ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η Βήτα. Η σπουδαιότερη όμως συνεχής κατανομή, κυρίως λόγω των πολλών εφαρμογών της, είναι η κανονική. Λόγω της σπουδαιότητάς της, αποτελεί ξεχωριστό κεφάλαιο το οποίο ακολουθεί. Μια άλλη ειδική κατηγορία συνεχών κατανομών με πλήθος εφαρμογών στην Στατιστική αποτελούν οι λεγόμενες δειγματικές κατανομές (sampling distributions). Τέτοιες κατανομές είναι η t, η Χ και η F. Επειδή οι κατανομές αυτές (στις οποίες περιλαμβάνεται και η κανονική) προκύπτουν κυρίως σε σχέση με την Στατιστική, εξετάζονται επίσης σε χωριστό κεφάλαιο, παρότι είναι και αυτές συνεχείς κατανομές. Η ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός: Έστω Χ μια (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή ορισμένη στο διάστημα [a, β] με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. a x b b a f(x) 0 διαφορετικ ά Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι το Χ ακολουθεί την συνεχή ομοιόμορφη κατανομή (continuous uniform distribution) με παραμέτρους a και b και συμβολίζουμε X U (a,b). Είναι προφανές ότι η ομοιόμορφη κατανομή, όπως ορίσθηκε, είναι μια καλά ορισμένη κατανομή. 55

2 Μοντέλα που οδηγούν στην ομοιόμορφη κατανομή Η ομοιόμορφη κατανομή θα μπορούσε να θεωρηθεί ως προκύπτουσα στο πλαίσιο τυχαίου πειράματος κατά το οποίο επιλέγεται τυχαία ένα σημείο από το διάστημα [a,b] με "δίκαιο" τρόπο. Πρόταση: Αν X U(a,b), τότε b + a (a b) E(X) και Δ(X) Απόδειξη: b x b b + a E(X) xf(x)dx a b a a και Δ(X) E(X E(X ) b a ) a { E(X) } b 3 3 b a x dx 3(b a) 3 3 b a 3(b a) (b + a) 4 4(a + ab + b ) 3(b + a + ab) (a b) Παρατήρηση: Ισχύει ότι x x a F(x) f(t)dt, a x b b a Η περισσότερο χρησιμοποιούμενη ομοιόμορφη κατανομή είναι η U(0,). Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται για την τεχνητή κατασκευή (προσομοίωση) τυχαίων δειγμάτων από διακριτές και συνεχείς κατανομές. Παράδειγμα: Η ζήτηση για κάποιο προϊόν ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (9500, 0500), σε πακέτα ανά μήνα. Για να αναλυθούν ευκολότερα τα δεδομένα αυτά, εφαρμόζουμε 56

3 ένα γραμμικό μετασχηματισμό έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να έχουν τυποποιημένη μορφή (μέση τιμή 0 και διασπορά ). Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των μετασχηματισμένων δεδομένων. Λύση: Έστω Χ η ζήτηση για το προϊόν. Έχουμε ότι X U(9500, 0500) Επομένως, Ε(X) 0000 και Δ(X) ( ) ( 000 ) Σύμφωνα με τον ορισμό της τυποποίησης ο απαιτούμενος μετασχηματισμός είναι X 0000 Y, 3 Y 3 (000 ) όπου Y είναι τα τυποποιημένα δεδομένα. Η συνάρτηση κατανομής της Y είναι X F(y) P(Y y) P y P X y (000 ) 000 y dx y y και παραγωγίζοντας βρίσκουμε ότι f(y) F'(y) δηλαδή τελικά η τυποποιημένη Y ακολουθεί επίσης την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [ 3, 3]. Είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ότι 57

4 E(Y) 0 και Δ(X). Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός: Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση κατανομής F(x)-e -x/θ, x > 0, θ > 0 λέγεται ότι ακολουθεί την εκθετική κατανομή (exponential distribution) με παράμετρο θ. Συμβολικά Χ exp(θ). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίνεται από την σχέση x/θ f(x) F (x) e, 0 x < θ Ο υπολογισμός πιθανοτήτων της εκθετικής κατανομής γίνεται ή με ολοκλήρωση ή με χρήση της συνάρτησης κατανομής και των πινάκων της κατανομής Poisson. Για παράδειγμα, αν Χ exp(θ0), τότε P(X < 0) F(0) -e -0/0 -e - -(0.35) Εναλλακτικά 0 x/0 P(X < 0) e dx e 0 0 Επίσης, P(X > 5) -P(X 5) -(-e -5/0 ) e Ιδιότητες: Αν Χ exp(θ), τότε ) Ε(Χ) θ, Δ(Χ) θ ) P(X > θ) < ½ 58

5 Μοντέλα που οδηγούν στην εκθετική κατανομή Θεώρημα: Ο χρόνος αναμονής μέχρις ότου πραγματοποιηθεί το πρώτο γεγονός σε μια διαδικασία Poisson με παράμετρο λ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ. Απόδειξη: Έστω W ο χρόνος αναμονής μέχρι το πρώτο γεγονός (W 0). F(w)P(W w)-p(w>w) -P(0 γεγονότα στο διάστημα [0, w])-e -λw Γενικότερα, ισχύει ότι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Έτσι, για παράδειγμα, ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών ισχυρών σεισμών, ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών ατυχημάτων σε μια διασταύρωση κ.λ.π. ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Παράδειγμα: Έστω ότι ο αριθμός των πελατών που επισκέπτονται μια τράπεζα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 6 πελάτες την ώρα. α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο αφίξεων να υπερβαίνει τα 5 λεπτά. β) Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Λύση: α) Έστω Χ ο χρόνος αναμονής. Επειδή ο αριθμός των αφίξεων μπορεί να προσεγγισθεί με την κατανομή Poisson με παράμετρο (μέσο αριθμών αφίξεων ανά λεπτό) 6 λ, έχουμε ότι Χ exp(0) 60 0 Θα έχουμε P(X > 5) e -5/0 e β) Ε(Χ) θ 0 άτομα/λεπτό. 59

6 Πρόταση: (έλλειψη μνήμης της εκθετικής κατανομής) Αν Χ exp(θ) τότε P(X > x+y X > x) P(X > y) (Η δεσμευμένη πιθανότητα ο χρόνος αναμονής Χ να υπερβεί το x+y δοθέντος ότι έχει ήδη υπερβεί το x ισούται με την πιθανότητα το Χ να υπερβεί το y. Ο χρόνος δηλαδή που έχει ήδη διαρρεύσει δεν επηρεάζει τον χρόνο που απαιτείται για την πραγματοποίηση ενός γεγονότος σε μια διαδικασία Poisson). Απόδειξη: Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε ότι P(X > x + y,x > x) P(X > x + y) P(X > x + y X > x) P(X > x) P(X > x) Το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι P(X > z) e -z/θ. Παράδειγμα: Στο προηγούμενο παράδειγμα να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις πελατών να υπερβεί τα 5 λεπτά δοθέντος ότι έχουν ήδη περάσει 0 λεπτά χωρίς άφιξη. Λύση: P(X > 5 X > 0) P(X > 5) 0.3 Παρατήρηση: Μια σύγκριση ανάμεσα στην εκθετική και την γεωμετρική κατανομή οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η δεύτερη είναι το συνεχές ανάλογο της πρώτης. Πράγματι, η εκθετική κατανομή αναφέρεται στον χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson ενώ η γεωμετρική κατανομή αναφέρεται στον αριθμό των αποτυχιών μεταξύ δύο επιτυχιών σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli. Η αντιστοιχία δηλαδή είναι [χρόνος αναμονής] [αριθμός αποτυχιών] [ γεγονότα Poisson] [ επιτυχίες σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli] [εκθετική] [γεωμετρική] 60

7 Σημείωση: Η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής που αναφέρθηκε στην προηγούμενη πρόταση υποδηλώνει και μια άλλη εφαρμογή της εκθετικής κατανομής. Συγκεκριμένα, δίνει την δυνατότητα χρησιμοποίησης της εκθετικής κατανομής ως κατανομής του χρόνου ζωής όταν δεν υπάρχει φθορά λόγω χρόνου. Για παράδειγμα, έστω Χ ο χρόνος ζωής (σε ώρες) μιας λυχνίας τηλεόρασης. Τότε P(X>c) εκφράζει την πιθανότητα ότι μια καινούργια λυχνία θα διαρκέσει τουλάχιστον c ώρες ενώ P(X>b+c X>b) είναι η πιθανότητα ώστε μια μεταχειρισμένη λυχνία που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί για b ώρες να διαρκέσει για c επιπλέον ώρες. Εάν ο χρόνος ζωής των λυχνιών αυτών ακολουθεί την εκθετική κατανομή, η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής συνεπάγεται ότι οι δύο αυτές πιθανότητες είναι ίσες για οποισδήποτε τιμές των b και c. Η πιθανότητα βλάβης στις επόμενες c ώρες δεν εξαρτάται από τον χρόνο που η λυχνία βρίσκεται ήδη σε χρήση. Ο χρόνος λειτουργίας δηλαδή δεν επιφέρει φθορά. Οι μεταχειρισμένες λυχνίες επομένως στην περίπτωση αυτή είναι εξ ίσου καλές με τις αμεταχείριστες. Παράδειγμα: Έστω ότι οι αστέρες είναι τυχαία κατανεμημένοι στον χώρο. Να βρεθεί η κατανομή πιθανότητας της απόστασης ενός τυχαίου σημείου στον χώρο από τον πλησιέστερο αστέρα. Λύση: Κάτω από την υπόθεση της τυχαίας κατανομής των αστέρων στον χώρο έχουμε ότι η πιθανότητα να βρεθούν x αστέρια σε όγκο V του χώρου είναι x λv (λv) P(X x) e, x0,,, x! όπου λ είναι ο μέσος αριθμός αστέρων στην μονάδα του όγκου. Έστω R η απόσταση ενός τυχαίου σημείου Σ στον χώρο από τον πλησιέστερο αστέρα. Τότε R r τότε και μόνο τότε αν υπάρχει τουλάχιστον ένας αστέρας στην σφαίρα με κέντρο το Σ και ακτίνα r. 4 Ο όγκος της σφαίρας είναι πr 3 και επομένως 3 6

8 P(R 4λπr 3 /3 r) e, r > 0 (Αυτό γιατί η πιθανότητα να υπάρχει ένας τουλάχιστον αστέρας σε όγκο V είναι -P(X0)-e -λv ). Παραγωγίζοντας ως προς r έχουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του R. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν θεωρήσουμε σαν Σ την θέση ενός αστέρα τότε το R συμβολίζει την απόστασή του από τον πλησιέστερο προς αυτόν αστέρα. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό της κατανομής γάμμα είναι απαραίτητο να ορίσουμε την συνάρτηση γάμμα. Ορισμός: Η γάμμα συνάρτηση ορίζεται από την σχέση Επομένως, Γ() e 0 y t Γ(t) e y dy, t>0 0 y dy, Για t> Γ(t) (t-)γ(t-) και επομένως όταν tn (ακέραιος) Γ Γ(n)(n-)Γ(n-)(n-)(n-)γ(n-)(n-)(n-) Γ() Γ(n)(n-)! Ορισμός: Θα λέμε ότι η (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους (α, θ) και θα συμβολίζουμε με Χ ~ γ(x; α, θ), αν f(x) α x/θ α x/θ x e x e α α, 0 x<, α>0, θ>0 Γ(α)θ Γ (α) θ Παρατήρηση: Η κανονική γάμμα είναι μια καλά ορισμένη κατανομή αφού π 6

9 + f(x)dx 0 + e α Γ (α) + e Γ(α) x/θ x/θ x θ x θ α α dx x d θ Γ(α) Γ(α) Σημείωση: Αν Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ, τότε Ε(Χ)α, Δ(Χ)αθ Σημείωση: Η κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ λέγεται τυποποιημένη κατανομή γάμμα. Δηλαδή, για την τυποποιημένη κατανομή γάμμα x f(x) e x α, x 0, α>0 Γ(α) Σημείωση: Η παράμετρος θ της κατανομής γάμμα ονομάζεται και παράμετρος κλίμακας (scale parameter) γιατί τιμές της διάφορες του εκτείνουν ή συμπτύσσουν την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κατά την διεύθυνση του άξονα των x. Υπολογισμός των Πιθανοτήτων της Κατανομής Γάμμα Όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την τυποποιημένη κατανομή γάμμα, η συνάρτηση κατανομής του Χ δίνεται από την σχέση x y α Φ(x) P(X x) e y dy, x, y 0 0 Γ(α) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται και ελλιπής συνάρτηση γάμμα για προφανείς λόγους. (Πολλές φορές ως ελλιπής συνάρτηση γάμμα ορίζεται η παραπάνω συνάρτηση χωρίς το Γ(α)). Για τον υπολογισμό της ελλιπούς συνάρτησης γάμμα υπάρχουν αναλυτικοί πίνακες. Μέρος των πινάκων αυτών ακολουθεί. 63

10 x α Η ελλιπής συνάρτηση Γάμμα Πίνακας Φ(x) 0 x Γ(α) e y y α dy Παράδειγμα: Έστω ότι ο χρόνος αντίδρασης Χ ενός ατόμου σε κάποιο διεγερτικό ακολουθεί την τυποποιημένη κατανομή γάμμα με α sec. Να υπολογισθεί: (α) Η πιθανότητα ώστε ο χρόνος αντίδρασης να είναι περισσότερος από 3 sec και λιγότερος από 5 sec. (β) Η πιθανότητα ο χρόνος αντίδρασης να είναι περισσότερος από 4 sec. Λύση: (α) Ρ(3<Χ<5) F(5) - F() (β) Ρ(Χ>4) - p(x 4) -F(4) Σημείωση: Η ελλιπής συνάρτηση γάμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό πιθανοτήτων μη τυποποιημένων κατανομών γάμμα. Αυτό γιατί ισχύει η εξής πρόταση. Πρόταση: Έστω ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ. Τότε για κάθε x>0 64

11 x P(X x) Φ θ όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κατανομής γάμμα. Απόδειξη: Προφανής. Παράδειγμα: Έστω ότι ο χρόνος επιβίωσης Χ (σε εβδομάδες) ενός τυχαία επιλεγμένου ποντικού που εκτίθεται σε ακτινοβολία 40 rads ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α8 και θ5. Να υπολογισθούν (α) Ο αναμενόμενος χρόνος επιβίωσης. (β) Η τυπική απόκλιση του χρόνου επιβίωσης. (γ) Η πιθανότητα ότι ο ποντικός θα επιβιώσει για διάστημα μεγαλύτερο των 60 και μικρότερο των 0 εβδομάδων. Λύση: (α) Ε(Χ) α 0 εδομάδες (β) Δ(Χ) α 800 σ Δ(X) εβδομάδες. (γ) Ρ(60<Χ<0) Ρ(Χ<0) - Ρ(Χ<60) 0 60 Φ Φ Φ(8) - Φ(4) Μοντέλα που οδηγούν στην Κατανομή Γάμμα Πρόταση: Έστω Χ ο χρόνος αναμονής σε μια ανέλιξη Poisson με παράμετρο λ μέχρις ότου συμβεί το n-οστό γεγονός. Τότε η Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους αn και θ/λ Απόδειξη: Έστω Υ ο αριθμός των γεγονότων στο διάστημα [0, x]. Τότε ισχύει ότι Υ ~ Poisson (λx) Άρα F(x)P(X x)-p(x>x) 65

12 -P[λιγότερα από n γεγονότα στο διάστημα [0,x]] n k λx (λx) n k λx λx (λx) e e e k 0 k! k k! Επομένως, n k k- λx λx (λx) λx kλ(λx) f(x) F (x) λe (-λ)e + e k k! k! n n λx (λx) λe + k k! k k- (λx) (k -)! n k n λx (λx) (λx) λe + k k! k 0 k! n k k- n λx (λx) (λx) (λx) λe + + k k! (k -)! k k! λ λx e (λx) n Γ(n) δηλαδή, Χ~Γάμμα (αn, θ/λ). k Σημείωση: Όταν η παράμετρος α της κατανομής γάμμα είναι ακέραιος αριθμός (αn) η κατανομή γάμμα λέγεται και κατανομή n- Erlang. Παρατήρηση: Είναι προφανές ότι για α η κατανομή γάμμα συμπίπτει με την εκθετική κατανομή. Αυτό άλλωστε είναι φυσικό λόγω της δυνατότητας ερμηνείας των δύο κατανομών ως κατανομών του χρόνου αναμονής σε μια ανέλιξη Poisson. Πρόταση: Έστω Χ, Χ,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο θ. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ Χ + Χ + + Χ n ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους n και θ. k 66

13 Απόδειξη: Η πρόταση αυτή αποδεικνύεται από το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή Χ i μπορεί να θεωρηθεί ως ο χρόνος αναμονής μεταξύ του (i-) και i γεγονότος σε μια ανέλιξη Poisson. Έχει ήδη αποδειχθεί ότι τα Χ i ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Χ Χ + Χ + + Χ n είναι ο συνολικός χρόνος αναμονής έως ότου συμβεί το n-οστό γεγονός στην ανέλιξη Poisson. Έχει δε βρεθεί ότι το Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι αν Χ, Χ,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α i και θ, i,,, n, τότε η τυχαία μεταβλητή Χ + Χ + + Χ n ακολουθεί την κατανομή γάμμα με n παραμέτρους α i και θ. i Σημείωση: Η σύνδεση της κατανομής γάμμα με την κατανομή του χρόνου αναμονής σε μία ανέλιξη Poisson οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η κατανομή γάμμα είναι το συνεχές ανάλογο της αρνητικής διωνυμικής κατανομής (όπως η εκθετική κατανομή είναι το συνεχές ανάλογο της γεωμετρικής κατανομής). Εδώ ο χρόνος αναμονής (κατανομή γάμμα) αναφέρεται στην πραγματοποίηση του n-οστού γεγονότος και ο αριθμός των αποτυχιών (αρνητική διωνυμική κατανομή) στις αποτυχίες μέχρι την n-οστή επιτυχία. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ BΗΤΑ (Beta Distribution) Σε σχέση με πολλές πρακτικές εφαρμογές, χρησιμοποιούμε απόλυτα συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, των οποίων το εύρος των τιμών είναι το διάστημα (0,). Συχνά, η ακριβής μορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δεν είναι γνωστή, αλλά υπάρχουν ορισμένες ενδείξεις ότι η πυκνότητα παρουσιάζει μέγιστο κοντά σε κάποια τιμή. Η κατανομή Βήτα, η οποία έχει δύο θετικές παραμέτρους, έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας η οποία μπορεί να έχει μία ποικιλία μορφών ανάλογα με την επιλογή των τιμών των παραμέτρων, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 67

14 Σχήμα: Γραφήματα της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής βήτα για (α) r5.0, s0.5,.0, 5.0, 0.0; (β) r.0, s0.5,..0,.0, 0.0; (συνεχίζεται) 68

15 Σχήμα (συνέχεια): Γραφήματα της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής βήτα για (γ) r0.5, s0.5,.0, 0.0. Επομένως, είναι δυνατόν σε πολλές περιπτώσεις να προσαρμοσθεί η κατάλληλη θεωρητική πυκνότητα στα εμπειρικά δεδομένα. Πολλές από τις μαθηματικές ιδιότητες της κατανομής Βήτα στηρίζονται στο ορισμένο ολοκλήρωμα Γ(r) Γ(s) r s B(r,s) t ( t) dt t > 0, s > 0 Γ(r + s) 0 Ορισμός: Θα λέμε ότι η (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή X, με εύρος τιμών (0,), ακολουθεί την κατανομή Βήτα με θετικές παραμέτρους (r, s) και θα συμβολίζουμε με X ~ beta (r, s), αν Γ(r + s) r s f X (t) t ( t) 0 < t <, r > 0, s > 0 Γ(r) Γ(s) Αν r, s, τα άκρα του διαστήματος περιλαμβάνονται στο εύρος των τιμών της κατανομής Βήτα. Αν r, s, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο r r t t 0 (r -) + (s -) r + s 69

16 Αν οι παράμετροι r, s έχουν θετικές ακέραιες τιμές, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να εκφρασθεί μέσω ενός πολυωνύμου στο διάστημα [0,], και έχει την τιμή 0 οπουδήποτε αλλού. Για παράδειγμα, r s f X (t), 0 t Μέγιστο στο σημείο (-t) 5 4 5( t) t 6t(-t) / t( t) /5 Η συνάρτηση κατανομής F X δίνεται από τον τύπο t r s FX (t) u ( u) du, 0 < t < B(r, s) 0 Για την περίπτωση στην οποία οι παράμετροι r, s έχουν θετικές ακέραιες τιμές, η F X (t) εκφράζεται μέσω ενός πολυωνύμου ως προς t για 0 < t <. Έτσι, για r, s, F X (t) t 0 (6u - 6u )du 3t 3t 3, 0 t Στην γενική περίπτωση, το παραπάνω ολοκλήρωμα ορίζει την ελλιπή συνάρτηση βήτα (incomplete beta function). Η συνάρτηση αυτή έχει ευρέως μελετηθεί και μία πληθώρα ειδικών περιπτώσεων, προσεγγίσεων και σχέσεων με άλλες κατανομές έχει βρεθεί. Ιδιότητες: Μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν r 0, s 0, B(r, s) 0 u r - Επομένως, όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, ( - u) s - du 70

17 E(X k ) B(r, s) 0 x r+ k ( x) s B(r + k, s) Γ(r + k)γ(r + s) dx, B(r, s) Γ(r)Γ(r + s+ k) k 0 Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα αυτό όταν k0 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι f (x)dx 0 x Το παραπάνω αποτέλεσμα, επειδή f X (x) 0, για όλες τις τιμές x, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση f X (x) είναι μία καλώς ορισμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Θέτοντας k και k στον τύπο που προσδιορίζει την μορφή της E(X k ), έχουμε Γ(r + ) Γ(r + s) r E(X) Γ(r) Γ(r + s + ) r + s και E(X Γ(r + ) Γ(r + s) (r + )(r) ) Γ(r) Γ(r + s + ) (r + s + )(r + s) Επομένως, r rs μx E(X), σx E(X ) (μx) r + s (r + s) (r + s + ) Είναι ενδιαφέρον να παρατηρηθεί ότι αν η μεταβλητή Y έχει την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, τότε η μεταβλητή -Y έχει επίσης την κατανομή Βήτα με παραμέτρους s και r. Πράγματι, αν U Y, τότε επειδή B(r, s)b(s, r), η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της U είναι η f U (u) f Y r ( u) u ( u) B(r, s) 0, u 0, s ( u) B(s, r) s r,, αν 0 u, διαφορετικά αν 0 u, διαφορετικά 7

18 η οποία είναι ακριβώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μίας κατανομής Βήτα με παραμέτρους s και r. Σχέση μεταξύ της κατανομής Βήτα και της Διωνυμικής κατανομής Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν η τυχαία μεταβλητή Υ έχει την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, όπου r και s είναι θετικοί ακέραιοι και η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n r + s και p y, τότε για 0 y, FY (y) P{r Χ r + s } F Η ιδιότητα αυτή έχει πολλές εφαρμογές. Χ (r ) Παράδειγμα: Έστω Y το ποσοστό κορεσμού διαλυμένου οξυγόνου σε ένα συγκεκριμένο σημείο ενός ποταμού. Η κατανομή της μεταβλητής Y σε καθαρό νερό ακολουθεί την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r 3 και s. Ένα σύστημα συναγερμού για την ποιότητα του νερού ειδοποιεί όταν η παρατηρούμενη τιμή της * μεταβλητής Y πέσει κάτω από ένα συγκεκριμένο επίπεδο y. Το σύστημα αυτό δεν πρέπει να δίνει λανθασμένη ένδειξη παρουσίας μη καθαρού νερού πολύ συχνά όταν το νερό είναι στην πραγματικότητα * καθαρό. Αν y 0. 40, τότε από την παραπάνω σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις κατανομών των μεταβλητών Y και Χ και τον πίνακα της διωνυμικής κατανομής, για n και p 0.40, έχουμε P(λανθασμένο σύνθημα κινδύνου) P{Y 0.40} FY (0.40) P{3 Χ 3 + } P {Χ 3} + P{Χ 4} Αν αυτή η πιθανότητα λανθασμένου συνθήματος κινδύνου είναι * πολύ μεγάλη, η τιμή y μπορεί να ελαττωθεί. * Για y

19 P{Y 0.0} F Y (0.0) P{3 Χ 4} η οποία είναι μία ικανοποιητικά χαμηλή τιμή. 73

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, και έστω ότι το P(X=x)=p Χ καθορίζει ένα τυχαίο πείραμα. Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά είναι το εξής: Τί θα συμβεί μακροπρόθεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. 5 " " " " παθήσεις α και δ. 4 " " " " παθήσεις α και γ. 7 " " " " παθήσεις β και γ 2 " " " " παθήσεις γ και δ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. 5     παθήσεις α και δ. 4     παθήσεις α και γ. 7     παθήσεις β και γ 2     παθήσεις γ και δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1. Τρεις εφημερίδες Α, Β, Γ, εκδίδονται σε μια ορισμένη πόλη και έχει εκτιμηθεί ότι από τον ενήλικο πληθυσμό της πόλης 20% διαβάζει την εφημερίδα Α 16% " " " Β 14% " " " Γ 8% διαβάζει

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 5: Υπολογισμός της Κίνησης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών

Εργαστήριο 5: Υπολογισμός της Κίνησης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών Εργαστήριο 5: Υπολογισμός της Κίνησης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών Η ενότητα αυτή θα αρχίσει παρουσιάζοντας την δυνατότητα ενός κυψελωτού ράδιοσυστήματος να εξασφαλίζει την υπηρεσία σε έναν μεγάλο αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε μερικές ειδικές διακριτές κατανομές που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω, κυρίως των πολλών εφαρμογών τους. Πριν όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα