ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η Βήτα. Η σπουδαιότερη όμως συνεχής κατανομή, κυρίως λόγω των πολλών εφαρμογών της, είναι η κανονική. Λόγω της σπουδαιότητάς της, αποτελεί ξεχωριστό κεφάλαιο το οποίο ακολουθεί. Μια άλλη ειδική κατηγορία συνεχών κατανομών με πλήθος εφαρμογών στην Στατιστική αποτελούν οι λεγόμενες δειγματικές κατανομές (sampling distributions). Τέτοιες κατανομές είναι η t, η Χ και η F. Επειδή οι κατανομές αυτές (στις οποίες περιλαμβάνεται και η κανονική) προκύπτουν κυρίως σε σχέση με την Στατιστική, εξετάζονται επίσης σε χωριστό κεφάλαιο, παρότι είναι και αυτές συνεχείς κατανομές. Η ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός: Έστω Χ μια (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή ορισμένη στο διάστημα [a, β] με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. a x b b a f(x) 0 διαφορετικ ά Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι το Χ ακολουθεί την συνεχή ομοιόμορφη κατανομή (continuous uniform distribution) με παραμέτρους a και b και συμβολίζουμε X U (a,b). Είναι προφανές ότι η ομοιόμορφη κατανομή, όπως ορίσθηκε, είναι μια καλά ορισμένη κατανομή. 55

2 Μοντέλα που οδηγούν στην ομοιόμορφη κατανομή Η ομοιόμορφη κατανομή θα μπορούσε να θεωρηθεί ως προκύπτουσα στο πλαίσιο τυχαίου πειράματος κατά το οποίο επιλέγεται τυχαία ένα σημείο από το διάστημα [a,b] με "δίκαιο" τρόπο. Πρόταση: Αν X U(a,b), τότε b + a (a b) E(X) και Δ(X) Απόδειξη: b x b b + a E(X) xf(x)dx a b a a και Δ(X) E(X E(X ) b a ) a { E(X) } b 3 3 b a x dx 3(b a) 3 3 b a 3(b a) (b + a) 4 4(a + ab + b ) 3(b + a + ab) (a b) Παρατήρηση: Ισχύει ότι x x a F(x) f(t)dt, a x b b a Η περισσότερο χρησιμοποιούμενη ομοιόμορφη κατανομή είναι η U(0,). Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται για την τεχνητή κατασκευή (προσομοίωση) τυχαίων δειγμάτων από διακριτές και συνεχείς κατανομές. Παράδειγμα: Η ζήτηση για κάποιο προϊόν ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (9500, 0500), σε πακέτα ανά μήνα. Για να αναλυθούν ευκολότερα τα δεδομένα αυτά, εφαρμόζουμε 56

3 ένα γραμμικό μετασχηματισμό έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να έχουν τυποποιημένη μορφή (μέση τιμή 0 και διασπορά ). Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των μετασχηματισμένων δεδομένων. Λύση: Έστω Χ η ζήτηση για το προϊόν. Έχουμε ότι X U(9500, 0500) Επομένως, Ε(X) 0000 και Δ(X) ( ) ( 000 ) Σύμφωνα με τον ορισμό της τυποποίησης ο απαιτούμενος μετασχηματισμός είναι X 0000 Y, 3 Y 3 (000 ) όπου Y είναι τα τυποποιημένα δεδομένα. Η συνάρτηση κατανομής της Y είναι X F(y) P(Y y) P y P X y (000 ) 000 y dx y y και παραγωγίζοντας βρίσκουμε ότι f(y) F'(y) δηλαδή τελικά η τυποποιημένη Y ακολουθεί επίσης την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [ 3, 3]. Είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ότι 57

4 E(Y) 0 και Δ(X). Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός: Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση κατανομής F(x)-e -x/θ, x > 0, θ > 0 λέγεται ότι ακολουθεί την εκθετική κατανομή (exponential distribution) με παράμετρο θ. Συμβολικά Χ exp(θ). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίνεται από την σχέση x/θ f(x) F (x) e, 0 x < θ Ο υπολογισμός πιθανοτήτων της εκθετικής κατανομής γίνεται ή με ολοκλήρωση ή με χρήση της συνάρτησης κατανομής και των πινάκων της κατανομής Poisson. Για παράδειγμα, αν Χ exp(θ0), τότε P(X < 0) F(0) -e -0/0 -e - -(0.35) Εναλλακτικά 0 x/0 P(X < 0) e dx e 0 0 Επίσης, P(X > 5) -P(X 5) -(-e -5/0 ) e Ιδιότητες: Αν Χ exp(θ), τότε ) Ε(Χ) θ, Δ(Χ) θ ) P(X > θ) < ½ 58

5 Μοντέλα που οδηγούν στην εκθετική κατανομή Θεώρημα: Ο χρόνος αναμονής μέχρις ότου πραγματοποιηθεί το πρώτο γεγονός σε μια διαδικασία Poisson με παράμετρο λ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ. Απόδειξη: Έστω W ο χρόνος αναμονής μέχρι το πρώτο γεγονός (W 0). F(w)P(W w)-p(w>w) -P(0 γεγονότα στο διάστημα [0, w])-e -λw Γενικότερα, ισχύει ότι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Έτσι, για παράδειγμα, ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών ισχυρών σεισμών, ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών ατυχημάτων σε μια διασταύρωση κ.λ.π. ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Παράδειγμα: Έστω ότι ο αριθμός των πελατών που επισκέπτονται μια τράπεζα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 6 πελάτες την ώρα. α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο αφίξεων να υπερβαίνει τα 5 λεπτά. β) Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Λύση: α) Έστω Χ ο χρόνος αναμονής. Επειδή ο αριθμός των αφίξεων μπορεί να προσεγγισθεί με την κατανομή Poisson με παράμετρο (μέσο αριθμών αφίξεων ανά λεπτό) 6 λ, έχουμε ότι Χ exp(0) 60 0 Θα έχουμε P(X > 5) e -5/0 e β) Ε(Χ) θ 0 άτομα/λεπτό. 59

6 Πρόταση: (έλλειψη μνήμης της εκθετικής κατανομής) Αν Χ exp(θ) τότε P(X > x+y X > x) P(X > y) (Η δεσμευμένη πιθανότητα ο χρόνος αναμονής Χ να υπερβεί το x+y δοθέντος ότι έχει ήδη υπερβεί το x ισούται με την πιθανότητα το Χ να υπερβεί το y. Ο χρόνος δηλαδή που έχει ήδη διαρρεύσει δεν επηρεάζει τον χρόνο που απαιτείται για την πραγματοποίηση ενός γεγονότος σε μια διαδικασία Poisson). Απόδειξη: Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε ότι P(X > x + y,x > x) P(X > x + y) P(X > x + y X > x) P(X > x) P(X > x) Το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι P(X > z) e -z/θ. Παράδειγμα: Στο προηγούμενο παράδειγμα να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις πελατών να υπερβεί τα 5 λεπτά δοθέντος ότι έχουν ήδη περάσει 0 λεπτά χωρίς άφιξη. Λύση: P(X > 5 X > 0) P(X > 5) 0.3 Παρατήρηση: Μια σύγκριση ανάμεσα στην εκθετική και την γεωμετρική κατανομή οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η δεύτερη είναι το συνεχές ανάλογο της πρώτης. Πράγματι, η εκθετική κατανομή αναφέρεται στον χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson ενώ η γεωμετρική κατανομή αναφέρεται στον αριθμό των αποτυχιών μεταξύ δύο επιτυχιών σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli. Η αντιστοιχία δηλαδή είναι [χρόνος αναμονής] [αριθμός αποτυχιών] [ γεγονότα Poisson] [ επιτυχίες σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli] [εκθετική] [γεωμετρική] 60

7 Σημείωση: Η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής που αναφέρθηκε στην προηγούμενη πρόταση υποδηλώνει και μια άλλη εφαρμογή της εκθετικής κατανομής. Συγκεκριμένα, δίνει την δυνατότητα χρησιμοποίησης της εκθετικής κατανομής ως κατανομής του χρόνου ζωής όταν δεν υπάρχει φθορά λόγω χρόνου. Για παράδειγμα, έστω Χ ο χρόνος ζωής (σε ώρες) μιας λυχνίας τηλεόρασης. Τότε P(X>c) εκφράζει την πιθανότητα ότι μια καινούργια λυχνία θα διαρκέσει τουλάχιστον c ώρες ενώ P(X>b+c X>b) είναι η πιθανότητα ώστε μια μεταχειρισμένη λυχνία που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί για b ώρες να διαρκέσει για c επιπλέον ώρες. Εάν ο χρόνος ζωής των λυχνιών αυτών ακολουθεί την εκθετική κατανομή, η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής συνεπάγεται ότι οι δύο αυτές πιθανότητες είναι ίσες για οποισδήποτε τιμές των b και c. Η πιθανότητα βλάβης στις επόμενες c ώρες δεν εξαρτάται από τον χρόνο που η λυχνία βρίσκεται ήδη σε χρήση. Ο χρόνος λειτουργίας δηλαδή δεν επιφέρει φθορά. Οι μεταχειρισμένες λυχνίες επομένως στην περίπτωση αυτή είναι εξ ίσου καλές με τις αμεταχείριστες. Παράδειγμα: Έστω ότι οι αστέρες είναι τυχαία κατανεμημένοι στον χώρο. Να βρεθεί η κατανομή πιθανότητας της απόστασης ενός τυχαίου σημείου στον χώρο από τον πλησιέστερο αστέρα. Λύση: Κάτω από την υπόθεση της τυχαίας κατανομής των αστέρων στον χώρο έχουμε ότι η πιθανότητα να βρεθούν x αστέρια σε όγκο V του χώρου είναι x λv (λv) P(X x) e, x0,,, x! όπου λ είναι ο μέσος αριθμός αστέρων στην μονάδα του όγκου. Έστω R η απόσταση ενός τυχαίου σημείου Σ στον χώρο από τον πλησιέστερο αστέρα. Τότε R r τότε και μόνο τότε αν υπάρχει τουλάχιστον ένας αστέρας στην σφαίρα με κέντρο το Σ και ακτίνα r. 4 Ο όγκος της σφαίρας είναι πr 3 και επομένως 3 6

8 P(R 4λπr 3 /3 r) e, r > 0 (Αυτό γιατί η πιθανότητα να υπάρχει ένας τουλάχιστον αστέρας σε όγκο V είναι -P(X0)-e -λv ). Παραγωγίζοντας ως προς r έχουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του R. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν θεωρήσουμε σαν Σ την θέση ενός αστέρα τότε το R συμβολίζει την απόστασή του από τον πλησιέστερο προς αυτόν αστέρα. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό της κατανομής γάμμα είναι απαραίτητο να ορίσουμε την συνάρτηση γάμμα. Ορισμός: Η γάμμα συνάρτηση ορίζεται από την σχέση Επομένως, Γ() e 0 y t Γ(t) e y dy, t>0 0 y dy, Για t> Γ(t) (t-)γ(t-) και επομένως όταν tn (ακέραιος) Γ Γ(n)(n-)Γ(n-)(n-)(n-)γ(n-)(n-)(n-) Γ() Γ(n)(n-)! Ορισμός: Θα λέμε ότι η (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους (α, θ) και θα συμβολίζουμε με Χ ~ γ(x; α, θ), αν f(x) α x/θ α x/θ x e x e α α, 0 x<, α>0, θ>0 Γ(α)θ Γ (α) θ Παρατήρηση: Η κανονική γάμμα είναι μια καλά ορισμένη κατανομή αφού π 6

9 + f(x)dx 0 + e α Γ (α) + e Γ(α) x/θ x/θ x θ x θ α α dx x d θ Γ(α) Γ(α) Σημείωση: Αν Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ, τότε Ε(Χ)α, Δ(Χ)αθ Σημείωση: Η κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ λέγεται τυποποιημένη κατανομή γάμμα. Δηλαδή, για την τυποποιημένη κατανομή γάμμα x f(x) e x α, x 0, α>0 Γ(α) Σημείωση: Η παράμετρος θ της κατανομής γάμμα ονομάζεται και παράμετρος κλίμακας (scale parameter) γιατί τιμές της διάφορες του εκτείνουν ή συμπτύσσουν την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κατά την διεύθυνση του άξονα των x. Υπολογισμός των Πιθανοτήτων της Κατανομής Γάμμα Όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την τυποποιημένη κατανομή γάμμα, η συνάρτηση κατανομής του Χ δίνεται από την σχέση x y α Φ(x) P(X x) e y dy, x, y 0 0 Γ(α) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται και ελλιπής συνάρτηση γάμμα για προφανείς λόγους. (Πολλές φορές ως ελλιπής συνάρτηση γάμμα ορίζεται η παραπάνω συνάρτηση χωρίς το Γ(α)). Για τον υπολογισμό της ελλιπούς συνάρτησης γάμμα υπάρχουν αναλυτικοί πίνακες. Μέρος των πινάκων αυτών ακολουθεί. 63

10 x α Η ελλιπής συνάρτηση Γάμμα Πίνακας Φ(x) 0 x Γ(α) e y y α dy Παράδειγμα: Έστω ότι ο χρόνος αντίδρασης Χ ενός ατόμου σε κάποιο διεγερτικό ακολουθεί την τυποποιημένη κατανομή γάμμα με α sec. Να υπολογισθεί: (α) Η πιθανότητα ώστε ο χρόνος αντίδρασης να είναι περισσότερος από 3 sec και λιγότερος από 5 sec. (β) Η πιθανότητα ο χρόνος αντίδρασης να είναι περισσότερος από 4 sec. Λύση: (α) Ρ(3<Χ<5) F(5) - F() (β) Ρ(Χ>4) - p(x 4) -F(4) Σημείωση: Η ελλιπής συνάρτηση γάμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό πιθανοτήτων μη τυποποιημένων κατανομών γάμμα. Αυτό γιατί ισχύει η εξής πρόταση. Πρόταση: Έστω ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ. Τότε για κάθε x>0 64

11 x P(X x) Φ θ όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κατανομής γάμμα. Απόδειξη: Προφανής. Παράδειγμα: Έστω ότι ο χρόνος επιβίωσης Χ (σε εβδομάδες) ενός τυχαία επιλεγμένου ποντικού που εκτίθεται σε ακτινοβολία 40 rads ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α8 και θ5. Να υπολογισθούν (α) Ο αναμενόμενος χρόνος επιβίωσης. (β) Η τυπική απόκλιση του χρόνου επιβίωσης. (γ) Η πιθανότητα ότι ο ποντικός θα επιβιώσει για διάστημα μεγαλύτερο των 60 και μικρότερο των 0 εβδομάδων. Λύση: (α) Ε(Χ) α 0 εδομάδες (β) Δ(Χ) α 800 σ Δ(X) εβδομάδες. (γ) Ρ(60<Χ<0) Ρ(Χ<0) - Ρ(Χ<60) 0 60 Φ Φ Φ(8) - Φ(4) Μοντέλα που οδηγούν στην Κατανομή Γάμμα Πρόταση: Έστω Χ ο χρόνος αναμονής σε μια ανέλιξη Poisson με παράμετρο λ μέχρις ότου συμβεί το n-οστό γεγονός. Τότε η Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους αn και θ/λ Απόδειξη: Έστω Υ ο αριθμός των γεγονότων στο διάστημα [0, x]. Τότε ισχύει ότι Υ ~ Poisson (λx) Άρα F(x)P(X x)-p(x>x) 65

12 -P[λιγότερα από n γεγονότα στο διάστημα [0,x]] n k λx (λx) n k λx λx (λx) e e e k 0 k! k k! Επομένως, n k k- λx λx (λx) λx kλ(λx) f(x) F (x) λe (-λ)e + e k k! k! n n λx (λx) λe + k k! k k- (λx) (k -)! n k n λx (λx) (λx) λe + k k! k 0 k! n k k- n λx (λx) (λx) (λx) λe + + k k! (k -)! k k! λ λx e (λx) n Γ(n) δηλαδή, Χ~Γάμμα (αn, θ/λ). k Σημείωση: Όταν η παράμετρος α της κατανομής γάμμα είναι ακέραιος αριθμός (αn) η κατανομή γάμμα λέγεται και κατανομή n- Erlang. Παρατήρηση: Είναι προφανές ότι για α η κατανομή γάμμα συμπίπτει με την εκθετική κατανομή. Αυτό άλλωστε είναι φυσικό λόγω της δυνατότητας ερμηνείας των δύο κατανομών ως κατανομών του χρόνου αναμονής σε μια ανέλιξη Poisson. Πρόταση: Έστω Χ, Χ,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο θ. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ Χ + Χ + + Χ n ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους n και θ. k 66

13 Απόδειξη: Η πρόταση αυτή αποδεικνύεται από το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή Χ i μπορεί να θεωρηθεί ως ο χρόνος αναμονής μεταξύ του (i-) και i γεγονότος σε μια ανέλιξη Poisson. Έχει ήδη αποδειχθεί ότι τα Χ i ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Χ Χ + Χ + + Χ n είναι ο συνολικός χρόνος αναμονής έως ότου συμβεί το n-οστό γεγονός στην ανέλιξη Poisson. Έχει δε βρεθεί ότι το Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι αν Χ, Χ,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α i και θ, i,,, n, τότε η τυχαία μεταβλητή Χ + Χ + + Χ n ακολουθεί την κατανομή γάμμα με n παραμέτρους α i και θ. i Σημείωση: Η σύνδεση της κατανομής γάμμα με την κατανομή του χρόνου αναμονής σε μία ανέλιξη Poisson οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η κατανομή γάμμα είναι το συνεχές ανάλογο της αρνητικής διωνυμικής κατανομής (όπως η εκθετική κατανομή είναι το συνεχές ανάλογο της γεωμετρικής κατανομής). Εδώ ο χρόνος αναμονής (κατανομή γάμμα) αναφέρεται στην πραγματοποίηση του n-οστού γεγονότος και ο αριθμός των αποτυχιών (αρνητική διωνυμική κατανομή) στις αποτυχίες μέχρι την n-οστή επιτυχία. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ BΗΤΑ (Beta Distribution) Σε σχέση με πολλές πρακτικές εφαρμογές, χρησιμοποιούμε απόλυτα συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, των οποίων το εύρος των τιμών είναι το διάστημα (0,). Συχνά, η ακριβής μορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δεν είναι γνωστή, αλλά υπάρχουν ορισμένες ενδείξεις ότι η πυκνότητα παρουσιάζει μέγιστο κοντά σε κάποια τιμή. Η κατανομή Βήτα, η οποία έχει δύο θετικές παραμέτρους, έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας η οποία μπορεί να έχει μία ποικιλία μορφών ανάλογα με την επιλογή των τιμών των παραμέτρων, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 67

14 Σχήμα: Γραφήματα της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής βήτα για (α) r5.0, s0.5,.0, 5.0, 0.0; (β) r.0, s0.5,..0,.0, 0.0; (συνεχίζεται) 68

15 Σχήμα (συνέχεια): Γραφήματα της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής βήτα για (γ) r0.5, s0.5,.0, 0.0. Επομένως, είναι δυνατόν σε πολλές περιπτώσεις να προσαρμοσθεί η κατάλληλη θεωρητική πυκνότητα στα εμπειρικά δεδομένα. Πολλές από τις μαθηματικές ιδιότητες της κατανομής Βήτα στηρίζονται στο ορισμένο ολοκλήρωμα Γ(r) Γ(s) r s B(r,s) t ( t) dt t > 0, s > 0 Γ(r + s) 0 Ορισμός: Θα λέμε ότι η (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή X, με εύρος τιμών (0,), ακολουθεί την κατανομή Βήτα με θετικές παραμέτρους (r, s) και θα συμβολίζουμε με X ~ beta (r, s), αν Γ(r + s) r s f X (t) t ( t) 0 < t <, r > 0, s > 0 Γ(r) Γ(s) Αν r, s, τα άκρα του διαστήματος περιλαμβάνονται στο εύρος των τιμών της κατανομής Βήτα. Αν r, s, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο r r t t 0 (r -) + (s -) r + s 69

16 Αν οι παράμετροι r, s έχουν θετικές ακέραιες τιμές, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να εκφρασθεί μέσω ενός πολυωνύμου στο διάστημα [0,], και έχει την τιμή 0 οπουδήποτε αλλού. Για παράδειγμα, r s f X (t), 0 t Μέγιστο στο σημείο (-t) 5 4 5( t) t 6t(-t) / t( t) /5 Η συνάρτηση κατανομής F X δίνεται από τον τύπο t r s FX (t) u ( u) du, 0 < t < B(r, s) 0 Για την περίπτωση στην οποία οι παράμετροι r, s έχουν θετικές ακέραιες τιμές, η F X (t) εκφράζεται μέσω ενός πολυωνύμου ως προς t για 0 < t <. Έτσι, για r, s, F X (t) t 0 (6u - 6u )du 3t 3t 3, 0 t Στην γενική περίπτωση, το παραπάνω ολοκλήρωμα ορίζει την ελλιπή συνάρτηση βήτα (incomplete beta function). Η συνάρτηση αυτή έχει ευρέως μελετηθεί και μία πληθώρα ειδικών περιπτώσεων, προσεγγίσεων και σχέσεων με άλλες κατανομές έχει βρεθεί. Ιδιότητες: Μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν r 0, s 0, B(r, s) 0 u r - Επομένως, όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, ( - u) s - du 70

17 E(X k ) B(r, s) 0 x r+ k ( x) s B(r + k, s) Γ(r + k)γ(r + s) dx, B(r, s) Γ(r)Γ(r + s+ k) k 0 Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα αυτό όταν k0 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι f (x)dx 0 x Το παραπάνω αποτέλεσμα, επειδή f X (x) 0, για όλες τις τιμές x, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση f X (x) είναι μία καλώς ορισμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Θέτοντας k και k στον τύπο που προσδιορίζει την μορφή της E(X k ), έχουμε Γ(r + ) Γ(r + s) r E(X) Γ(r) Γ(r + s + ) r + s και E(X Γ(r + ) Γ(r + s) (r + )(r) ) Γ(r) Γ(r + s + ) (r + s + )(r + s) Επομένως, r rs μx E(X), σx E(X ) (μx) r + s (r + s) (r + s + ) Είναι ενδιαφέρον να παρατηρηθεί ότι αν η μεταβλητή Y έχει την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, τότε η μεταβλητή -Y έχει επίσης την κατανομή Βήτα με παραμέτρους s και r. Πράγματι, αν U Y, τότε επειδή B(r, s)b(s, r), η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της U είναι η f U (u) f Y r ( u) u ( u) B(r, s) 0, u 0, s ( u) B(s, r) s r,, αν 0 u, διαφορετικά αν 0 u, διαφορετικά 7

18 η οποία είναι ακριβώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μίας κατανομής Βήτα με παραμέτρους s και r. Σχέση μεταξύ της κατανομής Βήτα και της Διωνυμικής κατανομής Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν η τυχαία μεταβλητή Υ έχει την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, όπου r και s είναι θετικοί ακέραιοι και η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n r + s και p y, τότε για 0 y, FY (y) P{r Χ r + s } F Η ιδιότητα αυτή έχει πολλές εφαρμογές. Χ (r ) Παράδειγμα: Έστω Y το ποσοστό κορεσμού διαλυμένου οξυγόνου σε ένα συγκεκριμένο σημείο ενός ποταμού. Η κατανομή της μεταβλητής Y σε καθαρό νερό ακολουθεί την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r 3 και s. Ένα σύστημα συναγερμού για την ποιότητα του νερού ειδοποιεί όταν η παρατηρούμενη τιμή της * μεταβλητής Y πέσει κάτω από ένα συγκεκριμένο επίπεδο y. Το σύστημα αυτό δεν πρέπει να δίνει λανθασμένη ένδειξη παρουσίας μη καθαρού νερού πολύ συχνά όταν το νερό είναι στην πραγματικότητα * καθαρό. Αν y 0. 40, τότε από την παραπάνω σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις κατανομών των μεταβλητών Y και Χ και τον πίνακα της διωνυμικής κατανομής, για n και p 0.40, έχουμε P(λανθασμένο σύνθημα κινδύνου) P{Y 0.40} FY (0.40) P{3 Χ 3 + } P {Χ 3} + P{Χ 4} Αν αυτή η πιθανότητα λανθασμένου συνθήματος κινδύνου είναι * πολύ μεγάλη, η τιμή y μπορεί να ελαττωθεί. * Για y

19 P{Y 0.0} F Y (0.0) P{3 Χ 4} η οποία είναι μία ικανοποιητικά χαμηλή τιμή. 73

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής. Παράδειγμα Μπαρ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής. Παράδειγμα Μπαρ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής Παράδειγμα Μπαρ Σκοπός της παρούσας άσκησης είναι να προσομοιωθεί η λειτουργία ενός υποθετικού μπαρ ώστε να υπολογίσουμε το μέσο χρόνο

Διαβάστε περισσότερα

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο 1 ΓΕΝΙΚΑ Ο αριθμός των κλήσεων σε εξέλιξη μεταβάλλεται με έναν τυχαίο τρόπο καθώς κάθε κλήση ξεχωριστά αρχίζει και τελειώνει με τυχαίο τρόπο. Κατά

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων. ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων -- N. Μήτρου

Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων. ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων -- N. Μήτρου Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων --. Μήτρου Θεωρία Πιθανοτήτων Αντικείµενο: η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας Χρησιµότητα: η δυνατότητα πρόβεψης Ορoογία: Πείραµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

94 Η χρήση των νευρωνικών µοντέλων για την κατανόηση της δοµής και λειτουργίας τού εγκεφάλου. = l b. K + + I b. K - = α n

94 Η χρήση των νευρωνικών µοντέλων για την κατανόηση της δοµής και λειτουργίας τού εγκεφάλου. = l b. K + + I b. K - = α n Nευροφυσιολογία Η μονάδα λειτουργίας του εγκεφάλου είναι ένας εξειδικευμένος τύπος κυττάρου που στη γλώσσα της Νευροφυσιολογίας ονομάζεται νευρώνας. Το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο αποκαλύπτει ότι ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών 23 Οκτωβρίου 2009 ΣΧΕ ΙΟ ΙΑΛΕΞΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-9-5 ΟΜΑΔΑ Α 4% Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα μπορούμε να πούμε το ίδιο για τα α A B, Γ β Α,Β Γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών. Πάτρα 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών. Πάτρα 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Αθανάσιος Δρόσος Πάτρα 008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 10 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 0.1 Εστω ότι η τ.µ. X ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή µε µέση τιµή 10 και διασπορά σ 2 = 4, δηλαδή X N( 10, 4). Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου 1 Σχεδίαση συστήματος Η εταιρία μας θέλει να καλύψει με κυψελωτό σύστημα τηλεφωνίας μία πόλη επιφάνειας 20000 km 2 (συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών Θεµατική Ενότητα ιοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισµών ΕΟ Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος 006-7 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 7-06-007,.0-7:00)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Γιώργος Λυμπερόπουλος 2009 1. Να βρεθούν οι κλάσεις καταστάσεων στις παρακάτω Μαρκοβιανές αλυσίδες και να σημειωθεί αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

Προσομοίωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Προσομοίωση 7.1 Συστήματα και πρότυπα συστημάτων 7.2 Η διαδικασία της προσομοίωσης 7.3 Ανάπτυξη προτύπων διακριτών γεγονότων 7.4 Τυχαίοι αριθμοί 7.5 Δείγματα από τυχαίες μεταβλητές 7.6 Προσομοίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα