ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΥΛΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. Με το επιστημονικό κύρος των

Transcript

1 ΥΛΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Αποτελεσματική Συμβολή στην Επιτυχή Προετοιμασία προς τις Εξετάσεις για την Εισαγωγή στα Πανεπιστήμια Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία, Έκθεση, Αρχαία, Λατινικά Όλοι οι τύποι που χρειάζονται για κάθε άσκηση. Οδηγός σύντομης (αλλά ουσιαστικής) επανάληψης. Πλήρες και πρωτότυπο βοήθημα Με το επιστημονικό κύρος των Φροντιστηρίων Πολυμένη [Πληκτρολογήστε το όνομα του συντάκτη] [Πληκτρολογήστε την επωνυμία της εταιρείας] 1/1/015 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , ,

2 Πίνακας περιεχομένων Πρόλογος... Μονάδες... 3 Μαθηματικά... 4 Φυσική Χημεία Έκθεση Αρχαία Λατινικά Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 1

3 Πρόλογος H Συνοπτική Επανάληψη της Ύλης του Λυκείου με το Νέο Σύστημα αποτελεί ένα δείγμα της δουλειάς που γίνεται στα Φροντιστήρια Πολυμένη. Η χρησιμότητα αυτής της προσπάθειας έγκειται στο γεγονός ότι για πρώτη φορά συγκεντρώνονται σε μία επιτομή όλες οι απαραίτητες γνώσεις των κυριοτέρων μαθημάτων για την επιτυχή εισαγωγή στα ΑΕΙ. Έτσι, ο υποψήφιος είναι σε θέση όχι μόνο να επαναλάβει την ύλη εν τάχει αλλά επιπλέον διευκολύνεται να την εμπεδώσει συγκρίνοντας και συνδυάζοντας τα επιμέρους λήματα. Η προετοιμασία των υποψηφίων, με ορίζοντα τις Εισαγωγικές Εξετάσεις στα ΑΕΙ, αποσκοπεί στην ουσιαστική κατανόηση της ύλης, αποφεύγοντας την άσκοπη αποστήθηση και τον μηχανιστικό τρόπο σκέψης. Η διδακτική μας μεθοδολογία στηρίζεται στην πολυπρισματική προσέγγιση της ύλης, ώστε να προσαρμόζεται ευκολότερα στις προσλαμβάνουσες και στις απορίες του κάθε υποψήφιου. Επιπλέον, η εκπαιδευτική διαδικασία υποστηριζεται μέσω των συγγραμμάτων που έχουν καταρτιστεί από τους διδάσκοντες καθηγητές του Φροντιστηρίου και καλύπτουν διεξοδικά όλη την ύλη των Εξετάσεων για κάθε μάθημα. Η συνεχής συνεργασία ανάμεσα στoν υποψήφιο και τους καθηγητές θεωρούμε ότι αποτελεί βασικό συστατικό για την επιτυχία των σπουδαστών μας. Ειδικά για τους μαθητές, εκτός των καθορισμένων τετραμηνιαίων συναντήσεων, όλοι οι διδάσκοντες βρίσκονται σε συνεχή επικοινωνία τόσο με τους ίδιους όσο και με τους γονείς τους. Πιστεύουμε ότι στόχος της εκπαίδευσης είναι η ενεργοποίηση των δημιουργικών δυνάμεων που διαθέτουν οι νέοι. Για τον σκοπό αυτόν απαιτούνται: όραμα από την πλευρά του υποψηφίου, οικοδόμηση της αυτοπεποίθησής του και συστηματική μετάδοση της γνώσης από τους διδάσκοντες, ώστε να μπορέσει να την οργανώσει και να την εμπεδώσει. Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , ,

4 Μονάδες Πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια μονάδων ΠΡΟΘΕΜΑ ΣΥΜΒΟΛΟ ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Mega M Mm = 10 6 m kilo k kg = 10 3 g deci d dm = 10-1 m centi c 10-1 cm = 10 - m milli m mg = 10-3 g micro μ μm = 10-6 m nano n ns = 10-9 s pico p pm = 10-1 m 1 L = 1 dm 3, 1 ml = 1 cm 3, 1 m 3 = 10 3 L, 1 L = 10 3 ml = 10 3 cm 3 Το σύστημα μονάδων SI Φυσικό μέγεθος Σύμβολο Μονάδα Σύμβολο μονάδας μήκος l μέτρο meter m μάζα m χιλιόγραμμο kilogram kg χρόνος t δευτερόλεπτο second s ένταση ηλεκτρικού ρεύματος I αμπέρ Ampere A θερμοκρασία T κέλβιν Kelvin K φωτεινή ένταση I 0 κανδήλα cadela cd αριθμήσιμη ποσότητα ύλης n μολ mole mol Χρήσιμες μονάδες εκτός SI Φυσικό μέγεθος Σύμβολο Μονάδα όγκος V λίτρο liter L πίεση p ή P ατμόσφαιρα atmosphere ή χιλιοστόμετρο στήλης υδραργύρου millimeter of mercury θερμοκρασία θ βαθμός Κελσίου Celsius degree θερμότητα (ενέργεια) q θερμίδα - calorie cal Μετατροπές 3 Σύμβολο μονάδας atm mmhg (Torr) Συνήθων μονάδων σε μονάδες SI Μονάδων SI σε συνήθεις 1 L = 1 dm 3 = 10-3 m 3 1 m 3 = 10 3 L 1 atm = 760 mm Hg = 1, Pa 1 Pa = 9, atm (1 Pa = 1 N/m ) 1 mm Hg = atm =1, Pa 1 Pa = 7, mm Hg T = 73 + θ θ = Τ 73 1 cal = 4,184 J 1 J = 0,39 cal Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , o C

5 Μαθηματικά ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (α+β) =α +αβ+β (α β) 3 =α 3 3α β+3αβ β 3 (α β) = α αβ+β α 3 +β 3 =(α+β)(α αβ+β ) (α β)(α+β)=α β α 3 β 3 =(α β)(α +αβ+β ) (α+β+γ) =α +β +γ +αβ+αγ+βγ α 3 +β 3 +γ 3 3αβγ=(α+β+γ)(α +β +γ αβ βγ γα)= =1/(α+β+γ)[(α β) +(β γ) +(γ α) ] Εuler (α+β) 3 =α 3 +3α β+3αβ +β 3 Aν α+β+γ=0 ή α=β=γ τότε α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ α +β αβ α + β α+β α 1+α + αν ν α 1+α + αν ν (1+α) ν 1+να, ν Ν*, α -1 ν α α α 1 ν ΡΙΖΕΣ ν ( ) ν ν ν =, ν ν ν ν ν ν μ ν νμ νρ μρ ν μ ν α α α=α α β= αβ α = β α α α= μ = = α α β μ ν α α ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ x, x 0 x= x, x < 0 x x x x = x x = x x y x+y x + y x y = x y x=α x=±α, α>0 x x = y y, y 0 x θ θ x θ, θ>0 x θ x θ ή x θ, θ>0 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 4

6 β± Δ Δ > 0: ρ 1 ρ με ρ 1,ρ = α παραγοντοποίηση: f(x) = α(x ρ 1 )(x ρ ) β Δ = 0: ρ 1,ρ = α ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ f(x) = αx + βx + γ, α 0 παραγοντοποίηση: f(x) = α(x-ρ), ρ = ρ 1 = ρ Δ < 0: Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες Δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων Δ = β 4αγ - ρ 1 ρ ο ο ομόσημo ετερόσημο ομόσημο του α του α του α - ρ 1 = ρ ο ομόσημο του α ομόσημο του α ομόσημο του α ΒΑΣΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(x 1) f(x ) f: A B Λόγος μεταβολής: λ=, x 1,x A, x1 x x1 x f γν. αύξουσα: x 1,x A, με x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) (λ>0) f γν. φθίνουσα: x 1,x A, με x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) (λ<0) Mέγιστο f(x 0 ): x 0 A,f(x) f(x 0 ), x A Eλάχιστο f(x 0 ): x 0 A,f(x) f(x 0 ), x A f άρτια: x A, x A f( x)=f(x) f περιττή: x A, x A f( x)= f(x) f περιοδική: x A, Τ R* με (x+t) A και f(x+t)=f(x), (T=σταθ.,δηλ.ανεξάρτητος του x) Eυθείες παράλληλες: ε 1 : y=α 1 x+β 1, ε 1 : y=α x+β : ε 1 //ε α 1 =α Ευθείες κάθετες: ε 1 : y=α 1 x+β 1, ε 1 : y=α x+β : ε 1 ε α 1.α = 1 ΑΒ = x x + y y Απόσταση δύο σημείων: Α(x 1, y 1 ), B(x, y ) : ( ) ( ) ( ) 1 1 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 5

7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΞΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ α μ =, όπου α, μ το μέτρο του τόξου σε ακτίνια, μοίρες αντίστοιχα π 180 y ημ O συν εφ σφ Τριγωνομετρικός Κύκλος x π ημ + εφ,σφ + π/ όλα+ συν + 3π/ 0 π Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ημ (κπ+θ) = ημθ κ Ζ συν (κπ+θ)=συνθ κ Ζ Βασική περίοδος στο ημ και το συν:t=π εφ(κπ+θ) = εφθ κ Ζ σφ(κπ+θ) = σφθ κ Ζ Βασική περίοδος στη σφ και την εφ: Τ=π Περιορισμοί Περιορισμοί συνάρτησης Περιορισμοί τόξων f(x)=ημx 1 ημx 1 x R f(x)=συνx 1 συνx 1 x R f(x)=εφχ εφx R x κπ+π/ f(x)=σφx σφx R x κπ 0 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΝΩΣΤΩΝ ΤΟΞΩΝ 30 ο ή π/6 45 ο ή π/4 60 ο ή π/3 90 ο ή π/ ημ 0 1/ 3 1 συν 1 3 1/ 0 εφ σφ δεν ορίζεται δεν ορίζεται Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 6

8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΞΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 0 π/ π π ημ( x) = ημx συν( x) = συνx εφ( x) = εφx σφ( x) = σφx ημ(π/ x) = συνx συν(π/ x) = ημx εφ(π/ x) = σφx σφ(π/ x) = εφx ημ(π x) = ημx συν(π x) = συνx εφ(π x) = εφx σφ(π x) = σφx ημ(π x) = ημx συν(π x) = συνx εφ(π x) = εφx σφ(π x) = σφx ΚΑΝΟΝΑΣ: Τα τόξα της μορφής κπ ±φ, ακολουθούν τον παρακάτω κανόνα: κπ κ=άρτιος παραμένει ο τριγ. αριθμός ±φ πρόσημο ανάλογα τεταρτημορίου κ=περιττός αλλάζει ο τριγ.αριθμός ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ημ θ=1 συν θ ημ θ+συν θ=1 συν θ=1 ημ θ ημθ 1 εφθ= εφθ = συνθ σφθ εφθ σφθ=1 συνθ 1 σφθ= σφθ = ημθ εφθ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ x=κπ+θ ημx=ημθ ή x=κπ+π θ κ Ζ συνx=συνθ x=κπ±θ, κ Ζ εφx=εφθ x=κπ+θ, κ Ζ σφx=σφθ x=κπ+θ, κ Ζ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ: f( x) = συν x f( x) = ηµ x Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 7

9 f( x) = εφ x ΤΥΠΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΤΟΞΩΝ ημ ( α±β ) =ημα συνβ±συνα ημβ ( ) εφα±εφβ εφ( α±β ) = 1 εφα εφβ ( ) συν α±β =συνα συνβ ημα ημβ σφα σφβ 1 σφ α±β = σφβ±σφα ημα=ημα συνα εφα εφα= 1 εφ α ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ συνα=συν α ημ α=συν α 1=1 ημ α σφ α 1 σφα σφα= Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 8

10 ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ 1 συνα ημ α= 1+συνα συνα= 1 συνα 1+συνα εφ α= σφ α= 1+συνα 1 συνα ΤΥΠΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ F(ΕΦΑ) εφα ημα= συνα= 1 εφ α 1+εφ α 1+εφ α εφα εφα= 1 εφ σφα= α 1 εφ α εφα ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΓΙΝΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ημα συνβ = ημ(α+β) + ημ(α-β) συνα συνβ =συν(α β)+συν(α+β) ημα ημβ = συν(α β)=συν(α+β) ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΑ Α±Β Α Β ημα±ημβ=ημ συν Α+Β Α Β συνα+συνβ=συν συν Α+Β Β Α συνα συνβ=ημ ημ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ α β γ = = =R ημα ημβ ημγ ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ α = β + γ βγ συνα β = γ + α γα συνβ γ = α + β αβ συνγ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός: α ν+1 = α ν + ω, για κάθε ν Ν Γενικός όρος: α ν = α 1 +(ν 1)ω Μονοτονία: ω>0: γν. αύξουσα ω<0: γν. φθίνουσα ω=0: σταθερή Σχέση 3 διαδοχικών όρων: β=α+γ Άθροισμα ν πρώτων όρων: ν ν Σ ν= ( α 1+α ν) = α 1+ ( ν 1) ω ΠΡΟΟΔΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός: α ν+1 =α ν λ, για κάθε ν Ν, λ 0 Γενικός όρος: α ν = α 1. λ ν 1 Μονοτονία: λ>1 και α 1 >0 γν.αύξουσα λ>1 και α 1 <0 γν.φθίνουσα 0<λ<1 και α 1 >0 γν. φθίνουσα 0<λ<1 και α 1 <0 γν. αύξουσα λ<0 όχι μονότονη Σχέση 3 διαδοχικών όρων: β =αγ Άθροισμα ν πρώτων όρων: Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 9

11 ν ( ) α1 λ 1 Σ ν=, λ 1 και Σ ν=ν α 1, λ=1 λ 1 Άθροισμα απείρων όρων με λ <1: α Σ= 1 1 λ ΒΑΣΙΚΑ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ( ) ( )( ) ( ) Σ 1=1++ +ν= ν ν+1, Σ ν ν+1 ν+1 ν ν+1 = ν =, Σ 3= ν = 6 ν Ν ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: f:r R* +, f(x)=α x, α>0, α 1 Ιδιότητες: f συνάρτηση 1-1 αν α>1 η f, αν 0<α<1 η f To διάγραμμα της f έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα x x. Eπίσης τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο Α(0,1) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: f:r* + R, f(x)=log α x, α>0, α 1, x>0 y=log α x x=α y Iδιότητες(Ι) f συνάρτηση 1-1 αν α>1 η f, αν 0<α<1 η f To διάγραμμα της f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα y / y. Eπίσης τέμνει τον oριζόντιο άξονα στο σημείο Α(1,0) Ιδιότητες (ΙΙ) logα logα1=0 logαα=1, α x =x log α(x1 x )=logαx 1+logαx x1 log α =logαx1 logαx x ν logαx =νlogαx logαx logβx= log β x xlogα α =e α Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 10

12 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ OA+AB=OB ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν λ 0 και α 0, τότε το γινόμενο λ α ή λα είναι ένα διάνυσμα, το οποίο: Είναι ομόρροπο του α, αν λ>0 και αντίρροπο του α αν λ<0 Έχει μέτρο λ α ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ α+β=β+α α+β +γ=α+ β+γ α+0=α α+ α =0 ( ) ( ) ( ) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ λ ( α+β ) =λα+λβ ( λ+μ) α=λα+μα λ( μα ) = ( λμ) α 1α=α 0 α=α α//β α=λβ, β 0 ΠΕΡΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Συν/νες διανύσματος γνωστών άκρων: A(x, y ), B(x, y ), τότε : AB = ( x x, y y ) Απόσταση δύο σημείων Μέτρο διανύσματος: Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) τότε: 1 1 ( AB ) = ( x x ) + ( y y ) AB = x x + y y ( ) ( ) 1 1 Συν/μένες μέσου Μ διανύσματος AB x +x y +y : A(x 1 1 1, y 1), B(x, y ), τότε M, 1 1 Αν α = x 1, y1 και β = x, y, τότε : α//β = 0 x y Συνθήκη παραλληλίας: ( ) ( ) Συν/της δ/νσης: ( ) α//β λ 1 = λ y Αν α = x, y x 0, τότε : λ = x x α β λλ 1 = 1 y Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 11

13 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ α β συν α, β, αν α 0 και β 0 a β= 0, αν α = 0 ή β = 0 Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου: Aν α = ( x 1, y1) και β = ( x, y ), τότε : αβ = x1x + y1y ΧΡΗΣΙΜΑ α = α =x 1 +y1 α β α β=0 α β xx 1 +yy 1 =0 α β xx 1 +yy 1 Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων: συν α, β = = αβ x +y x +y Για ευθείες που δεν είναι παράλληλες στον y y λ = εφω λ= y y x x 1 1 ΕΥΘΕΙΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Δ/ΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ: Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , (ω: η γωνία ευθείας και άξονα x x και A(x 1,y 1 ), Β(x,y ) δύο σημεία της ευθείας) ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ α) Η ευθεία διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή δ/νσης λ y y 0 =λ (x x 0) β) Η ευθεία διέρχεται από δύο σημεία A(x 1, y 1), B(x, y ) y y y y = (x x ) x x1 Οι παραπάνω εξισώσεις παίρνουν τη μορφή: y=λ x+β γ) Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας: Ax + By + Γ=0 (συν/στής δ/νσης ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ( ε 1) // ( ε) λ 1 = λ ε ε λ λ = 1 ( ) ( ) 1 1 A λ= ) B

14 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ Α(x 1,y 1 ) από ευθεία (ε) d(a,ε) = Ax + By + Γ 1 1 A +B ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ (ΑΒΓ) Α(x 1,y 1 ) Β(x,y ) Γ(x 3,y 3 ) 1 ABΓ = det(αβγ) ( ) ΕΞΙΣΩΣΗ Κ.ΤΟΜΗΣ x +y =ρ ( ) ( ) x x + y y = ρ 0 0 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΣΤΟ Α(x 1,y 1 ) x x +y y =ρ 1 1 ( )( ) ( )( ) x x x x + y y y y = ρ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ x +y +Ax+By+Γ=0 ΚΥΚΛΟΣ A +B 4Γ>0 Κέντρο: A B K(, ) Ακτίνα: ρ= A +B 4Γ ΠΑΡΑΒΟΛΗ y = px x = py ( ) ( ) y y = p x+x 1 1 x x =p y+y 1 1 ΕΛΛΕΙΨΗ x α y α y + =1 β x + =1 β xx α yy α yy + =1 β 1 1 xx + =1 β 1 1 ΥΠΕΡΒΟΛΗ x y = 1 α β y x = 1 α β xx yy 1 1 = 1 α β yy xx 1 1 = 1 α β β y=± x α β x=± y α Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 13

15 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ f(x) f(x 0) f(x 0 + h) f(x 0) f (x 0) = lim = lim x x h x x0 h 0 0 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ c = 0 x = 1 ( ) ( ) x ( e ) ν ν 1 x = ν x,ν Ν α α 1 x = α x,α Ν =e 1 ( lnx) = x (ημx) = συνx ( ) συνx = ημx x 1 1 = x x 1 ( x) = x ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) ( ) f(x) ( ) ν ν 1 f (x) = ν f (x) f (x), ν Ν α α 1 f (x) = α f (x) f (x),α Ν f(x) e = e.f (x) 1 lnf(x) = f (x) f(x) ( ) ( ) ( ) (ημf(x)) = συν f(x) f (x) συνf(x) = ημf(x) f (x) 1 1 = f (x) f(x) f (x) 1 ( f(x) ) = f (x) f(x) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ (f + g) (x) = f (x) + g (x) ( ) ( ) c f (x) = c f (x) f g (x) = f (x).g(x) + f(x).g (x) f f (x).g(x) - f(x).g (x) (x) = g g (x) g (x) = f (g(x)).g (x) ( f ) ΚΑΝΟΝΑΣ DE L' HOSPITAL 0 0 f(x) f (x) lim = lim g(x) g (x) x x0 x x0 ± f(x) ± f (x) lim = lim g(x) g (x) x x0 x x0 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 14

16 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Κατακόρυφες: Η ευθεία x=x 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη του lim f(x) = ± ή lim f(x) = ± + x x0 x x0 C f αν: Πλάγιες: Η ευθεία y = λ x + β, αν ισχύει: lim [ f ( x) ( λx + β )] = 0 x ± f ( x) x Εύρεση των λ και β: λ = lim και β = lim [ f ( x) λx] x ± x ± ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ dx = x + c x α+1 1 dx = ln x + c x α+1 α x dx = + c, α 1 x x e dx = e + c ημxdx = συνx + c συνxdx = ημx + c β α ( ) ( ) λf x dx = λ f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) f x + g x dx = f x dx + g x dx α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β γ β α α γ α α f x dx = ( ) β f x dx f x dx = f x dx + f x dx f x dx = 0 ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ f (x) g(x)dx = f(x) g x f x g (x)dx Α. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ: ( ) ( ) Β. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: ( ) ( ) I = f g(x) g x dx u=g x ( ) ( ) Άρα I = ( ) du=g x dx f u du Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 15

17 ΤΥΠΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Μέση τιμή ( x ) ν κ t xν x =, x =, x = x f x= i i i κ i=1 i=1 κ ν i=1 νi i=1 ν i=1 ν i=1 xw i w i i i i w i συντελεστής στάθμισης Διάμεσος (δ) πλήθος παρατηρήσεων περιττό (ν = ρ 1) : δ = x ρ πλήθος παρατηρήσεων άρτιο (ν = ρ) x ρ +x ρ +1 : δ= Εύρος (R) R = (μεγαλύτερη παρατήρηση μικρότερη παρατήρηση) Διακύμανση (s ) ν t ν ν i 1 1 i=1 s = (ti x), s = t i ν i=1 ν i=1 ν κ xν κ κ i i 1 1 i=1 s = (xi x) ν i, s = xi ν i ν i=1 ν i=1 ν Τυπική απόκλιση (s) s= s Κατανομή παρατηρήσεων σε κανονική καμπύλη συχνοτήτων 68% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (x s, x + s) 95%»»»»» (x s, x + s) 99,7%»»»»» (x 3s, x + 3s) Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 16

18 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ N( A) Κλασσικός ορισμός πιθανότητας: P( A) = N( Ω) Πράξεις με ενδεχόμενα: A B: Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα AB., Περιέχει τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. A B: Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιύνται συγχρόνως τα AB., Περιέχει μόνο τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων A : Πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το A. Περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α A B : Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το A και δεν πραγματοποιείται το B. Περιέχει τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β. Λογισμός Πιθανοτήτων: P A B = P A + P B, A B= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) = 1 P( A) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A B A B P A P A B P A B P A P A B A B P A P B Τύποι De Morgan A B = A B ( ) ( ) A B = A B ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ 1 1 E = β υ, E = β γ ημα Ε = τ ρ τ = ημιπεριμετρος ρ = ακτινα εγγεγρ. κυκλου αβγ Ε = 4R R = ακτινα περιγεγρ. κυκλου ( ) Ε = τ(τ α)(τ β)(τ γ) Ε=α β Ε = β υ (ορθογωνιο) ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Ε=α ΡΟΜΒΟΣ δ1 δ Ε = (δ 1, δ διαγωνιοι) Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 17

19 ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΚΥΚΛΟΣ (β + Β)υ E= πr μ πrμ o o Ε = πr, L = πr, E κ.τ =, = ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ V=πR υ, Ε = πrυ 1 ΚΩΝΟΣ V= πr υ, Ε = πrλ (λ = γενετειρα) ΣΦΑΙΡΑ V= πr, E = 4πR 3 ΠΡΙΣΜΑ V = (εμβαδον βασης) (υψος) Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 18

20 Ταχύτητα: Ομαλή κίνηση: Δx υ= Δt υ=σταθ. Ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: Φυσική ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση ταχύτητα: x = υ t s υ= Επιτάχυνση: t μ Δυ α= Δt 1 α=σταθ., υ = υ o ± α t, x = υ o t ± at Ομαλά επιβραδυνόμενη όπου το κινητό σταματά: υo υ o t= x= α α Συνισταμένη δύο δυνάμεων που έχουν ίδια διεύθυνση (μέτρο): F = F 1 + F Συνισταμένη δύο δυνάμεων που έχουν αντίθετη κατεύθυνση (μέτρο): F = F 1 F ΔΥΝΑΜΙΚΗ ος νόμος του Newton: ΣF = m α Διερεύνηση Αν ΣF = 0 τότε υ=0 ή υ=σταθ. (1ος ν.) του ου νόμου Αν ΣF = σταθ. τότε α=σταθ. του Newton: Αν ΣF = μεταβλ. τότε α=μεταβλ. Βάρος: Αδρανειακή μάζα: Βαρυτική μάζα: B = m g m = ΣF α m = Β g Ελεύθερη πτώση: υ = g t y = Σύνθεση δύο καθέτων δυνάμεων: Σύνθεση πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων: 1 g t F F= F 1 +F εφθ= F Σ F= (ΣF ) +(ΣF ) x y Ισορροπία ομοεπιπέδων δυνάμεων: ΣF x = 0 ΣF y = 0 1 ΣF εφθ= ΣF y x Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 19

21 Τριβή ολίσθησης: Τ = μ Ν Οριζόντια βολή: υ=υ x+υy Μέτρο: Κατεύθυνση: Ομαλή κυκλική κίνηση: υ= υ +υ υ εφθ= υ x y y x υ = ωr x x - άξονας α x = 0 υ x = υ o x = υ o t y y - άξονας α y = g υ y = g t 1 y = gt 1 N θ π f= = ω= = =πf T t t T 1 t S πr T= = υ= = =πrf f N t T υ 4π α κ = =ω R= R=4π f R R Τ mυ 4π F=mα κ κ= =mω R=m R=m4π f R R Τ Νόμος παγκόσμιας έλξης: mm F = G 1 r Ένταση βαρυτικού πεδίου της Γης: F B M g= = =G m m r r = R r + h Δορυφόροι: υ = 3 GMr r, T = π r GM, r GM r = g o R r Ορμή: P=mυ Αρχή της διατήρησης της ορμής: Αν ΣF εξ = 0 P =P Δύναμη και μεταβολή της ορμής: ΔP Pτελ. Pαρχ. F= = Δt Δt Έργο σταθερής δύναμης: W = F x συνθ τότε ΟΛ,αρχ. ΟΛ,τελ. ΘΜΚΕ: Δυναμική βαρυτική ενέργεια: U = mgh Κ τελ Κ αρχ =W ολ Έργο δύναμης αλληλεπιδράσεων: W F(1 ) = ΔU = (U U 1 ) = U 1 U Μηχανική ενέργεια: E = K + U = Ισχύς: P = W t 1 mυ + mgh, αν F=σταθ. και υ=σταθ. τότε P = Fυ Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 0

22 Νόμος του Coulomb: Ένταση ηλεκτρικού πεδίου: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Q Q F = k ηλ r Ε = F q 1 Ένταση πεδίου Coulomb: Ε = k ηλ r Q Χωρητικότητα πυκνωτή: C = Q V Σχέση έντασης και διαφοράς δυναμικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο: Ε = V Έργο συντηρητικής δύναμης: W = ΔU ή W = (U τελ U αρχ ) Δυναμική ενέργεια φορτίου στη θέση (A): U (A) = W A Δυναμική ενέργεια συστήματος δύο φορτίων: U = k ηλ Q q r Δυναμικό ηλ. πεδίου στη θέση (A): V (A) = U (A) q WA Q ή V (A) = ή V (A) = kηλ q r Διαφορά δυναμικού ηλεκτρικού WA Γ πεδίου μεταξύ δύο θέσεων (Α) και (Γ): V AΓ = ή V AΓ = k ηλ Q 1 1 q r1 r Έργο δύναμης ηλεκτρικού πεδίου: W A Γ = q V ΑΓ ή W A Γ = k ηλ Qq 1 1 r1 r Χωρητικότητα επίπεδου πυκνωτή: C = ε S 0 Χωρητικότητα επίπεδου πυκνωτή με διηλεκτρικό: C = ε ε S 0 Ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή: U = 1 Q V ή U = 1 1 Q C V ή U = C Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 1

23 ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος: Ι = q t 1ος κανόνας Kirchhoff: ΣΙ = 0 Αντίσταση αγωγού: Νόμος του Ohm για αντιστάτη: Αντίσταση αγωγού συναρτήσει των γεωμετρικών στοιχείων του: Ειδική αντίσταση: Σύνδεση αντιστατών σε σειρά: Παράλληλη σύνδεση αντιστατών: Ενέργεια ηλεκτρικού ρεύματος: Ισχύς ηλεκτρικού ρεύματος: R = V I I = V R R = ρ S ρ θ = ρ 0 (1 + αθ) R ολ = R 1 + R R ν Ι = Ι 1 = Ι =... = Ι ν V = V 1 + V V ν = R R R R ολ 1 ν Ι = Ι 1 + Ι Ι ν V = V 1 = V =... = V ν W = V I t (γενικά), W = I R t, W = Ρ = W t V R, Ρ = V I (γενικά), t (σε αντιστάτη) Νόμος Joule: ΗΕΔ πηγής: Ρ = I R, Ρ = Q = I R t E = W q, E = P I V R (σε αντιστάτη) Νόμος Ohm για κλειστό κύκλωμα: I = E R Πολική τάση πηγής: V π = Ε Ι r Συντελεστής απόδοσης αποδέκτη: Pωφ α = P Απόδοση αποδέκτη: α 100% = ολ δαπ P P ωφ δαπ 100% Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , ,

