חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

Transcript

1 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, ביוני

2 אתר אינטרנט: סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss 3. מרחבי מכפלה פנימית 4. טורי פוריה Fourier series 5. נושאים נוספים... עוד קצת מנהלות בהנחה שהשביתה תפתר במהרה: יהיו 3 תרגילים להגשה שיקבעו 5% מהציון הסופי (ממוצע של התרגילים הטובים ביותר) ו 85% הבחינה. ספר לינדנשראוס אינפי מתקדם א. שעת קבלה יום ג 3 ץ

3 תוכן עניינים

4 חלק I המרחב C(K) 3

5 פרק מבוא. טעימה קלה הדגש קורס הנ ל יהיה אנליזה פוקציונלית. הדגש הוא לא על פונקציה מסויימת והתכונות שלה אלא על מרחבי פונקציות ומרחבים נורמיים כלליים. הדוגמה הכי בסיסית למרחבי פונקציות אשר כבר ראינו: יהי K מרחב מטריקומפקטי, נתבונן במרחבפונקציות( C(K (מרחב הפונקציות הרציפות מK לR. אנו יודעים כי כלפונקציה כזאת היא אוטומטית חסומה (משפט ויירשטראס) ואנו יכולים להתבונן בנורמה: f = sup x K f (x) = mx f (x) x k. וזהו מרחב נורמי שלם. C(K) הוא מרחב נורמי ביחס ל Q ושלם: כל סדרת קושי מתכנסת (לדוגמה.d(x,y) = x y מה זה מרחב נורמי שלם? ראשית כל נורמה מגדירה מטריקה: היא לא שלמה, כיוון שלא כל סדרת קושי מתכנסת בה, אבל R כן). n > כך שלכל n קיים n ε וכמובן שזה אם ם לכל > f n f מה זה התכנסות ב?C(K) נאמר ש f n f אם ם:. f n במ ש f כלומר: x K f n (x) f (x) < ε. קומפקטיות הגדרה.. קומפקטיות: בהינתן המרחב המטרי (X,d) נאמר ש X קומפקטי לכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת. X שלם וחסום לחלוטין (כלומר, לכל > ε יש ε רשת סופית) לכל כיסוי פתוח של X יש תת כיסוי סופי. מה זה ε רשת? קבוצה של נקודות x,...,x n כך ש ) i. X = n B ε (x i= מסקנה... אם (X,d) מרחב מטרי שלם, Y X קומפקטית יחסית (כלומר Y קומפקטי) אם ם Y חסומה לחלוטין.. X Y קומפקטיים Y סגורה וחסומה לחלוטין. הערה..3 עבור R n עם המטריקה האוקלידית (או באופן יותר כללי עבור מרחב נורמי סוף מימדי) כל קבוצה חסומה היא חסומה לחלוטין. לעומת זאת במרחב נורמי ממימד אינסופי הדבר אינו נכון. למה? נתבונן בקבוצה החסומה הבסיסית ביותר () B נבחין כי היא אינה קבוצה חסומה לחלוטין. הסיבה לכך היא (לא הוכחה): אם נתבונן ב R n בשביל לכסות את כדור היחידה ב R n ע י כדורים ברדיוס צריך לפחות n כדורים (משיקולי נפח). לכן, במרחב אינסוף מימדי לא ניתן לכסות את כדור היחידה בעזרת מספר סופי (או באופן יותר כללי: כל רדיוס הקטן מ ) של כדורים ברדיוס 4

6 5 אובמ. קרפ נרצה לשאול, מתי קבוצה C(K) A היא קומפקטית\קומפקטית יחסית? כלומר, מתי A חסומה לחלוטין? במילים אחרות, מתי לכל סדרה f n A יש תת סדרה מתכנסת (במ ש)? f לכל.f A כלומר: x K,f A f (x) R (חסימות במידה אחידה) נבחין כי A חסומה קיים R כך ש R איזו סדרה של פונקציות אנו מכירים שלא מתכנסת במידה שווה? דוגמה..4 נתבונן בפונצקיה הבאה בקטע [,] = K: nx x n f n = nx n x n x > n (x) f n לכל [,] x אבל אין תת סדרה מתכנסת ב C(K) מכיוון ש = n f, כלומר, אין תת סרה n ברור כי נקודתית מתכנסת ל במ ש. כלומר } n A = {f לא קומפקטית יחסית (ב (C([,]).3 רציפה במידה אחידה הגדרה.3. רציפה במידה אחידה: נאמר שמשפחה C(K) F היא רציפה במידה אחידה אם לכל > ε קיים > δ כך ש: f F d K (x,x ) < δ f (x) f (x ) < ε הערה.3. נבחין כי זו למעשה רציפות במידה שווה אם F היא רק פונקציה אחת. כלומר אנו דורשים רציפות במידה שווה של פונקציות ב f F כך שאותה > δ עובד באופן אחיד לכל הF f. הערה.3.3 המונח באנגלית הוא: Equicontinous fmily ריצפות במידה אחידה (של משפחה) ואילו Uniformly continous ריצפות במ ש. דוגמה = F.3.4 משפחת הפונקציות הקבועות על K, היא כמובן רציפה במידה אחידה. F = {f C(K) ליפשיץ עם קבוע f} דוגמה.3.5 f F f (x) f (x ) d K (x,x ) כלומר:.δ = ε זה יהיה משפחה רציפה במידה אחידה עבור באופן כללי יותר: α > c > {f C(K) f (x) f (x ) cd(x,x )} פונקצייות המקיימות את תנאי הולדר. טענה.3.6 מרחב מטרי X הוא קומפקטי אם ם X שלם וחסום לחלוטין (לכל > ε אפשר לכסות את X ע י מספר סופי של כדורים ברדיוק ε)

7 6 אובמ. קרפ הוכחה: תרגיל. מספיק להראות שלכל סדרה } N x }ב X יש תת סדרה שהיא סדרת קושי. (טיעון אלכסון) נתחיל מסדרה הנתונה } n x}, נקח כיסוי של X ע י מספר סופי של כדורים B B,..., k ברדיוס. נבחר תת סדרה של } n y n () X}, שמוכלת באדת מה B ים i נקרא לו () D., נבחר תת סדרה () n yשל y n המוכלת באחד הדכורים הנ ל ().D עכשיו ניקח כיסוי של X ע י מספר סופי של כדורים ברדיוס נמשיך בתהליך כאשר בשלב הm י נכסה את X ע י מספר סופי של כדורים ברדיוס באחד הכדורים נסמנו: (m) D. (m ) y המוכלת n yשל (m) ונבחר תת סדרה n m כלומר נחזור על התהליך לכל m (אנו משתמשים באקסיומת הבחירה כמובן). נקבל אוסף של סדרות: y () y () y () 3... y () y () y () 3... y (3) y (3) y (3) מסתכל על הסדרה הנוצרת מהאלכסון הנ ל (בגלל זה טיעון האלכסון): z n = y (n) n (n) (y ולכן: D (n) היא תת סדרה של y (k) (k) z k = y ו k m,m d(z m,z m ) z n היא תת סדרה של } n z k D (n).{x לכל k n (כי min(m,m ). כי ) min(m,m z m,z m D ובגללשזהמרחבמטרי,הקוטרשלכדורהואפעמייםהרדיוסולכןהמרחקבניהםלאעולהעל ) min(m,m ולכן z n היא סדרת קושי. נחזור שוב על הגדרה של רציפה במידה אחידה: הגדרה.3.7 בהינתן K מרחב מטרי קומפקטי. נאמר שמשפחה C(K) F נקראת רציפה במידה אחידה אם לכל ε קיים > δ כך ש d(x,x ) < δ אזי: f F f (x) f (x ) < ε דוגמה.3.8 נתבונן ב [,b] K = נתבונן במשפחה: F = {p(x) = + x+...+ n x n n, i, i =,...,n} רציפה במידה אחידה. נבחין כי זו למעשה משפחה של פונקציות ליפשיציות עם קבוע ליפשיץ חסום, ולכן ראינו כבר כי היא רצפה במידה אחידה כיוון שפונקציות ליפשציות עם קבוע חסום הן רציפות במידה אחידה. מאידך, המשפחה {R {cx c של הפונקציות הלינאריות ב [,] אינה משפחה רציפה במידה אחידה (c אינו חסום, לכן קיימת פונקציה עם נגזרת גדולה כרצוננו). x n n { x < x = {x n } עבור הקטע [,] =,K נבחין כי: דוגמה.3.9 נבחין כי היא מתכנסת לפונקציה לא רציפה, ולכן היא לא תהא רציפה במידה אחידה כפי שנראה בקרוב. אבל אפשר גם לראות את זה ישירות (כתרגיל). הערה.3. הגדרנו רציפות במידה אחידה, אבל נבחין כי ההגדרה הנ ל בעצם לוקחת את המושג של רציפות במידה שווה והופכת אותו לאחידה כלפי המשפחה. כלומר כפי שכבר ציינו אם {f} F = אז היא רציפה במידה אחידה אם ם f רציפה במ ש. מצד שני, אפשר להגדיר רציפות של משפחה בנקודה K (כלומר, לכל > ε קיים > δ כך שאם d(x,) < δ אז.( f F f (x) f () < ε אותה הוכחה שמראה שכל פונקציה ב( C(K היא רציפה במידה שווה מראה שאם F משפחה רציפה במידה אחידה בK לכל נקודה K אז F משפחה רציפה במידה אחידה בK במובן הקודם.

8 7 אובמ. קרפ Arzel-Ascoli.3. משפט Arzel-Ascoli.3. תהי C(K) F אז F קומפקטית יחסית אם ם F חסומה ב C(K) (כלומר אחידה) ורציפה במידה אחידה. הערה.3. באופן שקול C(K) F קומפקטית אם ם F סגורה וחסומה ורציפה במידה אחידה. תרגיל: אם F רציפה במידה אחידה F רציפה במידה אחידה. הוכחה: נניח שF קומפקטית יחסית, ברור ש F חסומה. יהי > ε, כיוון ש F חסומה לחלוטין, קיימות f f,..., n F כך i. f f אנו יודעים כי f,...,f n רציפות במ ש, לכן קיים > δ כך ש: שלכל f F קיים i כך ש: < ε d(x,x ) < δ f i (x) f i (x ) < ε לכל i. = n,..., נעשה את הטריק הרגיל של חלוקה ל 3, לכל f F נבחר את הi כך ש f f i < ε נקבל לכל x,x K כך ש :d(x,x ) < δ f (x) f (x ) f (x) f i (x) + f i (x) f i (x ) + f i (x ) f (x ) }{{}}{{}}{{} <ε <ε <ε i, f f האמצעי כי f i רציפה במידה אחידה. ולכן: השמאלי והימני כי < ε < 3ε אם F רציפה במידה אחידה וחסומה נרצה להראות כי אז F חסומה לחלוטין. (ולכן קומפקטית יחסית בתור תת קבוצה חסומה לחלוטין במרחב מטרי שלם) יהי >,ε נבנה ε רשת סופית לF. יהי M כך ש f F, x K, f (x) M (כי F חסומה ב C(K) לפי הנחה). f F x,x K d(x,x ) < δ f (x) f (x ) < ε יהי > δ כך ש: נבחר δ רשת x,...,x n ב K ו: ε רשת, y,...,y m למשל m = M ε ב:.[ M,M] נבנה רשת N באופן הבא: לכל ) n m) m,..., כאשר m i < m (האינדקסים של הε רשת שהגדרנו בשורה להעיל). אם קיימת ונוסיף אותה לרשת לN. f (m,...,m n) F אז נבחר i,,...,n לכל f (x i ) y mi < ε כך ש f F הטענה היא: N היא 4ε רשת. מדוע? בהינתן f F כלשהי אזי לכל i נקח m i כך ש f (x i ) y mi < ε (כי y,...,y n היא רשת ב ([ M,M] ברור ש: n) f (m,...,m מוגדר. f (x) f(m,...,m n)(x) f (x) f (x i ) + f(m,...,m }{{} n)(x) f (m,...,m n)(x i ) + }{{} <ε <ε לכל x K כיוון ש x i היא δ רשת, קיים i כך ש d(x,x i ) < δ ולכן המרחק f(m,...,mn)(x i ) f (x i ) }{{} f(m,...,mn) y mi }{{} <ε + y mi f (x i ) }{{} <ε 4ε הכללות אפשר לדבר בקונטקסט יותר כללי על מרחבי פונקציות ממרחב מטריי אחד לשני. נניח ש X,Y מרחבים מטריים ונניח כי X קומפקטי, ניתן להסתכל על המרחב הבא: {רציפות Y C (X;Y) = {f : X

9 8 אובמ. קרפ הערה.3.3 מה שסימנו ב C(X) הוא למעשה (R C ;X) למה.3.4 (X;Y) C הואמרחבמטרי ביחסלמטריקה: (x)) d(f,f ) = sup (f (x),f (x)) = mx d(f (x),f (מקסימוםכי X קומפקטי x X x X והפונקציה d היא רציפה). הוכחה: ברור. נגיד שהתכנסות ב (X;Y) C פירושה התכנסות במ ש. כלומר f n f אם לכל > ε קיים n כך ש > n x X.n d Y (f n (x),f (x)) < ε טענה.3.5 אם f n : X Y רציפות ו: f n f במ ש אז f רציפה הוכחה: זהה להוכחה מאינפי 3 שבו Y = R טענה.3.6 אם בנוסף Y שלם, אז (X;Y) C שלם. הוכחה: זהה להוכחה מאינפי 3 שבו Y = R ובדיוק באותו אופן ניתן לנסח את Arzel-Ascoli באופן הזה(המוכלל יותר) נשים לב כי בהוכחה בשום שלב לא השתמשנו בכך שזה.R הגדרה.3.7 משפחה (X;Y) F C נקראת רציפה במידה אחידה אם לכל > ε קיים > δ כך ש: x,x X, f F d X (x,x ) < δ d Y (f (x),f (x )) < ε משפט Arzel-Ascoli.3.8 מוכלל אם X,Y מרחבים מטריים קומפקטיים, אז (X;Y) F C היא קומפקטית יחסית אם ם F היא רציפה במידה אחידה במובן הנ ל. אפשר לנסח משפט יותר כללי אם Y שם לאו דווקא קומפקטי ואז צריך בנוסף ש F חסומה במידה אחידה במובן שקיימת K Y קומפקטית כך ש x X, f F f (x) K. וההוכחההיאזההלחלוטיןכיווןשבשוםשלבבהוכחהלאהשתמשנובכךשאנומקבליםערכים המשפטהואהכללהשלהמקרהR Y = קומפקטיות. תרגיל: האם ניתן לקרב את הפונקציה x f (x) = בקטע [, ] ע י פולינום במ ש. כלומר האם לכל > ε קיים p פולינום כך ש?x [,] לכל p(x) x < ε

10 פרק קירוב ע י פולינומים ומשפט Stone-Weirstrss. הבעיה הבסיסית בהינתן פונקציה רציפה f על הקטע [b,] נרצה למצוא קירוב שלה ע י פונקציה יחסית פשוטה, לדוגמה הפונקציות הפולינומאליות. כלומר, לכל > ε נרצה למצוא פולינום p כך ש:. f p = mx f (x) p(x) < ε x [,b] הדבר נראה קצת בעייתי, אנו יודעים מטורי חזקות שניתן לקרב בעזרת טיילור, אך הדבר לא עובד בהכרח כמו שהיינו רוצים. בה כ אפשר להתבונן ב [,] = [,b] כיוון שניתן לעבור בניהם ע י החלפת משתנים: x. (b )x+ כמו שאנו יודעים, פולינום טיילור לא בהכרח מתכנס לפונקציה חלקה נקודתית. דוגמה.. דוגמה ידועה לפונקציה אשר פולינום טיילור לא מתכנס אליה אפילו לא נקודתית. {e x f (x) = x x = הפונקציה f חלקה, ולכל n מתקיים: = () (n) f, לכן הפולינום טיילור שלה הוא פולינום האפס, וברור כי הוא אינו מתכנס לפונקציה. כמו כן, יש פונקציות רציפות שאינן גזירות באף נקודה (לדוגמה הפונקצייה של ויירשטראס). ונראה שבעייתי לקרב פונקציה כזו ע י פולינום, אבל מסתבר שניתן לעשות את זה. משפט Weierstrss מבטיח כי לכל f רציפה ב [,b] ולכל > ε קיים פולינום p כך ש f. p < ε ניסוח שקול למשפט: מרחב הפולינומים P צפוף ב.C([,b]) P. n (וכמובן, ע י מעבר לתת סדרה, אנו נקבל כי במ ש במילים אחרות: לכל C([,b]) f, קיימת סדרת פולינומים P n כך ש f (degp n n נסוח שקול נוסף: מרחב הפולינומים ממעלה n (נסמנו P. n נגדיר: f C([,b]) d(f,p n ) := inf p C f p ) = ) n f P n d(f,p כי P n סגורה) lim (שקול לכל C[,b] f מתקיים: ) n d n := d(f,p כאשר.n (כי n d מונוטונית יורדת: = d(f,p) n d n = למשפט הקירוב של ויירשטראס) הערה.. עובדה: כל מרחב נורמי ממימד סופי n שקול ל R n בנורמה הרגילה (כלומר הנורמה שקולה) ולכן כל מרחב נורמי ממימד סופי הוא שלם (כל R n שלם בנורמה הרגילה. לכל מרחב נורמי (,V) אם U V תת מרחב מעל R ממימד סופי אז U שלם ולכן U סגור. ובפרט U איננו צפוף בV (אלא אם כן.(V = U בפרט, בניסוח של המשפט, לא ניתן להסתפק בפולינומים ממעלה חסומה, כיוון שזה מרחב סוף מימדי. בפרק זה נניח כי אנו עובדים עם הקטע [,] 9

11 Stone-Weirstrss טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ x < x <... < x n. פולינומי אינטרפולציה נקח +n נקודות: למשל:.x i = i n אנו יודעים כי בהינתן +n נקודות וn+ ערכים אנו יכולים למצוא פולינום העובר בנקודות אלה. כלומר קיים פולינום P n ממעלה n והוא יחיד כך ש: P n (x i ) = f (x i ) (דטרמיננטת (Vn der mrle הדבר נשמע מאוד הגיוני, אך באופן נאיבי הוא אינו עובד. למרבית הצער, לא בהכרח P n f אפילו לא נקודתית. (שום דבר לא מובטח לנו לגבי הקטעים בין הנקודות). אם הפולינומים הייתה משפחה רציפה במידה אחידה הדבר כן היה עובד, כיוון שאז הייתה להם תת סדרה מתכנסת. לכן דרושה טכניקה אחרת. הערה.. פולינומי טיילור הם למעשה שיטה מנוונת של פולינומי אינטרפולציה..3 פולינומי ברנשטיין נניח שיש לנו מטבע שאנו מטילים אותו n פעמים, כאשר ההסתברות שנקבל היא x ו בהתסברות x (אנו מניחים כי הצדדים של המטבע הם או ). מה ההסתברות לקבל k אפסים? ההסתברות היא כמובן: ( ) n x k ( x) n k k f ( k אם קיבלנו k אפסים. התוחלת של המשתנה המקרי הנ ל היא: n) נתבונן במשתנה המקרי Y המוגדר: ( ) ( ) n E[Y] = x k ( x) n k k f k n k=. k n נבחין כי זהו פולינום בx ממעלה n. ונסמנו B n f (פולינום ברנשטיין). למה זה קרוב לפונקציה f? כי אנו מצפים לקבל בערך nx אפסים, והערכים שנקבל עבורם הוא ברור כי: B n () = f () B n () = f () p k (x,n) = k= B n (x) f (x) = k= [ p k (x,n) f :n כאשר B n במ ש נראה ש f p k (x) = ( n ברור כי: k) נסמן: x k ( x) n k ( ) k f (x)] n יהי >,ε כיוון ש f רציפה במ ש על [,] קיים > δ כך ש f (x) f (x ) < ε לכל [,] x,x המקיימים. x x < δ נקבע > δ כנ ל.

12 Stone-Weirstrss טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ p k(x,n) k= [ f ( ) k f (x)] = n A {}}{ ( ) {}}{ p k (x,n) k f f (x) n + ( ) p k k f f (x) n k: k n x <δ k: k n x δ B B M p k (x,n) k: k n x δ נרצה לחסום את A ואת B. יהי (x),m = mx f נבחין כי: x [,] ואילו עבור A: = {}}{ A ε p k (x,n) ε p k (x,n) ε k: k n x <δ k= נשאר להראות כי (x,n) p k קטן מספיק עבור n גדול מספיק. k: k n x δ k: k n x δ p k (x,n) < ε כלומר, להראות שלכל >,ε δ > קיים n כך ש: לכל n > n ולכל [,].x משיקולים הסתברותייםקל לראות(ומאותהקלות אלגברית)מאי שיוויון צ בישב: אם X משתנה מקרי אזי: (t P X ) E[X].t לכל > Vr(X) t במקרה שלנו, X יהיה מספר האפסים שהתקבלו ב n הטלות. ואז.E[X] = nx ואילו השונות nx( x).vr(x) = לכן, ההסתברות: kp k (x,n) = k= k= n( n k ) P ( k nx > δn) nx( x) δ n δ n P ( k nx > δn) = k n x δ p k (x,n) אבל נבחין כי: ואם נרצה להוכיח את הנ ל ללא אי שוויון צ בישב, אלא בצורה אלגברית, נבחין כי: P k (x,n) = k= ( ) n k x n ( x) n k = nx k }{{} k= ( ) n x k ( x) n k = k כעת נחשב את המומנט הראשון: n ( ) n n nx x k ( x) n k = nx P k (x,n ) = nx k k= k=

13 Stone-Weirstrss טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ k(k )P k (x,n) = k(k ) k= n(n )x n k= ( ) n x k ( x) n k = n(n ) k ( n n )x ( x) n k = n(n )x k k= ( ) n x k ( x) n k = k ( n k ) x k ( x) n k = ואת המומנט השני: n n(n )x P k (x,n ) = n(n )x k (P k (x,n)) = k(k )P k (x,n)+ kp k (x,n) = n(n )x +nx k= נבחין כי: (k nx) P k (x,n) = k P k (x,n) nx kp k (x,n)+n x P k (x,n) ולכן, השונות היא: = n(n )x +nx nxnx+n x = nx +nx = nx( x) ומהחישובים הקודמים: (k nx) P k (x,n) = P k (x,n) δ k: n P k (x,n) k n x >δ (k nx) δ n (k nx) δn δ n (k nx) P k (x,n) = x( x) δ n k 4δ n הערה.3. הבניה של פולינומי ברנשטיין נותנת הערכה לגבי השאלה הבאה: בהינתן > ε ו C([,b]),f מהי המעלה המינימלית של פולינום p כך ש? p f < ε ראינו כי : B n (f) f ε+ M δ n כאשר δ הוא כך ש, x x < δ f (x) f (x ) < ε ו: mx f.m =.n = c ε nאז: = M εδ. B n f f < ε למשל אם, f פונקציית ליפשיץ אפשר לקחת: אם ניקח וk c nעבור = c קבועים. אז ניתן לקחת c אם f פונקציית הולדר אז: f (x) f (x ) < c (x x ) α כאשר < α ε k, < מתאימים..4 משפט Stone-Weirstrss מה לגבי כמה משתנים? נניח.f C(K),K R 5 לצורך העניין [,] 5 =.K האם ניתן לקרב את f בעזרת פולינום עם 5 משתנים? התשובה היא כמובן חיובית. משפט ויירשטראס נכון גם למימדים >. מספיק להוכיח עבור [,] n כי תמיד K [ R,R] n וניתן להרחיב כל פונקציה רציפה על K לפונקציה רציפה על [ R,R] n ונקבל קירוב על המרחב היותר גדול, לכן הוא גם נכון על המרחב היותר קטן.

14 Stone-Weirstrss 3 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ לא נפרט יותר מידי, כי נוכיח זאת בצורה אחרת. הרחבה זו היא מאוד טבעית, אבל הרחבה נוספת שניתן לעשות היא למרחב הפונקציות. נבחין כי C(K) הוא חוג, יש פעולת כפל: C(k) f,g אז גם C(k) f. g C(K) הוא אלגברה, כלומר יש פעולת כפל כך ש: λ(fg) = (λf)g = f (λg). f (g +g ) = fg +fg. (g +g )f = g f +g f.3 הגדרה.4. תת אלגברה: נאמר שתת מרחב וקטורי C(K) A הוא תת אלגברה אם f,g A אז גם f. g A במקרה של C(K) מתקיים: f f = f f (כלומר אלגברה קומוטטיבית) דוגמה C(K).4. A = או {} = A הן דוגמאות טריוויאליות לתתי אלגבראות. דוגמה.4.3 לכל A x = {f C(K) f (x ) = },x K דוגמה.4.4 באופן דומה, לכל A s = {f C(K) x S f (x) = } :S K היא גם תת אלגברה. דוגמה }.4.5 S fקבועה C(K) {f תת אלגברה. (למעשה: זה שקול ל R} A )ץ s = {λ λ הדוגמאות הנ ל הן סגורות (קל לבדוק) דוגמה לא סגורות: עבור [,] = K, P אלגברת הפולינומים מוכלת בפונקציות החלקות, מוכלת בפונקציות הגזירות. אם A תת אלגברה אז A היא תת אלגברה (כי אם f n f ו g n g אז: λf n λf,f n g n fg,f n + g n f + g לכל (λ R משפט הקרוב של ויירשטראס אומר כי: ([,])C P. = הגדרה.4.6 תת שריג: נאמר שתת קבוצה C(K) L תת שריג אם f L אז f L הערה.4.7 תנאי שקול: f,g L אז:.mx(f,g),min(f,g) L.mx(f,g) = f+g+ f g f+g f g,min(f,g) = ובאופן דומה: למה זה שקול? כי: ובכיוון השני, טריוויאלי, mx(f, f) f = הערה.4.8 אם C(K) L תת מרחב, אז L תת שריג אם. f L f L משפט Stone-weirestrss.4.9 יהי K מרחב מטרי קומפקטי. C(K) A תת אלגברה. A צפופה ב C(K) אם ם:. לכל x K קיימת f A כך ש (x) f. לכל,x,y K כך ש x y קיימת f A כך ש (y) f (x) f (הפרדת נקודות) הערה.4.. נבחין כי התנאי השני כמעט ומכיל את הראשון, כיוון שאם הוא לא מתקיים זה יהיה רק לנקודה אחת.. אם A אז תנאי מתקיים אוטומטית. הוכחה: נראה שאם א או ב לא מתקיימים אז A לא צפופה. אם א לא מתקיים קיימת x K כך ש = ) f A f (x ולכן: A A x = {f f (x ) = } A A x = A x C(k) כלומר: (כי / A x ( כלומר A לא צפופה. באופן דומה, אם ב לא מתקיים, אז קיימות x,y K כך ש x y אבל: (y). f A f (x) = f כלומר: A.{f f (x) = f (y)} = B אבל זו תת אלגברה סגורה ולכן: C(K) A B לכן A לא צפופה. (כי:.(f (z) = d(x,z) C(K)\B

15 Stone-Weirstrss 4 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ f למה.4. אם C(K) A תת אלגברה סגורה אז A תת שריג f ) מעבר ל (ע י f הוכחה: יהי f, A אנו רוצים להוכיח כי f. A אפשר להניח בה כ כי p. g בה כ (ע י ממשפט ויירשטראס ניתן לקרב את g ע י פולינום, כלומר לכל > ε קיים p פולינום ממעלה n כך ש < ε i.h = n i f נבחין כי: מעבר ל p() ( p() = p() g() < ε,p אפשר להניח = p() כלומר A.p = n i x i i= i= x K h(x) f (x) = h(x) g(f (x)) = p(f (x)) g(f (x)) < ε (x)) h(x) = p(f ולכן: h f < ε f A כלומר: כי A סגורה. הערה.4. ניתן לקרב את x ע י פולינום באמצעות פולינום טיילור באופן הבא: x = x = u כאשר,u = x נשתמש בפיתוח טיילור של שורש u : u = c n u n ) = n c n = ( ) )n (עצרת כפולה זה לקחת רק את האי זוגיים במונה ובמכנה הזוגיים, כלומר קפיצות של עד (n 3)!! (n)!! כאשר האיבר המצויין) הטור הנ ל מתכנס במ ש עבור [,] u. רדיוס ההתכנסות הוא כמובן. וגם מתכנס עבור = u כי: c n+ = (n+) 3 = n c n (n+) n+ = 3 n+ dn+ ומכיוון שהמנות קטנות או שוות, כל איבר קטן או שווה. d n 3 n אז d n = n 3 / 3 / Dn c n מכיוון ש אבל זה גורר כי: אבל למה זה מתכנס במידה שווה? ממשפט אבל, אם טור מתכנס ברדיוס ההתכנסות, אז הוא מתכנס במידה שווה לכל האורך. לכל f f (x),t x : A R,x K היא העתקה לינארית על. למה? מתנאי זה לא, לכן זה בהכרח על. לכל x,y K כך ש.f (f (x),f (y)), T x,y : A R :x y למה? נסתכל על התמונה: S. = ImT x,y R נבחין כי גם כאן S בגלל תנאי הקודם. אם S R אז בהכרח (בגלל התנאי הקודם) R} S = {(,λ) עבור λ R (קבוע). אבל מתנאי λ (כי אנו יכולים לקבל ערכים שונים לקואורדינטות. תהי f A כך ש = (x) f ו:.f (y) = λ אז: = (x) f ו:.f (y) = λ אבל T ( f ) = ( f (x),f (y) ) / S כי: λ λ בסתירה לכך ש f A (הרי A היא אלגברה). ראינו שאם A אלגברה סגורה אז A תת שריג. נותר להוכיח: יהי C(K) L תת שריג כך ש:. לכל f f (x) T x : L R x K היא העתקה על.. לכל f (f (x),f (y)),t x,y : L R x y,x,y היא העתקה על. אז C(K).L = (זה מספיק להוכחת המשפט כי A הוא תת שריג שמקיים את התנאים). הערה.4.3 אלא אם כן =. K

16 Stone-Weirstrss 5 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ נוכיח זאת: תהי C(K) f.לפי ההנחה לכל x,y K אנו יודעים כי קיימת g x,y L כך ש (x) g x,y (x) = f ו: (y) g x,y (y) = f (אם x y מתנאי, אם x = y מתנאי ( יהי > ε, לכל y K יש סביבה פתוחה V y אשר בה f לא שונה הרבה מ g, x,y בפרט, z V y g x,y (z) > f (z) ε.{v yi } n i= מקומפקטיות קיים תת כיסוי סופי:.K כסוי פתוח של {V y} y K כי g x,y f רציפה ומתאפסת ב y. כלומר יש L g x := mx g x,y i ב.V yi אבל זה נכון לכל :i =,...,n מהגדרת הסביבות הנ ל: g x,yi > f ε ב:.V yi ולכן: > f ε i=,...,n לכל המרחב: g x > f ε כי } yi {V כיסוי. כלומר לכל x מצאנו g x שיושבת מעל.f ε ועדיין מתקיים (x).g x (x) = f g x f < ε כך ש U x קיימת סביבה x K לכל.g x (x) = f (x),k על g x f > ε כך ש {g x } x K כלומר, קבלנו משפחה U xj על g xj f < ε. { U xj }j=,...,m קיים תת כיסוי סופי K מקומפקטיות U} {x x K ב U x (בגלל רציפות). קבלנו כיסוי פתוח: מצד שני: g xj f > ε על Kכפי שראינו. נסמן: g = min(g x,...,g xn ) L (כי L תת שריג). g f < ε על U xj וכיוון שזה כיסוי גם על.K ומצד שני, כיוון ש f g. וזה נכון לכל ε וכיוון ש L סגור < ε כלומר K על g f < ε וביחד נקבל:.g f > ε אז גם: g xj f > ε.f L הערה.4.4 הקומפקטיות של K היא קריטית. מה קורה אם K לא קומפקטי? f אם K הוא מטרי אבל לא קומפקטי אפשר להסתכל על מרחב הפונקציות החסומות הרציפות K R עם הנורמה =.sup f (x) x K =n } n } החסומות. נהוג לסמן את המרחב אם K = N אז במרחב הנ ל אין משמעות לרציפות, למעשה מדובר במרחב הסדרות l כאשר n }. n { = sup המרחב הנ ל לא ספרבילי, כלומר אין לו תת קבוצה בת מנייה צפופה. באופן שקול, לא קיימים l n =,,...,x n כך ש spn R x n צפוף. אם הייתה סדרה כנ ל אז הקומבינציות הלינאריות: { n } Q spnq x n } {{ } קבוצה בת מנייה = r k x k k N r,...,r k Q צפוף ב l כי Q צפוף ב.R כלומר ) n spn Q (x צפוף ב ) n.spn R (x אבל למה היא לא קיימת? כי לכל A N נסתכל על: { n A X A (n) = n / A.A A אם X A X A ולכן: = לכן לא קיימת תת קבוצה בת מנייה צפופה ב l. כי הכדורים (הפצוחים) ברדיוס סביב X A זרים. (כל קבוצה חייבת לחתוך באופן לא ריק כל כדור). n) (. האלגברה הנ ל בפרט משפט stone-weirstrss לא נכון עבור l. אפשר לקחת את האלגברה שנוצרת ע י הסדרה =n נוצרת ע י מספר בן מנייה של סדרות, ולכן היא לא יכולה להיות צפופה. C(K; C) = {f : k C { fרציפה הערה.4.5 גרסה קומפלקסית של משפט :Stone-Weirstrss f = Ref +iimf f רציפה Ref וגם Imf רציפות. משפט Stone-Weirstrss קומפלקסי:.(f,g A אם fg A וכמון λ C לכל λf A,f A כלומר,C תת אלגברה (מעל A ] C(K; C).fg = נבחין כי: [(f +g) f g נניח A צמודה לעצמה. כלומר שאם f A אז גם.(f (x) = f (x)) f A אז C(KlC) A צפופה לכל x K קיים f A כך ש (x) A.f מפרידה נקודות (כמו קודם).

17 Stone-Weirstrss 6 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ הוכחה: תהי C) f C(K; אזי:. f = Ref +iimf נסתכל על A} A.A = {Reg g היא אלגברה. Reg g }{{} A = Reg Reg Img Img לכל g A מתקיים Reg A וגם Img A (בגלל שהצמוד גם ב (A ולכן גם ב.A למה A מקיימת את שני התנאים של משפט Stone-Weirstrss המקורי?. לכל x K אנו יודעים כי קיימת f A כך ש (x),f אבל זה אומר או ש (x) Ref או (x).imf אבל אנו יודעים כי הם ב A ולכן קיימת פונקציה כזו ב f.. הפרדת נקודות בדיוק באותה דרך. ולכן ממשפט Stone-Weirstrss המקורי, C(K) A צפופה. נניח ש C) f C(K; אז שוב ניתן לרשום:.f = Ref +iimf לכל > ε נקח g Ref < ε כך ש A g וגם g A g Imf < ε ואז: g = g +ig A תקרב את.f מסקנה.4.6 Stone-Weirstrss המסקנה של K) משתנים בתור פונקציות רציפות על n הפולינומים ב (מרחב P C(k) קומפקטית, ו K R n היא ש P צפופה. הוכחה: התנאי הראשון הוא כמובן אוטומטי כי P. תנאי השני: אפשר להשיג ע י פונקציות לינאריות, למעשה מספיק i = n,..., x i על מנת להפריד. ומהמשפט נקבל כי זה יהיה צפוף. מסקנה.4.7 נסתכל על מעגל היחידה } = z.s = {z C הערה.4.8 פונקציה רציפה על מעגל היחידה ( C ( S הן פונקציות רציפות f על [,] כך ש () f. () = f נבחין כי לחילופין S = { e iθ θ < } ואז: (θ) f f ( e iθ) = f לחילופין, פונקציות מחזוריות עם מחזור. כלומר:.f : R R בהנתן ) f C ( S נגדיר f : R R ע י ix) f (x) = f ( e רציפה מתקיים: x R f (x+) = f (x) רציפה בתור הרכבה של רציפות. בהנתן f : R R רציפה עם מחזור אפשר להגדיר ) f C ( S ע י ix).f (x) = f ( e { n } A = i z i S i C i= n גרסה קומפלקסית: על.S z = z כי A = A. z A אלגברה. מפרידה נקודות כי A.z S = Id ממשפט Stone-Weirstrss המרוכב נקבל כי A צפופה ) C.C ( S ; גרסה ממשית: Rez ( e iθ) = cosθ ובאופן דומן: Imz ( e iθ) = sinθ וכמו כן גם: Rez n( e iθ) = Ree inθ = cosnθ Imz n( e iθ) = Ime inθ = sinnθ ולכן: N).A = { f A f ( S ) R },A = (,cosnθ,sinnθ n ולמעשה: N + ( n cosnθ+b n sinnθ)

18 Stone-Weirstrss 7 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ כאשר.,..., N,b,...,b N R וזה נקרא פולינום טריגונומטרי. A היא אלגברה (ניתן לבדוק ישירות בעזרת זהויות טריגונומטריות, אבל זה נובע מיידית מהמרוכבים). המסקנה של משפט stone-weirstrss בגרסה הממשית היא שמרחב הפולינומים הטריגונומטריים צפופים במרחב הפונקציות הרציפות על R עם מחזור. נסמן: C ( S ) = Cper (R) = {f : R R רציפה x R f (x+) = f (x)} (.mx f שבמקרה הזה הוא גם מקסימום f = sup f ובעלת הנורמה f f (θ) = f ) e iθ כאשר. i,j cos i θsin j θ דהיינוניתןלרשוםאותהבאופןהבא: כפישציינוהיאבעצםהאלגברההקטנהביותרהמכילהאתcosθ,sinθ. A הסיבה היא הזהויות: n,m N cosnθsinmθdθ = π n m cosnθcosmθ = n = m n = m = וכמו כן:.5 הערות על משפט האפרוקסימציה של Weierstrss פרק זה הוא בלי הוכחות, אלא רק קצת טעימה היסטורית. שאלה איכותיות שאפשר לשאול היא: כמה טוב אפשר לקרב פונקציה רציפה נתונה ע י פולינומים ממעלה n. d n = inf degp n f p = dist(f,p n) = dist(f,b R (P n )) f R = מכיוון שאם f g > אז (הכוונה ב p n היא מרחב הפולינומים ממעלה n). השיוויון בסוף, הכוונה לרדיוס. g f g f > f משפט.d n Weierstrss מכיוון ש P n מרחב סוף מימדי, אזי p.d n = min f כלומר קיים p n כך ש degp n n כך ש. f p n = d n p P n נסמן: (מקומפקטיות כדורים ב P). n משפט.5. צ בישב p n הוא יחיד. מכיוון שהוא יחיד הוא הופך ליותר מעניין. הוא מתאפיין ע י התכונה הבאה: קימות נקודות: x < x <... < x n+ כך ש f (x i ) p(x i ) = ( ) i d או i+ ( ) לכל n+ i ) כאשר.(p = p n כלומר הוא חותך את הפונקציה n פעמים.. f (x i ) p(x i ) d בפרט ממשפט ערך הביניים ) i. y <... < y n f (y i ) = p(y כלומר הפולינומים המיטביים יהיו פולינומי אינטרפולציה. דוגמה.5. למשל קירוב של x n ע י פולינוים ממעלה > n. הפולינום הזה ) n p) נקרא פולינום צ בישב. נסמן.T n = x n p n ויתקיים n. T ומסתבר כי.T n (cosθ) = cosnθ

19 פרק 3 מערכות אורתונורמליות 3. מרחבי מכפלה פנימית יהי V מרחב וקטורי מעל R. הגדרה 3.. מכפלה פנימית על V היא תבנית V( V R, ( עם התכונות הבאות:.x,x,y V ו:,b R לכל (x +bx,y) = (x,y)+b(x,y) (כלומר: x לינארית ב (x,y). (x,y +by ) = (x,y )+b(x,y ) ( ). (x i ),(y i ) = n x i y i i=. סימטרית: (y,x). x,y V (x,y) = מ ו נובע כי: לכל,b R ולכל.x,y,y V.x ושוויון מתקיים אם ם = x V לכל (x,x).3 לזוג ((, ),V) נקרא מרחב מכפלה פנימית. דוגמה R n 3.. עם המכפלה הפנימית האוקלידית: הערה 3..3 מכפלה פנימית בקונטקסט מרוכב: V מרחב וקטורי מעל C, מכפלה פנימית מרוכבת על V היא תבנית V V עם התכונות ו 3 כאשר במקום נדרוש הרמיטיות: (y,x).(x,y) = ולכן לינאריות במשתנה השני תהפוך להיות: (x,y +by ) = (x,y )+b(x,y ) ((x i ),(y i )) = x i y i דוגמה C n 3..4 עם המכפלה הפנימית: בקורס בעיקר נעסוק במכפלה פנימית מעל R אבל הדברים יהיו נכונים תחת C בהינתן מודיפיקציות קטנות. 3.. תכונות ((, ),V) מרחב מכפלה פנימית. נגדיר את הנורמה המושרה ממנה כ: x = (x,x) 8

20 9 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ נבחין כי מתקיים: λ R λx = λ x משפט 3..5 אי שיוויון קושי שוורץ x,y V (x,y) x y הוכחה: זה ברור אם = x או =.y נניח.x,y. x = y = אפשר להניח בה כ ש: y y ו: x x ע י מעבר ל יהי α R נבחין כי: x+αy = (x+αy,x+αy) = (x,x+αy)+α(y,x+αy) = (x,x)+α(x,y)+α (y,y) = x +α(x,y)+α y = +α(x,y)+α ומהגדרת הנרומה למעשה רשום כאן: (x,y) +(x,y) (x,y) נבחר (x,y) α = (זהו למעשה המינימום של הפרבולה) ונקבל: מסקנה 3..6.y = λx או x = λy כך ש λ R תלויים לינארית. כלומר קיים x,y אם ם (x,y) = x y מסקנה V מגדיר נורמה על x x הוכחה: נותר לבדוק את אי שיוויון המשולש.כלומר: x + y. x+y נראה ש: x+y ( x + y ) x+y = (x+y,x+y) = x +(x,y)+ y x + x y + y נבחין כי: ונשים לב ש: x + y x+y = אם ם y = λx כאשר λ או =.x x y = x + y (x,y) אינטרפרטציה גיאומטרית: ( (x,y) מאי שיוויון קושי שוורץ). x y cosθ = (x,y) x y נגדיר את הזווית θ בין x ל y להיות θ π כך ש ממשפט הקוסינוסים אנו באמת נקבל: x y = x + y x y cosθ

21 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ x+y + x y = ( x + y ) שוויון המקבילית: נבחין כי מהפיתוח של אי שיוויון המשולש, ושל משפט הקוסינוסים באמת נקבל את הנדרש. תרגיל: להפך, אפשר להראות שאם שוויון המקבילית מתקיים במרחב נורמי (,V) אז קיימת מכפלה פנימית יחידה על V כך ש את האילוץ. =. x (x,x) ( ) הערה 3..8 למשל R n, x i,l n הנורמה לא באה ממכפלה פנימית. (אותו דבר לגבי C(K) אם >. K i= למה 3..9 המכפלה הפנימית רציפה (כפונצקיה V) V R כלומר, אם x n x ו: y n y אז: (x,y).(x n,y n ) הוכחה: (x n,y n ) (x,y) = (x n x,y) (x n,y y n ) (x n x,y) + (x n,y y n ) x n x y + x n y y n x n x y + x n x + x y n y }{{}}{{}}{{} ולכן הכל שואף ל. כנדרש. דוגמה l 3.. מרחב הסדרות האינסופיות { n} של מספרים ממשיים כך ש < n. עם המכפלה הפנימית: (( n ),(b n )) = n b n ( n b n ) ( n )( b n ) צריך להוכיח: l. הוא מרחב וקטורי.. ), ( מוגדרת היטב, כלומר n b n מתכנס. 3. מכפלה פנימית, קושי שוורץ: ע י מעבר לגבול באי שוויון קושי שוורץ הקלאסי. מקבלים בדיוק כמו קודם ש: (n b +b n ) n + n (f,g) = f (x)g(x)dx דוגמה ([ 3..,])C עם המכפלה הפנימית:

22 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ.f ברור כי זה רק כאשר (f,f) =. f = ברור כי זה בי לינארי. וכמו כן: f (x)dx f (x) dx f ומתקיים שהנורמה הנ ל: ההבדל בין ([,])C (עם נורמת המקסימום) לבין ([,]) CL אותו מרחב וקטורי. f = f (x) dx f f לכן, אם f n f ב C([,]) אז גם f n f ב ([,]).CL כלומר ([,]) C([,]) Id CL העתקת הזהות f f היא רציפה. אבל הכיוון ההפוך אינו נכון. n f ולכן n f במ ש. n f אז n f ב CL אבל לדוגמה: n במרחב מכפלה פנימית f + g f +g = אם ם f = f וכאשר או =.f לעומת זאת ב C([,]) אם f,g כך שקיים [,] x כך ש f (x ) = mxg,f (x ) = mxf אז = ) f (x ) + g(x. f +g = f + g 3. וקטורים אורתוגונלים ומרחב ניצב הגדרה 3.. בהינתן ), ),V מרחב מכפלה פנימית, שני וקטורים u,v V נקראים ניצבים (אורתוגונלית) אם =.(u,v) הגדרה 3.. אם B V תת קבוצה נגדיר: } = (u,v).b {v V u B זהו המרחב הניצב לB. 3.. תכונות.(u B לכל (u,v) אז = u B לכל (u,v n ) = ו: v n v) הוא תת מרחב סגור B.(u אם u > (כי B B {} spnb = B U V תת מרחב { n } U = λ i u i : λ,...,λ n R, u,...,u n B i= B = (spnb) B = B ( spnb ) = B אם B B אז B.B

23 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ 3.. מערכת אורתוגונלית הגדרה 3..3 מערכת אורתוגונלית היא קבוצה {}\V A המורכבת מוקטורים אורתוגונליים בזוגות. הגדרה 3..4 מערכת אורתונורמלית היא מערכת אורתוגונלית המורכבת מוקטורי יחידה.. u = { } v. אפשר לעבור ממערכת אורתוגונלית A למערכת אורתונורמלית ע י v v A i {}}{ דוגמה ) 3..5,,( n l n = R שהמכפלה היא: x i y i כאשר,...,,..., = i e אז } n {e,...,e מערכת אורתונורמלית. ( n b n,= אזגםכאן{ {e n מערכתאורתונורמלית. l = { { n } מרחבמכפלהפנימיםתעם( דוגמה } 3..6 < n דוגמה 3..7 דוגמה יותר רלוונטית לקורס היא: ([,]) {cos(nx) : n =,,,...},CL מערכת אורתוגולנית. למה 3..8 כל מערכת אורתוגונלית A היא בלתי תלוייה לינארית. כלומר לא קיימים u,...,u n A ו λ,...,λ n R לא כולם אפס כך ש: λ u +...+λ n u n = הוכחה: נניח בשלילה ש: = n.λ u +...+λ n u אז לכל i =,...n מתקיים: = (λ,u +...+λ n u n, u i ) = λ (u,u i )+...+λ n (u n,u i ) = λ i (u i,u i ) ( λ i u i = λ u i, ) λ i u i = i= וזה גורר כי = i.λ (מעבר אחרון: = ) j (u i,u אם.( i j λ i λ j (u i,u j ) = i,j= i= אם A מערכת אורתונורמלית אז: λ i כאשר.u,...,u n A,λ,...,λ n R טענה 3..9 נניח } n {u,...,u מערכת אורתונורמלית סופית..v V אז u := (v,u i )u i U היא קרובה ביותר לv בU. כלומר: v u v < u לכל u u U ו: U.u v u v = v (v,u i ) הוכחה: נראה ש } n.u v U = {u,...,u (u v,u i ) = (v,u j )u j v,u i = (v,u j )(u j,u i ) (v,u i ) = (v,u i ) (v,u i ) = j= j= u v = u u+u v }{{}}{{} U U = }{{} משפט פיתגורס u u + u v u v אם u U אז:

24 3 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ האחרון הוא שוויון אם ם u. = u i לבסוף, נבחין כי: v u = (v u,v u) = (v,v)+(u,u) (u,v) = v + (v,u i ) (u,v) }{{} u ( ) (u,v) = (v,ui ),u i,v = (v,u i )(u i,v) = (u i,v) i= אבל נבחין: מסקנה 3...{u,...,u n } ולכל מערכת אורתונורמלית v V לכל (v,u i ) u זה נקרא אי שוויון בסל. הוכחה: הראינו בטענה הקודמת כי עבור u שהוגדר בטענה מתקיים: v v,u j = u v j= לכן פשוט מהעברת אגפים נקבל: v,u j v j= 3.3 סדרות מוכללות הגדרה 3.3. סדרה מוכללת: תהא I קבוצת אינדקסים (מעוצמה כלשהי) כלשהי ותהא: x : I R x} i } i I כאשר הביטוי מוכללת נובע מכך ש I לא בהכרח בן מנייה. הערה 3.3. זוהי למעשה סדרה מוכללת מהצורה הגדרה סכום סדרה מוכללת: נרצה לתת משמעות לביטוי הסכום של הסדרה x i, לשם כך נגדיר: i I { } x i = sup x i : F I, F < i I i F הערה הנ ל יכול להיות גם אינסוף שכן מדובר בסופרמום של קבוצה שאיננה בהכרח חסומה. דוגמה אם I = N אז נקבל כי: x i = i I x n

25 4 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ i I אזי, הקבוצה: 3.3. תכונות טענה x i < סדרה כך ש {x i } i I תהא {i I : x i } שהינה למעשה התומך של הסדרה היא בהכרח בת מנייה (יכולה להיות סופית). הוכחה: נניח בשלילה כי הנ ל לא נכון ונשים לב כי: { {i I : x i } = {i I : x i > } = i I : x i > } n אם הנ ל כאמור איננה בת מנייה אז היה קיים n (קבוע) כך שעבורו: {i I : x i > n } איננה בת מנייה ובפרט אינסופית. מכך לכל k N היינו מקבלים כי לכל קבוצה: } F {i I : x i > n, F = k x i > k n i F היה מתקיים:. i I אולם זהו ביטוי שאיננו חסום וזוהי סתירה להנחה כי < i x תרגיל: להרואת שהתכנסות במובן: < x באופן הבא: A := x ( x ) A x x שקולה להתכנסות: נאמר ש.x = x A אם לכל > ε קיימת F A סופית כך שלכל F S סופית: x x < ε S A (בפרט, ההגדרה השניה < x ( A אם x מתכנס אז } { A x היא בת מניה. A כעת נניח V מרחב נורמי, נרצה לדבר על טורים מהצורה v α כאשר A v V A (לא כל כך שימושי). הגדרה התכנסות בהחלט: < v הגדרה התכנסות: נאמר ש v מתכנס לv אם לכל > ε קיימת F A סופית כך שלכל F S סופית: x v < ε S A A

26 5 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ הערה באופן כללי, התכנסות בהחלט לא גוררת התכנסות. אם V שלם(מרחב באנך) אז כן יש גרירה. לא מתכנס. n N n l l f = { { n } (מרחב סדרות סופיות) } דוגמה 3.3. נעתן לקחת נקח את u n שלנו להיות אפסים, פרט לאיבר הn שיהיה n נקבל כי: < n u אבל הערה 3.3. התכנסות לא גוררת התכנסות בהחלט אפילו אם V מרחב מכפלה פנימית. דוגמה 3.3. למשל:,...) n { n } : n < =) l u n = (,..., ( (כלומר האיבר הn י הוא n כל היתר אפסים). לכן:,...) 3 (,, = n u מתכנס, אבל = n u הערה v יחיד אם הוא קיים. A עבור טורים ממשיים מתקיימות התכונות הרגילות:. (x +y ) = x + y (בהנחה ששניים מהם מהם מתכנסים, אז גם השלישי).. אם x מתכנס ולכל F A סופית מתקיים x y אז: x y. A F הערה עבור v,v,... V אז: v n מתכנס i n v היא סדרה מתכנסת(סדרה שהאינדקס שלה הוא.(n i= n N אבל ההפך לא נכון באופן כללי (אפליו עבור V). = R הערה אם v מתכנס אז } A { A v בת מנייה. A } { A v היא סופית) (קל לראות שלכל n: הערה אם A} {u α מערכת אורתונורמלית אז לכל (v,u ) < :v V A (v,u ) v A וזה נובע מאי שיוויון בסל. לכל F A סופית אז: A(v,u ) = F A (v,u ) v F וזה גורר: שאלה: האם (v,u A u( מתכנס בV? והאם הוא מתכנס לV עצמו? A 3.4 מערכות אורתונורמליות שלמות משפט 3.4. בהינתן (,),V מרחב מכפלה פנימית. התנאים הבאים שקולים עבור מערכת אורתונורמלית {A u}: V = spn{u A} כלומר: V צפוף ב spn{u A}.. x V x = (x,u )u (פתוח של x לפי המערכת A ({u A} x,y V (x,y) = (x,u )(u,y).3 A x V x = (x,u ).4

27 6 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ במקרה זה אומרים ש {A u} היא מערכת אורתונורמלית שלמה. x (x,u )u = x (x,u ) F F הוכחה: 4 : נבחין כי: לכל F A סופית. לפי הנחה, לכל > ε קיימת קבוצה F A סופית כך ש: x F (x,u ) < ε x S (x,u ) < ε וזה גורר כי לכל F S סופית מתקיים: x (x,u )u = x (x,u ) < ε S S ולכן: ולפי הגדרת הסכום, זה אומר ש: x = (x,u )u (x,y) = x+y x y = x+y x y 4 כנדרש. 3 :4 ברור. 4 3: ע י זהות הפולאריזציה: אבל הסכום F} (x,u )u spn{u x : ברור. לכל > ε קיימת F A כך ש (x,u )u < ε F F.spn{u A} נותר להראות :4 לכל > ε קיים A} u spn{u כך ש x u < ε (לפי הנחה). נרשום: u = F λ u ε > x u x F כאשר F A סופית. לפי טענה קודמת (x,u )u = x (x,u ) F (אנו משתמשים בעובדה שהקרוב הטוב ביותר ל x כ: F} spn{u הוא: (x,u )u.( וזה גורר ש: x (x,u ) < x (x,u ) < ε A F ולכן: ). x (x,u אבל מצד שני אנו יודעים כי: ) x (x,u מאי שיוויון בסל. A A

28 7 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ כלומר, קבלנו את תנאי 4. האם קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה? במקרה של מימד סופי, אנו יודעים שכן, אנו עושים הליך גרם שמידט על בסיס ומקבלים זאת. אבל האם זה קיים למרחב מכפלה פנימית ממימד אינסופי? {u n } של וקטורים אורתונורמלים (בשביל לבנות את n+ u נבחר } n v / spn{u,...,u ונקח אין בעיה לבנות סדרה.u n+ = v n (v,u i)u i i=... אם {u n} מערכת שלמה, מה טוב. אחרת: נתבונן ב:.U = spn{u n } V אם קיים U אז אפשר להמשיך את התהליך. אבל כאן ניצבת לנו בעיה, אנו לא בהכרח יודעים אם יש לנו וקטור ניצב לסגור. הערה 3.4. המערכת לא חייבת להיות בת מניה, זה סתם תיאור של אלגוריתם. באופן כללי, ייתכן ש = U עבור.U V אם V מרחב הילברט (מרחב מכפלה פנימית שלם) אז מובטח שלכל U V סגור מתקיים U. דוגמה l f (מרחב הסדרות הסופיות { n } כך ש = n עבור.(n המכפלה הפנימית היא: (( n ),(b n )) = n b n U = { n } n n }{{} (( n),(b n)) = נקח תת מרחב: Λ({ n }) = nn הערה U הוא גרעין של Λ כאשר: Λ : l f R כאשר l f ע י העתקה ι ואם נרכיב את ι על Λ נקבל. זה נקרא מרחב מקו מימד. U משוכן ב n n n n = π { n } 6 U סגור כי: למה = U למרות ש U V סגור? ( n,b n ) כך ש = n > N עבור b n עם תומך סופי, נניח = b }סדרה i } באופן ישיר אם.U = R { n} ב l עצמו, l k לכל.( n ) U.U אבל הסדרה הזאת אינה ב n =,...,N,b n = c n N ( ) nn ( n ) N,(b n) N לכל ( n ) N כך ש = =

29 8 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ U = { } { n } n = הערה אם היינו לוקחים את U להיות: לא תת מרחב סגור. למעשה U צפוף ב l. f תהי n} {b סדרה ב l f כלומר:,,,... N.b,...,b נקח את הסדרה: bi {c n } = b,...,b N, k,..., bi k,,... {b n } {c n } k ) bi = (,...,, k,..., bi k,,... bi = k k ונקבל כי: טענה אם V מרחב הילברט אז ל V יש מערכת אורתונורמלית שלמה. הוכחה: לפי הלמה של צורן קיימת מערכת אורתונורמלית מקסימלית ביחס להכלה {A u} (איחוד של שרשרת של מערכות אורתונורמליות היא מערכת אורתונורמלית). נסתכל על A}.U = spn{u אם U = V אז A} {u מערכת שלמה. אחרת (כלומר (U V אזי:.U אם U uכאשר = u אז A} {u } {u מערכת אורתונורמלית יותר גדולה, בסתירה למקסימות של A}.{u נותר להוכיח שבמרחב הילברט אם U V אז.U טענה קושרה: טענה אם V מרחב מכפלה פנימית ו U V תת מרחב שלם (למשל אם V מרחב הילברט וU סגור). אז לכל v V קיים u U יחיד כך ש. v u = min v u U u d(v,u) = inf u U v u ו: U v u הוכחה: הוכחה\יוכח בתרגול. הרעיון של ההוכחה בגדול הוא: נקח u n U כך ש d(v,u). v u n מראיםמשיוויון המקבילית ש: u n סדרתקושי. ואז ברור ש: d(v,u). v limu n = זה מראה קיום של u כנ ל ויחידות היא משוויון המקבילית. והתכונה U v u אם u) u U (u,v אז: u min v u+λu < v (כאשר (λ R וזו סתירה. בפרט, אם U V סגור אז U בהנחה ש V מרחב הילברט. x ((x,u )) A בהינתן מערכת אורתונורמלית שלמה A}.{u אזי: } l A {(x = ) A x < A לכל קבוצה A היה לנו: כאשר.x R אנו יודעים כי: x =. כלומר, קיבלנו פונקציה: V ι l A (x,u ) A }{{} (x,u )(y,u )=(x,y) A

30 9 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ שהיא לינארית, והיא גם איזומטריה (כלומר, המכפלה הפנימית ב V וב: l A קשורה ע י ι. x V ι(x) l A = x V בפרט, ι חח ע. u e. { {x } A התמונהשלι היא צפופהב.l A למה? כי היאמכילה אתכל הסדרותהסופיות l A } סופית{ { x x} } A { אבל הspn הנ ל הוא מערכת { } סופית{ { x b = = spn{e } A = (b) e נשים לב כי: כאשר אחרת {x } A { צפוף. אורתונורמלית שלמה ב l A ולכן } סופית{ { x אם בנוסף V מרחב הילברט אז ι היא על. x) ) A נרצה להראות כי: x u מתכנס ב V. ואת זה אנו יכולים להבטיח כי V מרחב הילברט. לכן אנו יכולים אם l A להגיד כי } { A x היא בת מניה. לשם הפשטות נניח A = N ואז: x n u n N x n u n n=n = N n=n x n < ε היא סדרת קושי כי: עבור N מספיק גדול. ולכן x n u n מתכנס.

31 פרק 4 מרחב H([,b]) עד כה דיברנו על מרחבים כלליים, כעת נקצה לדון ספציפית ב ([,b]) CL אשר כבר דנו בו מעט. CL ([,b]) = {f [,b] בקטע { fרציפה (f,f ) = b עם המכפלה הפנימית: f (x)f (x)dx הוא לא מרחב הילברט כיוון שהוא לא שלם. נסתכל על המרחב:.h([,b]) h([,b]) = {f : [,b] R רימן { fאינטגרבילית (f,f ) = b עם המכפלה הפנימית : f (x)f (x)dx זהו מרחב יותר כללי יותר ל([,b ]), CL אבל יש בעיה קלה, הנ ל אינו מכפלה פנימית אלא רק תבנית בי לינארית. f = { x = אחרת (f,f) תמיד, אבל ייתכן ש = (f,f) למשל אם: בקטע [,].? b נרצה להבין מתי =?(f,f) כלומר, מתי: = (x)dx f [ n,b n ] כך ש: הגדרה [,b] 4..8 A נקראת ממידה אפס אם לכל > ε קיים קטעים A [ n,b n ] ו: (b n n ) < ε. 3

32 ([,b]) 3 H בחרמ 4. קרפ תכונות של מידה אפס:. מותר להשתמש במספר אינסופי של קטעים בכיסוי (לא מספיק, באופן כללי, להשתמש במספר סופי של קטעים, למשל קבוצת קנטור).. איחוד בן מנייה של תתי קבוצות ממידה אפס הוא ממידה אפס. (מכסים את הראשון ב ε את השני ב ε 4 ואז ε 8 וכו, מאחדים הכל ובסוף נקבל שזה קטן מε ). 3. כל קבוצה בת מנייה היא ממידה אפס. הערה 4..9 ההפך אינו נכון. למשל קבוצת קנטור. 4. המשלים שלקבוצה בעלת מידה אפס ב [,b] הוא צפוף. במילים אחרות,קבוצה בעלת מידה אפס לא יכולה להכיל קטע (פתוח או סגור).. N הוכחה: קל לראו תשלא ייתכן ] i N [ i,b [,] לכל ] i [ i,b כך ש < ) i (b i i= i= נשאיר את זה כתרגיל. צריך להשתמש בקומפקטיות בשביל לעבור למקרה האינסופי ) (,[,] כך ש ) i (b i אבל אם זה נכון, קיים N כך ש ) i N ( i,b [,] i= עוברים לקטעים פתוחים i,b i i= סתירה. למה 4.. התנאים הבאים שקולים עבור f אינטגרבילית רימן ב :[,b].(f,f) =. =. f מחוץ לקבוצה בעל מידה אפס (כלומר } (x) {x : f בעלת מידה אפס)..3 הקבוצה } = (x) {x : f צפופה. הוכחה: ברור כי 3: ברור מהתכונות של מידה אפס. נראה 3 : לכל חלוקה = t < t <... < t n = b נבחר ] i ξ i [t i,t כך ש = ) i.f (ξ אנו יכולים לעשות זאת בגלל הצפיפות. ואז יש לנו את הסכום רימן: f (ξ i )(t i t i ) = i= אבל כיוון שלכל חלוקה מצאנו סכום רימן מתאים לחלוקה שמתאפס נקבל כי: = (x)dx. f לבסוף נראה : לכל > εקיימת חלוקה: = t <... < t n = b כך שסכום סכום דרבו העליון שלה מקיים: sup i= [t i,t i] ( f ) (t i t i ) < ε אנו רוצים להוכיח שהקבוצה שבה f לא מתאפסת, { (x) A, = x} f היא בעלת מידה אפס. A = m= A m נבחין כי: A m = { x f (x) > } m

33 ([,b]) 3 H בחרמ 4. קרפ מספיק להוכיח ש A m בעלת מידה אפס לכל n. ממה שאמרנו קודם לכל > ε קיימת חלוקה: = t <... < t n = b כך ש: i= (t i t i ) sup [t i,t i]f < ε m sup [t i,t i]f m נשים לב שאם ] i,a m [t i,t אז לפי הגדרת :A m ניקח נקודה בחיתוך ושם f. > m מה שאומר שאת הסכום העליון אנו יכולים לחסום: ε m > (t i t i ) sup [t i,t i]f > m {i:a m [t i,t i] } (t i t i ) {i:a m [t i,t i] } (t i t i ) < ε כי מדובר על סכום של אי שליליים (הרי f). לכן: אבל ברור ש ] i A. m t] i t, כלומר לכל > ε יש כיסוי של A m ע י מספר סופי של קטעים מאורך כולל > ε. {i:a m [t i,t i] } וזה אומר ש A m בעלת מידה אפס. ומכיוון שאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה אפס היא בעלת מידה אפס, נקבל כי גם A ממידה אפס, הרי A m.a = m= תזכורת 4... באופן כללי, f היא אינטגרבילית רימן אם ם f חסומה ורציפה מחוץ לקבוצה בעלת מידה אפס.. אם [,b] C סגורה בעלת מידה אפס. אנו יכוילם להסתכל ב C פונקצייה אופיינית של C. מקיימת את התנאים של הלמה. f היא אינטגרבילית רימן כי היא רציפה מחוץ לC. (למשל C קבוצת קנטור). אבל [,] Q היא לא סגורה, לכן תנאי המשפט לא מתקיימים, כי היא לא אינטגרבילית רימן כי היא לא רציפה באףנקודה. הטענה שC סגורה הכרחיתכדי להגיד ש f רציפה על המשלים של C. הערה = 4.. [,] Q מחוץ לקבוצה בעלת מידה אפס לא גורר ש [,] Q אינטגרבילית רימן. 3. באופן כללי C, C סגורה. איננה אינטגרבילית רימן. הערה = 4..3 (f,f) אם ם f מתאפסת כמעט תמיד (כלומר } (x) {x f בעלת מידה. נניח באופןכללי ש V מרחבוקטורי ו (,) תבניםבי לינארית אי שלילית(כלומר ((v,v) נסתכל על{ = (v,v).k = {v V נשים לב שאי שיוויון קושי שוורץ עדיין מתקיים בקונטקסט זה (אותה הוכחה כמו במקרה של מכפלה פנימית). (u,v) (u,u) (v,v)

34 ([,b]) 33 H בחרמ 4. קרפ (u+v,u+v) (u,u)+ (v,v) ולכן גם אי שיוויון המשולש: מכאן נובע ש K הוא תת מרחב של V. נסתכל על V. = V K/ נגדיר יחס שקילות מעל u v,v אם.u v K מחלקות השקילות הן מהצורה: V} V = V /K := {u+k u (כל איבר כאן הוא קבוצה K}.({u+v v V הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית. נבחין כי: (u+k)+(v +K) = u+v +K נרצה להראות שזה לא תלוי בנציג בK, אבל זה נובע מכך ש K הוא תת מרחב, ולכן זה מוגדר היטב. כמו כן: λ(u+k) = λu+k שוב λ כפול איבר בK הוא עדיין איבר בK. (אם נבחר u u+k אחר אז u = u+v כאשר v K ואז = λ(u+v) λu =.(λu = λu+k ולכן: K עדיין ב λv אבל λu+λv (u+k,v +K) = (u,v) הערה 4..4 שאלו לאן שייך, נבחין כי K+. = K הפעולות מגדירות מבנה של מרחב וקטורי. נגדיר: מכפלה פנימית. זה מוגדר היטב כי אם u u ו v v נניח u = v +w ואילו v = v +w כאשר w,w K אז: (u,v ) = (u+w,v +w ) = (u,v)+(u,w )+(w,u)+(w,w ) (w,z) (w,w) (z,z) = נשים לב שאם w K ו z V אז: ולכן נקבל כי אכן: (u,v ) = (u,v) קל לבדוק כי (,) מגדיר תבנית בי לינארית על V. קבלנו מכפלה פנמית כי: (u,u) (u+k,u+k) = ומתקיים שיוויון כאשר:.u K כלומר: (u,u) = כלומר,u+K = K כלומר וקטור האפס ב V. נסתכל על: H([,b]) = h([,b]) /K (f +K,g+K) = b K פונקציות אינטגרביליות רימן שמתאפסות כמעט תמיד. אזי ([,b]) H הוא מרחב מכפלה פנימית עם המכפלה: f (x)g(x)dx

35 ([,b]) 34 H בחרמ 4. קרפ הערה 4..5 הוקטורים במרחב הנ ל הם לא פונקציות, אלא מחלקות שקילות של פונקציות כאשר יחס השקילות הוא f g אם f = g כמעט תמיד (כלומר g(x)} {x f (x) בעלת מידה אפס). אבל אנו כן נתייחס לוקטורים האלה כפונקציות למרות שזה לא מדוייק. נדגיש אם אם אנו מסתכלים על ([,b]) CL יש לנו שיכון ב h([,b]) וקיימת לנו העתקת מנה π : V V = V K/ שהיא H. אז יש לנו גם העתקת מנה ל([,b ]) K. טרנספורמציה לינארית שגרעינה v v K+ כלומר נקבל העתקה ι מ H([,b]) CL ([,b]) והיא חח ע כי אם f רציפה ו = f כמעט תמיד אז f. נחשוב על ([,b]) CL כתת מרחב של H([,b]) ע י השיכון הזה ואנו נראה כי הוא צפוף. טענה 4..6 הפונקציות הרציפות ([,b])) (CL צפופות ב.H([,b]) ראשית נראה טענה דומה עבור פונקציות מדרגה. מה זו פונקציית מדרגה? נסתכל על חלוקה של הקטע = t < t <... < t n = b,,b כאשר בכל אינטרבל בחלוקה הפונקציה קבועה. ואז: f = i [ti,t i) i= כאשר.,..., n R קל לראות שפונקציות המדרגה מהוות תת מרחב ש ([,b]) H (אם ניקח פונקציות מדרגה, ניתן לעדן את החלוקה ולקבל פונקציית מדרגה חדשה). למה 4..7 מרחב פונקציות המדרגה צפוף ב([ b.h([, i= הוכחה: נקח את החלוקה t i t i = b (חלוקה אחידה). נקח את הסכום רימן העליון ונגדיר את s n להיות פונקציית המדרגה: n s n = sup (f) [ti,t i) [t i,t i] f אינטגרבילית רימן, ולכן האינטגרל שלה הוא: b f (x)dx = i (t i t i ) i= ולכן האינטגרל: סכום רימן עליון= s n ומעצם הגדרת s n מתקיים (x) f (x) s n לכל x (חוץ מאולי b אבל אין זה משנה) ומצד שני: s n f < ε עבור n מספיק גדול (מכיוון שהסכומי רימן העליונים מקרבים את האינטגרל). נבחין כי: s n (x) sup f [,b] s n f = וזה בעצם אומר ש s n מקרבת את f, למה? כי: (s n f) dx b b sup(s n f) (s n f (x))dx sup f s n (s) f (x)dx < sup f ε }{{} sup f וזה מקרה כי s n f ב.H([,b]) כעת נחזור לטענה:

36 ([,b]) 35 H בחרמ 4. קרפ טענה 4..8 הפונקציות הרציפות ([,b])) (CL צפופות ב.H([,b]) הוכחה: מספיק להראות שאפשר לקרב פונקציית מדרגה ע י פונקציה רציפה. מרחב הפונקציות המדרגה נפרש ע י [ [t,t. כתרגיל. הרעיון הוא להראות ש ([,b]) [t,t ] CL ואז: CL ([,b]) spn { } [t,t ] ואז: פונקציות המדרגהיהיו בסגורהזה, וכיווןשהוא סגור אז גם הסגורשלפונקציות המדרגה. ומהלמההקודמת נקבלכי ([,b]) H הוא הסגור של פונקציות המדרגה ולכן: CL ([,b]) = H ([,b]) כלומר הפונקציות הרציפות הן צפופות. מסקנה 4..9 מרחב הפולינומים צפוף ב.H([,b]) הוכחה: כל פונקציה רציפה היא גבול במ ש של פולינומים (משפט ויירשטראס) אפשר לקרב את f ע י פולינום ב ([,b]) H (כי.( f ולכן: < f (b ) b]) = H ([, {הפונקציות הרציפות} {הפולינומים} מסקנה 4.. בפרט, ([,b]) H הוא מרחב ספרבילי. הפולינומים עם מקדמים רציונליים קבוצת בת מנייה צפופה ב ([,b]) H. הוכחה: כי הפולינומים הם קבוצה בת מנייה אשר צפופה ב.H([,b]) 4. התכנסות סדרות פונקציות הגדרה } 4.. n {f אינטגרביליות רימן, f אינטגרבילית רימן בקטע,[,b] נאמר ש f n f בממוצע אם [f] [f n ] (מחלקות) ב (f n f) dx כלומר: H([,b]). b הערה 4.. מיחידות הגבול, f כנ ל היא יחידה עד כדי קבוצה בעלת מידה אפס. אם f n f במ ש f f n בממוצע. מכיוון ש f (b )supf הגדרה 4..3 נאמר ש f n f נקודתית כמעט תמיד אם (x)} {x f n (x) f היא בעלת מידה אפס. ([f] נקבעת באופן יחיד). הערה 4..4 התנאי f n f נקודתית כמעט תמיד, תלוי רק ב[ f] n ו [f] (כלומר במחלקות). זה נובע מכך שאחוד בן מניה של קבוצות ממידה אפס, הוא גם כן ממידה אפס. 4.. הקשר בין ההתכנסויות מה הקשר בין התכנסות בממוצע להתכנסות נקודתית כמעט תמיד?

37 ([,b]) 36 H בחרמ 4. קרפ f n = { n x n אחרת דוגמה 4..5 (דוגמה נגדית) נתבונן ב: f n (x) dx = n f לכל x נקודתית. אבל: ולכן n f בממוצע. הערה 4..6 אם f n f כמעט תמיד ו f n חסומות במידה אחידה (כלומר ( n x [,b] f n (x) < M אז: f n f בממוצע. (לא נוכיח). הערה 4..7 גם אם f n רציפות וחסומות במידה אחידה וf f n בכל נקודה זה עדיין לא מבטיח ש f אינטגרבילית רימן. דוגמה 4..8 נסדר את הרציונלים,...} Q [,] = {n,n בסדר. נסמן: { x {n,...,n n } f n = אחרת [,] Q f n (פונקציית דיריכלה) שהיא לא אינטגרבילית רימן. המחלקה של = ] n f] אבל פונקציית הגבול אינה אינטגרבילית רימן. מה לגבי הכיוון ההפוך? נראה כי גם התכנסות בממוצע לא גוררת התכנסות נקודתית כמעט תמיד.... f 4 = { x 3 x > 3 f ( n )+i (x) =,f 3 = { x > x { i n x < i+ n,f = { x דוגמה = 4..9 x >,f ובאופן כללי: כאשר i < n. f ( n )+i (x) dx = n אבל: (x) f n לא מתכנסת לאף f n (x) =.x עבור אינסוף n ים וגם = (x) f n עבור אינסוף n ים.

38 ([,b]) 37 H בחרמ 4. קרפ הערה 4... אם f n f בממוצע אז קיימת תת סדרה כך ש f nk f כמעט תמיד. (לא נוכיח). אם f n f בממוצע וגם f f n נקודתית כמעט תמיד אז f f = כמעט תמיד. הוכחה: זה נובע מ, אבל נוכיח באופן בלתי תלוי. בה כ = f (ע י מעבר ל f )ץ n f כלומר מניחים ש dx f n (x) ו f n f כמעט תמיד. ונראה ש = f כמעט תמיד. { {x f (x) } = x f (x) > } n ממידה אפס לכל > δ. B m = {x f n (x) > } δ n m { } כלומר, מספיק להראות כי x f (x) > δ = A δ δ A (כאשר C בעלת מידה אפס)ץ m= כיוון ש f n f כמעט תמיד, B m C נראה ש B m היא בעלת מידה אפס. יהי > ε, עבור n מספיק גדול: f n (x) dx < ε = t <... < t k = b נבחר חלוקה מספיק עדינה: [t i,t i] f (x) (t i t i ) < ε δ כך ש: δ (t i t i ) f (x) (t i t i ) i [t i,t i] B m [t i,t i] נבחין כי אנו יכולים לחסום את זה גם: B m [t i,t i ] {i: [t i=,t] B m } ולכן: {i [t i,t i] B m } (t i t i ) < ε (נכון תמיד) ומתקיים: כלומר B m ממידה אפס.

39 ([,b]) 38 H בחרמ 4. קרפ 4. הערות והשלמות על המרחב H([,b]) כאמור, המרחב ([,b]) H אינו שלם. f n (x) = { lnx x n אחרת דוגמה 4.. בקטע [,]. ברור כי ([,]) H f n לכל n.כמו כן, f n היא סדרת קושי: n > m f n f m = m n (lnx) dx }{{} m אוניפורמיט ב n..δ > Hלכל ([δ,]) fב n [δ,] f [δ,] אז H ([,]) ב f n f כי אחרת H ([,]) לא מתכנסת ב f n δ f n f dx n לכל >.δ אבל f n [δ,] = lnx עבור lnx n f [δ,] = כמעט תמיד. lnx f = כמעט תמיד ב.[,] ולכן f לא חסומה כי lnε lnx (ε,) > לכל > ε. לכן היא לא חסומה על קבוצה שהיא לא ממידה אפס. ולכל > ε קיים (,ε) x כך ש.f (x) = lnx לכן לא קיימת מחלקת שקילות שמכילה את (x) f ב ([,])H. כי היא לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית רימן. הערה 4.. נבחין כי גם אם נאפשר אינטגרלים לא אמיתיים זה לא יעזור. דוגמה 4..3 לסדרת פונקציות f n בקטע [,] חסומות במידה אחידה, וסדרת קושי, אבל f n לא מתכנסת ב ([,])H. הדוגמה היא קבוצת קנטור השמנה, בדומה לבנייה של סדרת קנטור, נתחיל עם הקטע [,]: FC = [,] FC = [, 3 ] [ ] 5 8 8, נוציא קטע האמצע באורך רבע נקבל: FC = [, 5 ] 3 6 מהאמצע של כל קטע: [ 7 3, 3 ] [ 5 8 8, 5 ] 3 שוב נחזור על אותו קונספט, נוציא קטע באורך [ ] 7 3, מאמצעי הקטעים של n.fc וכו. בשלב ה n י נוציא קטעים באורך 4 n נבחין כי FC n הוא איחוד של n קטעים סגורים שאורכם r n = r n 4 n r n = n + n ונקבל כי:

40 ([,b]) 39 H בחרמ 4. קרפ = FC (כיוון ש.(FC n+ FC n היא קבוצה סגורה. נתבונן ב FC n כל אחד יחד עם השלבים הקודמים. המשלים של A של FC בקטע [,] הוא איחוד עבור,..., = n של n קטעים באורך 4 n ולכן האורך הכולל הוא: n 4 n = כלומר, המידה שנשארת היא גם חצי. FC היא קבוצה דלילה, כלומר, A צפופה. כלומר, לא ייתכן ש [,b] FC עבור b. > כי אחרת, [,b] FC n אבל אם n מספיק גדול האורכים הולכים וקטנים. FC n הוא איחוד זר של n קטעים באורך n n + ולכן [,b] FC n גורר כי [,b] מוכל באחד הקטעים הנ ל. וזה גורר כי n b n + לכל,n אבל זה שואף לאפס, לכן b כלומר לא ייתכן. אחרי כל ההקדמה, הנ ל נותן לנו דוגמה לסדרה של פונקציות שלא מתכנסת. נקח f n = FCn אז f n סדרת קושי ב ([,]) Hכי: n > m f n f m = FCm\FC n dx = FCm dx FCn dx FC m ולכן ההפרש הוא: אבל: + n dx = n r n = = ( ) + m + n = m n m ל f n אין גבול ב ([,]),H כיוון שנניח בשלילה כי f n f בקטע [,] אז: [,b] f n [,b] f לכל [,].[,b] אם ) m A = ( m,b (איחוד זר) אז לכל f n (m,b m),m עבור n מספיק גדול. B צפופה m= לכן m) f (m,b כמעט תמיד. בפרט } = (x) B = {x f צפופה ב ) m B ( m,b צפופה ב ( m,b m ) = A m= ב [,] (כי A צפופה ב [,]) = f כמעט תמיד ב [,]. (f אינטגרבילית רימן). אבל זו סתירה כי: fn = FCn = + n ולכן n.f

41 חלק II טורי וטרנספורם Fourier 4

42 פרק 5 טורי Fourier 5. פיתוח Fourier נתבונן ב: ϕ n n =,... ψ n n =,,... { ψn (x) = cos(nx) π ϕ n (x) = sin(nx) π : n ולכל > ϕ = במרחב ([,]) H כאשר: נבחין כי זו מערכת אורתונורמלית ב ([,]). H כלומר, לכל...,,, = m ו...,, = n נקבל: ϕ n (x)ψ(x)dx = וכמו כן, לכל...,, = n,m נקבל: ϕ n (x)ϕ m (x)dx = δ n,m ψ n (x)ψ m (x)dx = δ n,m לבסוף, לכל...,,, = n,m נקבל: הנ ל נובעים משיקולים טריגונומטריים. טענה 5...H([,]) היא מערכת אורתונורמלית שלמה ב ϕ n ϕ, m הוכחה: ראינו שמרחב הפולינומים הטריגונומטריים (= ) n (spn(ϕ n ψ, צפוף במרחב הפונקציות הרציפות ב[, ] כך ש = () f.(mx f נורמת (עם f () תרגיל: להראות שמרחב הפונקציות הרציפות f ב [,] כך ש () f () = f צפוף ב.H([,]) ומכאן נובע כי } m spn{ϕ n,ψ צפוף ב.H([,]) ולכן ϕ n,ψ m מערכת אורתונורמלית שלמה. 4

43 Fourier 4 ירוט 5. קרפ מסקנה 5...H([,]) ב f = כל H([,]) f אפשר לרשום בצורה: sin(n ) n cos(n )+ b n n= הערה 5..3 חשובה! s f n = n k (f)cos(kx)+ כלומר, אם.H([,]) הוא שיוויון ב (f = השיוויון הנ ל (f)sin(n )) n (f)cos(n )+ b n k= n= (f)sin(kx) n b k אז: s f n f ב,H([,]) כלומר התכנסות בממוצע. אבל כידוע לנו, התכנסות בממוצע לא בהכרח גוררת התכנסות נקודתית. ההתכנסות הנקודתית/במ ש של s f n ל f היא שאלה יותר עדינה שנחקור בהמשך. k= נבחין כי עבור > n n (f) = b n (f) = π (f,ϕ n ) = π π (f,ψ n ) = π f (x)cos(nx)dx f (x)sin(mx)dx ו: (f) = n= f (x)dx f (x) = n cos(nx)+ b n sin(nx) הנ ל נקרא פיתוח Fourier של f. להפך, בהינתן,..., ו:,... b,b אפשר להסתכל על הטור: ולשאול לאיזה פונקציה הוא מתכנס? או מה התכונות שלה. מסקנה 5..4 שיוויון Prsevl נותן לנו כי: f = ( (f,ϕ n ) + (f,ψ n ) = (f) +π n (f) +b n (f) ) = f = f (x) dx n= f = x dx = 8π3 3 דוגמה.f (x) = x 5..5