ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Δημήτριος Χ. Σαλονικιός Α.Ε.Μ.: Μ200. Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Ευαγγελία Τρέσσου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα και οι ιδιότητές τους στα σχολικά εγχειρίδια του Δημοτικού σχολείου. Ανάλυση με βάση τη θεωρία van Hiele για τη γεωμετρική σκέψη.» Δημήτριος Χ. Σαλονικιός Α.Ε.Μ.: Μ200 Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Ευαγγελία Τρέσσου Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2008

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...1 ΠΕΡΙΛΗΨΗ...3 ABSTRACT...4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5 ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ..7 Κεφάλαιο 1 ο : Η Διδασκαλία της Γεωμετρίας Η σημασία της Γεωμετρίας Η διδασκαλία και η μάθηση της Γεωμετρίας Θεωρίες για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας..10 Κεφάλαιο 2 ο : Η θεωρία των van Hiele Εισαγωγή Δομή (Structure) και Ενόραση (Insight) Το έργο των van Hiele Τα επίπεδα της Γεωμετρικής σκέψης Χαρακτηριστικά των επιπέδων van Hiele Οι φάσεις της μάθησης Η μετάβαση μεταξύ των επιπέδων van Hiele Συνέπειες στη Διδασκαλία Επιλογή Δραστηριότητας και Επίπεδα της Σκέψης Η επίδραση της θεωρίας van Hiele στη διδασκαλία της Γεωμετρίας Η παιδαγωγική αξία του μοντέλου van Hiele..47 Κεφάλαιο 3 ο : Μαθηματικές Δραστηριότητες Εισαγωγή Η Μαθηματική Δραστηριότητα Η Δραστηριότητα Η Διδακτική προσέγγιση..51 ΜΕΡΟΣ Β Η ΕΡΕΥΝΑ.53 Β1. Σκοπός της έρευνας...54 Β2. Χρησιμότητα της έρευνας.54 Β3. Ερευνητικά ερωτήματα.54 Κεφάλαιο 1 ο : Μέρος Ι Μεθοδολογία της έρευνας.56 1

3 1.1.1 Ερευνητική στρατηγική Πληθυσμός Δείγμα Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων Κωδικοποίηση των απαντήσεων Ανάλυση δεδομένων Συζήτηση..63 Κεφάλαιο 2 ο : Μέρος ΙΙ Μεθοδολογία της έρευνας Ανάλυση δεδομένων Συζήτηση..70 ΜΕΡΟΣ Γ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 73 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.77 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ...80 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (TEST) 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 85 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ (ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ) ΣΤΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 95 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙV Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλοί/ ές ερευνητές/ τριες προβληματίστηκαν με τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές/ τριες στη μάθηση της Γεωμετρίας και προσπάθησαν να εξηγήσουν γιατί συμβαίνει αυτό και πώς μπορούν να παρέμβουν διδακτικά οι εκπαιδευτικοί, ώστε να γίνει πιο κατανοητή στους/στις μαθητές/ τριες. Στα τέλη της δεκαετίας του 50, οι Ολλανδοί εκπαιδευτικοί Pierre van Hiele και η σύζυγός του, Dina van Hiele-Geldof, (1957) πρότειναν ένα θεωρητικό μοντέλο κατανόησης των γεωμετρικών εννοιών που περιλάμβανε πέντε επίπεδα ανάπτυξης της σκέψης στη Γεωμετρία και πέντε φάσεις μάθησης. Σημαντική παράμετρος του μοντέλου αποτέλεσε η ανάπτυξη της ενόρασης στους/στις μαθητές/ τριες τους, ώστε αυτοί να κινηθούν από το ένα επίπεδο σκέψης προς το υψηλότερο. Η θεωρία των van Hiele έγινε γνωστή σε πολλές χώρες, όπως η Σοβιετική Ένωση και οι Η.Π.Α., αλλά και η Ελλάδα. Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνήσει το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης των μαθητών/ τριών του Δημοτικού σχολείου και κατά πόσο οι δραστηριότητες της Γεωμετρίας που αφορούν τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα και τις ιδιότητές τους στα νέα σχολικά εγχειρίδια μαθηματικών του Δημοτικού σχολείου είναι προσαρμοσμένες στο επίπεδο της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών/ τριών κάθε τάξης, με βάση τη θεωρία των van Hiele. 3

5 ABSTRACT Lots of researchers have been troubled by the difficulties that pupils cope with in learning Geometry and tried to explain why this happens and what teachers can do in teaching to make Geometry more understandable to pupils. In the 50s, Dutch teachers Pierre van Hiele and his wife, Dina van Hiele- Geldof, (1957) suggested a theoretical model of understanding Geometry, which included five levels of developing geometrical thought and five learning phases. An important parameter of the model had been the development of insight in pupils, so that they move from one level to a higher one. Van Hiele s theory had been known in many countries like the Soviet Union, the United States and Greece as well. The aim of this research is to find out the level of geometrical thought in pupils of primary school and how geometrical activities, concerning the geometrical shapes and their properties in the new school books of Mathematics in primary school, are adapted to the level of geometrical thought of pupils in each class, depended on the van Hiele theory. 4

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της Γεωμετρίας, στο πλαίσιο της διδασκαλίας των Μαθηματικών, θεωρείται σημαντική, είτε ως αυτόνομη γνωστική περιοχή είτε ως μέσο για την ανάπτυξη άλλων μαθηματικών εννοιών. Παρ όλο που τα παιδιά είναι εξοικειωμένα με γεωμετρικές έννοιες, πριν ακόμη φοιτήσουν στο σχολείο, συναντούν σημαντικές δυσκολίες στη μάθηση της Γεωμετρίας, ως μαθητές/ τριες της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Αλλά και οι εκπαιδευτικοί αντιμετωπίζουν προβλήματα, κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος. Το ζήτημα αυτό απασχόλησε τους/τις ερευνητές/ τριες, οι οποίοι προσπάθησαν να απαντήσουν για ποιο λόγο πολλοί/ ες μαθητές/ τριες δυσκολεύονται στη μάθηση της Γεωμετρίας και πώς μπορούν να παρέμβουν διδακτικά οι εκπαιδευτικοί, ώστε να γίνει πιο κατανοητή στους/στις μαθητές/ τριες. Στα τέλη της δεκαετίας του 50, οι Ολλανδοί εκπαιδευτικοί Pierre van Hiele και η σύζυγός του, Dina van Hiele-Geldof, (1957) απάντησαν στο παραπάνω ζήτημα, προτείνοντας ένα θεωρητικό μοντέλο κατανόησης των γεωμετρικών εννοιών που περιλάμβανε πέντε επίπεδα ανάπτυξης της σκέψης στη Γεωμετρία (Επίπεδο 0: Οπτικοποίηση ή Αναγνώριση, Επίπεδο 1: Ανάλυση ή Περιγραφή, Επίπεδο 2: Άτυπη Παραγωγή ή Διάταξη, Επίπεδο 3: Τυπική παραγωγή ή Αφαίρεση, Επίπεδο 4: Αυστηρότητα). Σύμφωνα μ αυτό το μοντέλο, οι μαθητές/ τριες οδηγούνται από το ένα επίπεδο στο επόμενο, περνώντας μέσω πέντε φάσεων μάθησης (Φάση 1: Πληροφόρηση, Φάση 2: Καθοδηγούμενος προσανατολισμός, Φάση 3: Έκφραση Ανάλυση, Φάση 4: Ελεύθερος προσανατολισμός, Φάση 5: Ολοκλήρωση). Σημαντική παράμετρος του μοντέλου van Hiele αποτελεί η ανάπτυξη της ενόρασης στους/στις μαθητές/ τριες τους, ώστε αυτοί να κινηθούν από το ένα επίπεδο σκέψης προς το υψηλότερο, με την εκμάθηση δομών παρά δεδομένων. Η θεωρία των van Hiele προσέλκυσε, αρχικά, το ενδιαφέρον των Σοβιετικών και, δύο δεκαετίες αργότερα, των Αμερικάνων. Σε πολλές χώρες, μεταξύ των οποίων και η Ελλάδα, οι ερευνητές/ τριες μελέτησαν τη θεωρίας και επιβεβαίωσαν την ισχύ της. Στην παρούσα εργασία διερευνήθηκε α) το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης των μαθητών/ τριών του Δημοτικού σχολείου και β) κατά πόσο οι δραστηριότητες της Γεωμετρίας, που αφορούν τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα και τις ιδιότητές τους στα νέα σχολικά εγχειρίδια Μαθηματικών του Δημοτικού σχολείου, είναι 5

7 προσαρμοσμένες στο επίπεδο της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών/ τριών κάθε τάξης, με βάση τη θεωρία των van Hiele 1. Στο πλαίσιο της έρευνας, εξετάστηκε ο βαθμός κατάκτησης του πρώτου επιπέδου (Ανάλυση ή Περιγραφή) γεωμετρικής σκέψης κατά van Hiele των μαθητών/ τριών της Δ και ΣΤ τάξης, με ένα ερωτηματολόγιο (test), και η προσαρμογή των δραστηριοτήτων της Γεωμετρίας, που αφορούν τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα και τις ιδιότητές τους, στο επίπεδο της γεωμετρικής σκέψης κατά van Hiele των μαθητών/ τριών της αντίστοιχης τάξης, με ανάλυση του περιεχομένου των εγχειριδίων των Μαθηματικών. 1 Το σχολικό έτος έγινε η εισαγωγή νέων εγχειριδίων σε όλες τις τάξεις του Δημοτικού Σχολείου, ύστερα από σχεδόν 25 χρόνια. Τα νέα εγχειρίδια βασίζονται στις αρχές και τη φιλοσοφία των νέων Αναλυτικών Προγραμμάτων Σπουδών (Α.Π.Σ.) (Φ.Ε.Κ / τ. Β ). 6

8 ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 7

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 1.1 Η σημασία της Γεωμετρίας Η επιστήμη της ποσότητας είναι η Αριθμητική, ενώ η επιστήμη του χώρου είναι η Γεωμετρία. Το αντικείμενο της πρώτης είναι οι πράξεις και οι εφαρμογές των αριθμών στην καθημερινή ζωή, ενώ της δεύτερης είναι η μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων (Κολέζα, 2000). Η επιγραφή στην είσοδο της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην αρχαία Ελλάδα έγραφε «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω», επειδή ο Πλάτωνας πίστευε ότι, αυτός που δε γνώριζε Γεωμετρία, δεν μπορούσε να θεωρηθεί ολοκληρωμένος άνθρωπος (Ντιαχρήστος & Κοντογιάννης, 1997, όπ. αναφ. στο Ντζιαχρήστος & Ζαράνης, 2001). Το ρητό αυτό φαίνεται ότι ισχύει και στη σημερινή εποχή, καθώς η Γεωμετρία αποτελεί αναπόσπαστο τμήμα της διδασκαλίας των Μαθηματικών σε όλες τις χώρες τους κόσμου. Ο Vand de Walle (2001) απαντάει στην ερώτηση "Γιατί μαθαίνουμε Γεωμετρία;": 1. Η Γεωμετρία παρέχει μια πληρέστερη εκτίμηση του κόσμου. Μπορεί να βρεθεί στη δομή του ηλιακού συστήματος, στους γεωλογικούς σχηματισμούς, στους βράχους και τα κρύσταλλα, στα φυτά και τα λουλούδια ακόμη και στα ζώα. Αποτελεί, επίσης, ένα μεγάλο μέρος του ανθρώπινου κόσμου: Η τέχνη, η αρχιτεκτονική, τα αυτοκίνητα, οι μηχανές και, γενικά, όλα αυτά που δημιουργούν οι άνθρωποι έχουν στοιχεία της γεωμετρικής μορφής. 2. Η γεωμετρική διερεύνηση μπορεί να αναπτύξει τις δεξιότητες επίλυσης προβλήματος, που αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους λόγους για την εκμάθηση των μαθηματικών. 3. Η Γεωμετρία διαδραματίζει έναν βασικό ρόλο στη μελέτη άλλων τομέων των μαθηματικών π.χ. η αναλογία και η συμμετρία σχετίζονται άμεσα με τη γεωμετρική έννοια της ομοιότητας, η μέτρηση και η Γεωμετρία είναι άρρηκτα δεμένες. 4. Η Γεωμετρία χρησιμοποιείται καθημερινά από πολλούς ανθρώπους. Οι επιστήμονες, οι αρχιτέκτονες, οι καλλιτέχνες, οι μηχανικοί είναι απλώς μερικά από τα επαγγέλματα που χρησιμοποιούν τη Γεωμετρία τακτικά. Στο σπίτι, η 8

10 Γεωμετρία βοηθά στο χτίσιμο ένας φράκτη, στη σχεδίαση ενός σπιτιού για σκύλο, στην κατασκευή ενός κήπου, στη διακόσμηση ενός δωματίου. 5. Η Γεωμετρία είναι ευχάριστη. Εάν η Γεωμετρία αυξάνει την προτίμηση των μαθητών/ τριών για τα μαθηματικά, αυτό κάνει την προσπάθεια να αξίζει τον κόπο. 1.2 H διδασκαλία και η μάθηση της Γεωμετρίας Η Γεωμετρία μπορεί να ερμηνευτεί ως μια επιστήμη του χώρου και/ ή ως μια λογική δομή. Οι δύο αυτές «όψεις» είναι αλληλένδετες, καθώς η εξοικείωση με τα γεωμετρικά σχήματα και τις μεταξύ τους σχέσεις αποτελεί βασική προϋπόθεση για τη μάθηση της Γεωμετρίας ως παραγωγικό συλλογιστικό σύστημα (Κολέζα, 2000). Η διδασκαλία της θεωρείται σημαντική και ως αυτόνομο μάθημα αλλά και ως μέσο για την ανάπτυξη άλλων μαθηματικών εννοιών π.χ. την κατανόηση του πολλαπλασιασμού, των κλασματικών αριθμών κτλ. (NCTM, 1989, όπ. αναφ. στο Van de Walle, 2001 Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Η Γεωμετρία παρέχει το πλαίσιο για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, τόσο της κατώτερης, όπως η αναγνώριση των σχημάτων, όσο και της ανώτερης, όπως η ανακάλυψη των ιδιοτήτων των σχημάτων και η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων (Κολέζα, 2000 Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Τα παιδιά έρχονται σε επαφή και αποκτούν εμπειρίες με τις γεωμετρικές έννοιες, πριν ακόμη ξεκινήσουν το σχολείο. Στην καθημερινή τους ζωή, μέσα από το παιχνίδι, διακρίνουν διάφορα γεωμετρικά σχήματα ανάλογα με το σχήμα ή το μέγεθός τους, ανακαλύπτουν τις ιδιότητές τους και αναγνωρίζουν την ονομασία τους. Οι γνώσεις αυτές των παιδιών μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση του αναλυτικού προγράμματος της Γεωμετρίας (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Είναι εφικτή, λοιπόν, η μελέτη της Γεωμετρίας και στις μικρές ηλικίες, βασιζόμενη στις εμπειρίες των παιδιών για το χώρο, που αποτελεί μέρος του περιβάλλοντος και των βιωμάτων τους (Χρονάκη, 2006). Η γεωμετρική σκέψη του παιδιού αναπτύσσεται με την επαφή του με το, εκ των πραγμάτων, γεωμετρικό περιβάλλον. Η ανάπτυξη της αντίληψης του παιδιού για το χώρο μπορεί να μελετηθεί μέσα από τα σχέδια των παιδιών σε μικρή ηλικία. Εκεί στηρίχθηκαν οι έρευνες του Piaget, με βάση τις οποίες κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία, που κυριαρχεί στα σχολεία όλου του κόσμου, εδώ και 9

11 αιώνες, δε συμβαδίζει με την εξέλιξη της σκέψης του παιδιού στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού σχολείου (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Στις περισσότερες χώρες, η διδασκαλία της Γεωμετρίας στο Δημοτικό σχολείο βασίζεται στην εξερεύνηση, ονομασία, περιγραφή, ομαδοποίηση, σχεδιασμό και μέτρηση φυσικών αντικειμένων στο επίπεδο ή στο χώρο (Κολέζα, 2000). Η μελέτη της Γεωμετρίας απαιτεί τη στενή σύνδεση και συνεργασία τριών ειδών γνωστικών διαδικασιών (ό.π., 2000, σελ. 258): 1. διαδικασιών «οπτικοποίησης για την αναπαράσταση αντικειμένων του χώρου, την επεξήγηση μιας πρότασης, τη συστηματική διερεύνηση μιας σύνθετης κατάστασης ή απλά για μια υποκειμενική επαλήθευση ή τον έλεγχο κάποιων υποθέσεων» 2. διαδικασιών «κατασκευής με συγκεκριμένα εργαλεία και υπό συγκεκριμένες συνθήκες» 3. διαδικασιών «συλλογισμού» Οι μικροί/ ες μαθητές/ τριες θα πρέπει να έχουν την ευκαιρία να αναπτύξουν τη γεωμετρική τους σκέψη, με τις κατάλληλες δραστηριότητες, δηλαδή, να σχεδιάσουν και να κατασκευάσουν γεωμετρικά σχήματα με διάφορα υλικά (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Η διερεύνηση και η απόκτηση εμπειριών μπορούν να πραγματοποιηθούν σε διαφορετικά επίπεδα: από τα σχήματα και τη μορφή τους, στις ιδιότητες των σχημάτων και στις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων. Η άτυπη Γεωμετρία είναι άρρηκτα δεμένη με τη διερεύνηση, μέσω χειρονακτικών δραστηριοτήτων (Vand de Walle, 2001). Στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση η διδασκαλία της Γεωμετρίας είναι εξίσου σημαντική. Ο Τουμάσης (1994) προτείνει τους εξής λόγους: Α) Βοηθάει στην ανάπτυξη της ικανότητας αντίληψης του χώρου. Β) Καλλιεργεί την ικανότητα νοερής σύλληψης των αντικειμένων. Γ) Συνδέει άμεσα τα μαθηματικά με τον πραγματικό κόσμο. Δ) Βοηθάει στην κατανόηση αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, ερμηνεύοντάς τα μέσα από γεωμετρικά μοντέλα. Ε) Αποτελεί ένα απλό και κατανοητό για τους/τις μαθητές/ τριες μαθηματικό σύστημα. 10

12 Παρ όλα αυτά, η διδασκαλία της παρουσιάζει μεγάλα προβλήματα και δυσκολίες. Φαίνεται ότι οι περισσότεροι/ ες μαθητές/ τριες στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση θεωρούν ότι το μάθημα της Γεωμετρίας είναι από τα δυσκολότερα και πιο απαιτητικά σχολικά μαθήματα. Παρόμοια προβλήματα αντιμετωπίζουν και οι καθηγητές/ τριες των Μαθηματικών σ όλο τον κόσμο, κατά τη διδασκαλία αυτού του μαθήματος (Τουμάσης, 1994). Οι μαθητές/ τριες, ανάλογα με την εκπαιδευτική βαθμίδα (Πρωτοβάθμια ή Δευτεροβάθμια) στην οποία ανήκουν, συναντούν διαφορετικές δυσκολίες στη μάθηση της Γεωμετρίας, από την ορολογία και την αντίληψη του χώρου, μέχρι τη δημιουργία συλλογισμών και την κατασκευή αποδείξεων: Στο Δημοτικό, όπου διδάσκεται η περιγραφική ή άτυπη Γεωμετρία (μη αποδεικτική Γεωμετρία), φαίνεται ότι οι μαθητές/ τριες αναγνωρίζουν σχετικά εύκολα τα γεωμετρικά σχήματα, δυσκολεύονται, όμως, στην εκμάθηση των ιδιοτήτων τους και στη μαθηματική ορολογία που χρησιμοποιείται για την περιγραφή τους (Τουμάσης, 1994). Οι ιδιαιτερότητες ορισμένων σχημάτων τους «αναγκάζουν» να αγνοούν το μαθηματικό ορισμό, παρ ότι τον γνωρίζουν π.χ. η χάραξη του ύψους σε αμβλυγώνιο τρίγωνο, η αναγνώριση της ορθής γωνίας σε «ασυνήθιστη» θέση, η διάκριση μεταξύ τετραγώνου και ρόμβου (Κολέζα, 2000). Στο Γυμνάσιο και το Λύκειο, όπου διδάσκεται η τυπική Γεωμετρία (αποδεικτική Γεωμετρία), οι μαθητές/ τριες δυσκολεύονται να εφαρμόσουν τη θεωρία στην επίλυση ασκήσεων και προβλημάτων. Η έννοια της απόδειξης των γεωμετρικών προτάσεων τους δημιουργεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες (Τουμάσης, 1994). Σύμφωνα με το van Hiele (1999), αυτό συμβαίνει γιατί η σχολική Γεωμετρία, που παρουσιάζεται με παρόμοιο αξιωματικό τρόπο, όπως η ευκλείδεια Γεωμετρία, θεωρεί ότι οι μαθητές/ τριες σκέφτονται σε ένα τυπικό αφαιρετικό επίπεδο. Αυτό δεν ισχύει όμως, καθώς τους λείπουν προαπαιτούμενες γνώσεις σχετικά με τη Γεωμετρία. Αυτή η έλλειψη δημιουργεί ένα κενό ανάμεσα στο επίπεδο της σκέψης τους και σ αυτό που απαιτείται να μάθουν. 1.3 Θεωρίες για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις στην έρευνα, γύρω από τη διδασκαλία και μάθηση της Γεωμετρίας (Κολέζα, 2000). Σύμφωνα με την πρώτη προσέγγιση, η έρευνα έχει ως αφετηρία τη διατύπωση μιας θεωρίας, η οποία στη συνέχεια επιβεβαιώνεται ή απορρίπτεται, με βάση τα ερευνητικά δεδομένα. Η θεωρία του 11

13 Piaget, που μελέτησε την αντίληψη του χώρου στα μικρά παιδιά, ανήκει σ αυτή την κατηγορία (Piaget & Inhelder, 1967, όπ. αναφ. στο Κολέζα, 2000). Σ αυτή την προσέγγιση οι γεωμετρικές δραστηριότητες επιλέγονται με γνώμονα το θεωρητικό μοντέλο και δεν αντανακλούν απαραίτητα την πραγματικότητα των παιδιών. Η δεύτερη προσέγγιση έχει ως στόχο την κατανόηση και ερμηνεία των δυνατοτήτων των μαθητών/ τριών και των διαδικασιών που ακολουθούν. Σ αυτή την περίπτωση, η θεωρία δεν αποτελεί τη βάση για τον σχεδιασμό της έρευνας, αλλά χρησιμοποιείται ως εργαλείο για να εξηγήσει καταστάσεις και αποτελέσματα που προκύπτουν από την έρευνα. Το αποτέλεσμα της έρευνας είναι η βελτίωση των θεωριών, που ήδη υπάρχουν, ή η διατύπωση νέων θεωριών. Οι σύγχρονες έρευνες στο χώρο της διδακτικής ακολουθούν κυρίως τη δεύτερη προσέγγιση. Οι περισσότερες χρησιμοποιούν ως εργαλείο ανάλυσης των παρατηρήσεων τη θεωρία των επιπέδων γεωμετρικής σκέψης του van Hiele (Κολέζα, 2000). 12

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ VAN HIELE 2.1 Εισαγωγή Στα τέλη της δεκαετίας του 50, οι Ολλανδοί εκπαιδευτικοί Pierre van Hiele και η σύζυγός του, Dina van Hiele-Geldof, προβληματίζονταν με τις δυσκολίες των μαθητών/ τριών τους στη Γεωμετρία. Ο Pierre van Hiele επηρεάστηκε από το έργο του Piaget (κατασκευή της γνώσης), σύμφωνα με το οποίο, το άτομο κατασκευάζει τη γνώση εσωτερικά, μέσω της αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον του. Το άτομο περνάει από τέσσερα στάδια ανάπτυξης, το Αισθητικοκινητικό (περίπου 0-2 ετών), το Προεννοιολογικό (περίπου 2-7 ετών), των Συγκεκριμένων Λειτουργιών (περίπου 7-12 ετών) και των Τυπικών Λειτουργιών (περίπου 12 ετών ενήλικος). Η μετάβαση από το ένα στάδιο στο άλλο εξαρτάται από τη βιολογική ωρίμανση του ατόμου και περιλαμβάνει δύο συμπληρωματικές διαδικασίες, την αφομοίωση (assimilation) (διαδικασία ενσωμάτωσης των νέων δεδομένων στις ήδη υπάρχουσες δομές γνώσης) και τη συμμόρφωση (accommodation) (διαδικασία τροποποίησης των γνωστικών δομών του ατόμου) (Κολέζα, 2000 Τρέσσου, 1993). Επομένως, για να μπορέσει το παιδί να αφομοιώσει μία πληροφορία, θα πρέπει να είναι έτοιμο, να έχει κατασκευάσει, δηλαδή, τις απαραίτητες νοητικές δομές, που απαιτεί η συγκεκριμένη πληροφορία. Όταν όμως η διδασκαλία ενός αντικειμένου απαιτεί λειτουργίες ανώτερου γνωστικού επίπεδου, από αυτό στο οποίο βρίσκεται το παιδί, τότε αυτό δεν μπορεί να ανταποκριθεί (Κολέζα, 2000). Οι van Hiele επηρεάστηκαν, επίσης, από το έργο του Vygotsky (θεωρία του κοινωνικο-πολιτισμικού πλαισίου), σύμφωνα με το οποίο, το παιδί μπορεί να λειτουργήσει μαθησιακά καλύτερα, μέσω της αλληλεπίδρασης ενηλίκου ή ομάδας συνομηλίκων, μέσα από τη μίμηση κάποιων λειτουργιών, απ ότι μόνο του, χωρίς βοήθεια (Berthoud-Papandropoulou & Kilcher, 1996 Κολέζα, 2000). Για να εκφράσει τη μίμηση, στα πλαίσια μιας κοινωνικοπολιτισμικής δραστηριότητας, ο Vygotsky (1978, όπ. αναφ. στο Berthoud-Papandropoulou & Kilcher, 1996 Κολέζα, 2000) εισήγαγε την ιδέα της ζώνης επικείμενης ανάπτυξης (zone of proximal development). Η ζώνη επικείμενης ανάπτυξης είναι η απόσταση ανάμεσα στο αναπτυξιακό επίπεδο, στο οποίο βρίσκεται το παιδί, με βάση τα προβλήματα που 13

15 μπορεί να επιλύσει μόνο του, χωρίς εξωτερική βοήθεια, και στο εν δυνάμει επίπεδο, με βάση τα προβλήματα που μπορεί να επιλύσει με τη βοήθεια ενός ενηλίκου (εκπαιδευτικού/ γονέα) ή σε συνεργασία με ικανότερους συνομηλίκους (ό.π., 1978). Στο πλαίσιο της ζώνης επικείμενης ανάπτυξης, ενεργοποιούνται εσωτερικές αναπτυξιακές διεργασίες, λόγω της αλληλεπίδρασης του παιδιού με άτομα του περιβάλλοντός του (ενηλίκους/ συνομηλίκους), και, μ αυτόν τον τρόπο, μπορεί να αποκομίσει τα μεγαλύτερα μαθησιακά οφέλη. Αυτό δε σημαίνει ότι ο/η μαθητής/ τρια μαθαίνει αυτόματα. Η ζώνη επικείμενης ανάπτυξης αποτελεί ένα υποστηρικτικό πλαίσιο, μια «σκαλωσιά», που υποβοηθά τη μάθηση. Ο/Η δάσκαλος/ α θα πρέπει να δημιουργήσει ένα ευνοϊκό μαθησιακό περιβάλλον για τους/τις μαθητές/ τριες, με τη χρήση κατάλληλων μοντέλων ή με τη δημιουργία καταστάσεων επικοινωνίας ανάμεσα τους (Κολέζα, 2000). Φαίνεται, λοιπόν, πόσο σημαντικός είναι ο ρόλος του δασκάλου στην κατάκτηση του επόμενου αναπτυξιακού επίπεδου από το μαθητή. Ύστερα από παρατήρηση μαθητών/ τριών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, που δυσκολεύονταν στην εκμάθηση της Γεωμετρίας στις τάξεις τους, οι van Hiele ανέπτυξαν ένα θεωρητικό μοντέλο κατανόησης των γεωμετρικών εννοιών που περιλάμβανε πέντε επίπεδα ανάπτυξης της σκέψης στη Γεωμετρία. Η εργασία τους, που επικεντρώθηκε στο ρόλο της διαδικασίας της διδασκαλίας στη Γεωμετρία και στο ρολό της διδασκαλίας στην παροχή βοήθειας στους/στις μαθητές/ τριες, ώστε αυτοί να κινηθούν από το ένα επίπεδο στο επόμενο, δημοσιεύθηκε αρχικά στις διατριβές τους στο πανεπιστήμιο της Ουτρέχτης το Σύμφωνα με το μοντέλο van Hiele, ο/η μαθητής/ τρια, βοηθούμενος από τις κατάλληλες εκπαιδευτικές εμπειρίες, περνά από αυτά τα επίπεδα, ξεκινώντας από την αναγνώριση των σχημάτων ως ολότητας (επίπεδο 0), προχωρώντας στην ανακάλυψη των ιδιοτήτων των σχημάτων και του άτυπου λογικού συλλογισμού σχετικά με αυτά τα σχήματα (επίπεδα 1 και 2) και καταλήγοντας σε μια αυστηρή μελέτη της αξιωματικής Γεωμετρίας (επίπεδα 3 και 4) (Fuys, Geddes, & Tischler, 1984). Επίσης, οι van Hiele κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι μαθητές/ τριες οδηγούνται από το ένα επίπεδο στο επόμενο, περνώντας μέσω πέντε φάσεων μάθησης, από μια φάση πληροφόρησης σε μια φάση ολοκλήρωσης. Υποστήριξαν ότι οι δάσκαλοι/ ες πρέπει να επικεντρωθούν στην ανάπτυξη της ενόρασης στους/στις μαθητές/ τριες τους, βοηθώντας τους να κινηθούν από το ένα επίπεδο σκέψης προς άλλο υψηλότερο, με την εκμάθηση δομών παρά δεδομένων. 14

16 2.2 Δομή (Structure) και Ενόραση (Insight) Ο van Hiele (1986) θεώρησε τη δομή ως ένα σημαντικό φαινόμενο, καθώς επιτρέπει στον άνθρωπο να ενεργεί σε καταστάσεις που δεν είναι ακριβώς οι ίδιες με αυτές που έχει ήδη συναντήσει, χωρίς κάθε φορά να μπαίνει στη διαδικασία δοκιμής και λάθους. Διέκρινε τις δομές σε ισχυρές και αδύναμες, ανάλογα με την ακαμψία τους. Ισχυρές δομές είναι μόνο αυτές που θα μπορούσαν να επεκταθούν με έναν τρόπο, και ως εκ τούτου, θα μπορούσαν να συνεχιστούν με βεβαιότητα, ενώ αδύναμες εκείνες που θα μπορούσαν να συνεχιστούν με αβεβαιότητα και με λάθη. Ο van Hiele θεωρούσε τις μαθηματικές δομές πολύ άκαμπτες και επομένως ισχυρές, εφόσον ο κανόνας της δομής ήταν δεδομένος (ό.π., 1986). Για να αναπτύξει τις ιδέες του για τη δομή, ο van Hiele στηρίχθηκε στην ψυχολογία της Μορφής (Gestalt) (1986, όπ. αναφ. στο Κολέζα, 2000). Οι Gestalt ψυχολόγοι (Kohler, Koffka, Wertheimer) ανέδειξαν τη σημασία της κατανόησης της δομής ως συνόλου, κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος. Σύμφωνα με τη θεωρία τους, ο ανθρώπινος νους ερμηνεύει τα δεδομένα των αισθήσεων, με βάση συγκεκριμένες οργανωτικές αρχές. Το άτομο ερμηνεύει ενεργά τα ερεθίσματα που δέχεται, αναζητώντας την υποκειμενική συνολική δομή (μορφή), την αρχή που τα συνδέει και τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. Οι έρευνές τους επικεντρώθηκαν στο φαινόμενο της ενόρασης, με την έννοια της αναγνώρισης της μορφής του προβλήματος, μέσω μιας αναδιοργάνωσης των στοιχείων του. Ως εκ τούτου, το αντικείμενο της διδασκαλίας πρέπει να είναι οι δομικές ιδιότητες των μαθηματικών εννοιών και οι μεταξύ τους σχέσεις. Ο/Η εκπαιδευτικός, στα πλαίσια της καθοδηγούμενης ανακάλυψης, επιλέγει το κατάλληλο υλικό (π.χ. διαγράμματα, σχήματα, εικόνες), ώστε η μαθησιακή διαδικασία να είναι επιτυχής. Έτσι, ο/η μαθητής/ τρια γίνεται ικανός να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα και να αναλύσει τον επιθυμητό στόχο, δηλαδή, να αντιμετωπίσει ενορατικά το πρόβλημα (Κολέζα, 2000). Σύμφωνα με το van Hiele (1986), οι δομές έχουν τέσσερις σημαντικές ιδιότητες, τις οποίες επεξήγησε, συσχετίζοντάς τις με τον ανθρώπινο σκελετό: 1. Μια δομή είναι δυνατό να επεκταθεί (π.χ. συνειδητοποιούμε ότι έχουμε έναν σκελετό οι ίδιοι). Η επέκταση μιας δομής υπακούει στους ίδιους κανόνες με το δεδομένο μέρος της. 2. Κάθε δομή μπορεί να θεωρηθεί ως μέρος μιας λεπτομερέστερης δομής (π.χ. ονομάζουμε τα μέρη του σκελετού). Οι κανόνες που ισχύουν στην αρχική δομή δεν αλλάζουν, απλώς διευρύνονται. 15

17 3. Μια δομή μπορεί να θεωρηθεί ως μέρος μιας ευρύτερης δομής (π.χ. μελετάμε τους σκελετούς των ζώων και να τους συγκρίνουμε με τον ανθρώπινο σκελετό). Αυτή η ευρύτερη δομή έχει περισσότερους κανόνες, κάποιοι από τους οποίους καθορίζουν και την πρωταρχική δομή. 4. Μια δεδομένη δομή μπορεί να είναι ισομορφική με μια άλλη δομή (π.χ. ανακαλύπτουμε ομοιότητες ανάμεσα στο σκελετό του ανθρώπου και των ζώων). Σε αυτήν την περίπτωση οι δύο δομές καθορίζονται από αντίστοιχους κανόνες, οικοδομούνται, δηλαδή, με παρόμοιο τρόπο. Ο van Hiele θεώρησε ότι η πρώτη και η τέταρτη ιδιότητα των δομών αυτοεκδηλώνονται και είναι έμφυτες στους ανθρώπους, ενώ η δεύτερη και η τρίτη ιδιότητα απαιτούν μελέτη. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, εάν η εκπαίδευση στοχεύει στην ανάπτυξη της ενόρασης, τότε οι μαθητές/ τριες πρέπει να ενθαρρύνονται, ώστε να αναγνωρίζουν και να χρησιμοποιούν τη δεύτερη και την τρίτης ιδιότητα των δομών. Υποστήριξε ότι είναι σημαντικό, για την επίτευξη της ενόρασης και, ως εκ τούτου, της κατανόησης, οι μαθητές/ τριες να κατανοήσουν αρχικά τη φύση των δομών. Συνοπτικά, το μοντέλο μάθησης που πρότεινε, περιλαμβάνει τρία στάδια: α) Αντίληψη μιας Δομής, β) Ενόραση και γ) Κατανόηση (van Hiele, 1986). Επομένως, ο σκοπός της διδασκαλίας πρέπει να είναι η ανάπτυξη της ενόρασης. Σύμφωνα με το van Hiele (1986): 1. Η ενόραση μπορεί να παρατηρηθεί, όταν ο/η μαθητής/ τρια λειτουργεί επαρκώς σε μια νέα κατάσταση. 2. Η ενόραση μπορεί να διαπιστωθεί, όταν ο/η μαθητής/ τρια λειτουργεί, στη βάση μιας καθιερωμένης δομής, ώστε να μπορεί να απαντήσει στις νέες ερωτήσεις. 3. Τα καλύτερα παραδείγματα της ενόρασης συμβαίνουν απροσδόκητα, χωρίς προγραμματισμό. Ο/Η δάσκαλος/ α συναντά στοιχεία της ενόρασης των μαθητών/ τριών του όταν, ως αποτέλεσμα της μαθησιακής διαδικασίας, οι τελευταίοι αντιδρούν επαρκώς σε καταστάσεις που δεν περιλαμβάνονταν σ αυτή τη διαδικασία. Αυτό το συμπέρασμα, όμως, είναι αποδεκτό μόνο αν η δράση του μαθητή έχει εκτελεστεί με σκόπιμη πρόθεση, δηλαδή, αν μπορούμε ασφαλώς να θεωρήσουμε ότι δεν έχει εμπλακεί κάποιος τυχαίος παράγοντας. Ένας/μια μαθητής/ τρια δείχνει ενόραση, αν 16

18 καταλαβαίνει τι ακριβώς κάνει, γιατί το κάνει και πότε το κάνει. Μπορεί να εφαρμόσει τις γνώσεις του, ώστε να λύσει προβλήματα (van Hiele, 1957/1984). Σύμφωνα με τον Pierre van Hiele (1957/1984), ο/η δάσκαλος/ α της Γεωμετρίας θα πρέπει: α) να βοηθήσει τους/τις μαθητές/ τριες του να μετατρέψουν τις δομές, που παράγουν στο δικό τους νοερό πεδίο της παρατήρησης, σε γεωμετρικές δομές, β) να τους διδάξει τη χρήση των αλγορίθμων σε διάφορες ενότητες των μαθηματικών. Η κατανόηση των αλγορίθμων εξαρτάται από ένα ιδιαίτερο είδος ενόρασης, την αλγοριθμική ενόραση. Επιπλέον, συναντάμε μια γενικότερη ενόραση που βασίζεται στις δομικές μορφές που μπορούν να αναπτυχθούν σε αλγόριθμους. Και τέλος, υπάρχουν τα επίπεδα σκέψης που επιτρέπουν την ενόραση σε εντελώς νέες αρχές της σκέψης (van Hiele, 1957/1984). Ο συγγραφέας υποστηρίζει ότι δε θα είναι εύκολο στο δάσκαλο να εξασφαλίσει μια επαρκή ανάπτυξη των δύο τελευταίων ειδών της ενόρασης στα όρια της διδασκαλίας στην τάξη. Οι συνηθισμένες μέθοδοι ελέγχου και οι εξετάσεις δεν εξυπηρετούν αυτή την άποψη: αυτά τα είδη ενόρασης δεν μπορούν να αξιολογηθούν μέσω γραπτού τεστ. Αν τα προβλήματα του τεστ καλύπτουν ένα περιορισμένο πεδίο απαιτήσεων, η αλγοριθμική δεξιότητα θα είναι αρκετή για την επίλυσή τους. Είναι αρκετά απλό ζήτημα να διδάξεις σε ένα παιδί δομές χειρισμού που του επιτρέπει να απλοποιήσει ένα πρόβλημα υψηλότερου επιπέδου σε ένα χαμηλότερο επίπεδο σκέψης (ό.π., 1957/1984). Σύμφωνα με το συγγραφέα, το μειονέκτημα αυτό θα μπορούσε να αποφευχθεί, με την ενσωμάτωση όλων των διαθέσιμων αντικειμένων στα γραπτά τεστ. Καθώς οι μαθητές/ τριες είναι αδύνατον να απομνημονεύσουν όλους τους αλγόριθμους, δε θα είναι σε θέση να απλοποιήσουν τα προβλήματα σε ένα χαμηλότερο επίπεδο. Αλλά και σε αυτή την περίπτωση, είναι αμφίβολο κατά πόσο θα κατάφερναν να τα επιλύσουν, αν και κάποιοι από τους/τις μαθητές/ τριες, αναμφίβολα, κατέχουν την απαραίτητη δομική κατανόηση για να αναπτύξουν τους αλγόριθμους, καθόσον η μέση έκταση του διαθέσιμου χρόνου για ένα γραπτό τεστ σπάνια καλύπτει τη διαδικασία της σκέψης που περιλαμβάνει (ό.π., 1957/1984). Το αποτέλεσμα είναι ότι οι εξετάσεις και τα γραπτά τεστ σπρώχνουν το/τη μαθητή/ τρια προς την αλγοριθμική ενόραση, αντί να τον/την οδηγεί προς 17

19 πολυτιμότερες υψηλότερες μορφές ενόρασης. Αυτό δε σημαίνει ότι είναι αδύνατον να αντιληφθεί και να δοκιμάσει αυτές τις δύο υψηλότερες μορφές ενόρασης. Αν η σχέση δασκάλου/ ας μαθητή/ τριας βασίζεται στην εμπιστοσύνη, τότε οι αντιδράσεις του/της μαθητή/ τριας θα δείξουν στο/στη δάσκαλο/ α πώς και σε ποια έκταση απορροφά και αφομοιώνει το γνωστικό αντικείμενο. Όταν γνωρίζουμε ποιο επίπεδο έχει φτάσει ο/η μαθητής/ τρια, μπορούμε να μάθουμε, με μια προσεκτική ανάλυση της μαθησιακής διαδικασίας, πώς να προκαλέσουμε μια μεγαλύτερη αύξηση της ενόρασης (ό.π., 1957/1984). Ο συγγραφέας θεωρεί πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε πώς το ίδιο το παιδί βιώνει την ενόραση. Η απόκτηση της ενόρασης στους πολλούς τομείς του ζητήματος που εναπόκειται στις πολλές συναλλαγές και ικανότητες του ανθρώπου είναι μια από τις βασικές ανάγκες της ζωής. Επιπλέον, η εσωτερική μας ορμή μας ωθεί σ αυτό: η συνείδηση της αποκτημένης ενόρασης είναι μια αξιομνημόνευτη εσωτερική εμπειρία και μας δίνει το αίσθημα της δύναμης και της ασφάλειας. Αν κατά τη διάρκεια του χρόνου δε βλέπουμε σημεία ανάπτυξης της ενόρασης, μπορούμε με ασφάλεια να υποθέσουμε ότι το παιδί δεν έχει επαφή με το γνωστικό αντικείμενο. Τρεις από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι πιθανό να συμβαίνουν: μπορεί να παρουσιάζουμε το γνωστικό αντικείμενο σε τόσο μικρές ενότητες που δεν υπάρχει αυταπόδειχτη αμοιβαία συνοχή, μπορεί να λειτουργούμε σε ένα επίπεδο σκέψης που να απέχει από την κατανόηση του παιδιού και, τρίτον, το ίδιο το γνωστικό αντικείμενο μπορεί να μην έχει εντελώς καμία σχέση με τον κόσμο του παιδιού. Παρ όλα αυτά, αν θυμόμαστε συνεχώς να βασίζουμε την παράδοση του γνωστικού αντικειμένου στο σταθερό θεμέλιο του νοερού υλικού, τότε θα υπάρχει μικρός κίνδυνος να χάσει το παιδί την επαφή μαζί του (ό.π., 1957/1984). 2.3 Το έργο των van Hiele Καθώς οι διατριβές και τα αρχικά άρθρα των van Hiele ήταν γραμμένα στα Ολλανδικά, τα ευρήματά τους δεν έγιναν ευρέως γνωστά στο εξωτερικό. Ωστόσο, μια ανακοίνωση, La pensée de L Enfant et La Géométrie (Η σκέψη του Παιδιού και η Γεωμετρία), που παρουσιάστηκε το 1957 από τον Pierre van Hiele στο συνέδριο της μαθηματικής εκπαίδευσης Pilot Course on the Teaching of Mathematics (Πειραματικά Μαθήματα στη Διδασκαλία των Μαθηματικών) στην πόλη των Σεβρών της Γαλλίας και αργότερα δημοσιεύθηκε, έθεσε το μοντέλο υπόψη της μαθηματικής εκπαιδευτικής κοινότητας. Σ αυτό το άρθρο, ο Pierre van Hiele περιγράφει με 18

20 λεπτομέρειες τα επίπεδα και τις φάσεις μέσα στα επίπεδα του θεωρητικού του μοντέλου για την ανάπτυξη της σκέψης στη Γεωμετρία. Η ανακοίνωση προσέλκυσε το ενδιαφέρον των εκπαιδευτικών και των ψυχολόγων της Σοβιετικής Ένωσης, που προχώρησαν σε σημαντικές αναθεωρήσεις του αναλυτικού προγράμματος της Γεωμετρίας της χώρας τους, βασιζόμενοι στο μοντέλο van Hiele. Δύο δεκαετίες αργότερα, αναπτύχθηκε το ενδιαφέρον για το μοντέλο van Hiele στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ωστόσο, οι προσπάθειες για τη μελέτη του μοντέλου παρακωλύθηκαν, καθώς δεν υπήρχε αρκετό πρωτότυπο υλικό στα Αγγλικά, διαθέσιμο στους/στις αγγλόφωνους ερευνητές/ τριες (Fuys et al, 1984). Στο πλαίσιο ενός ερευνητικού προγράμματος με τίτλο An Investigation of the van Hiele Model of Thinking in Geometry Among Adolescents (Μια έρευνα του μοντέλου van Hiele της γεωμετρικής σκέψης ανάμεσα σε εφήβους), μια ομάδα καθηγητών/ τριών του City University της Νέας Υόρκης, οι David Fuys, Dorothy Geddes και Rosamond Tischler (1984), μετέφρασαν στα Αγγλικά ορισμένες σημαντικές εργασίες των van Hiele ( ). Συγκεκριμένα, μεταφράστηκαν από τα ολλανδικά η διατριβή της Dina van Hiele-Geldof με τίτλο: The Didactics of Geometry in the Lowest Class of Secondary School (Η διδακτική της Γεωμετρίας στις πρώτες τάξεις της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης) και το άρθρο της Didactics of Geometry as Learning Process for Adults (Διδακτική της Γεωμετρίας ως μαθησιακή διαδικασία για ενήλικες) και από τα Γαλλικά το άρθρο του Pierre van Hiele The Child s Thought and Geometry (Η σκέψη του Παιδιού και η Γεωμετρία). Στην ίδια εργασία συμπεριλήφθηκαν και οι περιλήψεις των διατριβών (γραμμένες από τους ίδιους στα αγγλικά) The Didactics of Geometry in the Lowest Class of Secondary School της Dina van Hiele-Geldof και The Problem of Insight in Connection with School Children s Insight into the Subject-Matter of Geometry (Το πρόβλημα της ενόρασης σε σύνδεση με την ενόραση των παιδιών σχολικής ηλικίας στο γνωστικό αντικείμενο της Γεωμετρίας) του Pierre van Hiele (Fuys et al, 1984). Στις διδακτορικές τους εργασίες οι van Hiele μελέτησαν τη δομή των επιπέδων κατανόησης και πειραματίστηκαν με αυτά, για να βελτιώσουν την ενόραση των μαθητών/ τριών στη Γεωμετρία. Ο Pierre van Hiele διαμόρφωσε το μοντέλο και τις ψυχολογικές αρχές, ενώ η Dina van Hiele-Geldof εστίασε την εργασία της στα διδακτικά πειράματα, για να ανυψώσει το επίπεδο κατανόησης των μαθητών/ τριών. Μεγάλο μέρος της διδακτορικής διατριβής της Dina van Hiele-Geldof αποτελείται από το λεπτομερές και εξαιρετικά ενδιαφέρον ημερολόγιο του ετήσιας 19

21 διάρκειας «διδακτικού πειράματος», που αφορά δύο από τις δικές της τάξεις δωδεκάχρονων μαθητών/ τριών (Fuys et al, 1984). Πρόκειται για μια έρευνα αναφορικά με τις διδακτικές δυνατότητες της γεωμετρικής εκπαίδευσης σε μια τάξη, όπου δίνεται στο παιδί συστηματικά συγκεκριμένο υλικό, ώστε να ξετυλίξει την απεικονιστική σκέψη και να τη μετατρέψει στον αφηρημένο τρόπο σκέψης που απαιτεί το λογικό σύστημα της γεωμετρίας (van Hiele-Geldof, 1957/1984). Η συγγραφέας υποστηρίζει ότι, όταν εισάγεται το παιδί στη Γεωμετρία, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η προηγούμενη εμπειρία του. Γι αυτό, η αρχή πρέπει να γίνεται με γνωστά γεωμετρικά σχήματα όπως: κύβος, τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβος κτλ. Η αρχική αντίληψη αυτών των αντικειμένων οδηγεί σε μη διακριτές δομές που αναλύονται κάτω από την καθοδήγηση του δασκάλου. Μέσω μιας φαινομενολογικής ανάλυσης, θα τραβήξει την προσοχή των μαθητών/ τριών του στη γεωμετρική ποιότητα των σχημάτων, ώστε να διευκρινίσει το περιεχόμενο του θέματος. Το δίπλωμα του χαρτιού, το κόψιμο και η κατασκευή μοντέλων είναι σημαντικά εργαλεία για την ανάπτυξη της χωρικής ικανότητας των παιδιών, ιδιαίτερα για τη συμμετρία των γεωμετρικών σχημάτων. Με αυτές τις δραστηριότητες εμπλουτίζουν τις απεικονιστικές δομές τους. Οι σχέσεις που βρέθηκαν, πρέπει να ρυθμιστούν από μια κοινή προσπάθεια δασκάλου και μαθητών/ τριών, καθώς οι τελευταίοι δεν είναι εξοικειωμένοι με την τεχνική ορολογία και πρέπει να τη μάθουν μέσα από την πρακτική εξάσκηση. Οι δομές που τελικά προκύπτουν από αυτή την ανάλυση μπορούν να θεωρηθούν ως σύμβολα του αντικειμένου της Γεωμετρίας. Η λέξη «σύμβολο» πρέπει να ερμηνευθεί εδώ ως «ένα νοητικό υποκατάστατο για ένα σύμπλεγμα μη διακριτών σχέσεων που συνεχώς διαμορφώνονται στο μυαλό του μαθητή» (van Hiele-Geldof, 1957, in Fuys et al, 1984, p. 215). Για παράδειγμα, ο ρόμβος είναι ένα σύμβολο με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: έχει τέσσερις ίσες πλευρές, εναλλάξ ίσες γωνίες, διαγώνιους που διχοτομούν τις γωνίες και τέμνονται κάθετα (ό.π., 1957/1984). Το γεγονός της ενασχόλησης με γεωμετρικά μοντέλα και της σχεδίασής τους και, ιδιαίτερα, η δημιουργία των απαραίτητων σχεδίων και κατασκευών, οδηγεί στην απόκτηση ενός συστήματος σημάτων για αυτά τα σύμβολα.. Τελικά, τα σύμβολα αναγνωρίζονται, ακόμα και αν ειδωθεί μόνο ένα μέρος των χαρακτηριστικών τους. Τότε γίνεται δυνατή η πρόβλεψη ενός συμβόλου Στην ίδια εργασία, η συγγραφέας προτείνει μια σειρά διδακτικών αρχών. Ενδεικτικά αναφέρονται (van Hiele-Geldof, 1957, in Fuys et al, 1984, pp ): 20

22 I. Για να μπορείς να φτάσεις σε μια ικανοποιητική μελέτη ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, είναι επιθυμητό να διερευνήσεις: 1. αν περιλαμβάνονται περισσότερα από ένα επίπεδα σκέψης στη μελέτη του αντικειμένου, 2. ποια επίπεδα πρέπει να κατακτηθούν, ώστε να φθάσεις στο στόχο της μελέτης, 3. πώς μπορεί να υποστηριχθεί διδακτικά η κατάκτηση των επιπέδων.... IV. Μόνο όταν η ανάλυση των διαδικασιών μάθησης σε μια πειραματική κατάσταση επιτρέπει στην έρευνα να διεισδύσει βαθύτερα στην ίδια την πραγματική διαδικασία σκέψης, ο/η εκπαιδευτικός θα μπορέσει να διεισδύσει βαθύτερα στη γέννηση της σκέψης, αναλύοντας τις διαδικασίες μάθησης στο σχολείο. V. Η ερώτηση «τι βλέπουμε;» έχει νόημα μόνο αφού σιγουρευτούμε ότι το υποκείμενο γνωρίζει το πλαίσιο στο οποίο πρέπει να απαντηθεί αυτή η ερώτηση.... VIII. Η επιλογή του γνωστικού αντικειμένου στη Γεωμετρία για τα εισαγωγικά μαθήματα θα πρέπει να βασίζεται, σύμφωνα με τις νεώτερες απόψεις της παιδαγωγικής και της ψυχολογίας, σε σχήματα που συγκροτούν μια γεωμετρική δομή και όχι στα στοιχεία τους. IX. Η εισαγωγή των αξόνων και κέντρων συμμετρίας αποκτά ειδική σημασία, μόνο αν κάποιος αρχίζει από τις παρατηρήσεις που ενισχύονται από χειρονακτικές δραστηριότητες όπως το δίπλωμα, η περιστροφή, το ταίριασμα το ένα στο άλλο κτλ. X. Ο σχηματισμός των οπτικών γεωμετρικών δομών στους/στις μαθητές/ τριες υποστηρίζεται περισσότερο ικανοποιητικά, όταν τους επιτρέπουμε να χρησιμοποιούν κατάλληλο υλικό, όπως τουβλάκια.... XIII. Είναι δυνατόν και επιθυμητό οι μαθητές/ τριες, που φαίνεται να έχουν αρκετή ικανότητα σ αυτό, να αναγνωρίζουν ότι τα θεωρήματα της Γεωμετρίας που γνωρίζουν 21

23 μπορούν να οργανωθούν σε ένα συμπερασματικό σύστημα που έχει ομοιότητες με ένα «γενεαλογικό δέντρο» και ότι αυτό το γενεαλογικό δέντρο μπορεί να επιλεχθεί από ένα δίκτυο διαθέσιμων σχέσεων.... Η Dina van Hiele-Geldof πέθανε ένα χρόνο μετά την ολοκλήρωση της διατριβής της. Ο Pierre van Hiele συνέστησε, ως μια σημαντική πηγή για τους/τις ερευνητές/ τριες, το τελευταίο άρθρο της συζύγου του Didactics of Geometry as Learning Process for Adults, γραμμένο το 1958, στο οποίο δίνει περισσότερες διευκρινήσεις για τα επίπεδα, όπως σχετίζονται με τη συμπεριφορά του μαθητή (Fuys et al, 1984). Σ αυτό το άρθρο, η συγγραφέας εξετάζει τη μαθησιακή διαδικασία τη σχέση μεταξύ του μαθητή και του αντικειμένου διδασκαλίας με στόχο να εστιάσει στην ιδιαίτερη δομή της διδακτικής. Δεν επιμένει στο τι κάνει, αλλά στο γιατί το κάνει. Δίνει μεγάλη βαρύτητα στη λειτουργία του υλικού και των συζητήσεων στην τάξη (van Hiele-Geldof, 1958/1984). Στη δική του διατριβή, ο Pierre van Hiele μελέτησε την έννοια και τις λειτουργίες της ενόρασης κατά τη διαδικασία της μάθησης, εστιάζοντας γενικότερα στη μαθηματική ενόραση και ειδικότερα στη γεωμετρική ενόραση. Συνέχισε τις έρευνες και μετά το θάνατο της συζύγου του. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τις δομές που, κατά τον ίδιο, δεν περιορίζονται σε αλγεβρικές ή γεωμετρικές. Τον ενδιέφεραν οι δομές που έχουν βαθιά σχέση με τη διδασκαλία και τη μάθηση και σχηματίζουν μια βάση για την επίλυση προβλημάτων (van Hiele, 1958/1984, 1959/1984). Τα βιβλία του, Begrip en Inzicht (Κατανόηση και Ενόραση) (1973), Struktuur (Δομή) (1981) και Structure and insight: A theory of mathematics education (Δομή και ενόραση: Μια θεωρία της μαθηματικής εκπαίδευσης) (1986) επικεντρώνονται στο ρόλο της ενόρασης, της διαίσθησης, των επιπέδων σκέψης και της δομής, όπως σχετίζονται με τη μάθηση. Οι έρευνές του είχαν μεγάλη επίδραση στη διδακτική των μαθηματικών αλλά και άλλων επιστημών. 2.4 Τα επίπεδα της Γεωμετρικής σκέψης Ο Pierre van Hiele (1959/1984) κατέληξε στη διατύπωση των πέντε επιπέδων γεωμετρικής σκέψης που αποτελούν και μια πρόταση για την οργάνωση της διδασκαλίας της Γεωμετρίας. Τα επίπεδα αυτά περιγράφονται στη συνέχεια (van 22

24 Hiele, 1959, όπ. αναφ. στο Τρέσσου 1993 Τουμάσης, 1994, στο Van de Walle, 2007 Φιλίππου & Χρίστου, 1995): Επίπεδο 0 (Βασικό Επίπεδο) Οπτικοποίηση (Visualization) ή Αναγνώριση (Recognition) 2 Οι μαθητές/ τριες αναγνωρίζουν και κατονομάζουν τα σχήματα βασιζόμενοι στη συνολική μορφή τους, τα βλέπουν σαν μια ολότητα (Εικόνα 1). Μπορούν να τα κατονομάσουν π.χ. ως τρίγωνα, τετράγωνα ή κύβους αλλά δεν μπορούν να διατυπώσουν τις ιδιότητές τους. Οι ιδιότητες και τα σχήματα δεν αναγνωρίζονται, ούτε οι σχέσεις μεταξύ των συστατικών του σχήματος και μεταξύ σχημάτων γίνονται αντιληπτές. Επιπλέον, θεωρείται ότι τα σχήματα έχουν διαφορετικές ιδιότητες, όταν περιστρέφονται ή αλλάζουν οι διαστάσεις τους. Η μορφή υπερισχύει των ιδιοτήτων του σχήματος, π.χ. ένα τετράγωνο που έχει περιστραφεί κατά 45 0 από τη θέση, που έχουμε συνηθίσει να το βλέπουμε, είναι πλέον «διαμάντι» και όχι τετράγωνο. Για την περιγραφή των σχημάτων χρησιμοποιούν οπτικά πρότυπα π.χ. ένα σχήμα είναι ορθογώνιο όταν μοιάζει με πόρτα κ.λ.π. Εικόνα 1: Αναγνώριση και ονομασία σχημάτων με βάση τη συνολική μορφή. Πηγή: 2 Υιοθετείται η αρίθμηση που χρησιμοποίησαν για τα επίπεδα οι ίδιοι οι van Hiele. Ορισμένοι ερευνητές αρχίζουν την αρίθμηση από το 1. Στην παρούσα εργασία, όλες οι αναφορές και όλα τα αποτελέσματα από τις ερευνητικές μελέτες που χρησιμοποιούν την αρίθμηση 1-5 έχουν αλλαχθεί στο

25 Οι μαθητές/ τριες ταξινομούν τα σχήματα με βάση τη μορφή τους «όλα είναι μυτερά», «όλα είναι στρόγγυλα» κ.τ.λ. Είναι σε θέση να δουν ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στα σχήματα που παρατηρούν. Μπορούν να δημιουργήσουν και να αρχίσουν να κατανοούν τις ταξινομήσεις των σχημάτων. Επίπεδο 1 Ανάλυση (Analysis) ή Περιγραφή (Description) Οι μαθητές/ τριες μπορούν να εξετάσουν όλα τα σχήματα σε μια ομάδα παρά το κάθε σχήμα μόνο του. Βλέπουν το σχήμα που παρατηρούν ως αντιπρόσωπο της κατηγορίας που ανήκει π.χ. ορθογώνια. Αν ένα σχήμα ανήκει σε μια κατηγορία, τότε έχει τις ιδιότητες αυτής της κατηγορίας. Οι ιδιότητες του σχήματος εδραιώνονται πειραματικά, με μετρήσεις, σχεδιάσεις, τοποθετήσεις σχημάτων πάνω σε άλλα ή διπλώσεις εικόνων. Οι μαθητές/ τριες μπορούν να αναγνωρίσουν ένα σχήμα από τις ιδιότητές του π.χ. ένα σχήμα είναι ορθογώνιο γιατί έχει τέσσερις ορθές γωνίες. Χαρακτηριστικά που δεν έχουν σχέση, όπως το μέγεθος και ο προσανατολισμός αποκτούν δευτερεύουσα σημασία (Εικόνα 2). Μπορούν επίσης να αναφέρουν άλλες ιδιότητες των σχημάτων π.χ. «τα ορθογώνια έχουν ίσες διαγώνιες» ή «ένας ρόμβος έχει τις διαγώνιες κάθετες» αλλά δεν μπορούν να τα ορίσουν τυπικά ή να αποδείξουν τις ιδιότητες. Είναι σε θέση να καταγράψουν τις ιδιότητες των τετραγώνων, των ορθογωνίων και των παραλληλογράμμων, αλλά αδυνατούν να αντιληφθούν ότι πρόκειται για υποκατηγορίες η μια της άλλης (όλα τα τετράγωνα είναι ορθογώνια και όλα τα ορθογώνια είναι παραλληλόγραμμα). Εικόνα 2: Αναγνώριση σχημάτων με βάση τις ιδιότητές τους. Πηγή: 24

26 Επίπεδο 2 Άτυπη Παραγωγή (Informal Deduction) ή Διάταξη (Order) Οι μαθητές/ τριες κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων των σχημάτων και μεταξύ των σχημάτων. Συνδέουν τα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους και τα ταξινομούν σε κατηγορίες π.χ. «κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο, κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο». Μπορούν να κατηγοριοποιήσουν τα σχήματα χρησιμοποιώντας λιγότερα χαρακτηριστικά τους π.χ. τα ορθογώνια είναι παραλληλόγραμμα που έχουν μια ορθή γωνία (Εικόνα 3). Είναι σε θέση να αντιληφθούν ότι μια ιδιότητα είναι συνέπεια της άλλης και αρχίζουν να κατανοούν το ρόλο του ορισμού. Μπορούν να κάνουν απλούς παραγωγικούς συλλογισμούς, αλλά δεν μπορούν να κατανοήσουν ή να συνθέσουν πλήρεις αποδείξεις των ισχυρισμών τους. Οι αποδείξεις είναι περισσότερο ενστικτώδεις παρά αυστηρά συμπερασματικές. Δεν είναι σε θέση να αντιληφθούν τη σκοπιμότητα της λογικής διάταξης σε μια τυπική απόδειξη ή πως αυτή μπορεί να τροποποιηθεί, ούτε να κατασκευάσουν μια απόδειξη, ξεκινώντας από διαφορετικές ή μη οικείες υποθέσεις. Υπάρχει όμως η εκτίμηση ότι είναι απαραίτητο ένα λογικό επιχείρημα. Εικόνα 3: Κατηγοριοποίηση σχημάτων με βάση λιγότερα χαρακτηριστικά τους. Πηγή: Επίπεδο 3 Τυπική παραγωγή (Formal deduction) ή Αφαίρεση (Abstraction) Οι μαθητές/ τριες δεν είναι απλώς σε θέση να εξετάσουν τις ιδιότητες των σχημάτων, αλλά και τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων. Μπορούν να διακρίνουν ένα αξίωμα από ένα θεώρημα και να συμπεράνουν ότι μια πρόταση είναι λογικό επακόλουθο μιας άλλης πρότασης. Αναπτύσσουν συλλογισμούς για να αποδείξουν 25

27 μια πρόταση χρησιμοποιώντας δεδομένα, π.χ. πώς το αξίωμα της παραλληλίας συνεπάγεται ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι Μπορούν να αναπτύξουν μια απόδειξη με περισσότερους από έναν τρόπους. Δημιουργούν θεωρήματα βασιζόμενοι σε αξιώματα και ορισμούς και τα αποδεικνύουν χρησιμοποιώντας εκφράσεις λογικής αιτιολόγησης. Αρχίζουν να κατανοούν την αναγκαιότητα ύπαρξης ενός συστήματος, αποτελούμενο από αξιώματα, ορισμούς, θεωρήματα, πορίσματα και δεδομένα για τη εδραίωση της γεωμετρικής αλήθειας. Αντιλαμβάνονται τη λειτουργία και τη συσχέτιση των ικανών και αναγκαίων συνθηκών και τη διάκριση μεταξύ μιας πρότασης και της αντίστροφής της. Δεν αναγνωρίζουν όμως την ανάγκη για αυστηρότητα στην απόδειξη και δεν κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ διαφόρων αξιωματικών συστημάτων. Στο Λύκειο η μελέτη της Γεωμετρίας ξεκινάει από αυτό το επίπεδο. Επίπεδο 4 Αυστηρότητα (Rigor) Οι μαθητές/ τριες αντιλαμβάνονται τη σπουδαιότητα της ακρίβειας για τη διατύπωση των γεωμετρικών θεωριών και είναι σε θέση να αναλύσουν διάφορα αξιωματικά συστήματα με μεγάλη αυστηρότητα. Γνωρίζουν την ύπαρξη και άλλων αξιωματικών θεμελιώσεων για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Κατανοούν ιδιότητες όπως η συνέπεια, η ανεξαρτησία και η πληρότητα των αξιωμάτων. Μπορούν να συγκρίνουν την Ευκλείδεια και τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες (π.χ. σφαιρική Γεωμετρία). Αναπτύσσουν μια θεωρία χωρίς να προσπαθούν να της δώσουν κάποια συγκεκριμένη ερμηνεία. Σ αυτό το επίπεδο η Γεωμετρία αποκτά ένα γενικό χαρακτήρα και ευρύτερες εφαρμογές. Μία μειοψηφία μαθητών/ τριών φτάνει σ αυτό κατά τη διάρκεια της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι περισσότεροι δε φτάνουν ποτέ. Πίνακας 1: Συνοπτικός πίνακας των επίπεδων γεωμετρικής σκέψης (κατά van Hiele). Επίπεδο 0 Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Επίπεδο 3 Επίπεδο 4 Οπτικοποίηση (Visualization) ή Αναγνώριση (Recognition) Ανάλυση (Analysis) ή Περιγραφή (Description) Άτυπη Παραγωγή (Informal Deduction) ή Διάταξη (Order) Τυπική παραγωγή (Formal deduction) ή Αφαίρεση (Abstraction) Αυστηρότητα (Rigor) 26

28 Ο van Hiele, βασιζόμενος στη θεωρία των πέντε επιπέδων ανάπτυξης της γεωμετρικής σκέψης, προτείνει την οργάνωση του μαθήματος της Γεωμετρίας, καθ όλη τη διάρκεια της γενικής εκπαίδευσης (πρωτοβάθμια και δευτεροβάθμια) (van Hiele, 1959/1984): Η πρώτη περίοδος της διδασκαλίας της Γεωμετρίας πρέπει να εξασφαλίζει την κατάκτηση του πρώτου επιπέδου σκέψης, που ονομάζεται «γεωμετρική άποψη» ( the aspect of Geometry ) (van Hiele, 1959, in Fuys et al, 1984, pp ). Ο στόχος της διδασκαλίας είναι τα γεωμετρικά σχήματα να γίνουν φορείς των ιδιοτήτων τους. Για παράδειγμα, ένας ρόμβος δεν αναγνωρίζεται από την εμφάνισή του, αλλά, από το γεγονός ότι οι πλευρές του είναι ίσες ή ότι οι διαγώνιοί του είναι κάθετες και η μία διχοτομεί την άλλη ή και από τα δύο μαζί. Οι μαθητές/ τριες θα πρέπει να έχουν στη διάθεσή τους ένα σύνολο συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων, ώστε να ανακαλύψουν τις σχέσεις που διέπουν αυτά τα σχήματα. Η δεύτερη περίοδος της διδασκαλίας του μαθήματος πρέπει να οδηγεί στην κατάκτηση του δεύτερου επιπέδου σκέψης, που ονομάζεται «ουσία της γεωμετρίας ή μαθηματική άποψη» ( the essence of Geometry or the aspect of Mathematics ) (van Hiele, 1959, in Fuys et al, 1984, pp ). Ο στόχος της διδασκαλίας τώρα είναι η εκμάθηση των σχέσεων που συνδέουν τις ιδιότητες των σχημάτων, για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι Επιπλέον, κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, αρχίζει η λογική ταξινόμηση των ιδιοτήτων των σχημάτων. Η ιδιότητα που προαναφέρθηκε συνεπάγεται ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι Το εποπτικό υλικό θα μπορούσε να αποτελείται από ένα σύνολο όμοιων τριγώνων ή τετραπλεύρων, με τα οποία οι μαθητές/ τριες προσπαθούν να καλύψουν μια επιφάνεια (επίστρωση). Στην επίστρωση με όμοια τρίγωνα, μπορούν να «δουν» συστήματα παράλληλων ευθειών, παραλληλόγραμμα, τραπέζια, εξάγωνα με τα κέντρα της συμμετρίας τους κτλ. και να ανακαλύψουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι (εναλλάξ εσωτερικές γωνίες). Η τρίτη περίοδος της διδασκαλίας πρέπει να εξασφαλίζει την κατάκτηση του τρίτου επιπέδου σκέψης, δηλαδή, τη «γεωμετρική οξυδέρκεια ή την ουσία των μαθηματικών» ( the discernment in Geometry or the essence of Mathematics ) (van Hiele, 1959, in Fuys et al, 1984, pp ). Ο στόχος της διδασκαλίας τώρα είναι η 27

29 κατανόηση της λογικής ταξινόμησης, δηλαδή, τι σημαίνει ότι μια ιδιότητα «προηγείται» κάποιας άλλης. Το υλικό τώρα αποτελείται από τα γεωμετρικά θεωρήματα. Στην προσπάθεια των μαθητών/ τριών να ταξινομήσουν λογικά αυτά τα θεωρήματα, θα προκύψει η σύνδεση μεταξύ ενός θεωρήματος και του αντιστρόφου του, το γιατί τα αξιώματα και οι ορισμοί είναι απαραίτητοι, πότε μια συνθήκη είναι αναγκαία και πότε ικανή. Στη μελέτη του κυλίνδρου, για παράδειγμα, οι μαθητές/ τριες μπορούν να διαπιστώσουν ότι η κυλινδρική επιφάνεια περιέχει ευθείες και κυκλικές περιφέρειες. Αφού διατυπώσουν έναν ορισμό, θα είναι σε θέση να προσπαθήσουν να αποδείξουν την ύπαρξη των ευθειών και των περιφερειών. Εφόσον υπάρξει και τέταρτη περίοδος (κάτι σπάνιο για τους/τις περισσότερους/ες μαθητές/ τριες στη γενική εκπαίδευση), θα πρέπει να οδηγεί στην κατάκτηση του τέταρτου επιπέδου, δηλαδή, τη «μαθηματική οξυδέρκεια» ( the discernment in Mathematics ) (van Hiele, 1959, in Fuys et al, 1984, pp ). Ο στόχος της διδασκαλίας σ αυτό το επίπεδο θα ήταν η ανάλυση της φύσης μιας μαθηματικής δραστηριότητας και των διαφορών της από τις δραστηριότητες άλλων γνωστικών αντικειμένων. Για να κατακτηθεί αυτό το επίπεδο από το μαθητή, θα πρέπει να εξοικειωθεί με τις μαθηματικές διαδικασίες σε τέτοιο βαθμό, ώστε να εκτελεί αυτόματα όλα τα βήματα που προβλέπονται για να λυθεί ένα μαθηματικό πρόβλημα. Μόνο τότε θα μπορέσει να συλλάβει τη δομή της μαθηματικής δραστηριότητας. Ως παράδειγμα, παρατίθεται στη συνέχεια η σταδιακή διαμόρφωση της έννοιας τους ρόμβου στο νου του μαθητή, ανάλογα με το επίπεδο που βρίσκεται: Στο επίπεδο 0 (αρχές του Δημοτικού σχολείου και, για μερικούς, τέλη του Δημοτικού σχολείου) η έκφραση «αυτό το σχήμα είναι ρόμβος» σημαίνει «μου θυμίζει το σχήμα που έχω μάθει ότι λέγεται ρόμβος». Η αναγνώριση στηρίζεται σ ένα οπτικό πρότυπο. Αυτό σημαίνει ότι αν αλλάξει ο προσανατολισμός μπορεί να μην είναι πια ρόμβος ή ότι ένα τετράγωνο αποκλείεται να είναι ρόμβος. Στο επίπεδο 1 (τέλη του Δημοτικού σχολείου και, για μερικούς, Γυμνάσιο) σημαίνει ότι έχει μια σειρά από ιδιότητες όπως πλευρές ίσες, διαγώνιες κάθετες κ.λ.π. Η αναγνώριση βασίζεται σ ένα δίκτυο σχέσεων. Ακόμα και αν το σχήμα δεν είναι κατασκευασμένο με ακρίβεια, ο/η μαθητής/ τρια μπορεί να αποφανθεί αν είναι ρόμβος ή όχι. Στο επίπεδο 2 (Γυμνάσιο και, για μερικούς, λύκειο) συνειδητοποιεί ότι το σχήμα είναι ρόμβος, αν ικανοποιεί τον ορισμό (έχει τέσσερις πλευρές ίσες, οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα και 28