Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R= Q τους άρρητους αριθμούς. A Δηλαδή αποτελείται από τους ρητούς και Ισχύει:N Z Q R Τέλος: Ν* = N {0}, Ζ* = Ζ {0}, Q* = Q {0}, R* = R {0} ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (α±β) 2 =α2±2αβ+β² (α±β) ³ =α³±3α²β+3αβ²±β³ (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2γα (α+β+γ)³=α³+β³+γ³+3(α+β)(β+γ)(γ+α) α 2 - β 2 =(α - β)(α + β) α 2 + β 2 =(α - iβ)(α + iβ) α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²) α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²) Γενικά: α ν - β ν = (α - β)(α ν-1 + α ν-2 β + α ν-3 β² + + αβ ν-2 + β ν-1 ) και για ν περιττό: α ν + β ν = (α + β)(α ν-1 - α ν-2 β + α ν-3 β² - - αβ ν-2 + β ν-1 ) (Αδίδακτες αλλά με άμεση απόδειξη. Πράξεις στο 2 ο μέλος.) ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ P(x) = α ν χ ν + α ν-1 χ ν α 1 χ + α 0, α ν,,α 0 R και ν Ν Κάθε πολυώνυμο έχει το πολύ τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός του. Πιθανές ακέραιες ρίζες της: α ν χ ν + α ν-1 χ ν α 1 χ + α 0 = 0, α ν,,α 0 Ζ, είναι οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου α 0 Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το χ ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ) = 0. Παραγοντοποίηση πολυωνύμου γίνεται πιο γρήγορα με το σχήμα Hrner. 1

2 Ορισμοί στο ορθογώνιο τρίγωνο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ημβ =, συνβ =, εφβ =, σφβ = Ορισμοί στον τριγωνομετρικό κύκλο τετμημένη του σημείου Μ: συνω τεταγμένη του σημείου Μ: ημω τεταγμένη του σημείου Ε: εφω τετμημένη του σημείου Σ: σφω Ο άξονας xx' είναι ο άξονας των συνημιτόνων Ο άξονας yy' είναι ο άξονας των ημιτόνων Η ευθεία ε λέγεται ευθεία των εφαπτομένων Η ευθεια δ λέγεται ευθεία των συνεφαπτομένων -1 ημω 1-1 συνω 1 Μοίρες ακτίνια: π(rad) = και = 2

3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΤΟΞΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ημ 2 ω + συν 2 ω = 1 εφω =, σφω =, εφωσφω = 1 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Παραπληρωματικά τόξα: Έχουν ίσα ημίτονα ημ(180 θ) = ημθ, συν(180 θ) = -συνθ, εφ(180 θ) = -εφθ, σφ(180 θ) = -σφθ Αντίθετα τόξα: Έχουν ίσα συνημίτονα συν( θ) = συνθ, ημ( θ) = -ημθ, εφ( θ) = -εφθ, σφ( θ) = -σφθ Συμπληρωματικά τόξα: Το ημίτονο του ενός είναι ίσο με το συνημίτονο του άλλου ημ(90-θ) = συνθ,συν(90 θ) = ημθ, εφ(90 θ) = εφθ,σφ(90 θ) = σφθ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΛΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν συνχ = α τότε υπολογίζουμε ένα θ ώστε συνθ = α και παίρνουμε συνχ = συνθ τότε πρέπει: χ= 2κπ θ, k Z Αν ημx = ημθ τότε:χ = 2κπ + θ ή χ = 2(κ+1)π θ, k Z Αν εφχ = εφθ, τότε:χ = κπ + θ, k Z Αν σφχ = σφθ τότε: χ= κπ + θ, k Z 3

4 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ-ΑΡΤΙΑ-ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει: 1. χ + Τ Α, χ Τ Α 2. F(x + T) = f(x T) = f(t) O Τ ονομάζεται περίοδος της f. π.χ. Περιοδικές συναρτήσεις είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: Μια συνάρτηση f : A R λέγεται άρτια αν: 1. για κάθε x Α ισχύει -x Α και 2. f(-x) = f(x) για κάθε x Α Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy' Μια συνάρτηση f : A R λέγεται περιττή αν: 1 για κάθε. x Α ισχύει -x Α και 2. f(-x) = -f(x) για κάθε x Α Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ-ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Ως εκθετική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f: R 1δηλαδή α (0,1) ( (1,+ ) R με f(x) = α x, α > 0 και α Αν α > 1τότε ισχύουν: 1. έχει πεδίο ορισμού το R 2. έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+ )των θετικών πραγματικών αριθμών 3. είναι γνησίως αύξουσα στο R H γρ. παράσταση της τέμνει τον άξονα yy' στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των x 4

5 Αν 0 < α < 1τότε ισχύουν: 2. έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+ )των θετικών πραγματικών αριθμών 3. είναι γνησίως φθίνουσα στο R 4. H γρ. παράσταση της τέμνει τον άξονα yy' στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη το θετικό ημιάξονα των x Προσοχή: Αν χ 1 χ 2 τότε α χ 1 α χ 2 (λόγω της μονοτονίας της) οπότε με απαγωγή σε άτοπο έχουμε: α χ 1 = α χ 2 χ 1 = χ 2 Επίσης για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της α χ προσέχοντας αν α > 1 ή 0 < α < 1 Τέλος στη διαδικασία επίλυσης εκθετικών εξισώσεων ή ανισώσεων μπορούμε να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων. 2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΟΡΙΣΜΟΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ) Ως γνωστόν έχουμε: lg α x = θ α θ = χ Όταν α = e γράφουμε lnx και έχουμε το φυσικό λογάριθμο του x. Όταν α=10, τότε γράφουμε lgx. Ως λογαριθμική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f: R 1, χ > 0 R με f(x) = lg α χ, α > 0 και α Για τη lgx ισχύουν: x (0,+ ) και y = lgx R Αν 0 < α < 1η f είναι γνησίως φθίνουσα και Αν α > 1 η f είναι γνησίως αύξουσα Έτσι η f(x) = lnx, όπου α = e, είναι γνησίως αύξουσα. 5

6 Ιδιότητες Λογαρίθμων Lg10=1 lne=1 Lg1=0 ln1= 0 lg(βγ)=lgβ+lgγ lg( β γ )=lgβ-lgγ lgβ κ =κlgβ ln(βγ)=lnβ+lnγ ln( β γ )=lnβ-lnγ lnβ κ =κlnβ lg = lgα ln = lnα lg10 β = β lne β = β β = 10 lgβ β = e lnβ α β = 10 βlgα α β = e βlnα Αν: (i) α > 1 τότε lgx 1 < lgx 2 x 1 < x 2 (ii) 0 < α < 1 τότε lgx 1 < lgx 2 x 1 > x 2 Προσοχή: Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει: Αν χ 1 χ 2 τότε lgx 1 lgx 2 οπότε με απαγωγή σε άτοπο έχουμε: lgx 1 = lgx 2 χ 1 = χ 2 6

7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) λέγεται μια ακολουθία α ν αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, τον οποίο ονομάζουμε διαφορά της προόδου και τον συμβολίζουμε με ω. Δηλαδή: α ν+1 = α ν + ω α ν+1 - α ν = ω Ισχύει ότι: α ν = α 1 + (ν 1)ω, ν Ν * αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι Α.Π. τότε β = και ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου α ν με διαφορά ω είναι: Sν = ( α 1 + α ν ) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) λέγεται μια ακολουθία α ν αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό λ, τον οποίο ονομάζουμε λόγο της προόδου. Αν λ τότε α ν+1 = α ν λ ή λ = Ισχύει ότι: α ν = α 1 λ ν-1, ν Ν * αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι Γ.Π. τότε β 2 = αγ και ο λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου α ν με λόγο λ 1είναι Sν = α 1 7

8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω διάνυσμα με άκρα τα Α(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) τότε: + = ή = - και = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ). Tο μέσο Μ του εχει συντεταγμένες: (, ) Συντελεστής διεύθυνσης του καλείται η εφω = λ, όπου ω είναι η γωνία του. με τον άξονα των χ, και λ =. με Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων και : = α β συνω = χ 1 χ 2 + y 1 y 2 (ω είναι η γωνία των και ) Υπολογισμός ω: συνω = = ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Αν οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι ίσοι (λ 1 = λ 2 ) 2. Δύο διανύσματα είναι παράλληλα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα (det) των συντεταγμένων τους είναι μηδέν δηλαδή:det(, ) = = x 1 y 2 x 2 y 1 = 0 3. Αν είναι συγγραμμικά ( = κ ) 4. Το εσωτερικό γινόμενό τους είναι = α β (Αφού = α β συνω και ω = 0 0 ) ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Αν για τους συντελεστές διεύθυνσής τους ισχύει: λ 1 λ 2 = -1 Το εσωτερικό γινόμενό τους είναι μηδέν (Αφού χ 1 χ 2 + y 1 y 2 = 0 χ 1 χ 2 = -y 1 y 2 = α β συνω και ω = 90 0 ) Αλλιώς: ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ. Εξίσωση ευθείας: y = αx + β Αχ + Βy + Γ = 0 y - y 0 = λ(x x 0 ) (Με συντ. διεύθυνσης λ και διερχόμενη από γνωστό σημείο (χ 0, y 0 ) + = 1 8

9 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ Απόσταση d σημείου A(x 0, y 0 ) από την ευθεία: Αχ + Βy + Γ = 0 d = ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ (ΑΒΓ) Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) όπου A(χ 1, y 1 ), B(χ 2, y 2 ), Γ(χ 3, y 3 ): Ε = det(, ) ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = ρ 2, όπου (χ 0, y 0 ) είναι το κέντρο του και ρ η ακτίνα του. x 2 + y 2 = ρ 2 ( Όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων) και χ 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 με Α 2 + Β 2 4Γ > 0 H εξίσωση της εφαπτομένης (ε) σε ένα σημείο του A(χ 1, y 1 ), είναι χχ 1 + yy 1 = ρ 2 ΜΕΓΙΣΤΗ-ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Είναι τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία ΟΚ (ΟΑ)=ελάχιστη απόσταση από το Ο(0,0), (ΟΜ)=μέγιστη απόσταση από το Ο(0,0) ΕΛΛΕΙΨΗ O γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, μεγαλύτερο από ΕΕ, από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε του επιπέδου. Τα σημεία y Ε και Ε λέγονται εστίες της έλλειψης και η B απόσταση ΕΕ λέγεται εστιακή απόσταση. Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία Ε (-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερή απόσταση από αυτές 2α είναι: A Ε 2γ 2α 0 2β Ε A x + = 1 όπου β = Ο λόγος ε = λέγεται εκκεντρότητα της έλλειψης και είναι < 1 Η εφαπτόμενη της έλλειψης C στο σημείο της A(χ 1, y 1 ), έχει εξίσωση + = 1 Β 9

10 ΠΑΡΑΒΟΛΗ O γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία δ και ένα σταθερό σημείο Ε - εκτός της ευθείας δ. Η ευθεία δ δ ονομάζεται διευθετούσα και Σ το σημείο Ε ονομάζεται εστία της παραβολής. Η απόσταση της εστίας από την διευθετούσα ευθεία ΑΕ = ρ απόλυτη τιμή του p παριστάνει την. Α Κ Ε y 2 = 2ρχ ( ρ = AE) Η εφαπτόμενη της παραβολής y2 = 2ρχ στο σημείο A(χ1, y1), έχει εξίσωση: yy 1 = ρ(χ + χ 1 ) ΥΠΕΡΒΟΛΗ O γ. τ. των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ.Τα σημεία Ε και Ε ονομάζονται εστίες της υπερβολής και η απόσταση ΕΕ ονομάζεται εστιακή απόσταση Σ Ε y 2α 2γ Ε x Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία Ε (-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερή διαφορά από αυτές 2α είναι: - = 1 όπου β = Ο λόγος ε = λέγεται εκκεντρότητα της υπερβολής και είναι > 1 Η εφαπτόμενη της υπερβολής C στο σημείο της A(χ 1, y 1 ), έχει εξίσωση - = 1 Αν α = β τότε έχουμε χ 2 y 2 = α 2 και έχουμε ισοσκελή υπερβολή 10