5 o Μάθημα Έλεγχοι Υποθέσεων

Transcript

1 5 o Μάθημα Έλεγχοι Υποθέσεων 5 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ας υποθέσουμε ότι σχεδιάζονται κάποιες κυκλοφοριακές ρυθμίσεις με στόχο ο μέσος χρόνος μετακίνησης των εργαζομένων που χρησιμοποιούν το αυτοκίνητό τους από το κέντρο της πόλης έως τη βιομηχανική περιοχή να γίνει μικρότερος από 7 min Μετά την εφαρμογή των ρυθμίσεων, και με τη χρήση ενός τυχαίου δείγματος, ο μέσος χρόνος μετακίνησης για την ίδια διαδρομή εκτιμήθηκε σε Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: X 67 min Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι κυκλοφοριακές ρυθμίσεις είναι αποτελεσματικές; Δηλαδή, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ο μέσος χρόνος μετακίνησης είναι τώρα μικρότερος από 7 min; Η απάντηση δεν είναι αυτονόητη Το γεγονός ότι ένα μοναδικό δείγμα έδωσε εκτίμηση του μέσου χρόνου μετακίνησης μικρότερο από 7 min δεν αρκεί για να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα Έχουμε απλώς μια ένδειξη για τη μείωση του μέσου χρόνου μετακίνησης η οποία, σε καμία περίπτωση, δεν συνιστά απόδειξη Γιατί συμβαίνει αυτό; Σκεφτείτε ότι ένα δεύτερο δείγμα εκτιμά το μέσο χρόνο μετακίνησης σε 69 min, ένα τρίτο δείγμα τον εκτιμά σε 7 min, κοκ Διαφορετικά δείγματα, δίνουν διαφορετικές εκτιμήσεις Τί μπορούμε τώρα να πούμε για τον μέσο χρόνο μετακίνησης; Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα Έστω ότι κάνουμε μία έρευνα για το εισόδημα των εργαζομένων και μας ενδιαφέρει να εντοπίσουμε διαφορές ή ομοιότητες μεταξύ των εργαζομένων στα μεγάλα Αστικά Κέντρα και στην Επαρχία Για το σκοπό αυτό παίρνουμε δύο τυχαία δείγματα Το πρώτο δείγμα, από τα Αστικά Κέντρα εκτιμά το μέσο εισόδημα των εργαζομένων σε 75 Το δεύτερο δείγμα, από την Επαρχία, εκτιμά το μέσο εισόδημα των εργαζομένων σε 77 Μπορούμε, με βάση αυτά τα δεδομένα, να ισχυριστούμε ότι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα είναι διαφορετικό από το μέσο εισόδημα των εργαζομένων στην Επαρχία ; Η απάντηση είναι όχι, δεν μπορούμε να αποφασίσουμε Η παρατηρούμενη διαφορά μεταξύ των δύο εκτιμήσεων ( X 75 X 77 ) δεν συνεπάγεται και διαφορά μεταξύ των δύο παραμέτρων και Με την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων, καθώς και άλλων παρόμοιων, ασχολείται ο κλάδος ενός Στατιστικής που είναι γνωστός ως Επαγωγική Στατιστική (Inferential Statitic) Οι Έλεγχοι Υποθέσεων (Hypothei Teting) είναι εκείνες οι μεθοδολογίες που μας επιτρέπουν να διερευνήσουμε την ισχύ (την αλήθεια) μιας στατιστικής υπόθεσης, δηλαδή μιας πρότασης που αφορά κάποια παράμετρο ενός ή και περισσοτέρων πληθυσμών

2 64 5 ο Μάθημα 5 Η Διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων Ο έλεγχος μιας υπόθεσης στηρίζεται στην αντιπαράθεση δύο αντιφατικών προτάσεων Η μία πρόταση ονομάζεται Μηδενική Υπόθεση και συμβολίζεται με H Η άλλη πρόταση ονομάζεται Εναλλακτική (ή Ερευνητική) Υπόθεση και συμβολίζεται με H Έτσι, τελικά, επιλέγεται ως αληθής μία μόνον από τις δύο προτάσεις Κατά τη διαδικασία ενός ελέγχου υποθέσεων είναι δυνατόν να διαπράξουμε τα παρακάτω σφάλματα: ον : Να απορρίψουμε την Η, ενώ αυτή είναι αληθής Ονομάζουμε αυτό το σφάλμα, ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι ον : Να μην απορρίψουμε την Η, ενώ αυτή είναι ψευδής Ονομάζουμε αυτό το σφάλμα, ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ ΙΙ Ονομάζουμε επίπεδο σημαντικότητας, και συμβολίζουμε με το Ελληνικό γράμμα την πιθανότητα να διαπράξουμε Σφάλμα Τύπου Ι Παρόλο που επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α ανήκει στον ερευνητή, ως πλέον ενδεδειγμένη τιμή στις εφαρμογές θεωρούμε την τιμή α = 5 Να σημειώσουμε, ότι δεν είναι δυνατή η ταυτόχρονη μείωση της πιθανότητας και για τα δύο είδη σφαλμάτων Δηλαδή, όταν μειώνουμε την πιθανότητα σφάλματος Τύπου Ι τότε η πιθανότητα σφάλματος Τύπου ΙΙ αυξάνεται Αυτός είναι ο λόγος που δεν επιλέγουμε, συνήθως, πολύ μικρές τιμές για το α Μόνον σε περιπτώσεις που ο ερευνητής θεωρεί ότι το σφάλμα τύπου Ι θα είχε πολύ σοβαρές συνέπειες επιλέγει μικρό επίπεδο σημαντικότητας Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα Τύπου ΙΙ, συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα β Τέλος, η πιθανότητα να απορρίψουμε την Η όταν αυτή είναι λανθασμένη ονομάζεται δύναμη του ελέγχου και είναι ίση με γ = β Η γενική διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων περιλαμβάνει τα εξής βήματα: Βήμα ο : Καταγράφουμε τα δεδομένα και ελέγχουμε τυχόν περιορισμούς Βήμα ο : Ορίζουμε τη Μηδενική Υπόθεση H, την Εναλλακτική Υπόθεση H και Βήμα 3 ο : Βήμα 4 ο : Βήμα 5 ο : επιλέγουμε το επίπεδο σημαντικότητας (συνήθως λαμβάνουμε,5 ) Από τα δεδομένα του δείγματος ή των δειγμάτων υπολογίζουμε την τιμή του κατάλληλου στατιστικού S (χρήση τυπολογίου) Βρίσκουμε την κριτική τιμή του ελέγχου, (χρήση τυπολογίου και στατιστικού πίνακα) Συγκρίνουμε την τιμή του στατιστικού με την κριτική τιμή και παίρνουμε την απόφαση, με τη χρήση του παρακάτω κανόνα: Αν S Κριτική Τιμή τότε η Μηδενική Υπόθεση H απορρίπτεται, και γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση H Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση H δεν μπορεί να απορριφθεί Μαρίνα Σύρπη

3 Έλεγχοι Υποθέσεων 65 Η γενική διαδικασία Ελέγχου Υποθέσεων εξειδικεύεται για κάθε περίπτωση ξεχωριστά 53 Έλεγχοι Υποθέσεων για τη μέση τιμή ενός Πληθυσμού 53 Αμφίπλευρος Έλεγχος Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου Μέγεθος Δείγματος: n Περιορισμός: Για μικρά δείγματα n 3 απαιτείται Κανονικότητα προκειμένου να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης Δειγματική Μέση Τιμή: Χ Δειγματική Διασπορά: Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Η : μ = μ «ΔΕΝ ισχύει η H» Η : μ μ «Η μέση τιμή είναι διαφορετική της (δοσμένης) τιμής» Επιλέγουμε:, 5 Στατιστικό Ελέγχου X S n Κριτική Τιμή του Ελέγχου Για μεγάλα δείγματα n 3 η κριτική τιμή είναι Για μικρά δείγματα n 3 η κριτική τιμή είναι η t Z a a ; n Απόφαση Αν S της Κριτικής Τιμής Z ή t n τότε η Μηδενική Υπόθεση H ; απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση H Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H Διαφορετικά, η Μηδενική Υπόθεση H δεν μπορεί να απορριφθεί Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H Σημειώσεις Στατιστικής

4 66 5 ο Μάθημα 53 Μονόπλευροι Έλεγχοι Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου Μέγεθος Δείγματος: n Περιορισμός: Για μικρά δείγματα n 3 απαιτείται Κανονικότητα προκειμένου Υπόθεσης Δειγματική Μέση Τιμή: Χ Δειγματική Διασπορά: να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Η : μ = μ «ΔΕΝ ισχύει η H» Η : μ > μ «Η μέση τιμή είναι μεγαλύτερη της (δοσμένης) τιμής» ή Η : μ = μ «ΔΕΝ ισχύει η H» Η : μ < μ «Η μέση τιμή είναι μικρότερη της (δοσμένης) τιμής» Και για τις περιπτώσεις, επιλέγουμε:,5 Στατιστικό Ελέγχου X S n Κριτική Τιμή του Ελέγχου Για μεγάλα δείγματα n 3 η κριτική τιμή είναι Z a Για μικρά δείγματα n 3 η κριτική τιμή είναι η t ; n Απόφαση Αν S Κριτική Τιμή Z ή t ; n γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση H τότε η Μηδενική Υπόθεση H απορρίπτεται και Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση H δεν μπορεί να απορριφθεί Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια της Υπόθεσης Η Μαρίνα Σύρπη

5 Έλεγχοι Υποθέσεων 67 Παράδειγμα Σε κάποια πόλη, ο μέσος χρόνος μετακίνησης των εργαζομένων που χρησιμοποιούν το αυτοκίνητό τους από το κέντρο της έως τη βιομηχανική της περιοχή είναι 7 min Οι συγκοινωνιολόγοι μελέτησαν και εφάρμοσαν κάποιες νέες κυκλοφοριακές ρυθμίσεις με στόχο ο μέσος χρόνος μετακίνησης να μειωθεί Μετά από 3 μήνες, και με τη χρήση ενός τυχαίου δείγματος μεγέθους n = 5, διαπιστώθηκε ότι ο χρόνος μετακίνησης των εργαζομένων ακολουθεί Κανονική Κατανομή και υπολογίστηκαν X = 67 min και = 5 min X 67 : «Ο μέσος χρόνος μετακίνησης εκτιμάται σε 67 min» Καθώς X 67 7, υπάρχουν ενδείξεις ότι ο μέσος χρόνος μετακίνησης άλλαξε και είναι τώρα μικρότερος από τα 7 min Έτσι, ως Ερευνητικές Υποθέσεις, μπορούμε να θέσουμε τα παρακάτω ερωτήματα: ( α ) Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης διαφορετικός από 7 min; ( β ) Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης μικρότερος από 7 min; Θα πρέπει, στο σημείο αυτό, να επισημάνουνε ότι τα ερωτήματα που θέτουμε προς διερεύνηση στη Στατιστική υποδεικνύονται από τα ευρήματα που έχουμε στη διάθεσή μας, και όχι από αυτό που μας ενδιαφέρει να μάθουμε!! Αν, για παράδειγμα, είχε υπολογιστεί X 73 7 το ερώτημα (β) δεν θα ήταν πλέον ένα έγκυρο ερώτημα, καθώς αυτό θα ήταν ενάντια στις ενδείξεις Λύση Η μορφή της ερώτησης που θέτουμε καθορίζει την επιλογή του ζεύγους των υποθέσεων, με την Υπόθεση H να αντιστοιχεί σε αυτό που ρωτάμε Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Διαφέρει ο μέσος» ή «Είναι διαφορετικός ο μέσος» από μία δεδομένη τιμή» λαμβάνουμε ως εναλλακτική την : H : (Έλεγχος αμφίπλευρος) Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μεγαλύτερος από μία δεδομένη τιμή» λαμβάνουμε ως εναλλακτική την: H : (Έλεγχος μονόπλευρος) Σημειώσεις Στατιστικής

6 68 5 ο Μάθημα Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μικρότερος από μία δεδομένη τιμή» λαμβάνουμε ως εναλλακτική την: H : (Έλεγχος μονόπλευρος) Σε κάθε περίπτωση, η μηδενική υπόθεση αντιστοιχεί στην πρόταση «ΔΕΝ ισχύει η H» ( α ) «Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης διαφορετικός από τα 7 min;» Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου n 5 3 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική, επομένως μπορούμε να X 67 5 προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Επιλέγεται αμφίπλευρος έλεγχος με εναλλακτική H : σημαντικότητας, 5 και επίπεδο H : 7 «ΔΕΝ ισχύει η H» H : 7 «Ο μέσος χρόνος μετακίνησης είναι διαφορετικός από 7 min» ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στον αμφίπλευρο έλεγχο, η εναλλακτική υπόθεση είναι πάντα η :, και το ερώτημα είναι πάντα εάν η μέση τιμή είναι διαφορετική από έναν δοσμένο αριθμό Στατιστικό Ελέγχου X S n 5 5 Κριτική Τιμή του Ελέγχου Το δείγμα μας είναι μικρό (n = 5 <3), επομένως θα πάρουμε την κριτική τιμή από τον πίνακα της t κατανομής t t t 64 a 5 5; 4 ; n ; 5 Μαρίνα Σύρπη

7 Έλεγχοι Υποθέσεων 69 Απόφαση Επειδή S , η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5, συμπεραίνουμε ότι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ διαφορετικός από 7 min ( β ) Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης μικρότερος από 7 min; Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου n 5 3 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική, επομένως μπορούμε να X 67 5 προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Επιλέγεται μονόπλευρος έλεγχος με Η : μ < 7 και επίπεδο σημαντικότητας α = 5 Η : μ = 7 «ΔΕΝ ισχύει η H» Η : μ < 7 «Ο μέσος χρόνος μετακίνησης είναι μικρότερος από 7 min» Στατιστικό Ελέγχου X S n 5 5 Κριτική Τιμή του Ελέγχου Το δείγμα μας είναι μικρό (n = 5 <3), επομένως θα πάρουμε την κριτική τιμή από τον πίνακα της t κατανομής: t ; t5; 5 t5; 4 7 Απόφαση a n Επειδή S η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος μετακίνησης μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ μικρότερος από 7 min Σημειώσεις Στατιστικής

8 7 5 ο Μάθημα Παράδειγμα Μια μεγάλη αυτοκινητοβιομηχανία, ισχυρίζεται ότι το νέο οικονομικό μοντέλο αυτοκινήτου που πρόκειται να κυκλοφορήσει στην αγορά καταναλώνει, κατά μέσο όρο, λιγότερο από lit βενζίνης/ km Για να ελεγχθεί ο ισχυρισμός της, έγιναν 9 δοκιμές οι οποίες απέδωσαν μέση κατανάλωση lit/ km και τυπική απόκλιση lit/ km Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο έλεγχο υποθέσεων, για επίπεδο σημαντικότητας α = 5 ελέγξτε τον παραπάνω ισχυρισμό, υποθέτοντας Κανονική Κατανομή για την κατανάλωση της βενζίνης Λύση Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου n 9 3 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική, επομένως μπορούμε να Χ = = προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Θέλουμε να ελέγξουμε αν η μέση κατανάλωση βενζίνης είναι μικρότερη από lit/ km Επιλέγουμε μονόπλευρο έλεγχο, με εναλλακτική Η : μ < και επίπεδο σημαντικότητας α = 5 Η : μ = «ΔΕΝ ισχύει η H» Η : μ < «Η μέση κατανάλωση βενζίνης είναι μικρότερη από lit/ Km» Στατιστικό Ελέγχου X S 5 n 9 3 Κριτική Τιμή του Ελέγχου Το δείγμα μας είναι μικρό (n = 9 <3), επομένως θα πάρουμε την κριτική τιμή από τον πίνακα της t κατανομής: t ; t5; 9 t5; 8 86 a n Απόφαση Επειδή S και η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5, συμπεραίνουμε ότι η μέση κατανάλωση βενζίνης του νέου μοντέλου, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, ΔΕΝ είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ μικρότερη από lit/ km Μαρίνα Σύρπη

9 Έλεγχοι Υποθέσεων 7 Ασκήσεις Ο μέσος χρόνος αποστολής/ παραλαβής των ηλεκτρονικών μηνυμάτων ενός erver είναι 3 ec Μετά από κάποιες παρεμβάσεις στο σύστημα και από ένα τυχαίο δείγμα μηνυμάτων, υπολογίστηκαν ο δειγματικός μέσος X 8 ec και η δειγματική τυπική απόκλιση σε ec Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5 να ελέγξετε αν μετά τις παρεμβάσεις ο μέσος χρόνος αποστολής/παραλαβής των ηλεκτρονικών μηνυμάτων έχει αλλάξει Ο χρόνος απασχόλησης απασχόληση των εργαζομένων στον Ιδιωτικό Τομέα ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με μέσο 45 h/εβδομάδα Από 6 υπαλλήλους μιας Εταιρείας Α που επελέγησαν τυχαία, υπολογίστηκαν ο δειγματικός μέσος σε X 46 h/εβδομάδα η δειγματική τυπική απόκλιση σε h/εβδομάδα Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5 να ελέγξετε αν η μέση εβδομαδιαία απασχόληση των υπαλλήλων Εταιρείας Α, υπερβαίνει τις 45 h την εβδομάδα 3 Οι μέσες ετήσιες αποδοχές των εργατών στη Βιομηχανία είναι 5 / έτος Στις διαπραγματεύσεις για τη νέα συλλογική σύμβαση το συνδικάτο των εργατών θεωρεί ότι η προτεινόμενη από τους εργοδότες νέα μισθοδοσία θα οδηγήσει σε μείωση των αποδοχών τους Για τον έλεγχο του παραπάνω ισχυρισμού πάρθηκε ένα τυχαίο δείγμα 4 εργαζομένων από όλη τη χώρα από το οποίο, βάσει της νέας μισθοδοσίας, υπολογίστηκαν X 45 και 5 Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5, να ελέγξετε τον ισχυρισμό του συνδικάτου 4 Η διάρκεια ζωής των μπαταριών μάρκας Α ακολουθεί την Κανονική Κατανομή Από ένα τυχαίο δείγμα 5 μπαταριών, υπολογίστηκαν X 45 h και 5h Μια εταιρεία θέτει ως προδιαγραφή για την αγορά μπαταριών μέση διάρκεια ζωής τουλάχιστον 4 h Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, να ελέγξετε αν η μέση διάρκεια ζωής των μπαταριών μάρκας Α είναι μεγαλύτερη από 4 h 5 Ένας υποψήφιος επενδυτής θέλει να αποφασίσει για την ενοικίαση ενός περιπτέρου σε ένα συγκεκριμένο πολυσύχναστο σημείο Από παλαιότερη εμπειρία γνωρίζει ότι η ενοικίαση θα είναι συμφέρουσα αν ο μέσος αριθμός των διερχομένων από το σημείο είναι μεγαλύτερος από το λεπτό Επιλέγοντας τυχαία 36 διαφορετικά λεπτά, βρήκε ότι ο αριθμός των διερχομένων ακολουθεί Κανονική Κατανομή και υπολογίστηκαν X άτομα/min και 5 άτομα/min 5 Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5 να ελέγξετε αν η ενοικίαση του περιπτέρου είναι συμφέρουσα Σημειώσεις Στατιστικής

10 7 5 ο Μάθημα 54 Έλεγχοι Υποθέσεων για τη Διαφορά των Μέσων Τιμών Δύο Πληθυσμών Πληθυσμοί Κανονικοί Διασπορές Άγνωστες Δείγματα Ανεξάρτητα και Μεγάλα (n, n 3) 54 Αμφίπλευρος Έλεγχος Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου ΔΕΙΓΜΑ ΔΕΙΓΜΑ Μέγεθος δείγματος n Μέγεθος δείγματος n Δειγματική Μέση Τιμή X Δειγματική Μέση Τιμή X Δειγματική Διακύμανση Δειγματική Διακύμανση Περιορισμοί: Και τα δείγματα πρέπει να είναι μεγάλα, δηλαδή n, n 3, και επιπλέον να υπάρχει Κανονικότητα των πληθυσμών προκειμένου να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας : : Επιλέγουμε:, 5 Στατιστικό Ελέγχου X X Το στατιστικό του ελέγχου είναι το S n n Κριτική Τιμή του Ελέγχου H κριτική τιμή του ελέγχου είναι Απόφαση Αν S Z Z a τότε η Μηδενική Υπόθεση H απορρίπτεται και γίνεται δεκτή Εναλλακτική Υπόθεση H Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H η Διαφορετικά, η Μηδενική Υπόθεση H δεν μπορεί να απορριφθεί Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H Μαρίνα Σύρπη

11 Έλεγχοι Υποθέσεων Μονόπλευροι Έλεγχοι Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου ΔΕΙΓΜΑ ΔΕΙΓΜΑ Μέγεθος δείγματος n Μέγεθος δείγματος n Δειγματική Μέση Τιμή X Δειγματική Μέση Τιμή X Δειγματική Διακύμανση Δειγματική Διακύμανση Περιορισμοί: Και τα δείγματα πρέπει να είναι μεγάλα, δηλαδή n, n 3, και επιπλέον να υπάρχει Κανονικότητα των πληθυσμών προκειμένου να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας : : ή : : Επιλέγουμε:, 5 Στατιστικό Ελέγχου X X Το στατιστικό του ελέγχου είναι το S n n Κριτική Τιμή του Ελέγχου H κριτική τιμή του ελέγχου είναι Z Απόφαση Αν S Z τότε η Μηδενική Υπόθεση H απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση H Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H Διαφορετικά, η Μηδενική Υπόθεση H δεν μπορεί να απορριφθεί Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης H Σημειώσεις Στατιστικής

12 74 5 ο Μάθημα Παράδειγμα 3 Διεξήχθη μία έρευνα για το εισόδημα των εργαζομένων στον Ιδιωτικό Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα και στην Επαρχία Για το σκοπό αυτό πάρθηκαν δύο τυχαία δείγματα, και τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα ΔΕΙΓΜΑ (Αστικά Κέντρα) ΔΕΙΓΜΑ (Επαρχία) n 5 n 7 X 75 X 77 Κατανομή: Κανονική Κατανομή: Κανονική ( α ) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα διαφορετικό από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία; ( β ) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα μικρότερο από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία; Λύση Όπως και στην περίπτωση των ελέγχων υποθέσεων για τον μέσο ενός πληθυσμού, η μορφή της ερώτησης που θέτουμε καθορίζει την επιλογή του ζεύγους των υποθέσεων Έτσι, αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Διαφέρει ο μέσος μ από τον μέσο μ» επιλέγουμε τον αμφίπλευρο έλεγχο Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μ μεγαλύτερος από τον μέσο μ» επιλέγουμε μονόπλευρο έλεγχο, με εναλλακτική Η : μ > μ Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μ μικρότερος από τον μέσο μ» επιλέγουμε μονόπλευρο έλεγχο, με εναλλακτική Η : μ < μ Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου Από τα στοιχεία που δίνονται παραπάνω, παρατηρούμε ότι και τα δύο δείγματα είναι μεγάλα και επίσης οι πληθυσμοί ακολουθούν την Κανονική Κατανομή Επομένως, μπορούμε να προχωρήσουν στη διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων (α) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα διαφορετικό από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία; Μαρίνα Σύρπη

13 Έλεγχοι Υποθέσεων 75 Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Επιλέγεται αμφίπλευρος έλεγχος και επίπεδο σημαντικότητας α = 5 : : Στατιστικό Ελέγχου S X X n n Κριτική Τιμή του Ελέγχου Z z Z 96 a 5 5 Απόφαση Επειδή S 96 η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5, συμπεραίνουμε ότι ο το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα Αστικά Κέντρα, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ διαφορετικό από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία ( β ) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα μικρότερο από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία; Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας Επιλέγεται μονόπλευρος έλεγχος με Η : μ < μ και επίπεδο σημαντικότητας α = 5 : : Στατιστικό Ελέγχου S X X n n Σημειώσεις Στατιστικής

14 76 5 ο Μάθημα Κριτική Τιμή του Ελέγχου Za Z 5 65 Απόφαση Επειδή S 96 η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 5, συμπεραίνουμε ότι ο το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα Αστικά Κέντρα, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ μικρότερο από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία Μαρίνα Σύρπη

15 Έλεγχοι Υποθέσεων 77 Ασκήσεις 6 Ο υπεύθυνος ενός Super Market που προμηθεύεται συσκευασίες καφέ των gr από δύο διαφορετικά εργοστάσια Α και Β, θέλει να ελέγξει αν το μέσο βάρος των συσκευασιών που προέρχονται από τα δύο εργοστάσια είναι διαφορετικό Για το σκοπό αυτό επέλεξε τυχαία 5 συσκευασίες από το κάθε εργοστάσιο και μέτρησε το βάρος τους Ο δειγματικός μέσος για το βάρος των συσκευασιών του εργοστασίου Α υπολογίστηκε σε gr και η δειγματική τυπική απόκλιση σε gr Ο δειγματικός μέσος για το βάρος των συσκευασιών του εργοστασίου Β υπολογίστηκε σε gr και η δειγματική τυπική απόκλιση σε gr Με την προϋπόθεση ότι το βάρος των συσκευασιών ακολουθεί την Κανονική Κατανομή, ο υπεύθυνος έκανε έλεγχο με επίπεδο σημαντικότητας α = 5 Ποιό ήταν το συμπέρασμά του; (Δίνεται: 3 ) 7 Δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους επιλέχτηκαν από άτομα που ασκούν καθιστικό και μη καθιστικό επάγγελμα, για να συγκριθεί το μέσο επίπεδο λιποπρωτεΐνης υψηλής πυκνότητας Τα αποτελέσματα συνοψίζονται ως εξής: Καθιστικό Επάγγελμα Μη Καθιστικό Επάγγελμα n n X 55 X 47 3 Να εξεταστεί αν το μέσο επίπεδο λιποπρωτεΐνης υψηλής πυκνότητας είναι υψηλότερο στα άτομα που ασκούν καθιστικό επάγγελμα (Δίνεται: 69 6 ) 8 Δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους επιλέχτηκαν από άνδρες και γυναίκες ηλικίας 4 59 ετών για να συγκριθεί η επίδραση ενός υπνωτικού χαπιού στα δύο φύλα Καταγράφηκε ο αριθμός των ωρών, που κοιμήθηκαν τα επιμέρους άτομα μετά τη λήψη του χαπιού και τα αποτελέσματα συνοψίζονται ως εξής: Γυναίκες Άνδρες n n X 7 X Να εξεταστεί αν η επίδραση του υπνωτικού χαπιού στις γυναίκες άνδρες μικρότερη από ότι στους άνδρες (Δίνεται 6 4 ) είναι Σημειώσεις Στατιστικής

16 78 5 ο Μάθημα 55 Λυμένες Ασκήσεις στα Διαστήματα Εμπιστοσύνης και τους Ελέγχους Υποθέσεων Από ένα δείγμα 5 ποτιστικών μηχανημάτων που χρησιμοποιούνται στα πάρκα της πόλης Α και επελέγησαν τυχαία για να μετρήσουμε τη διάρκεια λειτουργίας τους, βρέθηκε X 5 έτη και έτη ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; ( β ) Με την προϋπόθεση ότι η διάρκεια λειτουργίας ακολουθεί την Κανονική Κατανομή, να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για τη μέση διάρκεια λειτουργίας των παραπάνω ποτιστικών μηχανημάτων ( γ ) Ο Δήμαρχος της πόλης ισχυρίζεται ότι τα μηχανήματα δεν είναι ανθεκτικά, καθώς η μέση διάρκεια λειτουργίας τους φαίνεται να είναι μικρότερη από τα 6 έτη Σε επίπεδο σημαντικότητας 5, να ελέγξετε τον ισχυρισμό του Δημάρχου Λύση ( α ) Μεταβλητή: Διάρκεια λειτουργίας (σε έτη) Πληθυσμός: Τα ποτιστικά μηχανήματα στα πάρκα της πόλης Α ( β ) X 5,, 5, n 5 3 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική t t t 5 ; ;5 5;4 64 n Επομένως, το 95% δε του μέσου είναι t n 5 5 a ; n , 5 8 Με πιθανότητα σφάλματος 5, εκτιμούμε ότι η μέση διάρκεια λειτουργίας των ποτιστικών μηχανημάτων στα πάρκα της πόλης Α βρίσκεται εντός των ορίων 4 έτη και 58 έτη ( γ ) X 5,, 5, n 5 3 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού : 6 : 6 X 56 5 S 5 n 5 5 Κριτική Τιμή: t ; t5 ;5 t4;5 7 n a Μαρίνα Σύρπη

17 Έλεγχοι Υποθέσεων 79 S και η απορρίπτεται Σε επίπεδο σημαντικότητας 5, συμπεραίνουμε ότι η μέση διάρκεια λειτουργίας των ποτιστικών μηχανημάτων στα πάρκα της πόλης Α, στατιστικά, είναι σημαντικά μικρότερη από τα 6 έτη Επομένως, ο ισχυρισμός του Δημάρχου είναι βάσιμος Από ένα δείγμα 6 μπουκαλιών εμφιαλωμένου νερού της μάρκας Α, που επελέγησαν τυχαία για να μετρήσουμε τον όγκο του νερού, βρέθηκε ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; X 995 ml και ml ( β ) Με την προϋπόθεση ότι ο όγκος του νερού ακολουθεί την Κανονική Κατανομή, να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο όγκο νερού των μπουκαλιών της μάρκας Α ( γ ) Ο υπεύθυνος προμηθειών ενός εστιατορίου αποφάσισε να μην αγοράσει εμφιαλωμένα νερά της μάρκας Α καθώς, όπως ισχυρίζεται, ο μέσος όγκος είναι μικρότερος από τα ml που αναγράφεται στην ετικέτα της συσκευασίας Σε επίπεδο σημαντικότητας 5, να ελέγξετε τον ισχυρισμό του υπεύθυνου προμηθειών Λύση ( α ) Μεταβλητή: Όγκος νερού (σε ml) Πληθυσμός: Τα μπουκάλια της μάρκας Α ( β ) X 995,, 5, n 6 3 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική t t t 5 ; ;6 5;5 3 n Επομένως, το 95% δε του μέσου είναι t n 6 4 a ; n , 996 Με πιθανότητα σφάλματος 5, εκτιμούμε ότι ο μέσος όγκος νερού των μπουκαλιών της μάρκας Α βρίσκεται εντός των ορίων 994 ml και 996 ml ( γ ) Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού : : Σημειώσεις Στατιστικής

18 8 5 ο Μάθημα X S n 6 4 Κριτική Τιμή: t ; t6 ;5 t6;5 753 n a S 753 και η απορρίπτεται Σε επίπεδο σημαντικότητας 5 συμπεραίνουμε ότι o μέσος όγκος νερού στα μπουκάλια της μάρκας Α, στατιστικά, είναι σημαντικά μικρότερος από τα ml Επομένως, ο ισχυρισμός του υπεύθυνου προμηθειών είναι βάσιμος 3 Μια εταιρεία τηλεφωνικών πωλήσεων εξετάζει το χρόνο εξυπηρέτησης των πελατών της από τους πωλητές της Από ένα δείγμα 36 πωλητών, βρέθηκε ότι ο δειγματικός μέσος ήταν 4 min, και η δειγματική τυπική απόκλιση min ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; ( β ) Nα βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο χρόνο εξυπηρέτησης των πελατών ( γ ) Ο υπεύθυνος του προσωπικού ισχυρίζεται ότι η εταιρεία έχει τους ταχύτερους πωλητές, καθώς ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών είναι μικρότερος των 5 min, που είναι ο συνηθισμένος μέσος χρόνος εξυπηρέτησης άλλων αντίστοιχων εταιρειών Σε επίπεδο σημαντικότητας 5, να ελέγξετε τον ισχυρισμό του υπεύθυνου Λύση ( α ) Μεταβλητή: Χρόνος Εξυπηρέτησης (σε min) Πληθυσμός: Οι πωλητές της εταιρείας ( β ) X 4,, 5, n 36 3μεγάλο δείγμα Z Επομένως, το 95% δε του μέσου είναι Z n 36 6 a , 433 Με πιθανότητα σφάλματος 5, εκτιμούμε ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών βρίσκεται εντός των ορίων 367 min και 433 min ( γ ) Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού : 4 : 4 Μαρίνα Σύρπη

19 Έλεγχοι Υποθέσεων 8 X 4 5 S 6 n 36 6 Κριτική Τιμή: Z Z5 65 a S και η απορρίπτεται Σε επίπεδο σημαντικότητας 5 συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών, στατιστικά, είναι σημαντικά μικρότερος από τα 4 min Επομένως, ο ισχυρισμός του υπεύθυνου του προσωπικού είναι βάσιμος 4 Από ένα δείγμα τυχαία επιλεγμένων σημείων της ΒΙΠΕΘ, υπολογίστηκαν ο δειγματικός μέσος του πλήθους των αιωρούμενων σωματιδίων σε 9 σωματίδια/lit και η δειγματική τυπική απόκλιση σε 5 σωματίδια/lit Παρόμοιες με τις παραπάνω μετρήσεις έγιναν και σε τυχαία επιλεγμένα σημεία των αγροτικών περιοχών του νομού Θεσσαλονίκης Οι μετρήσεις έδωσαν, δειγματικό μέσο 49 σωματίδια/lit και δειγματική τυπική απόκλιση 5 σωματίδια/ lit Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων σωματιδίων στην ΒΙΠΕΘ είναι μεγαλύτερο από ότι στις αγροτικές περιοχές του νομού; (Δίνεται ) Λύση Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο υπόθεσης για τη σύγκριση των μέσων τιμών δύο πληθυσμών ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ : : ΒΙΠΕΘ Αγροτικές Περιοχές n n X 9 X S X X , n n Κριτική Τιμή: Z Z 5, 65 Σημειώσεις Στατιστικής

20 8 5 ο Μάθημα S,65 και η απορρίπτεται Σε επίπεδο σημαντικότητας 5, συμπεραίνουμε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων σωματιδίων στη ΒΙΠΕΘ, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερο από ότι στις αγροτικές περιοχές Μαρίνα Σύρπη

21 Έλεγχοι Υποθέσεων Γενικές Ασκήσεις στα Διαστήματα Εμπιστοσύνης και τους Ελέγχους Υποθέσεων Σε ένα εργοστάσιο, από ένα δείγμα 5 εργατών βρέθηκε ότι ο χρόνος που κάνουν για να ολοκληρώσουν μια συγκεκριμένη εργασία ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με X 3 min και 3 min ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο χρόνο ολοκλήρωσης της εργασίας ( γ ) Σύμφωνα με τα πρότυπα, ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας είναι 7 min Να ελέγξετε αν o μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας στο παραπάνω εργοστάσιο υπερβαίνει τα πρότυπα Από ένα δείγμα 6 τυχαία επιλεγμένων μηχανών σε ένα εργοστάσιο, βρέθηκε ότι ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας συγκεκριμένης εργασίας ακολουθεί την Κανονική Κατανομή και υπολογίστηκαν X 7ec και 4ec ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο χρόνο ολοκλήρωσης της εργασίας ( γ ) Ο ιδιοκτήτης γνωρίζει ότι θα πρέπει να προχωρήσει σε ανανέωση των μηχανών αν ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας υπερβαίνει τα 5 ec Να ελέγξετε αν ο ιδιοκτήτης πρέπει να προχωρήσει στην ανανέωση των μηχανών 3 Από ένα δείγμα 6 βιομηχανιών στην περιοχή της Αττικής βρέθηκε ότι η ημερήσια κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με και 5 KWh ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; X KWh ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 9% διάστημα για τη μέση ημερήσια κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας από τις βιομηχανίες στην Αττική ( γ ) Η ΔΕΗ σχεδιάζει την εγκατάσταση μιας νέας μονάδας παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στην Αττική Η μονάδα αυτή θα είναι συμφέρουσα μόνον αν η μέση ημερήσια κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας από τις βιομηχανίες υπερβαίνει τις 95 KWh Να ελέγξετε αν η εγκατάσταση μιας νέας μονάδας θα είναι συμφέρουσα 4 Ένας δάσκαλος, θέλησε να ελέγξει εάν ο μέσος χρόνος για την επίλυση ενός συγκεκριμένου μαθηματικού προβλήματος είναι διαφορετικός για τα αγόρια και τα κορίτσια Επέλεξε τυχαία αγόρια και κορίτσια και μέτρησε το χρόνο (σε min) που χρειάστηκαν για να λύσουν το πρόβλημα και πήρε τα παρακάτω αποτελέσματα Αγόρια Κορίτσια n 36 n 36 X 6,3 X 6, 3 Να διεξαχθεί ο κατάλληλος έλεγχος υποθέσεων, προκειμένου να διαπιστωθεί εάν ο μέσος χρόνος επίλυσης του προβλήματος είναι διαφορετικός ανάμεσα στα αγόρια και τα κορίτσια Σημειώσεις Στατιστικής