ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΖΩΗΣ Ι. ΠΕΤΑΛΑ Πτυχιούχου Πολιτικού Μηχανικού ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ Υ ΡΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004

2 ΖΩΗΣ Ι. ΠΕΤΑΛΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ Υ ΡΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Τοµέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος Ηµεροµηνία Προφορικής Εξέτασης: 20 Απριλίου 2004 Εξεταστική Επιτροπή Καθηγητής Κ.Λ. Κατσιφαράκης, Επιβλέπων Καθηγητής Β. ερµίσης, Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής. Τολίκας, Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής Π. Λατινόπουλος, Εξεταστής Αν. Καθ. Ε. Σιδηρόπουλος, Εξεταστής Αν. Καθ. Θ. Ζήσης, Εξεταστής Λέκτορας Α. Ζορµπά, Εξεταστής

3 Ζωή Ι. Πεταλά Α.Π.Θ. Βελτιστοποίηση της ιαχείρισης Παράκτιων Υδροφορέων µε τη Χρήση Γενετικών Αλγόριθµων «Η έγκριση της παρούσας ιδακτορικής ιατριβής από το Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωµών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ.2)

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΠΕΡΙΛΗΨΗ. 3 ABSTRACT 11 RESUMO ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Ο υδρολογικός κύκλος Η αξία του υπόγειου νερού Ρύπανση και µόλυνση του υπόγειου νερού Προγραµµατισµός της χρήσης του νερού ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΥΦΑΛΜΥΡΩΣΗΣ Γενικά για το φαινόµενο της υφαλµύρωσης Εισροή θαλάσσιου νερού σε παράκτιους υδροφορείς Αναγνώριση του φαινοµένου της υφαλµύρωσης Αιτίες της υφαλµύρωσης Επιπτώσεις του φαινοµένου της υφαλµύρωσης Πρόληψη και έλεγχος της εισροής θαλάσσιου νερού Το φαινόµενο της κίνησης του νερού λόγω άντλησης ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΥΦΑΛΜΥΡΩΣΗΣ Το µαθηµατικό οµοίωµα Κοκκώδεις υδροφορείς Ρηγµατωµένοι υδροφορείς Καρστικοί υδροφορείς Χηµικά χαρακτηριστικά του νερού Μαθηµατικές και φυσικές προσεγγίσεις του φαινοµένου της εισροής θαλάσσιου νερού στους υδροφορείς i

5 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Οι αριθµητικές µέθοδοι για την επίλυση των µαθηµατικών εξισώσεων Αριθµητική εφαρµογή της µεθόδου των οριακών στοιχείων Περιγραφή του µαθηµατικού προγράµµατος µε την εφαρµογή της µεθόδου των οριακών στοιχείων Εισαγωγή των δεδοµένων και βοηθητικοί υπολογισµοί Υπολογισµός των συντελεστών G ij και H ij ιαµόρφωση του συστήµατος των εξισώσεων Υπολογισµός της επιρροής των πηγαδιών Επίλυση του συστήµατος των µαθηµατικών εξισώσεων ιαχωρισµός των h και q Έλεγχος ακρίβειας Εκτύπωση των αποτελεσµάτων Εφαρµογή του προγράµµατος µε τη χρήση της µεθόδου των οριακών στοιχείων Αριθµητική εφαρµογή της µεθόδου των κινούµενων σηµείων Περιγραφή της κίνησης των ρύπων στους υδροφορείς Ανάλυση του προγράµµατος µε τη χρήση της µεθόδου των κινούµενων σηµείων Εφαρµογή της µεθόδου των κινούµενων σηµείων Η µέθοδος των γενετικών αλγόριθµων Απλός γενετικός αλγόριθµος Αναλογία ανάµεσα στους γενετικούς αλγόριθµους και τη γενετική Πλεονεκτήµατα των γενετικών αλγόριθµων Γενετικοί τελεστές Επιλογή (Selection) ιασταύρωση (Crossover) Μετάλλαξη (Mutation) Αντιµετάθεση (Antimetathesis) ιάγραµµα ροής ενός γενετικού αλγόριθµου Σχήµα οµοιότητας ενός γενετικού αλγόριθµου.. 84 ii

6 4.9.7 Επίλυση ενός προβλήµατος µε τη µέθοδο των γενετικών αλγόριθµων Περιγραφή του προγράµµατος που συνδυάζει τις µεθόδους των οριακών στοιχείων και των γενετικών αλγόριθµων ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Γενικά στοιχεία για την εφαρµογή του προγράµµατος ιερεύνηση της σταθερής ποινής Πρώτη εύρεση της µέγιστης παροχής Πηγάδια W 1 και W α Έλεγχος αποτελεσµάτων β Προκαταρκτική ανάλυση ευαισθησίας Πηγάδια W 3 και W Επίδραση της πιθανότητας µετάλλαξης Πηγάδια W 1 και W Πηγάδια W 3 και W α Έλεγχος αποτελεσµάτων β Προκαταρκτική ανάλυση ευαισθησίας Επίδραση της πιθανότητας διασταύρωσης Πηγάδια W 1 και W Πηγάδια W 3 και W Υπολογισµός της οριακής τιµής της ποινής Πηγάδια W 1 και W Πηγάδια W 3 και W Παρατηρήσεις Σύγκριση χρωµοσωµάτων Πηγάδια W 1 και W Πηγάδια W 3 και W Παρατηρήσεις Βελτιστοποίηση της ποινής Πηγάδια W 1 και W Πηγάδια W 3 και W Παρατηρήσεις iii

7 5.5 Τελική µορφή της ποινής Πηγάδια W 1 και W Πηγάδια W 3 και W Παρατηρήσεις Βελτιστοποίηση παροχής και θέσεων πηγαδιών Παράκτιος υδροφορέας χωρίς διεπιφάνεια Παράκτιος υδροφορέας µε διεπιφάνεια ανάµεσα στις δυο ζώνες Έλεγχος της θέσης που εξεταζόµενου πηγαδιού σε σχέση µε τις ζώνες και τα όρια του πεδίου ροής Παρατηρήσεις ΑΥΞΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΤΩΝ ΠΗΓΑ ΙΩΝ Γενικά στοιχεία για την εφαρµογή του προγράµµατος Υπολογισµός των βέλτιστων παροχών και της τοποθέτησης πέντε πηγαδιών Ανάλυση αποτελεσµάτων Παρατηρήσεις ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 207 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. 209 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. 219 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. 233 iv

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η µελέτη που ακολουθεί αποτελεί διδακτορική διατριβή και δόθηκε από τον Τοµέα Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτέλειο Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Αντικείµενο της διδακτορικής διατριβής είναι η απόληψη της µέγιστης δυνατής παροχής χωρίς κίνδυνο ρύπανσης του υπόγειου νερού από την εισροή θαλάσσιου νερού στα πηγάδια άντλησης, που είναι ένα κοινό πρόβληµα διαχείρισης παράκτιων υδροφορέων. Στην παρούσα διδακτορική εργασία ελέγχθηκε ένα σχετικά απλό υπολογιστικό εργαλείο, που συνδυάζει τις µεθόδους των οριακών στοιχείων και των κινούµενων σηµείων, για την ανάλυση της εισροής θαλάσσιου νερού σε παράκτιο υδροφορέα. Για τη βελτίωση της διαχείρισης παράκτιων υδροφορέων σχεδιάστηκε και αναπτύχθηκε ένα σύνθετο υπολογιστικό εργαλείο που αποτελεί συνδυασµό των µεθόδων οριακών στοιχείων και γενετικών αλγόριθµων. Μελετήθηκε ο ρόλος της ποινής, που ενσωµατώνεται στη συνάρτηση αποτίµησης, από όπου προέκυψε µια βέλτιστη µορφή της ποινής για το εξεταζόµενο πρόβληµα. Επίσης διερευνήθηκε η επίδραση του αριθµού των πηγαδιών στην τιµή της µέγιστης δυνατής συνολικής παροχής πηγαδιών άντλησης. Ευχαριστώ θερµά τον καθηγητή µου κ. Κ. Κατσιφαράκη για την πολύτιµη επιστηµονική και ηθική υποστήριξη καθόλη τη διάρκεια της προσπάθειας για την εκπόνηση της διδακτορικής διατριβής. Καθώς επίσης και τους καθηγητές κ. Β. ερµίση και. Τολίκα, που αποτελούσαν την τριµελή συµβουλευτική επιτροπή, για την λεπτοµερή παρακολούθηση και τεχνική υποστήριξη. Θα ήθελα να εκφράσω τη βαθιά ευγνωµοσύνη στους γονείς και στις αδελφές µου που µου συµπαραστάθηκαν αγόγγυστα σε όλες τις στιγµές της ζωής µου. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον σύζυγό µου Αλέξανδρο Καιρίδη, ο οποίος µε στήριξε στην πορεία της ενασχόλησής µου, και µε βοήθησε σηµαντικά στην ολοκλήρωση της εργασίας. Ευχαριστώ επίσης τον ιευθυντή της Ε.Υ..Ε. Ύδρευσης Αποχέτευσης και Επεξεργασίας Λυµάτων µείζονος Περιοχή Θεσσαλονίκης κ. Χ. Τηλιγάδα και τον Προϊστάµενο του Τµήµατος Μελετών της ίδιας υπηρεσίας κ. Α. Αλεξίου, για τη βοήθεια και την κατανόηση που επέδειξαν καθόλο το διάστηµα της απασχόλησής 1

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ µου στην ίδια υπηρεσία του Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε., καθώς επίσης και τους υπολοίπους συναδέλφους µου για την ηθική συµπαράστασή τους. Τελειώνοντας θα ήθελα να αναφέρω την εκτίµηση και το θαυµασµό στους καθηγητές µου που µε ζήλο και αυταπάρνηση µου πρόσφεραν απλόχερα τη γνώση που απέκτησα σε όλα τα στάδια της εκπαίδευσής µου. 2

10 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ως βασικό στοιχείο της φύσης το νερό παίζει καθοριστικό ρόλο στη διατήρηση των ισορροπιών µεταξύ των οικοσυστηµάτων. Οι κλιµατικές αλλαγές, η παρέµβαση του ανθρώπου και οι συνεχώς αυξανόµενες ανάγκες του σε νερό δηµιουργούν την έλλειψη νερού, ένα πολύ έντονο και σοβαρό πρόβληµα ιδιαιτέρως στις άνυδρες και ηµιάνυδρες παραθαλάσσιες περιοχές, όπου οι παράκτιοι υδροφορείς αποτελούν σηµαντικό µέρος του γλυκού νερού. Μερικές παραλιακές περιοχές είναι εξαιρετικά πυκνοκατοικηµένες, εποµένως οι ανάγκες σε γλυκό νερό είναι µεγάλες. Όµως η γειτνίαση µε τη θάλασσα δηµιουργεί την ανάγκη ιδιαίτερης προσοχής και ειδικών τεχνικών στη διαχείριση των υπόγειων νερών. Σε αυτές τις περιοχές οι αυξηµένες ανάγκες σε υπόγειο νερό δηµιουργούν πτώση της στάθµης του νερού στον υπόγειο υδροφόρο ορίζοντα και µείωση ή διακοπή της ροής του υπόγειου νερού προς τη θάλασσα, προκαλώντας την εισροή θαλάσσιου νερού προς το κύριο σώµα του υδροφόρου εδάφους, µε αποτέλεσµα την υφαλµύρωση του υπόγειου νερού. Σε αυτές τις περιοχές ένα βασικό πρόβληµα διαχείρισης παράκτιων υδροφορέων είναι η απόληψη της µέγιστης δυνατής παροχής χωρίς εισροή θαλάσσιου νερού στα πηγάδια άντλησης. Για την επίλυση αυτού του προβλήµατος προτείνεται σε αυτή τη διδακτορική εργασία ένα υπολογιστικό εργαλείο προσοµοίωσης-βελτιστοποίησης για την εύρεση της µέγιστης συνολικής παροχής και τη βέλτιστη διάταξη των πηγαδιών άντλησης σε παράκτιους υδροφορείς. Συγκεκριµένα προτείνουµε ένα συνδυασµό των µεθόδων των οριακών στοιχείων και των γενετικών αλγόριθµων για την επίτευξη αυτού του στόχου. Με τη µέθοδο των οριακών στοιχείων υπολογίζονται οι τιµές των παροχών που διέρχονται από τα όρια του υδροφορέα και προσδιορίζονται τα τµήµατα της ακτής στα οποία εµφανίζεται καθαρή εισροή θαλάσσιου νερού στον υδροφορέα. Η µέθοδος των γενετικών αλγόριθµων εφαρµόζεται για τον προσδιορισµό του βέλτιστου συνδυασµού παροχών και θέσεων των πηγαδιών άντλησης, χωρίς εισροή νερού από τη θάλασσα. Οι γενετικοί αλγόριθµοι είναι αλγόριθµοι βελτιστοποίησης και αναζήτησης. Βασίζονται στη θεωρία της φυσικής επιλογής και σε αρχές της γενετικής. Ενώ οι συνηθισµένες µέθοδοι βελτιστοποίησης και αναζήτησης δουλεύουν, γενικά, διαδοχικά 3

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ αναλύοντας κάθε στιγµή µια πιθανή λύση, οι γενετικοί αλγόριθµοι δουλεύουν ταυτόχρονα µε µια συλλογή πιθανών λύσεων, καθεµιά από τις οποίες αποκαλείται χρωµόσωµα. Κεντρικό στοιχείο κάθε γενετικού αλγόριθµου είναι η συνάρτηση αποτίµησης, η οποία υπολογίζει την αξία και αποδίδει µια τιµή σε κάθε χρωµόσωµα, προσµετρώντας την έκταση κατά την οποία µπορεί το χρωµόσωµα αυτό να προσφέρει µια λύση στο εξεταζόµενο πρόβληµα. Ο απλός γενετικός αλγόριθµος αποτελείται από τρεις βασικούς τελεστές: επιλογή (selection), διασταύρωση (crossover) και µετάλλαξη (mutation), µέσω των οποίων διενεργείται η µετάβαση από την µία γενεά στην επόµενη µέχρι την εύρεση της καλύτερης δυνατής λύσης. Η επιλογή γίνεται µε διάφορους τρόπους, και συµµετέχουν σε αυτή όλα τα χρωµοσώµατα, µε ξεχωριστή πιθανότητα επιβίωσης το καθένα. Σε αυτή την εργασία επιλέξαµε τη µέθοδο το διαγωνισµού (tournament). Η επιλογή οδηγεί στη δηµιουργία ενός ενδιάµεσου πληθυσµού, όπου τα καλύτερα χρωµοσώµατα έχουν, στατιστικώς, περισσότερα αντίγραφα. Κατά την διαδικασία της διασταύρωσης γίνεται ανταλλαγή τµηµάτων µεταξύ ζευγών χρωµοσωµάτων, που επιλέγονται τυχαία από τον ενδιάµεσο πληθυσµό. Σκοπός της διαδικασίας αυτής είναι η ανταλλαγή πληροφοριών µεταξύ των δυνατών λύσεων για την επίτευξη ακόµα καλύτερων αποτελεσµάτων. Η µετάλλαξη αφορά στους χαρακτήρες (genes), που απαρτίζουν τις συµβολοσειρές των χρωµοσωµάτων. Επιπλέον εφαρµόζεται και η αντιµετάθεση, που χρησιµοποιείται εναλλάξ µε τη µετάλλαξη. Η αντιµετάθεση εφαρµόζεται σε ζεύγη από συνεχόµενα γονίδια ενός χρωµοσώµατος. Η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης υπόκειται σε ορισµένους περιορισµούς. Κάποιες από τις λύσεις που είναι πιθανόν να προκύψουν µέσα από τη χρήση των γενετικών αλγόριθµων δεν αποτελούν εφαρµόσιµες λύσεις του προβλήµατος. Εάν οι λύσεις αυτές αντιπροσωπεύουν ολικά ακρότατα της αντικειµενικής συνάρτησης, θα επιτευχθεί µετά από κάποιο αριθµό γενεών σύγκλιση σε αυτές, αχρηστεύοντας προφανώς τη διαδικασία της βελτιστοποίησης. Αυτό το πρόβληµα µπορεί να αποφευχθεί µε την επιβολή στη συνάρτηση αποτίµησης κάποιας σταθερής ποινής, ή ποινής ανάλογης µε τον αριθµό των περιορισµών που παραβιάζονται ή µε ποινή ανάλογη µε το βαθµό παραβίασης κάθε περιορισµού. Στο εξεταζόµενο πρόβληµα 4

12 ΠΕΡΙΛΗΨΗ επιβάλλεται ποινή, όταν η λύση συνεπάγεται εισροή θαλάσσιου νερού στον υδροφορέα. Ετσι η συνάρτηση η συνάρτηση αποτίµησης έχει τη µορφή: N VB = Q i=1 i PEN (1) όπου Q i είναι η παροχή του κάθε πηγαδιού σε l/s και PEN είναι η ποινή, µια εικονική παροχή που αφαιρείται από το συνολικό άθροισµα παροχών, όταν υπάρχει εισροή θαλάσσιου νερού. Αν ο γενετικός αλγόριθµος λειτουργήσει σωστά, στην τελευταία γενεά θα έχει επικρατήσει ένα χρωµόσωµα, το οποίο αντιστοιχεί στη ζητούµενη βέλτιστη ή σε κάποια σχεδόν βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Για τις εφαρµογές του προγράµµατος επιλέχθηκε ένας παράκτιος υδροφορέας οµογενής κατά ζώνες (1, 2). Σε αυτόν τα όρια AB (που αντιστοιχεί στην ακτογραµµή) και ED είναι σταθερού υδραυλικού φορτίου µε τιµές φ = 0 και φ = 50 αντίστοιχα. Τα όρια AE και BD είναι αδιαπέρατα ( φ/ n = 0). Το όριο CF είναι η διεπιφάνεια ανάµεσα στις ζώνες 1 και 2, οι οποίες έχουν µεταφορικότητες Τ 1 = 0,003m 2 /s και Τ 2 = 0,001m 2 /s. Η διακριτοποίηση που εφαρµόστηκε περιλαµβάνει 45 οριακά στοιχεία και ισάριθµους κόµβους, εκ των οποίων οι 37 βρίσκονται στο εξωτερικό όριο και οι 8 στη διεπιφάνεια µεταξύ των ζωνών 1 και 2. Από τα 37 εξωτερικά οριακά στοιχεία τα 8 τοποθετήθηκαν στο όριο της θάλασσας. Οι αρίθµηση των κόµβων ξεκίνησε από τη ζώνη 1 και τελείωσε στη ζώνη 2. Οι τιµές του υδραυλικού φορτίου θεωρήθηκαν σταθερές σε όλο το µήκος του κάθε οριακού στοιχείου και ίσες µε την τιµή τους στο µέσο. Για την αξιολόγηση της προτεινόµενης µεθοδολογίας εξετάσαµε πρώτα µια σχετικά απλή περίπτωση, στην οποία ζητείται η εύρεση της µέγιστης συνολικής παροχής από δύο πηγάδια µε γνωστές συντεταγµένες. Στην περίπτωση αυτή κάθε χρωµόσωµα αντιπροσωπεύει δυο παροχές πηγαδιών Q i. Η µέγιστη δυνατή παροχή, QMAX καθορίζεται από τα δεδοµένα και ορίσθηκε ίση µε 230 l/s. Στο πρόγραµµα υπολογίστηκε ότι αντιστοιχούν 8 θέσεις σε κάθε παροχή, άρα τελικά QMAX = 255 l/s και το µήκος του χρωµοσώµατος SL1 είναι 16. Οι υπόλοιπες βασικές παράµετροι του κώδικα του γενετικού αλγόριθµου είναι: πληθυσµός, PS (population size) = 50, πιθανότητα µετάλλαξης, MP (mutation probability) = 0,01, πιθανότητα διασταύρωσης, CRP (crossover probability) = 0,30, αριθµός γενεών, MNG (number of generation) = 50, συντελεστής επιλογής, KK (selection constant) = 3. 5

