תורת המשחקים (2) 80429

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תורת המשחקים (2) 80429"

Transcript

1 תורת המשחקים (2) חיים שחור סיכומי הרצאות של פרופ' סרג'יו הרט ט"ז אדר תשע"ג (שעור 1) יש תרגול ביום רביעי. יש תרגיל להגשה כל שבוע. חובה להגיש 10% מהציון הסופי. נדבר על כל מיני נושאים בתורת המשחקים. נתחיל במשחקים שיתופיים ואח"כ נעבור לדברים אחרים. רשימת הספרים גדולה מאוד כי כל פעם מוסיפים משהו, אף פעם לא מורידים. יש כל מיני מודלים שמדברים על הרכבת קואליציה, אפשר לתת כל מיני תחזיות, וכשנגיע לזה, נראה מה זה אומר. זה יכול לנתח מה רצוי לכל אחד מהצדדים, אבל לא לומר מה יקרה. 1 משחקים קואליציוניים נתחיל מדוגמא פשוטה. נניח שיש לנו 3 שחקנים (3,1).,2 בניגוד למשחקים 1, בו כל שחקן בוחר את האסטרטגיה שלו. כאן יש לנו ברון שמוכן לתת כסף. אם אחד מגיע לבד, הוא לא מקבל שום דבר. אם,1 2 באים יחד, הם מקבלים 50 ש"ח. באופן דומה,1. 3 אבל אם,2 3 באים הם מקבלים 100, ואם,1,2 3 באים יחד, הם גם מקבלים 100. המשמעות היא: יש תשלום לכל תת קבוצה של {3,1}.,2 הבעיה היא שהם צריכים להסכים על החלוקה הפנימית ביניהם. הצעה: שחקנים 2, 3 יתחלקו.50, 50 1

2 תשלום ב' תשלום א' קואליציה , , , ,2,3 באפשרות ב' האם ישנו שיווי משקל? משחק n שחקים בצורה קואליציונית: לכל תת קבוצה של שחקנים ("קואליציה"), נתון סה"כ התשלום שהם יכולים להשיג. השאלה היא כיצד לחלק את התשלומים. באופן פורמלי, קואליציה S. N אוסף הקואליציות הוא 2. N הגדרה 1.1 משחק n שחקנים בצורה קואליציונית מורכב מ [n] N, = ופונקציה ל v נקרא פונקציית,v : 2 N שמתאימה לכל S N מספר ממשי (S).v R השווי או פונקציה אופיינית,.characteristic fnc, worth fnc בד"כ נשתמש בפונקציה המקיימת = 0 ( ) v. בקיצור נסמן (v,n). בספרות קוראים לזה משחק קואליציוני או משחק שיתופי.coalitional game, cooperative game תכונות אפשריות של הפונקציה v:.v (S) v (T ) S T נקראת מונוטונית אם v. S, v (S) נקראת אי שלילית אם 0 v v נקראת סופר אדיטיבית אם עבור = T S מתקיים v (S T ) v (S) + v (T ) מונוטוניות גורר אי שליליות כי = 0 ( ) v. אם v סופר אדיטיבית ואי שלילית, אז v מונוטונית. במשחק סופר אדיטיבי (מונוטוני), (N) v הוא התשלום המקסימלי. הגדרה 1.2 וקטור תשלום,x = (x 1,..., x n ) R N כאשר x i התשלום של שחקן.i x = (x i ) i N נקרא וקטור תשלום 2

3 סביר פרטית, אם ({i}).individually rational i N, x i v יעיל אם (N) i N xi = v. (זה אפשרי, כלומר הסכום קטן מ( N ) v, ואופטימלי כי הסך גדול שווה ל ( N ) v). הגדרה 1.3 וקטור תשלום שהוא סביר פרטית ויעיל ייקרא חלוקה.imputation נסמן } (N) X (N, v) = { x R N i N, x i v (i), i N xi = v את קבוצת החלוקות במשחק (v,n). בדוגמאות א' ב' לעיל, = X (כופלים כל וקטור בסימפלקס במאה). אם נסתכל בדוגמא ב' מקודם, יש שיקולים נוספים. אם נתחיל מחלוקה (50,0),,50 שחקנים,1 3 יכולים לשת"פ ולקבל 100, ולחלק ביניהם (75,25).,0 לכן יהיה לנו תנאי נוסף לוקטור תשלום. הגדרה 1.4 וקטור תשלום ייקרא סביר קואליציונית coalitionally rational אם לכל קואליציה,S N x i v (S) i S הגדרה 1.5 קבוצת החלוקות שהן סבירות קואליציונית נקראת הליבה של המשחק { }.core C (N, v) : = x X (N, v) S N, x i v (S) = i S { = x = ( x i) i N RN S N, x i v (S) } x i = v (N) i S i N דוגמאות: 2 =,n והתשלומים = 0 (2) v v (1) = אבל = 1 2) (1,.v חלוקה היא.X = C = זהו 2.x 1 + x 2 כך שהסכום = 1 x = (x 1, x 2 ) 3 =,n והתשלום לכל S N הוא = 0 (S),v אבל = 1 (N).v זהו משחק "הפה האחד". גם כאן, 3 = C.X = 3

4 0 S {0, 1},X = 3 זהו משחק הרוב..v (S) = 1 S {2, 3} 3 =,n התשלומים אבל הפעם =.C,v (12) = v (13) = v (123) = 1.v (i) = 0 i מוכר ושני קונים.,n = 3.C = {(1, 0, ו{( 0,X = שוב 3.v (23) = 0 בדוגמא א' לעיל, יש לנו דרישות 0 1.x 3 50, x 2 50, x ומאחר והסכום צריך להיות 100, יש לנו רק (50,0),50 בליבה. x 1 + x 2 50 x 1 + x x 2 + x x 1 + x 2 + x 3 = 100 במשחק ב', מערכת המשוואות היא ומכאן נובע כי 0 1,x 3 50, x 2 0, x וזה גורר ליבה ריקה. 0 S 1 3 =,n התשלומים = 2 S.v (S) = 0.5 שוב 3 =.X בליבה 1 S = N x i + x j 1 2, i j {(.C = conv 0, 1 2, 1 ) ( 1, 2 2, 0, 1 ) ( 1, 2 2, 1 )} לכן 0.5 k.x לכן 2, 0 שבוע הבא נדבר על השאלה מתי הליבה ריקה ומתי לא. כ"ג אדר תשע"ג (שעור 2) תזכורת: אנחנו עוסקים במשחק n שחקנים בצורה קואליציונית (v,n) כאשר [n] N = ו R.v : 2 N אנו מניחים = 0 ( ).v הגדרנו וקטורי תשלום.x = (x 1,..., x n ) R N חלוקה הוא וקטור x R N המקיים i N, v (i) x i (סבירות פרטית), ו ( N ) i N xi = v (יעילות). הגדרנו (v X = X,N) אוסף החלוקות למשחק. אח"כ הגדרנו את הליבה (v C,N) שהיא כל החלוקות שהן סבירות קואליציונית. S N, v (S) i S xi 4

5 במשחק עם = 3,n,v (i) = 0, v (N) = 1 קבוצת החלוקות היא. 3 תנאי הליבה מוסיפים לנו תנאים של זוגות. x 1 + x 2 v (1, 2) x 1 + x 3 v (1, 3) x 2 + x 3 v (2, 3) מתי הליבה לא ריקה? את תנאי הליבה אפשר לסכם ולקבל 2v (1, 2, 3) = 2 ( x 1 + x 2 + x 3) v (1, 2) + v (1, 3) + v (2, 3) כלומר אם הליבה לא ריקה, בהכרח זה גורר את אי השוויון הבא: ( ) : 1 2 v (1, 2) v (1, 3) + 1 v (2, 3) v (1, 2, 3) 2 x 1 + x 2 v (1, 2) x 3 v (3) v (1, 2) + v (3) v (1, 2, 3) באופן דומה, גורר כי אם הליבה לא ריקה, זו התכונה של סופר אדיטיביות (התכונה הראשונה לא נובעת מסופר אדיטיביות, כי אפשר לבנות משחק סופר אדיטיבי שלא יקיים אותה). אפשר להגדיר סופר אדיטיביות בצורה כוללת יותר. בקואליציה בחלק מהזמן, ובקואליציה אחרת בחלק מהזמן. נניח ששחקן יכול להשתתף שחקן 1 יכול להשתתף בקואליציה {2,1} חצי מהזמן, ובקואליציה {3,1} חלק מהזמן. ניתן לבנות ככה "אוסף מאוזן של קואליציות". טענה 1.6 במשחק סופר אדיטיבי של 3 שחקנים, ( ) v).c (N, הוכחה: כיוון אחד ראינו, כיוון שני ינבע ממשחק שנראה בהמשך. אפשר גם לבנות וקטור בליבה למקרה הפרטי הזה. 5

6 הגדרה 1.7 אוסף B 2 N של קואליציות נקרא אוסף מאוזן balanced collection of coalitions אם קיימות משקלות > 0 S δ לכל S B כך שלכל שחקן i N מתקיים S B,S i δ S = 1 למשל במשחק 3 שחקנים 3}} {2,, 3} {1,, 2} {{1, = B הוא אוסף מאוזן עם 0.5) (0.5, 0.5, :,δ או {3}}, 2} {{1, = B עם 1) (1, : S.δ ( למשל 2 : S δ. אלו לא המשקלות 3, 1 3, 1 3, 1 ) {3}}, 3} {2,, 3} {1,, 2} {{1, = B עם 3 ( 3 ) 1 = 4, 1 4, 1 4, S.δ בדוגמאות הקודמות דווקא היה אוסף היחידים, אפשר גם 2 משקלות מאזנים יחיד. הגדרה 1.8 המשחק (v,n) ייקרא משחק מאוזן balanced game אם לכל אוסף מאוזן {δ S } S B מתקיים: של קואליציות B 2 N עם משקלות מאזנים δ S v (S) v (N) S B הערה 1.9 זה כולל את כל אי השוויונים של סופר אדיטיביות v (S) + v (T ) v (S T ) עבור ) = T (S כאשר.S T = N הגדרה 1.10 משחק v) (N, הוא מנורמל 0 אם = 0 (i). i N, v משחק הוא מנורמל 1 0 שלם אם הוא מנורמל 0 ו 1 = (N) v. בהינתן משחק כלשהו (v,n), נגדיר משחק ) 0,N) v ע"י S N, v 0 (S) := v (S) i S v (i) בתרגיל ניתן לראות ש( v X,N) ו ( X,N) v 0 מתקבלות זו מזו בעזרת טרנספורמציה הפיכה. ) 0 (N, v הוא משחק מנורמל.0 (S) v 1 (S) := v 0 לכל.S N זה גורר אם > 0 (N),v 0 נגדיר משחק 1) (N, v ע"י (N) v 0 כי ) 1 (N, v הוא מנורמל

7 משפט :Bondareva Shapley 1.11 הליבה של משחק (v,n) לא ריקה אם"ם המשחק (v,n) הוא משחק מאוזן. הוכחה: : נניח כי הליבה של משחק (v,n) לא ריקה, נראה כי (v,n) משחק מאוזן. יהי B אוסף מאוזן עם משקלות } S δ}, נראה כי δ S v (S) v (N) S B יהי v).x C (N, לכל i S xi v (S),S N. נסתכל על δ S v (S) δ S x i = δ S x i = δ S x i = x i S B S B i S S B i S i N S B,S i i N = x i 1 = x i = v (N) i N i N S B,S i δ S = : נניח כי המשחק (v,n) מאוזן, צריך להראות כי הליבה שלו לא ריקה. נוכיח את המשפט עבור משחקים מנורמלים 1 0. אנו מניחים = 0 (i).v (N) = 1, i, v x C (N, v) x n S N, i S x i v (S) מספיק להסתכל על S כך ש 0 > (S) v. לגבי האחרים זה נובע מ 0 i,i. x נגדיר 0} > (S),P = {S v נראה כי קיים x n כך ש S P x i v (S) S P i S i S x i v (S) 1 נגדיר משחק עזר של 2 שחקנים סכום אפס Γ באופן הבא: שחקן I בוחר i. N שחקן II בוחר P ) S P כי.(N P התשלום (מII ל I ) יהיה 1 i S h (i, S) := v (S) 0 i / S אסטרטגיה מעורבת של שחקן I הוא x, n והתשלום הוא h (x, S) = i N x i h (i, S) = i S 7 x i 1 v (S)

8 x C אם"ם x היא אסט' מעורבת של I כך שלכל אסט' S של II מתקיים.λ = v (Γ) לכן הליבה לא ריקה אם"ם 1.h (x, S) 1 נשים לב כי > 0 λ, כי אם שחקן I מערב ממש, הוא מבטיח תשלום חיובי (כל קואליציה ששחקן II יבחר תכיל לפחות שחקן אחד). שתבטיח שהתשלום קטן מ λ y אסטרטגיה מעורבת II כלומר, יש לשחקן v, (Γ) = λ (משפט המינימקס), ז"א יש לכל y S 0,S P כך ש 1 = S S P y, ולכל אסט' h (i, y) = S P טהורה של,I כלומר לכל,i N מתקיים.h (i, y) λ y S h (i, S) = S P,S i y S 1 v (S) λ i N i N S P,S i S P,S i y S 1 v (S) λ y S λv (S) 1 כלומר y S ר"ח ניסן תשע"ג (שעור 3) נרצה לייצר אוסף מאוזן מאי השוויון הקודם. נסמן 0 = S δ. יש לנו שתי λv (S) בעיות: קודם, יש לנו אי שוויון. חוץ מזה, אנחנו צריכים להראות כי > 0 S δ. נגדיר δ {i} := 1 S P,S i δ S 0 לכל,i N נגדיר } 0 > {i} B := {S P δ S > 0} { {i} i N, δ (נזרוק מהאוסף P בצירוף 1 S B δ S v (S) = S P i N, S B,S i הקבוצות {i} את אלו עם המשקלות 0). B הוא אוסף מאוזן עם המשקלות } S δ} כי δ S = δ S + δ {i} = 1 S P,S i כאשר המעבר הראשון מוסיף אפסים, והמעבר השני מהגדרת {i} δ. לכן = 1 (N) S B δ Sv (S) v כי המשחק מאוזן. אבל δ S v (S)+ i N δ {i} v (i) = S P 8 y S λv (S) v (S) = 1 λ y S = λ 1 1 S P

9 לכן 1 λ, וזה כאמור גורר שהליבה לא ריקה. הגדרנו בשבוע שעבר אוסף מאוזן. את התנאי > 0 S δ אפשר להחליף עם 0 S δ, ואז אפשר להכניס ל B את כל (N) P. ההגדרה B אוסף מאוזן עם משקלות > 0 S δ שקולה להגדרה כי יש משקלות 0 S δ לכל S, N כך ש ( ) i N, δ S = 1 S i והשקילות מתאפשרת ע"י = 0 S δ לכל.S / B הגדרה 1.12 לכל קואליציה S, נגדיר את הווקטור האופייני של R n 1 S S ע"י 1 i S 1 i S := 0 i / S כעת התנאי ( ) שקול ל S N δ S1 S = 1 N. משחק v) (N, ייקרא מאוסן כאשר לכל,{δ S } δ S 1 S = 1 N δ S v (S) v (N) S N S N יש הרבה דברים שניתן לומר על הליבה ואוספים מאוזנים. ניקח מודל כלכלי פשוט ונראה שיש לו קשר חזק לנושא הליבה. 2 משחקי שוק Market Games (שווקים קוואזי לינאריים). יש מוצרים בשוק. יש אנשים סוחרים (לא במובן המקצועי) שיש להם מוצרים. מודל השוק: קבוצה סופית n} N = {1,..., של סוחרים. קבוצה סופית L של מוצרים. 9

10 לכל סוחר,i N יש סל מוצרים התחלתי + L a i k 0.ai R היא הכמות ההתחלתית של מוצר k שנמצאת אצל סוחר i (ביחידות המוצר). לכל סוחר u i : R L + R,i N שנקראת פונקצית התועלת של.(utility)i עבור סל + L u i (x),x R הוא התועלת של i מהסל.x שיווי משקל תחרותי (עם כסף) (שמ"תכ). p = (p 1,..., p l ) R L הוא וקטור המחירים. לכל מוצר k L יש מחיר.p k בהינתן וקטור מחירים p. R L כל סוחר i N בוחר סל מוצרים טוב ביותר u i (x) עבורו. אם הסל הסופי של i הוא x, הוא רוצה למקסם את l ( ) p k xk a i k = u i (x) p, x a i k=1 { arg max u i (x) p, x a i } x R L + לכן אוסף הסלים הטובים ביותר הוא.x arg max x R L + {u i (x) p, x a i } אם demand p במחירים i ייקרא ביקוש של x i R L + סה"כ הביקוש הוא i N xi. סך ההיצע supply הוא i N ai. סך ההיצע שווה לסך הביקוש (בשיווי משקל). ) ( כך ש x i וקטורי ביקוש, וסך הביקוש שווה לסך ההיצע. לכן שמת"כ הוא p, (x i ) i N הערה 2.1 i p, a קבוע, עדיין הכנסנו אותו, כי i p, x a הוא התשלום שישולם בפועל. נסתכל על מודל מתמטי שקול מודל ייצור. קבוצה סופית [n] N = של יצרנים.producers קבוצה סופית [l] L = של חומרי גלם. לכל יצרן,i ווקטור התחלתי של חומרי גלם + L.a i R לכל יצרן.u i : R L + R,i לכל סל של חומרי גלם + L i,x R מייצר (x) u i יחידות של המוצר הסופי ("כסף"). 10

11 שיווי משקל תחרותי כלכלי: וקטור מחירים.p R L לכל יצרן x i R L,i N ייקרא ביקוש של i במחירים,p אם i x.arg max x R L + {u i (x) p, x a i } סך ההיצע שווה לסך הביקוש. ( p, (x i ) i N באותם תנאים. המודל המתמטי זהה. ) כעת שוו"מ יהיה שוב v (1, 2) = מה זה שייך למשחקים? מה יצרן i יכול לקבל לבד? ) i u. i a) מה יצרנים,1 2 יכולים לעשות לבד? { max ( u 1 x 1) + u ( 2 x 2)} x 1,x 2 R L +,x1 +x 2 =a 1 +a 2 לכל קואליציה S N נגדיר (S) v בתור מקסימום הייצור הכולל של השחקנים ב S : v (S) := max i S u i ( x i) s.t. x i = a i, x i R L + i S i S כך הגדרנו משחק קואליציוני (v,n) מתוך השוק שלנו. ח' ניסן תשע"ג (שעור 4) למשחק השוק )) i (a i R L +, u i : R L + R) (N, L, (a i ), (u נוסיף שתי הנחות:.1 לכל,i N הפונקציה u i רציפה..2 לכל i N הפונקציה u i קעורה, כלומר לכל + L x, y R ו [ 1 [0, λ מתקיים u i (λx + (1 λ) y) λu i (x) + (1 λ) u i (y) משחק השוק הנגזר הוא (v,n), כאשר לכל קואליציה S, N v (S) = max u ( i x i) s.t. x i = a i, i S : x i R L + i S i S i S טענה 2.2 אם u i רציפה המקסימום מושג. 11

12 הוכחה: זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית (עם המגבלה על x i ). משפט 2.3 אם (v,n) משחק שוק, הליבה שלו לא ריקה. הוכחה: נוכיח ש ( v,n) משחק מאוזן. יהי B 2 N אוסף מאוזן עם משקלות } S δ}, > 0 S.δ אזי i N, δ S = 1 S B,S i δ S v (S) v (N) S B צריך להוכיח כי.(y i S ) i S ז"א לכל S, נסמן את פתרון בעיית המקסימיזציה ע"י v (S) = i S ys i = i S i S ys i R L + u ( ) i ys i a i z i := δ S ys i S B,S i נגדיר לכל,i N אזי + L z i R (כי + RL ys i ו 0 > S.(δ z i = δ S ys i = δ S ys i = δ S ys i = δ S a i = i N i N S B,S i S B i S S B i S S B i S = δ S a i = δ S a i = a i δ S = a i S B i S i N S B,S i i N S B,S i i N לכן, v (N) = max x n u ( i x i) i=1 n u ( i z i) i=1 12

13 u i ( z i) = u i ( S B,S i δ S y i S ) S B,S i δ S u ( ) i ys i כמו כן, בשל קעירות u i והעובדה כי δ S הם מקדמים חיוביים שסכומם 1. לכן v (N) n u ( i z i) δ S u ( ) i ys i = δ S u ( i ys) i = i=1 i N S B,S i S B i S = δ S u ( ) i ys i = δ S v (S) S B i S S B דוגמא: [3] =,N u i (x) =.a 1 = (2, 0), a 2 = (0, 2), a 3 = (1, 1).L = {1, 2}.u i (x 1, x 2 ) = x 1 x 2... כ"ט ניסן תשע"ג (שעור 5) a i R L +,(a i ) i N תזכורת: שוק מורכב מ N שחקנים, L סחורות, מתת התחלתית u i : R L + R,(u i ) i N ומניחים u i רציפה וקעורה. ופונקצית תועלת משחק השוק הוא (v,n), כאשר לכל S N v (S) := max u ( i z i) s.t. z i = a i i S, z i R L + i S i S i S טענה 2.4 משחק שוק הוא משחק מאוזן הליבה לא ריקה. z i R L +,(z i ) i N כך ש: שיווי משקל תחרותי עם כסף הוגדר ע"י p R L והקצאה [ z i arg max u i (y) p, ( y a i) ] y R L + z i = a i i N i N x i := u i (z i ) p, (z i a i ) נגדיר i N ש.מ.ת.ע.כ., לכל ( p; (z i ) i N ) משפט 2.5 יהי.(N, v) נמצא בליבה של משחק השוק x = (x i ) i N (התשלום של i בש.מ.ת.ע.כ.) אזי 13

14 הוכחה: צריך להוכיח לכל i S xi v (S),S N וכן (N) i N xi v. x i = [ ( u i z i) p, ( z i a i) ] = u ( i z i) p, z i + p, a i = i N i N i N i N i N = u ( i z i) v (N) i N z i, ואי השיוויון מכך ש ( N ) v היא,(y i S ) i S כלומר כאשר המעבר השני נובע מכך ש a i = מקסימום על חלוקות כמו ) i z). כעת, תהי קואליציה S. N נניח כי (S) v מושג ע"י v (S) = i S ys i = i S i S u ( ) i ys i x i = u i ( z i) p, ( z i a i) u i ( y i S a i (הכל ב + R). L מתנאי השיווי משקל נובע כי ) p, ( y i S a i) x i i S i S לכל.i S לכן u ( ) i ys i p, ys i + p, a i = v (S) i S i S להכללות של המשפט הזה קוראים "משפט הרווחה הראשון", ומשמעותה היא ששיווי משקל בו כל אחד מבצע את האופטימיזציה שלו והשוק מתנכה, כולם מרוצים (כולל כל הקואליציות). אם היינו מראים שקיים שיווי משקל זה היה הוכחה לכך שהליבה לא ריקה. בדוגמאות נראה כי בהרבה מקרים הליבה גדולה מאוסף שיוויי המשקל. אם מספר הסוחרים הולך וגדל, ותחת תנאים מסויימים (כולם בגודל סביר אין למישהו נתח שוק משמעותי), הליבה הולכת וקטנה, ובגבול נשאר רק שיווי המשקל. מה קורה אם מסתכלים על תת קבוצה של סוחרים? נצטמצם לתת קבוצה T N של סוחרים. ז"א נסתכל במשחק (v,t). v 2 T ),T) גם זה משחק שוק, ולכן הוא מאוזן. מסקנה 2.6 משחק שוק מאוזן, וגם כל תת משחק שלו מאוזן. 14

15 אם v) (T, מאוזן, זה אם"ם לכל אוסף מאוזן עבור T המקיים S δ S1 S = 1 T עבור 0 S δ מתקיים δ S v (S) v (T ) S T הגדרה (v 2.7,N) הוא משחק מאוזן לחלוטין totally balanced אם כל תתי המשחקים שלו מאוזנים, ז"א (v,t) מאוזן לכל T. N 4 S = 4 דוגמא: עבור = 4, N ו 3 = 2, S.v (S) = 2 אנו יודעים כי הוקטור 0 S = 0, 1 C (1,1),,1,1 כלומר המשחק מאוזן. האם הוא מאוזן לחלוטין? לא. עבור 3 1, 2, = T המשחק הוא = 2 3) (1, 2, v v (1, 2) = v (2, 3) = v (2, 3) = אולם נסתכל על משחק סימטרי ( S ) v. (S) = f המשחק מאוזן אם"ם k f (n) n f (k) לכל [n] k. כלומר הגרף של הפונקציה f נמצא מתחת לישר מהראשית ל (( n ),n). f זה כמו קמירות של פונקציה, רק שהוא מופעל רק על המיתר בין,0. n משחק סימטרי יהיה מאוזן לחלוטין אם"ם k m n מתקיים f (k) k m f (m) האם זה דורש ש f קמורה? לא. זוהי רק דרישת קמירות לראשית (למשל, נתחיל עם פונקציה קמורה עד נקודה מסויימת, ומשם נמשיך בישר המקביל לישר מהראשית). משפט 2.8 (שאפלי שוביק, (N, v) (1969,Shapley-Shubik מאוזן לחלוטין אם"ם v) (N, משחק שוק. הוכחה: כיוון אחד הראינו. נראה שאם משחק מאוזן לחלוטין קיים שוק שמייצר אותו. נניח (v,n) משחק מאוזן לחלוטין. נגדיר את השוק הבא (השוק הישיר direct 15 :(market N = קבוצת הסוחרים.

16 N = קבוצת הסחורות. לכל.a i := e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) = 1 {i},i N u (x) = max S N α S v (S) s.t. לכל,u i u,i N כאשר α S 1 S = x, α S 0 S N טענות: כלומר, לוקחים את + N x R ומחשבים אותו כקומבינציה לינארית אי שלילית של 1 N 2 הקואליציות, ולכל צירוף לינארי מחשבים את הערך, וממקסמים. 1. הפונקציה u מוגדרת היטב כי המרחב של α S הוא 1 N 2 ממדי, והאילוצים שלי הם של שוויון או אי שוויון חלש, לכן אנחנו ממקסמים פונקציה לינארית ולכן רציפה על קבוצה סגורה וחסומה והמקסימום מושג. 2. u פונקציה רציפה (תרגיל קשה לכתוב מדוייק, אבל עבור סדרה שואפת (m) α נקבל את S (m) α. בתת סדרה מתכנסת של S ל x x, (m) וסדרות של המקסימום עבור x..3 (x) u (λx) = λu עבור > 0 λ ו + x R N (אם נשים באילוצים,λx נקבל α S פי λ, והמקסימום יהיה באותה נקודה)..4 לכל + N u (x + y) u (x) + u (y),x, y R (ניתן למקסם עבור x ועבור y ע"י משקלות α S ו β, S המקסימום הוא לפחות כמו המשקלות α): S + β S נניח כי המקסימום מושגים ב(,(α S ), (β S כלומר u (x) = α S v (S), α S 1 S = x u (y) = β S v (S), β S 1 S = y γs 1 S = α S 1 S + β S 1 S = x + y אזי נגדיר γ S = α S + β S ונקבל u (x + y) γ S v (S) = α S v (S) + β S v (S) = u (x) + u (y) ולכן 16

17 .5 u פונקציה קעורה: יהי 1] [0, λ אזי u (λx + (1 λ) y) u (λx) + u ((1 λ) y) = λu (x) + (1 λ) u (y) 1 S = T = S α נקבל 0 o.w. בעזרת טענות, לכל u (1 T ) = v (T ),T N כי בעזרת u (1 T ) 1 v (T ) = v (T ) α S 1 S = 1 T, α S 0 S T כמו כן, נניח כי זה גורר (מהיות המשחק מאוזן לחלוטין) כי αs v (S) v (T ) { } u (1 T ) = max αs v (S) v (T ) α S ולכן גם (נשים לב כי לקואליציות עם שחקנים שאינם ב T בהכרח מקבלים משקל = 0 S α לצורך תנאי האיזון, ולכן אפשר להסתכל על R T במקום R). N יהי (vˆ,n) משחק השוק הנוצר (מהשוק הישיר הנ"ל). נרצה להראות vˆ. = v אכן: ˆv (T ) = max u ( i z i) s.t. z i = a i, z i R N + i T i T i T במקרה שלנו נקבל u ( i z i) = i T i T u ( ( ) ( ) ( ) z i) u z i = u a i = u 1 {i} = u (1 T ) = v (T ) i T i T i T לכן ) (T ˆv (T ) = max {...} v כי כל ביטוי בתוך המקסימום הוא ) (T.v 17

18 i T := 1 i.z אזי בכיוון ההפוך, לכל i T נגדיר T 1 T z i = 1 T = a i i T i T ( ) ( ) 1 u i z i = T u T 1 T = u (1 T ) = v (T ) ולכן ) (T.ˆv (T ) v לכן vˆ = v ז"א v הוא אכן משחק שוק משחק השוק הנוצר ע"י השוק הישיר. מה עשינו כאן? לקחנו את הערכים של v ושמנו בקודקודי הקובייה, והרחבנו אותה ל u בצורה שהיא הומוגנית וסופר אדיטיבית. זה אפשרי בשל העובדה שהמשחק מאוזן לחלוטין. זו ההרחבה המינימלית. 3 שליטה ופתרון י"ג אייר תשע"ג (שעור 6) 3.1 הגדרות יהי v) (N, משחק. נניח x, y R N וקטורי תשלום. הגדרה x 3.1 שולט Dominates על y דרך הקואליציה S אם:.i S לכל x i > y i.1. i S xi v (S).2 המשמעות חברי S יכולים להשיג את x, וכל אחד מהם מעדיף את x על פני y. נסמן.x S y הגדרה 3.2 נאמר ש x שולט על y אם קיימת קואליציה S כך ש y x. S טענה 3.3 הליבה היא קבוצת כל החלוקות שאינן נשלטות ע"י אף וקטור תשלום. ( 1 x y אזי y = 3, 1 3, 1 ) דוגמא: משחק הרוב עם 3 שחקנים. (0,0.5),0.5 = x ו 3 דרך הקואליציה {2,1} אבל לא דרך {1} לבד. 18

19 הוכחה: כיוון אחד, אם y חלוקה, וקיימים,x S כך ש y x, S i S x i > y i y i < x i v (S) i S i S כלומר.y / C בכיוון השני, נניח y / C חלוקה. קיימת קואליציה S כך ש y i < v (S) i S ( ε = 1 v (S) ) y i > 0 S i S יהי נגדיר x i := y i + ε לכל.i N נקבל.x S y הערה 3.4 במקרה זה קיבלנו x שאינו חלוקה. ניתן לקבל x S y כך ש x חלוקה אם y i + ε = i x כאשר v (i) + δ 0 δ = ( ) v (S) + i S i / S j N\S v (j) v (N) המשחק מקיים (חלק מתנאי סופר אדיטיביות). כי אז ניתן להגדיר 1 v (N) v (S) N S i N\S v (i) מסקנה 3.5 אם המשחק סופר אדיטיבי, ולכן ( ) מקיים, אזי הליבה היא קבוצת כל החלוקות שאינן נשלטות ע"י אף חלוקה. הערות:.x S y y S z x S z טרנזיטיבי. כלומר S.1 19

20 2. אינו טרנזיטיבי. למשל במשחק הרוב עם 3 שחקנים, ( 2 3, 1 ) ( 1 3, 0 {1,2} 3, 0, 2 ) ( {1,3} 0, 2 3 3, 1 ) ( 2 {2,3} 3 3, 1 ) 3, 0 }{{}}{{}}{{}}{{} a b c a אולם הוא אנטי רפלקסיבי. גם a b c אולם,a c ואלו.c a נדבר מכאן ואילך על (v,n) ס"א. ננסה להגדיר את ה"שמיבה" כקבוצת כל החלוקות שאינן נשלטות ע"י אף חלוקה בשמיבה. מתי קבוצה K X של חלוקות היא שמיבה?.1 כל x K לא נשלט ע"י אף.y K (א) זה שקול ל לכל x y,x, y K (יציבות פנימית)..2 כל x / K נשלט ע"י איזה שהוא.y K (א) זה שקול ל לכל x / K קיים y K כך ש x y (שליטה חיצונית). הגדרה 3.6 קבוצה K X נקראת פתרון solution פון נוימן מורגנשטרן, או קבוצה יציבה stable set אם היא מקיימת יציבות פנימות (א) ושליטה חיצונית (ב). הגדרה 3.7 לכל חלוקה x ולכל S נגדיר y}.dom S x := {y X x S כעת Dom (x) := S Dom S (x) = {y X x y} נגדיר Dom (K) := Dom (x) x K ולסט K X נגדיר כלומר K היא פתרון אם"ם (K) K, = X\Dom כלומר היא נקודת שבת של האופרטור.ϕ (A) = X\Dom (A) מסקנה 3.8 אם K פתרון, C K כי החלוקות בליבה לא נשלטות. 20

21 נתון משחק, מהם הקבוצות היציבות? יש הרבה קבוצות יציבות. חיתוך או איחוד שלהם לא חייב להיות יציב. בעיה פתוחה מימי פון נוימן עד שנות ה 70, האם לכל משחק יש פתרון? מסתבר שלא. אפשר להראות שעבור =,4,5 6 n תמיד יש פתרון. עבור = 2,n יש משחק מנורמל יחיד = 1 2) (1, v.c = X = 2.v (i) = 0, והוא הפתרון היחיד. עבור = 3 n ומשחק "פה אחד", שוב 3 = X C = ולכן שוב זה הפתרון היחיד. למה אין שום שליטה? מהתנאי x i > y i ו ( S ) x i v נקבל (S) y i < v. אולם 0 i y, לכן אין לנו אפשרות לשלוט. מסקנה 3.9 אי אפשר לשלוט על חלוקה דרך קואליציה N, ולא דרך קואליציות = S.1 < S < n היא כאשר S לכן שליטה דרך,{i} = 3,n משחק הרוב. 3 =,X.C = מהם הפתרונות? נסתכל על הקבוצה. 3 עבור,x X מהו (x)?dom {1,2} צריך,x 2 > y 2,x 1 > y 1 ו 1 = 2) (1, v.x 1 +x 2 התנאי האחרון מתקיים אוטומטית. נשארנו עם 2}.Dom {1,2} (x) = {y : y R 2< x R במשולש, 3 זוהי המקבילית המורכבת מהקודקוד (001), צלעות הסימפלקס והקודקוד Dom {2,3} ו ( x ) Dom {1,3} (x) וסגור בצלעות שליד.(001,x בצלעות שליד (פתוח x מוגדרים באופן דומה. סה"כ כדי לקבל את (x),dom ניקח את שלושת הקוים המקבילים לצלעות הסימפלקס ולוקחים את המקביליות (ולא את המשולשים) הנוצרות. מכאן אפשר לבדוק בוודאות האם הליבה ריקה. נניח K פתרון K, נקודה בודדת לא יכולה לקיים שליטה חיצונית..2 K.x y,x, y הקו דרך x, y (נסמן (xy מקביל לאחד הבסיסים. אחרת.y x או x y > 2 3. K כי שתי נקודות על אותו קו מקביל לאחד הצירים, לא שולטות על הנקודות האחרות על הקו. 4. נחלק לשני מקרים: (א) כל הנקודות של K על קו ישר אחד. אנחנו חייבים לקחת את כל הקו, כי אין לנו שליטה על כל הקו. ברור כי כל מה שמעל לקו נשלט ע"י הקו (אם נזוז על כל הקו). מתחת לקו, עשוי להיות משולש בלתי נשלט אם הקו גבוה 21

22 מדי. אם הקו נמצא מתחת לחצי נקבל שהמשולש יעלם (אם הקו נמצא בדיוק בחצי, הנקודה האמצעית בקו התחתון לא תישלט). (ב) לא כל הנקודות של K על קו ישר אחד. אנו יודעים כי 3 K. יהיו,x,y z K שונות. כל זוג נקודות ביניהם הוא על ישר המקביל לצירים. אם נסתכל על,x y במקום מסוים על אותו ישר, יש שתי אפשרויות למקם את z. מעל הישר או מתחתיו. כלומר יש לנו פתרון מהסוג =: i,c K.0 c ולכל < 1 2 i לכל = 1, 2, 3 {x X xi = c} i. קונפיגורציה,x,y z A, על משולש בכיוון של. 3 לא ניתן להוסיף עוד נקודות.,x,y z מקיימות יציבות פנימית, אבל המשולש הפנימי xyz אינו נשלט. כלומר {z,x},y אינו פתרון..ii קונפיגורציה,x,y z B, על משולש הפוך בתוך. 3 נשארו שלושה משולשים במרכזי הצלעות, אם נדחק את,x,y z עד לצלעות,)} נקבל כי 1 K 0 = 2, 1 ) ( 2, 0, 0, 1 2, 1 ) ( 1, 2 2, 0, 1 )} כל המשולש חוץ מהם נשלט, והאוסף 2 הוא פתרון. זה נקרא הפתרון הסימטרי. הפתרון מגדיר סטנדרט התנהגות יציב בחברה, שאם כולם מאמינים בו, הוא יישאר הסטנדרט. יש פתרון סימטרי, או אפלייתי מוציאים את אחד השחקנים החוצה, ושני השחקנים האחרים מסכמים ביניהם, כשמאמינים שהוא אף פעם לא יקבל יותר. כ' אייר תשע"ג (שעור 7) הגדרנו x S y ו y.x הגדרנו כי K X פתרון אם"ם, x, y K, x y וגם. x K, y K, y x באופן כללי יכול להיות יותר מפתרון אחד, או שאין אף פתרון (הדוגמא הכי קטנה 7 שחקנים). דוגמא: = 3, N מוכר ושני קונים. = 1 3) (1, 2, v v (1, 2) = v (1, 3) = ואחרת.C = {(1, 0, 0)} אזי.v (S) = 0 נשים לב כי עבור 3 x נקבל } y,dom {1,2} x = { y x {1,2} כלומר x 1 > y 1 x 2 > y 2 x 1 + x 2 v (1, 2) = 1 האחרון הוא תנאי ריק כי אנחנו מדברים על חלוקות. לכן זה מקבילית מ x לקודקוד 1).(0, 0, באופן דומה Dom {2,3} x הוא המקבילית לקודקוד 0).(0, 1, בניגוד לדוגמא 22

23 הקודמת, אין לנו מקבילית לקודקוד השלישי. פתרון יהיה קו רציף מהקודקוד (0,1),0 עד לבסיס = 0 1 x, כך שהשיפוע הוא בתחום )} ±30. לקו התיכון של המשולש יש } ) t t, t 2, 1 או המשוואה.x 1 = x 2 גם הצלע הכי פרמטריזציה של 1] [0, t 2 ימנית היא פתרון, והפרמטריזציה שלה היא 1]} [0, t t, t, 0) {(1 או המשוואה = 0 3 x. אפשר גם ללכת ישר למטה, ואז לשבור בזוית של 30. בהתחלה ככל שהראשון מקבל פחות, הם מתחלקים בשווה, ובשלב מסויים הכל הולך לשני. {( 1 t, f 2 (t), f 3 (t) ) t [0, 1], f 2 (t) + f 3 (t) = t, f 2, f 3 monotonic increase } המונוטוניות חשובה כי לשחקנים,2 3 יש זהות אינטרסים לקבל יותר משחקן 1. אם יש להם זהות אינטרסים על כלל חלוקה כלשהו (t) f 2 (t), f 3 מונוטוניות, יש לשניהם אינטרס להוציא ביחד כמה שיותר משחקן 1. כלומר פתרון הוא קואליציה בין,2 3 מול 1, וחלוקה של התשלום של הקואליציה {3,2} בין 2 ל 3 באופן מונוטוני (כלומר כאשר הסה"כ גדל, כל אחד מקבל יותר במובן החלש). 3.2 משחקי רוב משוקלל הגדרה 3.10 משחק v) (N, נקרא פשוט אם לכל.v (S) {0, 1},S N במשחק פשוט S קואליציה מנצחת אם"ם = 1 (S).v דוגמא למשחקים פשוטים היא משחק הרוב המשוקלל.weighted majority games.w i > 0,(w i ) i N רוב > 0.q המשחק המשחק מוגדר ע"י [n] N, = אוסף משקלות 1 i S v (S) = wi q 0 o.w. מוגדר ע"י נסמן את המשחק ע"י ] n.[q; w 1, w 2,..., w המשחק 1] [3; 1, 1, הוא משחק פה אחד. המשחק 1] [2; 1, 1, או 2] 50; 49; [51; הוא משחק הרוב. נסמן 1} = (S) W := {S v ו { 0 = (S).L := {S v משחק פשוט הוא חזק strong אם S. W N\S L משחק הרוב על 3 שחקנים הוא חזק. משחק פה אחד אינו חזק כי L {3}, {2,1}. דרך אחרת לרשום את הקריטריון היא = 1 (N\S).v (S) + v במשחק רוב משוקלל, אם S W ו S T אז.T W אם S L ו L T אז T L המשחק מונוטוני. 23

24 נגדיר S מנצחת מינימלית אם S W ולכל.T L,T S נסמן ב W m את אוסף הקואליציות המנצחות המינימליות. במשחק מונוטוני נקבל } m.w = {T S T, S W הצגה ] n [q; w 1,..., w של משחק רוב משוקלל נקראת הצגה הומוגנית אם לכל S w i = q i S,W m יש משחקי רוב משוקלל שאין להם הצגה הומוגנית. למשל [1 ;5],2,2,2,1 (תרגיל). הגדרה 3.11 משחק רוב משוקלל נקרא הומוגני, אם יש לו הצגה הומוגנית (הצגה הומוגנית היא יחידה עד כדי הכפלה בקבוע ושחקני דמי). משפט NM) 3.12 V) יהי משחק רוב משוקלל חזק והומוגני, ותהי [( i ;q] w) הצגה הומוגנית שלו. לכל S W m נגדיר y S R N ע"י w i i S ys i := q 0 i / S תהי } m,k := {y S S W אזי K פתרון. דוגמא: עבור [1 ;2],1,1 (חזק והומוגני), W m {1, 2} {1, 3} {2, 3} y S {( }}{ 1 2, 1 ) 2, 0 ( 1 2, 0, 1 ) 2 ( 0, 1 2, 1 ) 2 }{{} כבר ראינו שזהו הפתרון הסימטרי. המשחק [1 ;3].,2,1,1 האם זה משחק חזק? כן, יש לנו 5 קולות שלמים, והרוב הוא 3, לכן המשלים של קואליציה מנצחת הוא לכל היותר 2, והמשלים של כל קואליציה 24

25 מפסידה הוא לפחות 3. הקואליציות הזוכות הן W m i S wi y S { 2 {1, 2} 3 3, 1 } 3, 0, 0 { 2 {1, 3} 3 3, 0, 1 } 3, 0 { 2 {1, 4} 3 3, 0, 0, 1 } 3 { {2, 3, 4} 3 0, 1 3, 1 3, 1 } 3 {y S } S Wm הוא פתרון. המשחק הוא הומוגני, לכן האוסף הוכחה: קל לראות כי.K X לכל y i S v (i),s W m (אם = 0 (i),v זה ברור..( wi q כלומר = 1 wi = q Wומתקיים m = {{i}} אם = 1 (i) v, מהיות המשחק חזק, כמו כן, i N y S i = i S w i q + 0 = q q = 1 i/ S כי S W m ואנחנו בהצגה הומוגנית. K מקיימת יציבות פנימית: נניח בדרך השלילה כי יש שליטה בתוך K, ז"א קיימים S, T W m ו N U כך ש.y S U y T לכל y i S > yi T 0,i U ואז v (U) i U y i S > 0 ולכן = 1 (U),v כלומר.U W כמו כן, לכל,yS i > 0 i U ולכן i S (עבור i / S y S S { כלומר y T } נקבל = 0 i.(ys ז"א,U S אבל S W m ו W,U לכן.U = S w i ז"א. i S, ys i > yi T אולם, לכל,i N ו {,K {S, T מתקיים, 0 q,yk i.i S לכל yt i כלומר = 0.yi T = ו 0 yi S = wi ואי שוויון חזק יכול להתקיים רק אם q כלומר.S N\T אולם,S W ו L N\T כי T W והמשחק חזק. הגענו לסתירה במונוטוניות. wi או 0). לכן בדרך קצרה יותר: לכל,yi S > yi T,i U לכן = 0 T i) yi מקבל רק q.t W N\T L U L אבל,U N\T לכן.i N\T כלומר,i / T 25

26 כ"ז אייר תשע"ג (שעור 8) K מקיימת שליטה חיצונית: תהי x / K חלוקה. נגדיר } T := {i N x i < wi q אם,T W קיים S T כך ש.S W m אזי K y S S x כי i S ys i = i S i S y i S = wi q > xi w i q = 1 = v (S) אם,T / W אזי N\T W וקיימת S N\T כך ש.S W m מתקיים לכל i S x i wi (כי,(S N\T לכן q כי 1 = i N x i = i S x i + i/ S x i i S w i q + 0 = 1 i/ S זה אומר שכל אחד מאי השוויונות הוא שווה. כלומר i S x i = wi q i / S x i = 0 ז"א,x = y S K אבל הנחנו כי.x / K 3.3 משחקי BOT T 1 S k.v (S) =, n 0 S < k צריך לפחות k כדי לנצח. כלומר 2 < k n שחקנים. n למשל (2,3) הרוב בין 3 שחקנים. או (3,5) הרוב של 2 שחקנים. אלו משחקים חזקים ומשפט פון נוימן מורגנשטרן מתייחס אליהם, אולם (4,5) הוא משחק לא חזק, או משחק פה אחד (5,5). במשחק (5,7) יש שתי קואליציות חוסמות מינימליות ועוד שחקן בודד. שתי הקואליציות החוסמות הן מנצחות ביחד. בעצם מתקיים משחק פה אחד בין שתי הקואליציות. לכן כל חלוקה בין שתי הקואליציות אפשרית, ובתוך הקואליציות כולם מתחלקים בשווה. כלומר 0) β, (α, α, α, β, β, כאשר 0 β α, 26

27 ו 1 = (β α) + 3 (עד כדי תמורה על השחקנים). כלומר כל החלוקות של 7 לשתי קואלציות של (1 3 + k b) = n ושחקן עודף. כאשר שחקני קואליציה אחת מקבלים β. ושחקני קואליציה שניה מקבלים α כשמוצאים פתרון זה טוב, אבל קשה מאוד למצוא את זה. היום יודעים את כל הפתרונות לכל המשחקים עד 5 שחקנים. שאפלי טען שאפשר לבנות את המשחק סביב הפתרון. 4 ערך שאפלי נניח שאני נכנס למשחק הרוב של 3 שחקנים, אני מצפה בממוצע לקבל שליש. יכול להיות שאף פעם לא אקבל שליש (האפשרויות הן ), 1, 0 אבל זה יהיה הממוצע. רוצים 2 להתאים לכל משחק (v,n) ולכל שחקן i N "ערך" כלשהו. מה יהיו דרישות סבירות על הערך? סבירות פרטית לפחות (i) v. סכום הערכים הוא (N) v. סימטריה (אם יש סימטריה במשחק, היא תישמר בפתרון). שחקן אפס (מי שלא תורם לא מקבל). נקבע ביחידות. מונוטוניות (בין משחקים,u). v נקבע N. נסתכל על כל המשחקים (v,n). Γ N := { (N, v) v : 2 N R, v ( ) = 0 },i N כאשר לכל ϕ (N, v) = (ϕ i (N, v)) i N אנחנו מחפשים ϕ : Γ N R N כאשר.(N, v) במשחק i הוא הערך של שחקן ϕ i (N, v) R האקסיומות ש ϕ תקיים:.1 יעילות (N) i Nϕ i (N, v) = v. 27

28 2. סימטריה \ יחס שווה equal treatment אם,i j N הם שחקנים חליפיים substitutes במשחק v).ϕ i (N, v) = ϕ j (N, v),(n, שחקנים i, j חליפיים אם לכל j}.v (S {i}) = v (S {j}),s N\ {i,.3 שחקן אפס אם i N שחקן אפס במשחק v) (N, (כלומר לכל {i},s N\.ϕ i (N, v) אזי = 0,(v (S {i}) = v (S).4 אדיטיביות w).ϕ i (N, v + w) = ϕ i (N, v) + ϕ i (N, משפט 4.1 (שאפלי, 1953): קיים ϕ אחד ויחיד המקיים את ארבע האקסיומות 1. 4 הוכחה: יחידות: נניח כי ϕ, ψ : Γ N R N שתי פונקציות המקיימות,1 4 צ"ל.(N, v) לכל ϕ (N, v) = ψ (N, v) לכל T N ולכל,c R נגדיר את המשחק u T,c ע"י c S T u T,c (S) = 0 o.w. "פה אחד על T עם תשלום c". עבור,i / T הוא בהכרח שחקן אפס, ולכן = 0 ) T,c ϕ i (N, u T,c ) = ψ i (N, u לפי אקסיומה 3. עבור,i, j T קל לראות כי הם שחקנים חליפיים, לכן לפי אקסיומה 2,.ψ וכנ"ל עבור ϕ i (N, u T,c ) = ϕ j (N, u T,c ) לפי אקסיומה 1, c = i N ϕ i (N, u T,c ) = i/ T 0 + i T ϕ i (N, u T,c ) c.ϕ i (N, u T,c ) = ψ i (N, u T,c ) = T i T 0 o.w. וכולם מקבלים אותו ערך, לכן הראינו אם כן יחידות הערך עבור המשחק ) T,c,N). u טענה 4.2 כל (v,n) ניתן להציג בתור קומבינציה לינארית של המשחקים ) 1,T,N) u (נסמן T,1.(u T = u 28

29 הוכחה: Γ N מהווה מרחב וקטורי ממימד 1 n 2 (כי = 0 ( ) (v עם חיבור והכפלה {u T } =T N בקבוע כפי שהגדרנו בכפל בקבוע וחיבור פונקציות. משחקי הפה אחד מהווים בסיס למרחב Γ N כי מספר המשחקים הוא 1 n 2 כגודל המימד, ונראה כי הם בת"ל: נניח α T u T = 0 0 = α T u T (S) = =T N וכי קיימת קואליציה S מינימלית ב S כך ש 0 S α. אזי α T u T (S) = α T 1 = α T +α S = 0+α S = α S =T N =T N =T N,T S =T S והגענו לסתירה. מאחר ו { u} T מהווים בסיס, ניתן לייצג כל משחק (v,n) כקומבינציה לינארית של איברי הבסיס {( T,N)}. u v, λ T R, v = λ T u T = =T N =T N u T,λT כעת, ובעזרת אקסיומת האדיטיביות (4) ניתן להסיק כי ϕ i (N, v) = ϕ i (N, u T,λT ) = ψ i (N, u T,λT ) = ψ i (N, v) =T N =T N. תרגיל: עבור = 3 N, לכתוב את הוקטורים המתאימים למשחקי פה אחד, ולהראות איך הם בסיס (זו מטריצה של 7 7). י"ב סיון תשע"ג (שעור 9) תזכורת: אנחנו מסתכלים על } 0 = ( ) v Γ := { (N, v) N finite, v : 2 N R, או על } 0 = ( ) v Γ N := { v v : 2 N R, עבור N קבוצה סופית כלשהי. הגדרנו עבור פונקציות מהסוג ϕ : Γ N R N, ϕ (N, v) = ( ϕ i (N, v) ) i N את האקסיומות הבאות:.1 יעילות: (N) i Nϕ i (N, v) = v. 29

30 2. סימטריה, או טיפול שוויוני: אם,i j שחקנים חליפיים ב ( v,n) (כלומר.ϕ i (N, v) = ϕ j (N, v) אזי ( S i, j, v (S {i}) = v (S {j}) 3. שחקן אפס player) :(dummy אם i שחקן אפס במשחק (v,n) (כלומר.ϕ i (N, v) אזי = 0 ( S i, v (S {i}) = v (S).4 אדיטיביות: w) ϕ i (N, v + w) = ϕ i (N, v) + ϕ i (N, (אפשר גם למצע ראינו שמתקיימת הומוגניות). משפט :(Shapley) 4.3 קיים ערך אחד ויחיד המקיים את אקסיומות 1. 4 הוכחה: יחידות הוכחנו בשיעור שעבר. נראה קיום: נניח כי [n].n = נגדיר 1]) ([i.ψ i (N, v) := v ([i]) v הפונקציה ψ מקיימת את האקסיומות הבאות: 1. יעילות: n ψ i (N, v) = i=1 n (v ([i]) v ([i 1])) = v ([n]) v ( ) = v (N) i=1.3 שחקן אפס: אם i שחקן אפס, 1]) ([i v ([i 1] {i}) = v ולכן.ψ i (N, v) = 0 4. אדיטיביות: ψ i (N, v + w) = (v + w) ([i]) (v + w) ([i 1]) = = v ([i]) + w ([i]) v ([i 1]) w ([i 1]) = = ψ i (N, v) + ψ i (N, w) 2. סימטריה לא מתקיימת: ניקח את v להיות משחק פה אחד עבור 2 N. 1 i = n נקבל כי = (v ψ, i,n) למרות שהמשחק סימטרי לחלוטין. 0 i < n 30

31 הפתרון הוא לבצע סימטריזציה בין השחקנים. כרגע אנחנו תלויים בסדר בין השחקנים (מי 1 ומי n). אם נמצע על כל הפרמוטציות בין השחקנים, נקבל סימטריה. לכל פרמוטציה,π S N נגדיר π),ψ i π (N, v) := v (P i π {i}) v (P i כאשר.π בסדר i היא קבוצת הקודמים של Pπ i := {j N π (j) < π (i)} 1 = v),ϕ i (N, ונראה כי ϕ מקיימת את כל האקסיומות: כעת נגדיר v) ψπ i (N, n! π S N לכל פרמוטציה ψ π π, מקיים את אקסיומות,1,3 4 (כמו ψ), ולכן גם ϕ מקיימת אותם. ϕ גם מקיימת סימטריה (2), כי אם,i j שחקנים חילופיים, לכל פרמוטציה π יש פרמוטציה j) π = π (i, עבורה v) ψ ĩ π (N, v) = ψ j π (N, ו ( v.ψ j π (N, v) = ψi π (N, מיצוע על כל π S N הוא בדיוק כמו מיצוע על כל π, ולכן ϕ. i = ϕ j לכן ϕ מקיימת ϕ i (N, v) = 1 ( ( v P i n! π {i} ) v ( )) Pπ i π S N את כל האקסיומות. קיבלנו: כלומר התרומה השולית של שחקן i לקואליציה של קודמיו (בסדר π), כאשר ממצעים על כל התמורות. ערך שפלי של שחקן i הוא תוחלת התרומה השולית של i לקודמיו בסדר מקרי. דוגמאות עבור = 3 : N ( 1. 3, 1 3, 1 ) משחק פה אחד 3 ( 1 (משחקים סימטריים). 3, 1 3, 1 ) משחק הרוב 3 מוכר ושני קונים: הערך הוא מהסוג β) (α, β, כאשר = 1 2β.α + π ψ 1 π 123 v (1) v ( ) = v (1) v ( ) = v (1, 2) v (2) = v (1, 2, 3) v (2, 3) = v (1, 3) v (3) = v (1, 2, 3) v (2, 3) = 1 31

32 ( 2 (אפשר היה לחשב את β באותה 3, 1 6, 1 ) = 4 6 1,ϕ ולכן הערך הוא לכן = צורה, אבל אפשר לחלץ מ 1 = 2β α). + נשים לב כי זה משחק פשוט ומונוטוני, ובמשחק כזה, התרומה השולית אינה אפס רק אם = 0 (S) v אבל ({i} v S) ואז היא 1. לכן במשחק פשוט ומונוטוני, הערך של שחקן i הוא מספר הפרמוטציות בהן התרומה השולית היא 1, חלקי!n. התרומה השולית היא 1 אם"ם = 0 π) v (P i אבל = 1 {i}),v (P i π כלומר שחקן i הוא שחקן המפתח בסדר π. לכן Sh i במשחק פשוט ומונוטוני הוא ההסתברות ששחקן i הוא שחקן המפתח בסדר מקרי. נשנה את סדר הסכימה של ערך שפלי שהגדרנו לא נסכום לפי התמורות, אלא לפי הקבוצות שיכולות להיות P. i π עבור {i} S, \N היא יכולה להופיע כ π P i ב!( 1 S S! ( N תמורות S!) אפשרויות לסדר פנימי, ו!( 1 S ( N אפשרויות לסדור שאר השחקנים שאחרי i). Sh i (N, v) = 1 v ( Pπ i {i} ) v ( ) Pπ i = n! S=Pπ i π S N S! ( N S 1) = (v (S {i}) v (S)) n! S N\{i} k! (n k 1)! 1 1 = =, לכן ערך שאפלי הוא תוחלת n! n (n 1)! n ( ) n 1 נשים לב כי k!(n k 1)! k של (S) v (S {i}) v במודל הסתברותי שנותן לכל {i} S N\ את ההסתברות 1. מודל כזה הוא: n ( ) n 1 S.1 בוחרים את 1) n.k U (0,..., ( n 1 ) 2. בהינתן k, לכל תתי הקבוצות של {i} \N שגודלן k ניתן סיכוי שווה. יש k 1. 1 n ( n 1 k כאלו, ולכן כל אחת תקבל סיכוי של ),γ = 1 n = γ 1 אולם N\{i},γ S := n ( ) n 1 נשים לב כי אם S 1 = {j} γ. לכן ככל שהקואליציות גדלות, יש יותר קואליציות כאלו n (n 1) = γ N\{i,j} והמשקל שלהם נמוך יותר, עד שמגיעים לאמצע, משם המשקלות חוזרים ועולים. (היתה הצעה להשתמש במשקל שווה לכל S, וזה לא יעיל, ואם מנרמלים זה לא מקיים דברים אחרים. כמובן = 1 S S N\{i} γ כי זו התפלגות. 32

33 [ 1. הערך β) Sh = (α, β, β, 2 ; 1 3, 2 9, 2 9, 2 ] משחק רוב משוקלל: 2] [5; 3, 2, 2, = 9 כאשר = 1 3β α. + מהו?Sh 1 יש לנו לסדר 4 שחקנים. הוא יכול להיות בכל אחד מארבעתם באותו סיכוי. אם הוא במקום הראשון או הרביעי, הוא לא שחקן α = 2 4 = 1 2 מפתח. אם הוא במקום השני או השלישי הוא שחקן מפתח. לכן ( 1.Sh = 2, 1 6, 1 6, 1 ) = 1 6.β לכן ו 6 י"ט סיון תשע"ג (שעור 10) הגדרנו ערך שאפלי ע"י Sh i (N, v) = 1 ( ( v P i n! π {i} ) v ( )) Pπ i π S N במשחק פשוט {1,0} (S) v ומונוטוני השונה מאפס, Sh i הוא ההסתברות שi שחקן מפתח בסדר מקרי. [ 1 אזי β).sh = (α, α, β, β, מהו?Sh 1 מהם 2 ; 1 3, 1 3, 1 9, 1 9, 1 ] משחק הרוב 9 הסדרים האפשריים? 1 נמצא במקומות, ,.Sh = Order 1 is key condition P r (1 key π (1) = k) 1xxxx no 0 x1xxx 2 before xx1xx always 1 xxx1x 2 after xxxx1 no 0 ( 9 30, 9 30, 4 30, 4 30, 4 30 ) = Sh ו ( ) לכן = בשני המקרים האחרונים, לשחקן הגדול יש כוח של 1 3 מהקולות, אולם במקרה הראשון בו יש שחקן גדול חזק, הכוח שלו הוא 1 יותר משליש. אולם במקרה 2 בו יש שני שחקנים חזקים, הכוח של כל אחד הוא פחות משליש. זה מה שקרה במעבר במד"י ממפלגה גדולה אחת לשתי מפלגות גדולות. הכוח עבר מהמפלגה הגדולה למפלגות הקטנות. ערך שאפלי הוא לא מה שיצא בפועל (קואליציה זוכה מינימלית או כמעט מינימלית), אלא מה כל שחקן מצפה לקבל מהמשחק בממוצע. 33

34 5 בעיות מיקוח 5.1 מבוא משחק שני שחקנים בצורה אסטרטגית ( ) 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2 היו לנו שני שוו"מ טהורים, ושוו"מ מעורב של = 2 p ו = 1 3 q. התשלומים הם 3 ( 2, (2,1), (1,2). לכן הם לא מעוניינים במעורב. אבל לכל אחד יש העדפה 3, 2 ) 3 משלו לאן ללכת, ואם הם לא יתאמו, הם יקבלו (0,0). יש פתרון: נטיל מטבע הוגן, ולפי זה נחליט לאן ללכת. זה נותן תשלום של (1.5,1.5). המשמעות: כשמשחקים את המשחק, יש כל מיני צורות של תשלום, אבל כשהם עורכים הסכמים ביניהם, אפשר להגיע לדברים חדשים. האם קיימת אסטרטגיה של q) (p, 1 p), (q, 1 כך שהם יקבלו 1.5)?(1.5, לא ניתן להגיע ע"י זוג אסטרטגיות מעורבות. סכום התשלומים הוא 3, כלומר ההתפלגות חייבת ליפול רק על האלכסון הראשי. זה אפשרי רק באסטרטגיות טהורות, ואז יש רק שתי אפשרויות שהן (לא ( התשלום המבוקש הדרך היחידה לקבל את התוצאה המבוקשת היא התפלגות של, והיא לא מתקבלת ממכפלת וקטורי התפלגות. אלו סכומים יכולים להתקבל? יש לנו את התשלום ( ) 1, 1 5, 0 שוו"מ טהור יחיד הוא (1,1), אבל אפשר להגיע ל ( 4,4). במשחק 0, 5 4, 4 כשאנחנו רואים משחק, אנחנו שואלים מהם ההסכמים האפשריים. בסופו של דבר מעניין אותנו מה תהיה התוצאה מבחינת תשלום. מאחר והחוזה מדבר רק על המשחק מלחמת המינים, התוצאה תהיה אחת מארבע משבצות, אולם עשויות להיות הסתברויות. למשל בהסכם הטלת מטבע נקבל תוחלת תשלום (1.5,1.5). כמובן שהחוזה צריך להיות אכיף. בהסכם, מסתכלים על התשלומים מההסכם, וזה מתאים להתפלגות על המשבצות. תוחלת התשלום היא α (2, 1) + β (0, 0) + γ (0, 0) + δ (1, 2) 34

35 כאשר 4 δ).(α, β, γ,,u i קבוצת : S 1 S 2 במשחק 2 שחקנים ) 2 ; S 1, S 2 ; u 1, u 2} ({1, כאשר R התשלומים האפשריים בהסכמים היא conv {( u 1, u 2) ( s 1, s 2) R 2 s 1 S 1, s 2 S 2} אם נסתכל על אסטרטגיות טהורות כוקטורי יחידה של אסטרטגיות מעורבות, אזי ע"י אסטרטגיות מעורבות ניתן ) i S) היא קבוצת האסטרטגיות המעורבות של i. להגיע ל {( u 1, u 2) ( z 1, z 2) z 1 ( S 1), z 2 ( S 2)} בהסכם ניתן להגיע ל {( u 1, u 2) (z) z ( S 1 S 2)} = conv {( u 1, u 2) ( s 1, s 2) s 1 S 1, s 2 S 2} נניח שיש לנו את קבוצת ההסכמים האפשריים, ואנחנו רוצים לבחור את ההסכם הטוב ביותר. ראינו שלפעמים עם אקסיומות פשוטות אפשר להגיע לתוצאות יפות. נתונה קבוצה קמורה של הסכמים אפשריים. נרצה לקבוע כללים שיתאים לכל משחק הסכם (או תשלום) יחיד. מה היינו רוצים שהכללים יקיימו? נניח כי יש לי קבוצה קמורה במישור של x 1, x 2 התשלומים לשני השחקנים. כדי לקבוע את ההסכם, חשוב לדעת מה יהיה אם לא יהיה הסכם. יש לנו a C שהיא נקודת אי ההסכמה. 5.2 בעיית מיקוח (טהור) של שני שחקנים Bargaining Problem בעיה מוצגת כזוג (C,a) כאשר : C R 2 1. קמורה וקומפקטית (קבוצת התשלומים של ההסכמים האפשריים). Agreements Disagreement התשלומים כאשר אין הסכם (נקודת אי ההסכמה). a R 2 2. Point C a (אפשר להסכים שלא מסכימים). נניח: 35

36 קיים הסכם x C כך ש x i > a i עבור = 1, 2.i נסמן ב B את קבוצת כל בעיות המיקוח, כלומר B := { (a, C) a C R 2, C compat and convex, x C, x a } פונקצית פתרון היא f : B R 2 כאשר (a, C) B, f (a, C) C. (דרישות סבירות) אקסיומות על פונקצית פתרון f: 1. יעילות אין f.,a) (C x C (באופן גיאומטרי השפה מהקצה העליון לקצה הימני). 2. סימטריה (טיפול שווה) אם הבעיה סימטרית, הפתרון שלה סימטרי: ((( x 1, x 2) C ( x 2, x 1) C ) a 1 = a 2) f 1 (a, C) = f 2 (a, C) כ"ז סיון תשע"ג (שעור 11) תזכורת: בעיית מיקוח מוגדרת מזוג (C,a), כאשר C R 2 קמורה וקומפקטית,.a C וקיים.a x C הגדרנו B אוסף כל בעיות המיקוח, ופונקצית פתרון f : B R 2 כך ש B (a, C) מתקיים.f (a, C) C האקסיומות של פונקצית הפתרון הן:.1 יעילות: C) x C, x f (a,..2 סימטריה: אם (x 1, x 2 ) C (x 2, x 1 ) C וגם a 1 = a 2 אזי = C) f 1 (a,.f 2 (a, C) 3. אינווריאנטיות תחת טרנספורמציות ליניאריות: עבור h i : R R כך ש h (x 1, x 2 ) = ע"י h : R 2 נגדיר R 2,α i > ו 0 h i (z) = α i z + β i )) 2,(h 1 (x 1 ), h 2 (x קל לראות כי (h (a), h (C)) B האקסיומה דורשת שמתקיים.f (h (a), h (C)) = h (f (a, C)).4 אי תלות באפשרויות לא רלוונטיות independence of irrelevant alternatives או :IIA נניח ויש לנו בעיית מיקוח עם פתרון טוב. כעת מגלים כי ביטלנו חלק מהאפשרויות, אבל ההסכם שבחרנו עדיין אפשרי עבור,a) (C,,a) (D B כך ש D,C אם f (a, D) C אזי D).f (a, C) = f (a, 36

37 משפט 5.1 (נאש) קיימת פונקצית פתרון אחת ויחידה המקיימת את 4 האקסיומות. נסמן אותה ב (N f N לכבוד נאש) והיא נתונה באופן הבא: לכל f N (a, C),(a, C) B ממקסמת את ) 2 (x 1 a 1 ) (x 2 a על כל הקבוצה = a C.{x C x a} הוכחה: צריך להוכיח 3 דברים:.1 N f מוגדרת היטב. 2. N f מקיימת את ארבעת האקסיומות. 3. N f היחידה המקיימת את האקסיומות. הגדרה היטב: נראה כי לכל,a), (C B יש נקודה יחידה ב C a הממקסמת את.g (x) = (x 1 a 1 ) (x 2 a 2 ) הקבוצה C a לא ריקה ) a a), C קמורה (חיתוך של שתי קבוצות קמורות) וקומפקטית (חיתוך של C). הפונקציה g רציפה, ולכן קיימת נקודה מקסימלית. נניח כי x y C a שניהם ממקסמים את,g אזי,z = 1 2 (x + y) C a וקל להראות כי (x) g (z) > g (תרגיל), לכן ל g יש נקודת מקסימום יחידה. קיום האקסיומות:.1 יעילות: ב C a נקבל > 0 ) 2,(x 1 a 1 ), (x 2 a לכן אם קיים C),x f N (a, נקבל C)).g (x) > g (f N (a,.2 סימטריה: בבעיה סימטרית, אם עבור C),b = f N (a, מתקיים,b1 b 2 גם ˆb היה ממקסם את,g והגענו לסתירה )) 1.(ˆb = (b 2, b.3 טרנס' ליניארית: ) 2.h (x 1, x 2 ) = (α 1 x 2 + β 1, α 2 x 2 + β בבעיה (C)) (h (a), h אנחנו ממקסמים את )) 2,(y 1 h 1 (a 1 )) (y 2 h 2 (a כאשר ) i y i = h i (x עבור x i כלשהו. לכן אנחנו ממקסמים את ( α 1 x 1 + β 1 α 1 a 1 β 1) ( α 2 x 2 + β 2 α 2 a 2 β 2) = = α 1 α 2 ( x 1 a 1) ( x 2 a 2) ומאחר ו 0 > 2 α, 1 α זו אותה בעיית מקסום. 37

38 ,C a ונמצאת ב D a על g ממקסם את b = f N (a, D) C אם,C a D a :IIA.4 היא תמקסם את g גם על C. a ג' תמוז תשע"ג (שעור 12) f N היחידה המקיימת את האקסיומות: תהי f : B R 2 פונקצית פתרון כלשהי המקיימת את 4 האקסיומות. נראה כי C) f (a, C) = f N (a, לכל.(a, C) B נראה עבור המקרה הפרטי 0) (0, =,a ו ( 1 (1, = C).f N (a, ההיפרבולה הכי גבוהה המשיקה ל C היא = 1 2 x. 1 x נצייר את המשיק להיפרבולה בנקודה (1,1). משוואת המשיק היא = 2 2 x 1 + x (ההיפרבולה סימטרית, והנקודה סימטרית, לכן גם המשיק סימטרי והשיפוע הוא אחד ההיפרבולה גזירה ולכן קיים משיק יחיד, הקבוע הוא 2 בגלל הנקודה (1,1)). למה 5.2 אם x C אזי x נמצא מתחת המשיק 2) 2.(x 1 + x הוכחה: אם יש נקודה מעל המשיק, C קמורה לכן כל הקו בין x ל ( 1,1) נמצא ב C, והקו איננו משיק, לכן הוא חותך את ההיפרבולה. נקודות מעל ההיפרבולה (תרגיל בית). מנקודת החיתוך ל ( 1,1) נקבל יהי D ריבוע שצלע אחת שלו הוא המשיק, הוא מספיק גדול כך ש D C, ויהיה סימטרי מול האלכסון f,a) (D x. 1 = x 2 צריך להיות גם על האלכסון (D בעייה סימטרית) ובשל אילוץ היעילות נקבל (1,1) = (D f.,a) אולם לפי אקסיומת,IIA f (a, C) = f (a, D) = (1, 1) = f N (a, C) המקרה הכללי: תהי (a, C) B בעיית מיקוח. נסמן C) b = f (a, ו ( C.d = f N (a, צ"ל.b = d נשים לב כי d a (כי d ממקסם מכפלה). נגדיר h i : R R ע"י,h 2 (x 2 ) = x2 a 2 בעקבות זאת d 2 a ו 2 h1 (x 1 ) = x1 a 1 d 1 a = 1 1 d 1 a 1 x1 a1 d 1 a 1 נגדיר h : R R ע"י )) 2 h (x 1, x 2 ) = (h 1 (x 1 ), h 2 (x אזי 0) (0, = )) 2,h (a) = (h 1 (a 1 ), h 2 (a ואלו 1) (1, = )) 2 h (d) = (h 1 (d 1 ), h 2 (d לכן f N (h (a), h (C)) = h (f N (a, C)) = h (d) = (1, 1) h (a) = (0, 0) כלומר הבעיה ((C) h) (a), h שייכת למקרה הפרטי. לכן h (b) = h (f (a, C)) = f (h (a), h (C)) = f N (h (a), h (C)) = h (d) 38

39 מאחר ו h טרנספורמציה לינארית עם מקדם שונה מאפס, h 1, h 2 הפיכות, ולכן b, = d כלומר C).f (a, C) = f N (a, 5.3 נקודת אי ההסכמה אנחנו התחלנו ממשחק, למשל מלחמת המינים. קבוצת ההסכמים האפשריים היא הקמור של {(2,1), (1,2), (0,0)}. קל לראות כי ההסכם יהיה על הישר בין (1,2) ל ( 2,1). הנקודה תלויה בנקודת אי ההסכמה. אפשר להציע כמה אפשרויות מה שכל שחקן יכול להבטיח לעצמו, אחד משיוויי המשקל האפשריים. נקודת אי ההסכמה באה ממה שהשחקנים עושים אם לא מסכימים. זה די ריק מתוכן. אבל כל שחקן מעוניין להגיע להסכם, בו יקבל תשלום גבוה ככל האפשר. כרגע המטרה של כל שחקן היא לבוא למקום שבו התשלום הסופי יהיה גבוה יותר. זה משחק על נקודת אי ההסכמה, אבל לא על התוצאה של אי ההסכמה עצמה, אלא על התוצאה של ההסכם שלה. זה יוצר "משחק האיומים" (נאש, 51?) או variable (optimal) threat.game השחקנים בוחרים מה לעשות אם אין הסכם (=איום), באופן כזה שהתשלום בהסכם הסופי יהיה גדול ככל האפשר. היכולת של השחקנים לאיים הוא לנקוט באסטרטגיה: אם לא יהיה הסכם אני הולך לאופרה. או 3 לאופרה. האסטרטגיה של שחקן i במשחק האיומים היא אסטרטגיה 4 מעורבת של שחקן i במשחק המקורי. זוג איומים נותן זוג תשלומים שיהווה נקודת אי ההסכמה. משם זה נותן לנו (לפי פתרון נאש) נקודת הסכם סופי. זהו משחק שני שחקנים אבל עם תשלומים אחרים. משחק 2 שחקנים (בצורה אסטרטגית): שחקן 1 בוחר S 1 ) s 1 S 1 סופית). שחקן 2 בוחר.s 2 S 2 תשלומים ) 2 g 1 (s 1, s 2 ), g 2 (s 1, s לשני השחקנים. הרחבה לאסטרטגיות מעורבות:.z i (S i ) = Z i ) 2 g i (z 1, z פונקצית תשלום. 39

40 קבוצת ההסכמים האפשריים: } 2 C = conv {(g 1, g 2 ) (s 1, s 2 ) s 1 S 1, s 2 S.R 2 C ϕ : C (כאשר x} C := {x C x x C s.t. x היא השפה היעילה של C) תוגדר ע"י: אם.ϕ (a) = f N (a, C),(a, C) B אם a ϕ (a) C,(a, C) / B (קיימת נקודה יחידה כזו). ϕ ממפה נקודת אי הסכמה להסכם סופי. משחק האיומים: שחקן i בוחר.z i Z i התשלום הוא )) 2.ϕ (g 1 (z 1, z 2 ), g 2 (z 1, z משפט 5.3 (נאש) קיימים זוג איומים אופטימליים,z 1 Z 1, z 2 Z 2 והסכם C c z 1 Z 1 )) ( )) ϕ (g (z 1, z 2 ϕ 1 g (z 1, z 2 = c z 2 Z 2 )) ( )) ϕ (g (z 2, z 2 ϕ 2 g (z 1, z 2 = c כך ש ) מהווה שיווי משקל נאש במשחק יתר על כן, c יחיד ) 2 z 1, z לאו דוקא יחידים). (z 1, z 2 האיומים. נשים לב כי בגלל שהתוצאות של המשחק הן בשפה היעילה, זה דומה יותר למשחק סכום אפס אין מצב שאחד מרויח בלי שהשני מפסיד. תכונות הפונקציה ϕ: 1. ϕ רציפה (תרגיל). למה 5.4 עבור 1) (0,,α ו ( C,b = αa+(1 α) f N (a, אזי C).f N (a, C) = f N (b, הוכחה: במקרה הפשוט (0,0) = a, ו C הוא משולש שווה שוקיים ששתי צלעותיו בראשית. אזי מסימטריה נקבל כי אנו עולים לאורך האלכסון עד ל ( C f. N,a) נקודה.f N (a, C) = f N (a, B) תהיה סימטרית גם היא, ולכן b 40

41 מקרה מורכב יותר: אם C משולש לא שווה שוקיים, אפשר להסיק מיציבות לטרנס' לינאריות כי הפתרון הוא במרכז היתר. אם b על הישר בין (C,a, f N,a) הנקודה C. b תהיה עדיין באמצע היתר של המשולש המושרה f N,a) (C במקרה של C a שאינו משולש נאביר את המשיק להיפרבולה שמפריד בין C להיפרבולה, ונרחיב ל C D כך ש D a היא משולש. נשתמש באקסיומת.IIA אם נסתכל על נקודת הסכם סופי ב C, מהו אוסף נקודות אי ההסכמה שמקיים ϕ). 1 ((c) ϕ (x) = c אם השפה C היא ישר בודד, אפשר לקחת את השפה היעילה, ולשקף אותה בנקודה c, ולקבל את הקו שמוביל אליו. נקודות שהאלכסון מהם לא פוגע בשפה, יתנקזו לקצה של השפה. י' תמוז תשע"ג (שעור 13) הגדרנו C ϕ : C ע"י C) ϕ (a) = f N (a, עבור a שאינה על השפה, עם השלמה לנקודות השפה היעילה והיעילה ממש. הראינו שהמאפיין של (C f N,a) הוא שאם נחבר אותה עם a בקו ישר, הוא ישקף את המשיק של השפה C בנקודה C).f N (a, לכן אם (a)] b [a, ϕ אזי (a).ϕ (b) = ϕ עבור נקודה [b d,a] נקבל כי (d) ϕ נמצאת על C בין (a) ϕ ל ( b ) ϕ. למה? כי הישר e בנקודת החיתוך (אחרת [b, ϕ (b)] ולא את [a, ϕ (a)] לא יכול לחצות את [d, ϕ (d)] יש סתירה לגבי (e) ϕ). נרצה לדבר על נקודה ב C ולשאול מהם כל נקודות אי ההסכמה שמגיעות אליה (x) ϕ. 1 עבור שפה פוליטופית של C, בקטע ישר נקבל כי המשיק הוא הצלע, ובשיקוף נקבל בין שתי נקודות על אותו ישר קוים מקבילים. בנקודת שבר יש את הקוים המקבילים בכל אחד מהצדדים, וכל החלק שבאמצע (משולש) הולך לנקודת השבר. הסיבה היא שבנקודת השבר יש כמה תומכים, ויש לנו את האיחוד של הקוים המשקפים שלהם. מסקנה (x) 5.5 ϕ 1 הוא קו או קונוס. ( ) 2, 1 0, 0 II שחקן.p [0, 1] בוחר אסטרטגיה מעורבת, I, דוגמא: במשחק 1, 0 1, 2 בוחר 1] [0,.q מחשבים את q) g 1 (p, q), g 2 (p, כנקודת אי ההסכמה, ומפעילים את ϕ כדי להגיע להסכם סופי. משוואת השפה היעילה היא = 3 2 x, 1 x+ והישרים המשקפים הם עם משוואה x. 1 x 2 = k שחקן I רוצה ש k יהיה כמה שיותר גדול, ושחקן II רוצה להקטין את,k כאשר q).k = g 1 (p, q) g 2 (p, לכן לפעמים עדיף לו לאיים במצב בו הוא מקבל פחות, אבל נקודת אי ההסכמה תהיה יותר. במשחק שלנו, נרשום 41

42 ( ) 1 0, נשים לב כי אם משתמשים באסטרטגיות מעורבות, את המשחק על k : 1 1 k מתקבל באופן לינארי (כמו במשחק סכום אפס). במשחק זה נקודת שיווי משקל יחידה בה הראשון משחק למעלה, והשני משחק ימינה. כלומר = 0 k p = 1, q = 0, הפתרון יהיה נקודת המפגש של = 3 2 x 1 + x (יעילות) עם k,x 1 x 2 = כלומר בנקודה (1.5 השפה היעילה היא 2)] (2,, 3) [(0, ו [( 0 (3,, 2).[(2, דוגמא נוספת: משוואת 0)] (3,, 2) [(2, היא = 6 2.2x 1 +x ומשוואת 2)] (2,, 3) [(0, היא = 6 2.x 1 +2x יש לנו איזורים א', ב' וקונוס ג'. באיזור א' המשחק הוא על משוואה x. 1 2x 2 = k ב' הוא על 2x. 1 + x 2 = k נניח והפתרון בא', משחק ה k הוא. אנחנו מחפשים אסטרטגיות אופטימליות. מתקיים 6p + 6 (1 p) = 3p 2 (1 p) p = 8 17 ( ( המשחק.(1.5, ) ) באיזור 0, 3 6 3, 0 3 0, 3 6 2, 2 2 k a = 6 17 איפה הקו = 6 2 x 1 2x נמצא? מחוץ לתחום א', וזה לא טוב. 17 הזה הוא ( הקו ) שוב אין אסטרטגיות דומיננטיות, נפתור באיזור ב', משחק ה k המשחק הוא את בעיית האופטימליזם: 3p + 3 (1 p) = 6p + 2 (1 p) 3 6p = 2 + 4p p = 0.1 k b = = 2.4 הקו = x 1 x נמצא בתחום ב', ולכן איומים אופטימליים הם = 2 5 q p = 1 10, וההסכם הסופי יקיים 2x 1 + x 2 = 6 2x 1 x 2 = 2.4 x = (2.1, 1.8) 42

43 למה זה הפתרון? אם הראשון יאיים = 1 1 z הוא מבטיח = 2.4 k, כלומר נקודת אי 10 ההסכמה תהיה על הקו הזה, או ימינה לו. הבחינה: חומר סגור, מותר להביא דף עזר (שני צדדים). הבחינה יכולה לכלול ניסוח משפטים, הוכחה של משפט או טענת עזר. תרגילים (לא הכי קשים ולא הכי קלים ממה שהיה בבית). אין בחירה. לקבל 100 זה לאו דווקא לפתור את כל הבחינה. אפשר לבדוק משנים קודמות. ( ) 0, 0 2, 1. השפה היעילה C מורכבת משני קטעים, ומחלקת דוגמא נוספת: 1, 2 3, 1 את C לשלושה איזורים. הקו 1)] (3,, 1) [(2, הוא עם משוואה = 5 2 2x 1 + x והקו ) 1)] (2,, 2) ( [( 1, משוואתו = 5 2.x 1 + 3x באיזור א' k = x 1 3x 2 והמשחק הוא 1 13 = 2 x 1 3x הוא מתחת לתחום =.p הקו 0 1 שפתרונו 1 2 = k, ( ) 0 3 א'. באיזור ב' המשחק הוא על k = 2x 1 x 2 כלומר, ושחקן II בוחר 4 7 שמאלה, ואז שחקן I בוחר למעלה. הישר = 0 2 2x 1 x הוא מעל תחום ב' ,x 1 3x כלומר נקודת אי כששחקן I מאיים = p הוא יכול לאיים על 2 14 ההסכמה היא באיזור ג' או ב'. באופן דומה שחקן II מבטיח נקודת אי הסכמה באיזור א' או ג', ולפסול את ב'. לכן נקודת אי ההסכמה תהיה באיזור ג' (המשולש), ו p a, q b זוג איומים אופטימליים. ההסכם הסופי (1,2) = d. איומים אופטימליים לא חייבים להיות יחידים, למשל במשחק הקודם = 1 p אופטימלי. שיווי משקל יכולים לבוא מאוסף אסטרטגיות אופטימליות. תובנה: בהנחה שבסיכוי מאוד גבוה בסופו של דבר נגיע להסכם, השיקול הוא להגיע לנקודת אי ההסכמה הטובה יותר כבסיס להסכם, ולא לנקודה הטובה יותר באיום עצמו. איום יכול להזיק לי, אבל אם הוא מזיק לצד השני יותר, הוא יוביל להסכם טוב יותר. זה יכול להביא לשיקול בבחירת האיום הנכון. נחשוב על מודל מיקוח אמיתי. שני אנשים מתמקחים על קבוצה C. הראשון מציע הסכמה בנקודה מסויימת d. השני יכול להסכים או להציע הצעה אחרת e. וכך הלאה. במודל יש מחיר לזמן המושקע בהתמקחות, והוא מבוטא ע"י הקטנת התשלומים בפקטור מסויים < 1 δ מידי יום. מהם שיוויי המשקל במשחק זה? אם I כל הזמן מציע d, ו II מציע e. נרצה לדבר על שוו"מ משוכלל לתתי משחקים, ואז מסתבר שיש רק שיווי משקל יחיד. בשלב מסוים שחקן I יציע d, 2 ואם שחקן II יחכה למחר, הוא יציע.δe 2 התהליך יעצור כאשר d 2 = δe 2 ו e 1 = δd 1 (משפט להוכיח 43

44 שאנחנו לאט לאט נתכנס). 44

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

במשחקים בצורה אסטרטגית: השחקנים בוחרים אסטרטגיות במקביל ובצורה בלתי תלויה. מייד לאחר מכן מסתיים המשחק. נרצה לדון במשחקים מסוג אחר: השחקנים משחקים לפי

במשחקים בצורה אסטרטגית: השחקנים בוחרים אסטרטגיות במקביל ובצורה בלתי תלויה. מייד לאחר מכן מסתיים המשחק. נרצה לדון במשחקים מסוג אחר: השחקנים משחקים לפי 1 משחקים בצורה רחבה במשחקים בצורה אסטרטגית: השחקנים בוחרים אסטרטגיות במקביל ובצורה בלתי תלויה. מייד לאחר מכן מסתיים המשחק. נרצה לדון במשחקים מסוג אחר: השחקנים משחקים לפי תורות. לכל שחקן יש מספר תורות.

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם

תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם - 240491 מתמטיקה למדעי החיים 1 תקצרי הרצאות של פרופ רועי משולם הרצאה 2 מושגים בגיאומטרית המישור והמרחב 1 u u ( ) המישור האוקלידי: R} R { נקודת המישור נקראת ) ( נקראות וקטורים אורך הוקטור: ) ( נתון ע"י

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

מכניקה אנליטית תרגול 6

מכניקה אנליטית תרגול 6 מכניקה אנליטית תרגול 6 1 אלימינציה של קואורדינטות ציקליות כאשר יש בבעיה קואורדינטה ציקלית אחת או יותר, לעתים נרצה לכתוב פעולה חדשה (או, באופן שקול, לגראנז'יאן חדש) אשר לא כולל את הקואורדינטות הללו, וממנו

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

שווי משקל תחרותי עם ייצור

שווי משקל תחרותי עם ייצור שווי משקל תחרותי עם ייצור 1 התנהגות היצרן )תזכורת מחירים ב'( ma π = p -p s.t. = ƒ)( ma p ƒ)(-p בעיית הפירמה: או: 2 1 3 התנהגות היצרן )תזכורת מחירים ב'( * רווח במונחי p Slopes p * f ' p p f () תמונת ראי

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα