- PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

Transcript

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר מ a נאמר כי a A תת קבוצה ויהי B מקומיות שהם בהגדרה יהיו קבועים ב. A תהי A ai או שקימת B או ש i וכן לכל an = a כך ש: A של אברים ב { a1,..., a n אם קיימת סדרה }. f ( a,..., j,.., a j ) = ai כך ש j1 jn < i מקומית וקיימים n פונקציה f F 1 n מקיים B תת קבוצה ותהי עקרון האינדוקציה על סדרה יוצרת: תהי (F (,A אלגברת יצירה ותהי A (F (,C תת האלגברה הנוצרת ע"י B ותהי Τ תכונה של אברים ב. A אם מתקיימים התנאים:. Τ מקיים את b כל B f,...,,..., i ( a1,..., an i a1 a n מקיימים את Τ אז ) a1 an אם A ולכל fi לכל כ F i i. Τ מקיימת את A היא 0 מקומית כלומר אבר ב f i את. Τ בפרט אם אז כל אבר ב C כלומר כל אבר הנצר מ B מקיים את. Τ } X { סדרה של משתנים אזי נגדיר את האלגברה F ו.{ X } i i N i i N אלגברת היצירה של פונקציות אמת: תהי באופן הבא: A היא קבוצת כל פונקציות האמת במשתנים היא קבוצת { Sub (, ) i N} i ( A, F) הפונקציות הבאה כלומר לכל i N קיימת פונקציה דו מקומית Subi היא פונקצית האמת המתקבלת ע"י ( H, G) במקום המשתנה. X i H, G A H בפונקצית האמת G Subi על A כך שלכל (, ) הצבה של פונקצית האמת. Subi ( H, G) = H מתקיים G A אז לכל X i הערה: אם הפונקציה H אינה פונקציה במשתנה B תת הקבוצה המכילה את פונקציות האמת הבאות: לכל n N ולכל n משתנים שונים תהי A. H,..., ( X i ) B הפונקציה X i Hc, n( X ולכל i,.., X ), מתקיים X i X 1 i H, (,.., ) n d n X i X 1 i B n 1 in H למשל הוא לא הערכים שהן נותנות לערכי אמת ת ( X H ל 2) הערה: מה שמבדיל בין (X1 ( במובן זה הן זהות, אלא העובדה שהן פונקציות במשתנים שונים. 1 n טענה: כל פונקצית אמת נוצרת ע"י תת הקבוצה : B ראשית תהי a= ( a,..., a ) { T, F} n סדרה של X,..., i סדרה של n משתנים שונים אזי מהאברים ב B נוכל ליצור את X ערכי אמת ותהי n 1 in H המוגדרת האינדוקציה באופן הבא: אם = F אז נגדיר הפונקציה ) X ( X,..., a1 a1 = T a i1 i n )) X H ( X,..., X ) = Sub ( H ( X,..., X ), H ( ואם נגדיר 1, a i1 in i1 c, n i1 in i1 >k אם n עבור H H k, a ( X i כעת נניח הגדרנו את ) X,..., 1, a ( X i,..., X ) 1 i = H, (,..., ) n c n X i X 1 i n 1 i a F אז נגדיר )) X H ( X,..., X ) = Sub ( H ( X,..., X ), H ( ואם k a i i i k a i i i + 1, 1 n k+ 1, 1 n k+ 1 ולבסוף נגדיר: + 1, = 1 n, 1 H ( X,..., X ) H ( X,..., X ) k a i i k a i i n נגדיר k ak n = + 1 = + 1 H יש את H a ( X i,..., X ) 1 i = H a ( X i. קל לבדוק כי לפונקצית האמת ) X,...,, (,..., ) n n a X i X 1 i n 1 in ( ) H ולפי ההגדרה של יצירה היא נוצרת מ b { T, F} n מתקיים a b = T b = a התכונה שלכל I = a { T, F} n H ( a) = T פונקצית אמת כל שהיא ונסמן H ( X,..., X ) כעת תהי. B { } i1 i n m X,..., j משתנים השונים זה מזה וכל אחד מהם שונה מכל X יהי. I = m> ונניח ראשית כי 0 1 jm B אפשר ליצור מ H,..., d, m( X j,..., X ) קל לבדוק כי מהפונקציה. X i אחד מהמשתנים X 1 j m B 1 in. I = { a H שוב קל d, m( H a ( X i,..., X i ),..., H 1,..., a m. כאשר } a ( X i,..., X i את הפונקציה (( 1 1 n m 1 n T

14 I H ( X,..., X ) = H ( H ( X,..., X ),..., H לבדוק כי )) X ( X,..., כעת נניח כי i1 in d, m a1 i1 in am i1 in. B H ( X,..., X ) i1 i n ריקה אז ברור כי שווה למשל לפונקציה: )) X H ( H ( X,..., X ), H ( H ( X,..., הנמצאת ב c,2 c, n i1 in c, n i1 in A נניח כי כל איבר ב A שתי תת קבוצות של,B טענה: תהי (F (,A אלגברת יצירה כלשהי ויהיו C נוצר ע"י B אז אם כל איבר ב B נוצר ע"י C אז כל איבר בA נוצר ע"י C. a,...,,..., i האברים בסדרת היצירה הוכחה: יהי a איבר ב A ותהי a1 an סידרת יצירה שלו יהיו a 1 ik שאינם קבועים ואינם נוצרים מקודמיהם כלומר הם חייבים להיות מהקבוצה B לכן לכל אחד מהם יש סדרת יצרה מ C. החלף כל אחד מאברים אלו בסדרת היצירה המתאימה לו קל לבדוק כי קיבלנו סידרת יצירה ל a מ C. { ( i, j ), ( i ) } נחזור לאלגברת היצירה של פונקציות האמת. ונגדיר =C H X X H X i j N כדי להראות כי כל פונקצית אמת נוצרת מ C לאור הטענה הקודמת מספיק להראות כי כל פונקצית אמת ב B נוצרת מ.C ראשית יש את שוויון ) X. H ( H ( H ( X ), H ( X ))) = H ( X, ולכן לכל זוג i j i j משתנים ) X H ( X, נוצרת מ C. כעת נראה כי לכל n משתנים שונים פונקצית האמת H נצרת מ C וזה נובע מהשוויון: d, n( X i,..., X ) 1 i n H, ( X,..., X ) = Sub (...( Sub ( H ( X, X ), H ( X, X ))...), H ( X, X )) d n i1 in in 1 i2 i1 i2 i2 i3 in 1 in { ( i, j ), ( i H דומה. תהי } ), ההוכחה עבור ) X ( X,..., D= H X X H X i j N ותהי c n i1 i n { ( i, j ), ( i ) } E= H X X H X i j N אזי מהשוויונות הבאים: H ( X, X ) = H ( H ( H ( X ), H ( X ))) H ( X, X ) = H ( H ( X ), X ) i j i j i j i j n n. X יוצרות את כל,D ומהטענה למעלה נקבל כי גם הקבוצות E n { Y} i i N i קשרים לוגים(שאלה 9): יהיו קשר לוגי מקומי הוא פונקציה מקומית ב ) Y )c Y,..., מקבוצת הפסוקים לעצמה אשר קיימת עבורו פונקצית אמת n מקומית: משתנים שונים H c אם הקשר c i1 i1 j i1 i n הוא במשתנים הנ"ל נתאים לו את פונקצית האמת : ) X. H ( X,..., כלומר יש לנו העתקה מקבוצת. כעת לא קשה { X } i i N { Y} i i N הקשרים הלוגים במשתנים לראות כי לכל לקבוצת פונקציות האמת במשתנים c d קשרים לוגים במשתנים כלשהם ויהיו H, H פונקצית האמת המתאימות להם c, d Subi הוא קשר לוגי ופונקצית האמת ( c, d) מתקיים Y i במשתנים המתאימים. אז לכל משתנה המתאימה לו היא ) H. Sub ( H, כאשר פונקצית ההצבה על קשרים לוגים מוגדרת באופן דומה. נראה כי הקבוצה { Y} i i N i c d להצבה של פונקציות אמת רק מתייחסת לקבוצת המשתנים { c ( Yi ), c ( Yj, Yi היא שלמה נוכיח באינדוקציה על היצירה של פונקציות אמת ) i j N} { H ( X i, X j ), H ( X i ) i j N} { X i } i N כי לכל פונקצית אמת H במשתנים מהקבוצה,..., 1 H סידרת אפשר לבנות קשר לוגי במשתנים המתאימים שזו פונקצית האמת שלו. ולכן תהי Hn יצירה ל H אם ) X H = H ( X ) H = H ( X, אז ברור שיש קשר שזו פונקצית האמת n i k m n i n i j X i כך ש,k וקיים משתנה m< שלו אחרת קיימים n קיימים קשרים לוגים c, c במשתנים הנכונים המתאימים ל ) H H = Sub ( H, לפי הנחת האינדוקציה. H ולכן לפי הרשום למעלה. m, H k. H n נקבל כי לקשר cm) Subi ( ck, מתאימה פונקצית האמת Hm) = Subi ( Hk,, במקום ההוכחה עבור קבוצת הקשרים האחרות מתקבלת מהוכחה זו ע"י הצבה של m k

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26 תרגיל 3 במבוא ללוגיקה קריאה יחידה בתחשיב הפסוקים: אלגברת יצירה Α היא זוג (F (,A כאשר A קבוצה לא i F = { f קבוצה של פונקציות כך שלכל i קיים טבעי כך ש f היא ריקה ו {I i n i A n i ל. נרשה גם פונקציות 0 מקומיות שהם בהגדרה יהיו קבועים A מקומית מ n i פונקציה a נאמר כי a נוצר מ B אם קיימת סדרה ב. A תהי B A תת קבוצה ויהי A f F או שקימת a B של אברים ב כך וכן לכל או { a,..., a } i i an ש = a ש: A 1 n ),.., a. f ( תת-אלגברה,..., j a כך ש j1 jn פונקציה n מקומית וקיימים < i 1 j = a n i ), CF ( של Α היא תת קבוצה C A הסגורה תחת הפונקציות (והקבועים). a. הוכיחו כי לכל תת-קבוצה B A קיימת תת-אלגברה מינימלית המכילה את. B לאלגברה זו נקרא האלגברה הנוצרת ע"י. B נניח כעת כי האלגברה A נוצרת ע"י תת קבוצה, B נאמר כי היא נוצרת באופן חופשי אם a n= m, ו B אז a = f( a,..., לכל a A אם מתקיים: ) b a ) = g( b,..., Φ= כלומר נבנה באופן יחיד. C) ( A, כאשר a 1 n 1 i i m a = b מתקיים 1 i וגם לכל n i f = g =L קבוצה של סימנים (פסוקים אטומים) נגדיר אלגברה { P α } α Λ תהי { P α A היא קבוצת כל הביטויים מהקבוצה },,,, {(,), } c ( a, b) = ( a b), c ( a) = ( a) אז: ab, כאשר אםA F = { c, c, c, c, c ו } (הסימון שונה מתרגיל 2). L= { P α } α Λ Φ הנוצרת ע"י C) Ψ= ( B, של הוכיחו כי התת-אלגברה. b היא נוצרת חופשית מ. L הדרכה: הראו ראשית שלכל פסוק ב B מספר הסוגרים הימניים שווה לשמאליים ובכל רישא שלו, שאינה הכל, מספר הסוגרים השמאליים גדול ממספר הימניים. הסיקו כי רישא של פסוק B היא לא פסוק ב. B M להיות פונקציה מקבוצת הפסוקים האטומים לקבוצת ערכי האמת ונסמן: נגדיר מודל ϕ B ראינו כי אפשר להרחיב פונקציה כזו לקבוצת כל הפסוקים. יהי. M : L { T, F} נגדיר T}. Mod( ϕ ) = { M : M ( ϕ ) = נאמר כי ϕ שקול לפסוק ψ ונרשום ϕ ψ אם. Mod( ϕ) Mod( ψ ) אם ϕ ψ ונסמן ϕ נובע מ ψ נאמר כי. Mod( ϕ ) = Mod ( ψ ) נאמר כי ϕ היא טאוטולוגיה אם (ϕ Mod( היא קבוצת כל המודלים לשפה ונסמן ϕ. אם (ϕ Mod( היא ריקה נאמר כי ϕ היא סתירה. הוכח את הטענות הבאות:.ψ ϕ וגם ϕ ψ אם"ם χ ψ. a.ϕ χ אז ψ χ וגם ϕ ψ אם.b.ϕ ( ψ 1 ψ ϕ ψ אם "ם 2) 2 ϕ ψ 1 וגם. c. ( ϕ1 ϕ2) ψ אם"ם ϕ 2 ψ וגם ϕ 1 ψ. d יהי ϕ פסוק הראה כי הטענות הבאות שקולות :. e. ϕ. i.ψ ϕ מתקיים ψ לכל. ii. ϕ ϕ. iii ϕ הוא סתירה.. iv. ψ ϕ וגם ψ ϕ כך ש ψ קיים פסוק. v נניח כי L היא אין סופית הוכח כי לכל פסוק שאינו סתירה יש אין סוף f. מודלים. נניח כי L סופית והראה כי קיים פסוק ϕ שאינו סתירה אבל לכל ψ אם g. ϕ ψ אז ϕ ψ או ש ψ סתירה. האם הסעיף נשאר נכון אם נניח ש L היא אין סופית.. h.1.2

27

28

29

30

31

32

33

34 PDF created with pdffactory trial version

42

43

44

45 תרגיל 5 במבוא ללוגיקה תהי } < { =L שפה המכילה סימן יחס דו מקומי יחיד. (נניח כי בכל שפה יש גם את סימן השוויון ). עבור כל תת קבוצה של הקבוצה של ארבעת הנוסחאות הבאות מצאו מבנה מתאים ל L המקיים את הנוסחאות בתת קבוצה אך לא מקיים את הנוסחאות בתת הקבוצה המשלימה. (סה"כ יש למצוא 16 מבנים) ( (( ) ( ))) ( ) ( ) x y x< y x= y x( y( y< x x= y )) (( ) (( ) ( ))) x y( ( x y) ( y x) ( x y) ) x y x< y z x< z z< y < < =,A מבנים מתאימים לשפה יהיו (B )L,(A )L השפות המתקבלות ע"י תהי שפה L ויהיו B Π : A B בהתאמה. כעת נניח כי קיימת העתקה A, הוספה ל L שם לכל איבר ב B שהיא חח"ע ועל המקיימת את התנאים הבאים: 1) לכל סימן פונקציה n מקומי f L ולכל. Π ( f a,..., A( a1,..., an )) = fb ( Π( a1 ),..., Π( an מתקיים (( 1 an A,..., 1 a מתקיים an A ולכל p 2) לכל סימן יחס n מקומי L p ( a,..., a ) = T p ( Π( a ),..., Π ( a )) = T הוכח כי A 1 n B 1 n Π מקיימת את התנאים הנ"ל כאשר מחליפים את A ב B ואת 1 : B A העתקה.a a,..., 1 an a,..., 1 an 1. Π ב Π i,...,,..., a שמות של האבירים i ולכל x1 xn במשתנים t לכל שם עצם b. 1 an ב A מתקיים: ])) i. Π ( A( t [ i,..., i ])) = ( B( t [ i,..., x1,..., xn a1 an x1,..., xn Πa1 Πan i Πa L( B) אך ia. (שימו לב A) L( ( B( iπ a =Πa ) כאשר i,..., a שמות של האבירים i 1 an,..., 1 x ולכל xn במשתנים ϕ לכל נוסחה. c ב A מתקיים:. A( ϕx,..., x [ ia,..., ia ]) = T ( B( ϕx,..., x [ iπa,..., iπa ])) = T 1 n 1 n 1 n 1 n.a.b.c.d.1.2 b היא על B הראה כי אם בשאלה 2 סעיף c נשאר נכון? מורידים את ההנחה ש Π סעיף נשאר נכון. האם.3 Π : A B ואשר עבורם קיימת העתקה L המתאימים לאותה שפה A, לשני מבנים B המקיימת את תנאי שאלה 2, נקרא איזומורפייםולהעתקה Π ביניהם נקרא איזומורפיזם. תהי } < { =L שפה. לכל אחת מהקבוצות למטה נתאים את המבנה שזוהי קבוצתו והמפרש את סימן היחס < ב L כיחס הסדר הרגיל. עבור כל זוג ממבנים אלו קבע אם הוא זוג של מבנים איזומורפיים או לא, במידה והמבנים איזומורפיים רשום את האיזומורפיזם במפורש במידה ולא הסבר. m 1. N 2. Z 3. Q 4. R 5. m Z 6. ( 0,1) R 7. { q Q q > 0} 2.4

46

47

48

49

50

51

52

59 תרגיל 6 במבוא ללוגיקה f, c תהי R} { c, f, =L שפה שבה R הוא סימן יחס דו מקומי סימני פונקציה 0 ו 1 מקומיים בהתאמה. עבור כל אחד מהנוסחאות הבאות קבע אם הן נכונות בכל מבנה המתאים לשפה או אם הן לא נכונות בכל מבנה. אם לא מתקיימת אחת משתי האפשרויות מצא מבנה שבו הנוסחה נכונה ומבנה שבו אינה נכונה. x Rxc y Ryc.a ( ( )) ( ( )) ( x( Rxx) ) ( x ( Rxx) ) ( x( fx= c) ) ( x ( fx= c) ) ( ( )) ( ) ( ) (( x y fy= x ) x( Rfxfx) ) x( Rxx) x y( Rxy) y x( Rfxfy),A מבנים המתאים ל L נרחיב את השפה לשפות (B. )L,(A )L נאמר תהי L שפה ויהיו B כי B הוא תת מבנה של A אם מתקיימים התנאים הבאים: 1) A B כלומר העולם של A מכיל את העולם של. B ולכן נניח כי A) (2 L( B) L( לכל f L סימן פונקציה n 0 R סימן L לכל (3. f מתקיים b,..., B ( b1,..., bn ) = f A( b1,..., bn ) 1 bn מקומי ולכל B. R,..., B( b1,..., bn ) = RA( b1,..., bn bn b1 מתקיים ) יחס 0 n מקומי ולכל B a. יהי A מבנה מתאים ל L ותהי A X תת קבוצה של העולם שלו המקיימת כי לכל f,..., A( a1,..., an) X מתקיים a1 an סימן פונקציה n מקומי f L ולכל X הגדר מבנה חדש המתאים ל L שהוא תת מבנה של A ועולמו הוא. X b. יהי A מבנה מתאים ל L ויהיו } { קבוצה של תת מבני של. A הנח B i i I i I אינה ריקה והראה כי קיים תת מבנה של A שזה הוא עולמו. האם Bi כי אפשר תמיד לבנות תת מבנה לאיחוד של מבנים? תהי Φ קבוצת הנוסחאות המינימלית בשפה L המקיימת את התנאים: 1) אם ϕ. ϕψ נוסחה אטומית אז.ϕ Φ (2 אם, ϕψ Φ אז גם Φ, ϕ Φ הראה כי עבור נוסחה ϕ בשפה ϕ Φ L אם ורק אם לא מופיע בה הסימן כלומר היא נוסחה חסרת כמתים, בפרט כל משתנה הוא חופשי. ϕ Φ תהי. A הוא תת מבנה של B ונניח כי L מבנים מתאימים לשפה,A יהי B,..., 1 x b,..., מתקיים : b n הראה כי לכל B 1 נוסחה במשתנים xn. A( ϕ [ i,..., i ]) = B( ϕ [ i,..., i ]) x1,..., xn b1 bn x1,..., xn b1 bn תהי }, + { =L שפה ויהי F שדה שהוא מבנה המתאים ל L ומפרש את הסימנים באופן המקובל האם כל תת מבנה של F הוא תת שדה? אם לא רשום איזה מהאקסיומות של השדה לא בהכרח מתקיימות בתת מבנה של F ביחס לשפה ואיזה מתקיימות ומצא שדה ותת מבנה שלו אשר מקיים בדיוק את האקסיומות שהוא חייב. אותה השאלה כמו 3 רק עבור השפות הבאות: 1, +,.a כאשר הוא סימן פונקציה חד מקומי אשר מפרש אותו כנגדי לחיבור. F F כאשר הוא סימן פונקציה חד מקומי אשר { } { 1,0, +, } { 0, +, } { 1,0, +,,, 1 } לכפל. על 0 בשדה נגדיר פונקציה זו להיות 0. מפרש אותו כהופכי.b.c.d.e.c.d.b.c.d

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71 תהי L.a.b.c.d תרגיל 7 במבוא ללוגיקה שפה כלשהי ויהי A נוסחה ב L רשימת האקסיומות הלוגיות: A A A [ A [ ] x אך נשתמש בשקול a ] xa x a xa x= x x = y,..., x = y fx.. x = fy.. y עבור סימן פונקציה n מקומי ו 1 1 n n 1 n 1 n Ry1.. x1 = y1,..., xn = yn Rx1.. xn עבור סימן יחס n מקומי רשימת yn כללי ההיסק: A מהנוסחה A הסק את B A הסק את A מהנוסחה A ( A B) C הסק את A ( B מהנוסחה (C B C הסק את A B A מהנוסחאות C xa B xa B הסק A B A אם x לא חופשי ב B מהנוסחה B.e.f.g.h.i.1 תהי T התורה ללא סימני פונקציה וללא סימני יחס וללא אקסיומות שאינן לוגיות כלומר סימן היחס היחיד בשפה הוא השוויון והאקסיומות היחידות הן האקסיומות הלוגיות. הערות: 1 )אנו לא נשתמש בסימן הגרירה ולכן באקסיומה b נשתמש בשקול לה הרשום וכנ"ל עבור כלל ההיסק i. 2) שים לב שמפני שאין סימני פונקציה וסימני יחס פרט סימן השוויון אקסימה d שקולה ל. B A נתייחס אחרת מאשר ל A B שים לב לסדר באיווים כלומר ל (3. x= y x= y A) f ( לנוסחה = T מקבוצת כל הנוסחאות לערכי אמת באופן הבא: f נגדיר פונקציה a.. A, B נוסחאות f ( A) = F, f ( A B) = f ( B), f ( xa) אטומית. A ו = T A). f ( הסק הראה כי כל נוסחה A שאפשר להוכיח מ Τ ללא אקסימה a מקיימת = T. a ללא אקסיומה ( x= x) ( x= כי אי אפשר להוכיח את הפסוק (x A) f ( עבור A אטומית. ובאופן כללי = T המקיימת f נגדיר פונקציה.b H f ( A B) = הראה כי ( f ( A), f ( B)) f ( A) = H ( F( A)) f ( xa) = F (A )F והסק כי כל נוסחה A שאפשר להוכיח ב Τ ללא אקסימה b מקימת = T x= x= x x( x= x) ( x= x) x( היא משפט ב Τ אך איננה הנוסחה (x ניתנת להוכחה ללא אקסימה b. A) f ( עבור A אטומית. ובאופן כללי = F המקיימת f נגדיר פונקציה.c H f ( A B) = הראה ( f ( A), f ( B)) f ( A) = H ( F( A)) f ( xa) = f ( A) A) f ( והסק כי כי כל נוסחה A שאפשר להוכיח ב Τ ללא אקסימה c מקימת = T. c אך איננה ניתנת להוכחה ללא אקסימה Τ היא משפט ב =x הנוסחה x.2 תהי L.a.b.c.d.e,A נוסחאות בשפה שפה כלשהי ו Τ תורה ל. L יהיו B. B A אז גם Τ משפט ב A הראה כי אם B הראה כי אם A משפט ב Τ אז גם A.. B אז גם Τ משפטים ב,A A הראה כי אם B הראה כי אם A משפט ב T אז גם xa.. A B ( A (B משפטים אז גם,A הראה כי אם B.3

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81 תרגיל 8 במבוא ללוגיקה תהי Φ קבוצת כל הנוסחאות האלמנטריות בשפה מסוימת כלומר זו הקבוצה של הנוסחאות האטומיות ונוסחאות המתחילות בכמת קיים (לשם הדיון כאן נחשוב אליה רק כקבוצה של Φ סמלים פורמליים שלהם ניתן ערכי אמת). נבנה בעזרת נוסחאות אלמנטריות אלו קבוצה A ( כלומר (B אז מהם נוכל לבנות את,A של נוסחאות חדשות באופן הבא: אם בנינו את B Φ בעלות אורך קטן Φ היא או אלמנטרית או איווי בסוגריים של שתי נוסחאות ב כל נוסחה יותר. a. תהי {F f : Φ {,T פונקציה ונרחיב אותה לכל באופן המקובל הוכח כי אם Φ A נוסחה ב Φ,..., 1 A ו An f ( A).b הן בדיוק הנוסחאות האלמנטריות המופיעות בה (אולי. f ( A i עם חזרות) אז = T אם"ם קיים i כך ש = T ) ניקח מערכת היסק לקבוצה זו המכילה את כללי ההיסק הבאים: A A B.i ( ) ( A B) ( B A) ( A A) A ( A ( B C) ) ( ( A B) C) (( A B) C) ( A ( B C) ) A,... 1 תהי An הנוסחה A מקבוצה זו אם קיימת סדרה.ii.iii.iv.v שלכל קבוצה של נוסחאות אלמנטריות נאמר כי ניתן להוכיח את,..., 1 B של נוסחאות כך Bm = A B או שהוא מסקנה של אחד הקודמים לו ע"י אחד j = A i 0 j m מכללי ההיסק הנ"ל. הוכח כי A ניתן להוכחה מקבוצה A,... 1 An.c.d.e.f אם"ם. A i מופיע בו לפחות אחד מה תהי A נוסחה כלשהי ונניח כי ניתן להוכיח את B מ A אז לכל פונקצית אמת כנ"ל (B. f ( הסיקו כי ב B מופיעה כל נוסחה אלמנטרית = T אז גם f ( A) אם = T המופיעה ב. A B,..., 1 יהיו A1, A2 נוסחאות אשר הנוסחאות האלמנטריות המופיעות בהן בדיוק Bn A1 = ( B1 ( B2 ( B3 הראה כי ניתן,... B n וזהו בדיוק סדר הופעתן למשל ). A 1 A 2 מ להוכיח את אותו הדבר כמו ב d רק בלי שמירה על הסדר. הראה כי התנאים הבאים שקולים. A מהנוסחה B ניתן להוכיח את הנוסחה i.. f ( B) = T אז גם f ( A) = T כנ"ל אם f לכל פונקצית אמת.ii. B מופיעה גם ב A כל נוסחה אלמנטרית המופיעה ב.iii,Γ קבוצות של נוסחאות כעת נחזור למערכת ההיסק הרגילה המוגדרת לשפה כלשהי ויהיו נסמן Γ אם כל נוסחה ב ניתן להוכיח מ Γ בתוספת כמובן האקסיומות הלוגיות (עבור Γ ϕ, ( הוכח: נוסחה יחידה ϕ נסמן ϕ. Γ Ε אז Ε ו Γ אם.a. Γ ' ϕ תת קבוצה סופית כך ש Γ ' Γ אז קיימת Γ ϕ אם.b c. נאמר כי Γ היא עקבית אם אי אפשר להוכיח מ Γ סתירה כלומר פסוק שאינו נכון בכל המבנים. הוכח כי Γ היא עקבית אם"ם כל תת קבוצה סופית שלה עקבית. d. הראה כי אם Γ ϕ אז {ϕ Γ { אינה עקבית..1.2

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91 תרגיל 10 במבוא ללוגיקה הראה כי אם נוסחה ניתנת להוכחה ללא אקסיומות לא לוגיות וללא האקסיומות הבאות: אקסיומת ההצבה אקסיומת הזהות, אקסיומת השוויון וללא תנאי ההיסק עבור הכמת אז הנוסחה היא טאוטולוגיה. A היא 'A A נוסחה כלשהי בשפה כלשהי הראה כי קיימת נוסחה 'A כך ש תהי i 1 מתקיים n כאשר לכל A' = A1 An... טאוטולוגיה ו A' היא מהצורה B j היא נוסחה אלמנטרית או שלילה j 1 הנוסחה mi כאשר לכל Ai = B1... Bm i של נוסחה אלמנטרית. הוכח את המשפטים הבאים: ( x( A B)) ( xa xb).a ( x( A B)) ( xa xb).b ( x( A B)) ( xa xb).c ( x( A B)) ( xa xb).d ( x( A B)) ( xa xb).e ( xa xb) ( x( A B)).f מצא שפה ומבנה מתאים לשפה שבה הנוסחאות הבאות אינן נכונות: ( x( A B)) ( xa xb).i ( xa xb) ( x( A B)).ii A אינו משתנה חופשי בנוסחה x xa A xa A נניח כי.a.b הראה כי:.5 x ya y xa אינה נכונה. הוכח את המשפטים הבאים: x ya y xa.a x ya y xa.b x ya y xa.c מצא שפה ומבנה מתאים לשפה שבה הנוסחה.6.7

92

93

94

95

96

97

98 מ: תרגיל 11 במבוא ללוגיקה..., 1 a שמות עצם נחליף כל הופעה משפט השוויון: תהי b שם עצם כלשהו ויהיו גם an של ב b בשם עצם אחר ' ונקבל שם עצם חדש 'b אזי אם ניתן להוכיח כי a i a i ב b= b ' a i אז ניתן גם להוכיח כי. כעת אם A נוסחה שבה ההופעות של הן לא a i ' A A', a i a i = a ישר אחרי הכמתים ותהי הנוסחה המתקבלת מ ע"י החלפה של ה A. הסק מהמשפט את הטענה הבאה 'A אז ניתן להוכיח ai = ai אם ניתן להוכיח כי ' =a. הוכח גם כי c אז ניתן להוכיח =a,b b= c שמות עצם ו ניתן להוכיח,a,b אם c. a= b ( Ax[ a] Ax (רמז השתמש במשפט [ ([b נוסחה אז A שמות עצם,a אם b הקבועים). אז. x( x= a A) A [ a] x x a i ' יהי שם עצם ללא המשתנה הוכח את המשפט: ) ( ] [ A a= a ובמשפט השוויון. x a x x= a הדרכה: השתמש ב: A.1.2 T התורה ששפתה היא,1,0},, + { L= כאשר +, פונקציות דו- (הגדרה) תהי מקומיות, פונקציה חד מקומית 0,1 קבועים והאקסיומות הלא לוגיות שלה הן אקסיומות השדה המנוסחות: ( x+ y) + z= x+ ( y+ z).a x+ y= y+ x.b ( x y) z= x ( y z).c x y= y x.d x+ 0= x.e x 0 x 1= x.f x+ ( x) = 0.g x 0 y( x y= 1).h ( x+ y) z= x z+ y z.i T: הוכח כי הנוסחאות הבאות הן משפטים ב x= y z+ x= z+ y.a x= y z x= z y.b 0+ x= x.c x+ y= x+ z y= z.d x+ y= y x= 0.e x+ x= x x= 0.f x 0= 0.g x ( 1) + x= 0.h הערה: אפשר להשתמש בכל המשפטים על הוכחות גם במשפט הסימטרייה האומר =b. אך צריך להצדיק כל מעבר. לא צריך להשתמש בכל a אפשר להוכיח =a b אקסיומות השדה..3.4

99

100

101

102

103

104

105

106

107 תרגיל 12 במבוא ללוגיקה,b,..,a1 an, a1 שמות עצם ותהי A נוסחה נסמן ב 'b את שם העצם המתקבל ע"י ',.., an יהיו '. a i ונסמן ב ' A את הנוסחה המתקבלת ע"י החלפה דומה a i ב ' החלפה של הופעות של בהופעות שאינן אחרי כמת. הסק ממשפט השוויון כי: a1 = a ' ' ' 1,..., an = an b= b ניתן להוכיח: a.. a = a,..., a = a ' A 'A ניתן להוכיח: b. 1 1 ' n n תהי T תורה כלשהי ונסמן ב ' T מערכת פורמלית חדשה המתקבלת מ T ע"י הוצאה של כל x= y ( A Ax האקסיומות הלוגיות של השוויון והוספת אקסיומות לוגיות מהצורה ([y [ לכל נוסחה אטומית. A הראה נוסחה היא משפט ב T אם"ם איה משפט ב ' T..1.2 יהי a שם עצם לא מופיע בו המשתנה x. x( x= a A) A [ a] הראה כי ניתן להוכיח את הנוסחה : x.3 x( x= a A) Ax [ a], x( x= a A) Ax מצא נוסחאות מהצורה: [a [ מהתורה של המספרים הטבעיים שאינם מתקיימות במספרים הטבעיים..4 תן דוגמה לנוסחה A אשר התורה אשר מכילה אותה כאקסיומה לא לוגית יחידה אינה עקבית..5 הסק ממשפט השלמות כי אם נוסחה בשפה כלשהי לא מתקיימת באף מבנה לשפה אז מהתורה המכילה אותה כאקסיומה לא לוגית יחידה אפשר להוכיח את שלילתה. הסק ממשפט השלמות את הטענה הבאה: תהי T תורה כלשהי לכל קבוצה Γ של נוסחאות בשפה של T התורות [Γ,T ]T שקולות אם"ם כל נוסחה Γ נכונה בכל מודל של T. (תורות הן שקולות אם יש להן את אותם המשפטים)..6.7

108

109

110

111

112

113 תרגיל 13 במבוא ללוגיקה משפט הקומפקטיות: תהי L שפה ותהי Γ קבוצה של נוסחאות בשפה נניח כי לכל תת קבוצה סופית ' Γ של Γ יש מודל, כלומר מבנה המתאים ל L המקיים את כל הנוסחאות ב ' Γ, אז ל Γ יש מודל. הסק את משפט הקומפקטיות ממשפט השלמות. הראה כי בשפה אשר מכילה משתנה של פונקציה חד מקומית, כלומר אפשר לכתוב נוסחאות מהצורה: לכל פונקציה... וקיימת פונקציה...,אפשר לכתוב נוסחה כך שמבנה מקיים אותה אם"ם הוא בעל עולם סופי. הערה: זו דוגמה לשפה שאינה מסדר ראשון. נחזור כעת לשפה רגילה השתמש במשפט הקומפקטיות כדי להראות לא קיימת נוסחה כמו בשאלה 2. רמז: הנח בשלילה כי קיימת והוסף לה מספר אין סופי של נוסחאות שלכל תת קבוצה סופית יש מודל. הסק כי משפט השלמות אינו נכון לשפה כמו בשאלה 2. סדר טוב: תהי } < { =L שפה המכילה סימן יחס דו מקומי יחד. התורה של יחס סדר ליניארי (מלא) היא זו המכילה את האקסיומות הלא לוגית הבאות: ( x< אנטי רפלקסיביות: (x ( x< y) ( y> אנטי סימטריות: (x ( x< y y< z) ( x< טרנזיטיביות: (z ( x y) ( x< y y< לינאריות: (x.a.b.c.d למודל של תורה זו נקרא קבוצה סדורה ליניארית. נאמר כי קבוצה סדורה ליניארית היא סדורה היטב אם לכל תת קבוצה שלה שאינה ריקה יש איבר מינימלי. הראה כי קבוצה סדורה ליניארי היא סדורה היטב אם"ם אם אין בה תת סדרה אין סופית יורדת : a { } n n N +n 1 a < לכל. n הוכח כי לא קימת נוסחה A ב L המקיימת כי קבוצה סדורה כך ש an ליניארית מקיימת אותה אם "ם היא סדורה היטב. רמז: הנח בשלילה שקיימת נוסחה כזו, הוסף לשפה אין סוף קבועים חדשים שונים והוכח את הטענה כמו בשאלה 3.