13 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ξεκινήσαµε τις εφαρµογές του προγράµµατος χρησιµοποιώντας σταθερή ποινή στη συνάρτηση αποτίµησης. Με διαδοχικές δοκιµές καθορίσαµε την κατάλληλη τιµής της ποινής και ελέγξαµε την επίδραση των βασικών παραµέτρων του κώδικα του γενετικού αλγόριθµου στα αποτελέσµατα. Σε αυτές τις δοκιµές αναλύσαµε δυο περιπτώσεις. Πρώτα τοποθετήσαµε δυο πηγάδια W 1 και W 4 στην πρώτη ζώνη µε συντεταγµένες (500,700) και (1400,800) αντίστοιχα. Ύστερα τοποθετήσαµε το πηγάδι W 3 στην πρώτη ζώνη και το πηγάδι W 2 στη δεύτερη ζώνη µε συντεταγµένες (1000,700) και (1000,1700) αντίστοιχα. Τη διερεύνηση της σταθερής ποινής ξεκινήσαµε ορίζοντας την τιµή της ΡΕΝ ίση µε 30 l/s, για κάθε οριακό στοιχείο της ακτογραµµής, από το οποίο εισέρχεται θαλασσινό νερό. Σε όλες τις δοκιµές παραβιάστηκαν οι περιορισµοί του προγράµµατος και ο Γ.Α. συνέκλινε στη µέγιστη δυνατή παροχή 255 l/s για κάθε πηγάδι. Αυτό δείχνει ότι η ποινή είναι µικρή και δεν καλύπτει τους περιορισµούς. Γι αυτό αυξήσαµε το µέγεθός της, θέσαµε δηλαδή ΡΕΝ = 70 l/s. Είχαµε κάποιες αποτυχίες, όµως ορισµένες δοκιµές συνέκλιναν σε βέλτιστη λύση χωρίς παραβίαση των περιορισµών, µε µέγιστο άθροισµα παροχών 69 l/s (31 l/s η παροχή του πηγαδιού W 1 και 38 l/s η παροχή του πηγαδιού W 4 ). Αυξήσαµε τη σταθερή ποινή σε 100 l/s και εκτελέσαµε το πρόγραµµα. Είχαµε ξανά κάποιες αποτυχίες και πετύχαµε πάλι βέλτιστο άθροισµα παροχών 69 l/s στην καλύτερη λύση. Ξανά εκτελέσαµε το πρόγραµµα µε την ίδια σταθερή ποινή 100 l/s αλλά µε µεγαλύτερο αριθµό γενεών, MNG=100. Πετύχαµε σχεδόν τα ίδια αποτελέσµατα. Επειδή ο µεγαλύτερος αριθµός γενεών δίνει µεγαλύτερη ευκαιρία για σύγκλιση στην καλύτερη λύση, κρατήσαµε αυτή την τιµή στις επόµενες εφαρµογές. Στη συνέχεια επιβεβαιώσαµε ότι τα 69 l/s αντιπροσωπεύουν τη µέγιστη δυνατή συνολική παροχή, καθώς αύξηση της παροχής κατά 1 l/s είτε στο ένα είτε στο άλλο πηγάδι προκαλεί εισροή θαλασσινού νερού. Ακόµη για να επιβεβαιώσουµε ότι η βέλτιστη λύση του προγράµµατος δεν εξαρτάται από την αρχική διακριτοποίηση της µεθόδου των οριακών στοιχείων επαναλάβαµε τον έλεγχο, αφού αυξήσαµε τον αριθµό των οριακών στοιχείων της ακτογραµµής. Βρήκαµε τα ίδια αποτελέσµατα και καταλήξαµε στο συµπέρασµα ότι δεν απαιτείται λεπτοµερέστερη διακριτοποίηση του ορίου. Αναλύσαµε κατόπιν την επίδραση της πιθανότητας µετάλλαξης ΜΡ. Υπολογίσαµε µια καινούργια τιµή µε βάση το γινόµενο SL1*MP, που πρέπει να είναι κοντά στην τιµή 1. Θέσαµε έτσι MP=0,05. οκιµάσαµε αυτή την πιθανότητα 6

14 ΠΕΡΙΛΗΨΗ µετάλλαξης µε τιµές ποινής 70 l/s και 100 l/s. Πετύχαµε περίπου τα ίδια αποτελέσµατα, γεγονός που δείχνει ότι η πιθανότητα µετάλλαξης δεν παίζει ουσιαστικό ρόλο στην ποιότητα των αποτελεσµάτων. Σε µια προσπάθεια να πετύχουµε µια καλύτερη ανταλλαγή πληροφοριών µεταξύ των δυνατών λύσεων για την επίτευξη ακόµα καλύτερων αποτελεσµάτων αυξήσαµε την πιθανότητα διασταύρωσης CRP σε 0,35 και εκτελέσαµε το πρόγραµµα µε τις τιµές ποινής 70 l/s και 100 l/s. Πετύχαµε περίπου τα ίδια αποτελέσµατα, γεγονός που δείχνει ότι η πιθανότητα διασταύρωσης δεν παίζει ουσιαστικό ρόλο στην ποιότητα των αποτελεσµάτων. Προσπαθήσαµε κατόπιν να βρούµε την οριακή τιµή της ποινής, που αποτρέπει την παραβίαση των περιορισµών. Οι µέγιστες δυνατές παροχές πηγαδιών που µπορούν να αντληθούν είναι 255 l/s στο κάθε πηγάδι, άρα συνολικά 510 l/s. Το βέλτιστο άθροισµα παροχών χωρίς εισροή θαλάσσιου νερού είναι 69 l/s. Η διαφορά µεταξύ των δύο, που πρέπει να καλυφθεί µε την ποινή, είναι = 441 l/s. Άρα στο κάθε οριακό στοιχείο αντιστοιχεί ποινή 441/8 = 55 l/s. Εκτελέσαµε το πρόγραµµα µε αυτή την οριακή τιµή της ποινής. Ξανά είχαµε κάποιες αποτυχίες, ενώ στην καλύτερη λύση υπολογίστηκε το βέλτιστο άθροισµα παροχών 69 l/s. Την ίδια διαδικασία ακολουθήσαµε για την περίπτωση των πηγαδιών W 3 και W 2 όπου πετύχαµε στις καλύτερες λύσεις βέλτιστο άθροισµα παροχών 166 l/s, 0 l/s στο πηγάδι W 3 και 166 l/s στο πηγάδι W 2. Η οριακή τιµή της ποινής για αυτόν το συνδυασµό πηγαδιών υπολογίστηκε 43 l/s. Με αυτές τις δοκιµές του προγράµµατος παρατηρήσαµε ότι οι µικρές ποινές οδηγούν σε παραβίαση των περιορισµών και η σωστή ποινή πρέπει να είναι επάνω από κάποιο όριο, δηλαδή πρέπει να είναι µεγαλύτερη από µια οριακή τιµή. Σε µια προσπάθεια για να γίνει συντόµευση χρόνου στην εκτέλεση του προγράµµατος εισαγάγαµε µια διαδικασία σύγκρισης των χρωµοσωµάτων µε σκοπό τα ίδια χρωµοσώµατα να µην ελέγχονται ξανά, δεδοµένου ότι το µεγαλύτερο µέρος του υπολογιστικού χρόνου αναλώνεται για τη συνάρτηση αποτίµησης. Εφαρµόσαµε αυτή την παραλλαγή µε τη σταθερή ποινή 70 l/s. Είχαµε τα ίδια αποτελέσµατα, όµως πετύχαµε σηµαντική συντόµευση χρόνου. Με σκοπό τη περαιτέρω µελέτη της ποινής εισαγάγαµε στο πρόγραµµα µεταβλητή ποινή, η οποία αποτελείται από ένα συντελεστή που πολλαπλασιάζεται µε της εισροή θαλάσσιου νερού από κάθε οριακό στοιχείο της ακτογραµµής. Εκτελέσαµε το πρόγραµµα αυξάνοντας διαδοχικά την τιµή του συντελεστή, µέχρι που πετύχαµε το 7

15 ΠΕΡΙΛΗΨΗ βέλτιστο άθροισµα παροχών χωρίς είσοδο θαλάσσιου νερού µε την τιµή 7 για την περίπτωση των δυο πηγαδιών W 1 και W 4 (που βρίσκονται στην πρώτη ζώνη) και την τιµή 10 για την περίπτωση των πηγαδιών W 3 και W 2 (που βρίσκονται στην πρώτη και στη δεύτερη ζώνη αντίστοιχα). Μάλιστα µε τις διαδοχικές αυξήσεις του συντελεστή παρατηρήσαµε ότι η διαφορά ανάµεσα στην τιµή της συνάρτησης αποτίµησης και στο άθροισµα των παροχών µειώνεται. Στη συνέχεια επιχειρήσαµε µια σύνθεση των προηγουµένων, ορίζοντας µια ποινή που αποτελείται από ένα σταθερό και ένα µεταβλητό όρο. Καθορίσαµε ότι ο µεταβλητός όρος είναι µια τιµή επταπλάσια της παροχής θαλάσσιου νερού που εισρέει από κάθε οριακό της ακτογραµµής του παράκτιου υδροφορέα και ο σταθερός όρος αντιστοιχεί στη σταθερή ποινή 70 l/s, τιµές που µας είχαν δώσει τα καλύτερα αποτελέσµατα στις προηγούµενες εφαρµογές. Έτσι η νέα ποινή είναι: PEN = 70 k 7 T1 qi li (2) όπου T 1 είναι η µεταφορικότητα της ζώνης 1 και l i το µήκος του οριακού στοιχείου i για τα k οριακά στοιχεία στα οποία το q i έχει θετική τιµή, ένδειξη ότι υπάρχει εισροή θαλάσσιου νερού. Εκτελέσαµε το πρόγραµµα µε αυτή τη µορφή της ποινής και είχαµε καλά αποτελέσµατα χωρίς καµιά αποτυχία. Επιβεβαιώσαµε έτσι ότι η εύρεση των µέγιστων παροχών χωρίς κίνδυνο υφαλµύρωσης από την εισροή θαλάσσιου νερού εξαρτάται από την υιοθέτηση κατάλληλης ποινής, της οποίας µελετήσαµε τη διαδικασία προσδιορισµού. Στη συνέχεια εξετάσαµε ένα συνθετότερο πρόβληµα, όπου επιδιώκαµε συγχρόνως τον υπολογισµό των βέλτιστων θέσεων πηγαδιών και των µέγιστων παροχών άντλησης, χωρίς εισροή θαλάσσιου νερού, δηλαδή χωρίς παραβίαση του περιορισµού του προγράµµατος. Στις νέες εφαρµογές κρατήσαµε την τελική µορφή της ποινής της συνάρτηση αποτίµησης, που δίνεται από τη σχέση 2. Σε αυτήν την περίπτωση το χρωµόσωµα αποτελείται από τρία τµήµατα. Το πρώτο αντιπροσωπεύει τις παροχές άντλησης που υπολογίσαµε και στις προηγούµενες εφαρµογές, ενώ τα άλλα δυο τµήµατα αντιστοιχούν στις συντεταγµένες (x,y) των θέσεων των πηγαδιών άντλησης. Για αυτές τις συντεταγµένες τα όρια διακύµανσης ορίστηκαν µικρότερα από τα όρια του πεδίου ροής. Το x κυµαίνεται από 220 ως 1750 και το y από 400 ως. 8

16 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η µέγιστη δυνατή παροχή, MAXQ για κάθε πηγάδι παραµένει 230 l/s, αλλά το µήκος της συµβολοσειράς του χρωµοσώµατος µεγαλώνει. Γι αυτό υπολογίσαµε νέα τιµή για την πιθανότητα µετάλλαξης, MP = 0,01. Επίσης µεγαλώσαµε τον αριθµό γενεών, MNG=300 για τις επόµενες εφαρµογές του προγράµµατος. Κάναµε µεγάλο αριθµό δοκιµών (αριθµητικών πειραµάτων). Οι τιµές του αθροίσµατος των παροχών που βρήκαµε κυµαίνονται από 446 µέχρι 466 l/s. Στην καλύτερη λύση 253 l/s είναι η παροχή του πηγαδιού W 1 και 213 l/s η παροχή του πηγαδιού W 2. Σε όλες τις περιπτώσεις τα πηγάδια τοποθετήθηκαν στη µεγαλύτερη δυνατή απόσταση από την ακτογραµµή. Όπως και στην προηγούµενη περίπτωση, διαπιστώσαµε ότι η µέγιστη δυνατή συνολική παροχή είναι πράγµατι 466 l/s. Αυτό δείχνει ότι η προτεινόµενη µεθοδολογία και το αντίστοιχο πρόγραµµα µπορούν να αντιµετωπίσουν ικανοποιητικά και σύνθετα προβλήµατα διαχείρισης παράκτιων υδροφορέων. Για να διερευνήσουµε περισσότερο τις δυνατότητες του προγράµµατος αυξήσαµε τον αριθµό των πηγαδιών σε πέντε. Στην περίπτωση αυτή υπολογίσθηκε η ίδια σχεδόν µέγιστη δυνατή παροχή, ενώ τα πέντε πηγάδια συγκεντρώθηκαν ουσιαστικά σε δυο θέσεις, πάλι βέβαια στη µεγαλύτερη δυνατή απόσταση από την ακτογραµµή. Το εκ πρώτης όψεως παράδοξο αποτέλεσµα της συγκέντρωσης των 5 πηγαδιών σε 2 θέσεις εξετάσθηκε περαιτέρω. ιαπιστώθηκε ότι η αύξηση του αριθµού των πηγαδιών εξασφαλίζει µεγαλύτερες παροχές όταν τα πηγάδια βρίσκονται κοντά στην ακτογραµµή. Αντίθετα, όταν τα πηγάδια βρίσκονται κοντά στο όριο τροφοδοσίας µε γλυκό νερό, είναι δυνατόν να αντληθούν µεγαλύτερες παροχές µε µικρότερο αριθµό πηγαδιών. 9

17 ABSTRACT ABSTRACT As an essential element found in nature, water plays a decisive role in preserving the balance between various ecosystems. Climatic changes, human intervention and the ever-growing needs of mankind in water, all lead to the lack of water, which becomes a very intense and serious issue to cope with, especially in arid and semi-arid coastal areas, where the coastal aquifers are a significant part of the fresh water reserves. Some coastal areas are extremely dense populated, therefore fresh water needs are high. However, proximity of these areas to the sea, calls for a need in paying particular attention and using special groundwater management techniques. In these areas, high groundwater demand leads to a decrease of the groundwater level and a decrease or interruption of the groundwater flow to the sea, causing the inflow of seawater to the main body of the aquifer. A major issue in maintaining the coastal aquifers in these areas, is the maximization of the groundwater extraction rates with no intrusion of seawater into the pumping wells. What this doctoral thesis proposes, with a view to coping with this problem, is the use of a computational simulation and optimization tool to calculate the maximum overall water flow rate and the optimum layout of a pumping well system in coastal aquifers. Our suggestion focuses on combining the boundary element method (BEM) and genetic algorithms to achieve the goal set. The BEM calculates the water flow rate values passing from the aquifer boundaries and defines those coastal sections where pure sea water inflows to the aquifer. The genetic algorithm method is applied to determine the optimum combination of flow rate and pumping wells positioning, without inducing intrusion of seawater to the wells. Genetic algorithms are optimization and searching algorithms, based on Darwin's Theory of Evolution and its cornerstone being the natural selection, and on certain principles of Genetics. Although most of the optimization and searching methods are generally functioning by analysing successively in a single instant a potential solution, genetic algorithms are simultaneously analysing all together a potential solution collection. Each such potential solution structure is called a "chromosome". 11

18 ABSTRACT The key element in every genetic algorithm is the evaluation function which calculates and assigns to each chromosome a fitness value, admeasuring the extent to which this chromosome could possibly contribute to the issue in question. A simple genetic algorithm is composed of the "Selection", "Crossover" and "Mutation" main genetic operators, by means of which a transition from one generation to another takes place, till the best possible solution is found. The Selection process is carried out in various ways. All chromosomes are involved in this process, although the possibilities of survival of each one may be different. To prepare our Thesis we have opted for the Tournament Method. The Selection process leads to the formation of an intermediate population, whereby the best chromosomes are considered statistically to have more copies made. During the Crossover process step, members between chromosome pairs, randomly selected among the intermediate population, are interchanged. The purpose of this process is to exchange information between all possible solutions to yield even better results. The Mutation step concerns the genes from which the chromosome strings are made of. In addition and alternatively with the Mutation process the "Antimethathesis" process is applied. Antimethesis is applied in consecutive gene pairs of a single chromosome. The optimal solution searching process is subjected to certain constraints. Some of the solutions that may derive from the genetic algorithm use, can not be considered as applicable solutions to the problem in question. If these should represent the global optima of an objective function, then, after several generations, data would converge to these solutions, rendering obviously the optimization process useless. This problem could be avoided by imposing on the evaluation function a fixed penalty function, or a penalty proportional to the number of the violated constraints, or a penalty congruent with the extent to which each single constraint has been violated. On this problem, as addressed in this paper, a penalty applies when the solution involves seawater inflow to the aquifer. Hence, the evaluation function is: N VB = Q i=1 i PEN (1) where Q i is the flow rate in each well measured in l/s, and PEN is the penalty, a virtual flow rate which is deducted from the total flow rate when seawater inflow occurs. 12

19 ABSTRACT If the genetic algorithm functions properly, then a single chromosome would have prevailed in the last generation and this particular chromosome would correspond to the optimal or to the nearly optimal solution required. For software applicability purposes, a coastal aquifer with 2 zones of different transmissivities was selected. The aquifer boundaries AB (corresponding to the coastline) and ED, have constant hydraulic heads with respective values set to φ = 0 and φ = 50. The boundaries AE and BD are impermeable ( φ/ n = 0). CF boundary represents the interface between zones 1 and 2, the transmissivities of which are Τ 1 = 0,003m 2 /s and Τ 2 = 0,001m 2 /s respectively. The discretization method applied includes 45 boundary elements and nodes equal in number, of which 37 nodes are found in the external field boundary and 8 of them on the interface of zones 1 and 2. Of the 37 external field boundary elements, 8 have been placed on the sea boundary. Enumeration of the nodes has started from zone 1 and ended at zone 2. The hydraulic head values were assumed to be constant all throughout each boundary element and equal to the value obtained in the middle. To evaluate the proposed methodology, we have studied a relatively simple case, where the task was to seek the maximum total flow rate of two wells with known coordinates. In this case every single chromosome represents two well flow rate capacities Q i. The maximum potential flow rate "QMAX" is determined by the data and has been set to be equal to 230l/s. Eight (8) positions (genes) were calculated by the software to correspond to each flow rate, therefore the QMAX eventually equals to 255l/s and the chromosome's SL1 length equals to 16. The rest of the main genetic algorithm code parameters are as follows: PS (population size) = 50, MP (mutation probability) = 0.01, CRP (crossover probability) = 0.30, MNG (number of generation) = 50, KK (selection constant) = 3. We started running the software applications using in the evaluation function a constant penalty. After carrying out consecutive tests we set the appropriate penalty value and checked the impact of the genetic algorithm code main parameters in the results. In these tests we have analysed the following two cases: First, we placed the W 1 and wells in zone 1, their coordinates being (500,700) and (1400,800) respectively. Next, we placed the W 3 in zone 1 and W 2 well in zone 2, with their coordinates being (1000,700) and (1000,1700) respectively. We began searching for the ideal constant penalty, setting the PEN value for each boundary element of the coastline through which seawater inflow occurs, to 13

20 ABSTRACT 30l/s. All tests have shown that software constraints were violated and that the VB converged to QMAX= 255l/s for each well. This value indicated that the penalty value opted for was too low, as it did not cover the constraint requirements, and this is why we increased it by setting the PEN to 70l/s. We have experienced some failures, however, certain tests converged to an optimal solution without indicating any violation of constraints, where the maximum sum of flow rates equaled to 69l/s (i.e. 31l/s corresponds to the flow rate of the W 1 well and 38l/s to the W 4 well). Then we increased PEN to 100 l/s. We envisaged again a certain degree of failure, but managed to achieve the optimal flow rate sum of 69l/s in the optimal solution. We run the software code again using the same constant penalty of 100l/s, but this time with a higher generation number, MNG=100. The results obtained were mostly the same. Since a higher generation number offers more possibilities for a convergence to the optimal solution, we decided to maintain this value for the following applications as well. Subsequently, we confirmed that the value of 69l/s represents the maximum potential total flow rate, since even a slightest increase by 1l/s in either well, would induce seawater inflow. Also, to verify that the optimal software code solution is not related to any extent to the original discretization of the BEM, we repeated the test by increasing the number of the coastline boundary elements. The results obtained were the same and this lead us to the conclusion that a more detailed boundary discretization procedure was not required anymore. We then proceeded with an analysis of the potential mutation probability MP. We calculated a new value based on the SL1*MP product that should approximate the value of 1. Hence, the MP was set to 0.05 and this value was tested with penalties of 70l/s and 100l/s. Almost the same results were obtained, which indicates that the mutation probability does not play a substantial role in the quality of the results. In an effort to achieve a better data exchange between all potential solutions that would yield even better results, what we did was to increase the CRP cross-over potential to 0.35 and ran the software application with the penalty values of 70l/s and 100l/s. Almost the same results were obtained which indicates that the cross-over probability does not seem to play a key role in the quality of the results. Then, we tried to establish that marginal penalty value which would not allow for a constraint violation. The maximum potential well flow rates are 255l/s for each well, thus a total of 510l/s for both. The optimal summation of flow rates, without any 14

21 ABSTRACT seawater intrusion, is 69l/s. The difference between the two aforementioned total values, which has to be compensated for with the penalty is = 441l/s. Thus, the penalty to apply to each boundary element is 441/8 = 55l/s. We ran the software using the above marginal penalty value, and although we faced some failures, the optimum flow rate summation for the optimal solution was computed to 69l/s. In the case of the W 3 and W 2 wells, we followed the same procedure and obtained for the optimal solutions the optimal summation of flow rate capacities of 166l/s, namely 0l/s for W 3 well and 166l/s for W 2 well. The marginal penalty value applying for the specific well combination was set to 43l/s. By running this software application we observed that by establishing low penalty values we end up with constraint violations and that the appropriate penalty value to apply should be above a certain limit. In other words, the penalty value must be higher than a marginal value. In our effort to reduce the time required in running the software application, we introduced a chromosome comparison process, to avoid testing the same chromosomes twice, since most of the time required to calculate the facts is spend in the evaluation function. We applied this variation using the constant penalty value of 70l/s. The results obtained were actually the same, however, we managed a significant cut-down of the software application run-time. With a view to study further the penalty issue, we introduced a variable penalty, which consisted of a coefficient that multiplies the seawater inflow rate through the coastline boundary elements. The software application was run by gradually increasing the coefficient value up to the point where the optimal flow rate summation would be obtained with no intrusion of seawater. Hence, the coefficient value for wells W 1 and W 4 (both located in zone 1) was increased to the value of 7, and for wells W 3 and W 2 (located in zone 1 and zone 2 respectively) the value was set to 10. In particular, we observed that, by the subsequent increase of the coefficient, the discrepancy between the evaluation function value and the summation of the flow rate value tended to decrease. Next, we attempted to compose the above, by introducing a penalty value consisting of one constant and one variable term. We established that the variable term is a value seven times higher than the flow rate of the sea water that intrudes from each boundary element of the coastline and that the constant flow corresponds to 15

22 ABSTRACT the constant penalty value of 70l/s. These values had yielded better results in the previous applications performed. Hence, the new evaluation function becomes now: PEN = 70 k 7 T1 qi li (2) where T 1 is the transmissivity of the coastal zone 1 and l i is the length of coastal boundary element i, while summation extends only to the k boundary elements with positive q i values. The application was ran using that penalty type and this time we did not envisage any failures as the results obtained were very good. In that way we confirmed that the pursuit of the maximised inflow rates without running the risk of salinization, due to the inflow of seawater, depends really on adopting a suitable penalty value, as was examined and studied at the determination process step. Then, we proceeded by examining a more complex issue. The goal was to calculate at the same time the optimal well positioning and the maximal pumping flow rates, without the intrusion of seawater, in other words, without violating the software application constraints. In the new applications we still used the evaluation function final penalty type, as shown by the equation 2. In this particular case, the chromosome consists of 3 parts: The first part represents the pumping flow rate capacities calculated also in the previous applications, whilst the other two parts correspond to the coordinates x,y of the pumping well positions. Regarding the coordinates, the boundary ranges were assumed to be smaller than the boundaries of the flow field. X coordinate ranges between 220 and 1750 and y between 400 and. The maximum flow rate MAXQ for each well remains 230l/s, but the chromosome string length increases. Therefore, we calculated a new value for the mutation potential (MP) equalling For the following software applications we also increased the number of generations (MNG) to 300. We ran a large number of tests (numeric experiments) and the flow rate summation values given range from 446 to 466l/s. In the optimal solution, the flow rate of the W 1 well is 253l/s and that of well W 2 is 213l/s. In all cases, wells were located as far as possible from the coastline. As in the previous case, we ascertained that the maximum total flow rate was in fact 466l/s. This is a clear indication that both the methodology proposed and the respective software application can also deal effectively with complex issues related to the coastal aquifer management. 16

23 ABSTRACT To explore even further the current application potentials we increased the number of wells to five (5). In that case, an almost identical maximum flow rate was calculated, while all 5 wells were gathered basically into two positions, placed again at the farthest possible distance from the coastline. The result obtained from the concentration of 5 wells into two places that was initially considered odd, was further analyzed. It was established that an increase in the number of wells guarantees higher flow rates when wells are located near the coastline. On the contrary, when the wells are located near the fresh water supply boundary, it is possible to pump higher flow rates when the number of wells is smaller. 17

24 RESUMO RESUMO Como componente básico da natureza a água tem uma função importante na conservação do equilíbrio entre os ecossistemas. As mudanças climáticas, a intervenção do homem e os constantes aumentos do consumo de água causam a excasses dos recursos hídricos, um problema intenso e sério principalmente nas regiões áridas e semi-áridas das zonas costeiras onde os aquíferos constituem importante reservatório de água doce. Algumas zonas costeiras são intensamente povoadas, logo as necessidades de água são grandes. Entretanto a proximidade do mar cria a necessidade de uma atenção particular e técnicas especiais no uso das águas subterrâneas. Nessas regiões as crescentes necessidades de bombeamento de água doce causam um brusco declive do nível de água no aquífero subterrâneo e uma diminuição ou corte do fluxo de água doce na direção do mar, provocando a intrusão da água do mar no corpo principal do aquífero subterrâneo, resultando na salinização da água subeterrânea. Nessas regiões um problema básico do manejo dos aquíferos costeiros é a determinação do volume máximo permitido de água doce que se pode bombear sem que haja intrusão de água do mar nos poços. Para alcançarmos a solução desse problema sugerimos neste trabalho de doutorado uma ferramenta matemática de simulação maximização para a determinação da vazão total máxima e a melhor localização dos poços de bombeamento. Especificamente sugerimos uma combinaçãos dos métodos dos elementos finitos e dos algorítmos genéticos para o alcance desse objetivo. Atravéz do método dos elementos finitos são calculados os valores dos fluxos de água do mar que ultrapassam o limite do aquífero costeiro e são determinados os pontos da linha costeira onde aparece intrusão de água do mar. O método dos algorítmos genéticos é aplicado para a determinação da melhor combinação de vazão de água doce que pode ser bombeada e da melhor localização dos poços a fim de que não ocorra intrusão de água do mar. Os algorítmos genéticos são algorítmos de maximização e busca. São baseados na teoria de escolha natural e em princípios genéticos. Enquanto os métodos comuns de maximização e busca trabalham, geralmente, em série solucionando cada instante uma possível solução, os algorítmos genéticos trabalham 19

25 RESUMO ao mesmo tempo com uma coleção de soluções possíveis, cada uma das possíveis soluções são denomindadas cromossomo. Elemento central de cada algorítmo genético é a função de estimação (evaluation function), a qual avalia o resultado calculado dando um valor a cada cromossomo e avaliando a possibilidade que poderá cada um destes cromossomos oferecer uma solução ao problema que examinamos. O algorítimo genético simples é composto de três operadores básicos: seleção (selection), interseção (crossover) e mutação (mutation), atravéz dos quais ocorre a transição de uma geração a seguinte até que seje encontrada a melhor solução possível. O processo de escolha ocorre de maneiras diferentes, e participam todos os cromossomos, cada um com diferente possibilidade de sobrevivência. Nesse processo escolhemos a concorrência (tournament). O processo de escolha direciona o desenvolvimento de uma população intermediária, onde os melhores cromossomos tem, estatisticamente, maior quantidade de cópias. Durante o processo de interseção ocorre a troca de segmento entre pares de cromossomos, que são escolhidos aleatoriamente entre a população intermediária. O objetivo desse processo é a troca de informações entre as soluções possíveis para o alcance de ainda melhores soluções. O processo de mutação diz respeito as características (gens), que formam os segmentos (string) dos cromossomos. Além disso é aplicada a antimetáfesis (antimetathesis), que é utilizada de maneira alternada com a mutação. A antimetáfesis é aplicada em par de gens seguidos de um cromossomo. A busca da melhor solução depende de algumas limitações. Algumas das soluções que são possíveis de ocorrer com a aplicação dos algorítimos genéticos podem não ser soluções aplicáveis do problema. Se essas soluções representarem total excedente da função de estimação, após um certo número de gerações convergirão nestas soluções, inutilizando provavelmente o processo de maximização. Esse problema pode ser evitado com a imposição na função de estimação de alguma pena estável, ou pena proporcional ao fator limitante violado, ou pena proporcional ao nível violado de cada fator limitante. No problema que examinamos a imposição da pena é necessária quando na solução ocorre intrusão de água do mar no aquífero. Nesse caso a função de estimação tem a forma: 20

26 RESUMO N VB = Q i=1 i PEN (1) onde Q i é a vazão de água doce bombeada (fluxo) atravéz de cada poço em l/s e PEN é a pena, um fluxo fictício que é subtraído do somatório das vazões, quando ocorre intrusão de água do mar. Se o algorítmo genético funcionar corretamente, na última geração terá sido calculado um cromossomo, o qual representa a melhor solução desejada ou alguma aproximadamente melhor solução do problema. Para as aplicações do problema foi escolhido um aquífero costeiro homogêneo de duas zonas (1, 2). Neste aquífero os limites AB (representa a linha costeira) e ED são de pressão piezométrica estável com valores φ = 0 και φ = 50 respectivamente. Os limites AE e BD são impermeáveis ( φ/ n = 0). O limite CF é a superfície entre as zonas 1 e 2, as quais tem transmissibilidade Τ 1 = 0,003m 2 /s e Τ 2 = 0,001m 2 /s. A divisão dos elementos finitos aplicada engloba 45 elementos finitos e nós igualmente distribuídos, dos quais 37 encontram-se no limite externos e 8 na superfície entre as zonas 1 e 2. Dos 37 elementos finitos pertencentes ao limite externo 8 localizam-se no limite costeiro. A numeração dos nós iniciou na zona 1 e terminou na zona 2. Os valores da pressão piezométrica foram considerados estáveis em todo o comprimento de cada elemento finito e iguais aos seus valores no centro. Para a avaliação da metodologia sugerida examinamos primeiramente um caso relativamente simples, onde buscamos a vazão total máxima que pode ser bombeada por poços de posições conhecidas. Nesse caso cada cromossomo representa duas vazões bombeadas pelos poços Q i. A vazão máxima permitida, QMAX foi estimada em 230 l/s. O programa calculou que correspondem 8 posições para cada vazão, logo QMAX = 255 l/s e o comprimento do cromossomo SL1 é 16. O restante dos parâmetros básicos do código do algorítmo genético são: população, PS (population size) = 50, probabilidade de mutação, MP (mutation probability) = 0,01, probabilidade de interseção, CRP (crossover probability) = 0,30, número de gerações, MNG (number of generation) = 50, constante de escolha, KK (selection constant) = 3. Iniciamos as aplicações do programa inserindo uma pena estável na função de estimação. Atravéz de tentativas sucessivas determinamos o valor apropriado da pena e verificamos a influência dos parâmetros básicos do código do algorítmo 21

27 RESUMO genético nos resultados obtidos. Nestas tentativas analizamos dois casos. Primeiramente posicionamos dois poços W 1 e W 4 na primeira zona com coordenadas (500,700) e (1400,800) respectivamente. Em seguida posicionamos o poço W 3 na primeira zona e o poço W 2 na segunda zona com coordenadas (1000,700) e (1000,1700) respectivamente. Iniciamos a busca da pena estável escolhando o valor ΡΕΝ igual a 30 l/s, para cada elemento finito do limite costeiro, atravéz qual ocorre intrusão da água do mar. Em todas as tentativas as limitações do programa foram violadas e o algorítmo genético determinou a vazão máxima possível 255 l/s em cada poço. Isso mostra que o valor da pena é pequeno e não cobre o valor de limitação. Por isso aumentamos o valor da pena, ou seja estipulamos ΡΕΝ = 70 l/s. Tivemos algums fracassos, porém em algumas tentativas obtivemos boas soluções sem que fossem violadas as limitações do programa, foi calculada a vazão máxima total 69 l/s (31 l/s a vazão do poço W 1 e 38 l/s a vazão do poço W 4 ). Aumentamos o valor da pena para 100 l/s e executamos o programa. Obtivemos alguns fracassos e novamente foi calculada a vazão máxima total 69 l/s na melhor solução. Executamos novamente o programa com o mesmo valor da pena estável 100 l/s mas com maior número de gerações, MNG=100. Obtivemos aproximadamente os mesmos resultados. Como o maior número de gerações oferece maior chance em obter a melhor solução, mantivemos este valor para as posteriores aplicações do programa. Em seguida certificamos que os 69 l/s representam a vazão máxima total permitida, pois o aumento 1 l/s tanto em um como no outro poço provocou a intrusão de água do mar. Ainda para certificarmos que a melhor solução não depende da separação inicial dos elementos finitos repetimos a verificação, com o aumento do número dos elementos finitos no limite costeiro. Encontramos os mesmos resultados e concluimos que não é necessaria uma divisão maior dos elementos finitos do limite costeiro. Analisamos a influência da probabilidade de mutação ΜΡ. Calculamos um novo valor baseado no princípio SL1*MP, que deve ser aproximadamente 1. Determinamos o valor MP=0,05. Experimentamos essa probabilidade de mutação com valores da pena 70 l/s e 100 l/s. Encontramos aproximadamente os mesmos resultados, demonstrando que a probabilidade de mutação não tem grande influência na qualidade dos resultados. 22

28 RESUMO Numa tentativa de alcançarmos maior troca de informações entre as soluções possíveis para obtermos ainda melhores resultados aumentamos a probabilidade de interseção, CRP para 0,35 e executamos o programa com valores de pena 70 l/s e 100 l/s. Adquirimos aproximadamente os mesmos resultados, demonstrando que a probabilidade de interseção não tem grande influência na qualidade dos resultados. Experimentamos determinar o valor limitante da pena que possa evitar a violação das limitações do programa. As vazões máximas possíveis para bombeamento de água doce é 255 l/s em cada poço, logo o total é 510 l/s. A vazão máxima total sem que ocorra intrusão de água do mar é 69 l/s. A diferença entre os dois totais, que deve cobrir a pena, é = 441 l/s. Logo em cada elemento finito correspondente a pena 441/8 = 55 l/s. Executamos o programa com esse valor limite da pena. Mais uma vezes tivemos alguns fracassos, enquanto na melhor solução foi calculada a vazão máxima total 69 l/s. Acompanhamos o mesmo processo para o caso da análise dos poços W 3 e W 2 onde obtivemos nas melhores soluções a vazão máxima total 166 l/s, 0 l/s no poço W 3 e 166 l/s no poço W 2. O valor limite da pena para esta combinação de poços foi calculado em 43 l/s. Com estas avaliações do programa observamos que os pequenos valores das penas levam a violação das limitações do programa e o valor correto da pena deve ser superior a algum limite, ou seja deve ser maior que um valor limitante da pena. Numa tentativa de obter uma diminuição do tempo para a conversão do programa introduzimos um processo de comparação dos cromossomos com o objetivo de não serem avaliados novamente os mesmos cromossomos, pois a maior parte do tempo de conversão do programa é gasto na função de estimação. Aplicamos essa mudança do programa com a pena estável 70 l/s. Obtivemos novamente os mesmos resultados, contudo tivemos uma diminuição importante no tempo de conversão do programa. Com o objetivo de uma análise mais detalhada do valor da pena introduzimos no programa uma pena inconstante, formada por uma constante que é multiplicada pela intrusão de água do mar em cada elemento finito do limite costeiro. Aplicamos o programa aumentando sucessivamente o valor da constante, até que encontramos a vazão máxima total sem intrusão de água do mar com a constante = 7 no caso dos dois poços W 1 e W 4 (localizados na primeira zona) e com a constante = 10 para o caso dos poços W 3 e W 2 (localizados na primeira e segunda zona respectivamente). 23