Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično."

Transcript

1 Vapno Vapno je naziv koji se koristi za čitav niz proizvoda dobivenih preradom (kalcinacijom i/ili hidratacijom) vapnenca ili dolomita. Proizvodi se razlikuju prema kemijskom sastavu i svojstvima te fizikalnom stanju. Kalcinacijom se dobivaju oksidi kalcija i magnezija ili tzv. živo vapno, zatim opcionalno njihova hidratizacija rezultira pretvorbom oksida u hidrokside, tj. gašeno ili hidratizirano vapno. Ovisno o sirovinskom sastavu, razlikuju se kalcitno vapno i dolomitno vapno, a ukoliko se u sirovini uz vapnenac nalaze i primjese silikata i aluminata, tada kalcinacijom nastaje hidraulično vapno koje je svojstvima slično cementu i spada u hidraulična veziva. Fizikalno stanje ovisi o namjeni proizvoda, živo vapno se može koristiti u obliku granula ili fino mljevenog praha, hidratizirano vapno se koristi u obliku praha ili u obliku vodene suspenzije različitih gustoća (vodena pasta ili tijesto). Primjena vapna je raznolika. Koristi se u metalurgiji kao topitelj (flux) pri ekstrakciji metala iz rude i za izradu vatrostalnih dolomitnih opeka kao obloga za peći, u građevinarstvu kao vezivo za žbuku i mortove te za stabilizaciju tla, u zaštiti okoliša kod pročišćavanja vode i dimnih plinova, u poljoprivredi za modifikaciju ph vrijednosti tla te prihranu tla kalcijem i magnezijem, te vrlo svestrano u kemijskoj industriji. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit Kalcinacija Klasiranje i sitnjenje Kalcitno živo vapno Kalcitno živo vapno + silikati Dolomitno živo vapno Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidratizacija (povišeni tlak) Kalcitno ili dolomitno živo vapno Kalcitno hidratizirano vapno Hidraulično vapno Dolomitno, djelomično hidratizirano vapno Dolomitno, potpuno hidratizirano vapno Metalurgija, Građevinarstvo, Poljoprivreda, Zaštita okoliša, PCC, Kemijska industrija

2 Proizvodnja vapna Proces proizvodnje vapna sastoji se generalno od slijedećih faza: Eksploatacija mineralne sirovine Priprema mineralne sirovine (drobljenje i sijanje) Kalcinacija u peći Sitnjenje ili hidratizacija Skladištenje, pakiranje i otprema Tipični proces proizvodnje vapna prikazuje Slika 1. Paralelno proizvodnji vapna, slika prikazuje i proizvodnju karbonata za industrijsku primjenu. Naime ova dva procesa mogu biti usko povezana, budući oba proizvoda zahtijevaju ležišta dovoljno čistog vapnenca, sa visokim udjelom CaCO 3, tipično iznad 95%. Tako je iz istog ležišta moguće proizvoditi i vapnenac (kalcit) i vapno. Nakon eksploatacije, mineralna sirovina se drobljenjem usitnjava na zrna veličine 0,5-15 cm, što ovisi o vrsti peći za kalcinaciju. Veličina zrna je važna za vrijeme kalcinacije, budući da se kemijska reakcija brže odvija što su zrna sitnija. Kalcinacija vapna se odvija u pećima pri temperaturama između 1000 i 1400 C. Postoji više vrsta i konstrukcija peći, a generalno se dijele na rotacijske i vertikalne. Osnovna reakcija koja se odvija u peći je rastvaranje karbonata na okside i ugljični dioksid, prema slijedećim jednadžbama: za vapnenac CaCO 3 + toplina CaO + CO 2, za dolomit CaMg(CO 3 ) 2 + toplina CaCO 3 + MgO + CO 2 i CaCO 3 + toplina CaO + CO 2. Tokom cijelog procesa kalcinacije odvija se niz fizikalno-kemijskih promjena. U početnoj fazi, sirovina se zagrijava od atmosferske od temperature kalcinacije, koja pri atmosferskom tlaku za kalcit iznosi oko 870 C a za dolomit oko 775 C. U ovoj fazi dolazi do povećanja volumena zrna zbog temperaturnog rastezanja. Daljnjim porastom temperature započinje kalcinacija na površini zrna, čime dolazi do otpuštanja CO 2 i prelaska karbonata u okside. U ovoj fazi volumen ostaje konstantan, ali se gubitkom CO 2 smanjuje gustoća i povećava poroznost, odnosno volumen pora i šupljina. Ovako nastalo vapno vrlo je reaktivno zbog visoke poroznosti. Daljnjim povišenjem temperature ili produljenjem vremena trajanja kalcinacije, kristali vapna počinju sinterirati, odnosno spajati se uz smanjenje volumena, poroznosti i specifične površine te povećanje gustoće.

3 Slika 1

4 Ovako nastaje prepečeno ili mrtvo pečeno vapno koje zbog manje specifične površine ina nisku reaktivnost (eng. dead burned lime). Faze kalcinacije ilustrirane su na Slika 2 A. Slika 2 B prikazuje mikroskopski snimak živog vapna, različitih gustoća zbog sinteriranja. Slika 2 Reakcija kalcinacije, a zatim i sinteriranja započinje na površini zrna i napreduje prema unutrašnjosti. Njezino napredovanje najviše ovisi o temperaturi peći, veličini zrna i vremenu zadržavanja u peći. Slika 3 ilustrira tri moguća stanja zrna nakon pečenja vapna. U prvom slučaju zrno je samo djelomično kalcinirano, dok je u jezgri zaostao kalcijev karbonat. U drugom slučaju je zrno idealno, tj. potpuno kalcinirano, bez zaostalog karbonata i bez pojave sinteriranja, odnosno mrtvo pečenog vapna. U trećem slučaju zrno je potpuno kalcinirano ali je na površini započela reakcija sinteriranja, stvarajući ovojnicu koja sprječava ulazak vode i na taj način smanjuje reaktivnost vapna. Kako veličina zrna sirovine varira u nekim garnicama, realno je nemoguće da sva zrna idealno kalciniraju. Stoga u gotovom živom vapnu uvijek postoji mali udio karbonata koji nije kalcinirao i prepečenog vapna koje je predugo izloženo visokoj temperaturi. Slika 3

5 Dakle, najvažniji tehnološki parametri pri kalcinaciji su veličina zrna sirovine, temperatura peći i vrijeme kalcinacije. Slika 4 prikazuje međuovisnost ovih parametara. Na dijagramu (a) je uočljivo da je vrijeme kalcinacije kraće što su zrna sirovine sitnija, a temperatura peći viša. S druge strane, dijagram (b) pokazuje kako gustoća vapna raste s temperaturom i vremenskim trajanjem pečenja. Kako je već spomenuto, gustoća vapna raste zbog pojave sinteriranja. Ova pojava je negativna jer o gustoći i poroznosti vapna ovisi njegova kemijska reaktivnost s vodom, jedno od važnijih svojstava vapna. Kvaliteta proizvoda ovisi o optimalnom odabiru ovih parametara za konkretni slučaj. Slika 4 O stupnju pečenja vapna ovise njegova svojstva, među kojima je najvažnija reaktivnost vapna. Tabela 1 okvirno prikazuje kako se neka svojstva mijenjaju stupnjem pečenja kod kalcitnog i dolomitnog vapna. Način određivanja reaktivnosti vapna je propisan standardima. Najčešće se definira temperaturom pri hidrataciji vapna. Toplina hidratacije je dobar pokazatelj reaktivnosti, budući se oslobađa više topline što je vapno reaktivnije. Slika 5 daje pregled nekoliko normi za određivanje reaktivnosti vapna.

6 Svojstvo Tabela 1 Meko pečeno vapno Prepečeno vapno Mrtvo pečeno vapno Potpuno sinterirano vapno Specifična površina m 2 /g 0,1 1 m 2 /g <0,1 m 2 /g vrlo mala površina Veličina kristala 1-20 µm srednje veličine veliki kristali ( µm) Topivost u kiselinama vrlo topivo u vrlo topivo u vrlo spora reakcija s razblaženim koncentriranim jakim kiselinama kiselinama kiselinama Hidratizacija i karbonizacija Vrlo brzo reagira s vodom i CO 2 Sporo reagira s vodom Ne reagira s vodom i CO 2 vrlo veliki kristali vrlo spora reakcija s jakim kiselinama Ne reagira s vodom i CO 2 Kemijska reaktivnost Visoka do srednja reaktivnost Niska reaktivnost Vrlo niska reaktivnost Vrlo niska reaktivnost Slika 5

7 U slijedećoj fazi proizvodnje vapna, proces se može odvijati u dva smjera. Jedan je klasiranje i sitnjenje kalciniranog živog vapna, do potrebne veličine zrna, odnosno granulometrijskog sastava. Ovako prerađeno živo vapno čini gotov proizvod a veličina zrna ovisi zahtjevima istog. Drugi smjer je hidratizacija živog vapna radi pretvorbe oksida u hidrokside. Hidratacija kalcitnog vapna je egzotermna reakcija pri kojoj se oslobađa znantna količina topline, odvija se prema reakciji: CaO + H 2 O Ca(OH) 2 + toplina Oslobođena toplina ovisi o reaktivnosti vapna i iznosi otprilike 1100 kj/kg (smatra se da je toplina oslobođena izgaranjem 35 t ugljena ekvivalentna toplini hidratacije 1000 t vapna). U ovako burnoj reakciji prelaska oksida u hidrokside, zbog naglog povećanja volumena dolazi do mehaničkog razaranja, pri čemu se granule vapna raspadaju u čestice dimenzija praha. Na ovaj način se vapno usitnjava te nije potrebna meljava nakon hidratizacije. Ovisno o potrebnoj konzistenciji proizvoda, pri hidrataciji se vapnu dodaje voda u određenim omjerima. Stehiometrijski omjer vode i vapna za prelazak oksida u hidrokside iznosi 0,32. Međutim kako se u procesu pojavljuje gubitak vode zbog isparavanja, dodaje se nešto veća količina što ovisi o izvedbi hidratora i temperaturi reakcije. Dodatak vode, u količini tek dovoljnoj da oksidi prijeđu u hodrokside, naziva se suhom hidratizacijom (eng. dry hidration) a rezultira hidratiziranim vapnom u suhom praškastom obliku. Nasuprot tome, dodatak vode u suvišku, s omjerima vode i vapna između 1 i 6, također uzrokuje potpunu hidratizaciju ali je gotov proizvod tada u obliku vodene suspenzije. Primjer uređaja za hidratizaciju prikazuje Slika 6. Vrijeme hidratizacije, potrebno da vapno potpuno hidratizira ovisi o vrsti vapna, odnosno njegovoj reaktivnosti. Meko pečeno kalcitno vapno je vrlo reaktivno i može hidratizirati vremenu od nekoliko minuta. Dolomitna i prepečena vapna su nakon kalcinacije slabo reaktivna. Zbog slabe reaktivnosti dolomitnog vapna, tek 10 25% magnezijeva oksida hidratizira u tehničko-ekonomski isplativom vermenu (10 24h). Tj., uobičajenim postupkom hidratizacije, pri atmosferskom tlaku, potpuno hidratizira samo kalcitna komponenta dolomitnog vapna i nastaje tzv. monohidrat: MgO CaO + H2O Ca(OH) 2 + MgO + toplina. Ovakvo, nepotpuno hidratizirano vapno, stvara poteškoće ukoliko se primjenjuje kao vezivo. Naime, magnezijev oksid dodavanjem vode naknadno hidratizira, što povećava volumen očvrslog veziva, odnono uzrokuje ekspanziju.

8 Iz ovog razloga razvijen je postupak tlačne hidratizacije koji se primjenjuje isključivo za dolomitna vapna. Ovim postupkom vapno potpuno hidratizira i nastaje tzv. dihidrat: MgO CaO + H 2 O Ca(OH) 2 Mg(OH) 2 + toplina. Za postupak se koriste posebni uređaji gdje se hidratizacija odvija u višku vode, pri povišenoj temperaturi i pritisku. Eksplozivnim izbacivanjem finalnog proizvoda naglo se smanjuje pritisak, što dovodi do odslobađanja vode i usitnjavanja čestica vapna na dimenzije od nekoliko mikrometara. Slika 6

9 U procesu kalcinacije hidrauličnog vapna nastaju nešto drugačiji produkti nego kod kalcitnog ili dolomitnog vapna. Sirovina za hidraulično vapno sastoji se od karbonatne i glinovite (silikatne) komponente, pa uslijed kalcinacije dolazi do spajanja oksida kao kod proizvodnje cementa, zbog čega nastaju minerali alita i belita. Osim ovih minerala, nastaje veliki udio slobodnog (nevezanog u alit ili belit) vapna (CaO), te zaostali dio nevezanih silikata koji mogu biti reaktivni (amorfni) ili nereaktivni (kristalični). Primjer sastava vapnenca te hidrauličnog vapna nakon kalcinacije i nakon hidratizacije prikazan je na Slika 7. Slika 7 Pri hidratizaciji hidrauličnog vapna dodaje se količina vode dovoljna za pretvorbu kalcijeva oksida u hidroksid, ali da alit i belit ne počnu proces hidratacije (vezivanja vidi poglavlje o cementima). Hidraulično vapno se koristi kao vezivo i ovisno o udjelu alita i belita može biti svojstvima slično cementu. Za razliku od cementa koji veže isključivo hidratcijom minerala klinkera, hidraulično vapno veže hidratacijom alita i belita, ali i karbonatizacijom hidroksida. Pri karbonatizaciji kalcijev hidroksid veže CO 2 iz zraka tvoreći kalcijev karbonat: Ca(OH) 2 + CO 2 CaCO 3 + H 2 O. Osnovne razlike cementa i hidrauličnog vapna obzirom na svojstva, sastav, proizvodnju i povijesni razvoj prikazuje Slika 8.

10 Slika 8

11 Sirovine za proizvodnju vapna i uvjeti kvalitete Karbonatne stijene izgrađuju velike mase u Zemljinoj kori i čine važnu sirovinu u mnogim industrijskim granama, pa tako i u proizvodnji vapna. Industrijski važni karbonati sastoje se od korisnih minerala kalcita, aragonita, dolomita i magnezita, čija su svojstva prikazana u Tabela 2. Tabela 2 Kemijska formula Molekularna težina Specifična težina [g/cm3] Tvrdoća [Mohova skala] Kristalni sustav KALCIT CaCO 3 100,1 2,71 3,0 romboedarski ARGONIT CaCO 3 100,1 2,94 3,5-4,0 ortorombski DOLOMIT (CaMg)CO , romboedarski MAGNEZIT MgCO 3 84,3 3,00 5-4,5 romboedarski Od ovih minerala, u karbonatima su najzastupljeniji kalcit i dolomit. Ovisno o udjelu ovih minerala i ostalih primjesa, uobičajena je klasifikacija karbonata na čisti vapnenac, dolomitični vapnenac, vapnenački dolomit i čisti dolomit, kako prikazuje Slika 9. O sastavu će također ovisiti primjena sirovine za neku vrstu vapna. Slika 9

12 Primjese koje se najčešće nalaze u karbonatima su silikati ili glinovite komponente i željezo a svrstavaju se u homogene i heterogene primjese. Silikatne primjese se javljaju kao homogene, u obliku gline, praha ili pijeska ako su jednoliko dispergirane unutar ležišta. Ili kao heterogene ako se pojavljuju u obliku čestica ili grudica koje su uklopljene unutar slojeva karbonata. Željezo se također javlja kao homogena primjesa ukoliko je nastalo kemijskom izmjenom kalcija pri čemu nastaje željezni karbonat (siderit). Heterogene su primjese željeza u obliku sulfida ili oksida, tj. zasebnih minerala potput pirita, limonita i hematita. Fosfor i sumpor se uglavnom pronalaze u malim količinama, a ostale primjese poput mangana, bakra i titana ppojavljuju se u tragovima i gotovo su zanemarivi. Industrijski korišten vapnenac i dolomit su: visoko kvalitetni kalcit sa 97-99% CaCO 3 visoko kvalitetni dolomit sa 40-43% MgCO 3 i 57-60% CaCO 3. Količina primjesa u ovim vrstama vapnenca mora biti što manja, najpovoljniji udio promjesa se kreće u rasponu od 1% do 3%. Mineralna struktura i veličina kristala sirovine ovisi o uvjetima kristalizacije za vrijeme postanka. Obzirom na veličinu kristala vapnence možemo podijeliti u četiri skupine: veoma mali mali srednji krupan <4 μm 4-50 μm μm >250 μm U proizvodnji vapna povoljniji su kristali manjih dimenzija. Oblik zrna ovisi o mikrostrukturi ali i o karakteristikama drobilica i mlinova. Za proizvodnju vapna preferira se zaobljeni ili kubičasti oblik zrna, dok se pločasti i lističasti oblici izbjegavaju. Poroznost zrna varira uzimajući u obzir stupanj kompaktnosti i strukturu, i definira se kao omjer volumena šupljina i pora V V i ukupnog volumena V tot. Volumen pora i šupljina V v sastoji se od nepristupačnih (unutarnjih) i pristupačnih (vanjskih) pora. Slika 10 prikazuje različite vrsta pora i šupljina.

13 a-čvrsta tvar, b- nepristupačne pore, c- pristupačne pore Slika 10 Gustoća se definira kao omjer mase m i volumena V određene čestice. Specifična gustoća (D) sadrži samo volumen čistog neporoznog vapnenca bez volumena pora i šupljina. Prividna gustoća (D s ) sadrži volumen neporoznog vapnenca zajedno sa nepristupačnim (unutrašnjim) šupljinama Prividna poroznost (P s ) je pristupačni volumen koji dobivamo razlikom tog dijela osnovne ili specifične gustoće i prividne gustoće sa količinom nepristupačnih pora ili šupljina. P s D = 1 s *100 D P s = Prividna poroznost [%] D s = Prividna gustoća D = Specifična gustoća Poroznost i gustoća su međusobno ovisni, tj. obrnuto proporcionalni. Za proizvodnju vapna, sirovina je povoljnija što je gustoća manja i poroznost veća. Ovo utjeće na proces kalcinacije, jer se porozna zrna brže zagijravaju i lakše otpuštaju CO 2. Osim toga, veća poroznost sirovine rezultira i većom specifičnom površinom živog vapna, što pogoduje njegovoj reaktivnosti. Industrijski korišteni karbonati imaju široki raspon prividne poroznosti (0.1-40%) i gustoće ( g/cm 3 ) uzrokovane različitim uvjetima tijekom postanka i različitim stupnjem rekristalizacije. Neki od podataka prividne poroznosti i prividne gustoće najčešće upotrebljavanih vrsta karbonata navedeni su u Tabela 3.

14 Tabela 3 Poroznost [%] Prividna gustoća [g/cm 3 ] vapnenac s visokim udjelom kalcita 0.1 do 3 do 2.7 mramor 0.1 do do 2.8 kreda 15 do do 2.3 dolomit 1 do do 2.9 Termalno rastvaranje je jedno od najvažnijih svojstava karbonata. Sve karbonatne stijene se rastvaraju na visokim temperaturama, stvarajući okside i CO 2 plin. Temperatura rastvaranja industrijski korištenog vapnenca je između 896 i 910 C zavisno o djelomičnom CO 2 pritisku pri 1 bar. Toplina rastvaranja je oko 3180 Kj/kg CaO. Temperatura rastvaranja uvelike varira s obzirom na kemijski sastav i zavisi o čistoći i primjesama vapnenca. Veće količine primjesa SiO 2, Al 2 O 3 i Fe 2 O 3 u vapnencu mogu smanjiti temperature rastvaranja za nekoliko stotina stupnjeva celzijusa. Ovaj utjecaj primjesa silicija je prikazan na Slika 11. Slika 11 Krivulje pritiska i temperature različitog kem. sastava imaju sljedeće temperature rastvaranja : krivulja a CaCO 3 + SiO C krivulja b CaCO 3 + 2CaO*SiO C krivulja d CaCO

15 Mehanička čvrstoća i otpornost na struganje (abraziju) imaju važnu ulogu u procesu kalcinacije. Volumen (količina) pora i šupljina te njihov raspored daju vapnencu specifičnu strukturu koja rezultira u različitoj prividnoj gustoći (s obzirom na dostupne-vanjske i nedostupne-unutrašnje pore i šupljine). Mehanička svojstva direktno zavise o ovom efektu. Mehanička čvrstoća i otpornost na struganje vapnenca mora biti relativno visoka da bi se spriječilo njegovo lomljenje. Lomljenje komadića vapnenca tijekom transporta ili prolaska kroz peć dovodi do stvaranja finih čestica koje zapunjavaju prostor između krupnijih zrna. Na taj način dolazi do zbijanja sirovine u peći, što umanjuje protok plinova i topline. Također, sitnija zrna kalciniraju u kraćem vremenskom intervalu te nastaje veća količina prepečenog vapna. Tlačna čvrstoća karbonata varira od 10 do 200 MPa a minimalna potrebna čvrstoća ovisi o vrsti i izvedbi peći za kalcinaciju.

16 Kontrola kvalitete sirovina Ispitivanje kvalitativnih svojstava vapnenaca i dolomita kao karbonatne mineralne sirovine izvodi se sistematski, svakodnevno u laboratoriju, a periodično kod ovlaštenih institucija. Analiza se sastoji od slijedećeg: Utvrđivanje udjela silicijevih, aluminijevih i željeznih primjesa (SiO2), (Al2O3) i (Fe2O3) radi kvalitete sastava Utvrđivanjem gubitka žarenjem, kojim se uzorak zagrijava na određenu temperaturu, prilikom koje dolazi do oslobađanja hlapljivih elemenata.uzorak je izložen visokoj temperaturi sve dok se njegova masa ne prestane mijenjati. Određivanjem silicijeva dioksida i netopivog ostatka. Ovom metodom se utvrđuje količina oksida u sirovini koja utječe na termalno rastvaranje prilikom kalcinacije. Veće prisustvo nepoželjnih oksida u sirovini umanjuje temperature rastvaranja za nekoliko stotina stupnjeva Određivanje kalcijeva oksida koristi se za utvrđivanje potrebne količine karbonatne sirovine za proizvodnju kalcitnog ili dolomitnog vapna. Određivanje magnezijeva oksida koristi se za utvrđivanje potrebne količine dolomita za proizvodnju dolomitnog vapna, kao i za utvrđivanje čistoče vapnenca u slučaju kalcitnog vapna (MgO je u kalcitnom vapnu nepoželjna primjesa) za kompleksno utvrđivanje kvalitete sirovine, neophodno je ustanoviti i druga svojstva poput gustoće, vlage i veličine zrna (granulacije). Količina potrebne sirovine računa se prema jednadžbi: lim e A * (100 vlaga) =, lim estone 100 gdje A ovisi o vrsti vapna: CO 2 [%] Rezidentni CO 2 u pečenom vapnu CaO [%] CaO u pečenom vapnu MgO [%] R 2 O 3 [%] MgO u pečenom vapnu Primjese u pečenom vapnu.

17 U nastavku je prikazan primjer rezultata analize vapnenca za kalcitno vapno i dolomita za dolomitno vapno. Uzorci su iz dva kamenoloma poduzeća Kamen Sirač. Kamen iz Gustog Rastika, vapnenac Kemijska analiza: CaO: % MgO: 1.80 % SiO2: 1.29 % Al2O3 + Fe2O3: 0.47 % Gubitak žarenjem: % Gustoća 2.65 t/m3 Vlaga: <2.0 % Granulacija: 40-80mm, Nadzrno > 80 mm: < max. 3.0 % Podzrno < 40 mm: < max. 3.0 % Kamen iz Čeline, dolomit Kemijska analiza: CaO: % MgO: % SiO2: 0.50 % Al2O3 + Fe2O3: 0.19 % Gubitak žarenjem: % Gustoća t/m3 Poroznost 3.0 % Vlaga: =< 2.0 % Granulacija: 30-60mm Nadzrno > 60 mm: < max. 3.0 % Podzrno < 30 mm: < max. 3.0 %

18 Ciklus vapna Kalcijev karbonat, zagrijan iznad 900 C, otpušta CO 2 i prelazi u kalcijev oksid CaO, a u prisutnosti vlage ili vode ovaj oksid prelazi u kalcijev hidroksid. Kalcijev oksid, i hidroksid konačno vežu CO 2 iz atmosfere, formirajući ponovno kalcijev karbonat CaCO 3. Ovaj ciklus vapna, prisutan u mnogim industrijskim granama, danas se smatra potencijalno bitnim aspektom zaštite okoliša, naročito u problemu stakleničkih plinova. Teoretski, količina CO 2 otpuštena u atmosferu iz karbonata se ponovno apsorbira rekarbonizacijom vapna. Međutim, pogonsko gorivo peći za kalcinaciju su fosilna goriva kojima se pripisuje više od 40 % ukupne emisije CO 2 u proizvodnji vapna, tako da je zagađenje atmosfere znatno manje nego pri proizvodnji cementa, ali ipak neizbježno. Slika 12

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

D. Vrkljan, M. Klanfar Tehnologija nemetalnih mineralnih sirovina. Gips

D. Vrkljan, M. Klanfar Tehnologija nemetalnih mineralnih sirovina. Gips Gips Gips je mineral koji spada u skupinu sulfata, tj. soli sumporne kiseline koje su često zastupljene u Zemljinoj kori. Kemijski naziv gipsa je kalcij-sulfat dihidrat (CaSO 4 2H 2 O). Male je tvrdoće

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU

SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU ZAVRŠNI RAD PRIMJENA TERMIČKIH METODA U ANALIZI PROCESA HIDRATACIJE CEMENTA IVANA KNEZOVIĆ Mat.br. 355 Split, rujan 1. SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα