â åéñß â åçóëüòàòå ï -,... äàííîé ï îöåäó û (êîíå íîé, ë áåñêîíå íîé) ïîñëåäîâàòåëüíîñò 1,a,...,a ìåíåíß a,... Åâêëäà óêàçàííûé âû å ï îöåññ ïîñò îåíß íåï å ûâíîé àëãî òìó ä îá çàêîí òñß ï íàõîæäåí íàáîëü åãî îáùåãî äåëòåëß. P Q <α< P +1 Q +1 ë P +1 Q +1 <α< P Q. òîì çíà åíå íåï å ûâíîé ä îá áóäåò ñîâïàäàòü ñ äàííûì ñëîì. Ï Íàîáî îò, ë áàß êîíå íàß íåï å ûâíàß ä îáü ñ öåëûì íåïîë- àñòíûì ßâëßåòñß àöîíàëüíûì ñëîì. Ïî òîìó íåîáõîäìî íûì òîëüêî îäíîçíà íîñòü òàêîãî ï åäñòàâëåíß. äîêàçàòü òî ìååòñß äâà àçë íûõ ï åäñòàâëåíß àöîíàëüíîãî 1,a,...,a ]=[b 1,b,...,b m Ïóñòü a ]. k b k Ï åäïîëîæì, ñëà α =[a μ Äîêàçàòåëüñòâî. f(x)=[a 1,a,...,a 1 Î åâäíî, òî,x]. f(a )= P, Q ( f a + 1 ) = α, α ( f a + 1 ) = P +1. a +1 Q +1 îòë å â äàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòßõ. Òîãäà ï íåêîòî ûõ ïå âîå 0 ε<1 0 äîëæíî âûïîëíßòüñß àâåíñòâî δ<1 α = (a k + ε)p k 1 + P k (a k + ε)q k 1 + Q k = (b k + δ)p k 1 + P k (b k + δ)q k 1 + Q k. àññóæäàß àíàëîã íî ëåììå, â ñëó ìîíîòîííîñò ãïå áîëû k + ε = b k δ, ï îòâî å å. Òåî åìà äîêàçàíà. + Îòñ äà, ïîëó àåì, òî a Ðàññìîò ì äåéñòâòåëüíó ôóíêö. È àöîíàëüíûå äåéñòâòåëüíûå ñëà îäíîçíà íî Òåî åìà â âäå áåñêîíå íûõ íåï å ûâíûõ ä îáåé ñ öåëû- ï åäñòàâëß òñß ì íåïîëíûì àñòíûì. Íàîáî îò, çíà åíåì âñßêîé áåñêîíå íîé

16 ä îá ñ öåëûì íåïîëíûì àñòíûì ßâëßåòñß àöîíàëüíîå íåï å ûâíîé ñëî. Åñë α àöîíàëüíîå ñëî, òî îïñàííûé Äîêàçàòåëüñòâî. âû å ï îöåññ ïîñò îåíß íåï å ûâíîé ä îá íêîãäà íå çàêîí- òàê êàê çíà åíå êîíå íîé íåï å ûâíîé ä îá ßâëßåòñß àöîíàëüíûì òñß, ñëîì. Ï òîì çíà åíå íåï å ûâíîé ä îá â ñëó ïî ëåììå äîëæåí ñîâïàäàòü ñ ñëîì α. êîòî ûé ï åäñòàâëåíß ï îçâîëüíîãî äåéñòâòåëüíîãî Îäíîçíà íîñòü â âäå íåï å ûâíîé ä îá äîêàçûâàåòñß àíàëîã íî ï åäûäóùåé ñëà òåî åìå. Â çàêë åíå îòìåòì áåç äîêàçàòåëüñòâà åùå äâà çàìå àòåëüíûõ 8.3. ñâîéñòâà íåï å ûâíûõ ä îáåé. Âî-ïå âûõ, ïîñëåäîâàòåëüíîñò àñòíûõ, ïîëó àåìûå ï àçëîæåí äåéñòâòåëüíûõ ñåë, íåïîëíûõ ìîãóò àññìàò âàòüñßêàê àöîíàëüíûå ï áëæåíß òõ - Ï òîì îêàçûâàåòñß, òî íåï å ûâíûå ä îá äà ò â îï åäåëåííîñåë. ñìûñëå íàëó å àöîíàëüíûå ï áëæåíß. Âî-âòî ûõ, áåñ- ïå îä åñêå íåï å ûâíûå ä îá òîëüêî îí ï åäñòàâëß êîíå íûå ìíîæåñòâî ñåë, ßâëß ùõñß êâàä àò íûì àöîíàëü- ò.å. äåéñòâòåëüíûì å åíßì êâàä àòíûõ ó àâíåíé ñ íîñòßì, êî ôôöåíòàì (Ëàã àíæ). öåëûì òî êàæäûé ñîòûé ãîäμíå âñîêîñíûé, ê îìå òåõ, ñëî ñîòåí òåì, äåëòñß íà4 (ò.å. 400 ëåò ìå ò 97, àíå100 ë íõ ñóòîê). êîòî ûõ îòñòàâàíå ëàíñêîãî êàëåíäà ß áûëî çàìå åíî åùå â XV â., Õîòß áûëà ï îâåäåíà òîëüêî âêîíöå XIX â. Íàáîëåå æå òî íûé åôî ìà ââåë â Ïå ñ â 1079 ã. ïå ñäñêé àñò îíîì ìàòåìàòê êàëåíäà ü Îìà Àëüõàéßì. Îí ââåë öêë ç 33 ëåò, â êîòî îì ñåìü àç å åíå. ìååò îï åäåëåíß ñëåäóåò, òî ñâîéñòâî öåëîãî ñëà a áûòü ë Èç áûòü êâàä àò íûì âû åòîì ïî ìîäóë p îï åäåëßåòñß òîëüêî íå îñòàòêà a mod p îò äåëåíß ñëà a íà ñëî p, ïî òîìó ñâîéñòâàì Ñ åä ñåë {1,,..., p 1} îâíî ïîëîâíà ßâëß òñß êâàä àò íûì 1. âû åòàì, à îñòàâ åñß ñëà μ íåò. äîêàçàòåëüñòâà àññìîò ì îòîá àæåíå ϕ: x x ìóëüòïëêàòâíîé p ñåáß. Î åâäíî, îíî ßâëßåòñß ãî- Äëß ã óïïû êîëüöà Z â ñ ßä îì Ker ϕ = { 1, 1}, ï åì îá àçîì ϕ(z ìîìî ôçìîì p áóäåò ) íåíóëåâûõ êâàä àò íûõ âû åòîâ. ìíîæåñòâî p 1 ßâëßåòñß åòíûì ñëîì. ìîäóëü Ñìâîë Ëåæàíä à. Ï çó åí ñâîéñòâ êâàä àò íûõ âû- 9.. Äëß òîãî íàäî ï îñòî âû ñëòü ñîîòâåòñòâó ùé ñìâîë íåñëîæíî. òî ßâëßåòñß àëãî òì åñê íåñëîæíîéçàäà åé. Â òî æå Ëåæàíä à, 9. ÊÂÀÄÐÀÒÈ ÍÛÅ ÂÛ ÅÒÛ II. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÈÑÅË ( P lim = lim a 1 + Q ( 1) k ), Q k Q k 1 k=1 ñ òàëñß åòâå òûé, à âîñüìîé àç μ ïßòûé. Ýòî êàê àç âñîêîñíûì ,òàê êàê ìååòñß 8 ë íõ ñóòîê â 33 ãîäà. ï áëæåíå ëåììû áóäåò îï åäåëßòüñß ï åäåëîì 9. Êâàä àò íûå âû åòû Ïóñòü p μ íå åòíîå ï îñòîå ñëî. Öåëîå ñëî a íàçûâàåòñß 9.1. âû åòîì ïî ìîäóë p, åñë ñ àâíåíå x a (mod p) êâàä àò íûì çàìåòòü, òî çíà åíå ë áîé áåñêîíå íîé íåï å ûâíîé Îñòàåòñß ñ öåëûì íåïîëíûì àñòíûì ßâëßåòñß äåéñòâòåëüíûì ñ- ä îá,âñëóîäíîçíà íîñò ï åäñòàâëåíß ñëà â âäå íåï å ûâíîé ëîì íå ìîæåò àöîíàëüíûì ñëîì. Òåî åìà äîêàçàíà. ä îá, ñåë a ìîæíî àññìàò âàòü ëåìåíòû êîëüöà âû åòîâ Z âìåñòî p. ï îñòåé å ñâîéñòâà êâàä àò íûõ âû åòîâ. Îòìåòì Åñë Z p = {1,θ,θ,...,θ p }, ãäå θ μ ï ìòâíûé ëåìåíò ïîëß p òî ëåìåíò a = θ j áóäåò êâàä àò íûì âû åòîì â òîì. Z, êîãäà j åòíî. òîëüêîâòîìñëó àå, î åâäíî, òàê êàê â ñ àâíåí y j (mod p 1) Äîêàçàòåëüñòâî íòå åñíó ñâßçü íåï å ûâíûõ ä îáåé ñ êàëåíäà íûì Îòìåòì ñòëßì. Êàê çâåñòíî, ï îäîëæòåëüíîñòü ãîäà ñîñòàâëßåò 365,40 ñóòîê. Ýòîìó ñëó ñîîòâåòñòâóåò ïå îä åñêàß ä îáü... [365, 4, 7, 3,...], ïå âûå ïîäõîäßùå ä îá êîòî îé àâíû ñîîòâåò- 1, ñòâåííî 365, , , îáû íî âûäåëß ò äâå ï îáëåìû. Âî-ïå âûõ, êàê ìîæíî óçíàòü åòîâ ë äàííîå ñëî êâàä àò íûì âû åòîì (çàäà à àñïîçíà- ßâëßåòñß, âî-âòî ûõ, êàê íàéò å åíå äàííîãî ñ àâíåíß (çàäà- âàíß), ïîñêà å åíé). Ìû ïîêàæåì, òî îòâåò íà ïå âûé âîï îñ äàòü à Ï áëæåíå μ òî òàê íàçûâàåìûé ëàíñêé êàëåíäà ü, ââåäåííûé â 47 ã. äî í.. ëåì Öåçà åì, ãäå êàæäûé åòâå òûé μ Íîâûé Ã ãî àíñêé êàëåíäà ü äàåò ï áëæåíå ãîä âñîêîñíûé , òî íåìíîãî áîëü å, åì çàäà à ïîñêà å åíé ßâëßåòñß àëãî òì åñê ñëîæíîé çàäà åé â åìß, äëß íàõîæäåíß å åíé ò åáóåòñß ïîñò îåíå ñïåöàëüíûõ àëãî òìîâ.. Ýòîò ñòëü îòë àåòñß

17 Ëåæàíä à, ââåäåííûé ì â 1798 ã., îï åäåëßåòñß ñëåäó ùì Ñìâîë îá àçîì: äàëüíåé åãî íàì ïîò åáóåòñß ñëåäó ùàß ëåììà. Äëß Äëß ë áûõ íå åòíûõ ñåë s t âûïîëíß òñß ñ àâíåíß: Ëåììà. êàê ñëî 8 ßâëßåòñß ïå îäîì òîé ôóíêö, òî ìîæíî àññìàò âàòü Òàê åå êàê ôóíêö, çàäàííó íà ëåìåíòàõ êîëüöà âû å- Z òîâ 8 Ï òîì â ñëó ïóíêòà (â) ëåììû äëß íå åòíûõ s t âûïîëíßåòñß. àâåíñòâî f(st)=f(s)f(t). êàê ω 4 = 1. Îòñ äà G =4(ω ω 4 +ω 6 )=8 0, à, ñëåäîâàòåëüíî, òàê G 0â ïîëå GF (p ). 9. ÊÂÀÄÐÀÒÈ ÍÛÅ ÂÛ ÅÒÛ 33 3 II. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÈÑÅË ( ) a p 0, a 0(modp), = 1, x, x a (mod p), amod p 0, 1, x, x a (mod p), amod p 0. ò åòüå ñ àâíåíå âûòåêàåò ç àâåíñòâà Íàêîíåö, 1 8 (s t s t +1)= 1 8 (s 1)(t 1), ï àâîé àñò êîòî îãî òàêæå ñòîò åòíîå ñëî. â ( p )=( 1) p îñíîâíûå ñâîéñòâà ñìâîëà Ëåæàíä à. Ï âåäåì Åñë a 1. 1 a p), òî (mod ( a1 p ) ( a p ). (ê òå é Ýéëå à). ( a p ) a p 1 (mod p). îêàçàòåëüñòâî. Ï a 0(modp) àâåíñòâî î åâäíî. Ä a ìååò íåíóëåâîé âû åò, òî ñîãëàñíî ìàëîé òåî åìå Ôå ìà Åñë a p 1 1(modp),îòêóäà a p 1 ±1(modp). Ï òîì, åñë a = θ j,ãäå μ ï ìòâíûé ëåìåíò êîëüöà θ Z p,òî a p 1 1(modp) j p 1 0(modp 1). Òàê êàê ëåìåíòû {1, 1} ëåæàò â ë áîì p àññìàò âàòü äàííîå àâåíñòâî Äîêàçàòåëüñòâî. àñ åí ïîëß Z,òîìîæíî ïîëå GF (p ). Â ñëó ïóíêòà (á) ëåììû ñï àâåäëâî ñ àâíåíå â p 1(mod8), ïî òîìó â äàííîì ïîëå âñåãäà ñîäå æòñß ëåìåíò ω ( íàï ìå, íàäî âçßòü ï ìòâíûé ëåìåíò, ìå ùé ïî ßäêà 8 (p (p âîçâåñò åãî â ñòåïåíü 1) ) 8.Ðàññìîò ì ôóíêö ïî ßäîê 1), { ( 1) x 1 8, x 1(mod), f(x)= 0, x 0(mod). àâíîñëüíî j ßâëßåòñß Ïîñëåäíåå òîìó, òî åòíî a êâàä àò íûì ( a p ( a p ñëó àé )= 1. àññìàò âàåòñß Àíàëîã íî )=1. ò.å. âû åòîì, ( ab p )=(a p )( b p ). 3. ñëåäó ùå äâà ñâîéñòâà ßâëß òñß î åâäíûì ñëåäñòâßì Ýòî. ñâîéñòâà Åñë (a, p)=1, òî ( a b p )=(b p ) ( 1 p p 1 1 ( p )=( 1). )=1, âåë íó G GF (p àâåíñòâîì Îï åäåëì ) 7 G = f(j)ω j. j=0 òî G 0. Èìååì Ïîêàæåì, G = ω ω 3 ω 5 + ω 7 =(ω ω 3 ), s 1 + t 1 st 1 (mod ), (à) s t 1 8 (st) 1 8 (mod ). (â) îêàçàòåëüñòâî ïå âîãî ñ àâíåíß âûòåêàåò ç àâåíñòâà Ä 1 (st s t +1)=1 (s 1)(t 1), â ï àâîé àñò ñòîò åòíîå ñëî. Äëß äîêàçàòåëüñòâà âòî îãî ãäå íàäî çàìåòòü, òî ñëî (s 1)(s +1)âñåãäà äåëòñß íà8. ñ àâíåíß îíû ( ) G p =(G p 1 ) G =8 p 1 8 G = G = p ä óãîé Ñ ñòî îíû, ( 7 ) p G p = f(j)ω j = j=0 7 f(j)ω pj, j=0 ( ) G. p Ïîäñ òàåì òåïå ü äâóìß ñïîñîáàì âåë íó G p. Ñ îäíîé ñòî- (á) s 1(mod8),

18 âçàìíîñò. Ýìï åñê îí áûë îòê ûò â 1783 ã. Ë. Ýéëå îì. çàêîíîì Ïå âîå ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî áûëî äàíî â 1796 ã. 19-ëåòíì Ãàóññîì. Âñåãî îí ï åäëîæë ñåìü àçë íûõ äîêàçàòåëüñòâ êâàä- Ê. çàêîíà âçàìíîñò. àò íîãî çàìåíßåì ñëî a íà îñòàòîê a mod p îò äåëåíß ñëà a íà p; ) àñêëàäûâàåì ñëî a â ï îçâåäåíå ï îñòûõ ñîìíîæòåëåé 3) 9. ÊÂÀÄÐÀÒÈ ÍÛÅ ÂÛ ÅÒÛ II. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÈÑÅË G p = 7 f(p)f(pj)ω pj = f(p) j=0 j=0 7 f(pj)ω pj = f(p)g. ó òûâàß, òî Íàêîíåö, q 1 ω ja = j=0 { 0, a 0, q, a =0, òàê êàê p íå åòíî. Èñïîëüçóß ñâîéñòâà ôóíêö f(x) ïîëó àåì ï àâíâàß îáà âû àæåíß ñîê àùàß íà G, ïîëó àåì Òåïå ü, àâåíñòâî. òî ò åáîâàëîñü äîêàçàòü. ò åáóåìîå Êâàä àò íûé çàêîí âçàìíîñò Ãàóññà. Äîêàæåì åùå îäíî çàìå àòåëüíîå 9.3. ñâîéñòâî ñìâîëà Ëåæàíä à, íàçûâàåìîå êâàä àò íûì ïîëó àåì G = ( 1 q ) q 1 k=1 ( ) k q 1 ω j(1 k) = q j=0 ( 1 q )( ) 1 q =( 1) q 1 q. q Äëß ï îñòûõ ñåë p q ñï àâåäëâî Òåî åìà. ë áûõ íå åòíûõ ( ) ( ) àâåíñòâî p =( 1) p 1 q 1 q. q p îêàçàòåëüñòâî. Ïîñòóïàåì ïîëíîñòü àíàëîã íî äîêàçàòåëüñòâó Ä ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà. Ïå åéäåì ê òàêîìó àñ åí GF (p m ïîëß ) Z p â êîòî îì ñîäå æòñß ëåìåíò ω ïî ßäêà q (íà-, ìîæíî ïîëîæòü m = q 1, òàê êàê âûïîëíßåòñß ñ àâíåíå ï ìå, p q 1 1(modq)). Ðàññìîò ì âåë íó G 0, à, ñëåäîâàòåëüíî, G 0âïîëåGF (p m ). Îòñ äà òåïå ü äâóìß ñïîñîáàì âåë íó G p.ñîäíîé ñòî î- Ïîäñ òàåì íû G p = ( ( 1) q 1 q ) p 1 Ñ ä óãîé ñòî îíû, G =( 1) p 1 G p = ( q 1 j=0 q 1 q p 1 ( ) ) p j ω j = q p 1 G ( 1) q 1 j=0 q 1 ( ) j ω pj, q ( ) q G (mod p). p ( q 1 j=0 q 1 G = j=0 ( j q ) ω j. äîêàæåì, G Èìååì òî Ñíà àëà 0. ( )( j q 1 ( ) ( k 1 G = )ω )ω j k = q q q k=0 ) q 1 q 1 j=0 k=0 ( j q )( ) k ω j k. q êàê ( 0 q )=0, òî ìîæíî çìåíòü íæíé ï åäåë ó îáåõ ñóìì. Òàê çàìåíßß âî âòî îé ñóììå íäåêñ k íà jk, ïîëó àåì Îäíîâ åìåííî G = ( 1 q ) q 1 q 1 k=1 j=1 ( j q )( ) jk ω j(1 k) = q ( 1 q ) q 1 k=1 ( ) k q 1 ω j(1 k). q âå íåì ñóììå íäåêñ j =0, äîáàââ ê ïå âîé ñóììå Òåïå ü âòî îé âû àæåíå q 1 ( ) k =(+1) q 1 +( 1) q 1 =0. q k=1 j=1 êàê íå åòíî. ñâîéñòâà Ëåæàíä à òàê Èñïîëüçóß ïîëó àåì ñìâîëà p q 1 ( )( ) ( ) p pj p q 1 ( ) ( ) pj p G p = ω pj = ω pj = G. q q q q q j=0 ï àâíâàß îáà âû àæåíß ñîê àùàß íà G, ïîëó àåì ò åáóåìîå Òåïå ü, àâåíñòâî. Òåî åìà äîêàçàíà. Äîêàçàííûå ñâîéñòâà ñìâîëà Ëåæàíä à ïîçâîëß ò âû ñëßòü 9.4. äëß ë áîãî ï îñòîãî íå åòíîãî p ë áîãî öåëîãî a çíà åíå ( a p ) ïîìîùü àëãî òìà: ñëåäó ùåãî ñ a ( ) îò öàòåëüíî, òî âûäåëßåì ñîìíîæòåëü 1 p ; ñëî åñë 1) a = p a1 1 pa...pa k k 4) j=0 ïå åõîäì àçëîæåí ï îçâåäåíå ê â ( ) ( ) a1 ( ) a ( ) ak a p1 p pk =... ; p p p p

19 åñë p 5) 1 a = 1 âû ñëßåì ( p ); íå åòíî, äëß êàæäîãî íå åòíîãî ñîìíîæòåëß p 6) i íå åòíûì çíà åíåì ñ a ñòåïåí i êâàä àò íûé çàêîí âçàìíîñò; ï ìåíßåì åñë íåîáõîäìî, âîçâ àùàåìñß ê ï. 1. 7) îò äâóõ à ãóìåíòîâ. Çàìå àòåëüíîå ñâîéñòâî òîãî ñìâîëà ôóíêö â òîì, òî îí óäîâëåòâî ßåò ï àêò åñê âñåì òåì æå çàêë àåòñß òõ ñâîéñòâ ï îâîäòñß ñ ïîìîùü ï. (à) (â) Äîêàçàòåëüñòâî ç ï. 9.. Èõ ï åäëàãàåòñß âûïîëíòü ñàìîñòîßòåëüíî â êà å- ëåììû óï àæíåíß. ñòâå ë ü îáîáùåíå êâàä àò íîãî çàêîíà âçàìíîñò. Äîêàæåì Äîñòàòî íî ñ òàòü, òî (m, )=1,âï îòâíîì Äîêàçàòåëüñòâî. ñëó àå îáå àñò àâåíñòâà àâíû íóë. Ï åäïîëîæì, òî àëãî òìà. ùåãî = p. Ïîëàãàåì çàìåíßåì ñëî a íà a mod μîñòàòîê îò äåëåíß ñëà a íà ; ) åñë a åòíî, ï åäñòàâëßåì åãî â âäå ï îçâåäåíß a = t a 3) 1, 9. ÊÂÀÄÐÀÒÈ ÍÛÅ ÂÛ ÅÒÛ II. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÈÑÅË Íàï ìå, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = =( 1) 6 = = =( 1) ( 1) 3 = 1. Äëß íå åòíûõ m ñï àâåäëâî àâåíñòâî Òåî åìà. ë áûõ ñåë ( ) ( ) m =( 1) m 1 q 1. m Ñìâîë SSêîá. Èçëîæåííûé âû å ìåòîä âû ñëåíß ñìâîëà 9.5. ßâëßåòñß íåóäîáíûì â ñâßç ñ òåì, òî ï åãî âûïîëíåí Ëåæàíä à m = q b1 1 qb...qbs s, = pa1 1 pa...pa k k. ñëà m ìå ò ñëåäó ùå àçëîæåíß íà ï îñòûå ñîìíîæòåë ï áåãàòü ê ñëîæíîé îïå àö ôàêòî çàö íàòó àëüíûõ ï õîäòñß ñåë. òîáû çáàâòüñß îò íåîáõîäìîñò ôàêòî çîâàòü ñ- àññìîò ì îáîáùåíå ñìâîëà Ëåæàíä à, íàçûâàåìîå ñìâîëîì ëà SSêîá. íå åòíî ìååò ñëåäó ùåå àçëîæåíå íà ï îñòûå ñîìíîæòåë Ïóñòü =p a1 1 pa...pa k.òîãäà äëß ë áîãî öåëîãî ñëà a ñìâîë k ( ) m = k s j=1 i=1 ( qi p j ) ajb i, ( ) m = s k i=1 j=1 ( pj q i ) ajb i. Òîãäà ïî îï åäåëåí ñâîéñòâàì ñìâîëà SSêîá ïîëó àåì îï åäåëßåòñß SSêîá àâåíñòâîì ( ) ( ) a1 ( ) a ( ) ak a a a a =.... p 1 p 3 p k ( ) = 15 ( 3 )( ) =( 1)( 1) = 1, 5 äàííîì ñëó àå àâåíñòâî ( a )=1âîâñå íå îáßçàòåëüíî îçíà àåò, Â ñëî a ßâëßåòñß êâàä àò íûì âû åòîì ïî ìîäóë. Íàï ìå, òî êâàä àò íîìó âçàìíîñò âñåõ i j ìååì Ñîãëàñíî çàêîíó ï ( ) ( ) qi =( 1) p j 1 q i 1 pj. p j çàìåòòü, â ñëó ï.(à) ëåììû ñï àâåäëâî àâåíñòâî Îñòàåòñß òî s k ( 1) aj p j 1 q b i 1 i =( 1) 1 m 1. i=1 j=1 q i î åâäíî, íå ßâëßåòñß êâàä àò íûì âû åòîì ïî ìîäóë îäíàêî ñëî, 15. Ïî òîìó ê ñìâîëó SSêîá íàäî îòíîñòüñß êàê ê ôî ìàëüíîé Òåî åìà äîêàçàíà. òî ñìâîë Ëåæàíä à. ñâîéñòâàì, Åñë a 1. 1 a ), òî (mod ( a1 ) ( a ). ( ab )=(a )( b ).. 3. Åñë (a, )=1, òî ( a b )=(b ). 4. ( )=1, ( )=( 1) 5. ( )=( 1) íå åòíîãî p ë áîãî öåëîãî a, íå ï áåãàß ê ôàêòî çàö ï îñòîãî âû ñëßòü çíà åíå ñìâîëà Ëåæàíä à ( a p ) ñ ïîìîùü ñëåäó- ñëà, 1) åñë ñëî a îò öàòåëüíî, òî âûäåëßåì ñîìíîæòåëü ( 1 ); 9.6. Äîêàçàííûå ñâîéñòâà ñìâîëà SSêîá ïîçâîëß ò äëß ë áîãî ãäå (a 1, ) = 1,, åñë t íå åòíî, òî âû ñëßåì ( );