גודל. איור 29.1 ב- = 2 = 4. F x שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. איור d = 3

Transcript

1 d פרופ' שלמה הבלין 9. אנליזה וקטורית הפרק שלפנינו נקרא אנליזה וקטורית והוא עוסק בחשבון דפרנציאלי ואנטגרלי של וקטורים. הרבה גדלים בפיסיקה יש להם גם ערך מספרי גודל וגם כיוון במרחב. למשל העתק, או מהירות של גוף, כח שפועל על גוף, שדה חשמלי או מגנטי בנקודה מסויימת. גדלים אלה נקראים וקטורים. הם שונים מגדלים אחרים שאתם מכירים כמו מסה, זמן, טמפרטורה שיש להם ערך מספרי בלבד (אין להם כיוון) והם נקראים סקלרים. הטכניקה והסימונים של אנליזה וקטורית מאוד שימושיים בפיסיקה. מקובל לסמן וקטור ע"י חץ. כוון החץ מציין את כוון הוקטור ואורכו את הערך המספרי של הוקטור. גודל. דרך אלטרנטיבית היא לציין ע"י רכיבים איור 9.1 F = ( F, F) F, F F גדלו של הוקטור מסומן ע"י F F = F = 3 F = F = F + F F = F = F + F + F z d = 3 ב- = ב- חיבור וקטורים שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. א. חק המקבילית שמים את הזנב של בראש ומציירים וקטור מהזנב של לראש של. דרך ב: לחשב הרכיבים בהתאמה. שני הדרכים זהות! קיימים החוקים: חק החלוף חק הפלוג (אסוציאטיבי) = (, ) = (, ) + = ( +, + ) + = + ( + ) + C = + ( + C) + + = 3 וקטור שלילי מוגדר כוקטור בעל אותו גודל רק בכוון הפוך. כל רכיבי הוקטור = (, ) אם הוא שלילי של ניתן לכן להגדיר הפרש בין וקטורים איור 9. = (, ). עם הוקטור שמשמעותו חבור הוקטור = (, ) היות שהוקטור יש לו שני רכיבים בממד = d או שלושה רכיבים בממד = 3 d אזי משוואה וקטורית משמעותה סט של שתים או שלוש משוואות. לכן פשוט יותר לכתוב חוקים פיסיקלים בצורה וקטורית. למשל תנועה של גוף בעל מסה m שמופעל עליו כח F תתואר ע"י משוואת ניוטון (החק השני) F = ma שים לב שחק זה אינו תלוי כלל במערכת הצירים שנבחר! θ F = 4 F = ( F, F ) +

2 z i = i + j + kz פרופ' שלמה הבלין k j וקטור יחידה נסמן מערכת צירים נתאר i וקטור יחידה בכוון חיובי נתאר j וקטור יחידה בכוון חיובי נתאר k וקטור יחידה בכוון z חיובי הוקטורים k j i נקראים וקטורי יחידה או וקטורי בסיס עבור מערכת צירים זו. כל וקטורים ניתן לבטא במערכת וקטורי יחידה אלו. = i + j כללי ובאופן איור = ( i + j ) + ( i = i( + ) + j( + ) + j ) = j j מכפלת וקטורים ישנם שני סוגי מכפלה של וקטורים. האחת נקראת מכפלה i איור 9.4 i סקלרית שנותנת כתוצאה סקלר. השניה נקראת מכפלה וקטורית התוצאה היא וקטור. מכפלה סקלרית הגדרה: מכפלה סקלרית של ו- ) כותבים ( הוא סקלר שגדלו ן-. ו- כפול הקוסינוס של הזווית בין מכפלת הגדלים של = cosθ = cosθ כמובן חק החלוף קיים = θ = משמעות: (הטל על ( =(הטל על ( קיים = קל להראות שקיים ( + C) = + C נעזר עתה בכתיבה בעזרת וקטור יחידה! איור 9.5 = ( i + j + kz) ( i + j + kz) i i = 11 cos0= 1 j j = 1 k k = 1 π i j = 11 cos = 0 = + + zz וקטורים מקבילים ונציבים + + z z אם = 0 אזי וקטורים נציבים! אם שני וקטורים הם מקבילים אזי רכיביהם פרופורציונלים אחד לשני וקיים 3

3 פרופ' שלמה הבלין אם תנאי זה מתקיים הוקטורים מקבילים! = = z z עבודה בפיסיקה למדתם שעבודה שווה לכח כפול העתק ) דרך) אם הכח וההעתק אינם מקבילים אזי הרכיב של הכח הניצב להעתק לא עושה עבודה. במקרה זה העבודה שווה לרכיב הכח מקביל להעתק מוכפל בהעתק. W = Fcosθ d כלומר וזאת ניתן לכתוב כמכפלה סקלרית F איור 9.6 W = F d d אם הכח משתנה עם מרחק וכן הכוון של התנועה θ dr משתנה עם הזמן ניתן לכתוב עבור העתק אינפינטסימלי d dw = F dr dr העבודה W תחושב ע"י אינטגרציה על dw שאת זה נלמד בשלב יותר מאוחר לחשב. F איור 9.7 θ מכפלה וקטורית מכפלה של ו- נכתוב באופן הוא וקטור לפי הגדרה שגדלו וכוונו ניתן ע"י : גודלו: = sinθ. ו- הזווית בין θ > π כוון הוא וקטור נצב למישור שיוצרים ו- ובכוון שבורג (ימני) ו- מתקדם כאשר מסובבים אותו מ- ל-. איור 9.8 = C לפי חק היד הימנית בכוון הבהן! אחת התוצאות הישירות מהגדרה זו אלא = מכפלה וקטורית אינה קומוטטיבית! חשוב לדעת מכפלה וקטורית של וקטורי יחידה k, j, i איור 9.9 4

4 פרופ' שלמה הבלין i i = i i sin 0 = = 0 j j = k k = 0 i j =? מכפלה וקטורית של כל וקטור בעצמו = 0 i j = i j sin π = 111 = 1 i k ( + C) = + C j איור 9.10 = ( i + j + k ) ( i + j + k ) = z z z z z z ולכן כל שני וקטורים יחידה שונים i j = k j k = i = ( ) i+ ( ) j+ ( ) k= מהאיור קל לראות ש- k i = j ולכל השלשה האחרים הם שליליים j i = k k j = i i k = j דרך טובה לזכור ליישום אותם על מעגל משפט חוק הפלוג: (ללא הוכחה) מכאן O = i j k z z d d הדטרמיננטה הזו היא הדרך הקלה ביותר לזכור. F F שמוש פיסיקלי. (torque) מומנט (תנופה) איור 9.11 שניהם נצבים d F נקרא מומנט של F סביב O (ציר נצב לאיור) F באופן כללי המומנט של F θ מוגדר כמכפלה הכח בזרוע= r sinθ שניהם נצבים כלומר Fr sinθ וזה בדיוק r F הגודל Fr sinθ כוון נצב ללוח בכוון שלנו! לפי כלל היד הימנית r v = ω r מהירות זוויתית d` איור 9.1 5

5 פרופ' שלמה הבלין w v θ r איור 9.13 C V = C sinθ cos ϕ = ( C) מקבילון C = C sinθ C ϕ θ איור

6 פרופ' שלמה הבלין C C מכפלה משולשת יש מכפלה משולשת סקלרית ויש מכפלה משולשת וקטורית. מכפלה משולשת סקלרית נכתבת ( C) i j k C = z C C C z ( C) = ( C) + ( C) + + z( C) z = ( Cz zc) איור 9.15 ( Cz zc) + z( C C) z ( C) = z C C Cz היות והחלפת שתי שורות משנה סימן בדטרמיננטה נוכל לכתוב את כל 1 : ( 3! מכפלות האפשריות ) ( C) = ( ) C = C ( ) = ( C ) =... החלפה בסדר ציקלי לא משנה! בגלל שאין חשיבות היכן הנקודה והיכן סימן הכפל כותבים מכפלה סקלרית, ( C) משולשת: = C C C) ( מכפלה וקטורית משולשת גודל זה (הוא וקטור) ניתן לומר מספר דברים.. C ו- הוא וקטור ניצב למישור ( C) ו- C) (. במיוחד נתעניין C) ( הוא וקטור ניצב למישור בעובדה ש- C) ( הוא נצב ל- C) ( כל וקטור מאונך ל- (C ( נמצא במישור ו-. C נצב ל- C) ( וזהו המישור של C) ( הוא וקטור כלשהו לכן הוקטור ו-. C במישור של a + bc ולכן ניתן להיכתב כקומבינציה של C איור 9.16 כאשר a ו- b סקלרים שאותם נרצה לחשב! משוואות וקטוריות אינם תלויות במערכת הצירים. במישור וציר נבחר ציר לאורך. Z נמצא לאורך ציר ( C) אזי C ו- 7

7 פרופ' שלמה הבלין = i C = C i + C j = i + j+ k z ולכן במערכת צירים זו: C= i ( Ci+ C j) = Ci j= Ck ולכן: ( C) = Ci k+ C j k= C( j) + Ci C i אנו מעוניינים לכתוב אותם באמצעות קומבינציה של ו- C נוריד ונוסיף ונקבל ( C) = ( C i + C j) + ( C + C ) i ( C) = ( C) ( ) C = C + C = C Ci+ C j= C i = אבל ולכן דוגמה למשל מכפלה סקלרית משולשת: הראנו שמומנט סביב ציר ניתן ע"י r F כאשר r ו- F היו במישור ניצב לציר הסיבוב! שים לב: הגאומטריה האנליטית הופכת להיות פשוטה יותר בעזרת וקטורים. 8

8 א ) פרופ' שלמה הבלין z ו נגזרות של וקטורים נתון וקטור כאשר,j,k וקטורים יחידה. i 9 = i + j+ zk הם פונקציות של t אזי הנגזרת של ניתנת ע "י d d d dz = i + j + k d dt dt dt כלומר נגזרת של וקטור שווה לוקטור שרכיביו הם נגזרות של רכיבי (,, דוגמה : נתון חלקיק שנע במרכב ומקומו בזמן z ) : t וקטור המעתק של החלקיק מהראשית הוא r = i + j + zk אנו אומרים ש- r הוא וקטור מקום החלקיק בזמן t. dz d d. כך שמהירות רכיבי המהירות הם: dt dt dt dr v = d dt = dt i + d dt j + dz dt k והתאוצה dv d d d z a = = i + j + k dt dt dt dt מכפלה של סקלר בוקטור, מכפלה סקלרית ומכפלה וקטורית גוזרים בהתאם לחוקים הרגילים של מכפלה: כלומר: d da ( a) = dt dt + ad dt d d ( ) = + d dt dt dt d d d ( ) = + dt dt dt שים לב באחרון אסור להחליף הסדר כי = דוגמה: נדון בתנועת חלקיק במעגל במהירות קבועה. הרדיוס קבוע r = r r = const המהירות קבועה v = v v = const ( r נגזור משואות = 0 v dr = 0 r dt = 0 a v dv = 0 v (ב ( dt נגזור = 0 v r r a + v v = 0 r a = v מ (א) נובע r נצב ל- v

9 פרופ' שלמה הבלין מ (ב) נובע לכן a נצב ל- v a ו- r הם או מקבילים (והתנועה היא במישור) והזוית בין a ו- r היא 0 או π. אבל r a = r a cosθ = v רואים ש- < 0 cosθ כלומר! θ = π ra( 1) ומכאן v = = a או v r הוכחנו: עבור תנועה במעגל במהירות קבועה התאוצה היא לכוון מרכז המעגל וערכה! v r 9. נגזרת כיוונית : גרדיאנט נניח שנתונה פונקציה בכל נקודה במרחב. למשל טמפרטורה (z )T,, בכל נקודה ונקודה. נתבונן בנקודה מסוימת ונוכל לשאול מהו קצב השנוי של הטמפרטורה עם המרחק מהנקודה (במעלות לס"מ) כאשר נעים מנקודה זו. בד"כ קורה שהטמפרטורה תרד בכוונים מסוימים ותעלה בכוונים אחרים. וכן קצב הירידה או העליה יהיו שונים בכוונים שונים. כלומר: קצב שינוי הטמפרטורה עם המרחק תלוי בכוון שבו ננוע. לקצב זה נקרא Δs הוא אלמנט אורך בכוון נתון. כאשר ΔT Δs נגזרת כוונית. בכתיבה מתמטית: רוצים למצא dt. נלמד איך לחשב נגזרת זו. ו- ΔT השנוי המתאים בטמפרטורה. נסמן הנגזרת הכוונית dt נוכל גם לשאול עצמנו באיזה כוון הוא בעל הערך הגדול ביותר- המכסימלי. זהו הכוון שממנו זורם החום ) החום נע ממקום חם למקום קר- בכוון הפוך למקסימום של ( dt לפני שנדון איך לחשב נגזרת כוונית, נדון בדוגמה הבאה: נניח שאנו נמצאים בנקודה במעלה הר. ההר כלפי מטה הוא הגדול ביותר? נדייק מעט יותר! נניח שנעים מרחק קצר או שלילי כלומר (כלפי מטה) זהו הכוון אליו נחליק אם נפול. אנו יכולים לשאול, באיזה כוון שפוע Δs על ההר. השנוי בגובה Δz יכול להיות חיובי (מעלה ( או אפס. הוא נגזרת כוונית. אזי Δz Δs או הגבול dz dz הכוון של השפוע המכסימלי הוא הכוון שבו dz תלוי בכוון שאנו הולכים. יש לו ערך מוחלט גדול ביותר! V הערה : היות האנרגיה הפוטנציאלית על גרויטציה ) כח המשיכה) היא = mgz 30

10 פרופ' שלמה הבלין אזי מכסימום יהיה כמו מכסימום של וקוים שוי פוטנציאלים יהיו dv dz V (, ) = mgz(, ) = const ננסה עתה למצא נגזרת כוונית. נתונה פונקציה (שדה סקלרי) או בשני ממדים (,, z ) φ ( z,, ). φ( ), אנו רוצים למצא קצב השנוי של φ עם המרחק מנקודה בכוון נתון נניח u = ai + bj + ck יהיה וקטור יחידה בכוון הנתון. אזי משואת הישר שעובר דרך dφ ובכוון u s ניתן ע"י פרמטר ( 0, 0, z0) = 0 + as = 0 + bs z = z0 + cs ( 915. ) מ-( (,, z שכן :, ( (z, המשמעות של s הוא מרחק הנקודה ( ) + ( ) + ( z z ) = ( as) + ( bs) + ( cs) = s 0 0 0, ( מ-( 9.15 ) ב-, z). a אם נציב עתה c + b + מכיון ש- u וקטור יחידה קיים = 1 φ( z),, נקבל פונקציה φ רק של משתנה אחד! s כלומר לאורך הקו הישר (9.15) φ היא פונקציה של משתנה אחד s בלבד! k נוכל א"כ לחשב בעזרת נוסחת השרשרת: dφ φ d φ d φ dz = + + = z φ φ φ = + + a b z c u = ai + bj + ck וזה בדיוק מכפלה סקלרית של הוקטור עם הוקטור φ φ φ i j z k φ. לוקטור האחרון קוראים גרדיאנט של φ ומסמנים gradφ או φ φ φ φ = gradφ = + + i j z u מצאנו איפה נגזרת בכוון dφ = φ u ( ) 31

11 פרופ' שלמה הבלין φ θ איור 9.17 נדון עתה במשמעות של הגרדיינט: dφ = φ cos θ כאשר θ זוית בין u לבין φ. dφ u כלומר זה ההטל של φ בכוון. u dφ φ כלומר φ הוא הנגזרת הכוונית הגדולה ומכאן ביותר! ואילו הכוון בו הנגזרת הכוונית היא גדולה ביותר הוא כוון הוקטור φ. = i j + k בנקודה (1,,-1) בכוון φ = + דוגמה: מצא את הנגזרת הכוונית של z : φ 1 j+. u = = i נחשב את הגרדיינט של נחשב את וקטור היחידה בכוון k : 3 ( ) φ φ φ φ = + + = i j z k ( z) i. נחשב הגרדיינט בנקודה,1-) (1, j k φ (,, 1 1) = 3i + j+k. d φ 1 = φ u = ( 3i + j+ k) ( i j+ k) ומכאן = + = הנגזרת הכוונית המכסימלית היא: φ = = 11 וכוונה φ. ( 0, 0, z0 ) φ = const u φ = const 9.3 משטחים שווי פוטנציאל u וקטור יחידה משיק למשטח נניח עתה אזי: u הוא אפס זאת מכיוון ש- φ בכוון φ איור 9.18 dφ = φ u קבוע בכוון הזה. מכיוון ש- φ = const בנקודה זו! נובע ש- φ ניצב למשטח היות ו- φ הוא ערך הנגזרת הכיוונית בכוון ניצב φ = const הוא נקרא הרבה פעמים (נורמל) למשטח dφ φ הנגזרת הנורמלית ומסומן: dn הוכחנו: הקצב הגדול ביותר של שנוי פונקציה הוא בכוון ניצב למשטחים שווי פוטנציאל!!φ = const dt, יהיה ניצב לאזותרמים (קוים שווי במקרה של טמפרטורה, המכסימום של הנגזרת הכוונית d טמפרטורה). הנגזרת הכוונית המכסימלית גדלה הטמפרטורה! וכוונה בכיוון T הנקרא גרדיינט T 3

12 פרופ' שלמה הבלין ( d d 9.4 הגדרות נוספות עם אופרטור : φ = i כאשר כותבים + j + k φ z ניתן לקרא לסוגריים. ל- יש משמעות של אופרטור שפועל על פונקציה (כמו z בים המוגדר, כדלהלן : קוראים ל-, = i + j + k z ( 917). על על פונקציה סקלרית בהמשך נדון איך להפעיל אופרטור וקטורי! עד כה הפעלנו את האופרטור וקטורים! V שהם פונקציה של V V (z V (,, פונקציה וקטורית. כלומר יש לה 3 רכי נניח,,z V( z,, ) = iv( z,, ) + jv( z,, ) + kv( z,, ) כתוצאה ממטען חשמלי. V z (,, z ) נקרא שדה וקטורי למשל שדה חשמלי בנקודה V (,, z) בכל נקודה במרחב יש וקטור (z V (,, מגדירים שתי פעולות חשובות בין שכוונו וגדלו עשוי להשתנות. ל- z).v (,, ואחת מכפלה סקלרית V V Vz V = divv = + + z i j k V V V = curlv = = i + z z V V V z גודל זה נקרא דיברגנט:. (918 ( והשני מכפלה וקטורית הנקראת curl או רוטור : V j z V V V + k z z להגדרות אלו שמושים רבים בפיסיקה ומשמעותם נלמד בהמשך. הגודל φ הוא וקטור. נוכל להפעיל עליו מכפלה סקלרית ומכפלה וקטורית את. נגדיר V = φ ונחשב φ = div gradφ. והוא סקלר: זהו אחד האופרטורים החשובים ביותר ונקרא לפלסיאן של φ מסומן φ φ φ φ + + φ φ φ φ = φ = div gradφ = + + = z z z הלפלסיאן מופיע כמעת בכל תחומי המתמטיקה השמושית. למשל: משואת לפלס! = 0 φ 1 φ φ = משואת הגלים! a t 1 φ φ = משואת הדיפוזיה a t משואות אלו מופיעות בכל תחומי המדע והטכנולוגיה, תורת החום, הדרודינמיקה, חשמל, מגנטיות, אוירודינמיקה אלסטיות, אופטיקה ועוד! ( 919. ) 33