Slitherlink-Kurven Ein Zusammenspiel von Kombinatorik, Topologie und Geometrie
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1 Slitherlink-Kurven Ein Zusammenspiel von Kombinatorik, Topologie und Geometrie MNU-Landestagung. 02/2014. Regensburg Clara Löh Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg
2 Überblick Clara Löh Einleitung 2
3 Überblick Ziele Mathematik hilft Slitherlink zu verstehen Clara Löh Einleitung 2
4 Überblick Ziele Mathematik hilft Slitherlink zu verstehen Slitherlink hilft Mathematik zu verstehen Clara Löh Einleitung 2
5 Überblick Ziele Mathematik hilft Slitherlink zu verstehen Slitherlink hilft Mathematik zu verstehen Was ist Slitherlink? Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) Clara Löh Einleitung 2
6 Regeln von Slitherlink Clara Löh Was ist Slitherlink? 3
7 Regeln von Slitherlink Regeln (nikoli.co.jp) Clara Löh Was ist Slitherlink? 3
8 Regeln von Slitherlink Regeln (nikoli.co.jp) Verbinde benachbarte Knoten so durch vertikale oder horizontale Kanten, dass sich insgesamt eine einzelne Schleife ergibt. Die Zahlen geben an, wieviele Kanten an ein Feld angrenzen; leere Zellen grenzen an eine unbekannte Anzahl von Kanten. Die Schleife schneidet sich nicht selbst und enthält keine Abzweigungen. Clara Löh Was ist Slitherlink? 3
9 Ein Beispiel-Puzzle Clara Löh Was ist Slitherlink? 4
10 Ein Beispiel-Puzzle Clara Löh Was ist Slitherlink? 4
11 Ein Beispiel-Puzzle Clara Löh Was ist Slitherlink? 4
12 Ein Beispiel-Puzzle Clara Löh Was ist Slitherlink? 4
13 Ein Beispiel-Puzzle Clara Löh Was ist Slitherlink? 4
14 Ein Beispiel-Puzzle Clara Löh Was ist Slitherlink? 4
15 Lokale Lösungsstrategien Lokale Lösungsstrategien: Strategien, die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind, und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden. Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 5
16 Lokale Lösungsstrategien Lokale Lösungsstrategien: Strategien, die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind, und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden. Beispiel 2 2 Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 5
17 Lokale Lösungsstrategien Lokale Lösungsstrategien: Strategien, die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind, und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden. Beispiel Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 5
18 Lokale Lösungsstrategien Lokale Lösungsstrategien: Strategien, die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind, und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden. Beispiel Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 5
19 Globale Lösungsstrategien Globale Lösungsstrategien: Strategien, die Informationen über das gesamte Puzzle benötigen. Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 6
20 Globale Lösungsstrategien Globale Lösungsstrategien: Strategien, die Informationen über das gesamte Puzzle benötigen. Satz (Jordanscher Kurvensatz; Topologie) Jede einfach geschlossene Kurve in der Ebene zerlegt die Ebene in genau zwei Gebiete. Der Rand dieser beiden Gebiete ist die gegebene geschlossene Kurve. Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 6
21 Globale Lösungsstrategien Globale Lösungsstrategien: Strategien, die Informationen über das gesamte Puzzle benötigen. Satz (Jordanscher Kurvensatz; Topologie) Jede einfach geschlossene Kurve in der Ebene zerlegt die Ebene in genau zwei Gebiete. Der Rand dieser beiden Gebiete ist die gegebene geschlossene Kurve. Aus dem Jordanschen Kurvensatz folgt: jede Lösungsschleife besitzt in jeder Zeile des Puzzles eine gerade Anzahl von vertikalen Kanten und analog in jeder Spalte eine gerade Anzahl von horizontalen Kanten. Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 6
22 Lokal global Was macht Slitherlink zu einem so interessanten Puzzle? Interaktion zwischen lokalen und globalen Bedingungen! Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 7
23 Lokal global Was macht Slitherlink zu einem so interessanten Puzzle? Interaktion zwischen lokalen und globalen Bedingungen! In der Mathematik gibt es viele solcher lokal-globaler Zusammenhänge: Riemannsche Geometrie/geometrische Topologie: Auswirkung lokaler Krümmungsvorgaben auf die globale Gestalt geometrischer Objekte. Algebraische Zahlentheorie: Zusammenhang zwischen Lösbarkeit von Gleichungen bzgl. Primzahlen/Stellen und Lösbarkeit über den rationalen Zahlen.... Clara Löh Lösungsstrategien: lokal global (Kombinatorik/Topologie) 7
24 Beispiel-Forschungsprojekt: Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 8
25 Beispiel-Forschungsprojekt: Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven Problem In einem Slitherlink-Puzzle stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 8
26 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven? Beweis. Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe. Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 9
27 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven? Beweis. Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe. Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles. Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld vorgegeben. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 9
28 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven? Beweis. Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe. Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles. Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld vorgegeben. Also ist auch die gesamte Lösungsschleife L vorgegeben. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 9
29 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven? Beweis. Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe. Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles. Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld vorgegeben. Also ist auch die gesamte Lösungsschleife L vorgegeben. Also kann das Puzzle keine weiteren Lösungen besitzen. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 9
30 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven? Beweis. Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe. Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles. Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld vorgegeben. Also ist auch die gesamte Lösungsschleife L vorgegeben. Also kann das Puzzle keine weiteren Lösungen besitzen. Warnung Dieser Beweis ist nicht korrekt! In jedem Feld ist nur die Anzahl der Kanten, nicht der Verlauf vorgegeben! Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 9
31 Ein zweideutiges Beispiel Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 10
32 Ein zweideutiges Beispiel Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 10
33 Modifikation des Problems Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem) In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 11
34 Modifikation des Problems Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem) In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Beispiel Variante des vorherigen Beispiels: Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 11
35 Modifikation des Problems Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem) In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Beispiel Variante des vorherigen Beispiels: eindeutig lösbar! Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 11
36 Modifikation des Problems Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem) In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Beispiel Variante des vorherigen Beispiels: eindeutig lösbar! Satz In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder alle mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Dann gibt es höchstens eine Lösung. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 11
37 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven! Beweis. Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist: Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 12
38 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven! Beweis. Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist: Wir betrachten in jedem Schritt das Feld, das unter den noch nicht betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 12
39 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven! Beweis. Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist: Wir betrachten in jedem Schritt das Feld, das unter den noch nicht betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt. Also ist der Verlauf in den markierten Feldern nach Induktionsvoraussetzung bzw. der Randfelderbedingung bekannt. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 12
40 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven! Beweis. Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist: Wir betrachten in jedem Schritt das Feld, das unter den noch nicht betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt. Also ist der Verlauf in den markierten Feldern nach Induktionsvoraussetzung bzw. der Randfelderbedingung bekannt. Damit ist auch der Status der markierten Kante bekannt. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 12
41 Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven! Beweis. Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist: Wir betrachten in jedem Schritt das Feld, das unter den noch nicht betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt. Also ist der Verlauf in den markierten Feldern nach Induktionsvoraussetzung bzw. der Randfelderbedingung bekannt. Damit ist auch der Status der markierten Kante bekannt. Wegen der Zahl im Feld ist somit der gesamte Verlauf im Feld bekannt. Clara Löh Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik) 12
42 Und jetzt? Das modifizierte Eindeutigkeitsproblem ist gelöst... Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 13
43 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Das modifizierte Eindeutigkeitsproblem ist gelöst... Fragen Was haben wir dabei genau über Slitherlink-Puzzles verwendet? Wie kann man allgemeinere Slitherlink-Puzzles definieren? Lassen sich die Argumente auf die allgemeinere Situation übertragen? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 13
44 Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle Gegeben sei eine Zellenzerlegung einer Fläche; manche der Zellen enthalten Zahlen. 2 1 Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 14
45 Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle Gegeben sei eine Zellenzerlegung einer Fläche; manche der Zellen enthalten Zahlen. 2 1 Regeln (verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle) Verbinde benachbarte Knoten so durch Kanten, dass sich insgesamt eine einzelne Schleife ergibt. Die Zahlen geben an, wieviele Kanten an ein Feld angrenzen; leere Zellen grenzen an eine unbekannte Anzahl von Kanten. Die Schleife schneidet sich nicht selbst und enthält keine Abzweigungen. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 14
46 Verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem für Slitherlink-Kurven Problem (verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem) In einem verallgemeinerten Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 15
47 Verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem für Slitherlink-Kurven Problem (verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem) In einem verallgemeinerten Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung? Fragen Was sind geeignete bzw. interessante Zellenzerlegungen der Ebene? Kommen auch andere Flächen in Frage? Welche Zellenzerlegungen bieten sich auf solchen Flächen an? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 15
48 Besondere Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene Besondere Zellenzerlegungen der Ebene sind die regulären Pflasterungen: Alle Zellen sind isometrisch zueinander, jede Zelle ist ein regelmäßiges Polygon, und an jeder Ecke trifft sich dieselbe Anzahl von Zellen. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 16
49 Besondere Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene Besondere Zellenzerlegungen der Ebene sind die regulären Pflasterungen: Alle Zellen sind isometrisch zueinander, jede Zelle ist ein regelmäßiges Polygon, und an jeder Ecke trifft sich dieselbe Anzahl von Zellen. Es gibt nur drei solcher regulären Pflasterungen der euklidischen Ebene: Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 16
50 Eindeutigkeitsproblem für reguläre Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene Satz In einem verallgemeinerten ebenen Slitherlink-Puzzle, das auf einer quadratischen, regulären dreieckigen, oder reguläre hexagonalen Zellenzerlegung beruht, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, und bei dem in jedem Feld eine Zahl steht, gibt es höchstens eine Lösung. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 17
51 Eindeutigkeitsproblem für reguläre Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene Satz In einem verallgemeinerten ebenen Slitherlink-Puzzle, das auf einer quadratischen, regulären dreieckigen, oder reguläre hexagonalen Zellenzerlegung beruht, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, und bei dem in jedem Feld eine Zahl steht, gibt es höchstens eine Lösung. Beweis. Dies beruht wie im quadratischen Fall auf einem Induktionsargument und einer entsprechenden Analyse der bereits bekannten Felder/Kanten. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 17
52 Ist das Eindeutigkeitsproblem ein topologisches Problem? Problem Gilt der obige Satz für alle Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 18
53 Ist das Eindeutigkeitsproblem ein topologisches Problem? Problem Gilt der obige Satz für alle Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene? Beispiel Nein, denn: Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 18
54 Ist das Eindeutigkeitsproblem ein topologisches Problem? Problem Gilt der obige Satz für alle Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene? Beispiel Nein, denn: Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 18
55 Zweidimensionale Geometrien Krümmungstrichotomie Es gibt im wesentlichen drei zweidimensionale Geometrien konstanter Krümmung: Sphäre Euklidische Ebene Hyperbolische Ebene Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 19
56 Zweidimensionale Geometrien Krümmungstrichotomie Es gibt im wesentlichen drei zweidimensionale Geometrien konstanter Krümmung: Sphäre Euklidische Ebene Hyperbolische Ebene sphärisch euklidisch hyperbolisch positiv flach negativ Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 19
57 Sphäre reguläre Zellenzerlegungen Reguläre Zellenzerlegungen der Sphäre entsprechen den regulären Polyedern: Tetraeder Oktaeder Würfel Dodekaeder Ikosaeder Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 20
58 Sphäre Eindeutigkeitsproblem Satz Für jede reguläre Zellenzerlegung der Sphäre gibt es ein verallgemeinertes Slitherlink-Puzzle (dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind), so dass in jedem Feld eine Zahl steht, das Puzzle aber mehrere Lösungen besitzt. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 21
59 Sphäre Eindeutigkeitsproblem Satz Für jede reguläre Zellenzerlegung der Sphäre gibt es ein verallgemeinertes Slitherlink-Puzzle (dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind), so dass in jedem Feld eine Zahl steht, das Puzzle aber mehrere Lösungen besitzt. Beweis. Wir geben hier nur den Beweis für den Würfel: Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 21
60 Sphäre Eindeutigkeitsproblem Satz Für jede reguläre Zellenzerlegung der Sphäre gibt es ein verallgemeinertes Slitherlink-Puzzle (dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind), so dass in jedem Feld eine Zahl steht, das Puzzle aber mehrere Lösungen besitzt. Beweis. Wir geben hier nur den Beweis für den Würfel: Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 21
61 Hyperbolische Ebene reguläre Zellenzerlegungen Seien p, q N 3 mit 1 p + 1 q < 1 2. Dann gibt es eine reguläre Zellenzerlegung der hyperbolischen Ebene aus regulären p-ecken, wobei sich in jeder Ecke je q dieser p-ecke treffen. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 22
62 Hyperbolische Ebene reguläre Zellenzerlegungen Seien p, q N 3 mit 1 p + 1 q < 1 2. Dann gibt es eine reguläre Zellenzerlegung der hyperbolischen Ebene aus regulären p-ecken, wobei sich in jeder Ecke je q dieser p-ecke treffen. Beispiel ( p = 3, q = 7 p = 4, q = 5 Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 22
63 Hyperbolische Ebene Eindeutigkeitsproblem Satz Seien p, q N 3 mit 1 p + 1 q < 1 2. Dann besitzt jedes verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle auf einer (p, q)-regulären hyperbolischen Zellenzerlegung, dessen Randfelder alle mit 0 beschriftet sind und dessen Felder alle eine Zahl enthalten, höchstens eine Lösung. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 23
64 Hyperbolische Ebene Eindeutigkeitsproblem Satz Seien p, q N 3 mit 1 p + 1 q < 1 2. Dann besitzt jedes verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle auf einer (p, q)-regulären hyperbolischen Zellenzerlegung, dessen Randfelder alle mit 0 beschriftet sind und dessen Felder alle eine Zahl enthalten, höchstens eine Lösung. Beweis. Wie im Fall der euklidischen Ebene beruht der Beweis auf einem induktiven Argument und einer Analyse der Kombinatorik der bereits behandelten Felder. Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 23
65 Und jetzt? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
66 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Was passiert auf anderen Flächen? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
67 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Was passiert auf anderen Flächen? Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
68 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Was passiert auf anderen Flächen? Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen? Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven, die nicht geschlossen sind? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
69 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Was passiert auf anderen Flächen? Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen? Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven, die nicht geschlossen sind? Was passiert in höheren Dimensionen? Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
70 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Was passiert auf anderen Flächen? Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen? Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven, die nicht geschlossen sind? Was passiert in höheren Dimensionen?... Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
71 Und jetzt? Systematisch verallgemeinern! Was passiert auf anderen Flächen? Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen? Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven, die nicht geschlossen sind? Was passiert in höheren Dimensionen?... Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt! Clara Löh Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik) 24
72 Zusammenfassung Wir sind zwei fundamentalen mathematischen Phänomenen begegnet: Lokal global Krümmungstrichotomie Clara Löh Zusammenfassung 25
73 Zusammenfassung Wir sind zwei fundamentalen mathematischen Phänomenen begegnet: Lokal global Krümmungstrichotomie Wir haben zentrale mathematische Techniken kennengelernt: Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte Feinabstimmung der Problemstellung Abstraktion und Übersetzung auf systematisch verallgemeinerte Situationen Clara Löh Zusammenfassung 25
74 Zusammenfassung Wir sind zwei fundamentalen mathematischen Phänomenen begegnet: Lokal global Krümmungstrichotomie Wir haben zentrale mathematische Techniken kennengelernt: Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte Feinabstimmung der Problemstellung Abstraktion und Übersetzung auf systematisch verallgemeinerte Situationen Material zu Slitherlink für Schüler: Schülerzirkel Mathematik: Zahlenschleifen (Thema 2013/14-2) Clara Löh Zusammenfassung 25
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15 Ταξίδι στον χρόνο Η Άννα πρέπει να πάει στο διαιρεµένο Βερολίνο από το ανατολικό στο δυτικό τµήµα. Και σαν να µην έφτανε αυτό, πρέπει να βρει µέσα σε 55 λεπτά ποιο γεγονός θέλει να εξαλείψει η RATAVA:
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21 Ένα καινούργιο σχέδιο Η Άννα επιστρέφει στο 2006. Η γυναίκα µε τα κόκκινα έχει απαγάγει τον πάστορα Kavalier. Επειδή δεν µπορεί να τον βρει, η Άννα ταξιδεύει στην 9 η Νοεµβρίου 1989, τη νύχτα που έπεσε
1 Potentialströmungen
1 Potentialströmungen Eine Potentialströmung in R D, D = 2, 3, wird durch den (hydrostatischen) Druck p : R, den Fluss q : R D und das Materialgesetz (Darcy) q = κ (p + G) beschrieben. Dabei ist κ der