Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Τελική Εξέταση Ι (Ιουνίου Εαρινό Εξάμηνο 9 Πρόβλημα Α Ένας μηχανικός, με βάση τις μετρήσεις δείγματο ς ( 5cm, βρήκε ότι η μέση διάμετρος των οδοντωτών τροχών είναι 5cm. cm με επίπεδο εμπιστοσύνης 9%. Ποια είναι η τυπική απόκλιση, εάν ο αριθμός των μετρήσεων του δείγματος είναι: (i, (ii 6 και (iii b Θεωρώντας ότι. 6 και ότι ο αριθμός των οδοντωτών τροχών του δείγματος Ν είναι 7, ποιο είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης όταν η πραγματική διάμετρος είναι. cm από τη μέση τιμή του δείγματος. c Το ίδιο με το (b με μόνη τη διαφορά ότι Ν=5. d Εάν. 6 και Ν=5, ποια είναι η αβεβαιότητα της διαμέτρου ενός τυχαίου οδοντωτού τροχού,, πέραν αυτών του δείγματος. e Ποια είναι η αβεβαιότητα της πραγματικής τυπικής απόκλισης του πληθυσμού για δείγμα με 5cm. 6 και Ν=5 Για, ,.95 z,.95 6,.95.95, , b Για Ν=7 η κατανομή είναι κανονική. z z z c

2 Από τον Πίνακα κανονικής κατανομής ,.6 7 % d,, e, X, X όπου,,,.95, Έτσι B Το παρακάτω γράφημα δίνει την κατανομή πυκνότητας πιθανότητας του βάρους ενός αθλητή βάρους. Υπολογίστε: την τιμή του και το μέσο βάρος του αθλητή b την αθροιστική κατανομή πυκνότητας πιθανότητας γα μια τυχαία τιμή στο διάστημα μεταξύ και lb. c την πιθανότητα το βάρος του αθλητή να είναι μικρότερο των 5 lb ( Για να μπορεί μια συνάρτηση να είναι κατανομή πυκνότητας πιθανότητας, πρέπει να είναι p ( και να ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: p ( d,

3 ήτοι, το εμβαδόν κάτω από την κατανομή πυκνότητας πιθανότητας να είναι ίσο με τη μονάδα: 5 p( d lb lb Η εξίσωση της κατανομής πυκνότ ητας πιθανότητας στα τρία υποδιαστήματα είναι: p( p( y p( Η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι: p( d.57.57d.57d d.57d.. 5 p( d lb d (5.65. ( ( b Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας για είναι F( p( d.57 d d d c 5 5lb F 5lb lb 7.5%.5.75

4 Πρόβλημα Αιτιολογείστε ποια από τα παρακάτω σήματα είναι περιοδικά ή μη περιοδικά. Για τα περιοδικά σήματα υπολογίστε τη θεμελιώδη περίοδο και βρείτε τις αρμονικές που περιέχονται. Επίσης, υπολογίστε τ η μέση τιμή, την ισχύ, την ενεργό τιμή, επιλέξτε τον κατάλληλο ρυθμό δειγματοληψίας και μέγεθος δείγματος για να αποφευχθεί η διαρροή ενέργειας και παρουσιάστε γραφικά το μονόπλευρο φάσμα του: y ( cos 6 cos b y ( si 7 cos c y ( cos 5cos y ( cos cos 6 cos cos6 cos6 6 cos6 6, 6 Για να είναι η συνάρτηση y ( περιοδική πρέπει ο λόγος των συχνοτήτων και να είναι λόγος ακέραιων αριθμών (ρητός αριθμός. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο λόγος τους είναι ρητός αριθμός και επομένως η συνάρτηση περιοδική. Η θεμελιώδης συχνότητα είναι: και, και έτσι ( y, P και y P s m s 6 Hz s s Ελάχιστο μέγεθος δείγματος 6 δεδομένα b και Ο λόγος συνάρτηση y ( είναι μη περιοδική. c και Ο λόγος είναι άρρητος και επομένως η συνάρτηση y ( είναι μη περιοδική. είναι άρρητος και επομένως η

5 Β Δίδεται η παρακάτω περιοδική κυματομορφή. Υπολογίστε το φάσμα (πλάτους και φάσης συχνότητας για έως 5 b Βρείτε τη μέση και ενεργό τιμή του σήματος 5 ( ( όπου si cos si (Υπόδειξη: cos d, d cos, cos si cos si d και d si e e e d και e d j cos B si ce cos( si( Η περίοδος είναι: B B B Η συνάρτηση είναι άρτια, επομένως B rd sec ( d ( d ( d Επειδή το ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν του σχήματος ( cos( d ( cos( d d ( cos( ά ά

6 6 si( si( si( si( si( si( si( si( cos( cos( cos( ( d d d 5... cos 5 cos cos si cos ( B b Η μέση τιμή είναι ίση με Η ενεργός τιμή είναι ίση με P Όπου 5 ( ( d d d d P Άρα 5 P Το φάσμα πλάτους και φάσης δίδεται από τις ακόλουθες σχέσεις: & B,,5, B

7 7 Πρόβλημα Α Η ακρίβεια ενός θερμοζεύγους, μετά από διακρίβωση με πρότυπο σύστημα μέτρησης της θερμοκρασίας, ευρέθη. o για επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Για τον υπολογισμό της συνολικής αβεβαιότητας της θερμοκρασίας σ ένα δοχείο ελήφθη δείγμα από 5 μετρήσεις, για το οποίο προέκυψε μέση τιμή 5. o και τυπική απόκλιση. o. Υπολογίστε την τυχαία και τη συνολική αβεβαιότητα της μέσης τιμής με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. b Υπολογίστε την τυχαία και τη συνολική αβεβαιότητα μιας τυχαίας μέτρησης με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. c Εάν χρησιμοποιηθεί ένα άλλο θερμοζεύγος με ακρίβεια. o, θα αλλάξει σημαντικά τη συνολική αβεβαιότητα της μέτρησης της θερμοκρασίας για τις παραπάνω περιπτώσεις; Ακρίβεια:. Μέση τιμή : 5 Ν= Από τον Πίνακα de. 5.,,.975. P.5.,, 5 ( B ( P... b Τυχαία αβεβαιότητα μιας τυχαίας μέτρησης P.5 (.. c, ( B B. ( P o... 7 o o i ( B ( P... o ii ( B ( P..7. Θα έχει μεγαλύτερη επίδραση στο σφάλμα της μέσης τιμής, επειδή το τυχαίο σφάλμα της μέσης τιμής είναι σχεδόν το ίδιο με το συστηματικό. Στην περίπτωση της συνολικής αβεβαιότητας μιας μέτρη σης η επίδραση θα είναι αμελητέα επειδή το τυχαίο σφάλμα είναι μεγαλύτερο του συστηματικού.

8 Β Η μέτρηση της τοπικής επιτάχυνσης της βαρύτητας μετριέται με ένα απλό εκκρεμές. Η περίοδος του εκκρεμούς είναι όπου είναι το μήκος του εκκρεμούς. Έτσι εάν μετράμε το και το, το υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση:. Εάν οι μετρήσεις της περιόδου και του μήκους είναι:. cm.5 sec Υπολογίστε την καλύτερη εκτίμηση για το και την αβεβαιότητά του. sec 97 cm,, sec cm sec cm

9 Πρόβλημα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η απόκριση συχνότητας ενός συστήματος μέτρησης ροής. Οι μονάδες της συνάρτησης απόκρισης συχνότητας, G(jω, είναι σε Vols m s. 9 Από το παραπάνω γράφημα, ποιο είναι το ε ύρος συχνοτήτων για το οποίο η λειτουργία του μετατροπέα πιστεύετε ότι είναι καλή, αιτιολογήστε την απάντησή σας. Ποια είναι τα επιθυμητά χαρακτηριστικά ενός συστήματος ως προς το φάσμα μέτρου και φάσης; b Τι τάξεως σύστημα είναι αυτό; c Ποια είναι η σταθεροποιημένη απόκριση του συστήματος στην είσοδο:.5(si d Εάν ο συντελεστής απόσβεσης του συστήματος μέτρησης ροής, μειωθεί σημαντικά, i Πως θα μεταβληθεί η συνάρτηση απόκρισης συχνότητας του συστήματος ; ii Πως αυτό θα επηρεάσει τη βηματική από κριση του συστήματος; Α Η λειτουργία του μετατροπέα είναι καλή στην περιοχή έως Hz διότι το μέτρο της απόκριςής του είναι αμετάβλητο. Για =Hz, το μέτρο της απόκρισης έχει ελαττωθεί εμφανώς από την τιμή που αντιστοιχεί στη συχνότητα Hz, έτσι η περιοχή έως Ηz δεν είναι καλή επιλογή. Τα επιθυμητά χαρακτηριστικά ενός συστήματος στην περιοχή λειτουργίας του είναι σταθερό μέτρο και γραμμική μεταβολή της φάσης με τη συχνότητα. Είναι δύσκολο να συμπεράνει κανείς εύκολα από το παραπάνω σχήμα εάν η φάση μεταβάλλεται γραμμικά, λόγω του λογαριθμικού άξονα συχνότητας. Έτσι ως κριτήριο για την επιλογή της περιοχής λειτουργίας στο πρόβλημα αυτό χρησιμοποιήθηκε αποκλειστικό το διάγραμμα του μέτρου απόκρισης. Β Το σύστημα είναι ας τάξεως, διότι η φάση του συστήματος μεταβάλλεται μεταξύ και συναρτήσει της συχνότητας.

10 Εάν.5si είναι η είσοδος στον μετατροπέα, η έξοδός του είναι y K.5KM si K.5G j si Hz j K lo K db K. Για G και Για rd sec Hz G j. και 6.rd Έτσι y..5.si...5si. d

11 Β. Σου δίνει κάποιος ένα θερμοζεύγος και σου λέει ότι δεν γνωρίζ ει τίποτε γι αυτό, εκτός του ότι δουλεύει. Ποιες είναι οι δύο παράμετροι που χρειάζεσαι να ξέρεις για να περιγράψεις πλήρως το σύστημα αυτό; Για να βρεις αυτές τις παραμέτρους παίρνεις το θερμοζεύγος και το βυθίζεις ξαφνικά σε ζεστό λουτρό νερού του οποίου η θερμοκρασία έχει μετρηθεί χρησιμοποιώντας ένα πρότυπο μέτρο και είναι 65 o. Μετράς τη θερμοκρασία του δωματίου που γίνεται το πείραμα με το ίδιο πρότυπο μέτρο και είναι 5 o. Η απόκριση του θερμοζεύγους φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα. Υπολογίστε τις δύο παραμέτρους του συστήματος. Δείξτε όλες τις λεπτομέρειες. Υπολογίστε τη σταθεροποιημένη απόκριση του συστήματος στην είσοδο ( si(. Η απόκριση είναι ης τάξης και προσδιορίζεται από το συντελεστή ευαισθησίας Κ και τη σταθερά χρόνου τ. Ο συντελεστής ευαισθησίας βρίσκεται εύκολα διαιρώντας το εύρος εξόδου με το εύρος εισόδου: yss y.5.5v V K.5 o o ss 65 5 Η σταθερά χρόνου βρίσκεται από τη χρονική διάρκεια (σχετική με την εφαρμογή της εισόδου για να αλλάξει η έξοδος κατά 6. % της μέγιστης δυνατής αλλαγής. Η μέγιστη δυνατή αλλαγή της εξόδου είναι. V. Το 6.% της αλλαγής αυτής είναι.6 V. Ψάχνουμε λοιπόν τη χρονική στιγμή που η έξοδος έχει αλλάξει κατά.6 V, δηλαδή τη χρονική στιγμή που η έξοδος έχει την τιμή y y.6 y y V. Από το διάγραμμα προκύπτει. sec. Έτσι, η σταθερά χρόνου είναι. sec.

12 Πρόβλημα 5 Α Να γράψετε τη συνημιτονοειδή σειρά Forier που αντιστοιχεί στο παρακάτω φάσμα πλάτους και φάσης: y( cos( ( cos( ( cos( ( 6 cos( cos( cos( cos( cos( cos( 6 Είσαι υπεύθυνος για τη σχεδίαση ενός συστήματος ανάκτησης δεδομένων για σήματα με περιοχή τιμών 5 Vols και με διακριτική ικανότητα τουλάχιστον mvols. Η μέγιστη συχνότητα του σήματος εισόδου είναι Hz. Προδιέγραψε ένα αναλογικό ψηφιακό μετατροπέα Α-Ψ, με θετική κωδικοποίηση που να πληροί τις παραπάνω προϋποθέσεις. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ψηφίων του Α-Ψ; b Ποιο είναι το μέγιστο σφάλμα κβαντοποίησης του Α-Ψ; c Ποια είναι η πραγματική περιοχή τιμών του Α-Ψ; d Εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας μπορεί να πάρει τις τιμές Hz, Hz, και 5 Hz, ποια είναι η συχνότητα του ψηφιοποιημένου σήματος όταν το σήμα εισόδου έχει συχνότητα Hz. Ποια απ αυτές τις συχνότητες δειγματοληψίας συνιστάς; e Εάν η είσοδός του είναι -.5 V, ποιος είναι ο κωδικός στην έξοδό του. Εάν ο Α-Ψ μετατροπέας αυτός είχε ως έξοδο τον κωδικό 65 ποια είναι η περιοχή των τάσεων εισόδου που αντιστοιχούν στον παραπάνω κωδικό αριθμό; Vr Vrl 5 ( 5 Q. V 5 lo lo 5 Έτσι, ο ελάχιστος αριθμός ψηφίων που απαιτείται να έχ ει ο Α-Ψ μετατροπέας είναι.9 b V 5 ( 5 r V Q rl.v Q και το μέγιστο σφάλμα κβαντοποίησης είναι. V c Η πραγματική περιοχή τιμών εσόδου του Α -Ψ μετατροπέα είναι: ( V, V Q ( 5, V rl r

13 d Εάν η συχνότητα του σήματος είναι Hz, ο απαιτούμενος ρυθμός δειγματοληψίας είναι s Hz. Επομένως ο συνιστώμενος διαθέσιμος ρυθμός δειγματοληψίας είναι s Hz. Στην περίπτωση αυτή, το ψηφιοποιημένο σήμα έχει συχνότητα Hz. Εάν χρησιμοποιηθεί ή 5 Hz ρυθμός δειγματοληψίας (δεν ικανοποιείται το κριτήριο δειγματοληψίας του yqis και παρουσιάζονται φαινόμενα αναδίπλωσης. Έτσι εάν Hz, η μέγιστη ανακτούμενη συχνότητα είναι εκείνη του yqis s s 5 Hz. Έτσι η συχνότητα εισόδου, Hz, με το συγκεκριμένο ρυθμό δειγματοληψίας εμφανίζεται ως. p Hz. 5 Ομοίως εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι 5 Hz, η μέγιστη ανακτούμενη συχνότητα είναι εκείνη του yqis s 5 Hz. Έτσι η συχνότητα εισόδου, Hz, με το συγκεκριμένο ρυθμό δειγματοληψίας εμφανίζεται ως. p Hz. 5 e Vi V D i Q rl.5 ( 5 i i. s Vi D Q Vrl 65 ( V Q Q Vi Vi Vi.7 Vi.76