SCHEDULE RISK ANALYSIS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SCHEDULE RISK ANALYSIS"

Transcript

1 Κλεάνθης Συρακούλης Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί μια περίληψη της απόδοσης στην ελληνική γλώσσα του κεφαλαίου 5 του βιβλίου Vanhoucke, M. (2012). Project Management with Dynamic Scheduling: Baseline Scheduling, Risk Analysis and Project Control, Springer. Δεκέμβρης 2015

2 SCHEDULE RISK ANALYSIS Το ενδιαφέρον σχετικά με την ευαισθησία της κάθε δραστηριότητας τόσο από ακαδημαϊκούς όσο και από ανθρώπους που δουλεύουν στο πεδίο έγκειται στην ανάγκη που έχει ο διαχειριστής του έργου να επικεντρώσει την προσοχή του σε παράγοντες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά του έργου. Η τεχνική που θα περιγραφεί είναι γνωστή ως Schedule Risk Analysis (SRA) και συνδέει την πληροφορία για τον κίνδυνο των δραστηριοτήτων του έργου με το χρονοδιάγραμμα βάσης ενώ ταυτόχρονα δίνει πληροφορίες για την ευαισθησία της κάθε δραστηριότητας για να εκτιμηθεί η δυναμική επίδρασης της αβεβαιότητας στην τελική διάρκεια και το τελικό κόστος του έργου. 1 Εισαγωγή Η αβεβαιότητα σε συνδυασμό με τις παραδοχές λειτουργίας της μεθόδου PERT/CPM συχνά οδηγεί σε υποεκτίμηση της διάρκεια του έργου. Αυτό μπορεί να αποδοθεί στα παρακάτω αίτια: (α) Η critical path method χρησιμοποιεί για τη διάρκεια των δραστηριοτήτων σημειακές εκτιμήσεις, ενώ η PERT που το επεκτείνει σε εκτίμηση τριών σημείων δεν μπορούν να καλύψουν με επάρκεια την πληροφορία για τη διάρκεια των δραστηριοτήτων. (β) Οι εκτιμήσεις για τη διάρκεια και το κόστος δεν είναι παρά προβλέψεις για το μέλλον και πολλές φορές ο άνθρωπος τείνει να είναι αρκετά αισιόδοξος για αυτές, ή εναλλακτικά από την άλλη πλευρά να γίνεται απαισιόδοξος με στόχο να προφυλαχθεί από μη αναμενόμενα γεγονότα. (γ) Η τοπολογική δομή του δικτύου συχνά δείχνει την αναγκαιότητα επιπλέον κινδύνου εκεί όπου εκτελούνται παράλληλα κάποιες δραστηριότητες και με την ολοκλήρωσή τους αρχίζει μια άμεσα επόμενη δραστηριότητα. Στο τμήμα 2 παρουσιάζονται τα 4 βασικά βήματα για την ανάλυση κινδύνου του χρονοδιαγράμματος και τονίζεται η σημαντικότητα του χρονοδιαγράμματος βάσης. Στο 3, γίνεται η παρουσίαση και η συζήτηση των διαφορετικών μετρικών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μετρήσουμε κατά πόσο η ευαισθησία της διάρκειας κάθε μεμονωμένης δραστηριότητας επηρεάζει την ευαισθησία της διάρκειας του έργου. Τέλος, στο τμήμα 4 παρατίθενται ένα αναλυτικό παράδειγμα καθώς και κάποιες περιπτώσεις στις οποίες η χρήση των μετρικών μπορεί να οδηγήσει σε παράξενα συμπεράσματα.

3 2 Schedule Risk Analysis Περιγράφονται εδώ τα 4 βασικά βήματα για την πραγματοποίηση της SRA. Το πρώτο βήμα απαιτεί ένα χρονοδιάγραμμα βάσης το οποίο είναι και το σημείο αναφοράς για τα επόμενα βήματα. Στο δεύτερο βήμα υπάρχει η αναγκαιότητα ορισμού της αβεβαιότητας ως αποτέλεσμα του εύρους των εκτιμήσεών μας. Το τρίτο βήμα απαιτεί μια εκτεταμένη προσομοίωση Monte-Carlo της προόδου του έργου βασισμένης στις εκτιμήσεις της αβεβαιότητας. Στο τελικό βήμα δίνεται η αναφορά των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης μέσα από μέτρα ευαισθησίας, τα οποία απαιτούν γνώση και κατανόηση του νοήματος που έχουν αλλά και της σημασίας τους στο συγκεκριμένο έργο. 2.1 Βήμα 1. Χρονοδιάγραμμα βάσης - Baseline Scheduling Παρά το γεγονός ότι η PERT/CPM παρουσιάζει αδυναμίες όπως για παράδειγμα στην εξέλιξη του έργου κάποιες κρίσιμες (μη κρίσιμες) δραστηριότητες μπορεί να γίνουν μη κρίσιμες (κρίσιμες) το project baseline schedule μας εξυπηρετεί ως σημείο αναφοράς με το οποίο θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης της πραγματικής προόδου του έργου. 2.2 Βήμα 2. Κίνδυνος και αβεβαιότητα Η κατανόηση βασικών εννοιών στις πιθανότητες και τις συναρτήσεις κατανομής των πιθανοτήτων διευκολύνει το διαχειριστή του έργου στην καλύτερη εκτίμηση του αποτελέσματος που θα επιφέρουν στη διάρκεια του έργου διάφορα απρόσμενα γεγονότα. Το βάθος της ανάλυσης στην SRA προφανώς ποικίλει ανάλογα με το βαθμό γνώσης μαθηματικών και στατιστικής, σε τρία επίπεδα: (α) Καλή γνώση στατιστικής: σημαίνει γνώση και κατανόηση των τύπων που δίνουν τις στατιστικές κατανομές των πιθανοτήτων. (β) Βασική γνώση στατιστικής: σημαίνει κατανόηση της βασικής στατιστικής ορολογίας και δυνατότητα χρήσης εργαλείων όπως το Microsoft Excel για την απεικόνιση της SRA. (γ) Άγνοια στατιστικής: σημαίνει αναγκαστικά κατηγοριοποίηση των δραστηριοτήτων κατά τρόπο εύκολο για τον ορισμό των τάξεων του κινδύνου στην SRA.

4 Ως καλή γνώση στατιστικής θεωρούμε για παράδειγμα το γεγονός ότι κάποιος γνωρίζει ότι αν η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την εκθετική κατανομή τότε η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται από τη σχέση P(X <x) = 1- e -λx όπου 1/λ η μέση τιμή της εκθετικής κατανομής. Όταν το u θα χρησιμοποιηθεί ως παράμετρος για την εκτίμηση της πιθανότητας P(X <x), η οποία προφανώς λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1, τότε θα έχουμε: u=1-e -λx, e -λx =1-u, -λx= ln(1-u), x=-[ln(1-u)]/λ οπότε το u μπορεί να αντικατασταθεί με έναν τυχαίο αριθμό από το διάστημα [0,1], πχ με τη βοήθεια της συνάρτησης RAND() του Microsoft Excel, και να οδηγήσει σε έναν τυχαίο αριθμό ο οποίος προκύπτει από την εκθετική κατανομή της οποίας η μέση τιμή είναι ίση με 1/λ (δες 2.3). 2.3 Βήμα 3. Monte-Carlo Simulation Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται οι βασικές αρχές της προσομοίωσης Monte-Carlo την οποία εφαρμόζουμε για την SRA. Σε κάθε κύκλο (σενάριο) της προσομοίωσης δημιουργούμε μια διάρκεια για την κάθε δραστηριότητα με δεδομένο το προφίλ της αβεβαιότητας της ως εξής: 1. Δημιουργία ενός συνεχούς τυχαίου αριθμού ο οποίος κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα [0,1]. 2. Προσθήκη του αριθμού αυτού ως την παράμετρο u της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας και δημιουργία της αντίστοιχης πραγματικής διάρκειας της δραστηριότητας. 3. Αντικατάσταση της διάρκειας που είχε η δραστηριότητα στο χρονοδιάγραμμα βάσης με την τυχαία διάρκεια την οποία υπολογίσαμε στο προηγούμενο βήμα και υπολογισμός από την αρχή της κρίσιμης διαδρομής.

5 Η προσέγγιση με την Monte-Carlo χρησιμοποιείται για την παραγωγή διαρκειών των δραστηριοτήτων οι οποίες μπορεί να διαφέρουν από τη διάρκεια κάθε δραστηριότητας στο χρονοδιάγραμμα βάσης, οπότε μπορούν να οδηγήσουν στην αλλαγή του συνόλου των κρισίμων δραστηριοτήτων και της συνολική διάρκειας του έργου, όπως αυτή είχε υπολογιστεί στο χρονοδιάγραμμα βάσης. Τα αποτελέσματα αυτών των αλλαγών μετρώνται και αποτιμούνται στο επόμενο και τελευταίο βήμα της SRA. 2.4 Βήμα 4. Αποτελέσματα Ο στόχος της SRA είναι η παραγωγή ενός συνόλου μετρικών οι οποίες θα ορίζουν το βαθμό κρισιμότητας και ευαισθησίας της κάθε δραστηριότητας. Οι μετρικές αυτές είναι: Δείκτης Κρισιμότητας - Criticality Index (CI): ο οποίος μετρά την πιθανότητα μια δραστηριότητα να βρεθεί στην κρίσιμη διαδρομή. Δείκτης Σημαντικότητας - Significance Index (SI): ο οποίος μετρά τη σχετική σημαντικότητα της διάρκειας κάθε δραστηριότητας σε σχέση με τη διάρκεια του έργου. Δείκτης Ευαισθησίας Χρονοδιαγράμματος - Schedule Sensitivity Index (SSI): ο οποίος μετρά τη σχετική σημαντικότητα της διάρκειας της κάθε δραστηριότητας λαμβάνοντας υπόψη όμως και την πιθανότητά της να βρεθεί στην κρίσιμη διαδρομή, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψη και το δείκτη CI.

6 Δείκτης Ζωτικότητας - Cruciality Index (CRI): ο οποίος μετρά τη συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ της διάρκειας κάθε δραστηριότητας και της συνολικής διάρκειας του έργου και ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: CRI(r): με την υπόθεση της γραμμικής συσχέτισης και χρήση του συντελεστή Pearson. CRI(ρ): με την υπόθεση της μη γραμμικής συσχέτισης και χρήση του συντελεστή ρ του Spearman. CRI(τ): με την υπόθεση της μη γραμμικής συσχέτισης και χρήση του συντελεστή τ του Kendall. Οι αναλυτικοί υπολογισμοί για την εκτίμηση των μετρικών δίνονται στη συνέχεια. 3 Μετρικές Ευαισθησίας Οι τρεις πρώτες μετρικές προτάθηκαν αρχικά από τον Williams (1992), ενώ η τελευταία δόθηκε από το PMBOK (2004). Περισσότερη ανάλυση για τις μετρικές μπορούμε να δούμε στον Vanhoucke (2010). Για την παρουσίαση και τον υπολογισμό των μετρικών χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί: nrs: Ο αριθμός των κύκλων (σεναρίων) της προσομοίωσης Monte-Carlo (δείκτης k) d i : Η διάρκεια της δραστηριότητας i (το k ως εκθέτης αναφέρεται στη διάρκεια d i στον κύκλο (σενάριο) προσομοίωσης k) tf i : Το συνολικό περιθώριο της δραστηριότητας i (ο εκθέτης k αναφέρεται στο συνολικό περιθώριο tf i στον κύκλο (σενάριο) προσομοίωσης k) RD : Η συνολική πραγματική διάρκεια ως αποτέλεσμα ενός κύκλου (σεναρίου) προσομοίωσης (ο εκθέτης k αναφέρεται στην πραγματική διάρκεια RD του κύκλου προσομοίωσης (σεναρίου) k) 3.1 Δείκτης Κρισιμότητας -Criticality Index CI Ο δείκτης κρισιμότητας μετρά την πιθανότητα (άρα λαμβάνει τιμές από 0 έως 1) μια δραστηριότητα να ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή. Είναι μια απλή μετρική και προκύπτει άμεσα από την προσομοίωση της διάρκειας του έργου. Ο δείκτης CI για κάθε δραστηριότητα i ορίζεται ως εξής: CI = Prob (tf i = 0) (1) Παρά το γεγονός ότι ο συγκεκριμένος δείκτης έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλές μελέτες, αποδεικνύεται στην πράξη όχι και ως ο περισσότερο κατάλληλος για τη μέτρηση του

7 κινδύνου που σχετίζεται με τη διάρκεια του έργου. Το βασικό μειονέκτημα του CI είναι ότι εστιάζει στη μέτρηση της πιθανότητας, γεγονός που δεν σημαίνει αναγκαία ότι δραστηριότητες με υψηλή τιμή του CI έχουν πάντα και υψηλή επίδραση στη διάρκεια του έργου. Για παράδειγμα, το πιο πιθανό είναι μια δραστηριότητα με μικρή διάρκεια να βρίσκεται συνέχεια στην κρίσιμη διαδρομή (δηλαδή να έχει CI=100%), παρόλα αυτά όμως ελάχιστα επηρεάζει τη διάρκεια του έργου λόγω της μικρής της διάρκειας. Μια εκτίμηση του δείκτη CI, την οποία συμβολίζουμε, μπορεί να υπολογιστεί εύκολα από τη συχνότητα με την οποία η δραστηριότητα i γίνεται κρίσιμη στο σύνολο όλων των κύκλων (σεναρίων) της προσομοίωσης k = 1; ; nrs, ως εξής: όπου η συνάρτηση δείκτης 1(.) ορίζεται ως εξής 3.2 Δείκτης Σημαντικότητας - Significance Index SI Ο δείκτης ευαισθησίας της δραστηριότητας i μπορεί να δώσει τη σχετική σημαντικότητα κάπως καλύτερα να σχηματιστεί ως εξής: με E(x) να συμβολίζει την αναμενόμενη τιμή του x. Ο δείκτης SI ορίσθηκε ως μερική απάντηση της κριτικής που δέχθηκε ο CI. Αντί για τη χρήση πιθανοτήτων στην έκφραση της κρισιμότητας κάθε δραστηριότητας, ο SI στοχεύει στην έκθεση της σημαντικότητας κάθε μεμονωμένης δραστηριότητας για τη συνολική διάρκεια του έργου. Σε μερικά παραδείγματα, ο SI δείχνει να παράγει περισσότερο ρεαλιστική πληροφορία αναφορικά με τη σχετική σημαντικότητα της κάθε δραστηριότητας. Μια εκτίμηση μέσω προσομοίωσης του SI είναι

8 με τη μέση τιμή των τιμών του RD στο σύνολο των κύκλων προσομοίωσης, δηλαδή 3.3 Δείκτης Ζωτικότητας - Cruciality Index CRI Ένα τρίτο μέτρο που δείχνει την ευαισθησία της διάρκειας κάθε δραστηριότητας πάνω στη συνολική διάρκεια του έργου δίνεται από τη συσχέτιση (correlation) μεταξύ της διάρκειας κάθε δραστηριότητας και της συνολικής διάρκειας. Η μετρική αυτή αντανακλά τη σχετική σημασία μιας δραστηριότητας με ένα πιο φυσικό τρόπο και μετρά το ποσοστό της συνολικής διάρκειας που ερμηνεύεται από την αβεβαιότητα της κάθε δραστηριότητας. Η μετρική μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση του γινομένου ροπών του Pearson, τη συσχέτιση των τάξεων του Spearman ή με την t συσχέτιση τάξεων του Kendall, όπως περιγράφεται παρακάτω. (a) Μια εκτίμηση με βάση την προσομοίωση του γινομένου ροπών του Pearson για κάθε δραστηριότητα i υπολογίζεται ως εξής: όπου και είναι οι τυπικές αποκλίσεις στον πληθυσμό των μεταβλητών d i και RD, και υπολογίζονται ως εξής: Η μετρική αυτής της συσχέτισης είναι μέτρο της γραμμικής σχέσης των δύο μεταβλητών. Όμως, πολύ συχνά, η σχέση της διάρκειας της δραστηριότητας και της διάρκειας του έργου δε είναι γραμμική. Έτσι οι Cho και Yum (1997) προτείνουν τη χρήση μετρικών μη γραμμικής συσχέτισης όπως τη συσχέτιση τάξεων του Spearman και το t του Kendall. Ο υπολογισμός των μέτρων αυτών μπορεί να γίνει όπως περιγράφεται παρακάτω. (b) Για τη συσχέτιση τάξεων του Spearman μετατρέπουμε τις τιμές των μεταβλητών σε τάξεις και υπολογίζουμε τις διαφορές των τάξεων για κάθε παρατήρηση. Μέσα από τις τιμές που βασίζονται στην προσομοίωση ο υπολογισμός γίνεται ως εξής

9 όπου δ k είναι η διαφορά τάξεων των d i και RD σε κάθε κύκλο (σενάριο) προσομοίωσης k, δηλαδή για k = 1; ; nrs. (c) Ο συντελεστής συσχέτισης τάξεων τ του Kendall μετρά το βαθμό συσχέτισης μεταξύ δύο τάξεων ως εξής: όπου το P χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει το πλήθος των αρμονικών ζευγών των μεταβλητών d i και RD. Μια εκτίμηση της μετρικής μπορεί να γίνει ως εξής: 3.4 Δείκτης Ευαισθησίας Χρονοδιαγράμματος - Schedule Sensitivity Index SSI Το Project Management Body Of Knowledge (PMBOK 2004) αναφέρει την ποσοτική ανάλυση κινδύνου ως μια από τις πολλές μεθόδους προσδιορισμού της αβεβαιότητας και προτείνει το συνδυασμό των τυπικών αποκλίσεων των διαρκειών δραστηριότητας και έργου ( ) με το δείκτη κρισιμότητας. Ο νέος δείκτης αναφέρεται ως Δείκτης Ευαισθησίας Χρονοδιαγράμματος - Schedule Sensitivity Index (SSI) και είναι ίσος με και η εκτίμησή του από την προσομοίωση γίνεται ως εξής: 4 Παραδείγματα Ευαισθησίας 4.1 Ένα εικονικό παράδειγμα Στο τμήμα αυτό διαπραγματευόμαστε τη χρήση των μετρικών ευαισθησίας με βάση το παράδειγμα που παρουσιάζεται στο γράφημα που ακολουθεί. Οι αριθμοί πάνω από κάθε

10 κόμβο συμβολίζουν την εκτίμηση της διάρκειας για κάθε δραστηριότητα. Αρχικά, στον πίνακα παρουσιάζονται πέντε εικονικά σενάρια για το δίκτυο. Κάθε σενάριο χαρακτηρίζεται από ένα σύνολο διαρκειών των δραστηριοτήτων και από τη συνολική πραγματική διάρκεια του έργου RD. Ο επόμενος πίνακας 2 εμφανίζει τις τιμές των μετρικών ευαισθησίας και ο μεθεπόμενος τους ενδιάμεσους υπολογισμούς για την εκτίμηση των τιμών αυτών. Σε ένα φύλλο του Excel γράφουμε σε μια σειρά το σύνολο των δραστηριοτήτων από 2 έως 11 καθώς οι 1 και 12 είναι πλασματικές. Στο επόμενο κελί και στην ίδια πάντα σειρά γράφουμε την πραγματική διάρκεια RD και ακριβώς δίπλα κατά σειρά απαριθμούμε τις διαδρομές του δικτύου (για το παράδειγμα έχουμε 2-5-9, 3-10, , ). Ακριβώς πάνω από κάθε δραστηριότητα γράφουμε την εκτίμηση της διάρκειας κάθε δραστηριότητας και υπολογίζουμε τη διάρκεια της κάθε διαδρομής Για τον υπολογισμό της ελάχιστης διάρκειας του έργου πάνω από τα κελί RD υπολογίζουμε τη διάρκεια με τη χρήση της συνάρτησης ΜΑΧ και όρισμα τις τιμές των διαδρομών. Στη συνέχεια και με τη βοήθεια γεννήτριας τυχαίων αριθμών υπολογίζουμε 5 διάρκειες για κάθε δραστηριότητα, μια για το κάθε σενάριο. Ο υπολογισμός γίνεται με χρήση της ακολουθίας εντολών [RAND() η οποία γεννά έναν τυχαίο αριθμό από 0 έως 1 (κελί C7) και στη συνέχεια 1-RAND (κελί D7), μετά υπολογίζουμε την ποσότητα -LN(1-RAND) (κελί E7) την οποία πολλαπλασιάζουμε με την εκτίμηση διάρκειας της κάθε δραστηριότητας (κελί F7) και

11 στην ποσότητα αυτή ζητάμε το ακέραιο μέρος του αριθμού που παρήχθη από τη συνάρτηση INT()+1 (κελί G7)]. Την προσομοίωση την οποία κατασκευάσαμε τη μεταφέρουμε με Αντιγραφή και Επικόλληση ως Τιμή στο αντίστοιχο σενάριο. Οπότε για το σύνολο των τιμών που προσομοιώθηκαν υπολογίζουμε σε κάθε δραστηριότητα αλλά και στην πραγματική διάρκεια RD τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Ο πίνακας θα είναι Scenario RD ΜΟ 2,6 10,2 1,2 2,2 4,2 1,4 11 5,2 3,4 5,8 23,8 ΤΑ 1,82 7,19 0,45 0,45 2,59 0,55 12,39 3,90 1,14 2,39 9,44 Εκτίμηση δείκτη CI Στον πίνακα που ακολουθεί και για κάθε σενάριο υπολογίζουμε το συνολικό περιθώριο (TF) για κάθε δραστηριότητα. Στην τελευταία γραμμή με χρήση της COUNTIF, με εύρος τις τιμές του TF για κάθε δραστηριότητα και κριτήριο την τιμή 0, υπολογίζουμε τη συχνότητα με την οποία η κάθε δραστηριότητα καθίσταται κρίσιμη στο σύνολο των κύκλων της προσομοίωσης. Scenario/TF SUM Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η δραστηριότητα 2 γίνεται κρίσιμη μόνο στο σενάριο 5, επομένως το SUM είναι ίσο με 1. Αν η τιμή αυτή διαιρεθεί με το nrs=5 τότε ο CI της 2 θα είναι ίσος με CI 0,2 0,2 0,4 0,2 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2

12 Εκτίμηση SI Στον πίνακα που ακολουθεί υπολογίζουμε για κάθε δραστηριότητα την ποσότητα (d k i/d k i+tf k i), δηλαδή για κάθε κύκλο της προσομοίωσης το πηλίκο της διάρκειας προς τη διάρκεια προσαυξημένη κατά το συνολικό περιθώριο της δραστηριότητας (ο αριθμός που θα προκύψει στην περίπτωση που η δραστηριότητα είναι κρίσιμη σε όλους τους κύκλους θα είναι ίσος με 5) και στην τελευταία στήλη το πηλίκο της πραγματικής διάρκειας κάθε κύκλου προς τη μέση τιμή των πραγματικών διαρκειών που υπολογίσαμε σε όλους του κύκλους RD 0,13 0,70 1,00 0,13 1,00 1,00 1,00 0,33 0,45 0,33 1,05 0,50 0,42 0,17 0,29 0,50 0,29 0,29 0,38 0,30 1,00 0,63 0,03 0,19 1,00 0,09 1,00 1,00 1,00 0,11 0,09 0,06 1,64 0,05 1,00 0,05 0,10 0,05 0,05 0,10 0,05 1,00 0,40 0,97 1,00 0,31 0,13 1,00 0,30 0,13 0,42 1,00 0,31 0,58 0,71 Στη συνέχεια με τη χρήση της εντολής SUMPRODUCT το άθροισμα των στοιχείων γινομένων κάθε στήλης επί τα αντίστοιχα στοιχεία της τελευταίας στήλης και τα αποτέλεσμα το διαιρούμε με τον αριθμό των κύκλων (στο παράδειγμα 5), οπότε προκύπτει ο SI SUMPRODUCT 1,26 2,50 2,93 1,26 3,27 3,01 3,26 1,54 2,01 1,89 SI 0,25 0,50 0,59 0,25 0,65 0,60 0,65 0,31 0,40 0,38 Εκτίμηση του CRI(r) Στον πίνακα που ακολουθεί υπολογίζουμε για κάθε δραστηριότητα την ποσότητα για κάθε δραστηριότητα καθώς και τη διαφορά σε κάθε σενάριο Scenario RD 1-0,6 3,8-0,2-0,2 3,8-0,4 4 1,8 1,6-0,8 1,2 2 2,4-5,2-0,2-0,2 0,8 0,6-9 -2,2-0,4 1,2-8,8 3-1,6-3,2 0,8 0,8-0,2 0,6 20-1,2-0,4-3,8 15,2 4-1,6 10,8-0,2-0,2-3,2-0,4-9 -4,2-1,4 2,2-0,8 5 1,4-6,2-0,2-0,2-1,2-0,4-6 5,8 0,6 1,2-6,8 TA 1,82 7,19 0,45 0,45 2,59 0,55 12,39 3,90 1,14 2,39 9,44 CRI(r) -0,63 0,10 0,72 0,72 0,04 0,25 0,75-0,18-0,07-0,70

13 Στην προτελευταία γραμμή βάζουμε τις τυπικές αποκλίσεις για κάθε δραστηριότητα, οι οποίες ήδη έχουν υπολογιστεί παραπάνω και στην τελευταία γραμμή υπολογίζουμε το δείκτη με χρήση της εντολής SUMPRODUCT της κάθε στήλης με την τελευταία, διαιρώντας με το γινόμενο 5 επί την τυπική απόκλιση της κάθε δραστηριότητας επί την τυπική απόκλιση της RD. Για τη δραστηριότητα 2 ο υπολογισμός είναι: [(-0,6)Χ1,2 +2,4Χ(-8,8) +(- 1,6)Χ15,2 +(-1,6)Χ(-0,8) +1,4Χ(-6,8)]/[5Χ1,82Χ9,44]=-0,63 Εκτίμηση του CRI(ρ) Για τον υπολογισμό του δείκτη παίρνουμε τις αρχικές τιμές των διαρκειών όπως αυτές προέκυψαν σε κάθε κύκλο της προσομοίωσης Scenario RD και τις τοποθετούμε κατά αύξουσα σειρά (μπορούμε να κάνουμε στο Excel ταξινόμηση στην κάθε στήλη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο). Θα προκύψει ο πίνακας που ακολουθεί. RANKINGS RD Στην περίπτωση της δραστηριότητας 2 για παράδειγμα έχουμε: τάξη 1 την τιμή 1, τάξη 2 την τιμή 1, τάξη 3 την τιμή 2, τάξη 4 την τιμή 4 και τάξη 5 την τιμή 5. Εκεί όπου δύο (ή και περισσότερες όπως πχ στη δραστηριότητα 4) τιμές εμφανίζονται σε περισσότερες από μία τάξεις αντιστοιχίζουμε τις τιμές αυτές σε μια νέα τάξη η οποία υπολογίζεται από τον μέσο όρο των τάξεων. Για παράδειγμα στη δραστηριότητα 2 έχουμε την τιμή 1 να αντιστοιχεί στις τάξεις 1 και 2 επομένως στη θέση των τάξεων 1 και 2 θα θέσουμε ως τάξη την (1+2)/2=1,5. Στην περίπτωση της δραστηριότητας 4 όπου η τιμή 1 αντιστοιχεί στις τάξεις 1,2,3 και 4 θα θέσουμε στη θέση των τάξεων την τάξη ( )/4=2,5 κοκ οπότε αν πάμε στον αρχικό πίνακα και στη θέση των τιμών βάλουμε τις τάξεις θα έχουμε

14 RD 3 4 2,5 2, ,5 2,5 4 4,5 1,5 2 2,5 3,5 1 1, , , ,5 5 2,5 2, , ,5 2, ,5 2 Θα χρειαστούμε τώρα για την εκτίμηση να υπολογίσουμε για κάθε σενάριο και κάθε δραστηριότητα τη ποσότητα, όπου 2 δ 1 2 δ 2 2 δ 3 2 δ 4 2 δ 5 A=6Σδ i ,25 2, ,25 2, ,25 0,25 1 2,25 6,25 12, , , ,25 4 0,25 0, , ,25 0, , B=A/(5*24) 1,18 0,50 0,25 0,25 0,90 0,88 0,18 0,90 0,88 1,63 CRI(ρ)=1-Β -0,18 0,50 0,75 0,75 0,10 0,13 0,83 0,10 0,13-0,63 Εκτίμηση του CRI(τ) Παίρνουμε τον πίνακα με τις τάξεις των τιμών και τον ταξινομούμε έτσι ώστε το RD να είναι σε αύξουσα σειρά. Θα έχουμε: Scenario RD ,5 2,5 4 4,5 1,5 2 2,5 3, ,5 2, , ,5 5 2,5 2, , ,5 2, , , ,5 1 5 P CRI(τ) -0,60 0,20-0,20-0,20 0,00-0,40 0,60 0,00 0,00-0,60 Για κάθε δραστηριότητα υπολογίζουμε την τιμή P ως εξής: για παράδειγμα στη δραστηριότητα 2 πάμε πρώτα στο πρώτο στοιχείο της στήλης (το 3) και μετράμε το πλήθος των τιμών κάτω από το στοιχείο οι οποίες είναι μεγαλύτερές του (στην περίπτωση μας μόνο το 4, δηλαδή θα μετρήσουμε 1 αριθμό), στη συνέχεια πάμε στο αμέσως πιο κάτω στοιχείο της στήλης (δηλαδή στο 4) και μετράμε πόσα στοιχεία κάτω από αυτό είναι μεγαλύτερά του (κανένα, δηλαδή μετράμε 0 αριθμούς), στη συνέχεια ένα πιο κάτω (δηλαδή στο 1,5) οπότε θα μετρήσουμε μόνο την τιμή 3 που είναι μεγαλύτερη (δηλαδή μετράμε 1 αριθμό),

15 μετά πάμε στο πιο κάτω (δηλαδή στο 3) οπότε μετράμε κανέναν αριθμό. Επομένως, το P στην περίπτωσή μας θα είναι ίσο με =2. Ο δείκτης υπολογίζεται αμέσως από κάτω από την πράξη (4*P/20)-1. Εκτίμηση του SSI Ο δείκτης υπολογίζεται εύκολα αν σε κάθε δραστηριότητα πολλαπλασιάσουμε το δείκτη CI που ήδη εκτιμήσαμε επί την τυπική απόκλιση της διάρκειας της δραστηριότητας και στη συνέχεια διαιρέσουμε με την τυπική απόκλιση της πραγματικής διάρκειας RD. Θα είναι: SSI 0,04 0,15 0,02 0,01 0,11 0,02 0,52 0,08 0,02 0, CI 0,2 0,2 0,4 0,2 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 SI 0,25 0,50 0,59 0,25 0,65 0,60 0,65 0,31 0,40 0,38 CRI( r ) -0,63 0,10 0,72 0,72 0,04 0,25 0,75-0,18-0,07-0,70 CRI(ρ) -0,18 0,50 0,75 0,75 0,10 0,13 0,83 0,10 0,13-0,63 CRI(τ) -0,60 0,20-0,20-0,20 0,00-0,40 0,60 0,00 0,00-0,60 SSI 0,04 0,15 0,02 0,01 0,11 0,02 0,52 0,08 0,02 0, Παράξενα συμπεράσματα Στο τμήμα αυτό θα εξετάσουμε τα τρία μέτρα ευαισθησίας CI, SI και CRI τα οποία παρουσιάζουν τις αδυναμίες τους, αδυναμίες οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν σε περίεργα αποτελέσματα. Η χρήση του δείκτη CI έχει δεχθεί αρκετή κριτική στη βιβλιογραφία καθώς βασίζεται αποκλειστικά σε υποθέσεις πιθανοτήτων, οι οποίες εκ των πραγμάτων είναι αρκετά μακριά από την οπτική του management για το έργο. Επιπλέον, η μετρική στηρίζεται μόνο σε πιθανότητες, όταν είναι γενικά γνωστό ότι ο κίνδυνος που αφορά σε μια δραστηριότητα είναι συνδυασμός πιθανότητας να συμβεί και επίδρασης που μπορεί να έχει εφόσον συμβεί. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται ένα παράλληλο δίκτυο έργου με τις πιθανές διάρκειες και τις αντίστοιχες πιθανότητες πάνω από κάθε κόμβο.

16 Προφανώς η δραστηριότητα 1 έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διάρκεια του έργου καθώς μπορεί να οδηγήσει το έργο σε διάρκεια 100 χρονικών μονάδων. Όμως ο CI της δραστηριότητας 1 είναι 1%, πολύ μικρότερος δηλαδή από τον CI 99% της δραστηριότητας 2. Επομένως, οι τιμές των μετρικών ευαισθησίας δεν είναι πάντα τόσο ξεκάθαρες και μπορεί να οδηγήσουν σε περίεργα συμπεράσματα. Αν και οι μετρικές SI και CRI προτάθηκαν για να αναπαριστούν καλύτερα τη σχετική σημαντικότητα μιας δραστηριότητας σε σχέση με τον CI, επίσης μπορούν να οδηγήσουν σε περίεργα συμπεράσματα αν δούμε αναλυτικά το παράδειγμα με το σειριακό δίκτυο. Είναι ξεκάθαρο ότι η δραστηριότητα 1 έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διάρκεια του έργου και E(RD)=115. Όμως, οι τιμές του SI είναι ίσες και για τις δύο δραστηριότητες επομένως δεν υπάρχει διαχωρισμός σε σχέση με την ευαισθησία που παρουσιάζουν. Συγκεκριμένα ο SI είναι ίσος με 100%*(100/100)*(115/115)=1 για τη δραστηριότητα 1 και 50%*(10/10)*(110/115)+50%*(20/20)*(120/115)= 1 για τη δραστηριότητα 2. Ακόμα χειρότερα, οι τιμές του CRI δείχνουν ένα εντελώς αντίθετο προφίλ κινδύνου και για τις δύο δραστηριότητες. Η μετρική CRI δείχνει μόνον την επίδραση στον κίνδυνο του συνολικού έργου, και κατ επέκταση, αν η διάρκεια μιας δραστηριότητας είναι σαφώς προσδιορισμένη (ή και στοχαστική αλλά με μικρή διακύμανση), τότε ο αντίστοιχος CRI είναι μηδέν (ή πολύ κοντά στο μηδέν) ακόμα και αν η δραστηριότητα βρίσκεται πάντα στην κρίσιμη διαδρομή. Η τιμή του CRI για τη δραστηριότητας 1 είναι 0% (καθόλου διακύμανση) ενώ είναι ίση με [(10-15)/( )+(20-15)/( )]/2*5*5 = 1 για η δραστηριότητα 2.

Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους

Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους ΠΜΣ: «Παραγωγή και ιαχείριση Ενέργειας» ιαχείριση Ενέργειας και ιοίκηση Έργων Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους Επ. Καθηγητής Χάρης ούκας, Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών Γιώργος Μαυρωτάς, Αν.Καθηγητής ΕΜΠ mavrotas@chemeng.ntua.gr ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΙΣΚΟΥ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ

Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου

Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Τεχνολογία, Καινοτομία & Επιχειρηματικότητα, 9 ο εξάμηνο Σχολή Χ-Μ Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Γιώργος Μαυρωτάς Αν. καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας Τομέας ΙΙ, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 13 5η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση κατασκευής γραφημάτων που θα παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικός Προγραμματισμός Έργων Project Scheduling. Κέντρο Εκπαίδευσης ΕΤΕΚ 69 Δρ. Σ. Χριστοδούλου και Δρ. Α. Ρουμπούτσου

Χρονικός Προγραμματισμός Έργων Project Scheduling. Κέντρο Εκπαίδευσης ΕΤΕΚ 69 Δρ. Σ. Χριστοδούλου και Δρ. Α. Ρουμπούτσου Χρονικός Προγραμματισμός Έργων Project Scheduling Κέντρο Εκπαίδευσης ΕΤΕΚ 69 Δρ. Σ. Χριστοδούλου και Δρ. Α. Ρουμπούτσου Χρονοδιαγράμματα Έργων Διαδικασία Κτίζοντας το Πρόγραμμα Έργου 1. Κατανόηση έργου/προδιαγραφών

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Προγράμματα Εκπαίδευσης με τη χρήση καινοτόμων μεθόδων εξ αποστάσεως εκπαίδευσης Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη Χρονικός προγραμματισμός έργων με

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 3 η Διάλεξη : Μορφοποίηση Δεδομένων Φώτιος Π. Μάρης, Αναπλ. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Πηγή: Τίτλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Ενότητα 4: Ανάλυση ευαισθησίας και πιθανολογική ανάλυση Δ. Δαμίγος Μ. Μενεγάκη Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Στατιστική

Αναλυτική Στατιστική Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που παρουσιάστηκαν στις 19/11/2015 και 3/12/2015 στις διαλέξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εφαρμογές Ποσοτικές Ανάλυσης με το Excel 141 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση Δεδομένων Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων. Ανδρέας Νεάρχου 2

Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων. Ανδρέας Νεάρχου 2 ιοίκηση Λειτουργιών ιοίκηση Έργων IΙΙ (Χρονοπρογραµµατισµός συνέχεια) - 7 ο µάθηµα - Άσκηση επανάληψης CPM Θεωρείστε το έργο που φαίνεται στον επόµενο πίνακα. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της κρίσιµης διαδροµής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K Κεφάλαιο. Ανατοκισμός. Εισαγωγή Στη διαδικασία με την οποία ένα κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο, στο τέλος κάθε περιόδου παίρνουμε τον τόκο και αφήνουμε το αρχικό κεφάλαιο να τοκιστεί. Έτσι το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Χρήστος Μπαντής Ελληνικό Ινστιτούτο Μετρολογίας Βιομηχανική Περιοχή Θεσσαλονίκης, Οικ. Τετρ. 45 57022 Σίνδος, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β»

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β» ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται πιο δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β βρίσκουμε τη διαφορά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η

Έστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η Μονοδιάστατοι Πίνακες Τι είναι ο πίνακας γενικά : Πίνακας είναι μια Στατική Δομή Δεδομένων. Δηλαδή συνεχόμενες θέσεις μνήμης, όπου το πλήθος των θέσεων είναι συγκεκριμένο. Στις θέσεις αυτές καταχωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Λάμπρος Καφίδας Εργασία Σχεδιασμός & Διοίκηση Έργου Ιανουάριος 2005 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Λάμπρος Καφίδας Εργασία Σχεδιασμός & Διοίκηση Έργου Ιανουάριος 2005 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΕΝΙΚΑ 1.1. Έννοια της Διοίκησης Έργου Ορισμός Έργου Η ανάγκη της Διοίκησης Έργου προκύπτει από την συνεχώς αυξανόμενη πολυπλοκότητα και πλήθος των απαιτούμενων διεργασιών, ώστε να οργανωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Χρονικός προγραμματισμός κατασκευής τεχνικών έργων. Μέθοδος Gantt, Μέθοδος κρίσιμης όδευσης (CPM). Επίλυση ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη Περίπτωσης : 2.1

Μελέτη Περίπτωσης : 2.1 Μελέτη Περίπτωσης : 2.1 EMV Συνάρτηση ς ~ Διοργάνωση Έκθεσης Είστε ο project manager για τη διοργάνωση μιας έκθεσης για οικιακό εξοπλισμό σε μια επαρχιακή πόλη. Μεταξύ των άλλων, θα πρέπει να αποφασίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

1 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Διαχείριση Τεχνικών Έργων 1 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Βασικές αρχές τεχνικού έργου Σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΑΡΞΗΣ Ή ΟΧΙ ΣΧΕΣΗΣ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ CROSSTABS ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Ο πίνακας συνάφειας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΕΛΕΔΑΚΗΣ Άσκηση : ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΕΤΟΧΗ Α ΜΕΤΟΧΗ Β Απόδοση Πιθανότητα Απόδοση Πιθανότητα -0,0 0,50-0,0 0,50 0,50

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος.

Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εναλλακτικά η τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό γεγονός.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Γρηγόριος Μπεληγιάννης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων και Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ Δημήτριος Βασιλείου Καθηγητής Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Νικόλαος Ηρειώτης Αναπληρωτής Καθηγητής Εθνικού & Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών 1 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Θεωρία και Πρακτική Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 6 η. Ανάλυση Κινδύνου και Κοινωνικό Προεξοφλητικό Επιτόκιο

Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 6 η. Ανάλυση Κινδύνου και Κοινωνικό Προεξοφλητικό Επιτόκιο Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 6 η Ανάλυση Κινδύνου και Κοινωνικό Προεξοφλητικό Επιτόκιο Ζητήματα που θα εξεταστούν: Πως ορίζεται η έννοια της αβεβαιότητας και του κινδύνου. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Διαχείριση Αβεβαιότητας Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Όταν έχω να αντιμετωπίσω ένα πρόβλημα λήψης αποφάσεων υπό αβεβαιότητα, μπορώ να ακολουθήσω τις ακόλουθες στρατηγικές: 1. Η λάθος προσέγγιση: «Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια:

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια: Εργαστήριο 6: 6.1 Δομές Επανάληψης Βρόγχοι (Loops) Όταν θέλουμε να επαναληφθεί μια ομάδα εντολών τη βάζουμε μέσα σε ένα βρόχο επανάληψης. Το αν θα (ξανα)επαναληφθεί η εκτέλεση της ομάδας εντολών καθορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα