Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Προγράμματα Εκπαίδευσης με τη χρήση καινοτόμων μεθόδων εξ αποστάσεως εκπαίδευσης Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη Χρονικός προγραμματισμός έργων με CPM και PERT Ver 1, 2011

2 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην παρούσα διδακτική ενότητα παρουσιάζουμε εργαλεία για το σχεδιασμό και τον έλεγχο μεγάλων έργων με πολλές διακριτές δραστηριότητες το καθένα, οι οποίες απαιτούν συντονισμό. Ειδικότερα, θα αναφερθούμε με παραδείγματα στις τεχνικές CPM (Critical Path Method - Μέθοδος Κρίσιμης Διαδρομής) και PERT (Program Evaluation and Review Technique Αξιολόγηση Προγράμματος και Τεχνική Επισκόπηση). Μας ενδιαφέρει να κατανοήσει ο εκπαιδευόμενος το θεωρητικό υπόβαθρο καθεμιάς τεχνικής, ώστε να μπορεί να εφαρμόζει το πακέτο WinQSB για την επίλυσή της. Στην Υποενότητα 1 εξετάζουμε την τεχνική CPM (Critical Path Method-Μέθοδος Κρίσιμης Διαδρομής) η οποία χρησιμοποιείται κυρίως για έργα που αποτελούνται από δραστηριότητες προσδιορισμένης χρονικής διάρκειας. Η μέθοδος CPM υπολογίζει έναν συγκεκριμένο ενωρίτερο και αργότερο χρόνο έναρξης και λήξης για κάθε δραστηριότητα, με βάση καθορισμένη σειρά αλληλουχίας τύπου δικτύου και μια απλή εκτίμηση της διάρκειας. Εστιάζει στον εντοπισμό του χαλαρού χρόνου για να καθοριστούν ποιες δραστηριότητες είναι λιγότερο ελαστικές όσον αφορά το χρονικό τους προγραμματισμό. Στην Υποενότητα 2, εξετάζουμε την τεχνική PERT που χρησιμοποιείται σε έργα έρευνας και ανάπτυξης, των οποίων ο χρονοπρογραμματισμός δεν μπορεί να γίνει με απόλυτη βεβαιότητα. Σ αυτή την περίπτωση υπεισέρχεται η πιθανολογική εκτίμησή τους. Η μέθοδος PERT χρησιμοποιεί έναν σταθμισμένο μέσο της εκτιμώμενης διάρκειας κάθε ανεξάρτητης δραστηριότητας για να υπολογίσει τη διάρκεια αυτών. Η PERT διαφέρει από τη CPM κυρίως στο ότι χρησιμοποιεί τον μέσο μιας κατανομής (μέση διάρκεια) αντί να χρησιμοποιήσει την πιο πιθανή διάρκεια, όπως η CPM. Η PERT χρησιμοποιείται σπανιότερα από τη CPM. Και στις δύο υποενότητες, θεωρούμε τυπικά παραδείγματα των παραπάνω τεχνικών, και καλούμε το πακέτο λογισμικού WinQSB για την επίλυσή τους. 3

4 1.1 Διάγραμμα δικτύου Υποενότητα 1. Η τεχνική CPM Το διάγραμμα δικτύου (network diagram) δίνει τη γραφική αναπαράσταση διαδρομών εκτέλεσης ενός έργου. Κάθε δραστηριότητα του έργου αναπαρίσταται με ένα κύκλο, ενώ η σειρά αλληλουχίας των δραστηριοτήτων δείχνεται με βέλη που τις ενώνουν. Παραδείγματος χάριν, ο Πίνακας 1 δίνει μια λίστα έξι δραστηριοτήτων, από τις οποίες αποτελείται ένα έργο. Για κάθε δραστηριότητα γνωρίζουμε τις ακολουθιακές της απαιτήσεις και διαθέτομε μια εκτίμηση του χρόνου περάτωσής της. Παραδείγματος χάριν, η αμέσως προηγούμενη της δραστηριότητας Β είναι η δραστηριότητα Α, πράγμα που σημαίνει ότι η δραστηριότητα Α πρέπει να ολοκληρωθεί προτού ξεκινήσει η δραστηριότητα Β. Δραστηριότητα Πίνακας 1: Λίστα δραστηριοτήτων που απαρτίζουν ένα έργο Αμέσως Προηγούμενη Εκτίμηση Χρόνου Περάτωσης της Δραστηριότητας σε ημέρες A - 3 B Α 4 C Α 5 D Β, C 7 E - 3 F E 9 Β 4 Α 3 D 7 Έναρξη C 5 Λήξη E 3 F 9 Διάγραμμα 1: Το διάγραμμα δικτύου των δραστηριοτήτων του Πίνακα 1 4

5 Στο Διάγραμμα 1 επιδεικνύεται το δίκτυο δραστηριοτήτων του παραδείγματός μας, όπου οι δραστηριότητες αναπαρίστανται με κύκλους. Τα βέλη του διαγράμματος καθορίζουν τη σειρά αλληλουχίας των δραστηριοτήτων του προβλήματος. Για παράδειγμα, το βέλος από τον κύκλο Α στον κύκλο Β καθορίζει ότι η δραστηριότητα Α πρέπει να ολοκληρωθεί προτού ξεκινήσει η δραστηριότητα Β. Ομοίως, οι δραστηριότητες Β και C πρέπει και οι δύο να ολοκληρωθούν προτού ξεκινήσει η δραστηριότητα D. Ο εκτιμώμενος χρόνος περάτωσης κάθε δραστηριότητας έχει επίσης τοποθετηθεί μέσα στον κύκλο που αναπαριστά την αντίστοιχη δραστηριότητα. Μόλις το διάγραμμα δικτύου ολοκληρωθεί, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της κρίσιμης διαδρομής του έργου. 1.2 Η κρίσιμη διαδρομή Ως διαδρομή ορίζουμε μια αλληλουχία συνδεόμενων δραστηριοτήτων σε ένα έργο. Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν τρεις μόνο πιθανές διαδρομές: η διαδρομή ABD με μήκος 14 ημέρες, η διαδρομή ABC με μήκος 15 ημέρες και η EF η οποία διαρκεί 12 ημέρες. Ως κρίσιμη διαδρομή ορίζεται η διαδρομή εκείνη με τη μέγιστη χρονική διάρκεια. Στο παράδειγμά μας, κρίσιμη διαδρομή είναι η ACD με μήκος 15 ημέρες. Το μήκος της κρίσιμης διαδρομής καθορίζει τον ελάχιστο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Οι δραστηριότητες της κρίσιμης διαδρομής αποτελούν ανασχετικό παράγοντα για την ολοκλήρωση του έργου, δηλαδή είναι αυτές που δημιουργούν μποτιλιάρισμα. Η κρίσιμη διαδρομή είναι σημαντική για δύο κυρίως λόγους: ü Το χρονικό διάστημα ολοκλήρωσης του έργου δεν μπορεί να μειωθεί περαιτέρω, παρά μόνον εάν μία ή περισσότερες δραστηριότητες που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή ολοκληρωθεί σε μικρότερο χρονικό διάστημα από την αντίστοιχη αρχική εκτίμησή του. Συνεπώς, η κρίσιμη διαδρομή εντοπίζει τις δραστηριότητες εκείνες που πρέπει να επιταχυνθούν, εάν θέλουμε το έργο να τελειώσει πιο σύντομα. ü Οποιαδήποτε καθυστέρηση στην ολοκλήρωση δραστηριοτήτων που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή συνεπάγεται αντίστοιχη καθυστέρηση στην ολοκλήρωση του έργου. Αντίθετα, καθυστερήσεις στην περάτωση δραστηριοτήτων που δεν ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή δεν συνεπάγεται απαραίτητα επιβράδυνση ολόκληρου του έργου. Στο παράδειγμά μας, η εκτιμώμενη χρονική διάρκεια εκτέλεσης του έργου είναι 15 ημέρες. Εάν επιθυμούμε να τη μειώσουμε, η προσοχή μας πρέπει να εστιαστεί στη μείωση της διάρκειας μιας ή και περισσοτέρων εκ των τριών δραστηριοτήτων που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή, δηλαδή των A, C και D. Δεν υπάρχει κανένα όφελος από τη μείωση των δραστηριοτήτων B, E και F, δεδομένου ότι αυτές οι δραστηριότητες δεν ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή. Επίσης, μια μικρή καθυστέρηση μέχρι και μία ημέρα στο χρόνο ολοκλήρωσης της δραστηριότητας Β είναι αποδεκτή, διότι η καθυστέρηση αυτή δε θα επιδράσει στο συνολικό χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Αντιθέτως, οποιαδήποτε καθυστέρηση στις δραστηριότητες A, B ή D θα είχε ως συνέπεια την επιμήκυνση του χρονικού διαστήματος περάτωσης του έργου. Αν δηλαδή η δραστηριότητα C καθυστερήσει 3 ημέρες, το έργο θα ολοκληρωθεί σε 18 ημέρες αντί για 15 που ήταν αρχικά υπολογισμένο. Για μικρά έργα όπως αυτό του παραδείγματός μας, η κρίσιμη διαδρομή μπορεί να ευρεθεί με απλή εξέταση του διαγράμματος δικτύου. Η τεχνική CPM όμως χρησιμοποιείται κυρίως για το σχεδιασμό και τον έλεγχο μεγάλης κλίμακας, πολύπλοκων έργων (όπως π.χ. ο σχεδιασμός και η υλοποίηση ενός αεροδρομίου, η διάνοιξη μια εθνικής οδικής αρτηρίας, η ανάπτυξη ενός πληροφοριακού συστήματος μιας τράπεζας κλπ). Σε τέτοιες περιπτώσεις εμπλέκονται εκατοντάδες ή και χιλιάδες δραστηριότητες, οι οποίες πρέπει να 5

6 προγραμματιστούν για την ολοκλήρωση του έργου. Απαιτείται επομένως η συστηματοποίηση του τρόπου εύρεσης της κρίσιμης διαδρομής. Διάγραμμα 2: Υπολογισμός των ενωρίτερων χρόνων έναρξης και λήξης για το διάγραμμα δικτύου των δραστηριοτήτων του Πίνακα 1 ES B =3 EF B =7 ES A =0 EF A =3 Β 4 ES D =8 EF D =15 Α 3 ES C =3 EF C =8 D 7 Έναρξη C 5 ES E =0 EF E =3 ES F =3 EF F =12 Λήξη E 3 F Εύρεση της κρίσιμης διαδρομής ως: Παρουσιάζουμε παρακάτω έναν τρόπο εύρεσης της κρίσιμης διαδρομής. Ορίζουμε ES i = Ενωρίτερος χρόνος έναρξης για τη δραστηριότητα i (Earliest Start time) EF i =Ενωρίτερος χρόνος λήξης για τη δραστηριότητα i (Earliest Finish time) όπου ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης μιας δραστηριότητας είναι ο όσο το δυνατόν πιο νωρίς πιθανός χρόνος στον οποίο μπορεί η δραστηριότητα να ξεκινήσει, υποθέτοντας ότι όλες οι άμεσες προηγούμενες δραστηριότητες επίσης ξεκίνησαν να υλοποιούνται στη νωρίτερη δυνατή χρονική στιγμή Υπολογισμός ενωρίτερου χρόνου έναρξης και λήξης Λαμβάνουμε τους χρόνους ES και EF για κάθε δραστηριότητα ακολουθώντας την εξής διαδικασία. Αρχικά, θέτουμε το χρόνο ES της πρώτης δραστηριότητας ίσο με το μηδέν. Έπειτα προσθέτουμε τον εκτιμώμενο χρόνο της πρώτης δραστηριότητας στο ES (μηδέν), λαμβάνοντας έτσι το EF της πρώτης δραστηριότητας. Έπειτα, για κάθε δραστηριότητα, όλοι οι άμεσοι προηγούμενοι κόμβοι της οποίας έχουν υπολογισμένες τις τιμές ES και EF, ο ενωρίτερος χρόνος έναρξής της ES ισούται με το μέγιστο ενωρίτερο χρόνο λήξης EF όλων των άμεσων προηγουμένων της, διότι όλες οι προηγούμενες δραστηριότητες πρέπει να ολοκληρωθούν πριν αυτή ξεκινήσει. Στο Διάγραμμα 2 δίνονται οι χρόνοι ES και EF για όλες τις δραστηριότητες του παραδείγματός μας. Οι δραστηριότητες A και E είναι οι αρχικές δραστηριότητες, οπότε oι χρόνοι ES Α και ES Ε είναι 0. Επειδή η δραστηριότητα Α απαιτεί τρεις ημέρες για την 6

7 ολοκλήρωσή της, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης EF Α είναι 3. Ομοίως, ο EF Ε της Ε είναι επίσης 3. Εύκολα συμπεραίνουμε ότι και ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης των δραστηριοτήτων B και C είναι 3. Ο ενωρίτερος χρόνος λήξης EF Β για τη Β είναι 3+4=7, ενώ ο EF C για την C είναι 3+5=8. Επειδή η δραστηριότητα D απαιτεί την ολοκλήρωση και των δύο δραστηριοτήτων B και C για την έναρξή της, συνεπάγεται ότι ο ES D της δραστηριότητας D είναι ο μεγαλύτερος των χρόνων 7 και 8, δηλαδή 8. O χρόνος EF D για την D είναι 8+7=15, και τέλος για τη δραστηριότητα F οι χρόνοι ES F και EF F είναι 3 (=0+3) και 12 (=3+9) αντίστοιχα Υπολογισμός αργότερου χρόνου έναρξης και λήξης Συνεχίζοντας τον αλγόριθμό μας, ορίζουμε ως: LS i = Αργότερος χρόνος έναρξης για τη δραστηριότητα i (Latest Start time) LF i = Αργότερος χρόνος λήξης για τη δραστηριότητα i (Latest Finish time) όπου ο αργότερος χρόνος λήξης μιας δραστηριότητας είναι ο όσο το δυνατόν πιο αργός χρόνος στον οποίο μια δραστηριότητα μπορεί να τελειώσει χωρίς να καθυστερήσει την περάτωση του έργου πέρα από την προθεσμία ολοκλήρωσής του, δεδομένου ότι όλες οι δραστηριότητες του συγκεκριμένου έργου υλοποιούνται όπως είχε προβλεφθεί κατά τη σχεδίαση του έργου. Ως αργότερο χρόνο έναρξης μιας δραστηριότητας ορίζουμε τη διαφορά ανάμεσα στον αργότερο χρόνο λήξης και τον εκτιμώμενο χρόνο υλοποίησής της. Στο παράδειγμά μας, για την εύρεση των χρόνων LS και LF για κάθε δραστηριότητα, εκκινούμε από το τέλος του διαγράμματος δικτύου και θέτουμε αρχικά το χρόνο LF της τελευταίας δραστηριότητας ίσο με το χρόνο EF της δραστηριότητας αυτής. Έπειτα αφαιρούμε τον εκτιμώμενο χρόνο για την υλοποίηση της δραστηριότητας από το LF, ώστε να λάβουμε το χρόνο LS. Έπειτα, για οποιαδήποτε δραστηριότητα γνωρίζουμε τους χρόνους LS και LF των κόμβων που την διαδέχονται, υπολογίζουμε το χρόνο LF ως το μικρότερο LS όλων των άμεσων διαδόχων της, ενώ ο χρόνος LS λαμβάνεται αφαιρώντας τον εκτιμώμενο χρόνο ολοκλήρωσής της από το χρόνο LF. Το Διάγραμμα 3 περιλαμβάνει τους χρόνους LS και LF για τις δραστηριότητες του Πίνακα 1, με την υπόθεση ότι η προθεσμία για την ολοκλήρωση του έργου είναι 15 ημέρες. Οι δραστηριότητες D και F είναι οι τελευταίες δραστηριότητες, επομένως οι χρόνοι LF D για τη D και LF F για την F τίθενται ίσοι με την προθεσμία ολοκλήρωσης του έργου, δηλαδή 15 ημέρες. Επειδή η δραστηριότητα D διαρκεί 7 ημέρες, ο χρόνος LS D είναι 15-7=8 ημέρες. Η δραστηριότητα F διαρκεί 9 ημέρες, οπότε ο χρόνος LS F είναι 15-9=6 ημέρες. Ο χρόνος LF για τις δραστηριότητες B και C είναι 8, δεδομένου ότι έχουν την ίδια επόμενη δραστηριότητα. Ο χρόνος LS B για τη δραστηριότητα B είναι 8-4=4, ενώ ο LS C για τη δραστηριότητα C είναι 8-5=3. Ο αργότερος χρόνος λήξης της δραστηριότητας Α είναι ο μικρότερος εκ των αργότερων χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων B και C, διότι αυτοί αποτελούν τους άμεσους διαδόχους της δραστηριότητας Α. Άρα, LF A =3 (min{4,3}) και επειδή διαρκεί 3 ημέρες, ο LS A =0 (3-3=0). Τέλος, ο LF E =6 και LS F =3. 7

8 Διάγραμμα 3: Υπολογισμός των αργότερων χρόνων έναρξης και λήξης για το διάγραμμα δικτύου των δραστηριοτήτων του Πίνακα 1 ES B =3 EF B =7 Β 4 ES A =0 EF A =3 ES D =8 EF D =15 Α 3 LS B =4 LF B =8 ES C =3 EF C =8 D 7 Έναρξη LS A =0 LF A =3 C 5 LS D =8 LF D =15 ES E =0 EF E =3 ES F =3 EF F =12 LS C =3 LF C =8 E 3 F 9 Λήξη LS E =3 LF E =6 LS F =6 LF F = Χαλαρός χρόνος και κρίσιμη διαδρομή Ως χαλαρός χρόνος ορίζεται ο αριθμός των ημερών κατά τον οποίο μπορεί να καθυστερήσει μια δραστηριότητα χωρίς να προκαλέσει αντίστοιχη καθυστέρηση στην περάτωση του συνολικού έργου. Εφόσον έχουμε υπολογίσει τους χρόνους ES, EF, LS, LF για κάθε επιμέρους δραστηριότητα του έργου, υπολογίζουμε το χαλαρό χρόνο κάθε δραστηριότητας ως τη διαφορά των χρόνων LS και ES. Στον Πίνακα 2 υπολογίζουμε τους χαλαρούς χρόνους των δραστηριοτήτων του παραδείγματός μας, λαμβάνοντας υπόψη μας ότι ως προθεσμία παράδοσης του έργου έχει οριστεί το χρονικό διάστημα 15 ημερών. Αν η προθεσμία παράδοσης του έργου είχε τεθεί ίση με το μήκος της κρίσιμης διαδρομής, όλες οι δραστηριότητες με μηδενικό χαλαρό χρόνο πρέπει να βρίσκονται πάνω στην κρίσιμη διαδρομή, διότι ο ορισμός της κρίσιμης διαδρομής συνεπάγεται ότι οποιαδήποτε καθυστέρηση στην περάτωση δραστηριότητας που ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή έχει ως αποτέλεσμα την αργοπορία ολοκλήρωσης του συνολικού έργου. Αντίθετα, κάθε δραστηριότητα με θετικό χαλαρό χρόνο μπορεί να καθυστερήσει πέραν του ES της κατά μια ποσότητα χρόνου ίση με το χαλαρό της χρόνο χωρίς να υπάρξει κάποια επίπτωση στη διάρκεια του συνολικού έργου. Ο αλγόριθμος υπολογισμού του χαλαρού χρόνου και εύρεσης της κρίσιμης διαδρομής για ένα διάγραμμα δικτύου έχει υλοποιηθεί σε πολλά πακέτα λογισμικού, όπως τα Primavera, Microsoft Project, WinQSB, Project Manager WorkBench, QWIKNET, TaskMonitor, MicroPERT O, MacProject και άλλα. Στην Yποενότητα 1.4 επιδεικνύουμε τη χρήση του πακέτου WinQSB για την επίλυση του διαγράμματος δικτύου του παραδείγματός μας. 8

9 Πίνακας 2: Υπολογισμός του χαλαρού χρόνου των δραστηριοτήτων του Πίνακα 1 Δραστηριότητα ES LS Χαλαρός χρόνος (LS-ES) A B C D E F Επίλυση του διαγράμματος δικτύου CPM με το πακέτο WinQSB Για το συγκεκριμένο παράδειγμα, που αναπτύξαμε στην Υποενότητα 1.1 καλούμε το WinQSB/PERT_CPM/Deterministic CPM και εισάγουμε τα δεδομένα μας, όπως φαίνεται στα Διαγράμματα 4 και 5. Έπειτα, πιέζοντας το πλήκτρο λαμβάνουμε τον πίνακα υπολογισμού των χρόνων ES, EF, LS και LF και των αντίστοιχων χαλαρών χρόνων κάθε δραστηριότητας, όπως αυτός φαίνεται στο Διάγραμμα 6. Διάγραμμα 4: Καθορισμός του προβλήματος ως δίκτυο CPM 9

10 Διάγραμμα 5: Εισαγωγή των δεδομένων του προβλήματος του Πίνακα 1. Διάγραμμα 6: Υπολογισμός των χρόνων ES, EF, LS, LF κάθε δραστηριότητας. Πιέζοντας τα πλήκτρα, και, μπορούμε κατά σειρά να λάβουμε το διάγραμμα δικτύου και το διάγραμμα Gantt, ενώ επιλέγοντας Show Critical Path από το μενού Results λαμβάνουμε την κρίσιμη διαδρομή του προβλήματός μας. Τα παραπάνω αποτελέσματα παρουσιάζονται στα Διαγράμματα 7, 8 και 9. Διάγραμμα 7: Το διάγραμμα δικτύου του προβλήματός μας (ES, EF και LS, LF χρόνοι) 10

11 Διάγραμμα 8: Διάγραμμα Gantt Το διάγραμμα Gantt καθιερώθηκε από τον H. L. Gantt το 1918, ως ένα εργαλείο γραφικής αναπαράστασης του χρόνου έναρξης και λήξης κάθε δραστηριότητας. Ένα τυπικό Gantt διάγραμμα περιλαμβάνει στον οριζόντιο άξονα το χρόνο και σε κατακόρυφους άξονες τη διάρκεια των δραστηριοτήτων. Διάγραμμα 9: Η κρίσιμη διαδρομή. Τέλος, επιλέγοντας Project Completion Analysis από το μενού Results, μπορούμε να δούμε (1) την πορεία του έργου, (2) ποιες δραστηριότητες έχουν ολοκληρωθεί και (3) το ποσοστό αυτών που παραμένουν ανολοκλήρωτες. Παραδείγματος χάριν, ορίζοντας τις 5 11

12 ημέρες ως το χρονικό διάστημα που ήδη υλοποιείται το έργο, λαμβάνουμε την έκθεση προόδου του Διαγράμματος 10. Διάγραμμα 10: Έκθεση προόδου του έργου κατά την έκτη ημέρα υλοποίησής του 12

13 Υποενότητα 2. Η τεχνική PERT 2.1 Διαδικασία χρονικού προσδιορισμού των δραστηριοτήτων Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη υποενότητα, η τεχνική CPM εφαρμόζεται σε ντετερμινιστικές καταστάσεις, όταν δηλαδή απαιτείται μία μόνο εκτίμηση του χρόνου ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας. Αντιθέτως, η τεχνική PERT χρησιμοποιείται κυρίως για έργα τα οποία χαρακτηρίζονται από χρονική αβεβαιότητα όσον αφορά το πέρας των επιμέρους δραστηριοτήτων τους. Με τη μέθοδο PERT, συνεπώς, αίρεται ο περιορισµός της μεθόδου CPM για γνωστή και σταθερή διάρκεια των δραστηριοτήτων. Για παράδειγμα, στα ερευνητικά έργα δεν υπάρχει εµπειρία για τις δραστηριότητες και συνεπώς η διάρκειά τους δεν μπορεί να θεωρηθεί σταθερή και γνωστή εκ των προτέρων. Η μέθοδος PERT επομένως δίνει τη δυνατότητα να ληφθεί υπόψη η στοχαστική φύση της διάρκειας των δραστηριοτήτων ενός έργου. Στην περίπτωση αυτή, σε κάθε δραστηριότητα i αντιστοιχούμε τρεις εκτιμήσεις χρόνου: o Ελάχιστη ή αισιόδοξη εκτίμηση ( a i ). o Συντηρητική ή πλέον πιθανή εκτίμηση (Μ i ). o Μέγιστη ή απαισιόδοξη εκτίμηση ( b i ). Η τεχνική PERT στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι παραπάνω εκτιμήσεις ακολουθούν την κατανομή βήτα, όπως αυτή παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 11. Η κατανομή αυτή έχει τα εξής τρία χαρακτηριστικά: έχει ένα μόνο ακρότατο (unimodal), είναι συνεχής και διαθέτει πεπερασμένο εύρος. Ο αναμενόμενος (μέσος) χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας εκτιμάται από τον τύπο 1 ti = ( ai + 4 Mi + bi ) 6 o οποίος, διαισθητικά, δίνει λιγότερο βάρος στα άκρα a i και b i από την επικρατούσα τιμή (Μ i, mode) για τον υπολογισμό του μέσου χρόνου ολοκλήρωσης της δραστηριότητας i. Αυτοί οι τρεις εκτιμητές χρησιμοποιούνται για τη λήψη ενός ευλόγου εκτιμητή της διάρκειας των δραστηριοτήτων. Η κατανομή των χρόνων των δραστηριοτήτων είναι καθαρά υποθετική, καθώς δεν είναι πιθανόν ότι κάποιο στατιστικό δείγμα θα είναι εφικτό σε έργα που έχουν μοναδικό χαρακτήρα εκτέλεσης και χρονικής αλληλουχίας. Συχνά όμως αυτοί οι εκτιμητές βασίζονται σε παρελθοντική εμπειρία από παρόμοια έργα. 13

14 Διάγραμμα 11: Η κατανομή βήτα του χρόνου περάτωσης μιας μη ντετερμινιστικής δραστηριότητας. Η τυπική απόκλιση του χρόνου ολοκλήρωσης της δραστηριότητας i υπολογίζεται από τη μέγιστη και την ελάχιστη εκτίμηση σύμφωνα με τον τύπο 1 si = ( bi - ai), 6 ο οποίος πηγάζει από την υπόθεση ότι τα άκρα πολλών κατανομών πιθανότητας απέχουν περίπου τρεις τυπικές αποκλίσεις από το μέσο, επομένως θα υπάρχει ένα εύρος έξι τυπικών αποκλίσεων ανάμεσα στα άκρα. Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται για καθεμιά δραστηριότητα της διαδρομής, ενώ η τυπική απόκλιση της διαδρομής εκτιμάται από τις επιμέρους τυπικές αποκλίσεις των δραστηριοτήτων που ανήκουν στην εν λόγω διαδρομή. Από τη στατιστική θεωρία γνωρίζουμε ότι η διακύμανση του αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών ισούται με το άθροισμα των διακυμάνσεων κάθε τυχαίας μεταβλητής, όταν αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. 2.2 Παράδειγμα εφαρμογής της τεχνικής PERT Χρησιμοποιούμε πάλι το διάγραμμα δικτύου του Διαγράμματος 1 με πολλαπλές χρονικές εκτιμήσεις (ελάχιστη, πλέον πιθανή και μέγιστη εκτίμηση) για κάθε δραστηριότητα. Οι αριθμοί του Πίνακα 3 έχουν επιλεχθεί με τέτοιο τρόπο ώστε ο εκτιμώμενος χρόνος t i να έχει την ίδια τιμή με τις αρχικές εκτιμήσεις του Πίνακα 1. Επομένως, η κρίσιμη διαδρομή παραμένει η ACD με αναμενόμενο μήκος 15 ημέρες. Πίνακας 3: Πολλαπλές χρονικές εκτιμήσεις για τις δραστηριότητες του Διαγράμματος 1. Δραστηριότητα 1 2 a i b i M i t i si = ( bi - ai) s i 6 A B C D E F

15 Μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση του μήκους κάθε διαδρομής. Ξεκινώντας από την κρίσιμη διαδρομή, αν υποθέσουμε ότι οι χρόνοι των δραστηριοτήτων είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε η διακύμανση του χρόνου ολοκλήρωσης της κρίσιμης διαδρομής μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα των διακυμάνσεων των δραστηριοτήτων της κρίσιμης διαδρομής. Επομένως s = = ACD Η τυπική απόκλιση του μήκους της διαδρομής ACD είναι: s = 1.01 = ACD Αν ο αριθμός των δραστηριοτήτων που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή είναι μεγάλος, η κατανομή του συνολικού χρόνου για τη διαδρομή μπορεί να θεωρηθεί ως κανονική. Η στατιστική θεωρία επισημαίνει ότι το άθροισμα n ανεξάρτητων μεταβλητών με πεπερασμένο μέσο και διακύμανση τείνει στην κανονική καθώς το n τείνει στο άπειρο, λόγω του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος. Στο παράδειγμά μας, η κρίσιμη διαδρομή αποτελείται από τρεις μόνο δραστηριότητες, επομένως η υπόθεση της κανονικότητας θα ήταν λανθασμένη. Για την επίδειξη του παραδείγματός μας, τα αποτελέσματα μπορούν να ερμηνευτούν ως εξής: Το μήκος του χρόνου ολοκλήρωσης της διαδρομής ACD είναι κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με μέσο τις 15 ημέρες και τυπική απόκλιση ημέρες. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της αθροιστικής κανονικής κατανομής για να κάνουμε πιθανοτικούς υπολογισμούς όσον αφορά διαφόρους χρόνους ολοκλήρωσης της κρίσιμης διαδρομής, κάνοντας χρήση της τυπικής κανονικής μεταβλητής Z = ( X - m)/ s. Παραδείγματος χάριν, η πιθανότητα ολοκλήρωσης της διαδρομής ACD μέσα σε 17 ημέρες (δηλ. δύο περίπου τυπικές αποκλίσεις από το μέσο) είναι: όπως υπολογίζεται από τον Πίνακα 4. æ X -m ö æ17-15 ö Fç = Fç = F(2) = 0.977, è s ø è ø Παρόλα αυτά, υπάρχει ένα μεγάλο πρόβλημα όσον αφορά την παραπάνω ανάλυση της κρίσιμης διαδρομής. Εκτός από την υπόθεση ότι οι χρόνοι όλων των δραστηριοτήτων είναι ανεξάρτητοι και βήτα κατανεμημένοι, δεν είναι απολύτως βέβαιο ότι η μέγιστη αναμενόμενη διαδρομή (η κρίσιμη διαδρομή δηλαδή) θα είναι και η μέγιστη πραγματική διαδρομή. Στο παράδειγμά μας, η μη κρίσιμη διαδρομή EF έχει αναμενόμενο μήκος 12 ημερών. Η διακύμανση της διαδρομής αυτής είναι: και η τυπική της απόκλιση s = = EF s = 5.54 = 2.35 EF Αν υποθέσουμε ότι το μήκος της διαδρομής EF είναι κανονικά κατανεμημένο, τότε η πιθανότητα η διαδρομή EF να ολοκληρωθεί μέσα σε 17 ημέρες είναι: 15

16 όπως υπολογίζεται από τον Πίνακα F æ - ç ö = F(2.13) = è 2.35 ø Οι διαδρομές ACD και EF πρέπει να έχουν περατωθεί και οι δύο σε διάστημα 17 ημερών ώστε και το συνολικό έργο να ολοκληρωθεί στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Η πιθανότητα να ολοκληρωθούν και οι δύο διαδρομές (ACD και EF) σε 17 ημέρες είναι: (0.977) ( 0.983) =

17 Πίνακας 4: Η τυπική κανονική κατανομή F N (Z). Περιγραφή: F(2.41)= Οι τιμές αυτές επίσης λαμβάνονται από το Excel, με χρήση της συνάρτησης NORMSDIST. 17

18 Αν είχαμε λάβει υπόψη μας μόνον την κρίσιμη διαδρομή, η πιθανότητα να μην είχε τελειώσει το έργο σε 17 ημέρες θα ήταν = Τώρα που λαμβάνουμε υπόψη μας και τη διαδρομή EF, η πιθανότητα να μην τελειώσει το έργο σε 17 ημέρες είναι =0.04, σχεδόν δηλαδή δύο φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα να μη συμπληρωθεί η κρίσιμη διαδρομή! Με άλλα λόγια, εάν το έργο χρειαστεί περισσότερες από 17 ημέρες για να ολοκληρωθεί, η διαδρομή EF έχει διπλάσια πιθανότητα από τη διαδρομή ACD να προκαλέσει την εν λόγω καθυστέρηση. Παραμένει επίσης ακόμη μια δυσκολία. Η διαδρομή ABD μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως περιοριστική, οπότε πρέπει να υπολογίσουμε τη διακύμανσή της, όπως κάναμε με τις διαδρομές ACD και EF. Οι δραστηριότητες A και D, όμως, εμφανίζονται και στις δύο διαδρομές (ABD και ACD), γεγονός που αναιρεί την υπόθεση ότι τα μήκη των δύο διαδρομών είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα ολοκλήρωσης και των δύο διαδρομών ABD και ΑCD σε λιγότερες από 17 ημέρες πρέπει να υπολογίσουμε την από κοινού πιθανότητα εξαρτημένων γεγονότων, πράγμα που ξεφεύγει από την εμβέλεια της παρούσας ενότητας. Επειδή, δηλαδή, ορισμένες μη κρίσιμες διαδρομές μπορεί να γίνουν περιοριστικές, η μέση εκτίμηση του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου είναι αρκετά αισιόδοξη όταν μελετάται μόνο η κρίσιμη διαδρομή, δεδομένου ότι είναι μεροληπτική και τείνει να υποεκτιμήσει το μέσο χρόνο περάτωσης του έργου. Εν κατακλείδι, παρατηρούμε ότι τα προβλήματα που αντιμετωπίσαμε σε ένα μικρό δίκτυο έξι δραστηριοτήτων, προφανώς πολλαπλασιάζονται όταν θεωρούμε έργα αποτελούμενα από εκατοντάδες δραστηριότητες. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιούμε την τεχνική της Monte-Carlo προσομοίωσης για τον υπολογισμό της διάρκειας ολοκλήρωσης του έργου. 2.3 Προσομοίωση της διάρκειας του έργου σε ένα δίκτυο PERT Για την αντιμετώπιση των παραπάνω προβλημάτων, καταφεύγουμε στην προσομοίωση των δικτύων PERT. Τα βήματα που πρέπει να ακολουθηθούν είναι τα εξής: Βήμα 1ο: Χρησιμοποιώντας (για παράδειγμα) την κανονική κατανομή των χρόνων των δραστηριοτήτων για κάθε δραστηριότητα και τους υπολογισμένους μέσους και τυπικές αποκλίσεις, παράγουμε μια τυχαία τιμή για το χρόνο ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας του δικτύου. Βήμα 2ο: Θεωρούμε τους χρόνους που παρήχθησαν ως πραγματικούς χρόνους για κάθε δραστηριότητα και χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο της κρίσιμης διαδρομής για την εύρεση της πραγματικής κρίσιμης διαδρομής-actual critical path (ex post, εκ των υστέρων) και της πραγματικής διάρκειας του έργου-actual project duration. Βήμα 3ο: Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2 για μεγάλο αριθμό δοκιμών, καταγράφοντας το ιστόγραμμα των χρόνων ολοκλήρωσης του έργου και το ποσοστό του χρόνου, όπου κάθε δραστηριότητα βρισκόταν πάνω στην ex post κρίσιμη διαδρομή. Παραδείγματος χάριν, υποθέτουμε ότι προσομοιώσαμε 1000 φορές το δίκτυο του Διαγράμματος 1, χρησιμοποιώντας τους μέσους και τις τυπικές αποκλίσεις του Πίνακα 3. Η παραπάνω διαδικασία γίνεται αυτόματα με το πακέτο λογισμικού WinQSB, όπως θα περιγράψουμε παρακάτω. Το Διάγραμμα 12 παρουσιάζει την αθροιστική κατανομή συχνοτήτων για τη διάρκεια του έργου, όπως δόθηκε από την προσομοίωση. 18

19 Διάγραμμα 12: Η αθροιστική κατανομή συχνοτήτων για τη διάρκεια του έργου Κατανομή αθροιστικών συχνοτήτων για τη διάρκεια του έργου Συχνότητα (n=1000 επαναλήψεις) Πραγματική διάρκεια του έργου (σε ημέρες) Οι πληροφορίες που περιέχει το Διάγραμμα 12 είναι χρήσιμες για την εκτίμηση του κατά πόσο ο κίνδυνος καθυστέρησης του έργου είναι ανεκτός. Δεν αποκαλύπτει όμως ποιες δραστηριότητες πρέπει να επιταχυνθούν ώστε το έργο να ολοκληρωθεί πιο γρήγορα. Για το σκοπό αυτό, η προσομοίωση μπορεί να καταγράψει το ποσοστό των επαναλήψεων κατά τις οποίες η κάθε δραστηριότητα ανήκε στην κρίσιμη διαδρομή. Ο Πίνακας 5 αποτελεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας καταγραφής. Πίνακας 5: Ποσοστό επί των επαναλήψεων όπου οι δραστηριότητες ήταν κρίσιμες Α 71 % Β 5 % C 66 % D 71 % E 30 % F 30 % Πίνακας 6: Ποσοστό του χρόνου των δραστηριοτήτων που ήταν κρίσιμες, δεδομένου ότι η διάρκεια του έργου ξεπέρασε τις 15 ημέρες Α 49 % Β 3 % C 46 % D 49 % E 54 % F 54 % Οι δραστηριότητες Ε και F αποτελούν μια πιθανή κρίσιμη διαδρομή (EF) και γι αυτό έχουν ίδια ποσοστά στον Πίνακα 5. Οι δραστηριότητες A και D αποτελούν κομμάτι των διαδρομών ΑΒD και ACD, επομένως έχουν πανομοιότυπα ποσοστά. Οι δραστηριότητες B και C είναι παράλληλες, συνεπώς το άθροισμα των ποσοστών τους 19

20 (5%+66%) πρέπει να αθροίζονται σε 71%, που είναι το ποσοστό των δραστηριοτήτων A και D, επειδή βρίσκονται σε σειρά με τις B και C, εφόσον οι διαδρομές ABD και ACD δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα κρίσιμες. Όταν εξετάζουμε ποιες δραστηριότητες πρέπει να επιταχυνθούν (crashed) ώστε να μειωθεί ο συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης του έργου, πρέπει να εστιάσουμε την προσοχή μας μόνο στις προσομοιώσεις όπου η ολοκλήρωση του έργου καθυστέρησε πέραν της δεδομένης προθεσμίας. Θεωρώντας ως προθεσμία παράδοσης τις 15 ημέρες (το αναμενόμενο μήκος της κρίσιμης διαδρομής), ο Πίνακας 6 παρέχει το ποσοστό του χρόνου που οι δραστηριότητες ήταν στο κρίσιμο μονοπάτι, δεδομένου ότι το έργο χρειάστηκε περισσότερες από 15 ημέρες για να ολοκληρωθεί. Τα ποσοστά αυτά είναι διαφορετικά από τα αντίστοιχα ποσοστά του Πίνακα 5, διότι τώρα δε μας ενδιαφέρει να επιταχύνουμε διαδικασίες σε έργα που ολοκληρώθηκαν εντός της προθεσμίας τους, παρά μόνο σε αυτά που ξεπέρασαν την προθεσμία των 15 ημερών. Τα δεδομένα του Πίνακα 6 είναι χρήσιμα στον καθορισμό ποιας δραστηριότητας η επιτάχυνση θα επέφερε τη μεγαλύτερη μείωση στις καθυστερήσεις πέραν των 15 ημερών. Για μεγάλα διαγράμματα δικτύων, η προσομοίωση των χρόνων περάτωσης θα έδινε μια αθροιστική κατανομή όπως αυτή στο Διάγραμμα 12. Για τη βελτίωση της επίδοσης του δικτύου, απαιτείται η μελέτη του Πίνακα 6, ο οποίος φανερώνει ποιες δραστηριότητες κατά μέσο όρο προκαλούν καθυστερήσεις και κατά ποια ποσοστά του χρόνου. Τέλος, αν συμπιεστεί ο χρόνος ορισμένων δραστηριοτήτων, η προσομοίωση πρέπει να επαναληφθεί ώστε να επιβεβαιωθεί ή όχι η σημαντική βελτίωση στο χρόνο περάτωσης του έργου. 2.4 Επίλυση του διαγράμματος δικτύου PERT με το πακέτο WinQSB Για το συγκεκριμένο παράδειγμα, που αναπτύξαμε στην Υποενότητα 2.2 καλούμε το WinQSB/PERT_CPM/Probabilistic Pert και εισάγουμε τα δεδομένα μας, όπως φαίνεται στα Διαγράμματα 13 και 14. Διάγραμμα 13: Καθορισμός του προβλήματος ως δίκτυο PERT. 20

21 Διάγραμμα 14: Εισαγωγή των δεδομένων του προβλήματός του Πίνακα 3 Πιέζοντας το πλήκτρο λαμβάνουμε τον πίνακα υπολογισμού των χρόνων ES, EF, LS και LF, των αντίστοιχων χαλαρών χρόνων κάθε δραστηριότητας, καθώς και το μέσο και την τυπική απόκλιση έκαστης. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Διάγραμμα 15. Διάγραμμα 15: Υπολογισμός των χρόνων ES, EF, LS, LF κάθε δραστηριότητας, καθώς και του μέσου και της τυπικής απόκλισής της Πιέζοντας τα πλήκτρα, και, μπορούμε κατά σειρά να λάβουμε το διάγραμμα δικτύου και το διάγραμμα Gantt. Τα παραπάνω αποτελέσματα παρουσιάζονται στα Διαγράμματα 16 και 17. Επιλέγοντας Perform Probability Analysis από το μενού Results, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ολοκλήρωσης της κρίσιμης διαδρομής για δεδομένο χρονικό ορίζοντα, όπως φαίνεται στο Διάγραμμα 18. Διάγραμμα 16: Το διάγραμμα δικτύου του προβλήματός μας 21

22 Διάγραμμα 17: Διάγραμμα Gantt Διάγραμμα 18: Ανάλυση πιθανότητας 22

23 Διάγραμμα 19: Προσομοίωση 1000 επαναλήψεων του δικτύου PERT Τέλος, στα Διαγράμματα 19, 20 και 21 προσομοιώνουμε 1000 φορές το δίκτυο και υπολογίζουμε την αθροιστική κατανομή συχνοτήτων της διάρκειας του έργου. Διάγραμμα 20: Υπολογισμός αθροιστική κατανομής συχνοτήτων για τη διάρκεια του έργου 23

24 Διάγραμμα 21: Το γράφημα της αθροιστικής κατανομής συχνοτήτων για τη διάρκεια του έργου 2.5 Συμπεράσματα Στην παρούσα ενότητα εξετάσαμε το σχεδιασμό και τον έλεγχο έργων χρησιμοποιώντας τις τεχνικές CMP και PERT. Παρόλο που οι τεχνικές αυτές χρησιμοποιούνται ευρέως, παρουσιάζουν ορισμένες δυσκολίες, οι οποίες παρατίθενται παρακάτω: Η επιτυχής εφαρμογή της τεχνικής PERT εξαρτάται από την ικανότητα των διαχειριστών να κάνουν ακριβείς χρονικές εκτιμήσεις. Όμως και αυτές οι εκτιμήσεις παραμένουν υποκειμενικές, δεδομένου ότι γίνονται σε περιβάλλον αβεβαιότητας. Πολλές φορές είναι δύσκολος ο διαχωρισμός ενός έργου στις επιμέρους ανεξάρτητες δραστηριότητές του. Υπάρχει, επίσης, δυσκολία στον καθορισμό του χρόνου έναρξης και περάτωσης μιας δραστηριότητας και έναρξης της επόμενης. Η θεωρητική θεμελίωση του στατιστικού υποβάθρου της τεχνικής PERT έχει τεθεί υπό αμφισβήτηση. Η έρευνα συνεχίζεται για το κατά πόσον η θεώρηση της κατανομής βήτα εισάγει λάθη. Οι τεχνικές CPM και PERT, παρά τις προαναφερθείσες δυσκολίες, παραμένουν ιδιαίτερα δημοφιλείς και χρήσιμες, έχοντας ταυτόχρονα αποδειχθεί πολύ αποτελεσματικές. 24

25 ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει μια λίστα από δραστηριότητες που απαιτούνται για την ολοκλήρωση μιας μεταπτυχιακής εργασίας. Δραστηριότητα Περιγραφή Προαπαιτούμενη δραστηριότητα Αναμενόμενος χρόνος (σε εβδομάδες) A Βιβλιογραφική αναζήτηση Καμία 6 B Εύρεση θέματος Καμία 5 C Καθορισμός επιτροπής Β 2 D Επίσημη πρόταση C 2 E Επιλογή επιχείρησης A, D 2 F Έκθεση προόδου D 1 G Επίσημη έρευνα A, D 6 H Συλλογή δεδομένων E 5 I Ανάλυση δεδομένων G, H 6 J Συμπεράσματα I 2 K Προσχέδιο εργασίας G 4 L Τελικό αντίγραφο J, K 3 M Προφορική εξέταση L 1 Καλούμε το WinQSB/PERT_CPM/Deterministic CPM και δημιουργούμε το διάγραμμα δικτύου, το οποίο παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 22. Διάγραμμα 22: Διάγραμμα δικτύου 25

26 Διάγραμμα 23: Υπολογισμός των χρόνων ES, EF, LS, LF κάθε δραστηριότητας Διάγραμμα 24: Διάγραμμα Gantt 26

27 Διάγραμμα 25: Η κρίσιμη διαδρομή Από τα Διαγράμματα 23 και 25 διαπιστώνουμε ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης της μεταπτυχιακής εργασίας υπολογίζεται στις 28 εβδομάδες. Η κρίσιμη διαδρομή είναι η B C D E H I J L M. Συνεπώς, εάν ο μεταπτυχιακός φοιτητής θελήσει να μειώσει το χρονικό διάστημα ολοκλήρωσης της εργασίας του, πρέπει να εστιάσει την προσοχή του στην επιτάχυνση της περάτωσης μιας ή και περισσότερων δραστηριοτήτων που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή. 27

28 ΣΥΝΟΨΗ Το διάγραμμα δικτύου απεικονίζει τις επιμέρους δραστηριότητες ενός έργου, τα βέλη του οποίου καθορίζουν τη σειρά με την οποία πρέπει αυτές να υλοποιηθούν. Υπολογίσαμε τους χρόνους ES, LS, EF και LF για κάθε δραστηριότητα, δηλαδή τους ενωρίτερους και αργότερους χρόνους έναρξης και λήξης. Χαλαρός χρόνος είναι η διαφορά ανάμεσα στον ενωρίτερο χρόνο έναρξης ES και αργότερο χρόνο έναρξης LS για κάθε δραστηριότητα. Οι δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χαλαρό χρόνο, βρίσκονται πάνω στην κρίσιμη διαδρομή. Η μέθοδος PERT εφαρμόζεται όταν οι χρόνοι των δραστηριοτήτων σε ένα διάγραμμα είναι αβέβαιοι, παρέχοντας έτσι τη δυνατότητα να ληφθεί υπόψη η στοχαστική φύση της διάρκειας των δραστηριοτήτων αυτών. Χρησιμοποιεί έναν σταθμισμένο μέσο της εκτιμώμενης διάρκειας κάθε ανεξάρτητης δραστηριότητας για να υπολογίσει την διάρκεια αυτών. 28