Μεταπτυχιακή ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ανάλυση αξιοπιστίας κατασκευών με συστήματα προστασίας υπό σεισμική φόρτιση. Εφαρμογή στην περίπτωση ρευστοποίησης.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ» Μεταπτυχιακή ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανάλυση αξιοπιστίας κατασκευών με συστήματα προστασίας υπό σεισμική φόρτιση. Εφαρμογή στην περίπτωση ρευστοποίησης. Μαριάνθη Γκίκα Διπλ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2008

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τον τρόπο υπολογισμού της αξιοπιστίας των συστημάτων και ειδικότερα με τον υπολογισμό της αξιοπιστίας στην περίπτωση της σεισμικής φόρτισης που προκαλεί ρευστοποίηση. Αναλυτικότερα, στο Κεφάλαιο 1 γίνεται αναφορά στις βασικές αρχές της ανάλυσης αξιοπιστίας έτσι ώστε να κατανοηθεί από τον αναγνώστη η μετέπειτα μεθοδολογία που ακολουθεί. Εισάγονται οι βασικές έννοιες και η πορεία σχεδιασμού των γεωτεχνικών έργων σύμφωνα με την προαναφερθείσα μέθοδο. Στο Κεφάλαιο 2 εισάγεται η έννοια της αξιοπιστίας των συστημάτων. Συγκεκριμένα, γίνεται διαχωρισμός των συστημάτων σε κατηγορίες και περιγράφεται ο τρόπος υπολογισμού της πιθανότητας αστοχίας της κάθε κατηγορίας που επαγωγικά οδηγεί στον προσδιορισμό της αξιοπιστίας τους. Στο Κεφάλαιο 3 αποσυντίθεται η διαδικασία υπολογισμού της αξιοπιστίας σε συστήματα προστασίας όπως αυτό της δεξαμενής και του τοίχου αντιστήριξης. Η αποσύνθεση του προβλήματος περιλαμβάνει αναλυτικά την παρουσίαση του δέντρου των πιθανών γεγονότων για την περίπτωση στατικών και σεισμικών φορτίων. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται συνοπτικά η έννοια της ρευστοποίησης σε όρους του κλασικού συντελεστή ασφαλείας και δίνεται ο υπολογισμός του σύμφωνα με τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 8 και του ΝCEER 97. Στο Κεφάλαιο 5 υπολογίζεται η αξιοπιστία του συστήματος έναντι ρευστοποίησης. Προς εκπλήρωση αυτού του σκοπού παρουσιάζεται ο υπολογισμός της πιθανότητας ρευστοποίησης και προσδιορίζεται το ακριβές μοντέλο υπολογισμού της. Στο Κεφάλαιο 6 δίνεται παράδειγμα εφαρμογής προσδιορισμού της αξιοπιστίας ενός συστήματος προστασίας έναντι ρευστοποίησης. Γίνεται προσδιορισμός της πιθανότητας αστοχίας σε στατικά φορτία και στη συνέχεια ο δυναμικός υπολογισμός έναντι ρευστοποίησης.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 1.1 Η ακρίβεια των προβλέψεων στη γεωτεχνική μηχανική και οι έννοιες του περιθωρίου ασφαλείας Η ακρίβεια της πρόβλεψης της συμπεριφοράς των τεχνικών έργων στα οποία το έδαφος αποτελεί υλικό θεμελίωσης, ή γενικότερα υλικό περιβάλλοντος, όπως στις υπόγειες κατασκευές, είναι γενικά περιορισμένη, επειδή οι μηχανικές ιδιότητες των εδαφών και τα φορτία δεν είναι ποτέ γνωστά με απόλυτη ακρίβεια, καθώς επίσης και οι μέθοδοι υπολογισμού περιέχουν προσεγγίσεις. Σχήμα 1.1: παράγοντες ακρίβειας προβλέψεων στην Γεωτεχνική Μηχανική Το σχήμα 1.1 παρουσιάζει γενικά τους παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ακρίβεια των προβλέψεων στην Γεωτεχνική Μηχανική. Η συνεισφορά του κάθε παράγοντα είναι διαφορετική για κάθε κατηγορία προβλημάτων ( αντοχής ή παραμορφώσεων) και αποτελεί αντικείμενο για κάθε περίπτωση. Οι ανακρίβειες στην μέθοδο υπολογισμού και στη συλλογή των τιμών των παραμέτρων της μεθόδου αντιμετωπίζονται στην κλασική ανάλυση των τεχνικών έργων με την εκλογή ενός κατάλληλου συντελεστή ασφαλείας που κατά κανόνα ορίζεται ως λόγος του φορτίου αστοχίας προς το εφαρμοζόμενο φορτίο. Τιμή του συντελεστή ασφαλείας μεγαλύτερη από μία συγκεκριμένη τιμή, που ορίζεται από Κανονισμούς, αποδεικνύει ότι η κατασκευή είναι ασφαλής. 1

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Η χρησιμοποίηση συντελεστών ασφαλείας με την έννοια της προηγούμενης παραγράφου αποδεικνύεται λιγότερο επιτυχής για τα προβλήματα της Γεωτεχνικής Μηχανικής. Οι περιορισμοί του μαθηματικού μοντέλου που περιγράφει την πραγματική συμπεριφορά του εδάφους και οι δυσκολίες στην εκτίμηση των αριθμητικών τιμών των παραμέτρων του μοντέλου μας οδηγούν στο να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα της ασφαλείας όχι με την υιοθέτηση ενός μοναδικού συντελεστή ασφαλείας με την μορφή λόγου τάσεων ή λόγου φορτίων, αλλά με την έννοια του περιθωρίου ασφαλείας. Στην περίπτωση αυτή δεν είναι απαραίτητο να υπολογίζεται η ακριβής τιμή του, αλλά να ελέγχεται αν η τιμή του είναι θετική και μεγαλύτερη από ένα όριο που εκλέγεται σε κάθε πρόβλημα ανάλογα με τα δεδομένα, χωρίς να είναι αναγκαίο να προσδιορίζεται η ακριβής τιμή του. Η έννοια του περιθωρίου ασφαλείας αποκτά νέα δυναμική εάν εξεταστεί υπό το πρίσμα της πιθανολογικής μελέτης. Οι βασικές έννοιες και τα σημαντικότερα προβλήματα της πιθανολογικής θεώρησης της έννοιας του περιθωρίου ασφαλείας εξετάζονται στο παρόν κεφάλαιο. 1.2 Στοχαστική προσέγγιση του συστήματος αντοχής-φορτίου, συσχέτιση με την πιθανότητα αστοχίας την έννοια και του δείκτη αξιοπιστίας. Στην απλούστερη περίπτωση το πρόβλημα σχεδιασμού μπορεί να διατυπωθεί σε όρους αντοχής (C)- φορτίου (D). Οι όροι αντοχή και φορτίο θεωρούνται με τη γενική έννοια: Με τον όρο αντοχή εννοούμε την ικανότητα του συστήματος να ανταποκρίνεται ικανοποιητικά στις απαιτήσεις που επιβάλλονται από φορτία ή από το περιβάλλον, ενώ με τον όρο φορτίο εννοούμε τις απαιτήσεις που επιβάλλονται σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΦΟΡΤΙΟ Αντοχή θεμελιώσεων Φέρουσα ικανότητα Φορτία από ανωδομή Μετακινήσεις θεμελιώσεων Οριακή καθίζηση που επιβάλλεται από Καθίζηση από τα φορτία της ανωδομής Κανονισμούς ή από ανάλυση ανωδομής Ευστάθεια έργων αντιστήριξης Ευστάθεια πρανών (κυκλική επιφάνεια ολίσθησης) Ρευστοποίηση αμμωδών εδαφών σε περίπτωση σεισμού -Ροπή ευστάθειας -Αντοχή έναντι ολίσθησης Ροπή ευστάθειας Αντοχή έναντι ρευστοποίησης -Ροπή ανατροπής -Δυνάμεις ολίσθησης Διατμητικές τάσεις που προκαλούν ρευστοποίηση Πίνακας 1.1: Προβλήματα Γεωτεχνικής Μηχανικής διατυπωμένα σε όρους αντοχής-φορτίου 2

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Ο παραπάνω πίνακας παρουσιάζει μερικά από τα κλασικά προβλήματα της Γεωτεχνικής Μηχανικής διατυπωμένα σε όρους αντοχής-φορτίου. Αν η αντοχή C και το φορτίο D θεωρηθούν στοχαστικές μεταβλητές με τις γνωστές συναρτήσεις κατανομής p(c) και p(d) ( σχήμα 1.2α ) τότε και η διαφορά SM=C-D, δηλαδή το περιθώριο ασφαλείας αποτελεί επίσης στοχαστική μεταβλητή ( σχήμα 1.2β ), τα χαρακτηριστικά της οποίας μπορούν να υπολογιστούν από τα χαρακτηριστικά της κατανομής C και D. Αν p(c) και p(d) ακολουθούν κανονική κατανομή, με συναρτήσεις: C E( C) pc ( ) exp = (1.1) SC ( ) 2π 2 SC και C E( D) pd ( ) exp = (1.2) SD ( ) 2π 2 SD όπου E(C) και S(C) η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της C και E(D) και S(D) η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της D αντίστοιχα, τότε και το περιθώριο ασφαλείας ακολουθεί κανονική κατανομή με: 1 1 SM E( SM) psm ( ) exp = SSM ( ) 2π 2 SSM ( ) 2 (1.3) όπου ESM ( ) = EC ( ) ED ( ) και SSM ( ) = SC ( ) + SD ( ) 2 2 Ο υπολογισμός της συνάρτησης κατανομής του περιθωρίου ασφαλείας, για άλλες συναρτήσεις κατανομής του φορτίου και της αντοχής μπορεί να γίνει είτε αναλυτικά ή κυρίως με αριθμητικούς υπολογισμούς. 3

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Σχήμα 1.2: συναρτήσεις κατανομής P(C),P(D) και P(SM) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο υπολογισμός του περιθωρίου ασφαλείας στην περίπτωση που τα C και D ακολουθούν την κατανομή βήτα. Η περίπτωση της κατανομής βήτα παρουσιάζει ενδιαφέρον για την Γεωτεχνική Μηχανική, επειδή επιτρέπει να αποκλείονται ακραίες τιμές, οι οποίες δεν έχουν πραγματικό φυσικό νόημα για τις εδαφικές παραμέτρους και τα φορτία. Είναι επίσης δυνατή η εφαρμογή της ανάλυσης πρώτης τάξης-δεύτερης ροπής. Ειδικότερα: Αν y η συνάρτηση δύο μεταβλητών y = f( x1, x2), για τις οποίες γνωρίζουμε τις μέσες τιμές Ε(x 1 ), E(x 2 ), τις διασπορές V(x 1 ),V(x 2 ), και την συνδιασπορά COV(x 1, x 2 ) και περιοριστούμε στους όρους πρώτης τάξης της ανάλυσης της y με σειρές Taylor, τότε: 4

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Ey ( ) = fex ( ( ), Ex ( ))(1.4) 1 2 Και 2 2 f f f f Vy ( ) = Vx ( ) + Vx ( ) + 2 COVxx (, ) x x x x (1.5) Όπου οι παράγωγοι έχουν υπολογιστεί για τις τιμές Ε(x 1 ),και E(x 2 ). Αν SM=C-D και δεχθούμε ότι C και D έχουν συντελεστή συσχέτισης ίσο με μηδέν, τότε: ESM ( ) = EC ( ) ED ( ) (1.6) SSM ( ) = SC ( ) + SD ( ) (1.7) Ο υπολογισμός της συνάρτησης κατανομής του περιθωρίου ασφαλείας επιτρέπει τον υπολογισμό των δύο βασικών εννοιών της ανάλυσης αξιοπιστίας, δηλαδή της πιθανότητας αστοχίας p f και του δείκτη αξιοπιστίας (Σχήμα 1.2β). Η πιθανότητα αστοχίας p f συνδέεται με την πιθανότητα το περιθώριο ασφαλείας να έχει τιμή μικρότερη του μηδενός και αντιστοιχεί προφανώς στο διαγραμμισμένο τμήμα της καμπύλης p(sm) του σχήματος 1.2β, δηλαδή: pf 0 = psmdsm ( ) (1.8) Και η έννοια της αξιοπιστίας (Reliability) ορίζεται ως R=1-p f. Αν C και D ακολουθούν την κανονική κατανομή, τότε η πιθανότητα αστοχίας προκύπτει ίση με: 1 ESM ( ) pf = Ψ (1.9) 2 SSM ( ) ESM ( ) όπου Ψ η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας για την τυπική SSM ( ) κατανομή. Ο δείκτης αξιοπιστίας ( Reliability Index) ορίζεται ως ο λόγος της μέσης τιμής προς την τυπική απόκλιση του περιθωρίου ασφαλείας ESM ( ) β = (1.10) SSM ( ) Μια περισσότερο εποπτική εικόνα του δείκτη αξιοπιστίας αποκτάται αν το περιθώριο ασφαλείας SM=C-D οριστεί ως οριακή κατάσταση g(c,d) στο σύστημα C-D. Η ασφαλής κατάσταση αντιστοιχεί προφανώς σε SM>0, ενώ η κατάσταση αστοχίας σε SM<0. 5

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ C E( C) D E( D) Αν χρησιμοποιηθούν οι νέες μεταβλητές C ' = και D' = SC ( ) SD ( ) τότε η οριακή συνθήκη gcd (, ) = C D= SM= 0,αντιστοιχεί στην εξίσωση SCC ( ) ' SDD ( ) ' + EC ( ) ED ( ) = 0 (1.11) Η εξίσωση (1.11) αντιστοιχεί σε ευθεία γραμμή σε σύστημα αξόνων C και D (Σχήμα 1.3). Η απόσταση της ευθείας αυτής από την αρχή των αξόνων ορίζεται ως δείκτης αξιοπιστίας και έχει την τιμή EC ( ) ED ( ) β = (1.12) 2 2 SC ( ) + SD ( ) Αν οριστεί ο λόγος F=E(C)/E(D) ως ο κεντρικός συντελεστής ασφαλείας και οι λόγοι CV(C)=S(C)/E(C), CV(D)=S(D)/E(D), ως οι συντελεστές μεταβλητότητας των S και D αντίστοιχα, τότε η εξίσωση (1.12) μετασχηματίζεται στην: F 1 β = CV( S) F + CV( D) (1.13) Με την εξίσωση (1.13) συνδέεται ο κεντρικός συντελεστής ασφαλείας με το δείκτη αξιοπιστίας και κατ επέκταση με την πιθανότητα αστοχίας p f. 6

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Σχήμα 1.3: χώρος ασφάλειας και χώρος αστοχίας σε δισδιάστατο καθεστώς διαστήματος, δείκτης αξιοπιστίας β Ο κεντρικός συντελεστής ασφαλείας είναι διαφορετικός από τον συντελεστή ασφαλείας που βασίζεται στην εισαγωγή των χαρακτηριστικών Cκ και Dκ για την αντοχή και το φορτίο ενός συστήματος Cκ Fs = (1.14) Dκ Οι τιμές Cκ και Dκ ορίζονται με βάση τα χαρακτηριστικά κατανομής των C και D από τις σχέσεις : Πιθανότητα ( C< Cκ)=p 1 Πιθανότητα ( D< Dκ)=p 2 Η εξίσωση (1.12) μπορεί να μετασχηματιστεί στην ακόλουθη συνθήκη σχεδιασμού: 2 2 EC ( ) ED ( ) + β SC ( ) + SD ( ) ή γενικότερα 2 2 EC ( ) ED ( ) + Gp ( f ) SC ( ) SD ( ) + (1.15) 7

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ όπου το G(p f ) εξαρτάται από τη μορφή της καμπύλης κατανομής του περιθωρίου ασφαλείας. Το σχήμα 1.4 δίνει τη σχέση μεταξύ p f και G(p f ) για την περίπτωση κανονικής κατανομής. Σχήμα 1.4: σχέση μεταξύ p f και G(p f ) για την περίπτωση κανονικής κατανομής (Πηγή:[1]). Για κανονική κατανομή των μεγεθών C και D, αποδεικνύεται ότι ο δείκτης αξιοπιστίας σχετίζεται με την πιθανότητα αστοχίας από τις σχέσεις : β = Φ 1 ( P ) ή P =Φ( β ) (1.16) f f 8

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ P f β , , , , , , , , ,99 Πίνακας 1.2:δείκτης αξιοπιστίας β και πιθανότητα αστοχίας P f (Πηγή:[2]) 1.3 Πορεία σχεδιασμού των γεωτεχνικών έργων Η πορεία σχεδιασμού των γεωτεχνικών έργων σύμφωνα με τις έννοιες που διατυπώθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο περιλαμβάνει τα ακόλουθα στάδια: Διατύπωση του προβλήματος σε όρους αντοχής και φορτίου. Το σχήμα 1.3 παρουσιάζει όπως προαναφέρθηκε την διατύπωση μερικών κλασικών προβλημάτων στην Γεωτεχνική Μηχανική. Υπολογισμό των συναρτήσεων κατανομής Cκαι D. Ο υπολογισμός περιλαμβάνει α) Την εκτίμηση των χαρακτηριστικών κατανομής των παραμέτρων που εκφράζουν την μηχανική συμπεριφορά του εδάφους, λαμβάνοντας υπόψη την εδαφική ανομοιογένεια, τα σφάλματα των εργαστηριακών και επιτόπου δοκιμών, τα σφάλματα που προέρχονται από τον περιορισμένο αριθμό των δοκιμών κ.τ.λ. β) Την εκτίμηση της απόκρισης του εδαφικού υλικού όταν είναι γνωστές οι συναρτήσεις κατανομής των εδαφικών παραμέτρων που την εκφράζουν. Αν π.χ η φέρουσα ικανότητα μιας επιφανειακής θεμελίωσης θεωρηθεί σαν συνάρτηση της γωνίας τριβής φ, της συνοχής c και του φαινόμενου βάρους του εδάφους γ, σύμφωνα με τη μέθοδο Terzaghi δηλαδή g=h(φ,c,γ), τότε η συνάρτηση κατανομής της g είναι δυνατόν να υπολογιστεί, αν είναι γνωστά τα χαρακτηριστικά κατανομής των φ, c και γ και οι μεταξύ τους στατιστικές συσχετίσεις. Ο αναλυτικός υπολογισμός δεν είναι δυνατός στις περισσότερες των περιπτώσεων και γίνεται είτε με την προσέγγιση σε σειρές Taylor και την εφαρμογή της μεθόδου πρώτης τάξηςδεύτερης ροπής, αν η συνάρτηση που εκφράζει την απόκριση του εδαφικού υλικού είναι παραγωγίσιμη, είτε με τη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης, είτε με τη μέθοδο της τυχαίας δειγματοληψίας. Υπολογισμός των χαρακτηριστικών της κατανομής του περιθωρίου ασφαλείας. Στην συνέχεια ο σχεδιασμός μπορεί να γίνει είτε με τον υπολογισμό της τιμής της πιθανότητας αστοχίας σύμφωνα με την εξίσωση (1.8), είτε με τον έλεγχο με μία παραδεκτή τιμή πιθανότητας αστοχίας. Είναι δυνατόν επίσης ο υπολογισμός να περιοριστεί στον έλεγχο της τιμής του δείκτη αξιοπιστίας σύμφωνα με την εξίσωση (1.15), είτε τέλος να υπολογισθεί η τιμή ενός χαρακτηριστικού συντελεστή ασφαλείας, σύμφωνα με την εξίσωση (1.14).Και για τις τρείς περιπτώσεις οι επιτρεπόμενες τιμές μπορεί να δίνονται από Κανονισμούς. 9

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Η πορεία σχεδιασμού που περιγράφεται παραπάνω επιτρέπει να ληφθούν υπόψη οι αβεβαιότητες στην εκτίμηση της αντοχής και των φορτίων και παρέχει ενιαία βάση για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας του σχεδιασμού των γεωτεχνικών έργων. 1.4 Προβλήματα της στοχαστικής προσέγγισης Η μεθοδολογία της προηγούμενης ενότητας παρουσιάζει δύο λεπτά σημεία, τα οποία πρέπει να εξετασθούν με ιδιαίτερη προσοχή. Το πρώτο αφορά την επίδραση της μορφής κατανομής της συνάρτησης του περιθωρίου ασφαλείας SM, στην ακριβή εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας p f. Όταν η p f <10-2, τότε η ακριβής γνώση της κατανομής είναι απαραίτητη για τον ακριβή καθορισμό της p f. Το σχήμα 1.5 δίνει την εξάρτηση της τιμής της πιθανότητας αστοχίας για την περίπτωση που οι συναρτήσεις C και D ακολουθούν την κανονική και την κανονική-λογαριθμική κατανομή, για διάφορες τιμές του συντελεστή μεταβλητότητας και για δεδομένη τιμή του κεντρικού συντελεστή ασφαλείας F=E(C)/E(D). Σχήμα 1.5: Εξάρτηση της τιμής της πιθανότητας αστοχίας από την μορφή κατανομής (Πηγή:[1]) Σύμβολα: όπου L είναι Λογαριθμική κανονική κατανομή Ν Κανονική κατανομή V συντελεστής μεταβλητότητας C αντοχή D φορτίο 10

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Στην περιοχή των πολύ μικρών πιθανοτήτων αποδεικνύεται ότι: p = Aexp( Bβ ) (1.17) f όπου Α και Β σταθερές και β ο δείκτης αξιοπιστίας. Επίσης, έχει προταθεί pf = 460exp( 4,3 β ) (1.18) Όταν η συνάρτηση μεταβολής του περιθωρίου ασφαλείας δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια, μια ικανοποιητική προσέγγιση προκύπτει από την ανάλυση του σχήματος 1.6. Σχήμα 1.6: Συνάρτηση μεταβολής του περιθωρίου ασφαλείας Το εμβαδόν των επιφανειών ω 1 και ω 2 υπολογίζεται : + ω 1 = p( DdD ) και D0 C 0 ω1 = p( CdC ) για C 0 =D 0. Τότε αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα αστοχίας βρίσκεται μεταξύ των ορίων ω ω ω ω ω ω < p 1 2 f < + (1.19) Επειδή γενικά οι επιφάνειες ω 1 και ω 2 είναι μεγέθη με μικρές τιμές, μπορεί να τεθεί, σε πρώτη προσέγγιση, f < + (1.20) 1 2 p ω ω 11

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα αστοχίας αντιστοιχεί στην επιφάνεια επικάλυψης των καμπυλών κατανομής των C και D. Το δεύτερο ζήτημα αφορά τον καθορισμό της αποδεκτής πιθανότητας αστοχίας για την περίπτωση του έργου που εξετάζεται. Πρόκειται για ένα λεπτό θέμα ιδιαίτερα στις περιπτώσεις μεγάλων τεχνικών έργων στις οποίες δεν πρόκειται να εφαρμοστεί κριτήριο ελαχίστου κόστους. Στις περιπτώσεις αυτές που ενδεχόμενη αστοχία μπορεί να θέσει σε κίνδυνο την ζωή πολλών ανθρώπων, η τάση αποδοχής πολύ μικρής πιθανότητας αστοχίας οδήγησε σχεδιασμό περισσότερο συντηρητικό από εκείνον στον οποίον οδηγεί η ντετερμινιστική ανάλυση. Είναι εξάλλου αμφίβολο, αν όλες οι αβεβαιότητες του σχεδιασμού μπορούν να ληφθούν υπόψη στην εκτίμηση της συνάρτησης αντοχής ή φορτίου. Ιδιαίτερα, η εκτίμηση της αβεβαιότητας που σχετίζεται με την ακρίβεια του μαθηματικού μοντέλου, απαιτεί σημαντικό αριθμό μετρήσεων σε πραγματικά έργα, με την προϋπόθεση ότι τα εδαφικά δεδομένα και φορτία είναι γνωστά. Στην περίπτωση αυτή ο μελετητής οφείλει να εκλέξει την τιμή της πιθανότητας αστοχίας σχεδιασμού με βάση τη σημασία του έργου και την εμπειρία από ανάλογες περιπτώσεις. 12

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2.1 Στοιχεία συστημάτων και συστήματα Στη θεωρία του 1 ου κεφαλαίου παρατέθηκε ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζουμε την αξιοπιστία ξεχωριστών στοιχείων ή μελών των κατασκευών μας. Παρόλα αυτά, τα περισσότερα τεχνικά έργα αποτελούνται από ξεχωριστά μέλη τα οποία συνεισφέρουν ξεχωριστά στην αξιοπιστία του συνολικού συστήματος. Ωστόσο δεν έχουμε εξετάσει πως το σύστημα συμπεριφέρεται σαν σύνολο ή πως υπολογίζουμε την αξιοπιστία του συστήματος σαν σύνολο. Όταν αναφερόμαστε στην αξιοπιστία του συστήματος είναι σημαντικό να αναγνωρίζουμε ότι αν η αστοχία ενός μεμονωμένου μέλους του θα οδηγήσει ή όχι στην αστοχία του συνολικού συστήματος. Υπάρχουν δύο τύποι των στοιχείων που αποτελούν τα συστήματα τα ψαθυρά και τα πλάστιμα. Ένα στοιχείο χαρακτηρίζεται σαν ψαθυρό όταν γίνεται τελείως αναποτελεσματικό αφού αστοχήσει, σε αντίθεση με το μη ψαθυρό όπου εξακολουθεί να διατηρεί την ικανότητα του για να μεταφέρει φορτία ακόμα και μετά την αστοχία του. Στο σχήμα 2.1α φαίνεται το διάγραμμα φορτίου-μετατόπισης ενός ψαθυρού μέλους ενώ στο 2.1β ενός πλάστιμου μέλους. Συνοψίζοντας, από εδώ και στο εξής θα διαχωρίζονται τα ψαθυρά από τα πλάστιμα χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς του σχήματος 2.1. Σχήμα 2.1: σύμβολα για να ξεχωρίζουν τα ψαθυρά από τα μη ψαθυρά στοιχεία 2.2 Συστήματα σειράς και παράλληλα συστήματα Για να ξεκινήσουμε την μελέτη της αξιοπιστίας των συστημάτων θεωρούμε δύο τύπους. Τα συστήματα σειράς, όπου η αστοχία ενός μέλους οδηγεί στην αστοχία του συνολικού συστήματος και τα παράλληλα συστήματα όπου η αστοχία του συστήματος επέρχεται όταν αστοχήσουν όλα τα μέλη του. Το σχήμα 2α δείχνει ένα σύστημα σειράς όπου ένας κρίκος της αλυσίδας αν αστοχήσει τότε όλη η αλυσίδα αδυνατεί να μεταφέρει το φορτίο. Στο σχήμα 2β αντίθετα, στο οποίο το βαρίδιο αναρτάται από καλώδια, το σύστημα θα πάψει να φέρει το φορτίο όταν όλα τα καλώδια αστοχήσουν. Στην πραγματικότητα, οι περισσότερες κατασκευές δεν μπορούν να θεωρηθούν παράλληλα ή σειράς συστήματα. Μπορεί να μην αστοχήσουν όταν ένα μέλος αστοχήσει, αλλά να αστοχούν πριν όλα τα μέλη τους αστοχήσουν. 13

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 2.2: δύο παραδείγματα συστημάτων. (α) σύστημα σειράς,(b) παράλληλο σύστημα Συστήματα σειράς Ένα σύστημα σειράς αναφέρεται στον ασθενέστερο κρίκο του συστήματος γιατί όπως ειπώθηκε προηγουμένως η αστοχία του συνεπάγεται και αστοχία του συστήματος. Το σχήμα 2.3 δείχνει ένα σύστημα το οποίο θεωρείται σύστημα σειράς. Αν κάποιο μέλος αστοχήσει τότε αστοχεί όλο το σύστημα. Σχήμα 2.3: δικτύωμα, σύστημα σειράς Το σχήμα 2.4 δείχνει παραδείγματα συστημάτων σειράς χρησιμοποιώντας τα σύμβολα για τα πλάστιμα και ψαθυρά μέλη. Στο πάνω μέρος, κάθε στοιχείο είναι ψαθυρό, άρα σύμφωνα με τα παραπάνω η αστοχία του ενός στοιχείου οδηγεί στην ολική αστοχία. Στο κάτω μέρος, κάθε στοιχείο είναι πλάστιμο. Αν τα στοιχεία ακολουθήσουν την συμπεριφορά του υλικού τότε η αλυσίδα θα υποστεί μεγάλες παραμορφώσεις μόλις σε κάποιο από τα στοιχεία επέλθει η διαρροή και έτσι το σύστημα θα αστοχήσει. 14

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύστημα σειράς το οποίο αποτελείται από ν στοιχεία και η αντοχή του κάθε στοιχείου είναι τυχαία μεταβλητή. Θεωρούμε R i την αντοχή του ι th στοιχείου και R η αντοχή του συνολικού συστήματος. Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της αντοχής (CDF) για κάθε στοιχείο αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο F Ri (r).η συνάρτηση πυκνότητας για το μέγεθος R μπορεί να προέλθει θεωρώντας την Σχήμα 2.4: παραδείγματα συστημάτων σειράς πιθανότητα αστοχίας του συστήματος. Αν θεωρήσουμε ότι σύστημα υπόκειται σε φορτίο q, που το θεωρούμε καταρχήν ντετερμινιστικό και υποθέτοντας ότι η αντοχή είναι μικρότερη από το φορτίο, τότε σε όρους πιθανοτικούς η πιθανότητα αστοχίας Pf=P(R<=q)= F R (q). Όταν ένα συνολικό φορτίο q ασκείται στο σύστημα, το φορτίο q i (Σq i =q) σε κάθε ένα από τα μέλη του συστήματος εξαρτάται από τη γεωμετρία του συστήματος. Για παράδειγμα στην αλυσίδα του σχήματος 2.2(α), το φορτίο q=p είναι το φορτίο του συστήματος και κάθε μέλος της αλυσίδας θα φέρει το φορτίο q i =P. Με αυτή την επεξήγηση και θεωρώντας ότι οι αντοχές των στοιχείων είναι στατιστικά ανεξάρτητες, υπολογίζουμε την πιθανότητα αστοχίας Pf = F ( q) R = 1 PR ( > q) = 1 P[( R > q ) ( R > q ) ( R > q )] i = 1 i = = 1 PR ( > q) PR ( > q) PR ( > q) = 1 [1 PR ( q)] [1 PR ( q)] [1 PR ( q)] n = 1 [1 FR ( q )] n = 1 [1 Pf ] i i i n n n n n n (2.1) Ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων στην εξίσωση (2.1) γίνεται γιατί υποθέσαμε ότι τα γεγονότα R 1 >q 1, R 2 >q 2,., είναι στατιστικώς ανεξάρτητα στο σύστημα σειράς. 15

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Παράλληλα συστήματα Ένα παράλληλο σύστημα μπορεί να αποτελείται από ψαθυρά ή μη ψαθυρά μέλη. ( δίνεται παράδειγμα και για τα δύο) Παράλληλα συστήματα με πλάστιμα μέλη Ένα παράλληλο σύστημα με n μη ψαθυρά μέλη είναι στο καθεστώς αστοχίας όταν όλα τα μέλη του αστοχήσουν. Αν με R i αντιπροσωπευθεί η αντοχή του ι th στοιχείου τότε η συνολική αντοχή θα είναι το άθροισμα των μεμονωμένων αντοχών n R = R (2.2) i = 1 i Αν οι αντοχές των ξεχωριστών στοιχείων είναι μη συσχετισμένες μεταβλητές, τότε η αντοχή του συστήματος έχει κανονική κατανομή και με παραμέτρους μ R και σ R οι οποίες δίνονται από τις εξής εξισώσεις: n n 2 R = i = R Ri Ri i= 1 i= 1 μ μ σ σ (2.3) Σύμφωνα με τη βασική θεωρία, είναι λογικό να θεωρούμε ότι το R έχει κανονική κατανομή ακόμα και σε περιπτώσεις όπου οι R i μεταβλητές έχουν μια μη κανονική κατανομή όταν ο αριθμός των μεταβλητών είναι μικρός. Η πιθανότητα αστοχίας του συστήματος μπορεί να καθοριστεί ως εξής: Θεωρούμε ότι στο σύστημά μας ενεργεί μόνιμο φορτίο q που θεωρείται κατεξοχήν ντετερμινιστικό και σε κάθε στοιχείο i του συστήματος εφαρμόζεται φορτίο q i. Η αστοχία κάθε μέλους επέρχεται όταν R i < q i και η πιθανότητα αστοχίας δίνεται από Pf=P(R<=q)= F R (q) Pf = P[( R < q ) ( R < q ) ( R < q )] = PR ( < q) PR ( < q) PR ( < q) = F ( q ) F ( q ) F ( q ) = = R1 1 R2 2 Rn n FRi( qi) i = 1 n i = 1 Pf i n n n (2.4) Αυτός ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων επιτρέπεται επειδή έχουμε δεχθεί ότι όλες οι αντοχές είναι ανεξάρτητες και ότι δεν υπάρχει πιθανότητα το φορτίο να ανακατανεμηθεί όταν ένα ή περισσότερα μέλη του συστήματος διαρρεύσουν. Επιπλέον όλα τα πιθανά γεγονότα αστοχίας (R i <q i ) είναι ανεξάρτητα. Τέλος ας θεωρήσουμε μία ειδική περίπτωση με μη συσχετισμένα, πλάστιμα μέλη. Αν οι μεταβλητές R i έχουν την ίδια αθροιστική συνάρτηση κατανομής τότε μ = nμ και σ = nσ (2.5) 2 2 R Ri R Ri 16

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ο συντελεστής μεταβλητότητας δίνεται από τον τύπο: 2 σ nσ R Ri 1 σ Ri 1 VR = = = = VRi (2.6) μ nμ n μ n R Ri Ri Συνεπώς ο συντελεστής μεταβλητότητας για ένα σύστημα με ν παράλληλα στοιχεία, είναι μικρότερος από ότι για το κάθε στοιχείο ξεχωριστά. Παράλληλα συστήματα με ψαθυρά μέλη Ας θεωρήσουμε ένα παράλληλο σύστημα με ψαθυρά μέλη όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Σχήμα 2.5: παράδειγμα παράλληλου συστήματος με ψαθυρά μέλη Σε αυτά τα συστήματα όταν το στοιχείο I αστοχήσει τότε χάνει τελείως τη ικανότητα του να μεταφέρει φορτία και έτσι το συνολικό φορτίο πρέπει να διανεμηθεί στα υπόλοιπα ( n-1) στοιχεία. Όταν στη συνέχεια το φορτίο αναδιανεμηθεί, το σύστημα δεν αστοχεί, το φορτίο αυξάνεται, μέχρι να αστοχήσει το επόμενο μέλος. Μετά το φορτίο αναδιανέμεται στα ( n-2) στοιχεία. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να αστοχήσει και το τελευταίο στοιχείο οπότε τελικά επέρχεται και η ολική αστοχία. Αν R 1,R 2,,R n είναι οι αντοχές των 1,2,.,n στοιχείων και οι αντοχές ακολουθούν την σειρά R 1 <R 2 <.< R n τότε η αντοχή του συστήματος R=max[nR 1, (n-1)r 2, (n-2)r 3,, 2R n-1, R n )] (2.8) Υβριδικά ( Συνδυασμένα) συστήματα Πολλές κατασκευές μπορεί να θεωρηθούν σαν συνδυασμός συστημάτων σειράς και παράλληλων συστημάτων. Τέτοια συστήματα ονομάζονται υβριδικά ή συνδυασμένα. Ένα τέτοιο σύστημα φαίνεται στο σχήμα όπου τα μέλη 1 και 2 είναι παράλληλα μεταξύ τους και ο συνδυασμός των 1και 2 είναι σε σειρά με το στοιχείο 3. 17

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 2.6: παράδειγμα υβριδικού συστήματος 2.3 Όρια αξιοπιστίας συστημάτων Boolean μεταβλητές Η μελέτη αξιοπιστίας των συστημάτων συχνά αναφέρεται σε Boolean μεταβλητές. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα σύστημα με ν στοιχεία. Στην ανάλυση μας υποθέτουμε ότι για κάθε στοιχείο υπάρχουν δύο καταστάσεις Αστοχία Μη αστοχία Για να περιγράψουμε αυτές τις 2 καταστάσεις χρησιμοποιούμε τις δύο Boolean μεταβλητές Si και Fi, οι οποίες καθορίζονται για το ι th στοιχείου : Si= 1 αν το στοιχείο είναι σε κατάσταση μη αστοχίας 0 αν το στοιχείο είναι σε κατάσταση αστοχίας (2.9) Fi=1-Si = 0 αν το στοιχείο είναι σε κατάσταση μη αστοχίας 1 αν το στοιχείο είναι σε κατάσταση αστοχίας ( 2.10) Θεωρούμε S _ και F _ διανύσματα οι οποίοι περιλαμβάνουν τις τιμές Si και Fi, για όλα τα στοιχεία του συστήματος. Με άλλα λόγια S _ = [ S 1,S 2,.,S n ] (2.11α) F _ = [ F 1,F 2,.,F n ] (2.11β) 18

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Θεωρούμε μία συνάρτηση συστήματος, Ss(S ) ή, Fs(F ) η οποία δηλώνει και την κατάσταση όλου του συστήματος. Η συνάρτηση καθορίζεται ως εξής: Ss(S) = 1 αν το σύστημα είναι σε κατάσταση μη αστοχίας 0 αν το σύστημα είναι σε κατάσταση αστοχίας (2.12α) Fs(F ) =1- Ss(S ) = 0 αν το στοιχείο είναι σε κατάσταση μη αστοχίας 1 αν το στοιχείο είναι σε κατάσταση αστοχίας (2.12β) Για ένα σύστημα σειράς όπου η αστοχία ενός μέλους σημαίνει και ολική αστοχία, η συνάρτηση του συστήματος εκφράζεται ως εξής: Ss( S) = S S S = S (2.13) 1 2 n n i= 1 i Αν το i th στοιχείο αστοχήσει τότε Si=0 και επομένως η παραπάνω εξίσωση γίνεται ίση με το μηδέν. Αν πάλι κανένα από τα στοιχεία δεν αστοχήσει τότε Si=1 και επομένως η εξίσωση είναι ίση με τη μονάδα. Αν το σύστημα είναι παράλληλο με μη ψαθυρά μέλη τότε εάν κάποιο από αυτά δεν είναι σε κατάσταση αστοχίας, τότε όλο το σύστημα δεν είναι σε κατάσταση αστοχίας. Έτσι η συνάρτηση του συστήματος γίνεται: n Ss( S) = 1 (1 Si ) (2.14) i = 1 Επιπλέον, όταν ένα στοιχείο του συστήματος δεν βρίσκεται σε κατάσταση αστοχίας, τότε (1-Si)=0 για αυτό το στοιχείο και επομένως η εξίσωση (2.14) γίνεται ίση με τη μονάδα οδηγώντας στο συμπέρασμα ότι το σύστημα δεν αστοχεί. Χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές Boolean, μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε αναμενόμενες τιμές και πιθανότητες. Έτσι, ας θεωρήσουμε το το i th στοιχείο του συστήματος όπου η κατάσταση ( καθεστώς) είναι τυχαίο. Τότε η μεταβλητή Boolean Si, είναι μία διακριτή τυχαία μεταβλητή. Υπάρχουν δύο πιθανές τιμές (1 και 0) και υπάρχει μια πιθανότητα που σχετίζεται με αυτές τις τιμές. Η αναμενόμενη τιμή της Si μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση ES ( ) = (1)[ PS ( = 1)] + (0)[ PS ( = 0)] = PS ( = 1) (2.15) i i i i Σημειώνουμε ότι P(Si=1) είναι το ίδιο με το P(Fi=0) και το ότι P(Fi=0)+ P(Fi=1)=1 γιατί το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι κάθε φορά μονάδα. Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα παίρνουμε: ES ( i) = PS ( i = 1) = 1 PF ( i = 1) (2.16) Παρομοίως μπορούμε να καθορίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Fi όπως ακολουθεί: EF ( i) = (1)[ PF ( i = 1)] + (0)[ PF ( i = 0)] = PF ( i = 1) (2.17) Τέλος η συνολική πιθανότητα αστοχίας του συνολικού συστήματος, P f μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση 19

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ EF [ ( F)] = (1)[ PF ( ( F) = 1)] + (0)[ PF ( ( F) = 0)] s s s = [ PF ( s( F) = 1] = P f (2.18) Συστήματα σειράς με θετική συσχέτιση Στις παραπάνω παραγράφους για τα συστήματα σειράς, υποθέταμε ότι τα στοιχεία του συστήματος είναι ανεξάρτητα και ασυσχέτιστα. Όταν τα στοιχεία είναι ασυσχέτιστα τότε η ανάλυση αξιοπιστίας είναι σχετικά άμεση. Αν η συσχέτιση υπάρχει ανάμεσα σε μερικά ή σε όλα τα στοιχεία του συστήματος, τότε ο ακριβής υπολογισμός της αστοχίας του συστήματος είναι αρκετά δύσκολος αν όχι αδύνατος. Παρόλα αυτά, απλές ανισώσεις μπορούν να εξαχθούν για ένα σύστημα σειράς με θετική συσχέτιση ανάμεσα στα ζεύγη των στοιχείων. Με άλλα λόγια αυτές οι ανισώσεις υπάρχουν όταν ο δείκτης συσχέτισης ρ ij είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός. Για τα συστήματα σειράς με θετική συσχέτιση, η πιθανότητα αστοχίας θα πρέπει να ικανοποιεί την παρακάτω ανίσωση n max{ PF [ i = 1]} Pf 1 (1 PFi [ = 1]) (2.19) i i = 1 Το δεύτερο μέρος της ανίσωσης είναι η πιθανότητα αστοχίας όταν όλα τα μέλη του συστήματος είναι πλήρως συσχετισμένα (ρ ij =1 ). Αν είναι πλήρως συσχετισμένα, τότε όλα τα μέλη τείνουν να αστοχήσουν όταν ένα μέλος αστοχήσει, οπότε η πιθανότητα αστοχίας, οπότε η πιθανότητα αστοχίας ανταποκρίνεται στη μεγαλύτερη πιθανότητα αστοχίας ανάμεσα στα μέλη. Το πρώτο μέρος της ανίσωσης είναι η πιθανότητα αστοχίας όταν τα μέλη μεταξύ τους είναι ασυσχέτιστα Παράλληλα Συστήματα με θετική συσχέτιση Ανάλογα με την περίπτωση των συστημάτων σειράς, μπορούμε να καθορίσουμε όρια της πιθανότητας αστοχίας των παράλληλων συστημάτων θεωρώντας την περίπτωση της απόλυτης συσχέτισης και της μη συσχέτισης. Αν θεωρήσουμε ένα παράλληλο σύστημα με μη ψαθυρά μέλη τότε τα όρια της πιθανότητας αστοχίας με θετική συσχέτιση είναι: n PFi [ = 1] Pf min{ PFi [ = 1}] (2.20) i= 1 i Το μικρότερο όριο αντιπροσωπεύει την περίπτωση που όλα τα στοιχεία του είναι ασυσχέτιστα και το σύστημα αστοχεί όταν αστοχήσουν όλα. Από την άλλη πλευρά, το μεγαλύτερο όριο αντιπροσωπεύει την περίπτωση όπου όλα τα στοιχεία είναι συσχετισμένα και το ασφαλέστερο είναι και αυτό το οποίο καθορίζει την αξιοπιστία του συστήματος. 20

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2.4 Συστήματα με ίση συσχέτιση των στοιχείων τους Στην προηγούμενη ενότητα περιγράφηκαν τα όρια για την αξιοπιστία του συστήματος χρησιμοποιώντας τις δύο ακραίες περιπτώσεις των μη συσχετισμένων (ρ=0) και των πλήρως συσχετισμένων (ρ=1) στοιχείων. Μία ειδική περίπτωση αναφέρεται σε αυτήν κατά την οποία η συσχέτιση είναι η ίδια για όλα τα ζεύγη στοιχείων και η τιμή είναι ανάμεσα στο 0 και 1. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα αστοχίας ενός τέτοιου συστήματος, θεωρούμε ένα σύστημα με n στοιχεία. Η αντοχή του i th στοιχείου θα αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο Ri και οι υποθέσεις που κάνουμε είναι οι εξής: Η κατανομή των αντοχών όλων των στοιχείων είναι κανονική. Οι αντοχές είναι ίσα συσχετισμένες και ο δείκτης συσχέτισης είναι ρ Όλα τα εφαρμοζόμενα στο σύστημα φορτία είναι ντετερμινιστικά και μόνιμα Όλα τα στοιχεία έχουν σχεδιαστεί για να έχουν τον ίδιο δείκτη αξιοπιστίας Συστήματα σειράς με ίσα συσχετισμένα στοιχεία Για ένα σύστημα σειράς που αποτελείται από n στοιχεία, η φόρμουλα για την πιθανότητα αστοχίας είναι: n βe + t ρ Pf = 1 Φ ϕ ( t) dt (2.23) 1 ρ Όπου β s είναι ο δείκτης αξιοπιστίας για κάθε στοιχείο του συστήματος, Φ() και φ() είναι οι CDF KAI PDF αντίστοιχα, και ρ είναι ο δείκτης συσχέτισης ο οποίος είναι κοινός. Οι τιμές της P f οι οποίες βασίζονται στην παραπάνω εξίσωση,για διάφορες τιμές των n, ρ, β e υπολογίζονται από πίνακες της βιβλιογραφίας. Έτσι για μία τιμή του β e υπολογίζεται η πιθανότητα αστοχίας ως συνάρτηση του n, ρ Όταν αυτή είναι πλέον γνωστή μπορεί να υπολογιστεί ο δείκτης αξιοπιστίας του συστήματος από την εξίσωση: β= - Φ -1 (P f ) ή P f = Φ(-β) Παράλληλα συστήματα με ίσα συσχετισμένα στοιχεία Σύμφωνα και με τα παραπάνω η αντοχή ενός παράλληλου συστήματος είναι n R = R (2.24) i = 1 i όπου R είναι η αντοχή του συστήματος και Ri του κάθε μέλους. Αν υποθέσουμε ότι οι αντοχές των μελών έχουν το ίδιο CDF, τότε η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση μπορούν να εκφραστούν με όρους των παραμέτρων του κάθε στοιχείου μ R n = μ = nμ (2.25) i = 1 Ri e 21

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ σ n n 2 R = ρijσriσrj i= 1 i= 1 n n n 2 2 = σe + ρσe i= 1 i j 2 2 = nσ e + ρn( n 1) σ e 2 = nσ e(1 ρ+ nρ) (2.26) Για να οριστικοποιήσουμε το δείκτη αξιοπιστίας, πρώτα πρέπει να δούμε πως το πώς αυτός συσχετίζεται με τη μέση τιμή και την απόκλιση της αντοχής του κάθε μέλους.για το κάθε μέλος η εξίσωση της οριακής κατάστασης είναι g(r i )=R i - q i όπου το q i είναι το φορτίο του κάθε στοιχείου. Η κατανομή της αντοχής του κάθε στοιχείου είναι κανονική με μέση τιμή μ e και συγκεκριμένη απόκλιση. Ο δείκτης αξιοπιστίας υπολογίζεται από την εξίσωση β μ q e i e = (2.27) σe η οποία όταν λυθεί προκύπτει qi = μe βeσ e (2.28) Εφόσον μ e, β e και σ e είναι ίδια για όλα τα στοιχεία αυτό απαιτεί το q i να είναι το ίδιο για όλα τα στοιχεία. Επιπλέον qtot = nμe nβeσ e (2.29) Η εξίσωση της οριακής κατάστασης για το όλο σύστημα είναι qr ( ) = R qtot (2.30) Και ο δείκτης αξιοπιστίας του συστήματος β μ q R tot system = (2.31) σ R Συνοψίζοντας τις εξισώσεις (2.25), (2.26), (2.30), (2.32) παίρνουμε την παρακάτω σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές β system, β e, ρ β system nμ ( nμ nβ σ ) = n e e e e 2 σ e(1 ρ+ nρ) nβσ e e = σ n(1 ρ+ nρ) e (2.33) = β e n (1 ρ+ nρ) 22

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2.5 Συστήματα με άνισα συσχετισμένα στοιχεία Στην προηγούμενη ενότητα θεωρήσαμε μία ειδική περίπτωση στην οποία όλα τα στοιχεία του συστήματος ήταν ίσα συσχετισμένα. Στις πραγματικές κατασκευές, αυτό μπορεί να είναι ή όχι η περίπτωση που έχουμε να μελετήσουμε. Σε γενικές γραμμές όμως αυτό που έχουμε να μελετήσουμε είναι i συστήματα με στοιχεία ( μέλη) τα οποία είναι άνισα συσχετισμένα μεταξύ τους. Οι παραδοχές που θα κάνουμε είναι οι εξής: Η κατανομή των αντοχών των μελών του συστήματος είναι κανονική με παραμέτρους μ e και σ e. Όλα τα φορτία είναι ντετερμινιστικά και μόνιμα στο χρόνο Όλα τα μέλη του συστήματος είναι σχεδιασμένα ώστε να έχουν τον ίδιο δείκτη αξιοπιστίας Παράλληλα συστήματα με μη ψαθυρά στοιχεία Θεωρούμε ένα σύστημα παράλληλο με πλήρως πλάστιμα μέλη. Η αντοχή του i th στοιχείου θα αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο Ri και η αντοχή του όλου συστήματος από το σύμβολο R. Ο πίνακας συσχέτισης που περιγράφει τις συσχετίσεις μεταξύ των στοιχείων είναι: 1 K ρ 1n [ ρ] = M O M ρn 1 1 L Ο δείκτης αξιοπιστίας του συστήματος β system, είναι: (2.34) β μ q R tot system = (2.35) σ R Όπου μ R = nμ e (2.36) και σ n n 2 R = ρijσriσrj i= 1 i= 1 n n n 2 2 = σe + ρσ ij e i= 1 i j n 2 2 e e = nσ + σ ρ 2 = σ e n + n n i j n i j ρij ij (2.37) 23

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χρησιμοποιώντας όλα τα παραπάνω αποτελέσματα στην εξίσωση (2.35) και χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.16), η οποία υποθέτει ότι όλα τα στοιχεία υπόκεινται στο ίδιο φορτίο, βρίσκουμε τελικά την αξιοπιστία του συστήματος. β system nμe ( nμe nβeσe) = n n 2 σ e n + ρij i j = σ 2 e nβσ e n + n e n i j ρ ij = β e n + n n 2 n i j ρ ij = β e 1 1+ n n n n i j ρ ij (2.38) Τώρα μπορούμε να καθορίσουμε το μέσο όρο n n 1 ρ = ρij (2.39) nn ( 1) i j Συνδυάζοντας την 2.38 και 2.39 προκύπτει n βsystem = βe (2.40) 1 + ( n 1) ρ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (2.40) έχει την ίδια μορφή με την (2.33) εκτός από τον διαφορετικό δείκτη συσχέτισης. 24

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συστήματα σειράς Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα σειράς με n στοιχεία. Αν ρ ij =ρ, τότε η πιθανότητα αστοχίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση n βe + t ρ Pf = 1 Φ ϕ ( t) dt (2.23) 1 ρ Αν τα ρ ij είναι διαφορετικό για διάφορους συνδυασμούς των στοιχείων, τότε η πιθανότητα αστοχίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας n βe t ρ + Pf = 1 Φ ϕ( t) dt (2.41) 1 ρ Όπου ρ είναι ο μέσος δείκτης συσχέτισης ο οποίος καθορίζεται από την εξίσωση Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλή για μικρές τιμές του n.η προσέγγιση μπορεί να βελτιωθεί για μεγαλύτερα n χρησιμοποιώντας την εξής φόρμουλα: P = P( n, ρ) [ P(2, ρ) P(2, ρ )] (2.42) f f f f max όπου Pf ( n, ρ) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.41) με τον πραγματικό αριθμό των n και ο μέσος δείκτης συσχέτισης Pf (2, ρ ) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.41) με n=2 και μέσο δείκτη συσχέτισης, και Pf (2, ρ ) υπολογίζεται από την εξίσωση (2.41) με n=2 και το μέγιστο δείκτη συσχέτισης ανάμεσα σε όλα τα ρ ij 25

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ3: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ 3.1 Έννοια της αξιοπιστίας συστημάτων προστασίας Οι περισσότερες περιπτώσεις μελέτης της αξιοπιστίας συστημάτων ξεκινούν με μία σειρά γεγονότων που τελικά οδηγούν στην αστοχία του συνολικού συστήματος. Παραδείγματα αρχικών φυσικών καταστροφών που οδηγούν στο ξεκίνημα της αλυσίδας των γεγονότων είναι οι πλημμύρες, οι τυφώνες και ο σεισμός ο οποίος και μας ενδιαφέρει. Τα βήματα τα οποία ακολουθούνται σε ένα πρόβλημα αξιοπιστίας συστημάτων είναι: 1. Αναγνώριση του αρχικού γεγονότος και καθορισμός των πιθανοτήτων των ακολουθούμενων γεγονότων. 2. Ποιοτικός καθορισμός της αστοχίας του συστήματος 3. Ανάπτυξη ποιοτικών μοντέλων της συμπεριφοράς των μεμονωμένων μελών του. 4. Αναγνώριση στατιστικών ή πιθανοτικών συσχετίσεων ανάμεσα στην αστοχία των μελών. 5. Εύρεση στατιστικών ή πιθανοτικών συσχετίσεων, αν υπάρχουν, ανάμεσα στις αστοχίες των μελών του συστήματος και του τρόπου αστοχίας. 6. Ολοκλήρωση των μοντέλων συμπεριφοράς των επιμέρους στοιχείων του συστήματος, αλληλεπιδράσεις και συσχετίσεις με ένα συνολικό μοντέλο συμπεριφοράς του συστήματος. 7. Αριθμητικός υπολογισμός και αποτελέσματα για την αξιοπιστία του συστήματος. 3.2 Εξάρτηση ανάμεσα σε αστοχίες των μελών του συστήματος Οι εξαρτήσεις της αστοχίας των μελών του συστήματος είναι εξαιρετικά σημαντική. Ας θεωρήσουμε το προς μελέτη παράδειγμά μας όπου το σύστημα αποτελείται από μία δεξαμενή που περιέχει υγρό και ένα τοίχο αντιστήριξης σε μία αδιαπέρατη επιφάνεια έδρασης (σχήμα 3.1). Αν η ετήσια πιθανότητα της δεξαμενής να αστοχήσει και να διαρρεύσει έξω από την αδιαπέρατη επιφάνεια το περιεχόμενο της είναι Pτ=0,01, η ικανότητα της επιφάνειας είναι για να μπορεί να διατηρεί το πλήρες περιεχόμενο του της δεξαμενής. Για να φύγει το περιεχόμενο εκτός της αδιαπέρατης επιφάνειας πρέπει να αστοχήσει η δεξαμενή και μετά ο τοίχος αντιστήριξης. Θεωρούμε ότι η πιθανότητα αστοχίας του τοίχου είναι P f =0.01. Η πιθανότητα να αστοχήσει το σύστημα δεξαμενής τοίχου θεωρώντας τις πιθανότητες τους ανεξάρτητες είναι Pr=PτPf=0,0001, ένα σχετικά μικρό νούμερο. Παρόλα αυτά εάν συμβεί ρευστοποίηση εξαιτίας σεισμού ο οποίος έχει μία ετήσια πιθανότητα εμφάνισης 0,001, τότε θα αστοχήσουν και ο τοίχος και η δεξαμενή? Η πιθανότητα αστοχίας είναι τότε 0,001. Ενώ η πιθανότητα της ρευστοποίησης συμμετέχει ελάχιστα στην ετήσια πιθανότητα αστοχίας μόνο της δεξαμενής, η πιθανοτική εξάρτηση που προκαλείται ανάμεσα στη δεξαμενή και τον τοίχο αυξάνουν την ετήσια πιθανότητα της διαρροής του υγρού εκτός της αδιαπέρατης επιφάνειας κατά ένα παράγοντα του δέκα. 26

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ3: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ Εξαρτήσεις στις πιθανότητες των μελών του συστήματος μπορούν να προκύψουν κατά το ελάχιστο με τρεις τρόπους: Αλληλεπίδραση μεταξύ του τρόπου αστοχίας.(π.χ η δεξαμενή αστοχεί και έτσι η μετακινήσεις του εδάφους κάτω από τον τοίχο προκαλούν την αστοχία του τοίχου. Πιθανοτικές συσχετίσεις (π.χ ίδιο αρχικό γεγονός επηρεάζει και τη δεξαμενή και το τοίχο.) Στατιστικές συσχετίσεις (π.χ αβεβαιότητα σχετικά με το πώς ο δείκτης στερεοποίησης του εδάφους θεμελίωσης επηρεάζει τη συμπεριφορά της δεξαμενής και του τοίχου κατά τον ίδιο τρόπο: μέγιστη καθίζηση που προκαλούν και τα δύο μαζί. Σχήμα 3.1. Σύστημα τοίχου-δεξαμενής 3.3 Δένδρο πιθανών γεγονότων Για να αποσυνθέσουμε ένα γεωτεχνικό πρόβλημα αξιοπιστίας τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα δένδρο πιθανών γεγονότων. Για το πρόβλημα που περιγράφηκε στην αμέσως προηγούμενη ενότητα το δένδρο πιθανών γεγονότων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ένα δένδρο ξεκινάει με ένα αρχικό γεγονός, ενώ μετά υπολογίζονται όλα τα πιθανά γεγονότα με την μορφή κλαδιών. Καθένα από αυτά τα κλαδιά των γεγονότων οδηγούν σε μία συγκεκριμένη συμπεριφορά του συστήματος. Κάποια από αυτά οδηγούν σε δυσμενή αποτελέσματα, ενώ κάποια άλλα όχι. Για κάθε γεγονός στο δένδρο, η πιθανότητα προκύπτει θεωρώντας το συμβάν του κάθε γεγονότος είναι υποθετική πιθανότητα. Η συνολική πιθανότητα για ένα συγκεκριμένο κλαδί βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την αλληλουχία των υποθετικών πιθανοτήτων. Με αυτό τον τρόπο, μπορούμε να περιγράψουμε το δένδρο του παραδείγματος με την δεξαμενή αποθήκευσης υγρών. 27

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ3: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ Το αρχικό γεγονός είναι η διαρροή του υγρού από τη δεξαμενή το οποίο συμβαίνει με μία πιθανότητα p. Αν το περιεχόμενο της δεξαμενής διαρρεύσει τότε ή θα διατηρηθεί αυτό από τον τοίχο ή όχι. Θεωρούμε την πιθανότητα ο τοίχος να διατηρήσει το υγρό q. Σημειώνουμε ότι η πιθανότητα q εξαρτάται από αν η δεξαμενή έχει διαρρεύσει. Σχήμα 3.2. Δένδρο πιθανών γεγονότων Η πίεση του υγρού στον τοίχο αντιστήριξης σαφώς επιτείνει την αστοχία του, σε σχέση με την περίπτωση χωρίς τη πίεση του υγρού. Αν η αστοχία του συστήματος καθοριστεί σαν απώλεια του υγρού από την αδιαπέρατη επιφάνεια τότε το σημείο στο οποίο τελειώνει το δένδρο γεγονότων είναι αυτό που περιλαμβάνει την αστοχία κατά την οποία η δεξαμενή αστοχεί και ο τοίχος δεν μπορεί να διατηρήσει το υγρό. Η πιθανότητα αστοχίας σε αυτή τη περίπτωση είναι p x q. 28

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ3: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ Αν θεωρήσουμε σαν αρχικό γεγονός το σεισμό ο οποίος οδηγεί στη ρευστοποίηση του εδάφους. Το δένδρο γεγονότων φαίνεται και πάλι στο σχήμα 3.2. Όταν συμβεί η ρευστοποίηση, υποθέτουμε ότι ταυτόχρονα αστοχούν η δεξαμενή και ο τοίχος. Σε αυτήν τη περίπτωση, παρά το γεγονός ότι οι δύο αστοχίες είναι πιθανολογικά ανεξάρτητες, είναι συσχετισμένες με την εμφάνιση ενός κοινού γεγονότος το οποίο οδηγεί στη κοινή αστοχία. Ένα δένδρο γεγονότων είναι ένας απλός τρόπος να δείξουμε την συσχέτιση των γεγονότων στην αστοχία του συστήματος. Ένα δένδρο γεγονότων μπορεί να αποσυνθέσει ένα πρόβλημα σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας. Συνήθως αναλυτικοί υπολογισμοί είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιούνται σε μικρότερα στοιχεία ενός συστήματος, ενώ ταυτόχρονα η έρευνα υποστηρίζει ότι λεπτομερής αποσύνθεση του προβλήματος εμπεριέχει τον κίνδυνο λάθος υπολογισμένων πιθανοτήτων. Ένας λόγος, πιθανώς, είναι ότι όσο πιο αναλυτικό είναι το δένδρο, τόσο λιγότερο ακραίες υπολογιστικά είναι οι πιθανότητες. 3.4 Δένδρο λαθών Αν θεωρήσουμε ξανά την περίπτωση του αποθηκευμένου υγρού της δεξαμενής είδαμε ότι για να δημιουργήσουμε ένα δένδρο γεγονότων ξεκινάμε από διαρροή του υγρού έξω από τη δεξαμενή και μετά θεωρούμε σαν ακολουθούμενο γεγονός την αστοχία του τοίχου. Κατασκευάζοντας αυτού του είδους το δένδρο ξεκινάμε με αρχικό γεγονός το ότι το σύστημα αστόχησε και μετά προσπαθούμε να εντοπίσουμε τους λόγους για τους οποίους συνέβη. Για να χυθεί το υγρό έξω από τη θέση αυτό σημαίνει ότι αφενός ο τοίχος δεν μπόρεσε να το συγκρατήσει, αφετέρου με κάποιο τρόπο διέρρευσε από τη δεξαμενή. Η κοινή πρακτική είναι ο σχεδιασμός του δένδρου όπως ακολουθεί στο σχήμα 3.4. Στο πάνω μέρος του δένδρου είναι η κατάσταση αστοχίας του συστήματος διαρροή υγρού έξω από την αδιαπέρατη επιφάνεια. Κάτω από αυτό υπάρχουν οι δύο αστοχίες οι οποίες πρέπει να συμβούν ώστε το σύστημα να καταρρεύσει η δεξαμενή αστοχεί να διατηρήσει το υγρό και ο τοίχος αστοχεί να διατηρήσει το υγρό.οι οποίες συνδέονται με το σύμβολο << *>> που είναι σύμβολο πολλαπλασιασμού. Αυτό δείχνει ότι οι πιθανότητες πολλαπλασιάζονται για να υπολογιστεί η πιθανότητα του αμέσως μεγαλύτερου σφάλματος. p = pp όπου p o =Pr{διαρροή υγρού έξω από τη θέση}, p 1 =Pr{ η δεξαμενή αστοχεί να διατηρήσει το υγρό } p 2 =Pr{ ο τοίχος αστοχεί να διατηρήσει το υγρό } 29

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ3: ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ Σχήμα 3.4. Δένδρο λαθών 30

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ 4.1 Υπολογισμός δυναμικού ρευστοποίησης με ημι-εμπειρικές μεθόδους Ως πρώτο βήμα για τον προσδιορισμό του δυναμικού ρευστοποίησης και του καθορισμού της επικινδυνότητας μιας περιοχής για ρευστοποίηση είναι ο προσδιορισμός της ευαισθησίας σε ρευστοποίηση των γεωυλικών. Είναι γνωστό ότι υπάρχουν αρκετά και διαφορετικά κριτήρια για τον καθορισμό της ευαισθησίας σε ρευστοποίηση, και αφορούν στη σύσταση, στο μέγεθος των κόκκων, στην κοκκομετρική διαβάθμιση και στα φυσικά χαρακτηριστικά των εδαφικών υλικών. Συγκεκριμένα, είναι γνωστό ότι οι εδαφικοί σχηματισμοί κοκκώδους σύστασης και με καλή κοκκομετρική διαβάθμιση είναι λιγότερο ευαίσθητοι σε ρευστοποίηση σε σύγκριση με εδαφικούς σχηματισμούς κοκκώδους σύστασης και ομοιόμορφης κοκκομετρικής διαβάθμισης και αυτό γιατί κατά την διάρκεια της σεισμικής διέγερσης, οι κοκκώδεις εδαφικοί σχηματισμοί με καλή κοκκομετρική διαβάθμιση, διέπονται από μικρότερες ογκομετρικές αλλαγές σε στραγγιζόμενες συνθήκες και κατά συνέπεια αναπτύσσουν μικρότερες υπερπιέσεις του νερού των πόρων σε αστράγγιστες συνθήκες Μεγάλος αριθμός ημι-εμπειρικών προσεγγίσεων για τον καθορισμό του δυναμικού ρευστοποίησης έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία 30 χρόνια στη διεθνή κοινότητα. Οι ημι-εμπειρικές μέθοδοι είναι σχετικά απλής εφαρμογής και δεν προϋποθέτουν αναλύσεις εδαφικής απόκρισης. Ιδιαίτερα διαδεδομένες είναι αυτές που βασίζονται στον προσδιορισμό των τάσεων και μερικές από αυτές έχουν ενταχθεί σε σύγχρονους κανονισμούς ( π.χ. ΕΑΚ 2000, EC-8, UBC 97) Ημι-εμπειρικές μέθοδοι με υπολογισμό τάσεων Τα κυριότερα βήματα για τον προσδιορισμό του κινδύνου ρευστοποίησης με ημιεμπειρικές μεθόδους προσανατολισμένες στον υπολογισμό των τάσεων, είναι τα ακόλουθα: Υπολογισμός του λόγου ανακυκλιζόμενης τάσης λόγω σεισμού ή της σεισμικής απαίτησης ( CSR: seismic demand), η οποία επιβάλλεται στο έδαφος από τη σεισμική διέγερση. Υπολογισμός του λόγου διατμητικής αντοχής ή του λόγου διατμητικής αντοχής από ανακυκλιζόμενη φόρτιση ( CRR:seismic capacity) από επί τόπου δοκιμές( SPT, CPT και Vs). Καθορισμό του κινδύνου ρευστοποίησης με υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας, ο οποίος ορίζεται ως εξής Fs=CSR/CRR. 31

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ Υπολογισμός της σεισμικώς επιβαλλόμενης διάτμησης (CSR) κατά EC8 και NCEER-97. Κατά EC8 η επιβαλλόμενη διατμητική τάση (τ e ) δίνεται από την εξίσωση: τ α σ τ = 0,65 α σ = = 0,65 (4.1) e max νο e S νο CSR S ' g ' σ νο σ νο όπου: CSR= λόγος ανακυκλιζόμενης τάσης λόγω σεισμού 0,65 = συντελεστής βαρύτητας (εισαχθείς από τον Seed), για τον υπολογισμό του ισοδύναμου αριθμού κύκλων φόρτισης αποφόρτισης οι οποίοι απαιτούνται για να προκαλέσουν την ίδια αύξηση της πίεσης του νερού των πόρων όπως το πραγματικό επιταχυνσιογράφημα α max = κορυφαία επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους g = επιτάχυνση βαρύτητας σ ' νο σ ' νο = κατακόρυφη ενεργός τάση = ολική κατακόρυφη τάση S = συντελεστής ο οποίος εξαρτάται από την κατηγορία του εδάφους S=1 για τις κατηγορίες Α και Β και S=0,9 για την κατηγορία C. Κατά NCEER-97 η επιβαλλόμενη διατμητική τάση (τ e ) δίνεται από την εξίσωση: = τ = α σ 0,65 (4.2) e max νο CSR r ' g ' σ d νο σ νο όπου r d συντελεστής απομείωσης των διατμητικών τάσεων συναρτήσει του βάθους z. rd 1 0,00765z για z 9,15m 1,174 0,0267z z 25m για 9,15m = 0,744 0,008z για 23m z 30m 0,5 για z 30m (4.3) Υπολογισμός διατμητικής αντοχής σε ρευστοποίηση (CRR) κατά EC8 και NCEER-97. Σύμφωνα με τον EC8 η ανακυκλιζόμενη διατμητική αντοχή συναρτάται από την τιμή Ν1,60 (αδιαστατοποιημένη τιμή του SPT ως προς το βάθος και την ενέργεια). Οι καμπύλες του λόγου της ανακυκλιζόμενης διατμητικής αντοχής, CRR, αναπτύχθηκαν για σεισμό μεγέθους Μ=7,5, οπότε, προκειμένου να ληφθεί υπόψη η διαφοροποίηση του μεγέθους, ο συντελεστής ασφαλείας πολλαπλασιάζεται με έναν συντελεστή αναγωγής του μεγέθους (CM), ο οποίος παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα. 32

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ MS CM 5,5 2,86 6,0 2,20 6,5 1,69 7,0 1,30 8,0 0,67 Πίνακας 4.1:μέγεθος σεισμού με αντίστοιχο συντελεστή αναγωγής (Πηγή:[4]) Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται ο NCEER-97 οι καμπύλες μεταβολής του λόγου της αντοχής υπό ανακυκλιζόμενες συνθήκες (CRR7,5) για εμφάνιση ρευστοποίησης με σεισμό μεγέθους Μ=7,5 έχουν την ακόλουθη μορφή: Σχήμα 4.1: καμπύλες μεταβολής του λόγου της αντοχής υπό ανακυκλιζόμενες συνθήκες (CRR7,5) (Πηγή:[4]) Ο υπολογισμός του λόγου CRR7,5 κατά NCEER-97 πραγματοποιείται συνοπτικά ως εξής: BHMA 1º: Διόρθωση κτύπων δοκιμής SPT (N30). Οι συνολικές διορθώσεις των κτύπων SPT επιτυγχάνονται με την ακόλουθη εξίσωση για τον NCEER-97 (N1)60=N30*CN*CE*CB*CR*CS (4.4) 33

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ όπου Ν30: κτύποι, από δοκιμή πεδίου CN: συντελεστής διόρθωσης βάθους CE: συντελεστής διόρθωσης ενέργειας (ER) CB: συντελεστής διόρθωσης διαμέτρου γεώτρησης CR: συντελεστής διόρθωσης μήκους στελέχους της δοκιμής CS: συντελεστής διόρθωσης λόγου τύπου δειγματολήπτη δοκιμής SPT BHMA 2º: Διόρθωση της επίδρασης του ποσοστού λεπτόκοκκου υλικού. Εδάφη με ποσοστό λεπτόκοκκου υλικού, παρουσιάζουν κατά τεκμήριο αυξημένη αντίσταση σε ρευστοποίηση. Η επίδραση του ποσοστού των λεπτοκόκκων λαμβάνεται υπόψη με διορθωτικούς συντελεστές που επιβάλλονται στην τιμή N1,60 η οποία μετατρέπεται σε N1,60cs. N1,60cs=α+β N1,60 (4.5) Οι συντελεστές α, β μεταβάλλονται ανάλογα με το F C. BHMA 3º: Υπολογισμός του λόγου CRR7,5 Ο υπολογισμός του λόγου CRR7,5 γίνεται είτε από το σχήμα 1 είτε από την εξίσωση: 1 N1,60 CS 50 1 CRR = 7,5 34 N (10 N 45) (4.6) ,60CS 1,60CS Στην περίπτωση που το μέγεθος του σεισμού είναι διαφορετικό από Μ=7,5 τότε επιβάλλεται συντελεστής διόρθωσης μεγέθους σεισμού MSF MSF 2,24 2,56 = M (4.7) 10 / w όπου MW είναι το μέγεθος της σεισμικής ροπής. 4.2 Προσδιορισμός εδαφικών μετακινήσεων λόγω ρευστοποίησης Η ρευστοποίηση του εδάφους οδηγεί σε αστοχία του εδάφους, η οποία μπορεί να εμφανισθεί ως οριζόντια πλευρική μετακίνηση (lateral spreading) ή ως συνίζηση (subsidence). Για την αποτίμηση της σεισμικής συμπεριφοράς πάσης φύσεως κατασκευών με επιφανειακή ή βαθειά θεμελίωση ή άλλων κατασκευών κοντά σε πρανή (slopes), είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι μόνιμες μετακινήσεις του εδάφους οφειλόμενες σε πλευρικές μεταθέσεις ή καθιζήσεις λόγω ρευστοποίησης, που μπορεί να συμβούν κατά την διάρκεια ενός σεισμού. Για αυτό τον λόγο έχουν αναπτυχθεί τόσο εμπειρικές όσο και αριθμητικές μέθοδοι. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί απλοποιημένες διαδικασίες για τον υπολογισμό του μεγέθους των πλευρικών μεταθέσεων, βασιζόμενοι κυρίως σε δεδομένα από παλαιότερους σεισμούς. 34

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ Οι αριθμητικές μέθοδοι βασίζονται κυρίως στην ανάλυση του ολισθαίνοντος σώματος (sliding block), κατά την οποία συνεκτικά εδαφικά μπλοκ προσομοιώνονται ως κινούμενα επί ενός ρευστοποιήσιμου στρώματος. Η μέθοδος αυτή έχει χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με άλλες γεωτεχνικές παραμέτρους, προκειμένου να προβλεφτεί η σεισμική συμπεριφορά πρανών και άλλων γεωκατασκευών. Στο σχήμα 4.2, φαίνεται ο μηχανισμός πρόκλησης μόνιμων πλευρικών μεταθέσεων λόγω ρευστοποίησης (σε έδαφος με μικρή κλίση). Η πλευρική μετακίνηση του ρευστοποιήσιμου στρώματος (σκιασμένη περιοχή), προκαλεί την θραύση του επιφανειακού στρώματος σε τμήματα που διαχωρίζονται από σχισμές. Αμέσως παρακάτω παρατίθενται μερικές από τις μεθόδους υπολογισμού των μετακινήσεων αυτών. Σχήμα 4.2. Πλευρική μετάθεση κοντά σε ποτάμι a) πριν το σεισμό, b) μετά το σεισμό. (Πηγή:[5]) 35

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ Μέθοδοι υπολογισμού μόνιμων καθιζήσεων Μέθοδος Tokimatsu and Seed Οι Tokimatsu και Seed συνδυάζοντας δεδομένα από εργαστηριακές δοκιμές και από παρατηρήσεις εδαφικών καθιζήσεων που προκλήθηκαν από παλαιότερους σεισμούς, ανέπτυξαν μια σχετικά απλοποιημένη μέθοδο υπολογισμού καθιζήσεων. Η πρότασή τους βασίζεται στο γεγονός ότι η σεισμική κίνηση παράγει κυκλικές διατμητικές παραμορφώσεις (cyclic shear strain), οι οποίες συμπυκνώνουν τα κοκκώδη εδάφη, προκαλώντας ογκομετρική παραμόρφωση (volumetric strain). H τελευταία είναι κατά κύριο λόγο συνάρτηση του μεγέθους των κυκλικών διατμητικών παραμορφώσεων που παράγονται από το σεισμό και της αρχικής σχετικής πυκνότητας της άμμου. Οι κυκλικές διατμητικές παραμορφώσεις είναι συνάρτηση του λόγου κυκλικών τάσεων CSR (cyclic stress ratio), της σχετικής πυκνότητας και του μεγέθους του σεισμού. Η σχετική πυκνότητα υπολογίζεται άμεσα από την διορθωμένη τιμή (N1) 60 του αριθμού κτύπων της δοκιμής διείσδυσης. Η συσχέτιση της τιμής (N1) 60, του λόγου κυκλικών τάσεων CSR και της ποσοστιαίας μεταβολής του όγκου (%),φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος 4.3, το οποίο αναφέρεται σε σεισμό μεγέθους M=7.5. Για σεισμούς άλλων μεγεθών γίνεται διόρθωση του CSR διαιρώντας με τον κατάλληλο συντελεστή του Πίνακα Σχήμα 4.3: Σχέση μεταξύ CSR, (N1) 60, και μεταβολής όγκου για κορεσμένες καθαρές άμμους και M=7.5 (Πηγή:[5]) Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι ποσοστιαίες μεταβολές όγκου που προκύπτουν μπορεί να είναι υψηλές, έως 2-3% για χαλαρές άμμους και ακόμη υψηλότερες για πολύ χαλαρές άμμους. Η μεταβολή του όγκου που προκύπτει πολλαπλασιάζεται με το πάχος του αντίστοιχου στρώματος, υποθέτοντας μονοδιάστατη στερεοποίηση, προκειμένου να υπολογιστεί η μεταβολή του πάχους. 36

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4: ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ Μέθοδος Ishihara and Yoshimine Οι Ishihara και Yoshimine ανέπτυξαν μια παρόμοια πρακτική μέθοδο, συσχετίζοντας την μεταβολή του όγκου με την σχετική πυκνότητα και τον συντελεστή ασφάλειας της άμμου σε ρευστοποίηση, η οποία γενικά συμφωνεί με την μέθοδο των Tokimatsu και Seed. Ο συντελεστής ασφάλειας έναντι ρευστοποίησης, πρέπει να υπολογιστεί για κάθε στρώμα αμμωδών αποθέσεων (FSL=CRR/CSR), με βάση τις πληροφορίες για την ένταση της σεισμικής κίνησης σε όρους επιτάχυνσης και της πυκνότητας των άμμων της απόθεσης. Γνωρίζοντας τον συντελεστή ασφάλειας, με βάση το διάγραμμα του σχήματος 4.4 προσδιορίζεται η μεταβολή του όγκου μετά την ρευστοποίηση, για κάθε στρώμα αμμώδους απόθεσης με γνωστές τις τιμές D r, N 1 ή q c1. Βρίσκοντας τις αλλαγές του όγκου σε όλο το βάθος, είναι δυνατό να υπολογιστούν οι καθιζήσεις του εδάφους λόγω ρευστοποίησης. Σχήμα 4.4: Διάγραμμα για τον υπολογισμό της μεταβολής του όγκου ως συνάρτηση του συντελεστή ασφάλειας. (Πηγή:[5]) 37

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ. 5.1 Υπολογισμός συνολικής πιθανότητας αστοχίας από ρευστοποίηση Η διαδικασία για τον υπολογισμό της συνολικής πιθανότητας αστοχίας από ρευστοποίηση, λαμβάνοντας υπόψη και την πιθανότητα να συμβεί σεισμός και την πιθανότητα ο σεισμός να προκαλέσει ρευστοποίηση είναι η εξής: Για ένα δεδομένο σεισμό η πιθανότητα να συμβεί ρευστοποίηση εκφράζεται απλά με την παρακάτω εξίσωση: PE[ FL ] = PE[ FL E] P[ E] (5.1) στην οποία PE[ F L] είναι η ολική πιθανότητα ρευστοποίησης κατά την διάρκεια του σεισμού Ε, PE[ FL E ] είναι η πιθανότητα ρευστοποίησης δεδομένου ότι ο σεισμός Ε θα πραγματοποιηθεί και PE [ ] η πιθανότητα ότι ο σεισμός Ε θα πραγματοποιηθεί. Η ολική πιθανότητα της ρευστοποίησης προκύπτει αθροίζοντας όλους τους πιθανούς σεισμούς. PF [ L] = P E[ F L E ] PE [ ] (5.2) E όπου ο υπολογισμός του PE [ ] υπολογίζεται από τους σεισμολόγους ενώ ο υπολογισμός του PE[ FL E ], που αναφέρεται συχνά σαν πιθανότητα ρευστοποίησης περιλαμβάνει τον υπολογισμό από τους γεωτεχνικούς μηχανικούς. Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να χαρακτηριστεί ένας σεισμός. Ένας συνηθισμένος τρόπος είναι η μέγιστη επιτάχυνση Α και η διάρκεια του σεισμού D. Αυτή η εξίσωση μπορεί να γραφεί ως εξής: PF [ L ] = PF [ L AD, ] PAD [, ] (5.3) AD, όπου PF [ L AD, ] είναι η πιθανότητα ρευστοποίησης δεδομένου ότι τα Α και D πραγματοποιούνται όταν συμβαίνει ο σεισμός και PADείναι [, ] η πιθανότητα να συμβεί ο σεισμός. Το άθροισμα είναι όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί των Α και D. Η PAD [, ] μπορεί να υπολογιστεί από την ανάλυση σεισμικής επικινδυνότητας, παρά το γεγονός ότι δεν υπάρχει καμιά διαδικασία για τον υπολογισμό της πιθανότητας να συμβούν τα Α και D ταυτόχρονα. Η εξίσωση (5.3) μπορεί να επεκταθεί και να υπολογίσει την πιθανότητα PAD [, ] σε δύο βήματα: PF [ L] = PF [ L AD, ] PAD [, MR, ] PMR [, ] (5.4) MR, όπου PAD [, MR, ] είναι η σχέση εξασθένισης που δίνει την πιθανότητα της σεισμικής διέγερσης με χαρακτηριστικά Α και D, με μέγεθος Μ και υποκεντρική 38

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ απόσταση R, και PMR [, ] η πιθανότητα ο σεισμός με χαρακτηριστικά Μ και R να συμβεί. Μία εναλλακτική διαδικασία παραλείπει το ενδιάμεσο βήμα της σχέσης εξασθένισης : PF [ L ] = PF [ L MR, ] PMR [, ] (5.5) MR, όπου PF [ L MR, ] είναι η πιθανότητα ρευστοποίησης για ένα σεισμό με επίκεντρο Μ και υποκεντρική απόσταση R από μία θέση. Η αβεβαιότητα όσον αφορά την σχέση εξασθένισης είναι ότι ενσωματώνεται PF [ L MR, ] πιθανότητα. Ότι αφορά τις εξισώσεις ( 5.3 ) ή (5.4),όπου ο σεισμός αντιπροσωπεύεται από την ένταση της σεισμικής διέγερσης στη συγκεκριμένη θέση θα αναφέρεται σαν Α και D προσέγγιση, ενώ ότι αφορά την εξίσωση (5.5) όπου ο σεισμός αντιπροσωπεύεται από το μέγεθος Μ και από την υποκεντρική απόσταση R θα ονομάζεται Μ και R προσέγγιση. Στην κοινή πρακτική, τα Α και D θεωρούνται συγκεκριμένα και στη περίπτωση σεισμικών σεναρίων διερευνάται και αν χρειαστεί γίνονται διορθωτικές κινήσεις ώστε η πιθανότητα PF [ L AD, ] να είναι μικρή. Τυπικά αυτό γίνεται παίρνοντας ένα συντελεστή ασφαλείας πάνω από την αντίσταση του εδάφους σε ρευστοποίηση. Έχουν γίνει πολλές έρευνες στο αναπτυχθούν αναλυτικές και θεωρητικές διαδικασίες υπολογισμού της ενδεχόμενης ρευστοποίησης. Αυτή η πρακτική φαίνεται βολική γιατί επιτρέπει στους σεισμολόγους και του γεωτεχνικούς μηχανικούς να αναπτύξουν διαφορετικές αρχές πρακτικής για τις δύο πλευρές του προβλήματος. Αν το θέμα εξεταστεί από την ισορροπία μεταξύ ασφάλειας και οικονομίας, ο προηγούμενος διαχωρισμός καθίσταται ανεπιτυχής. Συχνά, ταυτόχρονα οι σεισμολόγοι και οι μηχανικοί είναι συντηρητικοί, ο καθένας στο κομμάτι δουλειάς του, που στο σύνολο οδηγεί πολλές φορές σε έναν υπερβολικό συντηρητισμό Υποκεντρική απόσταση και μέγεθος σεισμού συγκριτικά με επιτάχυνση και διάρκεια σεισμού Η ένταση του σεισμικού κραδασμού σε μία θέση μπορεί να περιγραφεί από το μέγεθος και την υποκεντρική απόσταση του σεισμού σχεδιασμού. Βλέποντας το γεγονός ότι οι περισσότερες εν ενεργεία αναλύσεις ρευστοποίησης χρησιμοποιούν την επιτάχυνση και την διάρκεια, γίνεται αντιληπτό ότι πρέπει να υπολογιστούν αυτές οι παράμετροι σχεδιασμού από το μέγεθος του σεισμού. Η τιμή της επιτάχυνσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας σχέσεις εξασθένισης και το μέγεθος καθώς και την υποκεντρική απόσταση του δεδομένου σεισμού. Η διάρκεια του σεισμικού κραδασμού, η οποία εκφράζεται σε όρους της παραμέτρου Ν eq αναφέρεται στον αριθμό των ισοδύναμων κύκλων, μπορεί επίσης να υπολογιστεί από το μέγεθος χρησιμοποιώντας μία εμπειρική διαδικασία. Έχει γενικά αναγνωριστεί ότι η χρήση της επιτάχυνσης και της σεισμικής διάρκειας στην ανάλυση της ρευστοποίησης και στην μελέτη της ενδεχόμενης εμφάνισης, εμπεριέχει αβεβαιότητες. Μία εναλλακτική μέθοδος για τη μελέτη της, βασισμένη σε ερμηνεία των παρατηρήσεων πεδίου, είναι σε όρους μεγέθους σεισμού και υποκεντρικής απόστασης. 39

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ Τα πλεονεκτήματα της επιλογής μεγέθους σεισμού και υποκεντρικής απόστασης είναι πολλαπλά. Καταρχάς χρησιμοποιώντας το μέγεθος του σεισμού στην ανάλυση ρευστοποίησης οι υπολογισμοί για την διάρκεια είναι πιο άμεσοι από την εμπειρική παράμετρο Ν eq η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μαζί με την επιτάχυνση. Επίσης σε αυτή τη περίπτωση οι υπολογισμοί είναι σαφέστεροι και άμεσοι. Επιπλέον,σε μέρη στα οποία συνέβη ρευστοποίηση αλλά δεν υπήρξαν μετρήσεις επιτάχυνσης μπορούν να συμπεριληφθούν στην έρευνα. Επίσης μπορεί να αναπτυχθεί ένα αξιόπιστο κριτήριο για την ρευστοποίηση από μέρη στα όποια δεν έχει ακόμα συμβεί. Τέλος αυτή η τεχνική μπορεί να ενσωματωθεί άμεσα σε μία ανάλυση σεισμικής επικινδυνότητας που να αποδώσει τη συνολική πιθανότητα ρευστοποίησης όπως στην εξίσωση (5.5) χωρίς τη χρήση της σχέσης εξασθένισης όπως φαίνεται στην εξίσωση (5.4) Ανάλυση επικινδυνότητας ρευστοποίησης σε όρους μεγέθους και υποκεντρικής απόστασης. Αφού αναλύθηκαν οι λόγοι για τους οποίους προτιμούμε να παρουσιάζουμε την ανάλυση επικινδυνότητας ρευστοποίησης, είναι αναγκαίο να αναπτυχθεί ένα πιθανοτικό μοντέλο το οποίο να χρησιμοποιεί αυτές τις σεισμικές παραμέτρους ώστε να αποδοθεί η πιθανότητα ρευστοποίησης δεδομένου ενός συγκεκριμένου επιπέδου σεισμικού κραδασμού. Το μοντέλο αυτό παρατίθεται παρακάτω και στηρίζεται στην ερμηνεία συλλεγμένων δεδομένων am e H Sc = (5.6) b ( R + 16) σ v όπου Μ είναι το μέγεθος του σεισμού στην κλίμακα Richter, R είναι η υποκεντρική απόσταση σε miles, H είναι το βάθος του ενδιαφέροντος σε feet, και σ v είναι η κατακόρυφη ενεργή τάση στο ίδιο σημείο, σε pounds/inch 2. Εύρος των τιμών α και b επιλέχθηκε εξετάζοντας προτεινόμενες σχέσεις εξασθένισης για επιτάχυνση στο βράχο και μελετών σχετικά με την αλλαγή της επιτάχυνσης από το βράχο στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους. Πολλά διαφορετικά ζεύγη τιμών χρησιμοποιήθηκαν για τη δημιουργία του παρακάτω διαγράμματος. Τέλος, συμπεράθηκε ότι οι τιμές α=0.5 και b=1 είναι οι περισσότερο κατάλληλες τιμές ώστε η εξίσωση (5.6) να γίνει: 0.5M e H Sc = (5.7) ( R + 16) σ v Η παράμετρος S c χρησιμοποιήθηκε από τους Seed, Idriss, Castro και σε μερικές Ιαπωνικές θέσεις στις οποίες δεν είχε εμφανιστεί ρευστοποίηση. Τα αποτελέσματα των μελετών αντιπροσωπεύονται από το παρακάτω διάγραμμα (5.1). Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στις τιμές του SPT διορθωμένες για τη γεωστατική τάση χρησιμοποιώντας την εξίσωση 50N N ' = (5.8) σ v + 10 όπου Ν είναι ο αριθμός των χτύπων ανά ft, σ v η κατακόρυφη ενεργή τάση σε pounds/inch 2. 40

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ Σχήμα 5.1: μέση τιμή της παραμέτρου Sc (Πηγή:[6]) Στο διάγραμμα του σχήματος οι 5.1 οι συμπαγείς κύκλοι αναφέρονται σε εδάφη στα οποία δεν έχει εμφανιστεί ρευστοποίηση ενώ οι μη συμπαγείς αναφέρονται σε ρευστοποιημένα εδάφη. Τα δεδομένα του διαγράμματος παριστάνονται γραφικά σε όλη τη περιοχή των αξόνων. Αυτό δεν μπορεί κατηγορηματικά να θεωρηθεί σαν διασπορά. Αυτό που εννοείται είναι ότι κατά τη διάρκεια του σεισμού ενός συγκεκριμένου μεγέθους, ένα τμήμα της άμμου ρευστοποιηθεί αυτό θα ρευστοποιούνταν αν συνέβαινε σεισμός μεγαλύτερου μεγέθους. Για να αναπτυχθεί κριτήριο για την ρευστοποίηση σαν συνάρτηση της ευαισθησίας του εδάφους σε όρους διορθωμένων κτύπων του μεγέθους Ν, είναι απαραίτητο να καθοριστεί μία γραμμή διαχωρισμού ώστε οι συμπαγείς κύκλοι να δηλώνουν μία ζώνη πιθανούς ρευστοποίησης ενώ οι μη συμπαγείς μία ζώνη μη πιθανούς ρευστοποίησης. Μία απλή προσέγγιση η οποία και δόθηκε παραπάνω με το διάγραμμα του σχήματος 5.1. Η μέθοδος αυτή επικεντρώνεται στο να άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των μη ταξινομημένων σημείων από την διαχωριστική γραμμή να είναι το ελάχιστο. Τα μη ταξινομημένα σημεία είναι οι συμπαγείς κύκλοι κάτω από την γραμμή στην μη ρευστοποιημένη περιοχή και οι μη συμπαγείς κύκλοι πάνω από τη γραμμή διαχωρισμού στην περιοχή που έχει ρευστοποιηθεί. Η διαδικασία ( που περιγράφθηκε παραπάνω) του να καθοριστεί ένα τέτοιο κριτήριο του σχήματος 5.1 εμπεριέχει πολλές πηγές αβεβαιότητας. Υπήρξε προσπάθεια να αναγνωριστούν οι κύριες πηγές αβεβαιότητας, να ποσοτικοποιηθούν και τελικά να εισαχθούν μέσα στην ποσότητα S c. Κάποιες από τις πηγές αβεβαιότητας είναι : 41

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ 1) Μορφή της παραμέτρου S c λόγω των αβεβαιοτήτων των τιμών των συντελεστών α και b. 2) Η θέση της γραμμής διαχωρισμού της παραπάνω μεθόδου 3) Οι παράμετροι M R και N Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις παραπάνω αβεβαιότητες, μία μέση τιμή της παραμέτρου S c υπολογίζεται για τον καθορισμό ή μη της ρευστοποίησης Υπό όρους πιθανότητα ρευστοποίησης Προς ικανοποίηση της μαθηματικής απλότητας στην πιθανολογική ανάλυση αναπτύχθηκε ένα μέτρο της ενδεχόμενης ρευστοποίησης, ο δείκτης δυναμικού ρευστοποίησης, Liquefaction Potential Index (LPI). Εξ ορισμού, ο δείκτης LPI είναι ίσος με λόγο της διατμητικής τάσης που προκαλείται από το σεισμό προς την αντοχή του εδάφους. Έτσι τearthquake LPI = (5.9) τstrength Η ρευστοποίηση επέρχεται όταν διατμητική τάση είναι μεγαλύτερη από τη διατμητική αντοχή του εδάφους. Οπότε LPI > 1.0αναμένεται ρευστοποίηση (5.10) LPI < 1.0 δεν αναμένεται ρευστοποίηση (5.11) Πίνακας 5.1: διασπορά της παραμέτρου αντοχήςs c (Πηγή:[6]) Καθώς η παράμετρος S c εκφράζεται από την εξίσωση( 5.7), είναι ανάλογη της διατμητικής τάσης που προκαλεί ρευστοποίηση, η γραφική παράσταση του Sc η οποία φαίνεται στο σχήμα (5.1), είναι ανάλογη στη μέση διατμητική αντοχή του εδάφους. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του δείκτης πιθανής ρευστοποίησης LPI ο μέσος LPI είναι : ELPI ( ) ( S ) c earthquake = (5.12) Sc στην οποία το μέγεθος ( S c ) earthquake δίνεται από την εξίσωση (5.7) και το S c από το γράφημα του σχήματος 5.1. Τελικά η εξίσωση (5.12) γίνεται 42

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ 0.5M e H ELPI ( ) = ( R + 16) Sc σ v (5.13) Η εξίσωση( 5.13) εκφράζει το μέσο LPI σαν συνάρτηση της έντασης του σεισμού και της μέσης αντοχής του εδάφους.παρόλα αυτά λόγω των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του LPI και ειδικά στην παράμετρο αντοχής S c, ο πραγματικός LPI πρέπει να είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος του LPI. Επιπλέον, υπολογίζοντας τις αβεβαιότητες, μπορούμε και να υπολογίσουμε την πιθανότητα ρευστοποίησης. Η ενδεχόμενη ρευστοποίηση μπορεί να περιγραφεί με ένα πιθανολογικό τρόπο σαν την πιθανότητα ο δείκτης LPI να είναι μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας: PF [ M,R] = P[LPI 1.0 MR, ] (5.14) L Για τον υπολογισμό της υπό συνθήκης πιθανότητας ρευστοποίησης απαιτείται να υπολογιστεί η ποσότητα LPI και μετά να χρησιμοποιηθεί η πιθανοτική συνάρτηση πυκνότητας για το LPI. Η περιοχή κάτω από την πιθανοτική συνάρτηση πυκνότητας για το LPI 1.0 θα αποδίδει την πιθανότητα ρευστοποίησης. Το σχήμα 5.2 περιγράφει σχηματικά τον υπολογισμό της πιθανότητας για διάφορα βάθη υποθέτοντας λογαριθμική κατανομή για το LPI. H λογαριθμική κατανομή περιγράφεται σαν ο καλύτερος τρόπος να αντιπροσωπευτεί το φαινόμενο το οποίο προκύπτει από πολλαπλούς μηχανισμούς όπως απεικονίζονται στην έκφραση του LPI. 43

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ Σχήμα 5.2: πιθανότητα ρευστοποίησης συναρτήσει του βάθους. (Πηγή:[6]) Μεταβλητή LPI Για μία δεδομένη ένταση σεισμού που καθορίζεται από το μέγεθος Μ και την υποκεντρική απόσταση R, ο δείκτης απόκλισης του (LPI) μπορεί κατά προσέγγιση να υπολογιστεί από την σχέση: 1 2 Var[ σ ] Var[ Sc] ν VLPI = + (5.15) 2 2 σ ν S c Η συνολική διασπορά του S c πρέπει να περιέχει την διασπορά από τον πινάκα 5.1 και την αβεβαιότητα στους διορθωμένους κτύπους Ν. Η συνολική διασπορά υπολογίζεται κατά προσέγγιση: Var S = Var S + k Var N (5.16) 2 [ c] [ c] N ' [ '] στην οποία το μέγεθος Var[ S c] N ' είναι η διασπορά του S c δεδομένου του Ν και k είναι η κλίση της καμπύλης μέσης αντοχής του σχήματος 5.1. Οι τιμές του k για διάφορες τιμές του Ν δίνονται στον πίνακα 5.1. Η διασπορά της διορθωμένης τιμής SPT, Ν μπορεί επίσης να υπολογιστεί κατά προσέγγιση: 44

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ 2 Var[ N] Var[ σ ] ν Var [ N'] = N' N σ ν (5.17) Για να υπολογιστεί η υπό συνθήκη πιθανότητα ρευστοποίησης PF [ L M,R], η τιμή της μεταβλητής U σε όρους LPI που απαιτείται είναι: m U= - lnlpi σlnlpi LPI 1.0 (5.18) ή m U= lnlpi σ LPI>1.0 (5.19) lnlpi στις οποίες σ και m είναι η είναι η τυπική απόκλιση και η μέση τιμή του lnlpi lnlpi LPI αντίστοιχα και δίνονται από τις σχέσεις : 2 2 σ lnlpi = ln[ V LPI + 1] (5.20) 1 2 και mlnlpi = lnlpi σ LPI (5.21) 2 Επομένως για ένα δεδομένο μέσο LPI και το συντελεστή της απόκλισης V LPI, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (5.20) και (5.21) στις (5.18) και (5.19) στον υπολογισμό του U και στην εισαγωγή πινάκων με κανονικές τιμές, ο υπολογισμός της υπό συνθήκης πιθανότητας ρευστοποίησης μπορεί να καθοριστεί Προκαταρτική ανάλυση για πιθανότητα ρευστοποίησης Το γράφημα του σχήματος 5.1 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναπτυχθούν χάρτες οι οποίοι μπορούν να υπολογίσουν προκαταρτικά την πιθανότητα ρευστοποίησης. Χρησιμοποιώντας την έννοια του μέσου δείκτη ενδεχόμενης ρευστοποίησης, LPI, οι σχέσεις μεγέθους απόστασης μπορούν να εξελιχθούν για να καθορίσουν αυτή τη πιθανότητα. Αναφερόμενοι στην εξίσωση (5.13) η επιθυμητή σχέση μεγέθους-απόστασης είναι: ( R+ 16) σν Sc M = 2ln (5.22) H Το σχήμα 5.3 δείχνει τη σχέση του μεγέθους του σεισμού σε σχέση με την απόσταση όπου ο υδροφόρος ορίζοντας είναι στην επιφάνεια του εδάφους. Αυτά τα οποία δείχνει είναι σωστά για ένα υποτιθέμενο βάρος =1,75x10 3 Kg/m 3. Φαίνεται ότι για γ t =1.92x10 3 Kg/m 3 το μέγεθος του σεισμού πρέπει να αυξηθεί κατά 0,4 και 0,7 αντιστοίχως. Τα γραφήματα του σχήματος 5.3 μπορούν να χρησιμοποιηθούν για και αυτά για προκαταρτική μελέτη. Για παράδειγμα αν σε κάποια συγκεκριμένη θέση όπου ο υδροφόρος ορίζοντας είναι στην επιφάνεια του εδάφους, με μέσο διορθωμένο κτύπο Ν =25 και 45

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ γ t =1.75x10 3 Kg/m 3. Αν ο σεισμός είναι μεγέθους =7.0 και η υποκεντρική απόσταση είναι 64Km, υπάρχει 50% μεγαλύτερη πιθανότητα να συμβεί ρευστοποίηση κατά την εμφάνιση του δεδομένου σεισμού. Παρόλα αυτά,αν το μέγεθος του σεισμού είναι Μ=7.0 και R=96Km τότε υπάρχει μικρότερη πιθανότητα από 50% το έδαφος να ρευστοποιηθεί. Σχήμα 5.2: εξάρτηση μεγέθους Μ, απόστασης πηγής R. (Πηγή:[6]) 46

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΑΣΤΟΧΙΑ ΤΟΥ ΕΦΑΦΟΥΣ ΕΞΑΙΤΙΑΣ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟ Ανάλυση επικινδυνότητας ρευστοποίησης Για να καθοριστεί η ενδεχόμενη ρευστοποίηση του εδάφους σε όρους πιθανότητας αστοχίας, μπορούμε να οδηγηθούμε σε μία ολοκληρωτική ανάλυση επικινδυνότητας. Μία τέτοιου είδους ανάλυση απαιτεί, σε συνδυασμό με την υπό συνθήκη πιθανότητα, την σεισμική ιστορία της περιοχής, τα χαρακτηριστικά των σεισμών της περιοχής και μία πιθανολογική πρόβλεψη σχετικά με τη σεισμικότητα της περιοχής. Η ετήσια συνολική πιθανότητα της ρευστοποίησης μπορεί να απαιτεί μία ανάλυση επικινδυνότητας, συμπεριλαμβανομένου και του υπολογισμού της υπό συνθήκης πιθανότητας ρευστοποίησης και της ολοκλήρωσης όλων των πιθανών σεισμών και των τοποθεσιών.σε μαθηματική μορφή, η ολοκλήρωση αυτή εκφράζεται: PF [ ]/ yr PF [ MR,, E at if ] ( M ) = L R M L i PE [ at idmdr ] (5.23) Στην οποία i είναι η περιοχή του επικέντρου του σεισμού, PF [ L MR, i, E at i] είναι η υπό συνθήκη πιθανότητα της ρευστοποίησης δεδομένου ότι σεισμός με χαρακτηριστικά μεγέθους Μ και υποκεντρικής απόστασης Ri θα συμβεί στο i, fm ( ) είναι η συνάρτηση πιθανότητας πυκνότητας του σεισμού μεγέθους M και PE [ at i ] είναι η ετήσια πιθανότητα ο σεισμός να συμβεί στο i. Η έκφραση της πιθανότητας της σχέσης 5.23 είναι πολύ γενική και σωστή για κάθε τύπο πηγής σεισμού. Γενικά η διπλή ολοκλήρωση της (5.23 ) μπορεί να πραγματοποιηθεί και χωρίς τις διαδικασίες που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση επικινδυνότητας 47

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 6.1 Γεωμετρικά δεδομένα προβλήματος. Θεωρούμε δεξαμενή ύψους h=8m και ακτίνα R=20m. Η περιεκτικότητα της δεξαμενής δίνεται από το τύπο: Vδεξ = π R h= 3, = 10048m Σε περίπτωση διάχυσης του υγρού στο πλακόστρωτο διαστάσεων 60x60 το υγρό καλύπτει επιφάνεια: 2 2 Ε πιϕάνεια = πr = , = = 5144m Άρα το ύψος των περιμετρικών τοίχων αντιστήριξης δίνεται: h = = 1, 95m 5144 Συνεπώς επιλέγεται ένα ύψος τοίχου h=2,5m 2. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η κάτοψη της θέσης του συστήματος προστασίας το οποίο μελετάται καθώς και μία προοπτική εικόνα του. 48

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Σχήμα 6.1: κάτοψη του συστήματος προστασίας 49

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Σχήμα 6.2: προοπτική εικόνα του συστήματος προστασίας 50

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 6.2 Γεωλογικά δεδομένα της περιοχής Καλοχωρίου Οι περιοχές δυτικά της Θεσσαλονίκης αποτελούν τμήμα της ευρύτερης πεδιάδας δηλαδή της πεδιάδας Θεσσαλονίκης- Γιαννιτσών. Πρόκειται για περιοχές με ομαλό τοπογραφικό ανάγλυφο, με χαμηλό μέσο υψόμετρο και με κακές συνθήκες αποστράγγισης. Επιφανειακά οι περιοχές αυτές καλύπτονται από ένα χαλαρό αργιλοαμμώδες στρώμα, ενώ το υπέδαφος του αποτελείται από εναλλασσόμενες κλαστικές αποθέσεις αργίλων, ιλύων, άμμων, χαλικών και κροκάλων οι οποίες χρονολογικά τοποθετούνται στη τελευταία περίοδο του τεταρτογενούς. Η παρουσία στις επιφανειακές στρώσεις των παραπάνω περιοχών κελυφών από γαστερόποδα και ελασματοβράγχια, μαρτυρεί ότι οι περιοχές αυτές αποτελούσαν κατά το πρόσφατο παρελθόν μέρος της θάλασσας του Θερμαϊκού κόλπου. Από γεωλογική άποψη οι τεταρτογενείς σχηματισμοί που συναντώνται στις περιοχές δυτικά της Θες/νίκης εκτείνονται σε όλη την πεδιάδα Θεσσαλονίκης- Γιαννιτσών, ενώ οι περιβάλλοντες την πεδιάδα σχηματισμοί αποτελούνται κυρίως από πετρώματα ηλικίας του τριτογενούς. Πρόκειται για ένα εσωτερικό τεκτονικό βύθισμα μέσα στην ευρύτερη γεωτεκτονική ζώνη του Αξιού, ο αρχικός σχηματισμός του οποίου τοποθετείται 25 εκατομμύρια χρόνια περίπου ( εικόνα 6.1). Εικόνα 6.1: ρήγματα ή διαρρήξεις των τριτογενών ιζημάτων του ανατολικού τμήματος του τεκτονικού βυθίσματος Θες/νίκης-Γιαννιτσών όπως αποτυπώθηκαν από δορυφορικές φωτογραφίες του M.S.S Land-sat-1.(Πηγή:[7]) 51

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Η εικόνα 6.2 αναφέρεται στις λιθολογικές τομές δύο γειτονικών ερευνητικών γεωτρήσεων δυτικά του Καλοχωρίου. Ανάλογα με τη την ηλικία και τη φάση της ιζηματογένεσης, οι παραπάνω ολοκαινικοί και άνω- πλειστοκαινικοί σχηματισμοί διακρίνονται σε επτά περαιτέρω διαδοχικές ακολουθίες ιζημάτων οι 1,2,3,4 ανήκουν στο Ολόκαινο και αποτελούνται διαδοχικά από πάνω προς τα κάτω από ιζήματα ποτάμιας, δελταϊκής και παράκτιας φάσης, ενώ οι τέσσερις κατώτερες ακολουθίες 5,6,7,8 σχηματίστηκαν κατά το Ανω-Πλειστόκαινο και αποτελούνται διαδοχικά από ιζήματα ποταμοχειμάρριας, ποτάμιας, παράκτιας και θαλάσσιας φάσης. Από τις ακολουθίες η πρώτη αποτελείται από: -Ένα καστανόχρωμο επιφανειακό στρώμα υλικού αργιλοαμμώδους έως αργιλοϊλυώδους σύστασης πάχους 1-3 μέτρων. -Ένα ενδιάμεσο μελανότεφρο αργιλικό υλικό το πάχος του οποίου κυμαίνεται από λίγα εκατοστά έως 10 και περισσότερα μέτρα στην περιοχή νότια του Καλοχωρίου. Πρόκειται για μικρής φέρουσας ικανότητας σχηματισμό που δημιουργεί σοβαρά προβλήματα στη θεμελίωση των κατασκευών και στον οποίο παρεμβάλλονται πολλές φορές φακοειδής στρώσεις άμμου. -Ένα κατώτερο φαιόχρωμου στρώμα άμμου, μικρού συνήθους πάχους. Στους παραπάνω σχηματισμούς της πρώτης ακολουθίας ιζημάτων η μεταβολή του πάχους τους από τις παρυφές προς το κέντρο της πεδιάδας, όπως ιδιαίτερα παρατηρείται στον ενδιάμεσο μελανότεφρο αργιλικό σχηματισμό της ακολουθίας αυτής, δεν είναι πολλές φορές ομαλή αλλά παρουσιάζει απότομες κλιμακοειδούς μορφής αυξήσεις. Αυτό προφανώς οφείλεται σε μικρομεταπτώσεις που έλαβαν χώρα κατά τη διάρκεια της ιζηματογένεσης του αντίστοιχου υλικού της ακολουθίας στην αντίστοιχη θέση. Αντίστοιχα προς τη πρώτη, η δεύτερη ακολουθία ιζημάτων της περιοχής, μέσου πάχους 40 μέτρων αποτελείται από : -Μία αργιλοψαμμιτική ομάδα ιζημάτων δελταϊκής προέλευσης που αποτελείται από εναλλασσόμενα στρώματα αργίλων, άμμων και χαλίκων και -Ένα υποκείμενο μέσης συνεκτικότητας αργιλικής σύστασης στρώμα δελταϊκής κατωφέρειας. Στην ακολουθία αυτή τα στρώματα της άμμου και των χαλίκων που παρεμβάλλονται μεταξύ των αργιλικών στρωμάτων είναι απαλλαγμένα αργιλικού υλικού. Από τη παραπάνω περιγραφή των δύο επιφανειακών ακολουθιών και τις λιθολογικές τομές του σχήματος 6.2 προκύπτει ότι το υπέδαφος της περιοχής αποτελείται από εναλλασσόμενα στρώματα αργίλων με στρώματα ιλύων, άμμων, χαλίκων και κροκαλών με κυμαινόμενα από θέση σε θέση πάχη και διάφορα κάθε φορά συντελεστή υδροπερατότητας. Συνήθως οι άμμοι, οι χάλικες και οι κροκάλες δεν εμφανίζουν συνεχή εξάπλωση αλλά συνιστούν επιμήκη φακοειδούς μορφής στρώματα που περιβάλλονται από αργιλικά ιζήματα. Τα φακοειδούς μορφής στρώματα τα οποία είναι κατά κανόνα υδροφόρα, αναπτύσσονται άλλοτε με γενική διεύθυνση ΒΔ-ΝΑ έως Β-Ν, διεύθυνση δηλαδή παράλληλη προς τις παλιές ακτογραμμές του κόλπου Θερμαϊκού. Η παραπάνω διαπίστωση αφενός εξηγεί το φαινόμενο της έλλειψης στρωματογραφικής αντιστοιχίας που παρατηρείται στις λιθολογικές τομές ακόμα και γειτονικών γεωτρήσεων στην περιοχή όπως στην περίπτωση της εικόνας

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 53

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ εικόνα 6.2: λιθολογικές τομές δύο γειτονικών γεωτρήσεων στις οποίες σημειώνεται το είδος και η ηλικία σχηματισμού των διατρηθέντων ιζημάτων(πηγή:[7]). Ειδικότερα στην περιοχή του Καλοχωρίου αναπτύσσεται μεταξύ των 3 και 10 μέτρων μελανότεφρο αργιλικό στρώμα και χαρακτηρίζεται κατά Sheppard ως ιλυώδης άργιλος. 54

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 6.3 Γεωτεχνικά δεδομένα της περιοχής Καλοχωρίου. Εισαγωγή Στην παρουσίαση αυτή γίνεται μια προσπάθεια σύνθεσης και αξιολόγησης των γεωτεχνικών πληροφοριών που έχουν συγκεντρωθεί για τις περιοχές δυτικά της Θεσ/νίκης. Κύριος σκοπός είναι να δοθεί μια όσο το δυνατό καλύτερη εικόνα της στρωματογραφίας της περιοχής και των φυσικών και μηχανικών χαρακτηριστικών αυτής, έτσι ώστε να γίνουν κατανοητά τα προβλήματα της θεμελίωσης μικρής ή μεγάλης κλίμακας τεχνικών έργων στην περιοχή Σύνθεση των γεωτεχνικών δεδομένων Στον παρακάτω χάρτη παρουσιάζεται η σύνθεση των γεωτεχνικών στοιχείων για εννέα περιοχές στις οποίες έχουν εκτελεστεί τα σημαντικότερα από τα παραπάνω έργα και που καλύπτουν την όλη περιοχή και συγκεκριμένα από τον Αξιό ποταμό μέχρι τον κόμβο Δενδροποτάμου, κατάντη της Σίνδου και μέχρι την ακτή Θερμαϊκού (εικόνα 6.3). 55

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Εικόνα 6.3: γεωλογικός χάρτης της περιοχής δυτικά της Θεσσαλονίκης(Πηγή:[7]) Πριν παρουσιάσουμε αναλυτικότερα την περιοχή του Καλοχωρίου μπορούμε να κάνουμε τις παρακάτω γενικές παρατηρήσεις που αφορούν στους εδαφικούς σχηματισμούς της περιοχής: Το υπέδαφος της εξεταζόμενης περιοχής όπως είναι γνωστό αποτελείται από πρόσφατες παράκτιες αποθέσεις και προσχώσεις πεδιάδων. Μπορούμε να διακρίνουμε τέσσερις κύριους εδαφικούς σχηματισμούς: Τον εδαφικό σχηματισμό Ι, από ιλυώδη ή λεπτή, χαλαρής έως μέσης πυκνότητας, άμμο με μεμονωμένες ενστρώσεις μαλακής ιλυώδους αργίλου και κοκκομετρικής διαβάθμισης. Τον εδαφικό σχηματισμό ΙΙ, από ιλυώδη μαλακή άργιλο υψηλής φυσικής υγρασίας ( ορίου υδαρότητας) με παρεμβολές στρώσεων αμμοϊλύος. Τον εδαφικό σχηματισμό ΙΙΙ, από πολύ πλαστική μαλακή άργιλο (παχιά) υψηλής φυσικής υγρασίας του ορίου υδαρότητας και κοκκομετρικής διαβάθμισης. Τον εδαφικό σχηματισμό ΙV, από αργιλώδη ή ιλυώδη άμμο έως χαλικώδη άμμο πυκνής αποθέσεως. 56

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Στον παραπάνω χάρτη παρατηρούμε ότι η περιοχή του Καλοχωρίου βρίσκεται ενδιάμεσα των περιοχών V και VII. Παρακάτω δίνονται αναλυτικότερα τα εδαφικά προφίλ της καθεμιάς. Έτσι: Για την περιοχή V στις εκβολές του Γαλλικού ποταμού και εκατέρωθεν, (εικόνα 6.4) οι μέσες γεωτεχνικές τομές δείχνουν ότι εκατέρωθεν της όχθης ο σχηματισμός Ι συναντάται μέχρι τα 7,0+10,0 μ., οι αργιλικές στρώσεις (σχηματισμοί ΙΙ και ΙΙI) μέχρι τα 28,0 μ. αριστερά και τα 38,0 μ. δεξιά και ο πυκνής αποθέσεως σχηματισμός ΙV τουλάχιστον μέχρι τα 40,0 μ. που διατρήθηκαν. Στην κοίτη και τις εκβολές ο σχηματισμός Ι συναντάται μέχρι τα 21,0 μ. και οι αργιλικές στρώσεις (σχηματισμοί ΙΙ και ΙΙI) μέχρι τα 40,0 μ. τουλάχιστον. 57

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Εικόνα 6.4: μέση γεωτεχνική τομή, αριστερά της κοίτης του Γαλλικού ποταμού προς Καλοχώρι (Πηγή:[7]) 58

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Όσον αφορά στην περιοχή VII κατάντη της Λαχαναγοράς η μέση γεωτεχνική τομή (εικόνα 6.5) δείχνει ότι οι αμμώδεις στρώσεις του σχηματισμού Ι χαμηλής πυκνότητας Ν<10 συναντώνται μέχρι τα 8,0 μ. και οι μαλακές αργιλικές στρώσεις δηλαδή. οι σχηματισμοί ΙΙ και ΙΙΙ φθάνουν μέχρι τα 32,0 μ. Έχουν υψηλή φυσική υγρασία ορίου υδαρότητας αστράγγιστη διατμητική αντοχή C u =0,20 0,30kg/cm 2 και δείκτη συμπιεστότητας C c =0,35 0,45. Μετά τα 32,00 36,90 μ. συναντάται ο αμμώδης σχηματισμός ΙV και συνεχίζουν μέχρι τα 48,0 μ. που διατρήθηκαν οι αργιλικές στρώσεις ιλυώδους έως παχιάς αργίλου σημαντικής συνεκτικότητας Ν=30 50, C u >I,Okg/cm 2 και C C < 0,

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Εικόνα 6.5: μέση γεωτεχνική τομή, κατάντη της λαχαναγοράς. (Πηγή:[7]) 60

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Κατά την εκτέλεση των γεωτεχνικών ερευνών, τον ποιοτικό έλεγχο των κατασκευών και τη μετέπειτα παρακολούθηση των τεχνικών έργων έγιναν κάποιες σημαντικές παρατηρήσεις: 1) Ο υπόγειος ορίζοντας συναντάται πολύ ψηλά, κυμαίνεται στα 2,0 + και τα 0,50 μ. Αυτό σε συνδυασμό με τις ισχνές ιλυοαμμώδεις στρώσεις που εμφανίζονται στα επιφανειακά στρώματα και την έλλειψη δυνατότητας υποβιβασμού του υπόγειου ορίζοντα, δημιουργεί προβλήματα και απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και προσπάθεια στην προετοιμασία του υπεδάφους. 2) Οι σχηματισμοί Ι, ΙΙ και VΙ είναι σε σημαντικό βαθμό συμπιεστοί με δείκτη συμπιεστότητας C c από 0,300 έως και 0,600. Έτσι τα προβλήματα των καθιζήσεων εμφανίζονται έντονα στην περιοχή. Ο σχηματισμός Ι έχει μεν έντονες καθιζήσεις αλλά λόγω των ενδιάμεσων ιλυοαμμωδών στρώσεων οι καθιζήσεις συντελούνται σε συντομότερο χρονικό διάστημα απ' αυτό που προσδιορίζεται με τις δοκιμές στο οιδήμετρο, γεγονός που δίνει την δυνατότητα πρότασης σταθεροποίησης του σχηματισμού αυτού με προφορτίσεις (για οικονομικά και τεχνικά έργα που μεταφέρουν τα φορτία κύρια στον επιφανειακό σχηματισμό), με σταδιακή κατασκευή των χωμάτινων κατασκευών(επιχώματα κατά στάδια), με επιτάχυνση του ρυθμού στερεοποίησης με χαλικοπασσάλους, γεωυφάσματα, αποστραγγιστικές στρώσεις κλπ. Οι σχηματισμοί ΙΙ και ΙΙΙ και ιδιαίτερα ο τελευταίος της μαλακής παχείας αργίλου έχουν έντονες καθιζήσεις που εξελίσσονται με βραδύ ρυθμό (C c >0,500 και C v =0,06 +0,08cm 2 /min) και εξακολουθούν και σήμερα στα μεγάλα τεχνικά έργα (π.χ. γέφυρα Αξιού) που η θεμελίωσή τους έγινε επιφανειακά ή πάνω από τις στρώσεις αυτές. 3) Το πυκνό αμμώδες ή αμμοχαλικώδες στρώμα που συναντάται μετά τα 40,0 ή 45,0 μ. εμφανίζει σημαντική έως μεγάλη πυκνότητα Ν=40 >50 και αντοχή αιχμής πενετρόμετρου q c >150kg/cm 2, Στο στρώμα αυτό ενδείκνυται η έδραση φρεατοπασσάλων για τη θεμελίωση μεγάλων τεχνικών έργων, ευαίσθητων στις καθιζήσεις. Απαιτείται όμως πάντα μια λεπτομερέστερη γεωτεχνική έρευνα με βαθιές γεωτρήσεις και πενετρομετρήσεις για να εντοπισθούν στρώματα παχιάς αργίλου που εμφανίζονται σε μικρά πάχη κάτω από το πυκνό αυτό στρώμα. 61

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Εικόνα 6.6: εδαφικοί σχηματισμοί που συναντώνται στην περιοχή του Καλοχωρίου και ευρύτερα στη δυτική Θεσσαλονίκη στο τμήμα κόμβου Δενροποτάμου-γέφυρας Αξιού. (Πηγή:[7]) 62

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 6.4 Υπολογισμός πιθανότητας αστοχίας ρευστοποίησης Υπολογισμός πιθανότητας αστοχίας ρευστοποίησης σε διάφορα βάθη του ρευστοποιήσιμου στρώματος Επιλέγεται το προφίλ (III) του εδάφους V στην κοίτη και στις εκβολές του Γαλλικού ποταμού (σχήμα 6.4). Η μέση γεωτεχνική τομή δείχνει ότι στα πρώτα 4 μέτρα υπάρχει ένα στρώμα ιλύος ΜL ή αργιλοïλύος CL ενώ μέχρι τα 21 μέτρα υπάρχει ρευστοποιήσιμο στρώμα ιλυώδους άμμους SM. Για να υπολογιστεί η πιθανότητα αστοχίας θα χρησιμοποιηθούν οι τύποι του κεφαλαίου 5. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για το σεισμό με χαρακτηριστικά Μ=6,5 και R=30Km για διάφορα βάθη του ρευστοποιήσιμου στρώματος. Η διαδικασία περιγράφεται για το βάθος των 5 μέτρων. Η απόσταση R είναι 30Κm δηλαδή R=18,66 miles. Η σ v στο βάθος των 5μ είναι 2 σv = σv =98KN/m Θα πρέπει τα KN/m 2 να μετατραπούν σε pounds/inch 2 1 KN / m = 220,46 pounds / 39,4 inch = 220,46 / = 0,142 pounds / inch Επομένως σ v = 98 KN / m = 98 0,142 pounds / inch = 13,916 pounds / inch Η στάθμη του υπόγειου ορίζοντα ταυτίζεται με την επιφάνεια του εδάφους Και έτσι σ = 13, ,142 = 6,8 pounds / inch v Συμπεράθηκε ότι οι τιμές α=0.5 και b=1 είναι οι περισσότερο κατάλληλες τιμές ώστε η εξίσωση 5.6 να γίνει: 2 S c 0.5M e H = ( R + 16) σ v Επομένως τελικά S c 0.5M 0.5 e H e 6,5 53,28 = ( R + 16) σ v (18, ) 6,8 = = 1,7903 (5.7) Τώρα πρέπει να υπολογιστεί το μέγεθος Ν από την σχέση (5.8) 50N N ' = (5.8) σ v + 10 Ο αριθμός των χτύπων είναι για το συγκεκριμένο προφίλ είναι περίπου Ν=10 50N N ' = σ v = ,

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Από τον διάγραμμα 5.1 και με βάση το διορθωμένο αριθμό χτύπων Ν παίρνουμε τη παράμετρο S c =1,65 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το δείκτη πιθανής ρευστοποίησης LPI. 0.5M 0,5 e H e 6,5 53,28 LPI = ( R + 16) Sc σ v (18, ) 1,65 6,8 = = 1, 085 O δείκτης απόκλισης του LPI υπολογίζεται από την σχέση (5.15) 1 2 Var[ σ ] Var[ Sc] ν V LPI 2 2 σ ν S c = + (5.15) Θεωρούμε την διασπορά της ενεργού τάσης ίση με το μηδέν.η συνολική διασπορά της παραμέτρου Sc υπολογίζεται κατά προσέγγιση: Var S = Var S + k Var N (5.16) 2 [ c] [ c] N ' [ '] Var[ S ] είναι η διασπορά του c στην οποία το μέγεθος c N ' S δεδομένου του Ν και k είναι η κλίση της καμπύλης μέσης αντοχής του σχήματος 5.1. Οι τιμές του k για διάφορες τιμές του Ν δίνονται στον πίνακα 5.1. Η τιμή του κ=0,06 και η τιμή του Var[ S ] =0,025 Η διασπορά της διορθωμένης τιμής SPT,Ν μπορεί επίσης να c N ' υπολογιστεί κατά προσέγγιση από τη σχέση (5.17) θεωρώντας ότι η διασπορά του παράγοντα Ν ίση με το 10% του Ν δηλαδή ίση με 1.Παραπάνω υποθέσαμε ότι η διασπορά της ενεργού τάσης είναι 0. Έτσι 2 Var[ N] Var[ σ ] ν 2 1 Var [ N'] = N' + = = 2 N σ ν 10 Οπότε η σχέση (5.16) γίνεται: VarS VarS kvarn 2 2 [ c] = [ c] N + [ '] = 0, ,06 9 = 0,056 Οπότε η σχέση (5.15) γίνεται: ' V LPI 1 2 Var[ σ ] Var[ S ] ν c 0,056 = + = 0 0, = σ S 1, 65 ν c 1 2 Για να υπολογιστεί η υπό συνθήκη πιθανότητα ρευστοποίησης η τιμή της μεταβλητής U σε όρους LPI που απαιτείται είναι: PF [ L M,R], 64

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ m - (5.18) U= lnlpi LPI 1.0 σlnlpi ή m U= lnlpi LPI>1.0 σlnlpi στις οποίες σ και lnlpi Έτσι: σ lnlpi = ln[ V LPI + 1] = ln[0, ] = 0,0208 σ lnlpi = 0, και mlnlpi = σ = = 2 2 Τελικά m m υπολογίζονται από τις σχέσεις (5.20) και (5.21). lnlpi 2 lnlpi LPI ln1,087 0,0208 0,073 0,073 U= lnlpi = = 0,507 LPI>1.0 σlnlpi 0,144 Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για το σεισμό με χαρακτηριστικά Μ=6,5 και R=30Km για διάφορα βάθη και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Η(βάθος) u σ ν σ ν N N' R S c ,916 6, ,66 1, ,472 7, ,66 1, ,028 9, ,66 1, ,584 10, ,66 1, ,14 11, ,66 1, ,696 12, ,66 1, ,252 13, ,66 1, ,808 14, ,66 1, ,364 15, ,66 1, ,92 17, ,66 2, ,476 18, ,66 2, ,032 19, ,66 2, ,588 20, ,66 2, ,144 21, ,66 2, ,7 22, ,66 2, ,256 23, ,66 2, ,812 24, ,66 2,

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Η(βάθος) S c Ε(LPI) Var( S c ) N Var(N ) k Var( S c ) V LPI σ LPI 5 1,65 1, ,025 8, ,06 0, , , ,2 0, ,031 10, , 108 0,148 0, , , ,0298 8, ,092 0, , , ,4 0, ,031 9, ,116 0, , , ,18 0, ,031 8, ,1 0, , , ,9 1, ,0286 7, ,084 0, , , ,8 1, ,0274 6, ,076 0, , , ,65 1, ,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,55 1, ,025 5, ,054 0, , , ,48 1, ,025 5, ,048 0, , , ,43 1, ,025 4, ,042 0, , , ,4 1, ,025 4, ,036 0, , , ,38 1, ,025 4, ,03 0, , , ,33 1, ,025 3, ,026 0, , , ,3 1, ,025 3, ,022 0, , , ,29 1, ,025 3, ,018 0, , , ,27 1, ,025 3, ,014 0,0256 0, , Πίνακας 6.1: υπολογισμός της μέσης τιμής του δείκτη LPI και των μεγεθών της απόκλισης V LPI και της τυπικής απόκλισης σ LPI για δεδομένη τιμή του Μ και R Από την μέση τιμή του δείκτη LPI καθώς και από τα μεγέθη απόκλισης V LPI και της τυπικής απόκλισης σ LPI παρατηρούμε σε όλα σχεδόν τα βάθη (εκτός της επιφανειακής) ακολουθούν μία σταθερή τιμή γι αυτό και προχωρήσαμε στο να υπολογιστούν τα παραπάνω μεγέθη στο μέσο του ρευστοποιήσιμου στρώματος για διάφορες τιμές των Μ και R. 66

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Υπολογισμός πιθανότητας αστοχίας ρευστοποίησης στο μέσο του ρευστοποιήσιμου στρώματος για διάφορες τιμές Μ-R Αρχικά θεωρούμε έναν σεισμό σχεδιασμού με χαρακτηριστικά Μ=5 και R=20Κm. Θεωρούμε ειδικό βάρος της ιλυώδους άμμου SM γ=18kn/m 3 και γ=20kn/m 3 της αργιλοïλύος CL. Αρχικά πρέπει να υπολογιστεί ο παράγοντας σύμφωνα με τη σχέση( 5.6) am e H Sc = ( 5.6) b ( R + 16) σ v Όπου Μ είναι το μέγεθος του σεισμού στην κλίμακα Richter, R είναι η υποκεντρική απόσταση σε μίλια, H είναι το βάθος του ενδιαφέροντος σε feet, και σ v είναι η κατακόρυφη ενεργή τάση στο ίδιο σημείο, σε pounds/inch 2. Το βάθος του ενδιαφέροντος στην προκειμένη περίπτωση είναι τα 12 μέτρα δηλαδή 39,36ft. Η απόσταση R είναι 30Κm δηλαδή R=18,66 miles. Η σ v στο βάθος των 21μ είναι σ v = σ = 224KN/ m v 2 Θα πρέπει τα KN/m 2 να μετατραπούν σε pounds/inch 2 1 KN / m = 220,46 pounds / 39,4 inch = 220,46 / = 0,142 pounds / inch 2 2 Επομένως σ v = 224 KN / m = 224 0,142 = 31,808 pounds / inch Η στάθμη του υπόγειου ορίζοντα ταυτίζεται με την επιφάνεια του εδάφους και έτσι 2 σ v = 31, ,142 = 14,768 pounds / inch Συμπεράθηκε ότι οι τιμές α=0.5 και b=1 είναι οι περισσότερο κατάλληλες τιμές ώστε η εξίσωση (5.6) να γίνει: M e H Sc = ( R + 16) σ v 0.5M 0.5 e H e ,28 επομένως τελικά Sc = = = 1,14 ( R + 16) σ v (12, ) 14,768 (5.7) Τώρα πρέπει να υπολογιστεί το μέγεθος Ν από την σχέση (5.8) 50N N ' = (5.8) σ v + 10 Ο αριθμός των χτύπων είναι για το συγκεκριμένο προφίλ είναι περίπου Ν=15 50N N ' = = 30 σ v ,

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Από τον διάγραμμα 5.1 και με βάση το διορθωμένο αριθμό χτύπων Ν παίρνουμε τη παράμετρο S c =1,65 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το δείκτη πιθανής ρευστοποίησης LPI. 0.5M 0,5 e H e ,28 ELPI ( ) = = = 0,69 ( R + 16) Sc σ v (12, ) 1,65 14,768 O δείκτης απόκλισης του LPI υπολογίζεται από τον σχέση (5.15) 1 2 Var[ σ ] Var[ Sc] ν VLPI = + (5.15) 2 2 σ ν S c Θεωρούμε την διασπορά της ενεργού τάσης ίση με το μηδέν. Η συνολική διασπορά Sc υπολογίζεται κατά προσέγγιση: Var S = Var S + k Var N (5.16) 2 [ c] [ c] N ' [ '] Var[ S ] είναι η διασπορά του c στην οποία το μέγεθος c N ' S δεδομένου του Ν και k είναι η κλίση της καμπύλης μέσης αντοχής του σχήματος 5.1. Οι τιμές του k για διάφορες τιμές του Ν δίνονται στον πίνακα 5.1. Η τιμή του κ=0,06 και η τιμή του Var[ S c] N ' =0,025 Η διασπορά της διορθωμένης τιμής SPT,Ν μπορεί επίσης να υπολογιστεί κατά προσέγγιση από τη σχέση (5.17) θεωρώντας ότι η απόκλιση του παράγοντα Ν ίση με το 10% του Ν δηλαδή ίση με 1,5. Παραπάνω υποθέσαμε ότι η διασπορά της ενεργού τάσης είναι 0. Έτσι : 2 Var[ N] Var[ σ ] ν 2 1,5 Var [ N'] = N' + = , = 2 N σ ν 15 Οπότε η σχέση (5.16) γίνεται VarS VarS ' kvarn Τελικά η σχέση (5.15) γίνεται 2 2 [ c] = [ c] N + [ '] = 0, ,06 6,11293 = 0, Var[ σ ] Var[ S ] ν c 0,047 VLPI = + = 0 0, = σ S 1, 65 ν c Για να υπολογιστεί η υπό συνθήκη πιθανότητα ρευστοποίησης η τιμή της μεταβλητής U σε όρους LPI που απαιτείται είναι: m - (5.18) U= lnlpi LPI 1.0 σlnlpi ή m U= lnlpi LPI>1.0 σlnlpi 1 2 PF [ L M,R], 68

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ στις οποίες σ και m υπολογίζονται από τις σχέσεις (5.20) και (5.21). lnlpi lnlpi Έτσι: σ lnlpi = ln[ V LPI + 1] = ln[0, ] = 0,01171 σ lnlpi = 0,13084 (6.9) και mlnlpi = lnlpi σ LPI = ln0,69 0,0171= 0,38 (6.10) 2 2 Τελικά mlnlpi 0,38 U= = - = 2,887 LPI>1.0 (6.11) 0,1308 σ lnlpi Παρακάτω παρατίθεται η επανάληψη της διαδικασίας για διάφορες τιμές σεισμών και αποστάσεων ο υπολογισμός των παραπάνω μεγεθών 69

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ M R(miles) Sc S c E(LPI) Var[ S c] N' Var[N'] k Var[ S c] V LPI σ LPI m LPI U LPI 5 12,43 1,14 1,65 0,69 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,38 2, ,64 0,94 1,65 0,57 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,57 4, ,85 0,79 1,65 0,48 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,74 5, ,07 0,69 1,65 0,42 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,88 6, ,28 0,61 1,65 0,37 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,00 7, ,5 0,55 1,65 0,33 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,12 8, ,5 12,43 1,47 1,65 0,89 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,13 0, ,5 18,64 1,20 1,65 0,73 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,32 2, ,5 24,85 1,02 1,65 0,62 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,49 3, ,5 31,07 0,89 1,65 0,54 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,63 4, ,5 37,28 0,78 1,65 0,47 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,75 5,7675 5,5 43,5 0,70 1,65 0,42 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,87 6,

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ M R(miles) Sc S c E(LPI) Var[ S c] N' Var[N'] k Var[ S c] VLPI σ LPI m LPI U LPI 6 12,43 1,88 1,65 1,14 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,12 0, ,64 1,55 1,65 0,94 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,07 0, ,85 1,31 1,65 0,79 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,24 1, ,07 1,14 1,65 0,69 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,38 2, ,28 1,00 1,65 0,61 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,50 3, ,5 0,90 1,65 0,55 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,62 4, ,5 12,43 2,42 1,65 1,47 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,37 2, ,5 18,64 1,98 1,65 1,20 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,18 1, ,5 24,85 1,68 1,65 1,02 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,01 0,

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ M R(miles) Sc S c E(LPI) Var[ S c] N' Var[N'] k Var[ S c] VLPI σ LPI m LPI U LPI 6,5 31,07 1,46 1,65 0,89 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,13 0, ,5 37,28 1,29 1,65 0,78 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,25 1, ,5 43,5 1,16 1,65 0,70 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,37 2, ,43 3,10 1,65 1,88 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,62 4, ,64 2,55 1,65 1,54 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,43 3, ,85 2,16 1,65 1,31 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,26 1, ,07 1,88 1,65 1,14 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,12 0, ,28 1,66 1,65 1,00 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,00-0, ,5 1,48 1,65 0,90 0,025 6, ,06 0, ,1314 0, ,12 0, Πίνακας 6.2: υπολογισμός της μέσης τιμής του δείκτη U LPI για διάφορες τιμές του Μ και R 72

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Από την παραπάνω διαδικασία και το μέγεθος U LPI οδηγούμαστε στον υπολογισμό αθροιστικής συνάρτησης κανονικής κατανομής Φ(y) από τους πίνακες (probability and statistics in civil engineering, G.N Smith). M R(miles) U LPI Φ(Υ) 5 12,43 2,486 0, ,64 3, ,85 4, ,07 6, ,28 7, ,5 8,7 0 5,5 12,43 2,26 0,1685 5,5 18,64 3, ,0068 5,5 24,85 4, ,0001 5,5 31,07 5, ,5 37,28 6, ,5 43,5 7, ,43 2, , ,64 3, , ,85 4, , ,07 5, , ,28 6, , ,5 7,25 0 6,5 12,43 1, ,9978 6,5 18,64 2, ,9099 6,5 24,85 3, ,5319 6,5 31,07 4,78 0,1611 6,5 37,28 5, ,0262 6,5 43,5 6, , ,43 1, ,64 2, , ,85 3,55 0, ,07 4, , ,28 5, , ,5 6, ,1922 Πίνακας 6.3: υπολογισμός αθροιστικής συνάρτησης κανονικής κατανομής Φ(y) για διάφορες τιμές του Μ και R 73

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Σχήμα 6.3: πιθανότητα ρευστοποίησης για διάφορες τιμές του Μ και R 74

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 6.5 Υπολογισμός της πιθανότητας αστοχίας για στατική φόρτιση Πριν συνεχίσουμε τον υπολογισμό της συνολικής πιθανότητας ρευστοποίησης σε δυναμική φόρτιση είναι σημαντικό να υπολογιστεί η πιθανότητα αστοχίας του συστήματος στην περίπτωση μόνο των στατικών φορτίων. Σε ένα πρώτο επίπεδο υπολογίζεται ο υπολογισμός της πιθανότητας αστοχίας της δεξαμενής δεχόμενοι βάση γεωμετρίας ότι το φορτίο του υγρού είναι q=15t. Στο επιλεγμένο προφίλ γίνεται η διακριτοποίηση των στρώσεων για τον υπολογισμό των καθιζήσεων. Η πρώτη στρώση ΜL ή CL καλύπτεται από τη θεμελίωση και παραλείπεται από τους υπολογισμούς των καθιζήσεων. Σχήμα 6.4: διακριτοποίηση των στρωμάτων για τον υπολογισμό των καθιζήσεων 75

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Υπολογισμός καθιζήσεων της ιλυώδους άμμου (SM) Στάθμη z(m) z/r Ι Δσ(Τ/m2) ΔΗ(cm) 1 6 0,3 0,97 14,55 1, ,5 0,91 13,65 2, ,7 0,81 12,15 2, ,9 0,7 10,5 2, ,1 0,6 9 1, ΣΥΝΟΛΟ= 10, Πίνακας 6.5: υπολογισμός καθιζήσεων για το στρώμα της ιλυώδους άμμου SM Δσ - όπου Δ H = H και Δ σ =Ι q Es σ Το μέτρο ελαστικότητας Εs=1990T/m 2,r=20m Υπολογισμός καθιζήσεων της αργιλικής στρώσης (CL,CH) Στάθμη z(m) z/r Ι qo(kn) Δσ(kN/m2) σ' o (kn/m2) σ' τ (kn/m2) ΔΗi(cm) 6 26,00 1,30 1,30 150,00 195,00 260,00 455,00 2, ,00 1,50 1,50 150,00 225,00 300,00 525,00 1, ,00 1,70 1,70 150,00 255,00 340,00 595,00 1, ,00 1,90 1,90 150,00 285,00 380,00 665,00 1,9443 ΣΥΝΟΛΟ= 8,2633 Πίνακας 6.6: υπολογισμός καθιζήσεων για το στρώμα της αργιλικής στρώσης CH,CL - όπου Cc + σ ' + Δσ H H log και 1 e σ ' Δ = - όπου C c =0,03 και e 0 =0,5 0 0 Δ σ =Ι q σ Η συνολική καθίζηση των στρωμάτων ΔΗ= 18,83cm. Για να υπολογιστεί η πιθανότητα αστοχίας της δεξαμενής στην ανάλυση αξιοπιστίας χρησιμοποιείται το παρακάτω διάγραμμα το οποίο και συνδέει την καθίζηση με την πιθανότητα αστοχίας. 76

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Σχήμα 6.5: πιθανότητα αστοχίας συναρτήσει της καθίζησης (Πηγή:[3]) Επομένως η πιθανότητα αστοχίας της δεξαμενής σύμφωνα με τα παραπάνω είναι P αστοχίας,δεξ =0, Υπολογισμός αποδεκτού ορίου πιθανότητας αστοχίας Η επιλογή ενός αποδεκτού ορίου πιθανότητας αστοχίας είναι μία σύνθετη απόφαση που εμπεριέχει αβεβαιότητες. Εν τούτοις έχει σχεδιαστεί εμπειρικές καμπύλες διακινδύνευσης οι οποίες βάση του κόστους απώλειας και της ανθρώπινης απώλειας υπολογίζουν και τα αποδεκτά όρια της πιθανότητας αστοχίας για διάφορα γεωτεχνικά έργα. 77

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Σχήμα 6.6: αποδεκτά όρια πιθανότητας αστοχίας συναρτήσει της απώλειας κόστους και ανθρώπινης ζωής (Πηγή:[3]) Το αποδεκτό όριο πιθανότητας αστοχίας μίας μεγάλης δεξαμενής είναι P αστοχίας =10-3 γεγονός που αποδεικνύει ότι η δεξαμενή του παραδείγματος μας με μία P αστοχίας, δεξ =0,08 βρίσκεται υπό καθεστώς αστοχίας. Εδώ ακριβώς μπαίνει και η λειτουργία του συστήματος προστασίας. Ο λόγος για τον οποίο κατασκευάζουμε τον τοίχο αντιστήριξης είναι ακριβώς για να αποτρέψουμε την αστοχία της διαρροής του επικίνδυνου υγρού έξω από την επιφάνεια έδρασης. Έτσι εάν επιλέξουμε να σχεδιάσουμε έναν τοίχο αντιστήριξης με ένα δείκτη αξιοπιστίας β=2,33 δηλαδή με μία πιθανότητα αστοχίας P αστοχίας, τοίχου =10-2 τότε αυτό συνεπάγεται σύμφωνα με τα προαναφερθέντα του κεφαλαίου 3,την αποσύνθεση του συστήματος τοίχου-δεξαμενής με το δέντρο των πιθανών γεγονότων και την συνολική πιθανότητα αστοχίας του συστήματος προστασίας να δίνεται P συνολ. αστοχία = P αστοχίας, δεξ x P αστοχίας, τοίχου =8x

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ 6.6 Υπολογισμός συνολικής πιθανότητας αστοχίας ρευστοποίησης Ο υπολογισμός της συνολικής πιθανότητας ρευστοποίησης δίνεται PF [ ] = PF [ MR, ] PMR [, ] = L MR, L 7 43,5 = 5,5 12,43 PLI > 1 M, R P[ M] P[ R] Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την παραπάνω πιθανότητα θα πρέπει να προχωρήσουμε σε ανάλυση σεισμικής επικινδυνότητας. Έτσι εφαρμόζοντας τον στατιστικό νόμο κατανομής των μεγεθών των Gutenberg Richter (G-R), με άνω και κάτω όριο μεγέθους σεισμών m u και m o, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων f(m) και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής λαμβάνουν τη μορφή: συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων: β exp -β (m-m o) fm ( ) = 1 exp β (m u mo ) Όπου β = b = = 2.303, έτσι προκύπτει: exp (m-4,75) exp ( ( m 4,75) fm ( ) = = 1 exp (7,25 4,75) 0,994 Οπότε υπολογίζουμε τις τιμές της f(m) (με βήμα μεταβολής Δm = 0,5) και σχεδιάζουμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται πινακοποιημένη η προαναφερθείσα διαδικασία. m f(m) λ*f(m) 5 1,3159 0,6700 5,5 0,4160 0, ,1315 0,0800 6,5 0,0416 0, ,0131 0,0100 SUMMA 2,0000 1,0000 Πίνακας 6.6: υπολογισμός συνάρτησης πυκνότητας πιθανοτήτων 79

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ-ΤΟΙΧΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ Επομένως το ιστόγραμμα συχνοτήτων έχει την παρακάτω μορφή : Σχήμα 6.7 : ιστόγραμμα συχνοτήτων μεγεθών σεισμού G-R και mo=4,75,mu=7,25 Συγκεντρωτικά παρουσιάζεται η πιθανότητα ρευστοποίησης για τα διάφορα μεγέθη και τις υποκεντρικές αποστάσεις όπως έχουν υπολογιστεί στην παράγραφο 6.2. R(miles)/M(μέγεθος) 12,43 18,64 24,85 31,07 37,28 43,5 5 0, ,5 0,1685 0,0068 0, ,5478 0,2877 0,0344 0,0018 0, ,5 0,9978 0,9099 0,5319 0,1611 0,0262 0, ,9994 0,9767 0,8186 0,488 0,1922 Πίνακας 6.8: συγκεντρωτικός πίνακας πιθανότητας ρευστοποίησης για διάφορα Μ και R 80