1 סכום ישר של תת מרחבים

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 סכום ישר של תת מרחבים"

Transcript

1 אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב

2 סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U U k הוא ישר אם כל אחד מהסכומים המופיעים בו הוא ישר פורמלית,,W ((U + U 2 ) + U 3 ) + + U k ואנו דורשים שלכל k,i,, הסכום (U + + U i ) + U i+ { (U + + U i ) U i+ הוא ישר, או באופן שקול: במקרה כזה, כותבים W U U 2 U k ואומרים שזו הצגה של W כסכום ישר דוגמא: הסכום R R 3 {(x,, ) : x R + {(, y, ) : y R + {(,, z) : z הוא ישר למה אם B B B 2 B k בסיס של,V והקבוצות B, B 2,, B k זרות, אז V span B span B 2 span B k תרגיל מצא מרחב וקטורי V ותת מרחבים U, U 2, U 3 V כך שכל אחד מהסכומים U + U 2, U 2 + U 3, U + U 3 הוא ישר, אבל הסכום U + U 2 + U 3 אינו ישר (רמז: קח (V R 2 למה 2 יהי W U U 2 U k אזי: א אם u + + u k וכל,u i U i אז k u u ב לכל w W יש הצגה יחידה כסכום w u + + u k כך ש u i U i לכל i,, k { ג לכל i,, k מתקיים i (U + + U i + U i+ + + U k ) U ד לכל W U σ() U σ(2) U σ(k),σ S k תרגיל הראה שגם ההיפך נכון, כלומר כל אחת מהתכונות המובאות בסעיפי תרגיל 3 גוררת שהסכום הוא ישר למה 3 יהי V U U 2 U k א dim V dim U + dim U dim U k ב לכל,i,, k יהי B i בסיס של U i נסמן B B B 2 B k אזי B בסיס של V למה 4 יהי V V V 2 V k לכל,i יהיו נתונים תת מרחבים U i, W i V i אזי: (U U 2 U k ) (W W 2 W k ) (U W ) (U 2 W 2 ) (U k W k ) 2 תת מרחבים אינוריאנטים הגדרה 2 יהי T : V V אופרטור תת מרחב U V ייקרא אינוריאנטי (תחת (T אם לכל u U מתקיים T u U הגדרה 22 יהיו T : V V אופרטור, U V תת מרחב אינוריאנטי, ו E בסיס של U אזי T U : U U אופרטור, וניתן T] ] E במלים אחרות, עבור קבוצה בת"ל E V שאינה דווקא בסיס, [T U ] E נסמן הצגה זו בקצרה: להציג אותו כמטריצה [T ] E [T span E ] E תסומן אם span E אינוריאנטי, אז המטריצה T U span {e, e 2 אינוריאנטי, ו [T ] [ ( {e,e 2 T span{e,e 2 ]{e,e 2 x y z ) y z דוגמא,T : R 3 R 3

3 הגדרה 23 מטריצה אלכסונית בלוקים היא מטריצה מהצורה A O O O A 2 O O O A k כך שכל A i ("בלוק") היא מטריצה ריבועית אנו מרשים גם את המקרה הטריויאלי, בו k למה 24 (הצגה אלכסונית בלוקים) יהי T : V V אופרטור יהי V U U 2 U k סכום ישר של מרחבים אינוריאנטים, ולכל,i,, k יהי B i בסיס של U i נסמן B B B 2 B k אזי: [T ] B O O [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bk [T ] B A O O O A 2 O 2 מצד שני, אם O O A k מטריצה אלכסונית בלוקים, אז יש חלוקה של B לאיחוד זר,,B B B 2 B k כך שלכל,i,, k התת מרחב [T ] Bi A i הוא אינוריאנטי, ו U i span B i v F את הוקטור ש k רכיביו הראשונים הם u בהוכחת הלמה, נשתמש בסימון הבא עבור v F k, u F l נסמן ב k+l רכיבי v, והרכיבים הנותרים הם רכיבי u (שירשור שני הוקטורים) הוכחה: באינדוקציה על k () במקרה k אין מה להוכיח הוכחת המקרה 2 :k יהיו,V U U 2 כאשר U, U 2 אינוריאנטים, B, B 2 בסיסים של U, U 2 בהתאמה, B B B 2,v כיון ש B U ו U אינוריאנטי, T (v) U ולכן ניתן להציגו כצירוף לינארי של אברי B לכן, ( לכל B ) [T v]b [T v] B [T u] B u B מתקיים בדומה, לכל u] 2 [T B2 יהיו d B {v,, v r, B 2 {u,, u אזי [T ] B ([T v ] B,, [T v r ] B, [T u ] B,, [T u d ] B ) ( [T v ] B [T v r ],, B,,, [T u ] B2 [T u d ] B2 [T ]B O O [T ] B2 ) כעת נניח את נכונות הטענה () עבור פחות מ k מחוברים, ונוכיחה עבור k מחוברים מהנתון, V (U U 2 U k ) U k סכום ישר של שני תת מרחבים אינטריאנטים, ו B (B B k ) B k 2

4 איחוד זר של בסיסים של שני מרחבים אלה מהמקרה 2 k, נקבל ש [T [T ] B ]B B k O O [T ] Bk [T ] B B k [T ] B O O O [T ] B2 O מהנחת האינדוקציה עבור k, O O [T ] Bk [T ] B [T ] B O O O O [T ] B2 O O O [T ] Bk O O O [T ] Bk ולכן (2) גם כאן המקרה k טריויאלי, והטענה נובעת באינדוקציה מהמקרה 2 k נוכיח איפוא מקרה זה A F r r, A 2 F d d A O יהי d B {v,, v r, u,, u נסמן,[T ] B נניח תהי O A 2 B {v,, v r, B 2 {u,, u d ו (i, 2) U i span B i A O ([T v ] B,, [T v r ] B, [T u ] B,, [T u d ] B ) [T ] B O A 2 A e A e r,,,,, A 2 e A 2 e d A e i U span ולכן שייך ל B (בלבד), v,, v r צירוף לינארי של T v i ובפרט [T v i ] B לכן, לכל,i,, r לכן,,T [U ] span T [B ] U כלומר U הוא אינוריאנטי יתר על כן, כיון ש T v i צירוף לינארי של v,, v r בלבד,,A e i [T v i ] B ולכן [T v i ] B [T ] B ( [T v ] B,, [T v r ] B ) (A e,, A e r ) A,A ונתבונן באופרטור L A : R 3 R 3 של כפל משמאל ב L A (v) : Av,A בדיקה ישירה U span u :, u 2 : [L A ] [LA ] {u,u 2 O {u,u 2,w O [L A ] {w 2 [T ] B2 באותו אופן (בדוק!), U 2 אינוריאנטי ומתקיים A 2, W span w : דוגמא תהי מראה שהתת מרחבים הם אינוריאנטים ושסכומם ישר לכן, [T ] B A O O O A 2 O מסקנה 25 אם O O A k 3

5 אלכסונית בלוקים, אז לכל σ, S k יש בסיס B (המתקבל מ B על ידי שינוי סדר איבריו), כך ש A σ() O O [T ] B O A σ(2) O O O A σ(k) הוכחה: מהחלק השני של הלמה הקודמת, יש פירוק של B לאיחוד זר, B B B 2 B k כך שלכל,i,, k B B σ() B σ(2) B σ(k) בצורה אחרת: B נסדר את אברי [T ] Bi התת מרחב U i span B i הוא אינוריאנטי, ו A i מהחלק הראשון של הלמה, [T ] Bσ() O O A σ() O O O [T ] Bσ(2) O A σ(2) [T ] B O O O [T ] Bσ(k) O O O A σ(k) A O O O A 2 O מסקנה 26 תהי O O A k מטריצה אלכסונית בלוקים לכל σ, S k מטריצה זו דומה למטריצה A σ() O O O A σ(2) O O O A σ(k) כלומר, החלפת סדר הבלוקים באלכסון נותנת מטריצה דומה הוכחה: כל מטריצה היא הצגה של אופרטור לכן אפשר להשתמש במסקנה הקודמת למה 27 יהיו T : V V אופרטור ו V U U 2 U k פירוק לסכום ישר של מרחבים אינוריאנטים אזי: ker T ker T U ker T U2 ker T Uk im T im T U im T U2 im T Uk 3 מרחבים עצמיים מוכללים הגדרה 3 יהי n dim V לכל ערך עצמי λ של T, נגדיר את המרחב העצמי המוכלל { K λ K λ (T ) ker(t λi) n v V : (T λi) n v הגדרה 32 קבוצה (לאו דווקא פורשת) מהצורה v,e { T m v,, T 2 v, T v, כאשר v T m ו v,t m תיקרא מסלול מאורך m 4

6 אפשר לחשוב על T m,v, T 2,v T,v v כמסלול שמתחיל ב v, ובכל פעם מתקדם ל T של מה שהיה קודם, ועוצר בדיוק לפני שמגיעים ל מכאן השם "מסלול" למה 33 כל מסלול הוא קבוצה בת"ל הוכחה: נניח ש v α v + α T v + + α m T m נפעיל m T על שני האגפים, לקבל T m T m ( α v + α T v + + α m T m v ) α T m v + α T m v + α 2 T m+ v + + α m T 2m 2 v α T m v α T m v ולכן α לכן, v α T v + + α m T m v α v + α T v + + α m T m נפעיל איפוא m 2 T על שני האגפים, לקבל T m 2 T m 2 ( α T v + + α m T m v ) α T m v + α 2 T m v + + α m T 2m 3 v α T m v α T m v ולכן α לכן, v α 2 T 2 v + + α m T m v α T v + α 2 T 2 v + + α m T m אם נפעיל כעת m 3 T על שני האגפים, נקבל ש 2 α, וכו' לכן, כל המקדמים הם K λ למה 34 בסימונים הנ"ל: { v V : k, (T λi) k v V λ K λ 2 (p(x) F[x] לכל p(t ) אינוריאנטי תחת (ולכן T אינוריאנטי תחת K λ 3 הוכחה: () ההכלה ( ) מיידית (ניקח (k n נוכיח את ההכלה ( ) יהי k הטבעי הקטן ביותר כך ש v T) λi) k אזי הוקטורים (T λi) k v,, (T λi) v, v הם מסלול ולכן בת"ל לכן, n dim V k לכן, k n ונקבל (T λi) n v (T λi) n k (T λi) k v (T λi) n k V λ { (2) מ,() λ v V : (T λi) v K v K λ יהי T λi מתחלף עם כל חזקה של T לכן, T (T λi) T T λt (T λi)t :T λi מתחלף עם T (3) אז T (T λi) n T v T (T λi) n v לכן, גם T v K λ את העובדה שאם תת מרחב הוא אינוריאנטי תחת אופרטור T, אז הוא אינוריאנטי תחת ) p(t לכל פולינום,p(x) נשאיר כתרגיל לקורא למה 35 בסימונים הנ"ל: אם λ µ ו v K λ, אז (T µi) v K λ { 2 אם,λ µ אז µ K λ K 5

7 הוכחה: () כיון ש v K λ ו K λ אינוריאנטי תחת כל פולינום ב,T גם (T µi) v K λ נניח ש v (T µi) אז T v µv נזכור שבמקרה כזה, לכל F[x] p(x) מתקיים p(t )v p(µ)v בפרט, עבור p(x) (x λ) n נקבל v,(t λi) n v (µ λ) n בסתירה להנחה ש v K λ (2) נניח שיש v K λ K µ מ,() נקבל שכל הוקטורים הבאים שייכים ל K λ ושונים מ : v, (T µi) v, (T µi) 2 v,, (T µi) n v בפרט, v,(t µi) n בסתירה לכך ש v K µ למה 36 יהי λ ערך עצמי של אופרטור T : V V נסמן I λ im(t λi) n אזי: λ I אינוריאנטי V K λ I λ 2 הוכחה: () T מתחלף עם T λi (2) יהי v K λ I λ אזי v (T λi) n u ולכן (T λi) n v (T λi) 2n u ולכן (מהלמה הקודמת) u v (T λi) n ממשפט המימדים ומשפט הדרגה של העתקה לינארית, נקבל dim(k λ I λ ) dim K λ + dim I λ dim V למה 37 (הפולינום האופייני של אופרטור נילפוטנטי) יהי T : V V אופרטור נילפוטנטי אזי הפולינום האופייני של T הוא חזקה של x (כלומר,,p T (x) x n כאשר (n dim V בפרט, הוא הערך העצמי היחיד של T הוכחה:,T n O לכן m T (x) x n כיון שכל גורם אי פריק של (x) p T מופיע ב (x) m T ומעלת (x) p T היא p T (x) x n,n למה 38 יהי λ ערך עצמי של,T ונסמן T T Kλ אזי,p T (x) (x λ) m כאשר m dim K λ הוכחה: T λi : K λ K λ מקיים,(T λi) n O לכן נילפוטנטי מהלמה על הפולינום האופייני של אופרטור נילפוטנטי,(37) x m p T λi(x) xi (T λi) (x + λ)i T p T (x + λ) ואם נציב y x + λ נקבל p T (y) (y λ) m למה dim K λ 39 שווה לריבוי האלגברי של λ הוכחה: ניקח בסיסים,B C עבור K λ, I λ בהתאמה מלמת ההצגה האלכסונית בלוקים (24), [T ]B O, [T ] B C O [T ] C ולכן (x) p T (x) p T Kλ (x) p T Iλ p T Kλ (x) (x λ) dim K λ מהלמה הקודמת, { מצד שני, λ אינו ערך עצמי של T Iλ (כי V λ K λ ו λ,(k λ I ולכן x λ אינו גורם ב (x) p T Iλ כיון שכאמור, (x) x λ,p T (x) p T Kλ (x) p T Iλ מופיע dim K λ פעמים ב (x),p T וזהו הריבוי האלגברי של λ משפט 3 (פירוק למרחבים עצמיים מוכללים) נניח שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים מעל F λ,, λ k הערכים העצמיים השונים של T אזי יהיו V K λ K λk פירוק של V לסכום ישר של תת מרחבים אינוריאנטים 6

8 הוכחה: א באינדוקציה על,i,, k נראה שהסכום K λ + + K λi הוא ישר: עבור i אין מה להוכיח המקרה 2 i הוכח לעיל (למה (35 נניח איפוא שהסכום עד i הוא ישר, ונוכיח עבור + :i יהי i+ v (K λ + + K λi ) K נציגו v v + + v i כאשר כל v j K λj נפעיל,(T λ i+ I) n לקבל (T λ i+ I) n v (T λ i+ I) n v + + (T λ i+ I) n v i כיון שכל K λi אינוריאנטי תחת T λ i+ I (למה,(34 זו הצגה של כאיבר של K λ + + K λi מהנחת האינדוקציה סכום זה ישר, ולכן ההצגה יחידה, ולכן היא בעצם + +, כלומר (T λ i+ I) n v (T λ i+ I) n v i לכן,,v K λi+ K λ ולכן v מאותה סיבה, גם i,v 2 v ולכן v ב כיון שהסכום K λ + + K λk ישר,,dim (K λ + + K λk ) dim K λ + + dim K λk ששווה לסכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של T (למה 39) כיון שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים, סכום זה שווה למימד של,V ולכן V K λ + + K λk 4 מבוא למשפט ג'ורדן משפט 4 (משפט ג'ורדן) תהי A F n n מטריצה שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים שכל בלוקיה הם בלוקי ג'ורדן (λ) J: m J m (λ ) O O O J m2 (λ 2 ) O O O J mk (λ k ) ) k λ,, λ אינם בהכרח שונים) 2 יהי T : V V אופרטור כך שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים אזי T ניתן להצגה כמטריצה כנ"ל יתר על כן, הצגות המטריצה או האופרטור בעזרת בלוקי ג'ורדן כנ"ל הן יחידות, עד כדי שינוי סדר הבלוקים הגדרה 42 הצגה של מטריצה/אופרטור בעזרת בלוקי ג'ורדן כנ"ל תיקרא צורת ג'ורדן של המטריצה/אופרטור הערה 43 משפטים רבים בקורס נובעים מיידית ממשפט ג'ורדן למשל: כל מטריצה שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינארים ניתנת לשילוש 2 משפט קיילי המילטון (כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים דבר שאפשר להבטיח על ידי הרחבת שדות, שתלמדו בקורס אחר) 3 הפולינום המינימלי מחלק את האופייני והאופייני מחלק חזקת המינימלי (כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים) בהוכחת משפט ג'ורדן, נשתמש בחלק ממשפטים אלה לכן, אין לראות בזה הוכחה חדשה של המשפטים הקודמים, אלא יותר המחשה כמה משפט ג'ורדן מסכם יפה דברים רבים שלמדנו, ותורם להבנת המבנה של מטריצות ותכונותיהן מסקנה 26 מסבירה מדוע היחידות של צורת ג'ורדן היא רק עד כדי סדר הבלוקים נקודת המוצא להוכחת משפט ג'ורדן היא משפט הפירוק למרחבים עצמיים מוכללים (3):,K λ,, K λk בהתאמה יהיו λ, λ 2,, λ k הערכים העצמיים השונים של T V K λ K λk יהיו B,, B k בסיסים של כיון שכל K λ אינוריאנטי (למה 34), נקבל מלמת ההצגה האלכסונית בלוקים ש [T ] B O O [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bk יהי i,, k מהגדרת מרחב עצמי מוכלל, (T λ i I) n מתאפס על K λi לכן, אם נגדיר,N i : T λ i I נקבל ש: 7

9 K λi אופרטור נילפוטנטי על N i [T ] Bi [N i ] Bi + λ i I כלומר,[N i ] Bi [T λ i I] Bi [T ] Bi λ i I 2 לכן, נרצה להבין איך אפשר להציג אופרטור נילפוטנטי את זאת נעשה כעת 5 משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בסעיף זה, נוכיח שלכל אופרטור נילפוטנטי יש צורת ג'ורדן אם בלוק (λ) J m מופיע בצורת ג'ורדן של אופרטור, אז λ מופיע בין אברי האלכסון של צורת ג'ורדן זו, וכיון שמטריצה זו משולשית עליונה, λ ערך עצמי שלה, ולכן גם של האופרטור לכן, אם יש לאופרטור נילפוטנטי צורת ג'ורדן, אז כל הבלוקים בצורה הזו הם מהסוג () m J לסיכום: המטרה שלנו היא להוכיח שלכל אופרטור נילפוטנטי יש הצגה אלכסונית בלוקים, עם בלוקים מהסוג J m () ממשפטון ההצגה האלכסונית בלוקים, מה ששקול לעשות זה למצוא בסיס מהצורה B, E E k כך שכל E i פורש [T ] E J m () ראשית נבדוק מתי קורה ש (m i #E i (עבור [T ] Ei תת מרחב אינוריאנטי, ולכל J mi (),i T n v כאשר,E { T n v,, T 2 v, T v, v [T ] E למה 5 יהיו T : V V אופרטור, E בסיס של J n () V הוכחה: ( ) יהי n E {v,, v מהנתון, ([T v ] E, [T v 2 ] E,, [T v n ] E ) [T ] E J n (), e,, e n [T v ] E ולכן T v נסמן v v n אזי,[T v i ] E ולכן i T v i v כמו כן, e i [v i ] E לכל < i, v n T v n T v, v n 2 T v n T 2 v,, v T v 2 T n v וכן T v T n v ( ) מהנתון, [T ] E ([ T (T n v) ], [ T (T n 2 v) ],, [T (v)] E E E) ( [T n v] E, [ T n v ],, [T v] ) E E, e,, e n J n () T [span {v,, v k ] span {T v,, T v k span (T [{v,, v k ]) תזכורת: לכל :v,, v k V בפרט, ] k T [span {v,, v תת מרחב של V למה 52 אם E מסלול, אז תת המרחב span E הוא אינוריאנטי הוכחה: תהי v E { T m v,, T 2 v, T v, בת"ל, כאשר v T m לכל T (T i v),(i,, m 2) T i v E T [span E] span(t [E]) לכן, T (T m v) T m v span E,i m גם עבור T i+ v E span E span E [T ] E מוגדר [T span E ] E לכן, לכל מסלול T span E : span E span E,E אופרטור, ו T ]אם ] E ורק אם E מסלול מסקנה () 53 m J הגדרה 54 בסיס שההצגה של T לפיו היא צורת ג'ורדן ייקרא בסיס מג'רדן של T מסקנה 55 (המבנה של בסיס מג'רדן) יהי T אופרטור נילפוטנטי [T ] B הוא בצורת ג'ורדן (כלומר, B הוא בסיס מג'רדן של B E E k (T איחוד של מסלולים זרים m שאורכם B ב E i שווה למספר המסלולים [T ] B יתר על כן: לכל m, מספר הבלוקים () m J ב בפרט, צורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד על ידי מספרי המסלולים ב B מכל אורך 8

10 בסיס מג'רדן נראה, איפוא, כך: יש וקטורים v,, v rk V כך שהוקטורים T k v,, T k v r {{, T k 2 v r+,, T k 2 v r2 {{,, T v rk 2 +,, T v rk {{, v rk +,, v rk {{ שייכים כולם ל,ker T וכך שהבסיס הוא איחוד המסלולים שמסתיימים בהם v v r T v T v r v r+ v r2 T k v {{ T k v r T k 2 v r+ {{ T k 2 v r2 v rk 2 + v rk T v rk 2 + {{ T v rk v rk + {{ v rk (בסידרה זו יש r + r r k וקטורים) יהי B בסיס כזה אם נסמן,r אז: B { T i v j : d,, k : j r d +,, r d ; i,, k d נסדר את B כך שקודם קוראים את העמודה הראשונה משמאל אחריה את העמודה השניה משמאל, וכן הלאה, כאשר כל עמודה נקראת מלמטה למעלה אזי T] ] B היא אלכסונית בלוקים, עם בלוקי ג'ורדן מהצורה () m J נשתמש בסימון הבא: עבור מטריצה ריבועית A ומספר טבעי r, A O O, r A O A O O O A כאשר הבלוק A מופיע באלכסון r פעמים אזי [T ] B r J k () O O O (r 2 r ) J k () O O O (r k r k ) J () משפט 56 (משפט ג'ורדן הנילפוטנטי - קיום) יהי T : V V אופרטור נילפוטנטי מסדר k אזי יש בסיס מג'רדן של T (ולכן יש ל T צורת ג'ורדן) הוכחה: נשים לב ש,im T k ker T ולכן im T k ker T im T k 2 ker T im T k 3 ker T im T ker T ניקח בסיס T k v,, T k v r של k im T נשלים אותו לבסיס של k 2,ker T im T על ידי הוספת וקטורים T k 2 v r+,, T k 2 v r2 נשלים את מה שהתקבל לבסיס של k 3,ker T im T על ידי הוספת וקטורים T k 3 v r2+,, T k 3 v r3 נמשיך באותו אופן, עד שנקבל בסיס T k v,, T k v r, T k 2 v r+,, T k 2 v r2,, T v rk 2 +,, T v rk, v rk +,, v rk {{{{{{{{ 2 k k של ker T נוכיח שאיחוד המסלולים B v v r T v T v r T v T k v r {{ v r+ v r2 T k 2 v r+ {{ T k 2 v r2 2 v rk 2 + v rk T v rk 2 + {{ T v rk k v rk + v rk {{ k 9

11 k i r d i d jr d + α ij T i d v j מהווה בסיס של V אי תלות לינארית: נבחן צירוף לינארי כללי שמתאפס: נפעיל את k T על שני האגפים כמעט כל הוקטורים יתאפסו (כיון שהוקטורים בשורה התחתונה של מטריצת הוקטורים הנ"ל כולם ב,(ker T ונקבל α T k v + + α r T k v r r j α j T k v j כיון ש T k v T k v r בת"ל (אברי השורה האחרונה במטריצת הוקטורים הם בסיס של α α 2,(ker T r α, כלומר מקדמי השורה הראשונה מתאפסים לכן, k i r d i2 d jr d + α ij T i d v j k i r d i d jr d + α ij T i d v j כעת, נפעיל את 2 k T על אגף שמאל כמעט כל הוקטורים יתאפסו, ונקבל α 2 T k v + + α 2r T k v r + α 2,r+T k 2 v r+ + + α 2r2 T k 2 v r2 2 r d d jr d + α 2j T k d v j וכיון שזה צירוף לינארי של וקטורים בת"ל, נקבל ש 2r2 α, 2 α כלומר מקדמי השורה השניה מתאפסים נמשיך באותו אופן, להראות שלכל i,,, k מקדמי שורה i הם, כלומר כל המקדמים הם פרישה: לכל k,m,, הבסיס שבחרנו עבור ker T im T m מוכל ב [B] T m (התבונן ב (B ובפרט ב B],T m [span שהוא תת מרחב לכן, ker T im T m T m [span B] יהי v V אז B] T k v im T k T k [span טענה: לכל k,m,, אם B],T m v T m [span אז B] T m v T m [span T (T m v T m u) T m v T m u הוכחת הטענה: יהי u span B כך ש,T m v T m u אז כיון ש B],T m u T m [span גם v T m T m v T m u ker T im T m לכן B] T m [span T m [span B] לכן, כיון ש[ B,T k v T k [span נקבל ש B],T k 2 v T k 2 [span ומזה נקבל ש B],T k 3 v T k 3 [span וכו', ולבסוף נקבל ש v T v T [span B] span B למה 57 יהי v E { T m v,, T 2 v, T v, מסלול מאורך,m ונסמן T : T span E,V : span E אזי ( ) dim ker T im T j { j m j < m { { im T j (כיון ש (V span E בפרט, T j [V ] [E] T j (כיון ש v,(t m ולכן הוכחה: יהי m j אז ( dim ker T im T j ) יהי j < m כיון ש T v, T 2 v, T m v im T והם בת"ל, m dim im T לכן, dim ker T + (m ) dim ker T + dim im T dim V m ) T m v ker T im T j, לכן המימד הוא גם לכן,,dim ker T ובפרט dim T im T j מצד שני, (ker

12 משפט 58 (משפט ג'ורדן הנילפוטנטי - יחידות) יהי T : V V אופרטור נילפוטנטי מסדר k, ויהי B בסיס מג'רדן של T אזי T]) ] B נקבע באופן יחיד על ידי T בפירוט: מספר המסלולים מכל אורך ב B (ולכן גם מספר הבלוקים מכל גודל ב המסלול הארוך ביותר ב B הוא מאורך k 2 לכל,j,, k מספר המסלולים שאורכם גדול מ j הוא j) dim ( ker T im T (לכן מספר המסלולים מאורך j בדיוק הוא j) (dim ( ker T im T j ) dim ( ker T im T הוכחה: () נניח שכל המסלולים הם מאורך קטן מ k אז v T k לכל,v B ולכן לכל,v V כלומר,T k O בסתירה לנתון מצד שני, כיון ש T, k O אין מסלול באורך + k או יותר (אחרת, וקטור האפס היה שייך למסלול, בסתירה להגדרת מסלול) (2) יהיו E,, E r המסלולים ב,B ונסמן T i T Vi,V i span E i כיון ש V V V r פירוק לסכום ישר של תת מרחבים אינוריאנטים, לכל j מתקיים im T j im T j im T r j ker T ker T ker T r ( ker T im T j ker T im T j dim ( ker T im T j) ( dim ker T im T j ) ( ker T r im Tr j ) ) + + dim ( ker T r im Tr j ) לכן, ולכן מהלמה הקודמת, המחוברים בסכום מימין הם כאשר אורך המסלול קטן או שווה ל j, ואחרת לכן, סכומם שווה למספר המסלולים שאורכם גדול מ j אופרטור נילפוטנטי הוא דוגמא למטריצה עם ערך עצמי יחיד משפט 59 (משפט ג'ורדן עבור אופרטור עם ערך עצמי אחד) יהי T : V V כך שהפולינום האופייני של T הוא חזקה של x λ (במלים אחרות, (x) p T מתפרק לגורמים לינארים, ויש ל T ערך עצמי יחיד λ) אזי יש ל T הצגה אלכסונית בלוקים, עם בלוקי ג'ורדן (λ) J m הצגה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים הוכחה: קיום: האופרטור T λi הוא נילפוטנטי:,(T λi) n p T (T ) O ממשפט קיילי המילטון ממשפט ג'ורדן הנילפוטנטי (56), יש בסיס B של V כך ש J m () O O [T λi] B O J m2 () O O O J mk (),[T λi] B [T ] B כיון ש λi [T ] B J m () O O O J m2 () O O O J mk () + λi J m (λ) O O O J m2 (λ) O O O J mk (λ) T] ] B היתה הצגה אחרת כזו, אז היינו מקבלים הצגה אחרת לאופרטור הנילפוטנטי T, λi בסתירה ליחידות יחידות: אילו ל במשפט ג'ורדן הנילפוטנטי (58)

13 6 משפט ג'ורדן הכללי משפט 6 (משפט ג'ורדן) יהי T : V V אופרטור כך שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים אזי T ניתן להצגה כמטריצה אלכסונית בלוקים עם בלוקי ג'ורדן יתר על כן, צורת ג'ורדן היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים הוכחה: קיום: יהיו λ, λ 2,, λ k הערכים העצמיים השונים של T ממשפט,3 λk V K λ K יהיו B,, B k בסיסים של,K λ,, K λk בהתאמה כיון שכל K λ אינוריאנטי (למה 34), נקבל מלמת ההצגה האלכסונית בלוקים ש T] ] Bi אלכסונית בלוקים שבאלכסונה מופיעים [T ] B O O [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bk לכל,i,, k כבר ראינו שהפולינום האופייני של T Kλi הוא חזקה של x λ i ממשפט ג'ורדן עבור אופרטור עם ערך עצמי יחיד, אפשר לשנות את B i כך ש בלוקי ג'ורדן ) i J m (λ T] ] B אלכסונית בלוקים ובאלכסונה מופיעים בלוקי ג'ורדן יהי λ ערך עצמי של T נשנה את יחידות: יהי B בסיס של V כך ש סדר הבלוקים (על ידי שינוי סדר אברי הבסיס) כך שכל הבלוקים מהצורה (λ) J m מכונסים בחלק השמאלי העליון של המטריצה, ושאר הבלוקים הם כל אחד עם ערך עצמי שונה מ λ אז Aλ O, [T ] B O A כאשר A λ היא המטריצה האלכסונית בלוקים של כל הבלוקים מהצורה (λ) J, m ואילו A מכילה בלוקים מהצורה (µ) J m עם T ולכן נקבע באופן יחיד על ידי λ, הוא הריבוי האלגברי של A λ של k הגודל µ λ span {v,, v k כאשר,A λ [T ] {v,,v k מהמשפטון על הצגה אלכסונית בלוקים, אם נסמן n,b {v,, v אז אינוריאנטי לכן, Aהיא λ צורת ג'ורדן של האופרטור k T, span{v,,v והפולינום האופייני שלו הוא חזקה של x λ מהמשפט על יחידות צורת ג'ורדן של אופרטור עם ערך עצמי יחיד (59), מספר הבלוקים (λ) J m מכל גודל m ב A λ נקבע באופן יחיד על ידי T הערה 62 בהצגת ג'ורדן של T, לכל ערך עצמי λ של T: מספר הבלוקים (λ) J m הוא הריבוי הגאומטרי של λ 2 ה m הגדול ביותר כך ש (λ) J m מופיע בהצגת T הוא מעלת x λ ב (x) m T מהמשפטים הנ"ל מקבלים מיידית משפטים מתאימים עבור מטריצות ריבועיות A כאשר (x) p A מתפרק לגורמים לינארים: מפעילים את המשפטים על האופרטור של כפל משמאל במטריצה A מסקנה 63 מטריצות, שהפולינום האופייני שלהן מתפרק לגורמים לינאריים, הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים) הוכחה: אם המטריצות דומות, אז הן הצגות של אותו אופרטור (אפשר גם להוכיח ישירות) אם הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אפשר לעבור לשדה יותר גדול שבו הפולינום מתפרק, ולבדוק שם דמיון בעזרת חישוב צורת ג'ורדן 7 תרגול ראשית, נסכם את תהליך מציאת הבסיס המג'רדן, "מלמעלה למטה" 2

14 7 ג'ירדון אופרטור יהי T : V V אופרטור נחשב את (x) p T אם (x) p T אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אז אין ל T צורת ג'ורדן נניח איפוא ש (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים V K λ K λ2 K λm לשימוש עתידי, נחשב את (x) m T יהיו λ,, λ m הערכים העצמיים השונים של T אז פירוק של V לסכום ישר של תת מרחבים אינוריאנטים תחת (כל פולינום ב) T יש למצוא, לכל,i,, m בסיס B i של K λi שמג'רדן את T Kλi לאחר שנעשה זאת, B B B m יהיה בסיס מג'רדן, ויתקיים [T ] B O O, [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bm B i אופן מציאת הבסיס λ i יהיה מטריצה אלכסונית בלוקים, שבאלכסונה מופיעים בלוקי ג'ורדן עם ערך עצמי T] ] Bi כאשר כל T ולכן מהי צורת ג'ורדן של T], ] Bi גם יאמר לנו כמה בלוקי ג'ורדן מכל גודל יש ב יהי i נתון T i : T λ i I Kλi הוא נילפוטנטי סדר הנילפוטנטיות שלו, שנסמן כאן,k הוא חזקת ) i (x λ ב (x) m T הבסיס המג'רדן של T i מתקבל איפוא בשני שלבים: בונים בסיס של ker T i על ידי התחלה מבסיס לתת המרחב הקטן ביותר ברשימה הבאה, השלמתו לבסיס למרחב הבא בתור, וכו', עד להשלמה לבסיס למרחב כולו im T k i ker T i im T k 2 i ker T i im T k 3 i ker T i im T i ker T i v, T i v,, T j j+ 2 כל וקטור בבסיס זה הוא מהצורה T j i v כך ש v Ti משלימים כל וקטור כזה למסלול השלם i v אוסף כל המסלולים הוא הבסיס המג'רדן, וכל מסלול תורם בלוק ג'ורדן אחד, שגודלו שווה לאורך המסלול ker T i K λi ker (T λ i I) ker (T λ i I) V λi im T j i K λi im (T λ i I) j בשפה של T המקורי, לכל k :j,, ולכן שרשרת התת מרחבים הנ"ל היא למעשה ker T i im T j i V λi im (T λ i I) j V λi im (T λ i I) k V λi im (T λ i I) k 2 V λi im (T λ i I) k 3 V λi im (T λ i I) V λi והמסלולים שסוללים מכל וקטור בבסיס המתקבל נראים כך (T λ i I) j v,, (T λ i I) v, v מבחינה חישובית, גם במקרה של אופרטור נעבוד בפועל עם הצגה כלשהי שלו כמטריצה לכן נתרגם את הדיון הנ"ל לשפה של מטריצות 72 ג'ירדון מטריצה תהי A F n n מטריצה ריבועית נחשב את (x) p A אם (x) p A אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אז אין ל A צורת ג'ורדן נניח איפוא ש (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים לשימוש עתידי, נחשב את (x) m A יהיו λ,, λ m הערכים העצמיים השונים של A יהי i נתון יהי k חזקת ) i (x λ ב (x) m A נחשב בסיס B i של K λi בשני שלבים: 3

15 בונים בסיס של V λi על ידי התחלה מבסיס לתת המרחב הקטן ביותר ברשימה הבאה, השלמתו לבסיס למרחב הבא בתור, וכו', עד להשלמה לבסיס למרחב כולו V λi Col (A λ i I) k V λi Col (A λ i I) k 2 V λi Col (A λ i I) k 3 V λi Col (A λ i I) V λi למשל, למציאת בסיס של k V λi Col (A λ i I) אפשר: (א) לחשב את k (A λ i I) ולקחת בסיס u,, u r של מרחב העמודות שלה (ב) עבור משתנים,x,, x r נפתור את מערכת המשוואות ) r (A λ i I) (x u + + x r u וניקח בסיס למרחב הפתרונות 2 כל וקטור בבסיס זה הוא מהצורה (A λ i I) j v כך ש v (A λ i I) j+ משלימים כל וקטור כזה למסלול השלם (A λ i I) j v,, (A λ i I) v, v אוסף כל המסלולים הוא הבסיס המג'רדן, וכל מסלול תורם בלוק ג'ורדן אחד, שגודלו שווה לאורך המסלול המטריצה המג'רדנת P היא המטריצה שעמודותיה הן אברי כל המסלולים שסללנו לעיל, מסודרים כך שקודם כותבים את סוף המסלול, וממשיכים ימינה עד להתחלת המסלול (אם נעשה להיפך, הבלוקי ג'ורדן יצאו משוחלפים) אז P AP תהיה צורת ג'ורדן של A הערה: אם ל A יש ערך עצמי יחיד λ ו k הוא סדר הנילפוטנטיות של A, λi אז,Col(A λi) k V λ ולכן לא צריך לחתוך עם V λ בחישוב המרחב השמאלי ביותר (כך עשינו גם בהוכחת משפט ג'ורדן הנילפוטנטי) הערה 7 ישנן כל מיני שיטות להאצת התהליך, אבל מעט יותר קשה להוכיח את תקפותן כמו כן, חלק מהשיטות שתוכלו למצוא באינטרנט הן פשוט לא נכונות השתמשו בזהירות כעת נתרגל עם דוגמאות קונקרטיות כל הדוגמאות הן מעל R (ולא נציין זאת במפורש בהמשך) כמובן, אפשר לתת דוגמאות מעל כל שדה 73 דוגמאות עם ערך עצמי יחיד 73 מטריצות 3 3 בחרנו דוגמאות שבהן החישובים קצרים, כדי להמחיש את השיטה בצורה קצרה יותר 2 A דוגמה : נג'רדן את המטריצה 3 2) 3 (x p A (x) (x 2) ((x )(x 3) + ) (x 2)(x 2 4x + 4) מתפרק לגורמים לינאריים, לכן אפשר לג'רדן (A מספיק לחשב את שני האיברים הראשונים של השורה הראשונה של 2I) 2 (למעשה, (A 2I) 2 O כדי לראות זאת) לכן, 2) 3 (x m A (x) p A (x) 2, כלומר הבסיס המג'רדן של האופרטור A 2I הוא מסלול אחד באורך 3 2 לכן, צורת ג'ורדן של A היא 2 כעת נראה איך מוצאים מטריצה מג'רדנת P עבור A ל A יש רק הערך העצמי 2 2 2I) (A כבר חישבנו לעיל, וסדר הנילפוטנטיות הוא 3 יש למצוא 2I A ואת בסיס ל V 2 משמאל לימין, בסדרה Col (A 2I) 2 V 2 Col (A 2I) V 2 אבל אנו כבר יודעים שהבסיס יהיה מסלול אחד מאורך 3, כלומר יש למצוא וקטור אחד במרחב השמאלי, ואז המסלול שמסתיים בו הוא הבסיס מהתבוננות במטריצה 2I) 2 (A שחושבה לעיל, רואים ש{ Col(A 2I) 2 span {e 4

16 AP,P ואכן חישוב כעת, e (A 2I) 2 e 3 (כי זו העמודה השלישית של,(A 2I לכן המסלול הוא: { e (A 2I) 2 e 3, (A 2I)e 3, e 3,, P חייב להתקיים נשים את הבסיס שקיבלנו בעמודות מטריצה: ישיר מראה זאת, והבסיס המג'רדן דוגמא 2: נדגים בקצרה את שתי האפשרויות הנותרות עבור מטריצות 3 3 עם ערך עצמי יחיד: 2 A,p A (x) (x 2) 3 ו 2) 2 (x m A (x) לכן, צורת ג'ורדן היא 2 א 2 יכיל מסלול אחד מאורך 2 ומסלול אחד מאורך כלומר, בשרשרת Col (A 2I) V 2 המרחב השמאלי (שנותן מסלולים מאורך 2) יהיה ממימד, והמרחב הימני (שנותן מסלולים מאורך ) יוסיף מימד, כלומר יהיה ממימד 2 Col (A 2I) Col span {e 3 ו,e 3 (A 2I)e לכן המסלול שתורם מרחב זה הוא e 3, e,v 2 Null(A 2I) Null אז ניקח את e 2 את e 3 עלינו להשלים לבסיס עבור 3 span {e 2, e P (e 3, e, e 2 ) המטריצה המג'רדנת תהיה 2 J כיון ש J P AP עבור P מתאימה, 2 ב במקרה הנותר, 2 x m A (x) ולכן צורת ג'ורדן היא 2 הדוגמא היחידה היא 2 A P JP P (2I)P 2I 2 2 שהיא כבר בצורת ג'ורדן (וכל מטריצה הפיכה היא "מג'רדנת", למשל P) I אם נתעקש לעשות את תהליך הג'ירדון בכל זאת, נראה שעלינו למצוא בסיס ל V 2 בלבד, כי סדר הנילפוטנטיות של A 2I הוא כלומר, יש 3 וקטורים עצמיים שתורמים כל אחד מסלול מאורך תרגיל: צורת ג'ורדן של מטריצה 3 3 נקבעת באופן יחיד על ידי הפולינום האופייני והפולינום המינימלי שלה A p A (x) (x 2) 4, m A (x) (x 2) 2 לכן יש שתי אפשרויות לבסיס המג'רדן: שני 732 מטריצות 4 4 עם ערך עצמי יחיד מסלולים מאורך 2, או מסלול אחד מאורך 2 ושני מסלולים מאורך מספר המסלולים מאורך 2 הוא המימד של (2I Col A) 9 3 Col (A 2I) span {(A 2I)e, (A 2I)e 2 span 2 6,

17 לכן יש שני מסלולים מאורך 2, ואלה נותנים לנו את המטריצה המג'רדנת: 9 3 P ((A 2I)e, e, (A 2I)e 2, e 2 ) AP P (זה חייב להתקיים חישוב P במפורש רצוי רק לצרכי בדיקה שלא טעינו בחישוב) ומתקיים תרגיל: ג'רדן את המטריצה 74 דוגמא עם יותר מערך עצמי אחד, כלומר יהיה 2 2 V 2 Col(A 2I) V 2 Col V 2 A m A(x) (x ) 2 (x 2) 2 p A (x) ולכן צורת ג'ורדן היא x y z : x, y, z R 2 2 מסלול אחד באורך 2 עבור כל אחד מהערכים העצמיים של A V 2 span {e, e 2, e 3 x y z R4 : עבור הערך העצמי 2, יש לחשב איפוא את x y z שימו לב! כאן לא יכלנו לוותר על החיתוך עם V, 2 כיון ש A 2I אינה נלפוטנטית (כי ל A יש עוד ערכים עצמיים חוץ מ 2) פתרון המערכת ההומוגנית הוא z y R,x כלשהו לכן, e 2 (A 2I)e 4 בסיס עבור המרחב, ותורם את המסלול e 2, e 4 V Col(A I) V Col V x y z V span {e, e 2, e 4 : x, y, z R x y z R3 : עבור הערך העצמי, יש לחשב את x y z פתרון המערכת ההומוגנית הוא z x R,y כלשהו לכן, e (A I)e 3 בסיס עבור המרחב, ותורם את המסלול e, e 3 P AP 2 2 לכן, המטריצה ) 3 P (e 2, e 4, e, e מקיימת 6

18 , A,p A(x) (x )(x + ) 3 m A (x) ולכן צורת ג'ורדן היא 75 דוגמא לסיום 3 2 כלומר יהיה לנו מסלול אחד מאורך 3 עבור הערך העצמי, ומסלול אחד מאורך (כלומר, וקטור עצמי) עבור הערך העצמי V Col(A + I) 2 V Col x v וצריך לקיים I)v (A + נחשב: x + 5y 4y 4y 8y 8y 8y + y :λ וקטור בחיתוך הוא מהצורה y ו R x כלשהו ניקח,x כלומר v e (A + I) 2 e 3 המסלול הוא,e, (A + I)e 3, e 3 שהוא לכן דרוש,, v :λ נפתור את המשוואה I)v (A למצוא וקטור עצמי P ונקבל ש P AP היא בצורת ג'ורדן ש"ניבאנו" לעיל ניקח איפוא די פשוט, אחרי הכל 7

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017 מבוא לתורת החבורות מהדורה 3.931 הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, 88-211, באוניברסיטת בר אילן. הקורס

Διαβάστε περισσότερα

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב.

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב. אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 אתר הקורס.clickit3 מרצה : בני מוניץ הציון: מבחן סופי: 80% שיעורי בית 20% ואפשרות לבוחן אמצע 20% מגן גרפים הגדרה: תהי V קבוצה סופית לא ריקה. ותהי E קבוצה

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E של הלמה של צורן י י י י שומים של צורן הל מה תזכרת יהי R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה Ω 1 הג הג a< Rb ( arb bra), a Rb ( arb a= א לכל, ab Ωנגדיר (b R >סדר R קדם-סדר קהה מעל Ω (=טרנזיטיבי ורפלקסיבי מעל Ω) ו לא

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

למידה חישובית אלי דיין 1.

למידה חישובית אלי דיין 1. למידה חישובית אלי דיין תקציר מסמך זה יביא את סיכומי השיעורים מהקורס למידה חישובית, שהועבר על ידי פרופ ישי מנצור בסמסטר א בשנה ל תשע ג. תוכן עניינים 5 מה זה למידה חישובית? 5 סוגי

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב יובל אדם Young man, in mathematics you don t understand things. You just get used to them. - John von Neumann תוכן עניינים 2 פרולוג....................................

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013 מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות 80711 אור דגמי, or@digmi.org 23 בינואר 2013 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ מתניה בן ארצי בשנת לימודים 2013. ספר לימוד של פינצ ובר רובינשטיין מבוא למד

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 12 השראות חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות השראות הדדית ועצמית בשבוע שעבר דיברנו על השראות בין לולאה לבין השינוי בשטף המגנטי שעובר דרכה על ידי שימוש בחוק פאראדיי ε = dφ m dt הפעם נסתכל על מקרה בו יש יותר מלולאה

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

Electric Potential and Energy

Electric Potential and Energy Electric Potential and Energy Submitted by: I.D. 039033345 The problem: How much energy is needed to create the following configuration? The solution: Let φ i be the potential at the position of the charge

Διαβάστε περισσότερα

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2 סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:

Διαβάστε περισσότερα

2 a 2 x ( ) a3 x 2

2 a 2 x ( ) a3 x 2 . טכניקה אלגברית חד-איבר (חזרה) ביטויים מהסוג: 5a,b (-)bc,-a 7,y המהווים מכפלה של מספרים, אותיות (משתנים) וחזקות, מכונים חד-איבר. גם מספר, משתנה או חזקה בודדים מכונים חד-איבר. לדוגמה, כל אחד מהביטויים

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס:

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: w = f (z) = U (x, y) + iv (x, y), U = V = 0 הפונקציה f מעתיקה ממישור y) zלמישור = (x,

Διαβάστε περισσότερα

דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא ע"פ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!!

דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא עפ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!! דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה פונקצית תמסורת : Y( s) G X ( s) הגדרות בסיסיות : סדר של פונקצית תמסורת סדר הפולינום במכנה (החזקה הכי גבוהה של פולינום המכנה). אפסים- שורשים של פולינום המונה. קטבים שורשים

Διαβάστε περισσότερα

מכניקה אנליטית תרגול 6

מכניקה אנליטית תרגול 6 מכניקה אנליטית תרגול 6 1 אלימינציה של קואורדינטות ציקליות כאשר יש בבעיה קואורדינטה ציקלית אחת או יותר, לעתים נרצה לכתוב פעולה חדשה (או, באופן שקול, לגראנז'יאן חדש) אשר לא כולל את הקואורדינטות הללו, וממנו

Διαβάστε περισσότερα

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט אוניברסיטת ירושלים הנושא: אינדוקציה מתמטית - אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה הוכן ע"י: נצה מובשוביץ-הדר, המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, הטכניון, חיפה. תקציר: במאמר מוצגות

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים. אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל שלבי הרקורסיה, אך עתה אין צורך להיכנס לתיאור הריצה של.

מבני נתונים. אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל שלבי הרקורסיה, אך עתה אין צורך להיכנס לתיאור הריצה של. מבני נתונים תרגיל 2 פתרונות מיון מהיר 1. הריצו את השיטה partition על המערך הבא. הראו את שלבי הריצה השונים. 6, 10, 20, 4, 2, 15, 5, 99, 12, 1 אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל

Διαβάστε περισσότερα

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A =

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A = פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום,

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 חיים שחור סיכומי שיעורים של ד"ר גיא קינדלר 21 ביוני 2012 תוכן עניינים 2.................................................. אוטומטים ושפות רגולריות 1 3........................................................

Διαβάστε περισσότερα

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא כמות השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה

Διαβάστε περισσότερα

יחידה - 7 זוויות חיצוניות

יחידה - 7 זוויות חיצוניות יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים תאור המערכת: תור / M M / ( ) שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. זמן

Διαβάστε περισσότερα

מבנה נתונים סיכומי הרצאות

מבנה נתונים סיכומי הרצאות מבנה נתונים סיכומי הרצאות 22 ביוני 2010 הערה לקראת המבחנים מרצה: דורית אהרונוב סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com כרגע חסרים מספר דברים בסיכום, כמו פונקציות גיבוב, וכמובן שתמיד

Διαβάστε περισσότερα

הקדמה קצרה: מהות הקורס ומטרתו

הקדמה קצרה: מהות הקורס ומטרתו הקדמה קצרה: מהות הקורס ומטרתו עד כה, רוב הקורסים שנתקלתם בהם במדעי המחשב עסקו בעיקר בשאלות כמו "איך אפשר לפתור בעיות בעזרת מחשב?", "איך אפשר להעריך 'איכות' של אלגוריתם לפתרון בעיה", או "באילו שיטות ניתן

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים חידה לחימום בסל מקש יש צמר. כדורי 00 שני שחקנים משחקים בתורות: כל שחקן, בתורו, צריך להוציא כמות כלשהי של כדורי צמר מהסל לפחות כדור אחד, אך לא יותר ממחצית מכמות כדורי הצמר שבסל. מי שלא יכול לעשות מהלך (מתי

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תש"ע

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תשע אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים 89-120 תרגולים (חלקי) מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין נכתב ונערך ע"י: גלעד אשרוב סמסטר ב', תש"ע הערות כלליות. המסמך מכיל סיכומי תרגולים שניתנו במהלך הסמסטר (סמסטר ב', תש"ע).

Διαβάστε περισσότερα

תשס"ז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 ס"מ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10

תשסז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 סמ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10 Q 0 חוק קולון: שאלות מהחוברת: שאלה : פיזיקה למדעי החיים פתרון תרגיל 5 חוק קולון,שדה חשמלי ופוטנציאל חשמלי ו- Q 5 0 Q Q 3 ס"מ חשב את הכוח החשמלי הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים במרחק 3 ס"מ זה מזה.

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה

אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה 1. סיכום אלגוריתמי המיון שנלמד: הנחות והערות זכרון נוסף זמן (טוב) זמן (ממוצע) זמן (גרוע) האלגוריתם מיון במקום O(1)

Διαβάστε περισσότερα

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, אב (. תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט

Διαβάστε περισσότερα

69163) C [M] nm 50, 268 M cm

69163) C [M] nm 50, 268 M cm א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

בשחמה יעדמב תומסרופמ תויעב ןד גוא רתויב רצקה לולסמה תאיצמ קלופ הרש הבתכ היעבה רואית

בשחמה יעדמב תומסרופמ תויעב ןד גוא רתויב רצקה לולסמה תאיצמ קלופ הרש הבתכ היעבה רואית אוגדן בעיות מפורסמות במדעי המחשב מציאת המסלול הקצר ביותר כתבה שרה פולק תיאור הבעיה הבעיה המתוארת בפרק זה עוסקת במציאת המסלול הקצר ביותר בין שני צמתים בגרף משוקלל. את הבעיה הגדיר דייקסטרה בשנת 1956, כשעבד

Διαβάστε περισσότερα

אקונומטריקה ד"ר חמי גוטליבובסקי סמסטר א' תש "ע

אקונומטריקה דר חמי גוטליבובסקי סמסטר א' תש ע 009 אקונומטריקה ד"ר חמי גוטליבובסקי סמסטר א' תש "ע סיכום: דביר צנוע הקדמה הדפים שלפניכם מהווים סיכום של קורס מבוא לאקונומטריקה, אשר הועבר באוניברסיטת תל- אביב ע"י ד"ר חמי גוטליבובסקי בסמסטר א' תש"ע. הסיכום

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות

תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות 1856 1 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 פיסיקה כללית : חשמל ואופטיקה לתלמידי ביולוגיה חשמל ואופטיקה 774, תשס"ו - פתרונות 1 מטענים, שדות ופטנציאלים (5) ו- am µc נגדיר d האלכסון בין הקודקודים B המרחק בין

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5.

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5. דוגמאות 1. ארגז שמסתו 5kg נמצא על משטח אופקי. על הארגז פועל כוח שגודלו 30 וכיוונו! 20 מתחת לציר האופקי. y x א. שרטטו דיאגרמת כוחות על הארגז. f W = mg ב. מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל על הארגז?

Διαβάστε περισσότερα

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 18 ביוני 15 התרגום למושגים הפיזיקליים הוא חופשי שלי. אבשלום קור, מאחוריך. לא נתתי דוגמאות לשימושים שכן ראינו (גיאומטריים). אפשר למצוא דוגמאות בתרגולים.

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 28 בספטמבר 2009

תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 28 בספטמבר 2009 תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 8 בספטמבר 009 מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של פרופ בוריס שפירא. המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות. אין הטכניון או מי מטעמו ובפרט, הפקולטה לפיזיקה, על מרציה ומתרגליה,

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה 57322

מבוא לאקונומטריקה 57322 מבוא לאקונומטריקה 57322 חיים שחור סיכומי הרצאות של פרופ' שאול לאך 21 ביוני 2012 5 תכונות אסימפטוטיות של OLS ז' סיון תשע"ב (שעור 1) נרצה לעשות ניתוח כאשר n. יש שתי תכונות עיקריות של :OLS ] [,MLR1 בעיקר

Διαβάστε περισσότερα

29 תרגיל 2) העבר את המספרים המוצגים בבסיס להצגה בינארית 25() 24 () 243 () תרגיל ( 3 דוגמא העבר את המספר המבוטא בבסיס בינארי לצורה עשרונית (2) פתרון :

29 תרגיל 2) העבר את המספרים המוצגים בבסיס להצגה בינארית 25() 24 () 243 () תרגיל ( 3 דוגמא העבר את המספר המבוטא בבסיס בינארי לצורה עשרונית (2) פתרון : 29 תרגילי חזרה: העברת בסיסים נתון המספר ()43 מצא את ערכו של המספר בבסיס 2 הראה את הדרך לפתרון ( פתרון התרגיל : נגדיר תבניות שערכן גדל פי 2 החל מהמספר עד תבנית הגדולה וסמוכה למספר 256 28 64 32 6 8 4 2 ממלאים

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3 סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות

Διαβάστε περισσότερα

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ,

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, עץץץץ AVL הגדרה: עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1,, או 1-. h(t left(x) ) - h(t right(x) ) 1 במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, בעץ AVL שומרים עבור כל צומת

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה עש איבי ואלדר פליישמן אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס: פיזיקה משך הבחינה: שלוש שעות 1 יש לענות על כל השאלות 1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי, ולכל סעיף אותו משקל

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

א. גורדון, ר. שר, א. אברמסון

א. גורדון, ר. שר, א. אברמסון הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסת חשמל חוברת תרגילי כיתה ובית במקצוע "תורת המעגלים החשמליים" (445) החוברת מותאמת להרצאותיו של פרופ' לוי שכטר מהדורת מרץ 6 רשימת עדכונים: נערך ע"י אלכס נורמטוב

Διαβάστε περισσότερα

אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר

אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר 9 המושגים הבסיסיים ב (חזרה) משתנה אקראי הגדרות גודל שמאפיין איבר מסוים בקבוצת איברים מאותו סוג, מאיבר לאיבר באקראי. ושעשוי להשתנות משתנה אקראי מאופיין על ידי שם, מספר האיבר שאותו הוא מאפיין, וגודל (ערך).

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למדעי ה מחשב תוכנ י יה הרצאה 4: משפטים, תנאים ולולאות

מבוא למדעי ה מחשב תוכנ י יה הרצאה 4: משפטים, תנאים ולולאות מבוא למדעי ה מחשב הרצאה 4: משפטים, תנאים ולולאות מבוסס על השקפים שנערכו במקור ע"י שי ארצי, גיתית רוקנשטיין, איתן אביאור, וסאהר אסמיר, ועובדו ע"י מיכאל אלעד בסמסטר חורף 2007. תוכנ י יה משפטים בשפת - C (Statements)

Διαβάστε περισσότερα

בהצלחה! הוראות אוניברסיטת בן גוריון הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיסיקה

בהצלחה! הוראות אוניברסיטת בן גוריון הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיסיקה פיסיקה א' מספר הקורס: 5330 המרצה: פרופ' גז'גוז' יונג מועד: ב', טור: א' תאריך: משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר מותר: דף נוסחאות המצורף לבחינה ומחשבון פשוט אוניברסיטת בן גוריון הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיסיקה

Διαβάστε περισσότερα

חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי

חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי בשנת 1784 מדד הפיזיקאי הצרפתי שארל קולון את הכוח השורר בין שני גופים הטעונים במטענים חשמליים ונמצאים במנוחה. q הנמצאים במרחק r זה q 1 ו- תוצאות המדידה היו: בין שני מטענים חשמליים

Διαβάστε περισσότερα

r. כלומר התחיל במצב ההתחלתי, סיים במצב מקבל, ובדרך עבר בצורה חוקית. ניתן להגדיר

r. כלומר התחיל במצב ההתחלתי, סיים במצב מקבל, ובדרך עבר בצורה חוקית. ניתן להגדיר מודלים חישוביים סיכום למבחן אוטומטים: שפות / מחרוזות / הגדרות בסיסיות: א"ב: Σ הוא אוסף סופי של תווים, סימנים. מחרוזת / מילה: רצף סופי של אותיות מא"ב מסוים, כאשר מספר האותיות הוא אורכה המחרוזת הריקה: ε

Διαβάστε περισσότερα