M = {x 1,x 2,...} M = {x P (x)}.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "M = {x 1,x 2,...} M = {x P (x)}."

Transcript

1 ÝËÅÌÅÍÒÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ êîíñïåêò ëåêöèè (àñòü 1) À.Ñ. Äæóìàäèëüäàåâ 27 ôåâàëß 2005 ã.

2 Îãëàâëåíèå 1 Ìíîæåñòâà Ìíîæåñòâà, ïîäìíîæåñòâà è ëåìåíòû Ïààäîêñ Ðàññåëà Áóëåàí. Äèàãàììû Âåííà Òîæäåñòâà àëãåáû ìíîæåñòâ Çàäàè Îòíîåíèß è ôóíêöèè Äåêàòîâî ïîèçâåäåíèå è îòíîåíèß Îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè Îòíîåíèå ïîßäêà Îïåàöèè íàä îòíîåíèßìè Ôóíêöèè Çàäàè Êîìáèíàòîèêà è òåîèß èñåë Ïèíöèïû ñåòà Ïèíöèï Äèèõëå Çàäàè Ôîìóëà âêëåíèß - èñêëåíèß Çàäàè Áèíîìèàëüíûå êîôôèöèåíòû Çàäàè Ôóíêöèè íà êîíåíûõ ìíîæåñòâàõ Ìàòåìàòèåñêàß èíäóêöèß Çàäàè èñëà Ôèááîíàè Çàäàè Ðåêêóåíòíûå ñîîòíîåíèß Çàäàè Ïîèçâîäßùèå ôóíêöèè Çàäàè Öåëûå èñëà è äåëèìîñòü Çàäàè Ñàâíåíèß Öåïíûå äîáè

3 Çàäàè Ìóëüòèïëèêàòèâíûå ôóíêöèè Çàäàè Ðååíèå óàâíåíèè âöåëûõèñëàõ Çàäàè Êîìïüòåû, ïîñòûå èñëà è êèïòîñèñòåìû Êîìïüòåíûå òåñòû íà ïîñòîòó èñåë Ïîñòûå èñëà, ñîñòîßùèå èç îäíèõ åäèíèö Áèíàíûé ìåòîä âîçâåäåíèå â ñòåïåíü Êèïòîñèñòåìà ñ îòêûòûì êëîì Ýëåêòîííàß ïîäïèñü Àëãåáàèåñêèå ñòóêòóû Ðàññòàíîâêè ñêîáîê Êîììóòàòèâíûå àññòàíîâêè ñêîáîê Àññîöèàòèâíûå àññòàíîâêè ñêîáîê Çàäàè Ãóïïà Çàäàè Êîëüöà è ïîëß Çàäàè Ëîãèêà âûñêàçûâàíèè Áóëåâû ôóíêöèè Çàäàè Áóëåâà àëãåáà Ðååòêè Ïååêëàòåëüíûå ñõåìû Çàäàè Ãàôû Îñíîâíûå îïåäåëåíèß Äååâüß Ýëåêòèåñêèå öåïè è ãàôû Ýéëåîâû ãàôû Ãàìèëüòîíîâû ãàôû Ïëàíàíûå ãàôû Êîäèîâêà äååâüåâ Àëãîèòì Äåéêñòû Çàäàè Ãàôû èóãëåâîäîîäû Òåìû äëß ñàìîñòîßòåëüíûõ àáîò Çàäàè Ëèòåàòóà

4 Êíèæêà ñîäåæèò êîíñïåêò ëåêöèè, ïîèòàííûå â Êàçàõñêî-Òóåöêîì è â Êàçàõñêî-Áèòàíñêîì óíèâåñèòåòàõ ïî êóñó "Äèñêåòíàß ìàòåìàòèêà" çà ïåâûå 7 íåäåëü. Â ëåêöèßõ çàòàãèâàòñß ëåìåíòû òåîèè ìíîæåñòâ, êîìáèíàòîèêè è òåîèè èñåë. Â àñòè 2 áóäóò ïèâåäåíû ëåêöèè çà 8 15 íåäåëü. Â íåé áóäóò îáñóæäåíû ñëåäóùèå òåìû: Àëãåáàèåñêèå ñòóêòóû Ëîãèêà âûñêàçûâàíèè è áóëåâû ôóíêöèè Ýëåìåíòû òåîèè ãàôîâ Àâòî áóäåò ïèçíàòåëåí âñåì çà çàìåàíèß è êîììåíòàèè îá îïåàòêàõ è îèáêàõ, êàê â ìàòåìàòèåñêîì òàê è â ãàììàòèåñêîì ñìûñëàõ. 3

5 Ãëàâà 1 Ìíîæåñòâà 1.1 Ìíîæåñòâà, ïîäìíîæåñòâà è ëåìåíòû Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ëåìåíòîâ. Ýëåìåíòû äîëæíû áûòü àçëèèìû. Ýòî îçíààåò, òî äëß ëáûõ äâóõ ïåäìåòîâ, âõîäßùèõ â äàííîå ìíîæåñòâî, ìû äîëæíû èìåòü âîçìîæíîñòü ñêàçàòü àçëèíû îíè èëè îäèíàêîâû. Ýëåìåíòû äîëæíû áûòü îïåäåëåííû. Óñëîâèå îïåäåëåííîñòè îçíààåò, òî åñëè äàíî êàêîå-òî ìíîæåñòâî è íåêîòîûé ïåäìåò, òî ìîæíî ñêàçàòü ßâëßåòñß ëè äàííûé ïåäìåò ëåìåíòîì àññìàòèâàåìîãî ìíîæåñòâà èëè íåò. Çàïèñü x M îçíààåò, òî ëåìåíò x ïèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M, x M x íå ïèíàäëåæèò M. Ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü äâóìß ñïîñîáàìè: ïååèñëåíèåì èëè îïèñàíèåì. Åñëè M ñîñòîèò èç ëåìåíòîâ x 1,x 2,..., òî ïèóò M = {x 1,x 2,...} Åñëè M ñîñòîèò èç ëåìåíòîâ x òàêèõ, òî âûïîëíåíî íåêîòîîå ñâîéñòâî P (x), òî ïèóò M = {x P (x)}. Êîëèåñòâî ëåìåíòîâ ìíîæåñòâà íàçûâàåòñß ïîßäêîì. Ïîßäîê ìíîæåñòâà A îáîçíààåòñß òàê: A. Ïîßäîê ìîæåò áûòü êîíåíûì èëè áåñêîíåíûì. Íàïèìå, A êîíååí, áîëåå òîíî A =42, åñëè A ìíîæåñòâî áóêâ êàçàõñêîãî àëôàâèòà. Ïèìå áåñêîíåíîãî ìíîæåñòâà N. Ïèìå. N ìíîæåñòâî íàòóàëüíûõ èñåë {1, 2, 3,...} Z ìíîæåñòâî öåëûõ èñåë {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Z + ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòèöàòåëüíûõ èñåë {0, 1, 2,...} Q ìíîæåñòâî àöèîíàëüíûõ èñåë {p/q : p, q Z,q 0} R ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 4

6 C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ èñåë, ò.å., ìíîæåñòâî èñåë âèäà a + bi, ãäå a, b R. Ïèìå. Ìíîæåñòâî "íåäåëß" ìîæíî çàäàòü îïèñàíèåì: "íåäåëß" ñîñòîèò èç äíåé íåäåëè. Âñå çíàò òî òàêîå äíè íåäåëè è òî åñòü êîåêòíîå îïåäåëåíèå ìíîæåñòâà "íåäåëß". Ýòî æå ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü ïååèñëåíèåì âñåõ åãî ëåìåíòîì: "íåäåëß"= ïîíåäåëüíèê, âòîíèê, ñåäà åòâåã, ïßòíèöà, ñóááîòà, âîñêåñåíüå}. Ïèìå. Ìíîæåñòâî "Ãàæäàíå Êàçàõñòàíà" ïîùå çàäàòü îïèñàíèåì. Åñòü ïîñòîé ñïîñîá îïåäåëèòü ãàæäàíñòâî: åëîâåê ïåäúßâëßåò óäîñòîâååíèå ëèíîñòè èëè ïàñïîò. Çàäàòü ìíîæåñòâî "Ãàæäàíå Êàçàõñòàíà" ïååèñëåíèåì çàòóäíèòåëüíî èñòî â òåõíèåñêîì ïëàíå. Íå ñëåäóåò èñêàòü ãëóáîêèé ñìûñë â àçëèèßõ ñïîñîáîâ çàäàíèß ìíîæåñòâ. Ýòè àçëèèß äîñòàòîíî óñëîâíû. Ãëàâíîå äîëæíà áûòü ôôåêòèâíàß ïîöåäóà, êîòîàß ïîçâîëßëà áû âàì îïåäåëèòü ëåæèò ëè àññìàòèâàåìûé ëåìåíò â âàåì ìíîæåñòâå èëè íåò. Ïèìå. Ìíîæåñòâî óìíûõ ëäåé. SSâëßåòñß ëè òî ìíîæåñòâîì â ìàòåìàòè- åñêîì ñìûñëå? Íåò, ïîñêîëüêó íåò ôîìàëüíîé ïîöåäóû, êîòîàß ïîçâîëèëà áû âàì îïåäåëèòü ßâëßåòñß ëè èíòååñóùèé âàñ åëîâåê óìíûì èëè íåò. Ïèìå. Åäèíèíûé êâàäàò ìîæíî çàäàòü èñóíêîì íà êîîäèíàòíîé ïëîñêîñòè y èëè â âèäå ìíîæåñòâà ååíèè íåàâåíñòâ x 1 {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}, èëè, åùå ïîùå, â âèäå ååíèè íåàâåíñòâ x 1/2 1/2, y 1/2 1/2. Ïèìå. Ïîâåíóòûé íà π/4 êâàäàò ñî ñòîîíîé 2 ìîæíî çàäàòü â âèäå êàòèíêè y x 1 â âèäå ìíîæåñòâà ååíèè íåàâåíñòâ x + y 1, åñëè 0 x 1, 0 y 1 x y 1, åñëè 1 x 0, 0 y 1 x + y 1, åñëè 1 x 0, 1 y 1 x y 1, åñëè 0 x 1, 1 y 0, 5,

7 èëè ïîùå, íåàâåíñòâà x + y 1. B ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A, åñëè x B x A. Ðàçëèèå ìåæäó è. Ïåâûé îòíîñèòñß ê ëåìåíòàì, âòîîé ê ïîäìíîæåñòâàì. Íàïèìå, 1 N,íî{1} N. Èòàê, åñëè åñòü ëåìåíò x, òî èç íåãî ìîæíî ïîñòîèòü îäíîëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {x}, âçßâ åãî â ôèãóíó ñêîáêó. 1.2 Ïààäîêñ Ðàññåëà Ïèìå. Â ïîëêó îäèí èç ñîëäàò, êîòîûé óìååò áèòü íàçíààåí ïàèêìàõå- îì. Ãåíåàë èçäàë ïèêàç: ïàèêìàõå äîëæåí áèòü òåõ è òîëüêî òåõ, êîòîûå íå áåòñß ñàìè. Ñìîæåò ëè ïàèêìàõå áèòü ñàìîãî ñåáß? Ïóñòü A ìíîæåñòâî ñîëäàò, êîòîûå íå áåòñß ñàìè. Òîãäà Ā ìíîæåñòâî ñîëäàò, êîòîûå áåòñß ñàìè. Äîïóñòèì, òî ïàèêìàõåà çîâóò Áèëë. Âîïîñ ñîñòîèò â òîì, òî Áèëë A èëè Áèëë Ā. Ïîêàæåì, òî íà òîò âîïîñ íåò íåïîòèâîåèâîãî îòâåòà. Â òîì è ñîñòîèò ïààäîêñ. Ýòî îçíààåò, òî A íåëüçß àññìàòèâàòü êàê ìíîæåñòâî. Ïóñòü Áèëë A. Òîãäà Áèëë ñàì ñåáß íå áååò. Çíàèò, ñîãëàñíî ïèêàçó ãåíåàëà åãî äîëæåí áèòü ïàèêìàõå (îí æå Áèëë). Èíûìè ñëîâàìè, ïàèêìàõå áååò ñàìîãî ñåáß. Ïîòèâîåèå: Áèëë Ā. Ðàññìîòèì òåïåü ñëóàé Áèëë Ā. Òîãäà Áèëë ñàì ñåáß áååò. Çíàèò, ñîãëàñíî ïèêàçó ãåíåàëà Áèëëà ïàèêìàõå áèòü íå äîëæåí. Ïîñêîëüêó Áèëë è ïàèêìàõå îíîèòîæå ëèöî, òî îçíààåò, òî Áèëë íå áååò ñàìîãî ñåáß. Ïîòèâîåèå: Áèëë A. Èìååòñß ñèñòåìà àêñèîì òåîèè ìíîæåñòâ, êîòîàß íîñèò èìåíà Öåìåëî- Ôåíêåëß. Îíà çàïåùàåò âîçíèêíîâåíèå òàêîãî îäà ïààäîêñîâ. Ìû íå ìîæåì óãëóáëßòüñß âàêñèîìàòèåñêèå äåáè òåîèè ìíîæåñòâ. Ê ñàñòü, ìíîæåñòâà àññìàò- èâàåìûå íà íàåì êóñå (êîíåíûå ìíîæåñòâà, èñëîâûå ìíîæåñòâà, è ò.ä.) ëè- åíû òàêîãî îäà òóäíîñòåé. 1.3 Áóëåàí. Äèàãàììû Âåííà Ïóñòîå ìíîæåñòâî îáîçíààåòñß òàê:.ýòî ìíîæåñòâî, â êîòîîì íåò íèêàêèõ ëåìåíòîâ. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ßâëßåòñß ïîäìíîæåñòâîì ëáîãî ìíîæåñòâà. Óíèâåñàëüíîå ìíîæåñòâî îïåäåëßåòñß èç êîíòåêñòà. Ýòî ìíîæåñòâî, êîòîîå ñîäåæèò âñå àññìàòèâàåìûå ìíîæåñòâà. Ñòàíäàòíîå îáîçíàåíèå óíèâåñàëüíîãî ìíîæåñòâà, ïèìåíßåìîãî â òîé àáîòå U. Áóëåàí ìíîæåñòâà ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Äèàãàììà Âåííà ïåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà â âèäå ãåîìåòèåñêèõ ôèãó (îáûíî â âèäå êóæêà). Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâà A è B àâíû, îáîçíàåíèå: A = B, åñëè A B è B A. 6

8 Ïèìå. Ïóñòü A = {a, b, c} è B = {c, b, a, c}. Òîãäà ïîñêîëüêó Îáàòíî, ïîñêîëüêó Ñëåäîâàòåëüíî, A B, a A a B, b A b B, c A c B. B A, c B c A, b B b A, a B a A, c B c A. A = B. Ýòîò ïèìå ïîêàçûâàåò òî, ïîßäîê ïååèñëåíèß èëè ïîâòîåíèå ëåìåíòîâ â ìíîæåñòâàõ íå èìåò çíàåíèß. Îáûíî ñòààòñß ïååèñëßòü ëåìåíòû â ïî- ßäêå âîçàñòàíèß èëè óáûâàíèß îòíîñèòåëüíî êàêîãî-òî ïîßäêà è ñòààòñß ïî âîçìîæíîñòè íå ïîâòîßòü îäíè è òå æå ëåìåíòû íåñêîëüêî àç. 1.4 Òîæäåñòâà àëãåáû ìíîæåñòâ Îïåàöèè íà ìíîæåñòâàõ óäîâëåòâîßò ñëåäóùèì òîæäåñòâàì A A = A, A B = B A, (A B) C = A (B C), A A = A (èäåìïîòåíòíîñòü) (A B) C =(A C) (B C), (A B) C =(A C) (B C) (äèñòèáóòèâíîñòü) A B = B A (êîììóòàòèâíîñòü) A = A, A U = A, A U = U, A = (íåéòàëüíîñòü) Ā = A(èíâîëòèâíîñòü) A Ā = U, Ū =, (A B) =Ā B, A Ā = = U (äîïîëíåíèå) (A B) C = A (B C) (àññîöèàòèâíîñòü) (A B) =Ā B (Äå Ìîãàí) 7

9 Åñòü äâà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâ òàêîãî îäà òîæäåñòâ. Ïåâîå ñ ïîìîùü äèàãàìì Âåííà. Âòîîå äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ôîìàëüíîì îïåäåëåíèè àâåíñòâà. òîáû óñòàíîâèòü X = Y íàäî ïîâåèòü, òî è x X x Y y Y y X. Ïîèëëñòèóåì îáà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâ íà ïèìåå òîæäåñòâ àëãåá ìíîæåñòâ. Äîêàæåì òîæäåñòâî àññîöèàòèâíîñòè ïî îáúåäèíåíè ñ ïîìîùü äèàãàìì Âåííà. Èìååì A B = (A B) C = Ñ äóãîé ñòîîíû, B C = Ïîòîìó A (B C) = (A B) C = = A (B C) Äîêàæåì âòîûì ñïîñîáîì òîæäåñòâî Äå Ìîãàíà Ñ îäíîé ñòîîíû, (A B) =Ā B. x (A B) x U, x (A B) x U, x A, x B x Ā, x B. Ñëåäîâàòåëüíî Ñ äóãîé ñòîîíû, (A B) Ā B x Ā B x Ā, x B x U, x A, x B x U, x A B x (A B). 8

10 Ñëåäîâàòåëüíî Ā B (A B). Òîæäåñòâî Äå Ìîãàíà äîêàçàíî ïîëíîñòü. 1.5 Çàäàè 1.Ìîæíî ëè îïåäåëèòü ìíîæåñòâî êàïåëü â ñòàêàíå âîäû? 2. Ìîæíî ëè îïåäåëèòü ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ íå ñîäåæàùèõ ñåáß â êàåñòâå ëåìåíòà? 3. SSâëßåòñß ëè ìíîæåñòâî êóãëûõ êâàäàòîâ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà N? 4. Êàêèå èç ñëåäóùèõ óòâåæäåíèè âåíî? Â ñëóàå îòèöàòåëüíîãî îòâåòà ïèâåñòè êîíòïèìå. {5, 6} {{1, 2, 3, 5, 6}, {1, 3}, 3, 5, 6} 7 {{5, 6, 7, 8}}, {1} N 1 N {a} {{a}} {a} {{a}} 5. Êàêèå èç ñëåäóùèõ óòâåæäåíèè âåíî? Â ñëóàå îòèöàòåëüíîãî îòâåòà ïèâåñòè êîíòïèìå. Åñëè A B,B C, òî A C. Åñëè A B,B C òî A C Åñëè x A, òî {x} A. Åñëè {x} A, òî x A. 6. Êàêèå èç ñëåäóùèõ ìíîæåñòâ àâíû {a, b, c}, {c, b, a, c}, {b, c, b, a}, {c, a, c, b}? 7.Ðàâíû ëè ìíîæåñòâà a){{1, 2}} è {1, 2} b){{1, 2}, {2, 3}} {1, 2, 3} 9

11 8. Çàäàíû ìíîæåñòâà,a = {1},B = {1, 3},C = {1, 5, 9},D = {1, 2, 3, 4, 5},E = {1, 3, 5, 7, 9}, U = {1, 2,...,9}. Êàêó èç çíàêîâ èëè íåîáõîäèìî ñòàâèòü ìåæäó ñëåäóùèìè ïààìè:, A; A, B; B, C; B, E; C, D; C, E; D, E; D, U. 9. Äîêàæèòå, òî èç óñëîâèß A B = A C íå ñëåäóåò, òî B = C. 10.Ïóñòü U = N,A= {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5, 6, 7},C = {6, 7, 8, 9} E ìíîæåñòâî åòíûõ íàòóàëüíûõ èñåë. Íàéòè Ā, B, C A \ B,B \ C, C \ E, A B,B C, A B, A B,A C, B C. 11. Çàäàéòå ñëåäóùèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùü îïèñàíèß ëåìåíòîâ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {2, 4, 6, 8, 10} {1, 4, 9, 16, 25,...} {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...} { 1, 1} 12. Çàäàòü ñëåäóùåå ìíîæåñòâî ñ ïîìîùü íåàâåíñòâ y 1 2 x 13. Çàäàéòå ñëåäóùèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùü ïååèñëåíèß ëåìåíòîâ {x Z:2x 2 3x +1=0} {x R:2x 2 3x +1=0} {x R:(x 1)(x 3 +1)=0} {x C:(x 1)(x 3 +1)=0} 10

12 14. Ïóñòü nz = {na : a Z} ìíîæåñòâî èñåë êàòíûõ íà n. Ðàññìîòèì ìíîæåñòâà 2Z, 3Z, 5Z, 6Z, ìíîæåñòâî öåëûõ èñåë îêîíèâàùèõñß íà 0 è ìíîæåñòâî ñòåïåíåé 2. Êàêèå èç òèõ ìíîæåñòâ ßâëßòñß ïîäìíîæåñòâàìè äóãèõ? òî ßâëßåòñß èõ îáùèì íàäìíîæåñòâîì? 15. Íàéòè îáúåäèíåíèß è ïååñååíèß ìíîæåñòâ 3Z 12Z è 3Z 2Z, 3Z 12Z, 12Z 15Z. 16. Íàéäèòå áóëåàí ìíîæåñòâà {1, 2, 3, 4}. 17. Äîêàæèòå òîæäåñòâà àëãåáû ìíîæåñòâ äâóìß ìåòîäàìè (ñ ïîìîùü äèàãàìì Âåííà è ñ ïîìîùü èññëåäîâàíèß ëåìåíòîâ â ëåâûõ è ïàâûõ àñòßõ àâåíñòâ). Îáàòèòå âíèìàíèå íà äóàëüíîñòü òîæäåñòâ. 18. Ñ ïîìîùü òîæäåñòâ àëãåáû ìíîæåñòâ äîêàçàòü, òî (A B) (A B) =A (A B) \ (A B) =(A \ B) (B \ A). Ýòîò åçóëüòàò ïîêàçûâàåò, òî ñèììåòèåñêó àçíîñòü A B ìîæíî îïåäåëèòü äâóìß ñïîñîáàìè. 19. Ïóñòü A = {a, b, c, d}. Íàéòè êëàññ ïîäìíîæåñòâ, êîòîûå ñîäåæàò ïî òè ëåìåíòà. Íàéòè êëàññ ïîäìíîæåñòâ, êîòîûå ñîäåæàò a è äâà äóãèõ ëåìåíòà. Ñêîëüêî ëåìåíòîâ èìåò òè êëàññû ìíîæåñòâ è êîòîûé èç íèõ ßâëßåòñß ïîäêëàññîì äóãîãî? 20. Ïóñòü A = {1, 2,...,9}. Êàêèå èç ñëåäóùèõ ñîâîêóïíîñòåé ïîäìíîæåñòâ çàäàò àçáèåíèå ìíîæåñòâà A? [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}] [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}] [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}] 11

13 Ãëàâà 2 Îòíîåíèß è ôóíêöèè 2.1 Äåêàòîâî ïîèçâåäåíèå è îòíîåíèß Äåêàòîâî (èëè ïßìîå) ïîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ A 1,A 2,...,A n îïåäåëßåòñß êàê ìíîæåñòâî óïîßäîåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 2,a 2 A 2,...,a n A n }. Îáîçíàåíèå: A 1 A 2 A n èëè n i=1 A i èëè, êàòêî, i A i. Ïèìå. Ïóñòü A 1 = {x, y},a 2 = {p, q, r},a 3 = {1, 2}. Òîãäà A 1 A 2 A 3 = {(x, p, 1), (x, p, 2), (x, q, 1), (x, q, 2), (x, r, 1), (x, r, 2), (y, p, 1), (y, p, 2), (y,q, 1), (y, q, 2), (y, r, 1), (y, r, 2)}. Îòíîåíèå. Äëß ìíîæåñòâ A è B îòíîåíèå îïåäåëßåòñß êàê ïîäìíîæåñòâî R A B. Åñëè (a, b) R òî áóäåì ïèñàòü arb. Åñëè (a, b) R òî áóäåì ïèñàòü a Rb. Óíèâåñàëüíîå îòíîåíèå. R = A A Ïóñòîå îòíîåíèå. R = A A Ïèìå. Ïóñòü A = {ßéöî, ìîëîêî, êóêóóçà} è B = {êîîâà, êîçà, êóèöà}. Îïåäåëèì îòíîåíèå R èç A â B ïî ïàâèëó arb, åñëè b ïîèçâîäèò a. Òîãäà ßéöî R êîîâà R = {(ßéöî,êóèöà),(ìîëîêî, êîîâà),(ìîëîêî,êîçà)}. Ïèìå. Îïåäåëèì îòíîåíèå íà ìíîæåñòâå R ïî ïàâèëó xry, åñëè x 2 + y 2 = 25. Òîãäà R ìîæíî ïåäñòàâèòü â âèäå îêóæíîñòè àäèóñà 5 íà ïëîñêîñòè: y 5 x Ïóñòü R áèíàíîå îòíîåíèå èç A â B. 12

14 Îáëàñòü îïåäåëåíèß, Îáëàñòü çíàåíèè, Dom(R) ={a (a, b) R, äëß íåêîòîîãî b B}. Im(R) ={b (a, b) R, äëß íåêîòîîãî a A}. Îòíîåíèå íà (êîíåíûõ) ìíîæåñòâàõ ìîæíî çàäàòü ïååèñëåíèåì, íàïèìå, R = {(a, b), (a, c), (b, d)} ìàòèöåé (λ i,j ), λ i,j = { 1, a ira j 0, â ïîòèâîïîëîæíîì ñëóàå îïèñàíèåì, íàïèìå, â ìíîæåñòâå ëäåé arb, åñëè b îòåö a. â âèäå ãàôèêà ôóíêöèè, íàïèìå, xry, åñëè y = x/2. Òèïû îòíîåíèè R A A: R åôëåêñèâíî, åñëè ara, äëß ëáîãî a A. Ïèìå, "æèòü â îäíîì ãîîäå". R àíòèåôëåêñèâíî, åñëè a Ra äëß âñåõ a A. Ïèìå, "áûòü ñûíîì". R cèììåòèåñêî, åñëè arb bra. Ïèìå, "àáîòàòü íà îäíîé ôèìå". R àíòèñèììåòèíî, åñëè arb, bra a = b. Ïèìå, "áûòü íààëüíèêîì". R òàíçèòèâíî, åñëè arb, brc arc. Ïèìå, "áûòü ìîëîæå". 2.2 Îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè Ýêâèâàëåíòíîñòü. R îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè, åñëè îíî åôëåêñèâíî, ñèììåòèíî è òàíçèòèâíî. Ïèìå. Óíèâåñàëüíîå îòíîåíèå ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè. Ïèìå. Ïóñòü A è a A. Ïîñêîëüêó (a, a), ïóñòîå îòíîåíèå íå ßâëßåòñß îòíîåíèåì åôëåêñèâíîñòè. Ïîòîìó ïóñòîå îòíîåíèå íå ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíîñòè. Êëàññ êâèâàëåíòíîñòè ëåìåíòà a A îòíîñèòåëüíî îòíîåíèß êâèâàëåíòíîñòè R îïåäåëßåòñß êàê ïîäìíîæåñòâî ëåìåíòîâ b A íàõîäßùèõñß â îòíîåíèè R ñ a: R(a) ={b (a, b) R}. 13

15 Òîãäà R(a) R(b) R(a) =R(b), A = a A R(a). (Äîêàæèòå!) Ïîëíàß ñèñòåìà êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè. Íàçîâåì ñèñòåìó êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè R(a 1 ),R(a 2 ),..., ïîëíîé ñèñòåìîé, åñëè R(a 1 ),R(a 2 ),..., àçëèíûå êëàññû êâèâàëåíòíîñòè, A = i 1 R(a i ). Ýëåìåíò b A íàçûâàåòñß ïåäñòàâèòåëåì êëàññà R(a), åñëè b R(a), ò.å., (a, b) R. Ôàêòî-ìíîæåñòâî. Äëß îòíîåíèß êâèâàëåíòíîñòè R ìíîæåñòâî ρ(a) = {R(a 1 ),R(a 2 ),...}, ëåìåíòàìè êîòîûõ ßâëßòñß ïîëíûå ñèñòåìû êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè, íàçûâàåòñß ôàêòî-ìíîæåñòâîì. Âìåñòî ρ(a) àñòî èñïîëüçóåòñß îáîçíàåíèå: A/R. Ïèìå. Ïóñòü A = Z. Îïåäåëèì îòíîåíèå (a, b) R, åñëè a b äåëèòñß íà n. Îáûíî â òàêèõ ñëóàßõ ïèóò a b(mod n). Èìååòñß n àçëèíûõ êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè R(0) = {nk k Z}, R(1) = {1+nk k Z},. R(n 1) = {n 1+nk k Z}. Òàêèì îáàçîì, ôàêòî-ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç n ëåìåíòîâ. Îáûíî ôàêòî-ìíîæåñòâî îáîçíààåòñß òàê: Z/nZ. Ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A ïåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà A â âèäå îáúåäèíåíèß íåïå- åñåêàùèõñß íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ A i,i I, ãäå I íåêîòîîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ. Äóãèìè ñëîâàìè, A = i I A i A i A j = åñëè i j. A i äëß âñåõ i I. Òåîåìà. Ðàçáèåíèå {A i,i I} ìíîæåñòâà A çàäàåò îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè R = {(a, b) i I òàêîé, òî a, b A i }. Îáàòíî, ïóñòü R A A îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Òîãäà ïîëíàß ñèñòåìà êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè {R(a 1 ),R(a 2 ),...} çàäàåò àçáèåíèå ìíîæåñòâà A. Ïèìå. Ïóñòü A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Òîãäà A = A 1 A 2 A 3 àçáèåíèå, ãäå A 1 = {1, 3},A 2 = {2, 4, 6},A 3 = {5}. Ýòîìó àçáèåíè ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóùåå îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè R = {(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 2), (4, 6), (6, 4), 14

16 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Ïèìå. Ïóñòü A = {a, b, c, d, e, f}. Òîãäà R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f,f), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c), (a, f), (f,a), (b, f), (f,b)} ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè. Åìó ñîîòâåòñòâóåò àçáèåíèå A = A 1 A 2 A 3, ãäå A 1 = {a, b, f},a 2 = {c, e},a 3 = {d} Ïèìå. Èìååòñß âñåãî 5 àçëèíûõ îòíîåíèè êâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå èç òåõ ëåìåíòîâ A = {a, b, c}: R 1 = A A, R 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}, R 3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, R 4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}, R 5 = {(a, a), (b, b), (c, c)}. Ýòèì îòíîåíèßì ñîîòâåòñòâóò àçáèåíèß A = A 1, A 1 = {a, b, c}, A = A 1 A 2, A = A 1 A 2, A = A 1 A 2, A = A 1 A 2 A 3, A 1 = {a, b},a 2 = {c}, A 1 = {a, c},a 2 = {b}, A 1 = {b, c},a 2 = {a}, A 1 = {a},a 2 = {b},a 3 = {c}. Îòíîåíèå òîëåàíòíîñòè åôëåêñèâíîå è ñèììåòèåñêîå îòíîåíèå. Âñßêîå îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè ßâëßåòñß îòíîåíèåì òîëåàíòíîñòè. Ïèâåäåì ïèìåû îòíîåíèè òîëåàíòíîñòè. Ïèìå. Ïóñòü A = N è arb, åñëè èñëà a è b èìåò õîòß áû îäíó îáùó öèôó. Ïèìå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ïßìûõ äâóìåíîé ïëîñêîñòè R 2 è arb, åñëè ïßìûå a è b èìåò òîêè ïååñååíèß. Ïèìå. Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç åòûåõáóêâåííûõ óññêèõ ñëîâ íàèöàòåëüíûõ ñóùåñòâèòåëüíûõ â èìåíèòåëüíîì ïàäåæå. Îïåäåëèì îòíîåíèå arb íà ìíîæåñòâå A ïî ïàâèëó: arb, åñëè ñëîâà a è b îòëèàòñß íå áîëåå åì íà îäíó áóêâó. Êàê "ïåâàòèòü ìóõó â ñëîíà" â òåìèíàõ òîãî îòíîåíèß òîëåàíòíîñòè? Íàïèìå, òàê: Ìóõà ìóà òóà òàà êàà êàå êàôå êàô êà êàê êê êîê ñîê ñòîê ñòîí ñëîí. 15

17 2.3 Îòíîåíèå ïîßäêà Îòíîåíèå R çàäàåò îòíîåíèå ïîßäêà, åñëè îíî åôëåêñèâíî, àíòèñèììåò- èíî è òàíçèòèâíî. Ïèìå. Îòíîåíèå a b îïåäåëåííîå ïî ïàâèëó a b çàäàåò ïîßäîê íà ìíîæåñòâå N. àñòèíî óïîßäîåííîå ìíîæåñòâî Ìíîæåñòâî ñ îòíîåíèåì ïîßäêà. Ïèìå. Áóëåàí îòíîñèòåëüíî âêëåíèß (P (A), ) - àñòèíî óïîßäîåíî. Ïóñòü (A, ) àñòèíî óïîßäîåííîå ìíîæåñòâî. Ãîâîßò, òîx A ïîêûâàåò y A, åñëè x y è íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ëåìåíòà z A, òî x<y<z.äèàãàììà Õàññå ìíîæåñòâà (A, ) : òîêè ñîîòâåòñòâóò ëåìåíòàì ìíîæåñòâà A è äâå âåèíû x è y ñîåäèíåíû, åñëè y ïîêûâàåò x, ïèåì x àñïîëîæåí íèæå åì y. Ïèìå. Áóëåàí P ({a, b, c}) è åãî äèàãàììà Õàññå {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} a} b} c} Ïèìå. Ìíîæåñòâî (N, ), ãäå a b a b àñòèíî óïîßäîåíî. Êâàçèïîßäîê (èëè ïåäïîßäîê) åôëåêñèâíîå è òàíçèòèâíîå îòíîåíèå. Ïèìå. Ìíîæåñòâî (Z, ) îòíîñèòåëüíî ïîßäêà a b a b êâàçèóïîßäî- åíî. Ýòî ìíîæåñòâî íå ßâëßåòñß àñòèíî óïîßäîåííûì. Íàïèìå, 3 3, 3 3, íî 3 3. Ëèíåéíûé ïîßäîê. Ïîßäîê R íà ìíîæåñòâå A ëèíååí, åñëè äëß ëáûõ a, b A èìååò ìåñòî arb èëè bra. Ëèíåéíî óïîßäîåííîå ìíîæåñòâî Ìíîæåñòâî ñ îòíîåíèåì ëèíåéíîãî ïî- ßäêà. Ïèìå. (N,<) ëèíåéíî óïîßäîåíî îòíîñèòåëüíî îáûíîãî ïîßäêà <. 2.4 Îïåàöèè íàä îòíîåíèßìè Ïîñêîëüêó îòíîåíèß ßâëßòñßïîäìíîæåñòâàìè, âñå îïåàöèè íàä ìíîæåñòâàìè äîïóñòèìû íàä îòíîåíèßìè. Äëß R 1,R 2 A B åñòåñòâåííûìè ïóòßìè îïåäåëßòñß íîâûå îòíîåíèß (îáúåäèíåíåèå, ïååñååíèå, àçíîñòü, ñèììåòèåñêàß àçíîñòü îòíîåíèè) R 1 R 2,R 1 R 2,R 1 \ R 2,R 1 R 2 A B. Îáàòíîå îòíîåíèå. Äëß R A B îáàòíîå îòíîåíèå îïåäåëßåòñß òàê: R 1 = {(b, a) (a, b) R}. 16

18 Èìååòñß åùå îäíà îïåàöèß, êîòîó íåëüçß ïîëóèòü èç îïåàöèè àëãåáû ìíîæåñòâ. Ýòà îïåàöèß êîìïîçèöèß îòíîåíèè R 1 R 2. Êîìïîçèöèß îòíîåíèè. Ïóñòü R 1 A B,R 2 B C, Òîãäà îòíîåíèå R 1 R 2 A C îïåäåëßåòñß ïî ïàâèëó R 1 R 2 = {(a, b) b B,(a, b) R 1, (b, c) R 2 }. Òåîåìà. Êîìïîçèöèß îòíîåíèè àññîöèàòèâíà. Îïåäåëèì ñòåïåíè îòíîåíèè R A A ïî ïàâèëó R 1 = R, R n = R R n 1, åñëè n>1. Ïèìå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ëäåé è îòíîåíèå R A A îïåäåëßåòñß òàê: (a, b) R, åñëè a îòåö b. Òîãäà ar 2 b îçíààåò, òî a äåä a. Çàìûêàíèß îòíîåíèè. Ïóñòü R A A. Îïåäåëèì R ref = R {(a, a) a A} åôëåêñèâíîå çàìûêàíèå, ñèììåòèåñêîå çàìûêàíèå, R = i=1r i (òàíçèòèâíîå çàìûêàíèå). R sym = R R 1 Ïèìå. Åñëè A = R, R= {(a, b) a <b}, òî R ref = {(a, b) a b}. Ïèìå. Åñëè A = R, R= {(a, b) a <b}, òî R sym = {(a, b) a b} Çàìåòèì òî R = {(a, b) k N, (a, c 1 ), (c 1,c 2 ),...,(c k,b) R}. Òåîåìà. Åñëè A = n, òî R = n i=1r i. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåìåíòîâ x 0,x 1,...,x m A òàêîé, òî (x 0,x 1 ), (x 1,x 2 ),...,(x m 1,x m ) R, è x 0 = a, x m = b. Äîêàæåì, òî äëß ëáûõ a, b A äëèíó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè m ìîæíî ïîäîáàòü òàêèì, òî m n, åñëè a = b è m<m, åñëè a b. Ðàññìîòèì ñëóàé a = b. Äîïóñòèì, òî m n +1. Òîãäà ïî ïèíöèïó Äè- èõëå ñåäè m ëåìåíòîâ x 1,x 2,...,x m {a 1,...,a n } ñóùåñòâóò ïî êàéíåé ìåå 2 îäèíàêîâûõ. Ïóñòü íàïèìå, x i = x j, 0 < i < j m. Òîãäà èìååòñß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x 0 = a, x 1,x 2,...,x i,x j+1,...,x m = a A äëèíû <mòàêîé, òî (a, x 1 ),...,(x i 1,x i ), (x j,x j+1 ),...,(x m 1,a) R. Ïîâòîßß ìíîãîêàòíî òó ïîöåäóó ìíîãîêàòíî ìîæíî ïîñòîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû m n òåáóåìûìè ñâîéñòâàìè. Ñëóàé a b îñòàâëßåòñß â êàåñòâå óïàæíåíèß. Ïèìå. Åñëè A = {x, y, z} è R = {(x, y), (y, z), (z, z)}, òî R (2) = {(x, z), (y, z), (z, z)}, Ïîòîìó R (3) = {(x, z), (y, z), (z, z)} = R (2). R = R R (2) R (3) = {(x, y), (y, z), (z, z), (x, z)}. 17

19 2.5 Ôóíêöèè Îòíîåíèå f A B íàçûâàåòñß ôóíêöèåé, åñëè Dom f = A Imf B (a, b 1 ) f,(a, b 2 ) f b 1 = b 2. Òàêèì îáàçîì, ôóíêöèè àñòíûé ñëóàé îòíîåíèè. òîáû çàäàòü ôóíêöè íóæíî çàäàòü òè âåùè: ïàâèëî f, îáëàñòü îïåäåëåíèß A è îáëàñòü çíàåíèè B, ïè òîì îäíîìó çíàåíè x A ñîîòâåòñòâóåò îâíî îäíî çíàåíèå y B. Îáûíî ïèóò y = f(x). Äóãèå îáîçíàåíèß äëß ôóíêöèè: f : A B, A f B,f : x f(x). Èíúåêòèâíîñòü. Ôóíêöèß f : A B íàçûâàåòñß èíúåêòèâíîé, åñëè f(a) = f(a 1 ) a = a 1. Èíîãäà âìåñòî òåìèíà "èíúåêòèâíûé" èñïîëüçóòñß äóãèå ñëîâà: ìîíîìîôèçì, âëîæåíèå èëè îòîáàæåíèå "â". Ñúåêòèâíîñòü. Ôóíêöèß f : A B íàçûâàåòñß ñúåêòèâíîé, åñëè äëß ëáîãî b B ñóùåñòâóåò a A òàêîå, òî b = f(a). Èíîãäà âìåñòî òåìèíà "ñúåêòèâíûé" èñïîëüçóòñß äóãèå ñëîâà: ïèìîôèçì, íàëîæåíèå èëè îòîáàæåíèå "íà". Áèåêöèß. Ôóíêöèß f : A B áèåêòèâíà (âçàèìíî îäíîçíàíà), åñëè f èíúåêòèâíà è ñúåêòèâíà. Ïèìå. f : R R, x x 2, íåèíúåêòèâíà è íå ñúåêòèâíà. Ïèìå. f : R R +, x x 2, ñúåêòèâíà, íî íå èíúåêòèâíà. Ïèìå. f : Z Z, x 2x, èíúåêòèâíà, íî íå ñúåêòèâíà. Ïèìå. f : R R, x 2x áèåêöèß. Êîìïîçèöèß ôóíêöèè f : A B,g : B C îïåäåëßåòñß êàê ôóíêöèß g f : A C, (g f)(a) =g(f(a)). Ïèìå. Ïóñòü f : R R, x 2x +1è g : R R, x x Òîãäà g f : R R, x 4x 2 +4x +3, f g : R R, x 2x Ýòîò ïèìå ïîêàçûâàåò òî îïåàöèß êîìïîçèöèè íà ìíîæåñòâå ôóíêöèè íå ßâëßåòñß êîììóòàòèâíîé: f g g f. Òåîåìà. Êîìïîçèöèß ôóíêöèè àññîöèàòèâíà. Äëß ëáûõ òåõ ôóíêöèè A f B,B g C, C h D âûïîëíåíî àâåíñòâî Äîêàçàòåëüñòâî. h (g f) =(h g) f. (h (g f))(a) =h(g f)(a)) = h(g(f(a))) = (h g)(f(a)) = ((h g) f)(a). Îáîçíàåíèå äëß ìíîæåñòâà ôóíêöèè èç A â B: F(A, B) èëè B A. 18

20 Îïåàöèè. Ïóñòü A n = } A A {{} n. Ôóíêöèß f : A n A íàçûâàåòñß n-ìåñòíîé îïåàöèåé íà. Ïè ìàëûõ n èìåòñß ñïåöèàëüíûå íàçâàíèß: 1-ìåñòíàß îïåàöèß óíàíà, 2- ìåñòíàß îïåàöèß áèíàíà. Áèíàíó îïåàöè àñòî íàçûâàò óìíîæåíèåì. Óìíîæåíèå ëåìåíòîâ f(a, b) èíîãäà îáîçíààåòñß òàê: a b, a + b, a b, a b èëè a bèò.ä. Ïèìå. Âñßêó ôóíêöè f : A A ìîæíî àññìàòèâàòü êàê óíàíó îïåàöè. Ïèìå. Ïóñòü A = F(X, X). Êîìïîçèöè ôóíêöèè èç X â X ìîæíî àññìàò- èâàòü êàê îïåàöè óìíîæåíèß â ìíîæåñòâå ôóíêöèè F(X, X). Ïèìå. Ïóñòü A = Mat n ìíîæåñòâî êâàäàòíûõ ìàòèö. Óìíîæåíèå ìàòèö çàäàåò áèíàíó îïåàöè íà ìíîæåñòâå Mat n. Îïåàöèè êîìïîçèöèß ôóíêöèè è óìíîæåíèå ìàòèö àññîöèàòèâíû, íî íå êîììóòàòèâíû: h (g f) =(h g) f, äëß ëáûõ ôóíêöèè èëè ìàòèö f,g,h íî f g g f äëß íåêîòîûõ ôóíêöèè (ìàòèö) f,g. Ïèìå. Îïåàöèß âûèòàíèß Z íåàññîöèàòèâíà: (a b) c a (b c), íàïèìå, 5 (3 2) = 4 0=(5 3) 2. Ïèìå. Îïåàöèè îáúåäèíåíèß è ïååñååíèß ìíîæåñòâ àññîöèàòèâíû. Ïèìå. Îïåàöèß àçíîñòè ìíîæåñòâ íåàññîöèàòèâíà: A \ (B \ C) (A \ B) \ C. Íàïèìå äëß A = {a, b, c},b = {b, c},c = {c}, èìååì A \ B = {a},b\ C = {b} (A \ B) \ C = {a} A \ (B \ C) ={a, c}. Ïèìå. Ïóñòü A = R[x] ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ è : R[x] R[x], f(x) f(x) äèôôååíöèîâàíèå. Íàïèìå, (x 2 3x) =5x 3. Äëß a, b A îïåäåëèì x a b ïî ïàâèëó a b = a (b). Òîãäà a (b c) (a b) c, äëß íåêîòîûõ a, b, c A. Íàïèìå, è 1 (1 x 2 )=2, (1 1) x 2 =0, 1 (1 x 2 ) (1 1) x 2. Íà ñàìîì äåëå èìååò ìåñòî òîæäåñòâî: äëß âñåõ a, b, c A. (Äîêàæèòå!) a (b c) (a b) c = b (a c) (b a) c, 19

21 2.6 Çàäàè 1.Ïóñòü A = {1, 2},B = {a, b}. Íàéòè A B; B A; B B. 2.Ïóñòü A = {1, 2},B = {a, b, c},c = {5, 6}. Íàéòè A B C. 3.Ïóñòü A = {0, 1},B = {x, y, z}, C= {x, w}. Íàéòè (A B) (A C) è B C. 4. Äîêàçàòü, òî (A B) (A C) =A (B C). 5.Ñêîëüêî îòíîåíèè ñóùåñòâóò èç A = {x, y, z} ê B = {0, 1}? Îòâåò: Ñóùåñòâóåò 6 ëåìåíòîâ A B. Ñëåäîâàòåëüíî 2 6 =64ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A B. Çíàèò ñóùåñòâóò 64 ñîîòíîåíèè èç A ê B. 6. Ñêîëüêî àçëèíûõ îòíîåíèè êâèâàëåíòíîñòè ñóùåñòâóò íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ, ãäå a)n =1,b)n =2,c)n =3,d)n =4.? 7.Ñêîëüêî àçëèíûõ îòíîåíèè ñóùåñòâóò íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ? 8.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò èíúåêòèâíûõ îòîáàæåíèè èç ìíîæåñòâà n ëåìåíòîâ â ìíîæåñòâî èç m ëåìåíòîâ, åñëè (n, m) =(4, 3), (3, 3), (3, 4)? 9.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò ñúåêòèâíûõ îòîáàæåíèè èç ìíîæåñòâà n ëåìåíòîâ íà ìíîæåñòâî èç m ëåìåíòîâ, åñëè (n, m) =(4, 3), (3, 3), (3, 4)?? 10.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò åôëåêñèâíûõ îòíîåíèè íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ 11.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò òàíçèòèâíûõ îòíîåíèè íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ äëß a)n =1; b)n =2; c)n =3? 12. Ïóñòü R, S åôëåêñèâíûå îòíîåíèß. Äîêàçàòü èëè îïîâåãíóòü ñëåäóùèå óòâåæäåíèß. R S åôëåêñèâíîå R S åôëåêñèâíîå R S íå åôëåêñèâíîå R \ S íå åôåëåêñèâíîå R S åôëåêñèâíîå 13. Ïóñòü R åôëåêñèâíîå è òàíçèòèâíîå îòíîåíèå. Äîêàçàòü, òî R n = R äëß ëáîãî n N. 14. Ïóñòü R åôëåêñèâíîå îòíîåíèå. Äîêàçàòü, òî R n åôëåêñèâíî äëß ëáîãî n N. 20

22 15.Ïóñòü R ñèììåòèåñêîå îòíîåíèå. Äîêàçàòü, òî îòíîåíèå R n ñèììåò- èíî äëß ëáîãî n N. 16. Äîêàçàòü, òî R åôëåêñèâíî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà R 1 åôëåêñèâíî. 17. Äîêàçàòü, òî îòíîåíèå R ñèììåòèíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R = R Ïóñòü R íå åôëåêñèâíî. Âñåãäà ëè îòíîåíèå R 2 íå åôëåêñèâíî? 19. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ è B ìíîæåñòâî êíèã â áèáëèîòåêå. Ðàññìîòèì îòíîåíèß R 1 è R 2 èç A â B, îïåäåëåííûå ñëåäóùèì îáàçîì: ar 1 b, åñëè ñòóäåíòó a íåîáõîäèìî ïîèòàòü êíèãó b è ar 2 b, åñëè ñòóäåíò a èòàë êíèãó b. Îïèèòå óïîßäîåííûå ïàû ñëåäóùèõ îòíîåíèè: a)r 1 R 2 b) R 1 R 2 c)r 1 R 2 d) R 1 \ R 2 e) R 2 \ R Îïåäåëèì íà ìíîæåñòâå ëäåé îòíîåíèß R è S ïî ïàâèëó arb, åñëè a îäèòåëü b è asb, åñëè a è b áëèçíåöû. Íàéòè R S è S R. 21.Ïóñòü R 1 R 2 îòíîåíèß íà ìíîæåñòâå A çàäàííûå ìàòèöàìè M R1 = M R2 = Íàéòè ìàòèöû ñîîòâåòñòâóùèå îòíîåíèßì a)r 1 R 2 b) R 1 R 2 c)r 1 R 2 d) R 1 R 1 e) R 2 R 1 ) 22.Ïóñòü M R =. Âûèñëèòü M R S,M R S,M R, M R S, M R S. Z. 23.Ïóñòü M R = ( ( ) ( 0 1 0,M S = ),M S = Âûèñëèòü M R S. 24. Íàéòè ñèììåòèåñêîå çàìûêàíèå îòíîåíèß R = {(a, b) a > b} íà Z. 25. Íàéòè åôëåêñèâíîå çàìûêàíèå îòíîåíèß R = {(a, b) a b} íà ìíîæåñòâå 26. Ïóñòü M R ìàòèöà îòíîåíèß R íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ. Òîãäà ìàò- èöà òàíçèòèâíîãî çàìûêàíèß R M R = M R M [2] R M [3] [n] R M R. 27. Ïóñòü A = {1, 2, 3, 4}, B= {x, y, z} è R îòíîåíèå èç A ê B çàäàííîå ïî ïàâèëó R = {(1,y), (1,z), (3,y), (4,x), (4,z)}. Äëß îòíîåíèß R 21

23 íàéòè ìàòèöó îòíîåíèß íàèñîâàòü äèàãàììó ñòåëîê íàéòè îáàòíîå îòíîåíèå íàéòè îáëàñòü îïåäåëåíèß è îáàç 28.Ïóñòü A = {1, 2, 3, 4, 6}. Îïåäåëèì íà A îòíîåíèå R êàê x äåëèò y: (x, y) R x y. Ïåäñòàâèòü R êàê ìíîæåñòâî óïîßäîåííûõ ïà Íàèñîâàòü ãàô îòíîåíèß R. Íàéòè R 1. Êàê îïèñàòü R 1 ñëîâàìè? 29. Íà ìíîæåñòâå A = {1, 2, 3} àññìîòèì ñëåäóùèå îòíîåíèß R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)},S= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}, T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}, = ïóñòîå îòíîåíèå, A A = óíèâåñàëüíîå îòíîåíèå. Êàêèå èç òèõ îòíîåíèè ßâëßòñß åôëåêñèâíûìè, ñèììåòèåñêèìè, òàíçèòèâíûìè è àíòèñèììåòèåñêèìè? 30. Íà ìíîæåñòâå A = {a, b, c} çàäàíî îòíîåíèå R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, c)}. Íàéäèòå åôëåêñèâíûå, ñèììåòèåñêèå è òàíçèòèâíûå çàìûêàíèß R. 31. Îòíîåíèå ïîäîáèß íà ìíîæåñòâå òåóãîëüíèêîâ åñòü îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Äîêàçàòü. 32. Ïîâåüòå, òî îòíîåíèå ïèíàäëåæíîñòè îäíîìó êóñó åñòü îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Íàéòè ôàêòî-ìíîæåñòâî äëß ìíîæåñòâà ñòóäåíòîâ ÊÁÒÓ îòíîñèòåëüíî òîãî îòíîåíèß. 33. Íà ìíîæåñòâå öåëûõ èñåë Z ââåäåì îòíîåíèå x y(mod n) åñëè n x y. Äîêàçàòü, òî òî îòíîåíèå ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè è íàéòè ñîîòâåòñòâóùåå àçáèåíèå ìíîæåñòâà Z. Êàê óñòîåíî ôàêòî-ìíîæåñòâî Z/? 34. Ââåäåì íà ìíîæåñòâå A = {(a, b) a, b Z,b 0} îòíîåíèå R ïî ïàâèëó (a, b)r(c, d), åñëè ad = bc. Äîêàçàòü, òî R îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Îïèñàòü êëàññû êâèâàëåíòíîñòè. Óñòàíîâèòü áèåêöè ôàêòî-ìíîæåñòâà A/R âìíîæåñòâî àöèîíàëüíûõ èñåë Q. 22

24 35. Îïåäåëèì íà ìíîæåñòâå A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} îòíîåíèå R = {(1, 1), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 1), (5, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 6)}. Äîêàçàòü, òî ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè. Íàéòè àçáèåíèå A/R. 36. Äëß îòíîåíèé P = {(x, y) R 2 x = y 2 } è Q = {(x, y) R 2 x y>0} íàéòè P Q, Q P, P P è P Äîêàçàòü ñëåäóùèå òîæäåñòâà ãäå R 1,R 2,R 3 A A. R 1 (R 2 R 3 )=(R 1 R 2 ) R 3, R 1 (R 2 R 3 )=(R 1 R 2 ) (R 1 R 3 ), R 1 (R 2 R 3 )=(R 1 R 2 ) (R 1 R 3 ), (R 1 R 2 ) R 3 =(R 1 R 3 ) (R 2 R 3 ), (R 1 R 2 ) R 3 =(R 1 R 3 ) (R 2 R 3 ), 38. Ïóñòü A = R[x] ïîñòàíñòâî ìíîãîëåíîâ. Îïåäåëèì óìíîæåíèå íà A ïî ïàâèëó f(x) g(x) =f(x) g(x) x. Íàïèìå, x x 4 =4x 4 Äîêàçàòü, òî âûïîëíåíû òîæäåñòâà (a b) c a (b c) =(b a) c b (c a), äëß ëáûõ a, b, c A, (a b) c =(a c) b, 39. Ïóñòü A = R[x] ïîñòàíñòâî ìíîãîëåíîâ. Îïåäåëèì óìíîæåíèå íà A ïî ïàâèëó x f(x) g(x) =f(x) g(x) dx. 0 Íàïèìå, x x 4 = x 6 /5. Äîêàçàòü, òî âûïîëíåíî òîæäåñòâî äëß ëáûõ a, b, c A, (a b) c = a (b c + c b), 23

25 Ãëàâà 3 Êîìáèíàòîèêà è òåîèß èñåë 3.1 Ïèíöèïû ñåòà Èìååòñß äâà îñíîâíûõ ïàâèëà äëß ñåòà. Ïàâèëî ñóììû. Äîïóñòèì, òî íåîáõîäèìî âûïîëíèòü çàäàíèß T 1 è T 2. Ïåäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò n 1 è n 2 âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß çàäàíèè T 1 è T 2, ïèåì çàäàíèß T 1 è T 2 îäíîâåìåííî íåâûïîëíèìû. Òîãäà ñóùåñòâóåò n 1 + n 2 âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß îäíîãî èç çàäàíèè T 1 è T 2. Îáîáùåííîå ïàâèëà ñóììû. Äîïóñòèì, òî äëß âîçíèêíîâåíèß çàäàíèè T 1,T 2,...,T k 1 è T k ñóùåñòâóò n 1,n 2,...,n k 1 è n k âîçìîæíîñòåé ñîîòâåòñòâåííî, ïèåì íèêàêèå äâà àçíûõ çàäàíèß îäíîâåìåííî íåâûïîëíèìû. Òîãäà ñóùåñòâóåò n n k âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß îäíîãî èç òèõ çàäàíèè. Â òåìèíàõ òåîèè ìíîæåñòâ îáîáùåííîå ïàâèëî ñóììû âûãëßäèò òàê. Ïóñòü çàäàíû k ìíîæåñòâ A 1,A 2,...,A k òàêèå, òî A i A j = äëß ëáûõ i j. Òîãäà A 1 A k = A A k. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíèå T i ñîñòîèò â âûáîå ëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà A i, ãäå i =1,...,k. Òîãäà ñóùåñòâóåò n i âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß çàäàíèß T i. Òîãäà ïî ïàâèëó ñóììû ñóùåñòâóåò n n k âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß îäíîãî èç òèõ çàäàíèè. Èíûìè ñëîâàìè, A 1 A k = A A k. Ïèìå. Ñòóäåíò äîëæåí âûáàòü îäíó òåìó äëß êóñîâîé àáîòû. Ñóùåñòâóåò 3 òåìû ïî ôèçèêå è 5 òåì ïî õèìèè. Ñêîëüêîâîçìîæíîñòåé ñóùåñòâóåò äëß âûáîà òåì? Îòâåò: 3+5=8 âîçìîæíîñòåé. Ïàâèëî ïîèçâåäåíèß. Äîïóñòèì, òî çàäàíèå T ìîæíî àçäåëèòü íà äâà ïîäçàäàíèß T 1,T 2 òàê, òî òè çàäàíèß ìîæíî âûïîëíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî, ñíààëà çàäàíèå T 1 è çàòåì çàäàíèå T 2. Çàäàíèå T 1 âûïîëíèìî n 1 ñïîñîáàìè è çàäàíèå T 2 âûïîëíèìî n 2 ñïîñîáàìè. Òîãäà çàäàíèå T âûïîëíèìî n 1 n 2 ñïîñîáàìè. Îáîáùåííîå ïàâèëî ïîèçâåäåíèß. Äîïóñòèì, òî çàäàíèå T ìîæíî àçäåëèòü íà k ïîäçàäàíèß T 1,T 2,...,T k òàê, òî òè çàäàíèß ìîæíî âûïîëíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî, ñíààëà çàäàíèå T 1, çàòåì çàäàíèå T 2 è ò.ä. Çàäàíèå T 1 âûïîëíèìî n 1 ñïî- 24

26 Ðèñ. 3.1: Êàê áû íè ñàæàëè òåõ çàéöåâ â äâå êëåòêè âñåãäà íàéäåòñß êëåòêà, â êîòîîé ñîäåæèòñß ïî êàéíåé ìåå äâà çàéöà. ñîáàìè, çàäàíèå T 2 âûïîëíèìî n 2 ñïîñîáàìè, è òàê äàëåå çàäàíèå T k âûïîëíèìî n k ñïîñîáàìè. Òîãäà çàäàíèå T âûïîëíèìî n 1 n 2 n k ñïîñîáàìè. Îáîáùåííîå ïàâèëî ïîèçâåäåíèß â òåìèíàõ òåîèè ìíîæåñòâ: A 1 A 2 A k = A 1 A 2 A k Ïèìå. Ïî âêóñó ìîîæåíîå áûâàò âàíèëüíûå è îêîëàäíûå. Ïî àçìåàì îíè áûâàò áîëüèå, ñåäíèå è ìàëåíüêèå. Ñêîëüêî òèïîâ ìîîæåíûõ ñóùåñòâóò? Îòâåò: 2 3=6òèïîâ. Ïèìå. Ïóñòü F(A, B) ={f : A B} ìíîæåñòâî ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà ïîßäêà n â ìíîæåñòâî ïîßäêà m. Íàéòè ïîßäîê ìíîæåñòâà F(A, B). Îòâåò: m n. 3.2 Ïèíöèï Äèèõëå Ïèíöèï Äèèõëå. Çàäàíû n ïåäìåòîâ è m ßùèêîâ. Òåáóåòñß àçìåñòèòü ïåäìåòû ïî ßùèêàì. Åñëè n>m, òî âñåãäà íàéäåòñß ßùèê, â êîòîîì íàõîäßòñß ïî êàéíåé ìåå äâà ïåäìåòà. Ïèíöèï Äèèõëå ëåãå âñåãî ôîìóëèîâàòü â òåìèíàõ çàéöåâ è êëåòîê. Îñíîâíîå òåáîâàíèå: çàéöåâ äîëæíî áûòü áîëüå åì êëåòîê. Òîãäà êàê áû âû íå ïûòàëèñü óëóèòü æèëèùíûå óñëîâèß çàéöåâ, âàì òî íå óäàñòñß. Âñåãäà íàéäóòñß ïî êàéíåé ìåå äâà çàéöà, êîòîûå áóäóò íåäîâîëüíû òåì, òî æèâóò â îäíîé êëåòêå (èñ.1). òîáû ïèìåíèòü ïèíöèï Äèèõëå íåîáõîäèìî îïåäåëèòüñß òî ïîíèìàòü ïîä çàéöàìè è òî ïîä êëåòêàìè. Íàïèìå, â ñëåäóùåé çàäàå ïîä çàéöàìè ñëåäóåò ïîíèìàòü êîëüíèêîâ, à ïîä êëåòêàìè -äíè ãîäà. Ïèìå. Ñåäè ëáûõ n+1 öåëûõ èñåë íå ïåâîñõîäßùèõ 2n íàéäåòñß èñëî, êîòîîå äåëèòñß íà äóãîå. 25

27 Ðååíèå. Ïåäñòàâèì èñëà a 1,...,a n+1 < 2n â âèäå a i =2 k i q i, 1 i n + 1, ãäå q i íååòíû. Ðàññìîòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íååòíûõ èñåë q 1,...,q n+1. Ïîñêîëüêó âñå îíè íå ïåâîñõîäßò 2n è êîëèåñòâî òàêèõ íååòíûõ èñåë íå áîëüå åì n, ñåäè íèõ ïî ïèíöèïó Äèèõëå èìåòñß ïî êàéíåé ìåå äâà àâíûõ. Ïóñòü, q i = q j = q. Òîãäà a i =2 k i q, a j =2 k j q. Åñëè k i <k j, òî a j äåëèòñß íà a i. Åñëè k i >k j, òî a i äåëèòñß íà a j. Ïèìå. (P. ErdΞos, G. Szekeres) Äëß êàæäîãî n Z + ëáàß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë äëèíû n 2 +1ñîäåæèò óáûâàùó èëè âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû n +1. Äîêàçàòü. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a 1,...,a k 2 +1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n 2 +1àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë. Ïóñòü i k ìàêñèìàëüíàß äëèíà âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàèíàùèéñß ña k è d k ìàêñèìàëüíàß äëèíà óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàèíàùèéñß ñ a k. Äîïóñòèì, òî i k n, d k n, äëß ëáûõ 1 k n Òîãäà ïî ïàâèëó ïîèçâåäåíèß ñóùåñòâóò n 2 âîçìîæíîñòåé äëß (i k,d k ). Çíàèò ïî ïèíöèïó Äèèõëå (i s,d s )=(i t,d t ), äëß íåêîòîûõ s<t.ïîêàæåì, òî òî íåâîçìîæíî. Åñëè a s <a t, òî ïîäñòàâèâ â íààëî âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíàùåéñß ña t èñëî a s ìû ïîëóàåì âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû i t +1íàèíàùèéñß ñ a s. Ïîñêîëüêó i s = i t, ïîëóàåì ïîòèâîåèå ñ ìàêñèìàëüíîñòü äëèíû âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíàùåéñß ñ a s. Åñëè a s >a t, òî ïîäñòàâèâ â íààëî óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíà- ùåéñßña t èñëî a s, ìû ïîëóàåì óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû i s +1 íàèíàùèéñß ñ a s. Ïîñêîëüêó i s = i t, ïîëóàåì ïîòèâîåèå ñ ìàêñèìàëüíîñòü äëèíû óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíàùåéñß ñ a s. Ïèìå. Äîïóñòèì, òî â ãóïïå èç åñòè åëîâåê ëáûå äâà ßâëßòñß ëèáî äóçüßìè, ëèáî âàãàìè. Äîêàçàòü, òî â ãóïïå èìåòñß 3 åëîâåê, ëáûå äâà èç êîòîûõ ßâëßòñß äóçüßìè, ëèáî âàãàìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A îäèí èç åñòè. Ïî ïèíöèïó Äèèõëå ñóùåñòâóåò ïî êàéíåé ìåå 3 > 5/2 åëîâåê äóçåé A èëè âàãîâ A. Äîïóñòèì, òî B,C,D äóçüß A. Åñëè ïî êàéíåé ìåå äâà åëîâåêà ñåäè B,C,D ßâëßòñß äóçüßìè, òî îíè ñ A îáàçóåò ãóïïó èç òåõ äóçåé. Åñëè âñå B,C,D îáàçóåò ìíîæåñòâî âçàèìíûõ âàãîâ, òî ïîëóàåì ìíîæåñòâî èç òåõ åëîâåê âàãîâ. Ïèìå. Äîêàæèòå, òî ñåäè ëáûõ 11 äåéñòâèòåëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ èñåë, íå ïåâîñõîäßùèõ 100 íàéäóòñß ïî êàéíåé ìåå äâà (îáîçíàèì èõ x, y)òàêèå, òî 0 < x y < 1. Ðååíèå. Ïóñòü a 1,...,a 11 ïîèçâîëüíàß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ èñåë ìåæäó 0 è 100. Ðàññìîòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 11 èñåë a 1,..., a 11. Îíè ëåæàò íà îòåçêå 1 è 10. Ïîòîìó ïî ïèíöèïó Äèèõëå íàéäóòñß äâà, îáîçíàèì èõ ååç x, y, êîòîûå ëåæàò íà îäíîì îòåçêå äëèíû 1. Òîãäà 0 < x y < Çàäàè 1. Â êîëå óàòñß 367 êîëüíèêîâ. Äîêàæèòå, òî íàéäóòñß äâà êîëüíèêà, ó êîòîûõ îäèíàêîâû äíè îæäåíèß. 26

28 Óêàçàíèå. Ñêîëüêî äíåé â ãîäó? 2.Íàêàôåäå âûñåé ìàòåìàòèêè àáîòàò 13 ïåïîäàâàòåëåé. Äîêàæèòå, òî íàéäóòñß äâà ïåïîäàâàòåëß, êîòîûå îäèëèñü â îäèí è òîò æå ìåñßö. Óêàçàíèå. Çàéöû ïåïîäàâàòåëè. Êëåòêè 12 ìåñßöåâ. 3. Ëáîå ìíîæåñòâî ñîñòîßùåå èç 41 êàçàõñêèõ ñëîâ ñîäåæèò ïî êàéíåé ìåå äâà ñëîâà íàèíàùèå èç îäèíàêîâûõ áóêâ. Äîêàçàòü. Óêàçàíèå. Êàçàõñêèé àëôàâèò ñîäåæèò 42 áóêâ. Ñëîâî íå ìîæåò íàèíàòüñß ñ áóêâ "ú" è "ü". 4.Ïóñòü S Z +, ãäå S =25. Òîãäà S ñîäåæèò ïî êàéíåé ìåå äâà ëåìåíòà êîòîûå èìåò îäèíàêîâûé îñòàòîê îò äåëåíèß íà Âñßêîå ïîäìíîæåñòâî ïîßäêà 6 ìíîæåñòâà S = {1, 2,...,9} èìååò äâà ëåìåíòà ñ ñóììîé Ñåäè ïßòè òîåê âûáàííûõ âíóòè àâíîñòîîííåãî òåóãîëüíèêå ñî ñòî- îíîé 1 èìååòñß äâå, àññòîßíèå ìåæäó êîòîûìè ìåíüå åì 1/2. Äîêàçàòü. 7. Íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åòûåõ àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, êîòî- ûå íå ñîäåæàò óáûâàùó èëè âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû Íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåâßòè àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, êîòîûå íå ñîäåæàò óáûâàùó èëè âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû Äîêàçàòü, òî â çàäàå P. ErdΞos, G.Szekeres çàìåíèòü n 2 +1íà n 2 íåëüçß. Ïîñòîéòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë äëèíû n 2 íå ñîäåæàùåé óáûâàùåé è âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû n Ôîìóëà âêëåíèß - èñêëåíèß Òåîåìà. n i=1 A i = n s=1 ( 1)s+1 1 i 1 < <i s n A i 1 A is. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåì ïîâîäèòü èíäóêöèåé ïî n. Ïè n =1óòâåæäåíèå îåâèäíî. Äîêàæåì óòâåæäåíèå äëß n =2. Èìååì Çàìåòèì, òî Ïîòîìó A 1 A 2 =(A 1 \ A 2 ) A 2. A 1 \ A 2 = A 1 A 1 A 2, (A 1 \ A 2 ) A 2 =. A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2. Äîïóñòèì, òî óòâåæäåíèå âåíî äëß n 2. Ïóñòü A = n i=1a i. 27

29 Ñîãëàñíî òîæäåñòâó äèñòèáóòèâíîñòè Çàìåòèì, òî A A n+1 =(A 1 A n+1 ) (A 2 A n+1 ) (A n A n+1 ). (A i1 A n+1 ) (A is A n+1 )=A i1 A is A n+1. Ïîòîìó, ïî ïåäïîëîæåíè èíäóêöèè A A n+1 = n ( 1) s+1 s=1 0<i 1 < <i s n A i1 A is A n+1. Êàê áûëî çàìååíî âûå íàå óòâåæäåíèå âåíî äëß n =2. Ïîòîìó ïî ïåäïîëîæåíè èíäóêöèè ( 1) s+1 s=1 0<i 1 < <i s n A A n+1 = A + A n+1 A A n+1 = A i1 A is + A n+1 n+1 ( 1) s+1 s=1 0<i 1 < <i s n+1 n ( 1) s+1 A i1 A is A n+1 = s=1 A i1 A is. Èíäóêöèîííûé ïååõîä óñòàíîâëåí. Òåîåìà äîêàçàíà ïîëíîñòü. Ïèìå. àõòåû àçäîáûëè 100 áèêåòîâ óäû, ñîäåæàùèå æåëåçî, ñâèíåö è îëîâî. Îêàçàëîñü, òî áèêåòû ñîäåæàùåå æåëåçî îáßçàòåëüíî ñîäåæèò è ñâèíåö, 60 áèêåòîâ ñîäåæàò îëîâî è 50 áèêåòîâ ñîäåæàò æåëåçî è îëîâî. Ñêîëüêî áèêåòîâ ñîäåæèò æåëåçî? Ðååíèå. Ïóñòü A 1,A 2 è A 3 ìíîæåñòâî áèêåò ñîäåæàùåå, ñîîòâåòñòâåííî, æåëåçî, ñâèíåö è îëîâî. Ïî óñëîâè çàäàè A 1 A 2, ïîòîìó Êîìå òîãî, è Ïîòîìó A 1 A 2 = A 2, A 1 A 2 A 3 = A 2 A 3. A 3 =60, A 1 A 3 =50, A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 3 A 1 A 3. A 1 = = 90. Ïèìå. Ôóíêöèß Ýéëåà. Ïóñòü n N. Íàéòè ïîßäîê ìíîæåñòâà èñåë ìåæäó 1 è n, âçàèìíî ïîñòûõ ñ n. Ýòî èñëî îáîçíààåòñß φ(n). Ôóíêöèß φ : N N íàçûâàåòñß ôóíêöèåé Ýéëåà. 28

30 Äîêàæåì, òî ãäå n = p α 1 1 pα k k êàíîíèåñêîå àçëîæåíèå â ïîèçâåäåíèå ïîñòûõ ñîìíîæèòåëåé èñëà n. Ïóñòü Òîãäà φ(n) =n k (1 1 ), p i i=1 A i = {p i m m N, 0 <p i m<n}. A i = n/p i. Áîëåå òîãî, äëß ëáûõ 0 <i 1 <... < i s k ìíîæåñòâî A i1 A is ñîñòîèò èç èñåë, êîòîûå íå äåëßòñß íà p i1 p is, è A i1 A is = n/p i1 p is. Ïîòîìó ïî ôîìóëå âêëåíèß-èñêëåíèß A 1 A k = ( 1) s+1 n/p i1 p is = s 1 n(1 k (1 1/p s )). s=1 Çäåñü èñïîëüçóåòñß ñëåäóùàß ëåììà, êîòîó ëåãêî äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî k. Ëåììà. Äëß ëáûõ k èñåë x 1,...,x k, ñïàâåäëèâî àâåíñòâî 1+ k ( 1) s s=1 1 i 1 < <i s k x i1 x is = k (1 x s ). Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî A 1 A k ñîñòîèò èç èñåë, êîòîûå èìåò õîòß áû îäèí äåëèòåëü âèäà p i äëß íåêîòîîãî 1 i k, ìíîæåñòâî s=1 {m 0 <m<n,íîä(m, n) =1} ñîâïàäàåò ñ äîïîëíåíèåì A 1 A k, ãäå â êàåñòâå óíèâåñàëüíîãî ìíîæåñòâà âçßòî ìíîæåñòâî {1, 2,..., n}. Òàêèì îáàçîì, φ(n) =n k (1 1/p s ). s=1 Ïèìå. Áåñïîßäêè. Ïååñòàíîâêà f Sym n íàçûâàåòñß áåñïîßäêîì, åñëè f(i) i, äëß ëáîãî i {1, 2,...,n}. Íàéòè êîëèåñòâî áåñïîßäêîâ. Äîêàæåì, òî êîëèåñòâî áåñïîßäêîâ àâíà D(n) =n!(1 1 1! + 1 2! 1 3! + +( 1)n 1 n! ). 29

31 Ïóñòü A i = {f Sym n f(i) =i}, Òîãäà äëß ëáîãî 0 <i 1 < <i s n, A i1 A is =(n s)! i =1, 2,...,n. Âìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâî ïîßäêà s âûáèàåòñß ( n s) ñïîñîáàìè. Äóãèìè ñëîâàìè, êîëèåñòâî âûáîîê (i 1,...,i s ), òàêèõ, òî 0 <i 1 < <i s n àâíî ( n s). Òàêèì îáàçîì, ôîìóëà âêëåíèß-èñêëåíèß ïèîáåòàåò âèä Ïîòîìó n ( 1) s+1 s=1 s=1 A 1 A n = 0<i 1 < <i s n A i1 A is = n ( ) n ( 1) s+1 (n s)! = s n ( 1) s=1 s+1 n! s!. D n = A 1 A n = Sym n A 1 A n = n!( s 0( 1) s 1 s! ). Ïèìå. Êîëèåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè. Ïóñòü F on (A, B) ={f : A B} ìíîæåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà èç n ëåìåíòîâ â ìíîæåñòâî èç m ëåìåíòîâ. Òîãäà F on (A, B) = m ( m ( 1) s s s=0 ) (m s) n. Íàïèìå, ïè n = 3,m = 2 ñóùåñòâóò 6 = 8 2 ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî ôàêòà áóäåò ïèâåäåíî â ñëåäóùåì ïóíêòå Çàäàè 1. Â êóæêå ïî ïîäãîòîâêå ê îëèìïèàäàì êîëüíèêè èçóàò ìàòåìàòèêó è èíôîîìàòèêó. Èç íèõ 25 êîëüíèêîâ èçóàò èíôîìàòèêó, 13 óàò ìàòåìàòèêó è 8 èçóàò ìàòåìàòèêó è èíôîìàòèêó. Ñêîëüêî êîëüíèêîâ ïîñåùàò êóæîê? 2. Â êîëëåäæå óàòñß 1807 ñòóäåíòîâ. Èç íèõ 453 èçóàò àíãëèéñêèé, 567 èçóàò íåìåöêèé, è 299 èçóàò àíãëèéñêèé è íåìåöêèé. Ñêîëüêî ñòóäåíòîâ íå èçóàò íè àíãëèéñêîãî, íè íåìåöêîãî? 3. Ñêîëüêî ëåìåíòîâ ñîäåæàò ìíîæåñòâî A 1 A 2, åñëè A 1 ñîäåæèò 12 ëåìåíòîâ, A 2 èìååò 18 ëåìåíòîâ è 30

32 A 1 A 2 = A 1 A 2 =1 A 1 A 2 =6 A 1 A 2 4. Íàéòè êîëèåñòâî öåëîèñëåííûõ íåîòèöàòåëüíûõ ååíèè óàâíåíèß x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =8ñ óñëîâèßìè x i 7, äëß âñåõ i =1, 2, 3, 4. 5.Ñêîëüêî íåîòèöàòåëüíûõ öåëîèñëåííûõ ååíèè èìååò óàâíåíèå x 1 +x 2 + x 3 =11îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x 1,x 2,x 3 òàêèõ, òî x 1 3, x 2 4 è x 3 6.? 6. Ñêîëüêî ñóùåñòâóò ôóíêöèè "íà" èç ìíîæåñòâà ïîßäêà åñòü íà ìíîæåñòâî ïîßäêà òè? 7. Ñêîëüêî èñåë îñòàíóòñß â ìíîæåñòâå {1, 2,...,1000} ïîñëå âûåêèâàíèß èñåë êàòíûõ 2, 3, 5, 7? 8. Ñêîëüêî èñåë â ìíîæåñòâå {1, 2,...,100} íå äåëßòñß â êâàäàò êàêîãî ëèáî öåëîãî èñëà áîëüåé åì 1? 9. Áåñïîßäêîì ìíîæåñòâà {1, 2,...,n} íàçûâàåòñß ïååñòàíîâêà σ Sym n òàêàß, òî σ(i) i, äëß âñåõ i =1, 2,...,n. Ïååèñëèòü âñå áåñïîßäêè ìíîæåñòâà {1, 2, 3, 4}. 10. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïååñòàâèòü öèôû {0, 1, 2,...,9} òàê, òîáû íè îäíî åòíîå èñëî íå ñòîßëî íà ñâîåì ìåñòå? 11. Ñêîëüêî ïååñòàíîâîê èç 42 áóêâ êàçàõñêîãî àëôàâèòà íå ñîäåæàò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê æå, òàû, ò? 12. (Íåàâåíñòâà Áîíôåîíè) Äîêàçàòü íåàâåíñòâà: åñëè q åòíî, åñëè q íååòíî. q ( 1) k 1 k=1 q ( 1) k 1 k=1 I ( {1,2,...,n} k ) I ( {1,2,...,n} k ) i I A i i I A i n A i, i=1 n A i, i=1 31

33 3.4 Áèíîìèàëüíûå êîôôèöèåíòû Ôàêòîèàë n! =1 2 3 n. Áèåêòèâíàß ôóíêöèß f : n n,ãäå n = {1, 2,...,n}, íàçûâàåòñß ïååñòàíîâêîé. Ïóñòü Sym n ìíîæåñòâî ïååñòàíîâîê. Òîãäà Sym n = n!. Áèíîìèàëüíûé êîôôèöèåíò ( ) n n(n 1) (n i +1) =, i i! n Z, i Z +. Äóãèå îáîçíàåíèß: Cn, i C(n, i). Ïî îïåäåëåíè ( n i) =0, åñëè i>n.îáàòèì âíèìàíèå íà òî, òî áèíîìèàëüíûé êîôôèöèåíò ìîæíî îïåäåëèòü è äëß îòèöàòåëüíûõ n. Åñëè n Z +, òî ( ) n = i ( ) n i n! i!(n i)!, =( 1) i ( n + i 1 i Ïèìå. Äàíî ìíîæåñòâî ïîßäêà n. Íàéòè êîëèåñòâî ïîäìíîæåñòâ ïîßäêà k. Ðååíèå. Ïóñòü A = {a 1,...,a n } ìíîæåñòâî ïîßäêà n è P k (A) ={B A B = k} ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ ïîßäêà k. Ïóñòü Cn k = P k(a). Ïóñòü B A ïîäìíîæåñòâî ïîßäêà k. Âîçìîæíî äâà âçàèìíî èñêëàùèõ ñëóàß. Ïåâûé ñëóàé: a n B.Òîãäà B\{a n } A\{a n } è B\{a n } = k 1. Êîëèåñòâî òàêèõ ïîäìíîæåñòâ Cn 1 k 1. Âòîîé ñëóàé: a n B. Òîãäà B A \{a n } è A \{a n } = n 1. Êîëèåñòâî òàêèõ ïîäìíîæåñòâ Cn 1 k. Òàêèì îáàçîì, Îåâèäíî, òî C k n = C k 1 n 1 + C k n 1. C 0 1 =1, C 1 1 =1. ). Êàê áóäåò óñòàíîâëåíî âíèçó èç òèõ óñëîâèè ñëåäóåò, òî C k n = n! k!(n k)!. Îòâåò: ( n k). Ñîåòàíèå àçìåùåíèå i íåàçëèèìûõ ïåäìåòîâ ïî n ßùèêàì, íå áîëåå åì ïî îäíîìó â ßùèê. Êîëèåñòâî ñîåòàíèè ( n i). Ñîåòàíèå ñ ïîâòîåíèßìè àçìåùåíèå i íåàçëèèìûõ ïåäìåòîâ ïî n ßùèêàì. èñëî ñîåòàíèè ñ ïîâòîåíèßìè ( ) n+i 1 i. Ïèìå. SSùèê ñîäåæèò àû k öâåòîâ. àîâ êàæäîãî öâåòà íå ìåíüå åì n. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáàòü n àîâ? 32

34 Ðååíèå. Äîïóñòèì, òî âûáîêà èç n àîâ ñîäåæèò i 1 àîâ öâåòà 1, i 2 àîâ öâåòà 2,èò.ä. Ðàñïîëîæèì èõ ïî ïîßäêó ïî öâåòàì è ìåæäó íèìè ïîñòàâèì ïååãîîäêè. i 1 àîâ öâåòà 1 i 2 àîâ öâåòà 2 i k àîâ öâåòà k Ïóñòü A ìíîæåñòâî àîâ (èõ n òóê) âûáîîê è ïååãîîäîê (èõ k 1 òóê). Òîãäà A = n + k 1 è íàà çàäàà àâíîñèëüíà âûáîó ïîäìíîæåñòâà ïîßäêà k 1 (ïååãîîäêè) ìíîæåñòâà ïîßäêà n + k 1 (àû è ïååãîîäêè). Îòâåò: ( n+k 1 k 1 ). Ïèìå. Ñêîëüêî íåîòèöàòåëüíûõ öåëîèñëåííûõ ååíèè èìååò óàâíåíèå x x k = n Ýòà âîïîñ êâèâàëåíòåí ïåäûäóùåìó âîïîñó. Ïåäñòàâüòå, òî x i êîëèåñòâî àîâ i-îãî öâåòà, ãäå i =1, 2...,k. Îòâåò: ( n+k 1 k 1 ). Òåóãîëüíèê Ïàñêàëß Ýëåìåíòû êàæäîé ñëåäóùåé ñòîêè îïåäåëßòñß êàê ñóììû äâóõ èñåë ñòîßùèõ ïî áîêàì ñâåõó. Îáîçíàèì ååç Cn i i-ûé ëåìåíò n-îé ñòîêè. Ïîëîæèì Ci n =0åñëè i<0 èëè i>n.òîãäà ñâîéñòâî, ïîîæäàùåå òåóãîëüíèê Ïàñêàëß çàäàåòñß òàê Çàäàè C i n = Ci n 1 + Ci 1 n Äîêàçàòü, òî C i n = ( ) n. i 2. ( ) ( n i + n i 1 ) ( = n+1 ). i 3. (Áèíîì Íüòîíà) (x + y) n = n i=1 ( n i) x i y n i. 4. n i=0 ( n i) =2 n. 33

35 5. n i=0 ( 1)i( n i) =0. 6. Äîêàçàòü, òî ( n i) äåëèòñß íà p, åñëèn = p, 0 <i<p,è p ïîñòîå. 7. Íàéòè êîëèåñòâî ïîäìíîæåñòâ ïîßäêà 2 ìíîæåñòâà ïîßäêà 6. Îòâåò Âßùèêå ñîäåæàòñß àû òåõ öâåòîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáàòü 4 àà? (àîâ êàæäîãî öâåòà íå ìåíüå 4) Îòâåò: Ñêîëüêî íåîòèöàòåëüíûõ öåëîèñëåííûõ ååíèè èìååò óàâíåíèå x 1 +x 2 + x 3 =4? 10.Ïóñòü u (k) = k u x k-àß ïîèçâîäíàß ôóíêöèè u = u(x). Äîêàçàòü, òî (u + v) (n) = n i=0 ( ) n u (i) v (n i). i 3.5 Ôóíêöèè íà êîíåíûõ ìíîæåñòâàõ Îáîçíàåíèß: F(A, B) ={f : A B} ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèè èç A â B. F in (A, B) ìíîæåñòâî èíúåêòèâíûõ ôóíêöèè èç A â B, F on (A, B) ìíîæåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè èç A â B. Ïóñòü A n m = m (m 1) (m n +1) èñëî ïååñòàíîâîê n ëåìåíòîâ èç m àçëèíûõ ëåìåíòîâ áåç ïîâòîåíèé. Ïî îïåäåëåíè, A n m =0, åñëè m<n. Òåîåìà. Ïóñòü A,B ìíîæåñòâà ïîßäêà n è m ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà F(A, B) = m n, F in (A, B) = A n m, m ( ) m F on (A, B) = ( 1) s (m s) n. s s=0 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A = {a 1,...,a n } è B = {b 1,...,b m }. Âñßêàß ôóíêöèß f F(A, B) îäíîçíàíî îïåäåëßåòñß ñâîèìè çíàåíèßìè f(a i ) B, ãäå i = 1,...,n. Ýëåìåíò f(a i ) ìîæåò ïèíèìàòü îäíî èç m çíàåíèè b 1,...,b m. Òàêèì îáàçîì, ïî ïàâèëó ïîèçâåäåíèß äëß (f(a 1 ),...,f(a n )) B B }{{} n èìååòñß m n âîçìîæíîñòåé. Èíûìè ñëîâàìè, F(A, B) = m n. 34

36 Ïóñòü f F in (A, B). Òîãäà ìíîæåñòâî ëåìåíòîâ Imf = {f(a 1 ),...,f(a n )} îïåäåëßò n ëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B. Òàêèì îáàçîì, âûáî ìíîæåñòâà Imf àâíîñèëüíî âûáîó n ëåìåíòíîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà B. Êàêìû çíàåì òî ìîæíî ñäåëàòü ( m n) ñïîñîáàìè. Ïóñòü A = {b 1,...,b n } ëáîå n ëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B. Ñóùåñòâóò n! ôóíêöèè ñ ìíîæåñòâîì ëåìåíòîâ îáàçîâ A. Èìåííî, ôóíêöèè f σ, ãäå σ Sym n, çàäàííûìè ïî ïàâèëàì f σ (a i )=b σ(i), îáëàäàò òàêèì ñâîéñòâîì. Èòàê, ïî ïàâèëó ïîèçâåäåíèß, F in (A, B) = ( ) m n! =m(m 1) (m n +1). n Ïóñòü f F on (A, B). Ïóñòü F i = {f F(A, B) f(a) b i, a A} ïîäìíîæåñòâî ôóíêöèè, íå ïèíèìàùèå çíàåíèß b i. Òîãäà f ìîæíî àññìàòèâàòü êàê ôóíêöè èç A ñî çíàåíèßìè â m 1 ëåìåíòíîì ìíîæåñòâå B \{b i } : Òàêèì îáàçîì, f F i f F(A, B \ b i ), B \{b i } = m 1. F i =(m 1) n, i =1,...,n. Ïî àíàëîãèíûìè ïèèíàìè, ëáó ôóíêöè f F i1 F is ìîæíî àññìàò- èâàòü êàê ôóíêöè f F(A, B \{b i1,...,b is } è ( m s F i1 F is =(m s) n. ) Ìû çíàåì, òî ñòîêè (i 1,...,i s ) òàêèå, òî 1 i 1 < <i s m ìîæíî âûáàòü ñïîñîáàìè. Èòàê, ïî ïàâèëó âêëåíèß-èñêëåíèß F 1 F m = m ( 1) s+1 s=1 1 i 1 < <i s m F i1 F is = m ( m ( 1) s+1 s s=1 ) (m s) n. Îåâèäíî, òî ìíîæåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñ äîïîëíåíèåì F 1 F m, ãäå â êàåñòâå óíèâåñàëüíîãî ìíîæåñòâà âûñòóïàåò ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèè F(A, B). Òàêèì îáàçîì, m. m n F on (A, B) = F 1 F m = F(A, B) F 1 F m = m ( ) ( ) m m m ( ) m ( 1) s+1 (m s) n = (m 0) n + ( 1) s (m s) n = s 0 s s=1 m ( ) m ( 1) s (m s) n. s s=1 Ñëåäñòâèå. s=0 m ( m ( 1) s s s=0 ) (m s) m =0, åñëè m<n. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïèíöèïó Äèèõëå, ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè íåò, åñëè n> Òåîåìà. Ïóñòü A = B = n è f F(A, B). Ñëåäóùèå óñëîâèß êâèâàëåíòíû: 35

37 f èíúåêòèâåí f ñúåêòèâåí f áèåêòèâåí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f F in (A, B), íî f F on (A, B). Èíûìè ñëîâàìè, êîëèåñòâî ëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâà îáàçîâ ImA B ìåíüå åì n. Òîãäà ïî ïèíöèïó Äèèõëå ñóùåñòâóò ïî êàéíåé ìåå äâà ëåìåíòà a, a A òàêèå, òî f(a) =f(a ). Ýòî ïîòèâîåèò òîìó, òî f èíúåêòèâåí. Îáàòíî, ïóñòü f F on (A, B), íî f F in (A, B). Òîãäà íàéäóòñß ïî êàéíåé ìåå äâà ëåìåíòà a, a A òàêèå, òî f(a) =f(a ). Òàêèì îáàçîì, ImA <n.ýòî ïîòèâîåèò òîìó, òî f ñúåêòèâåí. Èòàê, ìû äîêàçàëè, òî èíúåêòèâíîñòü è ñúåêòèâíîñòü ïè A = B ïîíßòèß êâèâàëåíòíûå. Äóãèìè ñëîâàìè, âñå òè ïîíßòèß èíúåêòèâíîñòü, ñúåêòèâíîñòü è áèåêòèâíîñòü ïè A = B êâèâàëåíòíû. Ñëåäñòâèå. Sym n = n!. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì m = n â ôîìóëå Ñëåäñòâèå. F in (A, B) = A n m = m(m 1) (m n +1). m ( m ( 1) s s s=0 ) (m s) m = m!. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì n = m â ôîìóëå F on (A, B) = Ïîëóàåì, òî ïè A = B = m, F on (A, B) = m ( m ( 1) s+1 s s=0 m ( m ( 1) s+1 s s=0 Ìû äîêàçàëè âûå, òî åñëè A = B, òî F on (A, B) = F in (A, B). Îñòàëîñü ïèìåíèòü ïåäûäóùåå ñëåäñòâèå F in (A, B) = Sym m = m! ) (m s) n. ) (m s) m. òîáû çàâåèòü äîêàçàòåëüñòâî. Ïèìå. Òåì ëåíòßßì ïåäëîæèëè çàíßòüñß îäíèì èç ñëåäóùèõ äåë: êîïàòü êàòîêó, ïàñòè ñêîò èëè óáèàòü ìóñî. Êàæäûé èç íèõ ìîãóò íèåì íå çàíèìàòüñß è åñëè çàíèìàòüñß, òî íå áîëåå åì îäíèì äåëîì. Ñêîëüêî ñïîñîáîâ èõ ïîâåäåíèß ñóùåñòâóò? 36

38 Ðååíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ëåíòßåâ: A = {ëåíòßé 1, ëåíòßé 2, ëåíòßé 3 }. Ïóñòü B ìíîæåñòâî èç åòûåõ ëåìåíòîâ B = {êîïàòü êàòîêó, ïàñòè ñêîò, óáèàòü ìóñî, íèåì íå çàíèìàòüñß}. Ïîòîìó îòîáàæåíèå A B, a b, ñîñòîßùàß â òîì, òî a âûáèàåò çàíßòèå b ßâëßåòñß ôóíêöèåé. Òàêèì îáàçîì, ñóùåñòâóåò 4 3 = 256 ñïîñîáîâ ïîâåäåíèß ëåíòßåâ. Îòâåò: 256. Ïèìå. Êàæäûé èç åòûåõ äóãîâ åèëè êóïèòü ïî ãàëñòóêó, ïèåì íèêòî íå õîåò âûáèàòü ãàëñòóê òàêîé æå, êàê ó äóãîãî. Èìåòñß ãàëñòóêè åñòè âèäîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè äóçüß ìîãóò îñóùåñòâèòü ñâîè âûáî? Ðååíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî äóçåé è B ìíîæåñòâî ãàëñòóêîâ. Òîãäà îòîá- àæåíèå A B, a b, ñîñòîßùàß â òîì, òî a âûáèàåò ãàëñòóê b ßâëßåòñß ôóíêöèåé (êàæäûé âûáèàåò ïî ãàëñòóêó), ïèåì èíüåêòèâíîé (âñå âûáàííûå ãàëñòóêè àçëèíû). Òàêèì îáàçîì, êîëèåñòâî ñïîñîáîâ âûáîà ãàëñòóêîâ àâíî F in (A, B) = = 360. Îòâåò: 360. Ïèìå. åòûå êîíñòóêòîà îáßçàíû âûïîëíèòü ïîåêò,êîòîûé ñîñòîèò èç òåõ àñòåé. Êàæäûé èç êîíñòóêòîîâ âûáèàåò îäíó èç àñòåé ïîåêòà, ïèåì òó àñòü ìîæåò âûáàòü è äóãîé êîíñòóêòî. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè êîíñòóêòî- û ìîãóò îãàíèçîâàòü àáîòó íàä ïîåêòîì? Ðååíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî êîíñòóêòîîâ è B ìíîæåñòâî àñòåé ïîåêòà. Òîãäà îòîáàæåíèå A, a b, ñîñòîßùàß â òîì, òî êîíñòóêòî a âûáèàåò àñòü b ïîåêòà ßâëßåòñß ôóíêöèåé, ïèåì ñúåêòèâíîé (ïîåêò äîëæåí áûòü âûïîëíåí). Ïîòîìó êîëèåñòâî ñïîñîáîâ àáîòû íàä ïîåêòîì àâíî ( ) ( ) ( ) F on (A, B) =( 1) 0 (3 0) 4 +( 1) 1 (3 1) 4 +( 1) 2 (3 2) 4 +0= Îòâåò: Ìàòåìàòèåñêàß èíäóêöèß Ìàòåìàòèåñêàß èíäóêöèß.ïóñòü P (n) íåêîòîîå óòâåæäåíèå çàâèñßùåå îò n =1, 2,... Äîïóñòèì, òî óäàñòñß äîêàçàòü ñëåäóùèå âåùè. Îñíîâàíèå èíäóêöèè: P (1) âåíî. Èíäóêöèîííûé ïååõîä: åñëè P (n) âåíî, òî P (n +1) âåíî. Âûâîä: òîãäà P (n) âåíî äëß ëáîãî n. Â òîì ñîñòîèò ìåòîä ìàòåìàòèåñêîé èíäóêöèè. Ïèìå. Äîêàæåì, òî ñóììà íååòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ èñåë ßâëßåòñß ïîëíûì êâàäàòîì. Èìåííî, ïóñòü óòâåæäåíèå P (n) ñîñòîèò â òîì, òî (2n +1)=(n +1) 2. (3.1) 37

df (x) =F (x)dx = f(x)dx.

df (x) =F (x)dx = f(x)dx. Ââåäåíèå Íà ßäó ñ ïîèñêîì ïî çàäàííîé ôóíêöèè åå ï îèçâîäíîé, òî ßâëßåòñß çàäà åé äèôôå åíöèàëüíîãî èñ èñëåíèß, àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â îá àòíîé îïå àöèè âîññòàíîâëåíèè ôóíêöèè ïî åå ï îèçâîäíîé.

Διαβάστε περισσότερα

Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009

Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009 Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009 Ñîäå æàíèå Òåìà 1 À èôìåòè åñêèå äåéñòâèß íàä âåêòî àìè...

Διαβάστε περισσότερα

X Y = {X Y : X X} P. π[e] = { E P ( P(E) ) ( E)&(E E)&(A B E A E B E) } (1.1) (alg)[e] = {L π[e] E \ L L L L}, (1.2) (top)[e] = G τ G P (τ).

X Y = {X Y : X X} P. π[e] = { E P ( P(E) ) ( E)&(E E)&(A B E A E B E) } (1.1) (alg)[e] = {L π[e] E \ L L L L}, (1.2) (top)[e] = G τ G P (τ). ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 519.6 c Å. Ã. Ïûòêååâ, À. Ã. åíöîâ ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈSS ÑÂÎÁÎÄÍÛÕ ÓËÜÒÐÀÔÈËÜÒÐÎÂ 1 Ðàññìàò èâà òñß êîíñò óêöèè, ñâßçàííûå

Διαβάστε περισσότερα

f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m )

f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m ) ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 517.912, 514.1 c Â. À. Êû îâ ÂËÎÆÅÍÈÅ ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈ ÍÛÕ ÃÅÎÌÅÒÐÈÉ ÄÂÓÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÀÍÃÀ (N, 2) Â ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ

Διαβάστε περισσότερα

K8(03) 99

K8(03) 99 åëßáèíñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ã.À.Ñâè èä ê Â.Å.Ôåäî îâ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ àñòü I Ó åáíîå ïîñîáèå åëßáèíñê 1999 Ìèíèñòå ñòâî îáùåãî è ï îôåññèîíàëüíîãî îá àçîâàíèß Ðîññèéñêîé Ôåäå àöèè åëßáèíñêèé

Διαβάστε περισσότερα

z ); (h ˆ,h ) = arccos h,h ˆ,h ) [0,π]; α A (z )= max (h z = 0 R 2. Òîãäà Ω A (z ) = {z R : z = 1}, co Ω A (z ) z = {z R 2 : z 1}, z < 1.

z ); (h ˆ,h ) = arccos h,h ˆ,h ) [0,π]; α A (z )= max (h z = 0 R 2. Òîãäà Ω A (z ) = {z R : z = 1}, co Ω A (z ) z = {z R 2 : z 1}, z < 1. ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 514.74 c Â. Í. Ó àêîâ, À. À. Óñïåíñêèé α-ìíîæåñòâà Â ÊÎÍÅ ÍÎÌÅÐÍÛÕ ÅÂÊËÈÄÎÂÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ È ÈÕ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 1 Ï èâîäèòñß ïîíßòèå

Διαβάστε περισσότερα

ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ

ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ À.Â. Ïëÿñóíîâ Ðàâíîâåñèÿ Íýøà è Øòàêåëüáåðãà Ñâåòëîãîðñê 2015 1 / 12 ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÍÝØÀ È ØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ Â ÇÀÄÀ ÀÕ ÖÅÍÎÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÕÀÁÎÂ Þ.À. Êî åòîâ, À.Â. Ïëÿñóíîâ, Ä.Ä. âîêè Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè

Διαβάστε περισσότερα

ÓÄÊ Ïå àòàåòñß ïî å åíè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èíñòèòóòà ôèçèêè Êàçàíñêîãî ôåäå àëüíîãî óíèâå ñèòåòà Ðåöåíçåíòû: Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. í

ÓÄÊ Ïå àòàåòñß ïî å åíè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èíñòèòóòà ôèçèêè Êàçàíñêîãî ôåäå àëüíîãî óíèâå ñèòåòà Ðåöåíçåíòû: Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. í Êàçàíñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò A.È. Åãî îâ, Ð. Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò. Í. Ïàíê àòüåâà ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈSS ÄËSS ÈÍÆÅÍÅÐÍÛÕ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈÉ Ìåòîäè åñêîå ïîñîáèå Êàçàíü - 2013 ÓÄÊ 517.91 Ïå àòàåòñß ïî å

Διαβάστε περισσότερα

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetRu Общероссийский математический портал А Л Багно, А М Тарасьев, Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом, Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех Компьют науки,

Διαβάστε περισσότερα

y(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n,

y(t 0 )=y 0,t [t 0,t f ],y R n, ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÊÎÌÈÒÅÒ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÎ ÂÛÑ ÅÌÓ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈ ÊÐÀÑÍÎSSÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Íà ï àâàõ óêîïèñè ÓÄÊ 519.6 ÐÎÃÀËΞÅÂ ÀËÅÊÑÅÉ ÍÈÊÎËÀÅÂÈ ÂÅÐÕÍÈÅ È ÍÈÆÍÈÅ ÎÖÅÍÊÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÅ ÅÍÈÉ

Διαβάστε περισσότερα

Óòâå æäåíî íà çàñåäàíèè êàôåä û âû èñëèòåëüíîé ôèçèêè Àâòî û: È.Â. Àíä îíîâ, Â.Á. Êó àñîâ, Â.Â. Ìîíàõîâ, À.Â. Êîæåäóá, Ï.À. Íàóìåíêî, Ò.Â. Ô îëîâà, À.

Óòâå æäåíî íà çàñåäàíèè êàôåä û âû èñëèòåëüíîé ôèçèêè Àâòî û: È.Â. Àíä îíîâ, Â.Á. Êó àñîâ, Â.Â. Ìîíàõîâ, À.Â. Êîæåäóá, Ï.À. Íàóìåíêî, Ò.Â. Ô îëîâà, À. Ñàíêò-Ïåòå áó ãñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ôèçè åñêèé ôàêóëüòåò Êàôåä à âû èñëèòåëüíîé ôèçèêè Ï àêòèêóì ïî èñëåííûì ìåòîäàì äëß ñòóäåíòîâ âòî îãî êó ñà àñòü I-II Ó åáíî-ìåòîäè åñêîå ïîñîáèå Ñàíêò-Ïåòå

Διαβάστε περισσότερα

Ç åñãáóßá êáé ï áíèñþðéíïò ìü èïò ðçãþ åìðíåõóçò ôùí åëëþíùí æùãñüöùí

Ç åñãáóßá êáé ï áíèñþðéíïò ìü èïò ðçãþ åìðíåõóçò ôùí åëëþíùí æùãñüöùí Ç åñãáóßá êáé ï áíèñþðéíïò ìü èïò ðçãþ åìðíåõóçò ôùí åëëþíùí æùãñüöùí C i ani euaei 2 0 0 6 OOE E I AI O O? A E E C E U I A E I EE C O ONA? A? A O Ai o?? ni euai o I eaec i anei uo i u?ei o, i e aa? i

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ

Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2010.. 41.. 1 Š ƒ ˆ ˆŸ Å Š Šˆ ATLAS: ˆ ˆŸ ˆ Šˆ, Œ ˆ Œ ˆ.. ƒê ±μ,. ƒ ² Ï ², ƒ.. Š ± ²,. Œ. Ò,.. ŒÖ²±μ ±,.. Ï Ìμ μ,.. Ê ±μ Î,.. ±μ,. Œ. μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. ÉÉÊ,. Ê μ μ ± Ö μ Í Ö Ö ÒÌ

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

t w max s.t. w θc(t) 0, (1)

t w max s.t. w θc(t) 0, (1) Òåî èß êîíò àêòîâ Ñáî íèê çàäà ñ å åíèßìè Ñîñòàâèòåëè: ï åïîäàâàòåëè ÐÝ Ñå ãåé Ãîëîâàíü, Ñå ãåé Ãó èåâ, Àëåêñåé Ìàê ó èí. 3 àï åëß ã. Ï åäâà èòåëüíûé âà èàíò; âñå çàìå àíèß è ï åäëîæåíèß íàï àâëßòü ïî

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

20.2.5 Å/ ÅÃ... YD/ kod... 130

20.2.5 Å/ ÅÃ... YD/ kod... 130 Περιεχόμενα 13 Ψάχνοντας υποαπασχόληση 1 13.1 Διάλογοι.................................................. 1 13.1.1 Ÿ º Â È Ç½µ¹ Å»µ¹..................................... 1 13.1.2 Ä µãä¹±äìá¹...........................................

Διαβάστε περισσότερα

Ï åäèñëîâèå Â êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâû

Ï åäèñëîâèå Â êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâû ÄÈÀÃÐÀÌÌÀÒÈÊÀ Ëåêöèè ïî èçá àííûì çàäà àì òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß Èçäàíèå âòî îå, ïå å àáîòàííîå è äîïîëíåííîå Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò ëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 66, Ðîññèß, E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±

Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 5(147).. 777Ä786. Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ. ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 5(147).. 777Ä786. Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ. ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2008.. 5, º 5(147).. 777Ä786 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ ˆŒˆ Šˆ Œ Š ƒ ˆŒ œ ƒ - Ÿ ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ± μ, ÎÉμ ² ³ Ö Éμ³ μ-ô³ μ μ μ ±É μ³ É μ Ìμ É μ μ ³μ² ±Ê² CN CO 2 N 2. ±

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

σ 2 = 1 N i=1 x = ae ie, E = n(t t 0 )+E 0, n = μ/a 3, (3)

σ 2 = 1 N i=1 x = ae ie, E = n(t t 0 )+E 0, n = μ/a 3, (3) 1 ÓÄÊ 523.24 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÎÐÁÈÒ ÁËÈÇÊÈÕ ÑÏÓÒÍÈÊÎÂ ÏÈÒÅÐÀ c 27 ã. Àâä åâ Â.À., Áàíüùèêîâà Ì.À. ÍÈÈ ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Òîìñêîãî ãîñóíèâå ñèòåòà, ï. Ëåíèíà, 36, Òîìñê, Ðîññèß, 6345; e-mail: astrodep@niipmm.tsu.ru

Διαβάστε περισσότερα

2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñóùåñòâåííî àñ è åííûé êîíñïåêò ëåêöèé, èòàåìûõ àâòî îì íà ôèçè åñêîì ôàêóëüòåòå Ó àëüñêîãî

2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñóùåñòâåííî àñ è åííûé êîíñïåêò ëåêöèé, èòàåìûõ àâòî îì íà ôèçè åñêîì ôàêóëüòåòå Ó àëüñêîãî ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎËSS Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò Ýëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 620016, Ðîññèß, E-mail: sadovski@iep.uran.ru c Ì.Â.Ñàäîâñêèé, 2002 2 Ï åäèñëîâèå Èçëàãàåìûé íèæå ìàòå èàë

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Ι Ρ Α Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Σ O 114 Α, Β & Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Σ Ε Ι Ρ Α Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Σ O 114 Α, Β & Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΕΥΕΛΙΚΤΗ ΖΩΝΗ ΦΙΛΑΝΑΓΝΩΣΙΑ Αγκαλιά με παραμύθια ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Αγκαλιά με παραμύθια ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Χρυσούλα Τσιρούκη ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Κατερίνα Χαδουλού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ

ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2009.. 40.. 6 ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ Œ.. Ê μ, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 1603 ˆ ˆ ˆŸ ˆ ˆ œ Š Œ ˆ Ÿ 1614 Î μ μ Ö É ²Ó μ μ μ É É±. 1614 μöé μ ÉÓ μ μ Ö

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας. ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &

Διαβάστε περισσότερα

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô

ÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô ÂÚÈ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô È ÚÈıÌÔ Ì ÚÈ ÙÔ ÃÒÚÔ Î È Û Ì Ù ÂÊ Ï ÈÔ : ÚÔÛ Ó ÙÔÏÈÛÌfi ÛÙÔ ÒÚÔ... ÂÊ Ï ÈÔ : ˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù... ÂÊ Ï ÈÔ : ÁÎÚÈÛË Î È ÂÎÙ ÌËÛË appleôûôù ÙˆÓ... ÂÊ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική. Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς. Εργαστήριο Συστηµάτων Αποφάσεων & ιοίκησης

Μάθηµα: ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική. Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς. Εργαστήριο Συστηµάτων Αποφάσεων & ιοίκησης ιαχείριση Ενέργειας 11γ. Μελέτη Περίπτωσης V: Μεθοδολογία Monitoring & Targeting σε Βιοµηχανία Ζύθου. Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστηµάτων Αποφάσεων & ιοίκησης Γρ. 0.2.7. Ισόγειο Σχολής Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 2006.. 3, º 2(131).. 105Ä110 Š 537.311.5; 538.945 Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆŠ ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ œ ƒ Œ ƒ ˆ ˆ Š ˆ 4 ². ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ³ É É Ö μ ² ³ μ É ³ Í ² Ö Ê³ μ μ ³ É μ μ μ²ö

Διαβάστε περισσότερα

ƒšˆœˆ Ÿ Œˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ ƒˆÿ.. Ê μ Î ±μ

ƒšˆœˆ Ÿ Œˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ ƒˆÿ.. Ê μ Î ±μ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2013.. 44.. 5 ƒšˆœˆ Ÿ Œˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ ƒˆÿ.. Ê μ Î ±μ É μë Î ± É ÉÊÉ ³.. ƒ. ±μ, ˆ É ÉÊÉ Ö μ Ë ± Š, ²³ - É, Š Ì É ˆ 1535 Œ 1537 μ² Ò Î Ö Ì É 1537 μé Í ²Ò μ² μ Ò ËÊ ±Í 1539 ² Ò ³ Éμ Ò Î É 1541

Διαβάστε περισσότερα

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz. Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320

Ó³ Ÿ , º 3(180).. 313Ä320 Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 3(18).. 313Ä32 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆŸ ƒ ƒ Ÿ ˆ Š ˆ Šˆ Š ŒŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ.. μ a, Œ.. Œ Í ± μ,. ƒ. ²Ò ± a ˆ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ μ ±μ ± ³ ʱ, Œμ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 2 Ισοδύναμο Ηλεκτρικό Κύκλωμα Σύγχρονων Μηχανών Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Πεπλεγμένη μαγνητική ροή συναρτήσει των

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏ ÓÊËÇ ÓÇ. Αγαπητοί Συνάδελφοι,

ÐÑÏ ÓÊËÇ ÓÇ. Αγαπητοί Συνάδελφοι, ÐÑÏ ÓÊËÇ ÓÇ Αγαπητοί Συνάδελφοι, Έχουμε την ιδιαίτερη τιμή αλλά και χαρά να σας προσκαλέσουμε στο 1 ο Τακτικό Συνέδριο που διοργανώνει η νεοσυσταθείσα Πανελλήνια Επιστημονική Ένωση Θεραπευτικής με Laser

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

dx dt = f(t,x), t [0,T], (1) g ( x(0),x(t) ) = T, (2)

dx dt = f(t,x), t [0,T], (1) g ( x(0),x(t) ) = T, (2) ISSN 16820525 Ì À Ò Å Ì À Ò È Ê À Ë Û Æ Ó Ð Í À Ë Ì À Ò Å Ì À Ò È Å Ñ Ê È É Æ Ó Ð Í À Ë M A T H E M A T I C A L J O U R N A L 2010 òîì 10 1 35 Èçäàåòñÿ ñ 2001 ãîäà Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÌÎ è Í ÐÊ Àëìàòû

Διαβάστε περισσότερα

INTERACTIVE PHYSICS. Εισαγωγή κειµένου

INTERACTIVE PHYSICS. Εισαγωγή κειµένου INTERACTIVE PHYSICS Εισαγωγή εικόνας Μπορούµε να εισάγουµε εικόνα στην προσοµοίωση µας και να την συνδέσουµε µε κάποιο σώµα που έχουµε δηµιουργήσει. 1.Αντιγράφουµε την εικόνα στο πρόχειρο µε αντιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους Ασκήσεις επί λίθου Άσκηση 1η Διαβάστε προσεκτικά το κείμενο της επιγραφής και προσπαθήστε να αποδώσετε στα

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

2 ÓÄÊ ÁÁÊ Ðåäàêòî ä.ô.ì.í., ï îô. êàô. àñò îôèçèêè ÑÏáÃÓ Ðåöåíçåíòû ä.ô.ì.í., ï îô. êàô. àñò îôèçèêè ÑÏáÃÓ ê.ô.ì.í., ñò. íàó í. ñîò. àñò

2 ÓÄÊ ÁÁÊ Ðåäàêòî ä.ô.ì.í., ï îô. êàô. àñò îôèçèêè ÑÏáÃÓ Ðåöåíçåíòû ä.ô.ì.í., ï îô. êàô. àñò îôèçèêè ÑÏáÃÓ ê.ô.ì.í., ñò. íàó í. ñîò. àñò Ê.Â.Áû êîâ, À.Ô.Õîëòûãèí ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÀÑÒÐÎÔÈÇÈ ÅÑÊÎÉ ÏËÀÇÌÅ ÌÎÑÊÂÀ μ 2008 2 ÓÄÊ 52-64 ÁÁÊ 22-632 Ðåäàêòî ä.ô.ì.í., ï îô. êàô. àñò îôèçèêè ÑÏáÃÓ Ðåöåíçåíòû ä.ô.ì.í., ï îô. êàô. àñò îôèçèêè ÑÏáÃÓ

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ. χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Γεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô

Γεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô Γεια σου, Είμαι ο Δαμιανός. Το πρώτο μου βιβλίο Ο αδελφός της Ασπασίας έγινε best seller ή ευπώλητο όπως λένε άλλοι, μα αυτό δε χρειάζεται να σου το πω, μιας και το ξέρεις κι εσύ πολύ καλά. Κι εγώ ο πιο

Διαβάστε περισσότερα

P μ,. Œμ α 1,. ²μ ± 1,.. ϱ Î, Ÿ. Ê Í± 2 Œˆ ˆ Œ Š Ÿ Š Ÿ ˆ ˆŒ ˆˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É

P μ,. Œμ α 1,. ²μ ± 1,.. ϱ Î, Ÿ. Ê Í± 2 Œˆ ˆ Œ Š Ÿ Š Ÿ ˆ ˆŒ ˆˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É P13-2009-117.. μ,. Œμ α 1,. ²μ ± 1,.. ϱ Î, Ÿ. Ê Í± 2 Œˆ ˆ Œ Š Ÿ Š Ÿ ˆ ˆŒ ˆˆ ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É 1ˆ É ÉÊÉ Éμ³ μ Ô, ±Ä Ï, μ²óï 2 Ì μ²μ Î ± Ê É É, Õ ², μ²óï μ... P13-2009-117 μ ³ μ ³μ² ±Ê²Ö ÒÌ Êαμ

Διαβάστε περισσότερα

Ράνια Μπουµπουρή, Ðñþôç Ýêäïóç: Σεπτέµβριος 2010, αντίτυπα ÉSBN

Ράνια Μπουµπουρή, Ðñþôç Ýêäïóç: Σεπτέµβριος 2010, αντίτυπα ÉSBN TÉÔËÏÓ ÂÉÂËÉÏÕ: Πιπίλα µου γλυκιά ÓÕÃÃÑÁÖÅÁÓ: Ράνια Μπουµπουρή ΘΕΩΡΗΣΗ ÊÅÉÌÅÍÏÕ: Χρυσούλα Τσιρούκη ÅÉÊÏÍÏÃÑÁÖÇÓÇ ΕΞΩΦΥΛΛΟ: Sabine Straub ÇËÅÊÔÑÏÍÉÊÇ ÓÅËÉÄÏÐÏÉÇÓÇ: Ελένη Σταυροπούλου EÊÔÕÐÙÓÇ: Ι. ΠΕΠΠΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Š Œ -Ÿ Š ˆŸ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ.ˆ. Ê ÉÒ²Ó ±

Š Œ -Ÿ Š ˆŸ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ.ˆ. Ê ÉÒ²Ó ± ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2000, Œ 31,. 2 539.172+;539.173 Š Œ -Ÿ Š ˆŸ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ.ˆ. Ê ÉÒ²Ó ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê a ˆ 273 ˆŸ ˆ ˆ Š Œ ˆ 277 Î ± Ö ± É 277 Î Ö µ µ Ö ±µ³ Ê -Ö µ Ò µµé µï Ö ²Ö Ï ±µ³ Ê - 278 Ö É É É

Διαβάστε περισσότερα

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple ÓÂ ÛÙË μã Ù ÍË

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π ø π π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Με το πέρασμα του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

ȵɁɏɇȸ ȵȿȿȸɁɏɁ ɅȰȻȴȰȳɏȳɏɁ Ʌɸʌɿʉɷɿʃɼ ɹʃɷʉʍɻ ʏɻʎ ȶʆʘʍɻʎ ɈȵɉɍɃ ɅȰȻȴȰȳɏȳȻȾɃ ȻȴȵɃȴɆɃɀȻɃ Ƀ Ȼ ɀ Ɇ ȴ Ƀ ȵ ȴ Ȼ Ⱦ Ȼ ȳ ɏ ȳ Ȱ ȴ Ȼ Ȱ ɈȵɉɍɃɇ ȶ ʎ ɷɿʃɼ ɸʌɿ ȻȰɁɃɉȰɆȻɃɇ

ȵɁɏɇȸ ȵȿȿȸɁɏɁ ɅȰȻȴȰȳɏȳɏɁ Ʌɸʌɿʉɷɿʃɼ ɹʃɷʉʍɻ ʏɻʎ ȶʆʘʍɻʎ ɈȵɉɍɃ ɅȰȻȴȰȳɏȳȻȾɃ ȻȴȵɃȴɆɃɀȻɃ Ƀ Ȼ ɀ Ɇ ȴ Ƀ ȵ ȴ Ȼ Ⱦ Ȼ ȳ ɏ ȳ Ȱ ȴ Ȼ Ȱ ɈȵɉɍɃɇ ȶ ʎ ɷɿʃɼ ɸʌɿ ȻȰɁɃɉȰɆȻɃɇ 7 2014 ºEBPOYAPIO 2014 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΔΕΟΔΡΟΜΙΟ 2 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΔΕΟΔΡΟΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΔΕΟΔΡΟΜΙΟ 3 È ÁˆÁÈÎfi I ÂÔ ÚfiÌÈÔ TÂ Ô ÔÌÔ ISSN: 1792-7471 ISSN: 1792-7471 : - HÏÂÎÙÚÔÓÈÎ ÛÂÏÈ ÔappleÔ ËÛË: AÌapplefiÓË-TÛÔ

Διαβάστε περισσότερα

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À Ã ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À à ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË À π Àªµ 2008-2010 π À à ª ªπ À À À appleâíëáëì ÙÈÎ apple Ú Â ÁÌ Ù Η υπογραφή της νέας Συλλογικής Σύµβασης µεταξύ ΕΤΥΚ ΚΕΣΤ για τα έτη 2008 2010 θεωρήθηκε µια µεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñ

ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí  ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñ À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí ÒÅÎÐÈSS ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÛÕ ÑÅÒÅÉ Ìîñêâà Èæåâñê 2003 ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí http://shop.rcd.ru ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé

Διαβάστε περισσότερα

ª π.. ƒ ø π º ƒ. È ËÙÔ ÌÂÓÂ ÂÈ ÈÎfiÙËÙÂ, Ù apple Ú ÙËÙ appleúôûfióù Î È ÙÔ Â Ô ÙË Û Ì ÛË appleâúèáú ÊÔÓÙ È Î ÙˆÙ Úˆ. π π À & ƒ π ƒ π & π ƒπ ª

ª π.. ƒ ø π º ƒ. È ËÙÔ ÌÂÓ ÂÈ ÈÎfiÙËÙÂ, Ù apple Ú ÙËÙ appleúôûfióù Î È ÙÔ Â Ô ÙË Û Ì ÛË appleâúèáú ÊÔÓÙ È Î ÙˆÙ Úˆ. π π À & ƒ π ƒ π & π ƒπ ª ª π.. ƒ ø π º ƒ «ª π.» appleâ ı ÓË ÁÈ ÙË Û ÓÙ ÍË ÙÔ ıóèîô ÙËÌ ÙÔÏÔÁ Ô appleúôûî Ï ÙÔ ÂÓ È ÊÂÚfiÌÂÓÔ ÁÈ ÙËÓ appleô ÔÏ ÈÙ ÛÂˆÓ ÂΠψÛË ÂÓ È Ê ÚÔÓÙÔ, appleúôîâèì ÓÔ Ó ÛÙÂÏ ÒÛÂÈ ÙÈ ÂÓÙÚÈÎ ÙË ÀappleËÚÂÛ Â.

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ

ÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ÓfiÙËÙ ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ª ı Óˆ: ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ º ÛÈÎÔ ÚÈıÌÔ È ÚÈıÌÔ 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Ê ÛÈÎÔ. ıâ Ê ÛÈÎfi ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi applefi ÙÔ 0, appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ appleúôëáô

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ ÂÈıÒ

Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ ÂÈıÒ Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ appleâèıò Ÿσοι διαθέτουν το χάρισμα της πειθούς έχουν τη δύναμη να αιχμαλωτίζουν το κοινό, να μεταβάλλουν τις απόψεις των άλλων και να μεταπείθουν τους αντιπάλους τους προς όφελός τους.

Διαβάστε περισσότερα

Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó

Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2011.. 42.. 2 Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 636 ˆ ˆ Šˆ Œ ˆŸ ˆŒˆ - Šˆ Œ Š ˆ ˆ 638 Š ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆŸ 643 ˆ ˆ Šˆ Š 646 Œ ˆ Šˆ 652 Œ ˆ Šˆ Š ˆ -2 ˆ ˆ -2Œ 656 ˆ ˆ Šˆ Š œ Š ˆ Œ

Διαβάστε περισσότερα

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò

Διαβάστε περισσότερα

P Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ. ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25

P Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ. ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25 P6-2011-64.. Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25 Œ ²μ... P6-2011-64 ² μ Ö ²Õ³ Ö ± ³ Ö μ Í Ì μ Ò Ö μ-ë Î ± ³ ³ Éμ ³ μ²ó μ ³ ³ ± μé μ Œ -25 μ³μðóõ Ö μ-ë

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

P Ò±,. Ï ± ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ. Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ. ² μ Ê ². Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï

P Ò±,. Ï ± ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ. Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ. ² μ Ê ². Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï P15-2012-75.. Ò±,. Ï ± ˆ Œ ˆŸ ˆ, š Œ ˆ ˆŒˆ Š ƒ ˆŸ ˆ ˆ, Œ ƒ Œ ˆˆ γ-š Œˆ ƒ ƒˆ 23 ŒÔ ² μ Ê ² Í μ ²Ó Ò Í É Ö ÒÌ ² μ, É μí±, μ²óï Ò±.., Ï ±. P15-2012-75 ˆ ³ Ö μ Ì μ É, μ Ñ ³ ÒÌ μ É Ì ³ Î ±μ μ μ É μ Íμ Ö ÕÐ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô 2 3 ÂÚÈÂ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÂÊ Ï ÈÔ : Ì Ì È fi,ùè Ì ı applefi ÙËÓ ã Ù ÍË... ÂÊ Ï ÈÔ 2: È ÂÈÚ ÔÌ È ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 0.000... 5 ÂÊ Ï ÈÔ 3: ÓˆÚ ˆ ÙÔ ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 20.000... 9 ÂÊ Ï ÈÔ

Διαβάστε περισσότερα

(Á 154). Amitraz.

(Á 154). Amitraz. ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 13641 ñèñï 4 (Üñèñï 3 ôçò Ïäçãßáò 2001/99/ÅÊ) Ïé äéáôüîåéò ôçò ðáñïýóáò áðüöáóçò éó ýïõí áðü ôçí 1ç Éïõëßïõ 2002. Ç ðáñïýóá áðüöáóç íá äçìïóéåõèåß óôçí Åöçìåñßäá

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Ι Ρ Α Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Σ O 114 Α, Β & Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Σ Ε Ι Ρ Α Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Σ O 114 Α, Β & Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΕΥΕΛΙΚΤΗ ΖΩΝΗ ΦΙΛΑΝΑΓΝΩΣΙΑ Αγκαλιά με παραμύθια ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Αγκαλιά με παραμύθια ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Χρυσούλα Τσιρούκη ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Κατερίνα Χαδουλού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Building Online Communities Ο ÈÎËÁfiÚÔ Û ÓÔÈÎÙ online ÂπÈÎÔÈÓˆÓ Ì ÙÔ πôï ÙÂ

Building Online Communities Ο ÈÎËÁfiÚÔ Û ÓÔÈÎÙ online ÂπÈÎÔÈÓˆÓ Ì ÙÔ πôï Ù Building Online Communities Ο ÈÎËÁfiÚÔ Û ÓÔÈÎÙ online ÂπÈÎÔÈÓˆÓ Ì ÙÔ πôï Ù Page 2 Page 3 Για ποιά social media μιλάμε; Page 4 Για ποιά social media μιλάμε; Page 5 Επικοινωνώ = χτίζω σχέσεις Page 6 Community

Διαβάστε περισσότερα

(subtree) (ancestors)

(subtree) (ancestors) î Ï Ý û Âì ú ûñ Â Â Â î À SS " À Âê À ' Î ö,à.ý E = V 1 Ý,À ) û b Àã (E) ûñ Àã Â :Ýó (V,E 0 î üú À = n 1 Â : ÂÖ : = E = k 1 Ý V = Â : ÂÖ Âê k (Ó Âã ) û (free tree " ') ö À À Ýû é Â V = k + 1 Â : ÂÖ Ý.

Διαβάστε περισσότερα

Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ

Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 176Ä189 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ.. Š μ,. ˆ. Š Î 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μé ³ É É Ö μ²êî μ μ μ μ μ ² Ö Êα ÉÖ ²ÒÌ μ μ ÊÐ Ö ³ Ï μ³μðóõ ± μ Ö Êα μ μ Ì μ É. ± μ μ ÊÐ

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 4(181).. 501Ä510

Ó³ Ÿ , º 4(181).. 501Ä510 Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 4(181.. 51Ä51 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ Š ˆ ƒ ˆ ˆŸ Ÿ ƒ Ÿ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ Š.. Œμ Éμ 1,.. Ê 2 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ƒ ÒÎ ² É μ Ô - ³ Ê²Ó ²Ö ³ É ± Š. Ò Ï É Í μ Ò Ô Ö ³μ³

Διαβάστε περισσότερα

Ειρήνη Καµαράτου-Γιαλλούση, 2009. Ðñþôç Ýêäïóç: Σεπτέµβριος 2009 ÉSBN 978-960-453-617-7

Ειρήνη Καµαράτου-Γιαλλούση, 2009. Ðñþôç Ýêäïóç: Σεπτέµβριος 2009 ÉSBN 978-960-453-617-7 TÉÔËÏÓ ÂÉÂËÉÏÕ: Η πεισµατάρα ÓÕÃÃÑÁÖÅÁÓ: Ειρήνη Καµαράτου-Γιαλλούση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΙΟΡΘΩΣΗ ÊÅÉÌÅÍÏÕ: Χρυσούλα Τσιρούκη ÅÉÊÏÍÏÃÑÁÖÇÓÇ ΕΞΩΦΥΛΛΟ: ηµήτρης Καρατζαφέρης ÇËÅÊÔÑÏÍÉÊÇ ÓÅËÉÄÏÐÏÉÇÓÇ: Μερσίνα Λαδοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ ÓÔÏÔ , , , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,

ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ ÓÔÏÔ , , , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , A ºA EIE KAPY AKH E..E. AP..E.MH 71686220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ

ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ Ó³ Ÿ. 2007.. 4, º 5(141).. 719Ä730 ˆ ˆ ƒˆÿ, Š ƒˆÿ ˆ Ÿ Ÿ Œ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ Š Œ Œ ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μ ÖÉ Ö Ê²ÓÉ ÉÒ μéò μ ³ Õ ±μ Í É Í CO 2 O 2 ϲ μì

Διαβάστε περισσότερα

ƒ π ø π ø - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...

ƒ π ø π ø - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ... ƒ π ø π ø - Ô ÚÂÙÈÚ Â Â ÙËÓ ˆÚ ÈfiÙÂÚË ı appleãfiï Î È Ù Ó Î È ÛÙËÓ Î Ï ÙÂÚË appleâúèô. - È, ÁÈ Ùfi Ù Ó Î È ÙÔ ÎÚÈ fiùâúô! - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...

Διαβάστε περισσότερα

Учебное издание Евгений Афанасьевич Строковский Лекции по основам кинематики элементарных процессов

Учебное издание Евгений Афанасьевич Строковский Лекции по основам кинематики элементарных процессов ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èìåíè Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ Íàó íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò ßäå íîé ôèçèêè èìåíè Ä.Â.Ñêîáåëüöûíà Å.À. Ñò îêîâñêèé Ëåêöèè ïî îñíîâàì êèíåìàòèêè ëåìåíòà íûõ ï îöåññîâ Москва

Διαβάστε περισσότερα

'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,72

'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,72 TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ EappleÈappleÏˆÌ ÓˆÓ È ÌÂÚÈÛÌ ÙˆÓ TAM. TZøPTZH E..E. AP..E.MH 71601820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα:

Ιστοσελίδα: ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: www.telecom.tuc.gr/courses/tel412 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø Συνελικτικοι Κωδικες (n, k) L blocks ½ ¾ k ½ ¾ k ½ ¾ k [ ] g1 G T kl

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,14 0,14 ÓÔÏÔ 0,14 0,14. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 0, ,65 ÓÔÏÔ 0,00 29.

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,14 0,14 ÓÔÏÔ 0,14 0,14. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 0, ,65 ÓÔÏÔ 0,00 29. NYMºH E IXEIPH EI E..T.. & EMºIA ø H A.E. AP. MAE 26878/80/B/92/23 - AP..E.MH 71708520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 7(205) Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. ŠÊ Íμ,.. Ê ±μ,.. ² μ 1. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 7(205) Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. ŠÊ Íμ,.. Ê ±μ,.. ² μ 1. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 016.. 13 º 7(05).. 1533Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ œ Š ˆ NICA ˆ ˆˆ ƒ ƒ.. ŠÊ Íμ.. Ê ±μ.. ² μ 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ Ê ² Î ² Ö μ É ÉμÎ μ μ ±Êʳ μ ± ³ μí Ê ±μ Ö ÉÖ ²ÒÌ μ μ Ö ²Ö É Ö μ μ Î μé É μ É Ê ±μ É ². μ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý 9 Õâñéäéóìüò ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ 9.1 ÅéóáãùãÞ 9.2 Õâñéäéóìüò & õâñéäéêü ôñï éáêü 9.3 Åßäç õâñéäéóìïý êáé õâñéäéêþí ôñï éáêþí 9.4 Õâñéäéóìüò êáé ðïëëáðëïß äåóìïß 9.5 Õâñéäéóìüò êáé ìïñéáêþ ãåùìåôñßá 9.6 ÅñùôÞóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Учебное издание Евгений Афанасьевич Строковский Лекции по основам кинематики элементарных процессов

Учебное издание Евгений Афанасьевич Строковский Лекции по основам кинематики элементарных процессов УДК 539.171 ББК 22.383.5 С86 Строковский Е. А. С86 Лекции по основам кинематики элементарных процессов : учебное пособие / Е. А. Строковский. М. : Университетская книга, 2010. 298 с. : табл., ил. ISBN

Διαβάστε περισσότερα

*+,'-'./%#0,1"/#'2"!"./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!"#/5".+!"#$() $!"#%"&'#$() 50&(#5"./%#0,1"/#'2"+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!.

*+,'-'./%#0,1/#'2!./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!#/5.+!#$() $!#%&'#$() 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!. # #$%&'#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 :; #/5.+#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 #$% $ #%&'#$( 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-

Διαβάστε περισσότερα

Œ ƒ ˆ ˆˆ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059

Œ ƒ ˆ ˆˆ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2002.. 33.. 5 Š 530.145 Œ ˆ Œ ˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ.. Œ µ µ Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059 µ ³µÉ Í Ö µéò 1070 ˆ Š Œ ˆ Œ ˆ 1077 ³ ɵ µ µ³ É Î Ö ³µ ²Ó 1078 ³

Διαβάστε περισσότερα