מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012"

Transcript

1 מבנים אלגבריים II אור דגמי, 27 במרץ 2012

2 אתר אינטרנט: סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים

3 תוכן עניינים 1 שדות תזכורת מהעבר מרחבים וקטורים מעל שדות איבר אלגברי ופולינום מינימלי שדה סגור אלגברית שדות סופיים שורשים מרובים של פולינום לבנות בעזרת סרגל ומחוגה לרבע את המעגל פריקות של פולינומים קריטריון אייזנשטיין (Eisenstein) השדה ה p ציקלוטומי

4 פרק 1 שדות 1.1 תזכורת מהעבר הגדרה שדה: (0,1,,+,F) כך ש: 1. (0,+,F) חבורה אבלית.3 2. (1,,{0}\F) חבורה אבלית הערה מכאן מסיקים שאין שדה עם איבר אחד, כי הוצאנו את האפס ועדיין נשארה יחידה. a,b,c F, a (b+c) = a b+a c מה זה חבורה? אפשר לקרוא במבנים אלגבריים 1. אבל בגדול: הגדרה חבורה: מוגדרת פעולה. הפעולה היא אסוציאטיבית: a(bc) = (ab)c קיים הופכי: = 1 1 a a a, a 1, כמו כן, חבורה נקראת אבילת אם: ab = bc [ אנו מכירים הרבה דוגמאות לשדות, נצפה במספר דוגמאות: דוגמה Q, ראינו כבר כי זה שדה עוד באלגברה לינארית 1. דוגמה } Q Q(i) = { a+b 1 a,b (כאשר 1 = (i נבחין כי Q(i) C לכן הפעולות אסוציאטיביות וקומוטטיביות. נרצה להראות סגירות לכפל וכי קיים הופכי. נבחין כי: ( a+b 1 )( c+d 1 ) = (ac bd)+(ad+bc) 1 ומסגירות Q לכפל וחיבור נקבל כי אכן המקדמים הם בQ. נראה הופכי: בהנתן.a,b אנו מחפשים c,d כך ש: { ac bd = 1 bc+ad = 0 3

5 פרק 1. שדות 1.1. תזכורת מהעבר { ax by = 1 bx+ay = 0 נסמן c = x, d = y ונרצה לפתור מערכת משוואת: ( )( ) ( a b x 1 = b a y 0) det ( ) a b = a b a 2 +b 2 נבחן את המערכת באופן מטריציוני: נבחין כי: כלומר, אם 0 a או 0 b המטריצה הפיכה ולכן קיימים x,y אשר יהיו ההופכי. דרך יותר קלה לראות זאת היא לזכור כי: כלומר: אבל בכך אנחנו מניחים ששדה המרוכבים קיים. z 1 = z z 2 = z z z (a+bi) 1 = a bi a 2 +b 2 הערה נבחין כי זה לא נכון באופן כללי. a+bi כאשר a,b F שדה כלשהו לא בהכרח שדה. כדי שזה כן יהיה נדרש כי 0 2 a 2 b+ עבור 0 a או 0 b, אבל זה לא קורה תמיד. לדוגמה מעל C. דוגמה Q R C וכמו כן.F p = Z /pz דוגמה F שדה כלשהו. ראינו כי F[x] הוא חוג הפולינומים מעל F. F(x) = שדה המנות של F[x] כלומר: F(x) = { f (x) g(x) f (x),g(x) F[X] g(x) לא פולינום ה 0 } שדה זה נקרא שדה הפונקציות הרציונליות מעל F ואם עושים את זה פעם אין שום סיבה לא לעשות את זה פעמיים. כלומר (F(x))(y) כלומר, פונצקיות רציונליות ב y שהמקדמים שלהם פונקציות רציונליות ב x. נסמן: למעשה מדובר בפונקציות עם שני משתנים.x,y ובאינדוקציה ניתן לדבר על: F(x,y) := (F(x))(y) F(x 1,...,x n ) := (F(x 1,...,x n 1 ))(x n ) דוגמה שדה המספרים הפיאדים: לוקחים את המספרים הרציונליים. מתבוננים בסדרות קושי מעל Q, לא בהכרח קיים להם גבול (אנחנו לא מכירים את המספרים האי רציונליים) נגיד כי שתי מחלקות קושי הם שקולות אם הן שואפות לאותו איבר. כלומר אם היה להם גבול הן היו מתכנות לאותו גבול. לוקחים את את הסדרות קושי הנ ל ולהם קוראים R. נבחין כי על המספרים הרציונליים אנחנו לא צריכים לדעת דבר פרט לכך שהם מרחב מרחב מטרי. אבל אפשר להגדיר מרחב מטרי נוסף על הרציונליים. לכל ראשוני p אפשר להגדיר מטריקה על המספרים הרציונליים. ואיכשהו לקבל שדה (לא הצלחתי לעקוב כמו שצריך), המספרים הפיאדים, כך ש Q יהיה צפוף בו. זה נשמע כאילו אפשר לעשות את זה בדרכים נוספות, אך זה לא עובד. יש משפט שאומר שזה ההגבלה. אם יהיה זמן נגיע לזה בהמשך. 4

6 1.2. מרחבים וקטורים מעל שדות פרק 1. שדות 1.2 מרחבים וקטורים מעל שדות חלק גדול מהדוגמאות שראינו הופיעו בזוגות, כלומר שדה אחד הוא תת שדה של השדה השני. ולכן אם F E שדות אזי אפשר לראות את E כמרחב וקטורי מעל F. במובן שאם R F ו α E אזי: Rα }{{} מכפלת סקלר Rבוקטור α = Rα }{{} מכלפה בשדה E נסמן (E).deg F E = [E : F] = dim F טענה E כפול המימד של E מעל K שווה למימד של F מעל K המימד של (כלומר [K : F] = [K : E] [E : F] שדות. אזי: F E K מעל F). הערה לא הנחנו שהם סופיים. נבחן אם E אינסופי, אז ברור כי גם K אינסופי. ולכן אם אז גם = [F K]. : כמו כן אם K מעל E אינסופי, אז יש אינסוף איברים בלתי תלויים מעל E ובפרט מעל F. נניח בהוכחה כי זה סופי. { α i,β j 1 i n 1 j m הוכחה: אם [K : E] = m,[e : F] = n נוכיח כי:.[K : F] = mn } יהי α 1,...,α n E המהוים בסיס מעל.F ויהיו β 1,...,β m K מהוים בסיס ל K מעל.E נראה כי i=1 j=1 n i=1 j=1 m a i,j α i β j = 0 ( n m m n ) α i,j α i β j = a i,j α i j=1 i=1 בסיס ל K מעל F. נראה כי זו קבוצה בלתי תלוייה: נניח ש: כאשר. a i,j F נרצה להראות ש = 0 i,j α לכל i וj. } {{ } E β j נכתוב את הנ ל בצורה הבאה: n. כעת ה אבל נבחין כי האיבר n a i,j α i הוא ב. E אבל מאחר ו β 1,...,β m בת ל מעל,E אזי לכל j נקבל כי: = 0 i a i,j α i=1 α i הם ב E וה a i,j הם ב F, ומכיוון ש α 1 α,..., n הם בלתי תלויים לינארית מעל F לכן = 0 i,j α לכל i ולכל j. כלומר מדובר בקבוצה בלתי תלויה. הערה נבחין כי בהוכחה של האי תלות השתמשנו רק באי תלות של הקבוצה ולא בכך שהיא בסיס. כלומר מכפלה של כל שתי קבוצות בלתי תלויות באופן הנ ל הייתה מניבה קבוצה בלתי תלויה. קבוצה פורשת כי אם γ K אזי קיימים e 1,...,e m E כך ש m e j β j = γ מהיות β 1,...,β m בסיס. j=1 i=1 { α i β j 1 i n 1 j m ועכשיו את e j אנו יכולים לרשום כצירוף לינארי מעל F של α 1 α,..., n כי היא בסיס ולכן: } n e j = a i,j α i i=1 עבור a i,j F כלשהו. ובסה כ קיבלנו כי: m n γ = a i,j α i β j j=1 i=1 5

7 פרק 1. שדות 1.3. איבר אלגברי ופולינום מינימלי 1.3 איבר אלגברי ופולינום מינימלי הגדרה אם F E שדות, ו α E נסמן: F(α) = תת השדה המינימלי של E המכיל את F ואת α. למעשה, זה שווה לחיתוך כל התת שדות של E המכילים את F ו α. טענה אם < F] [F(α) : אזי קיים פולינום F[x] f (x) שונה מ 0 כך ש = 0 (α).f הוכחה: נניח [F(α) : F] = n נסתכל בקבוצה: F(α).1,α,α 2,...,α n אבל זו קבוצה בת + 1 n איברים ולכן היא תלויה לינארית מעל F. דהיינו, קיימים a 0 a, 1 a,..., n כאשר לא כולם אפסים כך ש: n a i α i = 0 f (x) = n a i x i (כאשר = 1 0 α). ולכן α שורש של הפולינום: וזה פולינום 0. הערה הוכחנו שאם [F(α) : [F = n אזי יש פולינום ממעלה n המאפס את α. הגדרה איבר אלגברי: α E, F E נקרא אלגברי מעל F אם קיים פולינום F[X] f (x) 0 כך ש = 0 (α).f הגדרה אם α אלגברי, אזי נסמן ב p(x) p α (x) = את הפולינום המתקון מהמעלה הקטנה ביותר המאפס את α. הערה מתוקן: המקדם הכי גבוה שלו הוא 1 (כלומר = 1 n a). טענה הפולינום המינימלי של α יחיד ואי פריק..2 אם F[x] f (x) פולינום כך ש = 0 (α) f אזי: (x).p α (x) f הוכחה: יחידות: אם יש שניים אזי הפרשם ממעלה קטנה יותר ומאפס. ולכן חייב להיות פולינום 0. ולכן הם שווים. אי פריקות: אם h(x)g(x) p(x) = אזי: h(α)g(α) = p(α) = 0 אבל h(α),g(α) E ולכן לפחות אחד מהם הוא.0 ולכן אם: degh,degg < degp וזו סתירה למינימליות של p. (כלומר אחד מהם חייב להתאפס על α, ואם הוא שונה מפולינום האפס אזי קיבלנו פולינום ממעלה נמוכה יותר אשר מתאפס על α וקיבלנו סתירה). נוכיח את החלק השני. נחלק את (x) f עם שארית ב :p(x) f (x) = q(x)p(x)+r(x) כאשר = 0 r(x) (פולינום האפס) או deg(p(x)) deg(r(x)) < נציב α ונקבל: 0 = f (α) = q(α)p(α)+r(α) אבל = 0 p(α) ולכן חייב להתקיים כי = 0.r(α) אבל דרגתו של r קטנה משל p! ולכן ממינימליות p(x) נסיק כי = 0 r(x) (פולינום האפס). ולכן אין שארית, דהיינו (x) p(x) f כנדרש. משפט [F(α) : F] < F אלגברי מעל α אזי α וK F K 6

8 1.3. איבר אלגברי ופולינום מינימלי פרק 1. שדות הוכחה: ראינו כיוון אחד, אם < [F [F(α) : אזי α אלגברי. כיוון שני: נניחשα אלגבריויהא( p(x הפולינוםהמינימלישלו. נגדירהומומורפיזםשלחוגים: ϕ : F[x] K באופןהבא: (α).ϕ(f (x)) = f זהו הומומורפיזם מכיוון שאם ניקח סכום של הומומורפיזם של חוגים בדוק) kerϕ = {f (x) f (α) = 0} = (p(x)) הערה אם אני זוכר נכון ראינו את זה במבנים אלגבריים. 1 נבחין כי: (כלומר האידיאל הנוצר מ( p(x, מכיוון שהוא מאפס את α, הכפולות שלו מאפסות את α ורק הן). ולכן ממשפט ההומומורפיזם הראשון: Imϕ = F[x] /(p(x)) אבל (p(x)) אידיאל מקסימלי מאחר והוא פולינום אי פריק. ולכן חוג המנה /(p(x)) F[x] הוא שדה (הראנו במבנים אלגבריים 1) שמימדו מעל F הוא.degp(x) = n ולכן תמונת ϕ זה שדה המכיל את F ואת α ואת (הפולינום.α = ϕ(x כלומר, F(α) Imϕ ולכן < F] [F(α) : כנדרש. תזכורת תזכורת ממבנים אלגבריים 1: F שדה, F[x] R = חוג אוקלידי. כל אידיאל ב F[x] הוא ראשי, F[x].I = (f (x)) = Rf (x),i אם (x) g(x) f אזי: (g(x)).(f (x)) (g(x)) אידיאל מקסימלי g(x) פולינום אי פריק. באופן כללי: חוג המנה: /(f(x)) F[x] הוא מרחב וקטורי ממימד (x) n = degf (כאשר 1 n 1,x,...,x מהוים בסיס לחוג מנה זה מעל.(F כאשר (x) f הוא פולינום אי פריק, אז ((x) f) אידיאל מקסימלי ולכן: /(f(x)) F[x] הוא שדה. מסקנה E. הוא תת שדה של Imϕ הערה זה קצת מפתיע, מה הוא?Imϕ זה לקחת את כל הפולינומים ולהציב בהם α כלומר: { l } { n 1 } Imϕ = a i α i a i F = a l N i x i a i F כאשר n היא הדרגה של הפולינום המינימלי המאפס את α. מה שמפתיע כאן הוא קיום ההופכי. למה הוא מופיע? נקח את הפולינום המתוקן האי פריק המאפס את α: p(x) = a 0 +a 1 x+...+a n 1 x n 1 +x n כאשר = 0.p(α) נשים לב כי 0 0 a (אחרת הפולינום x היא מחלק אותו, אבל p(x) אי פריק). a 0 +a 1 α+...+a n 1 α n 1 +α n = 0 נעביר את a 0 אגפים ונקבל: a 1 α+...+a n 1 α n +α n = a 0 a 1 +a 2 α...+a n 1 α n 2 +α n 1 = a 0 α α a 0 a 2 a 0 α... a n 1 a 0 α n 2 + αn 1 a 0 = 1 α כלומר, קיבלנו פולינום שאם מציבים בו α נקבלים 1 α. משפט α E,F E אלגברי מעל F אם ם < F].[F(α) : יתר על כן, degp(x) [F(α) : F] = כאשר p(x) הוא הפולינום המינימלי של α. 7

9 פרק 1. שדות 1.3. איבר אלגברי ופולינום מינימלי טענה F E שדות, α,β E אלגבריים אזי: α±β, α β, α /β גם הם אלגבריים (כאשר 0 β במנה) הוכחה: נסמן F(α) K, = הוא תת שדה של E (ממעלה שווה ל( x ) degp α הפולינום המינימלי שמאפס את α). נתבונן ב: K(β) (כלומר, לוקחים את K ומספחים אליו את β). אז זו הרחבה סופית של K, כי β אלגברי מעל F ולכן אלגברי מעל K. ולכן: [K(β) : K] deg(p β (x)) (x) p β הפולינום המינימלי של β מעל F (לא מעל K לכן זה ולא שיוויון). לכן: [K(β) : F] = [K(β) : K][K : F] = [K(β) : K][F(α) : F] degp β (x)degp α (x) < לכן K(β) הרחבה סופית של F המכילה את α β/,α β,α±β ולכן כולם אלגבריים. F(α,β) = F(α)(β) הגדרה סימון: : הגדרה F E שדות, α E אלגברי. נאמר ש α אלגברי ממעלה n אם הפולינום המינימלי של α מעל F הוא ממעלה n. מסקנה אם α,β E אלגבריים ממעלות סופיות m וn בהתאמה, אזי α±β,α β, α β/ אלגבריים ממעלה קטנה או שווה ל.m n דוגמה אלגברי ממעלה הקטנה מ 35. מסקנה E. מהווה תת שדה של F, שאלגבריים מעל E שדות, אזי אוסף האיברים של F E הערה נבחין כי כל איבר ב F הוא אלגברי מעל F (לדוגמה: a F הפולינום: a x מאפס את a) תזכורת F E הרחבה של שדות. [F(α) : F] < אם ם: (f (α) כך ש = 0 0 f (x) F[x] אלגברי (כלומר, קיים פולינום α E α,β אלגבריים אזי α /β,α β,α±β כולם אלגבריים. ולכן אוסף האיברים האלגבריים מעל F בE הוא תת שדה של E. דוגמה Q = אוסף האיברים האלגבריים מעל Q ב C. ראינו שאם α אלגברי, עם פולינום מינימלי (וראינו כי הוא אי פריק),p(x) אזי: /(p(x)).f(α) = F[x] נשים לב שמכאן נובע שטפוס האיזומורפיזם של F(α) תלוי רק בפולינום המינימלי שלו. כלומר, אם α,β E יש את אותו פולינום מינימלי אזי: F(β).F(α) = והאיזומורפיזם הזה מעביר בין α וβ. מכיוון שהראשון מעביר את x לα והשני את x לβ. יתר על כן, איזומורפיזם זה מקבע את אברי F במקומם (כלומר, כל איבר α F עובר להיות הפולינום הקבוע α). ולכן גם האיזומורפיזם בין /(p(x)) F[x] ל F(α) זו העתקה לינארית מעל F. אנו יכולים לחשוב עליה גם כהעתקה לינארית בין מרחבים וקטורים. כלומר ϕ : F[x] E המוגדרת: (α) ϕ(f (x)) = f משרה איזומורפיזם: F(α) ϕ : F[x] /kerϕ Imϕ = ϕ ( a f (x) ) = ϕ(a)ϕ(f (x)) = af (α) = aϕ ( f (x) ) כאשר f. (x) = f (x)+kerϕ והמעבר האחד לפני אחרון הוא מההצבה של a בפולינום הקבוע. ולכן גם האיזומורפיזם בין F(α) ל F(β) הוא F לינארי. האם יכול להיות כי F(α) ממש שווה ל?F(β) 8

10 1.3. איבר אלגברי ופולינום מינימלי פרק 1. שדות דוגמה p 1 (x) = x ו: p 2 (x) = x 2 +4 מעל.Q שניהם אי פריקים (אין להם שורשים, והם פולינומים ממעלה,2 לכן אי פריקים) השורשים של הפולינום הראשון הם i±. כלומר, אם ניקח את שדה ההרחבה: {Q Q(i) = {a+bi a,b רגע, למה זה שדה בכלל? כיוון ש: (a+bi) = a bi (a+bi)(a bi) והמכנה הוא ממשי לכן קיבלנו את אותו מבנה. אבל עכשיו אנו מבינים את זה בדרך יותר קונספטואלי. למעשה מדובר בהצבה של i בפולינומים מעל Q ממעלה עד 2. כלומר: Q(i) = Q[x] /(p 1(x)) ואילו הפולינום השני, השורשים שלו הוא ±2i, אבל מה זה שדה אשר מספחים אליו את 2i? זה בדיוק אותו שדה כמו שמספחים אליו את.i כלומר Q(i).Q(2i) = עד כה עסקנו בשאלה הבאה, יש לנו שדה F ויש לנו שדה הרחבה E כך שיש איבר α F האם יש פולינום שמאפס אותו. כעת אנו רוצים לעסוק בשאלה ההפוכה, כלומר האם יש שדה שעבורו פולינום נתון מתאפס. משפט יהי F שדה, F[x] f (x) פולינום לא קבוע (כלומר ממעלה הגדולה או שווה ל 1 ) אזי קיים שדה E המכיל את F שבו יש ל( x ) f שורש. הוכחה: בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח ש (x) f פולינום אי פריק ב F[x] (אחרת נפרק אותו לפולינומים אי פריקים, הם לא קבועים מההגדרה, נקח אחד מהם ונמצא לו שורש). נסתכל בשדה /(f(x)) E. = F[x] מאחר ו (x) f אי פריק אזי זהו שדה. E מכיל את F (עד כדי איזומורפיזם) כיוון שאנחנו לוקחעים את F ואז: לוקחים את a ומעבירים אותו למחלקה שמכילה את a. כלומר: a F a+(f (x)) F F[x] π F[x] /(f(x)) נסמן x להיות המחלקה: ((x) x+(f נבחין כי E. x נטען כי x הוא שורש של (x) f. נבחין כי: n f (x) = a i x i כאשר.a i F נציב את :x n n f (x) = a i x i ( = a i x i +(f (x)) ) n ( = ai x i +(f (x)) ) = n a i x i +(f (x)) = f (x)+(f (x)) = 0+(f (x)) = 0 וזהו האיבר ה 0 של. E כלומר מצאנו שדה שמרחיב את F ובתוכו מצאנו שורש אשר מאפס את הפולינום. דוגמה נקח את.F = R ונקח.f (x) = x 2 +1 מה למעשה עשינו פה? נניח כי לא ידענו על קיומם של המרוכבים. אם היינו מבצעים את תהליך ההוכחה: נקח את R[x] ונחלק אותו ב ) 1+ ( x 2 כלומר: (1+. R[x] x)/ 2 אבל זה כל האיברים מהצורה.a+bx כלומר: R[x]/(x 2 +1) = { a+bx a,b R } ואם נחשב מה הוא נקבל: = 0 +1 (x) 2 0+1x = 9

11 1.4. שדה סגור אלגברית פרק 1. שדות 1.4 שדה סגור אלגברית הגדרה שדה סגור אלגברית: שדה K נקרא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום (x) f ממעלה גדולה או שווה ל 1 ב (x) f יש שורש בK. K[x] באופן שקול: לכל פולינום אי פריק ב K[x] יש שורש. ובאופן שקול: כל פולינום K[x] f (x) ניתן לכתיבה כ: f (x) = a(x λ 1 )... (x λ n ) כאשר.a,λ 1,...,λ n K משפט המשפט היסודי של האלגברה C (המרוכבים) הוא שדה סגור אלגברית. לא נוכיח את המשפט הזה במסגרת הקורס. למעשה, אין לו הוכחה אלגברית. נוכיח את זה בפונקציות מרוכבות. משפט נסמן Q = אוסף המספרים האלגבריים (מעל Q) ב C. הוא שדה סגור אלגברית. בהוכחה נשתמש במשפט היסודי של האלגברה, ונקבל שדה סגור אלגברית שהוא בן מנייה (כבר ציינו כי Q הוא בן מנייה). הוכחה: Q.a i צריך להוכיח שיש α Q כך ש: יהי Q[x] f (x) פולינום ממעלה גדולה או שווה ל 1. נסמן: f (x) = n a i x i כאשר.f (α) = 0 יהי α שורשת של (x) f בC (קיום שורש כזה מובטח ע י המשפט היסודי של האלגברה). צריך להוכיח ש α. Q כלומר שα עצמו אלגברי מעל Q (ולא רק מעל Q ). נתבונן ב: (α, Q(a 0 a, 1 a, 2 a,..., n (כלומר Q אשר סיפחנו לו את המקדמים של הפולינום ואת α) נבחן את: [Q(a 0,...,a n,α) : Q] = [Q(a 0,...,a n,α) : Q(a 0,...,a n )][Q(a 0,...,a n ) : Q] אבל )] n [Q(a 0,...,a n,α) : Q(a 0,...,a סופי, כי α הוא אלגברי מעל ) n Q(a 0,...,a (הוא שורש של פולינום עם מקדמים ב: ) n Q(a 0 a,..., כלומר אלגברי מעל שדה זה ואף ניתן להגיד כי ערכו קטן או שווה לn מכיוון שיש פולינום ממעלה n אשר מאפס אותו אבל לא מובטח לנו שהוא אי פריק). אבל גם [Q [Q(a 0 a,..., n ) : סופי, מכיוון ש a 0 a,..., n אלגבריים מעל Q לפי הגדרה ולכן גם נקבל כי: n[q(a 0,...,a n ) : Q(a 0,...,a n 1 )][Q(a 0,...,a n 1 ) : Q(a 0,...,a n 2 )]... אבל מכיוון ש a n אלגברי מעל Q הוא בוודאי אלגברי מעל ) 1 n Q(a 0 a,..., ולכן כל הכפולות הנ ל הן סופיות. הערה מסתתרת כאן למה כללית יותר: אם a 0,...a n E אלגבריים מעל F אזי: < F].[F(a 0,...,a n ) : לסיכום, אם ניקח את (α, Q(α) Q(a 0 a,..., n ומאחר והשדה בצד ימין הוא ממימד סופי מעל Q קל וחומר ש < [Q [Q(α) : ולכן α אלגברי מעל Q ולכן α Q כנדרש. טענה אם R[x] f (x) אי פריק אזי 2 (x)) deg(f.1 הוכחה: נניח R[x] f (x) אי פריק, יש לו α C (על פי המשפט היסודי) ולכן /(f(x)) R[x] הוא שדה אבל זה גם איזומורפי ל R(α). אבל R R(α) C ולכן: 1 dim R (R(α)) 2 ולכן: 2 /(f(x)).deg(f (x)) = dim R[x] כנדרש. הערה אם[ R[x f (x) ואםα שורשלאממשישל( x ) f אזגםα (הצמודהמרוכבשלα )הואשורש. ולכן (x α)(x α) x. 2 (α+α)x+α α אבל מה זו המכפלה הזו? f. (x) מסקנה כל פולינום לא קבוע R[x] f (x) מתפרק למכפלה של פולינומים ב[ R[x ממעלות 1 או 2. מיידי מהמסקנה הקודמת. 10

12 פרק 1. שדות 1.5. שדות סופיים מסקנה כל פולינום R[x] f (x) ממעלה אי זוגית יש שורש בR. נבחין מהמסקנה הקודמת, לא יכול להיות שכל הפולינומים המפרקים אותו הם זוגיים מכיוון שאז המעלה הייתה יוצאת זוגית. הוכחה נוספת היא בעזרת α וα, הרי מעל C הוא פריק לגורמים לינארים, ואז יש לו לכל היותר n שורשים כאלה, כלומר לא לכל אחד יש את הצמוד המרוכב שלו אזי יש שם איבר ממשי. הוכחה שלישית כמו שכבר ראינו באינפי, R[x] f (x) ממעלה אי זוגית (אפשר להניח שמתוקן) אזי: = (x) lim f לעומת זאת: x = (x) lim f (מכיוון שהאיבר המוביל הוא החזקה הגדולה ביותר, האחרים הופכים לזניחים ביחס אליו) ואז ממשפט ערך x הביניים, מכך שפולינום הוא פונקציה רציפה, יש x R כך ש = 0 (x) f. מסקנה אם F[x] f (x) פולינום ממעלה n, אזי לF הרחבה E ממעלה לכל היותר!n שבה (x) f מתפרק לגורמים לינארים. הוכחה: באינדוקציה על n: f(x) זה פולינום ממעלה 1 n ולכן יש הרחבה E 2 של E 1 ממעלה קטנה יש הרחבה E 1 ממעלה n שבה יש שורש.α לכן: 1[x] x α E f(x).(x α)(x β) E 2[x] כלומר: f(x) x α או שווה 1 n שבה יש שורש β של ונמשיך באינדוקציה. משפט לכל שדה F יש הרחבה F, כלומר F F כך ש F סגור אלגברית. יתר על כן, אם F אינסופי, אזי יש F מאותה עוצמה של F. בפרט אם F בן מנייה אזי יש F הוא בן מניה. אנחנו לא אומרים שהיא יחידה (למרות שכן במובן מה), לא נוכיח את זה במסגרת הקורס. 1.5 שדות סופיים אזי ל n הקטן ביותר המקיים זאת נקרא } {{} הגדרה מציין\קרקטריסטיקה: אם F שדה וקיים n N 0 כך ש = 0 nפעמים המציין של. F הערה אם לא קיים n כנ ל, נאמר שהמציין של F הוא 0. טענה המציין של F הוא מספר ראשוני. הוכחה: אם = ו n = m k אזי: = 0 }{{} nפעמים לכן אחד מ: או }{{} mפעמים טענה = אבל בשדה אין מחלקי אפס, }{{}}{{}}{{} nפעמים kפעמים mפעמים חייב להיות אפס, בסתירה למינימליות של n. }{{} kפעמים 1. אם F שדה עם מציין ראשוני p, אזי F מכיל את F p (כלומר מכיל שדה איזומורפי ל F). p 2. אם F שדה עם מציין 0, אזי מכיל את Q. הוכחה: 11

13 1.5. שדות סופיים פרק 1. שדות 1. נסתכל בp האיברים: }{{} 1 pפעמים יש כאן p איברים שחוקי החבור והכל בינהם מתנהגים בדיוק כמו ב: F p = Z /pz המוכר. עבןר החיבור הנ ל ברור, עבור הכפל נובע מהדיסטרבטיביות ושוב ברור. לכן יש באמת איזומורפיזם בין F p אליו. 2. לא נוכיח בשלב זה. מסקנה אם F שדה סופי, אזי קיים ראשוני p ושלם חיובי n כך ש F. = p n הוכחה: ברור שהמציין של F אינו 0, ולכן הוא p לאיזשהו ראשוני p. ולכן F מכיל את F, p ולכן F מרחב וקטורי מעל F p ממימד סופי, ולכן כמרחב וקטורי הוא איזומורפי ל F n p ובפרט, F = p n כנדרש שורשים מרובים של פולינום יהי F[x] f (x) = a n x n +a n 1 x n a 2 x 2 +a 1 x+a 0,f (x) כאשר.a i F נגדיר את הנגזרת להיות: f (x) = na n x n 1 +(n 1)a n 1 x n a 2 x+a 1 ma = a+a+...+a }{{} mפעמים כאשר עבור a F ו m N אנו מסמנים: הערה בניגוד לאינפי הנגזרת מוגדרת להיות כך, ולא עם גבולות. אנו רגילים כי נגזרת של פולינום ממעלה n הוא פולינום ממעלה 1 n, אבל הדבר לא בהכרח קורה בשדה עם מציין p. לדוגמה: (1 x p ) = p 1x p 1 = 0 טענה אם F[x] f (x),g(x) אזי: (f (x)+g(x)) = f (x)+g (x).1 (f (x) g(x)) = f (x)g(x)+f (x)g (x).2 תרגיל: להוכיח את הטענה הנ ל.. f(x) x α הגדרה שורש פשוט\שורש מרובה: אם F[x] f (x) וα שורש של (x) f יקרא שורש פשוט אם α אינו שורש של. f(x) x α וα יקרא שורש מרובה אם α שורש גם של במקרה השני, נקבל כי (x) (x α) 2 f 12

14 1.5. שדות סופיים פרק 1. שדות טענה אם F[x] f (x) אזי כל השורשים של (x) f הם פשוטים אם ם: = 1 (x)) (f (x),f (כלומר זרים, gcd שלהם הוא (1 הערה כדי לבדוק אם הם זרים, אפשר בעזרת האלגוריתם של אוקלידס. הוכחה: ניח α שורש מרובה אזי: (x).(x α) 2 f כלומר: g(x) f (x) = (x α) 2 לאיזשהו.g(x) f (x) = ( ) (x α) 2 g(x) נחשב את (x) :f נשתמש בנוסחת המכפלה: [ f (x) = (x α) 2] g(x)+(x α) 2 g (x) = [ (x α) (x α)+(x α)(x α) ] g(x)+(x α) 2 g (x) מכאן ש (x) x α f וכזכור (x) (x α) 2 f ולכן: (x)) x α (f (x),f ובפרט: 1 (x)).(f (x),f f (x) = a נניח כי 1 ((x) f) (x),f נרצה להראות כי יש שורש מרובה. n (x λ i ) i=1 נניח שאין שורש מרובה אזי: n f (x) = a (x λ i ) n j ) = a (x λ j ) j i(x λ i=1 i=1 j i וכל ה λ i שונים ו 0.a אפשר לחשב את הנגזרת: ולכן עבור r = n,...,1 נקבל כי: f (λ r ) = a j r (λ j λ r ) אם אין שורש מרובה הרי 0 ) r f λ) לכל r. = n,...,1 כלומר אין ל (x) f ו (x) f שורשים משותפים באף שדה הרחבה. ולכן לא ייתכן שיהיה להם מחלק משותף נשתמש בטענות הנ ל באופן הבא: יהיה F = F p = Z /pz השדה מסדר p) p ראשוני). נקבע n N ונתבונן בפולינום. f (x) = x pn x ראשית נציין ש 1 = (x).f בפרט, = 1 (x)) (f (x),f ולכן בשדה הרחבה E שבו (x) f מתפצל לגורמים לינארים כל שורשי (x) f הם שונים זה מזה. יהי E שדה שבו אכן (x) f מתפרק לגורמים לינארים ונסמן ב K את אוסף שורשי (x) f: { } K = α E α pn α = 0 13 K = p n.p n הנ ל קבוצה מסדר K טענה K מהוה שדה. הוכחה: ננבחין כי K 0,1. יהיו.α,k K נבחין כי:.(α+β) pn

15 1.5. שדות סופיים פרק 1. שדות למה יהי D שדה ממציין p ראשוני. יהיו α,β D אזי: (α+β) p = α p +β p.1 (α β) p = α p β p.2 (α+β) p = (α+β)(α+β)...(α+β) = p ( ) p α i β p i i הוכחה: 2 ברור. נראה את 1. נבחין כי: ( ) p = i p! i!(p i)! p ( p כיוון ש: i) אבל נשים לב שעבור > 0 i p > מתקיים p הוא ראשוני, אבל > 0 i p > ולכן לא מופיע במכנה, ולכן הוא לא מצטמצם. כלומר בסכום הנ ל אנו צריכים להסתכל רק על הראשון והאחרון כיוון שאם אנו מחברים p פעמים את אותו איפה אנו מקבלים אפס (זו המשמעות של מציין p) ולכן נקבל כי: ( ) ( ) (α+β) p p p = α 0 β p 0 + α p β p p = a 0 β p +α p β 0 = α p +β p 0 p כנדרש. מסקנה D שדה ממציין < p 0. אזי העתקה Φ : D D המוגדרת באופן הבא: Φ(α) = α p היא הומומורפיזם של שדה הנקרא הומומורפיזם של פרודיניוס. (α+β) pn = Φ n (α+β) = Φ n (α)+φ n (β) = α pn +β pn = α+β נבדוק ש K סגור לחיבור\כפל ולקיחת הופכי. לגבי החיבור, אם α,β K נבחין כי: הערה כאשר Φ זה ההומומורפיזם של פרודיניוס. ולכן גם Φ n הומומורפיזם. הערה ) n.k = Fix(Φ אם,α,β K נבחין כי גם:.(α β) pn = α pn β pn = αβ α β K.α 1 K כלומר, ( α 1) p n = ( α pn ) 1 לבסוף, נבחין כי אם α K 0 אזי: 1 α = מסקנה לכל p ראשוני ולכל n N 1 יש שדה מסדר.p n מסקנה לכל n l יש שדה ביניים יחיד בין F p לK מסדר p. l הוכחה: ראינו שיש L כזה. מדוע הוא יחיד? אם L שדה נוסף מסדר p l בתוך K אזי איברי L השונים מ 0 נמצאים ב \{0} L (L ) = זו חבורה סופית מסדר 1 l p ולכן מקימים = 1 1 pl.γ ולכן γ pl = γ כלומר שורשי הפולינום x pl x וכך גם,0 אזי.L = L 14

16 1.5. שדות סופיים פרק 1. שדות הערה לשדה K מסדר p n יש בדיוק n אוטומואפיזם. למעשה: Aut(K) = { Id,Φ,Φ 2,...,Φ n 1} אם H חבורה חלקית של Φ אז H ציקלית ונוצרת ע י Φ r כאשר.r n נסתכל על H} H = {α K ψ(α) = α ψ, זהו שדה מסדר.p r 15

17 פרק 2 לבנות בעזרת סרגל ומחוגה נתונה קבוצת נקודות S במישור. בידינו סרגל (הכוונה למוט ישר בלי סימוני קורדינטות עליו, ארוך כרצונינו) ומחוגה. מתוך הקבוצה S אפשר לבנות נקודות חדשות במישור באופן הבא: בין כל 2 נקודות ב S אפשר למתוח קו ישר ולהמשיכו לשני הצדדים כרצוננו. כמו כן ניתן לפתוח את המחוגה כךשקצותיהיהיו בנדוקות s 1,s 2 S ואז לצייר מעגל ברדיוס ) 2 dist(s 1,s מסביב הנקודה.s 3 S הנקודות החדשות הן נקודות מפגש של קוים ומעגלים שנבנו כך מS. נבחין שעם נקודה אחת אני לא יכולים לעשות כלום. לעומת זאת בעזרת 2 נקודות אנו ראשית יכולים להעביר בניהם ישר. וכמו כן לבנות מעגל כאשר הרדיוס שלו יהיה המרחק בניהם סביב הנקודה הראשונה וסביב השניה (לא מדובר באותו מעגל!). יצרנו כאן 2 נקודות חדשות, אם נעביר ישר בין הנקודות החדשות נקבל חיתוך עם הישר הראשון, אשר יחתוך אותו בדיוק באמצע בין הנקודות. כלומר בעזרת סרגל ומחוגה, ניתן לחלק כל קטע לחצי ואנו גם יכולים לבנות אנך (כיוון שהוא יהיה מאונך כי מתקבל מעויין למעשה). נבחין כי אנו מקבלים למעשה את כל השלים בצורה זו גם על ציר הx וגם על ציר הy (החיתוך של הנוצר מהמחוגה עם הישר). ולכן אנו יכולים גם לקבל חלוקה בn. לדוגמה נשיג את 3 בכך שנעביר ישר בין (0,3) ל (1,0). ונעביר לו ישר מקביל העובר ב (0,1) ואז הוא יחתוך את ציר הx בשליש. איך מעבירים מקביל? נפתח מעגל סביב הנקודה הראשונה בקטע העובר בנקודה שבא אנו רוצים את המקביל. באופן דומה עם הנקודה השניה. מהקודקוד החדש נקבל דלתון (האלכסונים ניצבים!). על מנת לקבל מקביל ניצור באופן דומה לבניית השלמים נקודה בהמשך הישר כך שנקבל שהנקודה שלנו בדיוק במרכזו, ונשתמש בטכניקה ממקודם על מנת לקבל ניצב. למעשה אנו יכולים לבנות כל מספר רציונליים, אבל לא רק! לדוגמה ניתן גם לבנות את 2 נבנה ריבוע, הרדיוס מ( 0,0 ) ל (1,1) הוא 2, נבנה עיגול, החיתוך עם ציר הx הוא שורש לרבע את המעגל. π 2 דהיינו, הם רצו נותנים לנו קטע בין 0 ל 1 ובונים סביבו מעגל. אנו מחפשים ריבוע שההקף שלו הוא כמו ההקף של המעגל, כלומר ריבוע שההקף שלו הוא 2π, כלומר צלע שהיא π. 2 אבל π הוא לא אלגברי! לכן גם π 2 ולכן אין דרך להגיע לזה בעזרת סרגל ומחוגה! לבנות את הנקודה הגדרה ניתן לבניה: מספר ממש α נקרא ניתן לבניה אם להגיע ל( α,0 ) במספר סופי של צעדי בניה החל מ( 0,0 ) ו( 1,0 ) ע י סרגל ומחוגה. הערה α ניתן לבניה אם ם קיים β כך שניתן להגיע במספר סופי של צעדי בניה ל (α,β) ואם ם ניתן להגיע ל (α,0). ראינו כי כל מספר רציונלי הוא ניתן לבניה. למה אם α,β ניתנים ולבנייה אזי a+β ניתן לבניה. הוכחה: אם אנו יודעים להגיע ל (0,α) ו( β,0 ) אז אנו שמים מחוגה בניהם ומגיעים ל α+β על ידי סיבוב ב 180 מעלות. 16

18 פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה 2.1. לרבע את המעגל טענה אם α מספר ממשי חיובי ניתן לבניה, אזי גם α ניתן לבניה. הוכחה: אם α ניתן לבניה גם 1+α ניתן לבניה. נצייר מעגל שקוטרו α+1. 1+α ומשתמשים בו כרדיוס. 2 הערה מוצאים את יש לנו גם את הנקודה (1,0) נעביר דרכה אנך. ונסמן (β,1) את הנקודת החיתוך עם המעגל. המשולש (0,0),(1,β),(α+1,0) הוא ישר זווית (משולש שהיתר שלו הוא הקוטר הוא ישר זווית). כמו כן, האנך מפצל את המשולשים לדומים (קל להראות שהזוויות שוות) ולכן נשמרים יחסים בין הצלעות. ונקבל: β α = 1 β β2 = α ולכן מצאנו שורש לα. טענה אוסף המפרים הניתנים לבניה K הוא תת שדה ש R. הוכחה: K,0,1 ראינו שאם α,β K אזי.α+b K נראה שגם.α β K נבחין כי אנו יודעים לבנות את (0,1), נעביר קו בין (0,α) ל (0,1). נעביר דרך (0,β) מקביל לישר הקודם. המשולשים שנוצרו על ידי הישרים והצירים דומים. לנקודת החיתוך של הישר העובר דרך (0,β) נקרא (γ,0). γ β = 1 α. β α נבחין כי: נקראה שגם K ולכן: γ = β α ו: γ ניתן לבניה. נראה ש.α β K הפעם נמקם את β דווקא על ציר y. נעביר קו בין (0,α) ל (0,1) ונעביר גם בין (β,0) ל( γ,0 ) קו מקביל לקודם. נקבל שוב משולשם דומים, ונקבל: γ β = α 1 γ = α β ולכן K אכן תת שדה. נניח ש 2 נקודות (a,b) ו (c,d) במישור ניתנות בניה, אזי משוואת הישר בניהן היא: ( ) d b l(x) = x+b d b c a c a a מה שחשוב הוא, שהמקדמים של הישר ניתנים לבנייה. אם (a,b),(c,d),(e,f) ניתנים לבנייה אז אנו יכולים לקבל את המעגל: (x e) 2 +(y f) 2 = r 2 כאשר: r 2 = dist 2 ((a,b),(c,d)) = (a c) 2 +(b d) 2 17

19 פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה 2.1. לרבע את המעגל ניתן לפתוח את זה, ולקב: x 2 +y 2 2ex 2fy +g = 0 עבור g כלשהו. לא כל כך מעניין אותנו הדיוק, מה שמעניין אותנו הוא שהמעגל שיצרנו הוא מהצורה: x 2 +y 2 +αx+βγ +δ = 0 כאשר α,β,δ ניתנות לבנייה. איך מקבלים נקודה חדשה הניתנת לבנייה (מתוך הנקודות שכבר בנינו בשלבים שלנו). נקודה חדשה שניתנת לבנייה מתקבלת ע י: 1. חיתוך ישר עם ישר 2. חיתוך ישר עם מעגל 3. חיתוך מעגל עם מעגל הערה בכל אחד מהמקרים מקדמי משוואת הישר או המעגל נמצאים בשדה הנוצר מעל Q בעזרת הנקודות שנבנו עד כה. טענה אם ρ R מספר ממשי ניתן לבניה בסדרה סופית של פעולות, אזי יש סדרה של שדות: Q K 1 K 2... K m כך ש 2 ] i 1 [K i : K לכל i = 1,...,m ו:.ρ K m הוכחה: בתהליך הבניה מתחילים בנקודות {(1,0),(0,0)} = 0 S וכל פעם בונים קבוצה גדולה יותר בנקודה אחת: S 0 S 1 S 2... S m עד.ρ S m הקורדנטות של S 0 נמצאות ב Q. בהוספת נקודה חדשה מ 1 i S ל S i מה עושים? נתבונן בנקודה חדשה שהתקבלה: { y = αx+β y = α x+β 1. חתוך של שני ישרים: אם יש פתרון, אזי הוא לא יוצא מהשדה שבו מקדמי המשוואותץ { y = αx+β x 2 +y 2 +γx+δy +η = 0 2. חיתוך ישר ומעגל: מציבי את y מהמשוואה הראשונה בשניה ומקבלים: לא מספיק מעניין לפתוח את זה, בגדול נקבל: x 2 +(αx+β) 2 +γx+δ(αx+β)+η = 0 בשדה ± = 1,2 x יכול להיות שנחרוג מהשדה, כיוון שיכול להיות שהשורש לא בשדה, לכן כאן עלינו לכל היותר עלינו בשדה ב 2 מעלות. 18

20 2.1. לרבע את המעגל פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה { x 2 +y 2 +αx+βy +δ = 0 x 2 +y 2 +α x+β y +δ = 0 { x 2 +y 2 +αx+βy +δ = 0 (a a )x+(β b )y +(δ d ) = 0 3. חיתוך מעגל עם מעגל, נקבל 2 משוואות: פתרון זוג משוואות זה שקול לפתרון של: (הפחתנו את המשוואה השניה מהראשונה). אבל זו משוואה של ישר כבר, וזה מקרה ב. טענה α R ניתן לבנייה אם ם קיימת סדרת שדות Q K 1 K 2... K m כך ש 2 ] i 1 [K i : K לכל i = 1,...,m ו:.α K m הערה נבחין כי הוכחנו את הטענה בכיוון אנו כעת רוצים להראות כי זה אכן אם ם. הוכחה: כאמור את הכיוון ראינו. נראה את. נניח שיש סדרה כנ ל. וצריך להוכיח ש α ניתן לבנייה. ראשית נוכיח את הלמה הבאה: למה אם F שדה כלשהו ממציין 2 ו: E הרחבה של F כך ש = 2 F] [E : אזי קיים β F כך ש ) β.e = F ( הערה זהירות. זה לא נכון במציין.2 למשל.F 4 נבחין את = 2 ] 2.[F 4 : F אבל כל β F 2 β F 2. הוכחה: נבחר γ E כך ש γ. / F יהא p(x) הפולינום המתוקן המינימלי של γ מעל F. ברור ש F(γ) E. = אזי: = 2 F].degp(x) = [E : אזי: p(x) = x 2 +bx+c ושורשיו הם: x 1,2 = b± b 2 4c 2 הערה זו המשמעות של 4, כלומר:.c+c+c+c אבל מה זה אומר לחלק ב 2? זה אומר לפתור את המשוואה:.x+x = y = (1+1) 1( b+ ) b 2 4c כלומר: נקח:.F β = b 2 4c נבחין כי:.F ( β ) = F(γ) = E כלומר:. γ = x 1 x 2 וסיפוח β יחד עם סגירות בשדה סיפוח.γ נזכיר שהראנו שאם γ ניתן לבנייה אזי גם γ ניתן לבנייה. ולכן באינדוקציה על m (תוך שימוש בלמה) כל איברי K m ניתנים לבניה וכך גם α. K i = K i 1 ( βi 1 ) אנו יכולים להגיד: עבור i 1 β i 1 K כלשהו. 19

21 פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה 2.1. לרבע את המעגל מסקנה אם α R ניתן לבנייה אזי α אלגברי [Q(α) : Q] = 2 l לאיזשהו N {0}.l הוכחה: בסימונים הקודמים: Q(α) K m ולכן: [Q(α) : Q] [K m : K] 2 m הערה יתכן כי [Q(α) : [Q = 2 l וα לא ניתן לבניה! (זהו לא תנאי הכרחי ומספיק). משפט אי אפשר לרבע את המעגל. 2. אי אפשר לרבע את העיגול. הוכחה: ראשית נבחין כי:. π 2 1. שקול לכך שלא ניתן לבנות את 2. שקול לכך שלא ניתן לבנות את π. ושניהם נכונים בגלל משפט לינדנמם (אשם לא נוכיח) האומר כי: π לא אלגברי. ולכן π ו π 2 לא אלגברי. משפט אי אפשר להכפיל את הקובייהץ כלומר איננו יכולים לבנות ע י סרגל ומחוגה צלע של קוביה שנפחה פעמיים נפח קוביה נתונהץ הערה במילים אחרותץ לא ניתן לבנות את 3 2. הוכחה: זה כך בגלל ש 3 2 = α הוא שורש של x 3 2 אבל x 3 2 הוא פולינום אי פריק מעל Q. בגלל שאין לו שורש רציונלי, אבל הוא ממעלה 3, לכן אם היה פריק היה חייב להיות לו שורש. משפט אי אפשר לחלק זווית כללית לתונה ל 3 ע י סרגל ומחוגה. הערה למעשה נוכיח שאת הזווית 60 אי אפשר לחלק ל 3. באופן שקול: המספר הממשי ) cos(20 לא ניתן לבנייה. הוכחה: מטרתנו להוכיח כי ) cos(20 לא ניתן לבנייה. נסמן: ) 2cos(20 βץ = זהות טריגונומטרית כללית: ψ זוית כלשהי אזי מתקיים: cos(3ψ) = 4cos 3 (ψ) 3cos(ψ) 1 2 = 4cos3 (20 ) 3cos(20 ) נישם עבור 20 = ψ. נבחין כי: ( ) 3 1 β 2 = 4 3 β = 4 8 β3 3 2 β β3 3β 1 = 0 כאמור: cos(20 ) = β 2 ולכן: 20

22 פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה 2.2. פריקות של פולינומים למה הפולינום = 0 3x 1 x 3 הוא פולינום אי פריק. הוכחה: נחליף את x ב 1+x ונקבל: f (x+1) = (x+1) 3 3(x+1) 1 = (x+1) ( x 2 +2x+1 ) 3x 4 = x 3 +2x 2 +x+x 2 +2x+1 3x 4 = x 3 +3x 2 3 למה הפולינום x 3 +3x 2 3 הוא אי פריק. הערה למה 2 למה 1 ) cos(20 לא ניתן לבנייה. הוכחה: נגררת מיידית מקריטריון אייזנשטיין אשר נראה עוד רגע עבור = 3 p. ובכך למעשה סיימנו את הוכחה המשפט מכיוון שמזה נובע כי: 3 = [Q(β) : Q] = [Q(cos(20 )) : Q] וזה גורר כי ) cos(20 לא ניתן לבנייה. 2.2 פריקות של פולינומים טענה אם F[x] f (x) פולינום ו: a F אזי (x) f אי פריק אם ם (x+a) f אי פריק. הוכחה: מספיק להוכיח שאם (x) f פריק אזי גם (x+a) f פריק. הערה כי אם g(x) f (x+a) = אזי: g(x a).f (x) = וזה טריוויאלי כי: h(x)k(x) f (x) = אז: h(x+a)k(x+a).f (x+a) = קריטריון אייזנשטיין (Eisenstein) משפט קריטריון אייזנשטיין אם f (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 פולינום ב[ Q[x עם מקדמים שלמים.a i Z נניח שקיים p ראשוני כך ש: p a n.1 i = לכל 0,...,n 1 p a i.2 p 2 a 0.3 אזי (x) f פולינום אי פריק ב.Q[x] למה למת גאוס אם Z[x] f (x) אי פריק ב[ Z[x אזי הוא גם אי פריק ב.Q[x] או: אם קיימים פולינומים Q[x] h(x),g(x) לא קבועים כך ש: g(x)h(x) f (x) = אזי קיימים Z[x] g (x),h (x) לא קבועים כך ש (x).f (x) = g (x)h 21

23 פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה 2.2. פריקות של פולינומים הוכחה: נניח g(x)h(x) f (x) = כאשר Q[x] g(x),h(x) פוינומים לא קבועים. ע י הכפלה במכנה המשותף הקטן ביותר (נסמנו m) של כל המכנים של כל מקדמי g(x),h(x) אפשר להניח ש: = (x) mf.g(x)h(x) כך ש m N ו: g(x),h(x) Z[x] נניח שp מחלק את m. נוכיח שעבור או g(x) או h(x) הוא גם מחלק את כל המקדמים שלהם. וזה יסיק את ההוכחה. נניח בשלילה כי p אינו מחלק את כל מקדמי g(x) ואינו מחלק את כל מקדמי.h(x) נסמן: n mf (x) = a i x i i=1 ואילו: g(x) = h(x) = k b i x i l c i x i יהיו i 0,j 0 האינדקסים הקטנים ביותר כך ש: p b i0 ו:.p c j0 נבחין כי: a i0+j 0 = b 0 c i0+j 0 +b 1 c i0+j b i0 c j0 +b i0+1c j b i0+j 0 c 0 אבל נבחין כי כולם פרט למסומן מתחלקים בp מכיוון שהנחנו כי i 0 j, 0 הם הראשונים שלא מחלקים. p a i0+j 0 וזו סתירה. כלומר רק b i0 c j0 לא מתחלק בp ולכן כעת יש לנו את הכלים להוכיח את קריטריון אייזנשטיין: משפט קריטריון אייזנשטיין אם f (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 פולינום ב[ Q[x עם מקדמים שלמים.a i Z נניח שקיים p ראשוני כך ש: p a n.1 i = לכל 0,...,n 1 p a i.2 p 2 a 0.3 אזי (x) f פולינום אי פריק ב.Q[x] הוכחה: על פי למת גאוס, מספיק להוכיח שאי אפשר לכתוב את g(x)h(x) f (x) = כאשר Z[x] g(x),h(x) פולינומים לא קבועים. נניח שכן, נכתוב: g(x) = h(x) = k b i x i l c i x i כאשר 1 k,l.b i,c i Z,n > נשים לב כי: a 0 = b 0 c 0 22

24 2.3. השדה ה p ציקלוטומי פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה ועל פי ההנחה p 2 b 0 c 0 ו: p b 0 c 0 לכן אחד מ b 0 c 0 מתחלק בp אבל לא שניהם. בלי הגבלת הכלליות, נניח p b 0 ו:.p c 0 a i0 = b 0 c i0 +b 1 c i b i0 1c 1 + b i0 c 0 }{{} מתחלק בp נשים לב שלא ייתכן ש p b i לכל i = 0,...,k כי.p a n יהא i 0 האינדקס הראשון כך ש.i 0 k n p b i0 נחשב את a: i0 ואילו האיבר הממוסגר אינו מתחלק בp (כיוון שהנחנו בה כ כי p b i0 וגם p). b i0 וזו סתירה להנחה ש p a i0 (נזכור ש.( i 0 < k דוגמה לכן x n p הוא אי פריק, וגם x n +px+p ועוד רבים אחרים... מסקנה לכל n יש פולינום אי פריק ממעלה ב[ Q[x. 2. וכמו כן, לכל n יש לQ הרחבה E כך ש E]. : [Q = n.3 לכל,n יש לQ הרחבה E C ממעלה.n.4 לכל n N יש E R הרחבה של Q עם.[E : Q] = n.4 יהי p > 0,p(x) = x n p ראשוני ב.Z נקח α = n p (השורש הממשי של.(p ואז E = Q(α) R ומתקיים [E : Q] = deg(p(x)) = n הוכחה: טענה יהא p מספר ראשוני. נתבונן בפולינום: 1 p.x נפרק אותו: ) +x+1 x p 1 = (x 1) ( x p 1 +x p x 2 אזי f (x) = xp 1 x i הוא אי פריק. f (x+1) = (x+1)p 1 (x+1) 1 = p ( p ) i x i 1 x = ( ) ( ) p p x p 1 + x p p p 1 x 1 = p 1 הוכחה: נתבונן ב (1+x) f. ( ) p x ( ) p 1 1 p ( p לכל < i < p 0 (ואלה בדיוק מופיעים שם). ו: i) נבחין כי על הפולינום הנ ל, אפשר להפעיל את קריטריון אייזנשטיין, מאחר ו: ( ( 2 p. ולכן מקריטריון אייזנשטיין נקבל כי (1+x) f אי פריק, ולכן גם (x) f אי פריק וסיימנו. p 1) = p וגם:.p p p) = השדה ה p ציקלוטומי היחידה של 1 בC : שורשי ראשוני. נסתכל בp p { } µ(p) = e i2π p k k = 0,...,p 1 נרצה לספח את כולם. נסמן Q(µ(p)) E. = נשים לב שמאחר ו p ראשוני, אז אם µ(p) λ 1 אזי Q(µ(p)).Q(λ) = בגלל ש( µ(p היא למעשה חבורה ציקלית מסדר ראשוני, וכל איבר 1 λ בתוכה יוצר אותה. 23

25 2.3. השדה ה p ציקלוטומי פרק 2. לבנות בעזרת סרגל ומחוגה 1 xp 1+x+x 2 x p = הוא אי פריק, לפי הטענה האחרונה. הוא מאפס את λ ולכן זה הפולינום המינימלי של הפולינום: 1 x λ. ולכן: [Q(µ(p)) : Q] = [Q(λ) : Q] = p 1 24

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד).

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). כח דלמבר במערכת מסתובבת : מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5 בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a system החוק F F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). השני של ניוטון = ma body לא

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï Ò כולנו יחד - מתחברים לטוב יליון מסß אר ון קבלה לעם תשרי תשע א ספטמבר ± מחג לחג: יומן מסע פנימי חינוך עמß עמß µ מהי קבלה? עמß עמß הנה

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית פברואר 00 כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה )ע"ר( אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי, או ללמדה - כולה או חלקים ממנה - בלא אישור בכתב

Διαβάστε περισσότερα

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá 77 ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá Æ ÈÂÙˆ appleèá ÌÎÈÚÂˆÈ Ó ÂÓ Ï ÌÎÏ Ù Ó ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá ÌÎÈappleÙÏ ÆÔÓÊ ÂÏ Ó ÏÚ Â Ó ÆÌ ÂappleÁ È ÌÈ apple Ï Ù ÏÎÎ ÌÈÓ ÌÈ apple appleèá ÂÏ Â ÙÏ ÂÏ Æ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

Διαβάστε περισσότερα

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010 ביטאון אגודת חובבי הרדיו בישראל ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE גיליון 392 פברואר 2010 בגיליון: תורן השידור בברלין תחרות WFF לוויינים שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... הכל על הכל - מידעון לחובבי הרדיו

Διαβάστε περισσότερα

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO אנטנות בתקשורת אלחוטית וגיוון ריבוי עניינים תוכן אלחוטית בהעדר קו ראייה, תקשורת הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה (LOS) (NLOS) משוואת תקשורת עם קו ראייה פיתוח משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח של

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1]

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1] מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [] תוכן עניינים מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג')... 4 טעויות ספציפיקציה... ) הוספת משתנה לא רלוונטי.... ) השמטת משתנה רלוונטי... מולטיקוליניאריות... 4 ) מולטיקוליניאריות

Διαβάστε περισσότερα

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME ד"ר אורלי יזדי-עוגב המרכז לקידום השליטה המוטורית ותפקודי למידה ; 050-5382160050-6930972 נייד : 04 -רח' הדקל 10 חדרה 38220 טלפקס: 6344476 ; אתר: ; yazdi@macam.98.ac.il ; y_orly@netvision.net.il אלקטרוני:דואר

Διαβάστε περισσότερα

"רבי, מה אני לחיי העולם הבא"? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליט"א

רבי, מה אני לחיי העולם הבא? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליטא בס"ד 152 קובץ שבועי בעניני יהדות מהוצאת להזמנת עלונים ולפרסום טל: 03-6762226 מופץ בכל הארץ ב- 90,000 עותקים "ו לא ת ח לּ לוּ א ת שׁ ם ק דשׁ י ו נ קדּ שׁ תּ י בּ תוֹ ך בּ נ י י שׂ רא ל א נ י ה' מ קדּ שׁ כ ם" "רבי, מה

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 17 38 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון ילדים רבעון בנושא רפואת ילדים מרץ - מאי 2007 גיליון מס' 2 חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון מו"ל: שלמה בואנו עורכת:

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard אוקימתא מחקרים בספרות התלמודית והרבנית שנה א (תשע"ג) תוכן העניינים 1 25 71 93 105 133 195 243 293 319 369 421 שלמה גליקסברג מוטי ארד גלעד ששון אפרים בצלאל הלבני מנחם בן שלום שמא יהודה פרידמן רבין שושטרי

Διαβάστε περισσότερα

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran Texts 1. Ben Sira 51:23 (MS B): Turn aside to me, you untutored, and lodge in my house of study. 2. 1QS (Community Rule) 8.12-15: פנו אלי סכלים ולינו בבית

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης Ρ. Μπόρης ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρακάτω δουλειά απευθύνεται στα παιδιά της Γ λυκείου (και όχι μόνο) και σκοπό έχει να τονίσει τις γεωμετρικές ιδιότητες που έχει μια συνάρτηση ώστε να είναι κυρτή ή κοίλη. Χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group A Publication of The אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group רבעון בנושא אלרגיה, אסתמה ומחלות דרכי הנשימה גיליון מס' 2 תזונת תינוקות-המלצות > דרכי הטיפול באמפיזמה תורשתית > COPD ואסתמה - המשיק והשונה >

Διαβάστε περισσότερα

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון פרופ' המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון הפקולטה למדעי הטבע, המחלקה לכימיה ביולוגית חיים כהן,, טל. 03-9066623, פקס. 08-9200749, email:hcohen@ariel.ac.il דו"ח מסכם בדיקת היתכנות - קיבוע פסולות רדיואקטיביות

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז

החינוך וסביבו שנתון המכללה לז החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז תשע"ה 2015 1 החינוך וסביבו כרך ל ז, תשע ה - 2015 עורכת: ד ר אסתי אדיבי-שושן מערכת: פרופ נמרוד אלוני פרופ ליאורה גביעון ד ר חיים חיון ד ר מעין מזור פרופ דן סואן פרופ אלי צור

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ

Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Εισαγωγή Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Η εργασία αυτή έχει στόχο να αποτελέσει βοήθημα των μαθητών που συμμετέχουν στις Ελληνικές και στις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες.

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

שיווק מכונות בע"מ מכשיר סימון נייד. מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת

שיווק מכונות בעמ מכשיר סימון נייד.  מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת גיליון מס 184 פברואר מרץ 25 2014, ש ח כולל מע מ עיתון לענף המתכת בהוצאת מירב-דסקלו הפקות בע מ עיבוד שבבי l עיבוד פח l יציקות תבניות l ריתוך l ציפוי וגימור מתכות וחומרים l תיב מ www.benygrinding.co.il 36

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015

Διαβάστε περισσότερα

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C דוגמאותלשאלותבגאומטרייה כוללהצעותשונותלדרכיפתרון שאלות 1,2,3 מתאימיםלשלישהראשוןשלכיתהח', יתר השאלותמתאימות לשלישהשלישישלכיתהח' E במשולש. נקודהעלהצלע במשולש, נקודהעלהצלע E נמקומדועמשולש דומהלמשולשE E 1

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37742-05B / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37742-05B Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς.

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς. Exodus 20:1-4, 7-9, 12-20 (rcl Year a, Proper 22) 20:1 Καὶ ε λα' λησεν κυ' ριος πα' ντας τοὺς λο' γους του' τους λε'γων 20:2 Εγω' ει μι κυ' ριος ο θεο' ς σου, ο«στις ε ξη' γαγο' ν σε ε κ γη^ς Αι γυ' πτου

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á Ï È ÁÏ ÌÈÏ Â È ÔÂÎÓ המרכז למדיניות סביבתית מייסודה של קרן צ'רלס ה' רבסון ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á ÏÂÚÙ Â ÏÂ Èapple Ï ÂÓ Ô È ÏÏ Ú Á Ò Ì ÒÈÚ תשס"ז 2007 פרסומי המרכז למדיניות

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB Hands-free Car Kit Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG HEB P.3 Parrot 3200 LS-COLOR PLUS English עברית Ελληνικά......... 07-20 34-21 35-48 www.parrot.com GENERAL INFORMATION

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

נוסחאות ונתונים בפיזיקה

נוסחאות ונתונים בפיזיקה מדינת ישראל משרד החינוך נוסחאות ונתונים בפיזיקה נספח לבחינות הבגרות ברמה של 5 יח"ל לשאלונים מס' 654,653,65,97553,97554,97555,98,3654,975,9753 )החל בקיץ תשס"ז( תוכן העניינים נוסחאות עמוד מכניקה אלקטרומגנטיות

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

LXX w/ Logos Morphology

LXX w/ Logos Morphology א דנ י י הו ה א ת ה ה ח ל ות ל ה רא ות Deut 3:24 א ת ע ב ד א ת ג דל ו א ת י ד ה ח ז ק ה א ש ר מ י א ל ב ש מ י ם וב א רץ א ש ר י ע ש ה כ מ ע ש י ו כ ג ב ו רת Deut 9:26 ו א ת פ ל ל א ל י הו ה ו א מ ר א דנ

Διαβάστε περισσότερα

Π Θ Galois. Ανθή Ζερβού. Επιβλέπων Καθηγητής. Ιωάννης A. Αντωνιάδης. Πτυχιακή εργασία

Π Θ Galois. Ανθή Ζερβού. Επιβλέπων Καθηγητής. Ιωάννης A. Αντωνιάδης. Πτυχιακή εργασία Π Θ Galois Ανθή Ζερβού Επιβλέπων Καθηγητής Ιωάννης A. Αντωνιάδης Πτυχιακή εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Περιεχόμενα 1 Ομάδα Galois διωνυμικών πολυωνύμων 9

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity כלי ערכת מדידה בטיפול באדם פגיעה עם נוירולוגית פברואר תוכן עניינים 8 7 8 6 7 8 9 6 מבוא לשימוש בכלי מדידה ליקויים פיזיקליים - Functions Body Structures and תנועות אקטיביות: טופס הערכת תנועות אקטיביות טונוס

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim GENESIS 48 1 And it came to pass after these things, that one said to Joseph: 'Behold, thy father is sick.' And he took with him his two sons, Manasseh and Ephraim. 1 ויהי אחרי הדברים האלה ויאמר ליוסף

Διαβάστε περισσότερα

,,, και τα ενδεχόμενα

,,, και τα ενδεχόμενα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) 0 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f( x=, ) για κάθε x Α. Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα