חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012"

Transcript

1 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, ביוני

2 אתר אינטרנט: סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss 3. מרחבי מכפלה פנימית 4. טורי פוריה Fourier series 5. נושאים נוספים... עוד קצת מנהלות בהנחה שהשביתה תפתר במהרה: יהיו 3 תרגילים להגשה שיקבעו 5% מהציון הסופי (ממוצע של התרגילים הטובים ביותר) ו 85% הבחינה. ספר לינדנשראוס אינפי מתקדם א. שעת קבלה יום ג 3 ץ

3 תוכן עניינים

4 חלק I המרחב C(K) 3

5 פרק מבוא. טעימה קלה הדגש קורס הנ ל יהיה אנליזה פוקציונלית. הדגש הוא לא על פונקציה מסויימת והתכונות שלה אלא על מרחבי פונקציות ומרחבים נורמיים כלליים. הדוגמה הכי בסיסית למרחבי פונקציות אשר כבר ראינו: יהי K מרחב מטריקומפקטי, נתבונן במרחבפונקציות( C(K (מרחב הפונקציות הרציפות מK לR. אנו יודעים כי כלפונקציה כזאת היא אוטומטית חסומה (משפט ויירשטראס) ואנו יכולים להתבונן בנורמה: f = sup x K f (x) = mx f (x) x k. וזהו מרחב נורמי שלם. C(K) הוא מרחב נורמי ביחס ל Q ושלם: כל סדרת קושי מתכנסת (לדוגמה.d(x,y) = x y מה זה מרחב נורמי שלם? ראשית כל נורמה מגדירה מטריקה: היא לא שלמה, כיוון שלא כל סדרת קושי מתכנסת בה, אבל R כן). n > כך שלכל n קיים n ε וכמובן שזה אם ם לכל > f n f מה זה התכנסות ב?C(K) נאמר ש f n f אם ם:. f n במ ש f כלומר: x K f n (x) f (x) < ε. קומפקטיות הגדרה.. קומפקטיות: בהינתן המרחב המטרי (X,d) נאמר ש X קומפקטי לכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת. X שלם וחסום לחלוטין (כלומר, לכל > ε יש ε רשת סופית) לכל כיסוי פתוח של X יש תת כיסוי סופי. מה זה ε רשת? קבוצה של נקודות x,...,x n כך ש ) i. X = n B ε (x i= מסקנה... אם (X,d) מרחב מטרי שלם, Y X קומפקטית יחסית (כלומר Y קומפקטי) אם ם Y חסומה לחלוטין.. X Y קומפקטיים Y סגורה וחסומה לחלוטין. הערה..3 עבור R n עם המטריקה האוקלידית (או באופן יותר כללי עבור מרחב נורמי סוף מימדי) כל קבוצה חסומה היא חסומה לחלוטין. לעומת זאת במרחב נורמי ממימד אינסופי הדבר אינו נכון. למה? נתבונן בקבוצה החסומה הבסיסית ביותר () B נבחין כי היא אינה קבוצה חסומה לחלוטין. הסיבה לכך היא (לא הוכחה): אם נתבונן ב R n בשביל לכסות את כדור היחידה ב R n ע י כדורים ברדיוס צריך לפחות n כדורים (משיקולי נפח). לכן, במרחב אינסוף מימדי לא ניתן לכסות את כדור היחידה בעזרת מספר סופי (או באופן יותר כללי: כל רדיוס הקטן מ ) של כדורים ברדיוס 4

6 5 אובמ. קרפ נרצה לשאול, מתי קבוצה C(K) A היא קומפקטית\קומפקטית יחסית? כלומר, מתי A חסומה לחלוטין? במילים אחרות, מתי לכל סדרה f n A יש תת סדרה מתכנסת (במ ש)? f לכל.f A כלומר: x K,f A f (x) R (חסימות במידה אחידה) נבחין כי A חסומה קיים R כך ש R איזו סדרה של פונקציות אנו מכירים שלא מתכנסת במידה שווה? דוגמה..4 נתבונן בפונצקיה הבאה בקטע [,] = K: nx x n f n = nx n x n x > n (x) f n לכל [,] x אבל אין תת סדרה מתכנסת ב C(K) מכיוון ש = n f, כלומר, אין תת סרה n ברור כי נקודתית מתכנסת ל במ ש. כלומר } n A = {f לא קומפקטית יחסית (ב (C([,]).3 רציפה במידה אחידה הגדרה.3. רציפה במידה אחידה: נאמר שמשפחה C(K) F היא רציפה במידה אחידה אם לכל > ε קיים > δ כך ש: f F d K (x,x ) < δ f (x) f (x ) < ε הערה.3. נבחין כי זו למעשה רציפות במידה שווה אם F היא רק פונקציה אחת. כלומר אנו דורשים רציפות במידה שווה של פונקציות ב f F כך שאותה > δ עובד באופן אחיד לכל הF f. הערה.3.3 המונח באנגלית הוא: Equicontinous fmily ריצפות במידה אחידה (של משפחה) ואילו Uniformly continous ריצפות במ ש. דוגמה = F.3.4 משפחת הפונקציות הקבועות על K, היא כמובן רציפה במידה אחידה. F = {f C(K) ליפשיץ עם קבוע f} דוגמה.3.5 f F f (x) f (x ) d K (x,x ) כלומר:.δ = ε זה יהיה משפחה רציפה במידה אחידה עבור באופן כללי יותר: α > c > {f C(K) f (x) f (x ) cd(x,x )} פונקצייות המקיימות את תנאי הולדר. טענה.3.6 מרחב מטרי X הוא קומפקטי אם ם X שלם וחסום לחלוטין (לכל > ε אפשר לכסות את X ע י מספר סופי של כדורים ברדיוק ε)

7 6 אובמ. קרפ הוכחה: תרגיל. מספיק להראות שלכל סדרה } N x }ב X יש תת סדרה שהיא סדרת קושי. (טיעון אלכסון) נתחיל מסדרה הנתונה } n x}, נקח כיסוי של X ע י מספר סופי של כדורים B B,..., k ברדיוס. נבחר תת סדרה של } n y n () X}, שמוכלת באדת מה B ים i נקרא לו () D., נבחר תת סדרה () n yשל y n המוכלת באחד הדכורים הנ ל ().D עכשיו ניקח כיסוי של X ע י מספר סופי של כדורים ברדיוס נמשיך בתהליך כאשר בשלב הm י נכסה את X ע י מספר סופי של כדורים ברדיוס באחד הכדורים נסמנו: (m) D. (m ) y המוכלת n yשל (m) ונבחר תת סדרה n m כלומר נחזור על התהליך לכל m (אנו משתמשים באקסיומת הבחירה כמובן). נקבל אוסף של סדרות: y () y () y () 3... y () y () y () 3... y (3) y (3) y (3) מסתכל על הסדרה הנוצרת מהאלכסון הנ ל (בגלל זה טיעון האלכסון): z n = y (n) n (n) (y ולכן: D (n) היא תת סדרה של y (k) (k) z k = y ו k m,m d(z m,z m ) z n היא תת סדרה של } n z k D (n).{x לכל k n (כי min(m,m ). כי ) min(m,m z m,z m D ובגללשזהמרחבמטרי,הקוטרשלכדורהואפעמייםהרדיוסולכןהמרחקבניהםלאעולהעל ) min(m,m ולכן z n היא סדרת קושי. נחזור שוב על הגדרה של רציפה במידה אחידה: הגדרה.3.7 בהינתן K מרחב מטרי קומפקטי. נאמר שמשפחה C(K) F נקראת רציפה במידה אחידה אם לכל ε קיים > δ כך ש d(x,x ) < δ אזי: f F f (x) f (x ) < ε דוגמה.3.8 נתבונן ב [,b] K = נתבונן במשפחה: F = {p(x) = + x+...+ n x n n, i, i =,...,n} רציפה במידה אחידה. נבחין כי זו למעשה משפחה של פונקציות ליפשיציות עם קבוע ליפשיץ חסום, ולכן ראינו כבר כי היא רצפה במידה אחידה כיוון שפונקציות ליפשציות עם קבוע חסום הן רציפות במידה אחידה. מאידך, המשפחה {R {cx c של הפונקציות הלינאריות ב [,] אינה משפחה רציפה במידה אחידה (c אינו חסום, לכן קיימת פונקציה עם נגזרת גדולה כרצוננו). x n n { x < x = {x n } עבור הקטע [,] =,K נבחין כי: דוגמה.3.9 נבחין כי היא מתכנסת לפונקציה לא רציפה, ולכן היא לא תהא רציפה במידה אחידה כפי שנראה בקרוב. אבל אפשר גם לראות את זה ישירות (כתרגיל). הערה.3. הגדרנו רציפות במידה אחידה, אבל נבחין כי ההגדרה הנ ל בעצם לוקחת את המושג של רציפות במידה שווה והופכת אותו לאחידה כלפי המשפחה. כלומר כפי שכבר ציינו אם {f} F = אז היא רציפה במידה אחידה אם ם f רציפה במ ש. מצד שני, אפשר להגדיר רציפות של משפחה בנקודה K (כלומר, לכל > ε קיים > δ כך שאם d(x,) < δ אז.( f F f (x) f () < ε אותה הוכחה שמראה שכל פונקציה ב( C(K היא רציפה במידה שווה מראה שאם F משפחה רציפה במידה אחידה בK לכל נקודה K אז F משפחה רציפה במידה אחידה בK במובן הקודם.

