Sveučilište u Zagrebu Rudarsko geološko naftni fakultet
|
|
- Μελίτη Αβραμίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište u Zagrebu Rudarsko geološko naftni fakultet SEMINAR: TOPLJIVE STIJENE : VAPNENCI, DOLOMITI I EVAPORITI Zlatko Topić R 6 Zagreb, 2009
2 SADRŽAJ: 1. UVOD VAPNENCI SASTAV I KLASIFIKACIJA VAPNENACA BIOKEMIJSKI VAPNENCI KEMIJSKI VAPNENCI KLASTIČNI VAPNENCI DOLOMITI EVAPORITI PROCESI I EFEKTI TOPLJENJA KEMIJSKA REAKCIJA VODE I KARBONATNIH STIJENA FAZE OKRŠAVANJA ZNAČAJKE OKRŠENOG VAPNENCA VRTAČE EFEKT SMANJIVANJA RAZINE PODZEMNE VODE KARAKTERISTIKE POJEDINIH KRŠKIH FORMACIJA REZIDUALNA TLA KRŠKIH REGIJA. 17 1
3 1. UVOD Stijene koje se sastoje od minerala osjetljivih na HCl su vapnenac, dolomit, gips, sol. Dolomit se sporo razlaže u slaboj HCl dok čisti kalcitni vapnenac ima snažnu reakciju na HCl. Osim kalcita i dolomita treba spomenuti gips i sol kojima je svojstvena veoma jaka topljivost. Sve ove navedene stijene uzrokuju jedinstvene i karakteristične inženjerske probleme. Iznimno su važne za inženjere, prvenstveno zbog svoje raširenosti na zemljinoj površini. Zbog velike topljivosti navedenih stijena prilikom inženjerskog zahvata u njima može doći do određenih problema ( slom tla ) te im je zbog toga potrebno posvetiti veliku pažnju. Vapnenac je iznimno važan u geologiji iz razloga što se uglavnom sastoji od školjaka životinja te kao takav služi za dobivanje informacija o životu koji je nekad postojao na zemlji. Također je bitan kao izvor sirovog materijala za proizvodnju cementa, šećera.. 2
4 2. VAPNENCI 2.1 SASTAV I KLASIFIKACIJA VAPNENACA Glavni sastojci vapnenaca su školjke te kristali ili fragmenti izgrađeni od minerala kalcita (CaCO3). Karbonatni minerali od kojih se uglavnom sastoje vapnenci: - ili čisti kalcit (najviše 96%) - ili najmanje 40 % dolomita Kao sekundarni sastojak vapnenca često se nalazi silicij. Vapnenac je stijena izgrađena od kalcita i dolomita. Ako udio glinastog materijala raste glinasti vapnenac - sedrasti škriljavac - sedrasti muljnjak ako udio pjeskovitog materijala raste pjeskoviti vapnenac - sedrasti pješčenjak vapnenci se klasificiraju na: - biokemijske - kemijske - klastične Biokemijski vapnenci su produkti akumulacije školjaka na morskom dnu. Kemijski vapnenci nastaju direktnim izlučivanjem karbonatnih minerala u saturiranim morima, jezerima i izvorima. Klastični vapnenci nastaju transportom i akumulacijom školjaka ili fragmenata već nastalih vapnenaca. 2.2 BIOKEMIJSKI VAPNENCI Biokemijski vapnenci su česti u stijenama nastalim u paleozoiku. Većina biokemijskih vapnenaca posjeduje slojevitost debljine od nekoliko cm do 1 m. Iako se biokemijski vapnenci mogu ogrebati nožem ( sastoje se od mekog kalcita), ponašaju se kao stijene u svakom smislu. Prilikom udara geološkim čekićem, čekić odskače od površine vapnenca i javlja se zvonki zvuk. Na slici 2-1 prikazan je tipičan primjer uslojenog vapnenca s pukotinama. 3
5 Slika 2-2 prikazuje je univerzalni simbol za kartiranje vapnenca. Na njemu se jasno vidi da je kod vapnenca izražena slojevitost s poprečnim pukotinama. Slika 2-1: Uslojeni vapnenac s pukotinama Slika 2-2: Univerzalni simbol za kartiranje vapnenca Kreda Kreda je bijela stijena, vrlo porozna. Pojavljuje se u masivnim, jednolikim slojevima ili vrlo tankim slojevima odijeljenim šejlom. 4
6 Kreda je stijena koja je nastala kao rezultat sedimentacije kalcita ali uz nepotpunu litifikaciju. Sastav: - > 95 % CaCO3 - ako sadrži glinovite primjese i < 95 % CaCO3 glinasta kreda - ako sadrži > 13 % gline lapor - ako sadrži > 35 % gline sedrasti muljnjak kao što je već navedeno, kreda je vrlo porozna stijena. Pore se nalaze između fragmenata i unutar pojedinih fragmenata. Na slici 2-3 prikazana je kreda. 2.3 KEMIJSKI VAPNENCI Slika 2-3: Kreda Kemijske sedimentne stijene se formiraju precipitacijom, tj. izlučivanjem iz zasićene vodene otopine, a dijelimo ih na neevaporitne (karbonatne, silicijske i fosfatne) te evaporitne (gips, anhidrit i halit). Direktna precipitacija kristala kalcita nije uobičajena kod vapnenaca, već uglavnom nastaju kao posljedica rada organizama pri uklanjanju CaCO3 iz morske vode za građenje svojih školjaka. Kod Bahama i blizu Floride precipitacija sedrastih sedimenata se događa trenutno. Zagrijavanje oceana saturira samu vodu kalcijevim karbonatom. Stvaraju se ooliti koji imaju koncentričnu radijalnu strukturu centriranu oko pjeskovitog zrna. Kemijski pokretač karbonatne precipitacije je promjena u sastavu CO2. Morska voda je gotovo zasićena kalcijevim karbonatom tako da promjena količine CO2 zagrijavanjem ili reakcijom biljaka u plitkoj morskoj vodi uzrokuje precipitaciju CaCO3. 5
7 Taloženjem kalcita u izvorima i rijekama nastaju tuf i travertin. Na slici 2-4 prikazan je oolit. Slika 2-4: Oolit 2.4 KLASTIČNI VAPNENCI Klastični vapnenci izgrađeni su od čestica veličine pijeska ili šljunka nastalih od starijih vapnenaca. Kod klastičnih vapnenaca razlikuju se kalkarenit i kalkarudit. Kalkarenit i kalkarudit mogu sadržavati školjke, oolite, čestice erodiranog vapnenca, kvarc i zrna pijeska. Kalkarenitne čestice su uglavnom vezane, pošto su sastavljene od karbonatnih minerala koji su kemijski aktivni. Rana cementacija akumuliranih karbonatnih sedimenata dovodi do porozne strukture samih stijena. Istraživanjem naslaga ispod morskog dna otkriveni su vrlo porozni kalkareniti. Takvi materijali izgrađeni su od vrlo slabih čestica koje se sastoje od tankih, šupljih školjaka. Zbog svega navedenog, mladi kalkareniti i kalkaruditi sadrže kompleksna inženjerska svojstva. Na slici 2-5 prikazan je varijetet kalkarenita, coquina, jako slaba stijena. 6
8 Slika 2-5: Coquina, varijetet kalkarenita 3. DOLOMITI Dolomiti su po sastavu vapnenci koji sadrži više od 90 % minerala dolomita. Najčešće nastaju rekristalizacijom starijih vapnenaca. Posjeduju jednoliku sivu boju i šećerastu strukturu zrna jednake veličine. Dolomitični kristali su gotovo savršeno romboidalni. Ukoliko sadrže manje od 90 % dolomita, a više od 10 % kalcita nazivaju se dolomitični vapnenci. Dolomit je manje topljiv od kalcita. Prilikom reagiranja s HCl, vapnenac ima puno burniju reakciju od dolomita. Bez obzira na smanjenu topljivost i kod dolomita se mogu naći kaverne velikih razmjera. Na slici 3-1 prikazan je dolomit. Slika 3-1: Dolomit 7
9 4. EVAPORITI U evaporite ubrajamo Gips ( CaSO4 2H2O ), Anhidrit ( CaSO 4 ), Halit ( NaCl ). Evaporiti su nastali precipitacijom iz mora i jezera u fazi evaporacije. Gips Pojavljuje se u masivnim ili slojevitim talozima. Unutar slojeva gipsa često se nalaze leće bitumena. Slojevi su često zakrivljeni ili razlomljeni. Gips nastaje hidratacijom anhidrita, a tijekom transformacije raste deformacija u samoj stijeni. Gips je 170 puta topljiviji od kalcita ali istovremeno njegova topljivost iznosi manje od 1 % topljivosti halita. Može se naći u izdancima na suhim i polusuhim područjima. Na slici 4-1 prikazan je gips. slika 4-1: Gips ( alabaster) Kamena sol Kamena sol je sedimentni talog tvoren većinom od grubih kristala halita. Za razliku od gipsa, sol isključivo nastaje na izdancima u vlažnim uvijetima. Kamena sol se uglavnom pojavljuje u masivnim slojevima. Čista sol je uglavnom prozirna, a može biti sastavljena od tamnijih dijelova ukoliko sadrži čestica anhidrita. Uglavnom nema pukotina. Kamena sol ne sadrži podzemnu vodu osim ako 8
10 postojeće pukotine ne dosežu druge pukotine koje sadrže vodu. Vjeruje se da je nepostojanost pukotina u kamenoj soli zbog ponašanja same stijene koja je plastična i deformabilna. S vremenom postojeće pukotine zbog navedenih svojstava se zatvore. Solne dome Solne dome su intruzije soli u postojećim stijenama. Pri povišenom tlaku u troosnom laboratorijskom pokusu, kamena sol postaje potpuno plastična i teče kada postoji mala razlika u iznosima glavnih naprezanja. U stijenskoj masi na velikim dubinama, sol je izložena velikim naprezanjima te je omogućeno tečenje same soli. Kao posljedica tečenja, sol se izdiže probijajuči slojeve. Prilikom probijanja slojeva, slojevi se zakrivljuju. Na slici 1-8 prikazana je solna doma. Slika 4-2: Solna doma 9
11 Anhidrit Anhidrit je bijela do svijetlo-smeđa, često masivna stijena sitnije granulacije. Po izgledu je sličan dolomitu. Može sličiti gipsu, no razlikuju se po gustoći. ( ρ anhidrit = 2,95 t / m ; ρ = 2,3 t / m ) 3 3 gips Anhidrit je stabilna forma kalcijevog sulfata ( CaSO 4 ) pri temperaturama većim od 43 C ukoliko postoji doticaj s vodom. Ukoliko nema doticaj s vodom, anhidrit je stabilan pri svakoj temperaturi. Ukoliko je anhidrit mrvljen, drobljen, lakše će postići reakciju s vodom nego kompaktni anhidrit. Prilikom hidratacije anhidrit prelazi u gips. Zbog velike razlike u gustoći, prilikom hidratacije anhidrita doći će do povećanja volumena, a time i do pucanja stijene. Postanak anhidrita nije do kraja razjašnjen. Pronađene su formacije koje su se iztaložile kao anhidrit dok su na drugim mjestima formacije formirane na dubini zagrijavanjem i dehidratacijom originalnih taloga gipsa. Na mjestima bliže površini, anhidrit bez obzira na postanak teži transformaciji u gips. Anhidrit hidratizira u gips uz promjenu volumena od 35 %. 5. PROCESI I EFEKTI TOPLJENJA Kod promatranja topljivosti zanima nas njen utjecaj kroz vremensko razdoblje ( kratkoročno i dugoročno). Za vapnence i dolomite veće gustoće, topljenje je jako sporo tako da se neprimjetna količina stijene razloži kroz neko određeno vrijeme. U tom slučaju zanimaju nas efekti topljenja kroz neko geološko vrijeme. U terenima od mladih, poroznih vapnenaca i evaporita, veliki problem inženjerima zadaje poveća razgradnja stijene uzrokovana vodom. 5.1 KEMIJSKA REAKCIJA VODE I KARBONATNIH STIJENA Skupljanjem CO 2 iz atmosfere i tla voda postaje razrijeđena karbonatna kiselina ( H 2CO 3 ). Voda koja se drenira kroz humusna tla za sobom povlači i organske kiseline koje se tu nalaze. Kiša koja pada kroz industrijski zagađena područja pretvara se u sulfatnu kiselinu ( H 2SO 4 ). 10
12 Također, u regijama s geotermalnim izvorima, H 2S koji se izdiže može u kontaktu s podzemnom vodom stvoriti sulfatnu kiselinu. Voda nastala otapanjem snijega ili ledenjaka je vrlo razrijeđena karbonatna kiselina i nije agresivna. Karbonatna kiselina napada vapnenac i dolomit odstranjujući otapanja. 2 Ca + i 2 Mg + u procesu CO + H O + CaCO Ca + 2HCO FAZE OKRŠAVANJA Kontinuirano trošenje vapnenca kroz duži period vremena rezultira stijenskom masom isprepletenom kavernama. Površina takve stijenske mase je prekrivena manjim i većim depresijama. Razlikuju se 3 faza okršavanja i ovisno o njima različita svojstva krša: - mladi krš - zreli krš - stari krš Krajolik u mladom kršu nije previše potonuo te zadržava normalnu površinsku drenažu. Kod zrelog krša tvore se vertikalne pukotine te plitke špilje. Špilje se nakon nekog vremena urušavaju pri čemu dolazi do stvaranja vrtača na površini. Zbog toga je površina terena neravna a krovinske naslage zauzima crvenica koja lako propušta dospjelu vodu. U starom kršu, vapnenac je skoro potpuno uklonjen. Na mjestu vapnenca nalazi se talog zemlje koji se sastoji od netopljivih čestica ostalih nakon što su se kalcit i dolomit otopili. Vrijeme potrebno da se čvrsti, kompaktni vapnenac prođe kroz sve 3 faze je dugo, dok će porozni, mekani vapnenac brže proći kroz ove faze te će se raspadanje lakše uočiti. 5.3 ZNAČAJKE OKRŠENOG VAPNENCA Vapnenac koji se otopio može sadržavati šupljine svih veličina i oblika. U vapnencima velike gustoće, stijenska masa između šupljina može ostati gotovo netaknuta. Površina gotovo svake pukotine u okršenoj stijeni ima karakteristično lagano zakrivljenje na rubovima, vrlo lako uočljivo. 11
13 Na području Floride kod mladih kalkarenita i kalkarudita procesi raspadanja se događaju na kontaktu tla i stijene (Epikaristična regija). Stijena je vrlo porozna i cementirana uglavnom na mjestima kontakta čestica. Voda koja se procjeđuje kroz pore, širi ih, povećava permeabilnost te time privlači veće količine vode. U području koje se nalazi iznad razine podzemne vode, nizvodno strujanje vode uzrokuje vertikalne jame širine do 1m, a dubine desetak metara. Tečenje vode u području koje se nalazi ispod razine podzemne vode je horizontalno te se na taj način otvaraju horizontalne pukotine. Povećavanjem pukotina povećava se i tečenje vode. Otapanje stijene slabi i uništava vezu između čestica te dezintegrira stijenu u šljunkovita, pjeskovita, prahovita i glinasta tla. Oslabljene zone mogu se komprimirati pod teretom uzrokujući velika slijeganja. U manje poroznim, čvrščim vapnencima veličina otapanja je koncentrirana duž pukotina. Otapanje širi pukotine stvarajući vertikalne žljebove otvorene na površini. Proširene pukotine odvajaju šiljke mladog krša koji nakon nekon vremena, u starom kršu, postaju odvojeni samo stojeći šiljci. Šiljci su ponekad zatrpani krovinskim naslagama (tlo), no često ih otkrije prirodna erozija ili rudarska djelatnost. Na slikama 5-1 (a,b) prikazani su vapnenački šiljci. a) b) Slika 5-1 (a, b): Vapnenački šiljci Vertikalne pukotine spojene spojene sa šupljinama u ravnini slojevitosti skupljaju vodu u podzemni vodonosnik. Ta podzemna jezera se kroz mrežu horizontalnih tunela mogu drenirati prema mjestima niže nadmorske visine, koja mogu biti udaljena i do nekoliko desetaka kilometara, te se na kraju pojaviti kao izvor u dolini. Veliki broj krških vodonosnika nema izvor te se voda zadržava kao u nekom rezervoaru. 12
14 Na slici 5-2 prikazan je tipični krški vodonosnik sa izvorom 5.4 VRTAČE Slika 5-2: Krški vodonosnik sa izvorom Vrtače su tipičan primjer krša. Neke vrtače sadrže vodu dok su neke potpuno suhe. Ukoliko se vrtača nalazi u području gdje prevladava vlažna klima, a na samom dnu nema vode stajačice, voda se vrlo vjerojatno drenirala u kršne pukotine i otvore koji se nalaze ispod vrtače. Isto tako, ukoliko se na dnu vrtače nalazi voda, ta pojava ne mora značiti da se u podzemlju ispod vrtače ne nalaze pukotine i otvori već je moguće da je površina same vrtače vodonepropusna. Najveće depresije mogu biti stotine metara široke i kilometar duge. Karakteristično je da svaka vrtača na vanjskom rubu ima pukotine i mnogostruke ožiljke. Po načinu postanka razlikuju se slijegajuće vrtače i urušavajuće vrtače. Slijegajuće vrtače nastaju prilikom slijeganja tla koje se nalazi iznad mreže pukotina. Te pukotine omogućavaju brzo dreniranje a samim time i brže slijeganje tla. Urušavajuće vrtače nastaju urušavanjem stijenske mase prilikom čega tlo popunjava zarušeni prostor. Na slici 5-3 prikazana je vrtača. 13
15 Slika 5-3: Vrtača Smanjenje razine podzemne vode i vibracije pospješuju nastanak vrtača. Na slici 5-4 prikazani su načini na koje nastaju vrtače. Slika 5-4: Nastanak vrtača 14
16 5.5 EFEKT SMANJIVANJA RAZINE PODZEMNE VODE Za nastanak vrtača dosada se kao najizraženiji faktor javlja smanjivanje razine podzemne vode. Navedeni su i neki primjeri: Hershey Valley, Pennslyvania Voda se pumpala za potrebe lokalnog kamenoloma. Kada je razina podzemne vode pala počele su se otvarati vrtače. Nakon toga uvedene su potrebne mjere kontrole razine podzemne vode i sprečavanja dodatnog spuštanja razine. Transvaal, Južna Afrika Smanjenje razine podzemne vode uzrokovano je drenažom vode u rudnike na valikim dubinama. Na površini su nastale brojne vrtače. Južna Kina U aluvijalnoj dolini, u regiji uznapredovalog krša, voda se crpila za potrebe željezare. Razina podzemne vode se smanjila sa dubine od 1 m na dubinu od 20 m. Zbog tog smanjenja u periodu od pojavilo se više od 1000 vrtača. 15
17 6. KARAKTERISTIKE POJEDINIH KRŠKIH FORMACIJA Nastanak šupljina i uvećanih pukotina u kršu ovisi o velikom broju faktora: kompoziciji, teksturi, strukturi, čvrstoći stijenske mase i geološkoj povijesti. Navedene su karakteristike pojedinih krških formacija: Mladi porozni vapnenci Gips i sol - bliže površini su meki, spužvasti - šupljine su relativno male - uglavnom nemaju otvorenih šupljina Kreda - rijetko sadrži šupljine iz razloga što se proces topljenja distribuira kroz tijelo same stijene, a ne kroz pukotine i šupljine kao kod vapnenaca veće gustoće - na mjestima kontakta krede i drugih stijena uočljivi su efekti topljenja ( plitke i široke vrtače) Vapnenac velike gustoće - može sadržavati velike šupljine različitih oblika Vapnenci i dolomiti različitih gustoća - razvijaju male ali izdužene pukotine duž ploha slojevitosti, rasjeda.. Dolomiti - razvijaju male rupe, ali mogu sadržavati i velike šupljine Špilje - plitke špilje u čvrstoj stijeni mogu biti ispunjena s glinovitim tlima, dok špilje na većim dubinama uglavnom nisu ispunjene 16
18 7. REZIDUALNA TLA KRŠKIH REGIJA Tla razvijena na vapnencima su akumulacije netopljivih čestica i mogu sadržavati nečistoće koje su pripadale razgrađenoj stijeni. Uglavnom su bogata željezom i daju tlu crvenu boju. Od toga je i naziv CRVENICA ( TERRA ROSSA). U vlažnim uvjetima crvenica može biti bogata glinom, hematitom i limonitom. Kreda je često prisutna iz razloga što su u velikom broju slučajeva karbonatne čestice međusobno zacementirane kredom. Dobro su drenirana unatoč velikim količinama gline uz razloga što u svojoj strukturi ima velik broj prslina. Na slici 7-1 prikazan je vapnenac iznad kojeg se nalazi crvenica. Slika 7-1: Vapnenac prekriven crvenicom 17
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
σ (otvorena cijev). (34)
DBLOSTJN POSUD CIJVI - UNUTARNJI ILI VANJSKI TLAK 8 "Dobo je htjeti, ali teba i znati." Z. VNUČC, 9. NAPRZANJA I POMACI DBLOSTJN POSUD ILI CIJVI NASTAVAK. Debelostjena osa oteećena ntanjim tlaom Debelostjena
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Što je sediment? Što je sedimentna stijena? OSNOVE MINERALOGIJE I PETROLOGIJE OPĆA MINERALOGIJA SISTEMATSKA PETROLOGIJA PETROLOGIJA
Što je sediment? OSNOVE MINERALOGIJE I PETROLOGIJE OPĆA MINERALOGIJA SISTEMATSKA MINERALOGIJA PETROLOGIJA KRISTALOGRAFIJA KEMIJSKA I FIZIKALNA SVOJSTVA MINERALA GENEZA MINERALA NESILIKATI SILIKATI PETROLOGIJA
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)
RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično.
Vapno Vapno je naziv koji se koristi za čitav niz proizvoda dobivenih preradom (kalcinacijom i/ili hidratacijom) vapnenca ili dolomita. Proizvodi se razlikuju prema kemijskom sastavu i svojstvima te fizikalnom
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Procesi tečenja u tlu i stijeni VODA U TLU
str. 1 VODA U TLU I. Uvod Kada ne bi bilo vode u tlu, geotehničko bi inženjerstvo bila puno jednostavnija grana građevinarstva. Koliko opterećenje na tlo, tolika promjena ukupnih naprezanja i, kao rezultat,
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta
PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =