Κλασική Μηχανική. ΦΥΣ 211 Άνοιξη Διδάσκων: Φώτης Πτωχός. Τηλ: Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής
|
|
- Εἰλείθυια Πυλαρινός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κλασική Μηχανική ΦΥΣ 211 Άνοιξη 2015 Διδάσκων: Φώτης Πτωχός Τηλ: Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής
2 ΦΥΣ Διαλ.01 2 Γενικές Πληροφορίες Ώρες/Αίθουσα διδασκαλίας: Δευτέρα/Πέμπτη 10:30 12:00 & Τετάρτη 08:00-09:00 Αίθουσα: Β229 Φροντιστήρια/Απορίες Οι συναντήσεις της Τετάρτης θα είναι ένας συνδυασμός για λύσεις ασκήσεων και παραδόσεων Επιπλέον ώρες φροντιστηρίων κάθε Δευτέρα 15:00-16:30 Β229 Διακόπτετε για να ρωτήσετε τυχόν απορίες σας οποιαδήποτε στιγμή κατά την διάρκεια των διαλέξεων. Περάστε από το γραφείο μου: Πέμπτη 13:00-16:00μμ Πείτε μου αν κάτι στο μάθημα δεν δουλεύει για σας Ιστοσελίδα του μαθήματος:
3 ΦΥΣ Διαλ.01 3 «Προαπαιτούμενα» q ΦΥΣ111 & ΦΥΣ221 ΦΥΣ Ι και Μαθηματικές Μέθοδοι Ι q ΜΑΣ04, ΜΑΣ05 Ολοκληρωτικός λογισμός, γραμμική άλγεβρα Θεωρήστε σοβαρά τα προαπαιτούμενα αυτά Ø Χωρίς το απαραίτητο υπόβαθρο θα χαθείτε εύκολα και θα είναι δύσκολο να παρακολουθήσετε.
4 Βιβλιογραφία ΦΥΣ Διαλ.01 4 Βιβλία σε αγγλική έκδοση: Classical Dynamics of particles and Systems" J.B. Marion και S.T. Thornton Classical Mechanics J. R. Taylor Analytical Mechanics L.N. Hand και J.D. Fitch An Introduction to Mechanics" Kleppner και Kolenkow, (ορισµένα µόνο κεφάλαια). Βιβλία σε ελληνική έκδοση: Κλασική Μηχανική T.W.B. Keeble και F.H. Bershire Θεωρητική Μηχανική Ι. Χατζηδηµητρίου, τόµος 1 και τόµος 2. Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική Κ.Χ. Τσίγκανος Μαθήµατα Αναλυτικής Μηχανικής Γ.Α. Κατσιάρης Θεωρητική Μηχανική Π. Ιωάννου και Θ. Αποστολάτου Βιβλία µε αρκετά λυµένα παραδείγµατα και ασκήσεις Θεωρητική Μηχανική M. R. Spiegel (σειρά Schaum's) Θεωρητική Μηχανική - Θεωρία και λυµένες ασκήσεις Α. Κυριάκη Ασκήσεις Νευτώνιας Μηχανικής Μ. Μιχαλοδηµητράκη (στην ιστοσελίδα) Ασκήσεις Αναλυτικής Μηχανικής Μ. Μιχαλοδηµητράκη (στην ιστοσελίδα) Βιβλία προχωρηµένου επιπέδου Classical Mechanics H. Goldstein και Mechanics" L. D. Landau και E.M. Lifshitz
5 ΦΥΣ Διαλ.01 5 Βαθμολογία Η αξιολόγησή σας θα βασιστεί στα ακόλουθα: q 15% : ασκήσεις κατ οίκον (~ 1 κάθε δεύτερη βδομάδα) q 50% : 2 πρόοδοι (120 λεπτών) Ημερομηνίες: 7-Μάρτη 25-Απρίλη Σάββατο, 13:00-15: ΧΩΔ01 q 35% : τελική εξέταση 3-ωρη εξέταση
6 ΦΥΣ Διαλ.01 6 Κατ οίκον εργασίες q Εργασίες για το σπίτι θα σας δίνονται κάθε βδομάδα (Παρασκευή) q Επιστροφή 2 εβδομάδες μετά (Δευτέρες) στο τέλος της διάλεξης Ø Καθυστερημένες λύσεις δεν θα γίνονται δεκτές q Συνεργασία μεταξύ σας επιτρέπεται και ενθαρύνεται αλλά ο καθένας επιστρέφει την δική του οργανωμένη λύση Ø Πανομοιότυπες λύσεις δεν θα βαθμολογούνται q Το μάθημα χρησιμοποιεί αρκετά μαθηματικά και περισσότερο δύσκολες έννοιες από τη μέχρι τώρα φυσική σας και λύνοντας ασκήσεις θα σας βοηθήσει να εμπεδώσετε την ύλη
7 ΦΥΣ Διαλ.01 7 Ύλη του μαθήματος Κλασσική Μηχανική Συστήματα αναφοράς αδράνειας και γενικευμένες συντεταγμένες Νευτώνεια Μηχανική Ταλαντώσεις γραµµικών και µη γραµµικών συστηµάτων Εισαγωγή στις εξισώσεις Lagrange Λογισµό µεταβολών Νόμοι διατήρησης, κίνηση σε κεντρικό δυναμικό, πεδία βαρύτητας Ταλαντώσεις μικρού μεγέθους Μηχανική στερεού σώματος Εξισώσεις Hamilton Χάος Θεώρηµα Noether - Συµµετρίες
8 ΦΥΣ Διαλ.01 8 ΦΥΣ Κλασική Μηχανική Μικρή Εισαγωγή
9 ΦΥΣ Διαλ.01 9 Μηχανική O κλάδος των φυσικών επιστημών που ασχολείται με ενέργεια και δυνάμεις και την επίδραση τους σε σώματα Η μηχανική ασχολείται με: Ø Την κίνηση σωμάτων à Ταχύτητα και επιτάχυνση Ø Αιτία της κίνησης à Δύναμη και ενέργεια q Τα σώματα κινούνται αλλά δεν αλλάζουν ιδιότητες: Ø Ιδανικά υλικά σηµεία και στερεά σώµατα Ø Μάζα και ροπή αδράνειας είναι ότι ενδιαφέρει άµεσα q Τρεις Νόμοι του Newton για την κίνηση: Principia (1867) 1 ος : Ενα σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα (µπορεί και µηδέν) εκτός και αν ενεργήσει πάνω του µια δύναµη 2 ος : O ρυθµός µεταβολής της ορµής ενός σώµατος ισούται µε την δύναµη που ασκείται στο σώµα 3 ος : Για κάθε δύναµη που ασκείται σε ένα σώµα υπάρχει µια ίση και αντίθετη δύναµη σε κάποιο άλλο σώµα
10 ΦΥΣ Διαλ Κλασική έναντι Μοντέρνας Φυσικής q Μοντέρνα στη φυσική ισοδυναμεί με τον 20 ο αιώνα: Κβαντομηχανική (QM) Σχετικότητα q Κλασσική Μηχανική = Πριν την κβαντομηχανική Συμπεριλαμβάνουμε ειδική θεωρία σχετικότητας και Ηλεκτρομαγνητισμό (E&M) q Τι συνέβη μεταξύ του 17 ου και 20 ου αιώνα?
11 ΦΥΣ Διαλ Μας ενδιαφέρει? q Ξέρουμε ότι η Σχετικότητα και η QM δίνουν τις σωστές απαντήσεις Ø Η Newtonian µηχανική είναι µια προσέγγιση στην κλίµακα του ανθρώπου και της καθηµερινής ζωής q Δεν είναι αρκετά ότι ξέρουμε μέχρι τώρα? Ø Γιατί θα πρέπει να ασχολούµαστε ακόµα µε µια θεωρία που είναι ξεπερασµένη?
12 ΦΥΣ Διαλ Γιατί λοιπόν επιμονή με την Κλασική Μηχανική? Τρεις βασικοί καλοί λόγοι: q Στενή σχέση με την Μοντέρνα φυσική Ø Καλή κατανόηση κλασικής μηχανικής κάνει πιο εύκολη την κατανόηση της QM q Πολύ χρήσιμα και ευέλικτα «εργαλεία»/tricks μαθηματικών q Επαναπροσδιορισμός γνωστών νόμων της φυσικής με διαφορετική τελείως προσέγγιση Ø Πιο καθαρός και γενικός φορµαλισµός Ø It is cool!! Ø Ας κάνουμε όμως μια αναδρομή στο 17 ο αιώνα...
13 ΦΥΣ Διαλ Newtonian Μηχανική q Θεωρητικά, η εξίσωση κίνησης του Newton προέβλεψε την κίνηση οποιαδήποτε σώματος (σωμάτων) υπό την δύναμη: Ø Για την λύση χρειαζόμαστε ένα μεγάλο και γρήγορο υπολογιστή q Στην πραγματικότητα όμως η ζωή δεν ήταν τόσο απλή Ø Η εταιρία Intel δεν υπήρχε µέχρι το 1968 q Πιο σηµαντικά ωστόσο, η δύναµη µπορεί να είναι άγνωστη Ø Μπορεί να εξαρτάται από το χρόνο, τη θέση, ακόµα και την ταχύτητα ² Σκεφτείτε την περίπτωση όπου 2 σώµατα έλκονται µεταξύ τους λόγω βαρύτητας: Επίλυση ενός συστήματος 3-σωμάτων είναι αδύνατο!!! q Ανάγκη για εύρεση πιο ευέλικτων μαθηματικών μεθόδων
14 ΦΥΣ Διαλ Γενικεύοντας την εξίσωση κίνησης q Η Newtonian μηχανική ασχολείται με την θέση του σώματος: Ø Στόχος: να βρεθούν x=x(t), y=y(t), z=z(t) Ø 3 συντεταγμένες για κάθε σώμα à 3Ν για Ν σώματα q Υπάρχουν όμως άπειροι άλλοι τρόποι για να περιγράψουμε την κίνηση Ø Για παράδειγμα, ένας πιο φυσικός τρόπος για την περιγραφή της κίνησης ενός εκκρεμούς είναι: x =L cosθ, y=l sinθ, z=0, θ = θ(t) Ø Ο αριθμός των ελεύθερων μεταβλητών μπορεί να μην είναι 3Ν Ø Καλούμε τις νέες μεταβλητές γενικευμένες συντεταγμένες q Ποιες θα είναι οι εξισώσεις κίνησης χρησιμοποιώντας γενικευμένες συντεταγμένες?
15 ΦΥΣ Διαλ Φορμαλισμός Lagrange q Η εξίσωση του Newton αναφέρεται στην δύναμη: Ξεκινάμε με F = F(x,t) για όλα τα υλικά σημεία 3Ν συναρτήσεις αντιστοιχούν σε 3Ν συντεταγμένες! F = m! a q Ξεχάστε τη δύναμη! Εισάγουμε κάτι εντελώς διαφορετικό Lagrangian: L = L( q,!q ) L = T V T: κινητική ενέργεια, V:δυναμική ενέργεια Εξίσωση Lagrange: Συντεταγμένη q και η χρονική της παράγωγος d dt γενικευµένη ορµή L q! L q Τα πάντα για το σύστημα αυτό περιέχονται = 0 μέσα στη βαθμωτή συνάρτηση L dp γενικευµένη δύναµη dt = F q Η Lagrangian δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων Ø Είναι πολύ εύκολο να αλλάξουμε συστήματα συντεταγμένων
16 ΦΥΣ Διαλ Αρχή του Hamilton Η εξίσωση του Lagrange απορρέει από την ΑΡΧΗ του HAMILTON σύμφωνα με ένα απλό κανόνα: Tο ολοκλήρωμα της L ως προς χρόνο L dt (δράση/action) 1 είναι στάσιμο για την διαδρομή που ακολούθησε το φυσικό σύστημα (διαδρομή από τη θέση την t 1 στη θέση την t 2 2 το ολοκλήρωµα έχει ελάχιστο και σε 1 η προσέγγιση δ L dt = 0 µένει αµετάβλητο για µικρές µεταβολές της συνάρτησης L 1 q Οι Νόμοι του Newton βρέθηκαν εξ επαγωγής Ø «Είναι έτσι επειδή συμφωνεί με τόσες παρατηρήσεις» Ø Το να τους εξαγάγουμε από μια αρχή σημαίνει ότι γνωρίζουμε την αιτία που είναι έτσι Ø Βέβαια δεν είναι τόσο δραματικό όσο ακούγεται, ωστόσο υπονοεί κάποια βαθύτερη αιτία q Όλα αυτά στηρίζονται στο λογισμό των μεταβολών όπως θα δούμε σύντομα στις επόμενες διαλέξεις και είναι μια πολύ χρήσιμη τεχνική 2
17 ΦΥΣ Διαλ Hamiltonian φορμαλισμός!q = H H Οι εξισώσεις Hamilton είναι:,!p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamiltonian Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή Ø Δεν συνδέονται με την σχέση p = mv? q Θέση και ορμή σαν ανεξάρτητες μεταβλητές Ø Επιτρέπει μεγαλύτερο εύρος μετασχηματισμών µεταβλητών σε σχέση με τον Lagrangian φορμαλισμό Ø Ο φορμαλισμός είναι πιο καθαρός και βοηθά στην ανεύρεση και αποδοτική χρήση διατηρούµενων ποσοτήτων εποµένως συµµετριών Ø Υπάρχουν πολλές ομοιότητες με το τι ακολουθεί η QM H = p!q L( q,!q )
18 ΦΥΣ Διαλ Επιτυχία μέσα από την αποτυχία... Η αναζήτηση εργαλείων για την επίλυση του προβλήματος 3-σωμάτων απέτυχε Εκτός βέβαια και αν κάποιος θεωρήσει επιτυχία την ανάπτυξη των super computers Αποτέλεσμα αυτής της αναζήτησης είχε σαν επακόλουθο την ανάπτυξη μεθόδων (Lagrangians και Hamiltonians) που αποτελούν τις βάσεις της Κβαντομηχανικής Η ανάπτυξη της QM οδηγήθηκε από αναλογίες στους φορµαλισµούς Lagrange και Hamilton Οι θεμελιωτές της QM μεγάλωσαν με κλασική μηχανική Η Κλασική μηχανική είναι ο συνδετικός κρίκος μεταξύ Newton και Schröndinger
19 ΦΥΣ Διαλ Τι θα μελετήσουμε λοιπόν Σύντομη αναδρομή Νευτώνιας Μηχανικής Εξισώσεις Lagrange και αρχή Hamilton Πρόβλημα κεντρικής δύναμης Κίνηση στερεού σώματος Ταλαντώσεις Εξισώσεις Hamilton και κανονικοί μετασχηματισμοί Συμμετρίες Χάος
20 ΦΥΣ Διαλ Στόχος για σήμερα Ανακεφαλαίωση των βασικών αρχών της Newtonian μηχανικής Σύντομα ώστε να μην κοιμηθείτε Συζήτηση της κίνησης ενός σωματιδίου Ορισμός των συμβόλων και τη χρησιμοποίησή τους Ορμές, νόμοι διατήρησης, κινητική και δυναμική ενέργεια Όλα αυτά πρέπει να σας είναι ήδη γνωστά
21 ΦΥΣ Διαλ Υλικό σημείο q Υλικό σημείο = το αντικείμενο με αμελητέο μέγεθος Ø Ηλεκτρόνιο μέσα σε ένα καθοδικό σωλήνα Ø Η μπάλα του baseball που ρίχνει ένας pitcher Ø H γη που περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο q Έχει μάζα m και θέση r ² Ταχύτητα ² Γραμμική ορμή! v = d! r dt =! r "! p = m! v = m! " r! q Ο 2 ος νόμος του Newton για την κίνηση F = d! p dt =! p "! = m "" r
22 ΦΥΣ Διαλ Αδρανειακό σύστημα q Η αρχή O του r είναι κάπως αφηρημένη Ø Εκλογή σημείου αρχής μέτρησης à σύστημα αναφοράς q Αδρανειακό σύστημα = σύστημα αναφοράς στο οποίο ισχύει! F =! "p Ø Ακριβέστερη διατύπωση του 2 ου νόμου του Newton: Υπάρχουν συστήματα αναφοράς για τα οποία η παράγωγος της γραμμικής ορμής ως προς το χρόνο ισούται με την δύναμη Ø Και υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων συστημάτων
23 ΦΥΣ Διαλ Αδρανειακά συστήματα Έστω 2 αδρανειακά συστήματα Α κα Β Ένα υλικό σημείο έχει r A ως προς το A και r B ως προς το B Αρχή συντεταγμένων του Α είναι στη θέση r B r A του Β O Α r A r B F = m!!r A = m!!r B!!r B!!r A = 0!r B!r A = σταϑερο r B -r A Οποιαδήποτε 2 αδρανειακά συστήματα κινούνται με σταθερή σχετική ταχύτητα O Β Ο Γαλιλαίος έδειξε την ισοδυναμία αυτών των συστημάτων
24 ΦΥΣ Διαλ Στροφορμή Ορίζουμε: Ø Στροφορμή Ø Ροπή q Από τη σχέση! F =! "p! L =! r! p! τ =! r! F εξάγουμε:! τ =! " L Η σειρά έχει σημασία q Οι ορισμοί εξαρτώνται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων Ο Ø αφού r εξαρτάται από το Ο! τ =! L " Ø Η εξίσωση ισχύει για οποιαδήποτε Ο
25 ΦΥΣ Διαλ Διατήρηση της Ορμών Δυο θεωρήματα διατήρησης: q Από:! F =! "p q Από:! τ =! " L Αν η ολική δύναμη είναι μηδέν τότε η ορμή διατηρείται Αν η ολική ροπή είναι μηδέν τότε η στροφορμή διατηρείται
26 ΦΥΣ Διαλ Έργο από εξωτερική Δύναμη Υλικό σημείο κινείται από τη θέση 1 στη θέση 2 κάτω από την επίδραση της δύναμης F δs 2 F 1 q Το έργο W 12 που παράγει η δύναμη F ορίζεται ως W 2 = 12 F ds 1 q H κινητική ενέργεια ορίζεται ως T mv2 2 q Και αποδεικνύεται ότι W 12 = T 2 T 1 To έργο που παράγεται ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας
27 ΦΥΣ Διαλ Συντηρητική δύναμη q Αν W 12 είναι το ίδιο για κάθε δυνατή διαδρομή από το 1 στο 2, τότε η F είναι συντηρητική 2 q W 12 εξαρτάται μόνο από τις 2 θέσεις και όχι από τη διαδρομή 1 q Ισοδύναμα άν εκτελέσει μια κλειστή διαδρομή, τότε το έργο είναι μηδέν 2 2 F ds = F ds + F ds =
28 ΦΥΣ Διαλ Δυναμική Ενέργεια q Αν η F είναι συντηρητική <-> η F εκφράζεται ως! F = V! r ( ) Ø V είναι η δυναμική ενέργεια q Το έργο W 12 εκφράζεται τότε από W 2 12 = F ds = V1 V2 1 Ø αλλά βρήκαμε πριν ότι είναι ίσο με Τ 2 -Τ 1 επομένως: Τ 1 + V 1 = T 2 + V 2 Αν η δύναμη είναι συντηρητική τότε η ολική ενέργεια E = Τ + V διατηρείται Θεώρημα διατήρησης Ενέργειας
29 ΦΥΣ Διαλ Περίληψη Ανακεφαλαιώσαμε τις βασικές αρχές της Newtonian Μηχανικής Ορισμούς συμβόλων και χρησιμοποίηση Γραμμική ορμή, στροφορμή, νόμοι διατήρησης κινητική και δυναμική ενέργεια Ελπίζω πως όλα είναι κατανοητά και γνώριμα, αν όχι βαρετά Επόμενη διάλεξη θα ξαναθυμηθούμε πώς λύνονται μερικά προβλήματα που βασίζονται σ ότι είπαμε σήμερα
Hamiltonian φορμαλισμός
ΦΥΣ - Διαλ.0 Hamltonan φορμαλισμός q = H H Οι εξισώσεις Hamlton είναι:, p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamltonan Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης
Hamiltonian φορμαλισμός q Πριν αρκετό καιρό, είδαµε τον φορµαλισµό Hamilton: Ø Για ένα σύστηµα µε βαθµούς ελευθερίας και Lagrangian ² Ορίσαµε p i = L! ² και την hamiltonian: H = και ² Λύσαµε την εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών
3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι
Διαβάστε περισσότερα( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i
ΦΥΣ - Διαλ.03 Ολική στροφορμή q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r = r R q Ορίζουμε επίσης τις ταχύτητες: v = " r v = και R " Ø Υπολογίζουμε την ολική στροφορμή L = r p = L = R M v
Διαβάστε περισσότεραΓια τη συνέχεια σήμερα...
ΦΥΣ 211 - Διαλ.10 1 Για τη συνέχεια σήμερα... q Συζήτηση ξανά των νόμων διατήρησης q Χρησιμοποιώντας τον φορμαλισμό Lagrange q Γραμμική ορμή και στροφορμή q Σύνδεση μεταξύ συμμετρίας, αναλλοίωτο της Lagrangan,
Διαβάστε περισσότεραΑνακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες
ΦΥΣ 211 - Διαλ.06 1 Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε μέχρι τώρα: q Συζητήσαμε συστήματα πολλών σωμάτων Ø Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Ø Νόμους δράσης-αντίδρασης Ø Ορμές, νόμους διατήρησης (γραμμική ορμή,
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις κίνησης του Hamilton
ΦΥΣ 211 - Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΧάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Διατύπωσε την αρχή της διατήρησης της ορμής σε ένα (κλειστό) σύστημα N-σωμάτων. Στη συνέχεια διατύπωσε τους νόμους των κρούσεων μεταξύ σωμάτων. Υπολόγισε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου
A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΚαλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.
Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική. ! F(δύναµη), m(µάζα), E(ενέργεια), p(ορµή),! Πως ένα σώµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον του! Γιατί σώµατα κινούνται µε το τρόπο που κινούνται
1 Δυναµική F(δύναµη), m(µάζα), E(ενέργεια), p(ορµή), Πως ένα σώµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον του Γιατί σώµατα κινούνται µε το τρόπο που κινούνται " Θεµελιώδεις νόµοι της µηχανικής: Οι τρεις νόµοι του
Διαβάστε περισσότερα( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2
ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Κινητική Θεωρία των Αεριών. Πίεση 3. Κινητική Ερμηνεία της Πίεσης 4. Καταστατική εξίσωση των Ιδανικών
Διαβάστε περισσότεραΑνακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i
Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr
Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ 211 - Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ 2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του
Διαβάστε περισσότεραHamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα
Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.
Κεφάλαιο : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.. Γεγονότα, συστήματα αναφοράς και η αρχή της Νευτώνειας Σχετικότητας. Ως φυσικό γεγονός ορίζεται ένα συμβάν το οποίο λαμβάνει χώρα σε ένα σημείο του χώρου μια συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών
ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.
Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M11. Στροφορµή
Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την
Διαβάστε περισσότεραΤο ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Μηχανική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Κλασική Μηχανική 1 Διδάσκων: Κώστας Τάσσης, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1: Νόμοι Νεύτωνα 1.1: Θεμελίωση θεωρίας Νόμοι Νεύτωνα V1.1.1 Ορισμός και όρια της Κλασικής Μηχανικής V1.1.2
Διαβάστε περισσότεραL = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Ορμή και Δύναμη Η ορμή p είναι διάνυσμα που ορίζεται από
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,
Διαβάστε περισσότεραυναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων
υναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η υναµική u Ροµποτική υναµική q, q& Ροµποτική Κινηµατική Περιβάλλον Θέση, Προσανατολισµός & και αλληλε ίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΦΥΣ 131 Φθινόπωρο Διδάσκων: Φώτης Πτωχός
ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΦΥΣ 131 Φθινόπωρο 2017 Διδάσκων: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημιούπολη web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy111/phy111.html
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ Δυναµική
ΦΥΣ 131 - Διαλ.08 1 Δυναµική Ø F(δύναµη), m(µάζα), E(ενέργεια), p(ορµή), Ø Πως ένα σώµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον του Ø Γιατί σώµατα κινούνται µε το τρόπο που κινούνται q Θεµελιώδεις νόµοι της µηχανικής:
Διαβάστε περισσότερα1. Διατήρηση της Ενέργειας
. Διατήρηση της Ενέργειας Η ολική ενέργεια σε κάθε απομονωμένο σύστημα διατηρείται, οτιδήποτε και να συμβαίνει μέσα στο σύστημα. α) Σε σύγκρουση σωμάτων μεγάλης ελαστικότητας η κινητική ενέργεια διατηρείται.
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Έργο και Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ102 1 Όταν μια δύναμη δρα σε ένα σώμα που κινείται,
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική, Κυματική και Θερμοδυναμική
Μηχανική, Κυματική και Θερμοδυναμική ΦΥΣ 131 Φθινόπωρο 2011 Διδάσκων: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημιούπολη web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy131/phy131.htm
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη
Διαβάστε περισσότεραΣυζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα
ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες
Διαβάστε περισσότερα16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι...
1. Ο νόµος του Hooke υποστηρίζει ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι.των...που τις προκαλούν. 2. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα υποστηρίζει ότι οι δυνάµεις που αναφέρονται στο νόµο αυτό έχουν... µέτρα,......
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕ01030 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 1 ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ I ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΒιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ANAΛΥΣΗ Ι 1) Πραγματικοί και φυσικοί αριθμοί -Αξιώματα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών -Τέλεια Επαγωγή 2) Ακολουθίες -Ορια ακολουθιών -Κριτήρια σύγκλισης -Ακολουθίες Cauchy
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1 ο. + U &' = mg(2r) k(2r)2! E µ"# = U #$%. = 2mgR + 2kR 2 U!". # K i + U i = K f + U f! U i = K f! 1 2 m" 2 f.
Παράδειγμα ο ΦΥΣ 3 - speca Μια χάντρα μάζας m γλιστρά χωρίς τριβές σε ένα κατακόρυφο στεφάνι ακτίνας R. H χάντρα κινείται κάτω από την συνδιασμένη επιρροή της βαρύτητας και ενός ελατηρίου το ένα άκρο του
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος
Κβαντομηχανική Ι Εισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος Στοιχεία Διδάσκοντα Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής-Κοσμολογίας Γραφείο Φ2-303 Ώρες Γραφείου:
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ HN5120 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 1 ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραBmax. Αν c η ταχύτητα του φωτός στο κενό - αέρα, το ηλεκτρικό πεδίο του ίδιου ηλεκτρομαγνητικού κύματος περιγράφεται από τη σχέση
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 11 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση
N B P Y T ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 9 5 Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση - y y h + O x Ω + O V x υ a Σχήμα : Το σύστημα με τους δύο παρατηρητές του φαινομένου
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός των Μεταβολών και Αναλυτική Μηχανική Περιεχόμενα των Διαλέξεων Σταύρος Αναστασίου Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πάτρα 2016 Πολύ πρόχειρες σημειώσεις για τους φοιτητές
Διαβάστε περισσότεραΤί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα
Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα q Κίνηση σωμάτων σε κεντρικό δυναμικό Ø Το πρόβλημα ανάγεται σε κίνηση με 1 DoF: µ r = l µr + F( r) 3 q Είδαμε ποιοτική συμπεριφορά Ø Μη φραγμένες, φραγμένες και κυκλικές
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε κεντρικό δυναμικό
Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 1 q Έστω ένα σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης Ø Δύναμη παράλληλη στο 0 F q Υποθέτουμε ότι η δύναμη είναι συντηρητική: F = V( ) m Ø V
Διαβάστε περισσότεραΦ Υ Σ Ι Κ Η Ι (Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η)
Λ. Α Π Ε Κ Η Σ, Κ. Χ Ρ Ι Σ Τ Ο Ο Υ Λ Ι Η Σ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ Τ Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ
Διαβάστε περισσότεραΠοια η ταχύτητά του τη στιγµή που έχει περάσει πλήρως από την τρύπα? Λύση µε διατήρηση της ενέργειας. + K f. ! 0 + 0 = mg " L & $ !
Παράδειγµα Ενέργειες Το ακόλουθο πρόβληµα µπορεί να λυθεί είτε µε χρήση των νόµων του Newton ( F=mα ) ή Διατήρηση ενέργειας. Ένα µικρό τµήµα σχοινιού κρέµεται προς τα κάτω µέσα από µια τρύπα σε λείο τραπέζι.
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ( t ) Χρονική εξίσωση απομάκρυνσης a ( t ) με a Χρονική εξίσωση ταχύτητας a aa ( t ) με a a Χρονική εξίσωση επιτάχυνσης a Σχέση
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραΈργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1
Έργο Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 2 Έργο, Κινητική Ενέργεια και Δυναμική Ενέργεια q Βέλος εκτοξεύεται από ένα τόξο: Ø Η δύναμη μεταβάλλεται καθώς το τόξο επανέρχεται στην αρχική του θέση
Διαβάστε περισσότεραΠεριστροφική Κινηματική
Περιστροφική Κινηματική Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση Τα Τρία Είδη Κίνησης Τι Χαρακτηριστικό έχει κάθε μια από τις κινήσεις που θα εμφανιστούν Συνδυασμένη κίνηση Περιστροφική Κινηματική Ανακεφαλαίωση
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος
Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΈνα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο
Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία Διδάσκων: Θεόδωρος Τομαράς, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1 Σχετικότητα 1.1 Η ανεπάρκεια της μηχανικής του Νεύτωνα V1.1.1 Σύντομη εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Στροφορμή
Κεφάλαιο 11 Στροφορμή Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11 Στροφορμή Περιστροφή Αντικειμένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόμενο-η ροπή ως διάνυσμα Στροφορμή Σωματιδίου Στροφορμή και Ροπή για Σύστημα Σωματιδίων
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler
ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί).! Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από -4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Στροφορµή
Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότερα( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης
ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε
Διαβάστε περισσότεραΑ. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Συστήματος Σωμάτων
Σύστημα από μάζες με ταχύτητες ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς ολική ορμή (διάνυσμα) και μάζα (βαθμωτό): Δυναμική Συστήματος Σωμάτων P ttal ttal........ Αν το σύστημα ισοδυναμεί με ΕΝΑ σώμα, ίδιας
Διαβάστε περισσότεραΡοπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραΗ κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3
Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση Θωµάς Μελίστας Α 3 Σύµφωνα µε την κλασσική µηχανική και την γενική αντίληψη η µάζα είναι µία εγγενής ιδιότητα των φυσικών σωµάτων. Μάζα είναι η ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότερα