ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η Βήτα. Η σπουδαιότερη όμως συνεχής κατανομή, κυρίως λόγω των πολλών εφαρμογών της, είναι η κανονική. Λόγω της σπουδαιότητάς της, αποτελεί ξεχωριστό κεφάλαιο το οποίο ακολουθεί. Μια άλλη ειδική κατηγορία συνεχών κατανομών με πλήθος εφαρμογών στην Στατιστική αποτελούν οι λεγόμενες δειγματικές κατανομές (sampling distributions). Τέτοιες κατανομές είναι η t, η Χ και η F. Επειδή οι κατανομές αυτές (στις οποίες περιλαμβάνεται και η κανονική) προκύπτουν κυρίως σε σχέση με την Στατιστική, εξετάζονται επίσης σε χωριστό κεφάλαιο, παρότι είναι και αυτές συνεχείς κατανομές. Η ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός: Έστω Χ μια (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή ορισμένη στο διάστημα [a, β] με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. a x b b a f(x) 0 διαφορετικ ά Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι το Χ ακολουθεί την συνεχή ομοιόμορφη κατανομή (continuous uniform distribution) με παραμέτρους a και b και συμβολίζουμε X U (a,b). Είναι προφανές ότι η ομοιόμορφη κατανομή, όπως ορίσθηκε, είναι μια καλά ορισμένη κατανομή. 55

2 Μοντέλα που οδηγούν στην ομοιόμορφη κατανομή Η ομοιόμορφη κατανομή θα μπορούσε να θεωρηθεί ως προκύπτουσα στο πλαίσιο τυχαίου πειράματος κατά το οποίο επιλέγεται τυχαία ένα σημείο από το διάστημα [a,b] με "δίκαιο" τρόπο. Πρόταση: Αν X U(a,b), τότε b + a (a b) E(X) και Δ(X) Απόδειξη: b x b b + a E(X) xf(x)dx a b a a και Δ(X) E(X E(X ) b a ) a { E(X) } b 3 3 b a x dx 3(b a) 3 3 b a 3(b a) (b + a) 4 4(a + ab + b ) 3(b + a + ab) (a b) Παρατήρηση: Ισχύει ότι x x a F(x) f(t)dt, a x b b a Η περισσότερο χρησιμοποιούμενη ομοιόμορφη κατανομή είναι η U(0,). Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται για την τεχνητή κατασκευή (προσομοίωση) τυχαίων δειγμάτων από διακριτές και συνεχείς κατανομές. Παράδειγμα: Η ζήτηση για κάποιο προϊόν ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (9500, 0500), σε πακέτα ανά μήνα. Για να αναλυθούν ευκολότερα τα δεδομένα αυτά, εφαρμόζουμε 56

3 ένα γραμμικό μετασχηματισμό έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να έχουν τυποποιημένη μορφή (μέση τιμή 0 και διασπορά ). Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των μετασχηματισμένων δεδομένων. Λύση: Έστω Χ η ζήτηση για το προϊόν. Έχουμε ότι X U(9500, 0500) Επομένως, Ε(X) 0000 και Δ(X) ( ) ( 000 ) Σύμφωνα με τον ορισμό της τυποποίησης ο απαιτούμενος μετασχηματισμός είναι X 0000 Y, 3 Y 3 (000 ) όπου Y είναι τα τυποποιημένα δεδομένα. Η συνάρτηση κατανομής της Y είναι X F(y) P(Y y) P y P X y (000 ) 000 y dx y y και παραγωγίζοντας βρίσκουμε ότι f(y) F'(y) δηλαδή τελικά η τυποποιημένη Y ακολουθεί επίσης την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [ 3, 3]. Είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ότι 57

4 E(Y) 0 και Δ(X). Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός: Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση κατανομής F(x)-e -x/θ, x > 0, θ > 0 λέγεται ότι ακολουθεί την εκθετική κατανομή (exponential distribution) με παράμετρο θ. Συμβολικά Χ exp(θ). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίνεται από την σχέση x/θ f(x) F (x) e, 0 x < θ Ο υπολογισμός πιθανοτήτων της εκθετικής κατανομής γίνεται ή με ολοκλήρωση ή με χρήση της συνάρτησης κατανομής και των πινάκων της κατανομής Poisson. Για παράδειγμα, αν Χ exp(θ0), τότε P(X < 0) F(0) -e -0/0 -e - -(0.35) Εναλλακτικά 0 x/0 P(X < 0) e dx e 0 0 Επίσης, P(X > 5) -P(X 5) -(-e -5/0 ) e Ιδιότητες: Αν Χ exp(θ), τότε ) Ε(Χ) θ, Δ(Χ) θ ) P(X > θ) < ½ 58

5 Μοντέλα που οδηγούν στην εκθετική κατανομή Θεώρημα: Ο χρόνος αναμονής μέχρις ότου πραγματοποιηθεί το πρώτο γεγονός σε μια διαδικασία Poisson με παράμετρο λ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ. Απόδειξη: Έστω W ο χρόνος αναμονής μέχρι το πρώτο γεγονός (W 0). F(w)P(W w)-p(w>w) -P(0 γεγονότα στο διάστημα [0, w])-e -λw Γενικότερα, ισχύει ότι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Έτσι, για παράδειγμα, ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών ισχυρών σεισμών, ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών ατυχημάτων σε μια διασταύρωση κ.λ.π. ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Παράδειγμα: Έστω ότι ο αριθμός των πελατών που επισκέπτονται μια τράπεζα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 6 πελάτες την ώρα. α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο αφίξεων να υπερβαίνει τα 5 λεπτά. β) Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Λύση: α) Έστω Χ ο χρόνος αναμονής. Επειδή ο αριθμός των αφίξεων μπορεί να προσεγγισθεί με την κατανομή Poisson με παράμετρο (μέσο αριθμών αφίξεων ανά λεπτό) 6 λ, έχουμε ότι Χ exp(0) 60 0 Θα έχουμε P(X > 5) e -5/0 e β) Ε(Χ) θ 0 άτομα/λεπτό. 59

6 Πρόταση: (έλλειψη μνήμης της εκθετικής κατανομής) Αν Χ exp(θ) τότε P(X > x+y X > x) P(X > y) (Η δεσμευμένη πιθανότητα ο χρόνος αναμονής Χ να υπερβεί το x+y δοθέντος ότι έχει ήδη υπερβεί το x ισούται με την πιθανότητα το Χ να υπερβεί το y. Ο χρόνος δηλαδή που έχει ήδη διαρρεύσει δεν επηρεάζει τον χρόνο που απαιτείται για την πραγματοποίηση ενός γεγονότος σε μια διαδικασία Poisson). Απόδειξη: Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε ότι P(X > x + y,x > x) P(X > x + y) P(X > x + y X > x) P(X > x) P(X > x) Το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι P(X > z) e -z/θ. Παράδειγμα: Στο προηγούμενο παράδειγμα να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις πελατών να υπερβεί τα 5 λεπτά δοθέντος ότι έχουν ήδη περάσει 0 λεπτά χωρίς άφιξη. Λύση: P(X > 5 X > 0) P(X > 5) 0.3 Παρατήρηση: Μια σύγκριση ανάμεσα στην εκθετική και την γεωμετρική κατανομή οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η δεύτερη είναι το συνεχές ανάλογο της πρώτης. Πράγματι, η εκθετική κατανομή αναφέρεται στον χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson ενώ η γεωμετρική κατανομή αναφέρεται στον αριθμό των αποτυχιών μεταξύ δύο επιτυχιών σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli. Η αντιστοιχία δηλαδή είναι [χρόνος αναμονής] [αριθμός αποτυχιών] [ γεγονότα Poisson] [ επιτυχίες σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli] [εκθετική] [γεωμετρική] 60

7 Σημείωση: Η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής που αναφέρθηκε στην προηγούμενη πρόταση υποδηλώνει και μια άλλη εφαρμογή της εκθετικής κατανομής. Συγκεκριμένα, δίνει την δυνατότητα χρησιμοποίησης της εκθετικής κατανομής ως κατανομής του χρόνου ζωής όταν δεν υπάρχει φθορά λόγω χρόνου. Για παράδειγμα, έστω Χ ο χρόνος ζωής (σε ώρες) μιας λυχνίας τηλεόρασης. Τότε P(X>c) εκφράζει την πιθανότητα ότι μια καινούργια λυχνία θα διαρκέσει τουλάχιστον c ώρες ενώ P(X>b+c X>b) είναι η πιθανότητα ώστε μια μεταχειρισμένη λυχνία που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί για b ώρες να διαρκέσει για c επιπλέον ώρες. Εάν ο χρόνος ζωής των λυχνιών αυτών ακολουθεί την εκθετική κατανομή, η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής συνεπάγεται ότι οι δύο αυτές πιθανότητες είναι ίσες για οποισδήποτε τιμές των b και c. Η πιθανότητα βλάβης στις επόμενες c ώρες δεν εξαρτάται από τον χρόνο που η λυχνία βρίσκεται ήδη σε χρήση. Ο χρόνος λειτουργίας δηλαδή δεν επιφέρει φθορά. Οι μεταχειρισμένες λυχνίες επομένως στην περίπτωση αυτή είναι εξ ίσου καλές με τις αμεταχείριστες. Παράδειγμα: Έστω ότι οι αστέρες είναι τυχαία κατανεμημένοι στον χώρο. Να βρεθεί η κατανομή πιθανότητας της απόστασης ενός τυχαίου σημείου στον χώρο από τον πλησιέστερο αστέρα. Λύση: Κάτω από την υπόθεση της τυχαίας κατανομής των αστέρων στον χώρο έχουμε ότι η πιθανότητα να βρεθούν x αστέρια σε όγκο V του χώρου είναι x λv (λv) P(X x) e, x0,,, x! όπου λ είναι ο μέσος αριθμός αστέρων στην μονάδα του όγκου. Έστω R η απόσταση ενός τυχαίου σημείου Σ στον χώρο από τον πλησιέστερο αστέρα. Τότε R r τότε και μόνο τότε αν υπάρχει τουλάχιστον ένας αστέρας στην σφαίρα με κέντρο το Σ και ακτίνα r. 4 Ο όγκος της σφαίρας είναι πr 3 και επομένως 3 6

8 P(R 4λπr 3 /3 r) e, r > 0 (Αυτό γιατί η πιθανότητα να υπάρχει ένας τουλάχιστον αστέρας σε όγκο V είναι -P(X0)-e -λv ). Παραγωγίζοντας ως προς r έχουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του R. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν θεωρήσουμε σαν Σ την θέση ενός αστέρα τότε το R συμβολίζει την απόστασή του από τον πλησιέστερο προς αυτόν αστέρα. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό της κατανομής γάμμα είναι απαραίτητο να ορίσουμε την συνάρτηση γάμμα. Ορισμός: Η γάμμα συνάρτηση ορίζεται από την σχέση Επομένως, Γ() e 0 y t Γ(t) e y dy, t>0 0 y dy, Για t> Γ(t) (t-)γ(t-) και επομένως όταν tn (ακέραιος) Γ Γ(n)(n-)Γ(n-)(n-)(n-)γ(n-)(n-)(n-) Γ() Γ(n)(n-)! Ορισμός: Θα λέμε ότι η (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους (α, θ) και θα συμβολίζουμε με Χ ~ γ(x; α, θ), αν f(x) α x/θ α x/θ x e x e α α, 0 x<, α>0, θ>0 Γ(α)θ Γ (α) θ Παρατήρηση: Η κανονική γάμμα είναι μια καλά ορισμένη κατανομή αφού π 6

9 + f(x)dx 0 + e α Γ (α) + e Γ(α) x/θ x/θ x θ x θ α α dx x d θ Γ(α) Γ(α) Σημείωση: Αν Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ, τότε Ε(Χ)α, Δ(Χ)αθ Σημείωση: Η κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ λέγεται τυποποιημένη κατανομή γάμμα. Δηλαδή, για την τυποποιημένη κατανομή γάμμα x f(x) e x α, x 0, α>0 Γ(α) Σημείωση: Η παράμετρος θ της κατανομής γάμμα ονομάζεται και παράμετρος κλίμακας (scale parameter) γιατί τιμές της διάφορες του εκτείνουν ή συμπτύσσουν την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κατά την διεύθυνση του άξονα των x. Υπολογισμός των Πιθανοτήτων της Κατανομής Γάμμα Όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την τυποποιημένη κατανομή γάμμα, η συνάρτηση κατανομής του Χ δίνεται από την σχέση x y α Φ(x) P(X x) e y dy, x, y 0 0 Γ(α) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται και ελλιπής συνάρτηση γάμμα για προφανείς λόγους. (Πολλές φορές ως ελλιπής συνάρτηση γάμμα ορίζεται η παραπάνω συνάρτηση χωρίς το Γ(α)). Για τον υπολογισμό της ελλιπούς συνάρτησης γάμμα υπάρχουν αναλυτικοί πίνακες. Μέρος των πινάκων αυτών ακολουθεί. 63

10 x α Η ελλιπής συνάρτηση Γάμμα Πίνακας Φ(x) 0 x Γ(α) e y y α dy Παράδειγμα: Έστω ότι ο χρόνος αντίδρασης Χ ενός ατόμου σε κάποιο διεγερτικό ακολουθεί την τυποποιημένη κατανομή γάμμα με α sec. Να υπολογισθεί: (α) Η πιθανότητα ώστε ο χρόνος αντίδρασης να είναι περισσότερος από 3 sec και λιγότερος από 5 sec. (β) Η πιθανότητα ο χρόνος αντίδρασης να είναι περισσότερος από 4 sec. Λύση: (α) Ρ(3<Χ<5) F(5) - F() (β) Ρ(Χ>4) - p(x 4) -F(4) Σημείωση: Η ελλιπής συνάρτηση γάμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό πιθανοτήτων μη τυποποιημένων κατανομών γάμμα. Αυτό γιατί ισχύει η εξής πρόταση. Πρόταση: Έστω ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α και θ. Τότε για κάθε x>0 64

11 x P(X x) Φ θ όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κατανομής γάμμα. Απόδειξη: Προφανής. Παράδειγμα: Έστω ότι ο χρόνος επιβίωσης Χ (σε εβδομάδες) ενός τυχαία επιλεγμένου ποντικού που εκτίθεται σε ακτινοβολία 40 rads ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α8 και θ5. Να υπολογισθούν (α) Ο αναμενόμενος χρόνος επιβίωσης. (β) Η τυπική απόκλιση του χρόνου επιβίωσης. (γ) Η πιθανότητα ότι ο ποντικός θα επιβιώσει για διάστημα μεγαλύτερο των 60 και μικρότερο των 0 εβδομάδων. Λύση: (α) Ε(Χ) α 0 εδομάδες (β) Δ(Χ) α 800 σ Δ(X) εβδομάδες. (γ) Ρ(60<Χ<0) Ρ(Χ<0) - Ρ(Χ<60) 0 60 Φ Φ Φ(8) - Φ(4) Μοντέλα που οδηγούν στην Κατανομή Γάμμα Πρόταση: Έστω Χ ο χρόνος αναμονής σε μια ανέλιξη Poisson με παράμετρο λ μέχρις ότου συμβεί το n-οστό γεγονός. Τότε η Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους αn και θ/λ Απόδειξη: Έστω Υ ο αριθμός των γεγονότων στο διάστημα [0, x]. Τότε ισχύει ότι Υ ~ Poisson (λx) Άρα F(x)P(X x)-p(x>x) 65

12 -P[λιγότερα από n γεγονότα στο διάστημα [0,x]] n k λx (λx) n k λx λx (λx) e e e k 0 k! k k! Επομένως, n k k- λx λx (λx) λx kλ(λx) f(x) F (x) λe (-λ)e + e k k! k! n n λx (λx) λe + k k! k k- (λx) (k -)! n k n λx (λx) (λx) λe + k k! k 0 k! n k k- n λx (λx) (λx) (λx) λe + + k k! (k -)! k k! λ λx e (λx) n Γ(n) δηλαδή, Χ~Γάμμα (αn, θ/λ). k Σημείωση: Όταν η παράμετρος α της κατανομής γάμμα είναι ακέραιος αριθμός (αn) η κατανομή γάμμα λέγεται και κατανομή n- Erlang. Παρατήρηση: Είναι προφανές ότι για α η κατανομή γάμμα συμπίπτει με την εκθετική κατανομή. Αυτό άλλωστε είναι φυσικό λόγω της δυνατότητας ερμηνείας των δύο κατανομών ως κατανομών του χρόνου αναμονής σε μια ανέλιξη Poisson. Πρόταση: Έστω Χ, Χ,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο θ. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ Χ + Χ + + Χ n ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους n και θ. k 66

13 Απόδειξη: Η πρόταση αυτή αποδεικνύεται από το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή Χ i μπορεί να θεωρηθεί ως ο χρόνος αναμονής μεταξύ του (i-) και i γεγονότος σε μια ανέλιξη Poisson. Έχει ήδη αποδειχθεί ότι τα Χ i ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Χ Χ + Χ + + Χ n είναι ο συνολικός χρόνος αναμονής έως ότου συμβεί το n-οστό γεγονός στην ανέλιξη Poisson. Έχει δε βρεθεί ότι το Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι αν Χ, Χ,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή γάμμα με παραμέτρους α i και θ, i,,, n, τότε η τυχαία μεταβλητή Χ + Χ + + Χ n ακολουθεί την κατανομή γάμμα με n παραμέτρους α i και θ. i Σημείωση: Η σύνδεση της κατανομής γάμμα με την κατανομή του χρόνου αναμονής σε μία ανέλιξη Poisson οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η κατανομή γάμμα είναι το συνεχές ανάλογο της αρνητικής διωνυμικής κατανομής (όπως η εκθετική κατανομή είναι το συνεχές ανάλογο της γεωμετρικής κατανομής). Εδώ ο χρόνος αναμονής (κατανομή γάμμα) αναφέρεται στην πραγματοποίηση του n-οστού γεγονότος και ο αριθμός των αποτυχιών (αρνητική διωνυμική κατανομή) στις αποτυχίες μέχρι την n-οστή επιτυχία. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ BΗΤΑ (Beta Distribution) Σε σχέση με πολλές πρακτικές εφαρμογές, χρησιμοποιούμε απόλυτα συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, των οποίων το εύρος των τιμών είναι το διάστημα (0,). Συχνά, η ακριβής μορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δεν είναι γνωστή, αλλά υπάρχουν ορισμένες ενδείξεις ότι η πυκνότητα παρουσιάζει μέγιστο κοντά σε κάποια τιμή. Η κατανομή Βήτα, η οποία έχει δύο θετικές παραμέτρους, έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας η οποία μπορεί να έχει μία ποικιλία μορφών ανάλογα με την επιλογή των τιμών των παραμέτρων, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 67

14 Σχήμα: Γραφήματα της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής βήτα για (α) r5.0, s0.5,.0, 5.0, 0.0; (β) r.0, s0.5,..0,.0, 0.0; (συνεχίζεται) 68

15 Σχήμα (συνέχεια): Γραφήματα της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής βήτα για (γ) r0.5, s0.5,.0, 0.0. Επομένως, είναι δυνατόν σε πολλές περιπτώσεις να προσαρμοσθεί η κατάλληλη θεωρητική πυκνότητα στα εμπειρικά δεδομένα. Πολλές από τις μαθηματικές ιδιότητες της κατανομής Βήτα στηρίζονται στο ορισμένο ολοκλήρωμα Γ(r) Γ(s) r s B(r,s) t ( t) dt t > 0, s > 0 Γ(r + s) 0 Ορισμός: Θα λέμε ότι η (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή X, με εύρος τιμών (0,), ακολουθεί την κατανομή Βήτα με θετικές παραμέτρους (r, s) και θα συμβολίζουμε με X ~ beta (r, s), αν Γ(r + s) r s f X (t) t ( t) 0 < t <, r > 0, s > 0 Γ(r) Γ(s) Αν r, s, τα άκρα του διαστήματος περιλαμβάνονται στο εύρος των τιμών της κατανομής Βήτα. Αν r, s, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο r r t t 0 (r -) + (s -) r + s 69

16 Αν οι παράμετροι r, s έχουν θετικές ακέραιες τιμές, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να εκφρασθεί μέσω ενός πολυωνύμου στο διάστημα [0,], και έχει την τιμή 0 οπουδήποτε αλλού. Για παράδειγμα, r s f X (t), 0 t Μέγιστο στο σημείο (-t) 5 4 5( t) t 6t(-t) / t( t) /5 Η συνάρτηση κατανομής F X δίνεται από τον τύπο t r s FX (t) u ( u) du, 0 < t < B(r, s) 0 Για την περίπτωση στην οποία οι παράμετροι r, s έχουν θετικές ακέραιες τιμές, η F X (t) εκφράζεται μέσω ενός πολυωνύμου ως προς t για 0 < t <. Έτσι, για r, s, F X (t) t 0 (6u - 6u )du 3t 3t 3, 0 t Στην γενική περίπτωση, το παραπάνω ολοκλήρωμα ορίζει την ελλιπή συνάρτηση βήτα (incomplete beta function). Η συνάρτηση αυτή έχει ευρέως μελετηθεί και μία πληθώρα ειδικών περιπτώσεων, προσεγγίσεων και σχέσεων με άλλες κατανομές έχει βρεθεί. Ιδιότητες: Μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν r 0, s 0, B(r, s) 0 u r - Επομένως, όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, ( - u) s - du 70

17 E(X k ) B(r, s) 0 x r+ k ( x) s B(r + k, s) Γ(r + k)γ(r + s) dx, B(r, s) Γ(r)Γ(r + s+ k) k 0 Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα αυτό όταν k0 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι f (x)dx 0 x Το παραπάνω αποτέλεσμα, επειδή f X (x) 0, για όλες τις τιμές x, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση f X (x) είναι μία καλώς ορισμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Θέτοντας k και k στον τύπο που προσδιορίζει την μορφή της E(X k ), έχουμε Γ(r + ) Γ(r + s) r E(X) Γ(r) Γ(r + s + ) r + s και E(X Γ(r + ) Γ(r + s) (r + )(r) ) Γ(r) Γ(r + s + ) (r + s + )(r + s) Επομένως, r rs μx E(X), σx E(X ) (μx) r + s (r + s) (r + s + ) Είναι ενδιαφέρον να παρατηρηθεί ότι αν η μεταβλητή Y έχει την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, τότε η μεταβλητή -Y έχει επίσης την κατανομή Βήτα με παραμέτρους s και r. Πράγματι, αν U Y, τότε επειδή B(r, s)b(s, r), η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της U είναι η f U (u) f Y r ( u) u ( u) B(r, s) 0, u 0, s ( u) B(s, r) s r,, αν 0 u, διαφορετικά αν 0 u, διαφορετικά 7

18 η οποία είναι ακριβώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μίας κατανομής Βήτα με παραμέτρους s και r. Σχέση μεταξύ της κατανομής Βήτα και της Διωνυμικής κατανομής Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν η τυχαία μεταβλητή Υ έχει την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r και s, όπου r και s είναι θετικοί ακέραιοι και η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n r + s και p y, τότε για 0 y, FY (y) P{r Χ r + s } F Η ιδιότητα αυτή έχει πολλές εφαρμογές. Χ (r ) Παράδειγμα: Έστω Y το ποσοστό κορεσμού διαλυμένου οξυγόνου σε ένα συγκεκριμένο σημείο ενός ποταμού. Η κατανομή της μεταβλητής Y σε καθαρό νερό ακολουθεί την κατανομή Βήτα με παραμέτρους r 3 και s. Ένα σύστημα συναγερμού για την ποιότητα του νερού ειδοποιεί όταν η παρατηρούμενη τιμή της * μεταβλητής Y πέσει κάτω από ένα συγκεκριμένο επίπεδο y. Το σύστημα αυτό δεν πρέπει να δίνει λανθασμένη ένδειξη παρουσίας μη καθαρού νερού πολύ συχνά όταν το νερό είναι στην πραγματικότητα * καθαρό. Αν y 0. 40, τότε από την παραπάνω σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις κατανομών των μεταβλητών Y και Χ και τον πίνακα της διωνυμικής κατανομής, για n και p 0.40, έχουμε P(λανθασμένο σύνθημα κινδύνου) P{Y 0.40} FY (0.40) P{3 Χ 3 + } P {Χ 3} + P{Χ 4} Αν αυτή η πιθανότητα λανθασμένου συνθήματος κινδύνου είναι * πολύ μεγάλη, η τιμή y μπορεί να ελαττωθεί. * Για y

19 P{Y 0.0} F Y (0.0) P{3 Χ 4} η οποία είναι μία ικανοποιητικά χαμηλή τιμή. 73

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να

Διαβάστε περισσότερα

II. Τυχαίες Μεταβλητές

II. Τυχαίες Μεταβλητές II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 3: Χρήσιμες Κατανομές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, και έστω ότι το P(X=x)=p Χ καθορίζει ένα τυχαίο πείραμα. Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά είναι το εξής: Τί θα συμβεί μακροπρόθεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις.

Διακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις. Διακριτές Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διακριτές Κατανομές τεχνικές 4 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν. ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων Τυχαίες Μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει έναν αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος.

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις. Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x Τμημα Επιστημης Υπολογιστων, Πανεπιστημιο Κρητης ΗΥ-7: Πιθανότητες 5ο Φροντιστήριο Επιμέλεια: Καράλας Κώστας 9 Οκτωβρίου 04 Πρόβλημα Παρακολουθείτε ένα βίντεο στο YouTube το οποίο περιέχει 0 καρέ το δευτερόλεπτο.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

14/11/2016. Στατιστική Ι. 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές)

14/11/2016. Στατιστική Ι. 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές) Στατιστική Ι 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές) 1 2 Κανονική (Gaussian) κατανομή Η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1. Πολλές τ.μ. περιγράφονται ικανοποιητικά από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα