Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Transcript

1 Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Д. В. Корнев, Численные методы решения дифференциальных игр с нетерминальной платой, Изв. ИМИ УдГУ, 2016, выпуск 248), Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: августа 2018 г., 14:19:15

2 Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ Âûï. 2 48) ÓÄÊ /8 c Ä. Â. Êî íåâ ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÐÅ ÅÍÈSS ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÈÃÐ Ñ ÍÅÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÉ ÏËÀÒÎÉ 1 Ðàññìàò èâà òñß ëèíåéíî-âûïóêëûå ïîçèöèîííûå äèôôå åíöèàëüíûå èã û ñ ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè íà óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß è íåòå ìèíàëüíîé ïëàòîé, îöåíèâà ùåé íî ìó ñîâîêóïíîñòè îòêëîíåíèé äâèæåíèß â çàäàííûå ìîìåíòû â åìåíè îò çàäàííûõ öåëåâûõ òî åê. Èññëåäó òñß ñëó àè íàëè èß è îòñóòñòâèß ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å, à òàêæå ï èñóòñòâèß äîïîëíèòåëüíûõ èíòåã àëüíûõ îã àíè åíèé íà óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß.â êàæäîì èç ïå å èñëåííûõ ñëó àåâ ñò îèòñß èñëåííûé ìåòîä äëß íàõîæäåíèß öåíû èã û â ïîäõîäßùèõ êëàññàõ ñò àòåãèé è äëß ïîñò îåíèß ñîîòâåòñòâó ùèõ îïòèìàëüíûõ çàêîíîâ óï àâëåíèß. èñëåííûå ìåòîäû áàçè ó òñß íà ïîïßòíûõ êîíñò óêöèßõ âûïóêëûõ ñâå õó îáîëî åê âñïîìîãàòåëüíûõ ï îã àììíûõ ôóíêöèé. Ìíîæåñòâà îï åäåëåíèé òèõ ôóíêöèé àïï îêñèìè ó òñß ïèêñåëüíî, ôóíêöèè ï åäñòàâëß òñß òàáëè íî, âûïóêëàß ñâå õó îáîëî êà ñò îèòñß ï èáëèæåííî êàê íèæíßß îãèáà ùàß êîíå íîãî ñåìåéñòâà îïî íûõ ãèïå ïëîñêîñòåé ê ïîäã àôèêàì òèõ ôóíêöèé. Îáñóæäà òñß äåòàëè ï îã àììíîé åàëèçàöèè, î èåíòè îâàííîé íà ñîâ åìåííûå âû èñëèòåëè.ï èâîäßòñß åçóëüòàòû ñèìóëßöèé íà ìîäåëüíûõ ï èìå àõ. Êë åâûå åíèß. ñëîâà: òåî èß óï àâëåíèß, äèôôå åíöèàëüíûå èã û, ïîçèöèîííûå ñò àòåãèè, åñó ñíûå îã àíè- Ââåäåíèå Ðåàëüíûå ï îöåññû óï àâëåíèß äèíàìè åñêèìè ñèñòåìàìè çà àñòó ï îèñõîäßò â óñëîâèßõ íåîï åäåëåííîñòåé, íåïîëíîé èíôî ìàöèè è ïîìåõ, èñòî íèêîì êîòî ûõ ìîæåò áûòü êàê íåêîíò îëè óåìàß âíå íßß ñ åäà, òàê è ñîçíàòåëüíûå äåéñòâèß íåêîòî îãî ëèöà, âûñòóïà ùåãî â îëè ï îòèâíèêà. Êàê ï àâèëî, íåîáõîäèìî îáåñïå èòü íàäëåæàùåå êà åñòâî óï àâëåíèß, êîòî îå âî ìíîãèõ ñëó àßõ óäîáíî îöåíèâàòü ï è ïîìîùè ïîäõîäßùåãî ïîêàçàòåëß. òî êàñàåòñß áóäóùåé ïîìåõè, òî çà àíåå èçâåñòíà òîëüêî ëè ü îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà åíèé åå âîçäåéñòâèé, ïî òîìó èç-çà íåäîñòàòêà èíôî ìàöèè íåëüçß îäíîçíà íî ï åäñêàçàòü åàêöè ñèñòåìû íà óï àâëß ùåå âîçäåéñòâèå. Âñëåäñòâèå òîãî ñòàâßòñß çàäà è î ïîñò îåíèè òàêîãî ñïîñîáà óï àâëåíèß ïî ï èíöèïó îá àòíîé ñâßçè, êîòî îå áû ãà àíòè îâàëî æåëàåìûé åçóëüòàò äàæå â ñèòóàöèè ñàìûõ íåáëàãîï èßòíûõ ïîìåõ. Ïîäîáíûå çàäà è ïîñòîßííî âîçíèêà ò â ìåõàíèêå, êîíîìèêå è ä óãèõ îáëàñòßõ çíàíèé. Ìàòåìàòè åñêîé òåî èåé, â àìêàõ êîòî îé ôî ìàëèçó òñß òè çàäà è, ßâëßåòñß òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ èã. Àêòóàëüíîñòü, òåî åòè åñêèé èíòå åñ è ï àêòè åñêàß çíà èìîñòü óï àâëåíèß â óñëîâèßõ ïîìåõ îáåñïå èâà ò èíòåíñèâíîå àçâèòèå òîé òåî èè è ñîïóòñòâó ùèõ åé èñëåííûõ ìåòîäîâ. Òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ èã àêòèâíî àçâèâàåòñß íà èíàß ñ ñå åäèíû XX âåêà. Ñòàíîâëåíèå òîé òåî èè â ïå âó î å åäü ñâßçàíî ñ àáîòàìè Í. Í. Ê àñîâñêîãî, Ë. Ñ. Ïîíò ßãèíà, Á. Í. Ï åíè íîãî, R. Isaacs, W. H. Fleming èa.friedman ñì., íàï èìå, 2, 35, 37, 40, 68 70, 72, , 117]). Ñâîé âêëàä â àçâèòèå òåî èè äèôôå åíöèàëüíûõ èã âíåñëè Ý. Ã. Àëüá åõò, Â. Ä. Áàòóõòèí, Ð. Â. Ãàìê åëèäçå, Í. Ë. à èãî åíêî, Â. È. Æóêîâñêèé, Ì. È. Çåëèêèí, À. Ô. Êëåéìåíîâ, À. Í. Ê àñîâñêèé, À. Â. Ê ßæèìñêèé, À. Á. Êó æàíñêèé,. Ñ. Ëåäßåâ, Í.. Ëóêîßíîâ, Â. È. Ìàêñèìîâ, À. À. Ìåëèêßí, Å. Ô. Ìèùåíêî, Ì. Ñ. Íèêîëüñêèé,. Ñ. Îñèïîâ, Â. Ñ. Ïàöêî, Í. Í. Ïåò îâ, Ë.À. Ïåò îñßí, Å. Ñ. Ïîæà èöêèé, Å. Ñ. Ïîëîâèíêèí, À. È. Ñóááîòèí, Í. Í. Ñóááîòèíà, À. Ì. Tà àñüåâ, Â. Å. T åòüßêîâ, Â. È. Óõîáîòîâ, Â. Í. Ó àêîâ, À. Ã. åíöîâ, Ô. Ë. å íîóñüêî, À. À. èê èé, Ñ. Â. èñòßêîâ, M. Bardi, E. N. Barron, T. Basar, L. D. Berkovitz, P. Bernhard, A. Blaquiere, A. Bryson, P. Cardaliaguet, R. J. Elliot, L. C. Evans, M. Falcone, Y. C. Ho, H. Ishii, N. J. Kalton, G. Leitmann, J. Lewin, J. Lin, P.-L. Lions, 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ï è ïîääå æêå ï îã àìì Ï åçèäèóìà ÐÀÍ Ìàòåìàòè åñêàß òåî èß óï àâëåíèß ï îåêò 09 Ï ) è Äèíàìè åñêèå ñèñòåìû è òåî èß óï àâëåíèß ï îåêò 12 Ï ), ã àíòîâ ÐÔÔÈ ï îåêòû îôè-ì 2011, ìîë_à, ìîë_à), à òàêæå ã àíòà Ï åçèäåíòà ÐÔ â àìêàõ ï îã àììû ãîñóäà ñòâåííîé ïîääå æêè âåäóùèõ íàó íûõ êîë ï îåêò Í ). 82

3 M. Quincampoix, E. Roxin, P. Saint-Pierre, P.E. Souganidis, P. Varaiya, è ìíîãèå ä óãèå ó åíûå ñì., íàï èìå, àáîòû 3, 5, 20, 23, 26, 27, 31, 32, 38, 40, 42 44, 47, 48, 50, 52, 55, 56, 58, 61 67, 78, 79, 81 83, 89, 91, 93, 94, 96, , , 114, , ,126,128,129]è áèáëèîã àôèè ê íèì). Â åçóëüòàòå òèõ èññëåäîâàíèé áûëè ñôî ìóëè îâàíû îñíîâíûå òåî åòè åñêèå ïîëîæåíèß ñò îãîé ìàòåìàòè åñêîé ôî ìàëèçàöèè àññìàò èâàåìûõ çàäà, ï åäëîæåíû ñïîñîáû îáîñíîâàíèß ñóùåñòâîâàíèß öåíû èã û îïòèìàëüíîãî ãà àíòè îâàííîãî åçóëüòàòà) è ñåäëîâîé òî êè â àçëè íûõ êëàññàõ ñò àòåãèé, îïèñàíû õà àêòå èñòè åñêèå ñâîéñòâà ôóíêöèè öåíû èã û, îï åäåëåíà ñò óêòó à îïòèìàëüíûõ ñò àòåãèé, íàìå åíû îñíîâíûå ñïîñîáû èõ ïîñò îåíèß. Íåñìîò ß íà èíòåíñèâíîå àçâèòèå, â ìàòåìàòè åñêîé òåî èè óï àâëåíèß è òåî èè äèôôå- åíöèàëüíûõ èã äî ñèõ ïî ñîäå æèòñß ìíîãî íå å åííûõ ï îáëåì, â îñîáåííîñòè â àñòè ôôåêòèâíûõ èñëåííûõ ìåòîäîâ, à ïîñòîßííîå àñ è åíèå îáëàñòè ï èìåíåíèß òîé òåî èè ï èâîäèò ê ïîßâëåíè íîâûõ çàäà. Íàñòîßùàß ñòàòüß âûïîëíåíà â àìêàõ êîíöåïöèè ïîçèöèîííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ èã, ï åäëîæåííîé è àçâèòîé â àáîòàõ Í. Í. Ê àñîâñêîãî è åãî ó åíèêîâ ñì., íàï èìå, 37, 40, 78, 79, 117, 128]). Â ñòàòüå àññìàò èâà òñß ò è çàäà è óï àâëåíèß ñ îïòèìàëüíûì ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì â óñëîâèßõ ïîìåõ. Ï åäïîëàãàåòñß, òî äèíàìè åñêàß ñèñòåìà, ïîäâå æåííàß âîçäåéñòâèßì óï àâëåíèß è íåêîíò îëè óåìîé ïîìåõè, îïèñûâàåòñß ëèíåéíûìè ïî ôàçîâîìó âåêòî ó îáûêíîâåííûìè äèôôå åíöèàëüíûìè ó àâíåíèßìè. Âîçìîæíîñòè âîçäåéñòâèé íà ñèñòåìó êàê ñî ñòî îíû óï àâëåíèß, òàê è ñî ñòî îíû ïîìåõè ñòåñíåíû ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè. Ï îìåæóòîê â åìåíè óï àâëåíèß çàôèêñè îâàí. Ïîêàçàòåëü êà åñòâà ï îöåññà óï àâëåíèß îöåíèâàåò íî ìó ñîâîêóïíîñòè îòêëîíåíèé ò àåêòî èè äâèæåíèß â íàïå- åä çàäàííûå ìîìåíòû â åìåíè îò çàäàííûõ öåëåâûõ òî åê. Óï àâëåíèå íàöåëåíî äîñòàâèòü òîìó ïîêàçàòåë êàê ìîæíî ìåíü åå çíà åíèå. Çàìåòèì ï è òîì, òî ïîñêîëüêó äåéñòâèß ïîìåõè íåèçâåñòíû, òî, â àñòíîñòè, îíè ìîãóò áûòü ñàìûìè íåáëàãîï èßòíûìè, òî åñòü íàï àâëåííûìè íà ìàêñèìèçàöè òîãî ïîêàçàòåëß. Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåî åòèêî-èã îâîìûì ïîäõîäîì 2, 32 35, 37, 40, 47 49, 51, 78, 79, 117, 128] ïîäîáíûå çàäà è óï àâëåíèß ôî ìàëèçó òñß â äèôôå åíöèàëüíûå èã û, â êîòî ûõ óï àâëåíèå èíòå ï åòè óåòñß êàê ïå âûé èã îê, à ïîìåõà μ êàê âòî îé. Íåòå ìèíàëüíàß ñò óêòó à ïîêàçàòåëß, çàêë à ùàßñß â îöåíèâàíèè ñîñòîßíèß ñèñòåìû íå òîëüêî â êîíå íûé òå ìèíàëüíûé), íî è â ï îìåæóòî íûå ìîìåíòû â åìåíè, ñîñòàâëßåò îäíó èç îñîáåííîñòåé àññìàò èâàåìûõ äèôôå åíöèàëüíûõ èã. Ï è òîì ï åäïîëàãàåòñß, òî ïîêàçàòåëü êà åñòâà ßâëßåòñß ïîçèöèîííûì 31, 117]. Ýòî ïîçâîëßåò ñò îèòü îïòèìàëüíûå ñò àòåãèè óï àâëåíèß ïî ï èíöèïó îá àòíîé ñâßçè, òî åñòü êîãäà îíè îïè à òñß ëè ü íà èíôî ìàöè î òåêóùåì ñîñòîßíèè ïîçèöèè) ñèñòåìû. Ê îìå òîãî, çàäà è îòëè à òñß ä óã îòä óãà ñëåäó ùèìè äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèßìè: 1) ï åäïîëàãàåòñß, òî âûïîëíåíî óñëîâèå ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å 37], èçâåñòíîå òàêæå êàê óñëîâèå Àéçåêñà 2]; â òîì ñëó àå ñîîòâåòñòâó ùàß äèôôå åíöèàëüíàß èã- à èìååò öåíó è ñåäëîâó òî êó â êëàññàõ èñòûõ ïîçèöèîííûõ ñò àòåãèé óï àâëåíèß èã îêîâ 117]; 2) óñëîâèå ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å ìîæåòáûòü íå âûïîëíåíî; çàäà à ôî ìàëèçóåòñß â äèôôå åíöèàëüíó èã ó â êëàññàõ ñìå àííûõ ñò àòåãèé 32, 33, 117]; 3) ï åäïîëàãàåòñß, òî äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå, êîòî îå îïèñûâàåò äèíàìè åñêó ñèñòåìó, ßâëßåòñß ëèíåéíûì íå òîëüêî ïî ôàçîâîìó âåêòî ó, íî åùå è ïî âîçäåéñòâèßì êàê óï àâëåíèß, òàê è ïîìåõè; ï è òîì íà âîçìîæíîñòè óï àâëåíèß íàëîæåíû äîïîëíèòåëüíûå èíòåã àëüíûå îã àíè åíèß, õà àêòå èçó ùèå åñó ñíûå çàïàñû. Öåëü àáîòû μ àç àáîòêà è ï îã àììíàß åàëèçàöèß ôôåêòèâíûõ óíèâå ñàëüíûõ èñëåííûõ ìåòîäîâ äëß å åíèß ïå å èñëåííûõ çàäà. Ïîä å åíèåì ïîíèìàåòñß èñëåííîå ïîñò îåíèå ôóíêöèè öåíû ñîîòâåòñòâó ùåé äèôôå åíöèàëüíîé èã û μ âåëè èíû îïòèìàëüíîãî ãà àíòè îâàííîãî åçóëüòàòà óï àâëåíèß, à òàêæå çàêîíîâ óï àâëåíèß ïî ï èíöèïó îá àòíîé ñâßçè, êîòî ûå àïï îêñèìè ó òîïòèìàëüíûå ñò àòåãèè óï àâëåíèß è îáåñïå èâà òäîñòèæåíèå åçóëüòàòà íå õóæå îïòèìàëüíîãî ãà àíòè îâàííîãî, ñ íàïå åä çàäàííîé òî íîñòü. 83

4 Ëèíåéíî-âûïóêëûå ïîçèöèîííûå äèôôå åíöèàëüíûå èã û ñ íåòå ìèíàëüíîé ïëàòîé áûëè õî î î èçó åíû ñì., íàï èìå, 32 34, 38, 39, 47, 50, 116, 117]), îäíàêî ïîëó åííûå äëß íèõ àç å à ùèå êîíñò óêöèè àíåå ï èìåíßëèñü äëß å åíèß íåêîòî ûõ êîíê åòíûõ çàäà è íå áûëè äîâåäåíû äî óíèâå ñàëüíûõ ï îã àììíî åàëèçóåìûõ èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ðàç- àáîòêà è èññëåäîâàíèå ôôåêòèâíîñòè òàêèõ ìåòîäîâ ñîñòàâëßåò òåî åòè åñêó çíà èìîñòü íàñòîßùåé ñòàòüè. Äëß å åíèß ëèíåéíî-âûïóêëûõ çàäà óï àâëåíèß â óñëîâèßõ ïîìåõ ñ îïòèìèçàöèåé íåòå ìèíàëüíîãî ïîêàçàòåëß êà åñòâà ïîçèöèîííîé ñò óêòó û ï è ñìå àííûõ îã àíè åíèßõ íà óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß áûëè àçâèòû êîíñò óêöèè âûïóêëûõ ñâå õó îáîëî åê, êîòî ûå èäåéíî âîñõîäßòê ñòîõàñòè åñêîìó ï îã àììíîìó ñèíòåçó 37, 42]. Ïîñëåäíèå èçíà àëüíî áûëè àç àáîòàíû äëß çàäà áåç èíòåã àëüíûõ îã àíè åíèé ñì., íàï èìå, 32, 38, 39, 47, 50, 117]). Äëß çàäà ñ èíòåã àëüíûìè îã àíè åíèßìè ïîäîáíûå ïîñò îåíèß àññìàò èâàëèñü â àáîòàõ 46, 48, 49], íî äëß òå ìèíàëüíûõ ïîêàçàòåëåé êà åñòâà. Èññëåäîâàíèß àçëè íûõ çàäà óï àâëåíèß è äèôôå åíöèàëüíûõ èã ï è èíòåã àëüíûõ îã àíè åíèßõ íà óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß ï îâîäèëèñü, íàï èìå, â àáîòàõ 1, 9, 13, 16, 17, 19, 21, 24, 36, 41, 45, 46, 53, 54, 57 60, 71, 74, 75, 77, 80, 85 88, 95, 115, 120, 124, 125]. Ïîñòàíîâêè, êîòî ûå áû îáúåäèíßëè â ñåáå ñìå àííûå ãåîìåò è åñêèå è èíòåã àëüíûå) îã àíè åíèß íà óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß â ñî åòàíèè ñ íåòå ìèíàëüíûì ïîêàçàòåëåì êà åñòâà àññìàò èâàåìîé â ñòàòüå ñò óêòó û, àíåå íå èññëåäîâàëèñü. Â ñâßçè ñ òèì äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèß öåíû è ñåäëîâîé òî êè â äèôôå åíöèàëüíîé èã å, âîçíèêà ùåé ï è ñò îãîé ôî ìàëèçàöèè òàêîé çàäà è óï àâëåíèß â óñëîâèßõ ïîìåõ, à òàêæå àç àáîòêà è îáîñíîâàíèå àç å à ùåé ï îöåäó û, äîâåäåííîé äî èñëåííîãî ìåòîäà, ï åäñòàâëß ò òåî åòè åñêèé èíòå åñ. Òåî åòè åñêèå èññëåäîâàíèß äèôôå åíöèàëüíûõ èã âñåãäà ñîï îâîæäàëèñü àç àáîòêîé èñëåííûõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèß è ï èáëèæåííîãî ïîñò îåíèß å åíèé ñì., íàï èìå, 11, 12, 14, 15, 18, 22, 26, 55, 63, 67, 82 84, 89, 92, 97, 98, 103, 104, 109, 118, 119, 127]). Íàèáîëü- åå ï îäâèæåíèå â àç àáîòêå ôôåêòèâíûõ èñëåííûõ ìåòîäîâ áûëî ïîëó åíî äëß ëèíåéíîâûïóêëûõ äèôôå åíöèàëüíûõ èã. Èññëåäóåìûå â íàñòîßùåé ñòàòüå èã û îòíîñßòñß ê òîìó æå êëàññó. Çàäà è îïòèìèçàöèè íåòå ìèíàëüíûõ ïîêàçàòåëåé êà åñòâà àññìàò èâàåìîãî òèïà âîçíèêà ò âî ìíîãèõ åàëüíûõ ï îöåññàõ óï àâëåíèß ñì., íàï èìå, 6 8]). Èíòå åñ ê èñëåííûì ìåòîäàì å åíèß òàêèõ çàäà îáóñëîâëåí òåì, òî èç-çà èõ ñëîæíîé âíóò åííåé ñò óêòó û åäêî êîãäà óäàåòñß â ßâíîì âèäå âûïèñàòü åï åçåíòàòèâíó ôî ìóëó äëß ôóíêöèè öåíû μ âåëè èíû îïòèìàëüíîãî ãà àíòè îâàííîãî åçóëüòàòà. Ê óã çàäà ñ äîïîëíèòåëüíûìè èíòåã àëüíûìè åñó ñíûìè) îã àíè åíèßìè, äîïóñêà ùèõ àíàëèòè åñêîå å åíèå, åùå ìåíü å. Ï åäñòàâëåííûå â ñòàòüå óíèâå ñàëüíûå èñëåííûå ìåòîäû è ï îã àììíûé êîìïëåêñ, åàëèçó- ùèé èõ, ïîçâîëß ò ï è ïîìîùè ñîâ åìåííîé âûñîêîï îèçâîäèòåëüíîé âû èñëèòåëüíîé òåõíèêè ñóùåñòâåííî àñ è èòü ñïåêò çàäà, ïîääà ùèõñß ìîäåëè îâàíè è äîïóñêà ùèõ ï èáëèæåííîå å åíèå. Äëß äåìîíñò àöèè ï àêòè åñêîé ï èìåíèìîñòè àç àáîòàííûõ ìåòîäîâ ï èâîäßòñß åçóëüòàòû èñëåííûõ êñïå èìåíòîâ íà ìîäåëüíûõ ï èìå àõ. Âñå êñïå èìåíòû ï îèçâîäèëèñü íà ãèá èäíîì âû èñëèòåëå êëàñòå íîãî òèïà Ó àí Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èì. Í. Í. Ê àñîâñêîãî Ó àëüñêîãî îòäåëåíèß Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê. Ñòàòüß âûïîëíåíà â àìêàõ êîíöåïöèè ïîçèöèîííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ èã 35, 37, 38, 40, 78, 79, 117, 128]. èñëåííûå ìåòîäû å åíèß çàäà 1) è 2) îñíîâàíû íà ï îöåäó å èç 47], ßä îì êîòî îé ßâëßåòñß ïîïßòíîå ïîñò îåíèå âûïóêëûõ ñâå õó âîãíóòûõ) îáîëî åê âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé èç ìåòîäà ñòîõàñòè åñêîãî ï îã àììíîãî ñèíòåçà ñì., íàï èìå, 28, 37, 39, 42]). Âàæíîé îñîáåííîñòü òîé ï îöåäó û ßâëßåòñß òî, òî â ïîñò îåíèßõ èñïîëüçó òñß ëè ü ï îñò àíñòâà, ïî àçìå íîñòè íå ï åâîñõîäßùèå àçìå íîñòü ôàçîâîãî âåêòî à ñèñòåìû âíå çàâèñèìîñòè îò êîëè åñòâà ìîìåíòîâ â åìåíè îöåíêè êà åñòâà äâèæåíèß. Äëß ï èìåíåíèß èñëåííîãî ìåòîäà å åíèß çàäà è 1) ï è å åíèè çàäà è 2) èñïîëüçóåòñß ìåòîä ââåäåíèß âñïîìîãàòåëüíîé ìîäåëè-ïîâîäû ß ñì., íàï èìå, 32, 33, 40, 117]). Âî âñïîìîãàòåëüíûõ ïîñò îåíèßõ âîçíèêàåò ñòàòè åñêàß ìàò è íàß èã à â ñìå àííûõ ñò àòåãèßõ, êîòî àß å àåòñß ï è ïîìîùè ìîäèôèêàöèè ñèìïëåêñ-ìåòîäà èç 130]. 84

5 òîáû ïîëó èòü àç å à ùó ï îöåäó ó â çàäà å 3), ñëåäóß ìåòîäîëîãèè èç 48, 49], â äîïîëíåíèè ê ôàçîâîìó âåêòî ó ââîäèòñß âñïîìîãàòåëüíàß ïå åìåííàß, õà àêòå èçó ùàß åñó ñíûå çàïàñû óï àâëåíèß, ï îâîäèòñß äîïîëíèòåëüíàß îïòèìèçàöèß ïî àñõîäó åñó ñîâ è ï èìåíß òñß ïîñò îåíèß, ó èòûâà ùèå ï è ïîìîùè ïîäõîäà èç 47, 51] íåòå ìèíàëüíó ñò óêòó ó ïîêàçàòåëß êà åñòâà. Îáîñíîâàíèå òîé ï îöåäó û, à âìåñòå ñ òåì è ñóùåñòâîâàíèß öåíû è îïòèìàëüíûõ ñò àòåãèé, ñîñòàâëß ùèõ ñåäëîâó òî êó ñîîòâåòñòâó ùåé äèôôå åíöèàëüíîé èã û, ñëåäóåò ìåòîäîëîãèè, ï èíßòîé â òåî èè ïîçèöèîííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ èã ñì., íàï èìå, 37, 117]), è îïè àåòñß íà ââåäåíèå âñïîìîãàòåëüíîé ìîäåëè; äîêàçàòåëüñòâî áëèçîñòè äâèæåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû è ìîäåëè; äîêàçàòåëüñòâî u-èv-ñòàáèëüíîñòè ñèñòåìû âñïîìîãàòåëüíûõ âåëè èí, ïîñò îåííûõ äëß ìîäåëè; ïå åõîä ê ï åäåëüíûì êîíñò óêöèßì, íàñëåäó ùèì ñâîéñòâà ñòàáèëüíîñòè è äà ùèì íåîáõîäèìûå îöåíêè. Ï è òîì îïòèìàëüíûå ñò àòåãèè ñò îßòñß ìåòîäîì êñò åìàëüíîãî ñäâèãà ñì., íàï èìå, 37, 117]) íà ñîïóòñòâó ùèå òî êè. Â îñíîâå àç àáîòàííûõ èñëåííûõ ìåòîäîâ ëåæèò ïèêñåëüíîå ï åäñòàâëåíèå êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ, êîãäà îíè ïîê ûâà òñß àâíîìå íîé êîíå íîé ε-ñåòü, è âñå òî êè ìíîæåñòâà, âõîäßùèå â îê åñòíîñòü àäèóñà ε ñ öåíò îì â îäíîì èç óçëîâ ñåòè, îòîæäåñòâëß òñß ñ òèì óçëîì-ïèêñåëåì. Òàêèì îá àçîì, âñå êîìïàêòû ï åäñòàâëß òñß â âèäå êîíå íûõ íàáî îâ ïèêñåëåé, à ôóíêöèè, îï åäåëåííûå íà òèõ êîìïàêòàõ, õ àíßòñß â òàáëè íîì âèäå. Âûïóêëûå ñâå õó îáîëî êè ôóíêöèé ï èáëèæåííî ñò îßòñß â âèäå íèæíåé îãèáà ùåé êîíå íîãî ñåìåéñòâà îïî íûõ ãèïå ïëîñêîñòåé ê ïîäã àôèêàì òèõ ôóíêöèé. Ï îã àììíàß åàëèçàöèß èñëåííûõ ìåòîäîâ âûïîëíåíà ñ ï èìåíåíèåì ïà àëëåëüíûõ âû- èñëåíèé ñ îáùåé ïàìßòü, ïîçâîëß ùèõ ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü áûñò îäåéñòâèå ï îã àììíîãî êîìïëåêñà è àñ è èòü åãî ï èìåíèìîñòü ê çàäà àì, ò åáó ùèì áîëü èå âû èñëèòåëüíûå çàò àòû. Îòäåëüíûå åçóëüòàòû, âî åä èå â àáîòó, áûëè îïóáëèêîâàíû â , 147, 148]. 1. Ïîçèöèîííûå äèôôå åíöèàëüíûå èã û â èñòûõ ñò àòåãèßõ Â òîé àñòè â àìêàõ ïîäõîäà 37, 47, 51, 117] àññìàò èâàåòñß àíòàãîíèñòè åñêàß äèôôå åíöèàëüíàß èã à, â êîòî îé äèíàìè åñêàß ñèñòåìà, ïîäâå æåííàß óï àâëß ùèì âîçäåéñòâèßì ïå âîãî è âòî îãî èã îêîâ, îïèñûâàåòñß îáûêíîâåííûìè äèôôå åíöèàëüíûìè ó àâíåíèßìè, ëèíåéíûìè ïî ôàçîâîìó âåêòî ó. Âîçäåéñòâèß èã îêîâ ñòåñíåíû ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè. Ïîêàçàòåëü êà åñòâà ï îöåññà óï àâëåíèß çàäàí â âèäå ïîçèöèîííîãî ôóíêöèîíàëà 117], îöåíèâà ùåãî íî ìó ñîâîêóïíîñòè îòêëîíåíèé ò àåêòî èè äâèæåíèß â íàïå åä çàäàííûå ìîìåíòû â åìåíè îò çàäàííûõ öåëåâûõ òî åê. Èññëåäóåòñß ñëó àé, êîãäà âûïîëíßåòñß óñëîâèå ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å ñì., íàï èìå, 37]), òàêæå èçâåñòíîå êàê óñëîâèå Àéçåêñà 2]. Èã à ôî ìàëèçóåòñß â êëàññàõ èñòûõ ïîçèöèîííûõ ñò àòåãèé. Ï èâîäèòñß ï îöåäó à èç 47], áàçè ó ùàßñß íà ïîïßòíîì ïîñò îåíèè âûïóêëûõ ñâå õó îáîëî åê âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé èç ìåòîäà ñòîõàñòè åñêîãî ï îã àììíîãî ñèíòåçà 37], íà îñíîâå êîòî îé ñò îèòñß èñëåííûé ìåòîä äëß ï èáëèæåííîãî âû èñëåíèß öåíû èã û è ïîñò îåíèß ζ-îïòèìàëüíûõ çàêîíîâ óï àâëåíèß ïî ï àâèëó êñò åìàëüíîãî ñäâèãà 37, 117]. Îöåíèâàåòñß àëãî èòìè åñêàß ñëîæíîñòü ìåòîäà, îïèñûâà òñß äåòàëè ï îã àììíîé åàëèçàöèè. Ï èâîäßòñß åçóëüòàòû èñëåííûõ êñïå èìåíòîâ Ïîñòàíîâêà çàäà è Ïóñòü äâèæåíèå äèíàìè åñêîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñß ó àâíåíèåì ẋ = At)x + ft, u, v), t 0 t t<ϑ, x R n, u R nu, v R nv. Çäåñü x μ ôàçîâûé âåêòî ; t μ â åìß; òî êà íàä ñèìâîëîì îáîçíà àåòï îèçâîäíó ïî â åìåíè; At) è ft, u, v) μ íåï å ûâíûå ïî ñîâîêóïíîñòè ïå åìåííûõ ìàò èöà-ôóíêöèß è âåêòî ôóíêöèß; u è v μ óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß ïå âîãî è âòî îãî èã îêîâ. Ìîìåíòû â åìåíè t 0 è ϑ çàôèêñè îâàíû, t μ ìîìåíò íà àëà ï îöåññà óï àâëåíèß. Âåëè èíû u è v ñòåñíåíû ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè u U, v V, 1.2) )

6 ãäå ìíîæåñòâà U è V êîìïàêòíû. Â äàííîé àñòè àññìàò èâàåòñß ñëó àé, êîãäà óñëîâèå ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å 37, ñ. 79] âûïîëíåíî, òî åñòü ñï àâåäëèâî àâåíñòâî min max l, ft, u, v) =max min l, ft, u, v), 1.3) u U v V v V u U êàêîâû áû íè áûëè âåêòî l R n è ìîìåíòâ åìåíè t 0 t ϑ. Çäåñü è äàëåå ñèìâîë, îáîçíà àåòñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå âåêòî îâ. Ñëó àé, êîãäà óñëîâèå ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å íå ï åäïîëàãàåòñß âûïîëíåííûì, áóäåòèçëîæåí â àñòè 2. Äîïóñòèìûìè åàëèçàöèßìè óï àâëåíèé èã îêîâ ñ èòàåì ï îèçâîëüíûå èçìå èìûå ïî Áî åë ) ôóíêöèè u t ]ϑ ) = { ut) U, t t<ϑ } è v t ]ϑ ) = { vt) V, t t<ϑ }. Ñèìâîë u t ]ϑ ), èñïîëüçóåìûé äëß îáîçíà åíèß åàëèçàöèè, ï èçâàí ïîä å êíóòü îáëàñòü îï åäåëåíèß òîé ôóíêöèè. Îáîçíà èì λ A = max t t 0,ϑ] At) E, λ f = max t,u,v) t 0,ϑ] U V ft, u, v) E, λ K =max{λ A,λ f }. 1.4) Çäåñü è äàëåå ñèìâîë E îáîçíà àåò åâêëèäîâó íî ìó âåêòî à ëèáî ïîä èíåííó ïî îòíî- åíè ê íåé íî ìó ìàò èöû. Â ï îñò àíñòâå ïå åìåííûõ t, x) îï åäåëèì êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî K χ âîçìîæíûõ ïîçèöèé ñèñòåìû 1.1): K χ = { t, x) t 0,ϑ] R n : x E 1 + R 0 + χ)exp t t 0 )λ K ] 1 }, 1.5) ãäå χ 0 è R 0 > 0 μ íåêîòî ûå ïîñòîßííûå. Ïóñòü t,x ) K χ, t <ϑ. Ïîä äâèæåíèåì x t ]ϑ ], ïî îæäåííûì èç ïîçèöèè t,x ) äîïóñòèìûìè åàëèçàöèßìè u t ]ϑ ) è v t ]ϑ ), ïîíèìàåì àáñîë òíî íåï å ûâíó ôóíêöè { xt) R n, t t ϑ, xt )=x },êîòî àß ï è ïî òè âñåõ t t ϑ âìåñòå ñ u = ut) è v = vt) óäîâëåòâî ßåò ó àâíåíè 1.1). Çàìåòèì, òî â ñîãëàñèè ñ 1.1) 1.5) èìååòìåñòî âêë åíèå t, xt) ) Kχ, t t ϑ. Ïóñòü çàäàíû ìîìåíòû â åìåíè ϑ i îöåíêè êà åñòâà äâèæåíèß x t ]ϑ ] : t 0 <ϑ i <ϑ i+1 ϑ, i =1,...,N 1, ϑ N = ϑ, ïîñòîßííûå ìàò èöû D i àçìå íîñòè d i n 1 d i n), öåëåâûå âåêòî û c i R n è íî ìû μ i l i,...,l N ) â ï îñò àíñòâàõ d i d N )-ìå íûõ íàáî îâ l i,...,l N ), ñîñòàâëåííûõ èç d i -ìå íûõ âåêòî îâ l i,i=1,...,n. Îáîçíà èì ht) =min{i =1,...,N: ϑ i t}, t 0 t ϑ. 1.6) Ïîêàçàòåëü êà åñòâà, îöåíèâà ùèé äâèæåíèå x t ]ϑ ], èìååòâèä γ x t ]ϑ ]) = μ ht ) D ht ) xϑht )) c ht )),...,DN xϑn ) c N ) ). 1.7) Ïóñòü, ê îìå òîãî, â ï îñò àíñòâàõ ïå åìåííûõ l i,μ) R d i R ñóùåñòâó ò åòíûå ïî μ íî ìû σ i l i,μ), i =1,...,N 1, äëß êîòî ûõ ñï àâåäëèâû àâåíñòâà μ i l i,...,l N )=σ i li,μ i+1 l i+1,...,l N ) ), i =1,...,N ) Òîãäà 47] ïîêàçàòåëü êà åñòâà 1.7) ßâëßåòñß ïîçèöèîííûì 117, ñ. 43], òî åñòü îí ìîæåòáûòü ï åäñòàâëåí â âèäå γ x t ]ϑ ]) = g x t ]t ],γ x t ]ϑ ])), t 0 t <t ϑ, 86

7 ãäå ôóíêöèîíàë g ï è ôèêñè îâàííîì ïå âîì à ãóìåíòå íåï å ûâåí è íå óáûâàåò ïî âòî îìó à ãóìåíòó. Òèïè íûìè ï èìå àìè ïîêàçàòåëåé, èìå ùèõ ñò óêòó ó 1.7), 1.8), ßâëß òñß γ 1 x t ]ϑ ]) = γ 2 x t ]ϑ ]) = γ x t ]ϑ ]) = N i=ht ) N i=ht ) max i=ht ),...,N Di xϑi ) c i ), ) Di xϑi ) c i 2 1/2 Di xϑi ) c i ), ãäå ñèìâîë îáîçíà àåò êàêó -ëèáî íî ìó. Ïîäîáíûå ïîêàçàòåëè ìîãóò áûòü êàê çàäàíû èçíà àëüíî, òàê è ââåäåíû êàê àïï îêñèìè ó ùèå äëß èñõîäíîãî ïîêàçàòåëß, êîòî ûé ó èòûâàåòêîíòèíóóì çíà åíèé xt) ñì., íàï èìå, 47]). Öåëü ïå âîãî èã îêà μ äîñòàâèòü ïîêàçàòåë 1.7) êàê ìîæíî ìåíü åå çíà åíèå. Öåëü âòî îãî ï îòèâîïîëîæíà öåëè ïå âîãî. Ñîãëàñíî 37, ñ. 75; 117, ñ. 51] çàäà à íàõîæäåíèß óï àâëåíèß ïå âîãî èã îêà, íàöåëåííîãî íà ìèíèìèçàöè ïîêàçàòåëß 1.7), è çàäà à íàõîæäåíèß óï àâëåíèß âòî îãî èã îêà, íàöåëåííîãî íà ìàêñèìèçàöè òîãî æå ïîêàçàòåëß, îáúåäèíß òñß â àíòàãîíèñòè åñêó äèôôå åíöèàëüíó èã ó äâóõ ëèö. Ï è òîì ïîçèöèîííàß ñò óêòó à àññìàò èâàåìîãî ïîêàçàòåëß ïîçâîëßåò â ìîìåíò â åìåíè t t,ϑ] èã îêàì â ï îöåññå ôî ìè îâàíèß ñâîèõ óï àâëß ùèõ âîçäåéñòâèé îïòèìèçè îâàòü ëè ü çíà åíèå γ x t ]ϑ ]). Áëàãîäà ß îïèñàííîé ïîçèöèîííîñòè, à òàêæå ñóùåñòâîâàíè ñåäëîâîé òî êè â ìàëåíüêîé èã å äèôôå åíöèàëüíàß èã à 1.1) 1.8) èìååò öåíó è ñåäëîâó òî êó â êëàññàõ èñòûõ ïîçèöèîííûõ ñò àòåãèé, èíôî ìàöèîííûì îá àçîì äëß êîòî ûõ ñëóæèò òåêóùàß ïîçèöèß èã û ñì. 31; 117, c. 65]). Ñëåäóß ôî ìàëèçàöèè ïîçèöèîííîé äèôôå åíöèàëüíîé èã û 31, 37, 117], èñòîé) ñò àòåãèåé U ïå âîãî èã îêà íàçûâà òï îèçâîëüíó ôóíêöè U = { Ut, x, ε) U, t, x) K 0, ε > 0 }. Âåëè èíà ε ßâëßåòñß ïà àìåò îì òî íîñòè 37, ñ. 68], çíà åíèå êîòî îãî âûáè àåòñß èã îêîì äî íà àëà ï îöåññà óï àâëåíèß, îñòàåòñß â õîäå òîãî ï îöåññà íåèçìåííûì è îï åäåëßåò òî íîñòü å åíèß çàäà è. Çàêîíîì óï àâëåíèß U ïå âîãî èã îêà íàçûâà ò ò îéêó U, ε, Δ δ ), ãäå Δ δ μ àçáèåíèå îò- åçêà â åìåíè t,ϑ]: Δ δ = {t j : t 1 = t, 0 <t j+1 t j δ, j =1,...,k, t k+1 = ϑ}. 1.9) Èç çàäàííîé ïîçèöèè t,x ) K 0 òàêîé çàêîí U â ïà å ñ äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé v t ]ϑ ) óï àâëåíèß âòî îãî èã îêà îäíîçíà íî ôî ìè óåò äâèæåíèå x t ]ϑ ] ñèñòåìû 1.1), êîòî îå îï åäåëßåòñß êàê å åíèå ïî àãîâûõ ó àâíåíèé ẋt) =At)xt)+f t, u j,vt) ), t j t<t j+1, j =1,...,k, 1.10) ï è íà àëüíîì óñëîâèè xt 1 )=x. Íà àëüíîå ñîñòîßíèå xt j ) äëß îò åçêà t j t t j+1 ï è j>1 ñîâïàäàåò ñ êîíå íûì ñîñòîßíèåì xt j ) äëß ï åäûäóùåãî îò åçêà t j 1 t t j. Âåëè èíà u j íàçíà àåòñß çàêîíîì U ïî ï àâèëó u j = U t j,xt j ),ε ),t j t<t j+1,j=1,...,k. 1.11) Òàêèì îá àçîì, íà áàçå àçáèåíèß Δ δ çàêîí U ôî ìè óåò êóñî íî-ïîñòîßííó åàëèçàöè óï àâëåíèß ïå âîãî èã îêà ïî ï èíöèïó îá àòíîé ñâßçè â äèñê åòíîé ïî â åìåíè ñõåìå. Ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì çàêîíà óï àâëåíèß U äëß çàäàííîé ïîçèöèè t,x ) K 0 íàçûâà ò âåëè èíó ΓU; t,x )= sup γ x t ]ϑ ]). vt ]ϑ) 87,

8 Çäåñü âå õíßß ã àíü áå åòñß ïî âñåì äîïóñòèìûì åàëèçàöèßì v t ]ϑ ) âòî îãî èã îêà, γ x t ]ϑ ]) μçíà åíèå ïîêàçàòåëß 1.7), åàëèçîâàâ åãîñß íà äâèæåíèè x t ]ϑ ],ïî îæäåííîì ñîãëàñíî 1.10), 1.11) çàêîíîì U â ïà å ñ åàëèçàöèåé v t ]ϑ ) èç ïîçèöèè t,x ). Ñîîòâåòñòâåííî, ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì ñò àòåãèè U íàçûâà òâåëè èíó ΓU; t,x ) = lim sup ε 0 lim sup δ 0 Δ δ Γ U =U, ε, Δ δ ); t,x ). Òîãäà îïòèìàëüíûì ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì ïå âîãî èã îêà íàçûâà òâåëè èíó Γ u t,x )=inf U ΓU; t,x ), à ñò àòåãèß U 0 ïå âîãî èã îêà îïòèìàëüíà, åñëè ΓU 0 ; t,x )=Γ u t,x ). Äëß ζ>0 çàêîí óï àâëåíèß U áóäåì íàçûâàòü ζ-îïòèìàëüíûì, åñëè ΓU; t,x ) Γ u t,x )+ζ. Àíàëîãè íûì îá àçîì ñ ïîíßòíûìè èçìåíåíèßìè àññìàò èâàåì çàêîí óï àâëåíèß V = =V,ε,Δ δ ) âòî îãî èã îêà, ãäå èñòàß) ñò àòåãèß V åñòü ï îèçâîëüíàß ôóíêöèß V = { V t, x, ε) V, t, x) K 0,ε>0 }, ε μ ïà àìåò òî íîñòè, à Δ δ μ àçáèåíèå âèäà 1.9). Ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì çàêîíà óï àâëåíèß V äëß çàäàííîé ïîçèöèè t,x ) K 0 íàçûâà òâåëè èíó ΓV; t,x )= inf γ x t ]ϑ ]). ut ]ϑ) Çäåñü íèæíßß ã àíü áå åòñß ïî âñåì äîïóñòèìûì åàëèçàöèßì u t ]ϑ ), γ x t ]ϑ ]) μ çíà åíèå ïîêàçàòåëß 1.7), åàëèçîâàâ åãîñß íà äâèæåíèè x t ]ϑ ],ïî îæäåííîì çàêîíîì V âïà å ñ åàëèçàöèåé u t ]ϑ ) èç íà àëüíîé ïîçèöèè t,x ). Ñîîòâåòñòâåííî, ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì ñò àòåãèè V íàçûâà òâåëè èíó ΓV ; t,x ) = lim inf ε 0 lim inf Γ ) V =V,ε,Δ δ ); t,x. δ 0 Δ δ Òîãäà îïòèìàëüíûì ãà àíòè îâàííûì åçóëüòàòîì âòî îãî èã îêà íàçûâà òâåëè èíó Γ v t,x )=supγv ; t,x ), V à ñò àòåãèß V 0 âòî îãî èã îêà îïòèìàëüíà, åñëè ΓV 0 ; t,x )=Γ v t,x ). Äëß ζ>0 çàêîí óï àâëåíèß V áóäåì íàçûâàòü ζ-îïòèìàëüíûì, åñëè ΓV; t,x ) Γ v t,x ) ζ. Èç åçóëüòàòîâ 31; 117, ñ ] âûòåêàåò, òî îïòèìàëüíûå ãà àíòè îâàííûå åçóëüòàòû èã îêîâ ñîâïàäà ò, îï åäåëßß öåíó äèôôå åíöèàëüíîé èã û 1.1) 1.8): Γ 0 t,x )=Γ u t,x )=Γ v t,x ). 1.12) Ï è òîì èã à èìååò ñåäëîâó òî êó U 0,V 0 ),êîòî àß ñêëàäûâàåòñß èç îïòèìàëüíûõ ñò àòåãèé èã îêîâ. Öåëü äàííîé àñòè μ àç àáîòêà èñëåííîãî ìåòîäà äëß íàõîæäåíèß öåíû Γ 0 t,x ) è ïîñò îåíèß ζ-îïòèìàëüíûõ çàêîíîâ óï àâëåíèß èã îêîâ. 88

9 1.2. Âñïîìîãàòåëüíàß ìîäåëü Íà ßäó ñ èñõîäíîé ñèñòåìîé 1.1) àññìîò èì åå ìîäåëü-êîïè : ẇ = At)w + ft, u,v ), t 0 t t<ϑ, w R n, u R nu, v R nv. Âåëè èíû u è v ñòåñíåíû àíàëîãè íûìè 1.2) ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè: 1.13) u U, v V, 1.14) Äîïóñòèìûìè ñ èòàåì èçìå èìûå åàëèçàöèè óï àâëåíèé u t ]ϑ ) = { u t) U, t t<ϑ } è v t ]ϑ ) = { v t) V, t t<ϑ }. Â êà åñòâå ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ïîçèöèé t, w) ìîäåëè 1.13) áóäåì àññìàò èâàòü êîìïàêò K 1 1.5). Ïóñòü pt, s) arg min u U max v V s, ft, u, v), qt, s) arg max v V ηε, t) = ε +t t 0 )ε ) 1/2 exp λa t t 0 ) ], t t 0,ϑ], s R n, ε > 0, min s, ft, u, v), u U 1.15) ãäå λ A μêîíñòàíòà, îï åäåëåííàß â 1.4). Èç åçóëüòàòîâ 37, ëåììû 25.3, 25.4] íåïîñ åäñòâåííî âûòåêà ò ñëåäó ùèå äâà óòâå æäåíèß. Ë å ì ì à 1.1. Äëß ë áîãî èñëà ε>0 íàéäåòñß òàêîå èñëî δ>0, òî, êàêîâû áû íè áûëè ïîçèöèè t,x ) K 1, t,w ) K 1, t <ϑ, è ìîìåíò â åìåíè t t,ϑ], t t <δ, áóäåò ñï àâåäëèâî ñëåäó ùåå óòâå æäåíèå. Ïóñòü x w E ηε, t ). Ïóñòü x t ]t ] μ äâèæåíèå ñèñòåìû 1.1), ïî îæäåííîå èç ïîçèöèè t,x ) ï îèçâîëüíîé äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé v t ]t ) óï àâëåíèß âòî îãî èã îêà è ïîñòîßííîé åàëèçàöèåé u e t ]t ) = { u e = pt,x w ), t t<t } óï àâëåíèß ïå âîãî èã îêà, à w t ]t ] μ äâèæåíèå ìîäåëè 1.13), ïî îæäåííîå èç ïîçèöèè t,w ) ï îèçâîëüíîé äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé u t ]t ) è ïîñòîßííîé åàëèçàöèåé v e t ]t ) = { v e = qt,x w ), t t<t }.Òîãäà xt ) wt ) E ηε, t ). Ë å ì ì à 1.2. Äëß ë áîãî èñëà ε>0 íàéäåòñß òàêîå èñëî δ>0, òî, êàêîâû áû íè áûëè ïîçèöèè t,x ) K 1, t,w ) K 1, t <ϑ, è ìîìåíò â åìåíè t t,ϑ], t t <δ, áóäåò ñï àâåäëèâî ñëåäó ùåå óòâå æäåíèå. Ïóñòü x w E ηε, t ). Ïóñòü x t ]t ] μ äâèæåíèå ñèñòåìû 1.1), ïî îæäåííîå èç ïîçèöèè t,x ) ï îèçâîëüíîé äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé u t ]t ) óï àâëåíèß ïå âîãî èã îêà è ïîñòîßííîé åàëèçàöèåé v e t ]t ) = { v e = qt,w x ), t t<t } óï àâëåíèß âòî îãî èã îêà, à w t ]t ] μ äâèæåíèå ìîäåëè 1.13), ïî îæäåííîå èç ïîçèöèè t,w ) ï îèçâîëüíîé äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé v t ]t ) è ïîñòîßííîé åàëèçàöèåé u e t ]t ) = { u e = pt,w x ), t t<t }.Òîãäà xt ) wt ) E ηε, t ) Âû èñëåíèå öåíû èã û Îïè åì äàííó â 47] ï îöåäó ó äëß ï èáëèæåííîãî âû èñëåíèß öåíû 1.12) äèôôå åíöèàëüíîé èã û 1.1) 1.8). Ïóñòü äëß ï îìåæóòêà â åìåíè óï àâëåíèß t,ϑ] çàôèêñè îâàíî àçáèåíèå Δ δ = {t j } k+1 j=1 âèäà 1.9), â êîòî îå âêë åíû âñå ìîìåíòû ϑ i îöåíêè êà åñòâà äâèæåíèß èç ïîêàçàòåëß 1.7), òî åñòü ϑ i Δ δ, i = ht ),...,N. 1.16) Äëß m R n, j =1,...,k îáîçíà èì Δψ j t,m)= tj+1 t j max min m, Ψϑ, τ)fτ,u,v ) dτ, 1.17) v V u U 89

10 ãäå Ψt, τ) μ ìàò èöà Êî è äëß ó àâíåíèß ẋ = At)x. Ïîïßòíî ïî àãàì àçáèåíèß Δ δ îï åäåëßåì ìíîæåñòâà G ± j t ) âåêòî îâ m R n èñêàëß íûå ôóíêöèè ϕ ± j t,m), m G ± j t ), ïî ñëåäó ùèì åêó åíòíûì ñîîòíî åíèßì. Ïóñòü j = k +1,òîãäà G + k+1 t )={m: m =0}, ϕ + k+1 t,m)=0, m G + k+1 t ), G k+1 t )={m: m = DNl, l R d N, μ Nl) 1}, ϕ k+1 t,m)= m, c N,m G k+1 t ). Åñëè 1 j k, òîãäà G + j t )=G j+1 t ), ψ j t,m)=δψ j t,m)+ϕ j+1 t,m), m G + j t ), ϕ + j t,m)= conc ψj t, ) ] m), m G + G + j t ) j t ), 1.18) èäàëåå,êîãäà t j íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì èç ìîìåíòîâ â åìåíè ϑ i îöåíêè êà åñòâà äâèæåíèß, òîåñòüt j <ϑ htj ), èíà å, êîãäà t j = ϑ h, h = ht j ), G j t )=G + j t ), ϕ j t,m)=ϕ + j t,m), m G j t ), G j t )={m: m = νm +Ψ ϑ h,ϑ)dh l, ν 0, l Rd h,σh l, ν) 1, m G + j t )}, ϕ j t,m)= max ν,l,m νϕ+ j t,m ) l, D h c h ], m G j t ). ) m 1.19) Çäåñü h ) μ ôóíêöèß, îï åäåëåííàß àíåå â 1.6); âå õíèé èíäåêñ îáîçíà àåòò àíñïîíè- îâàíèå; μ N ) è σ h ) μ íî ìû, ñîï ßæåííûå ê μ N ) è σ h ) èç 1.8); ñèìâîë conc ψj t, ) ] G + j t ) îáîçíà àåòâûïóêëó ñâå õó âîãíóòó ) îáîëî êó ôóíêöèè ψ j t, ) = { ψ j t,m), m G + j t ) } íà ìíîæåñòâå G + j t ), òî åñòü ìèíèìàëüíó èç âîãíóòûõ ôóíêöèé, ìàæî è ó ùèõ ψ j t,m) ï è m G + j t );ìàêñèìóì â 1.19) äëß ϕ j t,m) âû èñëßåòñß ïî âñåì òàêèì ò îéêàì ν, l, m ), òî ν 0, l R d h, σ h l, ν) 1, m G + j t ) è ï è òîì νm +Ψ ϑ h,ϑ)dh l = m. Èçâåñòíî 10, 47], òî äëß ë áîãî j =1,...,k +1ïîñò îåííûå òàêèì îá àçîì ìíîæåñòâà G ± j t ) áóäóòâûïóêëûìè êîìïàêòàìè â R n,ñîäå æàùèìè âåêòî m =0, ï è òîì ϕ ± j t, 0) 0, à ôóíêöèè ϕ ± j t,m) áóäóò ïî m G ± j t ) âîãíóòûìè è îã àíè åííûìè. Ê îìå òîãî, çäåñü èâñ äó äàëåå ïîëàãàåì, òî ôóíêöèè ϕ ± j t,m) íåï å ûâíû ïî m. Èç åçóëüòàòîâ 10] ñëåäóåò, òî òî ï åäïîëîæåíèå, ïî ê àéíåé ìå å, âûïîëíåíî, åñëè åäèíè íûå à û íî ì μ ), i i = 1,...,N, ßâëß òñß ñò îãî âûïóêëûìè, ëèáî ìíîãîã àííèêàìè, ëèáî, â îáùåì ñëó àå, P-ìíîæåñòâàìè 4]. Çàìåòèì òàêæå, òî ñò îãó âûïóêëîñòü åäèíè íûõ à îâ íî ì μ i ) âñåãäà ìîæíî îáåñïå èòü ï è ïîìîùè ïîäõîäßùåé àïï îêñèìàöèè èñõîäíîãî ïîêàçàòåëß êà åñòâà 1.7) ñì. ïîä îáíîñòè â 10]). Â òîì ñëó àå äàëüíåé èå àññóæäåíèß îñòàíóòñß íåèçìåííûìè, à ïîëó åííûé åçóëüòàò áóäåò âå åí ñ òî íîñòü äî ïîã å íîñòè óêàçàííîé àïï îêñèìàöèè. Äëß w R n è j =1,...,k+1 àññìîò èì âåëè èíû e ± j t,w)= max m, Ψϑ, t j )w + ϕ ± m G ± j t ) j t,m)]. 1.20) Ñîãëàñíî 47] âå íû ñëåäó ùèå óòâå æäåíèß îòíîñèòåëüíî òèõ âåëè èí. Ëåììà 1.3. Êàêîâû áû íè áûëè ìîìåíò â åìåíè t t 0,ϑ) è àçáèåíèå Δ δ = {t j } k+1 j=1 âèäà 1.9), 1.16), äëß ë áûõ j =1,...,k è w R n èìååì { e j t e + j,w)= t,w), åñëè t j <ϑ h, σ h Dh w c h ),e + j t,w) ), åñëè t j = ϑ h, ãäå h = ht j ). 90

11 Ëåììà 1.4 u-ñòàáèëüíîñòü). Êàêîâû áû íè áûëè ìîìåíò â åìåíè t t 0,ϑ), àçáèåíèå Δ δ = {t j } k+1 j=1 âèäà 1.9), 1.16) è ïîçèöèß t j,w j ) K 1, j =1,...,k, äëß ë áîé ïîñòîßííîé ) { åàëèçàöèè v tj ]t j+1 = v t) = v } ) { V, t j t } < t j+1, íàéäåòñß òàêàß äîïóñòèìàß åàëèçàöèß u tj ]t j+1 = u t) U, t j t<t j+1, òî ìîäåëü 1.13) èç ïîçèöèè tj,w j ) ïîä äåéñòâèåì òèõ åàëèçàöèé ï èäåò â ïîçèöè t j+1,w j+1 = wt j+1 ) ) K 1, äëß êîòî îé áóäåò âûïîëíåíî íå àâåíñòâî e + j t,w j ) e j+1 t,w j+1 ). Ëåììà 1.5 v-ñòàáèëüíîñòü). Êàêîâû áû íè áûëè ìîìåíò â åìåíè t t 0,ϑ), àçáèåíèå Δ δ = {t j } k+1 j=1 âèäà 1.9), 1.16) è ïîçèöèß t j,w j ) K 1, j =1,...,k, äëß ë áîé ïîñòîßííîé ) { åàëèçàöèè u tj ]t j+1 = u t) = u } ) { U, t j t } < t j+1, íàéäåòñß òàêàß äîïóñòèìàß åàëèçàöèß v tj ]t j+1 = v t) V, t j t<t j+1, òî ìîäåëü 1.13) èç ïîçèöèè tj,w j ) ïîä äåéñòâèåì òèõ åàëèçàöèé ï èäåò â ïîçèöè t j+1,w j+1 = wt j+1 ) ) K 1, äëß êîòî îé áóäåò âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Èç ëåìì 1.1, 1.2 è âûòåêàåò e + j t,w j ) e j+1 t,w j+1 ). Òåî åìà 1.1. Äëß ë áîãî èñëà ξ>0íàéäåòñß èñëî δ > 0 òàêîå, òî, êàêîâû áû íè áûëè ïîçèöèß t,x ) K 0 è àçáèåíèå Δ δ âèäà 1.9), 1.16), δ δ, áóäåò âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Γ 0 t,x ) e 1 t,x ) ξ. Äîêàçàòåëüñòâà ëåìì è òåî åìû 1.1 äàíû â 47], ïî òîìó â òåêñòå äàííîé àáîòû ï èâåäåì ëè ü ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà òåî åìû 1.1. Ê îìå òîãî, â 3 áóäåò ñôî ìóëè îâàíà èäîêàçàíà àíàëîãè íàß òåî åìà äëß ñëó àß íàëè èß åñó ñíûõ îã àíè åíèé íà óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß ïå âîãî èã îêà. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû 1.1 îïè àåòñß íà ôàêò ñóùåñòâîâàíèß öåíû Γ 0 t,x ) è ñåäëîâîé òî êè U 0,V 0 ) äèôôå åíöèàëüíîé èã û 1.1) 1.8). Äëß äîëæíûì îá àçîì âûá àííûõ èñëà ε>0è àçáèåíèß Δ δ àññìàò èâàåòñß âîë öèß âåëè èí e j t,xt j ) ), j =1,...,k +1, âäîëü äâèæåíèß ñèñòåìû, ïîëó åííîãî â äâóõ ñëó àßõ. Â ïå âîì ñëó àå âòî îé èã îê óêîâîäñòâóåòñß çàêîíîì óï àâëåíèß V =V 0,ε,Δ δ ), à ïå âûé èã îê, îïè àßñü íà èíôî ìàöè î åàëèçîâàâ åéñß òåêóùåé ïîçèöèè è íàçíà åííîì óï àâëß ùåì âîçäåéñòâèè âòî îãî èã îêà, âûáè àåò åàëèçàöè ñâîåãî óï àâëåíèß â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 1.4 îá u-ñòàáèëüíîñòè. Ñ ó åòîì ëåììû 1.3 ïîëó àåòñß îöåíêà e 1 t,x ) Γ u t,x ) ξ. Âî âòî îì ñëó àå ïå âûé èã îê óêîâîäñòâóåòñß çàêîíîì óï àâëåíèß U =U 0,ε,Δ δ ),àâòî- îé èã îê èñïîëüçóåòëåììó 1.5 è v-ñòàáèëüíîñòè. Ïîëó àåòñß îöåíêà e 1 t,x ) Γ v t,x )+ξ. Èç äâóõ ïîñëåäíèõ íå àâåíñòâ, ñ ó åòîì àâåíñòâà 1.12), âûâîäèòñß Γ 0 t,x ) e 1 t,x ) ξ Ïîñò îåíèå ζ-îïòèìàëüíûõ çàêîíîâ óï àâëåíèß Ñèñòåìà âåëè èí 1.20) óäîáíà íå òîëüêî äëß âû èñëåíèß öåíû èã û 1.1) 1.8). Íà îñíîâå òèõ âåëè èí ìåòîäîì êñò åìàëüíîãî ñäâèãà íà ñîïóòñòâó ùó òî êó 37, 117] ïîñò îèì ζ-îïòèìàëüíûå çàêîíû óï àâëåíèß èã îêîâ. Ïóñòü çàôèêñè îâàíû ìîìåíò íà àëà ï îöåññà óï àâëåíèß t <ϑ, àçáèåíèå Δ δ = {t j } k+1 j=1 âèäà 1.9), 1.16), íà áàçå òîãî àçáèåíèß ïîñò îåíû ìíîæåñòâà G ± j t ), ôóíêöèè ϕ ± j t,m), 91

12 m G ± j t ), èâñîãëàñèè ñ 1.20) îï åäåëåíû âåëè èíû e ± j t,w), w R n. Îïè àßñü íà ñèñòåìó âåëè èí e + j t,w), j =1,...,k, îï åäåëèì ñò àòåãè UΔ e δ ïå âîãî èã îêà òàê, òîáû ï è t = t j Δ δ âûïîëíßëèñü ñîîòíî åíèß U e Δ δ t j,x,ε)=u e j, t j,x) K 0,ε>0, 1.21) ãäå u e j íàõîäèòñß èç óñëîâèß êñò åìàëüíîãî ñäâèãà íà ñîïóòñòâó ùó òî êó wj u,ξu j ) 37, 49]: u e j = pt j,s u j ), s u j = x wj u, wj u,ξj u ) arg min e + j t,w)+ξ ]. 1.22) x w 2 E +ξ2 η 2 ε,t j ) Çäåñü ôóíêöèè η ) è p ) îï åäåëåíû â ñîãëàñèè ñ 1.15). Ó èòûâàß îï åäåëåíèå 1.20) âåëè èíû e + j t,w), âîãíóòîñòü ôóíêöèè ϕ + j t,m), m G + j t ), è òåî åìó î ìèíèìàêñå 90], ïîëó àåì öåïî êó àâåíñòâ: min e + j t,w)+ξ ] = min x w 2 E +ξ2 η 2 ε,t j ) = min s 2 E +ξ2 η 2 ε,t j ) s 2 E +ξ2 η 2 ε,t j ) e + j t,x s)+ξ ] = max m G + j t ) m, Ψϑ, tj )x s) + ϕ + j t,m) ] + ξ = max Ψ ϑ, t j )m, x + ϕ + m G + j t ) j t,m) max s 2 E +ξ2 η 2 ε,t j ) ] = Ψ ϑ, t j )m, s ξ ]], èç êîòî îé ñëåäóåò, òî ò åáóåìàß â 1.22) âåëè èíà s u j ìîæåò áûòü íàéäåíà èç ñîîòíî åíèé m u j s u j = Ψ ϑ, t j )m u j 1+ Ψ ϑ, t j )m u j 2 E arg max Ψ ϑ, t j )m, x + ϕ + j t,m) ηε, t j ) m G + j t ) ηε, t j ), 1.23) 1+ Ψ ϑ, t j )m 2 E ]. Àíàëîãè íûì îá àçîì ñ ïîíßòíûìè èçìåíåíèßìè íà ßäó ñî ñò àòåãèåé U e Δ δ ïå âîãî èã îêà àññìîò èì ñò àòåãè V e Δ δ âòî îãî èã îêà, îï åäåëßåìó òàê, òîáû â òî êàõ t j àçáèåíèß Δ δ âûïîëíßëèñü ñîîòíî åíèß V e Δ δ t j,x,ε)=v e j, t j,x) K 0, ε > 0, j =1,...,k, 1.24) ãäå v e j íàõîäèòñß èç óñëîâèß êñò åìàëüíîãî ñäâèãà íà ñîïóòñòâó ùó òî êó w v j,ξv j ): vj e = qt j,s v j ), sv j = wv j x, wv j,ξv j ) arg max e + j t,w)+ξ ]. 1.25) w x 2 E +ξ2 η 2 ε,t j ) Çäåñü ôóíêöèè η ) è q ) îï åäåëåíû â ñîãëàñèè ñ 1.15). Ï è òîì â ñèëó 1.20) äëß îï åäåëåíèß âåëè èíû s v j ïîëó àåì àâåíñòâî s v Ψ ϑ, t j )m v j j = 1+ Ψ ϑ, t j )m v j 2 E m v j arg max Ψ ϑ, t j )m, x + ϕ + j t,m)+ηε, t j ) m G + j t ) ηε, t j ), 1.26) 1+ Ψ ϑ, t j )m 2 E Èìå ò ìåñòî ñëåäó ùèå òåî åìû, êîòî ûå ñ ó åòîì ëåìì 1.1, 1.2 è äîêàçûâà òñß ï è ïîìîùè àññóæäåíèé, ïîäîáíûõ ï èâåäåííûì ï è îáîñíîâàíèè àíàëîãè íûõ óòâå æäåíèé â 117, ñ ] ñì. òàêæå 37, ñ ]). 92 ].

13 Òåî åìà 1.2. Äëß ë áîãî èñëà ζ > 0 íàéäóòñß èñëî ε > 0 è ôóíêöèß δ ε) > 0, 0 <ε ε, òàêèå, òî, êàêîâû áû íè áûëè çíà åíèå 0 <ε ε, ïîçèöèß t,x ) K 0, t <ϑ, ñèñòåìû 1.1) è àçáèåíèå Δ δ âèäà 1.9), 1.16), δ δ ε), äëß çíà åíèß ïîêàçàòåëß êà åñòâà γ x t ]ϑ ]) 1.7), åàëèçîâàâ åãîñß íà äâèæåíèè x t ]ϑ ], ïî îæäåííîì ñîãëàñíî 1.10), 1.11) çàêîíîì óï àâëåíèß U e =U e Δ δ,ε,δ δ ) ïå âîãî èã îêà â ïà å ñ ï îèçâîëüíîé äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé v t ]ϑ ) óï àâëåíèß âòî îãî èã îêà èç ïîçèöèè t,x ), áóäåò âûïîëíßòüñß íå àâåíñòâî e 1 t,x ) γ x t ]ϑ ]) ζ. Äîêàçàòåëüñòâî. Îã àíè èìñß ñõåìîé äîêàçàòåëüñòâà. Äîëæíûì îá àçîì âûáè à- òñß èñëà ε è ôóíêöèß δ ε) > 0, 0 <ε ε. Ôèêñè ó òñß ï îèçâîëüíûå èñëî 0 <ε ε è àçáèåíèå Δ δ = {t j } k+1, j=1 δ δ ε).íàêàæäîì àãå t j t<t j+1, j =1,...,k, àçáèåíèß Δ δ ïî åàëèçîâàâ åéñß ïîçèöèè t j,xt j ) ) íà îñíîâå ñèñòåìû âåëè èí 1.20) ñîãëàñíî 1.22) îï åäåëßåòñß ñîïóòñòâó ùàß òî êà wj u,ξu j ). Íà î å åäíîì èíòå âàëå t j t<t j+1 àññìàò èâà òñßäâà äâèæåíèß: åàëüíîé ñèñòåìû 1.1) èç ïîçèöèè t j,xt j ) ) è âîîá àæàåìîé ìîäåëè 1.13) èç ïîçèöèè t j,wj u). Óï àâëåíèå ïå âîãî èã îêà â ñèñòåìå 1.1) íàçíà àåòñß çàêîíîì óï àâëåíèß U e, êîòî ûé îñóùåñòâëßåò êñò åìàëüíûé ñäâèã íà ñîïóòñòâó ùó òî êó, óï àâëåíèå âòî îãî èã- îêà îï åäåëßåòñß åàëèçàöèåé v t ]ϑ ) ). Â âîîá àæàåìîé ìîäåëè 1.13) åàëèçàöèß v tj ]t j+1 îï åäåëßåòñß ïî ëåììå 1.1, îáåñïå èâàß ) ïîäõîäßùó áëèçîñòü äâèæåíèé ñèñòåìû 1.1) è ìîäåëè 1.13), à åàëèçàöèß u tj ]t j+1 îï åäåëßåòñß ïî ëåììå 1.4 î u-ñòàáèëüíîñòè, îáåñïå èâàß íåîáõîäèìûå ãà àíòèè îòíîñèòåëüíî åçóëüòàòà óï àâëåíèß. Àíàëîãè íûì îá àçîì ñ ïîíßòíûìè èçìåíåíèßìè äîêàçûâàåòñß Òåî åìà 1.3. Äëß ë áîãî èñëà ζ > 0 íàéäóòñß èñëî ε > 0 è ôóíêöèß δ ε) > 0, 0 < ε ε, òàêèå, òî, êàêîâû áû íè áûëè çíà åíèå 0 < ε ε, ïîçèöèß t,x ) K 0, t <ϑ, ñèñòåìû 1.1) è àçáèåíèå Δ δ âèäà 1.9), 1.16), δ δ ε), äëß çíà åíèß ïîêàçàòåëß êà åñòâà γ x t ]ϑ ]) 1.7), åàëèçîâàâ åãîñß íà äâèæåíèè x t ]ϑ ], ïî îæäåííîì çàêîíîì óï àâëåíèß V e =V e Δ δ,ε,δ δ ) âòî îãî èã îêà â ïà å ñ ï îèçâîëüíîé äîïóñòèìîé åàëèçàöèåé u t ]ϑ ) óï àâëåíèß ïå âîãî èã îêà èç ïîçèöèè t,x ), áóäåò âûïîëíßòüñß íå àâåíñòâî e 1 t,x ) γ x t ]ϑ ]) + ζ. Ïî òåî åìàì 1.1, 1.2, 1.3, äëß ë áîãî íàïå åä çàäàííîãî ζ>0ï è äîëæíîì âûáî å çíà åíèé ïà àìåò à ε>0 è äèàìåò à àçáèåíèß Δ δ çàêîíû U e è V e áóäóò ζ-îïòèìàëüíûìè Ï îã àììíàß åàëèçàöèß Ï è åàëèçàöèè îïèñàííîé ï îöåäó û ï èáëèæåííîãî âû èñëåíèß öåíû èã û 1.1) 1.8) âîçíèêà òäâå îñíîâíûå ï îáëåìû. Ïå âàß îáóñëîâëåíà èçâåñòíûìè ñëîæíîñòßìè ïîñò îåíèß âûïóêëûõ ñâå õó îáîëî åê ôóíêöèé â 1.18). Âòî àß μ ò óäîåìêîñòü ïå åñ åòà 1.19) ï è ïå åõîäå å åç îöåíî íûå òî êè ϑ i. Â åàëèçàöèè èñïîëüçóåòñß ïèêñåëüíîå ï åäñòàâëåíèå êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ, êîãäà îíè ïîê ûâà òñß àâíîìå íîé êîíå íîé ε-ñåòü, è âñå òî êè ìíîæåñòâà, âõîäßùèå â îê åñòíîñòü àäèóñà ε ñ öåíò îì â îäíîì èç óçëîâ ñåòè, îòîæäåñòâëß òñß ñ òèì óçëîì-ïèêñåëåì. Òàêèì îá àçîì, â àç àáàòûâàåìîì èñëåííîì ìåòîäå âñå êîìïàêòû ï åäñòàâëß òñß â âèäå êîíå íûõ íàáî îâ ïèêñåëåé. Ï è j = k +1ìíîæåñòâî G + k+1 t ) = {m: m = 0} ï åäñòàâëßåì â âèäå ìàññèâà G +, k+1 ñîñòîßùåãî èç îäíîãî íóëåâîãî âåêòî à m =0, à ôóíêöè ϕ + k+1 t,m)=0, m G + k+1 t ), μ â âèäå àññîöèàòèâíîãî ìàññèâà ϕ +, ñîñòîßùåãî èç îäíîé ïà û k+1 m =0, ϕ + k+1 m) =0). Äëß ïîñò îåíèß àïï îêñèìàöèè ìíîæåñòâà G k+1 t ) ïå åáè àåì ñ àâíîìå íûì ïî âñåì êîî äèíàòàì àãîì Δ l,íà èíàß ñ l =0,âñåòàêèå l R d N, êîòî ûå óäîâëåòâî ß ò óñëîâè μ N l) 1, è ïîëó àåì âåêòî û m =m 1,...,m n ) R n, èç êîòî ûõ ïîêîî äèíàòíûì ï åîá àçîâàíèåì m i =Δ m round mi Δ m 93 ), i =1,...,n, 1.27)

14 ôî ìè óåì ìàññèâ G ïèêñåëüíîé àïï îêñèìàöèè ìíîæåñòâà k+1 G k+1 t ). Çäåñü round îáîçíà àåò îïå àöè îê óãëåíèß äî áëèæàé åãî öåëîãî èñëà, Δ m μ ïà àìåò, õà àêòå èçó ùèé àçìå ïèêñåëß. Îäíîâ åìåííî ñ ìàññèâîì G ôî ìè óåì àññîöèàòèâíûé ìàññèâ k+1 ϕ k+1 ïà m, ϕ k+1 m)), m G k+1, êîòî ûé çàäàåò òàáóëè îâàííó ôóíêöè, àïï îêñèìè ó ùó ϕ k+1 t,m), m G + k+1 t ). Äàëåå, íà î å åäíîì àãå 1 j k, êîïè óåì ìàññèâ G â ìàññèâ G j+1 + j è âû èñëßåì òàáóëè îâàííó ôóíêöè ψ j, àïï îêñèìè ó ùó ôóíêöè ψ j t,m), m G + j t ). Ï è òîì äëß íàõîæäåíèß íåîáõîäèìûõ çíà åíèé ôóíêöèè Δψ j t,m) èñïîëüçóåì ïèêñåëüíûå àïï îêñèìàöèè Ũ è Ṽ êîìïàêòîâ U è V ñ àçìå àìè ïèêñåëåé, õà àêòå èçóåìûìè ïà àìåò àìè Δ U è Δ V. Ïîñëå òîãî äëß òàáóëè îâàííîé ôóíêöèè ψ j âûïîëíßåì ñîãëàñíî 1.18) ï îöåäó ó ïîñò îåíèß âûïóêëîé ñâå õó îáîëî êè è ïîëó àåì òàáóëè îâàííó ôóíêöè ϕ +, àïï îêñèìè- j ó ùó ϕ + j t,m), m G + j t ). ]  åàëèçàöèè äëß ïîñò îåíèß âûïóêëîé ñâå õó îáîëî êè ϕ =conc ψ ) òàáóëè îâàííîé G ôóíêöèè ψ = ψ m), m G R n, èñïîëüçóåòñß ñëåäó ùàß ï îöåäó à. Îïè àßñü íà åçóëüòàòû âûïóêëîãî àíàëèçà ñì., íàï èìå, 73, ñ. 119]), îáîëî êó àïï îêñèìè óåì ñâå õó îïî íûìè ãèïå ïëîñêîñòßìè ñ ôèêñè îâàííûì íàáî îì íî ìàëåé, â êà åñòâå êîòî îãî èñïîëüçóåì ñåìåéñòâî âåêòî îâ κ =κ 1,κ 2,...,κ n+1 ), ëåæàùèõ íà åäèíè íîé n +1)-ìå íîé ïîëóñôå å: κ 1 = cosφ 1 ), κ 2 = sinφ 1 )cosφ 2 ), κ 3 = sinφ 1 )sinφ 2 )cosφ 3 ),. κ n = sinφ 1 )...sinφ n 1 )cosφ n ), κ n+1 = sinφ 1 )...sinφ n 1 )sinφ n ), ãäå êàæäûé óãîë φ i, i =1,...,n, ï îáåãàåòîò åçîê 0,π] ñ àâíîìå íûì àãîì Δ φ. Ñíà àëà ïî íàáî ó íî ìàëåé íàõîäèì ôóíêöèè îïî íûõ ãèïå ïëîñêîñòåé ê ïîäã àôèêó ôóíêöèè ψ. Çàòåì äëß êàæäîé òî êè m G ] èùåì ìèíèìóì èõ çíà åíèé â òîé òî êå è çíà åíèå conc ψ ) m) G ïîëàãàåì àâíûì íàéäåííîìó ìèíèìóìó. Îáå àñòè ï îöåäó û àñïà àëëåëèâà òñß: ïå âàß μ ïî îá àáàòûâàåìûì íî ìàëßì, âòî àß μ ïî îá àáàòûâàåìûì òî êàì ìàññèâà G. Çàòåì â ñëó àå, êîãäà t j íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì èç ìîìåíòîâ â åìåíè ϑ i, êîïè óåì ìàññèâ G + j â ìàññèâ G j èêîïè óåì àññîöèàòèâíûé ìàññèâ ϕ + j â àññîöèàòèâíûé ìàññèâ ϕ. j  ï îòèâíîì ñëó àå, êîãäà t j = ϑ h, h = ht j ), ï îèçâîäèì ïå åñ åò 1.19). Ââîäèì àâíîìå íîå àçáèåíèå îò åçêà 0, max { ν 0: σh 0,ν) 1}] ñ àãîì Δ ν. Äëß ïîñò îåíèß àïï îêñèìàöèè ìíîæåñòâà G j t ) ïå åáè àåì òîëüêî òå ν, êîòî ûå ï èíàäëåæàò òîìó àçáèåíè. Äëß êàæäîãî î å åäíîãî ν ïå åáè àåì ñ àâíîìå íûì ïî âñåì êîî äèíàòàì àãîì Δ l,íà èíàß ñ l =0, âñå òàêèå l R d h, êîòî ûå óäîâëåòâî ß ò óñëîâè σ h l, ν) 1. Äëß î å åäíûõ ν è l, ïå åáè àß âñå m = m èç ìàññèâà G +, ïîëó àåì âåêòî û j m Rn,èçêîòî ûõ ïîêîî äèíàòíûì ï åîá àçîâàíèåì 1.27) ôî ìè óåì ìàññèâ G j ïèêñåëüíîé àïï îêñèìàöèè ìíîæåñòâà G j t ). Çàìåòèì, òî òîò ïå åñ åò âîçìîæíî àñïà àëëåëèòü, àçáèâ ìàññèâ G + j íà àâíûå àñòè, êàæäàß èç êîòî ûõ áóäåòîá àáàòûâàòüñß íà îòäåëüíîì âû èñëèòåëüíîì ßä å. Îäíîâ åìåííî ñ ìàññèâîì G j â ñîãëàñèè ñ 1.19) ôî ìè óåì àññîöèàòèâíûé ìàññèâ ϕ j ïà m, ϕ j m)), m G j, êîòî ûé çàäàåò òàáóëè îâàííó ôóíêöè, àïï îêñèìè ó ùó ϕ j t,m), m G j t ). Ï è òîì äëß êàæäîãî m, ïîëó àåìîãî â åçóëüòàòå ï åîá àçîâàíèß 1.27), ïî ñîîòâåòñòâó ùåé åìó ò îéêå ν, m,l) âû èñëßåì çíà åíèå ϕ j m) =ν ϕ+ j m ) l, D h c h è ï îèçâîäèì ï îâå êó, ñîäå æèòñß ëè óæå ïèêñåëü m â ìàññèâå G j åñòü ëè â àññîöèàòèâíîì ìàññèâå ϕ j êë m). Åñëè íåò, òîâ G j äîáàâëßåì ïèêñåëü m, àâ ϕ j äîáàâëßåì ïà ó m, ϕ j m) = ϕ j m)).  ï îòèâíîì ñëó àå ñ àâíèâàåì çíà åíèß ϕ j m) è ϕ j m), à çàòåì ïî êë ó m â àññîöèàòèâíîì ìàññèâå ϕ j ñîõ àíßåì áîëü åå èç íèõ. Ï è ï îâå êå ï èíàäëåæíîñòè êë à m àññîöèàòèâíîìó ìàññèâó ϕ j óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñò óêòó ó äàííûõ 94

15 õå -òàáëèöà, òîãäà â åìß ï îâå êè, à òàêæå äîñòóïà ê çíà åíè ïî êë ó â ñ åäíåì áóäåò ñîñòàâëßòü On) 29, ñ ], ãäå n μ àçìå íîñòü âåêòî à m. Ï îã àììíàß åàëèçàöèß âûïîëíåíà íà ßçûêå C++, ñ èñïîëüçîâàíèåì áèáëèîòåê èç êîëëåêöèè Boost C++ Libraries. Äëß õ àíåíèß àññîöèàòèâíûõ ìàññèâîâ èñïîëüçó òñß õå -òàáëèöû èç Boost::unordered. Äëß óñêî åíèß ïå åñ åòà 1.19) ï èìåíß òñß àçëè íûå ï îã àììíûå îïòèìèçàöèè. Ïî óìîë àíè òèï äàííûõ ublas::vector èñïîëüçóåò ñâîáîäíó ïàìßòü 76, ñ , ] äëß õ àíåíèß çíà åíèé êîî äèíàò âåêòî îâ m, òî ï èâîäèò ê äîïîëíèòåëüíûì îá àùåíèßì ê îïå àòî ó âûäåëåíèß ïàìßòè ï è ñîçäàíèè íîâûõ âåêòî îâ. Èñïîëüçîâàíèå bounded_array â êà åñòâå õ àíèëèùà ìàññèâà êîî äèíàò ïîçâîëßåòèçáåæàòü òèõ çàò àò. Ïîìèìî òîãî, óñêî èòü ï îã àììíó åàëèçàöè ïîçâîëßåò çàìåíà ñòàíäà òíîé ôóíêöèè õå è îâàíèß boost::functional::hash_value íà àíàëîãè íó, íî áîëåå ôôåêòèâíó ïî åàëèçàöèè. Ï èâåäåì îöåíêè â åìåíè àáîòû ï åäëàãàåìîé åàëèçàöèè ï îöåäó û âû èñëåíèß öåíû äèôôå åíöèàëüíîé èã û 1.1) 1.8). Ïîëîæèì λ Ψ = max t t 0,ϑ] Ψ t, ϑ), λ D = max i=1,...,n D i, λ U =max u U u, λ V =max v V v, λ i) ν =max{ν 0: σi 0,ν) 1}, i =1,...,N 1, λ ν N) =1, λ ν = max i=1,...,n λi) ν, λ i) l =max{ l : l R d i,σi l, 0) 1}, i =1,...,N 1, λ N) l =max{ l : l R d N,μ N l) 1}, λ l = max i=1,...,n λi) l. Çäåñü è äàëåå â çàâèñèìîñòè îò êîíòåêñòà ñèìâîë îáîçíà àåòëèáî íî ìó âåêòî à, îï åäåëßåìó êàê ìàêñèìóì èç ìîäóëåé åãî êîî äèíàò, ëèáî ïîä èíåííó ïî îòíî åíè ê íåé íî ìó ìàò èöû. Áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî â åìß âû èñëåíèß êàæäîé èç âñò å à ùèõñß â ï îöåäó å âåêòî íûõ íî ì çàâèñèò ëèíåéíî îò àçìå íîñòè âåêòî à. Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå Óòâå æäåíèå1.1. Ïóñòü äëß ìíîæåñòâà M R n ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà λ M > 0 òàêàß, òî m λ M, m M. Òîãäà äëß ïèêñåëüíîãî ï åäñòàâëåíèß M ìíîæåñòâà M ñ àçìå îì ïèêñåëß Δ M λ M /3 âå íà îöåíêà êîëè åñòâà òî åê M òîãî ï åäñòàâëåíèß: ) n M 4λM. Ä î êà ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ìíîæåñòâî M ñîäå æèòñß â n-ìå íîì êóáå ñ öåíò îì â íà àëå êîî äèíàòè ñòî îíîé 2λ M. Îöåíèì M ñâå õó êîëè åñòâîì òî åê â ïèêñåëüíîì ï åäñòàâëåíèè òîãî êóáà: M Δ M ) n ) n λm λm Δ M Δ M ) n 4λM. Δ M Çäåñü x îáîçíà àåò íàèìåíü åå öåëîå èñëî, íå ìåíü åå x. ïî òàáëè íîé ôóíê- Óòâå æäåíèå1.2. Â åìß T 1) j âû èñëåíèß òàáëè íîé ôóíêöèè ϕ + j öèè ϕ j+1 ñîñòàâëßåò O n 2 4λ ) U nu 4λV ) nv 4π ) ) n 4N htj )+1)λ Ψ λ D λ l λ N ht j) ) ) n ν + n. Δ U Δ V Δ φ Δ m 95

16 Ä î ê à ç à òå ë ü ñ òâ î. Ï èâåäåì ïñåâäîêîä àëãî èòìà âû èñëåíèß ï èáëèæåííîãî çíà åíèß âû àæåíèß Δψ j t,m) ï è ôèêñè îâàííîì m R n â ñëó àå èñëåííîãî èíòåã è îâàíèß ìåòîäîì ò àïåöèé. Â êîììåíòà èßõ ñï àâà äëß óêàçàííûõ â ñîîòâåòñòâó ùèõ ñò îêàõ îïå àöèé äàíû îöåíêè èõ â åìåíè âûïîëíåíèß, êîòî ûå îïè à òñß íà óòâå æäåíèå 1.1 è èçâåñòíûå îöåíêè â åìåíè âûïîëíåíèß îïå àöèé ñ âåêòî àìè è ìàò èöàìè, à òàêæå äîñòóïà ê ëåìåíòàì ìàññèâîâ è õå -òàáëèö ñì., íàï èìå, 29]). Â ï èâîäèìûõ äàëåå ïñåâäîêîäàõ îáîçíà åíèß end for îêîí àíèß öèêëîâ áóäóòîïóùåíû äëß ê àòêîñòè. procedure DeltaPsim) max j,max j+1 for all v Ṽ do O1) O 4λV ) ) nv Δ V min j, min j+1 O1) for all u Ũ do O 4λU ) ) nu Δ U min j min min j, m, Ψϑ, t j )ft j,u,v ) ] On 2 ) min j+1 min min j+1, m, Ψϑ, t j+1 )ft j+1,u,v ) ] On 2 ) max j max ] max j,min j O1) max j+1 max max j+1,min j+1 ] return max j + max j+1 )t j+1 t j )/2 O1) O1) Ñîïîñòàâëßß îöåíêè â åìåíè âûïîëíåíèß îòäåëüíûõ îïå àöèé, ïîëó àåì, òî ï èáëèæåííîå çíà åíèå Δψ j t,m) âû èñëßåòñß çà â åìß O n 2 ) 4λ U nu 4λV ) ) nv Δ U Δ V. Äëß ë áîãî m G ± j, j =1,...,k+1, ñï àâåäëèâà îöåíêà m λ ν m + λ Ψ λ D λ l... λ Ψ λ D λ l λ N ht j ) ν + λ N ht j) 1 ν ) N ht j )+1)λ Ψ λ D λ l λ N ht j) ν. 1.28) Çàìåòèì, òî â ñëó àå, êîãäà íî ìû σ i l i,μ) è μ N l N ) ßâëß òñß, íàï èìå, l p -íî ìàìè, òî λ ν =1, è íå ï îèñõîäèò êñïîíåíöèàëüíîãî îñòà îáëàñòåé G ± j â ïîïßòíîé ï îöåäó å ïîñò îåíèß ñèñòåìû âåëè èí 1.20). Îöåíèì â åìß àáîòû ï îöåäó û, èñïîëüçóåìîé äëß ïîñò îåíèß âûïóêëîé ñâå õó îáîëî êè ϕ + j =conc ψj ) ] ôóíêöèè ψ j = ψ j m), m G + G + j. Ñîãëàñíî óòâå æäåíè 1.1 êîëè åñòâî òî åê j ã àôèêà ôóíêöèè ψ j, åñëè ó åñòü îöåíêó 1.28), ñîñòàâëßåò 4N htj )+1)λ O Ψ λ D λ l λ N ht j ) ) ν n Δ m ). Êîëè åñòâî íî ìàëåé κ àâíî O 4π ) ) n Δ φ. Ïà àìåò û ãèïå ïëîñêîñòè, ï îõîäßùåé å åç çàäàííó òî êó è èìå ùó çàäàííó íî ìàëü, ìîãóò áûòü âû èñëåíû çà On). Òàêèì îá àçîì, ïîñò îåíèå íàáî à îïî íûõ ãèïå ïëîñêîñòåé, êàê è âû èñëåíèå ïî òîìó íàáî ó çíà åíèé conc G + j m G + j n 4π ψj ) ] m), m G ) j,ìîæíî îñóùåñòâèòü çà n 4N htj )+1)λ O Ψ λ D λ l λ N htj ) ) ν n Δ φ Δ m ). Ó èòûâàß ï èâåäåííûå îöåíêè è òî, òî ï îöåäó à DeltaPsi âûçûâàåòñß äëß êàæäîãî 1), ïîëó àåì äîêàçûâàåìó îöåíêó â åìåíè T j. Óòâå æäåíèå 1.3. Â åìß àáîòû T 2) j åàëèçàöèè ïå åñ åòà 1.19) äëß j =1,...,k, òàêèõ, òî t j = ϑ h, h = ht j ), ñîñòàâëßåò O n 2 d h + nd h d h + 4 ) ) dh 4λl 4N h +1)λΨ λ D λ l λ N h ) n ) ν. Δ ν Δ l Δ m Ä î ê à ç à òå ë ü ñ òâ î. Ï èâåäåì àëãî èòì î ãàíèçàöèè ïå åñ åòà 1.19), çàïèñàííûé â âèäå ïñåâäîêîäà. Äîêàçûâàåìàß îöåíêà â åìåíè T 2) j ïîëó àåòñß ïóòåì ñîïîñòàâëåíèß â åìåíè 96

17 âûïîëíåíèß îòäåëüíûõ îïå àöèé. Â ïñåâäîêîäå èñïîëüçó òñß ôóíêöèß Pixelsset, precision), êîòî àß ïî äàííîìó ìíîæåñòâó set ñò îèò åãî ïèêñåëüíó àïï îêñèìàöè ñ àçìå îì ïèêñåëß, àâíûì precision, è ôóíêöèß RoundVectorm, Δ m ), âûïîëíß ùàß ï åîá àçîâàíèå 1.27). 1: procedure RecalculatePhi 2: ΨD Ψ ϑ h,ϑ)d h On 2 d h ) 3: dc D h c h Od h n) 4: for all m, ϕ + j m ) ) ϕ + j do O 4N h+1)λψ λ D λ l λ N h ) ) ν n Δ m 5: for all l Pixels{l R d h : σh l, 0) 1}, Δ l) do O d 4λl ) ) dh h Δ l 6: xdl ΨDl Ond h ) 7: ldc l, dc Od h ) 8: for all ν Pixels{ν 0: σh l, ν) 1}, Δ ν) do O 4λ ν ) Δ ν 9: m ν m + xdl On) 10: m RoundVectorm, Δ m ) On) 11: ϕ j m) max ϕ j m),ν ϕ+ j m ) ldc ] On) Ó òâ å æ ä å í è å 1.4. Â åìß T 2) k+1, íåîáõîäèìîå äëß ïîñò îåíèß ìàññèâîâ G + k+1, G k+1 èàññîöèàòèâíûõ ìàññèâîâ ϕ + k+1, ϕ+ k+1, ñîñòàâëßåò O ndn 2 4λl Δ l ) dn ). Äîêàçàòåëüñòâî. Äàííûé òàï ï îöåäó û ï åäñòàâëßåò ñîáîé óï îùåííó âå ñè ïå åáî à 1.19). Îáîñíîâàíèå îöåíêè ï îâîäèòñß ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì óòâå æäåíèß 1.3. Óòâå æäåíèå1.5. Èòîãîâîå â åìß T ï èáëèæåííîãî âû èñëåíèß âåëè èíû e 1 t,x ) 1.20) ñîñòàâëßåò ãäå d = max d h. h=1,...,n O k n 2 4λ ) U nu 4λ ) V nv 4π ) ) n 4NλΨ λ D λ l λ N ) n + n ν + Δ U Δ V Δ φ Δ m + N n 2 d + nd d + 4 ) ) d 4λl 4NλΨ λ D λ l λ N ) n ) ) ν, Δ ν Δ l Δ m Äîêàçàòåëüñòâî. Èòîãîâîå â åìß T ñêëàäûâàåòñß èç â åìåíè T 1) j, çàò à èâàåìîãî íà êàæäîì àãå j = k, k 1,...,1, â åìåíè T 2) j, íåîáõîäèìîãî äëß îñóùåñòâëåíèß N ïå åñ åòîâ 1.19), è â åìåíè íåïîñ åäñòâåííîãî ï èáëèæåííîãî âû èñëåíèß çíà åíèß e 1 t,x ) ïî ôî ìóëå 1.20) Ï èìå û Ï èâåäåì åçóëüòàòû èñëåííûõ êñïå èìåíòîâ. Ï è ì å 1.1. Ïóñòü äâèæåíèå äèíàìè åñêîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñß ó àâíåíèåì { ẋ1 = x 2 + ct)v, t ẋ 2 = 0,5x 1 0,05x 2 + bt)u, 0 = t =0 t<ϑ=4, x = ) x 1,x 2 R 2, u R 1,v R 1, 1.29) 97

18 ãäå bt) = 1,5+1,5cos2πt 0,5), åñëè t 0,5; 1,5], 1,5+1,5cos2πt 2,5), åñëè t 2,5; 3,5], 3, åñëè èíà å, ct) = { 1, åñëè t 0,6; 1,4] 2,6; 3,4] 0,3, åñëè èíà å, óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß ïå âîãî è âòî îãî èã îêîâ ñòåñíåíû ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè u U = { 1, 0, 1}, v V = { 1, 0, 1}, 1.30) çàäàíû íà àëüíîå óñëîâèå è ïîêàçàòåëü êà åñòâà ãäå x = x0) = x 1 0),x 2 0) ) =1, 0) 1.31) γ x t ]ϑ ]) 4 1/2, = xi) c i E) ) i=1 c 1 =0, 1), c 2 = 1, 0), c 3 =0, 1), c 4 =1, 0). Â èñëåííûõ ïîñò îåíèßõ èñïîëüçîâàëèñü àâíîìå íîå àçáèåíèå Δ δ îò åçêà â åìåíè óï àâëåíèß 0, 4] ñ äèàìåò îì δ = 0,001 è çíà åíèå ïà àìåò à òî íîñòè ε = 0,005. Äëß ïèêñåëüíûõ ï åäñòàâëåíèé áûëè âûá àíû çíà åíèß ïà àìåò îâ Δ m =Δ l =Δ ν =0,01, Δ φ = π/200. Ìíîæåñòâà G + j t ) ïî ïîñò îåíè èçìåíß òñß òîëüêî ï è ïå åõîäå t j å åç ìîìåíòû ϑ i îöåíêè êà åñòâà äâèæåíèß. Â òîé äèôôå åíöèàëüíîé èã å îíè îñòàâàëèñü íåèçìåííûìè íà ïîëóèíòå âàëàõ 0, 1), 1, 2), 2, 3), 3, 4). Ïèêñåëüíîå ï åäñòàâëåíèå ìíîæåñòâ G + j t ) äëß äàííîé çàäà è ï èâåäåíî íà èñ. 1. Íàéäåííîå èñëåííî çíà åíèå âåëè èíû e 1 t,x ), ï èáëèæà ùåå öåíó Γ 0 t,x ) èã û 1.29) 1.32), ñîñòàâèëî 1,131. Íèæå ï èâîäßòñß åçóëüòàòû ò åõ ñèìóëßöèé ï îöåññà óï àâëåíèß â òîé èã å. 1) Óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß èã îêîâ ôî ìè îâàëèñü ñîãëàñíî ñîîòíî åíèßì 1.21) 1.23) è 1.24) 1.26). Ðåàëèçîâàëîñü ñëåäó ùåå çíà åíèå ïîêàçàòåëß êà åñòâà 1.32): γ = 0, , , ,230 2) 1/2 1,112 e 1 t,x )=1,131. 2) Óï àâëåíèå ïå âîãî èã îêà ïî-ï åæíåìó ôî ìè îâàëîñü ñîãëàñíî 1.21) 1.23), à óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß âòî îãî íàçíà àëèñü ñëó àéíûì àâíîâå îßòíûì îá àçîì. Ðåàëèçîâàëîñü çíà åíèå ïîêàçàòåëß êà åñòâà: γ = 0, , , ,020 2) 1/2 0,408 <e 1 t,x )=1,131. 3) Óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß ïå âîãî èã îêà íàçíà àëèñü ñëó àéíûì àâíîâå îßòíûì îá- àçîì, à óï àâëåíèå âòî îãî ôî ìè îâàëîñü ñîãëàñíî 1.24) 1.26). Ðåàëèçîâàâ ååñß çíà- åíèå ïîêàçàòåëß êà åñòâà: γ = 1, , , ,316 2) 1/2 4,996 >e 1 t,x )=1,131. Ò àåêòî èè åàëèçîâàâ èõñß äâèæåíèé, ïîëó åííûå â ïå âîé ñèíßß ëèíèß) è âòî îé çåëåíàß ëèíèß) ñèìóëßöèßõ, ï èâåäåíû íà èñ. 2. Çäåñü è äàëåå öåëåâûå òî êè îáîçíà åíû å íûìè ê åñòèêàìè. Ê óãëûå òî êè íà ò àåêòî èßõ ñîîòâåòñòâó ò ìîìåíòàì â åìåíè îöåíêè êà åñòâà äâèæåíèß. 98

19 m G + 0,1) 1 G + 1,2) 2 G + 2,3) 3 G + 3,4) m 1 Ðèñ. 1. Ïèêñåëüíîå ï åäñòàâëåíèå ìíîæåñòâ G + j t ) äëß äèôôå åíöèàëüíîé èã û 1.29) 1.32) èç ï èìå à 1.1 Ï è ì å 1.2. Ðàññìîò èì äèôôå åíöèàëüíó èã ó èç 117, ñ. 1 11], îïèñûâà ùó äâèæåíèå ìàòå èàëüíîé òî êè íà ïëîñêîñòè ïîä âîçäåéñòâèåì öåíò àëüíîé ñèëû, ñèëû ñîï îòèâëåíèß, óï àâëß ùåé åàêòèâíîé ñèëû è äèíàìè åñêîé ïîìåõè. Äâèæåíèå äèíàìè åñêîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñß ó àâíåíèåì Ìåùå ñêîãî ẍ = 4e t/5 x 0,1e t/5 ẋ 8u +2,4e t/5 v, t 0 = t =0 t<ϑ=4, x =x 1,x 2 ) R 2,u=u 1,u 2 ) R 2, v =v 1,v 2 ) R 2, 1.33) óï àâëß ùèå âîçäåéñòâèß ïå âîãî è âòî îãî èã îêîâ ñòåñíåíû ãåîìåò è åñêèìè îã àíè åíèßìè { } u U = u 1,u 2 ) R 2 : u2 1 + u , { 2 2 } 1.34) v V = v 1,v 2 ) R 2 : v2 1 + v , 4 2 çàäàíû íà àëüíîå óñëîâèå x = x 1 0), ẋ 1 0),x 2 0), ẋ 2 0) ) =0, 2, 2, 1) 1.35) è ïîêàçàòåëü êà åñòâà γ x t ]ϑ ]) = x 2 1 4) + x2 2 4). 1.36) Â òîé èã å ïîêàçàòåëü êà åñòâà òå ìèíàëüíûé. Äëß åå èñëåííîãî å åíèß ñóùåñòâó ò áîëåå ôôåêòèâíûå àëãî èòìû ñì., íàï èìå, 117]). Â íàñòîßùåé àáîòå èã à 1.33) 1.36) èñïîëüçîâàëàñü â êà åñòâå òåñòîâîé, òîáû óáåäèòüñß â êî åêòíîñòè âûïîëíåííîé ï îã àììíîé åàëèçàöèè. 99