zelene alge BOTANIKA MB 05 Anđelka Plenković-Moraj
|
|
|
- Άδωνις Φιλιππίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 zelene alge
2 Pojavljivanje i način života Pretežno autotrofni organizmi, ali sekundarno mogu biti i heterotrofi. Žive: plankton ili bentos slatkih voda u moru kao bentoski organizmi u litoralnoj zoni na kori vlažnog drveća, stijenama, vlažnom tlu, simbionti u lišajevima obraštaju vodeno bilje (epifiti) pa i životinje Ishodište zelenih alga su prabičaši, što se vidi i po najprimitivnijim algama ove skupine, koje nisu otišle dalje od flagelatnih oblika (Volvocales) na koje možemo nadovezati ostale skupine jednostavnijih oblika pa sve do onih s vrlo diferenciranom steljom. Kloroficeje su poznate od silura, a mogu se dovesti u vezu s primitivnim mahovinama i papratima.
3 Imaju 1 ili više jezgara. Plastidi kloroplasti (vrčasti, okrugli, pločasti, vrpčasti, zvjezdasti, mrežasti). Često posjeduju pirenoide. Pigmenati: klorofil a i b, α i β karotini, ksantofili (lutein). Česta je i uljem povezana biljna boja hematokrom (vrsta crvenog karotinoida), dosta čest kod trajnih stanica (cistozigota). Organske tvari mogu pospješiti njihov razvoj = voda izrazito zelena Dobri su indikatori (vode opterećene organskim tvarima) Kod odvedenijih zelenih alga možemo na stelji razlikovati rizoide, kauloide i filoide. Pokretni oblici imaju bičeve jednake dužine - "Isocontae".
4 Pričuvne tvari su škrob i kapljice ulja. Primitivniji oblici imaju gole stanice dok je kod ostalih unutarnji sloj membrane iz celuloze, a vanjski iz pektina (često rasluzi). Razmnožavaju se nespolno (vegetativno, sporama) i spolno. Vegetativan tip razmnožavanja imaju jednostanične zelene alge (diobom stanica, dijelovima kolonija, a višestanične fragmentacijom talusa). Nespolno se razmnožavaju zoosporama. Produženog su oblika (kruške) s apikano smještenim bičevima (2-4) koji su iste dužine. Imaku jednu jezgru, vrčasti kloroplast, crvenu očnu pjegu i kontraktilne vakuole. Ipak neke se zelene alge razmnožavaju aplanosporama kod kojih nedostaju bičevi, crvena očna pjega i kontraktilna vakuola.
5 Spolni način razmnožavanja je gametogamija. Gamete se razvijaju u jednostaničnim gametangijima. Produkt kopulacije je diploida zigota koja često postaje trajna stanica ili cistozigota, a klije nakon faze mirovanja. Rod Trentepohlia posve je prešao na kopneni način života. Često je hematokromom obojen crveno. Otpušta čitave sporangije koji se raznose vjetrom. Na vlažnom staništu izlaze spore i kliju u nove jedinke. To je prilagodba na kopneni način života. Flagelatni stadiji (zoospore i gamete) imaju po 2 biča. Simbionti u lišajevima.
6 Najviši stupanj spolnog razmnožavanja postignut je kod roda Coleochateae, (oplodnja se odvija u samom oogoniju, podražuju se okolne stanice = primitivna vrsta ploda - sporokarp ili zigotni plod. Kloroficeje u vegetativnom stadiju mogu biti: redoviti haplonti (diploidna jedino zigota) redoviti diplonti (haploidne jedino gamete) po prvi put utvrđena izmjena generacija (Ulva). S obzirom na morfološki izgled generacija razlikujemo izomorfnu (homolognu) i heteromorfnu (antitetsku) izmjenu generacija.
7 Oblici talusa Kolonijalni Jednostanični Heterotrihni
8 Odjel Chlolophyta objedinjuje: 1. razred PRASINOPHYCEAE 2. razred CHLOROPHYCEAE 3. razred CONJUGATOPHYCEAE
9 Razred Chlorophyceae
10 Pokretni jednostanični oblici Prvenstveno su to autotrofni organizmi, ali ima i heterotrofnih kao što je vrsta Polytoma uvella. Rasprostranjene u planktonu slatkih voda. U moru nisu prisutne. Ipak neke vrste kao Dunaliella salina žive u solanama.
11 Rod Chlamydomonas Pokretni jednostanični oblici Najveći dio stanice zauzima primitivni oblik kloroplasta (vrčasti) u kojem od pigmenata prevladavaju klorofil a i b Asimilacijom se stvara rezervna tvar škrob Centar intenzivne proizvodnje škroba nalazi se u pirenoidu (ovalna struktura unutar kloroplasta). Pirenoid ima sposobnost vezivanja CO 2 jer sadrži enzim RuBisCO, koji katalizira reakciju u ciklusu fotosintetske redukcije ugljika. U nedostatku nitrata i fosfata proizvode se samo jednostavni, lako topljivi šećeri.
12 Rod Chlamydomonas Pokretni jednostanični oblici U jezgri se nalazi 17 kromosoma Nastanjuju slatkovodna i morska staništa (plankton), ali žive i na snijegu Poznato je oko 600 opisanih vrsta Nazivaju ga zlatnim rudnikom informacija Neke su vrste postale važni eksperimentalni organizmi na području molekularne biologije, genetike, fiziologije bilja i biotehnologije.
13 Na prednjem su dijelu stanice dva biča za pokretanje, ali i za prepoznavanje partnera. Pomoću očne pjege ili stigme (fotoreceptorni pigment rodopsin kojeg nalazimo i kod animalnih oblika) stanica određuje svoje kretanje prema (+) ili od (-) izvora svjetlosti (fototaksija). Ca 2+ Ca 2+ Ca 2+ Prilikom fototaksije Chlamydomonas se kreće brzinom od oko mikrometara u sekundi.
14 prvi početci seksualnosti - izogamija -anizogamija - oogamija Vegetativno diobom stanice Pokretne nespolne stanice - zoospore Generacijsko vrijeme 5 h
15 Masovno uzgojen u laboratorijima, Chlamydomonas se koristi kao modelni organizam da bi se znanstvenim istraživanjima odgovorilo na mnogobrojna pitanja od fundamentalnog značaja za područje stanične i molekularne biologije (pokretanje, svjetlo, prepoznatljivost i dr.) Chlamydomonas je dobar modelni organizam iz razloga što ima kratko generacijsko vrijeme, fakultativni je autotrof, ali može biti i heterotrof te se može razmnožavati i spolno i nespolno. Do danas su sekvencionirani genomi mitohondrija, kloroplasta i jezgre. Od 120 mega baza jezgrinog genoma utvrđeno je da Chlamydomonas dijeli oko gena s drugim organizmima, životinjskim i biljnim, što ukazuje na činjenicu da su u davnoj prošlosti imali zajedničkog pretka. Vrsta Chlamydomonas reinhardtii jedna je od mnogobrojnih koje se koriste u eksperimentalnim istraživanjima. Prva laboratorijski uzgojena kultura pod nazivom c137 (mt+) dobivena kao izolat iz prirodnog / divljeg / tipa još godine u USA (Massachusetts).
16 Postoje mnogobrojni mutanti vrste C. reinhardtii koji se koriste u istraživanjima varijabilnosti bioloških procesa: pokretljivost i fototaksičnost, bičevi, fotosinteza, sinteza proteina, centrioli i bazalna tijela, biogeneza kloroplasta, nasljeđivanje, u području razvojne biologije i ekologije. Chlamydomonas se, uz prisustvo svjetla, može uzgojiti u čistoj kulturi na jednostavnom mediju od anorganskih soli pri čemu fotosintezom stvara energiju za svoj rast i razvoj. Chlamydomonas također može opstati i bez prisustva svjetla ukoliko mu je dostupan acetat kao izvor ugljika.
17 Mnogi znanstvenici posebno proučavaju mutacije bičeva roda Chlamydomonas, a koja je slična nekim mutacijama bičeva kod ljudi. Chlamydomonas je uvelike pomogao razvoju medicine posebice u rješavanju Kartagenerovog sindroma (bičevi i trepetljike paralizirane), koji dovodi do neplodnosti (zbog nepokretljivosti spermija ili ne pokretanja trepetljika u jajovodu) kao i bronhitisa (zbog nepokretnih trepetljika u dišnim putovima). Neke vrste su crvene boje (hematokrom), npr. C. nivalis; "crveni snijeg"
18 E) vraćanje dieninske ručice u prvobitan položaj uzrokuje klizenje susjednog dubleta Bičevi su izbočenja stanične membrane uzduž kojih se pružaju pravilno organizirani mikrotubuli (mikroskopske cjevčice). Raspored cjevčica je 9+2 tj. 9 je dvostrukih cjevčica (dubleti) kružno raspoređeno na periferiji, a u središtu su dvije cjevčice Shema ciklusa dineinskog premošćivanja i hidrolize ATPa: A) dineinska ručica B-tubula povezana je s A-tubulom susjednog dubleta bez prisustva ATPa B) vezanje ATPa za dinein uzrokuje odvajanje i skraćivanje ručice C-D) cijepanje ATPa uzrokuje savijanje ručice pod kutom od oko 40 o i ponovno pričvršćivanje B-tubula za sljedeći mogući položaj
19 Vrsta Haematococcus pluvialis ima u staničnoj stjenci pektin koji nabubri. Sadrži hematokrom te nakon kiše boji barice crveno.
20 Pokretne kolonije Rod Gonium stvara pločaste kolonije (4-16 članova), a bičevi svih stanica okrenuti su u istom smjeru. Rod Pandorina Cenobij udružuje 16 stanica u kuglastu koloniju s bičevima okrenutim prema van. Rod Eudorina kuglaste kolonije (u sredini šuplje) s 32 člana
21 S obzirom na podjelu rada Volvox ne možemo smatrati kolonijom već višestaničnim organizmom. Stelju vrste Volvox globator izgrađuje stanica koje zatvaraju šuplju kuglu tako da promjer stelje iznosi oko 2 mm i vidljiva je prostim okom. Stanice su međusobno spojene plazmatskim spojnicama.
22 Većina stanica obavlja fotosintezu i pokretanje, a samo dio stanica koje su smještene u stražnjem dijelu stelje imaju funkciju vegetativnog razmnožavanja. Stanice za razmnožavanje su veće i nazivaju se gonidije ili partenogonidije. Spolni način razmnožavanja je oogamija. Spolni rasplodni organi nastaju od vegetativnih stanica.
23
24 red Chlorococcales Nepokretni jednostanični ili kolonijalni oblici Protokokalni tip stanične građe Budući su nepokretne u vegetativnom stadiju razvoja ne posjeduju bičeve, kontraktilne vakuole kao ni očnu pjegu Žive pojedinačno ili u kolonijama različitog oblika., pretežno u planktonu kopnenih voda, na kori vlažnog drveća, kao simbionti s gljivama u stelji lišajeva, u plazmi protozoa ili kao epifiti. U vegetativnom stadiju su redoviti haplonti Ne mogu se vegetativno razmnožavati (diobom stanice). Nespolno se razmnožavaju aplanosporama (Chlorella i Scenedesmus) i zoosporama (Pediastrum i Hydrodictyon). Spolni način razmnožavanja je izogamija. Gamete nastaju na isti način kao i spore samo u većem broju. Nepovoljne uvijete života preživljavaju u obliku ciste (akinete). Zigota nakon faze mirovanja klije uz redukcijsku diobu.
25 Chlorella Nepokretni jednostanični ili kolonijalni oblici Vrsta Pleurococcus naegelii (vulagris) prilagođena je na kopneni način života Dolazi na vlažnim stijenama ili vlažnoj kori drveća Razvijen je samo bazalni dio stelje Pleurococcus naegelii
26 Nepokretne kolonije Scenedesmus Hydrodictyon Pediastrum
27 Predstavnici Chlorophyta mogu biti i nitaste, razgranate ili nerazgranate. Zbog poprečnih dioba one rastu u dužinu. Budući da se stanice nekih mogu dijeliti u dva smjera javljaju se i oblici lisnatog i cjevastog oblika. Sve su primarno pričvršćene za podlogu jednom dugačkom rizoidnom stanicom.
28 Nitast nerazgranat oblik Ulothrix Zoospore i gamete nalaze se na istoj steljci Nema izmjene generacija Oedogonium
29 busenasto razgranat talus Draparnaldia Talus ovih alga je visoko organiziran i nazivamo ga heterotrihnim tipom talus Stigeoclonium
30 Listast oblik Flabellia petiolata Cjevast oblik Ulva rigida Enteromorpha intestinalis
31
32 sifonalni tip stelje Codium Halimeda tuna Acetabularia acetabulum Caulerpa taxifolia
33 Caulerpa racemosa
34 Razred Conjugatophyceae alge jarmašice
35 Jednostanični oblici protokokalnog ili ulotrihalnog tipa Nemaju pokretnih stadija - Acontae U vegetativnom stadiju redoviti haplonti Nazivaju ih jarmašicama, zato što u fazi spolnog razmnožavanja (konjugacija) stvaraju mostiće (jaram) Nespolno se razmnožavaju: a) azigosporama i aplanosporama b) vegetativno - diobom stanica Stanična stjenka im je iz celuloze i pektina (često se rasluzi) Kloroplasti su veliki (megaplasti), smješteni u središnjem dijelu stanice, mogu biti spiralni, pločasti ili zvjezdasti, i protežu se dužinom stanice.
36 Spirogyra sp. kopulacijski mostić + - jezgra spiralni kloroplast gameta zigota
37
38 Red Zygnemales nitaste stanice obavijene glatkim staničnim stjenkama bez struktura nikada nisu razgranate ni pričvršćene za podlogu u stanicama se nalazi jedna hlaploidna jezgra i 1 ili više kloroplasta (megaplasti) razmnožavaju se vegetativno (poprečnom diobom stanica) i spolno (konjugacija)
39 Spirogyra Mougeotia Zygnema
40 Red Desmidiales jednostanične alge - najčešće dolaze pojedinačno stanice se sastoje iz dvije posve simetrične polovice suženje istmus membrane su izgrađene iz celuloze i pektina i vrlo su lijepo strukturirane (kvržice, bodljice, nabori) tako da ih se smatra najljepšim algama uopće (krasnice) razmnožavaju se vegetativno, poprečnom diobom stanica. Stanice kćeri dobivaju jednu polovicu matične stanice, a drugu same regeneriraju nespolno razmnožavanje sporama kod ove skupine ne postoji spolni način razmnožavanja je konjugacija, a zigota nastaje u kopulacionom mostiću najčešće stanište su cretovi Cosamrium
41
42 Closterium PIRENOID ISTMUS
43 Staurastrum
44 Micrasterias
45 Desmidium
CHLOROPHYTA EUGLENOPHYTA
EUGLENOPHYTA zelene alge (gr. khloros = zelen, phyton = biljka) prisutni svi morfološki oblici talusa, osim jednoćelijskog rizopodijskog talusa hlorofili a i b, karotenoidi samo kod zelenih sifonalnih:
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
CHLOROPHYTA. Zelene alge
Zelene alge zelene alge (gr. khloros = zelen, phyton = biljka) prisutni svi morfološki oblici talusa, osim jednoćelijskog rizopodijskog talusa hlorofili a i b, karotenoidi samo kod zelenih sifonalnih:
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
(zeleni bičaši) BOTANIKA MB 03 Anđelka Plenković-Moraj
(zeleni bičaši) Današnje Euglenophyta predstavljaju samo neznatne ostatke jednog starog biljnog razreda. Na njihovu starost prvenstveno ukazuje rezervna supstanca paramilum (slična je glikogenu kod životinja)
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
(svjetleći bičaši) gr. riječ pyros = vatra. BOTANIKA MB 03a Anđelka Plenković-Moraj
(svjetleći bičaši) gr. riječ pyros = vatra Jednostanični organizmi, eukarioti, koji žive pojedinačno, a rijetko i u nitastim kolonijama (Dinothrix paradoxa). Jedini fotosintetski organizmi koji bioluminisciraju
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Opća biologija. Predavač: Nina Popović, dipl. ing. biologije
Opća biologija Predavač: Nina Popović, dipl. ing. biologije Okvirni sadržaj predmeta Osnove bioloških principa Principi znanstvenih metoda u biologiji Značajke života Osnove o stanici Osnove nasljeđivanja
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.
zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Heterokontophyta: raznobičkaste alge 1. Heterokontophyta: raznobičkaste alge 2
Heterokontophyta: raznobičkaste alge 1 klorofil a, c, ksantofili, β-karoten olja, krizolaminarin, manitol, nikoli škrob stena: celuloza + pektini, včasih impregnirana s kremenom ali razvita v obliki ohlapne
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
ZASTORI SUNSET CURTAIN Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.
ZSTORI ZSTORI SUNSET URTIN Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. ŠIRIN (mm) VISIN (mm) Z PROZOR IM. (mm) TV25 40360 360 400 330x330 TV25 50450 450
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE
Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo
PLASTIDI.
1 PLASTIDI Organeli biljnih stanica i stanica algi Proizvodnja i pohranjivanje šećera i drugih molekula Pigmenti Diferencijacija od ishodišnog tipa proplastida Vlastita DNA u obliku nukleoida (plastom,
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.
Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog