ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: «Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ»

Transcript

1 ΔΠΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» - ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΤΡΑ, 2017 ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: «Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ» Επιβλέπων: Ανδρουλάκης Γεώργιος Στρατογιάννη Αικατερίνη ΑΜ: 358

2 Abstract Time series prediction, especially in the case of data related to unemployment indicators, has attracted major research interest due to the widespread economic crisis. Time series analysis s purpose is usually to predict the values of unemployment indicators. However, this task does not specifically look at finding the future value of the time series, but predicting the future time point in which time series are expected to be optimized locally. This study s differences in the prediction s objective; instead of focusing on the time series future price it aims on detecting the future time that the time series is expected to be locally optimized. At the same time, a retrospective technique creates a methodological framework of ex ante forecasting. Finally, this research creates a technique that is applied to data on unemployment indicators in order to study how the labor market will move and to cope with any negative consequences. [2]

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η πρόβλεψη με τη χρήση των χρονοσειρών, και συγκεκριμένα αυτών που ασχολούνται με τα δεδομένα που σχετίζονται με τους δείκτες ανεργίας αποτελεί αντικείμενο μελέτης πολλών αναλυτών λόγω της εκτεταμένης οικονομικής κρίσης. Η ανάλυση χρονοσειρών συνήθως γίνεται προκειμένου να γίνει πρόβλεψη των τιμών των δεικτών της ανεργίας. Ωστόσο, στη συγκεκριμένη εργασία δε μελετάται ακριβώς η εύρεση της μελλοντικής τιμής της χρονοσειράς, αλλά μέσω της πρόβλεψης εντοπίζεται το μελλοντικό χρονικό σημείο στο οποίο η χρονοσειρά αναμένεται να βελτιστοποιηθεί τοπικά. Μέσω της τεχνικής της οπισθοδρόμησης δημιουργείται μια μέθοδος η οποία στοχεύει στην επίλυση προβλημάτων εντοπισμού του μελλοντικού χρόνου όπου εμφανίζεται το τοπικό μελλοντικό βέλτιστο της εκάστοτε χρονοσειράς. Παράλληλα, μέσω της τεχνικής της οπισθοδρόμησης δημιουργείται ένα μεθοδολογικό πλαίσιο μιας εκ των προτέρων πρόβλεψης. Τέλος, μέσω αυτής της έρευνας δημιουργείται μια τεχνική η οποία εφαρμόζεται σε δεδομένα των δεικτών ανεργίας προκειμένου να μελετηθεί πως θα κινηθεί η αγορά εργασίας και να αντιμετωπιστούν τυχόν αρνητικές συνέπειές της. [3]

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Εισαγωγή Ορισμός Χρονοσειράς Βασικά Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Χρονοσειρών Πρόβλεψη (Forecasting) Είδη Μεθόδων Πρόβλεψης Χρονοσειρών Κυριότερες Μέθοδοι Πρόβλεψης Χρονοσειρών Απλοϊκή Μέθοδος ( Naïve ) Υπόδειγμα Λευκού Θορύβου (White noise) Τυχαίος Περίπατος (Random Walk) Γραμμική Παλινδρόμηση (Linear Regression) Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR (AutoRegressive Models) Η Μέθοδος Απλού Κινητού Μέσου Όρου, ΜΑ (Simple Moving Average Method) Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Κινητού Μέσου Όρου, ARΜΑ Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Ολοκληρωμένου Κινητού Μέσου Όρου, ARΙΜΑ Μέθοδος Box & Jenkins Εκθετική Εξομάλυνση Ακρίβεια Πρόβλεψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Εισαγωγή Το πρόβλημα της Βελτιστοποίησης Βασικές Κατηγορίες Μεθόδων Βελτιστοποίησης Διαδικασία Γραμμικής Αναζήτησης (Line Search Methods) Μέθοδοι Προσδιορισμού Μήκος Βήματος Inexact Μέθοδοι Exact Μέθοδοι Μέθοδοι Επιλογής Κατεύθυνσης στις Μεθόδους Γραμμικής Αναζήτησης Βασικές Έννοιες Μεθόδων Βελτιστοποίησης Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Γραμμικής Αναζήτησης Μέθοδος Απότομης Καθόδου (Steepest Descent Method) [4]

5 Μέθοδος Απότομης Καθόδου Μεταβλητού Βήματος (Steepest Descent Method) Μέθοδος Newton Raphson Μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων (Conjugate Gradient Methods) Μέθοδος BFGS Βασικές Αρχές Παραδοσιακών Αλγορίθμων Αναζήτησης Μέθοδος Οπισθοδρόμησης (Backtracking Method) Αιτιοκρατικές Μέθοδοι (Deterministic Methods) Στοχαστικές Μέθοδοι (Stochastic Methods) Θεώρημα No Free Lunch (NFL) Μέτρηση Απόδοσης των Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΑΝΕΡΓΙΑ Εισαγωγή Ορισμός Ανεργίας Μέτρηση Ανεργίας Είδη Ανεργίας Διαχρονική Μελέτη Ποσοστών της Ανεργίας (ICAP, ) Αίτια της Ανεργίας Συνέπειες της Ανεργίας Τρόποι αντιμετώπισης Ανεργίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΕΡΕΥΝΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΠΟΣΟΣΤΟΥ ΑΝΕΡΓΙΑΣ Εισαγωγή Σχέση Εθνικής με Περιφερειακή Ανεργία Μέθοδος Απλής Γραμμικής Παλινδρόμησης Διερεύνηση της Σχέσης Εθνικής Περιφερειακής Ανεργίας στην Ελλάδα Αξιολόγηση Αποτελεσμάτων Έρευνας Πρόβλεψη Ποσοστού Ανεργίας Με τη Μέθοδο Εξομάλυνσης Στοιχεία & Μέθοδοι Αποτελέσματα Εφαρμογής Μοντέλων Αλλαγές στο Ποσοστό Ανεργίας και το Πραγματικό ΑΕΠ: Ο Νόμος του Okun Προβλέψεις Ποσοστού Ανεργίας και Απασχόλησης (2014q1-2020q4) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Εισαγωγή Μέθοδος Οπισθοδρόμησης [5]

6 5.2. Σταθερά Lipschitz Αλγόριθμος Lipschitz Indicator (LIN) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΣΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΔΕΙΚΤΗ ΑΝΕΡΓΙΑΣ Εισαγωγή Μετατροπή αρχείου Excel σε αρχείο csv (.csv) Πρακτική Εφαρμογή Μεθόδου σε Χρονοσειρές Πρακτική Εφαρμογή Μεθόδου σε Χρονοσειρές Η περίπτωση του Αριθμού Ανέργων Η περίπτωση του Αριθμού Απασχολούμενων Η περίπτωση του Μη Ενεργού Πληθυσμού Η περίπτωση του Ποσοστού Ανεργίας Αποσύνθεση Χρονοσειρών Η περίπτωση του Αριθμού Ανέργων Η περίπτωση του Αριθμού Απασχολούμενων Η περίπτωση του Μη Ενεργού Πληθυσμού Η περίπτωση του Ποσοστού Ανεργίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [6]

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Είναι ευρέως γνωστό ότι το φαινόμενο της ανεργίας αποτελεί τη μεγαλύτερη μάστιγα του αιώνα που διανύουμε, και πλήττει όλες τις ανθρώπινες ομάδες ανεξαιρέτως ηλικίας. Για αυτό, η ανεργία αποτελεί αντικείμενο μελέτης πολλών αναλυτών. Έτσι, στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί η πρόβλεψη των μελλοντικών ακροτάτων διαφόρων χρονοσειρών, και συγκεκριμένα των χρονοσειρών των δεικτών που μετρούν την ανεργία. Στο πρώτο κεφάλαιο θα παρουσιαστεί μια βιβλιογραφική ανασκόπηση κάποιων βασικών εννοιών. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται ο ορισμός της χρονοσειράς, τα βασικά ποιοτικά χαρακτηριστικά τους, τα είδη των μεθόδων πρόβλεψης χρονοσειρών, καθώς και οι διάφορες βασικές μέθοδοι πρόβλεψης. Τέλος, δίνεται και ο τρόπος υπολογισμός της ακρίβειας πρόβλεψης μέσω διαφόρων δεικτών. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται το πρόβλημα της βελτιστοποίησης και αναφέρονται οι σημαντικότερες μέθοδοι και κάποιες βασικές έννοιες αυτών των μεθόδων. Ομοίως, στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται η έννοια και ο τρόπος μέτρησης της ανεργίας καθώς και τα σημαντικότερα είδη της. Παράλληλα, γίνεται μια διαχρονική παρουσίαση των ποσοστών ανεργίας βάση στοιχείων της ICAP του Τέλος, παρουσιάζονται τα βασικότερα αίτια, οι συνέπειες και οι τρόποι αντιμετώπισης της ανεργίας. Στο κεφάλαιο 4 γίνεται βιβλιογραφική αναφορά κάποιων προγενέστερων ερευνών για τη μελλοντική κίνηση των ποσοστών της ανεργίας, ενώ στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η βασική μέθοδος για τον εντοπισμό του σημείου όπου εμφανίζεται το μέγιστο ποσοστό ανεργίας μελλοντικά. Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζεται η μελέτη των δεικτών ανεργίας βάση του μοντέλου της μεθόδου της οπισθοδρόμησης. Ωστόσο, επειδή η ανεργία μπορούμε να πούμε ότι διακατέχεται και από τη συνιστώσα της εποχικότητας, θα γίνει αποσύνθεση των χρονοσειρών στις συνιστώσες της εποχικότητας, της τάσης και των καταλοίπων, και κατόπιν θα εφαρμοστεί το μοντέλο στη συνιστώσα της τάσης της κάθε χρονοσειράς που προκύπτει., τέλος, θα παρουσιαστούν τα διάφορα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθόδου. [7]

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ 1.1. Εισαγωγή Είναι ευρέως γνωστό ότι τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση διαφόρων οικονομικών μεγεθών μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή των χρονολογικών σειρών (time series). Μάλιστα, για να μπορέσει ένας επιχειρησιακός οργανισμός να λάβει σημαντικές αποφάσεις για την επέκτασή του και τη βιωσιμότητά του πρέπει να μπορέσει να προβλέψει τη μελλοντική πορεία αυτών των οικονομικών μεγεθών. Για αυτό θα πρέπει να χρησιμοποιήσει μια ποικιλία από μεθόδους πρόβλεψης. Μάλιστα, για να υπάρξει μια σχετική ακρίβεια στην πρόβλεψη αυτών των οικονομικών μεγεθών θα πρέπει να γίνει η κατάλληλη επεξεργασία των διαθέσιμων δεδομένων των παρελθοντικών στοιχείων, και να εφαρμοστεί η καταλληλότερη μέθοδος πρόβλεψης Ορισμός Χρονοσειράς Μια χρονοσειρά αποτελείται ένα σύνολο παρατηρήσεων μιας μεταβλητής, οι τιμές της οποίας ιεραρχούνται με βάση τη χρονική περίοδο στην οποία αναφέρονται, π.χ. ημέρα, μήνας, τρίμηνο, έτος, κ.ο.κ.. Γενικά, το σύνολο των δεδομένων που συλλέγονται σε κάθε χρονική στιγµή t, όπου t = 1,..., n, για μια χρονική περίοδο n, και εκφράζουν την εξέλιξη των παρατηρήσεων x t μιας μεταβλητής X κατά τη διάρκεια ίσων διαδοχικών χρονικών περιόδων ονομάζεται χρονοσειρά ή χρονολογική n σειρά (time series). Δηλαδή, η χρονοσειρά αποτελεί μια ακολουθία {x t } n 1 = {x 1,..., x n }, όπου κάθε x t εκφράζει την τιμή της μεταβλητής, η οποία εξελίσσεται στο χρόνο με τυχαίο τρόπο για τη χρονική στιγμή t. Οι χρονοσειρές μπορούν να αφορούν i) διακριτά μεγέθη x t σε διακριτό χρόνο t (π.χ. οι ηµερήσιες, αεροπορικές και οδικές, αφίξεις τουριστών στην χώρα µας x t µε t = 1,2,, n), ii) διακριτά μεγέθη x t σε συνεχή χρόνο t (π.χ. ο συνολικός αριθµός των τροχαίων ατυχηµάτων x t κατά µήκος µιας οδικής αρτηρίας στο χρονικό [8]

9 διάστηµα [0, t] µε t 0), iii) συνεχή μεγέθη x t σε διακριτό χρόνο t (π.χ. το ετήσιο ακαθάριστο εθνικό προϊόν, x t, και το ετήσιο ισοζύγιο εξωτερικών συναλλαγών, y t, µε t = 1,2,..., n), και iv) συνεχή μεγέθη x t σε συνεχή χρόνο t (π.χ. η θερµοκρασία περιβάλλοντος, x t, και η ατµοσφαιρική πίεση, y t, σε συγκεκριµένη γεωγραφική περιοχή µε γεωγραφικές συντεταγµένες (l, a, h) κατά την χρονική στιγµή t. Σε αυτή την περίπτωση η παράµετρος t είναι πιο σύνθετη με t = (l, a, h, t)) (Κοκολάκης, 2004). Στην τυπική περίπτωση ανάλυσης µιας χρονοσειράς, ο χρόνος δειγµατοληψίας θεωρείται σταθερός. Ωστόσο, σε ορισμένα προβλήµατα ο χρόνος δειγµατοληψίας µπορεί να µην είναι σταθερός, με αποτέλεσμα η χρονοσειρά να χρειάζεται περαιτέρω επεξεργασία προκειμένου να αναλυθεί. Για παράδειγμα, οι ηµερήσιες τιµές του δείκτη του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών αποτελούν χρονοσειρά µε µεταβλητό φυσικό χρόνο δειγµατοληψίας, καθώς το χρηµατιστήριο είναι κλειστό τα Σαββατοκύριακα και τις γιορτές (Κουγιουμτζής, 2007). Σε μια τέτοια περίπτωση, ως χρόνος αναϕοράς ορίζεται ο οικονοµικός χρόνος συναλλαγών και όχι ο φυσικός χρόνος. Μάλιστα, ο οικονομικός χρόνος συναλλαγών θεωρείται ως ένα σταθερό χρονικό βήµα µιας (οικονοµικής) ηµέρας, ακόµη και όταν μεσολαβούν τα Σαββατοκύριακα (Κουγιουμτζής, 2007). Αρκετές φορές υπάρχει η δυνατότητα της ταυτόχρονης παρατήρησης πολλών µεγεθών για το ίδιο σύστηµα, όπως π.χ. καταγραϕές σεισµικών κυµάτων από διαϕορετικούς σταθµούς, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται πολλαπλές ταυτόχρονες χρονοσειρές ή µια πολυδιάστατη χρονοσειρά (multivariate time series) (Κοκολάκης, 2004). Συνήθως, όµως, χρησιμοποιούνται μόνο µονοδιάστατες χρονοσειρές, δηλαδή συλλέγονται τιµές μόνο ενός µεγέθους. Τέλος, ανάλογα με τη συσχέτιση των διαδοχικών τιμών μίας χρονοσειράς, αυτές μπορούν να διαχωριστούν σε i) ντετερμινιστικές, όπου οι διαδοχικές παρατηρήσεις είναι συσχετισμένες με αποτέλεσμα οι μελλοντικές τιμές να μπορούν να υπολογιστούν από τις προηγούμενες και ii) στοχαστικές, όπου οι μελλοντικές τιμές προκύπτουν από μία στοχαστική διαδικασία με αποτέλεσμα να μην προκύπτει σαφές αποτέλεσμα για τις μελλοντικές τιμές από το πλήθος των προηγούμενων τιμών (Κοκολάκης, 2004). [9]

10 1.3.Βασικά Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Χρονοσειρών Για να αποκωδιποιηθεί η συμπεριφορά μιας χρονοσειράς και να προκύψει μια πιο εξειδικευμένη εικόνα της, παρατηρούμε ότι σημαντικό ρόλο παίζει το μέγεθος που μελετάται, αλλά και το χρονικό πλαίσιο παρατήρησης του φαινομένου. Τα βασικότερα ποιοτικά χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς είναι τα εξής (Νικολάου, 2007): - Μακροχρόνια Τάση (trend): Η τάση μιας χρονοσειράς σχετίζεται με τη μακροπρόθεσμη μεταβολή, αύξηση ή μείωση, της μέσης τιμής των τιμών της χρονοσειράς. Δηλαδή, η τάση μπορεί να είναι γραμμική ή μη γραμμική (λογαριθμητική) για ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. Ωστόσο, το πρόβλημα που προκύπτει είναι το ποια μεταβολή θεωρείται μακροπρόθεσμη. Για αυτό, προκειμένου να μπορέσει να βγει το κατάλληλο συμπέρασμα για τη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του μέσου όρου των δεδομένων θα πρέπει να υπάρχει επαρκής όγκος δεδομένων. Εικόνα 1.1: Παράδειγμα Χρονοσειράς με Αυξητική Γραμμική Τάση - Κυκλικότητα (circularity): Η κυκλικότητα μιας χρονοσειράς οφείλεται κυρίως σε εξωγενείς παράγοντες που επηρεάζουν τη χρονοσειρά, και συνήθως εμφανίζεται σε οικονομικά μεγέθη, καθώς και σε χρονοσειρές οι οποίες επηρεάζονται άμεσα από αυτά (Βαϊδάνης, 2007). Η κυκλικότητα αναπαρίσταται γραφικά ως μια κυματοειδή μεταβολή η οποία δεν εμφανίζεται σε σταθερές χρονικές περιόδους που συνήθως διαρκούν για χρονικό ορίζοντα μεγαλύτερο του έτους. Οι μεταβολές αυτές ορίζονται ως επιχειρηματικοί κύκλοι, και απορρέουν από διαδοχικές [10]

11 περιόδους άνθησης ή ύφεσης των παγκόσμιων και εγχώριων οικονομιών, αλλά και σχέσεων μεταξύ των οικονομιών διαφόρων χωρών (Βαϊδάνης, 2007). Εικόνα 1.2: Παράδειγμα Χρονοσειράς με Κυκλικότητα (Βαϊδάνης, 2007) - Εποχιακότητα (seasonality): Η εποχικότητα αποτελεί την περιοδική διακύμανση των δεδομένων μιας χρονοσειράς με συνήθως χρονικό ορίζοντα μικρότερο του έτους και επαναλαμβάνεται με την ίδια ποσοτική μεταβολή ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Μάλιστα, η εποχικότητα μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί από τη γραφική αναπαράσταση των δεδομένων της χρονοσειράς. Προκειμένου, λοιπόν, να αντιμετωπιστεί η επίδραση που έχει η εποχικότητα στα δεδομένα της χρονοσειράς για τα επαναλαμβανόμενα χρονικά διαστήματα, χρησιμοποιούνται εποχιακοί δείκτες. Στη συνέχεια, για να εξαλειφθεί αυτή η επίδραση, τα πραγματικά δεδομένα διαιρούνται με τους αντίστοιχους δείκτες, με αποτέλεσμα να δημιουργείται μια νέα χρονοσειρά, η αποεποχικοποιημένη χρονοσειρά (Βαϊδάνης, 2007). Εικόνα 1.3: Παράδειγμα Χρονοσειράς με Εποχικότητα (Βαϊδάνης, 2007) [11]

12 - Ακραίες Παρατηρήσεις (outliers): Ως ακραίες παρατηρήσεις ορίζονται οι μεμονωμένες παρατηρήσεις που εμφανίζονται στα γραφήματα των χρονοσειρών ως απότομες αλλαγές στο πρότυπο της συμπεριφοράς των δεδομένων, και τείνουν να αποκλίνουν από το μέσο όρο του συνόλου των παρατηρήσεων (Λισγάρα, 2011). Αυτές οι απότομες αλλαγές μπορεί να έχουν παροδική διάρκεια (outliers ή special events) ή μόνιμο χαρακτήρα (level shifts) όταν επιδρούν για μεγαλύτερο διάστημα ή αλλάζουν εντελώς το μέσο όρο των τιμών της χρονοσειράς (Λισγάρα, 2011). Οι ακραίες παρατηρήσεις σε συνθήκες μη περιοδικών χρονοσειρών μελετήθηκαν από το Fox, 1972, ο οποίος, στηριζόμενος στις αρχές του ποσοστού των πιθανοτήτων και στην άμεση αξιολόγηση μιας ακραίας παρατήρησης, πρότεινε τη χρήση δύο test για τον εντοπισμό διαφόρων λαθών στις χρονοσειρές (Λισγάρα, 2011). Το test I, αναφέρεται στις περιπτώσεις όπου η ύπαρξη μιας ακραίας τιμής δεν επηρεάζει τις επόμενες παρατηρήσεις, ενώ το test II αναφέρεται στις περιπτώσεις που η ακραία τιμή επιδρά στις τιμές των επόμενων παρατηρήσεων (Λισγάρα, 2011). - Διαλείψεις: Ως διάλειψη ορίζεται η έλλειψη τιμών για κάποιο χρονικό διάστημα. - Στατικότητα: Η στατικότητα αφορά τη σταθερότητα των στατιστικών παραμέτρων της χρονοσειράς, και χαρακτηρίζεται από τη σταθερότητα της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης. - Μη κανονικές διακυμάνσεις Τυχαιότητα: Ως τυχαιότητα ορίζεται η διαφορά του συνδυασμού των συνιστωσών της τάσης, της εποχιακότητας, και της κυκλικότητας με τα πραγματικά δεδομένα της χρονοσειράς (Βαϊδάνης, 2007). Δηλαδή, από την απομόνωση των προαναφερόμενων χαρακτηριστικών μιας χρονοσειράς, οι διακυμάνσεις που απομένουν, μπορεί να αντιπροσωπεύουν μια εντελώς τυχαία μεταβλητή, η οποία εκφράζει τον τυχαίο παράγοντα μίας στοχαστικής διαδικασίας. [12]

13 Εικόνα 1.4: Παράδειγμα Χρονοσειράς με Αλλαγή Επιπέδου & Special Events 1.4. Πρόβλεψη (Forecasting) Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η πρόβλεψη αποτελεί µια από τις σηµαντικότερες ενέργειες µιας επιχείρησης για τη λήψη σημαντικών απόφασεων για το σχεδιασµό νέων προϊόντων, τον όγκο της παραγωγής, την πρόσληψη προσωπικού, και τον έλεγχο του κόστους. Η πρόβλεψη ανάλογα µε το χρονικό ορίζοντα στον οποίο απευθύνεται µπορεί να είναι βραχυπρόθεσµη, µεσοπρόθεσµη ή µακροπρόθεσµη, και να διέπεται από τις εξής βασικές αρχές: 1. Καµία πρόβλεψη δεν είναι τέλεια. Στην πρόβλεψη περιλαμβάνεται το στοιχείο της αβεβαιότητας, με αποτέλεσμα να περιέχεται το σφάλµα που προκύπτει από τη διαφορά µεταξύ της προβλεπόμενης τιμής και της πραγµατικής τιμής. Για αυτό, ο βασικός στόχος της διαδικασίας πρόβλεψης είναι ο περιορισμός του σφάλµατος, και η πιο ακριβής προσέγγιση της πραγµατικής τιμής. 2. Η πρόβλεψη είναι πιο ακριβής για οµάδες στοιχείων παρά για µεµονωµένα στοιχεία. Για παράδειγμα, η πρόβλεψη της συνολικής ζήτησης των αναψυκτικών για το επόµενο έτος είναι πιο ακριβής από την πρόβλεψη της ζήτησης ενός συγκεκριµένου αναψυκτικού. Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέγιστες και οι ελάχιστες τιµές των διαφόρων στοιχείων αλληλοεξουδετερώνονται µε αποτέλεσµα η οµάδα των στοιχείων να έχει πιο σταθερή συµπεριφορά ακόµα και όταν τα µεµονωµένα στοιχεία συµπεριφέρονται µε ασταθή τρόπο. 3. Η βραχυπρόθεσµη πρόβλεψη είναι πιο ακριβής από την µακροπρόθεσµη. Σε έναν πιο σύντομο χρονικό ορίζοντα πρόγνωσης, ο βαθµός αβεβαιότητας είναι µικρότερος, με αποτέλεσμα το σφάλµα που θα περιέχεται να είναι µικρό. [13]

14 Είδη Μεθόδων Πρόβλεψης Χρονοσειρών Η πρόβλεψη των αποτελεσμάτων των διαφόρων ενεργειών των επιχειρήσεων αποτελεί βασικό κανόνα κίνησής τους. Ειδικότερα, όσον αφορά τις χρονοσειρές, οι μέθοδοι πρόβλεψης εξαρτώνται από τον τρόπο επεξεργασίας και ανάλυσης των δεδομένων, και χωρίζονται σε τρείς βασικές κατηγορίες: 1. Ποσοτικές μέθοδοι πρόβλεψης (quantitative methods) Οι ποσοτικές μέθοδοι πρόβλεψης έχουν κατά βάση επιστημονικό υπόβαθρο, και βασίζονται σε στατιστικά μαθηματικά μοντέλα. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται από διαφόρους ερευνητές για την επεξεργασία των δεδομένων της χρονοσειράς προκειμένου να προβούν στην πρόβλεψη της επόμενης κίνησης. Ωστόσο, υστερούν στην πρόβλεψη απότομων και απρόβλεπτων αλλαγών στις τιμές της χρονοσειράς, με αποτέλεσμα την ύπαρξη αδυναμίας στην πρόβλεψη της περίπτωσης των special event, καθώς και των επιπτώσεων τους στις μελλοντικές τιμές. Οι ποσοτικές μέθοδοι διαχωρίζονται στα εξής (Λισγάρα, 2011): i. Μοντέλο Χρονοσειρών Το μοντέλο χρονοσειρών εφαρμόζεται στην περίπτωση όπου τα δεδομένα μίας χρονοσειράς ακολουθούν ένα επαναλαμβανόμενο και σταθερό μοτίβο. Επομένως, με τη βασική προϋπόθεση ότι οι παρελθοντικές τιμές επαναλαμβάνονται ανά τακτά χρονικά διαστήματα, μέσω της εύρεσης του συγκεκριμένου μοτίβου μπορούν να εξαχθούν οι μελλοντικές προβλέψεις. ii. Αιτιοκρατικό Μοντέλο Το αιτιοκρατικό μοντέλο στηρίζεται στο γεγονός ότι οι τιμές μιας χρονοσειράς εξαρτώνται από κάποιες συγκεκριμένες παραμέτρους. Υποθέτοντας ότι υπάρχει μία σταθερή σχέση μεταξύ του εξεταζόμενου μεγέθους και των παραμέτρων, αντικαθιστώντας σε αυτή τη σχέση τις νέες παραμέτρους εξάγεται η πρόβλεψη για το συγκεκριμένο μέγεθος. Η χρήση των αιτιοκρατικών μεθόδων παίζει σημαντικό ρόλο στη κατανόηση των συνθηκών που [14]

15 επηρεάζουν τις τιμές μίας χρονοσειράς. Συνδυάζοντας τα δεδομένα, και επηρεάζοντας, έτσι, την εξέλιξη των τιμών της χρονοσειράς, μπορούμε με τη χρήση αιτιοκρατικών μοντέλων να επηρεάσουμε τις μελλοντικές τιμές για τις αποφάσεις που λαμβάνονται στο παρόν. 2. Κριτικές μέθοδοι πρόβλεψης (judgmental methods) Όταν εμφανίζονται ακραίες μεταβολές στις τιμές (outliers) του μεγέθους, ο ερευνητής πρέπει να κρίνει πως θα επιδράσει αυτή η ακραία τιμή στην εξέλιξη της χρονοσειράς. Εφόσον κάτι τέτοιο είναι αρκετά δύσκολο, ορίζονται διάφορες επιτροπές οι οποίες χρησιμοποιούν κριτικές μεθόδους, και, στη συνέχεια, προκειμένου να προκύψει η τελική εκτίμηση τα αποτελέσματα ελέγχονται από άτομα σε διευθυντικές θέσεις. 3. Τεχνολογικές μέθοδοι πρόβλεψης (technological methods) Οι τεχνολογικές μέθοδοι πρόβλεψης διακρίνονται στις εξής κύριες κατηγορίες: i. Διερευνητικές μέθοδοι πρόβλεψης (exploratory methods) Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν οι μέθοδοι που εξετάζοντας όλες τις πιθανές περιπτώσεις χρησιμοποιούν παρελθοντικά στοιχεία και στη συνέχεια οδηγούνται στο μέλλον. ii. Κανονιστικές μέθοδοι πρόβλεψης (normative methods). Στις κανονιστικές μεθόδους πρόβλεψης πρέπει πρώτα να καθοριστούν οι μελλοντικοί στόχοι, και στη συνέχεια να εξεταστεί η πιθανότητα επίτευξής τους, λαμβάνοντας πάντα υπόψη την παρούσα κατάσταση και τα δεδομένα του παρελθόντος Κυριότερες Μέθοδοι Πρόβλεψης Χρονοσειρών Το βασικότερο πρόβληµα στην ανάλυση των χρονοσειρών αποτελεί η εκτίμηση του συστήµατος που παράγεται από τη χρονοσειρά και η διενέργεια [15]

16 πρόβλεψης των µελλοντικών τιµών του παρατηρούμενου µεγέθους. Η πρώτη υπόθεση που θα πρέπει να απορριφθεί για να έχει νόηµα η ανάλυση της χρονοσειράς είναι ότι η µεταβολή των τιµών του παρατηρούμενου µεγέθους είναι εντελώς τυχαία, δηλαδή το παρατηρούμενο σύστηµα είναι λευκός θόρυβος Απλοϊκή Μέθοδος ( Naïve ) Η Απλοϊκή Μέθοδος Πρόβλεψης αποτελεί την απλούστερη μέθοδο πρόβλεψης, σύμφωνα με την οποία η πρόβλεψη της επόμενης χρονικής περιόδου έχει ακριβώς την ίδια τιμή με αυτή που παρατηρήθηκε κατά την προηγούμενη χρονική περίοδο (Βαϊδάνης, 2011). Μάλιστα, μετά την αποεποχικοποίηση των χρονοσειρών, υπάρχει μεγαλύτερη ακρίβεια στις προβλέψεις μιας μελλοντικής περιόδου, καθώς η αναμενόμενη τιμή της πρόβλεψης δε διαφέρει σημαντικά από την τελευταία παρατήρηση του δείγματος δεδομένων. Όταν η χρονοσειρά εμφανίζει μεγάλη τάση ή υπάρχουν περισσότεροι από ένα μελλοντικοί ορίζοντες, η μέθοδος δε μπορεί να παράγει προβλέψεις με μικρό σφάλμα. Για αυτό, χρησιμοποιείται κυρίως ως μέθοδος σύγκρισης της αποτελεσματικότητας μεταξύ διαφόρων μεθόδων, παρά ως μέθοδος πρόβλεψης. Η μέθοδος περιγράφεται μαθηματικώς ως εξής: F t = Y t 1 όπου F t η τιμή της πρόβλεψης και Y t 1 η τιμή των δεδομένων της χρονοσειράς της προηγούμενης χρονικής περιόδου Υπόδειγμα Λευκού Θορύβου (White noise) Ο λευκός θορύβος είναι μια από τις βασικότερες έννοιες στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών. Η στάσιμη χρονολογική σειρά για την οποία οι τιμές x t και x t+k είναι ασυσχέτιστες ονομάζεται λευκός θόρυβος και ορίζεται από τη σχέση: Υ t = x t [16]

17 Δηλαδή, η στοχαστική διαδικασία μιας χρονοσειράς x t με t (, + ) καλείται λευκός θόρυβος όταν t ισχύει ότι (Γαζή, 2015): μ t = Ε(x t ) = 0 γ 0t = E(Y t μ t ) 2 = Ε(x 2 t ) = σ 2 (λόγω του ότι Ε(x t ) = 0 συνεπάγεται αυτομάτως ότι Ε(x t ) = σ 2 ) Cov(x t, x s ) = Ε(Y t μ t )(Y t s μ t s ) = E(x t x t s ) = 0, s t (ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ισούται με μηδέν) Παρατηρείται, δηλαδή, ότι στην περίπτωση του λευκού θορύβου η δειγματική κατανομή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και τυπική απόκλιση, δηλαδή: Y t ~Ν(0, σ 2 Yt ) Μια απλή στάσιμη στοχαστική χρονοσειρά μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός μιας σταθεράς και μιας Gaussian χρονοσειράς λευκού θορύβου ως εξής: Υ t = μ + x t όπου η αναμενόμενη τιμή ισούται με μ t = Ε(Υ t ) = μ, t, ενώ για τη διακύμανση και την αυτοσυσχέτιση ισχύουν αυτά που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Εικόνα 1.5: Παράδειγμα Gaussian Χρονοσειράς λευκού θορύβου με σ 2 = 1 (Γαζή,2015) Τυχαίος Περίπατος (Random Walk) Το μοντέλο του τυχαίου περιπάτου αποτελεί ένα απλό υπόδειγμα που βασίζεται στις ιστορικές τιμές των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής. Ο τυχαίος περίπατος [17]

18 (Bachelier, 1900) μπορεί να εφαρμοστεί στην ανάλυση των χρονοσειρών χρησιμοποιώντας ως δεδομένο το γεγονός ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ των παρελθοντικών τιμών και των μελλοντικών τιμών του μέτρου του μεγέθους. Υποθέτωντας ότι ε t είναι ο λευκός θόρυβος, ο τυχαίος περίπατος ή τυχαία διαδρομή αναπαρίσταται ως ένα γραμμικό μοντέλο ως εξής (Γαζή, 2015): Υ t = Υ t 1 + ε t Με διαδοχικές αντικαταστάσεις η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως εξής: Υ t = Υ 0 + ε 1 + ε ε t = Υ 0 + ε i όπου Υ 0 είναι η τιμή της Υ τη χρονική στιγμή μηδέν. Με βάση τα παραπάνω έχουμε: t i=0 μ t = Ε(Υ t ) = Υ 0, t V(Υ t ) = E(Y t μ t ) 2 = tσ 2, t Παρατηρείται ότι η στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί τον τυχαίο περίπατο δεν είναι στάσιμη, καθώς ο μέσος όρος είναι σταθερός και η διακύμανση συνάρτηση του χρόνου t. Ωστόσο, πρέπει να τονιστεί ότι αν υπολογιστούν οι πρώτες διαφορές της Υ t, η σειρά που προκύπτει είναι στάσιμη, καθώς η σειρά ΔΥ t = Υ t Υ t 1 = ε t είναι διαδικασία λευκού θορύβου. Αν στο παραπάνω γραμμικό μοντέλο προσθεθεί ένας σταθερός όρος α, δηλαδή: Υ t = α + Υ t 1 + x t τότε το υπόδειγμα καλείται τυχαία διαδρομή με περιπλάνηση. Εικόνα 1.6: Παράδειγμα Χρονοσειράς Τυχαίου Περιπάτου [18]

19 Γραμμική Παλινδρόμηση (Linear Regression) Όταν σε μια χρονοσειρά υπάρχει γραμμική τάση, ανοδική ή καθοδική, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μοντέλο της γραμμικής παλινδρόμησης (multiple linear regression) (Karl Pearson, 1908) προκειμένου να ποσοτικοποιηθεί αυτή η τάση και να χρησιμοποιηθεί στην πρόβλεψη. Η σχέση μεταξύ της εξαρτημένης και της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι γραμμική και αναπαρίσταται από (Λισγάρα, 2011): Υ i = b 0 + b 1 X i + ε 1 όπου Υ i είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής για την παρατήρηση i, δηλαδή η προβλεφθείσα τιμή τάσης για τη μεταβλητή Υ, X i είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή η παρατήρηση για την κωδικοποιημένη χρονική περίοδο, ε 1 είναι το τυχαίο σφάλμα με μέση τιμή μηδέν, και b 0, b 1 οι σταθερές που πρέπει να υπολογιστούν. Το b 0 είναι η τιμή της τάσης όταν X i = 0, ενώ το b 1 είναι η κλίση της εξίσωσης, δηλαδή η μεταβολή στο Υ i που σχετίζεται με μια μοναδιαία μεταβολή στη X i. Κατά την εκτίμηση της εξίσωσης της τάσης, ο τύπος για την κλίση είναι: b 1 = n X iy i X i Y i n X i 2 (X i ) 2 Αντικαθιστώντας την κλίση στον τύπο της εξίσωσης παλινδρόμησης έχουμε: b 0 = Y i n b X i 1 n Η εξίσωση της ευθύγραμμης τάσης εφαρμόζεται συνήθως στις χρονοσειρές για την περιγραφή των μακροχρόνιων κινήσεων. Ωστόσο, ενδείκνυται η χρήση άλλων μοντέλων για την περιγραφή των μεταβολών. [19]

20 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR (AutoRegressive Models) Τα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα p τάξεως χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των σταθερών χρονοσειρών. Ουσιαστικά, εκτιμούν τη μελλοντική μεταβλητότητα στηριζόμενα στις παρελθοντικές τιμές της χρονοσειράς, και ένα προσθετικό σφάλμα. Κάθε αυτοπαλινδρομικός όρος, AR, αντιστοιχεί σε προηγούμενες τιμές των υπολειπόμενων σφαλμάτων τα οποία χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό της εξίσωσης του προσθετικού σφάλματος. Ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα p τάξης μαθηματικώς ορίζεται ως (Γαζή, 2015): Y t = b 0 + b 1 Y t 1 + b 2 Y t b p Y t p + ε t όπου b 0 είναι ο σταθερός όρος (με την προϋπόθεση ότι υπάρχει), b 1, b 2, είναι οι παράμετροι, και ε t το σφάλμα τη χρονική στιγμή t. Αν η τάξη του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος είναι p = 1, τότε συμβολίζεται AR(1) (ή ARIMA(1,0,0)), και εκφράζεται από την εξίσωση: Y t = b 1 Y t 1 + ε t ενώ αν p = 2, τότε έχουμε AR(2) (ή ARIMA(2,0,0)), και δίνεται από την εξίσωση: Y t = b 1 Y t 1 + b 2 Y t 2 + ε t Γενικά, ένα AR(p) υπόδειγμα χρησιμοποιείται όταν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν εκθετικά στο μηδέν και ταυτόχρονα υπάρχουν p στατιστικά σημαντικοί συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης. Επομένως, το γενικό υπόδειγμα AR(p) αποτελεί μια μέθοδο πρόβλεψης χρονοσειρών για το χειρισμό όλων σχεδόν των ειδών των δεδομένων απλώς μέσω του προσδιορισμού της τάξης p του υποδείγματος. [20]

21 Η Μέθοδος Απλού Κινητού Μέσου Όρου, ΜΑ (Simple Moving Average Method) Η μέθοδος του Απλού Κινητού Μέσου Όρου (ΜΑ) των m περιόδων είναι μια απλή μέθοδος προβλέψεων στην οποία χρησιμοποιείται ως πρόβλεψη η τιμή του αριθμητικού μέσου όρου των m πιο πρόσφατων παρατηρήσεων της χρονοσειράς. Σε αυτό το υπόδειγμα χρησιμοποιούνται μόνο οι νεότερες παρατηρήσεις και αποβάλλονται τελείως οι παλαιότερες. Όσο πιο πρόσφατες είναι οι παρατηρήσεις, τόσο πιο αντιπροσωπευτικές είναι στη δημιουργία προβλέψεων. Αυτός ο μέσος όρος καλείται κινητός επειδή η τιμή του δεν είναι σταθερή, και αναπροσαρμόζεται κάθε φορά που μια νέα παρατήρηση της χρονοσειράς γίνεται διαθέσιμη στο δείγμα, υπολογίζεται ένας νέος μέσος απορρίπτοντας την παλαιότερη παρατήρηση του δείγματος από το μέσο και συμπεριλαμβάνοντας τη νεότερη. Η αλγεβρική μορφή της Μεθόδου Κινητού Μέσο Όρου είναι η εξής: Y t+1 = Χ t + Χ t Χ t n 1 n = 1 n ( X i) t i=t n+1 όπου t είναι η πιο πρόσφατη παρατήρηση και t + 1 είναι η επόμενη περίοδος. Για την ακρίβεια, η μέθοδος αυτή είναι μια πολύ εύκολη διαδικασία πρόβλεψης, καθώς υπάρχουν μικρές απαιτήσεις σε στατιστικά στοιχεία. Ωστόσο, δε χρησιμοποιείται ευρέως λόγω του περιορισμού ότι τα δεδομένα πρέπει να είναι στάσιμα. Πάντως, η μέθοδος του κινητού μέσου όρου είναι πιο αποτελεσματική από τη χρησιμοποίηση του απλού αριθμητικού μέσου μιας ολόκληρης χρονοσειράς γιατί το n μπορεί να μεταβληθεί ώστε να ανταποκρίνεται στα παρατηρούμενα πρότυπα των δεδομένων. [21]

22 Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Κινητού Μέσου Όρου, ARΜΑ Το Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Κινητού Μέσου Όρου ARMA(p, q) αποτελεί συνδυασμό ενός απλού αυτοπαλινδρομικού υποδείγματος AR(p) και ενός υποδείγματος απλού κινητού μέσου όρου MA(q). Ένα καθαρά αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα ή ένα καθαρό υπόδειγμα κινητού μέσου μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις μιας ARMA διαδικασίας. Δηλαδή, ισχύουν τα εξής: AR(p) = ARMA(p, 0) και ΜΑ(q) = ARMA(0, q) Το γενικευμένο μοντέλο ARMA(p, q) έχει την εξής μορφή: Y t = μ + α 1 Y t 1 + α 2 Y t α p Y t p + ε t + b 1 ε t 1 + b 2 ε t b p ε t p όπου Y t είναι μια τυχαία χρονοσειρά, και οι α i, b i είναι σταθερές με 1 < α i, b i < 1. Στο ARMA(p, q), οι πρώτες q αυτοσυσχετίσεις για τις οποίες ισχύει s q εξαρτώνται από τους συντελεστές α i και από τους συντελεστές του τμήματος του κινητού μέσου όρου. Όταν ισχύει s > q, οι αυτοσυνδιακυμάνσεις και οι αυτοσυσχετίσεις ταυτίζονται με αυτές της διαδικασίας AR(p) (Λισγάρα, 2011). Το υπόδειγμα ARMA(1,1) ή (ARΙMA(1,0,1)) είναι το εξής: Y t = μ + α 1 Y t 1 + ε t + b 1 ε t 1 ενώ το υπόδειγμα ARMA(2,1) ή (ARΙMA(2,0,1)) είναι το: Y t = μ + α 1 Y t 1 + α 2 Y t 2 + ε t + b 1 ε t 1 + b 2 ε t 2 [22]

23 Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Ολοκληρωμένου Κινητού Μέσου Όρου, ARΙΜΑ Ένα υπόδειγμα ARMA(p, q) μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν μια χρονοσειρά είναι στάσιμη. Όταν, όμως, η χρονοσειρά είναι μη στάσιμη, πρέπει να επιτευχθεί σταθερότητα για να εφαρμοστεί το υπόδειγμα. Για να επιτευχθεί σταθερότητα θα πρέπει να γίνει διαφόρηση της χρονοσειράς. Δηλαδή, στο υπόδειγμα εισάγεται μια διαφορική τάξη I(d), όπου κάθε μία διαφορική τάξη αντιστοιχεί στον υπολογισμό της διαφοράς της αρχικής χρονοσειράς. Έτσι, μια διαφορική τάξη I(1), σημαίνει ότι το υπόδειγμα πρόβλεψης κατασκευάζεται από την πρώτη διαφορά της αρχικής χρονοσειράς. Τα μοντέλα ARIMA είναι γνωστά ως ARIMA(p, d, q), όπου (Γαζή, 2015): - AR: p = η τάξη του AR όρου - Ι: d = η τάξη της διαφόρισης για την επίτευξη σταθερότητας - ΜΑ: q = η τάξη του ΜΑ όρου Πρακτικά, όμως, σπάνια χρησιμοποιούνται μοντέλα με τιμές p, d, q διαφορετικές από 0, 1 και 2. Η πιο απλή περίπτωση είναι το ARIMA(1,1,1), με την εξής εξίσωση: (1 φ 1 Β)(1 Β)Y t = c + (1 θ 1 Β)ε t ενώ το υπόδειγμα ARIMA(2,1,2), με την εξής εξίσωση: (1 φ 1 Β φ 2 Β 2 )(1 Β)Y t = c + (1 θ 1 Β θ 2 Β 2 )ε t Το μοντέλο του λευκού θορύβου ταξινομείται ως ARIMA(0,0,0), ενώ το μοντέλο του τυχαίου περιπάτου ως ARIMA(0,1,0). Εικόνα 1.7: Παράδειγμα Χρονοσειράς ARIMA τάξης d=1 [23]

24 Εικόνα 1.8: Παράδειγμα Χρονοσειράς ARIMA τάξης d= Μέθοδος Box & Jenkins Τα υποδείγματα ARIMA που χρησιμοποιούνται ως εργαλεία στην πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών μιας χρηματοοικονομικής σειράς είναι γνωστά και «ως Μέθοδος των Box & Jenkins» (Box Jenkins, 1970). Η μέθοδος περιλαμβάνει τα εξής τρία στάδια (Γαζή, 2015): Ταυτοποίηση: Μέσω της συμπεριφοράς της δειγματικής συνάρτησης αυτοσυσχετίσεως θα διαπιστωθεί αν η σειρά είναι στάσιμη ή όχι. Αν οι αυτοσυσχετίσεις συγκλίνουν ταχύτατα προς το μηδέν, τότε η σειρά είναι στάσιμη, διαφορετικά η σειρά είναι μη στάσιμη. Αν η σειρά είναι μη στάσιμη, τότε με κατάλληλους μετασχηματισμούς ή εισάγοντας μια διαφορική τάξη μετατρέπεται σε στάσιμη, προσδιορίζοντας παράλληλα την τάξη του ARIMA υποδείγματος. Εκτίμηση: Εφαρμόζεται κάποιο ήδη γνωστό μοντέλο (αυτοπαλίνδρομο (AR), κινητού μέσου (MA) ή μεικτό (ARMA)) στις νέες παρατηρήσεις. Εκτιμούνται οι p παράμετροι α 1, α 2,, α p της αυτοπαλίνδρομης διαδικασίας (AR), και των q παραμέτρων θ 1, θ 2,, θ q της διαδικασίας κινητού μέσου (ΜΑ). Διαγνωστικός Έλεγχος: Γίνεται έλεγχος της προσαρμοστικότητας του μοντέλου με τα δεδομένα. Αυτός ο έλεγχος αφορά τη σημαντικότητα των συντελεστών, την συμπεριφορά των καταλοίπων και την τάξη του μοντέλου. o Έλεγχος Καταλοίπων: Εφόσον το υπόδειγμα ARMA ταιριάζει με τα δεδομένα, τότε τα κατάλοιπα δεν θα αυτοσυσχετίζονται, όπως, [24]

25 δηλαδή, συμβαίνει σε μια διαδικασία λευκού θορύβου. Σε αυτή την περίπτωση ο έλεγχος των καταλοίπων γίνεται με την στατιστική Q των Box Peirce (Box Pierce Q Statistic) με την οποία ελέγχεται η σημαντικότητα ενός αριθμού συντελεστών αυτοσυσχετίσεων, m. Δηλαδή, ελέγχεται η υπόθεση : Η 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ m = 0 Η 1 : ρ m 0 Η στατιστική Q των Box Pierce είναι: m Q BP = T ρ s2 s=1 όπου ρ s είναι οι δειγματικές αυτοσυσχετίσεις των καταλοίπων και Τ ο αριθμός των καταλοίπων. Τείνει να ισχύει ότι m = T, δηλαδή ο αριθμός των αυτοσυσχετίσεων των καταλοίπων τείνει να ισούται με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των παρατηρήσεων. Έτσι, η στατιστική Q των Box Pierce ακολουθεί προσεγγιστικά την κατανομή Χ 2 με m p q βαθμούς ελευθερίας. o Έλεγχος τάξης υποδείγματος: Προκειμένου να εκτιμηθεί η προσαρμογή του εκτιμημένου υποδείγματος, θα συγκριθεί με ένα άλλο μεγαλύτερης τάξης. Δηλαδή, ένα εκτιμημένο ARMA(p, q) θα συγκριθεί με ένα υπόδειγμα ARMA(p + 1, q) ή ARMA(p, q + 1). Αν το εκτιμημένο υπόδειγμα προσαρμόζεται στα δεδομένα, τότε θα ακολουθηθεί η διαδικασία της υπερπροσαρμογής, δηλαδή οι επιπλέον συντελεστές μεγαλύτερων υποδειγμάτων δεν θα είναι στατιστικά διάφοροι του μηδενός. [25]

26 Εκθετική Εξομάλυνση Η εκθετική εξοµάλυνση είναι μια τεχνική η οποία στηρίζεται σε δεδοµένα µε επίπεδο µοτίβο. Το βασικό της πλεονέκτηµα της είναι ότι απαιτούνται ελάχιστα στοιχεία για τον υπολογισµό της πρόβλεψης. Για την ακρίβεια, χρειάζονται τα εξής στοιχεία (Βαϊδάνης, 2007): 1. η πρόβλεψη της προηγούµενης περιόδου, 2. η πραγµατική τιµή της προηγούµενης περιόδου, και 3. η τιµή της σταθεράς εξοµάλυνσης α (0 α 1). Η πρόβλεψη μέσω της εκθετικής εξομάλυνσης υπολογίζεται ως εξής: Υ t+1 = αa t + (1 α)υ t Πρόβλεψη επόµενης περιόδου = α (πραγµατική τιµή προηγούµενης) + (1 α) (πρόβλεψη προηγούµενης) Παρατηρείται ότι η σταθερά α είναι ένα µέτρο που εκφράζει τη βαρύτητα της πιο πρόσφατης πραγµατικής τιµής σε σχέση µε την πιο πρόσφατη πρόβλεψη. Όσο πιο µεγάλο είναι το α, τόσο µεγαλύτερη βαρύτητα θα έχει η πραγµατική τιµή της προηγούμενης βαρύτητας (A t ), και τόσο µικρότερη θα είναι η προηγούµενη πρόβλεψη (Υ t ). Η τιµή της σταθεράς α καθορίζεται από την εµπειρία αυτού που κάνει την πρόβλεψη, και από τα χαρακτηριστικά του µεγέθους που θα γίνει η πρόβλεψη. Για αυτό, η βασικότερη δυσκολία της µεθόδου στηρίζεται κάθε φορά στην επιλογή της καταλληλότερης τιµής του α, προκειµένου να γίνει µια ακριβή πρόβλεψη. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται πολύ συχνά, καθώς εμφανίζει μια πληθώρα πλεονεκτημάτων, τα οποία είναι (Βαϊδάνης, 2007): o η ευκολία υπολογισµού, o η µεγάλη ακρίβεια πρόβλεψης, και o η απαίτηση ελάχιστων δεδοµένων για τον υπολογισµό. [26]

27 1.5. Ακρίβεια Πρόβλεψης Ως σφάλμα πρόβλεψης Ε t μιας μεταβλητής Y θεωρείται η διαφορά μεταξύ της πραγματικής τιμής της τη χρονική στιγµή t, Υ t, και της προβλεπόµενη τιµή της για τη δεδομένη χρονική στιγµή t, δηλαδή (Νικολάου, 2007): Ε t = Υ t F t Μάλιστα, τα µέτρα ακρίβειας που χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση µιας µεθόδου πρόβλεψης είναι τα εξής (Μαργιά, 2009): o Μέσο Απόλυτο Σφάλμα MAE (Mean Absolute Error): n MAE = 1 n e t o Μέση Απόλυση Απόκλιση MAD (Mean Absolute Deviation) n t=1 MAD = 1 n Y t Y t = 1 n e t t=1 n t=1 o Μέσο Σφάλμα Τετραγώνου MSE (Mean Square Error): MSE = 1 n n (Y t Y t) 2 t=1 n = 1 n e t 2 o Ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος (Root Mean Square Error): t=1 RMSE = MSE = 1 n e t 2 o Μέσο Απόλυτο Ποσοστιαίο Σφάλμα MAPE (Mean Absolute Percentage Error): n n t=1 MAPE = 100% 1 n Y t Y t = 100% 1 n e t t=1 o Μέσο Ποσοστιαίο Σφάλμα MPE (Mean Percentage Error): n Y t n t=1 MPE = 100% 1 n Y t Y t = 100% 1 n e t t=1 Y t Y t t=1 όπου n ο συνολικός αριθµός των τιµών της υπό εξέτασης μεταβλητής. n Y t [27]

28 Για την ύπαρξη μιας πληρέστερης εικόνας του σφάλματος σε βάθος χρόνου θα χρησιμοποιηθούν τα παραπάνω μεγέθη. Μάλιστα, όσο μικρότερη είναι η τιμή αυτών των μεγεθών, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια. Με τη χρήση αυτών των μεγεθών, μπορεί να ελεγχθεί η ακρίβεια μιας μεθόδου πρόβλεψης προκειμένου να επιλεγχθεί η βελτιστότερη πρόβλεψη. [28]

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 2.1. Εισαγωγή Ο τομέας της βελτιστοποίησης, ο οποίος παρουσιάζει μεγάλο επιστημονικό ενδιαφέρον, στηρίζεται στην επιστήμη των μαθηματικών. Η μέθοδος της βελτιστοποίησης συνήθως χρησιμοποιείται για την επίλυση σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων. Ουσιαστικά, η βελτιστοποίηση αποσκοπεί, ανάλογα με τη φύση του προς επίλυση προβλήµατος, στην εκµετάλλευση όλων των διαθέσιμων δεδοµένων του προβλήµατος, στην µέγιστη αποδοτικότητα της βέλτιστης λύσης, και στον βέλτιστο συνδυασµό αντικρουόµενων απαιτήσεων (Κουραβάνας, 2014). Δηλαδή, παρατηρούμε ότι η βελιστοποίηση είναι μια διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης λύσης προβλημάτων που μπορούν να περιγραφούν με μαθηματικό τρόπο Το πρόβλημα της Βελτιστοποίησης Είναι ευρέως γνωστό ότι πληθώρα προβλημάτων μπορούν να μετατραπούν σε προβλήματα βελτιστοποίησης, με απώτερο σκοπό την εύρεση της ελάχιστης ή της μέγιστης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο πεδίο ορισμού. Δηλαδή, στην επιστήμη των εφαρμοσμένων μαθηματικών ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης διατυπώνεται είτε ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης είτε ως μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης ή συνάρτησης κόστους f, η οποία αποτελείται από μια ή περισσότερες μεταβλητές. Το αν θα διατυπωθεί ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης ή ως πρόβλημα μεγιστοποίησης εξαρτάται από το προς επίλυση πρόβλημα. Όταν δίνονται διάφορες τιμές στις μεταβλητές της συνάρτησης f προκειμένου η f να εμφανίσει τις μέγιστες τιμές της, τότε πρόκειται για πρόβλημα μεγιστοποίησης. Αντίθετα, όταν δίνονται τιμές στις μεταβλητές της f προκειμένου αυτή να εμφανίσει ελάχιστες τιμές, τότε αντιμετωπίζουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Ουσιαστικά αυτές οι περιπτώσεις είναι ισοδύναµες διότι η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης f αποτελεί µεγιστοποίηση της συνάρτησης f. Δηλαδή, µε µια αλλαγή πρόσηµου ένα [29]

30 πρόβληµα µεγιστοποίησης μετατρέπεται σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης, και αντίθετα. Έτσι, προκειμένου να βρεθεί αν θα μεγιστοποιηθεί ή θα ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση f, σημαντικό ρόλο παίζει η μορφή της εκάστοτε συνάρτησης. Στην ελαχιστοποίηση (ή μεγιστοποίηση) των συναρτήσεων μίας μεταβλητής μπορούν να χρησιμοποιηθούν αλγεβρικές μέθοδοι για τον ακριβή προσδιορισμό ελάχιστων (ή μέγιστων). Αντίθετα, όταν μελετούνται συναρτήσεις πολλών μεταβλητών χρησιμοποιούνται κυρίως αριθμητικές μέθοδοι για έναν προσεγγιστικό ορισμό ελάχιστων (ή μέγιστων) σημείων. Η βελτιστοποίηση της συνάρτησης f μπορεί να είναι είτε τοπική είτε ολική. Όσον αφορά την τοπική βελτιστοποίηση, και συγκεκριμένα την τοπική ελαχιστοποίηση (minimization problem), πρέπει να βρεθεί το x α του διανύσματος x ώστε να ισχύει: f(x α) f(x ), x εb όπου Β S R n όπου S είναι ο χώρος αναζήτησης της συνάρτησης f και x το διάνυσμα που ορίζεται στο n διάστατο πραγματικό χώρο. Συγκεκριμένα, όσον αφορά τη μαθηματική έκφραση της βελτιστοποίησης έχουμε (Κουραβάνας, 2014): Δοθείσας μιας f: S R να βρεθεί ένα x αεs, τέτοιο ώστε: 1. (αν πρόκειται για πρόβλημα ελαχιστοποίησης) f(x α) f(x ), x εs 2. (αν πρόκειται για πρόβλημα μεγιστοποίησης) f(x α) f(x ), x εs Συγκεκριμένα, στο διάνυσμα x περιέχονται οι n γραμμικώς ανεξάρτητες μεταβλητές για τις οποίες ορίζεται η τιμή της συνάρτησης f. Οι μεταβλητές αυτές μπορεί να είναι συνεχείς ή διακριτές, και να κυμαίνονται μεταξύ ενός κάτω και ενός άνω ορίου. Έτσι, η ολική ελαχιστοποίηση (global minimum) δίνεται από: f(x α) f(x ), x εs όπου S R n Ως ολικό ακρότατο θεωρείται είτε το ολικό ελάχιστο είτε το ολικό μέγιστο. Ειδικότερα, μια συνάρτηση μπορεί να εμφανίζει ένα ή περισσότερα ολικά ακρότατα. Η ολική βελτιστοποίηση δεν αποσκοπεί στην εύρεση όλων των ακροτάτων, αλλά στην εύρεση τουλάχιστον ενός από αυτά. Μάλιστα, κατά τη διάρκεια της αναζήτησης [30]

31 ενός ολικού ακρότατου, μπορεί να οδηγηθούμε σε τοπικά ακρότατα τα οποία πρέπει να προσπεραστούν επιτυχώς προκειμένου να βρεθεί το ολικό ακρότατο. Αν η χρησιμοποιούμενη τεχνική οδηγήσει μόνο στην εύρεση ενός τοπικού ακρότατου, τότε οδηγούμαστε σε αποτυχία. Παράλληλα, υπάρχει η δυνατότητα βελτιστοποίησης σε δυναμικά μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα, όπου τα ακρότατα μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου. Τέλος, μπορούμε να πούμε ότι η βελτιστοποίηση είναι ένας συνδυασµός θεωρητικής ανάλυσης µε πρακτική εφαρµογή, διότι χρησιµοποιείται η µαθηµατική θεωρία και ανάλυση, σε συνδυασμό με την υλοποίηση, έλεγχο και επιβεβαίωση πρακτικών µεθόδων και αλγορίθµων για την αντιµετώπιση συγκεκριµένων προβληµάτων (Dennis, & Schnabel, 1983) Βασικές Κατηγορίες Μεθόδων Βελτιστοποίησης Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης που χρησιμοποιούνται ευρέως διαχωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες. Μάλιστα, το κύριο χαρακτηριστικό που διαχωρίζει τα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι η ύπαρξη περιορισμών ή όχι. Έτσι, οι δύο βασικές κατηγορίες είναι (Κρίθης, 2009): 1. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς (unconstrained optimization problem) όπου δεν υπάρχουν περιορισμοί στη συνάρτηση. Δηλαδή, στα προβλήματα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης χωρίς περιορισμούς, ισχύει ότι: S = R n, όπου S είναι ο χώρος αναζήτησης. 2. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς (constrained optimization) όπου υπάρχουν περιορισμοί στη συνάρτηση, καθώς οι μεταβλητές πρέπει να ικανοποιούν ορισμένες συνθήκες. Παρότι ο παραπάνω διαχωρισμός των μεθόδων βελτιστοποίησης είναι ένας πολύ βασικός, υπάρχουν και άλλοι τρόποι διαχωρισμού τους. Όσον αφορά το διαχωρισμό των προβλημάτων βελτιστοποίησης ανάλογα με τη μέθοδο που εφαρμόζεται για την επίλυσή τους, προκύπτουν οι εξής κατηγορίες (Vanderplaats, 1984): a. Έμμεσες ή Επαναληπτικές μέθοδοι, στις οποίες χρησιμοποιούνται αναγωγικοί τύποι. Προκειμένου να ολοκληρωθεί η αναζήτηση του βέλιστου, ο [31]

32 αλγόριθμος αξιολογεί το πρόβλημα πολλές φορές για διαφορετικές τιμές των μεταβλητών. Βασικός σκοπός αυτών των αλγορίθμων αποτελεί η εύρεση των βέλτιστων τιμών των μεταβλητών με βάση τις προηγούμενες αξιολογήσεις. Προκειμένου να τερματιστεί ο αλγόριθμος καθορίζεται ένας αριθμός μέγιστων επαναλήψεων. Μάλιστα, στην πρώτη επανάληψη δίνονται τυχαίες τιμές στα στοιχεία της συνάρτησης f. b. Άμεσες μέθοδοι, όπου δεν απαιτείται ο υπολογισμός παραγώγων. Παράλληλα, άλλο κριτήριο διάκρισης των προβλημάτων βελτιστοποίησης είναι η μαθηματική μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης, και διαχωρίζονται στις εξής δύο κατηγορίες (Κρίθης, 2009): I. Τα προβλήματα γραμμικής βελτιστοποίησης, τα οποία είναι τα προβλήματα που η αντικειμενική τους συνάρτηση είναι γραμμική, και II. Τα προβλήματα μη γραμμικής βελτιστοποίησης, τα οποία είναι τα προβλήματα που η αντικειμενική τους συνάρτηση είναι μη γραμμική. Βάση της κατηγοριοποίησης των Beasley, Bull και Martin, οι µέθοδοι βελτιστοποίησης ταξινοµούνται ως εξής (Παρσόπουλος, 2004): i. Μέθοδοι βασισµένες στον Λογισµό (calculus based methods): Σε αυτές τις µεθόδους γίνεται χρήση κυρίως των παραγώγων και µπορούν να χωριστούν σε άµεσες (direct) και έµµεσες (indirect). Οι άµεσες αναζητούν τοπικά ακρότατα της συνάρτησης κάνοντας µικρά άλµατα (hill climbing), ενώ οι έµµεσες συνήθως αξιοποιούν την τοπική πληροφορία µε σκοπό τον εντοπισµό τοπικών ακροτάτων. Το βασικό τους µειονέκτηµα είναι η ισχυρή εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες και η τοπικότητα στην εµβέλεια. ii. Μέθοδοι τυχαίας αναζήτησης (random search methods): Με τη χρήση αυτών των µεθόδων παράγονται τυχαία σηµεία τα οποία αξιολογούνται και αποφασίζουν αν είναι επιθυµητά ή όχι. Συνήθως χρησιµοποιούνται σε συνδυασµό µε µεθόδους τοπικής αναζήτησης. iii. Μέθοδοι επαναλαµβανόµενης αναζήτησης (iterated search methods): Αυτές οι µέθοδοι συνδυάζουν τις µεθόδους hill climbing µε τις µεθόδους τυχαίας αναζήτησης, καθώς όταν η πρώτη µέθοδος φτάσει σε ένα τοπικό ελάχιστο, ενεργοποιείται η δεύτερη, παρέχοντας ένα νέο αρχικό σηµείο στον αλγόριθµο, από το οποίο ξεκινάει ένα νέο hill climbing. Αυτές οι µέθοδοι είναι απλές και µπορούν να αποφεύγουν τοπικούς ελαχιστοποιητές, αλλά η απόδοσή τους [32]

33 µειώνεται δραµατικά όσο αυξάνεται ο αριθµός των ακροτάτων της συνάρτησης. iv. υναµικός Προγραµµατισµός (dynamic programming): Αποτελεί πολύ εξειδικευµένη µεθοδολογία, καθώς χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις που το πρόβληµα τίθεται σε ένα δυναµικό πλαίσιο, δηλαδή εµβυθίζεται σε µια κλάση παρόµοιων προβληµάτων, των οποίων οι λύσεις συσχετίζονται λογικά. v. Ευρετικές µέθοδοι (heuristic methods): Αυτές οι µέθοδοι δεν είναι συνήθως αλγοριθµικές, και η διαδικασία επίλυσης στηρίζεται στην αλληλουχία διαδοχικών προσεγγιστικών αποτελεσµάτων του προβλήµατος. Οι λύσεις που προκύπτουν δεν είναι σίγουρο ότι είναι οι καλύτερες δυνατές. Ωστόσο, µπορεί να δώσουν ικανοποιητικές λύσεις γρήγορα και για αυτό προτιµούνται αρκετές φορές. Επιπλέον, οι Haftka, Gurdal & Kamat πρότειναν τον εξής διαχωρισμό (Haftka, Gurdal & Kamat, 1992): A. Μέθοδοι γραμμικής αναζήτησης (Line Search methods): Η βασική φιλοσοφία αυτών των μεθόδων είναι ότι κατά την εφαρμογή τους, αρχικά θα προσδιοριστεί η κατεύθυνση κίνησης για τη μετάβαση από τη μια προσεγγιστική τιμή στην επόμενη, και στη συνεχεία καθορίζεται με κατάλληλη διαδικασία το βήμα που θα χρησιμοποιηθεί σε κάθε επανάληψη. B. Μέθοδοι που χρησιμοποιούν διαστήματα εμπιστοσύνης (Trust Region Methods): Η βασική φιλοσοφία των μεθόδων που χρησιμοποιούν διαστήματα εμπιστοσύνης είναι ότι πρώτα προσδιορίζεται το διάστημα μέσα στο οποίο πιθανολογείται ότι υπάρχει η ζητούμενη λύση, και στη συνέχεια εντοπίζεται η κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθούμε. Τέλος, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης ανάλογα με τη φύση της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών του προβλήματος μπορούν να διακριθούν σε αιτιοκρατικές (deterministic), και στοχαστικές (stochastic) μεθόδους (Giannakoglou, 2002, & Michalewicz, & Fogel, 2004). Ειδικότερα, οι αιτιοκρατικές μέθοδοι βελτιστοποίησης χρησιμοποιούν τη γενικευμένη έννοια της παραγώγου της αντικειμενικής συνάρτησης, της οποίας οι τιμές καλούνται να προσεγγιστούν. Αντίθετα, οι στοχαστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης χρησιμοποιούν στοιχεία τυχαίας αναζήτησης της βέλτιστης λύσης. [33]

34 Διαδικασία Γραμμικής Αναζήτησης (Line Search Methods) Εφόσον πρέπει να βρεθεί η βέλτιστη λύση με τη μέθοδο της γραμμικής αναζήτησης, πρέπει πρώτα από όλα να προσδιοριστεί η κατεύθυνση αναζήτησης d k και, στη συνέχεια, το ζητούμενο μήκος βήματος α k προκειμένου να προσεγγιστεί όσο το δυνατόν πιο ακριβέστερα η λύση. Ο τρόπος επιλογής της κατεύθυνσης προσδιορίζεται από τη χρησιμοποιούμενη μέθοδο και παραμένει ίδιος ο για όλες τις επαναλήψεις και αλλάζει μόνο η τιμή της ανάλογα με τα σημεία, αποκλείοντας έτσι τη χρήση διαφορετικών κατευθύνσεων στην ίδια μέθοδο. Οι δυνατές επιλογές κατευθύνσεων είναι οι steepest descent, η κατεύθυνση Newton, η κατεύθυνση Quasi Newton και η κατεύθυνση conjugated gradient. Κατόπιν, θα εντοπιστεί το βέλτιστο, το οποίο ταυτίζεται με το διάνυσμα της κατεύθυνσης αναζήτησης (Μέθοδοι line search ή Μέθοδοι κατά Γραμμή ). Συγκεκριμένα, ο επαναληπτικός τύπος υπολογισμού του νέου σημείου φέρει την εξής επαναληπτική μορφή: x k+1 = x k + a k d k Η αποτελεσματικότητα μιας μεθόδου ανίχνευσης εξαρτάται από τη σωστή επιλογή της κατεύθυνσης d k, και το μήκος βήματος a k κάθε επανάληψης. Σύγκεκριμένα, για τον κατάλληλο υπολογισμό του βήματος πρέπει να επιλεχθεί το κατάλληλο a k χωρίς επιπλέον αύξηση του υπολογιστικού κόστους. Μάλιστα, το βέλτιστο βήμα για δεδομένη κατεύθυνση αποτελεί το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης φ( ), η οποία ορίζεται από φ(α) = f(x k + ad k ) για α > 0. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση φ(α) εκφράζει τη μεταβολή του μήκους βήματος α στην κατεύθυνση d k. Προκειμένου να βρεθεί το τοπικό ελάχιστο της φ πρέπει να βρεθεί ένας μεγάλος αριθμός τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης f, και οι αντίστοιχες τιμές της πρώτης παραγώγου. Γενικά, βάση των αλγορίθμων αναζήτησης κατά γραμμή επιλέγεται το μήκος βήματος από μια ακολουθία υποψηφίων τιμών, και συγκεκριμένα, ως μήκος βήματος επιλέγεται η τιμή που ικανοποιεί κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες. Απαραίτητη προϋπόθεση για να συγκλίνει η χρησιμοποιούμενη μέθοδος είναι η ικανοποίηση της συνθήκης: f(x k+1 ) < f(x k ), [34]

35 δηλαδή να πραγματοποιείται η μείωση της συναρτησιακής τιμής της f σε κάθε επανάληψη Μέθοδοι Προσδιορισμού Μήκος Βήματος Η εύρεση του µήκους βήµατος κάθε επανάληψης αποτελεί µια σημαντική διαδικασία για την εξέλιξη της πορείας του επαναληπτικού σχήµατος της βελτιστοποίησης. Όμως, προκειμένου να γίνει ο ακριβής προσδιορισμός του απαιτείται µεγάλος υπολογιστικός χρόνος. Για αυτό υπάρχουν οι ανακριβείς (inexact) και οι ακριβείς συνθήκες γραµµικής αναζήτησης, καθώς είναι προτιμότερη η εύρεση µιας ικανοποιητικής προσέγγισης του µήκους βήµατος παρά να χρησιμοποιηθούν οι χρονοβόρες διαδικασίες ελαχιστοποίησης της συνάρτησης f Inexact Μέθοδοι Οι ανακριβέις μέθοδοι εύρεσης του µήκους βήµατος κάθε επανάληψης διαχωρίζονται στις Συνθήκες του Wolfe (Wolfe conditions) και τις Συνθήκες του Goldstein (Goldstein conditions). Το πιο βασικότερο εργαλείο για την εύρεση του κατάλληλου βήµατος είναι οι συνθήκες του Wolfe (Wolfe Conditions), οι οποίες είναι (Κρίθης, 2009): 1. Συνθήκη του Armijo Με τη χρήση της συγκεκριμένης συνθήκης διασφαλίζεται ότι το μήκος βήματος a k πρέπει να αρχικά να μειώνει τη νέα συναρτησιακή τιμή της συνάρτησης f (Συνθήκη Επαρκούς Ελάττωσης), δηλαδή: όπου σ 1 (0,1). f(x k + ad k ) f(x k ) + σ 1 α f k T d k Δηλαδή, η μείωση της τιμής της συναρτησιακής τιμής της συνάρτησης f τείνει να είναι ανάλογη με το μήκος βήματος a k και με την παράγωγο κατεύθυνσης f k T d k. [35]

36 φ(a) = f(x k + ad k ) f(x k ) + σ 1 α f k T d k Σχήμα 2.1: Συνθήκη Armijo 2. Συνθήκη Καμπυλότητας Εφόσον η συνθήκη του Armijo δεν είναι από μόνη της ικανή προκειμένου να συγκλίνει ο αλγόριθμος, καθώς ικανοποιείται για όλες σχεδόν τις μικρές τιμές του μεγέθους βήματος α, χρησιμοποιείται η Συνθήκη Καμπυλότητας. Σύμφωνα με αυτή τη συνθήκη θα πρέπει το εκάστοτε a k να ικανοποιεί την εξής σχέση: όπου σ 2 (0,1). f(x k + a k d k ) T d k σ 2 f k T d k Η συνθήκη καµπυλότητας μπορεί να γραφεί µε τη βοήθεια της συνάρτησης φ ως φ (α) σ 2 φ (0), η οποία εκφράζει ότι η εφαπτοµένη (ή η κλίση) της συνάρτησης φ(a) = f(x k + ad k ) στο βήµα της kοστής επανάληψης (σημείο φ(a k )) είναι ίση με σ 2 φορές µικρότερο από την εφαπτοµένη (κλίση) της φ στο σηµείο 0. Δηλαδή, η κλίση στο σημείο φ(a) θα είναι μικρότερη απο την κλίση στο σημείο 0. Παρατηρείται η δυνατότητα να φέρουµε εφαπτόµενες στα κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης φ (δηλαδή στα σηµεία για τα οποία ισχύει ότι η παράγωγος της φ είναι ίση του µηδενός) και µέσω της συνθήκης να απορριφθούν τα διαστήµατα που περιέχονται ανάµεσα στις δύο εφαπτόµενες. [36]

37 Σχήμα 2.2: Συνθήκη Καμπυλότητας 3. Συνθήκες Wolfe Οι προαναφερθείσες συνθήκες αποτελούν τις συνθήκες Wolfe, ο συνδυασµός των οποίων συντελεί στον εντοπισµό ενός διαστήµατος εντός του οποίου βρίσκεται το επιθυµητό µήκος βήµατος. Συντοπτικά, έχουμε: 1. f(x k + ad k ) f(x k ) + σ 1 α f T k d k, όπου σ 1 (0,1). 2. f(x k + a k d k ) T d k σ 2 f T k d k, όπου σ 2 (0,1). Σχήμα 2.3: Συνθήκες Wolfe [37]

38 Παρόλα αυτά, πολλές φορές οι συνθήκες Wolfe απορρίπτουν διαστήµατα εντός των οποίων περιέχονται τοπικά ακρότατα. Για αυτό, διατυπώθηκε η εξής τροποποίηση: f(x k + a k d k ) T d k σ 2 f T k d k, όπου 0 σ 1 σ 2 1. Επομένως, προκύπτουν οι ισχυρές συνθήκες Wolfe, με μόνη διαφορά ότι δεν επιτρέπουν στην παράγωγο φ (a k ) να πάρει θετικές τιμές με αποτέλεσμα τα σημεία που προκύπτουν να μην είναι μακριά από τα κρίσιμα σημεία. Ισχυρές Συνθήκες Wolfe 1. f(x k + ad k ) f(x k ) + σ 1 α f T k d k, όπου σ 1 (0,1). 2. f(x k + a k d k ) T d k σ 2 f T k d k, όπου 0 σ 1 σ Συνθήκες του Goldstein Οι συνθήκες του Goldstein (Goldstein conditions) περιγράφονται από την εξής διπλή ανισότητα: f(x k ) (1 σ)a k f k T d k f(x k + a k d k ) f(x k ) + σα f k T d k όπου 0 < σ < 1. 2 Παρατηρούµε ότι η παραπάνω συνθήκη απαιτεί ως αποδεκτά διαστήµατα (από άποψη εντοπισµού του µήκους βήµατος) τις περιοχές εκείνες της συνάρτησης φ(α) οι οποίες έχουν ως άνω φράγµα το f(x k ) + σα f T k d k και ως κάτω φράγµα το f(x k ) (1 σ)a k f T k d k. Δηλαδή, η προσεγγιστική τιµή του µήκους βήµατος που θα επιλεγεί στην εκάστοτε περίπτωση οφείλει να ανήκει σε κάποιο εκ των διαστηµάτων που ικανοποιούν τη συνθήκη του Goldstein. [38]

39 Σχήμα 2.4: Συνθήκες Wolfe Με την επιλογή συγκεκριµένων διαστηµάτων υπάρχει ο κίνδυνος να αποκλειστούν περιοχές που περιέχουν τοπικό ελάχιστο. Το φαινόµενο αυτό παρατηρήθηκε στις συνθήκες Wolfe, και στη συνθήκη του Goldstein, με αποτέλεσμα η επιλογή µιας οποιασδήποτε µεθόδου να μην εξασφαλίζει τη σύγκλιση στη λύση σε όλες τις περιπτώσεις, αλλά αντίθετα κρίνεται απαραίτητη ο προσδιορισµός κατάλληλων συνθηκών, αρχικών τιµών κα Exact Μέθοδοι Η μέθοδος της Χρυσής Τομής (Golden section), καθώς και η μέθοδος Fibonacci ανήκουν στην κατηγορία των Exact μεθόδων εντοπισµού του κατάλληλου βήµατος a k. Το κοινό σημείο των Exact μεθόδων όσον αφορά τη διαδικασία της βελτιστοποίησης μιας συνάρτησης f στο διάστημα [a, b] αποτελεί η σύγκριση των τιμών της συνάρτησης μετά από κάθε δοκιμή, με αποτέλεσμα την επαναληπτική μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας. Η διαδικασία εύρεσης τερματίζεται όταν το μήκος του διαστήματος έχει μειωθεί αρκετά. Έτσι, οι exact μέθοδοι είναι οι (Λισγάρα, 2011): [39]

40 1. Μέθοδος Χρυσής Τομής (Golden section) Η μέθοδος της Χρυσής Τομής χρησιμοποιείται για την εύρεση του βέλτιστου βήµατος a k μέσω της συνεχής μείωσης του διαστήματος του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Έστω ότι η συνάρτηση φ(a) = f(x + a d ) παρουσιάζει μόνο ένα ελάχιστο στο διάστημα [a 0, b 0 ], τότε επιλέγονται τα σημεία a 1 και b 1 όπου a 1 < b 1 ώστε να ισαπέχουν από τα άκρα a, b και για τα οποία ισχύει a 1 a 0 = b 0 b 1 = p(b 0 a 0 ) με p < 1/2. 2. Μέθοδος Fibonacci Με τη μέθοδο Fibonacci γίνεται χρήση των τιμών της ακολουθίας Fibonacci, όπου η ακολουθία Fibonacci είναι μία ακολουθία αριθμών, «Αριθμοί Fibonacci» για την οποία για κάθε k 0 ισχύει F k+1 = F k + F k 1. Η μέθοδος Fibonacci είναι μία υποπερίπτωση της μεθόδου της Χρυσής Τόμης, με τη μόνη διαφορά ότι η τιμή του p η οποία στη μέθοδο της Χρυσής Τομής παραμένει σταθερή, στη μέθοδο Fibonacci μεταβάλεται σε κάθε στάδιο της διαδικασίας. Ενώ για την εύρεση του p k+1 χρησιμοποιείται η εξής σχέση: p k p k+1 = 1 1 p k Εφαρμόζοντας την ακολουθία του Fibonacci είναι: p k+1 = 1 F Ν k+1 F Ν k+2 όπου Ν είναι ο αριθμός των απαιτούμενων επαναλήψεων για την εύρεση του ελαχίστου Μέθοδοι Επιλογής Κατεύθυνσης στις Μεθόδους Γραμμικής Αναζήτησης Έστω η συνάρτηση f και x το σημείο ελαχιστοποίησής της, δηλαδή x :min x (f(x)). Όταν κινηθούµαστε κατά µήκος της κατεύθυνσης της κλίσης της f, τότε η συνάρτηση εμφανίζει τη µεγαλύτερη αύξηση της τιµής της. Για αυτό, για την [40]

41 έυρεση του νέου σημείου χρησιμοποιείται η κατεύθυνση d k, η οποία καθορίζεται από τη µέθοδο που χρησιμοποιείται κάθε φορά, με: x k+1 = x k + a k d k όπου d k είναι η κλίση (gradient) της συνάρτησης µε αντίθετο πρόσηµο, δηλαδή d k = f(x k ). Όταν η συνάρτηση f ορίζεται στο R n, τότε το gradient της είναι ίσο µε: f θx 1 f f(x) = θx 2 f ( θx n ) Για να θεωρηθεί μια κατεύθυνση κατάλληλη για χρήση πρέπει να ελαττώνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης f από βήμα σε βήμα, δηλαδή f(x k+1 ) < f(x k ). Γενικεύοντας, κάθε κατεύθυνση η οποία ελαττώνει την τιμή της συνάρτησης µπορεί να χρησιμοποιηθεί από την κατεύθυνση κατάβασης (descent direction). Η κατεύθυνση του Newton, προκύπτει από το θεώρηµα του Taylor, όπου για την προσέγγιση του d k ισχύει: d k Τ = 2 f k 1 f k Οι µέθοδοι που χρησιμοποιούν την κατεύθυνση Newton συγκλίνουν τετραγωνικά, καθώς σε κάθε επανάληψη το πλήθος των σηµαντικών ψηφίων τους διπλασιάζεται, με αποτέλεσμα η ταχύτητα σύγκλισής τους να είναι αρκετά μεγάλη. Ωστόσο, απαιτείται ο υπολογισµός της εσσιανής της αντικειµενικής συνάρτησης, δηλαδή ο υπολογισμός των παραγώγων δευτέρας τάξεως, με συνέπεια πολύπλοκους και χρονοβόρους υπολογισµούς (Κριθής, 2009). [41]

42 Βασικές Έννοιες Μεθόδων Βελτιστοποίησης Πρωτού αναλυθούν οι βασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης, κρίνεται χρήσιμο να αναφερθούν οι εξής βασικές έννοιες που εμφανίζονται στις μεθόδους επίλυσης: Κλίση (Gradient): Στις συναρτήσεις μιας μεταβλητής, f(x), η κλίση είναι η παράγωγος της σε ένα σημείο της, df, και αντιπροσωπεύει μια ευθεία που εφάπτεται στην dx συνάρτηση σε εκείνο το σημείο. Η κλίση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρείται βασικό στοιχείο καθορισμού της λύσης των μη γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης. Δηλαδή, η κλίση της συνάρτησης f πολλών μεταβλητών σε ένα σημείο είναι ένα διάνυσμα των μερικών παραγώγων της. Ειδικότερα, η κλίση της συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x) = f(x 1, x 2,, x n ) αποτελεί την κατεύθυνση από το συγκεκριμένο σημείο κατά την οποία η συνάρτηση έχει τη πιο απότομη μείωση (ή αύξηση), και είναι: f(x) = [ f θx 1 Ιακωβιανός πίνακας (Jacobian): f f T ] θx 2 θx n Ο Ιακωβιανός πίνακας αναπαριστά τις κλίσεις πολλών αλληλοσχετιζόμενων συναρτήσεων. Σε προβλήματα βελτιστοποίησης είναι συνήθως ένα διάνυσμα περιορισμών. Σειρά Taylor: [J] = θx 1 θx 1 θx 1 θx n θx m [ θx 1 θx m θx n ] m n x 1 = [ ] x m Η σειρά Taylor χρησιμοποιείται προκειμένου να προσεγγιστεί μια συνάρτηση γύρω από ένα σημείο, στο οποίο η συνάρτηση είναι πλήρως καθορισμένη, δηλαδή είναι γνωστή η τιμή της, και των παραγώγων της. Για τη συνάρτηση μιας μεταβλητής η σχέση είναι: f(x + Δx) f(x) + df dx Δx + 1 2! d2 f dx 2 Δx n! d2 f Δxn dxn [42]

43 Η σειρά Taylor χρησιμοποιείται σε πολλές αριθμητικές μεθόδους, και στις μεθόδους βελτιστοποίησης, και συνήθως περιορίζεται στους πρώτους δύο ή τρεις όρους του δεξιού μέλους, συμπεριλαμβάνοντας ένα τελικό σφάλμα που εξαρτάται από τους όρους που παραλήφθηκαν. Στη συνάρτηση πολλών μεταβλητών ισχύει: f(x + ΔX) f(x) + f(x) T ΔΧ ΔΧΤ Η(Χ)ΔΧ Όπου είναι Η(Χ) ο Εσσιανός Πίνακας. Εσσιανός πίνακας (Hessian): Ο Εσσιανός πίνακας μιας συνάρτησης αποτελείται από τις δεύτερες παραγώγους της: θ 2 f θ 2 f θx 2 1 θx 1 θx n [Η] = θ 2 f θ 2 f [ θx n θx 1 θx 2 n ] Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Γραμμικής Αναζήτησης Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως οι βασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης είναι η μέθοδος της απότομης καθόδου σταθερού ή μεταβλητού μήκους βήματος, η μέθοδος Newton Raphson, οι μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων, και η μέθοδος BFGS Μέθοδος Απότομης Καθόδου (Steepest Descent Method) Η μέθοδος Απότομης Καθόδου αναπτύχθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Cauchy (1847) και ήταν από τις πρώτες μεθόδους που χρησιμοποιήθηκε η αρνητική κλίση [ f(x)] για την αντιμετώπιση του προβλήματος ελαχιστοποίησης με τη χρήση του εξής επαναληπτικού τύπου: [43]

44 x k+1 = x k a k d k όπου k = 0, 1,, Κ, η κατεύθυνση είναι ίση με την gradient f του σημείου x στην κ-οστή επανάληψη, d k = f(x k ), και λαμβάνεται ως μήκος βήματος a k το βήμα που προκαλεί μέγιστη μείωση της αντικειμενικής συνάρτησης σε κάθε επανάληψη. Η μέθοδος Steepest Descent βασίζεται στη λογική του προσδιορισµού της κατεύθυνσης, ή κλίσης, που πρέπει να ακολουθείται σε κάθε σήμειο ούτως ώστε η να f βελτιστοποιείται πιο γρήγορα. Το πόσο αποτελεσματική είναι η μέθοδος εξαρτάται από το αρχικό σημείο, και τη μορφή της συνάρτησης. Η αποτίμηση της αλλαγής της συναρτησιακής τιμής της f σε κάθε σημείο x είναι ίση με: όπου d k = 1. min d T k f k d k Επομένως, ισχύει d T k f k = d T k f k cosθ k, όπου θ k είναι η γωνία της d k με την παράγωγο της f k. Έτσι, εφόσον d k = 1, ισχύει: d T k f k = f k cosθ k. (Λισγάρα, 2011). Κατεύθυνση Απότομης Καθόδου: d k = f k f k Προκειμένου να περιγραφεί η κατεύθυνση της κλίσης της f σε δεδομένο σημείο χρησιμοποιείται ο Ιακωβιανός Πίνακας, ο οποίος περιλαμβάνει τις πρώτες παραγώγους του διανύσματος της f. Δηλαδή, δεν απαιτείται ο υπολογισμός των δευτέρων παραγώγων. Μάλιστα, αν η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x, τότε ο Ιακωβιανός αναπαριστά τις συντεταγμένες των παραγώγων της f, δηλαδή ο Ιακωβιανός της f: R R m για την οποία ισχύει y 1 (x 1, x 2,, x n ),, y m (x 1, x 2,, x n ), είναι: J = θy 1 θy 1 θx 1 θx n θy m θy m [ θx 1 θx n ] [44]

45 Η σύγκλιση της μεθόδου προϋποθέτει σε κάθε βήµα την κατάλληλη κατεύθυνση που θα µας μετατοπίσει στο επόµενο βήµα και η διαδικασία αυτή θα επαναλαμβάνεται μέχρι τον εντοπισµό του σηµείου x (Κρίθης, 2009). Έτσι, βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ο υπολογισμός μόνο του Ιακωβιανού πίνακα, και το γεγονός ότι η μέθοδος συγκλίνει πολύ γρήγορα στις περιπτώσεις προβλημάτων μικρής κλίμακας. Σχήμα 2.5: Απεικόνιση της Steepest Descent Μέθοδος Απότομης Καθόδου Μεταβλητού Βήματος (Steepest Descent Method) Η μέθοδος της απότομης καθόδου συγκλίνει γραμμικά, και επηρεάζεται από την κακή κατάσταση των προβλημάτων. Για αυτό ο Armijo (Armijo, 1966) πρότεινε μια παραλλαγή της μεθόδου Cauchy, σύμφωνα με την οποία χρησιμοποιείται η σταθερά Lipschitz της αντικειμενικής συνάρτησης f, και αποδείχθηκε το θεώρημα σύγκλισης της μεθόδου χωρίς τη χρήση απαιτητικών προϋποθέσεων. Η συγκεκριμένη μέθοδος βασίζεται στην πρόταση του Cauchy ότι η βέλτιστη τιμή του μήκους βήματος a k εξαρτάται από την αντικειμενική συνάρτηση και προσεγγίζεται χρησιμοποιώντας την τιμή της σταθεράς Lipschitz. [45]

46 Σύμφωνα με τη μέθοδο του Armijo αν η f είναι συνεχής κατά Lipschitz εντός ενός συνόλου S(x 0 ) = {x: f(x) f(x 0 )}, τότε υπάρχει μια σταθερά Lipschitz Λ > 0, ώστε: f k f k 1 Λ x y για κάθε ζεύγος x, yε S(x 0 ). Δηλαδή η τιμή του μεγέθους βήματος a k της επαναληπτικής διαδικασίας σχετίζεται με την τιμή της σταθεράς Lipschitz, Λ, της συνάρτησης f, κ η μέθοδος δίνεται από: x k+1 = x k 1 2Λ f(x k), με k = 0, 1, 2, και συγκλίνει στο σημείο x στο οποίο ελαχιστοποιείται η f. Καθώς η σταθερά Lipschitz δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων, πρακτικά επιλέγεται μια μικρή τιμή. Αν χρησιμοποιηθεί μεγάλη τιμή, τότε δεν είναι εγγυημένη η σύγκλιση της μεθόδου. Για αυτό χρησιμοποιείται μια προσέγγιση της σταθεράς Lipschitz, Λ k, σε κάθε επανάληψη χρησιμοποιώντας τοπική πληροφορία από την επιφάνεια της αντικειμενικής συνάρτησης (Μέθοδος Steepest Descent with Adaptive Stepsize, SDAS) (Βραχάτης, Ανδρουλάκης, Λαμπρινός, & Μαγούλας, 2000). Η προτεινόμενη επαναληπτική διαδικασία είναι η εξής: x k+1 = x k 1 2Λ k f(x k ), με k = 0, 1, 2, όπου: Λ k = f(x k) f(x k+1 ) x k x k+1 Έτσι, το μήκος βήματος βρίσκεται ως εξής: a k = 1 = x k x k+1 2Λ k 2 f k f k 1 όπου το μήκος βήματος a k = 1 είναι ευαίσθητο στο τοπικό σχήμα της επιφάνειας 2Λ k που ορίζει η αντικειμενική συνάρτηση. Δηλαδή, όταν η επιφάνεια έχει απότομες περιοχές, η Λ k είναι μεγάλη, και μια μικρή τιμή για το a k μπορεί να εγγυηθεί τη σύγκλιση. Όταν η επιφάνεια είναι επίπεδη, η Λ k είναι μικρή και ένα μεγάλο μήκος [46]

47 βήματος α k επιλέγεται προκειμένου να επιταχυνθεί η σύγκλιση. Η μέγεθος συγκλίνει όταν 0 1 2Λ k Λ 1. Παράλληλα, οι Βραχάτης, Ανδρουλάκης, Λαμπρινός, και Μαγούλας πρότειναν τον αλγόριθμο Απότομης Καθόδου με Αναπροσαρμοζόμενο Μέγεθος Βήματος τύπου 2 (Steepest Descent with Adaptive Stepsize, SDAS-2), ο οποίος αποτελεί μια τροποποίηση του μοντέλου Απότομης Καθόδου. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο SDAS-2 χρησιμοποιείται το αρχικό βήμα x 0, το τυχαίο αρχικό μεγάλο μέγεθος βήματος λ, ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων maxit, και το προκαθορισμένο επίπεδο ακρίβειας ε. Ο SDAS-2 αποτελεί μια επιπλέον ανάλυση της διαδικασίας SDAS με την πρόσθεση μιας υποδιαδικασίας συγχρονισμού η οποία απαρτίζεται από οποιοδήποτε ζεύγος σχέσεων όπου το θετικό βήμα λ k ικανοποιεί τις συνθήκες Wolfe: όπου 0 < σ 1 < σ 2 < 1. f(x k + λ k φ k ) f(x k ) σ 1 λ k ( f(x k ), φ k ) ( f(x k + λ k φ k ), φ k ) σ 2 ( f(x k ), φ k ) f(x k + λ k φ k ) f(x k ) σ 2 λ k ( f(x k ), φ k ), σ 2 (σ 1, 1) Ο αλγόριθμος SDAS-2 είναι το εξής: Είσοδος: f, x 0, λ 0, maxit, ε Θέσε k = 1. Αν k < maxit, αντικατέστησε k = k + 1. Τέλος αν Αν k 1, και Λ k = f(x k) f(x k+1 ) x k x k+1 Θέσε λ = 0,5/Λ k Αλλιώς Θέσε λ = λ 0 Τέλος αν [47] 0, τότε

48 Συντόνισε το λ ως επιμέρους στάδιο μιας συγχρονισμένης υπο διαδικασίας Θέσε x k+1 = x k λ f(x k ) Τέλος όσο {x k ; f(x k ); f(x k )} Μέθοδος Newton Raphson Η μέθοδος Newton είναι ο βασικός αντιπρόσωπος των μεθόδων ανίχνευσης κατά γραμμή, καθώς στηρίζεται στο σκεπτικό πως αν χρησιμοποιηθούν ανώτερες παράγωγοι μπορεί να προκύψουν καλύτερα αποτελέσματα από την steepest descent ότανν το αρχικό σημείο βρίσκεται κοντά στο ελάχιστο. Η μέθοδος Newton Raphson έχει μεγάλο υπολογιστικό κόστος, καθώς απαιτείται η αντιστροφή πίνακα και ο υπολογισμός των δευτέρων παραγώγων της συνάρτησης f. Η γενική φιλοσοφία της μεθόδου είναι ότι με δεδομένο αρχικό σημείο κατασκευάζεται μια τετραγωνική προσέγγιση της αντικειμενικής συνάρτησης που έχει τις ίδιες συναρτησιακές τιμές στην πρώτη και δεύτερη παράγωγο με την αντικειμενική συνάρτηση. Στη συνέχεια, αυτή η συνάρτηση ελαχιστοποιείται, και όχι η αντικειμενική. Το σημείο που ελαχιστοποιεί την τετραγωνική συνάρτηση θεωρείται ως αρχικό σημείο στην επόμενη επανάληψη και συνεχίζεται η ίδια διαδικασία. Αν η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική τότε προκύπτει το ελάχιστο σε μια μόνο επανάληψη. Σε διαφορετική περίπτωση παίρνουμε μόνο μια προσέγγισή του (Κρίθης, 2009). Γενικά παρατηρείται ότι η μέθοδος είναι τετράγωνης σύγκλισης και συγκλίνει πιο γρήγορα από τη μέθοδο απότομης καθόδου. Ο επαναληπτικός τύπος της μεθόδου Newton είναι ο: x k+1 = x k a k f 1 f k όπου a k είναι μήκος βήματος το οποίο επιλέγεται προκειμένου η αντικειμενική συνάρτηση να μειώνεται. [48]

49 Μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων (Conjugate Gradient Methods) Οι μέθοδοι Conjugate Gradient είναι επαναληπτικοί μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων χωρίς περιορισμούς, και προκειμένου να επιλύσουν το πρόβλημα χρησιμοποιούν το gradient της αντικειμενικής τετραγωνικής συνάρτησης f. Έστω η τετραγωνική συνάρτηση: f(x) = 1 2 xt Qx x T b όπου Q ο συμμετρικός πίνακας. Η αρχική κατεύθυνση του επαναληπτικού σχήματος ορίζεται ίση με την αντίστοιχη κατεύθυνση της steepest descent μεθόδου, δηλαδή: d 0 = f(x 0 ) Αν η κατεύθυνση είναι ίση με το μηδέν, τότε η διαδικασία τερματίζει καθώς βρέθηκε το ζητούμενο σημείο. Στη συνέχεια ορίζεται ως μήκος βήματος η τιμή βήματος α για την οποία ελαχιστοποιείται η συνάρτηση φ(α) = f(x 0 + ad 0 ). Συγκεκριμένα, Μέσω του επαναληπτικού τύπου: α 0 = arg min f(x 0 + ad 0 ) = g 0 T d 0 a 0 d T 0 Qd 0 x k+1 = x k a k d k προσδιορίζεται η νέα τιμή x 1. Βρίσκεται το gradient της f για το νέο σημείο. Αν f(x k+1 ) = 0, τότε προκύπτει το ζητούμενο σημείο και ο αλγόριθμος σταματά. Αν όχι, τότε θέτουμε k = 1 και συνεχίζουμε. [49]

50 Η καινούρια κατεύθυνση εξαρτάται από την κατεύθυνση στην προηγούμενη επανάληψη και από το gradient της αντικειμενικής συνάρτησης στην ίδια επανάληψη. Ο συντελεστής β k του gradient προσδιορίζεται από: β k = g k+1 T Qd k d k T Qd k Αν εξεταστούν δύο οποιεσδήποτε κατευθύνσεις θα διαπιστωθεί ότι: d i T Qd j = 0, i j άρα οι κατευθύνσεις που προκύπτουν από την Conjugate gradient μέθοδο είναι QWConjugate. Η καινούρια τιμή της κατεύθυνσης δίνεται από d k+1 = g k+1 β k d k και ο δείκτης k = k + 1, και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Συμπεραίνουμε ότι κάθε κατεύθυνση d k επιλέγεται να είναι γραμμικός συνδυασμός της αρνητικής κλίσης g k, και της προηγούμενης κατεύθυνσης d k 1, δηλαδή: Κατεύθυνση Μεθόδων Συζυγών Κλίσεων: g d k = { 0, για k = 0; g k + β k d k 1, διαφορετικά. όπου β k είναι ένα βαθμωτό μέγεθος Μέθοδος BFGS Η μέθοδος BFGS αναπτύχθηκε από τους Broyden, Fletcher, Goldfarb, και Shanno, και ονομάστηκε έτσι από τα αρχικά τους. Η BFGS είναι μια Quasi Newton μέθοδος, δηλαδή προσεγγίζει τον Εσσιανό Πίνακα της συνάρτησης Lagrange μόνο με τη χρήση των πρώτων παραγώγων. Χρησιμοποιείται κυρίως σε προβλήματα [50]

51 αριθμητικής μη γραμμικής βελτιστοποίησης. Η μέθοδος δε συγκλίνει κατ ανάγκη σε κάποιο ακρότατο εκτός και αν η συνάρτηση έχει ανάπτυγμα Taylor β τάξης κοντά σε κάποιο βέλτιστο. Στη συγκεκριμένη μέθοδο προσεγγίζεται ο Εσσιανός Πίνακας Η 0 στο σημείο x k+1 με την ενημέρωση του Πίνακα Β από την εξής σχέση: Β k+1 = Β k + U k + V k. Οι πίνακες U k και V k είναι συμμετρικοί πίνακες τάξης 1 διαφορετικής, βέβαια, βάσης. Ειδικότερα, τα βήματα της μεθόδου είναι τα εξής: Δεδομένου ενός συνόλου αρχικών τιμών x 0, και μιας προσέγγισης του Εσσιανού Πίνακα Β 0 (συνήθως χρησιμοποιείται ο μοναδιαίος πίνακας), εφαρμόζονται τα εξής βήματα (Πλέσσας, 2012): 1. Υπολογίζεται η κατεύθυνση Ρ k, από την επίλυση του συστήματος: Β k Ρ k = f(x k ) 2. Εκτελώντας την αναζήτηση κατά γραμμή εντοπίζεται το κατάλληλο a k, και ενημερώνεται το: x k+1 = x k + a k Ρ k 3. Θέτουμε: s k = a k Ρ k 4. y k = f(x k+1 ) f(x k ) 5. Β k+1 = Β k + y T ky k y T k s Β ks k (Β k s k ) T k s T k Β k s k όπου f(x k ) είναι η προς ελαχιστοποίηση συνάρτηση. Είναι προτιμότερο ο Εσσιανός πίνακας να είναι θετικά ορισμένος, παρόλο που το σημείο που βρίσκεται η λύση μπορεί να μην είναι. Ο θετικά ορισμένος πίνακας εξασφαλίζεται αν ο όρος y T k s k είναι θετικός σε κάθε ενημέρωση και αν ο αρχικός πίνακας είναι θετικά ορισμένος (που ισχύει, εφόσον χρησιμοποιείται ο μοναδιαίος πίνακας) Βασικές Αρχές Παραδοσιακών Αλγορίθμων Αναζήτησης Λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι συνήθως η βέλτιστη λύση είναι άγνωστη, η χρήση διαφόρων αλγοριθμικών προσεγγίσεων µπορεί να οδηγήσει σε διάφορα χρήσιμα συμπεράσματα για την εκτίμηση των λύσεων. Εφόσον ο αντικειμενικός [51]

52 στόχος ενός αλγορίθµου αναζήτησης είναι η εύρεση της όσο το δυνατόν καλύτερης λύσης για όλες τις περιπτώσεις ενός προβλήµατος, τότε μπορούμε να πούμε ότι οι βασικές αρχές των παραδοσιακών αλγορίθµων αναζήτησης είναι οι εξής (Κουραβάνας, 2014): Εξαντλητική Αναζήτηση (Exhaustive search): Μέσω της εξαντλητικής αναζήτησης γίνεται προσπάθεια εύρεσης της κάθε δυνατής λύσης μέσα από ένα προκαθορισµένο σύνολο λύσεων, και στη συνέχεια επιλέγεται η καλύτερη. Τοπική αναζήτηση (Local search): Η τοπική αναζήτηση είναι µια διεξοδική αναζήτηση που επικεντρώνεται µόνο σε µια περιορισµένη περιοχή του χώρου αναζήτησης. ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer): Με τη χρήση των αλγορίθµων ιαίρει και Βασίλευε γίνεται προσπάθεια το πρόβληµα να διασπαστεί σε µικρότερα προβλήµατα που είναι πιο εύκολο να επιλυθούν. Στη συνέχεια, οι λύσεις των νέων προβληµάτων συνδυάζονται σε µια λύση για το αρχικό πρόβληµα. Οι τεχνικές αυτές είναι αποτελεσµατικές, αλλά δεν υπάρχει µεγάλος αριθµός προβληµάτων που µπορούν εύκολα να διασπαστούν και να συνδυαστούν. ιαµερισµός και Φραγή (Branch-and-bound): Αυτού του είδους οι αλγόριθµοι απαριθµούν το χώρο αναζήτησης, και προσπαθούν παράλληλα να αποκλείσουν τµήµατα του χώρου αναζήτησης που δεν µπορούν να περιέχουν τη βέλτιστη λύση. υναµικός Προγραµµατισµός (Dynamic programming): Οι αλγόριθµοι δυναµικού προγραµµατισµού κάνουν µια διεξοδική έρευνα που αποφεύγει εκ νέου υπολογισµούς αποθηκεύοντας τις λύσεις των υποπροβληµάτων. Έτσι, διαµορφώνεται η λύση µέσα από µια διαδικασία αναδροµής. Άπληστοι αλγόριθµοι (Greedy Algorithms): Οι άπληστοι αλγόριθμοι προσπαθούν να κατασκευάσουν διαδοχικά ένα χώρο λύσεων, βασιζόμενοι στην αρχή της προφανής λήψης της καλύτερης (τοπικά) επιλογής σε κάθε στάδιο του αλγορίθµου, προκειµένου να βρεθεί το ολικό βέλτιστο της αντικειµενικής συνάρτησης. Αυτού του είδους οι αλγόριθµοι προσπαθώντας να βρούν µια εφικτή λύση του προβλήµατος, χρειάζονται πολύ µεγάλο [52]

53 χρονικό διάστημα υλοποίησης, καθώς λαµβάνουν υπόψη τους µόνο τις νέες λύσεις Μέθοδος Οπισθοδρόμησης (Backtracking Method) Η μέθοδος Οπισθοδρόμησης ή Backtracking μπορεί να χρησιμοποιηθεί προκειμένου να βρεθεί ένα κατάλληλο μήκος βήματος. Η συγκεκριμένη μέθοδος χρησιμοποιεί τη συνθήκη του Armijo, βάση της οποίας διασφαλίζεται ότι η τιμή της συνάρτησης f(x) θα μειωθεί στο επόμενο σημείο x k+1. Έτσι, με τη χρήση της μεθόδου οπισθοδρόμησης διασφαλίζεται ότι το επιλεγμένο μήκος βήματος a k λαμβάνει μία σταθερή τιμή, και αν δεν ισχύει αυτό, τότε ότι η τιμή του a k είναι αρκετά μικρή ώστε να ικανοποιεί τη συνθήκη του Armijo (Λισγάρα, 2011). Ο αλγόριθμος της μεθόδου οπισθοδρόμησης που ακολουθείται για την εύρεση του κατάλληλου μήκους βήματος a k είναι ο εξής (Λισγάρα, 2011): Είσοδος: a, ρ, σ (0, 1) Θέσε α a, όπου ρ ο παράγοντας συστολής Όσο f(x k + ad k ) > f(x k ) + σα f T k d k, θέσε α ρa. Τέλος όσο α k = α Αιτιοκρατικές Μέθοδοι (Deterministic Methods) Βασικό χαρακτηριστικό των αιτιοκρατικών μεθόδων είναι το γεγονός ότι σε κάθε μεταβλητή και παράμετρο της αντικειμενικής συνάρτησης εκχωρείται ένας συγκεκριμένος αριθμός ή, υπό ορισμένες συνθήκες, ακολουθία αριθμών. Με αυτόν τον τρόπο προσεγγίζονται οι τιμές της παραγώγου της αντικειμενικής συνάρτησης. [53]

54 Είναι γνωστό ότι οι αιτιοκρατικές μέθοδοι βελτιστοποίησης χρησιμοποιούν τους παραγώγους της αντικειμενικής συνάρτησης για να πάρουν πληροφορίες για τον εντοπισμό των βέλτιστών της. Παρότι αυτές οι μέθοδοι παρουσιάζουν γρήγορη σύγκλιση, τα αποτελέσματά που προκύπτουν στην περίπτωση των συναρτήσεων που παρουσιάζουν περισσότερα από ένα βέλτιστα δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικά (Λισγάρα, 2011) Στοχαστικές Μέθοδοι (Stochastic Methods) Βασικό χαρακτηριστικό των στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης είναι η χρήση στοιχείων τυχαίας αναζήτησης της βέλτιστης λύσης. Οι αλγόριθμοι που συμβάλλουν στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης με την στοχαστική προοπτική, χαρακτηρίζονται από ευελιξία προσαρμογής σε διαφορετικά και διαφοροποιημένα προβλήματα (Λισγάρα, 2011) Θεώρημα No Free Lunch (NFL) Σημαντικό ρόλο στη θεωρία βελτιστοποίησης παίζει το θεώρημα No Free Lunch (NFL) (Wolpert και Macready, 1997), σύµφωνα µε το οποίο η απόδοση όλων των αλγορίθµων βελτιστοποίησης είναι ισοδύναµη αν θεωρηθεί επί όλων των δυνατών προβληµάτων βελτιστοποίησης (Παπαγιάννη, 2009). Το θεώρημα υπονοεί ότι δεν υπάρχει πιο αποδοτικός αλγόριθμος από μια απλή γραμμική απαρίθμηση του χώρου λύσεων ή έναν αλγόριθμο καθαρά τυχαίας έρευνας. Επίσης, έχει αποδειχθεί για πεπερασµένους χώρους αναζήτησης, ενώ δεν είναι σαφές αν µπορεί να γενικευτεί σε µη πεπερασµένους χώρους. Παρόλο που το θεώρηµα αναφέρει ότι όλοι οι αλγόριθµοι έχουν την ίδια καλή απόδοση όταν εφαρμόζονται σε όλα τα δυνατά προβλήµατα, δεν ισχύει το ίδιο για τα υποσύνολα του συνόλου των προβληµάτων. Έτσι, η ιδιαίτερη δοµή ορισμένων [54]

55 συναρτήσεων μπορεί να ευνοεί κάποιους αλγορίθµους, οι οποίοι σε αυτά τα προβλήµατα αποδίδουν καλύτερα από κάποιους άλλους. Συνεπώς, το γενικό συµπέρασµα του No Free Lunch Theorem µπορεί να συνοψιστεί στην εξής φράση (Παρσόπουλος, 2004): «αν ένας αλγόριθµος Α υπερτερεί έναντι κάποιου αλγορίθµου Β σε ένα σύνολο προβληµάτων, τότε υπάρχουν άλλα τόσα προβλήµατα που ο αλγόριθµος Β υπερτερεί έναντι του αλγορίθµου Α» Μέτρηση Απόδοσης των Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης Προκειμένου να αξιολογηθούν οι διάφοροι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης συνήθως γίνεται χρήση των εξής δύο ειδών μετρήσεων: Του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης f. Της καλύτερης βέλτιστης τιμής, και του μέσου όρου των βέλτιστων τιμών της f που προέκυψαν μετά από σταθερό αριθμό εκτελέσεων του αλγόριθμου, θεωρώντας διαφορετικά σημεία αρχικοποίησης αλγόριθμου ανά εκτέλεση. Ωστόσο, δε μπορεί αξιολογηθεί εύκολα ποια τεχνική βελτιστοποίησης είναι καλύτερη, καθώς πρέπει να ληφθούν υπόψη πολλοί παράμετροι. Για παράδειγμα, ένας αλγόριθμος μπορεί να χρειάζεται 200 επαναλήψεις προκειμένου να συγκλίνει στη βέλτιστη τιμή, ενώ ένας άλλος να συγκλίνει μετά από 20 επαναλήψεις, αλλά η βέλτιστη τιμή που προκύπτει να μην είναι τόσο καλή όσο αυτή του πρώτου αλγόριθμου. Μάλιστα, η αξιολόγηση για το ποιος αλγόριθμος θεωρείται καλύτερος εξαρτάται από τις απαιτήσεις αυτών που χρησιμοποιούν τα αποτελέσματα. [55]

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΑΝΕΡΓΙΑ 3.1. Εισαγωγή Η ανεργία είναι το σημαντικότερο μακροοικονομικό πρόβλημα των περισσοτέρων σύγχρονων αναπτυγμένων χωρών, και εμφανίζεται κυρίως σε περιόδους οικονομικής κρίσης. Το φαινόμενο της ανεργίας απασχολεί πολυάριθμους αναλυτές, καθώς έχει ανοδική πορεία τα τελευταία χρόνια. Η εμφάνισή της προϋποθέτει την αδυναμία επιστροφής σε μορφές οικογενειακής απασχόλησης, την εμφάνιση εξειδικευμένων θεσμών, και γραφείων ευρέσεως εργασίας που προσελκύουν το ενδιαφέρον των ανέργων. Είναι φανερό ότι η αύξηση της ανεργίας έχει άμεσες και αρνητικές επιπτώσεις στους ανέργους και σε όσους δε διαθέτουν πηγές εισοδήματος. Συγκεκριμένα, η απώλεια εργασίας, έχει ως αποτέλεσμα την πτώση του βιοτικού επιπέδου, την εμφάνιση ατομικών και κοινωνικών προβλημάτων, την ένταση του προβλήματος της φτώχειας, την αύξηση των οικονομικών και κοινωνικών ανισοτήτων, την πρόκληση ψυχολογικών προβλημάτων, κ.α.. Το φαινόμενο της ανεργίας είναι ιδιαίτερα έντονο στην ελληνική κοινωνία και οικονομία. Αυτό οφείλεται στις δημογραφικές αλλαγές, την τεχνολογική πρόοδο, τον ανταγωνισμό με άλλες χώρες, ή ακόμα και την ίδια τη συμπεριφορά των ανέργων. Η ανθρώπινη χειρωνακτική εργασία έχει πλέον αντικατασταθεί από τους υπολογιστές, και την τηλεργασία. Η μαζική εργασία απαξιώνεται, και αναδεικνύεται η εξειδικευμένη εργασία που σχετίζεται με την αυτοματοποιημένη παραγωγή αγαθών και παροχή υπηρεσιών Ορισμός Ανεργίας Είναι ευρέως διαδεμένο ότι ιστορικά έχουν προκύψει ποικίλοι ορισμοί για την ανεργία. Σύμφωνα, όμως, με την οικονομική επιστήμη άνεργος θεωρείται το άτομο το οποίο είναι ικανό, πρόθυμο, και διαθέσιμο να εργαστεί, αλλά όλες οι προσπάθειές του για την εύρεση εργασίας είναι ανεπιτυχείς. Ωστόσο, γενικά παρατηρείται ότι υπάρχει [56]

57 μια αρκετά μεγάλη δυσκολία στο να δοθεί ένας σαφής ορισμός για τη ανεργία, η οποία στηρίζεται στο συνδυασμό δύο βασικών κριτηρίων: ότι κάποιος δεν κατέχει εργασία, και ότι βρίσκεται σε αναζήτηση εργασίας (Σκουτέλης, 1996). Έτσι, προκειμένου να δειχθεί αν κάποιος θεωρείται άνεργος πρέπει να ληφθούν σοβαρά υπόψη οι απαντήσεις των εξής δύο ερωτήσεων: το άτομο καταλαμβάνει ή όχι μια θέση εργασίας; Εαν η απάντηση είναι όχι, το άτομο αυτό ψάχνει για εργασία ή όχι; (Σκουτέλης, 1996) Εικόνα 3.1: Χαρακτηρισμός Ατόμου ως Άνεργου Η ανεργία ως μετρήσιμο μέγεθος μπορεί να καταγραφεί στατιστικά. Αρχικά, ο ορισμός της ανεργίας διέφερε ανάλογα με τα διάφορα πολιτικά συμφέροντα, και την αντίληψη των στατιστικολόγων για το ποιοι ήταν οι πραγματικοί και ποιοι οι πλασματικοί άνεργοι. Ωστόσο, σύμφωνα με την Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδος (ΕΣΥΕ, 1998), ως άνεργοι ορίζονται τα άτομα ηλικίας 14 ετών και άνω, για τους οποίους ισχύουν οι εξής προυποθέσεις: 1. δεν εργάστηκαν ούτε μία ώρα πριν από την ημέρα διεξαγωγής της έρευνας, ούτε είχαν μία εργασία από την οποία να απουσίαζαν προσωρινά λόγω ασθένειας, άδειας, ταξιδίου αναψυχής, απεργίας, καιρικών συνθηκών, κλπ., 2. αναζητούν εργασία, είτε ως μισθωτοί, είτε ως αυτοαπασχολούμενοι, 3. είναι διαθέσιμα και μπορούν να αναλάβουν αμέσως την εργασία που θα προέκυπτε (μέσα σε διάστημα δύο εβδομάδων), [57]

58 4. είχαν προσπαθήσει στο διάστημα των τεσσάρων εβδομάδων πριν από την Έρευνα να βρουν εργασία (π.χ. γράφτηκαν σε Γραφεία Απασχόλησης του ΟΑΕΔ, απευθύνθηκαν σε εργοδότες ή σε γνωστούς τους, παρακολουθούσαν αγγελίες σε εφημερίδες κ.λπ.) Το Διεθνές Γραφείο Εργασίας (ΔΓΕ) ορίζει ως άνεργους το σύνολο των ανθρώπων που: 1. υπάρχουν χωρίς εργασία, 2. είναι διαθέσιμοι να εργαστούν, και 3. βρίσκονται σε αναζήτηση εργασίας. Παρόλα αυτά πρέπει να γίνουν ορισμένες διευκρινήσεις. Ανεργία δεν σημαίνει απουσία οποιαδήποτε εργασίας, αλλά απουσία της αμειβόμενης εργασίας (Σκουτέλης, 1996). Ως άνεργοι δεν νοούνται οι άνεργοι που αναζητούν εργασία και παρακολουθούν διάφορα προγράμματα κατάρτισης. Παράλληλα, στον ορισμό της ανεργίας δεν περιλαμβάνονται οι άνεργοι που απασχολούνται ευκαιριακά ή πολύ λίγες ώρες την εβδομάδα. Αξίζει να αναφερθούν κάποια γενικά πράγματα όσον αφορά το μέγεθος του πληθυσμού. Για την ακρίβεια, κάθε οικονομία διαθέτει ένα συγκεκριμένο μέγεθος πληθυσμού. Για λόγους οικονομικής ανάλυσης, ο πληθυσμός διακρίνεται σε οικονομικά ενεργό και σε οικονομικά μη ενεργό. Ο οικονομικά ενεργός πληθυσμός αποτελεί το εργατικό δυναμικό της οικονομίας, και περιλαμβάνει τα άτομα εκείνα που είναι ικανά να εργαστούν και ταυτόχρονα θέλουν να εργαστούν. Τα άτομα που δεν μπορούν να εργαστούν, π.χ. μικρά παιδιά, ηλικιωμένοι, ασθενείς, στρατιώτες κ.α., δεν ανήκουν στο εργατικό δυναμικό μιας χώρας. Επίσης, δεν ανήκουν στο εργατικό δυναμικό τα άτομα που μπορούν να εργαστούν, αλλά για διάφορους λόγους δε θέλουν. Συνεπώς, τα άτομα τα οποία δεν μπορούν ή δε θέλουν να εργαστούν αποτελούν τον οικονομικά μη ενεργό πληθυσμό. Τέλος, ως απασχολούμενοι νοούνται τα άτομα τα οποία ήδη εργάζονται. [58]

59 Εικόνα 3.2: Χαρακτηρισμός Μεγέθους Πληθυσμού (Σκουτέλης, 1996) Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η ανεργία εμφανίζεται στις οικονομίες, και κατ επέκταση, στις χώρες όπου τα άτομα είναι διατεθειμένα να εργασθούν με αμοιβή, αλλά δεν μπορούν να βρουν εργασία. Όταν, όμως, κάποιος δεν βρίσκει εργασία καθώς αναζητάει υψηλότερη αμοιβή από αυτή που επικρατεί στην αγορά, τότε δεν θεωρείται άνεργος Μέτρηση Ανεργίας Το ποσοστό ανεργίας θεωρείται ένας από τους σημαντικούς δείκτες. Μάλιστα, το μέγεθος της ανεργίας μπορεί να μετρηθεί ως απόλυτο αριθμητικό μέγεθος, και εξαρτάται από το μέγεθος του εργατικού δυναμικού. Για αυτό μετριέται ως ποσοστό επί τοις εκατό (%) του εργατικού δυναμικού, όπου εργατικό δυναμικό είναι το άθροισμα των ανέργων και των απασχολούμενων στη συγκεκριμένη περιοχή. Σύνολο Εργατικού Δυναμικού (L) = Αριθμός Απασχολούμενων(Ε) + Αριθμός Ανέργων(U) Μάλιστα, ορίζεται ως το πηλίκο των ανέργων μιας περιοχής προς το συνολικό εργατικό δυναμικό σε αυτήν (Πουρναράκης, 1995). Ποσοστό ανεργίας = Αριθμός Ανέργνων Σύνολο Εργατικού Δυναμικού 100 U % = U/L = U/(E + U) Το ποσοστό της ανεργίας μπορεί να διαφέρει από περίοδο σε περίοδο, καθώς μεταβάλλεται το απόλυτο μέγεθος της ανεργίας ή του εργατικού δυναμικού ή και των δύο (αλλά με διαφορετικό ρυθμό). [59]

60 Η πλειοψηφία των οικονομικών αναπτυγμένων χωρών χρησιμοποιεί τους εξής βασικούς τρόπους για τη μέτρηση του ποσοστού της ανεργίας (Ματθαιάκη, 2013): 1. Δειγματοληπτικές Έρευνες Εργατικού Δυναμικού: Θεωρείται η πιο αξιόπιστη μέθοδος καθώς παρέχεται η δυνατότητα μέτρησης της ανεργίας ανάλογα με το φύλο ή την ηλικία. Οι δειγματοληπτικές έρευνες είναι πολύ ακριβείς, αλλά λόγω του ετήσιου χαρακτήρα τους δεν μπορούν να παρακολουθήσουν τις εποχιακές εξελίξεις, και τις διακυμάνσεις στους οικονομικούς κύκλους. Για αυτό συνήθως εφαρμόζονται κάθε τρίμηνο. 2. Επίσημους Υπολογισμούς 3. Στατιστικές Κοινωνικής Ασφάλισης: Με αυτό τον τρόπο υπολογίζονται τα άτομα που έχουν εγγραφεί στους αρμόδιους οργανισμούς, διαθέτουν κοινωνική ασφάλιση, και λαμβάνουν επιδόματα ανεργία και τα άτομα που έχουν ασφαλιστεί και ανήκουν στο εργατικό δυναμικό. Ωστόσο, οι εγγραφές στους αρμόδιους οργανισμούς αντανακλούν τις συνθήκες λειτουργίας του κάθε οργανισμού (κανόνες εγγραφής, κλπ), και τις συμπεριφορές των ανέργων απέναντι στην εγγραφή (ποιότητα και διάρκεια παροχών, κλπ.). 4. Στατιστικές Γραφείων Ευρέσεως Εργασίας: Αυτή η μέθοδος δεν είναι ιδανική για τη μέτρηση της ανεργίας, καθώς περιλαμβάνει μόνο τα άτομα που προκύπτουν από τα γραφεία ευρέσεως εργασίας. Στην Ελλάδα την ανεργία καταμετρούν η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία Ελλάδος (ΕΣΥΕ), και ο Οργανισμός Απασχόλησης Εργατικού Δυναμικού (ΟΑΕΔ). Ωστόσο, κατά καιρούς δημιουργούνται αμφιβολίες για την εγκυρότητα και την τιμιότητα των στατιστικών δεδομένων της ανεργίας, κυρίως λόγω της αβεβαιότητας του ορισμού της, και των ατελειών των μεθόδων μέτρησης της. Δηλαδή, όποια μέθοδος μέτρησης και αν χρησιμοποιείται, η αξία της πολλές φορές εξαρτάται από τις διάφορες πολιτικές επιλογές ή πιέσεις. Παράλληλα, η δυσκολία μέτρησης της οφείλεται στο γεγονός ότι μεγάλα τμήματα του πληθυσμού βρίσκονται σε ενδιάμεσες καταστάσεις, δηλαδή μεταξύ εργασίας, αδράνειας και ανεργίας. Έτσι, ο χρησιμοποιούμενος ορισμός της ανεργίας από τις στατιστικές απαιτεί όχι μόνο ο ενδιαφερόμενος να αναζητεί εργασία, αλλά και να είναι διαθέσιμος να εργαστεί, με αποτέλεσμα την ελάφρυνση των στατιστικών της ανεργίας και τη μεταφορά των ατόμων στον ανενεργό πληθυσμό με διάφορους πλασματικούς τρόπους. [60]

61 Στις βιομηχανικές κοινωνίες, η οικονομική κρίση ευνοεί την ανάπτυξη της παραοικονομίας (ή παράλληλης ή παράνομης ή υπόγειας οικονομίας), και της παράνομης εργασίας. Η παράνομη εργασία εντάσσεται στον ενεργό πληθυσμό, όμως, πρακτικά τοποθετείται στους ανέργους ή στο μη ενεργό πληθυσμό. Έτσι, η κύρια δυσκολία έγκειται στην οριοθέτηση του πληθυσμού μεταξύ ανεργίας, ενεργού και μη ενεργού πληθυσμού Είδη Ανεργίας Στην οικονομική επιστήμη η ανεργία κατηγοριοποιείται σε διάφορα είδη ανάλογα με τους παράγοντες που την προκαλούν και το χρονικό ορίζοντα εμφάνισής της. Μάλιστα, υπάρχουν αρκετά είδη ή κατηγορίες ανεργίας, όπως η ανεργία τριβής, η διαρθρωτική ανεργία, η εποχιακή, η κυκλική, η τεχνολογική, η κεϋνσιανή ανεργία ή ανεργία λόγω ανεπαρκούς ζήτησης, η λανθάνουσα, και η ακούσια ή εκούσια ανεργία. Ανεργία τριβής (frictional unemployment) Η ανεργία τριβής αποτελεί ένα μόνιμο και μακροπρόθεσμο φαινόμενο που οφείλεται στην αδυναμία της αγοράς να απορροφήσει άμεσα τους ανέργους, παρότι υπάρχουν αρκετές κενές θέσεις εργασίας, για τις οποίες οι άνεργοι διαθέτουν τα κατάλληλα επαγγελματικά προσόντα (Γιώτης, 2011). Η ανεργία τριβής παρατηρείται όταν ένας αριθμός ατόμων αφήνει οικιοθελώς την δουλειά του (ηθελημένη ανεργία) και αναζητά άλλη, όταν εργαζόμενοι απολύονται και αναζητούν εργασία, όταν οι επιχειρήσεις ζητούν προσωπικό, όταν δημιουργούνται νέες επιχειρήσεις ή κλείνουν οι ήδη υπάρχουσες, και όταν ορισμένοι εργαζόμενοι συνταξιοδοτούνται. Η ανεργία τριβής οφείλεται στην αδυναμία των εργατών να εντοπίσουν τις κενές θέσεις εργασίας, και στην αδυναμία των επιχειρήσεων να εντοπίσουν τους άνεργους εργάτες. Επίσης, μπορεί να οφείλεται στη γεωγραφική απόσταση μεταξύ της περιοχής όπου υπάρχει ανεργία και της περιοχής όπου υπάρχουν κενές θέσεις εργασίας. Γενικά, οφείλεται στην έλλειψη ενός κατάλληλου συστήματος πληροφοριών ανάμεσα στους ανέργους και τις επιχειρήσεις με κενές θέσεις εργασίας (Λιανός, 1998). [61]

62 Το συγκεκριμένο είδιος ανεργίας πλήττει περισσότερο τους νέους, καθώς ένα μεγάλο μέρος τους είναι νεοεισερχόμενοι στην αγορά εργασίας, και αποφασίζουν ευκολότερα να αφήσουν μια εργασία για να ψάξουν για κάποια καλύτερη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι συχνά δε βρίσκουν από την αρχή της επαγγελματικής σταδιοδρομίας τους την απασχόληση που τους ταιριάζει ή επιδιώκουν να πειραματιστούν με διάφορες εργασίες πριν κατασταλάξουν κάπου. Επιπλέον, η ανεργία τριβής πλήττει σε μεγάλο βαθμό και τις γυναίκες, αφού συνεχώς αυξάνεται ο αριθμός εκείνων που εισέρχονται ή επανεισέρχονται στην αγορά εργασίας. Παράλληλα, θεωρείται αναπόφευκτη καθώς παρουσιάζεται ακόμα και όταν η αγορά εργασίας βρίσκεται σε κατάσταση πλήρους απασχόλησης χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η ανεργία είναι μηδενική. Ουσιαστικά, αποτελεί το ελάχιστο επίπεδο ανεργίας που δεν μπορεί να μειωθεί σε μια δυναμική κοινωνία. Πρόκειται για ηθελημένη ανεργία, η οποία καλυτερεύει τη θέση του ατόμου, και της εθνικής οικονομίας. Έτσι, σε κατάσταση πλήρους απασχόλησης υπάρχει η ανεργία τριβής, η οποία συμβάλλει στην πλήρη χρησιμοποίηση του συντελεστή εργασίας. Τέλος, η ανεργία τριβής μπορεί να συνυπάρχει με κάποια άλλη ή άλλες μορφές ανεργίας, γεγονός που δυσχεραίνει την εκτίμηση του μεγέθους της Εποχική Ανεργία (seasonal unemployment) Η πληθώρα αγροτικών και τουριστικών επιχειρήσεων παρουσιάζουν συστηματικές μεταβολές στην παραγωγική τους δραστηριότητα κατά τη διάρκεια του έτους. Οι μεταβολές της παραγωγής συνοδεύονται από αντίστοιχες μεταβολές της απασχόλησης εργατικού δυναμικού και συνεπώς από μεταβολές της ανεργίας, με αποτέλεσμα την εμφάνιση της εποχιακής ανεργίας. Βασικό χαρακτηριστικό αυτής της ανεργίας είναι ότι είναι επαναλαμβανόμενη κάθε χρόνο, προσωρινή και μικρής διάρκειας. Η εποχική ανεργία συμβαίνει σε ορισμένους κλάδους της οικονομίας συγκεκριμένες περιόδους του χρόνου (Δεδουσόπουλος, 2000). Είναι μικρής διάρκειας και δε δημιουργεί σοβαρά κοινωνικά προβλήματα, γιατί εξαρτάται από το είδος της παραγωγικής δραστηριότητας και συνήθως εμφανίζεται σε επιχειρήσεις όπου υπάρχουν πολλές μεταβολές κατά τη διάρκεια του έτους. Τέλος, δε θεωρείται σοβαρό οικονομικό πρόβλημα γιατί μπορεί να αντιμετωπιστεί με την εύρεση συμπληρωματικής απασχόλησης ώστε οι εργαζόμενοι να μην μένουν άνεργοι για μεγάλο χρονικό διάστημα. [62]

63 Κυκλική Ανεργία (ή ανεργία ανεπαρκούς ζήτησης ή Κεϋνσιανή ανεργία) Η μειωμένη συνολική ζήτηση για προϊόντα έχει ως αποτέλεσμα τη μειωμένη ζήτηση για εργασία (ανεργία), και τη μείωση του εισοδήματος με άμεση συνέπεια τη μείωση της καταναλωτικής δαπάνης για την αγορά αγαθών και την ελλειπή ζήτηση προϊόντων. Έτσι, εμφανίζεται το φαινόμενο της κυκλικής ανεργίας, δηλαδή της ανεργίας που προέρχεται από την ανεπαρκή ζήτηση και την επιβράδυνση της οικονομικής δραστηριότητας (Γιώτης, 2011). Αυτού του είδους ανεργία έχει κυκλικό χαρακτήρα, δηλαδή επαναλαμβάνεται και η διάρκεια της εξαρτάται από τη διάρκεια του οικονομικού κύκλου. Προκύπτει από την επιβράδυνση της ανάπτυξης σε περιόδους οικονομικής ύφεσης, με άμεσο επακόλουθο την αδυναμία απορρόφησης του εργατικού δυναμικού. Η επιβράδυνση της παραγωγής ελαττώνει τη ζήτηση της εργασίας για δεδομένο ύψος μισθών. Μάλιστα, η ελάττωση της ζήτησης εργασίας ακολουθείται από ελάττωση της διάρκειας εργασίας, απολύσεις, μη ανανέωση συμβολαίων εργασίας και αύξηση της ανεργίας. Διαρθρωτική ή Χρόνια Ανεργία (structural unemployment) Η διαρθρωτική ανεργία αποτελεί συνιστώσα της ανεργίας που δεν μειώνεται με την οικονομική ανάκαμψη και δεν μπορεί να επηρεαστεί από τη μακροοικονομική πολιτική. Η διαρθρωτική ανεργία παρατηρείται, όταν οι ικανότητες ενός εργαζομένου αποτυγχάνουν να ικανοποιήσουν τις απαιτήσεις οποιασδήποτε σχεδόν κενής θέσης εργασίας. Αυτή η μορφή ανεργίας αντιμετωπίζεται κυρίως από τους νεοεισερχόμενους, οι οποίοι δεν διαθέτουν τις απαραίτητες γνώσεις και δεξιότητες που ζητούν οι εργοδότες. Δηλαδή, ενώ προσφέρονται θέσεις εργασίας, οι άνεργοι δεν έχουν τη δυνατότητα να τις καταλάβουν, είτε γιατί τα προσόντα τους δεν είναι αυτά που ζητούν οι εργοδότες, είτε γιατί οι εργοδότες βρίσκονται σε άλλη αγορά εργασίας. Το πρόβλημα της διαρθρωτικής ανεργίας διογκώνεται εξαιτίας των τεχνολογικών μεταβολών. Η διαρθρωτική ανεργία είναι ένα είδος μακροχρόνιας ανεργίας που οφείλεται κυρίως στη φθίνουσα πορεία συγκεκριμένων κλάδων ή τομέων της οικονομίας, αλλά και στην αδυναμία κατάρτισης μέρους του εργατικού δυναμικού σύμφωνα με τις σύγχρονες απαιτήσεις της οικονομίας. Ως διαρθρωτική μπορεί να χαρακτηριστεί και η ανεργία που αποτελείται από θεσμικούς παράγοντες όπως είναι η νομοθεσία και τα εργατικά σωματεία τα οποία μέσω της πολιτικής που ασκούν μπορούν να γίνουν αιτία [63]

64 ανεργίας διότι οι θεσμοί αποτελούν μέρος του τρόπου με τον οποίο συγκροτείται η οικονομία μίας χώρας. Τεχνολογική Ανεργία (technological unemployment) Με τον όρο τεχνολογική ανεργία ορίζεται κάθε μορφή ανεργίας η οποία προκύπτει από την αντικατάσταση της ανθρώπινης εργασίας από σύγχρονες μηχανές προκειμένου να μειωθεί το κόστος παραγωγής. Ο αριθμός των θέσεων εργασίας μειώνεται όλο και περισσότερο καθώς πλέον απαιτούνται εξειδικευμένες τεχνολογικές γνώσεις. Ο αριθμός των ατόμων που εκτελεί χειρωνακτική εργασία και μένει άνεργος, είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξειδικευμένων εργατών που χρησιμοποιούν τις μηχανές και τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ωστόσο, η είσοδος νέων τεχνολογιών αυξάνει την ανταγωνιστικότητα των επιχειρήσεων. Αρκετοί οικονομολόγοι θεωρούν ότι η τεχνολογική ανεργία δεν υπάρχει σε καθαρή μορφή, αλλά συνοδεύει ή συνοδεύεται από άλλες μορφές ανεργίας όπως την κυκλική, ή τη διαρθρωτική ή την ανεργία ως αποτέλεσμα των μικρών ρυθμών μεγέθυνσης. Εξάλλου, η τεχνολογική ανεργία εξαρτάται από τους παράγοντες που προσδιορίζουν τους ρυθμούς και το εύρος της τεχνολογικής μεταβολής. Τέλος, θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι η τεχνολογική ανεργία δεν προκύπτει από την τεχνολογία, αλλά από τον τρόπο χρήσης της. Συγκαλυμμένη ή Λανθάνουσα Ανεργία Ως συγκαλυμμένη ανεργία θεωρείται η ανεργία που υπάρχει όταν οι εργαζόμενοι υποαπασχολούνται και δεν είναι εντελώς ανενεργοί. Στις μέρες μας προωθείται σημαντικά η μερική απασχόληση. Οι εργαζόμενοι θέλουν αλλά δεν βρίσκουν πλήρη απασχόληση, με αποτέλεσμα να αναγκάζονται να απασχολούνται μερικώς (Σκουτέλης, 1996). Αξίζει να αναφερθεί ότι η λανθάνουσα ανεργία μπορεί να εμφανιστεί και με τη μορφή της ετεροαπασχόλησης. Εφόσον κάποιος δεν βρίσκει εργασία στον κλάδο στον οποίο έχει εξειδικευτεί αναγκάζεται να καταφεύγει σε άλλους τομείς εργασίας. Επομένως, το πρόβλημα της έγκειται στην πλεονάζουσα προσφορά και όχι στην υπολλειματική ζήτηση. [64]

65 Ηθελημένη ή Εκούσια Ανεργία. Ως εκούσια άνεργος θεωρείται το άτομο που ενώ του έχει προσφερθεί μια εργασία για την οποία διαθέτει τα κατάλληλα προσόντα και μπορεί να την αναλάβει, συνεχίζει να ψάχνει για μια καλύτερη δουλειά με υψηλότερο μισθό, χωρίς να αποδέχεται την προσφορά που του έγινε (Ντανή, ). Αθέλητη ή Ακούσια Ανεργία Ως ακούσια άνεργος θεωρείται το άτομο που ενώ είναι πρόθυμος να εργαστεί σε μια θέση εργασίας για την οποία διαθέτει τα απαραίτητα προσόντα, με τον τρέχοντα ή χαμηλότερο μισθό, δε μπορεί να βρει μια τέτοια εργασία. Η αθέλητη ανεργία αναφέρεται σε εκείνο το άτομο που θέλει να δουλέψει αλλά η όποια προσπάθειά του να βρει εργασία δεν έχει αποτέλεσμα. Τέλος, αυτής της μορφής η ανεργία έχει ταυτιστεί με την ανεργία ελλειπούς συνολικής ζήτησης για προϊόντα (Δεδουσόπουλος, 2000). Κερδοσκοπική Ανεργία Η κερδοσκοπική ανεργία αναφέρεται στην περίπτωση όπου κάποιος εργαζόμενος απέχει από την ενεργό δράση, επειδή πιστεύει ότι οι μισθοί που ισχύουν σήμερα στην αγορά έχουν προσωρινά μειωθεί σε σχέση με την προβλεπόμενη μελλοντική τους αγοραστική δύναμη. Ανεργία Αναμονής ή Καιροσκοπική Ανεργία Η ανεργία αναμονής ή καιροσκοπική ανεργία είναι η μορφή ανεργίας που προκύπτει όταν το άτομο βρίσκεται ανάμεσα σε δύο εργασίες περιμένοντας την καλύτερη προσφορά απασχολήσεως, ή περιμένει να εκκενωθεί μια θέση εργασίας η οποία πιστεύει ότι θα του προσφερθεί και την οποία δεν μπορεί να εξασφαλίσει δεχόμενος μείωση της αμοιβής του. Ανεργία Αναζητήσεως Η ανεργία αναζητήσεως προκύπτει όταν ένα άτομο προτιμά την ανεργία απορρίπτοντας μια προσφορά για να μπορέσει να αφιερώσει χρόνο σε αναζήτηση μιας καλύτερης εργασίας είτε από θέμα θέσης και μισθού είτε από θέμα εργασιακού περιβάλλοντος. [65]

66 Εικόνα 3.3: Είδη ανεργίας Τέλος, η ανεργία με κριτήριο τη διάρκειά της ταξινομείται στις εξής κατηγορίες (Ματθαιάκη, 2013): 1. Βραχυχρόνια ανεργία: Διαρκεί ως 6 μήνες. 2. Ανεργία μέσης διάρκειας: Διαρκεί από 6 έως 12 μήνες. 3. Μακροχρόνια ή χρόνια ανεργία: Διαρκεί από 12 μήνες και άνω. 4. Μεγάλη ή μακροχρόνια ανεργία: Διαρκεί πάνω από 24 μήνες. Πάντως, όσο μεγαλύτερο είναι το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κάποιος παραμένει άνεργος, τόσο δυσκολότερη καθίσταται η επαγγελματική του αποκατάσταση. Αυτό συμβαίνει γιατί χάνει τις δεξιότητες του, τη διάθεση για δουλειά και γιατί οι εργοδότες είναι επιφυλακτικοί και απρόθυμοι να προσλάβουν έναν μακροχρόνια άνεργο (Δεδουσόπουλος, 2010) Διαχρονική Μελέτη Ποσοστών της Ανεργίας (ICAP, ) Οι μεταβολές του ποσοστού της ανεργίας κατά την περίοδο στην Ελληνική οικονομία εμφανίζουν αυξητική τάση, καθώς εκείνη τη χρονική περίοδο η τεράστια εισροή μεταναστών και λαθρομεταναστών, η αυξανόμενη είσοδος γυναικών [66]

67 στο εργατικό δυναμικό, και η ενσωμάτωση της χώρας στη νέα παγκόσμια οικονομία, δημιουργούν πιέσεις στην αγορά με αποτέλεσμα το ποσοστό ανεργίας να αυξάνεται κατά 3,75 μονάδες, από 7,02% το 1990 σε 10,76% το Την περίοδο , η ανεργία συνεχίζει να κυμαίνεται πάνω από 8%, όπου σύμφωνα με Έρευνα του Εργατικού Δυναμικού (ΕΕΔ), το 2000 το ποσοστό έφτασε το 12,5%, ενώ το 2002 και το 2004 έφτασε το 11,5%. Από το 2004 και μετά η ανεργία εμφανίζει πτωτική πορεία εως και το 2009, αλλά από εκεί και μετά αυξάνεται αρκετά (9,3%). Παράλληλα, οι γυναίκες εμφανίζουν το μεγαλύτερο πρόβλημα στην εύρεση εργασίας, αφού το 2009 το ποσοστό ανεργίας τους έφτασε το 13,4%, ποσοστό διπλάσιο από των ανδρών (6,0%). Από το 2009 και μετά οι δυσχερείς οικονομικές εξελίξεις στην Ελλάδα έχουν ως αποτέλεσμα οι δείκτες ανεργίας να εμφανίζουν ανοδικές τάσεις. Μάλιστα, παρατηρείται ότι το ποσοστό ανεργίας έχει αυξητική πορεία από το 2010 και μετά, όπου κάνει και την εμφάνισή της η οικονομική κρίση (inews.gr, 2012). Ειδικότερα, σύμφωνα με στοιχεία της Eurostat η Ελλάδα καταγράφεται ως η χώρα με τη μεγαλύτερη αύξηση ανεργίας σε σύγκριση με άλλες χώρες της Ε.Ε μέσα σε ένα χρόνο από το 14,7% τον Ιανουάριο του 2011 σε 21,7% τον Ιανουάριο του Συγκεκριμένα, ο μέσος αριθμός των ανέργων το 2011, αυξήθηκε κατά 6,8% σε σχέση με το 2010, ενώ αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι μειώθηκε ραγδαία ο αριθμός των απασχολούμενων στο διάστημα της τελευταίας δεκαετίας. Ο αριθμός των ανέργων είναι αυξημένος κατά 9,2% το 2011 σε σύγκριση με το Δ' Τρίμηνο του 2010 και κατά 41,3% έναντι του Α' Τριμήνου του 2011 (ICAP, 2011). Από το 2011 ως το 2012 υπήρξε μια μεταβολή της τάξης του 41,3%. Το ποσοστό ανεργίας αυξήθηκε, ο αριθμός των ανγυναικών διπλασιάστηκε φθάνοντας το 26,5%, ενώ των ανδρών υπερτριπλασιάστηκε φθάνοντας το 19,7% το πρώτο τρίμηνο του 2012 (Ματθαιάκη Βέρα, 2013). [67]

68 Εικόνα 3.4: Δείκτης Ανεργίας, Ελλάδα & ΕΕ, Συγκρίνοντας την ανεργία της Ελλάδας με αυτής της ΕΕ, παρατηρούμε ότι η Ελλάδα από χώρα σχεδόν μηδενικής ανεργίας, μετατράπηκε σε μια χώρα έντονης και επίμονης διαρθωτικής ανεργίας. Η μακροχρόνια ανεργία κυμαίνεται σε πολύ υψηλά επίπεδα και διαχρονικά το ποσοστό των μακροχρόνια ανέργων αυξάνει. (Κοντέος, 2008). Η άνοδος των ποσοστών ανεργίας στην Ελλάδα μεταξύ 2008 και 2014 είναι τεράστια, καθώς το ετήσιο ποσοστό ανεργίας αυξήθηκε από 7,8% σε 26,5%. Αντίθετα, την ίδια περίοδο στην Ε.Ε. το ποσοστό ανεργίας αυξήθηκε από 7% σε 10,2%. Συμπεραίνουμε, ότι το χάσμα μεταξύ του ποσοστού ανεργίας στην Ελλάδα και του μέσου ευρωπαϊκού ποσοστού ανεργίας αυξήθηκε δραματικά (Ε.Ι.Ε.Α.Δ., 2014). Πίνακας 2.1: Ποσοστό Ανεργίας, Ελλάδα & ΕΕ, [68]

69 Εικόνα 3.5: Ποσοστό Ανεργίας, Ελλάδα & ΕΕ, Εικόνα 3.6: Ποσοστό Μακροχρόνιας Ανεργίας, Ελλάδα & ΕΕ, Οι εξελίξεις στο μέτωπο της ανεργίας ήταν θετικές για το 2015, εφόσον ο αριθμός των ανέργων βαίνει μειούμενος την τελευταία διετία, γεγονός που οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στα επιδοτούμενα προγράμματα του ΟΑΕΔ. Σύμφωνα με τα στοιχεία της ΕΛ.ΣΤΑΤ., η ανεργία το τελευταίο έτος περιορίστηκε, καθώς το μέσο ετήσιο ποσοστό ανεργίας μειώθηκε σε 24,9% το 2015, έναντι ποσοστού 26,5% το 2014, γεγονός που καταγράφεται μετά από μία πενταετία συνεχούς διόγκωσης της ανεργίας. [69]

70 Εικόνα 3.7: Εξέλιξη του Αριθμού Ανέργων & του Ποσοστού Ανεργίας, ανά Τρίμηνο ( /Α) Εικόνα 3.8: Εξέλιξη του Μέσου Ετήσιου Ποσοστού Ανεργίας, ανά Τρίμηνο ( ) Η ανεργία των νέων (ηλικίες ετών) είναι σε πολύ υψηλά επίπεδα, εφόσον το 49% των ατόμων αυτής της ομάδας δεν βρίσκουν θέση στην αγορά εργασίας. Μάλιστα, τα ποσοστά ανεργίας στις γυναίκες ετών είναι ακόμη πιο υψηλά (54,3%). Από τους 1.174,7 χιλ. άνεργους (Δ Τρίμηνο του 2015), το 41,6% είναι άτομα ηλικίας ετών, ενώ το ποσοστό ανέργων ηλικίας ετών αυξήθηκε σε 29,9% λόγω της δυσκολίας απορρόφησης τους στην αγορά εργασίας. Επίσης, οι ομάδες που κατεξοχήν πλήττονται από την ανεργία είναι οι νέοι και ειδικότερα τα άτομα ηλικίας και 20-24, όπου το ποσοστό ανεργίας τους [70]

71 παραμένει το υψηλότερο, καθώς φτάνει το 61,6% και 47,6%, αντίστοιχα, στο Δ Τρίμηνο του Εικόνα 3.9: Κατανομή των Ανέργων Ανά Ηλικιακή Ομάδα κατά το Α Τρίμηνο του 2016 Εικόνα 3.10: Ποσοστά Ανεργίας κατά Ομάδες Ηλικιών το Α Τρίμηνο του 2014, 2015 & 2016 Το ποσοστό ανεργίας των γυναικών είναι σημαντικά υψηλότερο κατά 7,2 ποσοστιαίες μονάδες σε σύγκριση με αυτό των ανδρών. Συγκεκριμένα, το Δ Τρίμηνο του 2015 η ανεργία στις γυναίκες ανήλθε σε 28,4%, ενώ στους άνδρες σε 21,2% αντίστοιχα. [71]

72 Εικόνα 3.11: Ποσοστά Ανεργίας Ανά Φύλο (Α Τρίμηνο ) Η αδυναμία εύρεσης εργασίας λόγω της κρίσης οδήγησε σε αύξηση του αριθμού των μακροχρόνια ανέργων (εκτός εργασίας για περισσότερους από 12 μήνες). Σύμφωνα με τα τελευταία διαθέσιμα στοιχεία (Δ Τρίμηνο του 2015), από το σύνολο των ανέργων το 74,3% είναι μακροχρόνια άνεργοι, ποσοστό που αυξήθηκε κατά 10,8 ποσοστιαίες μονάδες την τελευταία τριετία, γεγονός που συνιστά σοβαρό κοινωνικό πρόβλημα δεδομένου ότι η μερίδα αυτή των ανέργων δεν δικαιούται επιδόματος. Από την άλλη πλευρά, το 22,6% είναι νέοι άνεργοι, δηλαδή εισέρχονται για πρώτη φορά στην αγορά εργασίας αναζητώντας απασχόληση. Εικόνα 3.12: Ποσοστά Νεών Ανέργων & Μακροχρόνια Ανέργων ( /Α) [72]

73 Όσον αφορά το πλήθος των ανέργων βάσει μορφωτικού επιπέδου (Δ τρίμηνο 2015), στους εγγεγραμμένους ανέργους οι περισσότεροι (448 χιλ.) έχουν απολυτήριο μέσης εκπαίδευσης και ακολουθούν οι πτυχιούχοι Α.Ε.Ι. (238 χιλ. περίπου). Ωστόσο, εξετάζοντας την κατανομή της ανεργίας με βάση το επίπεδο εκπαίδευσης, παρατηρείται ότι το υψηλότερο ποσοστό ανεργίας καταγράφεται στα άτομα που δεν έχουν πάει καθόλου σχολείο (45,6%), ή δεν έχουν ολοκληρώσει την πρωτοβάθμια εκπαίδευση (38%) και ακολουθούν οι απόφοιτοι Γυμνασίου (28,4%). Από την άλλη πλευρά, τα χαμηλότερα ποσοστά ανεργίας παρατηρούνται στην κατηγορία κατόχων διδακτορικού ή μεταπτυχιακού τίτλου (13,7%) και στους πτυχιούχους τριτοβάθμιας εκπαίδευσης (19,6%). Εικόνα 3.13: Κατανομή Ανέργων Βάσει Μορφωτικού Επιπέδου (Α Τρίμηνο 2016) σε χιλ. Άτομα [73]

74 Εικόνα 3.14: Ποσοστά Ανεργίας Επί Εργατικού Δυναμικού, Ανά Επίπεδο Εκπαίδευσης (Α Τρίμηνο ) Η ανεργία σε έξι από τις δεκατρείς Περιφέρειες της Ελλάδος κατά το Δ Τρίμηνο του 2015 ήταν μεγαλύτερη από το μέσο ποσοστό ανεργίας της χώρας. Το υψηλότερο ποσοστό ανεργίας παρατηρείται στην περιφέρεια της Δυτικής Μακεδονίας (27,9%), ενώ ακολουθούν η Δυτική Ελλάδα (28,9%), η Θεσσαλία (28,6%) και η Κρήτη (26,5%). Αντίθετα, στο Νότιο Αιγαίο το ποσοστό ανεργίας συρρικνώθηκε στο 11,4% στο Δ Τρίμηνο του 2015, και κατέστη η περιφέρεια με το χαμηλότερο ποσοστό ανεργίας. [74]

75 Εικόνα 3.15: Ποσοστά Ανεργίας Ανά Περιφέρεια (Δ Τρίμηνο ) Το Α Τρίμηνο του 2016 ο αριθμός των ανέργων μειώθηκε κατά 6,1% σε ετήσια βάση, και το ποσοστό ανεργίας διαμορφώθηκε σε 24,9%, έναντι αντίστοιχου 26,6% του Α τριμήνου του Μάλιστα, από το σύνολο των ανέργων το 40,9% είναι άτομα ηλικίας ετών, ενώ το 31,8% είναι ηλικίας ετών. Παράλληλα, τα ποσοστά ανεργίας στις ηλικιακές ομάδες και ετών διαμορφώθηκαν σε 50,9% και 35,9% αντίστοιχα. Ομοίως, το ποσοστό ανεργίας στις γυναίκες ήταν 29,5%, ενώ στους άνδρες σε 21,2% αντίστοιχα. Το 70,3% είναι οι μακροχρόνια άνεργοι, ενώ το 21,1% είναι νέοι άνεργοι, δηλαδή άτομα που δεν έχουν εργαστεί ποτέ στο παρελθόν. Επιπροσθέτως, βάσει του επιπέδου εκπαίδευσης, τα υψηλότερα ποσοστά ανεργίας, καταγράφονται στα άτομα που δεν πήγαν καθόλου σχολείο (43,9%), ή δεν έχουν ολοκληρώσει την πρωτοβάθμια εκπαίδευση (46,2%), ενώ τα χαμηλότερα ποσοστά αφορούν τους κατόχους διδακτορικού ή μεταπτυχιακού τίτλου (11,3%). Σε περιφερειακό επίπεδο, το υψηλότερο ποσοστό ανεργίας παρατηρείται στην περιφέρεια της Δυτικής Μακεδονίας (33,3%) και της Δυτικής Ελλάδας (30%). Αντίθετα, τα χαμηλότερα ποσοστά εντοπίζονται στο Βόρειο Αιγαίο (18,5%) και τα Ιόνια Νησιά (19,6%). [75]

76 3.6. Αίτια της Ανεργίας Η συνεχής αύξηση του ποσοστού ανεργίας ανάγκασε πληθώρα στατιστικολόγων και οικονομολόγων να προσπαθήσουν να δώσουν κάποιες βασικές εξηγήσεις για τα αίτια της ανεργίας. Έτσι, οι αιτίες όξυνσης του φαινομένου της ανεργίας σχετίζονται με τις επικρατούσες οικονομικές, κοινωνικές, πολιτικές και πολιτιστικές συνθήκες, και είναι οι: Ραγδαία τεχνολογική ανάπτυξη. Η ραγδαία τεχνολογική ανάπτυξη, και η αλλαγή του τρόπου της παραγωγικής διαδικασίας έχουν ως συνέπεια την κατάρτηση πληθώρας θέσεων εργασίας. Η συνεχόμενη αύξηση της παραγωγικότητας πραγματοποιείται από ένα συνεχώς μειούμενο εργατικό δυναμικό. Το εργατικό δυναμικό χωρίζεται πλέον στις εξής ομάδες: την ομάδα υψηλής εξειδίκευσης, με γνώσεις και δεξιότητες, και την ομάδα των εργαζομένων των παλαιών τεχνολογιών οι οποίοι δε χρειάζονται πλέον και περιθωριοποιούνται. Η ζήτηση για ειδικευμένους εργάτες είναι μεγαλύτερη, με αποτέλεσμα οι ανειδίκευτοι εργάτες να οδηγούνται στην ανεργία και τη μείωση μισθών (Krugman, 1994). Έτσι, από την εκτεταμένη χρήση της τεχνολογίας καταργούνται οι θέσεις εργασίας χαμηλού κόστους και παραγωγικότητας, και δημιουργούνται άλλες πιο παραγωγικές, εξειδικευμένες και με υψηλότερο μισθό (Σκουτέλης, 1996). Αστυφιλία (Συγκέντρωση του πληθυσμού στα μεγάλα αστικά κέντρα): Ανάμεσα στο , το ποσοστό απασχόλησης μειώνεται κυρίως λόγω της μετακίνησης του πληθυσμού από τις αγροτικές περιοχές που εμφανίζουν υψηλότερο ποσοστό απασχόλησης, προς τις αστικές περιοχές όπου το ποσοστό απασχόλησης είναι χαμηλότερο (Κορρέ & Κατσίρου, 2013). Απουσία οργανωμένης τεχνικοεπαγγελματικής εκπαίδευσης και κατάρτισης από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση: Το απαρχαιομένο τρέχον εκπαιδευτικό σύστημα θεωρείται υπεύθυνο για την ανισότητα που προκύπτει από την εξειδίκευση των εργαζομένων σε σχέση με τις απαιτήσεις των προσφερόμενων θέσεων εργασίας. Πλέον η σύγχρονη βιομηχανική οικονομία χαρακτηρίζεται από συνεχή τροποποίηση των δομών της απασχόλησης, με αποτέλεσμα να θεωρείται απαραίτητη η ριζική αναμόρφωση του εκπαιδευτικού συστήματος (Σκουτέλης, 1996). [76]

77 Οικονομική Κρίση Μείωση Επενδύσεων & Ανταγωνιστικότητας: Η οικονομική κρίση έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της παραγωγικότητας με άμεση συνέπεια την ανακατανομή του εργατικού δυναμικού και την αύξηση της ανεργίας. Οι οικονομικές πολιτικές που ακολουθούν τα αναπτυγμένα κράτη, έχουν ως αποτέλεσμα τη μείωση του εισοδήματος των εργαζομένων, και τη μείωση της ζήτησης των προϊόντων, καθώς είναι ευρέως γνωστό ότι το εισόδημα αποτελεί τη βασικότερη καταναλωτική βάση. Έτσι, πολλές επιχειρήσεις μειώνουν την παραγωγή τους, με αποτέλεσμα την μείωση της παραγωγικότητάς τους και της ανταγωνιστικότητάς τους, και τη μη αξιοποίηση ενός μεγάλου μέρους του παραγωγικού δυναμικού. Παράλληλα, η εύρυτερη πτώση των χρηματιστηριακών δεικτών και το capital control δυσχεραίνουν την όποια προσπάθεια για περεταίρω επενδύσεις. Υπερεπάρκεια αγαθών: Οι επιχειρήσεις λόγω του συνεχώς αυξανόμενου ανταγωνισμού παράγουν περισσότερα αγαθά από αυτά που μπορεί να καταναλώσει η αγορά. Έτσι, δημιουργείται αναστολή επενδύσεων, παύσεις της διαδικασίας παραγωγής, και απαξίωση του κεφαλαίου με συνέπεια την αύξηση της ανεργίας. Δηλαδή, η υπερεπάρκεια και η αυξημένη προσφορά σε αρκετά αγαθά προέρχεται από την υπερπαραγωγή και τη μειωμένη ζήτηση. Η υπερπαραγωγή κεφαλαίου είναι η υπέρ συσσώρευση κεφαλαίου, η οποία ορίζεται ως αύξηση του κεφαλαίου που μένει αδρανές με μικρό ποσοστό κέρδους. Έτσι, στην υπέρ συσσώρευση, το κεφάλαιο δεν μπορεί να εκμεταλλευτεί την εργασία, με αποτέλεσμα το σταμάτημα της διαδικασίας παραγωγής (Ντάνη, ). Συγκεκριμένα, οι συνέπειες της υπερπαραγωγής είναι: α) η στασιμότητα ή ο περιορισμός της παραγωγής, β) η καταστροφή του πλεονάζοντος κεφαλαίου, και γ) η ανεργία. Ελλιπής επαγγελματικός προσανατολισμός: Είναι ευρέως γνωστό ότι ο σχολικός προσανατολισμός οδηγεί τους νέους στα ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα. Όμως, οι τρέχουσες κοινωνικοοικονομικές συνθήκες έχουν ως αποτέλεσμα τη μη πλήρη αφομοίωση όλων αυτών στην παραγωγική δραστηριότητα, με αποτέλεσμα ο αριθμός των πτυχιούχων άνεργων να αυξάνεται με ταχύτατο ρυθμό. Παράλληλα, υπάρχει και η κοινωνική αντίληψη που υποτιμά αυτούς που ασχολούνται με τη χειρωνακτική εργασία, [77]

78 και αναδεικνύει κοινωνικά τους κατόχους επιστημονικού τίτλου(ντάνη, ). Εισροή μεταναστών και προσφύγων: Το συνολικό εργατικό δυναμικό αυξάνεται λόγω της εισόδου των γυναικών στο κόσμο της εργασίας, καθώς και την εισροή μεταναστών στην Ελλάδα (Λυμπεράκη, 2005). Το φαινόμενο της μετανάστευσης, είναι ο σημαντικότερος λόγος ύπαρξης της ανεργίας καθώς δημιουργείται από τη μη ύπαρξη ευκαιριών εργασίας στην πατρίδα των μεταναστών. Οι μετανάστες θέλουν να βελτιώσουν το βιοτικό τους επίπεδο και καταλαμβάνουν θέσεις εργασίας τις οποίες κατείχαν προηγουμένως Έλληνες οδηγώντας τους στην ανεργία. Παράλληλα, οι παράνομοι μετανάστες που δεν έχουν δηλωθεί στη χώρα υποδοχής: (α) αυξάνουν το εργατικό δυναμικό της χώρας με αποτέλεσμα την ενίσχυση της ανεργίας των ημεδαπών, (β) δεν φορολογούνται αφού είναι σαν να μην υπάρχουν, και (γ) δημιουργούν πτωτικές πιέσεις στους μισθούς και τις αμοιβές. Παγκοσμοιοποίηση: Οι επιδράσεις της παγκοσμιοποίησης, δηλαδή η αύξηση του μεγέθους του διεθνούς εμπορίου και η εντατικοποίηση του διεθνούς ανταγωνισμού, αποτελούν σημαντικό παράγοντα αρνητικής επίδρασης στην απασχόληση. Τα εισαγόμενα προϊόντα από τις αναπτυσσόμενες χώρες με ιδιαίτερα χαμηλό κόστος εργασίας υποβαθμίζουν τη διεθνή ανταγωνιστικότητα των ημιδαπών προϊόντων, με αποτέλεσμα να κλείνουν οι ημιδαπές βιομηχανίες και να αυξάνεται η ανεργία. Έλλειψη εξειδίκευσης στο νέο περιβάλλον καταμερισμού της εργασίας Κατάργηση παραδοσιακών επαγγελμάτων 3.7. Συνέπειες της Ανεργίας Τα προβλήματα που προκύπτουν από το φαινόμενο της ανεργίας είναι πολύπλοκα και εξαρτώνται από ποικίλους παράγοντες, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται άμεσες ή έμμεσες, βραχυπρόθεσμες ή μακροπρόθεσμες, οικονομικές, πολιτικές, κοινωνικές, ή ψυχολογικές συνέπειες. [78]

79 Οικονομική καχεξία και αδυναμία κάλυψης βασικών και μη αναγκών Τα προβλήματα που καλείται να αντιμετωπίσει ο άνεργος απορρέουν από τη θέση που κατέχει η εργασία στη σύγχρονη κοινωνία. Η έλλειψη της εργασίας, ως μέσο απόκτησης αγαθών και υπηρεσιών, έχει ως αποτέλεσμα την έλλειψη του βασικού εισοδήματος και τη μείωση της αγοραστικής δύναμης. Αυτό σημαίνει ότι σε μια κοινωνία όπου το ποσοστό ανεργίας είναι υψηλό υπάρχει τεράστιο πρόβλημα φτώχειας. Ειδικότερα, αυξάνονται οι οικονομικές και κοινωνικές ανισότητες σε όλους τους τομείς της ζωής (στέγαση, ένδυση, εκπαίδευση, ψυχαγωγία), και αυξάνεται η κοινωνική αντιπαλότητα, είτε εκδηλώνεται είτε όχι (Κορρέ & Κατσίρου, 2013). Τέλος, τα άτομα που δεν εργάζονται δεν έχουν ούτε ασφάλιση, ούτε ιατροφαρμακευτική περίθαλψη. Βία και εγκληματικότητα Πολυάριθμες έρευνες έχουν αποδείξει ότι η ανεργία μπορεί να οδηγήσει το άτομο στην παρανομία προκειμένου να λύσει το οικονομικό του πρόβλημα. Η σκληρή πραγματικότητα και το ένστικτο της αυτοσυντήρησης γεννούν αντικοινωνικές συμπεριφορές, και το αίσθημα της κοινωνικής αδικίας, με αποτέλεσμα ο άνεργος να γίνεται επιρρεπής στην παρανομία και στις εγκληματικές πράξεις (Κορρέ & Κατσίρου, 2013). Άλλοι ερευνητές, υποστηρίζουν ότι η ανεργία και η κακοπληρωμένη εργασία καθιστούν ιδιαίτερα ελκυστικές τις παράνομες επιδιώξεις. Όταν ένα μεγάλο μέρος του πληθυσμού είναι άνεργο, εμφανίζονται φαινόμενα ανομίας, χαλάρωσης της κοινωνικής συνοχής, και αποδυνάμωσης των κοινωνικών δεσμών. Εφόσον η εργασία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας των κοινωνικών αξιών, διαταράσσεται η διαδικασία της κοινωνικοποίησης (Σκουτέλης, 1996). Η μακροχρόνια ανεργία θεωρείται η βασικότερη αιτία της φτώχειας, του αλκοολισμού, της διάλυσης της οικογένειας και της τοξικομανίας. Δημιουργία Αισθήματος Ενοχής και Περιθωριοποίηση του Ατόμου. Το φαινόμενο της ανεργίας αντιμετωπίζεται έντονα από τα νέα άτομα με συνέπεια να δημιουργούνται συναισθήματα αβεβαιότητας, συμπλέγματα κατωτερότητας, ανασφάλειας, απαισιοδοξία και άγχος. Ο άνεργος καλείται να αντιμετωπίσει τα αρνητικά αισθήματα της ενοχής για την απώλεια της εργασίας και του εισοδήματος του, της φθοράς και της περιθωριοποίησης, της κοινωνικής [79]

80 αποξένωσης και της ψυχολογικής κατάπτωσης καθώς αναγκάζεται να ζει εις βάρος της οικογένειάς του. Δεν μπορούν να ζήσουν με αυτάρκεια και να ικανοποιήσουν τις βασικές ανάγκες τους. Βρίσκονται σε ένα φαύλο κύκλο χαμηλού εισοδήματος, κοινωνικής περιθωριοποίησης, κοινωνικού στίγματος, χαμηλού ηθικού, απώλειας αυτοπεποίθησης, ανασφάλειας, αβεβαιότητας για το μέλλον και κινδύνου βλάβης της ψυχοσωματικής του υγείας (Κορρέ & Κατσίρου, 2013). Οι άνεργοι αδυνατούν να συμμετάσχουν σε πολιτιστικές και άλλες δραστηριότητες, εντείνοντας το ήδη υπάρχων αίσθημα απομόνωσης. Απώλεια Παραγωγικών Δυνάμεων Η εργασία που θα μπορούσαν να προσφέρουν οι άνεργοι θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στη παραγωγική διαδικασία και να μην αποτελούσε απώλεια παραγωγικών δυνάμεων. Η οικονομική ανάπτυξη επηρεάζεται αρνητικά από τον παραγκωνισμό ενός μεγάλου μέρους του εργατικού δυναμικού. Επιβάρυνση του κρατικού Προϋπολογισμού Το συνεχώς αυξανόμενο ποσοστό ανεργίας οφείλεται στο κλείσιμο πολυάριθμων επιχειρήσεων που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των θέσεων εργασίας και οδηγούν χιλιάδες πολίτες στην ανεργία. Έτσι, επιβαρύνεται ο κρατικός προϋπολογισμός από την παροχή επιδομάτων ανεργίας. Ωστόσο, η ανεργία έχει και έμμεσο κόστος. Το κράτος χάνει ένα σημαντικό αριθμό πόρων από τη μείωση των εισφορών στα ασφαλιστικά ταμεία, καθώς οι άνεργοι δεν καταβάλλουν εισφορές. Περιορίζονται τα φορολογικά εσόδα του δημοσίου, εφόσον οι άνεργοι δεν έχουν φορολογητέο εισόδημα, με αποτέλεσμα να καταβάλουν λιγότερους άμεσους φόρους. Ένταση Μετανάστευσης Λόγω του φαινομένου της ανεργίας, ιδιαίτερα στους νέους ανθρώπους, αυξάνεται ο αριθμός των νέων που αναγκάζονται να μεταναστεύσουν σε άλλες χώρες, για την αναζήτηση ενός καλύτερου βιοτικού επιπέδου, και καλύτερων συνθηκών διαβίωσης. [80]

81 3.8. Τρόποι αντιμετώπισης Ανεργίας Η ανάγκη καταπολέμησης του φαινομένου της ανεργίας πρέπει να αποτελεί πρωταρχικό σκοπό για όλες τις κοινωνίες. Η επίλυση του προβλήματος της ανεργίας σχετίζεται άμεσα με την οικονομική ανάπτυξη, και την πρόοδο της κοινωνίας. Κατά καιρούς, έχουν προταθεί διάφορα μέτρα για την αντιμετώπιση της ανεργίας. Η φιλοσοφία των μέτρων αυτών και των προτάσεων ποικίλλει ανάλογα με τις γενικότερες πολιτικές αντιλήψεις και τις θέσεις που επικρατούν. Νέες Νομοθετικές Ρυθμίσεις Η κυβέρνηση πρέπει να συμμετέχει ενεργά στην καταπολέμηση της ανεργίας μέσω της λήψης δημοσιονομικών και νομισματικών μέτρων για την αύξηση της συνολικής ζήτησης, αλλά και την αύξηση της ευελιξίας της αγοράς εργασίας. Τα δημοσιονομικά μέτρα περιλαμβάνουν την αύξηση των κρατικών δαπανών για δημόσια έργα, και την προώθηση των μεγάλων επενδυτικών έργων, με απώτερο σκοπό την άμεση αύξηση της απασχόλησης και των εισοδημάτων. Αντίθετα, τα νομισματικά μέτρα αποβλέπουν στη μείωση του επιτοκίου, την ενίσχυση των ιδιωτικών επενδύσεων, της παραγωγής, και της απασχόλησης. Παράλληλα, θα πρέπει να απαγορευτεί να περιοριστούν οι υπερωρίες, να μειωθούν οι ώρες εργασίας χωρίς περαιτέρω πτώση των μισθών, αλλά και να μειωθεί το συνταξιοδοτικό όριο των εργαζομένων. Βασικό επιχείρημα υπέρ αυτών των μέτρων είναι ότι με αυτόν τον τρόπο απελευθερώνονται πολλές θέσεις εργασίας. Ωστόσο, οι πρόωρα συνταξιοδοτηθέντες ή εκείνοι που θα έχουν περισσότερο χρόνο εξαιτίας της μείωσης των ωραρίων τους, ενδέχεται να καταλάβουν άλλες θέσεις εργασίας, π.χ. μερικής απασχόλησης. Αύξηση των Επενδύσεων Προκειμένου οι επιχειρήσεις να αυξήσουν τις επενδύσεις τους, και να επεκτείνουν την οικονομική δραστηριότητα τους, πρέπει μέσω των αγορών να αυξηθεί η ανταγωνιστική πίεση πάνω στις επιχειρήσεις και το γενικότερο οικονομικό περιβάλλον να γίνει φιλικό προς την επιχειρηματική δραστηριότητα. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί μέσω (Ντανή, ): 1. της ενίσχυσης του ανταγωνισμού, της παροχής κινήτρων, της εξάλειψη των φραγμών στην ίδρυση νέων επιχειρήσεων, και τη μείωση της φορολογίας. [81]

82 Επίσης, άλλα μέτρα αποτελούν η σύσταση κατάλληλης υπηρεσίας για τον έλεγχο της οικονομικής διαχείρισης του ευρέως δημόσιου τομέα, η ενεργοποίηση του νόμου για τις συμπράξεις δημόσιου και ιδιωτικού τομέα, και η υιοθέτηση του απαραίτητου θεσμικού πλαισίου για τη σωστή λειτουργία των δημόσιων επιχειρήσεων και οργανισμών. 2. της μετάβασης σε μια οικονομία που θα βασίζεται στη γνώση, στη χρήση νέων τεχνολογιών, και στην επένδυση σε ανθρώπινο κεφάλαιο και έρευνα και ανάπτυξη. Όσον αφορά τη διευκόλυνση της μετάβασης σε μια οικονομία της γνώσης, θα πρέπει να αυξηθούν οι δαπάνες έρευνας και ανάπτυξης ως ποσοστό του ΑΕΠ. 3. της αύξησης της παραγωγικότητας, και της βελτίωσης του επιχειρηματικού περιβάλλοντος. Σε όλα αυτά μπορεί να συμβάλει ενεργά ο εκσυγχρονισμός της δημόσιας διοίκησης για να γίνει πιο αποτελεσματική και πιο φιλική στους πολίτες, αλλά και τις επιχειρήσεις και τους εργαζομένους. Ωστόσο, πρέπει να αντιμετωπιστεί αποτελεσματικά και το πρόβλημα της γραφειοκρατίας, το οποίο δυσκολεύει αρκετά τις επιχειρήσεις που επιθυμούν να ξεκινήσουν νέες επιχειρηματικές δραστηριότητες. Μείωση της Διαρθρωτικής Ανεργίας Ένα σημαντικό μέτρο αποτελεί η μείωση της διαρθρωτικής ανεργίας με την προσαρμογή του εκπαιδευτικού συστήματος στις ανάγκες της αγοράς, και την εφαρμογή του κατάλληλου επαγγελματικού προσανατολισμού. Κατά συνέπεια κρίνεται απαραίτητη η προσαρμογή της εκπαίδευσης και η δυνατότητα βελτίωσης της κατάρτισης όταν αυτό θεωρείται απαραίτητο. Οι άνεργοι θα πρέπει να επανεκπαιδεύονται και να καταρτίζονται επαγγελματικά με σκοπό την απόκτηση επαγγελματικών γνώσεων απαραίτητων για την απασχόληση τους στις υπάρχουσες κενές θέσεις εργασίας (Γριβαλάκη & Σταμούλη, 2012). Άλλο μέτρο για την αντιμετώπιση της διαρθρωτικής ανεργίας αποτελεί η παροχή κινήτρων για τη μετακίνηση ορισμένων ειδικοτήτων εργαζομένων σε περιοχές όπου υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση. Αυτό αφορά συνήθως τους εργάτες γης σε περιόδους συγκομιδής της παραγωγής και είναι προσωρινού χαρακτήρα. Πιο μόνιμο χαρακτήρα έχουν τα κίνητρα που παρέχονται υπό τη μορφή επιδοτήσεων ή δανείων, για τη μετακίνηση νέων ζευγαριών ή άλλων κατηγοριών εργαζομένων ή [82]

83 μικροεπιχειρηματιών στην περιφέρεια, όπου είναι και στρατηγικά επιθυμητή η ανάπτυξη και η μετοίκιση πληθυσμού. Μείωση της Ανεργίας Τριβής Προκειμένου να αντιμετωπιστεί η ανεργία τριβής, κρίνεται απαραίτητη η λειτουργία γραφείων ευρέσεως εργασίας, που έχουν ως βασικό τους σκοπό την πληροφόρηση των ανέργων για την ύπαρξη κενών θέσεων εργασίας στην ειδικότητά τους και, τους εργοδότες για την ύπαρξη ανέργων σε ειδικότητες που χρειάζονται τη δεδομένη στιγμή (Γριβαλάκη & Σταμούλη, 2012). Σύγχρονος Επαγγελματικός Προσανατολισμός στο σχολείο Η συνεχής εκπαίδευση και επαγγεματική κατάρτιση σύμφωνα με τις ανάγκες της αγοράς έχουν ως αποτέλεσμα την επίτευξη θετικών οικονομικών αποτελεσμάτων, κοινωνικών στόχων και προτεραιοτήτων. Το κράτος πρέπει να ασχοληθεί εκτενώς με θέματα, όπως: Η πρόωρη εγκατάλειψη του σχολείου. Η μετάβαση από το σχολείο στην ενεργό ζωή. Η επένδυση στην απόκτηση επαγγελματικών προσόντων. Τόνωση Επιχειρηματικής Δραστηριότητας Θα πρέπει να γίνουν οι απαραίτητες ενέργειες προκειμένου να τονωθεί η επιχειρηματική δραστηριότητα με βασικό σκοπό την αύξηση της απασχόλησης μέσω της ενίσχυσης της επιχειρηματικής πρωτοβουλίας των ίδιων των ανέργων, αλλά και τη δημιουργία νέων θέσεων εργασίας (Γριβαλάκη & Σταμούλη, 2012). Σημαντική είναι η χρηματοδότηση εκείνων που θέλουν να εγκατασταθούν στην επαρχία, για να ανοίξουν νέες παραγωγικές εργασίες, προστατεύοντας τα εγχώρια προϊόντα και θέτονας υψηλούς δασμούς στα εισαγόμενα. Ενεργός Ρόλος του ΟΑΕΔ Ο πιο παραδοσιακός τρόπος για τη βραχυπρόθεσμη κάλυψη των ανέργων είναι η επιδότησή τους για διάστημα 3 έως 14 μηνών ή και περισσότερο. Επειδή, όμως, η επιδότηση των ανέργων θεωρείται αθητικό μέτρο, θα πρέπει να γίνει χρήση ενός πιο ενεργητικού μέτρου όπως είναι η επιδότηση της εργασίας (Ντανή, [83]

84 2010). Ο Οργανισμός Απασχόλησης Εργατικού Δυναμικού (ΟΑΕΔ) θα πρέπει να συνεχίσει να παρέχει επιδοτούμενα προγραμμάτα απασχόλησης επιδοτώντας τους εργοδότες να προσλάβουν ανέργους, να καταβάλλει επιδόματα ανεργίας, να διευρύνει τα προγράμματα επιδότησης νέων θέσεων εργασίας, και να συνεχίσει να βρίσκει δουλειά σε ανέργους (Γριβαλάκη & Σταμούλη, 2012). [84]

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΕΡΕΥΝΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΠΟΣΟΣΤΟΥ ΑΝΕΡΓΙΑΣ 4.1. Εισαγωγή Στη συγκεκριμένη εργασία ασχολούμαστε με δείκτες ανεργίας και θα γίνει πρόβλεψη του σημείου που θα εμφανιστεί το μεγαλύτερο ποσοστό ανεργίας μελλοντικά. Ωστόσο, πριν γίνει ανάλυση του μοντέλου βελτιστοποίησης κρίνεται απαραίτητο να αναφερθούν ορισμένες έρευνες που έχουν ήδη διεξαχθεί και ασχολούνται με τις προβλέψεις και την ανάλυση του ποσοστού ανεργίας στην Ελλάδα. Στην πρώτη έρευνα αναλύεται η σχέση της Εθνικής Ανεργίας με την Περιφερειακή. Στη δεύτερη έρευνα αναλύεται η πρόβλεψη του ποσοστού ανεργίας διαφόρων χωρών με τη Μέθοδο της Εξομάλυνσης, τέλος στην τρίτη αναλύεται πως οι μεταβολές σε ορισμένα μακροοικονομικά μεγέθη επηρεάζουν το ποσοστό ανεργίας Σχέση Εθνικής με Περιφερειακή Ανεργία Σε αυτή την εργασία μελετήθηκε η σχέση της εθνικής με τη περιφερειακή ανεργία (Black & Slatter, 1975, Clark, 1978) μέσω της χρήσης ποσοτικών μεθόδων, όπως είναι οι τεχνικές Box - Jenkins, ή η παλινδρόμηση OLS (Johnson, 1979). Αυτή η έρευνα πραγματοποιήθηκε προκειμένου να δειχθεί αν μια εθνική πολιτική πλήρους απασχόλησης θα επηρεάσει θετικά τις περιφέρειες που εμφανίζουν υψηλά ποσοστά ανεργίας (Clark, 1979). Αυτή η σχέση μελετάται για να προκύψουν χρήσιμα συμπεράσματα για την εφαρμογή πολιτικών για τη μείωση της ανεργίας και την ελαχιστοποίηση των επιδράσεων των διεθνών διαρθρωτικών αλλαγών. Συγκεκριμένα, διερευνάται η εξέλιξη της ανεργίας στην Ελλάδα σε εθνικό και περιφερειακό επίπεδο, καθώς και η σχέση μεταξύ των περιφερειακών και εθνικών ποσοστών ανεργίας. [85]

86 Μέθοδος Απλής Γραμμικής Παλινδρόμησης Προκειμένου να διερευνηθεί η σχέση μεταξύ περιφερειακής και εθνικής ανεργίας, γίνεται χρήση της απλής γραμμικής παλινδρόμησης όπου το εθνικό ποσοστό ανεργίας χρησιμοποιείται ως ερμηνευτική μεταβλητή και το αντίστοιχο ποσοστό ανεργίας της κάθε περιοχής i ως εξαρτημένη μεταβλητή. Το μοντέλο για κάθε περιφέρεια i έχει την εξής μορφή: Y i = a i + b i Χ + e, όπου : Y i = το ποσοστό ανεργίας στην περιοχή i Χ = το ποσοστό εθνικής ανεργίας a i, b i = οι συντελεστές παλινδρόμησης e = κατάλοιπα Ο συντελεστής b i αναπαριστά την ευαισθησία του ποσοστού ανεργίας στην περιοχή i στις αντίστοιχες μεταβολές της εθνικής ανεργίας. Ειδικότερα: Αν b i = 1, τότε μια μεταβολή στο ποσοστό της εθνικής ανεργίας οδηγεί σε μια ισόποση μεταβολή του ποσοστού ανεργίας στην περιοχή i Αν b i < 1, τότε μια μεταβολή στο ποσοστό της εθνικής ανεργίας προκαλεί μια μικρότερη μεταβολή στο ποσοστό ανεργίας στην περιοχή i. Αν b i > 1, τότε το ποσοστό ανεργίας στην περιοχή i αντιδρά πιο έντονα στις μεταβολές του ποσοστού της εθνικής ανεργίας. Όσον αφορά το σταθερό όρο a i ισχύουν τα εξής: Αν a i = 0, τότε εν συγκρίσει με την εθνική κατάσταση δεν υπάρχει συσσώρευση ανεργίας στην περιοχή i, Αν a i 0, τότε: o Αν a i > 0, τότε η συσσώρευση της ανεργίας στην περιοχή i είναι πάνω από το μέσο όρο, ενώ [86]

87 o αν a i < 0, τότε το ποσοστό ανεργίας στην περιοχή i βρίσκεται κάτω από το μέσο όρο. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι χρονοσειρές της εθνικής ανεργίας δεν είναι ανεξάρτητες από τις αντίστοιχες της περιφερειακής ανεργίας, και για αυτό χρησιμοποιούνται οι συγκεκριμένες εξισώσεις παλινδρόμησης. Μάλιστα, το ποσοστό της περιφερειακής ανεργίας συμμετέχει σε μεγάλο βαθμό στη χρονοσειρά της εθνικής ανεργίας, ειδικότερα όταν πρόκεται για μια πολυπληθής περιοχή σε σύγκριση με το συνολικό αριθμό κατοίκων χώρας, καθώς οι εθνικοί οικονομικοί κύκλοι επηρεάζονται από τους αντίστοιχους περιφερειακούς (Chisholm, Frey & Hagget, 1971). Τα πρωτογενή δεδομένα που σχετίζονται με το εργατικό δυναμικό και την ανεργία, με τα οποία υπολογίστηκε το ποσοστό ανεργίας [(άνεργοι / εργατικό δυναμικό) x 100] προέρχονται από την Έρευνα Εργατικού Δυναμικού για το Δ τρίμηνο των ετών και διεξάγεται από την Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) Διερεύνηση της Σχέσης Εθνικής Περιφερειακής Ανεργίας στην Ελλάδα Η ανάλυση παλινδρόμησης της εθνικής ανεργίας σε σχέση με την περιφερειακή ανεργία επιβεβαιώνει τις διάφορες περιφερειακές διαφοροποιήσεις στην Ελλάδα. Τα αναλυτικά αποτελέσματα από την εφαρμογή των γραμμικών συναρτήσεων παλινδρόμησης για κάθε περιοχή παρουσιάζεται στον Πίνακα 4.1 και η αξιολόγηση των μοντέλων που προκύπτουν από αυτή την ανάλυση στον πίνακα 4.2. [87]

88 Πίνακας 4.1: Αποτελέσματα Ανάλυσης Παλινδρόμησης για τη Διερεύνηση της Επίδρασης της Εθνικής Ανεργίας στην Περιφερειακή Ανεργία για [88]

89 Πίνακας 4.2: Αξιολόγηση Γραμμικής Σχέσης Εθνικής Περιφερειακής Ανεργίας Η συνολική επεξηγηματική ικανότητα της εθνικής σχετικά με τη περιφερειακή ανεργία είναι πολύ μεγάλη για όλες τις περιοχές εκτός από τα Ιόνια Νησιά και το Νότιο Αιγαίο που κυμαίνονται σε μέτρια επίπεδα (0,5 < ADJ R 2 < [89]

90 0.6). Ο συντελεστής R 2 δείχνει το βαθμό στον οποίο το ποσοστό της εθνικής ανεργίας εξηγεί τη διακύμανση της ανεργίας της κάθε περιοχής. Μια βασική διαπίστωση είναι η διερεύνηση της σχέσης μεταξύ της εθνικής και περιφερειακής ανεργίας και ότι όλες οι περιφέρειες παρουσιάζουν στατιστικά σημαντικούς συντελεστές b. O όρος a δεν παρουσιάζει στατιστική σημαντικότητα σε εξισώσεις 5 περιοχών (Πίνακας 4.1), πράγμα το οποίο σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχουν κάποιες επιφυλάξεις για τα συμπεράσματα που εξάγονται. Τέλος, μόνο στη Θεσσαλία υπάρχει σαφής ένδειξη της αυτοσυσχέτισης, δεδομένου ότι η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης αποτελεί τη βασική κριτική στην εφαρμογή των μοντέλων για τον προσδιορισμό των επιπτώσεων της εθνικής ανεργίας σε σύγκριση με την περιφερειακή (Clark, 1979). Με βάση το συντελεστή b μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με την ευαισθησία των ποσοστών της περιφερειακής ανεργίας σχετικά με τις εθνικές μεταβολές. Οι περιοχές που αντιδρούν εντονότερα στις εθνικές τάσεις όσον αφορά την ανεργία (b > 1) είναι (Πίνακας 4.3): Κεντρική Μακεδονία (b = 1.119) Αττική (b = 1.128) Αντίθετα, οι περιφερειακές μεταβολές στην ανεργία είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες εθνικές για τις περιφέρειες (b < 1): Ανατολική Μακεδονία (b = 0.807) Δυτική Μακεδονία (b = 0.920) Ήπειρος (b = 0.884) Θεσσαλία (b = 0.849) Ιόνια Νησιά (b = 0.458) Πελοπόννησος (b = 0.798) Βόρειο Αιγαίο (b = 0.765) Νότιο Αιγαίο (b = 0.542) Κρήτη (b = 0.939) [90]

91 Τέλος, σύμφωνα με την ανάλυση των περιοχών της Δυτικής Ελλάδα, της Κεντρικής Ελλάδας και της Εύβοιας, η ανεργία ακολουθεί τις εθνικές τάσεις (b = 1, b = και b = 1.058). Πίνακας 4.3: Βαθμός Ευαισθησίας της Περιφερειακής Ανεργίας στις Εθνικές Μεταβολές Σύμφωνα με την τιμή του σταθερού συντελεστή α, οι περιοχές ομαδοποιούνται στις ακόλουθες κατηγορίες: Δυτική Ελλάδα (α = 0.263), Πελοπόννησος (α = 0.353) και Βόρειο Αιγαίο (α = 0.404), οι οποίες δεν παρουσιάζουν μεγάλη συγκέντρωση ανέργων σε σύγκριση με τα εθνικά επίπεδα (α 0). Οι περιφέρειες της Ανατολικής Μακεδονίας (α = 2.774), Δυτικής Μακεδονίας (α = 5.212), Ηπείρου (α = 2.639), Θεσσαλίας (α = 2.144), Ιονίων Νήσων (α = 6.802), Νοτίου Αιγαίου (α = 5.495) και Κεντρικής Ελλάδας (α = 0.739) παρουσιάζουν μεγαλύτερη συσσώρευση ανέργων σε σύγκριση με τον εθνικό μέσο (α > 0), ενώ οι άλλες περιοχές παρουσιάζουν συσσώρευση, αλλά σε επίπεδα χαμηλότερα από το μέσο όρο (Κεντρική Μακεδονία α = 0.808, Αττική α = 1.805, Κρήτη α = 1.276) (Πίνακας 4.4). [91]

92 Πίνακας 4.4: Συσσώρευση Βαθμού Ανεργίας στις Περιφέρειες σε Σχέση με τα Εθνικά Επίπεδα Αξιολόγηση Αποτελεσμάτων Έρευνας Οι περιφέρειες της Κεντρικής Μακεδονίας και της Αττικής, οι οποίες συσσωρεύουν ένα αρκετά μεγάλο μέρος του πληθυσμού της χώρας και της οικονομικής δραστηριότητας του δευτερογενή και τριτογενή τομέα, επηρεάζονται σε τεράστιο βαθμό από τις μεταβολές στο ποσοστό της εθνικής ανεργίας (πιο γρήγορη αύξηση της ανεργίας). Ωστόσο, οι εν λόγω περιοχές ωφελούνται περισσότερο από τις εθνικές πολιτικές που ενισχύουν την απασχόληση. Αντίθετα, η οικονομική κρίση, το χρέος και τα μέτρα που λαμβάνονται, προκαλούν έντονες διαφοροποιήσεις στις περιφερειακές αγορές εργασίας. Οι περιοχές της Δυτικής και Κεντρικής Ελλάδας ακολουθούν τις εθνικές μεταβολές όσον αφορά τα ποσοστά ανεργίας και η αντίδρασή τους είναι λιγότερο έντονη, σε αντίθεση με τις προηγούμενες πολυπληθυσμιακές περιφέρειες, πράγμα που πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά την εφαρμογή των πολιτικών για την απασχόληση ή τη λήψη νέων μέτρων που επηρεάζουν την ανεργία. Στις άλλες περιοχές της χώρας, η ανεργία αντιδρά λιγότερο έντονα σε συνάρτηση με τις εθνικές μεταβολές. Πρώτον, οι νησιωτικές περιοχές, οι οποίες λόγω της απομόνωσής τους προσανατολίζονται στη γεωργία (Ιόνια Νησιά) ή τον τουρισμό (Νότιο Αιγαίο), εμφανίζουν περιορισμένο τομέα υψηλής τεχνολογίας, έλλειψη ικανοποιητικού δικτύου τηλεπικοινωνιών και έλλειψη δυναμικών αστικών κέντρων. Η Πελοπόννησος, παρότι δεν είναι ένα νησί, παρουσιάζει τα ίδια χαρακτηριστικά και εμφανίζει έντονες ενδοπεριφερειακές διαφοροποιήσεις εις βάρος των νομών που [92]

93 βρίσκονται στο νοτιότερο τμήμα της. Η Ανατολική Μακεδονία και Θράκη εμφανίζουν τα χαρακτηριστικά των περιφερειών που βρίσκονται στα σύνορα με ποικίλα κοινωνικο-οικονομικά προβλήματα, ενώ η Ήπειρος παρουσιάζει διαρθρωτικά προβλήματα και δεν μπορεί να ακολουθήσει τις εθνικές αναπτυξιακές τάσεις. Αυτή την περίοδο, όμως, η τεράστια αύξηση της ανεργίας στην Ελλάδα, και η σχετική αδράνεια των εν λόγω περιφερειών στις εθνικές τάσεις, αποτελούν στοιχεία περαιτέρω αύξησης της ανεργίας. Είναι χαρακτηριστικό ότι όλες οι παραπάνω περιοχές, εκτός από εκείνες του Νοτίου Αιγαίου και της Κρήτης, χαρακτηρίζονται από ένα σχετικά χαμηλό ρυθμό ανάπτυξης. Άλλωστε, οι περισσότερες αναπαριστούν μια μεγάλη συσσώρευση ανέργων σε συνάρτηση με τα ποσοστά εθνικής ανεργίας σύμφωνα με τα αποτελέσματα της παλινδρόμησης. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί ότι η Δυτική Μακεδονία και η Κρήτη έχουν συντελεστή b, λίγο μικρότερο από 1, καθώς σχεδόν ακολουθούν τις εθνικές τάσεις. Μάλιστα, στη Μακεδονία ο συντελεστής b είναι λίγο μικρότερος από 1 γιατί η περιοχή δεν παρουσιάζει μεγάλο βαθμό απομόνωσης και είναι γεωγραφικά κοντά στη Θεσσαλονίκη. Αντίστοιχα, η Κρήτη που η βασική της οικονομική δραστηριότητα στηρίζεται κυρίως στις εξαγωγές, έχει τοπικά πλεονεκτήματα ανάπτυξης (σημαντικά αστικά κέντρα, τεχνολογία, δυναμική γεωργία) και παρουσιάζει χαρακτηριστικά επιτυχημένης ενδογενούς ανάπτυξης. Από τα αποτελέσματα της έρευνας παρατηρείται διαφορετική αντίδραση των περιφερειών στις εθνικές μεταβολές, όπου στις πιο απομονωμένες και αναπτυξιακά σε μειονεκτική θέση περιοχές της Ελλάδας παρατηρείται μια σχετική αδράνεια. Πράγματι, η ήπια έως έντονη διαφοροποίηση του ποσοστού της περιφερειακής ανεργίας σε σχέση με το αντίστοιχο της εθνικής καθορίζει την κατεύθυνση μιας πολιτικής που θα παρέχει λύσεις για τη μαζική ανεργία, που αντιμετωπίζουν η Ελληνική κοινωνία. Τέλος, οι παραδοσιακές πολιτικές της «πάνω-κάτω ανάπτυξης» δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα της ανεργίας, που αυξάνεται διαρκώς και οδηγεί δυναμικά τμήματα της κοινωνίας σε κοινωνικό αποκλεισμό. Επομένως, πρέπει να βρεθούν λύσεις προκειμένου να αυξηθεί η απασχόληση και να καταπολεμηθεί η ανεργία καθώς τα ήδη υπάραχοντα μέτρα κοινωνικής πολιτικής δεν δίνουν λύσεις καθώς έχουν σχεδιαστεί για εθνικό επίπεδο. Για αυτό πρέπει να δημιουργηθεί ένα αποκεντρωμένο σύστημα, το οποίο θα λαμβάνει πάντα υπόψη του τους εθνικούς και διεθνείς παράγοντες. [93]

94 4.3. Πρόβλεψη Ποσοστού Ανεργίας Με τη Μέθοδο Εξομάλυνσης Ο σκοπός αυτής της εργασίας (Dunici, Casni, Zmuk, 2014) ήταν η επιλογή της καταλληλότερης και ακριβέστερης μεθόδου πρόβλεψης για την πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών του ποσοστού ανεργίας. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτό χρησιμοποιούνται διάφορα μοντέλα της μεθόδου εξομάλυνσης κατάλληλα για τη βραχυπρόθεσμη πρόβλεψη του ποσοστού ανεργίας και συγκεκριμένα: η Διπλή Εκθετική Εξομάλυνση (Μέθοδος Holt`s) και η Μέθοδος Holt Winters`, η οποία αντιπροσωπεύει την τάση και την εποχικότητα. Στη διαδικασία της πρόβλεψης για την αξιολόγηση της ακρίβειας, χρησιμοποιήθηκαν πολλαπλά κριτήρια κατάταξης, τα οποία είναι: η Ρίζα του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος (RMSE), το Μέσο Σφάλμα (ME), το Μέσο Απόλυτο Σφάλμα (ΜΑΕ) και η U Theil statistics. Για την πρόβλεψη του ποσοστού ανεργίας στην Ελλάδα χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος ARIMA και το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης, καθώς η ανάλυση έδειξε ότι το μοντέλο ARIMA (1,1,1) έχει καλύτερες στατιστικές ιδιότητες από τα όλα τα άλλα μοντέλα εκθετικής εξομάλυνσης γνωστά και ως εργαλεία άμεσης πρόβλεψης. Επιπλέον, δείχθηκε ότι το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης είναι πιο ακριβές σε σύγκριση με το μοντέλο ARIMA. Μετά την περίοδο αύξησης της ανεργίας προβλέπεται μείωση του ποσοστού ανεργίας της ΕΕ και της ζώνης του ευρώ τα επόμενα χρόνια (Ε.Ε., 2014). Ωστόσο, η πρόβλεψη του ποσοστού ανεργίας για την Ελλάδα καθορίζεται σε 26% το 2014 και 24% το 2015, και αποτελεί το υψηλότερο προβλεπόμενο ποσοστό ανεργίας στην Ευρωπαϊκή Ένωση. Συνεπώς, υπάρχει ανάγκη για λεπτομερέστερη ανάλυση του ποσοστού ανεργίας Στοιχεία & Μέθοδοι Στην παρούσα ανάλυση χρησιμοποιούνται τριμηνιαία δεδομένα για τα ποσοστά ανεργίας από το Α τρίμηνο του 2001 εως το Δ τρίμηνο του Καθώς η παγκόσμια οικονομική κρίση ξεκίνησε το Γ τρίμηνο του 2008, λαμβάνεται υπόψη ο [94]

95 αντίκτυπος της κρίσης στο ποσοστό της ανεργίας. Τα δεδομένα για την Ελλάδα λήφθησαν από τη βάση δεδομένων της Eurostat. Παρότι υπάρχει ποικιλία μεθόδων πρόβλεψης, παραμένει το ερώτημα: πώς μπορεί να επιλεχθεί το σωστότερο μοντέλο πρόβλεψης για ένα σύνολο δεδομένων; Αυτό αποφασίζεται από την φύση της τάσης και της εποχικότητας, και ο συνήθης τρόπος για να γίνει αυτό είναι η κατασκευή ενός χρονοδιαγράμματος από τα δεδομένα. Από το Α τρίμηνο του 2001 εως το Γ τρίμηνο του 2008, όπου η παγκόσμια οικονομική και χρηματοπιστωτική κρίση έφθασε στο αποκορύφωμά της, παρατηρείται μια πτωτική τάση του ποσοστού ανεργίας. Από εκεί και μετά, παρατηρείται αύξηση του ποσοστού ανεργίας. Κατά συνέπεια, αυτό οδήγησε επηρέασε δυσμενώς την οικονομική κατάσταση στην Ελλάδα. Η αύξηση του ποσοστού της ανεργίας οδήγησε στην αύξηση των δημοσίων δαπανών λόγω της αύξησης του κόστους των παροχών ανεργίας. Για την ανάλυση χρησιμοποιήθηκαν οι μέθοδοι εκθετικής εξομάλυνσης, γιατί αντιδρούν γρηγορότερα στις μεταβολές των δεδομένων. Η εκθετική εξομάλυνση προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Holt το 1957 και προοριζόταν για χρήση στις χρονοσειρές χωρίς τάση. Όμως, το 1958 ο Holt εισήγαγε τη γραμμική μέθοδο του Holt, η οποία χειρίζεται τα δεδομένα με τάση. Το 1965 ο Winter εισήγαγε τη μέθοδο Holt-Winters όπου ήταν μια γενίκευση της ήδη υπάρχουσας μεθόδου και συμπεριλάμβανε την εποχικότητα. Καθώς υπάρχει έντονη τάση και εποχιακότητα στο ποσοστό ανεργίας, για την πρόβλεψη του μελλοντικού ποσοστού ανεργίας θα χρησιμοποιηθούν η μέθοδος Διπλής Εκθετικής Εξομάλυνσης του Holt και η μέθοδος του Holt Winters. Το μοντέλο πρόβλεψης του Holt αποτελείται από την σταθερή συνιστώσα εκθετικής εξομάλυνσης που συμβολίζεται με L t, και την εξομαλυμένη συνιστώσα τάσης b t. Κατά συνέπεια, η τεχνική ονομάζεται μερικές φορές Εκθετική Εξομάλυνση Διπλών Παραμέτρων (Bowerman, & O Connell, 1993), και η τάση χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της αξίας της εκθετικής εξομάλυνσης. Οι ακόλουθες εξισώσεις δείχνουν ότι η L t, και η b t αποτελούν μέσους όρους (Makridakis, Wheelwright, & Hyndman, 1998), δηλαδή: [95]

96 L t = αυ t + (1 a)(l t 1 + b t 1 ) b t = γ(l t L t 1 ) + (1 γ)b t 1 (1) Θα πρέπει να σημειωθεί για τις σταθερές εξομάλυνσης α και γ, ισχύει 1 < α, γ < 0. Αν οι δύο σταθερές είναι ίσες (α = γ), τότε το μοντέλο ονομάζεται μοντέλο Διπλής Εκθετικής Εξομάλυνσης Brown. Το α ελέγχει την ομαλότητα του L t. Όσο πιο κοντά είναι η σταθερά α στο 0, τόσο μεγαλύτερη έμφαση δίνεται στις παρελθούσες τιμές της χρονοσειράς, ενώ όταν το α βρίσκεται κοντά στο 1 δίνεται μεγαλύτερο βάρος στις τρέχουσες τιμές της σειράς, ελαχιστοποιώντας την επιρροή των παρελθόντων τιμών. Η συνιστώσα της τάσης της χρονοσειράς εκτιμάται προσαρμοστικά, χρησιμοποιώντας ένα σταθμισμένο μέσο όρο της πιο πρόσφατης μεταβολής των (L t L t 1 ), και της τάσης (b t 1 ) της προηγούμενης περιόδου. Επιπλέον, μια επιλογή του βάρους γ κοντά στο 0 δίνει μεγαλύτερη έμφαση στις παρελθούσες εκτιμήσεις της τάσης, ενώ η επιλογή του γ κοντά στο 1 δίνει μεγαλύτερο βάρος στην τρέχουσα τιμή της μεταβολής. Στην περίπτωση του ποσοστού ανεργίας, η πολλαπλασιαστική μέθοδος Holt- Winters χρησιμοποιείται συχνά, με τις εξής εξισώσεις: L t = α y t S t 1 + (1 a)(l t 1 + b t 1 ) b t = γ(l t L t 1 ) + (1 β)b t 1 (2) S t = δ Y t L t + (1 δ)s t 1 όπου το s αφορά το μήκος της εποχικότητας (π.χ. τον αριθμό των τριμήνων του χρόνου), το L t αντιπροσωπεύει το επίπεδο της χρονοσειράς, το b t υποδηλώνει την τάση, και το S t την εποχική συνιστώσα (Makridakis, Wheelwright, & Hyndman, 1998). Οι σταθερές που επιλέχθηκαν για αυτό το μοντέλο είναι: το α (το επίπεδο συνεχούς εξομάλυνσης), το γ (η σταθερά εξομάλυνσης της τάσης) και το (η σταθερά εποχικής εξομάλυνσης). Στο μοντέλο διπλής εκθετικής εξομάλυνσης η σταθερά παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1. Όταν η εποχική συνιστώσα των αναλυόμενων χρονοσειρών έχει στατιστικά σταθερό πλάτος, χρησιμοποιείται συνήθως η μέθοδος Holt-Winters, όπου: [96]

97 L t = α(y t S t 1 ) + (1 a)(l t 1 + b t 1 ) b t = γ(l t L t 1 ) + (1 γ)b t 1 (3) S t = δ(y t L t ) + (1 δ)s t 1 Οι αρχικές τιμές των L s και b s είναι ταυτόσημες με αυτές της πολλαπλασιαστικής μεθόδου Holt-Winter. Συνήθως, για τις αρχικές τιμές των εποχικών δεικτών ισχύει: S 1 = y 1 L s, S 2 = y 2 L s,, S s = y s L s (4) Δεν υπάρχει καθολικά αποδεκτός τρόπος επιλογής των καταλληλότερων σταθερών εξομάλυνσης. Μερικοί συνιστούν τη χρήση τιμών γύρω από τα 0,1 ή 0,2. Άλλοι συνιστούν τον πειραματισμό με διαφορετικές τιμές μέχρι την ελαχιστοποίηση του Μέσου Απόλυτου Ποσοστού Σφάλματος (MAPE). Τέλος, προτείνεται η χρήση μια επιλογής βελτιστοποίησης για την επιλογή της καλύτερης σταθεράς εξομάλυνσης. Στην περίπτωση του μοντέλου διπλής εκθετικής εξομάλυνσης του Holt χρησιμοποιείται μια βέλτιστη προοπτική επιλογής των σταθερών εξομάλυσης, ενώ στην περίπτωση των προσθετικών και πολλαπλασιαστικών μοντέλων των Holt- Winters, οι σταθερές εξομάλυνσης επιλέγονται ύστερα από πειραματισμό με διαφορετικές τιμές των σταθερών εξομάλυνσης μέχρι την ελαχιστοποίηση του μέσου απόλυτου ποσοστιαίου σφάλματος (MAPE). Προκειμένου να ελεγχθεί η ακρίβεια των εκτιμήσεων των μοντέλων, χρησιμοποιήθηκαν τα ακόλουθα μέτρα ακρίβειας: MSD ή αλλιώς MSE (Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα), το οποίο μετρά τη μεταβλητότητα στο σφάλμα πρόβλεψης. MAD (Μέση Απόλυτη Απόκλιση), η οποία μετρά το μέσο μέγεθος του σφάλματος πρόβλεψης. ΜΑΡΕ (Μέσο Απόλυτο Ποσοστό Λάθους), το οποίο δείχνει ότι κατά μέσο όρο, το επιλεγμένο μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης παράγει μια πρόβλεψη που διαφέρει από το πραγματικό υπολογισμένο ποσοστό. [97]

98 Αποτελέσματα Εφαρμογής Μοντέλων Η πρόβλεψη των μελλοντικών τάσεων του ποσοστού ανεργίας με βάση την ιστορική του συμπεριφορά, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η συσχέτισή του με άλλες μεταβλητές, είναι ένας απλός και άμεσος τρόπος πρόβλεψης. Εμπειρικές μελέτες έχουν δείξει ότι οι προβλέψεις που λαμβάνονται από μονομεταβλητές μεθόδους μοντέλων χρονοσειρών είναι ευαίσθητες και χρονικά και οικονομικά αποδοτικές, δεδομένου ότι χρησιμοποιούν ιστορικά στοιχεία της χρησιμοποιούμενης μεταβλητή, της οποίας η συμπεριφορά με σχέση με άλλες συναφείς μεταβλητές είναι άγνωστη ή δύσκολη προς εξήγηση. Όσον αφορά τη χρονοσειρά του συνολικού ποσοστού ανεργίας ανά φύλο και ηλικία εκφράζεται σε ποσοστά ως μέση τριμηνιαία για τις πέντε επιλεγμένες ευρωπαϊκές χώρες από το Γ τρίμηνο του 2008 ως το Δ τρίμηνο του Τονίζεται ότι η περίοδος 2001Q1 έως 2008Q2 δεν συμπεριλαμβάνεται στην ανάλυση, καθώς αυτή η περίοδος ήταν πριν από την παγκόσμια οικονομική κρίση, όπου καταγραφόταν πτωτική τάση του ποσοστού ανεργίας. Αυτή η πτωτική τάση διακόπτεται το Γ τρίμηνο του 2008 όπου ξεκινά η παγκόσμια οικονομική κρίση, και από τότε, παρατηρείται μια ανοδική τάση στο συνολικό ποσοστό ανεργίας. Βασικός στόχος αποτελεί ο καθορισμός του κατάλληλου μοντέλου εκθετικής εξομάλυνσης για την εκτίμηση πιο ακριβέστερων βραχυπρόθεσμων προβλέψεων για το μελλοντικό συνολικό ποσοστό ανεργίας για το Γίνονται βραχυπρόθεσμες προβλέψεις καθότι το ποσοστό ανεργίας επηρεάζεται από έναν μεγάλο αριθμό παραγόντων, με αποτέλεσμα η πρόβλεψη να είναι δυνατή μόνο σε ένα πολύ σύντομο χρονικό διάστημα. Δεδομένου ότι χρησιμοποιούνται τριμηνιαία στοιχεία για το συνολικό ποσοστό της ανεργίας, η πρόβλεψη για τ = 4 θεωρείται αξιόπιστη, λόγω των "εποχιακών" όρων, και συγκεκριμένα είναι μια πρόβλεψη μόνο για μια προσεχή περίοδο. Σύμφωνα με τα επιλεγμένα κριτήρια: MSD, MAD και ΜΑΡΕ, επιλέγεται το ακριβέστερο μοντέλο πρόβλεψης για το ποσοστό ανεργίας. Τα μέτρα ακρίβειας για τις αναλυόμενες μεθόδους πρόβλεψης βρίσκονται στον Πίνακα Ι (Dunici, Casni, Zmuk, 2014). [98]

99 Πίνακας 4.5: Μοντέλα Πρόβλεψης & Μέτρα Ακρίβειας Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που δίνονται στον Πίνακα Ι και τα μέτρα της ακρίβειας πρόβλεψης του μέσου απόλυτου Ποσοστού σφάλματος (MAPE), το βέλτιστο μοντέλο για την πρόβλεψη του ποσοστού ανεργίας στην Ελλάδα είναι η προσθετική μέθοδος των Holt-Winters. Επιπλέον, αν κοιτάξουμε τα πραγματικά στοιχεία που δημοσιεύθηκαν από την Eurostat για το ποσοστό ανεργίας για το πρώτο τρίμηνο του 2014, ερχόμαστε σε λίγο διαφορετικά συμπεράσματα. Δηλαδή, στον Πίνακα II τα πραγματικά και τα προγνωστικά δεδομένα του ποσοστού ανεργίας για το Α τρίμηνο του 2014, προκύπτουν χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους πρόβλεψης (Dunici, Casni, Zmuk, 2014). Πίνακας 4.6: Πραγματικό & Προβλεπόμενο Ποσοστό Ανεργίας Συνεπώς, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μοντέλο της διπλής εκθετικής εξομάλυνσης έδωσε τις πιο ακριβείς προβλέψεις. [99]

100 4.4. Αλλαγές στο Ποσοστό Ανεργίας και το Πραγματικό ΑΕΠ: Ο Νόμος του Okun Η συγκεριμένη μελέτη εκτιμά οικονομετρικά τη σχέση ανάμεσα στις ετήσιες μεταβολές του ποσοστού ανεργίας και στις ετήσιες μεταβολές του ρυθμού οικονομικής μεγέθυνσης, σχέση γνωστή ως Νόμος του Okun (Γώγος Σ. & Κοσμά Ο., 2014). Ο Νόμος του Okun (Okun, 1962) περιγράφει τη στατιστική σχέση μεταξύ των βραχυπρόθεσμων μεταβολών στο ποσοστό της ανεργίας και τις αναλογικές μεταβολές στο πραγματικό ΑΕΠ. Η λογική είναι η εξής: Μια αύξηση ή μείωση της ζήτησης έχει ως αποτέλεσμα οι επιχειρήσεις να αυξήσουν ή να μειώσουν την παραγωγή τους. Για αυτό, προσλαμβάνουν ή απολύουν εργαζομένους, η εργασία αυξάνεται ή μείωνεται και, κατά συνέπεια, η ανεργία μειώνεται ή αυξάνεται. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ball et al. (2013), προκύπτει ο εξής μαθηματικός τύπος για τον Νόμο του Okun: Ε t E t = γ(y t Y t ) + η t (1) U t U t = δ(e t E t ) + μ t (2) όπου το E t είναι η καταγραφή της απασχόλησης για το έτος t, το Y t είναι η καταγραφή του πραγματικού ΑΕΠ για το έτος t, το U t είναι το ποσοστό ανεργίας για το έτος t και τα η t, μ t αποτελούν τους όρους διαταραχής. Επιπλέον, ο αστερίσκος, υποδηλώνει τα επίπεδα του έτους t. Τέλος, γ > 0 και δ < 0. Εισάγοντας την εξίσωση (1) στην (2) προκύπτει Επίπεδη ή Κενή εκδοχή του Νόμου του Okun: U t U t = β(y t Y t ) + ε t (3) όπου β = δγ και ε t = δη t + μ t. Ο συντελεστής β (συντελεστής του Okun) υποδηλώνει την ποσοστιαία διαφορά μεταξύ του τρέχοντος ποσοστού ανεργίας και του φυσικού του επίπεδου που σχετίζεται στατιστικά με μια διαφορά 1% μεταξύ του τρέχοντος αποτελέσματος και του δυνητικού επιπέδου του. Ένα μειονέκτημα αυτής της εκδοχής είναι η μη αξιοπαρατήρητη χρονοσειρά για το φυσικό επίπεδο του ποσοστού ανεργίας U t και του δυνητικού αποτελέσματος Y t (Friedman, 1968). Όμως, αυτή η δυσκολία [100]

101 αντιπαρέρχεται προσεγγίζοντας τα φυσικά επίπεδα της χρονοσειράς με το φίλτρο εξομάλυνσης του Hodrick Prescott (Hodrick & Prescott, 1997). Η Εκδοχή Διαφοράς του Νόμου του Okun είναι η εξής: U t U t 1 = α + β(y t Y t 1 ) + ω t (4) Παίρνοντας ετήσιες διαφορές της εξίσωσης (3) έχουμε: (U t U t 1 ) (U t U t 1 ) = β(y t Y t ) β(y t 1 Y t 1 ) + ε t ε t 1 => U t U t 1 = α + β(y t Y t 1 ) βg + ω t (5) όπου g είναι το συνεχές ποσοστό ανάπτυξης του δυνητικού αποτελέσματος, α = βg και ω t = ε t ε t 1. Γίνεται έλεγχος του Νόμου του Okun χρησιμοποιώντας και την Κενή Εκδοχή και την Εκδοχή Διαφοράς σε ετήσια δεδομένα, και συγκεκριμένα στα δείγματα: , και , προκειμένου να δειχθεί η ευαισθησία των μεταβολών του ποσοστού ανεργίας στις μεταβολές της ανάπτυξης του πραγματικού ΑΕΠ την περίοδο Εφαρμόζοντας την Κενή Εκδοχή στην περίοδο παρατηρείται μια στατιστικά σημαντική σχέση με το συντελεστή του Okun να είναι ίσος με 0.23, δηλαδή μια μοναδιαία αύξηση στο ΑΕΠ μειώνει το ποσοστό ανεργίας κατά 0,23 p. p. Επιπλέον, το ΑΕΠ εξηγεί το 53% (προσαρμοσμένη R 2 ) της μεταβλητότητας του ποσοστού ανεργίας. Όταν εφαρμόζεται στην περίοδο , η σταθερά είναι ίση με 0.37 και η προσαρμοσμένη R 2 με 67%. Αυτή η μεταβολή της ευαισθησίας είναι αποτέλεσμα της Ελληνικής κρίσης και των θεσμικών αλλαγών στην αγορά εργασίας. [101]

102 Πίνακας 4.7: Νόμος του Okun Εκδοχή Επιπέδων Στην Εκδοχή Διαφοράς (Πίνακας 8) μια μοναδιαία αύξηση στο πραγματικό ΑΕΠ κατά την περίοδο σχετίζεται με μείωση στο ποσοστό ανεργίας κατά 0.12 p. p (προσαρμοσμένη R 2 = 27%), ενώ για την περίοδο η αντίστοιχη τιμή είναι ίση με 0.27 p. p. (προσαρμοσμένη R 2 = 52%). Δηλαδή, εν συγκρίσει με την επίπεδη εκδοχή, η σταθερά του Okun είναι χαμηλότερη (σε απόλυτους όρους) και στις δύο περιπτώσεις. Επιπροσθέτως, μέσω της Εκδοχής Διαφοράς του Νόμου του Okun μπορεί να αντληθεί η τιμή του ποσοστού του πραγματικού ΑΕΠ, όταν υπάρχει μηδενική μεταβολή στο ποσοστό ανεργίας: U t U t 1 = α + β(y t Y t 1 ) + ω t => α β = (Y t Y t 1 ) + ω t (6) [102]

103 Πίνακας 4.8: Νόμος του Okun Εκδοχή Διαφοράς Κατά μέσο όρο, ο ρυθμός αύξησης του πραγματικού ΑΕΠ, που συνάδει με μια σταθερή πορεία με το ποσοστό ανεργίας είναι: Υ t Y t 1 = α β (7) Για την Ελλάδα, κατά τις περιόδους και , ο ρυθμός αύξησης του πραγματικού ΑΕΠ είναι ίσος με 3,58% και 3,81%, αντίστοιχα. Κατά την περιόδο παρατηρείται μια στατιστική θετική σχέση μεταξύ των μεταβολών του ποσοστού ανεργίας και των μεταβολών του πραγματικού ΑΕΠ (Πίνακας 8), δηλαδή αυξάνεται η ευαισθησία των μεταβολών του ποσοστού ανεργίας στις μεταβολές του ρυθμού αύξησης του πραγματικού ΑΕΠ. Παράλληλα, η ελληνική κρίση ( ) αύξησε την ευαισθησία της παραπάνω σχέσης, δηλαδή με μια μοναδιαία μεταβολή στην πραγματική αύξηση του ΑΕΠ, η μεταβολή του ποσοστού ανεργίας είναι υψηλότερη σε απόλυτους όρους ( 0,12 έως 0,27). [103]

104 Εικόνα 4.1: Ποσοστό Ανεργίας (2002q1 2013q4) Στη συνέχεια, στην ανάλυση προστίθενται τέσσερις επιπλέον μακροοικονομικές μεταβλητές που επηρεάζουν την οικονομία: το πραγματικό επιτόκιο, ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής των πιστώσεων προς τις επιχειρήσεις, οι προσδοκίες των καταναλωτών ως προς την μελλοντική εξέλιξη του επιπέδου των τιμών, και η χρηματοοικονομική κατάσταση των νοικοκυριών. Έπειτα, με βάση τις παραπάνω εκτιμήσεις και κάνοντας κάποιες βασικές υποθέσεις για την πορεία των ερμηνευτικών μεταβλητών για την περίοδο Α τρίμηνο 2014 Δ τρίμηνο 2020, πραγματοποιούνται προβλέψεις για το ποσοστό ανεργίας και το ποσοστό απασχόλησης. Για την ποσοτικοποίηση της συμβολής αυτών των μεταβλητών στις μεταβολές του ποσοστού ανεργίας ή ποσοστού απασχόλησης θα χρησιμοποιηθούν οι OLS παλινδρομήσεις, όπου: CUR t = β 0 + β 1 CRGDP t + β 2 CRIR t + β 3 CRGDP t + β 4 CCPE t 1 + β 5 CHFS t 1 (8) CER t = β 0 + β 1 CRGDP t + β 2 CRIR t + β 3 CRCF t + β 4 CCPE t 1 + β 5 CHFS t 1 (9) Οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι οι μεταβολές στο ποσοστό ανεργίας, CUR, και οι μεταβολές στο ποσοστό απασχόλησης, CER. Όσον αφορά τις ερμηνευτικές μεταβλητές, η CRGDP αναφέρεται στις μεταβολές στο πραγματικό ΑΕΠ, η CRIR στις μεταβολές στο πραγματικό επιτόκιο, η CRCF στις μεταβολές στις πραγματικές πιστώσεις στις επιχειρήσεις, η CCPE στις μεταβολές των προσδοκιών του καταναλωτή σχετικά με τις τιμές, και η CHFS στις μεταβολές της οικονομικής κατάστασης των νοικοκυριών. Το δείγμα αποτελείται από τριμηνιαία στοιχεία από [104]

105 1999q2 εως 2013q4 (εποχικά διορθωμένα). Για τις εξαρτημένες και ερμηνευτικές μεταβλητές, χρησιμοποιούνται σε ετήσια βάση οι μεταβολές που αναπαρίστανται στα σχήμ. 5. Εικόνα 4.2: Μεταβολές Μεταβλητών (2002q1 2013q4) Τα αποτελέσματά που προκύπτουν είναι τα εξής (Πίνακας 9) (Γώγος, & Κοσμά, 2014): 1) σε όρους ποσοστιαίας μεταβολής του πραγματικού ΑΕΠ προκύπτει μια στατιστικά σημαντική αρνητική σχέση με τις μεταβολές στο ποσοστό [105]

106 ανεργίας. Μια μοναδιαία επιτάχυνση του ρυθμού αύξησης του πραγματικού ΑΕΠ συνδέεται με μείωση του ρυθμού ανεργίας κατά 0,35 (0.20) p. p. 2) Η επίδραση της ποσοστιαίας μεταβολής στις πραγματικές πιστώσεις προς τις επιχειρήσεις στις μεταβολές στο ποσοστό ανεργίας είναι μικρότερη σε σύγκριση με την αύξηση του πραγματικού ΑΕΠ, δηλαδή ο συντελεστής είναι ίσος με 0.08 (0.06 για το ποσοστό απασχόλησης). 3) Όσον αφορά τις μεταβολές των προσδοκιών για τις τιμές των νοικοκυριών, προκύπτει μια στατιστικά σημαντική ισχυρή αρνητική σχέση με τις μεταβολές στο ποσοστό ανεργίας. Ο συντελεστής είναι ίσος με 0,19. 4) Όσον αφορά τη μεταβολή της οικονομικής κατάστασης των νοικοκυριών, προκύπτει μια στατιστικά σημαντική θετική σχέση με το ποσοστό απασχόλησης (0.16), και μία αρνητική σχέση με το ποσοστό ανεργίας ( 0.02). 5) Οι αλλαγές στο πραγματικό ποσοστό επιτοκίου έχουν θετική σχέση για το ποσοστό ανεργίας και αρνητική για το ποσοστό απασχόλησης, αν και οι δύο συντελεστές δεν είναι στατιστικά σημαντικοί. [106]

107 Πίνακας 4.9: Βασικές Παλινδρομήσεις [107]

108 Πίνακας 4.10: Προβλέψεις του Ποσοστού Ανεργίας (%) και του Ποσοστού Απασχόλησης (%) (με βάση τρία διαφορετικά σενάρια) Προβλέψεις Ποσοστού Ανεργίας και Απασχόλησης (2014q1-2020q4) Με δεδομένους τους εκτιμώμενους συντελεστές και κάνοντας μερικές υποθέσεις σχετικά με την πορεία των επεξηγηματικών μεταβλητών, γίνονται προβλέψεις για την περίοδο Μάλιστα, παρουσιάζονται τα εξής τρία σενάρια (Γώγος, & Κοσμά, 2014): το βασικό, το απαισιόδοξο και το αισιόδοξο. [108]

109 Σύμφωνα με το βασικό σενάριο προβλέπεται ότι το Δ τρίμηνο του 2020 το ποσοστό της ανεργίας θα μειωθεί προσεγγιστικά κατά 10 ποσοστιαίες μονάδες, σε σχέση με το αντίστοιχο τρίμηνο του 2013 (από 27,6% στο 16,8%). Αυτή η πρόβλεψη είναι συμβατή με ένα μέσο ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης της τάξεως του 3,5%, με ένα μέσο ρυθμό ποσοστιαίας μεταβολής στη δανειοδότηση των επιχειρήσεων κατά 4,5%, με ένα πραγματικό επιτόκιο 3% και με μια σταδιακή βελτίωση τόσο στις προσδοκίες των καταναλωτών για το επίπεδο των τιμών στο μέλλον όσο και στην χρηματοοικονομική κατάσταση των νοικοκυριών. Αυτή η μείωση της ανεργίας συνάδει με μια αύξηση του ποσοστού απασχόλησης κατά 8,1 ποσοστιαίες μονάδες (από 43,2% το 2013q4 σε 51,3% το 2020q4), δηλαδή αύξηση της απασχόλησης κατά 734 χιλιάδες άτομα. Στο πιο αισιόδοξο σενάριο, όπου ο ρυθμός οικονομικής μεγέθυνσης διαμορφώνεται στο 4,5%, ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής της δανειοδότησης των επιχειρήσεων στο 5,5%, το πραγματικό επιτόκιο στο 2% και οι δείκτες των καταναλωτών και των νοικοκυριών αυξάνονται με ταχύτερο ρυθμό, το ποσοστό ανεργίας πέφτει πάνω από 15 ποσοστιαίες μονάδες (στο 12,1% το Δ τρίμηνο του 2020). Αυτό το σενάριο αντιστοιχεί σε αύξηση της απασχόλησης ως ποσοστού κατά 11 ποσοστιαίες μονάδες και ως επιπέδου κατά 979 χιλιάδες άτομα. Στο απαισιόδοξο σενάριο, όπου ο ρυθμός οικονομικής μεγέθυνσης διαμορφώνεται στο 2,5%, ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής της δανειοδότησης των επιχειρήσεων στο 3,5%, το πραγματικό επιτόκιο στο 4% και οι δείκτες των καταναλωτών και των νοικοκυριών αυξάνονται με πολύ βραδύτερο ρυθμό, το ποσοστό ανεργίας πέφτει μόλις 6,5 ποσοστιαίες μονάδες (στο 21,1% το Δ τρίμηνο του 2020) και η απασχόληση αυξάνεται κατά 500 χιλιάδες άτομα. [109]

110 Εικόνα 4.3: Εκτιμήσεις Ποσοστού Εργασίας & Ανεργίας (2014q1 2020q4) [110]

111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 5.1. Εισαγωγή Στη συγκεκριμένη ενότητα αναλύεται η βασική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση των προβλημάτων εντοπισμού τοπικών μελλοντικών βέλιστων χρονοσειρών. Η μέθοδος δεν είναι άλλη από τη γενικευμένη διαδικασία της οπισθοδρόμησης. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται τα παρελθοντικά στοιχεία προκειμένου να προβλεφθεί το σημείο όπου θα εμφανιστεί η μέγιστη τιμή του ποσοστού ανεργίας Μέθοδος Οπισθοδρόμησης Ο βασικός σκοπός της Μεθόδου Οπισθοδρόμησης είναι να προβλεφθεί ο μελλοντικός χρόνος κατά τον οποίο θα προκύψει η τοπική βέλτιστη τιμή μιας χρονοσειράς, μέσω της χρήσης παρελθοντικών δεδομένων. Η διαφορά της συγκεριμένης μεθόδου από τα μοντέλα που αναλύθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ότι η επιδιωκόμενη πρόβλεψη δεν αφορά την πρόβλεψη της μελλοντικής τιμής της χρονοσειράς, αλλά το σημείο κατά το οποίο θα προκύψει το τοπικό βέλτιστο. Η πρόβλεψη αυτή ταυτίζεται με το τοπικό ελάχιστο και μέγιστο μιας συνάρτησης f(x), και για αυτό η αναζήτηση γίνεται για την εύρεση του μελλοντικού χρονικού σημείου κατά το οποίο η χρονοσειρά θα μεγιστοποιείται τοπικά. Δηλαδή, επιδιώκεται η πρόβλεψη του μελλοντικού μέγιστου. Η διαδικασία πρόβλεψης του μελλοντικού χρόνου όπου θα προκύψει η τοπική βέλτιστη τιμή της χρονοσειράς αποτελείται από αρκετά στάδια, τα οποία διαφέρουν ανάλογα με τη φύση του κάθε προβλήματος. Έτσι, κατά βάση η διαδικασία αποτελείται από τα εξής στάδια (Λισγάρα, 2011): [111]

112 Α. Διαδικασία Εύρεσης Παρελθοντικού Τοπικού Ελάχιστου Στο συγκεκριμένο στάδιο ελέγχονται όλα τα παρελθοντικά σημεία της υπό εξέτασης χρονοσειράς προκειμένου να βρεθούν εκείνα τα σημεία όπου η τιμή τους είναι μικρότερη από το τελευταίο γνωστό σημείο. Δεδομένου ότι ασχολούμαστε με τη χρονοσειρά του δείκτη ανεργίας πρέπει να βρεθεί το μελλοντικό σημείο κατά το οποίο θα μεγιστοποιηθεί τοπικά η χρονοσειρά, και για αυτό πρέπει η υπό εξέταση χρονοσειρά να έχει αύξουσα τάση. Έτσι, προκειμένου να δούμε αν η χρονοσειρά είναι τοπικά αύξουσα ή φθίνουσα πρέπει να ελεγχθεί ο συντελεστής παλινδρόμησης (regression coefficient) με βάση τα δεδομένα της χρονοσειράς. Ανάλογα με το πρόσημο που έχει ο συντελεστής της εξίσωσης της γραμμικής παλινδρόμησης, η χρονοσειρά θα χαρακτηριστεί αύξουσα, ή φθίνουσα. Στο συγκεκριμένο βήμα θα γίνει χρήση κάποιας τεχνικής βελτιστοποίησης προκειμένου να εντοπιστεί το παρελθοντικό ελάχιστο σημείο σε ήδη γνωστό πεδίο αναζήτησης. Για αυτό, η κατεύθυνση και το μέγεθος του παρελθοντικού βήματος πρέπει να είναι γνωστά. Δηλαδή, η κατεύθυνση είναι παρελθοντική και το μέγεθος βήματος είναι το επιλεγμένο πεδίο αναζήτησης. Η επιλογή του μεγέθους του πεδίου αναζήτησης διαφοροποιείται ανάλογα με τη μέθοδο που χρησιμοποιείται, και τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς. Β. Διαδικασία Προσέγγισης Μελλοντικού Βήματος Στο προηγούμενο στάδιο γίνεται χρήση των δεδομένων της χρονοσειράς προκειμένου να βρεθούν διάφορα σημεία, η κλίση, και τα στοιχεία της ακολουθίας. Μάλιστα, το μέγεθος του μελλοντικού βήματος που θα εφαρμοστεί στο τελευταίο γνωστό σημείο της χρονοσειράς προσεγγίζεται από την επεξεργασία των σημείων της ακολουθίας. Για αυτό το λόγο προσεγγίζεται η τιμή της σταθεράς Lipschitz, η οποία προσεγγίζεται. Έτσι, μέσω προσεγγίσεων της επιτυγχάνεται μια εκτίμηση του βέλτιστου βήματος k το οποίο θα εφαρμοστεί στο αρχικό σημείο της εξεταζόμενης χρονοσειράς για να βρεθεί ο μελλοντικός χρόνος όπου η μέθοδος θα προβλέψει το σημείο εμφάνισης του τοπικού βέλτιστου. Ουσιαστικά, η προσέγγιση του βήματος k παράγεται ως η μέγιστη τιμή της σταθεράς Lipschitz, k max, που υπολογίστηκε από το σύνολο των σημείων που προέκυψαν από το προηγούμενο στάδιο. [112]

113 Μάλιστα, οι προσεγγίσεων των τιμών της σταθεράς Lipschitz, F, προκύπτουν από τον εξής αλγόριθμο: Είσοδος: F, C λ Θέσε i = 1. Δειγμάτισε C λ κλίσεις, όπου λ είναι όλοι οι εφικτοί συνδυασμοί των ζευγών (m i, p i ) του υποσυνόλου C και υπολόγισε. s i = Y m Y m 1 Y p + Y p 1 / m p για i = 1,, r. Υπολόγισε τη μέγιστη κλίση Έστω k max = max {s 1,, s p }. Τέλος όσο k max Γ. Διαδικασία Εύρεσης Μελλοντικού Τοπικού Μέγιστου Σε αυτό το στάδιο, με τη βοήθεια της τεχνικής βελτιστοποίησης χρησιμοποιείται το μέγεθος μελλοντικού βήματος που υπολογίστηκε στο προηγούμενο βήμα, το οποίο πλέον έχει γνωστή κατεύθυνση. Ωστόσο, σύμφωνα με το No free lunch theorem, δεν υπάρχει καμία βέλτιστη μέθοδος επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης, παρότι αυτές παρουσιάζουν διαφορετικούς ρυθμούς σύγκλισης μεταξύ τους (Androulakis & Vrahatis, 1996). Η ακολουθία τιμών που προέκυψε από το πρώτο στάδιο ξεκινά από το παρελθοντικό ελάχιστο σημείο t min, βρίσκει και προσπερνά το τελευταίο γνωστό σημείο t n, και με τη χρήση του κατάλληλου βήματος θα καταλήξει στο μελλοντικό μέγιστο t max (διαδικασία με φορά προς το μέλλον forward process). Παρατηρούμε ότι βασικός στόχος της αναζήτησης της χρονικής στιγμής κατά την οποία βελτιστοποιείται μια χρονοσειρά με τη βοήθεια της τεχνικής της οπισθοδρόμησης είναι ο συνδυασμός των τεχνικών πρόβλεψης μελλοντικών τιμών με στόχο την καλύτερη πρόβλεψη. [113]

114 5.2. Σταθερά Lipschitz Βασικό στοιχείο της χρησιμοποιούμενης μεθόδου οπισθοδρόμησης αποατελεί η σταθερά Lipschitz. Μάλιστα, η σταθερά Lipschitz χρησιμοποιείται ως μέτρο για ατην παρακολούθηση της μέγιστης αλλαγής της συνάρτησης f(x). Έτσι, η σταθερά Lipschitz μέσω της βελτιστοποίησης μπορεί να βοηθήσει στη πιο γρήγορη εύρεση του βέλτιστου Αλγόριθμος Lipschitz Indicator (LIN) Έστω η χρονοσειρά Υ = {Y t : t T}, όπου Υ αναπαριστά την απλοποιημένη μορφή της χρονοσειράς, και t είναι οι χρονικές περίοδοι του χρόνου Τ. Παρόλα αυτά, η πρόβλεψη βασίζεται στη χρονοσειρά Κ t η οποία αναπαριστά τις προσεγγίσεις της σταθεράς Lipschitz. Ειδικότερα, η χρονοσειρά Κ t είναι η ακολουθία των προσεγγίσεων των τοπικών τιμών της σταθεράς Lipschitz για κάθε t T οι οποίες προκύπτουν ως η μέγιστη τιμή του Κ που ικανοποιεί τη συνθήκη (Λισγάρα, 2011): Y k Y t K k 1, [k, l] [t m, t 1] [t m, t 1] Η σταθερά Lipschitz προσεγγίζεται στο διάστημα Δ Δ και η εκτίμηση της τιμής της τοπικής σταθεράς Lipschitz, Κ t, στο [t m, t 1] [t m, t 1]. Δεδομένου ότι [t m, t 1] Δ, ισχύει ότι L Κ t. Επομένως, κάθε υπολογισμός της τιμής του Κ t αποτελεί υποεκτίμηση της πραγματικής τιμής της σταθεράς Lipschitz, L. Παράληλλα, τα δεδομένα δίνουν τη δυνατότητα μόνο για τον υπολογισμό προσεγγίσεων της σταθεράς, με τις διαφορές της να μην είναι απαραιτήτως ισότιμες με τις τιμές της πραγματικής σταθεράς Lipschitz. Για αυτό γίνεται σύγκριση της τελευταίας προσέγγισης της σταθεράς Lipschitz με τη μέγιστη όλων των προσεγγίσεων του υπό εξέταση συνόλου (Λισγάρα, 2011). Έστω ότι Κ t είναι η μέγιστη τιμή μεταξύ των τελευταίων m τιμών της χρονοσειράς Κ t, δηλαδή (Λισγάρα, 2011): Κ t = max {Κ t 1, Κ t 2,, Κ t m } [114]

115 Άρα, η διαφορά Κ t Κ t αναπαριστά το μέτρο των αλλαγών που υφίσταται η χρονοσειρά στο χρόνο t. [115]

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΣΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΔΕΙΚΤΗ ΑΝΕΡΓΙΑΣ 6.1. Εισαγωγή Προκειμένου να πραγματοποιηθεί η εμπειρική μελέτη της προτεινόμενης μεθοδολογίας, αλλά και η αξιολόγηση της μεθόδου πρόβλεψης μελλοντικού βέλτιστου, απαιτείται η εφαρμογή της σε πραγματικά δεδομένα. Για αυτό το λόγο επιλέχθηκε να γίνει εφαρμογή σε πραγματικά δεδομένα που αναπαριστούν βασικούς δείκτες της ανεργίας. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο θα εφαρμοστεί η προτεινόμενη μεθοδολογία στις μηνιαίες τιμές των δεικτών ανεργίας (άνεργος πληθυσμός, μη ενεργός πληθυσμός, απασχολούμενοι, και ποσοστό ανεργίας), προκειμένου να δειχθεί πως θα κινηθεί η ανεργία μελλοντικά χρησιμοποιώντας παρελθοντικά δεδομένα. Ειδικότερα, το δείγμα απαρτίζεται από τις μηνιαίες τιμές των δεικτών που αναπαριστούν τον αριθμό των ανέργων, τον μη ενεργό πληθυσμό, τον αριθμό των απασχολούμενων, και το ποσοστό ανεργίας από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του Αξίζει να αναφέρουμε ότι τα παρελθοντικά δεδομένα για τους δείκτες ανεργίας προέκυψαν από έρευνα της ΕΛ.ΣΤΑΤ Μετατροπή αρχείου Excel σε αρχείο csv (.csv) Προκειμένου τα αρχεία που περιέχουν τα δεδομένα των χρονοσειρών που αναπαριστούν τους δείκτες ανεργίας (αρχεία Excel) να επεξεργαστούν εύκολα, θα πρέπει να μετατραπούν σε αρχεία csv. Τα αρχεία csv είναι αρχεία τιμών διαχωρισμένα με κόμματα (.csv), όπου κάθε πεδίο κειμένου διαχωρίζεται συνήθως με κόμμα (,). Αυτή η μετατροπή γίνεται για να μπορέσουμε να επεξεργαστούμε τα δεδομένα με τη χρήση του στατιστικού προγράμματος R, και του Matlab. Η διαδικασία μετατροπής σε αρχείο csv είναι η εξής: [116]

117 1. Ανοίγουμε το εκάστοτε αρχείο excel. 2. Επιλέγουμε Αρχείο (File) Αποθήκευση ως (Save as). 3. Επιλογή που θέλουμε να αποθηκεύσουμε το αρχείο. Στη συγκεκριμένη περίπτωση επιλέγουμε να το αποθηκεύσουμε στον ίδιο φάκελο που θα βρίσκεται ο κώδικας της R, και του matlab. 4. Ονομασία του αρχείου σύμφωνα με τον εκάστοτε εξεταζόμενο δείκτη ανεργίας. 5. Κατά τη διάρκεια της αποθήκευσης, στο πεδίο Save as Type, επιλέγουμε CSV(Comma Delimited). 6. Κλικάρουμε Αποθήκευση (Save). 7. Μπορεί να εμφανιστούν μια ή δύο προειδοποιήσεις για τον τύπο του.csv (formatting of.csv), και επιλέγουμε Ναι (yes) Πρακτική Εφαρμογή Μεθόδου σε Χρονοσειρές Στη συγκεκριμένη ενότητα θα αναλυθεί ο τρόπος σύμφωνα με τον οποίο μέσω της χρήσης του matlab θα βρεθεί το μελλοντικό σημείο όπου μεγιστοποιούνται ή ελαχιστοποιούνται οι χρονοσειρές που μελετούνται. Αρχικά θα δημιουργηθεί η συνάρτηση function [L, a] = my_func(filename), βάση της οποίας θα [117]

118 μελετηθούν οι χρονοσειρές για την εύρεση του μελλοντικού χρονικού σημείου όπου θα μεγιστοποιηθεί η ανεργία. Έτσι, προκειμένου να εισαχθούν στο matlab οι χρονοσειρές που αναπαριστούν τους δείκτες ανεργίας, θα χρησιμοποιηθεί η εντολή M=csvread(filename). Συγκεκριμένα, με τη χρήση αυτής της εντολής μετατρέπεται ένα αρχείο τιμών διαχωρισμένο με κόμμα (CSV) σε ένα διάνυσμα M. Ωστόσο, στο αρχείο csv πρέπει να περιέχονται μόνο αριθμητικές τιμές για να είναι εύκολα επεξεργάσιμες. Στη συνέχεια, το 2X2 διάνυσμα Μ θα διασπαστεί σε δύο νέα διανύσματα, τα timespace και values. Ειδικότερα, δημιουργείται το διάνυσμα γραμμή timespace=m(:,1)', το οποίο περιέχει όλες τις τιμές της πρώτης στήλης του Μ και αναπαριστά τη χρονική στιγμή που μελετάται κάθε φορά. Αντίστοιχα, το διάνυσμα values= M(:,2)' είναι ένα διάνυσμα γραμμή, το οποίο αποτελείται από όλες τις τιμές της δεύτερης στήλης του Μ και αναπαριστά την τιμή της εκάστοτε μεταβλητής της χρονοσειράς για κάθε χρονική στιγμή. Παράλληλα, μέσω της συνάρτησης vector_length = length(timespace) επιστρέφει το μήκος, δηλαδή ο αριθμός στοιχείων, του διανύσματος timespace. Επιπροσθέτως, δημιουργείται το μηδενικό διάνυσμα τιμών ΝΧΝ με την ονομασία result, result = zeros(vector_length,vector_length); και με τη χρήση κατάλληλων μετρητών θα υπολογιστούν όλοι οι παράγωγοι που προκύπτουν για κάθε σημείο της συνάρτησης, δηλαδή η κλίση της ευθείας για κάθε νέο εισερχόμενο σημείο, για κάθε μελετούμενο δείκτη της ανεργίας. for i = 1:vector_length, % Για i=1 έως Μήκος Χρονοσειράς for j = 1:vector_length, % Για j=1 εως Μήκος Χρονοσειράς if i>=j, % Αν i>=j result(i,j) = 0; % Δίνονται μηδενικές τιμές στον πίνακα else % Υπολογισμός Παραγώγου f' = κλίση ευθείας = % [f(n)-f(n-1)]/[n-(n-1)] result(i,j) = (values(i)-values(j))/(timespace(i)- timespace(j)); end end end Κατόπιν, βρίσκεται η μέγιστη τιμή όλων των παραπάνω υπολογιζόμενων παραγώγων μέσω της συνάρτησης max βάση της οποίας επιστρέφει η μέγιστη τιμή όλων των υπολογιζόμενων παραγώγων. [maxdiff, I] = max(result(:)); [118]

119 Ομοίως, με τη χρήση της συνάρτησης find επιστρέφει η θέση (γραμμή, και στήλη) της μέγιστης κλίσης της ευθείας f. [row,col] = find(result==maxdiff); Στη συνέχεια, η σταθερά Lipschitz τίθεται ίση με μέγιστη από όλες τις παραγώγους. L = maxdiff; Προκειμένου, όμως, να υπολογιστεί η πορεία των δεικτών της ανεργίας μελλοντικά, θα δημιουργηθεί ένα μηδενικό διάνυσμα a, το οποίο θα είναι μικρότερο από το διανύσματος timespace κατά δύο χρονικές στιγμές καθώς χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της διαφοράς χρονικών σημείων. a = zeros(vector_length-2,1); Τέλος, με τη χρήση διαφόρων μετρητών θα υπολογιστεί η μεταβλητή a, η οποία δείχνει τη χρονική στιγμή που θα εμφανιστεί το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο του μελετούμενου δείκτη, και προκύπτει επιλύοντας της εξής εξίσωση: x n+1 = x n + 1 a f 2 L ή x n+1 = x n + 1 f(n) f(n 1) a 2 L n (n 1) όπου n είναι η χρονική στιγμή, ενώ f η τιμή της χρονοσειράς για κάθε χρονική στιγμή n. for i=1:vector_length-2, % Για i=1 έως Μήκος Χρονοσειράς-2 j=i+1; % Αύξηση του j κατά (i+1) k=i+2; % Αύξηση του k κατά (i+2) %i -> n-1 %j -> n %k -> n+1 if values(j)~=values(i), % Αν i~=j (i διάφορο του j) a(i)=abs(2*l*(timespace(k)-timespace(j))/(values(j)- values(i))); % a=2*l*[(t(n+1)-t(n)]/[f(n)-f(n-1)] end end [119]

120 6.4. Πρακτική Εφαρμογή Μεθόδου σε Χρονοσειρές Όπως προαναφέρθηκε, η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόστηκε σε δεδομένα προερχόμενα από τέσσερις περιπτώσεις χρονοσειρών, οι οποίες αποτελούνται από: α) τις μηνιαίες τιμές του αριθμού των ανέργων, β) τις μηνιαίες τιμές του αριθμού των απασχολούμενων, γ) τις μηνιαίες τιμές του μη ενεργού πληθυσμού, και δ) τις μηνιαίες τιμές του ποσοστού ανεργίας. Οι παραπάνω περιπτώσεις, και τα αποτελέσματά τους αναλύονται παρακάτω Η περίπτωση του Αριθμού Ανέργων Όσον αφορά την εφαρμογή του αλγορίθμου οπισθοδρόμησης σε δεδομένα που αναπαριστούν τον αριθμό των Ανέργων της Ελλάδας, η τελευταία γνωστή τιμή του συγκεκριμένου δείκτη είναι η 10 Οκτωβρίου Από τη μεθοδολογία είναι γνωστό ότι πρέπει να επιλεγούν κάποιες από τις τελευταίες γνωστές τιμές προκειμένου να επιτευχθεί η διαδικασία της αναζήτησης με οπισθοδρόμηση. Έτσι, χρησιμοποιώντας όλες τις 154 γνωστές τιμές, στο σχήμα 6.1 παρουσιάζεται η γραφική απεικόνιση της κίνησης του αριθμού των ανέργων στην Ελλάδα. Σχήμα 6.1: Γραφική Αναπαράσταση Χρονοσειράς Δείκτη Αριθμού Ανέργων [120]

121 Πριν εφαρμοστεί η αναλυόμενη μέθοδος πρόβλεψης του μελλοντικού βέλτιστου θα ήταν χρήσιμο να αναλυθεί η χρονοσειρά. Έτσι, προκειμένου να αναλύσουμε τη χρονοσειρά που αναπαριστά τον αριθμό των ανέργων, θα πρέπει να εισάγουμε τα δεδομένα του πίνακα στο R με τη χρήση της εντολής read.table (), όπου στο πρώτο μέρος της εντολής δίνεται το όνομα του αρχείου που θα διαβαστεί τοποθετούμενο ανάμεσα σε. Εφόσον, τα αρχεία csv χωρίζονται μεταξύ τους με κόμμα, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν κάποιοι παράμετροι. Συγκεκριμένα, θα εισαχθεί η παράμετρος «sep=,», η οποία προέρχεται από την αγγλική λέξη separated που σημαίνει χωρίζονται, το οποίο τίθεται να είναι ίσο με το κόμμα «,». Με την παράμετρο «header=f», όπου F σημαίνει FALSE, ορίζουμε ότι στα δεδομένα μας δεν υπάρχει τίτλος. Επίσης, θα πρέπει να δηλωθεί η ακριβής διεύθυνση του αρχείου που πρέπει να αναλυθεί. Τέλος, με την εντολή ts() θα μετατραπεί η αριθμητική συνάρτηση σε ένα αντικείμενο χρονοσειράς. Η μορφή της εντολής ts() είναι η εξής: ts(start=, frequency=), όπου το start είναι η πρώτη παρατήρηση της χρονοσειράς, και frequency είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ανά μονάδα χρόνου (12 = μηνιαία). Επομένως, για να εισαχθεί η χρονοσειρά του αριθμού των ανέργων στην R έχουμε: anergoi = ts(read.table("anergoi.csv", header = F, sep = ",")$V2, start = c(2004,1), frequency = 12) Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την εντολή summary(), θα προκύψουν τα διάφορα περιγραφικά μέτρα θέσης για τη μεταβλητή anergoi. Έτσι, εκτελώντας την παραπάνω εντολή έχουμε: Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η μικρότερη τιμή των τιμών της μεταβλητής anergoi είναι ίση με 335.6, ενώ η μέγιστη τιμή είναι ίση με Ομοίως, η μέση τιμή είναι ίση με άτομα, δηλαδή ο μέσος αριθμός των ανέργων από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίσος με 795,4. Χρησιμοποιώντας την εντολή my_func('anergoi.csv') προκύπτει η σταθερά Lipschitz, η οποία είναι ίση με L = και ο πίνακας α που δείχνει πότε θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο. Συγκεκριμένα, για τους τελευταίους 12 μήνες η μεταβλητή α παίρνει τις εξής τιμές: 29, , , [121]

122 21, , , , , , , , , Παρατηρούμε ότι το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς που αναπαριστά τον αριθμό των ανέργων θα εμφανίσει τη μέγιστη τιμή του σε περίπου 106 μήνες, δηλαδή σε 8,86 χρόνια. Ο αριθμός των ανέργων θα αποκτήσει τη μέγιστη τιμή του σε τόσο μεγάλο χρονικό διάστημα γιατί η χρονοσειρά του προαναφερόμενου δείκτη εμφανίζει ανοδική τάση με πρόσκαιρη πτωτική τάση. Οπότε οι άνεροι πολίτες θα συνεχίσουν να αυξάνονται με γρήγορο ρυθμό, μέχρι να επικρατήσει ισορροπία στην οικονομία, και να αρχίσουν να μειώνονται Η περίπτωση του Αριθμού Απασχολούμενων Για την περαιτέρω διερεύνηση της αξιοπιστίας του αλγορίθμου, ο αλγόριθμος θα εφαρμοστεί στη χρονοσειρά που αναπαριστά τον αριθμό των Απασχολούμενων στην Ελλάδα από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του Συγκεκριμένα, η συγκεκριμένη χρονοσειρά αναπαρίσταται γραφικά ως εξής: Σχήμα 6.2: Γραφική Αναπαράσταση Χρονοσειράς Δείκτη Απασχολούμενων [122]

123 Στη συνέχεια, εκτελώντας τις εξής εντολές στο R για τη μεταβλητή apasxoloumenoi: θα προκύψουν τα εξής περιγραφικά μέτρα θέσης: Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η μικρότερη τιμή των τιμών της μεταβλητής apasxoloumenoi είναι ίση με 3438 άτομα, ενώ η μέγιστη τιμή ίση με 4658 άτομα. Έτσι, η μέση τιμή είναι ίση με 4117 άτομα, δηλαδή ο μέσος αριθμός των απασχολούμενων από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίσος με 4117 άτομα. Χρησιμοποιώντας την εντολή my_func('apasxoloumenoi.csv') προκύπτει η σταθερά Lipschitz, η οποία είναι ίση με L = και ο πίνακας α που δείχνει πότε θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο. Συγκεκριμένα, για τους τελευταίους 12 μήνες η μεταβλητή α παίρνει τις εξής τιμές: 120, , , , , , , , , , , , Από τα παραπάνω αποτελέσματα συμπεραίνουμε ότι το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς που αναπαριστά το δείκτη των απασχολούμενων θα εμφανίσει τη μέγιστη τιμή της σε περίπου 1004 μήνες. Παρότι η ανεργία θα εμφανίσει τη μέγιστη τιμή της σε 106 μήνες, η απασχόληση θα κάνει πολύ μεγαλύτερο χρονικό διάστημα για να προσεγγίσει τη μέγιστη τιμή της. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η οικονομία αντιμετωπίζει σημαντικά προβλήματα καθώς η ανεργία αυξάνεται σε ταχύτατους ρυθμούς, ενώ η απασχόληση μειώνεται με ραγδαίους ρυθμούς. Προκειμένου, λοιπόν, να εξυγειανθεί η οικονομία θα χρειαστεί ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, με ότι αυτό μπορεί να συνεπάγεται. Αυτό, [123]

124 μάλιστα, επιβεβαιώνεται και από την αρνητική κλίση που παρουσιάζει η καμπύλη της χρονοσειράς του αριθμού των απασχολούμενων Η περίπτωση του Μη Ενεργού Πληθυσμού Ο δείκτης που αναπαριστά το μη ενεργό πληθυσμό περιλαμβάνει το σύνολο των ατόμων που δεν είναι ικανά προς εργασία, και δεν μπορούν να εργαστούν, π.χ. τα μικρά παιδιά, οι ηλικιωμένοι, οι ασθενείς και οι στρατιώτες. Σε αυτή την περίπτωση, ο εν λόγω δείκτης εξετάστηκε για την περίοδο Ιανουάριος 2004 εως Οκτώβριος 2016, και η γραφική του αναπαράσταση είναι η εξής: Σχήμα 6.3: Γραφική Αναπαράσταση Χρονοσειράς Μη Ενεργού Πληθυσμού Θέλοντας να εισάγουμε τα δεδομένα της χρονοσειράς που αφορά τον Μη Ενεργό Πληθυσμό, θα χρησιμοποιηθούν οι εξής εντολές στο R: θα προκύψουν τα εξής περιγραφικά μέτρα θέσης: Παρατηρούμε ότι η μικρότερη τιμή των τιμών της μεταβλητής mi_energoi είναι ίση με 3216 άτομα, ενώ η μέγιστη με 3603 άτομα. Παράλληλα, η μέση τιμή [124]

125 είναι ίση με 3412 άτομα, δηλαδή ο μέσος αριθμός του μη ενεργού πληθυσμού από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίσος με άτομα. Με τη χρήση της εντολής my_func('mi_energoi.csv') προκύπτει η σταθερά Lipschitz, η οποία είναι ίση με L = και ο πίνακας α που δείχνει πότε θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο. Συγκεκριμένα, για τους τελευταίους 12 μήνες η μεταβλητή α παίρνει τις εξής τιμές: 83, , , , , , , , , , , , Παρατηρούμε ότι το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς που αναπαριστά το δείκτη του μη ενεργού πληθυσμού θα εμφανίσει τη μέγιστη τιμή της σε περίπου 1833 μήνες. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο μη ενεργός πληθυσμός συνεχίζει ολοένα να μειώνεται με αποτέλεσμα την τόσο μεγάλη αργοπορία εμφάνισης της μέγιστης τιμής του Η περίπτωση του Ποσοστού Ανεργίας Το ποσοστό ανεργίας είναι ένας πάρα πολύ σημαντικός δείκτης ανεργίας. Μάλιστα, τα δεδομένα που αφορούν τη χρονοσειρά του συγκεκριμένου δείκτη καλύπτουν τη χρονική περίοδο από τον Ιανουάριο 2004 εως τον Οκτώβριο 2016, και αναπαρίστανται ως εξής: [125]

126 Σχήμα 6.4: Γραφική Αναπαράσταση Χρονοσειράς Ποσοστού Ανεργίας Για να εισαχθούν τα δεδομένα της χρονοσειράς που αφορούν το Ποσοστό Ανεργίας, θα χρησιμοποιηθούν οι εξής εντολές στο R: και θα προκύψουν τα εξής περιγραφικά μέτρα θέσης: όπου η μικρότερη τιμή των τιμών της μεταβλητής posaner είναι ίση με 6.7%, ενώ η μέγιστη ίση με 28.70%. Ομοίως, η μέση τιμή είναι ίση με 16.30%, δηλαδή η μέση τιμή του ποσοστού ανεργίας από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίση με 16.30%. Μέσω της εντολής my_func('pososto_anergias.csv') προκύπτει η σταθερά Lipschitz ίση με L = , ενώ ο πίνακας α που δείχνει τη χρονική στιγμή που θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο για τους τελευταίους 12 μήνες παίρνει τις εξής τιμές: 26, , , , , , , , [126]

127 26, , , Παρατηρούμε ότι το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς που αναπαριστά το δείκτη του ποσοστού ανεργίας θα εμφανίσει τη μέγιστη τιμή της σε περίπου 54 μήνες, δηλαδή σε 4,5 χρόνια. Η συνεχής μηνιαία αύξηση του ποσοστού ανεργίας οδηγεί στην πολύ γρήγορη εμφάνιση του μελλοντικού τοπικού μέγιστου σε συνάρτηση με τους υπόλοιπους δείκτες μέτρησης της ανεργίας. Εφόσον το ποσοστό ανεργίας αυξάνεται με ραγδαίο ρυθμό σε σύγκριση με τους υπόλοιπους δείκτες, είναι φυσιολογική μια πιο βραχυπρόθεσμη εμφάνιση της μέγιστης τιμής του Αποσύνθεση Χρονοσειρών Για να μπορέσει να γίνει πλήρη κατανόηση των παρελθοντικών δεδομένων μιας χρονοσειράς, αλλά και να προβλεφθούν καλύτερα οι μελλοντικές κινήσεις της, θα πρέπει να αναλυθεί η χρονοσειρά. Μάλιστα, υπάρχουν ποικίλες μέθοδοι ανάλυσης των χρονοσειρών, οι οποίες λαμβάνουν υπόψη τους την πιθανή εσωτερική δομή των δεδομένων. Συγκεκριμένα, μια χρονοσειρά αποτελείται από μια συνιστώσα τάσης, μια εποχική συνιστώσα, και ένα ακανόνιστο στοιχείο. Η διαδικασία της αποσύνθεσης σε αυτές τις χρονοσειρές περιλαμβάνει το διαχωρισμό τους στις τρεις προαναφερόμενες συνιστώσες, δηλαδή την εκτίμησή τους. Έτσι, για την κατανόηση της ευρύτερης δομής μιας χρονοσειράς πρέπει να εξεταστούν τα εξής στοιχεία: Τάση (Trend T t ): Αν υπάρχουν αυξομειώσεις στο μέσο όρο Εποχιακά (Seasonal Effects I t ): Αν υπάρχουν διακυμάνσεις που σχετίζονται με την εποχή Κατάλοιπα (Residuals E t ): Αν οι διακυμάνσεις είναι τυχαίες ή συστηματικές Αξίζει να αναφέρουμε ότι δύο είναι τα υποδείγματα που χρησιμοποιούνται στην αποσύνθεση των χρονοσειρών. Το προσθετικό υπόδειγμα θεωρεί ότι τα δεδομένα προκύπτουν από την πρόσθεση των συνιστωσών τους, και το πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα το οποίο θεωρεί ότι τα δεδομένα προέρχονται από το [127]

128 γινόμενο των συνιστωσών τους. Έτσι, με βάση το αθροιστικό υπόδειγμα μια χρονοσειρά απαρτίζεται από τα εξής χαρακτηριστικά: Χ t = T t + Ι t + Ε t όπου Χ t είναι η τιμή της χρονοσειράς τη χρονική στιγμή t. Ομοίως, σύμφωνα με το πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα η χρονοσειρά αναλύεται ως εξής: Χ t = T t Ι t Ε t Το αθροιστικό υπόδειγμα είναι πιο διαδεδομένο και χρησιμοποιείται για δεδομένα των οποίων οι τιμές έχουν φυσικό νόημα, όπως αυτά της ανεργίας. Για να εκτιμηθεί η συνιστώσα της τάσης, και η εποχική συνιστώσα των χρονοσειρών που μπορεί να περιγραφεί από το προσθετικό μοντέλο, θα χρησιμοποιηθεί η εντολή ts(read.table("file.csv", header = F, sep = ",")$V2, start = c(2004,1), frequency = 12), όπου κάθε φορά τη θέση του file.csv θα παίρνει το κατάλληλο αρχείο. Προκειμένου, λοιπόν, να εκτιμήσουμε τις συνιστώσες της τάσης, της εποχικότητας, και των καταλοίπων της χρονοσειράς, οι οποίες αποθηκεύονται σε στοιχεία του csv με τις ονομασίες seasonal, trend, και remainder, θα χρησιμοποιηθεί η εντολή stl (file, s.window = period ). Στη συνέχεια, με την εντολή plot() θα απεικονιστεί γραφικά η αποσύνθεση της κάθε χρονοσειράς, και με την εντολή write.table((data.frame (file$time.series), file = "", col.names = T, row.names = T, sep =, ) θα δημιουργηθούν τέσσερα διαφορετικά αρχεία csv, ένα για κάθε μελετούμενη χρονοσειρά. Επομένως, έχουμε το εξής κώδικα στην R: [128]

129 Εικόνα 6.5: Κώδικας για Αποσύνθεση Χρονοσειράς Η περίπτωση του Αριθμού Ανέργων Οι εκτιμήσεις του δείκτη που αναπαριστά τον αριθμό των ανέργων είναι από τον Ιανουάριο του 2004 εως τον Οκτώβριο του Μάλιστα, σύμφωνα με το R, στην παρακάτω απεικόνιση η αρχική χρονοσειρά περιγράφεται στο πρώτο τμήμα της γραφικής παράστασης, στο δεύτερο κομμάτι δίνεται η εκτιμώμενη συνιστώσα τάσης, ενώ στο τρίτο κομμάτι παρουσιάζεται η εκτίμηση των ακανόνιστων στοιχείων. [129]

130 Σχήμα 6.6: Αποσύνθεση Χρονοσειράς Δείκτη Αριθμού Ανέργων Στη συνέχεια, εκτελώντας τις εξής εντολές στο R για τη μεταβλητή anergoi.trend: θα προκύψουν τα εξής περιγραφικά μέτρα θέσης: Αποσυνθέτοντας τη χρονοσειρά του αριθμού των ανέργων, και χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που αναπαριστούν την τάση αφαιρώντας την εποχικότητα, και τα ακανόνιστα στοιχεία, παρατηρούμε ότι η μεταβλητή anergoi.trend παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της τη χρονική στιγμή 53, και είναι ίση με άτομα, ενώ η μέγιστη τιμή της είναι ίση με 1330 άτομα. Ομοίως, η μέση τιμή είναι ίση με άτομα, δηλαδή ο μέσος αριθμός της τάσης των ανέργων από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίσος με 795,6. Έτσι, η γραφική αναπαράσταση της χρονοσειράς του αριθμού των ανέργων που μελετάται μόνο ως προς την τάση είναι η εξής: [130]

131 Σχήμα 6.7: Γραφική Απεικόνιση Χρονοσειράς Τάσης Αριθμού Ανέργων Χρησιμοποιώντας την εντολή my_func('anergoi.trend.csv') προκύπτει η σταθερά Lipschitz, η οποία είναι ίση με L = και ο πίνακας α που δείχνει πότε θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο. Συγκεκριμένα, για τους τελευταίους 12 μήνες η μεταβλητή α παίρνει τις εξής τιμές: 7, , , , , , , , , , , , Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που προέκυψαν, το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς του αριθμού των ανέργων που έχει αποσυνθεθεί εμφανίζεται σε περίπου 23 μήνες, πολύ λιγότερους σε αντίθεση με τη χρονοσειρά που δεν έχει αποσυνθεθεί (106 μήνες). Παρατηρούμε ότι η ανεργία επηρεάζεται σε τεράστιο βαθμό από την εποχικότητα, καθώς σε κάποιες περιόδους εμφανίζει υψηλότερους αριθμούς. [131]

132 Η περίπτωση του Αριθμού Απασχολούμενων Στη συνέχεια, προκειμένου να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος στη χρονοσειρά που αναπαριστά τον αριθμό των Απασχολούμενων στην Ελλάδα, θα κάνουμε αποσύνθεση της χρονοσειράς. Συγκεκριμένα, η χρονοσειρά που αναπαριστά τον αριθμό απασχολούμενων περιγράφεται στο πρώτο τμήμα της γραφικής παράστασης, στο δεύτερο τμήμα αναπαρίσταται η εκτιμώμενη συνιστώσα τάσης, ενώ στο τρίτο κομμάτι δίνεται η εκτίμηση των ακανόνιστων στοιχείων. Έτσι, η αποσύνθεση της συγκεκριμένης χρονοσειράς είναι η εξής: Σχήμα 6.8: Αποσύνθεση Χρονοσειράς Δείκτη Απασχολούμενων Στη συνέχεια, εκτελώντας τις παρακάτω εντολές στο R για τη μεταβλητή apasxoloumenoi.trend: Παρατηρούμε ότι η εκτίμηση της συνιστώσας τάσης του αριθμού των απασχολούμενων φαίνεται να παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με 3498 άτομα, ενώ τοπικό μέγιστο είναι ίσο με 4600 άτομα. Η μέση τιμή της είναι ίση με 4117 άτομα, δηλαδή ο μέσος αριθμός της τάσης των απασχολούμενων από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίσος με 4117 άτομα. [132]

133 Με βάση τα παραπάνω η γραφική αναπαράσταση της χρονοσειράς της τάσης του αριθμού των απασχολούμενων έχει ως εξής: Σχήμα 6.9: Γραφική Απεικόνιση Χρονοσειράς Τάσης Αριθμού Απασχολούμενων Χρησιμοποιώντας την εντολή my_func('apasxoloumenoi.trend.csv') προκύπτει η σταθερά Lipschitz, η οποία είναι ίση με L = , σε αντίθεση με αυτή της μεταβλητής apasxoloumenoi, η οποία ισούται με L = O πίνακας α που δείχνει τη χρονική στιγμή που θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο για τους τελευταίους 12 μήνες έχει ως εξής: 2, , , , , , , , , , , , Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που προέκυψαν, το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς της τάσης του αριθμού των απασχολούμενων εμφανίζεται σε περίπου 10 μήνες, σε αντίθεση με τη χρονοσειρά του αριθμού των απασχολούμενων (1004 μήνες). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η απασχόληση επηρεάζεται σε πολύ [133]

134 μεγάλο βαθμό από την εποχικότητα, καθώς αυξάνεται σε ορισμένες περιόδους. Προκειμένου, λοιπόν, να αποκατασταθεί η απασχόληση στην Ελληνική οικονομία απαιτείται ένα μεγάλο χρονικό διάστημα Η περίπτωση του Μη Ενεργού Πληθυσμού Όσον αφορά την αποσύνθεση της χρονοσειράς του αριθμού του Μη Ενεργού Πληθυσμού στην Ελλάδα, στο πρώτο τμήμα της γραφικής παράστασης αναπαρίσταται η ίδια η χρονοσειρά, στο δεύτερο τμήμα η εκτιμώμενη συνιστώσα τάσης, ενώ στο τρίτο τμήμα η εκτίμηση των ακανόνιστων στοιχείων. Έτσι, η γραφική αναπαράσταση της αποσύνθεσης της συγκεκριμένης χρονοσειράς είναι η εξής: Σχήμα 6.10: Αποσύνθεση Χρονοσειράς Μη Ενεργού Πληθυσμού Εισάγοντας τη μεταβλητή mienergoi.trend στο R, τα βασικά περιγραφικά μέτρα θέσης της είναι τα εξής: Η μεταβλητή εμφανίζει ελάχιστη τιμή ίση με 3236 άτομα, ενώ η μέγιστη τιμή της είναι ίση με 3566 άτομα. Ομοίως, η μέση τιμή της είναι ίση με 3412 άτομα, δηλαδή ο μέσος αριθμός της τάσης του μη ενεργού πληθυσμού από τον Ιανουάριο του 2004 εως και τον Οκτώβριο του 2016 είναι ίσος με 3412 άτομα. [134]

135 Επομένως, η γραφική αναπαράσταση της χρονοσειράς της τάσης του μη Ενεργού Πληθυσμού είναι η εξής: Σχήμα 6.11: Γραφική Απεικόνιση Χρονοσειράς Τάσης Μη Ενεργού Πληθυσμού Βάση της εντολής [L a]=my_func('mienergoi.trend.csv') η σταθερά Lipschitz, η οποία είναι ίση με L = , ενώ ο πίνακας α που δείχνει τη χρονική στιγμή που θα προκύψει το μελλοντικό τοπικό βέλτιστο για τους τελευταίους 12 μήνες έχει ως εξής: 1, , , , , , , , , , , , Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που προέκυψαν, το τοπικό μελλοντικό βέλιστο της χρονοσειράς της τάσης του μη ενεργού πληθυσμού θα εμφανιστεί πολύ πιο γρήγορα από ότι περιμένουμε εμφανίζεται σε περίπου 3.33 μήνες, σε αντίθεση με τη χρονοσειρά του αριθμού του μη ενεργού πληθυσμού (1833 μήνες). [135]