אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אלגברה לינארית 1 יובל קפלן"

Transcript

1 אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 4 בפברואר 2008 עדכונים, תיקונים וסיכומים נוספים יימצאו ב-/ לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל-

2

3 תוכן עניינים 5 שדות 1 5 Z ו- Q המספרים השלמים והרציונאליים 11 5 שדות 12 7 תכונות שדה 13 7 n שדה השאריות מודולו Z n המציין של שדה R ו- C המספרים הממשיים והמרוכבים מרחבים וקטוריים 2 13 הגדרת מרחב וקטורי תכונות מרחב וקטורי המודל הגיאומטרי של R 2 ושל R תת-מרחבים צירופים לינאריים בסיסים מרחב הפולינומים סכום תת-מרחבים העתקות לינאריות 3 28 הגדרת העתקה לינארית קריטריון ללינאריות העתקה העתקות מיוחדות מציאת העתקות לינאריות גרעין של העתקה לינארית תמונה של העתקה לינארית כמה מילים על פונקציות הרכבת העתקות לינאריות עוד אודות איזומורפיזמים וקטור הקואורדינטות מרחב ההעתקות מרחב המטריצות תכונות של כפל מטריצות מטריצות מעבר מערכות משוואות לינאריות 4 43 מערכות משוואות 41 3

4 תוכן עניינים תוכן עניינים 45 דירוג מטריצות פתרון משוואות מטריצת מדרגות קנונית מטריצות אלמנטריות טיפ לחיים 45 4

5 1 שדות 1 שדות Z 11 ו- Q המספרים השלמים והרציונאליים מוגדרת ב-{ 1, 1, 0,, { = Z פעולת חיבור מתקיימות התכונות: 1 ח- 1 לכל a, b Z קיים c Z יחיד כך ש- c a + b = (סגירות) a + b = b + a (קומוטטיביות חילוף) c) (a + b) + c = a + (b + (אסוציאטיביות קיבוץ) a + 0 = a (קיום איבר אפס) ח- 2 לכל,a, b Z ח- 3 לכל,a, b, c Z ח- 4 קיים איבר Z 0 כך שלכל,a Z ח- 5 לכל a Z קיים b Z כך ש- 0 = b a + (קיום איברים נגדיים) מוגדרת גם פעולת כפל מתקיימות התכונות הבאות: כ- 1 לכל a, b Z קיים c Z יחיד כך ש- c a b = (סגירות) a b = b a (קומוטטיביות) c) (a b)c = a(b (אסוציאטיביות) a 1 = a (קיום איבר יחידה) a(b + c) = ab + ac (דיסטריבוטיביות פילוג) כ- 2 לכל,a, b Z כ- 3 לכל,a, b, c Z כ- 4 קיים איבר Z 1 כך שלכל,a Z כ-ח לכל,a, b, c Z תכונה מקבילה לח- 5 אינה מתקיימת ב- Z עבור כפל 2 Q = { a b קבוצת המספרים הרציונאליים Z Q מתקיימות נגדיר 0} b a, b Z, כל התכונות הנ"ל, ובנוסף כ- 5 לכל a Q 0 קיים b Q כך ש- 1 = b a (קיום איברים הפכיים) 12 שדות הגדרה קבוצה F עליה מוגדרות פעולות "חיבור" ו"כפל" נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות: ח- 1!c F : a + b = c שדה a, b, c F a, b F a, b F ח- 2 a + b = b + c ח- 3 c) (a + b) + c = a + (b + 0 F F : a F ח- 4 a + 0 F = a ח- 5 a F b F : a + b = 0 F a, b F כ- 1!c F : a b = c a, b F a, b, c F 1 F F : a F כ- 2 a b = b a כ- 3 a(bc) (ab)c = כ- 4 a 1 F = a 1 קיום תכונות אלו ב- Z ניתן להוכחה; אלו אינן אקסיומות 2 קבוצה שמקיימת את התכונות דלעיל נקראת חוג 5

6 1 שדות 12 שדות כ- 5 a F a 0 = b F : ab = 1 F a, b, c F כ-ח a(b + c) = ab + ac דוגמה (שדה הדיאז והבמול) תהי קבוצה {, } = F נגדיר פעולות: + זהו אכן שדה: סגירות (ח- 1, כ- 1 ) מתקיימת, לפי הגדרת הפעולות; קומוטטיביות (ח- 2, כ- 2 ) מתקיימת, לפי סימטריות הטבלאות; איבר האפס (ח- 4 ) הוא ואיבר היחידה (כ- 4 ) הוא, לפי הטבלאות; קיימים איברים נגדיים (ח- 5 ) =, = ואיבר הפכי (כ- 5 ) = 1 ( הוא איבר האפס, לכן לא מוגדר לו הפכי) את קיום תכונות האסוציאטיביות (ח- 3, כ- 3 ) והדיסטריבוטיביות (כ-ח) ניתן להראות לפי בדיקת כל האפשרויות הגדרת שדה זו אינה רנדומאלית: ישנה רק דרך אחת להגדיר שדה בעל מספר שהוא חזקת-ראשוני של איברים, על-פי משפט מתורת השדות (ואין שדה בעל מספר איברים שאינו חזקת-ראשוני); ניתן לנסות ולראות שאם + לא יתקבל שדה משפט 1: איבר האפס ואיבר היחידה בשדה יחידים הוכחה (יחידות האפס) נניח ש- F 0 F,0 האפסים של השדה F לכל a F מתקיים a + 0 F = a ו- a ;a + 0 F = לכן בפרט, עבור,a = 0 F מתקיים 0 F = 0 F + 0 F = 0 F + 0 F = 0 F (בהסתמך על נייטרליות 0 F ו- F (0 כלומר, 0 F = 0 F משפט :2 לכל a F יש נגדי (איבר b המקיים (a + b = 0 F יחיד ולכל a F 0 יש הפכי (איבר b המקיים (ab = 1 F יחיד הוכחה (יחידות הנגדי) יהי a F נניח שיש שני איברים b, b F כך שמתקיים a + b = 0 F ו- a + b = 0 F נוסיף 3 b לשני האגפים: ) b b + (a + b) = b + (a + מהאסוציאטיביות, b ;(b + a) + b = (b + a) + מהקומוטטיביות, b ;(a + b) + b = (a + b) + מתכונת הנגדי, b = b ומנייטרליות האפס,,0 F + b = 0 F + b נוסיף לדרישות השדה את הדרישה 1 F 0 F דרישה זו אינה בגדר חובה, אבל טענה :3 אם בשדה,1 F = 0 F F אז לכל a = 0,a F הוכחה למה :13 יהי F שדה אז לכל a 0 F = 0,a F 4 הוכחה יהי a F מנייטרליות האפס ומהפילוג, a 0 F = a (0 F + 0 F ) = a 0 F + a 0 F נחבר לשני האגפים ; a 0 F נקבל )) F a 0 F + ( (a 0 F )) = a 0 F + a 0 F + ( (a 0 3 לא ניתן, בשלב זה, לכתוב a סימון זה כרוך ביחידות, והרי זה מה שעלינו להוכיח 4 זו אינה טענה טריוויאלית a לא חייב להיות מספר 6

7 13 תכונות שדה 1 שדות מהאסוציאטיביות, )) F a 0 F + ( (a 0 F )) = a 0 F + (a 0 F + ( a 0 ולכן, מתכונת הנגדי, 0 F = a 0 F כעת, נניח שבשדה 1 F = 0 F,F יהי a F אז = 0 F,a = a 1 F = a 0 כנדרש 13 תכונות שדה יהי F שדה ויהיו a, b, c F א a 0 F = 0 F ב ( 1 F )a = a הוכחה צריך להוכיח 1 ) F a( = a על-פי יחידות הנגדי, כיוון ש- a הוא הנגדי של a, אם נוכיח ש- a ( 1 ) F אף הוא נגדי של a נקבל שמתקיים 1 ) F a( = a לכן מספיק להוכיח,a + ( 1 F )a = 0 F כלומר a + ( 1 F )a = a(1 F + ( 1 F )) = a 0 F = 0 F ג (ab) a( b) = ( a)b = ד ( a) = a ה ( a)( b) = ab ו (a + b) = a b 5 ז a(b c) = ab ac ח (a 0 F ) (a 1 ) 1 = a 6 ט 1 b (a, b 0 F ) (ab) 1 = a 1 י a + c = b + c = a = b יא (a 0 F ) ab = ac = b = c יב ab = 0 F = a = 0 F b = 0 F n שדה השאריות מודולו Z n משפט 4 (חילוק עם שארית): יהי < n N 1 ניתן לחלק כל מספר טבעי m ב- n עם שארית: קיימים r,q יחיד כך ש- n m = qn + r 0 r < דוגמה למשל, m q n r 13 = = = כאשר כותבים,a b מתכוונים ל-( b ) a + 6 כאשר כותבים 1 a, מתכוונים להפכי של a, אם קיים 7

8 1 שדות n שדה השאריות מודולו Z n 14 נגדיר 1} n Z n = {0, 1,, אם נבחר שני מספרים מ- Z, נחבר אותם, נחלק ב- n וניקח את השארית, נקבל מספר ב- Z n נגדיר חיבור מודולו :n אם,a, b Z נכתוב a + b = qn + r ונגדיר a + n b = r באופן דומה, נגדיר כפל ב- :Z n עבור,a, b Z נכתוב a b = qn + r ואז a n b = r דוגמה עבור = 2,n אם נסמן = 0, = 1 נקבל שוב את דוגמת הדיאז והבמול, בה כבר ראינו שמתקבל שדה דוגמה עבור = 4,n זהו אינו שדה לא קיים 2: 1 נניח בשלילה ש- a Z 4 0 הוא ההפכי של 2 על-פי הטבלה, 2 42 = 0 נכפיל ב- a ונקבל a 4(2 42) ;a 40 = מחוק הקיבוץ, (a 42) 42 a 40 = ועל-פי ההנחה ש- a ההפכי של 4 2,2 1 = 0 סתירה הגדרה יהי a N נסמן ב- [a] n את השארית המתקבלת על-ידי חלוקה של a ב- n ; כלומר, אם a a (mod n) נכתוב,(a a = qn) n נבדלים בכפולת a,a אם [a] n = r,a = qn + r טענה :5 n) a a (mod אם"ם [a] n = [a ] n דוגמה 5) (mod כי 5 3 = 15 = אפשר לראות זאת גם על-פי כך ש = 31 ו = 16 הוכחה נניח ש-( n a a (mod אז a a = qn ולכן a = a + qn נחלק את a ב- n : a כלומר, שארית החלוקה של a = (k q)n + [a] n מכאן, a + qn = a = kn + [a] n ב- n היא,[a] n ולכן [a] n = [a ] n (הכיוון השני כתרגיל) טענה :6 לכל a [a] n (mod n),a N הוכחה יהי a N נכתוב a = qn + [a] n אז,a [a] n = qn ולכן n) a [a] n (mod טענה :7 אם n) a a (mod ו-( n,b b (mod זא n) (a + b) (a + b ) (mod 8

9 n שדה השאריות מודולו Z n 14 1 שדות הוכחה נניח a b b,a לכן a a = k 1 n ו- n ;b b = k 2 נחבר את המשוואות ונקבל (a + b) (a + b ) (mod n) אז (a + b) (a + b ) = (k 1 + k 2 )n משפט 8: לכל Z n 1, < n N מקיים את כל תכונות השדה פרט (אולי) לקיום הפכי לכפל (כ- 5 ) הוכחה נבדוק את קיום התכונות: ח- 1 סגירות: אם,a, b Z n משפט החילוק עם שארית מבטיח ששארית החלוקה ב- n של a + b היא מספר ב- Z n ח- 2 קומוטטיביות:,a + b = b + a לכן a + n b = [a + b] n = [b + a] n = b + n a ח- 3 אסוציאטיביות: צ"ל c) (a + n b) + n c = a + n (b + n מהגדרת הפעולה + n נקבל (a + n b) + n c = [[a + b] n + c] n מטענות 7 ו- 6, מתקיים [[a + b] n + c] n = [(a + b) + c] n לכן על-פי טענה,5,[a + b] n + c (a + b) + c מאסוציאטיביות Zנקבל,[(a + b) + c] n = [a + (b + c)] n ועל-פי טענות 7 ו- 6, a + (b + c) a + [b + n] n ולכן, מטענה,5 n [a + (b + c)] n = [a + [b + c] n ] אז (a + n b) + n c = a + n (b + n c) ח- 4 קיום איבר אפס: a + n 0 = [a + 0] n = [a] n = a ח- 5 קיום איברים נגדיים: יהי a Z n ;0 ניקח a = n a 7 אז מתקיים = (n a) a+ n a ניקח = 0,a אם = 0 [a + (n a)] n = [n] n = 0 כ- 1 סגירות: אם,a, b Z n משפט החילוק עם שארית מבטיח ששארית החלוקה ב- n של a b היא מספר ב- Z n כ- 2 קומוטטיביות: a n b = [ab] n = [ba] n = b n a כ- 3 אסוציאטיביות: למה :18 יהיו a, a, b, b Z n אם n) a a (mod ו-( n b b (mod אז ab a b הוכחה נניח a a ו- b b אז a a = k 1 n ו- n b b = k 2 אז a Z n ab a b = ab a b + a b a b = b(a a ) + a (b b ) = b k 1 n + a k 2 n = (b k 1 + a k 2 )n ולכן b ab a ממשיכים באופן דומה להוכחת אסוציאטיביות החיבור כ- 4 קיום איבר יחידה: a n 1 = [a 1] n = [a] n = a כ-ח דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור: צ"ל a n 1 = [a 1] n = [a] n = a כתרגיל כ- 5 קיום איברים הפכיים: לא תמיד מתקיימת 7 אי-אפשר להגדיר a = n] [a n כי פעולה זו אינה מוגדרת מחוץ ל- n Z 9

10 1 שדות 15 המציין של שדה הגדרה < p N 1 נקרא ראשוני אם אין (k, l N) 1 < k,l < p כך ש- p kl = אחרת, p נקרא פריק משפט 9 (המשפט היסודי של האריתמטיקה): כל מספר < n N 1 ניתן להצגה באופן יחיד (עד-כדי סדר הגורמים) כמכפלת גורמים ראשוניים טענה 10: יהי p מספר ראשוני,,m n N אם p גורם של mn אז p גורם של m או של n,m = p t1 1 pt k k הוכחה נניח ש- p גורם של mn נציג את m ו- n כמכפלת ראשוניים: mn = p t1 אם p גורם של,mn הוא מתלכד עם 1 pt k k q r1 1 qr l l n = q r1 אז 1 qr l l אחד המספרים הראשוניים ב- mn כלומר, p = p i או p = q j במקרה הראשון, p גורם של m; בשני, של n טענה 11: אם n N אינו ראשוני, Z n אינו שדה הוכחה n = kl כאשר < k,l < n 1 אז,k, l Z n ו- 0 = n l n k = [lk] n = [n] נניח בשלילה כי x הוא ההפכי של k ב- Z n אז = 1 x,k n ו- l l n (k n x) = אבל לפי האסוציאטיביות = 0 x l n (k n x) = (l n k) n x = 0 n קיבלנו ש- l = 0 סתירה 8 טענה :12 אם n N ראשוני, Z n שדה הוכחה הוכחנו את כל התכונות, פרט לקיום איברים הפיכים יהי k Z n 0; נוכיח ש- k הפיך נתבונן במספרים הבאים: (n 1) k n 0, k n 1,, k n אם בקבוצה זו אין שני מספרים שווים, כל איברי Z n בקבוצה, וביניהם 1 כלומר, קיים l כך ש- 1 = l k n נניח בשלילה שקיימים 1 n l 1 < l 2 0 כך ש- k n l 1 = k n l 2 אם כן, מתקיים [kl 1 ] n = [kl 2 ] n ולכן kl 1 kl 2 לכן k(l 2 l 1 ) = kl 2 kl 1 = qn כיוון ש- n ראשוני, אם n גורם של ) 1 k(l 2 l אז n גורם של l 2 l 1 או של k סתירה, כי < l 2 l 1 < n 0 ו- n < k < 0 (כלומר, n גדול משניהם) 15 המציין של שדה יהי F שדה אז 0 F, 1 F F נתבונן באיברים, F 0 F, 1 F, 1 F + 1 F, 1 F + 1 F + 1 ישנן שתי אפשרויות: כל האיברים שונים זה מזה, או קיימים m n טבעיים שעבורם מתקיים 1 F }{{ F = 1 } F }{{ F } m פעמים n פעמים נתמקד במקרה השני נניח m > n נוסיף 1 F לשני צידי המשוואה: 1 F }{{ F +( 1 } F ) = 1 F F +( 1 }{{} F ) m פעמים n פעמים 8 אין זה אומר שכלל לא יהיו מספרים הפיכים: אם t זר ל- n, מתקיים 0 n s N [st] ו- t הפיך אולם מספיק שיש בלתי-הפיך אחד כדי ש- n Z לא יהיה שדה, והראינו שלכל k שמחלק את n לא קיים הפכי 10

11 R 16 ו- C המספרים הממשיים והמרוכבים 1 שדות מציין של שדה 1 F F }{{} m n פעמים = 0 F חיסורים, נקבל n לאחר 1 F F }{{} 1 m פעמים = 1 F כלומר, {{ F }} 1 n פעמים F 1 ייקרא המציין של השדה }{{ F = 0 הגדרה המספר הטבעי המינימלי k עבורו } F k פעמים מסמנים char F = k אם לא קיים k כזה (כלומר, אם מתקיים המקרה הראשון), אומרים char F = 0 דוגמה = 0 Q char Z n = n 9 ;char משפט :13 אם > 0 n n,char F = ראשוני הוכחה נניח ש- n אינו ראשוני אז יש <,k l < n 1 כך ש- kl n = אז k פעמים {}}{ (1 F }{{ F )(1 } F }{{ F ) = 1 } F (1 F F ) }{{} F (1 F F ) }{{} k פעמים l פעמים l פעמים l פעמים = 1 F }{{ F = 0 } F kl = n פעמים F 1 או }{{ F = 0 לפי תכונות השדה, אם ab = 0 F אז a = 0 F או b = 0 F אז } F k פעמים n בסתירה למינימליות,1 F }{{ F = 0 } F l פעמים R 16 ו- C המספרים הממשיים והמרוכבים באופן לא-פורמאלי, נאמר שכל מספר ממשי x ניתן לייצוג כ- 2,x = nd 1 d כאשר n N ו-{ 9, {0, i d זה נקרא פיתוח עשרוני ההצגה אינה יחידה למשל, 0 9 = 1 0 ) +, (R, שדה לא קיים מספר ממשי המקיים 1 = 2 x נניח שיש שדה שמכיל את R ובו יש מספר שהוא 1 ; נקרא לאיבר זה i שדה כזה יהיה חייב להיות סגור לכפל ולחיבור (אם,x, y R גם x+iy יהיה בשדה החדש) כמו-כן, החיבור חייב לקיים ) y (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + והכפל חייב לקיים + ) yy (x + iy) (x + iy ) = xx + ixy + ix y + i 2 yy = (xx i(xy + x y) הגדרה R},C = {(x, y) x, y כך ש-( y x = x, y = y (x, y) = (x, נגדיר חיבור (רכיב-רכיב): ) y (x, y) (x, y ) = (x + x, y + נגדיר כפל: y) (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x 10 טענה 14: הקבוצה C עם פעולות הכפל והחיבור שהגדרנו מהווה שדה הוכחה מתבססת על תכונות R כתרגיל מספר נקודות חשובות: 9 למעשה, המציין של כל שדה שמכיל את Z הוא 0 10 כפי שמיד נראה, 0) (0, = C ;0 אילו היינו מגדירים כפל רכיב-רכיב, היינו מקבלים, גם אם 0) (0, y),(x, 0), (0, (x, 0) (0, y) = (0, 0) 11

12 1 שדות R 16 ו- C המספרים הממשיים והמרוכבים ( = ) y (x, קל לראות x x 2 +y, 2 ח- 4 איבר אפס: y) (x, y) + (0, 0) = (x, ח- 5 איברים נגדיים: 0) (0, = y) (x, y) + ( x, כ- 4 איבר יחידה: y) (x, y) (1, 0) = (x 0, 0 + y) = (x, y כ- 5 איברים הפכיים: אם 0) (0, y),(x, נסמן ) 2 x 2 +y ש-( 0 (1, = ) y (x, y) (x, נתבונן בקבוצה החלקית R = {(x, 0) x R} C ונגדיר העתקה f : R R על-ידי (0,x) f f(x) = היא העתקה חד-חד ערכית (כלומר, לכל איבר ב- R יש לכל היותר מקור אחד ב- R ) הפונקציה f שומרת על הפעולות ב- R : f(x + x ) = (x + x, 0) = (x, 0) (x, 0) = f(x) f(x ) f(x x ) = (xx, 0) = (x, 0) (x, 0) = f(x) f(x ) משוכן ב- C R היא העתקת שיכון; אז f טענה :15 האיבר i = (0, 1) C הוא שורש של 1 12 (כלומר, 0) ( 1, = 2 (i הוכחה 0) ( 1, = 1) (0, 1) (0, = 2 1) (0, = 2 i יהי (x, y) C אז (x, y) = (x, 0) (0, y) = x ((0, 1) (y, 0)) = x iy לכן כל מספר מרוכב ניתן להציג כ- iy x כאשר,x y R כלומר, נוכל לכתוב אחרת: C = { x + iy x, y R, i 2 = 1 } הגדרה עבור x,z = x + iy C נקרא החלק הממשי של y ;(x = Re z) z נקרא החלק המדומה של (y = Im z) z לפי הכתיב החדש: (x + iy) + (x + iy ) = (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) = = (x + x ) + i(y + y ) (x + iy) (x + iy ) = (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x y) = = (xx yy ) + i(xy + x y) כפי שהיה ניתן לצפות, על-פי כללי החשבון הרגילים לא ניתן להגיד R C מכיוון של- R ול- C מבנים שונים 12 למעשה, יש עוד שורש (1,0) 13 אם i קבוע, y) (x + iy)(x + iy ) = xx + ixy + iyx + i 2 yy = (xx yy ) + i(xy + x 12

13 2 מרחבים וקטוריים 2 מרחבים וקטוריים 21 הגדרת מרחב וקטורי מרחב וקטורי הגדרה יהי F שדה קבוצה V 14 נקראת מרחב וקטורי מעל F אם א מוגדרת בתוך V פעולת "חיבור" (מסומנת +) המקיימת: ח- 1 לכל v 1, v 2 V יש v 3 V יחיד כך ש- v 1 + v 2 = v 3 (סגירות) ח- 2 לכל v 1 + v 2 = v 2 + v 1,v 1, v 2 V (קומוטטיביות) ח- 3 לכל (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ),v 1, v 2, v 3 V (אסוציאטיביות) ח- 4 קיים איבר 0 V V כך שלכל v + 0 V = v,v V (קיום איבר אפס) ח- 5 לכל v V קיים איבר שנסמנו v V כך ש- v + ( v) = 0 V (קיום נגדיים) ב לכל v V ולכל α F מוגדר a v V פעולה זו נקראת כפל בסקלר, ומתקיים, לכל :α, β F,v 1, v 2 V כ- 1 αv 1 V (סגירות) כ- 2 α(v 1 + v 2 ) = αv 1 + αv 2 כ- 3 (α + β)v 1 = αv 1 + βv 1 (דיסטריבוטיביות) כ- 4 1 F v 1 = v 1 (קיום סקלר יחידה) כ- 5 ) 1 (αβ) v 1 = α(β v (אסוציאטיביות) V = R n (אוסף = {(x 1,, x n ) i = 1 n דוגמה ניקח x i R},F = R ה- n -יות) נגדיר חיבור רכיב-רכיב ניתן לראות שח- 1, ח- 2, ח- 3 מתקיימות, על-פי קיומן ב- R איבר האפס: 0), (0, איבר נגדי: ) n (x 1,, x n ) = ( x 1,, x נגדיר כפל בסקלר רכיב-רכיב נבדוק, למשל, את כ- 2 (השאר כתרגיל): יהיו α, R ) n v 2 = (y 1,, y n ),v 1 = (x 1,, x אז α(v 1 + v 2 ) = α(x 1 + y 1,, x n + y n ) = (α(x 1 + y 1 ),, α(x n + y n )) = (αx 1 + αy 1,, αx n + αy n ) = (αx 1,, αx n ) + (αy 1,, αy n ) = α(x 1,, x n ) + α(y 1,, y n ) = αv 1 + αv 2 ניתן להכליל דוגמה זו עבור F שדה כלשהו ו- V, = F n כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים רכיב-רכיב, בדיוק כמו ב- R n בפרט, על כל שדה ניתן להסתכל כמרחב וקטורי מעל עצמו, כאשר החיבור הוקטורי הוא החיבור של השדה והכפל בסקלר הוא הכפל בשדה (למשל, (F = V = R 14 לא בהכרח שדה 13

14 22 תכונות מרחב וקטורי 2 מרחבים וקטוריים דוגמה דוגמה C הוא מרחב וקטורי מעל R החיבור החיבור הרגיל ב- C ; הכפל בסקלר כפל מתוך (α(x + iy) = αx + iαy) R דוגמה 1} + a (char V = 2) F = Z 2 = {0, 1},V = {0, 1, a, a a a a a + 1 a a a a a + 1 a + 1 a a a a a דוגמה R} Vעםפעולתחיבורחדשה ( = R 3 = {(α 1, α 2, α 3 ) α 1, α 2, α 3 (α 1, α 2, α 3 λ (α 1, α 2, α 3 ) = (α1 λ, α2 λ, α3 λ β )ופעולתהכפלבסקלר( 1, β 2, β 3 ) = (α 1 β 1, α 2 β 2, α 3 β 3 ) (λ R) דוגמה אוסף כל הפונקציות R} L = {f f : R עם פעולת החיבור = )(x) (f 1 + f 2 (λ R) (λf)(x) = λf(x) ופעולת הכפל בסקלר f 1 (x) + f 2 (x) 22 תכונות מרחב וקטורי תכונות מרחב וקטורי יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F א ב- V יש איבר אפס יחיד; סימונו 0 V או 0 ב לכל v V יש איבר נגדי יחיד ג לכל λ 0 = 0,λ F ד לכל v = 0, v V 0 ה לכל v = v, v V 1 ו לכל ( u + v) = ( u) + ( v), u, v V ז לכל ( v) = v, v V הוכחה (ג ) יהי λ F λ 0 = λ( 0+ 0) = λ 0+λ 0 λ 0+( λ 0) = λ 0+λ 0+( λ 0) 0 = λ 0 פעולת החיסור במרחב וקטורי מוגדרת על-ידי ( u) v u = v + 23 המודל הגיאומטרי של R 2 ושל R 3 את איברי R 2 ניתן לזהות כאוסף הנקודות במישור אם נבחר מערכת צירים קרטזית, או אם נזהה כל נקודה,x) (y R 2 עם החץ היוצא מהראשית ומסתיים באותה נקודה חץ כזה נקרא וקטור גיאומטרי באותו אופן, איברי R 3 יותאמו לוקטורים גיאומטריים במרחב 14

15 23 המודל הגיאומטרי של R 2 ושל R 3 2 מרחבים וקטוריים כפל בסקלר יהי ) 2 a = (α 1, α וקטור גיאומטרי ב- R 2 אם 0) (0,, a a מגדיר ישר אחד ויחיד במישור הישר שעובר דרך הראשית ודרך ) 2 α) 1, α ישר זה נקרא הישר הנקבע על-ידי a טענה :16 יהי b = λ a,λ R הנקודה b נמצאת על הישר הנקבע על-ידי a הוכחה אם = 0,λ b = 0 a = 0 כלומר, b היא הראשית ולכן נמצאת על הישר שקובע a אם 0,λ b 0 נכתוב ) 2 b = (β 1, β 2 ), a = (α 1, α נניח 0 1 α נסמן את הזוית בין a ל-( 0 (1, θ ואת הזוית בין b ל-( 0 (1, ϕ tan ϕ = β2 מכאן, ϕ = θ או β 1 = λα2 λα 1 = α2 α 1 = tan θ ולכן b = λ a = (λα 1, λα 2 ) b a, באותו צד של הראשית, על אותו ישר; במקרה השני, b a, במקרה הראשון, ϕ = θ + π מצדדים שונים של הראשית, על אותו ישר (אם < 0 λ, ϕ) = θ + π במקרה ש- 0 = 1 a α, על ציר ה- y, ולכן b = λ a גם-כן על ציר ה- y הראינו שכל נקודה מהצורה λ a נמצאת על הישר ש- a קובע ניתן להראות שגם ההיפך נכון כלומר, כל נקודה שנמצאת על הישר ש- a קובע היא מהצורה {λ a λ {R λ a היא הצגה פרמטרית של הישר הנקבע על-ידי a חיבור יהיו,a b R 2 נניח ש- b אינו נמצא על הישר הנקבע על-ידי a נצייר מקבילית אשר שתיים מצלעותיה הן הקטעים המוגדרים על-ידי הוקטורים הגיאומטריים a ו- b נתבונן באלכסון מקבילית זו, שקצהו האחד בראשית ואת קצהו השני נסמן ב- c טענה :17 c a + b = הוכחה נסמן ) 2 c = (γ 1, γ 2 ), b = (β 1, β 2 ), a = (α 1, α צ"ל γ 2 = α 2 +β 2,γ 1 = α 1 +β 1 נניח שכל הנקודות ברביע הראשון (הכללת ההוכחה כתרגיל) כיוון ש- 0a מקביל ל- bc ושווה לו, הרי גם היטליהם על ציר ה- x שווים כלומר, α 1 = γ 1 β 1 ומכאן ש- γ 1 = α 1 + β 1 באופן דומה נקבל γ 2 = α 2 + β 2 לכן c = a + b אם a ו- b קובעים אותו ישר, אז b = λ a ולכן, a + b = a + λ a = (1 + λ) a ואז גם c = a + b נמצא על אותו ישר הצגה פרמטרית של R יהיו a 1, a 2 R 2 שתי נקודות נניח כי a 2 אינה על הישר הנקבע על-ידי a 1 טענה :18 לכל b R 2 יש λ 1, λ 2 R כך ש- b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 הוכחה תהי b נקודה במישור נניח תחילה כי b אינה על הישרים הנקבעים על-ידי a 2, a 1 נעביר דרך b מקבילים לישרים הנקבעים על-ידי a 2, a 1 נסמן a 2, a 1 את נקודות החיתוך של 15

16 2 מרחבים וקטוריים 24 תת-מרחבים מקבילים אלה עם הישרים הנקבעים על-ידי a 2, a 1 כעת, על-פי כלל המקבילית, b = a 1 + a 2 a 1 נמצא על הישר הנקבע על-ידי a 2 ; a 1 נמצא על הישר הנקבע על-ידי a 2 לכן יש λ 1, λ 2 R כך ש- a 2 = λ 2 a 2, a 1 = λ 1 a 1 לכן b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 אם b נמצאת על הישר שקובע b = λ 1 a a 2, a 1, ובאופן דומה אם b על הישר שקובע a 2 הצגה פרמטרית של R 3 יהיו a 1, a 2 R 3 כך ש- a 2, a 1 אינם קובעים אותו ישר; אז הישרים הנקבעים על-ידי a 2, a 1 קובעים מישור ב- R 3 העובר דרך הראשית ניתן להראות כי כל נקודה c R 3 הנמצאת במישור זה ניתנת להצגה כ- c = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 24 תת-מרחבים 241 הגדרת תת-מרחב תת-מרחב הגדרה יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F תהי U U V תת-מרחב של (U V ) V אם U מרחב וקטורי ביחס לפעולות של V דוגמה (תת-מרחבים טריוויאליים) V V ;{0 V } V דוגמה R} U V = V = R 3,u = {(x 1, x 2, 0) x 1, x 2 הוכחה נראה את קיום התכונות ח- 1 סגירות: צ"ל כי לכל u 2 =,u 1 = (x 1, x 2, 0) u 1 + u 2 U,u 1, u 2 U u 1 + u 2 = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, 0) U ואכן,(y 1, y 2, 0) ח- 2 קומוטטיביות: נובעת בירושה מ- V ח- 3 אסוציאטיביות: נובעת בירושה מ- V ח- 4 קיום איבר אפס: U 0) (0, 0, = 0 ח- 5 קיום איברים נגדיים: u = ( x 1, x 2, 0) U u = (x 1, x 2, 0) U כ- 1 סגירות: אם,λ R,u = (x 1, x 2, 0) U אז λu = (λx 1, λx 2, 0) U כ- 3,2 דיסטריבוטיביות: נובעת בירושה מ- V כ- 4 קיום סקלר יחידה: 1 F u = u נובע בירושה מ- V כ- 5 אסוציאטיביות: λ(αu) (λα)u = נובעת בירושה מ- V 16

17 24 תת-מרחבים 2 מרחבים וקטוריים 242 קריטריון לקיום תת-מרחב ניתן לראות, על-פי הדוגמה, שבהינתן מרחב וקטורי V מעל F וקבוצה U V מספיק שיתקיימו ארבעה תנאים בלבד על-מנת שיתקיים U: V ח- 1 u 1, u 2 U u 1 + u 2 U כ- 1 u U, λ F λu U ח- 4 0 V U ח- 5 u U u U נוכל לצמצם את הדרישות האלו אם נשים לב שאם תנאי כ- 1 נתון, ח- 5 נובע ממנו יהי קריטריון לקיום תת-מרחב u U אז u = 1 F u U בנוסף, אם U וכ- 1 נתון, ח- 4 מתקיים: יהי u U (קיים, כי (U ניקח = 0 λ ונקבל λu = 0 u = 0 U נסכם: יהי V מרחב וקטורי מעל F תהי U V אז U V אם א U U = { (x 1,, x n ) ב u 1, u 2 U, u 1 + u 2 U ג u U, λ F λu U } דוגמה,V = R n x i R P xi = 0 דוגמה U = {λv 0 λ R},v 0 V,V = R 3 דוגמה U = {αv 0 + βv 1 α, β R},v 0, v 1 R 3,V = R תת-מרחב הנפרש על-ידי קבוצה יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F תהי K K V אינה בהכרח תת-מרחב: למשל, תת-מרחב של R 3 K = {λ(1, 2, 3) λ R} אבל K = {(1, 2, 3)},V = R 3 הגדרה יהי V מרחב וקטורי מעל {v 1,, v n } = K V,F 15 נגדיר = K span K הנפרש של {λ 1 v λ n v n λ i F} מקובל להגדיר {0} = span נפרש של קבוצה span K דוגמה 9)} (2, 2), {(1, = K (1, 2) = 1(1, 2) + 0(2, 9) (2, 9) = 0(1, 2) + 1(2, 9) (7, 24) = 3(1, 2) + 2(2, 9) 15 הנחנו ש- K קבוצה סופית, לשם השפטות זה לא הכרח 17

18 25 צירופים לינאריים 2 מרחבים וקטוריים משפט :19 יהי V מרחב וקטורי מעל F תהי {v 1,, v n } = K V אז: א span K V ב K span K ג אם K W,W V אז span K W (כלומר, span K הוא המינימלי המקיים את התכונות א וב ) הוכחה ב אם,v K יש i 1,, n כך ש-,v = v i ואז + i 1 v = 0 v v 1 v i + 0 v i v n א K,span כי span K ב K סגירות לחיבור: יהיו x 1, x 2 span K (α i, β i F) x 1 = α 1 v α n v n = x 1 span K x 2 = β 1 v β n v n = x 2 span K לכן x 1 + x 2 = (α 1 + β 1 )v (α n + β n )v n span K x = n כעת, סגירות לכפל בסקלר: יהי λ F,x span K ניתן לכתוב i=1 α iv i λx = λ n i=1 α iv i = n i=1 (λα i)v i span K ג יהי K W,W V נוכיח spnk W יהי (α i F) x = α 1 v α n v n = x span K אבל הרי n v 1,, v x W תת-מרחב סגור לחיבור ולכפל בסקלר מכאן, W ו-,K W קבוצה פורשת הגדרה אם V, = span K אומרים ש- K פורשת את V דוגמה כל קבוצה K פורשת את span K דוגמה עבור } 3 span K = R 3,K = {e 1, e 2, e הוכחה נראה הכלה הדדית K R 3 :span K R 3 על-פי משפט קודם, כיוון ש- R 3 מרחב וקטורי המכיל את K, הוא מכיל גם את span K :R 3 span K יהי x = (α 1, α 2, α 3 ) R 3 אז ניתן לכתוב x = α 1 (1, 0, 0) + α 2 (0, 1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 span K 25 צירופים לינאריים k צירוף לינארי הגדרה יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F יהיו v 1,, v k V סכום מהטיפוס = i i=1 α iv v 1,, v k נקרא צירוף לינארי של הוקטורים ( i N α i F) a 1 v a k v k דוגמה 7v 1 πv 2 = (14 3π, 28 π) v 1 = (2, 4), v 2 = (3, 1) R 2 צירוף לינארי של v 1 ו- v 2 דוגמה נסמן e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) R 3 כל וקטור ב- R 3 הוא צירוף לינארי של,e 1, e 2, e 3 כי אם ) 3 v = (α 1, α 2, α נקבל + 0) (1, 0, 1 v = α α 2 (0, 1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 18

19 2 מרחבים וקטוריים 25 צירופים לינאריים יש לשים לב שצירוף לינארי הוא צירוף של מספר סופי של וקטורים וקטור האפס הוא צירוף לינארי של כל k וקטורים מתוך V (ניתן לכתוב v v 0+ k = 0) הגדרה יהי V מרחב וקטורי מעל F אם v V צירוף לינארי של v,v 1,, v k תלוי לינארית ב- v 1,, v k תלות לינארית הגדרה יהי V מרחב וקטורי מעל K = {v 1,, v k } F תלויה לינארית אם אחד מאיבריה תלוי לינארית בחבירו (כלומר, קיים v i K כך ש-+ i 1 v i = α 1 v α i 1 v 16 (α i F,α i+1 v i α k v k דוגמה 6)} ( 5, 4), (3, 2), {(1, = K תלויה לינארית: + 2) 1(1, = 6) ( 5, ( 2)(3, 4) נשים לב שוקטור האפס הופך כל קבוצה שהוא בתוכה לתלויה הגדרה הביטוי = 0 k α 1 v α k v נקרא צירוף לינארי מתאפס אם כל המקדמים הם,0 צירופים לינאריים מתאפסים נאמר שזהו צירוף מתאפס טריוויאלי משפט 20: קבוצה } k B = v} 1,, v תלויה לינארית אם ורק אם יש בה צירוף לינארי מתאפס תלות לינארית: הגדרה שקולה שאינו טריוויאלי הוכחה נניח ש- B תלויה לינארית אז יש וקטור v i B שהוא צירוף לינארי של חבריו כלומר, α 1 v α i 1 v i 1 לכן v i = α 1 v α i 1 v i 1 + α i+1 v i α k v k = 0 k 1v i + α i+1 v i α k v זהו צירוף לינארי מתאפס כאשר לא כל המקדמים הם 0 כלומר, זהו צירוף לינארי שאינו טריוויאלי מצד שני, נניח שיש צירוף לינארי מתאפס שאינו טריוויאלי = 0 k α 1 v α k v בלי v 1 v 1 = α2 ניתן להצגה כצירוף α 1 v 2 α k α 1 הגבלת הכלליות, נניח ש- 0 1 α, ואז v k לינארי של חבריו, ולכן B תלויה הגדרה קבוצה B נקראת בלתי-תלויה לינארית אם היא אינה תלויה כלומר, אם אין בה וקטור שתלוי לינארית בחבריו כלומר, אם כל צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה הוא טריוויאלי אי-תלות לינארית (α 1 = = α k = 0 = α 1 v α k v k = 0) דוגמה הוכח כי 1)} (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 0), {(1, 0, 1, = B בת"ל הוכחה נסמן את הוקטורים ב- B ב- v i לפי הסדר כעת נניח שמתקיים + 2 α 1 v 1 + α 2 v α 1 = α 2 = α 3 = α 4 ונוכיח = 0 α 3 v 3 + α 4 v 4 = (0, 0, 0, 0) ובכן,נניח( 0 (0, 0, 0, = 1) (0, 0, 0, 4 α 1 (1, 0, 1, 0)+α 2 (0, 1, 0, 0)+α 3 (0, 1, 1, 1)+α אז + 1 (α 1, 0, α 1, 0)+(0, α 2, 0, 0)+(0, α 3, α 3, α 3 )+(0, 0, 0, α 4 ) = (α 1, α 2 +α 3, α 16 מספיק שיהיה איבר אחד בקבוצה שתלוי בחבריו; לא תמיד כל איבר יהיה תלוי בחבריו 19

20 25 צירופים לינאריים 2 מרחבים וקטוריים α 4 = 0 = α 2 = 0 = α 3 = 0 = α 1 = 0 לכן, כנדרש: α 3, α 3 +α 4 ) = (0, 0, 0, 0) דוגמה 1)} (1, 1), (0, 0), {(1, = B תלויה לינארית הוכחה = 0 3 α 1 (1, 0) + α 2 (0, 1) + α 3 (1, 1) = (0, 0) = α 1 + α 3 = 0 α 2 + α נבחר 1 = 3 ;α אז 1 = 3,α 1 = α 2 = α ו-( 0 (0, = 1) 1(1, + 1) 1(0, 0) 1(1, דוגמה בת"ל (מתקיים, באופן ריק, שכל צירוף לינארי מתאפס של איברי טריוויאלי) למה 21 (סגירת הדלת :( 17 יהי V מרחב וקטורי מעל F יהיו v 1,, v k V כך שהקבוצה } k 1 {v 1,, v בלתי-תלויה לינארית אז } k {v 1,, v תלויה לינארית אם"ם v k הוא צירוף לינארי של k 1 v 1,, v 18 דוגמה 1) (1, = 3 :v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1), v הקבוצה } 2 {v 1, v בלתי-תלויה, אך } 3 {v 1, v 2, v כבר תלויה הוכחה אם = 1,k {v 1,, v k 1 } = אם = 0 1,v k = v קיבלנו {0} וזו קבוצה שתלויה לינארית באיברי על-פי הגדרה (כי {0} = (span אם 0 1 {v 1 },v אינה תלויה לינארית כעת נוכל להניח ש- 2 k נניח ש- v k צירוף לינארי של k 1 v 1,, v אז הקבוצה } k {v 1,, v בוודאי תלויה לינארית מצד שני, אם הקבוצה } k {v 1,, v תלויה, יש α 1,, α k F לא כולם אפסים כך ש- 0 = k α 1 v 1 + +α k v נטען שבהכרח 0 k ;α אחרת, נקבל = 0 k 1 α 1 v 1 + +α k 1 v v k כשלא כל המקדמים אפסים, וזו סתירה לאי-תלות הוקטורים האלו אז נוכל לכתוב = α1 כלומר, v k צירוף לינארי של חבריו, ולכן הקבוצה תלויה α k v 1 α k 1 α k v k למה 22 (למת הקודמים): יהי V מרחב וקטורי וכן v 1,, v k v 1,, v k V תלויים לינארית אם"ם קיים j k 1 כך ש- v j צ"ל של קודמיו הוכחה נניח שקיים j k 1 כך ש- v j צ"ל של קודמיו אז, לפי ההגדרה, v 1,, v k ת"ל מצד שני, נניח ש- v 1,, v k תלויים לינארית נסמן ב- j את האינדקס הקטן ביותר עבורו v 1,, v j ת"ל (בוודאי קיים j כזה, שהרי הוקטורים תלויים) כיוון ש- j מינימלי, הרי j 1 v 1,, v בת"ל לכן, לפי למת סגירת הדלת, כיוון ש- j 1 v 1,, v בת"ל ו- v 1,, v j ת"ל, v 1,, v צירוף לינארי של j 1 v j 18 כלומר, אם 1 k הוקטורים הראשונים בקבוצה בלתי-תלויים, כדי שהקבוצה תהיה תלויה הוקטור האחרון חייב להיות תלוי באחרים (תלויות נוספות יכולות להיווצר במקרה זה, אבל זה לא רלוונטי) 20

21 26 בסיסים 2 מרחבים וקטוריים 26 בסיסים בסיס נתבונן בוקטורים {(5,3),(3,2),(2,1)} = B ב- R 2 כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי של 2),(1, 3),(2, כיוון ששני אלה אינם על אותו ישר אולם 3)} (2, 2), {(1, span 5),(3, לכן גם {(5,3)} \ B פורשת את R 2 אם נוותר גם על (3,2), למשל, ניוותר עם (2,1), שפורש את הישר B \ {(3, 5)} על 5) (3, יכולנו לוותר כיוון שהוא צ"ל של איברי ולא את R 2 {t(1, 2) t R} הגדרה יהי V מרחב וקטורי B V נקראת בסיס של V אם א B בת"ל; ב B פורשת את (span B = V ) V משפט 23: V מרחב וקטורי; B V היא בסיס של V אם"ם לכל v V יש הצגה יחידה כצ"ל של איברי B (כלומר, אם כאשר } n v = α 1 v α n v n B = {v 1,, v ו-,v = β 1 v β n v n בהכרח (α 1 = β 1,, α n = β n דוגמה V = R 3 נבחר 1)} (0, 0, = 3 B = {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e ניקח v = (α 1, α 2, α 3 ) R 3 v = (α 1, α 2, α 3 ) = (α 1, 0, 0) + (0, α 2, 0) + (0, 0, α 3 ) = = α 1 (1, 0, 0) + α 2 (0, 1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 ההצגה יחידה: = 3 (α 1, α 2, α 3 ) = β 1 e 1 + β 2 e 2 + β 3 e = β 1 (1, 0, 0) + β 2 (0, 1, 0) + β 3 (0, 0, 1) = (β 1, 0, 0) + (0, β 2, 0) + (0, 0, β 3 ) = = (β 1, β 2, β 3 ) = α 1 = β 1, α 2 = β 2, α 3 = β 3 הוכחה נניח ש- B בסיס לכן B פורשת את V מכאן, לכל וקטור v V יש הצגה כצ"ל של איברי α 1 v α n v n = v = β 1 v β n v n כך ש- v V נוכיח כי ההצגה יחידה ניקח B לכן (α 1 β 1 )v (α n β n )v n = 0 זה צ"ל מתאפס של איברי ;B כיוון ש- B בת"ל, הרי המקדמים מתאפסים 0 = i α i = β i = α i β מצד שני, נניח שלכל וקטור יש הצגה יחידה ונוכיח כי B בסיס על-פי ההנחה, לכל v V יש הצגה כצ"ל של איברי,B ולכן B פורשת נותר להראות ש- B בת"ל יהי = 0 n α 1 v α n v צ"ל מתאפס של איברי B נכתוב α 1 v α n v n = 0v v n קיבלנו שתי הצגות של 0 כצ"ל של איברי B, ולכן על-פי ההנחה ההצגות שוות והמקדמים שווים כלומר, α 1 = = α n = 0 משפט 24 (המשפט הכבד): יהיו } m w 1,, w n span {v 1,, v אם,n > m הקבוצה } n {w 1,, w תלויה לינארית הוכחה נוכיח באינדוקציה על m = 0 :m span = {0} ולכן = 0 n ;w 1 = = w {0} תלויה לינארית w 1,, w n אם m ונוכיח עבור m נניח את נכונות המשפט עבור 1 :m > 0 } m 1,span {v 1,, v לפי הנחת האינדוקציה w 1,, w n תלויים לינארית וגמרנו לכן נניח 21

22 2 מרחבים וקטוריים 26 בסיסים שלפחות את אחד מהוקטורים w i לא ניתן להציג כצירוף לינארי של 1 m v; 1,, v בלי הגבלת הכלליות, נניח שזו w n נציג את הוקטורים כ- (i = 1 n) w i = c i1 v c im v m כאשר (w n span {v 1,, v m 1 } (אחרת c nm 0 1 i (i = 1 n 1) u i = w אזי c nm נגדיר וקטורי עזר: c im w n u 1 = w 1 1 c nm c 1m w n = c 11 v c 1m v m 1 c nm c 1m (c n1 v c nm v m ) = c 11 v c 1m v m 1 c nm c 1m c n1 v 1 1 c nm c 1m c nm v m = (c 11 1 c nm c 1m c n1 )v (c 1m 1 c nm c 1m c nm )v m = (c 11 1 c nm c 1m c n1 )v (c 1,m 1 1 c nm c 1m c n,m 1 )v m1 span {v 1,, v m 1 } זהנכוןלכל i )מכאן,הוקטורים = 1 n 1)u i n 1 uכולםב-{ 1,, u m 1 span {v 1,, v כיוון ש- m,n > הרי 1 m n 1 > ועל-פי הנחת האינדוקציה n 1 u 1,, u תלויים לינארית לכן יש סקלרים n 1 b 1,, b לא כולם אפסים כך ש- 0 = n 1 b 1 u b n 1 u נציב ונקבל 0 = b 1 u b n 1 u n 1 = b 1 (w 1 1 c nm c 1m w n ) + + b n 1 (w n 1 1 c nm c n 1,m w n ) = b 1 w b n 1 w n 1 b1 c nm c 1m w n bn 1 c nm c n 1,m w n = b 1 w b n 1 w n 1 + ( b1 c nm c 1m bn 1 c nm c n 1,m )w n זהו צירוף לינארי מתאפס של w 1,, w n שלא כל מקדמיו אפסים מכאן, } n {w 1,, w תלויה לינארית משפט 25: יהי V מרחב וקטורי נניח של- V יש בסיס בעל n וקטורים אז: א כל קבוצת וקטורים ב- V שבה יותר מ- n וקטורים תלויה לינארית ב אין קבוצה בעלת פחות מ- n וקטורים מ- V הפורשת את V ג כל קבוצה בלתי-תלויה המכילה n וקטורים מ- V היא בסיס של V ד כל קבוצה פורשת של V המכילה בדיוק n איברים היא בסיס של V ה בכל בסיס של V יש בדיוק n וקטורים הוכחה א אם ל- V בסיס בעל n וקטורים, ודאי ש- V נפרש על-ידי n וקטורים; לכן, על-פי המשפט הכבד, כל קבוצה גדולה יותר של וקטורים תלויה לינארית ב נניח שיש קבוצה בעלת פחות מ- n וקטורים שפורשת את V אז על-פי המשפט הכבד, קבוצה בעלת n איברים כבר תלויה לינארית ועל-כן אינה בסיס, בסתירה לנתון ג תהי K קבוצה בלתי-תלויה המכילה n איברים כדי לקבל ש- K בסיס, יש להראות ש- K פורשת ניקח ;v V צ"ל v span K אם v K בוודאי v span K וגמרנו אחרת, נוסיף אותו: {v} K זוהי קבוצה בעלת + 1 n איברים, אבל ל- V יש בסיס בעל n איברים ולכן {v} K ת"ל כיוון ש- K בת"ל, הרי על-ידי למת סגירת הדלת v צ"ל של איברי K כלומר, v span K 22

23 26 בסיסים 2 מרחבים וקטוריים ד תהי K קבוצה פורשת של V המכילה בדיוק n וקטורים נניח בשלילה ש- K ת"ל אזי יש v K כך ש- v צ"ל של חבריו לכן {v}) V = span K = span (K \ קיבלנו קבוצה פורשת בת 1 n איברים, בסתירה לב ה תהי } m K = {v 1,, v בסיס של V אם,n > m על-פי א כל קבוצה בעלת n וקטורים תלויה לינארית, וזאת בסתירה לנתון שקיימת עבור v קבוצת-בסיס בעלת n וקטורים אם n = m איברים אינה פורשת לכן n על-פי ב קבוצה בעלת n, < m משפט 26: יהי V מרחב וקטורי מעל B V F היא בסיס של V אם"ם B בת"ל מקסימלית 19 הוכחה נניח כי B בסיס צ"ל כי B בת"ל מקסימלית ראשית, B בת"ל מתוקף היותה בסיס נצטרך להוכיח שהיא בלתי-תלויה מקסימלית תהי B T V אזי ישנו v T כך ש- B v / כיוון ש- B בסיס, הרי היא פורשת, ולכן v span B לכן {v} B היא קבוצה תלויה לינארית אבל,B {v} T ולכן T גם-כן תלויה לינארית מצד שני, נניח כי B בת"ל מקסימלית צ"ל כי B בסיס על-פי ההנחה, B כבר בת"ל; נותר להוכיח כי היא פורשת נניח בשלילה כי ישנו v כך ש- B v / span הקבוצה {v} B מכילה ממש את B, ולכן היא תלויה לינארית (שהרי B בת"ל מקסימלית) כיוון ש- B בת"ל ו-{ v } B כבר תלויה, v תלוי ב- B משמע v שייך ל- B,span בסתירה להנחה לכן B פורשת ולכן מהווה בסיס משפט 27: יהי V מרחב וקטורי מעל B V F היא בסיס של V אם"ם B פורשת מינימלית 20 הוכחה נניח כי B בסיס אז בוודאי B פורשת נרצה להראות שהיא פורשת מינימלית תהי T B יהי v B \ T כלומר, v ב- B אך לא ב- T אם T פורשת, בהכרח v span T אבל זה אומר שיש ב- B וקטור שתלוי בחבריו, וזו סתירה לכך ש- B, בהיותה בסיס, בת"ל מצד שני, נניח כי B פורשת מינימלית צ"ל כי B בסיס נתון ש- B פורשת; לכן מספיק להראות ש- B בת"ל אם B אינה בת"ל, יש בה וקטור v שהוא צ"ל של חבריו נסמן {v} T T = B \ בהכרח פורשת, כי כל וקטור פרט ל- v ניתן להציג בעזרת v, ו- v עצמו צ"ל של השאר אבל על-פי הנתון B פורשת מינימלית, ולכן T שמוכלת בה ממש לא יכולה להיות פורשת סתירה לכך ש- B תלויה הגדרה V מרחב וקטורי מעל F נקרא נוצר סופית אם יש B V סופית כך ש- B V = span מרחב וקטורי נוצר סופית על-פי משפט 25 ה, אם ל- V בסיס בעל n איברים, כל בסיס של V יכיל בדיוק n איברים לכן נוכל להגדיר: B 19 נקראת בת"ל מקסימלית אם כל T V שמכילה את B ממש כבר אינה בת"ל כלומר, אם נוסיף עוד וקטור אחד ל- B, היא כבר תהיה תלויה כבר אינה פורשת כלומר, אם נוריד וקטור מ- B, ממש שמוכלת ב- B T V נקראת פורשת מינימלית אם כל B 20 היא כבר לא תפרוש 23

24 27 מרחב הפולינומים 2 מרחבים וקטוריים מימד הגדרה V מרחב וקטורי מעל F נניח ש- V נוצר סופית מספר האיברים בבסיס שלכהו של V נקרא המימד של (dim (F V דוגמה,dim V = 2 ;V = R 2 כי 1)} (0, 0), {(1, = B בסיס של V דוגמה,dim V = n ;V = R n כי } n B = {e 1,, e בסיס של V (כאשר = 1 e ((1, 0,, 0),, e n = (0,, 0, 1) 27 מרחב הפולינומים פולינום הגדרה פולינום מעל שדה F במשתנה x הוא ביטוי מהצורה F) P (x) = a 0 + a 1 x + (a i מעלת פולינום + a n x n מעלת (דרגת) הפולינום היא המספר הטבעי n הגדול ביותר כך ש- 0 n a 21 שוויון פולינומים a a n x n = b b n x n a 0 = b 0,, a n = b n נסמן ב-[ x ] F n את אוסף הפולינומים מדרגה n: F n [x] = {a 0 + a 1 x + + a n x n a 0,, a n F} נגדיר פעולת חיבור בין פולינומים: (a a n x n ) + (b b n x n ) = (a 0 + b 0 ) + + (a n + b n )x n נגדיר פעולת כפל בסקלר: λ; F λ(a a n x n ) = λa λa n x n [x] F n מרחב וקטורי מעל F (הוכחה כתרגיל) נתבונן ב-[ x ] R 2 טענה :28 הקבוצה 2} B = { 1, x, x בסיס ל-[ x ] R 2 הוכחה מספיק להוכיח שלכל איבר ב-[ x ] Re 2 יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי B ובכן, ניקח P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a a 1 x + a 2 x 2 זהו צירוף לינארי של איברי B נניח שיש שתי הצגות: a a 1 x + a 2 x 2 = b b 1 x + b 2 x 2 על-פי הגדרת שוויון פולינומים, a 0 = b 0, a 1 = b 1, a 2 = b 2 לכן B בסיס של [x],r 2 ולכן = 3 [x] dim R 2 באופן דומה, } n B = {1, x,, x בסיס של [x],f n ולכן + 1 n dim F n [x] = טענה :29 2} C = { 1 + x, 1 x, x בסיס של [x] R 2 21 המעלה של = 0 (x) P מוגדרת להיות 24

25 2 מרחבים וקטוריים 27 מרחב הפולינומים הוכחה כיוון ש- 3 = [x],dim R 2 מספיק לראות ש- C בלתי-תלויה לינארית ניקח צ"ל מתאפס 0 = α 1 (1 + x) + :α 1 = α 2 = α 3 = ונוכיח ש- 0 α 1 (1 + x) + α 2 (1 x) + α 3 x 2 = 0 α 2 (1 x) + α 3 x 2 = (α 1 + α 2 )1 + (α 1 α 2 )x + α 3 x 2 זהו צירוף לינארי מתאפס של וקטורי הבסיס,B לכן מקדמיו מתאפסים: = 0 2 α 1 = 0 = α 3 = 0,α 1 α 2 = 0,a 1 + a α 2 = 0 = משפט 30: יהי V מרחב וקטורי נוצר סופית מעל F יהי U V אז א U נוצר סופית; ב ;dim U dim V ג U = V dim U = dim V הוכחה א+ב תהי U V אם {0} =,U U = span ולכן נוצר סופית ו- = dim U 0 dim V לכן נניח {0} U אז קיימת ב- U קבוצה בלתי-תלויה לינארית כל קבוצה בת"ל ב- U גם בת"ל ב- V (כיוון שכל הוקטורים ב- U נמצאים גם ב- V) אם נסמן,dim V = n ברור שבכל תת-קבוצה בת"ל של U יש לכל-היותר n איברים, לפי המשפט הכבד מתוך כל תת-הקבוצות הבת"ל של U ניקח את B קבוצה שבה מספר מקסימלי של איברים (זה אפשרי כי n הוא חסם עליון למספר האיברים הבת"ל) כל קבוצת וקטורים מ- U המכילה ממש את B תלויה (אחרת B אינה בעלת מספר מקסימלי של וקטורים בת"ל), ולכן B בת"ל מקסימלית ב- U ולכן בסיס ב- B יש מספר סופי של איברים, ולכן U נוצר סופית dim U = B n = dim V ג אם,U = V ודאי dim U = dim V מצד שני, נניח n = dim U = dim V יהי } n B = {u 1,, u בסיס של B V U קבוצה בלתי-תלויה בעלת n איברים; לכן היא בסיס של V כלומר, U = span B = V משפט 31: לכל מרחב וקטורי נוצר סופית V מעל F יש בסיס הוכחה יהי V מרחב וקטורי נוצר סופית אם {0} = V, V = span ו- הוא הבסיס לכן נניח ש-{ 0 } v תהי B קבוצת וקטורים יוצרים סופית של V נוכל להניח ש- B 0; אחרת, כיוון שאינו תורם לפרישה, נגרשו לאלתר ("לך מפה, יא אפס!") נניח בנוסף B = n אם B בלתי-תלויה, B בסיס וגמרנו אחרת, קיים u B שהוא צירוף לינארי של חבריו נסמן {u} B 1 = B \ כיוון ש- u ת"ל ב- B, הרי V = span B = span B 1 אם B 1 בת"ל, כיוון ש- B 1,span B 1 = V בסיס וגמרנו אחרת, קיים וקטור ב- B 1 שתלוי בחבריו נזרוק אותו וכו אחרי לכל-היותר 1 n צעדים, ניוותר עם קבוצה בת"ל (שמכילה לפחות וקטור אחד שאינו 0), שמהווה בסיס משפט :32 יהי {0} V מרחב וקטורי מעל F נניח ש- n dim V = תהי {v 1,, v k } V בלתי-תלויה לינארית אז יש קבוצה } n {d k+1,, d כך ש-{ {v 1,, v k, d k+1,, d n בסיס של V 25

26 28 סכום תת-מרחבים 2 מרחבים וקטוריים d k+1 הוכחה אם {v 1,, v k },k = n בסיס אם {v 1,, v k },k < n אינה פורשת ואינה בסיס לכן יש d k+1 V כך ש- / } k span {v 1,, v כלומר, k+1 d אינו ת"ל ב-{ {v 1,, v k על-פי למת סגירת הדלת, הקבוצה k + אם ({v 1,, v k ת"ל ב-{ d בלתי-תלויה לינארית (אחרת, בהכרח k+1 {v 1,, v k, d k+1 } {v 1,, v k, d k+1 שאינו ת"ל ב-{ d מהווה בסיס אחרת, קיים k+2 {v 1,, v k, d k+1 },1 = n נצרף אותו וכו בדרך זו, נוסיף וקטורים לקבוצה עד שנגיע ל- n וקטורים ונקבל בסיס דוגמה נשלים את 2)} 2, 1, (3, = 2 {w 1 = (1, 2, 1, 4), w לבסיס של R 4 w 1 ו- w 2 אינם ת"ל נוסיף לקבוצה את 0) (0, 0, 1, = 3 w 3 w 3 = e אינו תלוי בקודמיו נוסיף גם את 1) (0, 0, 0, = 4 w 4 = e כעת, מכיוון ש- w 1, w 2, w 3, w 4 בת"ל, הקבוצה R 4 מהווה בסיס ל- {w 1, w 2, w 3, w 4 } 28 סכום תת-מרחבים משפט :33 אם V ) U, W V מרחב וקטורי), U W V U U W משפט :34 V U W אם"ם U W או W U דוגמה נחבר W = span {(0, 1)},U = span {(1, 0)},V = R 2 אבל נקבל 0) (1, W U W + (0, 1) = (1, 1) / U W U + W = { u + w U + W = u span {(1, 0)} w span {(0, 1)} { u + w u U w W } הגדרה יהיו U, W V אז } דוגמה = = {λ 1 (1, 0) + λ 2 (0, 1) λ 1, λ 2 R} = span {(1, 0), (0, 1)} = R 2 סכום תת-מרחבים משפט :35 V מרחב וקטורי, U + W ;U, W V הוא תת-המרחב המינימלי המכיל את U ואת W הוכחה נוכיח רק ש- U + W הוא המינימלי המכיל את,U W כלומר, נניח ש- S V כך ש- S U ו- S,W ונוכיח U + W S יהי = U S x = U u + W w U + W u S (שהרי w S = W S ;(u U (שהרי (w W לכן, כיוון ש- S תת-מרחב, גם x = u + w S (ההוכחה ש- U + W תת-מרחב כתרגיל) משפט 36 (משפט המימדים :(1 יהי V מרחב וקטורי מעל U, W V,F אז = ) W dim(u + dim U + dim W dim(u W ) הוכחה בשלבהראשוןנניחכי{ 0 } U W נסמן dim(u W,ויהי{ ) = k d }בסיס 1,, d k של U W נשליםלבסיסים:{ d }בסיסשל 1,, d k, u 1,, u m {d 1,, d k, w 1,, w n };U משפט המימדים 1 26

27 2 מרחבים וקטוריים 28 סכום תת-מרחבים בסיס של W כעת, dim(u W ) = k dim(u) = k + m dim(w ) = k + n ויש להוכיח ש- n dim(u + W ) = (k + m) + (k + n) k = k + m + כל אחד מהוקטורים u 1,, u m בלתי-תלוי ב- d 1,, d k לכן מתקיים / m u 1,, u span {d 1,, d k } = U W עם זאת,,u 1,, u m U ולכן u 1,, u m / W באותו אופן, w 1,, w n / U בפרט, כל אחד מהוקטורים (i = 1 m) u i שונה מכל אחד מהוקטורים n + m + k יש B = {d 1,, d k, u 1,, u m, w 1,, w n } לכן בקבוצה (j = 1 n) w j וקטורים נותר להוכיח כי B בסיס של U + W נוכיחתחילהכי Bפורשת U+W יהי x כיווןש-{ = u+w U+W {d 1,, d k, u 1,, u m פורשת את,U הרי יש מקדמים (j = 1 m,i = 1 k) β j,α i כך שניתן לכתוב,t = 1 k) ε r,δ t באופן דומה, יש מקדמים u = α 1 d α k d k + β 1 u β n u n x = u+w = לכן w = δ 1 d 1 + +δ k d k +ε 1 w 1 + +ε n w n כך שניתן לכתוב (r = 1 n = (α 1 d 1 + +α k d k +β 1 u 1 + +β n u n )+(δ 1 d 1 + +δ k d k +ε 1 w 1 + +ε n w n ) = (α 1 + δ 1 )d (α k + δ k )d k + β 1 u β n u n + ε 1 w ε n w n = צירוף לינארי של איברי B, ולכן B פורשת כעת נוכיח אי-תלות לינארית נניח ש-+ α 1 d α k d k + β 1 u β m u m = 0 n γ 1 w γ n w אז U α 1 d α k d k + β 1 u β m u m = γ 1 w 1 γ n w n W כיוון שאגף שמאל הוא וקטור ב- U ואגף ימין הוא וקטור ב- W, לפנינו וקטור ב- U W נסמנו ב- v כיוון ש-{ {d 1,, d k בסיס של,U W הרי קיימים סקלרים δ 1,, δ k F כך ש- v = δ 1 d δ k d k נשווה הצגה זו לאגף ימין: + 1 δ 1 d δ k d k = γ 1 w 1 γ n w n δ 1 d = 0 n + δ k d k + γ 1 w 1 + γ n w זהו צ"ל מתאפס של איברי הבסיס של,W שכבסיס היא קבוצה בלתי-תלויה לכן כל המקדמים מתאפסים, ובפרט = 0 n γ 1 = = γ כעת, אם נתבונן ב- W α 1 d α k d k + γ 1 w γ n w n = β 1 u 1 β m u m U נקבל באותו אופן ש- 0 = m β 1 = = β נציב ונקבל = 0 k α 1 d α k d זהו צ"ל מתאפס של איברי הבסיס של,U W ולכן = 0 k α 1 = = α אם {0} = W,U ההוכחה פועלת באותו אופן אחרי שמוציאים את d 1,, d k מהתמונה 27

28 3 העתקות לינאריות 3 העתקות לינאריות 31 הגדרת העתקה לינארית העתקה לינארית הגדרה יהיו V ו- W מ"ו מעל אותו שדה F פונקציה T : V W תיקרא העתקה לינארית אם T מקיימת א ) 2 v 1, v 2 V T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v ב (v) v V, λ F T (λv) = λt T : R 3 R 2 מוגדרת על-ידי y z) T (x, y, z) = (x+y, לדוגמה, = 4) (1, 2, T דוגמה 2) (3, = 4) (1 + 2, 2 נבדוק שזו אכן העתקה לינארית: T ((x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 )) = T (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) = (x 1 + x 2 + y 1 + y 2, y 1 + y 2 (z 1 + z 2 )) = (x 1 + y 1, y 1 z 1 ) + (x 2 + y 2, y 2 z 2 ) = T (x 1, y 1, z 1 ) + T (x 2, y 2, z 2 ) T (λ(x, y, z)) = T (λx, λy, λz) = (λx + λy, λy λz) = λ(x + y, y z) = λt (x, y, z) דוגמה T (x + y) = sin(x + y) T (x) = sin x,t : R R לא תמיד שווה ל-+ sin x T ;sin y אינה העתקה לינארית דוגמה (העתקה ששומרת רק על חיבור) V = C כמ"ו מעל עצמו T : V V מוגדרת על-ידי T (α + βi) = α חיבור: = 2 T ((α 1 + β 1 i) + (α 2 + β 2 i)) = T ((α 1 + α 2 ) + (β 1 + β 2 )i) = α 1 + α λ T (α 1 + β 1 i) + T (α 2 + β 2 i) {}}{ כפל בסקלר: bβ T ((a + bi)(α + βi)) = T ((aα bβ) + (aβ + bα)i) = aα (a + bi)t (α + βi) = aα + bαi משפט :37 תהי T : V W העתקה לינארית אז א T (0 V ) = 0 W ב (v) v V T ( v) = T הוכחה א ) V T (0 V ) = T (0 V + 0 V ) = T (0 V ) + T (0 נוסיף לשני האגפים ) V T (0 ונקבל T (0 V ) = T (0 V ) + ( T (0 V )) = 0 W 28

29 3 העתקות לינאריות 32 קריטריון ללינאריות העתקה ב יהי v V אז v + ( v) = 0 V מכיוון ש- T העתקה לינארית, נקבל = ( v) T (v) + T T (v + ( v)) = T (0 V ) = 0 W בשל יחידות האיבר הנגדי, כיוון ש-( v ) T מתפקד כנגדי של (v) T, הרי הוא הנגדי של (v) T, ולכן נוכל לכתוב (v) T (v ) = T 32 קריטריון ללינאריות העתקה משפט :38,V W מ"ו מעל F אז T : V W העתקה לינארית אם"ם 2 v 1, v 2 V, λ 1, λ קריטריון ללינאריות העתקה F T (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 T (v 1 ) + λ 2 T (v 2 ) הוכחה אם T העתקה לינארית, אז + ) 1 T (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = T (λ 1 v 1 ) + T (λ 2 v 2 ) = λ 1 T (v λ 2 T (v 2 ) להיפך, נניח שהקריטריון מתקיים יהיו v 1, v 2 V אז נקבל שמתקיים = ) 2 T (v 1 + v ) 2 T (1 F v F v 2 ) = 1 F T (v 1 ) + 1 F T (v 2 ) = T (v 1 ) + T (v כעת, יהיו λ F,v V אז T (λv) = T (λv + 0 F v) = λt (v) + 0 F T (v) = λt (v) מסקנה :39 יהיו T : V W,λ 1,, λ n F,v 1,, v n V העתקה לינארית אז T ( n i=1 λ iv i ) = n i=1 λ it (v i ) הוכחה כתרגיל (באינדוקציה) 33 העתקות מיוחדות 331 העתקת האפס W,V מ"ו מעל F נגדיר : V W 0 על-ידי v V 0(v) = 0 W העתקת האפס למה זו ה"ל? ) 2 0(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = 0 W = λ 1 0(v 1 ) + λ 2 0(v 332 העתקת הזהות העתקת הזהות v V I(v) = v על-ידי I : V V נגדיר F מ"ו מעל V למה זו ה"ל? ) 2 I(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = λ 1 I(v 1 ) + λ 2 I(v 34 מציאת העתקות לינאריות משפט :40 יהיו W,V מ"ו מעל F יהי } n B = {v 1,, v בסיס של V אם S, T : V W יחידות העתקה לינארית כך שלכל S(v i ) = T (v i ) i = 1 n אז (v) S(v) = T לכל ;v V כלומר, S = T הוכחה יהי v V צ"ל (v) S(v) = T כיוון ש- B בסיס, יש α 1,, α n F (הנקבעים באופן יחיד) כך ש- v = α 1 v α n v n אז נקבל 29

30 35 גרעין של העתקה לינארית 3 העתקות לינאריות S(v) = S(α 1 v α n v n ) = α 1 S(v 1 ) + + α n S(v n ) = α 1 T (v 1 ) + + α n T (v n ) = T (α 1 v α n v n ) = T (v) משפט :41 יהיו W,V מ"ו מעל F יהי } n B = {v 1,, v בסיס של V יהיו w 1,, w n W אז יש T אחת ויחידה שהיא העתקה לינארית מ- V ל- W ומקיימת (i = 1 n) T (v i ) = w i דוגמה כדי למצוא ה"ל T : R 3 R 3 שמקיימת 1) (1, 0, = 5) (1, 3,,T ניקח בסיס של R 3 שמכילאת( 5, 1 ) למשל{( 1 3, (0, 0, 0), (0, 1, 5),, 1 )} ונגדיר( 1 3, (1, 0, = 5) (1, 3,,T 0) (0, 0, = 0) (0, 1,,T T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) כעת נוכל להסתמך על לינאריות T לשם חישוב 6) (1, 4, :T T (1, 4, 6) = T ((1, 3, 5)+(0, 1, 0)+(0, 0, 1)) = T (1, 3, 5)+T (0, 1, 0)+T (0, 0, 1) v = n נגדיר הוכחה לכל v V יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי 1=i α iv i B T כיוון שמקדמי הצירוף הלינארי נקבעים באופן יחיד, הרי הנוסחה ל-( v ) T (v) = n i=1 α iw i מתאימה לכל T (v) v יחיד,T (v i ) = w i כנדרש, כי ניתן לכתוב + i 1 v i = 0v v T (v i ) = 0w w i 1 + w i + 0w i+1 + ואז, על-פי ההגדרה,,v i + 0v i v n + 0w n = w i נותר להראות ש- T לינארית יהיו ;u 1, u 2 V צ"ל ) 2 T (u 1 + u 2 ) = T (u 1 ) + T (u נכתוב u 2 = β 1 v β n v n,u 1 = α 1 v α n v n T (u 1 + u 2 ) = T ((α 1 v α n v n ) + (β 1 v β n v n ) = T ((α 1 + β 1 )v (α n + β n )v n ) הגדרת T = (α 1 + β 1 )w (α n + β n )w n = α 1 w α n w n + β 1 w β n w n = T (α 1 v α n v n ) + T (β 1 v β n v n ) = T (u 1 ) + T (u 2 ) הוכחת שמירה על כפל בסקלר כתרגיל יחידות T נובעת ממשפט 40 לסיכום, אם T : V W העתקה לינארית ו- B בסיס של V, מתוך הכרת ערכי T על וקטורי v V על כל T נוכל לקבוע חד-משמעית מהו ערכה של B 35 גרעין של העתקה לינארית גרעין הגדרה תהי T : V W ה"ל נסמן } W ker T ker T = {v V T (v) = 0 הוא הגרעין של T 30

31 3 העתקות לינאריות 36 תמונה של העתקה לינארית V ker T W 0 דוגמה T : R 3 R 3 מוגדרת על-ידי 0) y, T (x, y, z) = (x, ker T = { (x, y, z) R 3 T (x, y, z) = (0, 0, 0) } = { (x, y, z) R 3 (x, y, 0) = (0, 0, 0) } = { (x, y, z) R 3 x = y = 0 } = { (0, 0, z) R 3} = { z(0, 0, 1) z R 3} = span {(0, 0, 1)} משפט :42 תהי T : V W ה"ל אז ker T V הוכחה תחילה,,0 v ker T כי T (0 V ) = 0 W יהיו,T (v 1 ) = 0 W v 1, v 2 ker T,T (v 2 ) = 0 W ולכן T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) = 0 W ו- v 1 + v 2 ker T כעת, יהיו λv ker T ו- T (λv) = λt (v) = λ0 W = 0 W אז λ F,v ker T 36 תמונה של העתקה לינארית הגדרה תהי T : V W ה"ל תהי K V נסמן K} T (K) T (K) = {T (v) v תמונה של קבוצה נקראת התמונה של K דוגמה T : R 2 R 2 מוגדרת על-ידי T (x, y) = x (הוכחה שזו ה"ל כתרגיל ( 22 T (K) = {1, 2} אז K = {(1, 2), (1, 3), (2, 4)} משפט :43 תהי T : V W העתקה לינארית אם T (K) W,K V הוכחה תחילה, ) V (0 V K) T (K) 0 W = T (0 לכן (K) T יהיו (K) ;w 1, w 2 T צ"ל (K) w 1 + w 2 T v 1 KT (v 1 ) = w 1 = w 1 T (K) T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) = w 1 + ולכן w 2 v 2 KT (v 2 ) = w 2 = w 2 T (K) אבל,v 1 + v 2 K שהרי K V קיבלנו (K) w 1 + w 2 T הוכחת סגירות לכפל בסקלר כתרגיל תמונה הגדרה תהי T : V W ה"ל } V im T = {T (v) v נקראת התמונה של T im T = { T (x, y, z) (x, y, z) R 3} = {(x, y, 0) x, y R} = {x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) x, y R} = span {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} על-פי המשפט הקודם, im T W דוגמה נחשב את im T עבור T מהדוגמה הקודמת 22 בכל מקרה, זה לא משנה להגדרת התמונה 31

32 37 כמה מילים על פונקציות 3 העתקות לינאריות נשים לב ש- dim ker T + dim im T = dim V 3 = איך מחשבים את?im T משפט :44 תהי T : V W ה"ל יהי } n B = {v 1,, v בסיס של V אז = T im span {T (v 1 ),, T (v n )} דוגמה נחזור לדוגמה הקודמת ניקח 1)} (0, 0, 0), (0, 1, 0), {(1, 0, = B בסיס של span {T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)} = ואכן, V = R 3 = span {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)} = span {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} = im T x = הוכחה נראה הכלה הדדית יהי )} n x span {T (v 1 ),, T (v אז n λ i T (v i ) = i=1 n n T (λ i v i ) = T ( λ i v i ) im T i=1 כעת, יהי x im T אז יש v V כך ש-( v ) x = T כיוון ש- B בסיס, ניתן לכתוב,v = n ואז i=1 α iv i x = T (v) = T ( n α i v i ) = i=1 i=1 n α i T (v i ) span {T (v 1 ),, T (v n )} i=1 37 כמה מילים על פונקציות נניח ש- f 2 : A 2 B 2,f 1 : A 1 B 1 רוצים להגדיר את הפונקציה המורכבת f 2 f 1 אם התמונה של f 1 מוכלת בתחום של,f 2 נוכל להגדיר את f 2 f 1 כ-(( x ) (f 2 f 1 )(x) = f 2 (f 1 A 2 A 1 B 1 B 2 פונקציה חד-חד ערכית הגדרה פונקציה f : A B נקראת חד-חד ערכית אם לכל = a 1 a 2 a 1, a 2 A a 1 = a 2 = f(a 1 ) = f(a 2 ) או, באופן שקול, אם f(a 1 ) f(a 2 ) הגדרה פונקציה f : A B נקראת על אם לכל b B יש a A כך ש- b f(a) = הגדרה פונקציית הזהות I A : A A מוגדרת כך ש- a a A I A (a) = הגדרה תהי f : A B פונקציה אם קיימת g : B A כך ש- f g = I A ו- g f = I B נאמר ש- f הפיכה; g נקראת הפונקציה ההופכית של f ניתן להראות שאם קיימת g כזו היא יחידה, ולכן ניתן לסמן 1 f g = פונקציה על פונקציית הזהות פונקציה הפיכה פונקציה הופכית 32

33 3 העתקות לינאריות 38 הרכבת העתקות לינאריות משפט :45 B f : A הפיכה f חח"ע ועל הגדרה W V, מ"ו מעל T : V W F ה"ל נקראת מונומורפיזם אם היא חח"ע; אפימורפיזם אם היא על; איזומורפיזם אם היא חח"ע ועל (מונו אפי איזו)מורפיזם משפט :46,V W מ"ו מעל T : V W F ה"ל T חח"ע } V ker T = {0 0 V לכן הוכחה ( =) נניח T חח"ע נניח בשלילה ש-{ ker T {0 V אז יש v ker T,T (v) = T (0 V ) = 0 W ומכאן T אינה חח"ע, בסתירה להנחה (= ) נניח } V ker T = {0 ונוכיח ש- T חח"ע נניח ש-( T (v 1 ) = T (v 2 מכאן, = ) 2 T (v 1 v v 1 v 2 = 0 V ולכן,ker T = {0 V } אבל v 1 v 2 ker T ולכן,T (v 1 ) T (v 2 ) = 0 W מכאן, v 1 = v 2 (im T = W על T : V W ) הרכבת העתקות לינאריות 38 S(x, y) =,S : R 2 R 2 ;T (x, y) = (x y, 2x + y),t : R 2 R 2 דוגמה y) (x + 2y, x + ההעתקה T S : R 2 R 2 מוגדרת כך: (S(v)) (T S)(v) = T עבור (T S)(v) = T (S(x, y)) = T (x + 2y, x + y) =,v = (x, y) = ((x + 2y) (x + y), 2(x + 2y) + (x + y) = (y, 3x + 5y) S T T S כתרגיל משפט :47 יהיו W 1,V 1 ו- W 2,V 2 מ"ו מעל שדה F יהיו T : V 2 W 2,S : V 1 W 1 העתקות לינאריות אז אם T S : V 1 W 2,im S V 2 מוגדרת והיא העתקה לינארית הוכחה נסמן T S = L צ"ל כי לכל L(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) =,λ 1, λ 2 F,v 1, v 2 V 1 ) 2 λ 1 L(v 1 ) + λ 2 L(v ואכן: L(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = (T S)(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = T (S(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 )) = T (λ 1 S(v 1 ) + λ 2 S(v 2 )) = λ 1 T (S(v 1 )) + λ 2 T (S(v 2 )) = λ 1 L(v 1 ) + λ 2 L(v 2 ) כפי שראינו, אם T : V W ה"ל חח"ע ועל, יש S : W V כך ש-,T S = I V T היא ההופכית של S = T 1 כלומר, S T = I W משפט :48,V W מ"ו מעל F אם T : V W ה"ל חח"ע ועל, אז T 1 : W V אף היא ה"ל הוכחה יהיו λ 1, λ 2 F,w 1, w 2 W צריך להוכיח כי T 1 (λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ) = λ 1 T 1 (w 1 ) + λ 2 T 1 (w 2 ) 33

34 38 הרכבת העתקות לינאריות 3 העתקות לינאריות נבחר v 1, v 2 V כך ש- T (v 2 ) = w 2,T (v 1 ) = w 1 (נוכל לעשות זאת, כי T על) אז T (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 T (v 1 ) + λ 2 T (v 2 ) = כעת, T 1 (w 2 ) = v 2,T 1 (w 1 ) = v 1,λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ולכן T 1 (λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = λ 1 T 1 (w 1 ) + λ 2 T 1 (w 2 ) משפט :49,V W מ"ו מעל T : V W F העתקה לינארית K V קבוצת וקטורים בת"ל אם T חח"ע, אז (K) T בת"ל הוכחה (לשם הפשטות, נניח } n K = {v 1,, v סופית) ניקח צ"ל מתאפס של איברי (K) T ונוכיח שהוא טריוויאלי נניח = 0 ) n α 1 T (v 1 ) + + α n T (v אז + + ) 1 T (α 1 v ker T = {0} חח"ע, הרי T כיוון ש- T (α 1 v α n v n ) ולכן = 0 T (α n v n ) = 0 מכאן, = 0 n α 1 v α n v מכיוון שזהו צ"ל מתאפס של איברי הקבוצה הבת"ל,K α 1 = = α n = 0 משפט 50 (משפט המימדים :(2,V W מ"ו מעל שדה T : V W dim ker T = n,f ה"ל אז dim ker T + dim im T = dim V משפט המימדים: הקאמבק דוגמה כבר ראינו אחת כזאת (ב ), כשדנו בגרעין ובתמונה הוכחה נפריד לשלושה מקרים: א ker T = V כלומר, T העתקת האפס: v V T (v) = 0 W לכן } W = im T = {0 dim ker T + dim im T = כעת, dim ker T = n = ker T = V dim im T = 0 n + 0 = n ב {0} ker T V נסמן dim ker T = k ניקח בסיס ל- {u 1,, u k } :ker T נשלים בסיס זה לבסיס של {u 1,, u k, v 1,, v n k } :V ראינו כבר כי im T נפרשת על-ידי )} n k {T (u 1 ),, T (u k ), T (v 1 ),, T (v אבל כיוון ש- u 1,, u k im T = span {T (v 1 ),, T (v n k T,ולכןמספיקלכתוב{( (u 1 ) = = T (u k ) = 0,ker T אם נראה ש-{( {T (v 1 ),, T (v n k בת"ל, נקבל,dim im T = n k ואז + T dim ker α 1 T (v 1 ) + וגמרנו אם כן, נוכיח אי-תלות נניח dim im T = k + (n k) = n α 1 v 1 + ו-+ T (α 1 v α n k v n k ) לכן = 0 + α n k T (v n k ) = 0 α 1 v α n k v n k כך ש-= β 1,, β k F לכן יש α n k v n k ker T β 1 u 1 β k u k + α 1 v α n k v n k לכן = 0 β 1 u β k u k זהו צ"ל מתאפס של איברי בסיס של,V ולכן = 0 n k α 1 = = α וגמרנו ג {0} = T ker יהי{ v }בסיסשל 1,, v n V ראינוכברש-{( im T = span {T (v 1 ),, T (v n כיוון ש- T חח"ע ו-{ {v 1,, v n בת"ל, הרי גם )} n {T (v 1 ),, T (v בת"ל לכן זהו בסיס 34

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים: תרגול 1 אלגברה ליניארית נושאים: מרחב ליניארי 1. תת מרחב ליניארי 2. Span.3 תלות ליניארית 4. בסיס 5. מימד 6. טרנספורמציות דמות, גרעין, (שניהם תתי מרחב), משפט המימדים 7. מרחב העמודות, דרגה של מטריצה, מרחב

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017 מבוא לתורת החבורות מהדורה 3.931 הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, 88-211, באוניברסיטת בר אילן. הקורס

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת השדות עוזי וישנה

מבוא לתורת השדות עוזי וישנה מבוא לתורת השדות עוזי וישנה מבוא לתורת השדות מהדורה 1.38 הקדמה. שדות הם החוגים המוצלחים ביותר: הם קומוטטיביים, וכל האברים שלהם הפיכים. המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה, ולכן אין זה פלא ששדות תופסים מקום מרכזי

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה

מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה 25 באוקטובר 2015 מבוא לחוגים ומודולים מהדורה 1.311 הקדמה. תורת החוגים עשירה בשיטות ורעיונות, וחובקת דוגמאות מכל תחומי המתמטיקה. קורס ראשון בתחום מוגבל, מטבע הדברים, למושגים

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים עוזי וישנה

מבנים אלגבריים עוזי וישנה מבנים אלגבריים עוזי וישנה מבנים אלגבריים מהדורה 2.58 למתרגל הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס 'מבנים אלגבריים' למדעי המחשב, 89-214, באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של שעתיים הרצאה

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת

Διαβάστε περισσότερα

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E של הלמה של צורן י י י י שומים של צורן הל מה תזכרת יהי R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה Ω 1 הג הג a< Rb ( arb bra), a Rb ( arb a= א לכל, ab Ωנגדיר (b R >סדר R קדם-סדר קהה מעל Ω (=טרנזיטיבי ורפלקסיבי מעל Ω) ו לא

Διαβάστε περισσότερα