8 7 אובמ. קרפ Arzel-Ascoli.3. משפט Arzel-Ascoli.3. תהי C(K) F אז F קומפקטית יחסית אם ם F חסומה ב C(K) (כלומר אחידה) ורציפה במידה אחידה. הערה.3. באופן שקול C(K) F קומפקטית אם ם F סגורה וחסומה ורציפה במידה אחידה. תרגיל: אם F רציפה במידה אחידה F רציפה במידה אחידה. הוכחה: נניח שF קומפקטית יחסית, ברור ש F חסומה. יהי > ε, כיוון ש F חסומה לחלוטין, קיימות f f,..., n F כך i. f f אנו יודעים כי f,...,f n רציפות במ ש, לכן קיים > δ כך ש: שלכל f F קיים i כך ש: < ε d(x,x ) < δ f i (x) f i (x ) < ε לכל i. = n,..., נעשה את הטריק הרגיל של חלוקה ל 3, לכל f F נבחר את הi כך ש f f i < ε נקבל לכל x,x K כך ש :d(x,x ) < δ f (x) f (x ) f (x) f i (x) + f i (x) f i (x ) + f i (x ) f (x ) }{{}}{{}}{{} <ε <ε <ε i, f f האמצעי כי f i רציפה במידה אחידה. ולכן: השמאלי והימני כי < ε < 3ε אם F רציפה במידה אחידה וחסומה נרצה להראות כי אז F חסומה לחלוטין. (ולכן קומפקטית יחסית בתור תת קבוצה חסומה לחלוטין במרחב מטרי שלם) יהי >,ε נבנה ε רשת סופית לF. יהי M כך ש f F, x K, f (x) M (כי F חסומה ב C(K) לפי הנחה). f F x,x K d(x,x ) < δ f (x) f (x ) < ε יהי > δ כך ש: נבחר δ רשת x,...,x n ב K ו: ε רשת, y,...,y m למשל m = M ε ב:.[ M,M] נבנה רשת N באופן הבא: לכל ) n m) m,..., כאשר m i < m (האינדקסים של הε רשת שהגדרנו בשורה להעיל). אם קיימת ונוסיף אותה לרשת לN. f (m,...,m n) F אז נבחר i,,...,n לכל f (x i ) y mi < ε כך ש f F הטענה היא: N היא 4ε רשת. מדוע? בהינתן f F כלשהי אזי לכל i נקח m i כך ש f (x i ) y mi < ε (כי y,...,y n היא רשת ב ([ M,M] ברור ש: n) f (m,...,m מוגדר. f (x) f(m,...,m n)(x) f (x) f (x i ) + f(m,...,m }{{} n)(x) f (m,...,m n)(x i ) + }{{} <ε <ε לכל x K כיוון ש x i היא δ רשת, קיים i כך ש d(x,x i ) < δ ולכן המרחק f(m,...,mn)(x i ) f (x i ) }{{} f(m,...,mn) y mi }{{} <ε + y mi f (x i ) }{{} <ε 4ε הכללות אפשר לדבר בקונטקסט יותר כללי על מרחבי פונקציות ממרחב מטריי אחד לשני. נניח ש X,Y מרחבים מטריים ונניח כי X קומפקטי, ניתן להסתכל על המרחב הבא: {רציפות Y C (X;Y) = {f : X

9 8 אובמ. קרפ הערה.3.3 מה שסימנו ב C(X) הוא למעשה (R C ;X) למה.3.4 (X;Y) C הואמרחבמטרי ביחסלמטריקה: (x)) d(f,f ) = sup (f (x),f (x)) = mx d(f (x),f (מקסימוםכי X קומפקטי x X x X והפונקציה d היא רציפה). הוכחה: ברור. נגיד שהתכנסות ב (X;Y) C פירושה התכנסות במ ש. כלומר f n f אם לכל > ε קיים n כך ש > n x X.n d Y (f n (x),f (x)) < ε טענה.3.5 אם f n : X Y רציפות ו: f n f במ ש אז f רציפה הוכחה: זהה להוכחה מאינפי 3 שבו Y = R טענה.3.6 אם בנוסף Y שלם, אז (X;Y) C שלם. הוכחה: זהה להוכחה מאינפי 3 שבו Y = R ובדיוק באותו אופן ניתן לנסח את Arzel-Ascoli באופן הזה(המוכלל יותר) נשים לב כי בהוכחה בשום שלב לא השתמשנו בכך שזה.R הגדרה.3.7 משפחה (X;Y) F C נקראת רציפה במידה אחידה אם לכל > ε קיים > δ כך ש: x,x X, f F d X (x,x ) < δ d Y (f (x),f (x )) < ε משפט Arzel-Ascoli.3.8 מוכלל אם X,Y מרחבים מטריים קומפקטיים, אז (X;Y) F C היא קומפקטית יחסית אם ם F היא רציפה במידה אחידה במובן הנ ל. אפשר לנסח משפט יותר כללי אם Y שם לאו דווקא קומפקטי ואז צריך בנוסף ש F חסומה במידה אחידה במובן שקיימת K Y קומפקטית כך ש x X, f F f (x) K. וההוכחההיאזההלחלוטיןכיווןשבשוםשלבבהוכחהלאהשתמשנובכךשאנומקבליםערכים המשפטהואהכללהשלהמקרהR Y = קומפקטיות. תרגיל: האם ניתן לקרב את הפונקציה x f (x) = בקטע [, ] ע י פולינום במ ש. כלומר האם לכל > ε קיים p פולינום כך ש?x [,] לכל p(x) x < ε

10 פרק קירוב ע י פולינומים ומשפט Stone-Weirstrss. הבעיה הבסיסית בהינתן פונקציה רציפה f על הקטע [b,] נרצה למצוא קירוב שלה ע י פונקציה יחסית פשוטה, לדוגמה הפונקציות הפולינומאליות. כלומר, לכל > ε נרצה למצוא פולינום p כך ש:. f p = mx f (x) p(x) < ε x [,b] הדבר נראה קצת בעייתי, אנו יודעים מטורי חזקות שניתן לקרב בעזרת טיילור, אך הדבר לא עובד בהכרח כמו שהיינו רוצים. בה כ אפשר להתבונן ב [,] = [,b] כיוון שניתן לעבור בניהם ע י החלפת משתנים: x. (b )x+ כמו שאנו יודעים, פולינום טיילור לא בהכרח מתכנס לפונקציה חלקה נקודתית. דוגמה.. דוגמה ידועה לפונקציה אשר פולינום טיילור לא מתכנס אליה אפילו לא נקודתית. {e x f (x) = x x = הפונקציה f חלקה, ולכל n מתקיים: = () (n) f, לכן הפולינום טיילור שלה הוא פולינום האפס, וברור כי הוא אינו מתכנס לפונקציה. כמו כן, יש פונקציות רציפות שאינן גזירות באף נקודה (לדוגמה הפונקצייה של ויירשטראס). ונראה שבעייתי לקרב פונקציה כזו ע י פולינום, אבל מסתבר שניתן לעשות את זה. משפט Weierstrss מבטיח כי לכל f רציפה ב [,b] ולכל > ε קיים פולינום p כך ש f. p < ε ניסוח שקול למשפט: מרחב הפולינומים P צפוף ב.C([,b]) P. n (וכמובן, ע י מעבר לתת סדרה, אנו נקבל כי במ ש במילים אחרות: לכל C([,b]) f, קיימת סדרת פולינומים P n כך ש f (degp n n נסוח שקול נוסף: מרחב הפולינומים ממעלה n (נסמנו P. n נגדיר: f C([,b]) d(f,p n ) := inf p C f p ) = ) n f P n d(f,p כי P n סגורה) lim (שקול לכל C[,b] f מתקיים: ) n d n := d(f,p כאשר.n (כי n d מונוטונית יורדת: = d(f,p) n d n = למשפט הקירוב של ויירשטראס) הערה.. עובדה: כל מרחב נורמי ממימד סופי n שקול ל R n בנורמה הרגילה (כלומר הנורמה שקולה) ולכן כל מרחב נורמי ממימד סופי הוא שלם (כל R n שלם בנורמה הרגילה. לכל מרחב נורמי (,V) אם U V תת מרחב מעל R ממימד סופי אז U שלם ולכן U סגור. ובפרט U איננו צפוף בV (אלא אם כן.(V = U בפרט, בניסוח של המשפט, לא ניתן להסתפק בפולינומים ממעלה חסומה, כיוון שזה מרחב סוף מימדי. בפרק זה נניח כי אנו עובדים עם הקטע [,] 9

11 Stone-Weirstrss טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ x < x <... < x n. פולינומי אינטרפולציה נקח +n נקודות: למשל:.x i = i n אנו יודעים כי בהינתן +n נקודות וn+ ערכים אנו יכולים למצוא פולינום העובר בנקודות אלה. כלומר קיים פולינום P n ממעלה n והוא יחיד כך ש: P n (x i ) = f (x i ) (דטרמיננטת (Vn der mrle הדבר נשמע מאוד הגיוני, אך באופן נאיבי הוא אינו עובד. למרבית הצער, לא בהכרח P n f אפילו לא נקודתית. (שום דבר לא מובטח לנו לגבי הקטעים בין הנקודות). אם הפולינומים הייתה משפחה רציפה במידה אחידה הדבר כן היה עובד, כיוון שאז הייתה להם תת סדרה מתכנסת. לכן דרושה טכניקה אחרת. הערה.. פולינומי טיילור הם למעשה שיטה מנוונת של פולינומי אינטרפולציה..3 פולינומי ברנשטיין נניח שיש לנו מטבע שאנו מטילים אותו n פעמים, כאשר ההסתברות שנקבל היא x ו בהתסברות x (אנו מניחים כי הצדדים של המטבע הם או ). מה ההסתברות לקבל k אפסים? ההסתברות היא כמובן: ( ) n x k ( x) n k k f ( k אם קיבלנו k אפסים. התוחלת של המשתנה המקרי הנ ל היא: n) נתבונן במשתנה המקרי Y המוגדר: ( ) ( ) n E[Y] = x k ( x) n k k f k n k=. k n נבחין כי זהו פולינום בx ממעלה n. ונסמנו B n f (פולינום ברנשטיין). למה זה קרוב לפונקציה f? כי אנו מצפים לקבל בערך nx אפסים, והערכים שנקבל עבורם הוא ברור כי: B n () = f () B n () = f () p k (x,n) = k= B n (x) f (x) = k= [ p k (x,n) f :n כאשר B n במ ש נראה ש f p k (x) = ( n ברור כי: k) נסמן: x k ( x) n k ( ) k f (x)] n יהי >,ε כיוון ש f רציפה במ ש על [,] קיים > δ כך ש f (x) f (x ) < ε לכל [,] x,x המקיימים. x x < δ נקבע > δ כנ ל.

12 Stone-Weirstrss טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ p k(x,n) k= [ f ( ) k f (x)] = n A {}}{ ( ) {}}{ p k (x,n) k f f (x) n + ( ) p k k f f (x) n k: k n x <δ k: k n x δ B B M p k (x,n) k: k n x δ נרצה לחסום את A ואת B. יהי (x),m = mx f נבחין כי: x [,] ואילו עבור A: = {}}{ A ε p k (x,n) ε p k (x,n) ε k: k n x <δ k= נשאר להראות כי (x,n) p k קטן מספיק עבור n גדול מספיק. k: k n x δ k: k n x δ p k (x,n) < ε כלומר, להראות שלכל >,ε δ > קיים n כך ש: לכל n > n ולכל [,].x משיקולים הסתברותייםקל לראות(ומאותהקלות אלגברית)מאי שיוויון צ בישב: אם X משתנה מקרי אזי: (t P X ) E[X].t לכל > Vr(X) t במקרה שלנו, X יהיה מספר האפסים שהתקבלו ב n הטלות. ואז.E[X] = nx ואילו השונות nx( x).vr(x) = לכן, ההסתברות: kp k (x,n) = k= k= n( n k ) P ( k nx > δn) nx( x) δ n δ n P ( k nx > δn) = k n x δ p k (x,n) אבל נבחין כי: ואם נרצה להוכיח את הנ ל ללא אי שוויון צ בישב, אלא בצורה אלגברית, נבחין כי: P k (x,n) = k= ( ) n k x n ( x) n k = nx k }{{} k= ( ) n x k ( x) n k = k כעת נחשב את המומנט הראשון: n ( ) n n nx x k ( x) n k = nx P k (x,n ) = nx k k= k=

13 Stone-Weirstrss טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ k(k )P k (x,n) = k(k ) k= n(n )x n k= ( ) n x k ( x) n k = n(n ) k ( n n )x ( x) n k = n(n )x k k= ( ) n x k ( x) n k = k ( n k ) x k ( x) n k = ואת המומנט השני: n n(n )x P k (x,n ) = n(n )x k (P k (x,n)) = k(k )P k (x,n)+ kp k (x,n) = n(n )x +nx k= נבחין כי: (k nx) P k (x,n) = k P k (x,n) nx kp k (x,n)+n x P k (x,n) ולכן, השונות היא: = n(n )x +nx nxnx+n x = nx +nx = nx( x) ומהחישובים הקודמים: (k nx) P k (x,n) = P k (x,n) δ k: n P k (x,n) k n x >δ (k nx) δ n (k nx) δn δ n (k nx) P k (x,n) = x( x) δ n k 4δ n הערה.3. הבניה של פולינומי ברנשטיין נותנת הערכה לגבי השאלה הבאה: בהינתן > ε ו C([,b]),f מהי המעלה המינימלית של פולינום p כך ש? p f < ε ראינו כי : B n (f) f ε+ M δ n כאשר δ הוא כך ש, x x < δ f (x) f (x ) < ε ו: mx f.m =.n = c ε nאז: = M εδ. B n f f < ε למשל אם, f פונקציית ליפשיץ אפשר לקחת: אם ניקח וk c nעבור = c קבועים. אז ניתן לקחת c אם f פונקציית הולדר אז: f (x) f (x ) < c (x x ) α כאשר < α ε k, < מתאימים..4 משפט Stone-Weirstrss מה לגבי כמה משתנים? נניח.f C(K),K R 5 לצורך העניין [,] 5 =.K האם ניתן לקרב את f בעזרת פולינום עם 5 משתנים? התשובה היא כמובן חיובית. משפט ויירשטראס נכון גם למימדים >. מספיק להוכיח עבור [,] n כי תמיד K [ R,R] n וניתן להרחיב כל פונקציה רציפה על K לפונקציה רציפה על [ R,R] n ונקבל קירוב על המרחב היותר גדול, לכן הוא גם נכון על המרחב היותר קטן.

14 Stone-Weirstrss 3 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ לא נפרט יותר מידי, כי נוכיח זאת בצורה אחרת. הרחבה זו היא מאוד טבעית, אבל הרחבה נוספת שניתן לעשות היא למרחב הפונקציות. נבחין כי C(K) הוא חוג, יש פעולת כפל: C(k) f,g אז גם C(k) f. g C(K) הוא אלגברה, כלומר יש פעולת כפל כך ש: λ(fg) = (λf)g = f (λg). f (g +g ) = fg +fg. (g +g )f = g f +g f.3 הגדרה.4. תת אלגברה: נאמר שתת מרחב וקטורי C(K) A הוא תת אלגברה אם f,g A אז גם f. g A במקרה של C(K) מתקיים: f f = f f (כלומר אלגברה קומוטטיבית) דוגמה C(K).4. A = או {} = A הן דוגמאות טריוויאליות לתתי אלגבראות. דוגמה.4.3 לכל A x = {f C(K) f (x ) = },x K דוגמה.4.4 באופן דומה, לכל A s = {f C(K) x S f (x) = } :S K היא גם תת אלגברה. דוגמה }.4.5 S fקבועה C(K) {f תת אלגברה. (למעשה: זה שקול ל R} A )ץ s = {λ λ הדוגמאות הנ ל הן סגורות (קל לבדוק) דוגמה לא סגורות: עבור [,] = K, P אלגברת הפולינומים מוכלת בפונקציות החלקות, מוכלת בפונקציות הגזירות. אם A תת אלגברה אז A היא תת אלגברה (כי אם f n f ו g n g אז: λf n λf,f n g n fg,f n + g n f + g לכל (λ R משפט הקרוב של ויירשטראס אומר כי: ([,])C P. = הגדרה.4.6 תת שריג: נאמר שתת קבוצה C(K) L תת שריג אם f L אז f L הערה.4.7 תנאי שקול: f,g L אז:.mx(f,g),min(f,g) L.mx(f,g) = f+g+ f g f+g f g,min(f,g) = ובאופן דומה: למה זה שקול? כי: ובכיוון השני, טריוויאלי, mx(f, f) f = הערה.4.8 אם C(K) L תת מרחב, אז L תת שריג אם. f L f L משפט Stone-weirestrss.4.9 יהי K מרחב מטרי קומפקטי. C(K) A תת אלגברה. A צפופה ב C(K) אם ם:. לכל x K קיימת f A כך ש (x) f. לכל,x,y K כך ש x y קיימת f A כך ש (y) f (x) f (הפרדת נקודות) הערה.4.. נבחין כי התנאי השני כמעט ומכיל את הראשון, כיוון שאם הוא לא מתקיים זה יהיה רק לנקודה אחת.. אם A אז תנאי מתקיים אוטומטית. הוכחה: נראה שאם א או ב לא מתקיימים אז A לא צפופה. אם א לא מתקיים קיימת x K כך ש = ) f A f (x ולכן: A A x = {f f (x ) = } A A x = A x C(k) כלומר: (כי / A x ( כלומר A לא צפופה. באופן דומה, אם ב לא מתקיים, אז קיימות x,y K כך ש x y אבל: (y). f A f (x) = f כלומר: A.{f f (x) = f (y)} = B אבל זו תת אלגברה סגורה ולכן: C(K) A B לכן A לא צפופה. (כי:.(f (z) = d(x,z) C(K)\B

15 Stone-Weirstrss 4 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ f למה.4. אם C(K) A תת אלגברה סגורה אז A תת שריג f ) מעבר ל (ע י f הוכחה: יהי f, A אנו רוצים להוכיח כי f. A אפשר להניח בה כ כי p. g בה כ (ע י ממשפט ויירשטראס ניתן לקרב את g ע י פולינום, כלומר לכל > ε קיים p פולינום ממעלה n כך ש < ε i.h = n i f נבחין כי: מעבר ל p() ( p() = p() g() < ε,p אפשר להניח = p() כלומר A.p = n i x i i= i= x K h(x) f (x) = h(x) g(f (x)) = p(f (x)) g(f (x)) < ε (x)) h(x) = p(f ולכן: h f < ε f A כלומר: כי A סגורה. הערה.4. ניתן לקרב את x ע י פולינום באמצעות פולינום טיילור באופן הבא: x = x = u כאשר,u = x נשתמש בפיתוח טיילור של שורש u : u = c n u n ) = n c n = ( ) )n (עצרת כפולה זה לקחת רק את האי זוגיים במונה ובמכנה הזוגיים, כלומר קפיצות של עד (n 3)!! (n)!! כאשר האיבר המצויין) הטור הנ ל מתכנס במ ש עבור [,] u. רדיוס ההתכנסות הוא כמובן. וגם מתכנס עבור = u כי: c n+ = (n+) 3 = n c n (n+) n+ = 3 n+ dn+ ומכיוון שהמנות קטנות או שוות, כל איבר קטן או שווה. d n 3 n אז d n = n 3 / 3 / Dn c n מכיוון ש אבל זה גורר כי: אבל למה זה מתכנס במידה שווה? ממשפט אבל, אם טור מתכנס ברדיוס ההתכנסות, אז הוא מתכנס במידה שווה לכל האורך. לכל f f (x),t x : A R,x K היא העתקה לינארית על. למה? מתנאי זה לא, לכן זה בהכרח על. לכל x,y K כך ש.f (f (x),f (y)), T x,y : A R :x y למה? נסתכל על התמונה: S. = ImT x,y R נבחין כי גם כאן S בגלל תנאי הקודם. אם S R אז בהכרח (בגלל התנאי הקודם) R} S = {(,λ) עבור λ R (קבוע). אבל מתנאי λ (כי אנו יכולים לקבל ערכים שונים לקואורדינטות. תהי f A כך ש = (x) f ו:.f (y) = λ אז: = (x) f ו:.f (y) = λ אבל T ( f ) = ( f (x),f (y) ) / S כי: λ λ בסתירה לכך ש f A (הרי A היא אלגברה). ראינו שאם A אלגברה סגורה אז A תת שריג. נותר להוכיח: יהי C(K) L תת שריג כך ש:. לכל f f (x) T x : L R x K היא העתקה על.. לכל f (f (x),f (y)),t x,y : L R x y,x,y היא העתקה על. אז C(K).L = (זה מספיק להוכחת המשפט כי A הוא תת שריג שמקיים את התנאים). הערה.4.3 אלא אם כן =. K

16 Stone-Weirstrss 5 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ נוכיח זאת: תהי C(K) f.לפי ההנחה לכל x,y K אנו יודעים כי קיימת g x,y L כך ש (x) g x,y (x) = f ו: (y) g x,y (y) = f (אם x y מתנאי, אם x = y מתנאי ( יהי > ε, לכל y K יש סביבה פתוחה V y אשר בה f לא שונה הרבה מ g, x,y בפרט, z V y g x,y (z) > f (z) ε.{v yi } n i= מקומפקטיות קיים תת כיסוי סופי:.K כסוי פתוח של {V y} y K כי g x,y f רציפה ומתאפסת ב y. כלומר יש L g x := mx g x,y i ב.V yi אבל זה נכון לכל :i =,...,n מהגדרת הסביבות הנ ל: g x,yi > f ε ב:.V yi ולכן: > f ε i=,...,n לכל המרחב: g x > f ε כי } yi {V כיסוי. כלומר לכל x מצאנו g x שיושבת מעל.f ε ועדיין מתקיים (x).g x (x) = f g x f < ε כך ש U x קיימת סביבה x K לכל.g x (x) = f (x),k על g x f > ε כך ש {g x } x K כלומר, קבלנו משפחה U xj על g xj f < ε. { U xj }j=,...,m קיים תת כיסוי סופי K מקומפקטיות U} {x x K ב U x (בגלל רציפות). קבלנו כיסוי פתוח: מצד שני: g xj f > ε על Kכפי שראינו. נסמן: g = min(g x,...,g xn ) L (כי L תת שריג). g f < ε על U xj וכיוון שזה כיסוי גם על.K ומצד שני, כיוון ש f g. וזה נכון לכל ε וכיוון ש L סגור < ε כלומר K על g f < ε וביחד נקבל:.g f > ε אז גם: g xj f > ε.f L הערה.4.4 הקומפקטיות של K היא קריטית. מה קורה אם K לא קומפקטי? f אם K הוא מטרי אבל לא קומפקטי אפשר להסתכל על מרחב הפונקציות החסומות הרציפות K R עם הנורמה =.sup f (x) x K =n } n } החסומות. נהוג לסמן את המרחב אם K = N אז במרחב הנ ל אין משמעות לרציפות, למעשה מדובר במרחב הסדרות l כאשר n }. n { = sup המרחב הנ ל לא ספרבילי, כלומר אין לו תת קבוצה בת מנייה צפופה. באופן שקול, לא קיימים l n =,,...,x n כך ש spn R x n צפוף. אם הייתה סדרה כנ ל אז הקומבינציות הלינאריות: { n } Q spnq x n } {{ } קבוצה בת מנייה = r k x k k N r,...,r k Q צפוף ב l כי Q צפוף ב.R כלומר ) n spn Q (x צפוף ב ) n.spn R (x אבל למה היא לא קיימת? כי לכל A N נסתכל על: { n A X A (n) = n / A.A A אם X A X A ולכן: = לכן לא קיימת תת קבוצה בת מנייה צפופה ב l. כי הכדורים (הפצוחים) ברדיוס סביב X A זרים. (כל קבוצה חייבת לחתוך באופן לא ריק כל כדור). n) (. האלגברה הנ ל בפרט משפט stone-weirstrss לא נכון עבור l. אפשר לקחת את האלגברה שנוצרת ע י הסדרה =n נוצרת ע י מספר בן מנייה של סדרות, ולכן היא לא יכולה להיות צפופה. C(K; C) = {f : k C { fרציפה הערה.4.5 גרסה קומפלקסית של משפט :Stone-Weirstrss f = Ref +iimf f רציפה Ref וגם Imf רציפות. משפט Stone-Weirstrss קומפלקסי:.(f,g A אם fg A וכמון λ C לכל λf A,f A כלומר,C תת אלגברה (מעל A ] C(K; C).fg = נבחין כי: [(f +g) f g נניח A צמודה לעצמה. כלומר שאם f A אז גם.(f (x) = f (x)) f A אז C(KlC) A צפופה לכל x K קיים f A כך ש (x) A.f מפרידה נקודות (כמו קודם).

17 Stone-Weirstrss 6 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ הוכחה: תהי C) f C(K; אזי:. f = Ref +iimf נסתכל על A} A.A = {Reg g היא אלגברה. Reg g }{{} A = Reg Reg Img Img לכל g A מתקיים Reg A וגם Img A (בגלל שהצמוד גם ב (A ולכן גם ב.A למה A מקיימת את שני התנאים של משפט Stone-Weirstrss המקורי?. לכל x K אנו יודעים כי קיימת f A כך ש (x),f אבל זה אומר או ש (x) Ref או (x).imf אבל אנו יודעים כי הם ב A ולכן קיימת פונקציה כזו ב f.. הפרדת נקודות בדיוק באותה דרך. ולכן ממשפט Stone-Weirstrss המקורי, C(K) A צפופה. נניח ש C) f C(K; אז שוב ניתן לרשום:.f = Ref +iimf לכל > ε נקח g Ref < ε כך ש A g וגם g A g Imf < ε ואז: g = g +ig A תקרב את.f מסקנה.4.6 Stone-Weirstrss המסקנה של K) משתנים בתור פונקציות רציפות על n הפולינומים ב (מרחב P C(k) קומפקטית, ו K R n היא ש P צפופה. הוכחה: התנאי הראשון הוא כמובן אוטומטי כי P. תנאי השני: אפשר להשיג ע י פונקציות לינאריות, למעשה מספיק i = n,..., x i על מנת להפריד. ומהמשפט נקבל כי זה יהיה צפוף. מסקנה.4.7 נסתכל על מעגל היחידה } = z.s = {z C הערה.4.8 פונקציה רציפה על מעגל היחידה ( C ( S הן פונקציות רציפות f על [,] כך ש () f. () = f נבחין כי לחילופין S = { e iθ θ < } ואז: (θ) f f ( e iθ) = f לחילופין, פונקציות מחזוריות עם מחזור. כלומר:.f : R R בהנתן ) f C ( S נגדיר f : R R ע י ix) f (x) = f ( e רציפה מתקיים: x R f (x+) = f (x) רציפה בתור הרכבה של רציפות. בהנתן f : R R רציפה עם מחזור אפשר להגדיר ) f C ( S ע י ix).f (x) = f ( e { n } A = i z i S i C i= n גרסה קומפלקסית: על.S z = z כי A = A. z A אלגברה. מפרידה נקודות כי A.z S = Id ממשפט Stone-Weirstrss המרוכב נקבל כי A צפופה ) C.C ( S ; גרסה ממשית: Rez ( e iθ) = cosθ ובאופן דומן: Imz ( e iθ) = sinθ וכמו כן גם: Rez n( e iθ) = Ree inθ = cosnθ Imz n( e iθ) = Ime inθ = sinnθ ולכן: N).A = { f A f ( S ) R },A = (,cosnθ,sinnθ n ולמעשה: N + ( n cosnθ+b n sinnθ)

18 Stone-Weirstrss 7 טפשמו םימונילופ י ע בוריק. קרפ כאשר.,..., N,b,...,b N R וזה נקרא פולינום טריגונומטרי. A היא אלגברה (ניתן לבדוק ישירות בעזרת זהויות טריגונומטריות, אבל זה נובע מיידית מהמרוכבים). המסקנה של משפט stone-weirstrss בגרסה הממשית היא שמרחב הפולינומים הטריגונומטריים צפופים במרחב הפונקציות הרציפות על R עם מחזור. נסמן: C ( S ) = Cper (R) = {f : R R רציפה x R f (x+) = f (x)} (.mx f שבמקרה הזה הוא גם מקסימום f = sup f ובעלת הנורמה f f (θ) = f ) e iθ כאשר. i,j cos i θsin j θ דהיינוניתןלרשוםאותהבאופןהבא: כפישציינוהיאבעצםהאלגברההקטנהביותרהמכילהאתcosθ,sinθ. A הסיבה היא הזהויות: n,m N cosnθsinmθdθ = π n m cosnθcosmθ = n = m n = m = וכמו כן:.5 הערות על משפט האפרוקסימציה של Weierstrss פרק זה הוא בלי הוכחות, אלא רק קצת טעימה היסטורית. שאלה איכותיות שאפשר לשאול היא: כמה טוב אפשר לקרב פונקציה רציפה נתונה ע י פולינומים ממעלה n. d n = inf degp n f p = dist(f,p n) = dist(f,b R (P n )) f R = מכיוון שאם f g > אז (הכוונה ב p n היא מרחב הפולינומים ממעלה n). השיוויון בסוף, הכוונה לרדיוס. g f g f > f משפט.d n Weierstrss מכיוון ש P n מרחב סוף מימדי, אזי p.d n = min f כלומר קיים p n כך ש degp n n כך ש. f p n = d n p P n נסמן: (מקומפקטיות כדורים ב P). n משפט.5. צ בישב p n הוא יחיד. מכיוון שהוא יחיד הוא הופך ליותר מעניין. הוא מתאפיין ע י התכונה הבאה: קימות נקודות: x < x <... < x n+ כך ש f (x i ) p(x i ) = ( ) i d או i+ ( ) לכל n+ i ) כאשר.(p = p n כלומר הוא חותך את הפונקציה n פעמים.. f (x i ) p(x i ) d בפרט ממשפט ערך הביניים ) i. y <... < y n f (y i ) = p(y כלומר הפולינומים המיטביים יהיו פולינומי אינטרפולציה. דוגמה.5. למשל קירוב של x n ע י פולינוים ממעלה > n. הפולינום הזה ) n p) נקרא פולינום צ בישב. נסמן.T n = x n p n ויתקיים n. T ומסתבר כי.T n (cosθ) = cosnθ

19 פרק 3 מערכות אורתונורמליות 3. מרחבי מכפלה פנימית יהי V מרחב וקטורי מעל R. הגדרה 3.. מכפלה פנימית על V היא תבנית V( V R, ( עם התכונות הבאות:.x,x,y V ו:,b R לכל (x +bx,y) = (x,y)+b(x,y) (כלומר: x לינארית ב (x,y). (x,y +by ) = (x,y )+b(x,y ) ( ). (x i ),(y i ) = n x i y i i=. סימטרית: (y,x). x,y V (x,y) = מ ו נובע כי: לכל,b R ולכל.x,y,y V.x ושוויון מתקיים אם ם = x V לכל (x,x).3 לזוג ((, ),V) נקרא מרחב מכפלה פנימית. דוגמה R n 3.. עם המכפלה הפנימית האוקלידית: הערה 3..3 מכפלה פנימית בקונטקסט מרוכב: V מרחב וקטורי מעל C, מכפלה פנימית מרוכבת על V היא תבנית V V עם התכונות ו 3 כאשר במקום נדרוש הרמיטיות: (y,x).(x,y) = ולכן לינאריות במשתנה השני תהפוך להיות: (x,y +by ) = (x,y )+b(x,y ) ((x i ),(y i )) = x i y i דוגמה C n 3..4 עם המכפלה הפנימית: בקורס בעיקר נעסוק במכפלה פנימית מעל R אבל הדברים יהיו נכונים תחת C בהינתן מודיפיקציות קטנות. 3.. תכונות ((, ),V) מרחב מכפלה פנימית. נגדיר את הנורמה המושרה ממנה כ: x = (x,x) 8

20 9 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ נבחין כי מתקיים: λ R λx = λ x משפט 3..5 אי שיוויון קושי שוורץ x,y V (x,y) x y הוכחה: זה ברור אם = x או =.y נניח.x,y. x = y = אפשר להניח בה כ ש: y y ו: x x ע י מעבר ל יהי α R נבחין כי: x+αy = (x+αy,x+αy) = (x,x+αy)+α(y,x+αy) = (x,x)+α(x,y)+α (y,y) = x +α(x,y)+α y = +α(x,y)+α ומהגדרת הנרומה למעשה רשום כאן: (x,y) +(x,y) (x,y) נבחר (x,y) α = (זהו למעשה המינימום של הפרבולה) ונקבל: מסקנה 3..6.y = λx או x = λy כך ש λ R תלויים לינארית. כלומר קיים x,y אם ם (x,y) = x y מסקנה V מגדיר נורמה על x x הוכחה: נותר לבדוק את אי שיוויון המשולש.כלומר: x + y. x+y נראה ש: x+y ( x + y ) x+y = (x+y,x+y) = x +(x,y)+ y x + x y + y נבחין כי: ונשים לב ש: x + y x+y = אם ם y = λx כאשר λ או =.x x y = x + y (x,y) אינטרפרטציה גיאומטרית: ( (x,y) מאי שיוויון קושי שוורץ). x y cosθ = (x,y) x y נגדיר את הזווית θ בין x ל y להיות θ π כך ש ממשפט הקוסינוסים אנו באמת נקבל: x y = x + y x y cosθ

21 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ x+y + x y = ( x + y ) שוויון המקבילית: נבחין כי מהפיתוח של אי שיוויון המשולש, ושל משפט הקוסינוסים באמת נקבל את הנדרש. תרגיל: להפך, אפשר להראות שאם שוויון המקבילית מתקיים במרחב נורמי (,V) אז קיימת מכפלה פנימית יחידה על V כך ש את האילוץ. =. x (x,x) ( ) הערה 3..8 למשל R n, x i,l n הנורמה לא באה ממכפלה פנימית. (אותו דבר לגבי C(K) אם >. K i= למה 3..9 המכפלה הפנימית רציפה (כפונצקיה V) V R כלומר, אם x n x ו: y n y אז: (x,y).(x n,y n ) הוכחה: (x n,y n ) (x,y) = (x n x,y) (x n,y y n ) (x n x,y) + (x n,y y n ) x n x y + x n y y n x n x y + x n x + x y n y }{{}}{{}}{{} ולכן הכל שואף ל. כנדרש. דוגמה l 3.. מרחב הסדרות האינסופיות { n} של מספרים ממשיים כך ש < n. עם המכפלה הפנימית: (( n ),(b n )) = n b n ( n b n ) ( n )( b n ) צריך להוכיח: l. הוא מרחב וקטורי.. ), ( מוגדרת היטב, כלומר n b n מתכנס. 3. מכפלה פנימית, קושי שוורץ: ע י מעבר לגבול באי שוויון קושי שוורץ הקלאסי. מקבלים בדיוק כמו קודם ש: (n b +b n ) n + n (f,g) = f (x)g(x)dx דוגמה ([ 3..,])C עם המכפלה הפנימית:

22 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ.f ברור כי זה רק כאשר (f,f) =. f = ברור כי זה בי לינארי. וכמו כן: f (x)dx f (x) dx f ומתקיים שהנורמה הנ ל: ההבדל בין ([,])C (עם נורמת המקסימום) לבין ([,]) CL אותו מרחב וקטורי. f = f (x) dx f f לכן, אם f n f ב C([,]) אז גם f n f ב ([,]).CL כלומר ([,]) C([,]) Id CL העתקת הזהות f f היא רציפה. אבל הכיוון ההפוך אינו נכון. n f ולכן n f במ ש. n f אז n f ב CL אבל לדוגמה: n במרחב מכפלה פנימית f + g f +g = אם ם f = f וכאשר או =.f לעומת זאת ב C([,]) אם f,g כך שקיים [,] x כך ש f (x ) = mxg,f (x ) = mxf אז = ) f (x ) + g(x. f +g = f + g 3. וקטורים אורתוגונלים ומרחב ניצב הגדרה 3.. בהינתן ), ),V מרחב מכפלה פנימית, שני וקטורים u,v V נקראים ניצבים (אורתוגונלית) אם =.(u,v) הגדרה 3.. אם B V תת קבוצה נגדיר: } = (u,v).b {v V u B זהו המרחב הניצב לB. 3.. תכונות.(u B לכל (u,v) אז = u B לכל (u,v n ) = ו: v n v) הוא תת מרחב סגור B.(u אם u > (כי B B {} spnb = B U V תת מרחב { n } U = λ i u i : λ,...,λ n R, u,...,u n B i= B = (spnb) B = B ( spnb ) = B אם B B אז B.B

23 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ 3.. מערכת אורתוגונלית הגדרה 3..3 מערכת אורתוגונלית היא קבוצה {}\V A המורכבת מוקטורים אורתוגונליים בזוגות. הגדרה 3..4 מערכת אורתונורמלית היא מערכת אורתוגונלית המורכבת מוקטורי יחידה.. u = { } v. אפשר לעבור ממערכת אורתוגונלית A למערכת אורתונורמלית ע י v v A i {}}{ דוגמה ) 3..5,,( n l n = R שהמכפלה היא: x i y i כאשר,...,,..., = i e אז } n {e,...,e מערכת אורתונורמלית. ( n b n,= אזגםכאן{ {e n מערכתאורתונורמלית. l = { { n } מרחבמכפלהפנימיםתעם( דוגמה } 3..6 < n דוגמה 3..7 דוגמה יותר רלוונטית לקורס היא: ([,]) {cos(nx) : n =,,,...},CL מערכת אורתוגולנית. למה 3..8 כל מערכת אורתוגונלית A היא בלתי תלוייה לינארית. כלומר לא קיימים u,...,u n A ו λ,...,λ n R לא כולם אפס כך ש: λ u +...+λ n u n = הוכחה: נניח בשלילה ש: = n.λ u +...+λ n u אז לכל i =,...n מתקיים: = (λ,u +...+λ n u n, u i ) = λ (u,u i )+...+λ n (u n,u i ) = λ i (u i,u i ) ( λ i u i = λ u i, ) λ i u i = i= וזה גורר כי = i.λ (מעבר אחרון: = ) j (u i,u אם.( i j λ i λ j (u i,u j ) = i,j= i= אם A מערכת אורתונורמלית אז: λ i כאשר.u,...,u n A,λ,...,λ n R טענה 3..9 נניח } n {u,...,u מערכת אורתונורמלית סופית..v V אז u := (v,u i )u i U היא קרובה ביותר לv בU. כלומר: v u v < u לכל u u U ו: U.u v u v = v (v,u i ) הוכחה: נראה ש } n.u v U = {u,...,u (u v,u i ) = (v,u j )u j v,u i = (v,u j )(u j,u i ) (v,u i ) = (v,u i ) (v,u i ) = j= j= u v = u u+u v }{{}}{{} U U = }{{} משפט פיתגורס u u + u v u v אם u U אז:

24 3 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ האחרון הוא שוויון אם ם u. = u i לבסוף, נבחין כי: v u = (v u,v u) = (v,v)+(u,u) (u,v) = v + (v,u i ) (u,v) }{{} u ( ) (u,v) = (v,ui ),u i,v = (v,u i )(u i,v) = (u i,v) i= אבל נבחין: מסקנה 3...{u,...,u n } ולכל מערכת אורתונורמלית v V לכל (v,u i ) u זה נקרא אי שוויון בסל. הוכחה: הראינו בטענה הקודמת כי עבור u שהוגדר בטענה מתקיים: v v,u j = u v j= לכן פשוט מהעברת אגפים נקבל: v,u j v j= 3.3 סדרות מוכללות הגדרה 3.3. סדרה מוכללת: תהא I קבוצת אינדקסים (מעוצמה כלשהי) כלשהי ותהא: x : I R x} i } i I כאשר הביטוי מוכללת נובע מכך ש I לא בהכרח בן מנייה. הערה 3.3. זוהי למעשה סדרה מוכללת מהצורה הגדרה סכום סדרה מוכללת: נרצה לתת משמעות לביטוי הסכום של הסדרה x i, לשם כך נגדיר: i I { } x i = sup x i : F I, F < i I i F הערה הנ ל יכול להיות גם אינסוף שכן מדובר בסופרמום של קבוצה שאיננה בהכרח חסומה. דוגמה אם I = N אז נקבל כי: x i = i I x n

25 4 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ i I אזי, הקבוצה: 3.3. תכונות טענה x i < סדרה כך ש {x i } i I תהא {i I : x i } שהינה למעשה התומך של הסדרה היא בהכרח בת מנייה (יכולה להיות סופית). הוכחה: נניח בשלילה כי הנ ל לא נכון ונשים לב כי: { {i I : x i } = {i I : x i > } = i I : x i > } n אם הנ ל כאמור איננה בת מנייה אז היה קיים n (קבוע) כך שעבורו: {i I : x i > n } איננה בת מנייה ובפרט אינסופית. מכך לכל k N היינו מקבלים כי לכל קבוצה: } F {i I : x i > n, F = k x i > k n i F היה מתקיים:. i I אולם זהו ביטוי שאיננו חסום וזוהי סתירה להנחה כי < i x תרגיל: להרואת שהתכנסות במובן: < x באופן הבא: A := x ( x ) A x x שקולה להתכנסות: נאמר ש.x = x A אם לכל > ε קיימת F A סופית כך שלכל F S סופית: x x < ε S A (בפרט, ההגדרה השניה < x ( A אם x מתכנס אז } { A x היא בת מניה. A כעת נניח V מרחב נורמי, נרצה לדבר על טורים מהצורה v α כאשר A v V A (לא כל כך שימושי). הגדרה התכנסות בהחלט: < v הגדרה התכנסות: נאמר ש v מתכנס לv אם לכל > ε קיימת F A סופית כך שלכל F S סופית: x v < ε S A A

26 5 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ הערה באופן כללי, התכנסות בהחלט לא גוררת התכנסות. אם V שלם(מרחב באנך) אז כן יש גרירה. לא מתכנס. n N n l l f = { { n } (מרחב סדרות סופיות) } דוגמה 3.3. נעתן לקחת נקח את u n שלנו להיות אפסים, פרט לאיבר הn שיהיה n נקבל כי: < n u אבל הערה 3.3. התכנסות לא גוררת התכנסות בהחלט אפילו אם V מרחב מכפלה פנימית. דוגמה 3.3. למשל:,...) n { n } : n < =) l u n = (,..., ( (כלומר האיבר הn י הוא n כל היתר אפסים). לכן:,...) 3 (,, = n u מתכנס, אבל = n u הערה v יחיד אם הוא קיים. A עבור טורים ממשיים מתקיימות התכונות הרגילות:. (x +y ) = x + y (בהנחה ששניים מהם מהם מתכנסים, אז גם השלישי).. אם x מתכנס ולכל F A סופית מתקיים x y אז: x y. A F הערה עבור v,v,... V אז: v n מתכנס i n v היא סדרה מתכנסת(סדרה שהאינדקס שלה הוא.(n i= n N אבל ההפך לא נכון באופן כללי (אפליו עבור V). = R הערה אם v מתכנס אז } A { A v בת מנייה. A } { A v היא סופית) (קל לראות שלכל n: הערה אם A} {u α מערכת אורתונורמלית אז לכל (v,u ) < :v V A (v,u ) v A וזה נובע מאי שיוויון בסל. לכל F A סופית אז: A(v,u ) = F A (v,u ) v F וזה גורר: שאלה: האם (v,u A u( מתכנס בV? והאם הוא מתכנס לV עצמו? A 3.4 מערכות אורתונורמליות שלמות משפט 3.4. בהינתן (,),V מרחב מכפלה פנימית. התנאים הבאים שקולים עבור מערכת אורתונורמלית {A u}: V = spn{u A} כלומר: V צפוף ב spn{u A}.. x V x = (x,u )u (פתוח של x לפי המערכת A ({u A} x,y V (x,y) = (x,u )(u,y).3 A x V x = (x,u ).4

27 6 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ במקרה זה אומרים ש {A u} היא מערכת אורתונורמלית שלמה. x (x,u )u = x (x,u ) F F הוכחה: 4 : נבחין כי: לכל F A סופית. לפי הנחה, לכל > ε קיימת קבוצה F A סופית כך ש: x F (x,u ) < ε x S (x,u ) < ε וזה גורר כי לכל F S סופית מתקיים: x (x,u )u = x (x,u ) < ε S S ולכן: ולפי הגדרת הסכום, זה אומר ש: x = (x,u )u (x,y) = x+y x y = x+y x y 4 כנדרש. 3 :4 ברור. 4 3: ע י זהות הפולאריזציה: אבל הסכום F} (x,u )u spn{u x : ברור. לכל > ε קיימת F A כך ש (x,u )u < ε F F.spn{u A} נותר להראות :4 לכל > ε קיים A} u spn{u כך ש x u < ε (לפי הנחה). נרשום: u = F λ u ε > x u x F כאשר F A סופית. לפי טענה קודמת (x,u )u = x (x,u ) F (אנו משתמשים בעובדה שהקרוב הטוב ביותר ל x כ: F} spn{u הוא: (x,u )u.( וזה גורר ש: x (x,u ) < x (x,u ) < ε A F ולכן: ). x (x,u אבל מצד שני אנו יודעים כי: ) x (x,u מאי שיוויון בסל. A A

28 7 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ כלומר, קבלנו את תנאי 4. האם קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה? במקרה של מימד סופי, אנו יודעים שכן, אנו עושים הליך גרם שמידט על בסיס ומקבלים זאת. אבל האם זה קיים למרחב מכפלה פנימית ממימד אינסופי? {u n } של וקטורים אורתונורמלים (בשביל לבנות את n+ u נבחר } n v / spn{u,...,u ונקח אין בעיה לבנות סדרה.u n+ = v n (v,u i)u i i=... אם {u n} מערכת שלמה, מה טוב. אחרת: נתבונן ב:.U = spn{u n } V אם קיים U אז אפשר להמשיך את התהליך. אבל כאן ניצבת לנו בעיה, אנו לא בהכרח יודעים אם יש לנו וקטור ניצב לסגור. הערה 3.4. המערכת לא חייבת להיות בת מניה, זה סתם תיאור של אלגוריתם. באופן כללי, ייתכן ש = U עבור.U V אם V מרחב הילברט (מרחב מכפלה פנימית שלם) אז מובטח שלכל U V סגור מתקיים U. דוגמה l f (מרחב הסדרות הסופיות { n } כך ש = n עבור.(n המכפלה הפנימית היא: (( n ),(b n )) = n b n U = { n } n n }{{} (( n),(b n)) = נקח תת מרחב: Λ({ n }) = nn הערה U הוא גרעין של Λ כאשר: Λ : l f R כאשר l f ע י העתקה ι ואם נרכיב את ι על Λ נקבל. זה נקרא מרחב מקו מימד. U משוכן ב n n n n = π { n } 6 U סגור כי: למה = U למרות ש U V סגור? ( n,b n ) כך ש = n > N עבור b n עם תומך סופי, נניח = b }סדרה i } באופן ישיר אם.U = R { n} ב l עצמו, l k לכל.( n ) U.U אבל הסדרה הזאת אינה ב n =,...,N,b n = c n N ( ) nn ( n ) N,(b n) N לכל ( n ) N כך ש = =

29 8 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ U = { } { n } n = הערה אם היינו לוקחים את U להיות: לא תת מרחב סגור. למעשה U צפוף ב l. f תהי n} {b סדרה ב l f כלומר:,,,... N.b,...,b נקח את הסדרה: bi {c n } = b,...,b N, k,..., bi k,,... {b n } {c n } k ) bi = (,...,, k,..., bi k,,... bi = k k ונקבל כי: טענה אם V מרחב הילברט אז ל V יש מערכת אורתונורמלית שלמה. הוכחה: לפי הלמה של צורן קיימת מערכת אורתונורמלית מקסימלית ביחס להכלה {A u} (איחוד של שרשרת של מערכות אורתונורמליות היא מערכת אורתונורמלית). נסתכל על A}.U = spn{u אם U = V אז A} {u מערכת שלמה. אחרת (כלומר (U V אזי:.U אם U uכאשר = u אז A} {u } {u מערכת אורתונורמלית יותר גדולה, בסתירה למקסימות של A}.{u נותר להוכיח שבמרחב הילברט אם U V אז.U טענה קושרה: טענה אם V מרחב מכפלה פנימית ו U V תת מרחב שלם (למשל אם V מרחב הילברט וU סגור). אז לכל v V קיים u U יחיד כך ש. v u = min v u U u d(v,u) = inf u U v u ו: U v u הוכחה: הוכחה\יוכח בתרגול. הרעיון של ההוכחה בגדול הוא: נקח u n U כך ש d(v,u). v u n מראיםמשיוויון המקבילית ש: u n סדרתקושי. ואז ברור ש: d(v,u). v limu n = זה מראה קיום של u כנ ל ויחידות היא משוויון המקבילית. והתכונה U v u אם u) u U (u,v אז: u min v u+λu < v (כאשר (λ R וזו סתירה. בפרט, אם U V סגור אז U בהנחה ש V מרחב הילברט. x ((x,u )) A בהינתן מערכת אורתונורמלית שלמה A}.{u אזי: } l A {(x = ) A x < A לכל קבוצה A היה לנו: כאשר.x R אנו יודעים כי: x =. כלומר, קיבלנו פונקציה: V ι l A (x,u ) A }{{} (x,u )(y,u )=(x,y) A

30 9 תוילמרונותרוא תוכרעמ.3 קרפ שהיא לינארית, והיא גם איזומטריה (כלומר, המכפלה הפנימית ב V וב: l A קשורה ע י ι. x V ι(x) l A = x V בפרט, ι חח ע. u e. { {x } A התמונהשלι היא צפופהב.l A למה? כי היאמכילה אתכל הסדרותהסופיות l A } סופית{ { x x} } A { אבל הspn הנ ל הוא מערכת { } סופית{ { x b = = spn{e } A = (b) e נשים לב כי: כאשר אחרת {x } A { צפוף. אורתונורמלית שלמה ב l A ולכן } סופית{ { x אם בנוסף V מרחב הילברט אז ι היא על. x) ) A נרצה להראות כי: x u מתכנס ב V. ואת זה אנו יכולים להבטיח כי V מרחב הילברט. לכן אנו יכולים אם l A להגיד כי } { A x היא בת מניה. לשם הפשטות נניח A = N ואז: x n u n N x n u n n=n = N n=n x n < ε היא סדרת קושי כי: עבור N מספיק גדול. ולכן x n u n מתכנס.

31 פרק 4 מרחב H([,b]) עד כה דיברנו על מרחבים כלליים, כעת נקצה לדון ספציפית ב ([,b]) CL אשר כבר דנו בו מעט. CL ([,b]) = {f [,b] בקטע { fרציפה (f,f ) = b עם המכפלה הפנימית: f (x)f (x)dx הוא לא מרחב הילברט כיוון שהוא לא שלם. נסתכל על המרחב:.h([,b]) h([,b]) = {f : [,b] R רימן { fאינטגרבילית (f,f ) = b עם המכפלה הפנימית : f (x)f (x)dx זהו מרחב יותר כללי יותר ל([,b ]), CL אבל יש בעיה קלה, הנ ל אינו מכפלה פנימית אלא רק תבנית בי לינארית. f = { x = אחרת (f,f) תמיד, אבל ייתכן ש = (f,f) למשל אם: בקטע [,].? b נרצה להבין מתי =?(f,f) כלומר, מתי: = (x)dx f [ n,b n ] כך ש: הגדרה [,b] 4..8 A נקראת ממידה אפס אם לכל > ε קיים קטעים A [ n,b n ] ו: (b n n ) < ε. 3

32 ([,b]) 3 H בחרמ 4. קרפ תכונות של מידה אפס:. מותר להשתמש במספר אינסופי של קטעים בכיסוי (לא מספיק, באופן כללי, להשתמש במספר סופי של קטעים, למשל קבוצת קנטור).. איחוד בן מנייה של תתי קבוצות ממידה אפס הוא ממידה אפס. (מכסים את הראשון ב ε את השני ב ε 4 ואז ε 8 וכו, מאחדים הכל ובסוף נקבל שזה קטן מε ). 3. כל קבוצה בת מנייה היא ממידה אפס. הערה 4..9 ההפך אינו נכון. למשל קבוצת קנטור. 4. המשלים שלקבוצה בעלת מידה אפס ב [,b] הוא צפוף. במילים אחרות,קבוצה בעלת מידה אפס לא יכולה להכיל קטע (פתוח או סגור).. N הוכחה: קל לראו תשלא ייתכן ] i N [ i,b [,] לכל ] i [ i,b כך ש < ) i (b i i= i= נשאיר את זה כתרגיל. צריך להשתמש בקומפקטיות בשביל לעבור למקרה האינסופי ) (,[,] כך ש ) i (b i אבל אם זה נכון, קיים N כך ש ) i N ( i,b [,] i= עוברים לקטעים פתוחים i,b i i= סתירה. למה 4.. התנאים הבאים שקולים עבור f אינטגרבילית רימן ב :[,b].(f,f) =. =. f מחוץ לקבוצה בעל מידה אפס (כלומר } (x) {x : f בעלת מידה אפס)..3 הקבוצה } = (x) {x : f צפופה. הוכחה: ברור כי 3: ברור מהתכונות של מידה אפס. נראה 3 : לכל חלוקה = t < t <... < t n = b נבחר ] i ξ i [t i,t כך ש = ) i.f (ξ אנו יכולים לעשות זאת בגלל הצפיפות. ואז יש לנו את הסכום רימן: f (ξ i )(t i t i ) = i= אבל כיוון שלכל חלוקה מצאנו סכום רימן מתאים לחלוקה שמתאפס נקבל כי: = (x)dx. f לבסוף נראה : לכל > εקיימת חלוקה: = t <... < t n = b כך שסכום סכום דרבו העליון שלה מקיים: sup i= [t i,t i] ( f ) (t i t i ) < ε אנו רוצים להוכיח שהקבוצה שבה f לא מתאפסת, { (x) A, = x} f היא בעלת מידה אפס. A = m= A m נבחין כי: A m = { x f (x) > } m

33 ([,b]) 3 H בחרמ 4. קרפ מספיק להוכיח ש A m בעלת מידה אפס לכל n. ממה שאמרנו קודם לכל > ε קיימת חלוקה: = t <... < t n = b כך ש: i= (t i t i ) sup [t i,t i]f < ε m sup [t i,t i]f m נשים לב שאם ] i,a m [t i,t אז לפי הגדרת :A m ניקח נקודה בחיתוך ושם f. > m מה שאומר שאת הסכום העליון אנו יכולים לחסום: ε m > (t i t i ) sup [t i,t i]f > m {i:a m [t i,t i] } (t i t i ) {i:a m [t i,t i] } (t i t i ) < ε כי מדובר על סכום של אי שליליים (הרי f). לכן: אבל ברור ש ] i A. m t] i t, כלומר לכל > ε יש כיסוי של A m ע י מספר סופי של קטעים מאורך כולל > ε. {i:a m [t i,t i] } וזה אומר ש A m בעלת מידה אפס. ומכיוון שאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה אפס היא בעלת מידה אפס, נקבל כי גם A ממידה אפס, הרי A m.a = m= תזכורת 4... באופן כללי, f היא אינטגרבילית רימן אם ם f חסומה ורציפה מחוץ לקבוצה בעלת מידה אפס.. אם [,b] C סגורה בעלת מידה אפס. אנו יכוילם להסתכל ב C פונקצייה אופיינית של C. מקיימת את התנאים של הלמה. f היא אינטגרבילית רימן כי היא רציפה מחוץ לC. (למשל C קבוצת קנטור). אבל [,] Q היא לא סגורה, לכן תנאי המשפט לא מתקיימים, כי היא לא אינטגרבילית רימן כי היא לא רציפה באףנקודה. הטענה שC סגורה הכרחיתכדי להגיד ש f רציפה על המשלים של C. הערה = 4.. [,] Q מחוץ לקבוצה בעלת מידה אפס לא גורר ש [,] Q אינטגרבילית רימן. 3. באופן כללי C, C סגורה. איננה אינטגרבילית רימן. הערה = 4..3 (f,f) אם ם f מתאפסת כמעט תמיד (כלומר } (x) {x f בעלת מידה. נניח באופןכללי ש V מרחבוקטורי ו (,) תבניםבי לינארית אי שלילית(כלומר ((v,v) נסתכל על{ = (v,v).k = {v V נשים לב שאי שיוויון קושי שוורץ עדיין מתקיים בקונטקסט זה (אותה הוכחה כמו במקרה של מכפלה פנימית). (u,v) (u,u) (v,v)

34 ([,b]) 33 H בחרמ 4. קרפ (u+v,u+v) (u,u)+ (v,v) ולכן גם אי שיוויון המשולש: מכאן נובע ש K הוא תת מרחב של V. נסתכל על V. = V K/ נגדיר יחס שקילות מעל u v,v אם.u v K מחלקות השקילות הן מהצורה: V} V = V /K := {u+k u (כל איבר כאן הוא קבוצה K}.({u+v v V הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית. נבחין כי: (u+k)+(v +K) = u+v +K נרצה להראות שזה לא תלוי בנציג בK, אבל זה נובע מכך ש K הוא תת מרחב, ולכן זה מוגדר היטב. כמו כן: λ(u+k) = λu+k שוב λ כפול איבר בK הוא עדיין איבר בK. (אם נבחר u u+k אחר אז u = u+v כאשר v K ואז = λ(u+v) λu =.(λu = λu+k ולכן: K עדיין ב λv אבל λu+λv (u+k,v +K) = (u,v) הערה 4..4 שאלו לאן שייך, נבחין כי K+. = K הפעולות מגדירות מבנה של מרחב וקטורי. נגדיר: מכפלה פנימית. זה מוגדר היטב כי אם u u ו v v נניח u = v +w ואילו v = v +w כאשר w,w K אז: (u,v ) = (u+w,v +w ) = (u,v)+(u,w )+(w,u)+(w,w ) (w,z) (w,w) (z,z) = נשים לב שאם w K ו z V אז: ולכן נקבל כי אכן: (u,v ) = (u,v) קל לבדוק כי (,) מגדיר תבנית בי לינארית על V. קבלנו מכפלה פנמית כי: (u,u) (u+k,u+k) = ומתקיים שיוויון כאשר:.u K כלומר: (u,u) = כלומר,u+K = K כלומר וקטור האפס ב V. נסתכל על: H([,b]) = h([,b]) /K (f +K,g+K) = b K פונקציות אינטגרביליות רימן שמתאפסות כמעט תמיד. אזי ([,b]) H הוא מרחב מכפלה פנימית עם המכפלה: f (x)g(x)dx

35 ([,b]) 34 H בחרמ 4. קרפ הערה 4..5 הוקטורים במרחב הנ ל הם לא פונקציות, אלא מחלקות שקילות של פונקציות כאשר יחס השקילות הוא f g אם f = g כמעט תמיד (כלומר g(x)} {x f (x) בעלת מידה אפס). אבל אנו כן נתייחס לוקטורים האלה כפונקציות למרות שזה לא מדוייק. נדגיש אם אם אנו מסתכלים על ([,b]) CL יש לנו שיכון ב h([,b]) וקיימת לנו העתקת מנה π : V V = V K/ שהיא H. אז יש לנו גם העתקת מנה ל([,b ]) K. טרנספורמציה לינארית שגרעינה v v K+ כלומר נקבל העתקה ι מ H([,b]) CL ([,b]) והיא חח ע כי אם f רציפה ו = f כמעט תמיד אז f. נחשוב על ([,b]) CL כתת מרחב של H([,b]) ע י השיכון הזה ואנו נראה כי הוא צפוף. טענה 4..6 הפונקציות הרציפות ([,b])) (CL צפופות ב.H([,b]) ראשית נראה טענה דומה עבור פונקציות מדרגה. מה זו פונקציית מדרגה? נסתכל על חלוקה של הקטע = t < t <... < t n = b,,b כאשר בכל אינטרבל בחלוקה הפונקציה קבועה. ואז: f = i [ti,t i) i= כאשר.,..., n R קל לראות שפונקציות המדרגה מהוות תת מרחב ש ([,b]) H (אם ניקח פונקציות מדרגה, ניתן לעדן את החלוקה ולקבל פונקציית מדרגה חדשה). למה 4..7 מרחב פונקציות המדרגה צפוף ב([ b.h([, i= הוכחה: נקח את החלוקה t i t i = b (חלוקה אחידה). נקח את הסכום רימן העליון ונגדיר את s n להיות פונקציית המדרגה: n s n = sup (f) [ti,t i) [t i,t i] f אינטגרבילית רימן, ולכן האינטגרל שלה הוא: b f (x)dx = i (t i t i ) i= ולכן האינטגרל: סכום רימן עליון= s n ומעצם הגדרת s n מתקיים (x) f (x) s n לכל x (חוץ מאולי b אבל אין זה משנה) ומצד שני: s n f < ε עבור n מספיק גדול (מכיוון שהסכומי רימן העליונים מקרבים את האינטגרל). נבחין כי: s n (x) sup f [,b] s n f = וזה בעצם אומר ש s n מקרבת את f, למה? כי: (s n f) dx b b sup(s n f) (s n f (x))dx sup f s n (s) f (x)dx < sup f ε }{{} sup f וזה מקרה כי s n f ב.H([,b]) כעת נחזור לטענה:

36 ([,b]) 35 H בחרמ 4. קרפ טענה 4..8 הפונקציות הרציפות ([,b])) (CL צפופות ב.H([,b]) הוכחה: מספיק להראות שאפשר לקרב פונקציית מדרגה ע י פונקציה רציפה. מרחב הפונקציות המדרגה נפרש ע י [ [t,t. כתרגיל. הרעיון הוא להראות ש ([,b]) [t,t ] CL ואז: CL ([,b]) spn { } [t,t ] ואז: פונקציות המדרגהיהיו בסגורהזה, וכיווןשהוא סגור אז גם הסגורשלפונקציות המדרגה. ומהלמההקודמת נקבלכי ([,b]) H הוא הסגור של פונקציות המדרגה ולכן: CL ([,b]) = H ([,b]) כלומר הפונקציות הרציפות הן צפופות. מסקנה 4..9 מרחב הפולינומים צפוף ב.H([,b]) הוכחה: כל פונקציה רציפה היא גבול במ ש של פולינומים (משפט ויירשטראס) אפשר לקרב את f ע י פולינום ב ([,b]) H (כי.( f ולכן: < f (b ) b]) = H ([, {הפונקציות הרציפות} {הפולינומים} מסקנה 4.. בפרט, ([,b]) H הוא מרחב ספרבילי. הפולינומים עם מקדמים רציונליים קבוצת בת מנייה צפופה ב ([,b]) H. הוכחה: כי הפולינומים הם קבוצה בת מנייה אשר צפופה ב.H([,b]) 4. התכנסות סדרות פונקציות הגדרה } 4.. n {f אינטגרביליות רימן, f אינטגרבילית רימן בקטע,[,b] נאמר ש f n f בממוצע אם [f] [f n ] (מחלקות) ב (f n f) dx כלומר: H([,b]). b הערה 4.. מיחידות הגבול, f כנ ל היא יחידה עד כדי קבוצה בעלת מידה אפס. אם f n f במ ש f f n בממוצע. מכיוון ש f (b )supf הגדרה 4..3 נאמר ש f n f נקודתית כמעט תמיד אם (x)} {x f n (x) f היא בעלת מידה אפס. ([f] נקבעת באופן יחיד). הערה 4..4 התנאי f n f נקודתית כמעט תמיד, תלוי רק ב[ f] n ו [f] (כלומר במחלקות). זה נובע מכך שאחוד בן מניה של קבוצות ממידה אפס, הוא גם כן ממידה אפס. 4.. הקשר בין ההתכנסויות מה הקשר בין התכנסות בממוצע להתכנסות נקודתית כמעט תמיד?

37 ([,b]) 36 H בחרמ 4. קרפ f n = { n x n אחרת דוגמה 4..5 (דוגמה נגדית) נתבונן ב: f n (x) dx = n f לכל x נקודתית. אבל: ולכן n f בממוצע. הערה 4..6 אם f n f כמעט תמיד ו f n חסומות במידה אחידה (כלומר ( n x [,b] f n (x) < M אז: f n f בממוצע. (לא נוכיח). הערה 4..7 גם אם f n רציפות וחסומות במידה אחידה וf f n בכל נקודה זה עדיין לא מבטיח ש f אינטגרבילית רימן. דוגמה 4..8 נסדר את הרציונלים,...} Q [,] = {n,n בסדר. נסמן: { x {n,...,n n } f n = אחרת [,] Q f n (פונקציית דיריכלה) שהיא לא אינטגרבילית רימן. המחלקה של = ] n f] אבל פונקציית הגבול אינה אינטגרבילית רימן. מה לגבי הכיוון ההפוך? נראה כי גם התכנסות בממוצע לא גוררת התכנסות נקודתית כמעט תמיד.... f 4 = { x 3 x > 3 f ( n )+i (x) =,f 3 = { x > x { i n x < i+ n,f = { x דוגמה = 4..9 x >,f ובאופן כללי: כאשר i < n. f ( n )+i (x) dx = n אבל: (x) f n לא מתכנסת לאף f n (x) =.x עבור אינסוף n ים וגם = (x) f n עבור אינסוף n ים.

38 ([,b]) 37 H בחרמ 4. קרפ הערה 4... אם f n f בממוצע אז קיימת תת סדרה כך ש f nk f כמעט תמיד. (לא נוכיח). אם f n f בממוצע וגם f f n נקודתית כמעט תמיד אז f f = כמעט תמיד. הוכחה: זה נובע מ, אבל נוכיח באופן בלתי תלוי. בה כ = f (ע י מעבר ל f )ץ n f כלומר מניחים ש dx f n (x) ו f n f כמעט תמיד. ונראה ש = f כמעט תמיד. { {x f (x) } = x f (x) > } n ממידה אפס לכל > δ. B m = {x f n (x) > } δ n m { } כלומר, מספיק להראות כי x f (x) > δ = A δ δ A (כאשר C בעלת מידה אפס)ץ m= כיוון ש f n f כמעט תמיד, B m C נראה ש B m היא בעלת מידה אפס. יהי > ε, עבור n מספיק גדול: f n (x) dx < ε = t <... < t k = b נבחר חלוקה מספיק עדינה: [t i,t i] f (x) (t i t i ) < ε δ כך ש: δ (t i t i ) f (x) (t i t i ) i [t i,t i] B m [t i,t i] נבחין כי אנו יכולים לחסום את זה גם: B m [t i,t i ] {i: [t i=,t] B m } ולכן: {i [t i,t i] B m } (t i t i ) < ε (נכון תמיד) ומתקיים: כלומר B m ממידה אפס.

39 ([,b]) 38 H בחרמ 4. קרפ 4. הערות והשלמות על המרחב H([,b]) כאמור, המרחב ([,b]) H אינו שלם. f n (x) = { lnx x n אחרת דוגמה 4.. בקטע [,]. ברור כי ([,]) H f n לכל n.כמו כן, f n היא סדרת קושי: n > m f n f m = m n (lnx) dx }{{} m אוניפורמיט ב n..δ > Hלכל ([δ,]) fב n [δ,] f [δ,] אז H ([,]) ב f n f כי אחרת H ([,]) לא מתכנסת ב f n δ f n f dx n לכל >.δ אבל f n [δ,] = lnx עבור lnx n f [δ,] = כמעט תמיד. lnx f = כמעט תמיד ב.[,] ולכן f לא חסומה כי lnε lnx (ε,) > לכל > ε. לכן היא לא חסומה על קבוצה שהיא לא ממידה אפס. ולכל > ε קיים (,ε) x כך ש.f (x) = lnx לכן לא קיימת מחלקת שקילות שמכילה את (x) f ב ([,])H. כי היא לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית רימן. הערה 4.. נבחין כי גם אם נאפשר אינטגרלים לא אמיתיים זה לא יעזור. דוגמה 4..3 לסדרת פונקציות f n בקטע [,] חסומות במידה אחידה, וסדרת קושי, אבל f n לא מתכנסת ב ([,])H. הדוגמה היא קבוצת קנטור השמנה, בדומה לבנייה של סדרת קנטור, נתחיל עם הקטע [,]: FC = [,] FC = [, 3 ] [ ] 5 8 8, נוציא קטע האמצע באורך רבע נקבל: FC = [, 5 ] 3 6 מהאמצע של כל קטע: [ 7 3, 3 ] [ 5 8 8, 5 ] 3 שוב נחזור על אותו קונספט, נוציא קטע באורך [ ] 7 3, מאמצעי הקטעים של n.fc וכו. בשלב ה n י נוציא קטעים באורך 4 n נבחין כי FC n הוא איחוד של n קטעים סגורים שאורכם r n = r n 4 n r n = n + n ונקבל כי:

40 ([,b]) 39 H בחרמ 4. קרפ = FC (כיוון ש.(FC n+ FC n היא קבוצה סגורה. נתבונן ב FC n כל אחד יחד עם השלבים הקודמים. המשלים של A של FC בקטע [,] הוא איחוד עבור,..., = n של n קטעים באורך 4 n ולכן האורך הכולל הוא: n 4 n = כלומר, המידה שנשארת היא גם חצי. FC היא קבוצה דלילה, כלומר, A צפופה. כלומר, לא ייתכן ש [,b] FC עבור b. > כי אחרת, [,b] FC n אבל אם n מספיק גדול האורכים הולכים וקטנים. FC n הוא איחוד זר של n קטעים באורך n n + ולכן [,b] FC n גורר כי [,b] מוכל באחד הקטעים הנ ל. וזה גורר כי n b n + לכל,n אבל זה שואף לאפס, לכן b כלומר לא ייתכן. אחרי כל ההקדמה, הנ ל נותן לנו דוגמה לסדרה של פונקציות שלא מתכנסת. נקח f n = FCn אז f n סדרת קושי ב ([,]) Hכי: n > m f n f m = FCm\FC n dx = FCm dx FCn dx FC m ולכן ההפרש הוא: אבל: + n dx = n r n = = ( ) + m + n = m n m ל f n אין גבול ב ([,]),H כיוון שנניח בשלילה כי f n f בקטע [,] אז: [,b] f n [,b] f לכל [,].[,b] אם ) m A = ( m,b (איחוד זר) אז לכל f n (m,b m),m עבור n מספיק גדול. B צפופה m= לכן m) f (m,b כמעט תמיד. בפרט } = (x) B = {x f צפופה ב ) m B ( m,b צפופה ב ( m,b m ) = A m= ב [,] (כי A צפופה ב [,]) = f כמעט תמיד ב [,]. (f אינטגרבילית רימן). אבל זו סתירה כי: fn = FCn = + n ולכן n.f

41 חלק II טורי וטרנספורם Fourier 4

42 פרק 5 טורי Fourier 5. פיתוח Fourier נתבונן ב: ϕ n n =,... ψ n n =,,... { ψn (x) = cos(nx) π ϕ n (x) = sin(nx) π : n ולכל > ϕ = במרחב ([,]) H כאשר: נבחין כי זו מערכת אורתונורמלית ב ([,]). H כלומר, לכל...,,, = m ו...,, = n נקבל: ϕ n (x)ψ(x)dx = וכמו כן, לכל...,, = n,m נקבל: ϕ n (x)ϕ m (x)dx = δ n,m ψ n (x)ψ m (x)dx = δ n,m לבסוף, לכל...,,, = n,m נקבל: הנ ל נובעים משיקולים טריגונומטריים. טענה 5...H([,]) היא מערכת אורתונורמלית שלמה ב ϕ n ϕ, m הוכחה: ראינו שמרחב הפולינומים הטריגונומטריים (= ) n (spn(ϕ n ψ, צפוף במרחב הפונקציות הרציפות ב[, ] כך ש = () f.(mx f נורמת (עם f () תרגיל: להראות שמרחב הפונקציות הרציפות f ב [,] כך ש () f () = f צפוף ב.H([,]) ומכאן נובע כי } m spn{ϕ n,ψ צפוף ב.H([,]) ולכן ϕ n,ψ m מערכת אורתונורמלית שלמה. 4

43 Fourier 4 ירוט 5. קרפ מסקנה 5...H([,]) ב f = כל H([,]) f אפשר לרשום בצורה: sin(n ) n cos(n )+ b n n= הערה 5..3 חשובה! s f n = n k (f)cos(kx)+ כלומר, אם.H([,]) הוא שיוויון ב (f = השיוויון הנ ל (f)sin(n )) n (f)cos(n )+ b n k= n= (f)sin(kx) n b k אז: s f n f ב,H([,]) כלומר התכנסות בממוצע. אבל כידוע לנו, התכנסות בממוצע לא בהכרח גוררת התכנסות נקודתית. ההתכנסות הנקודתית/במ ש של s f n ל f היא שאלה יותר עדינה שנחקור בהמשך. k= נבחין כי עבור > n n (f) = b n (f) = π (f,ϕ n ) = π π (f,ψ n ) = π f (x)cos(nx)dx f (x)sin(mx)dx ו: (f) = n= f (x)dx f (x) = n cos(nx)+ b n sin(nx) הנ ל נקרא פיתוח Fourier של f. להפך, בהינתן,..., ו:,... b,b אפשר להסתכל על הטור: ולשאול לאיזה פונקציה הוא מתכנס? או מה התכונות שלה. מסקנה 5..4 שיוויון Prsevl נותן לנו כי: f = ( (f,ϕ n ) + (f,ψ n ) = (f) +π n (f) +b n (f) ) = f = f (x) dx n= f = x dx = 8π3 3 דוגמה.f (x) = x 5..5

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים)

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים) תורת ההסתברות : או הסתברות ותהליכים סטוכסטים סוכם על ידי תום חן tomhen@gmail.com בדצמבר 04 שימו לב יתכנו שגיאות בטקסט עידכונים יתבצעו במהלך הסמסטר נא לדווח שגיאות ל gidi.amir@gmail.com או לחלופין שלשמור

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013 מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות 80711 אור דגמי, or@digmi.org 23 בינואר 2013 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ מתניה בן ארצי בשנת לימודים 2013. ספר לימוד של פינצ ובר רובינשטיין מבוא למד

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת השדות עוזי וישנה

מבוא לתורת השדות עוזי וישנה מבוא לתורת השדות עוזי וישנה מבוא לתורת השדות מהדורה 1.38 הקדמה. שדות הם החוגים המוצלחים ביותר: הם קומוטטיביים, וכל האברים שלהם הפיכים. המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה, ולכן אין זה פלא ששדות תופסים מקום מרכזי

Διαβάστε περισσότερα