Math-Net.Ru Общероссийский математический портал
|
|
- Καλλιόπη Λυσάνδρα Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. И. Данилов, О спектре периодического магнитного оператора Дирака, Изв. ИМИ УдГУ, 06, выпуск 48, Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: февраля 08 г., 00:9:4
2 Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ 06. Âûï.48 ÓÄÊ , c Ë. È. Äàíèëîâ Î ÑÏÅÊÒÐÅ ÏÅÐÈÎÄÈ ÅÑÊÎÃÎ ÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÄÈÐÀÊÀ Ðàññìàò èâàåòñß ïå èîäè åñêèé ò åõìå íûé îïå àòî Äè àêà D + Ŵ = α j i x j A j+ V 0 + V. Âåêòî íûé ïîòåíöèàë A : R R è ôóíêöèè V s, s =0,, ñîçíà åíèßìè â ï îñò àíñòâå ìèòîâûõ 4 4-ìàò èö ßâëß òñß ïå èîäè åñêèìè ñ îáùåé å åòêîé ïå èîäîâ Λ R. Ï åäïîëàãàåòñß, òî ôóíêöèè V s óäîâëåòâî ß- ò êîììóòàöèîííûì ñîîòíî åíèßì V s α j = s α j Vs, j =,,, s =0,. Ïóñòü K ëåìåíòà íàß ß åéêà å åòêè Λ. Äîêàçàíà àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à îïå àòî à D + Ŵ,åñëèëèáîA H q loc R ; R, q>, ëèáî A N < +, ãäå A N êî ôôèöèåíòû Ôó üå ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A, à ôóíêöèß V = V 0 + V ï èíàäëåæèò ï îñò àíñòâó L wk è äëß íåå ï è âñåõ äîñòàòî íî áîëü èõ èñëàõ t>0 âûïîëíßåòñß îöåíêà mes {x K : V x >t} Ct,ãäå mes ìå à Ëåáåãà èêîíñòàíòà C>0 çàâèñèò îò A åñëè A 0, òîc óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Ê ôóíêöèè V = V 0 + V ìîæíî äîáàâèòü ïå èîäè åñêó ôóíêöè òàêîãî æå âèäà, èìå ùó êóëîíîâñêèå îñîáåííîñòè x x m ŵ m â îê åñòíîñòßõ òî åê x m K, m =,...,m 0, è íåï å ûâíó ï è x/ x m +Λ, m =,...,m 0, åñëè ŵ m C äëß âñåõ m, ãäå êîíñòàíòà C > 0 òàêæå çàâèñèò îò ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A è íå çàâèñèò îò m 0. Êë åâûå ñëîâà: îïå àòî Äè àêà, àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à, ïå èîäè åñêèé ïîòåíöèàë. Ââåäåíèå Ïóñòü M M, ãäå M N, ëèíåéíîå ï îñò àíñòâî êîìïëåêñíûõ M M-ìàò èö, S M ìíîæåñòâî ìèòîâûõ ìàò èö èç M M, ìàò èöû α j S M, j =,...,n n, óäîâëåòâî ß ò àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíî åíèßì α j α l + α l α j =δ jl Î, ãäå Î M M åäèíè íàß ìàò èöà è δ jl ñèìâîë Ê îíåêå à. Îáîçíà èì å åç S M ìíîæåñòâî ìàò èö L S M, ï åäñòàâèìûõ â âèäå L = L 0 + L,ãäå L s S M è α j Ls = s Ls α j äëß âñåõ j =,...,n, s =0,. Ðàññìàò èâàåòñß n-ìå íûé îïå àòî Äè àêà n α j i A j + V, x R n, n, 0. x j j= ãäå i = è êîìïîíåíòû A j ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A: R n R n è ìàò è íàß ôóíêöèß V : R n S M ßâëß òñß ïå èîäè åñêèìè ñ îáùåé å åòêîé ïå èîäîâ Λ R n. Êîî äèíàòû â R n îï åäåëß òñß îòíîñèòåëüíî íåêîòî îãî î òîãîíàëüíîãî áàçèñà {E j } E j =, j =,...,n; è, äëèíà è ñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå âåêòî îâ èç R n, A j x =Ax, E j. Ïóñòü {E j } áàçèñ å åòêè Λ R n, K = {x = n j= ξ j E j :0 ξ j <, j =,...,n} ëåìåíòà íàß ß åéêà å åòêè Λ. å åç mes îáîçíà àåòñß ìå à Ëåáåãà â ï îñò àíñòâàõ R m, m N; mes K îáúåì ëåìåíòà íîé ß åéêè K.  äàëüíåé åì ôóíêöèè, îï åäåëåííûå íà ëåìåíòà íîé ß åéêå K, áóäóò òàêæå îòîæäåñòâëßòüñß ñ èõ ïå èîäè åñêèìè ï îäîëæåíèßìè ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ íà âñå ï îñò àíñòâî R n. Ñêàëß íûå ï îèçâåäåíèß è íî ìû â ï îñò àíñòâàõ C M, L R n ; C M è L K; C M ââîäßòñß îáû íûì îá àçîì è â èõ îáîçíà åíèßõ, êàê ï àâèëî, íå áóäóò èñïîëüçîâàòüñß îáîçíà åíèß ñàìèõ ï îñò àíñòâ. Äëß ìàò èö L M M L MM = max Lu. u C M : u= Íóëåâûå è åäèíè íûå ìàò èöû è îïå àòî û â àçíûõ ï îñò àíñòâàõ îáîçíà à òñß êàê 0 è Î ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü {Ej } áàçèñ îá àòíîé å åòêè Λ R n, äëß êîòî îãî E j,el =δ jl, j, l =,...,n; K = {y = n η j Ej :0 η j <, j=,...,n} ëåìåíòà íàß ß åéêà å åòêè Λ. Ñï àâåäëèâî j=
3 àâåíñòâî mes K =mesk. å åç ψ N =mesk K ψx e πi N,x dx, N Λ, îáîçíà à òñß êî ôôèöèåíòû Ôó üå ôóíêöèé ψ L K; U, ãäå U îäíî èç ï îñò àíñòâ C M, R n èëè M M. Îïå àòî n D = i α j x j j= äåéñòâóåò â ï îñò àíñòâå L R n ; C M è èìååò ñâîåé îáëàñòü îï åäåëåíèß êëàññ Ñîáîëåâà ïî ßäêà :D D =H R n ; C M L R n ; C M. Ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ L loc Rn ; M M îã àíè åíà îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D, åñëè Ŵφ L R n ; C M äëß âñåõ ϕ H R n ; C M è äëß íåêîòî îãî èñëà a 0 íàéäåòñß òàêîå èñëî C = Ca, Ŵ 0, òî äëß âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H R n ; C M Ŵϕ L R n ;C M a Dϕ L R n ;C M + Cϕ L R n ;C M. 0. Òî íàß íèæíßß ã àíü èñåë a, äëß êîòî ûõ âûïîëíßåòñß îöåíêà 0., íàçûâàåòñß ã àíü ìàò- è íîé ôóíêöèè Ŵ îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D èáóäåò îáîçíà àòüñß å åç bŵ. Ïå èîäè åñêàß ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R n èçìå èìàß ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ : Rn M M ï èíàäëåæèò ï îñò àíñòâó L n wk; M M, åñëè Ŵ L n wk;m M Äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé Ŵ Ln wk; M M îáîçíà èì Ŵ L n w K;M M. =supt mes {x K : Ŵx M M >t} n < +. t>0. = lim sup t + t mes {x K : Ŵx M M >t} n < +. Ï è n ïå èîäè åñêàß ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R n ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ Ln w K; M M îã àíè åíà îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D è èìååò ã àíü ãäå C = Cn > 0 ñì., íàï èìå, []. Ïóñòü B r x ={y R n : x y r}, bŵ C Ŵ L n wk;m M, 0. B r x = γ Λ B r x + γ, x R n, r > 0. å åç χ T îáîçíà àåòñßõà àêòå èñòè åñêàß ôóíêöèß ìíîæåñòâà T R n. Èç 0. ñëåäóåò òàêæå îöåíêà loc bŵ C Ŵ, L n w K;M M. ãäå loc. Ŵ, L n w K;M M = lim sup lim sup t mes {y B r x :Ŵy M r +0 M >t} n = x R n t + = lim r +0 Çàìå àíèå. Ôóíêöèè Ŵ Ŵ L n w K;MM, loc Ŵ Ŵ L n w K;MM è Ŵ Ŵ, L n w K;MM íå ßâëß òñß íî ìàìè. Åñëè Ŵ, Ŵ L n wk; M M, òî sup χ BrxŴ L n wk;m M. x R n Ŵ + Ŵ L n w K;M M Ŵ L n w K;M M +Ŵ L n w K;M M
4 Äëß loc L n w K;MM è, ñï àâåäëèâû àíàëîãè íûå 0.4 îöåíêè. Äëß âñåõ L n w K;MM Ŵ Ln w K; M M âûïîëíß òñß íå àâåíñòâà Ŵ L n w K;MM Ŵ L n w loc K;MM Ŵ, L n w K;MM, è ñóùåñòâó ò íåíóëåâûå ôóíêöèè Ŵ Ln w K; M M, äëß êîòî ûõ Ŵ L n w  äàëüíåé åìáóäåò ï åäïîëàãàòüñß, òî Ŵ = n A j α j + V L n w K; S M j = loc K;MM = Ŵ, L n w K;MM =0. è bŵ <.  òîìñëó àå îïå àòî 0. ßâëßåòñß ñàìîñîï ßæåííûìè D D+Ŵ =H R n ; C M ñì. [,]. Ñïåêò îïå àòî à D+Ŵ èìååò çîííó ñò óêòó ó. Ñèíãóëß íàß ñîñòàâëß ùàß ñïåêò à îòñóòñòâóåò [] ñì. òàêæå [4, 5], è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêò àáñîë òíî íåï å ûâåí â òîì è òîëüêî òîì ñëó àå, êîãäà ó îïå àòî à 0. íåò ñîáñòâåííûõ çíà åíèé áåñêîíå íîé ê àòíîñòè. Âîï îñ îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ îïå àòî îâ ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè è, â àñòíîñòè, ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà ï èâëåê áîëü îå âíèìàíèå â ïîñëåäíèå äâà äåñßòèëåòèß.  [6,7] ñîäå æàòñß îáçî û àííèõ åçóëüòàòîâ.  [8] ï èâåäåíà îá è íàß áèáëèîã àôèß ïî ñîâ åìåííîìó ñîñòîßíè ï îáëåìû. Àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà 0. ï è âñåõ n áûëà âïå âûå äîêàçàíà â [9] äëß ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A L R n ; R n è ìàò è íîé ôóíêöèè V = V Î + m β òàêèõ, òî A L R n < max γ Λ \{0} è V CR n ; R, ãäå Î M M åäèíè íàß ìàò èöà, m R è β S M ìàò èöà, äëß êîòî îé β = Î è α j β = β α j ï è âñåõ j =,...,n.  ïîñëåäó ùèõ àáîòàõ [, 0 0] ñì. òàêæå ññûëêè èç òèõ ñòàòåé áûëè îñëàáëåíû ï èâåäåííûå îã àíè åíèß è ïîëó åíû íîâûå óñëîâèß íà A è V. Îáçî èçâåñòíûõ åçóëüòàòîâ îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà ñîäå æèòñß â [0] ñì. òàêæå [8, 9].  íàñòîßùåé àáîòå àññìàò èâàåòñß ò åõìå íûé ïå èîäè åñêèé îïå àòî Äè àêà D + Ŵ = j= π γ α j i A j + V. 0.5 x j Äëß îïå àòî à 0.5 ìîæíî ñ èòàòü, òî M =4è òî áóäåò ï åäïîëàãàòüñß â äàëüíåé åì, èìîæíî âûá àòü ìàò èöû 0 σ α j = j, j =,,, σ j 0 ãäå σ j ìàò èöû Ïàóëè: Ï è òîì σ = 0, σ 0 = 0 i 0, σ i 0 =. 0 V V = 0 Î V + iv Î V iv Î V, Î ãäå V j âåùåñòâåííîçíà íûå ôóíêöèè èç L w K; R, j =0,,, 0 è Î íóëåâàß è åäèíè íàß ìàò èöû èç M. Ïóñòü S = {x R : x =}, S x ={ẽ S :ẽ, x =0}, x R \{0}. Îáîçíà èì å åç M ìíîæåñòâî åòíûõ áî åëåâñêèõ çíàêîïå åìåííûõ ìå íà R ñ êîíå íîé ïîëíîé âà èàöèåé, äëß êîòî ûõ e ipt dt =äëß âñåõ p h, h, ãäå h = h > 0.  àñòíîñòè, ìíîæåñòâî M R ñîäå æèò ìå ó Äè àêà δ. 5
5 Â [0] äîêàçàíà àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ò åõìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà 0.5, åñëè V L K; S M è ñóùåñòâóåò âåêòî γ Λ\{0} òàêîé, òî ïå èîäè åñêèé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R óäîâëåòâî ßåò ñëåäó ùèì äâóìóñëîâèßì: γ A L K; R è îòîá àæåíèå R x {[0, ] ξ Ax ξγ} L [0, ]; R íåï å ûâíî; γ ñóùåñòâóåò ìå à M òàêàß, òî äëß âñåõ x R è âñåõ âåêòî îâ ẽ S γ A 0 dt Ax ξγ tẽ dξ < π γ, ãäå A 0 =mesk K Ax dx. R Çàìå àíèå. Èç óñëîâèß γ ñëåäóåò, òî ìàò è íàß ôóíêöèß 0 j = A j α j èìååò íóëåâó ã àíü îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D ï è n = []. Ïî òîìó äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè V L w K; M M â àñòíîñòè, ï è M =4 ñï àâåäëèâî àâåíñòâî b A j α j + V = b V. Åñëè V L K; M M, òî b V =0. Çàìå àíèå. Äëß ïå èîäè åñêîãî ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A: R R óñëîâèå γ âûïîëíßåòñß ï è ñîîòâåòñòâó ùåì âûáî å âåêòî à γ Λ\{0} èìå û M, åñëè ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A ï èíàäëåæèò êëàññó Ñîáîëåâà H q loc R ; R, q >, à òàêæå â ñëó àå, êîãäà A N C < + ñì. [4, ]. Óñëîâèå γ âûïîëíßåòñß äëß ë áîãî âåêòî à γ Λ\{0}, N Λ åñëè A H q loc R ; R, q>. Ïóñòü KK; S 4 ìíîæåñòâî ïå èîäè åñêèõ ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íûõ ôóíêöèé Ŵ : R S 4, äëß êîòî ûõ íàéäóòñß àçíûå òî êè x m K, m =,...,m 0 ãäå m 0 = m 0 Ŵ N, òàêèå, òî ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ áåñêîíå íî äèôôå åíöè óåìà íà îòê ûòîììíîæåñòâå m 0 R \ {x m + γ } m = γ Λ è â äîñòàòî íî ìàëûõ îê åñòíîñòßõ â R òî åê x m èìååò âèä Ŵx = x x m ŵ m, ãäå ŵ m S 4. Îáîçíà èì qŵ = max ŵ m M4. m =,...,m 0 j = Ñï àâåäëèâî âëîæåíèå KK; S 4 L wk; M 4. Ï è òîì è loc 4π Ŵ, L n w K;M M = q Ŵ bŵ =qŵ ñì. [,]. Ñëåäó ùàß òåî åìà ßâëßåòñß îñíîâíûì åçóëüòàòîì äàííîé àáîòû. Òåî åìà 0.. Ñïåêò ïå èîäè åñêîãî ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R îïå àòî à Äè àêà 0.5 ï è M =4àáñîë òíî íåï å ûâåí, åñëè äëß íåêîòî îãî âåêòî à γ Λ\{0} ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì γ è γ, à ìàò è íó ôóíêöè V ìîæíî ï åäñòàâèòü â âèäå V = V + V, ãäå V j : R S 4, j =,, ïå èîäè åñêèå ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ ìàò è íûå ôóíêöèè, äëß êîòî ûõ V L w K; M 4, V KK; S 4 L wk; M 4 è V L w K;M 4 C,q V C, ãäå C j = C j γ,λ; A > 0, j =, åñëè A 0, òî C j óíèâå ñàëüíûå êîíñòàíòû, íå çàâèñßùèå îò Λ. 6
6 Ñëåäñòâèå0.. Ñïåêò ïå èîäè åñêîãî ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R îïå àòî à Äè- àêà 0.5 ï è M =4àáñîë òíî íåï å ûâåí, åñëè äëß ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A: R R âûïîëíåíî ëèáî íå àâåíñòâî A N C < +, ëèáî âêë åíèå A H q loc R ; R, q>, N Λ à äëß ìàò è íîé ôóíêöèè V L w K, S 4 âûïîëíåíî óñëîâèå V L wk,m 4 C, ãäå C = C Λ; A > 0åñëè A 0, òî C óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû 0. ï èâåäåíî â. Ï è äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçó òñß åçóëüòàòû èìåòîäû èç àáîò [6,7,9,0].. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû 0. Ïóñòü H s K; C 4, s>0, ìíîæåñòâî âåêòî -ôóíêöèé ϕ: K C 4,ïå èîäè åñêèå ï îäîëæåíèß êîòî ûõ ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ï èíàäëåæàò êëàññó Ñîáîëåâà H s loc R ; C 4. Äëß âñåõ k R, e S è κ 0 îï åäåëèìîïå àòî û Dk + iκe = i α j + x j j = k j + iκe j α j, äåéñòâó ùèå â L K; C 4,D Dk + iκe = H K; C 4. Âóñëîâèßõ òåî åìû 0. êîíñòàíòû C è C âûáè à òñß òàê, òî b V b V +b V < ñì. 0.. Òîãäà ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ = j = A j α j + V + j = èìååò ã àíü bŵ =b V < îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D è, ñëåäîâàòåëüíî, îòíîñèòåëüíî îïå- àòî îâ Dk ï è κ =0, k R, äåéñòâó ùèõ â L K; C 4 ï åäïîëàãàåòñß, òî ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ òàêæå äåéñòâóåò â L K; C 4. Â òîì ñëó àå îïå àòî û Dk + iκe +Ŵ ñ îáëàñòü îï åäåëåíèß D Dk +iκe+ŵ = H K; C 4 L K; C 4 çàìêíóòû è èìå ò êîìïàêòíó åçîëüâåíòó äëß âñåõ k + iκe C. Îïå àòî û Dk+Ŵ, k R, ßâëß òñß ñàìîñîï ßæåííûìè è èìå ò äèñê åòíûé ñïåêò. Ïå èîäè åñêèé îïå àòî Äè àêà 0.5 óíèòà íî êâèâàëåíòåí ï ßìîìó èíòåã àëó Dk+Ŵ dk πk π mes K.. Óíèòà íàß êâèâàëåíòíîñòü óñòàíàâëèâàåòñß ñ ïîìîùü ï åîá àçîâàíèß Ãåëüôàíäà ñì. [, 4]. Äëß äîêàçàòåëüñòâà àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à 0.5 äîñòàòî íî ïîêàçàòü, òî ó íåãî íåò ñîáñòâåííûõ çíà åíèé áåñêîíå íîé ê àòíîñòè. Ïî òîìó ï åäïîëîæèì, òî íåêîòî îå èñëî λ R ßâëßåòñß ñîáñòâåííûì çíà åíèåì îïå àòî à 0.5. Òîãäà èç àçëîæåíèß îïå àòî à Äè àêà 0.5 â ï ßìîé èíòåã àë. è àíàëèòè åñêîé òåî åìû Ô åäãîëüìà ñëåäóåò ñì. [4, 7], òî λ ñîáñòâåííîå çíà åíèå îïå àòî îâ Dk + iκe+ŵ ï è âñåõ k + iκe C. Äåëàß çàìåíó V λî V ï è òîì V λî L wk; S 4 è V λî L wk;m 4 = V L wk;m 4, ìîæíî àññìàò èâàòü òîëüêî ñëó àé λ =0. Íî ñóùåñòâîâàíèå ñîáñòâåííîãî çíà åíèß λ =0ó îïå àòî îâ Dk + iκe+ŵ ï è âñåõ k + iκe C ï îòèâî å èò ï èâîäèìîé äàëåå òåî åìå.. Ïî òîìó ñïåêò ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè- àêà 0.5 àáñîë òíî íåï å ûâåí. Òàêîé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà îòñóòñòâèß ñîáñòâåííûõ çíà åíèé è àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ ëëèïòè åñêèõ äèôôå åíöèàëüíûõ îïå àòî îâ áûë ï åäëîæåí â [5] è èñïîëüçîâàëñß âî âñåõ ïîñëåäó ùèõ àáîòàõ î õà àêòå å ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ îïå àòî îâ ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ïóñòü γ Λ\{0} âåêòî èç òåî åìû 0., e =. γ γ. Ââåäåì îáîçíà åíèß x =x, e, x = x x, ee, x R. Äëß ë áîé âåêòî -ôóíêöèè ϕ H K; C 4 Dk + iκeϕ = DN k; κ ϕ N e πi N,x, N Λ 7 V
7 ãäå D N k; κ = Äëß âñåõ k R è κ 0 îáîçíà èì Ñï àâåäëèâû íå àâåíñòâà k j +πn j + iκe j α j. j = G ± N k; κ = k +πn +κ ± k +πn /, N Λ. G + N k; κ G N k; κ, G+ N k; κ κ, G+ N k; κ k +πn. Åñëè k R è k, γ = π, òîg N k; κ π γ äëß âñåõ κ 0 è N Λ. Äëß âåêòî îâ k R, äëß êîòî ûõ k, γ = π, îï åäåëèìîïå àòî û Ĝs ±, s R, äåéñòâó ùèå â L K; C 4 : Ĝ s ± ϕ = N Λ G ± N k; κs ϕ N e πi N,x, ϕ DĜs ± = { Hs K; C 4, åñëè s>0, L K; C 4, åñëè s 0 îïå àòî û Ĝs ± çàâèñßò îò k è κ, íî ßâíî òà çàâèñèìîñòü â îáîçíà åíèßõ óêàçûâàòüñß íå áóäåò, Ĝ±. = Ĝ ±. Äëß âåêòî îâ ẽ S e àññìîò èì î òîãîíàëüíûå ï îåêòî û â C 4 : Äëß âñåõ ẽ, ẽ S e ± ẽ = Î i e j α j j = ± ẽ j = ẽ j α j. ẽ = ± ẽ ± ẽ = ẽ ẽ. Äëß âåêòî îâ y R, äëß êîòî ûõ y = y y,ee 0, áóäåìîáîçíà àòü ẽy. = y y, ẽy S e. Åñëè k R,N Λ, ï è òîì k +πn 0,òî è äëß âñåõ κ 0 Ñëåäîâàòåëüíî, ± ẽk+πn e j α j ± ẽk+πn = 0 j = D N k; κ ± ẽk+πn =k +πn + iκ ± k +πn j = e j α j ± ẽk+πn. ± ẽk+πn D N k; κ ± ẽk+πn = 0,. D N k; κ ± ẽk+πn u = G± ± N k; κ ẽk+πn u, u C4.. Åñëè k +πn =0,òîG + N k; κ =G N k; κ. Ïóñòü Ke = {k R : k, γ = π è k +πn 0äëß âñåõ N Λ }. Ìíîæåñòâî {k R : k, γ = π}\ke ñ åòíîå. Äëß âåêòî îâ k Ke îï åäåëèì î òîãîíàëüíûå ï îåêòî û â L K; C 4 : ± ϕ = N Λ ± ẽk+πn ϕ N e πi N,x, ϕ L K; C 4 8
8 îïå àòî û ± çàâèñßò îò k, íî òà çàâèñèìîñòü óêàçûâàòüñß â îáîçíà åíèßõ íå áóäåò. Óñëîâèå k Ke âìåñòî óñëîâèß k, γ = π ßâëßåòñß òåõíè åñêèì. Îíî ïîçâîëßåò èçáåæàòü íåîäíîçíà íîñòè â îï åäåëåíèè îïå àòî îâ ± äëß âåêòî îâ k R, äëß êîòî ûõ k, γ = π è k +πn =0äëß íåêîòî îãî âåêòî à N Λ.Òàê êàê + + = Î, òî èç. è. äëß âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 ïîëó àåì Ñëåäîâàòåëüíî, ± Dk + iκeϕ = Ĝ ϕ, Dk + iκeϕ = Ĝ ϕ + Ĝ+ + ϕ. Ĝ + + Ĝ + Dk + iκeϕ = Ĝ + Ĝ + + ϕ, ϕ H K; C 4..4 Òåî åìà.. Ïóñòü ïå èîäè åñêèé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R äëß íåêîòî îãî âåêòî à γ Λ\{0} óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì γ è γ è e = γ γ. Òîãäà ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = Cγ,Λ; A 0, ] òàêàß, òî äëß ë áûõ δ>0è>0 ñóùåñòâó ò êîíñòàíòû C = C γ,λ,δ,; A > 0 è C = C γ,λ,δ; A > 0 òàêèå, òî äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè V = V + V, ãäå V s : R S 4, s =,, ïå èîäè åñêèå ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ ìàò è íûå ôóíêöèè, äëß êîòî ûõ V L wk; M 4, V KK; S 4 è V L wk;m 4 C, q V C, íàéäåòñß èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 ñóùåñòâóåò èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ âåêòî îâ k Ke èâñåõâåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 C Ĝ Dk + iκe+ŵ ϕ C Ĝ + + Ĝ + Dk + iκe+ŵ ϕ δ C Ĝ + Ĝ + + ϕ δ C Ĝ ϕ. Òåî åìà. íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò èç òåî åì.,. è.5. Òåî åìà. ñì. [7, 9]. Ï åäïîëîæèì, òî äëß íåêîòî îãî âåêòî à γ Λ\{0} e = γ γ ïå èîäè åñêèé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì γ è γ. Òîãäà ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = Cγ,Λ; A 0, ] òàêàß, òî äëß ë áîãî δ 0, ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 C Ĝ + + Ĝ + Dk + iκe j = A j α j ϕ δ C Ĝ + Ĝ + + ϕ. Çàìå àíèå 4. Åñëè A 0, òîâóñëîâèßõ òåî åì. è. ìîæíî ïîëîæèòü C =ñì..4 è âûá àòü âåêòî γ Λ\{0} ñ ìèíèìàëüíîé äëèíîé γ. Òîãäà êîíñòàíòà C èç òåî åìû. áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îòδ è, àêîíñòàíòà C îòδ. Ïóñòü γ Λ\{0} êàêîé-ëèáî èç âåêòî îâ, äëß êîòî ûõ γ = min γ. γ Λ\{0} Ò å î å ìà.. Ïóñòü γ Λ\{0} e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè V L w K; S 4 è ë áûõ ε>0 è >0 íàéäåòñß èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 ñóùåñòâóåò èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ c γ γ ãäå c > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. + Äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé V L K; S 4 äëß íèõ V ñèëüíîå óòâå æäåíèå, åìóòâå æäåíèå, ñëåäó ùåå èç òåî åìû.. ε + V L wk;m 4 Ĝ + Ĝ + + ϕ, 9 L w K;M 4 =0 ñï àâåäëèâî áîëåå
9 Òåî åìà.4. Ïóñòü γ Λ\{0} e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè V L K; S 4 è ë áûõ èñåë ε > 0, 0, ] è τ 0, íàéäåòñß èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 íàéäåòñß èçìå èìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî Z [κ, + κ ] òàêîå, òî mes Z τκ è äëß âñåõ κ Z, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ ε Ĝ + Ĝ + + ϕ..5 Áîëåå ï îñòîé âà èàíò òåî åìû.4 êîãäà âìåñòî âûïîëíåíèß îöåíêè.5 äëß âñåõ κ Z ò åáóåòñß åå âûïîëíåíèå òîëüêî äëß îäíîãî èñëà κ [κ, + κ ] ï èâåäåí â [0], íî èç äîêàçàòåëüñòâà, ï åäëîæåííîãî â [0], ñëåäóåò, òî ñï àâåäëèâà òàêæå òåî åìà.4. Òåî åìà.5. Ïóñòü γ Λ\{0} e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè V KK; S 4 L wk; M 4 è ë áîãî ε>0 íàéäåòñß èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ c ε + q V Ĝ + Ĝ + + ϕ, ãäå c > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Òåî åìà.5 ßâëßåòñß ñëåäñòâèåìòåî åìû.6 èç [9]. Òåî åìà. äîêàçûâàåòñß â ñëåäó ùåì ïà àã àôå.. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû. Âîñïîëüçóåìñß îáîçíà åíèßìè èíåêîòî ûìè óòâå æäåíèßìè èç [9, 0]. Ïóñòü γ Λ\{0}, e = γ γ. Êî ôôèöèåíòû Ôó üå ŴN, N Λ, ìàò è íûõ ôóíêöèé Ŵ L K; S 4, êîììóòè ó ò ñ î òîãîíàëüíûìè ï îåêòî àìè ± ẽ, ẽ S e. Äëß ìíîæåñòâ C Λ áóäåì å åç C îáîçíà àòü î òîãîíàëüíûå ï îåêòî û â L K; C 4, ñòàâßùèå â ñîîòâåòñòâèå âåêòî -ôóíêöèßì ϕ L K; C 4 âåêòî -ôóíêöèè C ϕ = πi N,x N e N Cϕ â àñòíîñòè, = 0. Áóäåì äàëåå ñ èòàòü, òî áàçèñíûå âåêòî û E j, j =,,, å åòêè Λ R âûá àíû òàê, òî E j c mes K,. j = ãäå c > 0 íåêîòî àß óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà ï è òîì mes K îò âûáî à áàçèñà {E j } íå çàâèñèò. Äëß òîãî äîñòàòî íî âûá àòü âåêòî E = γ, ïîñëå òîãî èç ìíîæåñòâà Λ \{m E : m Z} âûá àòü âåêòî E ñ ìèíèìàëüíîé äëèíîé è, íàêîíåö, èç ìíîæåñòâà Λ \{m E +m E : m,m Z} âûá àòü âåêòî E, òàêæå èìå ùèé ìèíèìàëüíó äëèíó. Òîãäà âåêòî û E j, j =,,, îá àçó ò áàçèñ å åòêè Λ è óäîâëåòâî ß ò íå àâåíñòâó.. èñëî κ 0 > 0 áóäåò äàëåå âûáè àòüñß äîñòàòî íî áîëü èìè îöåíêè ñíèçó äëß íåãî áóäóò ï èâåäåíû ïî õîäó äîêàçàòåëüñòâà. Âíà àëå ï åäïîëîæèì, òî κ 0 > 4 è κ 0 8π diam K, ãäå diam K äèàìåò ëåìåíòà íîé ß åéêè K è â äàëüíåé åì ï åäïîëàãàåòñß, òî òè íå àâåíñòâà âûïîëíåíû. Ïóñòü κ κ 0, l = lk Z íàèìåíü åå èñëî, äëß êîòî îãî l > π diam K, è L = Lκ N íàèáîëü åå èñëî, äëß êîòî îãî L+ κ òîãäà l L è κ < L+. Ïóñòü k Ke. Îáîçíà èì Kb ={N Λ : G N k; κ b}, b [0, κ 0
10 ìíîæåñòâî Kb çàâèñèò òàêæå îò k è κ. Ï è b>π diam K è b<κ äëß èñëà ëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Kb ñï àâåäëèâà îöåíêà # Kb c 4 mes K κb, ãäå c 4 > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Åñëè N, N K L,òî Îáîçíà èì ẽk +πn ẽk +πn 4π κ N N. K l = K l, K = K \K, = l +,l+,...,l; ± = ± K L. Èìååò ìåñòî àâåíñòâî + + = K L. Äëß ë áîé âåêòî -ôóíêöèè ϕ L K; C 4 π γ K l ϕ Ĝ K l ϕ h l K l ϕ,. Ïîëîæèì Ï è òîì K ϕ Ĝ K ϕ K ϕ, = l +,...,L.. q = { γ π l, åñëè = l,, åñëè = l +,...,L. q l > γ diam K > γ E E,E =. Ïîëó èì òàêæå îöåíêó ñâå õó äëß ql. Ïóñòü ñ åäè áàçèñíûõ âåêòî îâ E j å åòêè Λ, j =,,, âåêòî Es èìååò ìàêñèìàëüíó äëèíó. Òîãäà diam K < Es. Èñïîëüçóß., ïîëó àåì c E j mes K j = Òîãäà E s E s c è, ñëåäîâàòåëüíî, E s, Es Es j: j s E j = E s j: j s E j. ql γ γ γ π l γ γ E s diam K 6 γ γ E s Es 6 c γ γ..4 Èç. è. ñëåäó ò íå àâåíñòâà Ĝ K ϕ q K ϕ, = l, l +,...,L..5 Äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé V L wk; M 4, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ.6 Ĝ + + Ĝ + V K L ϕ + Ĝ + + Ĝ + V Λ \K L ϕ + + Ĝ + + Ĝ + Λ \K L V K L ϕ + ï è òîì + Ĝ + + Ĝ + Λ \K L V Λ \K L ϕ, Ĝ + + Ĝ + V K L ϕ.7 Ĝ + V ϕ + Ĝ + V + ϕ + Ĝ + V K L ϕ.
11 Â [9] äîêàçàíî, òî ñóùåñòâóåò óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà c 5 > 0 òàêàß, òî äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè V L wk; S 4 è ë áîãî ε>0 ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 ïîñëåäíèå ò è ñëàãàåìûõ â ï àâîé àñòè íå àâåíñòâà.6 è ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â ï àâîé àñòè íå àâåíñòâà.7 íå ï åâîñõîäßò c 5 ε + V, loc L wk;m 4 Ĝ + Ĝ + + ϕ äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé V L K; S 4 äëß êîòî ûõ V, loc =0 äîêàçàòåëüñòâî L w K;M 4 òèõ îöåíîê ï èâåäåíî òàêæå â [0]. Ïî òîìó ï è κ 0 κ 0 è κ κ 0 èç.6è.7àòàêæå èç íå àâåíñòâà V, loc L w K;M 4 V, êîòî îå ñï àâåäëèâî äëß âñåõ ìàò è íûõ L w K;M 4 ôóíêöèé V L wk; M 4 ñëåäóåò îöåíêà Ĝ + + Ĝ + V ϕ.8 Ĝ + V ϕ +5c 5 ε + V L wk;m 4 Ĝ + Ĝ + + ϕ. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû. òåïå ü ñâîäèòñß ê ïîëó åíè ñîîòâåòñòâó ùåé îöåíêè ñâå õó äëß íî ìû Ĝ + V ϕ. Îáîçíà èì ± = L ± K, = l, l +,...,L; ± = ±. Äëß èñåë, ν {l,...,l} ïîëîæèì j, ν. = + ν +min{, ν}. Òåî åìà.. Ïóñòü γ Λ\{0} è e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L w K; S 4 è ë áûõ ε>0 è >0 íàéäåòñß èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 ñóùåñòâóåò èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke èâñåõâåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ + ν ψ c 6 ãäå c 6 > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. = l ε + Ŵ L wk;m 4 j,ν ν ψ,.9 Òåî åìà. äîêàçûâàåòñß â, à â îñòàâ åéñß àñòè òîãî ïà àã àôà ñ ïîìîùü òåî åìû. çàâå èì äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû.. Ââåäåìê àòêîå îáîçíà åíèå + P V =c 6 ε + Ŵ L w 4. K;M Ó èòûâàß.5 è îï åäåëåíèå èñåë q, äëß âûáè àåìûõ â òåî åìå. äëß ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ = V èñåë κ è äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 ñ ïîìîùü îöåíêè.9 ïîëó àåì è, ñëåäîâàòåëüíî, Ĝ P V q q ν +ν + j,ν Ĝ + V Ĝ ψ = + V Ĝ L = l ν ψ ν ψ ql P V 6 ν Ĝ + V Ĝ L ν = l ν ψ ν ψ.0 L L = l ν = l Ĝ + V Ĝ ν ψ ql P V L L = l ν = l 6 ν ν ψ.
12 Ï è òîì L L = l ν = l ν ν ψ L L ν = l = l L L L 6 ν = l h 6 ν ν = l ν ψ Èç.0 è. ñì. òàêæå.4 âûòåêàåò îöåíêà Ĝ + V Ĝ γ ψ 08 c c 6 γ ν = l 6 ν ν ψ L ν = l. ν ψ 8 ψ. ε + V L w K;M 4 ψ. Îñòàëîñü â ïîëó åííîìíå àâåíñòâå ñäåëàòü çàìåíó ψ = Ĝ ϕ, ϕ H K; C 4, è âîñïîëüçîâàòüñß íå àâåíñòâîì.8 ï è âûáî å äîñòàòî íî áîëü îãî èñëà κ 0 κ 0. Ï è òîììîæíî ïîëîæèòü c =5c c c 6.Òåî åìà. äîêàçàíà.. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû. Äëß n Λ è, ν {l,...,lκ} ï è κ κ 0 è k Ke ïóñòü S ν n èñëî âåêòî îâ N K òàêèõ, òî N n K ν.åñëèπ n > κ + + ν èëè π n > + ν,òîs ν n =0. Ñóùåñòâóåò óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà c 7 > 0 òàêàß, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ è âñåõ âåêòî îâ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ + max {,ν} è π n max {,ν}, ñï àâåäëèâà îöåíêà S ν n c 7 mes K j,ν κ π n + max {,ν} κ + +max {,ν} π n. òàê êàê l > π diam K è L < κ π diam K, òî îöåíêà. ñëåäóåò èç ñîîòâåòñòâó ùåé îöåíêè ñâå õó äëß ïëîùàäè ïå åñå åíèß äâóõ êîëåö â R ñ âíå íèìè è âíóò åííèìè àäèóñàìè κ ± +πdiam K è κ ± ν +πdiam K è ñ àññòîßíèåììåæäó öåíò àìè π n. Äîêàçàòåëüñòâî îöåíêè. â áîëåå îáùåìâèäå ï èâåäåíî â [0] ñì. òàêæå [0, 6]. Âûáå åì è çàôèêñè óåì åòíó ôóíêöè Ω èç ï îñò àíñòâà âà öà SR ; R, äëß êîòî îé ï åîá àçîâàíèå Ôó üå Ωp = π R Ωx e i p,x dx, p R, îáëàäàåò ñëåäó ùèìè ñâîéñòâàìè: Ωp =ï è p, 0 Ωp ï è < p < è Ωp =0 ï è p.ï èb>0 îáîçíà èì Ωbx. = b Ωbx, x R. Òîãäà Ω b L R = Ω L R è Ω b p = Ω p b,p R. Ïóñòü Ŵ L K; M 4. Ï è a>0 îï åäåëèìôóíêöèè { R Ŵx, åñëè x Ŵa, x Ŵx = M4 a, 0 â ï îòèâíîìñëó àå; Îáîçíà èì Ŵ b, in x = π b, in Ŵa, x = π Ŵ a, x =Ŵx Ŵa, x, x R. Ω b y Ŵx y dy, R Ŵ b, out x =Ŵx Ŵ b, in x, b > 0; Ω b y Ŵa, x b, out y dy, Ŵa, b, in Ŵa, R
13 Äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L K; M 4 îïå àòî û Ŵ äåéñòâó ùèå â L K; C 4 îã àíè åíû. Åñëè Ŵ L K; S 4, òî äëß âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 ñï àâåäëèâû îöåíêè + Ŵ ν ψ =. =mesk + mes K 4 N K N K N n K ν + ẽk+πnŵn ẽk+πn n ψ N n ν ẽk +πn ẽk +πn n Ŵ n M4 N n K ν mes K κ mes K κ N K = κ n Λ N K = κ π n Ŵ n M4 N n K ν π n N n K ν N K νn Ŵn M 4 ψ N n N n K ν π n Ŵn M4 ν ψ = n Λ S ν nπ n Ŵn M 4 ν ψ. ψ N n ψ N n = Òàê êàê Ŵ κ, in n = Ω πn κ Ŵn,n Λ, òî Ŵ κ, in n = 0 ï è âñåõ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ. Ñ ä óãîé ñòî îíû, åñëè π n < κ, òî κ ++max {,ν} π n > 4 κ äëß âñåõ, ν = l,...,l. Ïî òîìó èç. è. ï è κ κ 0 è äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 ïîëó àåì + Ŵ κ, in ν ψ c 7 mes K π n κ Ŵn M 4 j,ν ν ψ. π n < κ 6c 7 mes K n Λ Ŵn M 4 j,ν Ñëåäñòâèåìïå âîãî íå àâåíñòâà â. ßâëßåòñß ν ψ 6c 7 Ŵ L K;M 4 j,ν ν ψ. Ëåììà.. Ïóñòü Ŵ L K; S 4. Òîãäà äëß ë áûõ ε > 0 è, ν {l, l +,...} ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 = κ 0, ν; ε, Ŵ > 0 òàêîå, òî max {, ν} Lκ 0 èäëßâñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, in ν ψ ε ν ψ. Òåî åìà.. Ñóùåñòâóåò óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà C > 0 òàêàß, òî äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L wk; S 4 è äëß âñåõ κ κ 0 > max {4, 8π diam K }, âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, in ν ψ C Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ..4 Äîêàçàòåëüñòâî. Òåî åìà. ñï àâåäëèâà, åñëè Ŵx = 0 ï è ï. â. ïî òè âñåõ x R. Ïî òîìó ìîæíî ñ èòàòü, òî Ŵ L w K;M 4 > 0. Äëß âñåõ j Z äëß êîòî ûõ j l âûáå åì èñëà a j = Ŵ L w K;M 4 j. Ï è ï. â. x R èìååò ìåñòî îöåíêà κ, in Ŵ a j, x π Ω L R a j. 4
14 Ïî òîìó äëß âñåõ, ν = l,...,lκ + κ, in Ŵa j,ν, ν ψ π Ω L R Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ..5 Ñ ä óãîé ñòî îíû, èç íå àâåíñòâà. â êîòî îìâìåñòî ôóíêöèè Ŵ àññìàò èâà òñß ôóíêöèè Ŵa j, ïîëó àåì Îáîçíà èì Òàê êàê òî + è, ñëåäîâàòåëüíî, κ, in Ŵa j,ν, ν ψ 6c 7 Ŵa j,ν, L K;M 4 j,ν K j s = {x K : s a j < Ŵx M 4 s a j }, s N. mes K j s a j Ŵa j, L K;M 4 = a j + κ, in Ŵa j,ν, s+ a j Ŵ L w K;M 4, s N K j s ν ψ. Ŵx M 4 dx 8 Ŵ L w K;M 4.6 ν ψ 8 c 7 Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ..7 Òåïå ü íå àâåíñòâî.4 íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò èç îöåíîê.5 è.7, åñëè âîñïîëüçîâàòüñß àâåíñòâàìè Ŵ κ, in κ, in κ, in = Ŵa j,ν, + Ŵa j,ν, ï è, ν = l,...,lκ. Ï è òîììîæíî ïîëîæèòü C =8 c 7 +π Ω L R. Ò å î å ìà.. Äëß ë áûõ ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L wk; S 4 è èñëà ε>0 ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 = κ 0 ε, Ŵ > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0 κ 0, âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, in ν ψ C ε + Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ,.8 ãäå C > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà èç òåî åìû.. Äîêàçàòåëüñòâî.Âûáå åì èñëît 0 > 0, äëß êîòî îãî κ, in Ŵt 0, Ŵt 0, L w K;M 4 ε + Ŵ L w K;M 4..9 Â ñèëó òåî åìû. ï è κ κ 0, ï è âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke èâñåõψ L K; C 4 + ν j,ν ν ψ..0 ψ C ε + Ŵ L w K;M 4 Òàê êàê Ŵt 0, x M4 t 0 ï è ï. â. x R, òî òàêæå âûïîëíß òñß îöåíêè + κ, in Ŵt 0, ν Ïóñòü J Z íàèìåíü åå èñëî, äëß êîòî îãî Åñëè j, ν J, òî èç. ïîëó àåì + ψ π Ω L R t 0 ν ψ.. π Ω L R t 0 ε C J. Ŵ κ, in t 0, ν ψ ε C j,ν ν ψ.. Ñ ä óãîé ñòî îíû, ìíîæåñòâî Q J óïî ßäî åííûõ ïà, ν èñåë, ν {l,...,lκ}, äëß êîòî ûõ j, ν <J,êîíå íî èëè ïóñòî è äëß òàêèõ óïî ßäî åííûõ ïà max{, ν} <J l. 5
15 Ïî òîìó èç ëåììû. ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî èñëà κ 0 > 0, òî ï è âñåõ, ν Q J âûïîëíßåòñß íå àâåíñòâî max {, ν} L κ 0 è ï è âñåõ κ κ 0 κ 0, âñåõ, ν Q J, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 èìååò ìåñòî îöåíêà.. Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêà. ñï àâåäëèâà ï è âñåõ, ν = l,...,lκ.òåïå ü íå àâåíñòâî.8 íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò ï è κ κ 0 κ 0 èç.0 è. è àâåíñòâà Ŵ κ, in = Ŵ κ, in t 0, + Ŵ κ, in t o,. Òåïå ü ïîëó èì îöåíêó ñâå õó äëß íî ì Ŵ κ, out ν ψ. Ïóñòü Ŵ L K; S 4. Òàê êàê Ŵ κ, out n = Ω πn κ Ŵn, n Λ, òî Ŵ κ, out n = 0 ï è âñåõ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ. Èñïîëüçóß îöåíêó π N N < κ + + ν 4κ, âûïîëíß ùó ñß ï èn K è N K ν, èç. è. äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 ïîëó àåì 6c 7 mes K κ π n κ + max {,ν}, κ π n < 4κ + + Ŵ κ, out ν ψ. Ŵn κ M 4 + +max {,ν} j,ν π n ν ψ. Òåî åìà.. Äëß ë áûõ ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L wk; S 4 è èñåë ε>0 è >0 ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 κ 0 íàéäåòñß èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, out ν ψ C + ãäå C > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. ε + Ŵ L wk;m 4 j,ν ν ψ,.4 Äîêàçàòåëüñòâî.Êàê è ï è äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû., âûáå åì èñëî t 0 > 0 òàê, òîáû âûïîëíßëîñü íå àâåíñòâî.9. Îáîçíà èì V = Ŵt 0,. Ïóñòü a j = Èç.6 ñëåäó ò îöåíêè + ε + Ŵ L wk;m 4 j, j =l, l +,.... V aj, L K;M 4 8a j Ŵt 0, L w K;M 4. Áóäåì äàëåå ñ èòàòü, òî κ0 8. Ïóñòü κ κ 0. Âûáå åì èñëî s 0 N òàê, òî 8 s 0 κ κ + < 8 s0+ κ. Äëß èñåë s = 0,,...,s 0 îï åäåëèì èñëà κ s = 8 s κ. Îáîçíà èì. s L s = Lκ ; L s s + ln κ ln. èñëî κ 0 áóäåò âûáè àòüñß äîñòàòî íî áîëü èì òàê, òîáû äëß èñëà s 0 ï è âñåõ κ κ 0 âûïîëíßëèñü íå àâåíñòâà s 0 L s 0 l + 6s 0 L s ln κ + < 8 + < 0 + s 0 ln s 0 äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèß íà âûáî èñëà κ 0 áóäóò ï èâåäåíû â äàëüíåé åì. Ñï àâåäëèâû îöåíêè s 0 s 0 s =0 L s j =l a j κ s π n < 8κ s V aj, n M 4 L s0 s 0 j =l s 0 a j s =0 κ s π n < 8κ s V aj, n M 4 L s0 s 0 j =l a j κ 0 π n < 8κ s 0 V aj, n M 4 4 L s0 mes K s 0 j =l a j V aj, L K;M 4 6
16 mes K L s0 l +Ŵt s 0, + L 0 w K;M 640 mes K 4 Ŵt 0, L w K;M 4, èç êîòî ûõ âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èñëà s {0,,...,s 0 } òàêîãî, òî L s j =l a j κ s π n < 8κ s V aj, n + M mes K Ŵt 0, L w K;M 4..5 Îï åäåëèì ôóíêöèè 0, åñëè ξ< Ls, R ξ G s ξ = ξ + +λ, åñëè λ ξ< λ,λ= l +,...,L s, ξ + +l, åñëè ξ l, è ï è âñåõ κ [κ s, κs ] îáîçíà èì Fκ = Fκ = κ s L s j =l κ s a j κ s π n < 8κ s κ s π n < 8κ s G s κ π n V aj, n M 4, G s κ π n Ŵt 0, n M 4. Òàê êàê ï è âñåõ ξ< l èìååò ìåñòî îöåíêà G s ξ < ξ +l,òî è, ñëåäîâàòåëüíî ñì..5, s s κ κ κ s G s κ π n dκ 4 κ s s s κ κ Fκ dκ mesk κ s s s κ κ κ s Fκ dκ 4 Îòêóäà âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èñëà κ [κ s â äàëüíåé åì, äëß êîòî îãî κ s π n < 8κ s, κs Ŵt 0, L wk;m 4, Ŵt 0, n M 4. ] èìåííî òàêîå èñëî àññìàò èâàåòñß Fκ 50 + mesk Ŵt 0, L wk;m 4,.6 Fκ 8 Ŵt 0, n M 4..7 κ s π n < 8κ s Ñ ä óãîé ñòî îíû, òàê êàê äëß âñåõ, ν = l,...,lκ è âñåõ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ + max {,ν}, ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî κ + +max {,ν} π n G s κ π n, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ π n κ + max {,ν}, κ π n < 4κ V aj,ν, n M 4 κ + +max {,ν} π n κ s π n < 8κ s G s κ π n V aj,ν, n M 4, 7
17 π n κ + max {,ν}, κ π n < 4κ Ŵt 0, n M 4 κ + +max {,ν} π n κ s π n < 8κ s G s κ π n Ŵt 0, n M 4. Ïî òîìó èç. è.6,.7 äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõk Ke èâñåõψ L K; C 4 ïîëó àåì + κ, out + V a j,ν, ν ψ c 8 Ŵt 0, L wk;m 4 a j,ν j,ν ν ψ =.8 + κ, out V t 0, ν ψ c 9 mes K ãäå c 8 = 070 c 7,c 9 =48 c 7. Ï è ï. â. x R + = c 8 Ŵt 0, L w K;M 4 j,ν κ π n < κ + ν ψ, κ, out V a j,ν, x M 4 +π Ω L R aj,ν. Ŵt 0, n M 4 j,ν ν ψ,.9 Ñëåäîâàòåëüíî, + κ, out V a j,ν, ν ψ.0 Òàê êàê Ŵ κ, out t 0, +π + Ω L R = Ŵt 0, L w K;M 4 j,ν ν ψ. κ, out κ, out V a j,ν, + V a j,ν,, òî èç.8 è.0 äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 âûòåêàåò îöåíêà + κ, out Ŵt 0, ν ψ C + ãäå C = c 8 ++π Ω L R. Ïóñòü òåïå ü J Z íàèìåíü åå èñëî, äëß êîòî îãî Ï è ï. â. x R âûïîëíßåòñß íå àâåíñòâî ε + Ŵ L wk;m 4 j,ν ν ψ,. +π Ω L R t0 ε C + J. κ, out Ŵ t 0, x M4 +π Ω L R t0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëß âñåõ èñåë, ν = l,...,lκ, äëß êîòî ûõ j, ν J, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 + κ, out Ŵt 0, ν ψ ε C + j,ν ν ψ.. Ñ ä óãîé ñòî îíû, ñóùåñòâóåò êîíå íîå èëè ïóñòîå ìíîæåñòâî Q J óïî ßäî åííûõ ïà, ν èñåë, ν = l,...,lκ, äëß êîòî ûõ j, ν <J, è äëß òàêèõ ïà êàê è ï è äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû. max{, ν} <J l. Äëß êàæäîé óïî ßäî åííîé ïà û, ν Q J ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî.9. Ï è òîì κ π n < κ + Ŵt 0, n M 4 0 8
18 ï è κ +. Ïî òîìó ï è âûáî å äîñòàòî íî áîëü îãî èñëà κ 0 > 4 â çàâèñèìîñòè îò å åòêè Λ, ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ è èñåë ε, è ï è ë áîì κ κ 0 äëß îï åäåëåííîãî âû å èñëà κ [κ, κ + ] èç îöåíêè.9 ï è âñåõ, ν Q J ñëåäóåò îöåíêà.. Íî òîãäà îöåíêà. ñï àâåäëèâà ï è âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4. Äîêàçûâàåìàß îöåíêà.4 òåïå ü ñëåäóåò ï è âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 èç. è., òàê êàê Ŵ κ, out κ, out κ, out = Ŵt 0, + Ŵt 0,.  ñèëó àâåíñòâà Ŵ = Ŵ κ, in + Ŵ κ, out òåî åìà. ßâëßåòñß ñëåäñòâèåìòåî åì. è.. Ñïèñîê ëèòå àòó û. Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâ åìåííîé ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ò. : Ãà ìîíè åñêèé àíàëèç. Ñàìîñîï ßæåííîñòü. Ì.: Ìè, ñ.. Êàòî Ò. Òåî èß âîçìóùåíèé ëèíåéíûõ îïå àòî îâ. Ì.: Ìè, 97.. Äàíèëîâ Ë.È. Ñïåêò îïå àòî à Äè àêà ñ ïå èîäè åñêèì ïîòåíöèàëîì. VI / ÔÒÈ Ó Î ÐÀÍ. Èæåâñê, ñ. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ..996, 855- KuchmentP. Floquet theory for partial differential equations // Oper. Theory Adv. Appl. Vol. 60. Basel: BirkhΞauser Verlag, 99. DOI: 0.007/ Filonov N., Sobolev A.V. Absence of singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals // Çàï. íàó í. ñåìèí. ÏÎÌÈ Ò. 8. Ñ Áè ìàí Ì.., Ñóñëèíà Ò.À. Ïå èîäè åñêèé ìàãíèòíûé ãàìèëüòîíèàí ñ ïå åìåííîé ìåò èêîé. Ï îáëåìà àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè // Àëãåá à è àíàëèç Ò... Ñ Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 00. Vol. 54. No.. P DOI: 0.090/S Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators // Bull. Amer. Math. Soc. 06. Vol. 5. No.. P DOI: 0.090/bull/58 9. Äàíèëîâ Ë.È. Î ñïåêò å îïå àòî à Äè àêà âr n ñ ïå èîäè åñêèì ïîòåíöèàëîì // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà Ò Ñ Äàíèëîâ Ë.È. Îöåíêè åçîëüâåíòû è ñïåêò îïå àòî à Äè àêà ñ ïå èîäè åñêèì ïîòåíöèàëîì // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà Ò. 0.. Ñ... Äàíèëîâ Ë.È. Àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Äèôôå- åíö. ó àâíåíèß Ò. 6.. Ñ Äàíèëîâ Ë.È. Î ñïåêò å äâóìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà Ò. 8.. Ñ. 4.. Birman M.Sh., Suslina T.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous // Integr. Equat. Oper. Theory Vol. 4. P DOI: 0.007/BF Äàíèëîâ Ë.È. Î ñïåêò å ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà Ò. 4..Ñ Äàíèëîâ Ë.È. Îá îòñóòñòâèè ñîáñòâåííûõ çíà åíèé â ñïåêò å îáîáùåííîãî äâóìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Àëãåá à è àíàëèç Ò. 7.. Ñ Äàíèëîâ Ë.È. Îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ò åõìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè- àêà // Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ Âûï. 5. C Äàíèëîâ Ë.È. Àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ìíîãîìå íîãî ïå èîäè åñêîãî ìàãíèòíîãî îïå àòî à Äè àêà // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè Âûï.. C DOI: 0.057/vm Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators // Trans. Amer. Math. Soc Vol. 60. No. 4. P DOI: 0.090/S X 9. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a d-dimensional periodic magnetic Dirac operator // arxiv: [math-ph] Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a D periodic magnetic Dirac operator // Integr. Equat. Oper. Theory. 0. Vol. 7. P DOI: 0.007/s z. Äàíèëîâ Ë.È. Îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ îïå àòî îâ Ξåäèíãå à è Äè- àêà. I / ÔÒÈ Ó Î ÐÀÍ. Èæåâñê, ñ. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ , 68-Â00.. Ðèõòìàéå Ð. Ï èíöèïû ñîâ åìåííîé ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ò.. Ì.: Ìè, ñ.. Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâ åìåííîé ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ò. 4: Àíàëèç îïå àòî îâ. Ì.: Ìè, ñ. 4. Ãåëüôàíä È.Ì. Ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèßì ó àâíåíèé ñ ïå èîäè åñêèìè êî ôôèöèåíòàìè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ Ò Ñ Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 97. Vol.. P DOI: 0.007/BF
19 Ïîñòóïèëà â åäàêöè Äàíèëîâ Ëåîíèä Èâàíîâè, ê. ô.-ì. í., ñòà èé íàó íûé ñîò óäíèê, Ôèçèêî-òåõíè åñêèé èíñòèòóò Ó Î ÐÀÍ, 46000, Ðîññèß, ã. Èæåâñê, óë. Êè îâà,. L. I. Danilov On the spectrum of a periodic magnetic Dirac operator Keywords: Dirac operator, absolute continuity of the spectrum, periodic potential. MSC00: 5P05 We consider the periodic three-dimensional Dirac operator D + Ŵ = α j i x j A j+ V 0 + V. The vector potential A : R R and the functions V s, s =0,, with values in the space of Hermitian 4 4-matrices are periodic with a common period lattice Λ R. The functions V s are supposed to satisfy the commutation relations V s α j = s α j Vs, j =,,, s =0,. Let K be the fundamental domain of the lattice Λ. We prove absolute continuity of the spectrum of the operator D + Ŵ provided that A H q loc R ; R, q>, or A N < + where A N are the Fourier coefficients of the magnetic potential A, and the function V = V 0 + V belongs to the space L wk and satisfies the estimate mes {x K : V x >t} Ct for all sufficiently large numbers t>0. The constant C>0depends on the A if A 0 then C is a universal constant, and mes is the Lebesgue measure. We can also add a function of the same form with several Coulomb singularities x x m ŵ m in neighborhoods of points x m K, m =,...,m 0, to the function V = V 0 + V provided that this function is continuous for x/ x m +Λ, m =,...,m 0, and ŵ m C for all m. The constant C > 0 also depends on the magnetic potential A and does not depend on the m 0. REFERENCES. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II: Fourier analysis, self-adjointness, New York: Academic Press, p. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom II: Garmonicheskii analiz. Samosopryazhennost', Moscow: Mir, 978, 400 p.. Kato T. Perturbation theory for linear operators, Berlin: Springer Verlag, 976. DOI: 0.007/ Danilov L.I. The spectrum of the Dirac operator with periodic potential. VI, Physical-Technical Institute of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, 996, 45 p. Deposited in VINITI..996, no. 855-B96 in Russian. 4. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations, Oper. Theory Adv. Appl., vol. 60. Basel: BirkhΞauser Verlag, 99. DOI: 0.007/ Filonov N., Sobolev A.V. Absence of singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals, J. Math. Sci., 006, vol. 6, pp DOI: 0.007/s x 6. Birman M.Sh., Suslina T.A. Periodic magnetic Hamiltonian with variable metric. The problem of absolute continuity, St. Petersburg Math. J., 000, vol., no., pp Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc., 00, vol. 54, no., pp DOI: 0.090/S Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators, Bull. Amer. Math. Soc., 06, vol. 5, no., pp DOI: 0.090/bull/58 9. Danilov L.I. Spectrum of the Dirac operator in R n with periodic potential, Theoret. and Math. Phys., 990, vol. 85, no., pp DOI: 0.007/BF Danilov L.I. Resolvent estimates and the spectrum of the Dirac operator with periodic potential, Theoret. and Math. Phys., 995, vol. 0, no., pp DOI: 0.007/BF Danilov L.I. Absolute continuity of the spectrum of a periodic Dirac operator, Differential Equations, 000, vol. 6, no., pp DOI: 0.007/BF0754. Danilov L.I. On the spectrum of a two-dimensional periodic Dirac operator, Theoret. and Math. Phys., 999, vol. 8, no., pp.. DOI: 0.007/BF Birman M.Sh., Suslina T.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous, Integr. Equ. Oper. Theory, 999, vol. 4, pp DOI: 0.007/BF Danilov L.I. On the spectrum of the periodic Dirac operator, Theoret. and Math. Phys., 000, vol. 4, no., pp DOI: 0.007/BF Danilov L.I. Absence of eigenvalues for the generalized two-dimensional periodic Dirac operator, St. Petersburg Math. J., 006, vol. 7, no., pp DOI: 0.090/S Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a three-dimensional periodic Dirac operator, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 006, no. 5, pp in Russian. 0
20 7. Danilov L.I. Absolute continuity of the spectrum of a multidimensional periodic magnetic Dirac operator, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut Nauki, 008, no., pp in Russian. DOI: 0.057/vm Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators, Trans. Amer. Math. Soc., 008, vol. 60, no. 4, pp DOI: 0.090/S X 9. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a d-dimensional periodic magnetic Dirac operator, 008, arxiv: v [math-ph]. 0. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a D periodic magnetic Dirac operator, Integr. Equ. Oper. Theory, 0, vol. 7, pp DOI: 0.007/s z. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of periodic SchrΞodinger and Dirac operators. I, Physical-Technical Institute of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, 000, 76 p. Deposited in VINITI , no. 68-B00 in Russian.. Richtmyer R.D. Principles of advanced mathematical physics. Vol. I, New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 978. Translated under the title Printsipy sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom I, Moscow: Mir, 98, 488 p.. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. IV. Analysis of operators, New York London: Academic Press, 978. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom IV. Analiz operatorov, Moscow: Mir, 98, 48 p. 4. Gel'fand I.M. Expansion in characteristic functions of an equation with periodic coefficients, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 950, vol. 7, no. 6, pp. 7 0 in Russian. 5. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Commun. Math. Phys., 97, vol., pp DOI: 0.007/BF Received Danilov Leonid Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Physical Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. Kirova,, Izhevsk, 46000, Russia. lidanilov@mail.ru
f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m )
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 517.912, 514.1 c Â. À. Êû îâ ÂËÎÆÅÍÈÅ ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈ ÍÛÕ ÃÅÎÌÅÒÐÈÉ ÄÂÓÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÀÍÃÀ (N, 2) Â ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ
Διαβάστε περισσότεραMath-Net.Ru Общероссийский математический портал
Mth-Net.u Общероссийский математический портал М. Ю. Ватолкин, О собственных функциях и собственных значениях одной квазидифференциальной краевой задачи второго порядка, Изв. ИМИ УдГУ, 25, выпуск 246),
Διαβάστε περισσότεραMath-Net.Ru Общероссийский математический портал
Math-NetRu Общероссийский математический портал А Л Багно, А М Тарасьев, Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом, Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех Компьют науки,
Διαβάστε περισσότερατ i (x ) τ i (x ) N x x τ i (x) τ i (x + I i (x)). Z 0 = {(t, x) R R n : t t 0, x <b 0 }.
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 517.935, 517.938 c SS.. Ëà èíà Î ÑËÀÁÎÉ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ ÅÑÊÎÉ ÓÑÒÎÉ ÈÂÎÑÒÈ ÓÏÐÀÂËSSÅÌÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÅÌ 1 Ï îäîëæåíî
Διαβάστε περισσότεραÑ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009
Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009 Ñîäå æàíèå Òåìà 1 À èôìåòè åñêèå äåéñòâèß íàä âåêòî àìè...
Διαβάστε περισσότεραz ); (h ˆ,h ) = arccos h,h ˆ,h ) [0,π]; α A (z )= max (h z = 0 R 2. Òîãäà Ω A (z ) = {z R : z = 1}, co Ω A (z ) z = {z R 2 : z 1}, z < 1.
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 514.74 c Â. Í. Ó àêîâ, À. À. Óñïåíñêèé α-ìíîæåñòâà Â ÊÎÍÅ ÍÎÌÅÐÍÛÕ ÅÂÊËÈÄÎÂÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ È ÈÕ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 1 Ï èâîäèòñß ïîíßòèå
Διαβάστε περισσότεραdf (x) =F (x)dx = f(x)dx.
Ââåäåíèå Íà ßäó ñ ïîèñêîì ïî çàäàííîé ôóíêöèè åå ï îèçâîäíîé, òî ßâëßåòñß çàäà åé äèôôå åíöèàëüíîãî èñ èñëåíèß, àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â îá àòíîé îïå àöèè âîññòàíîâëåíèè ôóíêöèè ïî åå ï îèçâîäíîé.
Διαβάστε περισσότεραy(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n,
ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÊÎÌÈÒÅÒ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÎ ÂÛÑ ÅÌÓ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈ ÊÐÀÑÍÎSSÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Íà ï àâàõ óêîïèñè ÓÄÊ 519.6 ÐÎÃÀËΞÅÂ ÀËÅÊÑÅÉ ÍÈÊÎËÀÅÂÈ ÂÅÐÕÍÈÅ È ÍÈÆÍÈÅ ÎÖÅÍÊÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÅ ÅÍÈÉ
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä Œμ Ìμ. ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2017.. 48.. 5.. 740Ä744 ˆ Œˆ ƒ Š Œ ˆ Œˆ ˆŸ ˆ ˆ ˆŸ ˆˆ ƒ ˆ Šˆ ˆ.. Œμ Ìμ ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö ±μ³ ² ± ÒÌ ³μ ʲÖÌ Ð É Ò³ ² ³ Š² ËËμ Î É μ - ³ μ É Ò Ë ³ μ Ò ³ Ò Å ²μ ÉÉ. Ì
Διαβάστε περισσότεραÓÄÊ Ïå àòàåòñß ïî å åíè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èíñòèòóòà ôèçèêè Êàçàíñêîãî ôåäå àëüíîãî óíèâå ñèòåòà Ðåöåíçåíòû: Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. í
Êàçàíñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò A.È. Åãî îâ, Ð. Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò. Í. Ïàíê àòüåâà ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈSS ÄËSS ÈÍÆÅÍÅÐÍÛÕ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈÉ Ìåòîäè åñêîå ïîñîáèå Êàçàíü - 2013 ÓÄÊ 517.91 Ïå àòàåòñß ïî å
Διαβάστε περισσότεραÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ  ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ
À.Â. Ïëÿñóíîâ Ðàâíîâåñèÿ Íýøà è Øòàêåëüáåðãà Ñâåòëîãîðñê 2015 1 / 12 ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ Þ.À. Êî åòîâ, À.Â. Ïëÿñóíîâ, Ä.Ä. âîêè Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè
Διαβάστε περισσότεραX Y = {X Y : X X} P. π[e] = { E P ( P(E) ) ( E)&(E E)&(A B E A E B E) } (1.1) (alg)[e] = {L π[e] E \ L L L L}, (1.2) (top)[e] = G τ G P (τ).
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 519.6 c Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈSS ÑÂÎÁÎÄÍÛÕ ÓËÜÒÐÀÔÈËÜÒÐÎÂ 1 Ðàññìàò èâà òñß êîíñò óêöèè, ñâßçàííûå
Διαβάστε περισσότεραK8(03) 99
åëßáèíñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ã.À.Ñâè èä ê Â.Å.Ôåäî îâ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ àñòü I Ó åáíîå ïîñîáèå åëßáèíñê 1999 Ìèíèñòå ñòâî îáùåãî è ï îôåññèîíàëüíîãî îá àçîâàíèß Ðîññèéñêîé Ôåäå àöèè åëßáèíñêèé
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραf(n) cf + bg(n)+dn, kf(n) f(kn), k>1. f(n) f + b g(n)+d n,
ÏÎ ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÈÌ ËÅÊÖÈÈ Â ÊÐÈÏÒÎÃÐÀÔÈÈ ÀËÃÎÐÈÒÌÀÌ åäàêòî À. Á. Ï êó Íàó íûé åäàêòî Â. óâàëîâ Òåõí åñêé Ìîñêîâñêîãî Öåíò à Èçäàòåëüñòâî ìàòåìàò åñêîãî îá àçîâàíß íåï å ûâíîãî â ïå àòü 11.11.00 ã. Ôî ìàò
Διαβάστε περισσότεραUDC. An Integral Equation Problem With Shift of Several Complex Variables 厦门大学博硕士论文摘要库
ß¼ 0384 9200852727 UDC Î ± À» An Integral Equation Problem With Shift of Several Complex Variables Û Ò ÖÞ Ô ²» Ý Õ Ø ³ÇÀ ¼ 2 0 º 4 Ñ ³ÇÙÐ 2 0 º Ñ Ä ¼ 2 0 º Ñ ÄÞ Ê Ã Ö 20 5  Š¾ º ½ É É Ç ¹ ¹Ý É ½ ÚÓÉ
Διαβάστε περισσότεραJ. of Math. (PRC) Banach, , X = N(T ) R(T + ), Y = R(T ) N(T + ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 5
Vol. 37 ( 2017 ) No. 5 J. of Math. (PRC) 1,2, 1, 1 (1., 225002) (2., 225009) :. I +AT +, T + = T + (I +AT + ) 1, T +. Banach Hilbert Moore-Penrose.. : ; ; Moore-Penrose ; ; MR(2010) : 47L05; 46A32 : O177.2
Διαβάστε περισσότεραMath-Net.Ru Общероссийский математический портал
Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. И. Сафонов, О. В. Холостова, О периодических движениях гамильтоновой системы в окрестности неустойчивого равновесия в случае двойного резонанса третьего
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραMath-Net.Ru Общероссийский математический портал
Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Д. В. Корнев, Численные методы решения дифференциальных игр с нетерминальной платой, Изв. ИМИ УдГУ, 2016, выпуск 248), 82 151 Использование Общероссийского
Διαβάστε περισσότεραACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (
35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä
Διαβάστε περισσότεραA summation formula ramified with hypergeometric function and involving recurrence relation
South Asian Journal of Mathematics 017, Vol. 7 ( 1): 1 4 www.sajm-online.com ISSN 51-151 RESEARCH ARTICLE A summation formula ramified with hypergeometric function and involving recurrence relation Salahuddin
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320
Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 3(18).. 313Ä32 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆŸ ƒ ƒ Ÿ ˆ Š ˆ Šˆ Š ŒŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ.. μ a, Œ.. Œ Í ± μ,. ƒ. ²Ò ± a ˆ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ μ ±μ ± ³ ʱ, Œμ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 2(214).. 171Ä176. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ
Ó³ Ÿ. 218.. 15, º 2(214).. 171Ä176 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆ ˆ ˆ Š Š Œ Œ Ÿ ˆ Š ˆ Š ˆ ˆŠ Œ œ ˆ.. Š Ö,, 1,.. ˆ μ,,.. μ³ μ,.. ÉÓÖ μ,,.š. ʳÖ,, Í μ ²Ó Ò ² μ É ²Ó ± Ö Ò Ê É É Œˆ ˆ, Œμ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ ± Ê É
Διαβάστε περισσότεραOn the Galois Group of Linear Difference-Differential Equations
On the Galois Group of Linear Difference-Differential Equations Ruyong Feng KLMM, Chinese Academy of Sciences, China Ruyong Feng (KLMM, CAS) Galois Group 1 / 19 Contents 1 Basic Notations and Concepts
Διαβάστε περισσότεραŒ ˆ Œ Ÿ Œˆ Ÿ ˆŸŒˆ Œˆ Ÿ ˆ œ, Ä ÞŒ Å Š ˆ ˆ Œ Œ ˆˆ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 018.. 49.. 4.. 907Ä917 Œ ˆ Œ Ÿ Œˆ Ÿ ˆŸŒˆ Œˆ Ÿ ˆ œ, Ä ÞŒ Å Š ˆ ˆ Œ Œ ˆˆ.. ³μ, ˆ. ˆ. Ë μ μ,.. ³ ʲ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å μ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö μ ² Ìμ μé Ê Ö ±
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότερα6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
Διαβάστε περισσότεραUniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor
Uniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor Given f L 1 T 1 ), we consider the partial sums of the Fourier series of f: N 1) S N fθ) = ˆfk)e ikθ. k= N A calculation gives the Dirichlet formula
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραŠ Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2010.. 41.. 1 Š ƒ ˆ ˆŸ Å Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. ÉÉÊ,. Ê μ μ ± Ö μ Í Ö Ö ÒÌ
Διαβάστε περισσότεραu = g(u) in R N, u > 0 in R N, u H 1 (R N ).. (1), u 2 dx G(u) dx : H 1 (R N ) R
2017 : msjmeeting-2017sep-05i002 ( ) 1.. u = g(u) in R N, u > 0 in R N, u H 1 (R N ). (1), N 2, g C 1 g(0) = 0. g(s) = s + s p. (1), [8, 9, 17],., [15] g. (1), E(u) := 1 u 2 dx G(u) dx : H 1 (R N ) R 2
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραU(t,x) R m w i, i = 1,2,... t = τ i W R p º f(t,x,u) g(x,w) (t,x,u) [t 0,+ ) R n R m (x,w) R n R p ¹ U(t,x) (t,x) [t 0,+ ) R n
¾¼½ º þ º ¾ µ ½ º º º ü üü üþ þ þ º º ¹ º ¹ º þ ½ ¹ M. = { (tx) [t 0 ) R n : x M(t) } ¹ º ¹ Mº x(tx 0 ) freq(x) ¹ M [0] x(tx 0 ) M(t) º ¹ freq (x) freq (x)º ¹ κ κ [0] ¹ º þ ¹ freq (x) κ freq (x) κ. ¹ º
Διαβάστε περισσότεραTridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008
Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
Ó³ Ÿ. 2006.. 3, º 2(131).. 105Ä110 Š 537.311.5; 538.945 Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆŠ ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ œ ƒ Œ ƒ ˆ ˆ Š ˆ 4 ². ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ³ É É Ö μ ² ³ μ É ³ Í ² Ö Ê³ μ μ ³ É μ μ μ²ö
Διαβάστε περισσότεραHartree-Fock Theory. Solving electronic structure problem on computers
Hartree-Foc Theory Solving electronic structure problem on computers Hartree product of non-interacting electrons mean field molecular orbitals expectations values one and two electron operators Pauli
Διαβάστε περισσότεραThe Negative Neumann Eigenvalues of Second Order Differential Equation with Two Turning Points
Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, 009, no., 6-66 The Negative Neumann Eigenvalues of Second Order Differential Equation with Two Turning Points A. Neamaty and E. A. Sazgar Department of Mathematics,
Διαβάστε περισσότεραDiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation
DiracDelta Notations Traditional name Dirac delta function Traditional notation x Mathematica StandardForm notation DiracDeltax Primary definition 4.03.02.000.0 x Π lim ε ; x ε0 x 2 2 ε Specific values
Διαβάστε περισσότεραL p approach to free boundary problems of the Navier-Stokes equation
L p approach to free boundary problems of the Navier-Stokes equation e-mail address: yshibata@waseda.jp 28 4 1 e-mail address: ssshimi@ipc.shizuoka.ac.jp Ω R n (n 2) v Ω. Ω,,,, perturbed infinite layer,
Διαβάστε περισσότεραSPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS
SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±
Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραP ² ± μ. œ Š ƒ Š Ÿƒ ˆŸ Œ œ Œ ƒˆ. μ²μ μ Œ Ê μ μ ±μ Ë Í μ É Í ±μ ³μ²μ (RUSGRAV-13), Œμ ±, Õ Ó 2008.
P3-2009-104.. ² ± μ ˆ ˆ Š Š ˆ œ Š ƒ Š Ÿƒ ˆŸ Œ œ Œ ƒˆ μ²μ μ Œ Ê μ μ ±μ Ë Í μ É Í ±μ ³μ²μ (RUSGRAV-13), Œμ ±, Õ Ó 2008. ² ± μ.. ²μ μ ± μé±²μ μé ÓÕÉμ μ ±μ μ ±μ ÉÖ μé Ö μ³μðóõ É μ μ ³ ²ÒÌ Ô P3-2009-104 ÓÕÉμ
Διαβάστε περισσότεραŒˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ
Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 176Ä189 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ.. Š μ,. ˆ. Š Î 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μé ³ É É Ö μ²êî μ μ μ μ μ ² Ö Êα ÉÖ ²ÒÌ μ μ ÊÐ Ö ³ Ï μ³μðóõ ± μ Ö Êα μ μ Ì μ É. ± μ μ ÊÐ
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραAdachi-Tamura [4] [5] Gérard- Laba Adachi [1] 1
207 : msjmeeting-207sep-07i00 ( ) Abstract 989 Korotyaev Schrödinger Gérard Laba Multiparticle quantum scattering in constant magnetic fields - propagator ( ). ( ) 20 Sigal-Soffer [22] 987 Gérard- Laba
Διαβάστε περισσότεραThe ε-pseudospectrum of a Matrix
The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότεραSingle-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square
1 215 1 Journal of East China Normal University Natural Science No. 1 Jan. 215 : 1-56412151-95-8,, 71119 :, Hilbert. : ; ; : O177.2 : A DOI: 1.3969/j.issn.1-5641.215.1.11 Single-value extension property
Διαβάστε περισσότεραN. P. Mozhey Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics NORMAL CONNECTIONS ON SYMMETRIC MANIFOLDS
Òðóäû ÁÃÒÓ 07 ñåðèÿ ñ. 9 54.765.... -. -. -. -. -. : -. N. P. Mozhey Belarusian State University of Inforatics and Radioelectronics NORMAL CONNECTIONS ON SYMMETRIC MANIFOLDS In this article we present
Διαβάστε περισσότεραP É Ô Ô² 1,2,.. Ò± 1,.. ±μ 1,. ƒ. ±μ μ 1,.Š. ±μ μ 1, ˆ.. Ê Ò 1,.. Ê Ò 1 Œˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö
P11-2015-60. É Ô Ô² 1,2,.. Ò± 1,.. ±μ 1,. ƒ. ±μ μ 1,.Š. ±μ μ 1, ˆ.. Ê Ò 1,.. Ê Ò 1 Œ Œ ˆ Š Œ ˆ ˆ Œˆ ˆŸ ƒ Š ˆŒ Š ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 Œμ μ²ó ± μ Ê É Ò
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 7(163).. 855Ä862 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. . ƒ. ² ͱ 1,.. μ μ Íμ,.. μ²ö,.. ƒ² μ,.. ² É,.. ³ μ μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Œμ μ μ,. Œ.
Ó³ Ÿ. 2010.. 7, º 7(163).. 855Ä862 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ œ ˆŠ Ÿ ˆŸ Š Ÿ Š. ƒ. ² ͱ 1,.. μ μ Íμ,.. μ²ö,.. ƒ² μ,.. ² É,.. ³ μ μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Œμ μ μ,. Œ. Ð ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ Ö ± É μ É Êα Ê ±μ ÒÌ μéμ μ
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä ƒ ² ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ô É Î ± Ì Ö ÒÌ ² μ Å μ Ò Í μ ²Ó μ ± ³ ʱ ²μ Ê, Œ ±
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 017.. 48.. 6.. 934Ä940 ˆ Š Ÿ Š ˆ ˆ ˆ ˆ ƒ Ÿ.. ƒ ² ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ô É Î ± Ì Ö ÒÌ ² μ Å μ Ò Í μ ²Ó μ ± ³ ʱ ²μ Ê, Œ ± μ μ Ò ÕÉ Ö μ ³μ μ ÉÓ ±ÉÊ ²Ó μ ÉÓ É μ É ²Ó É É μ μ É ±- Éμ Ö μ³ ²μ Ê ±μ.
Διαβάστε περισσότεραMock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =
Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n
Διαβάστε περισσότεραHigh order interpolation function for surface contact problem
3 016 5 Journal of East China Normal University Natural Science No 3 May 016 : 1000-564101603-0009-1 1 1 1 00444; E- 00030 : Lagrange Lobatto Matlab : ; Lagrange; : O41 : A DOI: 103969/jissn1000-56410160300
Διαβάστε περισσότερα([28] Bao-Feng Feng (UTP-TX), ( ), [20], [16], [24]. 1 ([3], [17]) p t = 1 2 κ2 T + κ s N -259-
5,..,. [8]..,,.,.., Bao-Feng Feng UTP-TX,, UTP-TX,,. [0], [6], [4].. ps ps, t. t ps, 0 = ps. s 970 [0] []. [3], [7] p t = κ T + κ s N -59- , κs, t κ t + 3 κ κ s + κ sss = 0. T s, t, Ns, t., - mkdv. mkdv.
Διαβάστε περισσότεραCongruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
Διαβάστε περισσότεραṙ 1 = v +grad ϕ(r) r=ri a v 1 = λ 1 ( ỹ 1 ẏ 1 ), a v 2 = λ 1 ( x 1 ẋ 1 ) ag, arctg x x 1 r 2 (r, v)+λ 1 arctg
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 512.77, 517.912 c Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ ÕÀÎÒÈ ÅÑÊÎÅ ÐÀÑÑÅSSÍÈÅ ÒÎ Å ÍÎÃÎ ÂÈÕÐSS ÊÐÓÃÎÂÛÌ ÖÈËÈÍÄÐÈ ÅÑÊÈÌ ÒÂÅÐÄÛÌ ÒÅËÎÌ,
Διαβάστε περισσότεραˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ
Ó³ Ÿ. 2007.. 4, º 5(141).. 719Ä730 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ Š Œ Œ ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ ÖÉ Ö Ê²ÓÉ ÉÒ μéò μ ³ Õ ±μ Í É Í CO 2 O 2 ϲ μì
Διαβάστε περισσότερα, ν C = ν 2 + ν 1 a. ω = ψ, ds dt = ν Ck(s)., ν C = (ω 2 + ω 1 )R. R + ν Ck(s)a. k = dt, ϕ 2 = x = t, y = t 2, 0 t 5, 0 1+4t 2 dt.
ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 531.1 c Ñ. À. Áå åñòîâà, Í. Å. Ìèñ à, Å. À. Ìèò îâ ÊÈÍÅÌÀÒÈ ÅÑÊÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅÌ ÊÎËÅÑÍÛÕ ÒÐÀÍÑÏÎÐÒÍÛÕ ÑÐÅÄÑÒÂ Â àáîòå
Διαβάστε περισσότεραPrey-Taxis Holling-Tanner
Vol. 28 ( 2018 ) No. 1 J. of Math. (PRC) Prey-Taxis Holling-Tanner, (, 730070) : prey-taxis Holling-Tanner.,,.. : Holling-Tanner ; prey-taxis; ; MR(2010) : 35B32; 35B36 : O175.26 : A : 0255-7797(2018)01-0140-07
Διαβάστε περισσότεραTakeaki Yamazaki (Toyo Univ.) 山崎丈明 ( 東洋大学 ) Oct. 24, RIMS
Takeaki Yamazaki (Toyo Univ.) 山崎丈明 ( 東洋大学 ) Oct. 24, 2017 @ RIMS Contents Introduction Generalized Karcher equation Ando-Hiai inequalities Problem Introduction PP: The set of all positive definite operators
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä616 Š ˆŒ CMS LHC
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2017.. 48.. 5.. 604Ä616 œ ˆ Š ˆ ˆ ˆ Š ˆŒ CMS LHC ˆ.. ƒμ²êé 1,.. ³ Éμ 1,2, 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 ƒμ Ê É Ò Ê É É Ê, Ê, μ Ö É ² Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Ô± ³ É CMS, μ²êî Ò μ μ ÒÌ - μ μ Í ±² μéò LHC
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD
CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.
Διαβάστε περισσότεραECE Spring Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes 2
ECE 634 Spring 6 Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes Fields in a Source-Free Region Example: Radiation from an aperture y PEC E t x Aperture Assume the following choice of vector potentials: A F = =
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
Διαβάστε περισσότεραJ. of Math. (PRC) 6 n (nt ) + n V = 0, (1.1) n t + div. div(n T ) = n τ (T L(x) T ), (1.2) n)xx (nt ) x + nv x = J 0, (1.4) n. 6 n
Vol. 35 ( 215 ) No. 5 J. of Math. (PRC) a, b, a ( a. ; b., 4515) :., [3]. : ; ; MR(21) : 35Q4 : O175. : A : 255-7797(215)5-15-7 1 [1] : [ ( ) ] ε 2 n n t + div 6 n (nt ) + n V =, (1.1) n div(n T ) = n
Διαβάστε περισσότεραdx dt = f(t,x), t [0,T], (1) g ( x(0),x(t) ) = T, (2)
ISSN 16820525 Ì À Ò Å Ì À Ò È Ê À Ë Û Æ Ó Ð Í À Ë Ì À Ò Å Ì À Ò È Å Ñ Ê È É Æ Ó Ð Í À Ë M A T H E M A T I C A L J O U R N A L 2010 òîì 10 1 35 Èçäàåòñÿ ñ 2001 ãîäà Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÌÎ è Í ÐÊ Àëìàòû
Διαβάστε περισσότεραADVANCED STRUCTURAL MECHANICS
VSB TECHNICAL UNIVERSITY OF OSTRAVA FACULTY OF CIVIL ENGINEERING ADVANCED STRUCTURAL MECHANICS Lecture 1 Jiří Brožovský Office: LP H 406/3 Phone: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
Διαβάστε περισσότεραP Ò±,. Ï ± ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ. Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ. ² μ Ê ². Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï
P15-2012-75.. Ò±,. Ï ± ˆ Œ ˆŸ ˆ, š Œ ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ ˆ ˆ, Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ ² μ Ê ² Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï Ò±.., Ï ±. P15-2012-75 ˆ ³ Ö μ Ì μ É, μ Ñ ³ ÒÌ μ É Ì ³ Î ±μ μ μ É μ Íμ Ö ÕÐ
Διαβάστε περισσότερα( y) Partial Differential Equations
Partial Dierential Equations Linear P.D.Es. contains no owers roducts o the deendent variables / an o its derivatives can occasionall be solved. Consider eamle ( ) a (sometimes written as a ) we can integrate
Διαβάστε περισσότεραLifting Entry (continued)
ifting Entry (continued) Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion Planar state equations MARYAN 1 01 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu
Διαβάστε περισσότερασ 2 = 1 N i=1 x = ae ie, E = n(t t 0 )+E 0, n = μ/a 3, (3)
1 ÓÄÊ 523.24 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÎÐÁÈÒ ÁËÈÇÊÈÕ ÑÏÓÒÍÈÊÎÂ ÏÈÒÅÐÀ c 27 ã. Àâä åâ Â.À., Áàíüùèêîâà Ì.À. ÍÈÈ ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Òîìñêîãî ãîñóíèâå ñèòåòà, ï. Ëåíèíà, 36, Òîìñê, Ðîññèß, 6345; e-mail: astrodep@niipmm.tsu.ru
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 7(163).. 793Ä797 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. Ëμ μ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œμ ±
Ó³ Ÿ. 2010.. 7, º 7(163).. 793Ä797 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Š ˆ œ Š Œ ˆ Œ.. Ëμ μ Î ± É ÉÊÉ ³..., Œμ ± ² É Î ± ³μÉ μ Ëμ ³ μ ²Ó μéμî ÒÌ Ô² ±É μ ÒÌ Êαμ, Ö ±μéμ ÒÌ Î É Î μ É ² μ μ ³, Éμ± ³, ÒÏ ÕÐ ³ ²Ó μ Î Éμ± ²Ó. Ê
Διαβάστε περισσότεραVol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R
Διαβάστε περισσότερα2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñóùåñòâåííî àñ è åííûé êîíñïåêò ëåêöèé, èòàåìûõ àâòî îì íà ôèçè åñêîì ôàêóëüòåòå Ó àëüñêîãî
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎËSS Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò Ýëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 620016, Ðîññèß, E-mail: sadovski@iep.uran.ru c Ì.Â.Ñàäîâñêèé, 2002 2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë
Διαβάστε περισσότεραBranching form of the resolvent at threshold for discrete Laplacians
Branching form of the resolvent at threshold for discrete Laplacians Kenichi ITO (Kobe University) joint work with Arne JENSEN (Aalborg University) 9 October 2016 Introduction: Discrete Laplacian 1 Thresholds
Διαβάστε περισσότεραŠ Ÿ Š Ÿ Ÿ ˆ Œ ˆŠ -280
Ó³ Ÿ.. 2012.. 9, º 8.. 89Ä97 Š Ÿ Š Ÿ Ÿ ˆ Œ ˆŠ -280 ƒ. ƒ. ƒê²ó ±Ö,.. Ê, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Š ³ÒÏ,. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ³ É É Ö Ò μ±μî ÉμÉ Ö Ê ±μ ÖÕÐ Ö É ³ ÉÒ ³μ μ μ Éμ Ö - ÒÌ ±Í ³. ƒ.. ² μ Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότεραF19MC2 Solutions 9 Complex Analysis
F9MC Solutions 9 Complex Analysis. (i) Let f(z) = eaz +z. Then f is ifferentiable except at z = ±i an so by Cauchy s Resiue Theorem e az z = πi[res(f,i)+res(f, i)]. +z C(,) Since + has zeros of orer at
Διαβάστε περισσότεραÓ³ Ÿ , º 5(147).. 777Ä786. Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ. ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
Ó³ Ÿ. 2008.. 5, º 5(147).. 777Ä786 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ ˆŒˆ Šˆ Œ Š ƒ ˆŒ œ ƒ - Ÿ ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ± μ, ÎÉμ ² ³ Ö Éμ³ μ-ô³ μ μ μ ±É μ³ É μ Ìμ É μ μ ³μ² ±Ê² CN CO 2 N 2. ±
Διαβάστε περισσότερα(, ) (SEM) [4] ,,,, , Legendre. [6] Gauss-Lobatto-Legendre (GLL) Legendre. Dubiner ,,,, (TSEM) Vol. 34 No. 4 Dec. 2017
34 4 17 1 JOURNAL OF SHANGHAI POLYTECHNIC UNIVERSITY Vol. 34 No. 4 Dec. 17 : 11-4543(174-83-8 DOI: 1.1957/j.cnki.jsspu.17.4.6 (, 19 :,,,,,, : ; ; ; ; ; : O 41.8 : A, [1],,,,, Jung [] Legendre, [3] Chebyshev
Διαβάστε περισσότεραA General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence
International Mathematical Forum, 4, 2009, no. 3, 143-149 A General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence Santosh Kr. Saxena H. N. 419, Jawaharpuri, Badaun, U.P., India Presently working in
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραLocal Approximation with Kernels
Local Approximation with Kernels Thomas Hangelbroek University of Hawaii at Manoa 5th International Conference Approximation Theory, 26 work supported by: NSF DMS-43726 A cubic spline example Consider
Διαβάστε περισσότεραJesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Διαβάστε περισσότερα1. 3. ([12], Matsumura[13], Kikuchi[10] ) [12], [13], [10] ( [12], [13], [10]
3. 3 2 2) [2] ) ) Newton[4] Colton-Kress[2] ) ) OK) [5] [] ) [2] Matsumura[3] Kikuchi[] ) [2] [3] [] 2 ) 3 2 P P )+ P + ) V + + P H + ) [2] [3] [] P V P ) ) V H ) P V ) ) ) 2 C) 25473) 2 3 Dermenian-Guillot[3]
Διαβάστε περισσότεραP ² Ì μ Š ˆ Œˆ Š Œ Œˆ. ² μ Ê ² Nuclear Instruments and Methods in Physics Research.
P1-2017-59.. ² Ì μ ˆ Š ˆ ˆ ƒˆ ˆˆ γ-š ƒ Œˆ Š ˆ Œˆ Š Œ Œˆ ² μ Ê ² Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A E-mail: zalikhanov@jinr.ru ² Ì μ.. P1-2017-59 μ ÒÏ ÔËË ±É μ É É Í γ-± Éμ μ
Διαβάστε περισσότεραVol. 40 No Journal of Jiangxi Normal University Natural Science Jul p q -φ. p q
40 4 Vol 40 No 4 206 7 Journal of Jiangxi Normal UniversityNatural Science Jul 206 000-586220604-033-07 p q -φ 2 * 330022 Nevanlinna p q-φ 2 p q-φ p q-φ O 74 52 A DOI0 6357 /j cnki issn000-5862 206 04
Διαβάστε περισσότερα