24 ΠΕΔΙΑ Ένταση μαγνητικού πεδίου ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού: Β = k Ι μ r Ένταση μαγνητικού πεδίου στο κέντρο κυκλικού ρευματοφόρου αγωγού: Β = k πi μ r Ένταση μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό σωληνοειδούς: Ένταση μαγνητικού πεδίου στα Β = k μ 4πI N άκρα σωληνοειδούς: Β = B Δύναμη Laplace: F L = Β Ι ημφ Μαγνητική διαπερατότητα: B μ = B0 Μαγνητική ροή: Φ = Β S συνα Νόμος επαγωγής(faraday): ΔΦ ε επ = N Δt Ένταση επαγωγικού ρεύματος: Ι = επ Μετακινούμενο φορτίο λόγω επαγωγής (Neumann): Q = ΔΦ R ολ ε R ολ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Εξισώσεις Γ.Α.Τ: y = y 0 ημωt υ = υ 0 συνωt (υ 0 = ωy 0 ) α = α 0 ημωt (α 0 = ω y 0 ) F = m α Περίοδος Γ.Α.Τ.: Τ = π m D Περίοδος αρμονικού ταλαντωτή: Τ = π m k Περίοδος απλού εκκρεμούς: Τ = π g Δυναμική ενέργεια ελατηρίου: U ελ = 1 k : παραμόρφωση του ελατηρίου Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης: U T = 1 D y y: απομάκρυνση Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 3

25 Κινητική ενέργεια ταλάντωσης: Κ = 1 m υ Ενέργεια ταλάντωσης: Ε τ = 1 Dy 0 Δύναμη επαναφοράς: ΣF = Dy Σταθερά επαναφοράς: D = m ω ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Νόμος Boyle: PV = σταθ. για Τ = σταθ. Nόμος Charles: P = σταθ. T για V = σταθ. Νόμος Gay-Lussac: V = σταθ. T για P = σταθ. Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων: PV = nrt Αριθμός mol: mολ V N n = = = M r Vmol N A Πίεση με ταχύτητες των μορίων: 1 Nmυ P = 3 V Θερμοκρασία με ταχύτητες των μορίων: 1 3 mυ = KT Σταθερά του Boltzmann: R K = NA Ενεργός ταχύτητα: 3KT υ εν = υ = m 3 Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου: U = nrt 1ος Θερμοδυναμικός νόμος: Q = ΔU + W ΜΕΤΑΒΟΛΗ Iσόθερμη Τ=σταθ. Ισόχωρη V=σταθ. Ισοβαρής P=σταθ. ΝΟΜΟΣ (εξίσωση) PV=K K=nRT (ν.boyle) P=KT K=nR/V (ν.charles) V/T=K K=nR/P (ν.gay- Lussac) Αδιαβατική Q=0 PV γ =K ΔU=nC v ΔΤ ΔU W Q 1 ος Θερμ. νόμος ΔU = 0 Vτελ W=nRT n V Q=W Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 4 αρχ ΔU=nC v ΔΤ W=0 Q=ΔU ΔU=nC v ΔΤ W=P(V τελ V αρχ ) Q=nC p ΔΤ Q=ΔU+W PV PV W= τ τ α α 1 γ Q=0 0=ΔU+W Κυκλική ΔU=0 Q=W

26 Σχέση μεταξύ ειδικών γραμμομοριακών θερμοτήτων: Υπολογισμός των C P και C V : Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής: Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής Carnot: C P = C V + R 3R C V =, P W e= =1 Q h W 5R C =, Q Q C C e= =1 =1 Qh Qh Th Δυναμική ενέργεια δύο σημειακών QQ 1 ηλεκτρικών φορτίων: U = K C r C h Q T C γ= C Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο Κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα Κίνηση με αρχική ταχύτητα κάθετη στις δυναμικές γραμμές x'x y'y άξονας F Eq άξονας F E q Vq α= = υ x = υ α o y = = = m m m m dm υ = αt x = υ o t υ y = α y t x = 1 αt Δύναμη Lorentz: Ακτίνα και περίοδος κυκλικής τροχιάς σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: y = 1 α yt L Χρόνος παραμονής στο πεδίο: t= υ ο Απόκλιση από την αρχική κατεύθυνση 1 Vq L στην έξοδο: y = dm υo Ταχύτητα εξόδου από το πεδίο: υ υ=υ +υ, y υ= υ +υ, εφθ =, υ x υ x = υ o F = Bqυημφ mυ πm R= T= Bq Bq y x y P V x Ευθύγραμμος αγωγός κινούμενος σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: Νόμος επαγωγής: E επ = Bυl ΔΦ Ε επ = Ν Δt Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 5

27 Στρεφόμενος αγωγός σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: Περιστρεφόμενος δίσκος σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: Eναλλασσόμενη τάση: Εναλλασσόμενο ρεύμα: Ενεργός ένταση: Ενεργός τάση: Bω Ε επ = Bωr Ε επ = υ = Vημωt, V = NωBA, ω = π = πf Τ i = υ R, i = Iημωt, I = V R I εν = I = 0,707 Ι V εν = V = 0,707 V Nόμος Joule στο εναλλασσόμενο ρεύμα: Q = IενRt Στιγμιαία ισχύς: Μέση ισχύς: Αμοιβαία επαγωγή: P = υi = i R W Vεν P= =VενI εν =IενR= T R Δi Ε επ = M, M = N μμ ο n 1 A Δt Αυτεπαγωγή: Ενέργεια μαγνητικού πεδίου σ ένα πηνίο: di, Ε αυτ = L dt 1 U = Li L=μμ ο Ν Α ΟΠΤΙΚΗ Ταχύτητα διάδοσης κύματος c = x t Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής c = λ f Δείκτης διάθλασης c 0 n= c Νόμος ανάκλασης του φωτός (Newton) Νόμος διάθλασης του φωτός (Snell) ημθ ημθ θ π = θ α n = n π δ 1 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 6

28 Ενέργεια φωτονίου Ε φ = h f Μήκος κύματος, όταν εισέρχεται σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης n λ 0 λ= n Διάδοση του φωτός σε δύο διαφορετικά υλικά με δείκτες διάθλασης n 1 και n αντίστοιχα, με n 1 < n. n λ1 c1 = = n λ c 1 ΑΤΟΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Μηχανική συνθήκη του Βohr Οπτική συνθήκη του Bohr L = m υ r = n ħ όπου: ħ = h/π Ε i E f = h f Άτομο υδρογόνου Κινητική ενέργεια του e K = k e r Δυναμική ενέργεια του e U = k e r e Ολική ενέργεια του e E = k r E Επιτρεπόμενες τροχιές και τιμές ενέργειας r n = n 1 r 1 Ε n = n Ενέργεια ιονισμού Ε ιον Ε ιον = Ε 1 Ακτίνες Χ Ελάχιστο μήκος κύματος, λ min, συνεχούς φάσματος λ min = ch ev ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Σχέση ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας Ε = m c Έλλειμμα μάζας, ΔΜ Ενέργεια σύνδεσης, Ε Β ΔΜ = Ζ m p + N m n M π Ε Β = (ΔΜ) c Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 7

29 Διάσπαση α X Y + He A A 4 4 Z Z Διάσπαση β - n p + e + ν X Y + e + ν A A Z Z+ 1 Διάσπαση β + p n + e +ν e X Y + e + +ν A A Z Z 1 e Διάσπαση γ A * A X X +γ Z Z e e Ρυθμοί διάσπασης-χρόνος ημιζωής Νόμος διάσπασης ραδιενεργών πυρήνων ΔΝ = λνδt Ρυθμός μεταβολής του Ν Ενεργότητα δείγματος σε Bq ΔΝ Δt = λν ΔΝ Δt = λν λt Ν 1 = Ν 0 e 1 και ΔΝ Δt = ΔΝ e Δt 1 0 λt 1 T 1/ = n 0,693 = λ λ Εξώθερμη Ενδόθερμη Πυρηνική αντίδραση Α + Β Γ + Δ, ΔΜ αντιδρ. = Μ Α + Μ Β Μ Γ Μ Δ Q = (M A + M B M Γ Μ Δ ) c Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 8

30 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Απομάκρυνση στην α.α.τ.: x = Aημ(ωt + φ ο ) Ταχύτητα στην α.α.τ.: Επιτάχυνση στην α.α.τ.: υ = υ max συν(ωt + φ ο ), υ max = ωα Δύναμη στην α.α.τ.: F = Dx, D = mω α = α max ημ(ωt + φ ο ) = ω x, α max = ω Α Περίοδος στην α.α.τ.: T = π m D, για ελατήριο μάζα D = K Δυναμική ενέργεια στην α.α.τ.: 1 U = Dx = Eημ (ωt + φ ο ) Κινητική ενέργεια στην α.α.ατ.: 1 K = mυ = Eσυν (ωt + φ ο ) Ενέργεια στην α.α.τ.: 1 1 E = U +K = DΑ = 1 1 mυ max = Dx + mυ Φορτίο στην ηλεκτρική ταλάντωση: q = Qσυνωt, Q = CV Ένταση ρεύματος στην ηλ. ταλάντωση: i = Iημωt, I = Qω 1q Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στην ηλ. ταλάντωση: U E = =Eσυν ωt C 1 Ενέργεια μαγνητικού πεδίου στην ηλ. ταλάντωση: U B = Li =Eημ ωt Ενέργεια στην ηλ. ταλάντωση: 1 Q 1 1 q 1 Ε=U E +U B = = L I = + L i C C Περίοδος ηλ. ταλάντωσης: T = π LC Πλάτος σε φθίνουσα ταλάντωση: A = A o e Λt, t = K T όπου F αντ = b υ Σύνθεση δύο α.α.τ. ίδιας συχνότητας και ίδιας διεύθυνσης: Αημφ A = A 1 + A + A1Aσυνφ, εφθ = Α + Α συνφ 1 Σύνθεση δύο α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτουςμε διαφορετικές συχνότητες: ω ω1 ω 1+ω x = Aσυν( t)ημ( t) Συχνότητα διακροτήματος: f δ = f1 f x λ Ταχύτητα διάδοσης αρμονικού κύματος: υ = = = λf t T t x Εξίσωση αρμονικού κύματος: y=aημπ( ) T λ Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 9

31 t r 1+r Συμβολή κυμάτων από δύο σύγχρονες πηγές: y = A'ημπ( ) T λ r1 r Πλάτος: A' = Aσυνπ λ Ενίσχυση: r1 r = Nλ λ Απόσβεση: r1 r = (N +1) Ν = 0,1,,3,... Εξίσωση στάσιμου κύματος: Κοιλίες: πt y = A'ημ, T Πλάτος πx A' = Aσυν λ κλ x= Δεσμοί: Εξισώσεις ηλεκτρομαγνητικού κύματος: Δείκτης διάθλασης διαφανούς υλικού: c n= υ λ x = (κ +1) 4 t x Ε = Εmaxημπ( ) T λ t x E Β = Βmaxημπ( ), c = T λ B K = 0,±1,±,± Νόμος του Snell: Κρίσιμη γωνία στην ολική ανάκλαση: n α ημθ α = n b ημθ b n ημθ =,n > n b crit α b nα Θεμελιώδης νόμος της υδροστατικής: p = ρ g h Αρχή του Pascal: p = p atm + ρ g h Παροχή: Π = Α υ Εξίσωση συνέχειας: Α 1 υ 1 = Α υ Εξίσωση του Βernoulli: p + Θεώρημα Torricelli: υ κ = g h υ Συνισταμένη δύναμη εσωτερικών τριβών: F = η Α 1 ρ υ +ρ g y = σταθερό Γραμμική ταχύτητα: Γωνιακή ταχύτητα: ds υ= dt dθ ω= dt Σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας: υ = ωr Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 30

32 Επιτρόχια επιτάχυνση: Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γωνιακή επιτάχυνση: dυ α Ε = dt dω α γ = dt υ 4π α K = = ω R = R = 4π f R R Τ Σχέση μεταξύ επιτρόχιας και γωνιακής επιτάχυνσης: α Ε = α γ R Κύλιση τροχού χωρίς ολίσθηση: υ CM = υ = ωr α CM = α Ε = α γ R Ροπή δύναμης: τ = Fl Ισορροπία στερεού: ΣFx = 0 ΣFy = 0 και Στ = 0 Ροπή αδράνειας: Θεώρημα Steiner: Ι = m11 r + mr +... I = I P CM + Md Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης: Στ = Ι αγ Στροφορμή υλικού σημείου: L=P r=mυr = mr ω Στροφορμή στερεού: L = I ω Στροφορμή συστήματος σωμάτων: L = L 1+ L +... Γενική διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης: dl Στ = dt Διατήρηση της στροφορμής: Αν Στ ολ = 0 τότε L = σταθ. 1 Κινητική ενέργεια λόγω περιστρoφής: K= Iω 1 1 Κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής και στροφικής κίνησης: K= mυ + Iω Έργο σταθερής ροπής: W = τ θ ΘΜΚΕ στη στροφική κίνηση: Ισχύς στη στροφική κίνηση: Μέση ισχύς: 1 1 Iω Iω = W 1 ολ P = τ ω W P= t CM Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 31

33 Ελαστική μετωπική κρούση: m m m υ = υ + υ ' m 1+m m 1+m m m m υ = υ+ υ ' m+m 1 m+m 1 A. Αν m 1 = m τότε ' υ 1 = υ και ' υ = υ 1 Β. Αν υ = 0 τότε m υ = m υ ' m 1+m και υ = m υ ' 1 1 m 1+m ι) m 1 = m τότε ιι) m >> m 1 τότε ιιι) m 1 >> m τότε υ =0 ' 1 ' 1 υ1 ' 1 υ1 υ υ και και και υ = υ ' 1 ' ' υ1 υ 0 υ Απώλεια ενέργειας σε ανελαστική κρούση: E απωλ = ΔΚ ολ = Κολ,μετα Κολ,πριν Ποσοστό (%) απώλειας ενέργειας σε ανελαστική κρούση: Kολ,μετα Kολ,πριν x = 100% K ολ,πριν Φαινόμενο Doppler: υ±υ A f A = fs υ υs Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 3

34 H F Cl, Br *, Ι O S B N, P, As, Sb C, Si Χημεία Ονοματολογία Ονομασίες των κυριότερων στοιχείων Αμέταλλα H: Υδρογόνο F: Φθόριο Cl: Χλώριο Br: Βρώμιο I: Ιώδιο O: Οξυγόνο S: Θείο B: Βόριο N: Άζωτο P: Φωσφόρος As: Αρσενικό Sb: Αντιμόνιο C: Άνθρακας Si: Πυρίτιο He: Ήλιο Μέταλλα Li: Λίθιο Na: Νάτριο K: Κάλιο Ag: Άργυρος Cu: Χαλκός Hg: Υδράργυρος Au: Χρυσός Be: Βηρύλιο Mg: Μαγνήσιο Ca: Ασβέστιο Ba: Βάριο Zn: Ψευδάργυρος Fe: Σίδηρος Co: Κοβάλτιο Ni: Νικέλιο Sn: Κασσίτερος Pb: Μόλυβδος Pt: Λευκόχρυσος Cr: Χρώμιο Mn: Μαγγάνιο Al: Αργίλιο Bi: Βισμούθιο Sr: Στρόντιο La: Λανθάνιο Συνηθέστεροι αριθμοί οξείδωσης των κυριότερων στοιχείων Αμέταλλα , +3, +5, +7 * +4, , * To Br δεν έχει Α.Ο. +7 Li, Na, K, Ag Cu, Hg Au Mg, Ca, Ba, Zn Fe, Co *, Ni * Sn, Pb, Pt Cr Mn Al, Bi Μέταλλα +1 +1, + +1, , +3 * +, +4 +, +3, +6 +, +3, +4, +6, * Tα Co και Ni πρακτικά δεν παίρνουν Α.Ο. +3 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 33

35 Τα Συνηθέστερα Πολυατομικά Ιόντα -ικό -ώδες υπο- -ώδες όξινο -ικό δισόξινο -ικό ClO 3, BrO 3, ClO, BrO, ClO, BrO, IO IO 3 NO 3 CO 3, SO 4 3 PO 4, SiO 3 3 AsO 4 IO NO SO 3 3 AsO 3 HCO 3, HSiO 3 HSO 4 HPO 4, HAsO 4 υπερ-...-ικό: ClO 4, IO 4, MnO 4 ΟΗ - υδροξύλιο, HS - όξινο θειούχο, CN - κυανιούχο, NH + 4 αμμώνιο Εξουδετέρωση HPO 4, HAsO 4 Κυριότεροι ανυδρίτες οξέων CO SO 3 SO N O 5 N O 3 P O 5 P O 3 Cl O 5 H CO 3 H SO 4 H SO 3 HNO 3 HNO H 3 PO 4 H 3 PO 3 HClO 3 Κυριότεροι ανυδρίτες βάσεων Na O CaO Fe O 3 CuO NaOH Ca(OH) Fe(OH) 3 Cu(OH) Κυριότερα επαμφοτερίζοντα οξείδια ZnO SnO PbO Al O 3 Zn(OH) H ZnO Sn(OH) H SnO Pb(OH) H PbO Al(OH) 3 H 3 AlO 3 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 34

36 ΔΙΠΛΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Προϊόντα διπλής αντικατάστασης (α) Αέρια HF (σ.ζ. 19,5 ο C) HCl HBr CO (H CO 3 CO + H O) * SO (HSO3 SO + H O)* NH 3 (NH 4 OH NH 3 + H O)* HΙ HCN (σ.ζ. 6 ο C) H S (β) Ιζήματα Ι. Από τα άλατα Όλα τα φωσφορικά, ανθρακικά και πυριτικά (πλην Na +, Κ +, ΝΗ 4 + ) Όλα τα φθοριούχα (πλην Na +, Κ +, ΝΗ 4 +, Ag + ) Όλα τα θειούχα (πλην Na +, Κ +, ΝΗ 4 +, Ca ++, Ba ++, Mg ++ ) Επίσης τα: AgX, Hg X, CuX, PbX (όπου Χ = Cl, Br ή Ι) Και τα CaSO 4, BaSO 4, PbSO 4 ή ΙΙ. Από τις βάσεις Όλα τα υδροξείδια (πλην Na +, Κ +, ΝΗ 4 +, Ca ++, Ba ++ ) ή ΙΙΙ. Από τα οξέα Μόνο τα: H 3 BO 3, H SiO 3 και H SnO 3 (μετακασσιτερικό οξύ) Απλη Αντικατασταση Σειρά ελαττούμενης δραστικότητας των μετάλλων ή σειρά ελαττούμενης αναγωγικής ισχύος των μετάλλων K, Ba, Ca, Na, Mg, Al, Mn, Zn, Cr, Fe, Co, Ni, Sn, Pb, Η, Bi, Cu, Hg, Ag, Pt, Au Σειρά ελαττούμενης δραστικότητας των αμετάλλων ή σειρά οξειδωτικής ισχύος των αμετάλλων F, O, O 3, Cl, Br, O, I, S, P, As, N, C, Si Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 35

37 ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ 1 mol ` AEΡΙΟΥ Μ r g N A μόρια,4 L stp Κανονικές συνθήκες (stp): θ ο = 0º C ή Τ ο = 73 Κ και P o = 1 atm ή 760 mm Hg (Torr) n = m M r n = Vo, 4 n = N N m A PV = nrt ρ = m V n = αριθμός των mol, m = μάζα σε g, Μ r = σχετική ατομική μάζα, V o = όγκος αερίου σε L stp, N m = αριθμός μορίων, N A = 6, μόρια/mol (αριθμός Avogadro), P = πίεση αερίου σε atm, V = όγκος αερίου σε L, R = 0,08 atm L / mol Κ (παγκόσμια σταθερά ιδανικών αερίων), T = απόλυτη θερμοκρασία σε βαθμούς Kelvin (K), όπου: T (K) = θ ( o C ) + 73 και ρ = πυκνότητα σε g/ml, m = μάζα σώματος σε g, του οποίου ο όγκος είναι V σε ml. Νόμος των μερικών πιέσεων του Dalton: P ολ = P 1 +P P i P ν P i = P ολ x i x 1 +x x i x ν = 1 ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ Ενθαλπία αντίδρασης ΔΗ r = Η προϊόντα Η αντιδρώντα ΔΗ r = q p Εξώθερμες αντιδράσεις q p >0 ή ΔΗ r < 0 Ενδόθερμες αντιδράσεις q p <0 ή ΔΗ r > 0 q p = θερμότητα που ανταλλάσσει η αντίδραση με το περιβάλλον σε σταθερή πίεση Πρότυπη ενθαλπία σχηματισμού, o ΔΗ f o ΔΗ (στοιχείου) = 0 f o ΔΗ (ένωσης) = f o Η (ένωσης) f Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 36

38 o o o o o Για την αντίδραση: αα + ββ γγ + δδ ισχύει: ΔΗ = αδη [A]+ βδη [B] γδη [Γ] δδη [Δ] r f f f f q = c m ΔT Θεμελιώδης νόμος της Θερμιδομετρίας Αν ληφθεί υπόψη η θερμοχωρητικότητα του οργάνου, C: q = (C + c υγρό m υγρό ) ΔΤ ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ Στιγμιαία ταχύτητα, υ, της χημικής αντίδρασης: αa + βb γγ + δδ 1 d[a] 1 d[β] 1 d[γ] 1 d[δ] υ= ή υ= ή υ=+ ή υ=+ α dt β dt γ dt δ dt Μέση ταχύτητα, υ, της χημικής αντίδρασης: αa + βb γγ + δδ 1 Δ[A] 1 Δ[Β] 1 Δ[Γ] 1 Δ[Δ] υ= ή υ= ή υ=+ ή υ=+ α Δt β Δt γ Δt δ Δt d[a] Ρυθμός κατανάλωσης αντιδρώντος Α: υ Α = dt d[γ] Ρυθμός παραγωγής προϊόντος Γ: υ Γ = + dt 1 Άρα: υ= υ α Α 1 = υ β Β 1 = υ γ Γ 1 = υ δ Δ Νόμος ταχύτητας για τη χημική αντίδραση: αα + ββ γγ + δδ υ=k[a] x [Β] y Αν η αντίδραση είναι στοιχειώδης (απλή), τότε x = α και y = β. Τάξη της αντίδρασης = x + y Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 37

39 ΧΗΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ Aπόδοση αντίδρασης, α ή α % Συντελεστής α = Π Απόδοση (επί τοις εκατό) α απόδοσης Θ % = Π Θ 100 Π = Πραγματική ποσότητα του αντιδρώντος ή του προϊόντος, η οποία συμμετέχει στην αμφίδρομη αντίδραση: αa (g) + βb (g) γγ (g) + δδ (g) Θ = Θεωρητική ποσότητα του αντιδρώντος ή του προϊόντος, η οποία συμμετέχει στην αντίστοιχη μονόδρομη αντίδραση αa (g) + βb (g) γγ (g) + δδ (g) Σταθερά χημικής ισορροπίας, K C ή K P K C = [Γ] [Δ] [A] [B] γ ισ α ισ δ ισ β ισ Νόμος της χημικής ισορροπίας K P = P P γ Γ α Α P P δ Δ β B Νόμος της χημικής ισορροπίας K P = K C (RT) γ+δ (α+β) [Α] ισ = συγκέντρωση του σώματος Α και P Α = μερική πίεση του σώματος Α μετά την αποκατάσταση της χημικής ισορροπίας στην αμφίδρομη αντίδραση: αa (g) + βb (g) γγ (g) + δδ (g) Εξώθερμες αντιδράσεις (ΔΗ<0) Ενδόθερμες αντιδράσεις (ΔΗ>0) Τ K C, K P και Τ K C, K P Τ K C, K P και Τ K C, K P ΟΞΕΙΔΑΝΑΓΩΓΗ Α. Οξειδωτικά σώματα α. Στοιχεία: Τα αμέταλλα: F, Ο 3, Cl, Br, Ο, Ι, S. αυτού: αυτού: β. Οξυγονούχα οξέα, τα οποία περιέχουν στοιχείο με τον μεγαλύτερο αριθμό οξειδώσεως πυκνό αραιό πυκνό H SO SΟ, H ΝO ΝΟ, H ΝO ΝΟ Επίσης τα οξυγονούχα οξέα των αλογόνων, τα οποία συνήθως ανάγονται σε υδραλογόνο: π.χ. H ClO 3 H Cl, H ClO H Cl, H ClO H Cl κ.λπ. γ. Άλατα και Οξείδια, τα οποία περιέχουν στοιχείο με τον μεγαλύτερο αριθμό οξειδώσεως H H KMnO Mn, K Cr O Cr, Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 38

40 + 3 Cl 3 Fe + Cl, Fe + 4 H O + +, + 4 O + H Mn Μn Επίσης άλατα των οξυγονούχων οξέων των αλογόνων, τα οποία δρούν οξειδωτικά κατ' αναλογία προς τα αντίστοιχα οξέα τους: π.χ Na ClO 3 Na Cl, +3-1 Na ClO Pb Na Cl, + Pb +1-1 Na ClO Na Cl κ.λπ. Σημείωση 1: Το Η + σημαίνει ότι τα σώματα αυτά δρουν οξειδωτικά παρουσία κάποιου οξέος (δηλ. σε όξινο περιβάλλον) Β. Αναγωγικά σώματα 0 x M + α. Στοιχεία: Όλα τα μέταλλα: M, όπου x = ο μεγαλύτερος Α.Ο. β. Μη οξυγονούχα οξέα και τα άλατά τους: Όλοι οι αρνητικοί Α.Ο. αυξάνονται σε μηδέν Br 0 1 HCl Cl, H Br, H Ι 0-0 Ι, H S S Σημείωση : Εκτός από τα παραπάνω οξέα και τα άλατά τους η αύξηση του αρνητικού Α.Ο. σε μηδέν μπορεί να συμβεί καί σε άλλες ενώσεις: π.χ. Η O O, N H 3 N κ.λπ. γ. Άλατα και Οξείδια, τα οποία περιέχουν στοιχείο με το μικρότερο αριθμό οξειδώσεως αυτού: + +4 Sn Cl Sn Cl, CO CO, Na SO Na S O 3 4 Σημείωση 3: Γενικά όλα τα -ώδη οξειδώνονται σε -ικά και όχι μόνον τα άλατα αλλά καί τα οξέα π.χ. H SO 3 H SO4. Εξαίρεση αποτελούν τα αλογονώδη και υφαλογονώδη, τα οποία δρούν οξειδωτικά. (βλέπε παραπάνω). Προϊόντα οξείδωσης των κυριοτέρων αμετάλλων πυκνό-θερμό H SO 4 πυκνό ΗΝΟ 3 αραιό ΗΝΟ 3 C P S I H 3 PO 4 SO H 3 PO 4 H SO 4 H 3 PO 4 H SO 4 CO CO HIO 3 ΑΤΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Κατανομή Ηλεκτρονίων σε Στιβάδες Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων ανά στιβάδα N e(max) = n n 4 Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων στην προτελευταία στιβάδα 8 Ν e(προτελ) 18 Για τα στοιχεία των κυρίων ομάδων (Ι Α έως VIII Α ) του Π.Π. είναι συνήθως 8 ή 18 ηλεκτρόνια. Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων στην τελευταία (εξωτερική) στιβάδα Ν e(τελ) 8 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 39

41 Άτομο υδρογόνου 1η συνθήκη του Bohr (μηχανική συνθήκη) mυr = n h π n = 1,, 3,..., η συνθήκη του Bohr (οπτική συνθήκη) Ε i E f = h f Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών r =nr Ενέργειες επιτρεπόμενων τροχιών n 1 E E = n 1 n r 1 = 5, m Ε 1 =, J = 13,6 Ev Ενέργεια φωτονίου Ε φ =h f Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής c = λ f Αρχή της Αβεβαιότητας (απροσδιοριστίας) του Heisenberg Δx Δp h/4π Διττή υπόσταση σωματιδίων του De Broglie λ = h m υ Κβαντικοί αριθμοί Κύριος ή πρωτεύων κβαντικός αριθμός n = 1,,3,4,..., δηλαδή: n Αζιμουθιακός ή δευτερεύων κβαντικός αριθμός, l = 0, 1,,..., (n 1), δηλαδή: l Μαγνητικός κβαντικός αριθμός, m ή m l = l,..., 0,...,+l, δηλαδή: m Κβαντικός αριθμός του spin, s ή m s = 1 ή + 1 Για μια ορισμένη τιμή του n, o l παίρνει όλες τις φυσικές τιμές από 0 έως (n 1). Για μια ορισμένη τιμή του l, ο m παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές από l έως +l. Υποστιβάδες σύμφωνα με τις τιμές του αζιμουθιακού αριθμού l l = 0 υποστιβάδα s l = 1 υποστιβάδα p l = υποστιβάδα d l = 3 υποστιβάδα f l = 4 υποστιβάδα g κ.λ.π. Τροχιακά σύμφωνα με τις τιμές του μαγνητικού αριθμού m l 0 1 είδος τροχιακού s p d m , -1, 0, +1, + Προσανατολισμός s p τροχιακού y p z p x d xy d yz d z d xz d x y Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 40

42 Κατανομή ηλεκτρονίων σε υποστιβάδες Πολυηλεκτρονιακά άτομα Στιβάδα Υποστιβάδες K (n=1) 1s L (n=) s p M (n=3) 3s 3p 3d N (n=4) O (n=5) P (n=6) Q (n=7) 4s 5s 6s 7s 4p 4d 4f 5p 5d 5f 6p 6d 7p Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων ανά υποστιβάδα (l+1) ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ á. ÌåôáâïëÞ ìýóá óôçí ßäéá ïéêïãýíåéá (õðïïìüäá). ÁÕÎÁÍÏÍÔÁÉ : -ÌÝãåèïò áôüìùí êáé éüíôùí ìå ïìþíõìï öïñôßï -"Çëåêôñïèåôéêüôçôá" -'Áíáãùãéêüò áñáêôþñáò ÅËÁÔÔÙÍÏÍÔÁÉ : -ÅíÝñãåéá éïíéóìïý (Å.É.) -ÇëåêôñïíéêÞ óõããýíåéá Çëåêôñáñíçôéêüôçôá -Ïîåéäùôéêüò áñáêôþñáò Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 41

43 â. ÌåôáâïëÞ ìýóá óôçí ßäéá ðåñßïäï ÅËÁÔÔÙÍÏÍÔÁÉ : -ÌÝãåèïò áôüìùí êáé éüíôùí ìå ïìþíõìï öïñôßï -"Çëåêôñïèåôéêüôçôá" -'Áíáãùãéêüò áñáêôþñáò ÁÕÎÁÍÏÍÔÁÉ : -ÅíÝñãåéá éïíéóìïý (Å.É.) -ÇëåêôñïíéêÞ óõããýíåéá (Ç.Ó.) -Çëåêôñáñíçôéêüôçôá -Ïîåéäùôéêüò áñáêôþñáò Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 4

44 ΔΙΑΛΥΜΑΤΑ Περιεκτικότητες διαλυμάτων Cw/w m ' A= 100 m A Cw/v m ' A= V 100 A Cv/v V ' A= V 100 A C =ρ C v/w Α w/w m A = μάζα διαλύματος Α, V A = όγκος δ/τος Α, ρ Α = πυκνότητα δ/τος Α m Α = μάζα διαλυμένης ουσίας στο δ/μα Α, V A = όγκος διαλυμένης ουσίας στο δ/μα Α C w/w = περιεκτικότητα % κ.β. (% w/w) διαλύματος Α (c g διαλυμένης ουσίας σε 100 g διαλύματος) C v/w = περιεκτικότητα % κ.ό. (% w/v) διαλύματος Α (c g διαλυμένης ουσίας σε 100 ml διαλύματος) C v/v = περιεκτικότητα % κ.ό. (% v/v) διαλύματος Α (c ml διαλυμένης ουσίας σε 100 ml διαλύματος) n' c = V A c A = (μοριακή κατ όγκο) συγκέντρωση ή Molarity διαλύματος Α (c A mol διαλυμένης ουσίας σε 1 L διαλύματος) n ' = αριθμός mol διαλυμένης ουσίας σε V A L διαλύματος A A A Αραίωση διαλυμάτων m A + m νερό = m T V A + V νερό = V T m ' =m' T ' ' c A V A = c T V T n =n A T A A = αρχικό διάλυμα (πριν την αραίωση) Τ = τελικό διάλυμα (μετά την αραίωση) Ανάμειξη διαλυμάτων ' ' ' m A + m Β = m T V A + V Β = V T ma + m B = mt ' ' ' n A+n B=nT c A V A + c B V B = c T V T A = αρχικό διάλυμα A (πριν την ανάμειξη) Β = αρχικό διάλυμα Β (πριν την ανάμειξη) Τ = τελικό διάλυμα T (μετά την ανάμειξη) Βαθμός ιοντισμού α = n n ολ n = αριθμός mol του ηλεκτρολύτη που έχουν ιοντιστεί, ηλεκτρολύτη n ολ = συνολικός αριθμός mol του Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 43

45 Σταθερά ιοντισμού, Κ a ασθενούς οξέος ΗΑ ΗΑ + Η Ο Η 3 Ο + + Α Κ a = + [H3O ][A ] [HA] Σταθερά ιοντισμού, Κ b ασθενούς βάσης ΒΟΗ BΟΗ B + + OH Κ b = + [B ][OH ] [BΟΗ] K a = α 1 α C και K b = α 1 α C Nόμος αραιώσεως του Οstwald Αν K a /C ή K b /C 10, τότε K a α C και K b α C Σταθερά ιοντισμού, K w του νερού Η Ο + Η Ο Η 3 Ο + + ΟΗ Κ w = [Η + ][ΟΗ ] pη log[η + ] pοη log[οη ] Σε κάθε υδατικό διάλυμα Στους 5 ο C Κ w = pk w = 14 pη + pοη = 14 Υδατικά διαλύματα σε 5 ο C Ουδέτερα [H + ] = [OH ] = 10 7 ph = poh = 7 Όξινα [Η + ] > 10 7 ph < 7 Βασικά(αλκαλικά) [ΟΗ ] > 10 7 ph > 7 Σχέση των K a και Κ b του συζυγούς ζεύγους ΗΑ και Α ΗΑ + Η Ο Η 3 Ο + + Α Κ a(ha) = Α + Η Ο ΗΑ + ΟΗ Kb(A = ) Κ a(ha) K = K w b(a ) + [H3O ][A ] [HA] [HA][OH ] [A ] Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 44

46 Ρυθμιστικά διαλύματα Ρυθμιστικά διαλύματα ασθενούς οξέος και άλατος αυτού, πχ.: CH 3 COOH/CH 3 COONa C C [H 3 O + ] = K a οξυ αλας C C ή [H 3 O + ] = K a οξυ συζ.βαση ph = pk a log C C οξυ αλας ή ph = pk a + log C C συζ.βαση οξυ Henderson Hesselbalch Ρυθμιστικά διαλύματα ασθενούς βάσης και άλατος αυτής, πχ.: ΝH 3 /ΝH 4 Cl [ΟΗ ] = K b C C βαση αλας C C ή [ΟΗ ] = K b βαση συζ.οξυ pοh = pk b log C C βαση αλας poh = pk b + log C C συζ.οξυ βαση Henderson Hasselbalch Υδρόλυση Άλατα, ΑΒ, των οποίων υδρολύεται ισχυρά το κατιόν ενώ το ανιόν αμελητέα + Α + + Η Ο ΑΟΗ + Η + [ΑΟΗ][Η ] Κ w Κ h = K + h = ph < 7 [Α ] Άλατα, ΑΒ, των οποίων υδρολύεται ισχυρά το ανιόν ενώ το κατιόν αμελητέα Β + Η Ο ΗΒ + ΟΗ [HB][ΟΗ ] K w Κ h = K h = ph [B ] K > 7 Άλατα, ΑΒ, των οποίων υδρολύεται ισχυρά καί το κατιόν καί το ανιόν AOH HB K w K + h = ph 7 A B Α + + Β + Η Ο ΑΟΗ + ΗΒ Κ h = [ ][ ] Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 45 K b K a a K Άλατα, ΑΒ, των οποίων δεν υδρολύεται ούτε το κατιόν ούτε το ανιόν ph =7 b

47 ΟΡΓΑΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ Κυριότερες ομόλογες σειρές άκυκλων ενώσεων (Όσες σημειώνονται με * είναι κορεσμένες και περιέχουν μια χαρακτηριστική ομάδα) Όνομα 1. ΑΛΚΑΝΙΑ Χαρακτηριστική ομάδα Καμία Γενικός τύπος και γενικός μοριακός τύπος Παράδειγμα RH, C ν Η ν+ CH 3 CH CH CH 3 βουτ-άν-ιο. ΑΛΚΕΝΙΑ C = C C ν Η ν CH =CHCH CH 3 1-βουτ-έν-ιο 3. ΑΛΚΙΝΙΑ 4. ΑΛΚΟΟΛΕΣ* C C OH C ν Η ν ROH, C ν Η ν+ O CH 3 C CCH 3 -βουτ-ίν-ιο CH 3 CH CH OH 1-προπ-αν-όλη 5. ΑΙΘΕΡΕΣ* C O C ROR, C ν Η ν+ O 6. ΑΛΔΕΫΔΕΣ* CHO RCHO, C ν Η ν O 7. ΚΕΤΟΝΕΣ* 8. ΚΑΡΒΟΞΥΛΙΚΑ ΟΞΕΑ * C O ή CO C = O ή COOH OH RCOR, C ν Η ν O RCOOH, C ν Η ν O CH 3 CH OCH 3 αιθυλ-μεθυλ-αιθέρας CH 3 CHO αιθ-αν-άλη CH 3 COCH 3 προπ-αν-όνη CH 3 CH CH COOH βουτ-αν-ικό οξύ 9. ΕΣΤΕΡΕΣ * C O C O RCOOR, C ν Η ν O CH 3 COOCH 3 αιθανικός μεθυλ-εστέρας Mε R ή R συμβολίζουμε την ομάδα C ν Η ν+1, που ονομάζεται αλκ-ύλιο, π.χ. CH 3 μεθύλιο, CH 3 CH αιθύλιο, CH 3 CH CH προπ-ύλιο, CH 3 CHCH 3 ή CH 3 CH ισοπροπ-ύλιο. CH 3 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 46

48 1ο συνθετικό (αριθμός ατόμων C) Ονοματολογία οργανικών ενώσεων o συνθετικό (βαθμός κορεσμού της ένωσης) 3ο συνθετικό (χαρακτηριστική ομάδα) μεθ- : 1 άτομο C -αν-: κορεσμένη ένωση -ιο: υδρογονάνθρακας αιθ-: άτομα C -ολη: αλκοόλη OH προπ-: 3 άτομα C -εν-: ακόρεστη ένωση με 1 διπλό δεσμό -αλη: αλδεΰδη CHO βουτ-: 4 άτομα C -ιν-: ακόρεστη ένωση με 1 τριπλό δεσμό -όνη: κετόνη CO πεντ-: 5 άτομα C εξ-: 6 άτομα C -δι-εν-: ακόρεστη ένωση με διπλούς δεσμούς -ικό οξύ: καρβοξυλικό οξύ COOH επτ-: 7 άτομα C -δι-ιν-: ακόρεστη ένωση με τριπλούς δεσμούς Υβριδισμοί Δεσμός Υβριδισμός Σχήμα Γωνία Απλός sp 3 Τετράεδρο 109,5º π.χ. CH 4 Διπλός sp Επίπεδο 10º π.χ. CH =CH Τριπλός sp Ευθύγραμμο 180º π.χ. CH CH Προσθήκη στο διπλό δεσμό >C=C< Αντιδράσεις προσθήκης Kανόνας του Markovnikov: Το άτομο Η του προσθήματος πηγαίνει στον άνθρακα του διπλού δεσμού με τα περισσότερα άτομα Η. Προσθήκη στο διπλό δεσμό >C=O π.χ. CH 3 CH=CH + HCl CH 3 CHCl CH 3 Η δραστικότητα των καρβονυλικών ενώσεων HCHO > RCHO > RCOR > PhCHO > PhCOR > PhCOPh Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 47

49 Προσθήκη αντιδραστηρίου Grignard Αρχική καρβονυλική ένωση HCHO μεθανάλη(φορμαλδεϋδη) RCHO αλδεϋδη RCOR κετόνη Τελική παραγόμενη αλκοόλη RCH OH (πρωτοταγής αλκοόλη) RCH(OH)R (δευτεροταγής αλκοόλη) RR R COH (τριτοταγής αλκοόλη) Αντιδράσεις Απόσπασης προσθήκη Χ Ψ C C + X Ψ C C απόσπαση Κανόνας του Saytzeff: Όταν από ένα οργανικό μόριο αποσπάται ένα μόριο ΗΑ το άτομο Η αποσπάται από το άτομο C, που έχει τα λιγότερα άτομα Η. ταγές 1ταγές CH3 CH CH CH H OH H H SO C CH 3 CH CH CH 3 + H O (I) CH 3 CH CH CH + H O (II) Το κύριο προϊόν σύμφωνα με τον κανόνα του Saytzeff είναι το (Ι), δηλαδή το -βουτένιο, διότι το άτομο Η αποσπάται ευκολότερα από το άτομο C που έχει λιγότερα άτομα Η. δ+ δ- R X Αντιδράσεις Υποκατάστασης δ+ δ- + A B R B + AX Δραστικότητα των αλκυλαλογονιδίων, RX: RI > RBr > RCl > RF Οι αντιδράσεις αυτές χρησιμοποιούνται στη σύνθεση πληθώρας οργανικών ενώσεων, ορισμένες εκ των οποίων αναφέρονται ενδεικτικά στο παρακάτω σχήμα ROH αλκοόλες RCN νιτρίλια ROR αιθέρες RX RNH αμίνες R COOR εστέρες RC CR αλκίνια Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 48

50 Αντιδράσεις Πολυμερισμού Α Μονομερές Πολυμερές Χρήσεις Η CH =CH αιθυλένιο CH 3 Cl Ph φαινύλιο CN κυανομάδα CH =CH CH 3 προπυλένιο CH =CH Cl βινυλο-χλωρίδιο (χλωρο-αιθένιο) CH =CH Ph στυρόλιο (φαινυλ-αιθένιο) CH =CH CN ακρυλονιτρίλιο (προπενονιτρίλιο) ( CH CH ) ν πολυαιθυλένιο CH CH ν CH3 πολυπροπυλένιο CH CH ν Cl πολυ-βινυλο-χλωρίδιο (P.V.C.) CH CH ν Ph πολυ-στυρόλιο CH CH ν CN πολυ-ακρυλο-νιτρίλιο Πλαστικές σακούλες, πλαστικά παιχνίδια Πλαστικά σχοινιά Δίσκοι, πλαστικά, χρώματα Πλαστικά δάπεδα Συνθετική υφάνσιμη ύλη (Οrlon) Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 49

51 Οργανικές Αμτιδράσεις Οξείδωσης +7 Οξειδωτικά + H K Mn O 4 Mn + υπερμαγγανικό κάλιο κατιόν δισθενούς μαγγανίου (ιώδες) (άχρωμο) Cr O 7 Cr +3 διχρωμικό κάλιο κατιόν τρισθενούς χρωμίου (πορτοκαλί) (πράσινο) K +6 + H + - OH Cu SO 4 θειικός χαλκός (ΙΙ) (βαθύ κυανό) +1 Cu O οξείδιο του υποχαλκού (καστανέρυθρο) (Fehling) +1 NH3 Ag NO 3 νιτρικός άργυρος (άχρωμος) o Ag μεταλλικός άργυρος (καθρέπτης) (Tollens) Αναγωγικά (α) Οι πρωτοταγείς αλκοόλες, RCH OH, οξειδώνονται σε αλδεΰδες, RCHO, οι οποίες στη συνέχεια οξειδώνονται σε καρβοξυλικά οξέα, RCOOH: RCH OH + [O] RCHO + H O RCHO + [O] RCOOH (β) Οι δευτεροταγείς αλκοόλες, RCH(OH)R, οξειδώνονται σε κετόνες, RCOR, οι οποίες δεν οξειδώνονται χωρίς διάσπαση της ανθρακικής αλυσίδας τους: RCH(OH)R + [O] RCOR + H O (γ) Οι τριτοταγείς αλκοόλες δεν οξειδώνονται χωρίς διάσπαση της ανθρακικής αλυσίδας τους. (δ) Το μεθανικό (μυρμηκικό) οξύ, HCOOH, και τα άλατά του, π.χ. HCOONa, οξειδώνονται προς CO : HCOOH + [O] CO + H O (ε) Το αιθανοδιικό (οξαλικό) οξύ, (COOH), και τα άλατά του, π.χ. (COONa), οξειδώνονται προς CO : (COOH) + [O] CO + H O Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 50

52 Αλογονοφορμική αντίδραση 1ο, οξείδωση: CH 3 CH(OH)R + X CH 3 COR + HX o, υποκατάσταση: CH 3 COR + 3Χ CΧ 3 COR + 3ΗΧ 3ο, διάσπαση: CΧ 3 COR + KO H CHX 3 + RCOOK 4o, εξουδετέρωση: 5ΗΧ + 5ΚΟΗ 5ΚΧ + 5Η Ο Συνολική: CH 3 CH(OH)R + 4Χ + 6ΚΟΗ CHX 3 + RCOOK + 5ΚΧ + 5Η Ο Αντιδράσεις Οργανικών Οξέων RCOOH PhOH ROH RC CH Na, K, κ.λπ. (+) (+) (+) (+) NaOH, KOH, κ.λπ. (+) (+) ( ) ( ) ΝΗ 3 (+) ( ) ( ) ( ) ΝαΗCO 3, K CO 3 κ.λπ. (+) ( ) ( ) ( ) Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 51

53 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 5

54 Σχετικές Ατομικές Μάζες, Μ r (Προσεγγιστικές τιμές για υπολογισμούς) Άζωτο N 14 Νάτριο Na 3 Άνθρακας C 1 Νικέλιο Ni 59 Αργίλιο Al 7 Οξυγόνο O 16 Άργυρος Ag 108 Πυρίτιο Si 8 Ασβέστιο Ca 40 Σίδηρος Fe 56 Βάριο Ba 137 Υδράργυρος Hg 01 Βρώμιο Br 80 Υδρογόνο H 1 Θείο S 3 Φθόριο F 19 Ιώδιο I 17 Φώσφορος P 31 Κάλιο K 39 Χαλκός Cu 63,5 Κασσίτερος Sn 119 Χλώριο Cl 35,5 Μαγγάνιο Mn 55 Χρώμιο Cr 5 Μαγνήσιο Mg 4 Ψευδάργυρος Zn 65 Μόλυβδος Pb 07 Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 53

55 Έκθεση ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΚΑ ΕΙΔΗ ΔΟΚΙΜΙΟ ΕΙΔΟΣ Πειθούς / Στοχαστικό / ΑΡΘΡΟ ΜΕΛΕΤΗ Αποδεικτικό Λογοτεχνικό Αντικείμενο Θέμα γενικού ενδιαφέροντος Θέμα (διαχρονικό) επικαιρότητας Επιστημονικό ζήτημα Στόχος Πειθώ Τέρψη - πειθώ Ενημέρωση Αναζήτηση αλήθειας Τρόπος πειθούς Επίκληση στη Λογική Επίκληση στο Συναίσθημα Επίκληση στη Λογική Επίκληση σε Λογική & Αυθεντία Ύφος Προσωπικό, Επίσημο Χρήση Επίσημο βιωματικό Επίσημο τεχνικών όρων (α ενικό προσ.) Οπτική γωνία Αντικειμενική Υποκειμενική Αντικειμενική Αντικειμενική ΤΡΟΠΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΥ 1. Με Ορισμό: Μια έννοια ή ένας όρος της πρότασης μπορεί να επεξηγείται, να δηλώνονται, δηλαδή τα χαρακτηριστικά του γνωρίσματα. Σε αυτήν την περίπτωση καταγράφουμε στην απάντηση τα εξής: o τη διαρθρωτική λέξη / λέξη-κλειδί [αν υπάρχει] που υποδεικνύει ότι έχουμε τρόπο ανάπτυξης με ορισμό o την οριστέα έννοια και o το γένος δηλ. τον κυρίως ορισμό o την ειδοποιό διαφορά. Με Διαίρεση: Μια έννοια ενδέχεται να αποτελείται από οριμένα στοιχεία / είδη / κατηγορίες, το σύνολο των οποίων αναφέρεται στο κειμενο. Πρόκειται, ουσιαστικά, για την απαρίθμηση των μερών ενός συνόλου. Σε αυτήν την περίπτωση καταγράφουμε στην απάντηση τα εξής: o τη διαρθρωτική λέξη / λέξη-κλειδί που υποδεικνύει ότι έχουμε τρόπο ανάπτυξης με διαίρεση o τη διαιρετέα έννοια / γένος που αποτελείται από τα διάφορα μέρη / κατηγορίες. o τη διαιρετέα βάση, δηλαδή τα γνωρίσματα / κριτήρια βάσει των οποίων γίνεται η διαίρεση. 3. Με Παραδείγματα: Η θέση του συγγραφέα μπορεί να ενισχύεται ή να διευκρινίζεται περισσότερο με την παράθεση ειδικών περιπτώσεων, κατά τις οποίες η θέση αυτή είναι αληθής. Τέτοιες περιπτώσεις ονομάζονται παραδείγματα. Η διαφορά των παραδειγμάτων από τη διαίρεση έγκειται στο γεγονός ότι τα πρώτα επιλέγονται τυχαία μεταξύ πολλών άλλων. Κατά τη διαίρεση, όμως, δίνονται όλα ανεξαιρέτως τα χαρακτηριστικά της διαιρετέας έννοιας. Αυλίδος 0, Αμπελόκηποι, τηλ , , 54