ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

Transcript

1 1 Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών το Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (1998). Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Περιοδικό, Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών, Τεύχος 3. Περιοδική έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. σσ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή αρχικά γίνεται μια ιστορική περιγραφή της διδασκαλίας του αριθμού στην Α τάξη του δημοτικού στην Ελλάδα με σκοπό την κριτική ορισμένων σημείων της σημερινής διδασκαλίας. Τα βασικά ερωτήματα που θα μας απασχολήσουν είναι τα εξής: Ποιες από τις επιρροές της Πιαζετιανής λογικής στη διδασκαλία του αριθμού τίθενται σήμερα σε αμφισβήτηση; Ποιες είναι οι προϋπάρχουσες αριθμητικές γνώσεις των μαθητών και πως αυτοί μαθαίνουν; Με βάση τα σύγχρονα επιστημονικά δεδομένα από τη διδακτική των μαθηματικών, την Ψυχολογία και τις εμπειρικές έρευνες από το διεθνή χώρο και την Ελλάδα, θα προσπαθήσουμε να καταγράψουμε τις βασικές κατευθυντήριες γραμμές για μια πιο σύγχρονη και αποτελεσματική διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Ι. ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Εξετάζοντας τα αναλυτικά προγράμματα της Α τάξης του Δημοτικού Σχολείου από την αρχή του αιώνα μας μέχρι σήμερα, σχετικά με τους αριθμούς και τις αριθμητικές πράξεις, μπορούμε να διαχωρίσουμε δύο περιόδους, με τομή τη δεκαετία 1980, όταν για πρώτη φορά πραγματοποιήθηκε η συγγραφή και η κυκλοφορία των σχολικών βιβλίων του δημοτικού στα Μαθηματικά (βιβλίο του δασκάλου και του μαθητή). Δεν πρόκειται να κάνουμε μια λεπτομερή και συγκριτική ανάλυση, ως προς το περιεχόμενο, των διαφόρων προγραμμάτων του αιώνα μας, αλλά θα προσπαθήσουμε να σκιαγραφήσουμε τις γενικές γραμμές και τις αντιλήψεις της διδασκαλίας των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Αυτό θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε καλύτερα τη σημερινή κατάσταση και την αναγκαιότητα για πιθανές αλλαγές των προγραμμάτων και γενικότερα της διδασκαλίας. Πρώτη περίοδος: εμπειρική διδασκαλία των αριθμών Από την αρχή του αιώνα μας (αναλυτικό πρόγραμμα του 1913) μέχρι τη δεκαετία του 1980, τα περιεχόμενα της διδασκαλίας του αριθμού και των πράξεων παραμένουν σχετικά σταθερά και αμετάβλητα, την οποία θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια. Στην εξέτασή μας παίρνουμε ως συγκριτικές αναφορές τα αναλυτικά προγράμματα του 1913 και του Καταρχήν θα πρέπει να κάνουμε μια γενική παρατήρηση για την έκταση των αριθμών που διδάσκονται σε κάθε τάξη. Από το 1894, όταν εκδόθηκε το πρώτο νομοθετικά κατοχυρωμένο Αναλυτικό Πρόγραμμα για το τετρατάξιο Δημοτικό Σχολείο, και μέχρι σήμερα, στην Α τάξη διδάσκονται οι αριθμοί από το 1 μέχρι το 20,

2 2 στη Β τάξη από το 1 μέχρι το 100 και στη Γ τάξη από το 1 μέχρι το Ένα άλλο στοιχείο δομής του περιεχομένου των προγραμμάτων, το οποίο μένει αναλλοίωτο σε όλη τη διάρκεια της ιστορίας της ελληνικής πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης μέχρι σήμερα είναι ότι, για να εισαχθούν οι αριθμοί στους μαθητές, διαχωρίζονται πάντοτε και διδάσκονται ξεχωριστά τρεις ομάδες αριθμών ανάλογα με το μέγεθός τους. Την πρώτη ομάδα αποτελούν οι αριθμοί 1-5 (ή 0-5 ανάλογα με το πρόγραμμα), τη δεύτερη οι αριθμοί 1-10 (ή 5-10) και την τρίτη οι αριθμοί (ή 11-20). Την περίοδο αυτή μπορούμε να την χαρακτηρίσουμε ως περίοδος εμπειρικής διδασκαλίας των αριθμών μέσω διαφόρων υλικών αντικειμένων. Έτσι η χαρακτηριστική έννοια η οποία χρησιμοποιείται στα προγράμματα της περιόδου αυτής είναι αισθητοποίησις των αριθμών. Στο αναλυτικό πρόγραμμα του 1969 π.χ. διαβάζουμε: Μ έ σ α α ι σ θ η τ ο π ο ι ή σ ε ω ς: Το αριθμητήριον, τά δάκτυλα των χειρων και διάφορα ευχρηστα αντικείμενα (ξυλάρια, χάλικες, οσπρια κ.τ.λ.), Αισθητοποίησις καί γραφή των αριθμων 0-5 κατά τρόπον αποδεικνύοντα την γένεσιν του επομένου διά της προσθήκης μιας μονάδος. Αρίθμησις ανιουσα καί κατιουσα ανά 1, μέ εκμάθησιν καί γραφήν των συμβόλων προσθέσεως καί αφαιρέσεως... Την περίοδο αυτή παρατηρούμε ότι διδάσκεται η αισθητοποίηση και η γραφή των αριθμών χωριστά κάθε φορά σύμφωνα με τις τρεις ομάδες αριθμών στις οποίες αναφερθήκαμε παραπάνω. Σύμφωνα με την πρακτική αυτή κάθε αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο με την πρόσθεση μιας μονάδας. Για κάθε ομάδα αριθμών διδάσκεται η ευθεία και η αντίστροφη αρίθμηση ανά 1, ανά 2, 3, 4 και 5 ανάλογα με το μέγεθος των αριθμών κάθε φορά. Εισάγεται αμέσως η γραφή των αριθμών καθώς και των συμβόλων των τεσσάρων πράξεων. Σε κάθε μια από τις τρεις ομάδες αριθμών διδάσκονται αμέσως προφορικά και γραπτά (με τα σύμβολά τους) οι αντίστοιχες προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις. Τα διάφορα αυτά αθροίσματα, διαφορές, πολλαπλάσια και διαιρέσεις των αριθμών ανά δύο από το 1 μέχρι το 20 διδάσκονται προφορικά και γραπτά στους μαθητές με στόχο την άμεση απομνημόνευσή τους. Δεύτερη περίοδος: διδασκαλία της έννοιας του αριθμού Το 1969 εμφανίζονται για πρώτη φορά στο αναλυτικό πρόγραμμα της ΣΤ τάξης του Δημοτικού Σχολείου τα σύνολα. Το πρώτο μάλιστα μέρος της διδακτέας ύλης της Αριθμητικής είναι αφιερωμένο στη διδασκαλία στοιχείων των συνόλων. 1. Περί συνόλων Έννοια και απλα παραδείγματα. Τό μονομελές, το διμελές, το κενόν, σύνολον. Συμβολισμοί αυτων. Σύνολον μέ περισσότερα στοιχεια. Καθορισμός και συμβολισμός αυτου. Παραδείγματα. Ένωσις δύο συνόλων. Παραδείγματα. Πληθος στοιχείων καί πληθικός αριθμός συνόλου. Στην Α τάξη στο πρόγραμμα του καθώς και στην αναθεώρησή του το εμφανίζονται για πρώτη φορά οι όροι: προμαθηματικές έννοιες, ταξινόμηση αντικειμένων και σύνολο αντικειμένων. Έτσι στο αναλυτικό πρόγραμμα του 1981 η περιγραφή της διδακτέας ύλης της Α τάξης ξεκινάει ως εξής: 1. Σχηματισμός συνόλων, σύγκριση καί διάταξη συνόλων. 2. Άσκηση των μαθητων στήν αρίθμηση των στοιχείων των συνόλων. Τα προγράμματα όμως αυτά, παρά τις αναφορές στα σύνολα των αριθμών και τις προμαθηματικές έννοιες (αναφορά μόνο στην εισαγωγή και τις οδηγίες και όχι στην διδακτέα ύλη) στην ουσία τους παραμένουν μέσα στην λογική των προγραμμάτων της πρώτης περιόδου. Η ουσιαστική αλλαγή στη διδασκαλία του αριθμού και των πράξεων κι αυτή που χαρακτηρίζει τη δεύτερη περίοδο, συντελείται με το αναλυτικό πρόγραμμα του 1982.

3 3 Την εποχή αυτή κυκλοφορούν και τα πρώτα επίσημα σχολικά βιβλία (βιβλίο δασκάλου και βιβλίο μαθητή) των Μαθηματικών. Το περιεχόμενο του αναλυτικού προγράμματος του 1982 ισχύει μέχρι και σήμερα. Την περίοδο αυτή διδάσκεται η έννοια του αριθμού και όχι η αισθητοποίηση και προσέγγιση των αριθμών με τη χρήση των υλικών αντικειμένων, όπως γινόταν την προηγούμενη περίοδο. Η σημερινή διδασκαλία της Αριθμητικής στην Α τάξης ακολουθεί τις βασικές αρχές που θα περιγράψουμε στη συνέχεια. Διαχωρίζονται δηλαδή και προηγούνται οι λεγόμενες προαριθμητικές έννοιες των αριθμητικών εννοιών. Έτσι, η διδακτέα ύλη ξεκινάει με ένα κεφάλαιο που έχει τίτλο Προμαθηματικές διαδικασίες και έννοιες. Στο κεφάλαιο αυτό εκτός από τις προαριθμητικές έννοιες (ταξινόμηση, διάταξη, αντιστοίχιση) διδάσκονται επίσης κάποιες αρχικές έννοιες του χώρου. Ο σκοπός της διδασκαλίας και ο ρόλος που αποδίδεται στις παραπάνω έννοιες περιγράφεται ανάγλυφα σε ένα απόσπασμα από τον πρόλογο των συγγραφέων του βιβλίου του δασκάλου της Α τάξης. Οι νέες ιδέες που εισάγονται στο βιβλίο αυτό διαφοροποιούν εντελώς τη σύγχρονη από την παλιά αντίληψη για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ένα πρώτο σημείο αφορά τις διανοητικές εκείνες ενέργειες που συμβάλλουν στη γένεση του αριθμού. Πρόκειται για την ταξινόμηση, την αντιστοίχιση, τη διάταξη, τον εγκλεισμό, τις έννοιες στο χώρο, τη διατήρηση συνεχών και ασυνεχών μεγεθών, τη διατήρηση των επιφανειών και των αποστάσεων, την ένωση των μερών και το διαμερισμό ενός συνόλου, μ ένα λόγο τη διατήρηση του όλου ανεξάρτητα από τη διάταξη των στοιχείων του στο χώρο. Πάνω σ αυτές τις λογικο-μαθηματικές σχέσεις οικοδομείται η έννοια του αριθμού. (Γ. Αποστολίκας, κ.ά, 1987, σελ.7-8) Στο δεύτερο κεφάλαιο με τίτλο Βασικές μαθηματικές έννοιες αφιερώνονται δύο παράγραφοι στα σύνολα: 2.1. Η έννοια του συνόλου (σύνολα πραγμάτων, στοιχεία συνόλων, σύνολα με περισσότερα ή λιγότερα στοιχεία και ισοδύναμα σύνολα) Πληθικός αριθμός (Αρίθμηση. Ο πληθικός αριθμός ως βασική χαρακτηριστική ιδιότητα των συνόλων). Στο σημείο αυτό γίνεται μια πρώτη νύξη για αριθμούς μέσω της απαρίθμησης. Χρησιμοποιείται δηλαδή η απαρίθμηση μέχρι το 5 σε σύνολα αντικειμένων με σκοπό να διαπιστωθεί η ισοδυναμία των συνόλων αυτών. Το τρίτο κεφάλαιο της διδακτέας ύλης με τίτλο Η διαδικασία της μέτρησης αναφέρεται σε μεγέθη της καθημερινής ζωής: μήκος, ύψος, επιφάνεια, χωρητικότητα, χρόνο και χρήμα, τα οποία, εκτός από το χρήμα, είναι ασυνεχή μεγέθη. Προτείνεται η εμπειρική μέτρηση με μια αυθαίρετη μονάδα μέτρησης με τρόπο ώστε το αποτέλεσμα της μέτρησης να είναι ένας αριθμός μικρότερος του 5. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το κεφάλαιο αυτό στα προγράμματα της πρώτης περιόδου αποτελούσε μια εφαρμογή μετά από τη διδασκαλία και την εκμάθηση των αριθμών και των πράξεων. Μετά από 23 διδακτικές ώρες, δηλαδή 8 εβδομάδες, σύμφωνα με το χρόνο που προβλέπει το πρόγραμμα, αφιερωμένες στην προετοιμασία του μαθητή για την έννοια του αριθμού, ακολουθεί η ειδική διδασκαλία του αριθμού και των πράξεων. Σύμφωνα με την ταξινόμηση των αριθμών σε τρεις ομάδες, όπως αναφέραμε παραπάνω, δηλαδή 1-5, 0-10 και 0-20 αφιερώνονται αντίστοιχα τρία κεφάλαια (το 4 ο, το 5 ο και το 6 ο ) στη διδασκαλία των αριθμών αυτών και στις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού οι οποίες διδάσκονται με βάση τα σύνολα. Η λύση προβλημάτων, όπως και κατά την πρώτη περίοδο, ακολουθεί κάθε φορά ως εφαρμογή ύστερα από τη διδασκαλία των αντίστοιχων πράξεων. Οι θεωρητικές βάσεις της αλλαγής

4 Οι αλλαγές που συντελούνται με το πρόγραμμα του 1982 στη διδασκαλία του αριθμού και των πράξεων, είναι αλλαγές που αφορούν όχι μόνο τα περιεχόμενα της διδακτέας ύλης αλλά γενικότερα την παιδαγωγική αντίληψη της διδασκαλίας της Αριθμητικής. Οι αλλαγές αυτές στηρίζονται στην ίδια λογική και ακολουθούν τις αντιλήψεις των προγραμμάτων που έγιναν τη δεκαετία του 1970 στην Ευρώπη και την Αμερική, στα πλαίσια του κινήματος των λεγόμενων Μοντέρνων Μαθηματικών. Εισάγεται στη διδασκαλία μια νέα αντίληψη του αριθμού. οι φυσικοί αριθμοί είναι οι πληθάριθμοι των πεπερασμένων συνόλων. Με ένα διδακτικό μετασχηματισμό μεταφέρεται στη διδασκαλία της πρώτης τάξης ο ορισμός των φυσικών αριθμών, όπως αυτός θεμελιώνεται στα Μαθηματικά μέσα στα πλαίσια της θεωρίας των συνόλων. Στην επιστημονική Μαθηματική κοινότητα η θεμελίωση αυτή των φυσικών αριθμών και των αριθμητικών πράξεων με βάση τη θεωρία των συνόλων έγινε στα τέλη του 19 ου αιώνα ( ) από το Μαθηματικό George Cantor. Η διδασκαλία της περιόδου αυτής βασίζεται στις θεωρίες του Ελβετού Ψυχολόγου Jean Piaget (1941) και γενικά της σχολής της Γενεύης, που αφορούν στην κατανόηση της έννοιας του αριθμού και των αριθμητικών πράξεων από το παιδί. Σύμφωνα με τον Piaget, η ανάπτυξη των αριθμητικών ικανοτήτων του παιδιού συνδέεται με την ανάπτυξη των λογικών του ικανοτήτων. Αυτός υποστήριζε ότι το παιδί αρκετά αργά, σε ηλικία 6-8 χρόνων μπορεί να πετυχαίνει λειτουργικά, δηλαδή με λογικό τρόπο, ταυτόχρονα στα πειράματα της διατήρησης του αριθμού, της σειροθέτησης και του εγκλεισμού των κλάσεων. Οι λογικές αυτές λειτουργίες του παιδιού, διατήρηση του αριθμού, σειροθέτηση και εγκλεισμού των κλάσεων, θεωρούνται από τον Piaget προαπαιτούμενες και απαραίτητες για την κατανόηση της έννοιας του αριθμού. Με βάση λοιπόν το θεωρητικό πλαίσιο των ερευνών του Piaget για τη γένεση της έννοιας του αριθμού στο παιδί και σύμφωνα με την μαθηματική θεωρία των συνόλων για το σχηματισμό των φυσικών αριθμών και πράξεων, θεμελιώθηκε διεθνώς ένα άλλο περιεχόμενο και μια άλλη αντίληψη για τη διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Σύμφωνα με τις ψυχολογικές αυτές απόψεις η κατανόηση της έννοιας του αριθμού συντελείται στο παιδί αρκετά αργά (6-8 χρονών). Πριν λοιπόν από την παρουσίαση και τη διδασκαλία των αριθμών, το παιδί θα πρέπει να κατακτήσει κάποιες λογικές ικανότητες, απαραίτητες για το σχηματισμό της έννοιας του αριθμού. Οι λογικές αυτές ικανότητες είναι η σειροθέτηση (π.χ. τοποθέτηση αντικειμένων σε αύξουσα σειρά σύμφωνα με το μέγεθός τους), η ταξινόμηση (π.χ. κατάταξη μιας συλλογής αντικειμένων σε ομάδες σύμφωνα με κάποια χαρακτηριστικά όπως το χρώμα, το σχήμα κ.α), ο εγκλεισμός των κλάσεων και η αντιστοίχιση ένα προς ένα. Όλες αυτές οι λογικές ικανότητες θεωρήθηκαν και ονομάστηκαν προαριθμητικές. Από αυτή την οπτική γωνία η διδασκαλία πρέπει να οργανώνεται σε δύο διαδοχικές φάσεις. Σε μια πρώτη φάση προτείνονται στα παιδιά δραστηριότητες που έχουν στόχο την ανάπτυξη των προαριθμητικών εννοιών. Στη δεύτερη φάση προτείνονται οι καθαρά αριθμητικές δραστηριότητες, δηλαδή αυτές στα πλαίσια των οποίων τα παιδιά μετρούν και υπολογίζουν με αριθμούς. Η έννοια του αριθμού και των πράξεων θεμελιώνεται με βάση τα σύνολα. Έτσι, πριν από τη διδασκαλία του αριθμού εισάγεται με απλό τρόπο η έννοια του συνόλου και των στοιχείων του καθώς και η σύγκριση των πληθαρίθμων των συνόλων με αντιστοίχιση ένα προς ένα (σύνολα με περισσότερα ή λιγότερα στοιχεία, ισοδύναμα σύνολα). Στη συνέχεια, και σύμφωνα με το μαθηματικό ορισμό, αριθμός είναι ο κοινός πληθάριθμος διαφόρων συνόλων αντικειμένων τα οποία είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Αυτή η ισοδυναμία του πλήθους των στοιχείων ελέγχεται με την αντιστοίχιση ένα προς ένα. Όσον αφορά στις αριθμητικές πράξεις, πρόσθεση θεωρείται η ένωση δύο ξένων 4

5 5 συνόλων (σύνολα χωρίς κοινά στοιχεία). αφαίρεση η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης ή το συμπλήρωμα ενός συνόλου ως προς ένα άλλο. πολλαπλασιασμός η επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, δηλαδή η ένωση ίσων συνόλων ξένων μεταξύ τους και διαίρεση η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. ΙΙ. ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ: ΜΙΑ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Καταρχήν θα πρέπει να σημειώσουμε ότι δεν μας διέπει ένα πνεύμα απόλυτης αμφισβήτησης και απόρριψης των πάντων σχετικά με τη διδασκαλία των αριθμητικών εννοιών, όπως γίνεται σήμερα. Αναμφισβήτητα υπάρχει μια ολόκληρη εμπειρία και μια παιδαγωγική πρακτική η οποία είναι πολύτιμη και θα πρέπει πάντοτε να παίρνεται υπόψη σε οποιεσδήποτε νέες προτάσεις. Διάθεσή μας είναι να βελτιώσουμε τη σημερινή διδασκαλία με κριτική και προτάσεις σε κάποια σημεία που πιστεύουμε ότι επιδέχονται βελτίωση. Οι αλλαγές που προτείνουμε, όπως θα δούμε στη συνέχεια, είναι σύμφωνες με τα σύγχρονα επιστημονικά δεδομένα από το χώρο της Διδακτικής των Μαθηματικών και της Ψυχολογίας του παιδιού. Επίσης είναι εφαρμόσιμες και καλύτερα προσαρμοσμένες στο επίπεδο των μαθητών. Πιστεύουμε ότι συνεισφέρουν σε μια καλύτερη και πιο φυσιολογική μάθηση. Όπως είδαμε από τα προηγούμενα, και στις δύο περιόδους ουσιαστικά δεν έχουν ληφθεί υπόψη και δεν έχουν αξιοποιηθεί οι προϋπάρχουσες γνώσεις του παιδιού για τον αριθμό. Τόσο στην πρώτη περίοδο της εμπειρικής διδασκαλίας όσο και στη δεύτερη, η διδασκαλία του αριθμού αρχίζει από το μηδέν ή καλύτερα από το ένα, θεωρώντας ότι ο μαθητής δεν γνωρίζει τίποτε σχετικά με τους αριθμούς. Και συνεχίζει να επικρατεί αυτή η αντίληψη και στη δεύτερη περίοδο, παρά το γεγονός ότι συνειδητή πρόθεση της διδασκαλίας αποτελεί το αξίωμα ότι αφετηρία οποιασδήποτε διδακτικής δραστηριότητας πρέπει να αποτελεί το ίδιο το παιδί, το οποίο, σύμφωνα με τις σύγχρονες απόψεις της Εξελικτικής και της Γνωστικής Ψυχολογίας (προβλ. J. Piaget) οικοδομεί μόνο του τη γνώση μέσω των δραστηριοτήτων του. Όπως θα δούμε στη συνέχεια (κεφ. ΙΙΙ) το μικρό παιδί προτού ακόμη έρθει στο νηπιαγωγείο ή πριν από οποιαδήποτε συστηματική διδασκαλία έχει πολλές γνώσεις και δεξιότητες σχετικά με τους αριθμούς, τις οποίες μπορεί να αξιοποιήσει και να χρησιμοποιήσει ως αφετηρία η διδασκαλία. Σ αυτή τη δεύτερη περίοδο λοιπόν αλλάζει το περιεχόμενο της διδασκαλίας του αριθμού, το οποίο προσαρμόζεται στον μαθηματικό ορισμό του φυσικού αριθμού, ο οποίος λέει ότι: φυσικός αριθμός είναι ο κοινός πληθάριθμος των ισοδυνάμων πεπερασμένων συνόλων. Το περιεχόμενο δηλαδή προσαρμόστηκε σύμφωνα με τη μαθηματική θεμελίωση του αριθμού και των πράξεων στα πλαίσια της θεωρίας των συνόλων. Η λογική αυτή στη διδασκαλία προέρχεται από το κίνημα των Μοντέρνων Μαθηματικών που στόχο του έχει τη διδασκαλία των δομών που διέπουν τις μαθηματικές έννοιες, όπως αυτές καθορίζονται στην επιστημονική μαθηματική κοινότητα. Η ιστορία και η παιδαγωγική πρακτική όμως έδειξαν ότι διδάσκοντας με βάση τις δομές των μαθηματικών εννοιών χάνεται η φυσικότητα της μάθησης. δηλαδή η απόδοση της σημασίας στις έννοιες δεν γίνεται με βάση το επίπεδο του παιδιού και το φυσικό του τρόπο κατανόησης, αλλά με ένα τεχνητό τρόπο. Αυτή ήταν μια από τις

6 6 βασικές αιτίες που απέτυχε το κίνημα των Μοντέρνων Μαθηματικών και μετά από πολλές κριτικές (R. Thom 1981, M. Kline 1990) εδώ και αρκετά χρόνια αποσύρθηκε από τη διδασκαλία η λογική αυτή. Για παράδειγμα στην περίπτωση του ορισμού του φυσικού αριθμού συμβαίνει αυτό που στη Διδακτική των Μαθηματικών ονομάζουμε φαινόμενο Jourdain (l effet Jourdain). 1 σ αυτό ο διδάσκοντας αναγνωρίζει μια επιστημονική γνώση σε συμπεριφορές και απαντήσεις του μαθητή, οι οποίες προέρχονται από κοινότοπες (μπανάλ) σημασίες. Έτσι με το να ξεχωρίζει ο μαθητής τα αγόρια από τα κορίτσια (διαμερισμός συνόλου σε κλάσεις, κατά το διδάσκοντα), να αντιστοιχεί σε κάθε αγόρι ένα κορίτσι και να λέει ότι τα αγόρια είναι τόσα όσα και τα κορίτσια (ισοδυναμία συνόλων μέσω της αντιστοίχισης ένα προς ένα, άρα κοινός πληθάριθμος) ο διδάσκοντας θεωρεί ότι ο μαθητής προσεγγίζει τη δομή του αριθμού, που είναι ο κοινός πληθάριθμος των ισοδυνάμων συνόλων. Στα πλαίσια της λογικής αυτής λοιπόν, ο μαθητής στην αρχή της διδασκαλίας του αριθμού περνάει πολύ καιρό κυκλώνοντας ομάδες αντικειμένων και τραβώντας γραμμές για να τα αντιστοιχίσει, χωρίς να μπαίνει στην ουσία, δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιεί και να δουλεύει με τους αριθμούς ή τις διάφορες αριθμητικές εκφράσεις που γνωρίζει. Εμείς στεκόμαστε κριτικά στη βασική ιδέα που χαρακτηρίζει τη διδασκαλία της δεύτερης περιόδου και πηγάζει από τις αντιλήψεις του Piaget ότι το παιδί προετοιμάζεται με τις προαριθμητικές έννοιες, για να συγκροτήσει την έννοια του αριθμού, να φτάσει δηλαδή στο στάδιο της διατήρησης του αριθμού, χωρίς να χρησιμοποιεί τους αριθμούς. Είναι συζητήσιμη η ιδέα των προαπαιτούμενων εννοιών για την κατάκτηση της έννοιας του αριθμού. Θα πρέπει να περιμένουμε να παγιωθεί η διατήρηση της ποσότητας για να χρησιμοποιήσει ο μαθητής τους αριθμούς ή θα πρέπει να βασιστούμε, όπως δείχνουν πολλές έρευνες, σε μια διαδικασία μέσα από την οποία η χρήση αριθμητικών δραστηριοτήτων, όπως η αρίθμηση και απαρίθμηση, καθώς και μη αριθμητικών, όπως η αντιστοίχιση όρο με όρο, θα ευνοούσε την κατασκευή από το παιδί της ιδέας της διατήρησης των ποσοτήτων; Από το 1962 ακόμη ο Gréco (1962), ένας από τους συνεργάτες του Piaget και υποστηρικτής της θεωρίας του, διαφοροποιείται ως προς την θεώρηση της απαρίθμησης (βλέπε, Χ. Λεμονίδη 1994, σελ ). Αυτός σε αντίθεση με τον Piaget αναγνωρίζει το σημαντικό ρόλο της απαρίθμησης για το σχηματισμό και την κατάκτηση της έννοιας του αριθμού. Ο ρόλος αυτός αποδίδεται στην παρακάτω φράση του: (Η απαρίθμηση είναι) καταρχήν τυφλή πρακτική και δώρο που μας το δίνει η κοινωνία πρόωρα, είναι ένα εργαλείο. Έτσι λοιπόν τίθεται το ερώτημα: θα πρέπει το παιδί πρώτα να συλλάβει την ιδέα του αριθμού, χωρίς να μπορεί να χρησιμοποιήσει τους αριθμούς, ή θα πρέπει ήδη να έχει ενασχοληθεί πολύ με τους αριθμούς, να τους χρησιμοποιεί, να έχει αντιληφθεί μερικά πράγματα από την οργάνωσή τους σύμφωνα με τις προϋπάρχουσες γνώσεις που διαθέτει, ώστε να μπορεί να συγκροτήσει την ιδέα του αριθμού; Πολλές σύγχρονες έρευνες και νέες προτάσεις διδασκαλίας για τον αριθμό (J. Bideaud 1985, R. Brissiaud 1989, ERMEL 1991), χωρίς να αμφισβητούν το ενδιαφέρον που έχουν οι δραστηριότητες λογικού και σχεσιακού τύπου (ταξινόμηση και σειροθέτηση) αποδίδουν σ αυτές την πραγματική τους λειτουργία, δηλαδή της ανάπτυξης της λογικής σκέψης, και αμφισβητούν το ρόλο τους ως προαπαιτούμενων για την συγκρότηση της έννοιας του αριθμού. Με άλλα λόγια δεν είναι ευνόητο πως οι δραστηριότητες κατά τις οποίες ένας μαθητής ταξινομεί, τα κορίτσια με ξανθά μαλλιά 1 Guy Brousseau, 1986 σελ

7 7 και τα κορίτσια με μαύρα μαλλιά, ή αγόρια και κορίτσια με σηκωμένο το χέρι και κατεβασμένο το χέρι, τον προετοιμάζουν με άμεσο τρόπο σχετικά με κάποιες αριθμητικές ικανότητες. Ο διαχωρισμός μεταξύ προαριθμητικών και αριθμητικών δραστηριοτήτων καθώς και η παιδαγωγική καταλληλότητά του αμφισβητούνται σήμερα έντονα. Θετικές επιπτώσεις από τις αλλαγές της δεύτερης περιόδου Το ότι η κριτική μας επικεντρώνεται στη διδασκαλία της δεύτερης περιόδου με κανένα τρόπο δεν σημαίνει ότι στεκόμαστε θετικά ή ότι υιοθετούμε τη λογική της διδασκαλίας της πρώτης περιόδου. Οι αλλαγές που έγιναν τη δεκαετία του 80 (δεύτερη περίοδος) ήταν πολλές και ριζικές κι ήρθαν να λύσουν προβλήματα που παρέμεναν, όπως είδαμε, σχεδόν για ένα αιώνα στα αναλυτικά προγράμματα του δημοτικού. Οι αλλαγές αυτές αφορούσαν στο περιεχόμενο αλλά και την παιδαγωγική και τη διδακτική πρακτική που εφαρμοζόταν μέχρι τότε. Μερικές από τις πιο βασικές αυτές αλλαγές αναφέρουμε στη συνέχεια. Την πρώτη περίοδο, που τη χαρακτηρίσαμε ως περίοδο της εμπειρικής διδασκαλίας, η παιδαγωγική λογική των προγραμμάτων θεωρούσε ότι η μάθηση, τουλάχιστον όσον αφορά τις πρώτες αριθμητικές έννοιες, συντελείται με την απλή παρατήρηση (παρατήρηση των αντικειμένων, αισθητοποίηση του αριθμού) χωρίς την ενεργή συμμετοχή του μαθητή. Κυριαρχούσε δηλαδή στη διδασκαλία η λογική της μετάδοσης της γνώσης στο παιδί και όχι της κατασκευής της από το ίδιο το παιδί. Αυτό έρχεται να αλλάξει στη δεύτερη περίοδο, όταν δίνεται μεγάλη σημασία στις δραστηριότητες και την ενεργή συμμετοχή του μαθητή στην κατάκτηση των γνώσεών του. Έτσι, προτείνονται πολλές δραστηριότητες με υλικά αντικείμενα ή με παραστάσεις αντικειμένων, όπου το παιδί μέσα από τη δράση μπορεί να ανακαλύπτει και να οικοδομεί τις νέες έννοιες και σχέσεις. Όπως παρατηρήσαμε στην παρουσίαση του περιεχομένου της πρώτης περιόδου, σε κάθε μια από τις τρεις ομάδες αριθμών διδάσκονταν αμέσως και χωρίς καμία προετοιμασία γραπτά (με τα σύμβολά τους) οι αριθμοί καθώς και οι αντίστοιχες απλές προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις. Δηλαδή τα αριθμητικά σύμβολα (σύμβολα αριθμών, τεσσάρων πράξεων, ισότητας κλπ) εισάγονταν αμέσως χωρίς να παίρνεται υπόψη η δυσκολία της αναγνώρισης και χρήσης που συναντούσαν οι μαθητές με την εισαγωγή τους. Η γρήγορη εισαγωγή των συμβόλων χωρίς την αντίστοιχη κατανόησή τους, ωθούσε τον μαθητή στην αλόγιστη και μηχανική χρήση τους. Κατά την πρώτη περίοδο, στόχος της διδασκαλίας στη μάθηση των απλών πράξεων (πράξεις μεταξύ δύο μονοψήφιων αριθμών) ήταν η άμεση και μηχανική απομνημόνευσή τους. Έτσι οι απλές πράξεις παρουσιάζονταν γραπτά ή προφορικά στο μαθητή και επαναλαμβάνονταν πολλές φορές με στόχο να απομνημονευτούν. Η λογική αυτή της άμεσης απομνημόνευσης των απλών πράξεων εγκαταλείπεται κατά τη δεύτερη περίοδο. Επίσης κατά τη δεύτερη περίοδο εισάγεται η ειδική διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης και της θεσιακής αξίας των αριθμών για τους διψήφιους αριθμούς. Αυτό δε γινόταν την πρώτη περίοδο για τους πρώτους διψήφιους αριθμούς. αυτοί εισάγονταν ο ένας μετά τον άλλο με την πρόσθεση μιας μονάδας και με σκοπό να τους μάθει αμέσως ο μαθητής.

8 8 ΙΙΙ. ΠΡΟΫΠΑΡΧΟΥΣΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ Στα πλαίσια της Γενετικής Ψυχολογίας πραγματοποιήθηκαν πολλές έρευνες που εξέτασαν τις αριθμητικές ικανότητες των μικρών παιδιών πριν ακόμη δεχθούν οποιαδήποτε διδασκαλία (R. Gelman, & C.-R. Gallistel, 1978, M. Hughes, 1986, K.-C. Fuson, 1988, J. P. Fischer, 1992). Οι έρευνες αυτές επεκτείνονται μέχρι και τη βρεφική ηλικία (M.S. Strauss & L.E. Curtis, 1981), και εξετάζουν τους μηχανισμούς και τις ικανότητες που διαθέτει ο άνθρωπος από τη γέννησή του και οι οποίες του επιτρέπουν να επικοινωνεί και να δέχεται τις αριθμητικές πληροφορίες του περιβάλλοντος. Τα μικρά παιδιά διαθέτουν αρκετές γνώσεις, ικανότητες και δεξιότητες σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες οι οποίες έχουν περισσότερο χαρακτήρα κοινωνικό και φυσικό (βλέπε, κοινωνική και φυσική γνώση, Χ. Λεμονίδης, 1994 σελ ). Είναι δηλαδή, γνώσεις που παίρνει το παιδί είτε από την οικογένειά του είτε γενικότερα από το φυσικό και κοινωνικό του περιβάλλον (παιχνίδι, τηλεόραση, κ.ά.). Πολλά παιδιά προτού έρθουν στο νηπιαγωγείο ξέρουν να πατούν στο τηλεκοντρόλ της τηλεόρασης τον αντίστοιχο αριθμό για να δουν την αγαπημένη τους εκπομπή, ξέρουν να απαγγέλλουν προφορικά ένα πρώτο μέρος της ακολουθίας των αριθμών όταν παίζουν κρυφτό, ξέρουν να ξεχωρίζουν δύο καραμέλες κ.ά. Στη συνέχεια θα αναφερθούμε πιο διεξοδικά σε κάποιες πρόωρες αριθμητικές ικανότητες των μικρών παιδιών που αφορούν την προφορική αρίθμηση, την απαρίθμηση, την άμεση εκτίμηση (subitizing) και την επίλυση απλών προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Μια από τις πρώτες αριθμητικές γνώσεις που έχουν περισσότερο γλωσσικό χαρακτήρα είναι οι αριθμοί-λέξεις και η απαγγελία της ακολουθίας των πρώτων φυσικών αριθμών. Ακούμε τα παιδιά να λένε: είμαι τριών χρονών, έχω δύο φίλους, κ.ά. Εκτεταμένες έρευνες και λεπτομερή ανάλυση για τις διάφορες σημασίες των αριθμώνλέξεων και τη χρησιμοποίησή τους από το παιδί πραγματοποίησε η Κ. Fuson (1988), (βλ. Χ. Λεμονίδης, 1994). Η απαγγελία της ακολουθίας των αριθμών (ένα, δύο, τρία, τέσσερα,...) είναι κάτι που ευχαριστεί τα παιδιά και το βλέπουν σαν παιχνίδι. Θέλουν να απαγγέλλουν όσο το δυνατόν περισσότερους αριθμούς γιατί έτσι αισθάνονται ότι είναι μεγάλοι και ξέρουν πολλούς αριθμούς. Στην αρχή, η μάθηση της προφορικής ακολουθίας των αριθμών είναι μηχανική και χωρίς σημασία για το παιδί, είναι παρόμοια, για παράδειγμα, με την απαγγελία ενός ποιήματος ή της αλφαβήτα. Στη συνέχεια ακολουθεί η φάση της λειτουργικής μάθησης η οποία μπορεί να επεκταθεί μέχρι την ηλικία των 8 χρόνων περίπου. Η φάση αυτή χαρακτηρίζεται από τη διαδοχική εμφάνιση κάποιων νέων ικανοτήτων, που η Κ. Fuson (1988) κατατάσσει σε πέντε επίπεδα, ως προς τα οποία μπορεί να καταγράφεται η εξέλιξη της μάθησης του παιδιού. Με σκοπό να εξετάσουμε τις γνώσεις των μικρών παιδιών στην προφορική απαγγελία της ακολουθίας των αριθμών, πραγματοποιήσαμε μια έρευνα (Α. Γαγάτσης, Χ. Λεμονίδης, 1994) σε 149 μαθητές νηπιαγωγείου (μικρά και μεγάλα νήπια) της πόλης της Φλώρινας. Από τα ακόλουθα αποτελέσματα αυτής της έρευνας προέκυψαν συμπεράσματα που καταδεικνύουν την εξωσχολική και κοινωνική προέλευση της γνώσης της προφορικής αρίθμησης:

9 9 - Τα νήπια ακόμη και στις πιο μικρές ηλικίες ξέρουν να αριθμούν προφορικά μέχρι πολύ μεγαλύτερους αριθμούς από αυτούς που διδάσκονται. - Υπάρχουν έντονες διαφοροποιήσεις μεταξύ των παιδιών ως προς την ικανότητα της προφορικής αρίθμησης. Επίσης η έρευνα αυτή καταλήγει στο συμπέρασμα ότι με την αύξηση της ηλικίας παρατηρείται ταυτόχρονα και μια μεγάλη αύξηση της ικανότητας προφορικής αρίθμησης προς ολοένα και μεγαλύτερους αριθμούς. Το γεγονός αυτό μαρτυρεί ότι τα παιδιά αποκτούν και αναπτύσσουν την ικανότητα αυτή εύκολα. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι στο σύνολο των νηπίων (ηλικίας από 4 ετών μέχρι 6 ετών και 5 μηνών) η πλειοψηφία ξέρει να αριθμεί προφορικά μέχρι αριθμούς μεγαλύτερους του 10 που προβλέπει το πρόγραμμα του νηπιαγωγείου. Περίπου το 15% των νηπίων είναι ικανό να αριθμεί προφορικά πάνω από το 30, και περίπου το 15% αριθμεί μέχρι κάποιους αριθμούς που είναι μικρότεροι του 10. Η προφορική αρίθμηση η οποία είναι μια ικανότητα με γλωσσικό χαρακτήρα κατακτάται εύκολα από το παιδί. Η γνώση αυτή της ακολουθίας των αριθμών επιτρέπει στο παιδί να εκτελεί πολλές αριθμητικές λειτουργίες. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μάθηση της σειράς, της διαδοχής και της σύγκρισης των αριθμών, την πρόσθεση ή την αφαίρεση της μονάδας ή του δύο, αυτή πραγματοποιείται από πολλούς μαθητές με την εύρεση του επόμενου ή των δύο επόμενων αριθμών, κ.ά. Μια άλλη ικανότητα που εμφανίζεται από πολύ νωρίς στα παιδιά και είναι πολύ χρήσιμη για τη μάθηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών είναι η άμεση εκτίμηση (subitizing) (βλ. Χ. Λεμονίδη, 1994, σελ ). Με τον όρο άμεση εκτίμηση ονομάζουμε τη γρήγορη, ακριβή και σίγουρη εκτίμηση του πλήθους μιας συλλογής που παρουσιάζεται για μια πολύ σύντομη χρονική διάρκεια. Πρόκειται για μια ολική αντίληψη της ποσότητας χωρίς την προσφυγή στην απαρίθμηση. Βασίζεται στην οπτική αναγνώριση των κανονικών αντιληπτικών προτύπων που δημιουργούν οι ολιγάριθμες συλλογές με μικρή πυκνότητα. Δεν είναι μια έμφυτη διαδικασία αλλά αναπτύσσεται πολύ γρήγορα. Σύμφωνα λοιπόν, με την άμεση εκτίμηση τα παιδιά μπορούν να αντιλαμβάνονται πολύ γρήγορα, χωρίς να απαριθμούν ένα-ένα, το πλήθος των αντικειμένων συλλογών που περιλαμβάνουν από ένα μέχρι τέσσερα αντικείμενα. Η ικανότητα αυτή, όπως θα δούμε στη συνέχεια, μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τα παιδιά για την ποσοποίηση των αριθμών και τους υπολογισμούς με αντικείμενα χωρίς να είναι απαραίτητη η διαδικασία απαρίθμησης ένα προς ένα των αντικειμένων μικρών συλλογών. Η άμεση εκτίμηση επίσης μας επιτρέπει να απαριθμούμε πιο γρήγορα συλλογές αρκετά μεγάλες, εφαρμόζοντας μια απαρίθμηση που χρησιμοποιεί, ως μονάδες, ομάδες από 2 μέχρι 3 στοιχεία. Η ικανότητα της απαρίθμησης μιας συλλογής αντικειμένων εμφανίζεται από πολύ νωρίς στο παιδί. Για την εκτέλεση της απαρίθμησης είναι προαπαιτούμενη η γνώση της προφορικής ακολουθίας των αριθμών. Ωστόσο η καλή γνώση της προφορικής ακολουθίας δεν διασφαλίζει την επιτυχία της απαρίθμησης. Διεθνείς έρευνες (ERMEL, 1990) αλλά και δικές μας έρευνες σε μικρά νήπια που δεν είχαν διδαχθεί την απαρίθμηση έδειξαν ότι από τα παιδιά που ξέρουν να απαγγέλλουν καλά την ακολουθία των αριθμών ακόμη και πέρα από το είκοσι, ένα αρκετά σημαντικό ποσοστό εκτελεί σωστά την απαρίθμηση, αλλά και αρκετά παιδιά δεν είναι σε θέση να απαντήσουν στην ερώτηση Πόσα αντικείμενα υπάρχουν;.

10 10 Στην ερώτηση αυτή υπάρχουν πολλά παιδιά που δεν χρησιμοποιούν την ακολουθία των αριθμών-λέξεων που γνωρίζουν για να πραγματοποιήσουν την απαρίθμηση. Αλλά και από αυτά που τη χρησιμοποιούν αρκετά κάνουν λάθη τα πιο συχνά από τα οποία είναι τα εξής: - Έλλειψη συγχρονισμού μεταξύ της απαγγελίας των αριθμών-λέξεων και της κατάδειξης των αντικειμένων. Βλέπουμε δηλαδή τα λάθη: Αντιστοίχιση παραπάνω από μια φορά του ίδιου όρου ή υπερπήδηση ενός ή περισσότερων όρων. Συνέχιση της απαρίθμησης και αφού έχουν τελειώσει τα προς απαρίθμηση αντικείμενα, ή αντίστροφα παύση της απαρίθμησης προτού τελειώσουν τα προς αρίθμηση αντικείμενα. - Κακή οργάνωση της απαρίθμησης: μη διαχωρισμός αντικειμένων που έχουν απαριθμηθεί από αυτά που πρόκειται να απαριθμηθούν. - Μη απόδοση του πληθικού χαρακτήρα στην τελευταία λέξη-αριθμό της απαρίθμησης. Έτσι αρκετά παιδιά κάθε φορά που τους τίθεται η ερώτηση Πόσα...; αρχίζουν να απαριθμούν από την αρχή. Τα παιδιά αυτά απλώς απαγγέλλουν τις λέξεις-αριθμούς και τις αντιστοιχούν σε ένα αντικείμενο χωρίς να γνωρίζουν ότι η τελευταία λέξη-αριθμός έχει μια επιπλέον ιδιότητα που χαρακτηρίζει το πλήθος της συλλογής των αντικειμένων. Το φαινόμενο αυτό ορισμένοι σύγχρονοι Γάλλοι ερευνητές το ονομάζουν μέτρηση-αριθμοποίηση (comptage-numérotage) και το διαχωρίζουν από την απαρίθμηση (comptage). Έρευνες σε διεθνή επίπεδο (M.S. Riley, 1981, T.P. Carpenter, - J.M. Moser, 1982) αλλά και παρόμοιες που πραγματοποιήσαμε εμείς σε νήπια που δεν είχαν διδαχθεί την πρόσθεση και την αφαίρεση, έδειξαν ότι ένας σημαντικός αριθμός παιδιών μπορεί να λύνει εύκολα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης με μικρούς αριθμούς. Με τον όρο εύκολα προβλήματα, όπως θα δούμε και στη συνέχεια, εννοούμε προβλήματα τύπου αλλαγής με άγνωστη την τελική κατάσταση (έχουμε μια αρχική κατάσταση στην οποία επιδρά ένας μετασχηματισμός και μας δίνει μια τελική κατάσταση η οποία είναι το ζητούμενο). Τα προβλήματα αυτά τα οποία είναι εύκολο να αναπαρασταθούν με υλικά αντικείμενα ή δάκτυλα (υλική μοντελοποίηση) οι περισσότεροι μαθητές τα λύνουν χρησιμοποιώντας διαδικασίες απαρίθμησης. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι όλες οι παραπάνω ικανότητες που εμφανίζουν τα παιδιά πρόωρα σε σχέση με τους αριθμούς είναι ασταθείς, εύθραυστες, διαφορετικές από παιδί σε παιδί και εξαρτώνται πολύ από τις καταστάσεις με τις οποίες παρουσιάζονται οι αριθμοί αυτοί στα παιδιά. Το παιδί δηλαδή μπορεί ήδη να χρησιμοποιεί τον αριθμό χωρίς να ελέγχει όλες του τις πλευρές και να έχει κάνει τη σύνθεσή τους. Χρησιμοποιεί τους αριθμούς μ ένα τρόπο ειδικό και ευκαιριακό. Γνωρίζουμε ότι η οικοδόμηση των αριθμητικών γνώσεων είναι μια διαδικασία σύνθετη που διαρκεί πολύ χρόνο. Η διαδικασία όμως αυτή, όπως είδαμε, αρχίζει από πολύ νωρίς. Ο ρόλος της εκπαίδευσης λοιπόν, κατά τη γνώμη μας, θα πρέπει να είναι τέτοιος, ώστε από νωρίς επίσης να βοηθά τους μαθητές να συλλάβουν τους αριθμούς, τη σημασία τους και τη χρησιμότητά τους με τον πιο αποτελεσματικό και κατάλληλο για αυτούς τρόπο. ΙV. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΟ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

11 11 Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουμε τις απόψεις μας σχετικά με τα εξής: Τη θεώρησή μας σχετικά με την μάθηση και τη διδασκαλία των αριθμών και τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να εισάγουμε τους αριθμούς. Θα αναφερθούμε στον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τις μαθηματικές δραστηριότητες, τις διδακτικές καταστάσεις και τη διδασκαλία των προβλημάτων. Θα αναλύσουμε και θα παρουσιάσουμε τις διάφορες διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές για την εκτέλεση των απλών πράξεων και με βάση αυτά, θα προβούμε σε κάποιες διδακτικές προτάσεις σχετικά με τη διδασκαλία των πράξεων. Η δική μας πρόταση όσον αφορά στο περιεχόμενο της διδασκαλίας για την εισαγωγή των αριθμητικών εννοιών απορρίπτει τη λογική της άμεσης εμπειρικής εισαγωγής των αριθμών αλλά και της διδασκαλίας της έννοιας του αριθμού, η οποία στερεί από τους μαθητές τη φυσική σημασία που έχουν οι αριθμοί για αυτούς. Πιστεύουμε ότι, είναι λάθος να θέλουμε να σχηματίσουν οι μαθητές την έννοια του αριθμού προτού χρησιμοποιήσουν τους ίδιους τους αριθμούς. Ο μαθητής διαμέσου της χρήσης των αριθμητικών εννοιών και των δεξιοτήτων του θα βρίσκεται σε μια συνεχή διαδικασία κατασκευής των δικών του αντιλήψεων για τον αριθμό, οι οποίες μέσα στη διαδικασία μάθησης δεν θα είναι ποτέ οριστικές και σταθερές αλλά θα βρίσκονται σε μια συνεχή εξέλιξη. Η εξέλιξη αυτή καθορίζεται από το μέγεθος των αριθμών που καλείται να μάθει, από τις διάφορες νέες καταστάσεις (εννοιολογικό πεδίο) όπου εφαρμόζονται οι αριθμητικές του γνώσεις, από τις νέες υπολογιστικές γνώσεις που θα αποκτήσει κτλ. Εμείς προτείνουμε μια διδασκαλία που ως στόχο θα έχει οι πρώτες αριθμητικές έννοιες και οι συμβολισμοί τους (γλωσσικοί και συμβολικοί) να αποκτήσουν σημασία για τους μικρούς μαθητές μέσω της ανάπτυξης των διαφόρων πλευρών των αριθμών και των κατάλληλων αριθμητικών πρακτικών. Βασικές αρχές της πρότασής μας είναι οι εξής: - Οι μαθηματικές γνώσεις αποκτούν αρχικά σημασία μέσα από τις διάφορες δραστηριότητες, προβλήματα και διδακτικές καταστάσεις ή καταστάσεις προβληματισμού τις οποίες αντιμετωπίζουν οι μαθητές. Η κατασκευή των αριθμητικών τους γνώσεων και η κατανόηση της σημασίας τους πραγματοποιείται διαμέσου της συνεχούς εναλλαγής ρόλων που παίρνουν οι αριθμητικές έννοιες για τους μαθητές ως εργαλεία και αντικείμενα (διαλεκτική εργαλείου-αντικειμένου, R. Douady, 1984) Μια μαθηματική έννοια, αφενός, μπορεί να αποτελέσει ένα κατάλληλο εργαλείο με τη χρήση του οποίου μπορεί ο μαθητής να λύσει ένα πρόβλημα ή γενικά να αντιμετωπίσει μια κατάσταση. Μια έννοια αποκτά σημασία για το μαθητή όταν τη χρησιμοποιεί ως εργαλείο. Αφετέρου, η έννοια αυτή μπορεί να αποτελέσει το αντικείμενο μελέτης, οπότε εξετάζονται οι ιδιότητές της, η συμβολική της έκφραση, κλπ. - Στις διάφορες διαδικασίες μάθησης θα πρέπει να παίρνονται υπόψη οι αρχικές γνώσεις των μαθητών, οι οποίες θα πρέπει να θεωρούνται είτε ως σημεία αφετηρίας είτε ως γνώσεις που δημιουργούν ανεπάρκειες και εμπόδια που θα πρέπει να ξεπεράσουν οι μαθητές για να κατασκευάσουν τις νέες τους γνώσεις. Η νέα γνώση κατασκευάζεται με βάση την παλιά η οποία βελτιώνεται, επεκτείνεται, αναπροσαρμόζεται ή απορρίπτεται ως αναποτελεσματική και ακατάλληλη.

12 12 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στα σημερινά βιβλία των μαθηματικών του νηπιαγωγείου και των πρώτων τάξεων του δημοτικού βλέπουμε να παρουσιάζονται δραστηριότητες, αρκετές από τις οποίες έχουν τη μορφή της απλής παρατήρησης και διαπίστωσης μέσα από τη παρακολούθηση εμπειρικών καταστάσεων. Δεν προβληματίζουν και δεν κάνουν τους μαθητές να προβλέπουν πάνω στην εμπειρική δράση. Οι δραστηριότητες αυτές φαίνεται να μην έχουν συγκεκριμένο στόχο και να μην έρχονται να απαντήσουν σε συγκεκριμένα ερωτήματα. Οι προβληματισμοί που θέτουν και οι απαντήσεις τους είναι άμεση συνέπεια της παρατήρησης και της διαπίστωσης της πραγματικότητας. Στην ουσία τέτοιου είδους δραστηριότητες ή παιχνίδια που δεν έχουν συγκεκριμένο στόχο, που δεν κάνουν τους μαθητές να προβληματιστούν, να σκεφτούν, να υποθέσουν και να χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις τους αλλά απλώς να παρατηρήσουν και να διαπιστώσουν την πραγματικότητα, δεν περιέχουν ουσιαστικά στοιχεία μάθησης και δεν είναι μαθηματικές δραστηριότητες με την έννοια που εμείς τις θεωρούμε. Οι δραστηριότητες στα μαθηματικά δεν γίνονται για να γίνονται και να δίνουν απλώς και μόνο στο μάθημα ένα χαρακτήρα ευχάριστο και παιγνιώδη που θα το διαφοροποιεί από τα συνηθισμένα πλαίσια και θα κάνει τους μαθητές να το δέχονται ευχάριστα. Στα μαθηματικά η χρήση του συγκεκριμένου και του πραγματικού γίνεται με σκοπό την αφαίρεση και τη δημιουργία νοητικών σχημάτων, ώστε άμεσα ή μελλοντικά να μπορούμε να λειτουργούμε και χωρίς την παρουσία τους. Στην αρχή το πραγματικό μπορεί να αντικατασταθεί από αναπαραστάσεις εικόνων ή νοερές αναπαραστάσεις και στη συνέχεια από νοερά σχήματα και γνώσεις, που μας επιτρέπουν να λειτουργούμε χωρίς την παρουσία πραγματικών αντικειμένων και να προβλέπουμε πάνω σ αυτά. Τι προβλήματα μπορούμε να διδάξουμε στο επίπεδο της Α τάξης του δημοτικού; Ο όρος προβλήματα στο σχολείο παίρνει διάφορες σημασίες και αναφέρεται σε ποικίλες δραστηριότητες που μπορούν να δοθούν σε διαφορετικές φάσεις της διδασκαλίας. α) Η συνήθης χρήση των προβλημάτων και αυτή που γίνεται σχεδόν αποκλειστικά στη σημερινή διδασκαλία, είναι αυτή του ελέγχου και της εμπέδωσης των γνώσεων. Μετά τη διδασκαλία μιας νέας έννοιας, για παράδειγμα της πρόσθεσης μονοψήφιων αριθμών, δίδονται προβλήματα για εμπέδωση και εφαρμογή της γνώσης αυτής. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, δίδονται προβλήματα που η πρόσθεση είναι η κατάλληλη διαδικασία για τη λύση τους. δηλαδή η πράξη της πρόσθεσης στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται ως εργαλείο. Τα προβλήματα αυτά τα ονομάζουμε συνήθως προβλήματα εφαρμογής ή προβλήματα εμπέδωσης. β) Μια άλλη κατηγορία προβλημάτων τα οποία θα πρέπει ίσως να αρχίσουν να διδάσκονται από αυτό το επίπεδο, είναι εκείνα που έχουν κύριο στόχο να μάθουν τους μαθητές να διερευνούν και να συγκροτούν μεθόδους αντιμετώπισής τους. Τέτοιου είδους προβλήματα είναι αυτά που εξασκούν τους μαθητές στο πως να συλλέγουν τα δεδομένα, πως να χρησιμοποιούν τις πληροφορίες, πως να θέτουν και επιπλέον ερωτήματα που ίσως δεν υπάρχουν στα δεδομένα, πως να αναπτύσσουν μεθόδους επίλυσης με διαδοχικές δοκιμές. Τα προβλήματα αυτά τα ονομάζουμε προβλήματα έρευνας. Βέβαια οι στόχοι μάθησης που επιδιώκονται με τέτοιου είδους προβλήματα, στις περισσότερες περιπτώσεις, αναπτύσσονται σε μεγάλα χρονικά διαστήματα. Οι στόχοι αυτοί έχουν να κάνουν με συνήθειες, με συμπεριφορές, με ικανότητα λογικής

13 13 αιτιολόγησης, κτλ. Τέτοια θα πρέπει να διδάσκονται σε όλη τη διάρκεια του δημοτικού σχολείου. γ) Ένα άλλο είδος προβλημάτων είναι αυτά που χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε νέες γνώσεις. Αυτά στην επιστήμη της Διδακτικής των Μαθηματικών ονομάζονται διδακτικές καταστάσεις ή καταστάσεις προβληματισμού. Θα πρέπει να σημειώσουμε στο σημείο αυτό πως, όταν λέμε προβλήματα δεν εννοούμε μόνο την κλασική μορφή μιας εκφώνησης όπου ζητείται μια απάντηση. Μπορεί να παίρνουν διάφορες μορφές, όπως είναι μια δραστηριότητα με υλικά αντικείμενα ή εικονικές αναπαραστάσεις, ένα παιχνίδι κλπ. Ένας από τους βασικούς σκοπούς της διδασκαλίας είναι να κάνει το μαθητή να κατανοήσει το νόημα μιας έννοιας η οποία του διδάσκεται. Η υπόθεση στην οποία βασίζεται η θεωρία των διδακτικών καταστάσεων είναι η εξής: η γνώση παίρνει νόημα για τον μαθητή εάν του επιτρέπει να λύσει ένα πρόβλημα στο οποίο αυτή εφαρμόζεται. Ο G. Brousseau (1986) λέει τα εξής για αυτό το θέμα: "Το νόημα μιας μαθηματικής γνώσης ορίζεται, όχι μόνο από τη συλλογή των καταστάσεων στις οποίες αυτή η γνώση είναι πραγματοποιήσιμη ως μαθηματική θεωρία. Ούτε μόνο από τη συλλογή των καταστάσεων στις οποίες το υποκείμενο τη συνάντησε σαν μέσο επίλυσης, αλλά επίσης από το σύνολο των αντιλήψεων και των προηγούμενων επιλογών τις ποίες απορρίπτει, τα λάθη που αποφεύγει, την οικονομία που προκαλεί, τις τυποποιήσεις που παίρνει κτλ." Οι διδακτικές καταστάσεις ή καταστάσεις προβληματισμού είναι πολύ ειδικές και θα πρέπει να έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: α) Να είναι σχεδιασμένες έτσι ώστε να επιτρέπουν σε όλους τους μαθητές να μπαίνουν στην επίλυση του προβλήματος. Ο μαθητής να μπορεί να προτείνει μια πιθανή απάντηση και να μη βρίσκεται μπροστά σε καταστάσεις που δεν μπορεί να κάνει τίποτα. μόνο έτσι θα έχει τη δυνατότητα να επενδύσει και να δοκιμάσει τις γνώσεις του. β) Οι γνώσεις του μαθητή να είναι καταρχήν ανεπαρκείς για να λύσει αμέσως το πρόβλημα. Διαφορετικά, δεν υπάρχει νέα μάθηση, υπάρχει επανεπένδυση των παλιών γνώσεων (πράγμα το οποίο, αναμφισβήτητα είναι επίσης χρήσιμο, αλλά γίνεται με τα προβλήματα εφαρμογής που αναφέραμε προηγουμένως). γ) Η κατάσταση προβληματισμού θα πρέπει να εμπεριέχει στοιχεία ελέγχου και επαλήθευσης της απάντησης ώστε να επιτρέπει στο μαθητή να αποφασίζει εάν μια λύση που βρήκε είναι ικανοποιητική ή όχι. Αυτό είναι ουσιώδες χαρακτηριστικό, διότι από τη στιγμή που ο μαθητής εφαρμόσει τις γνώσεις του, πρέπει να συνειδητοποιήσει την ανεπάρκειά τους. Διαφορετικά, σύμφωνα με την αρχή της οικονομίας, δεν θα τις προχωρήσει, θα ψάξει μόνο να τις προσαρμόσει. Αυτή η ανεπάρκεια μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι η απάντηση που βρήκε είναι λάθος ή στο ότι η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε είναι πολύ κουραστική. Η γνώση που επιθυμούμε να πάρει ο μαθητής πρέπει να είναι το πιο προσαρμόσιμο εργαλείο για να λύσει το πρόβλημα. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε την εξής κατάσταση: Μέσα σ ένα αδιαφανές κουτί ένας μαθητής τοποθετεί x αντικείμενα και στη συνέχεια ένας άλλος τοποθετεί ψ αντικείμενα. Αυτό γίνεται μπροστά σε όλη την τάξη και ο αριθμός των αντικειμένων που τοποθετούνται στο κουτί κάθε φορά ανακοινώνεται και γράφεται στον πίνακα. Τα αντικείμενα δεν τοποθετούνται ένα-ένα. το κουτί είναι κλειστό και οι μαθητές καλούνται να βρουν πόσα αντικείμενα υπάρχουν μέσα στο κουτί. Ανακοινώνεται ότι θα επιβεβαιώνουμε τις απαντήσεις μετρώντας τα αντικείμενα μέσα στο κουτί. Η δυνατότητα κάθε φορά της μέτρησης των αντικειμένων μέσα στο κουτί αποτελεί ένα σύστημα ελέγχου της διδακτικής αυτής κατάστασης που επιβεβαιώνει ή απορρίπτει τις

14 14 προτεινόμενες λύσεις. Γνωρίζουμε ότι το μέγεθος των αριθμών παίζει σημαντικό ρόλο στην επιλογή των διαδικασιών της επίλυσης. Έτσι αν οι μαθητές βρίσκονται σ ένα στάδιο όπου η πλειοψηφία από αυτούς χρησιμοποιεί διαδικασίες απαρίθμησης όλων ή επαρίθμησης 2 δίνοντας μεγάλους αριθμούς οι διαδικασίες αυτές γίνονται χρονοβόρες και αναποτελεσματικές. Οι μαθητές τότε αναγκάζονται να χρησιμοποιήσουν διαδικασίες ανάκλησης ενδιάμεσων πράξεων 3. Λέμε ότι το μέγεθος των αριθμών στη διδακτική αυτή κατάσταση είναι μια διδακτική μεταβλητή. Προβλήματα εύκολα και προβλήματα δύσκολα Στο τέλος της Α τάξης στα πλαίσια μιας έρευνας με προσωπικές συνεντεύξεις σε 127 μαθητές από την περιοχή της Φλώρινας και της Θεσσαλονίκης (Χ. Λεμονίδης, 1998) σε κάθε μαθητή προτάθηκαν τα εξής τέσσερα προβλήματα: 1) Η Άννα έχει 6 καραμέλες. Η μητέρα τής έδωσε ακόμη 5. Πόσες καραμέλες έχει η Άννα όλες μαζί; (Πρόβλημα θετικού μετασχηματισμού ή αλλαγής όπου ζητείται η τελική κατάσταση.) 2) Έχεις 8 μπαλόνια. Από αυτά σκάνε τα 3. Πόσα μπαλόνια θα σου μείνουν; (Πρόβλημα αρνητικού μετασχηματισμού όπου ζητείται η τελική κατάσταση.) 3) Ο Πέτρος έχει 3 μπίλιες. Στο διάλειμμα έπαιξε με ένα φίλο του και κέρδισε ακόμη μερικές. Μετά το παιχνίδι όταν τις μέτρησε είχε 10 μπίλιες. Πόσες μπίλιες κέρδισε ο Πέτρος από τον φίλο του; (Πρόβλημα θετικού μετασχηματισμού όπου ζητείται ο μετασχηματισμός.) 4) Ο Γιάννης όταν έφυγε από το σπίτι είχε στην τσέπη του κάστανα. Στο δρόμο έφαγε τα 4. Μετά μέτρησε αυτά που του έμειναν και ήταν 8. Πόσα κάστανα είχε όταν έφυγε από το σπίτι; (Πρόβλημα αρνητικού μετασχηματισμού όπου ζητείται η αρχική κατάσταση.) Η ταξινόμηση των προβλημάτων σύμφωνα με τη σημασιολογική τους δομή και η ορολογία για την ανάλυσή τους είναι σύμφωνη με τις εργασίες των: G. Vergnaud, 1982, T.P. Carpenter, - J. M. Moser,1983. (για περισσότερες λεπτομέρειες βλέπε, Χ. Λεμονίδη (1994), σελ ). Στο πρώτο πρόβλημα είχαμε 74% επιτυχία, στο δεύτερο 80%, στο τρίτο 39% και στο τέταρτο 33%. Παρατηρούμε ότι τα δύο πρώτα προβλήματα είναι πολύ πιο εύκολα για τους μαθητές από τα δύο τελευταία. Η διαφορά αυτή επιτυχίας σε τέτοιου τύπου προβλήματα επιβεβαιώνεται και από πολλές διεθνείς έρευνες (M.S. Riley, 1981, T.P. Carpenter, - J. M. Moser, 1982, M. Fayol, 1990). 2 Για παράδειγμα, αν οι μαθητές έχουν να προσθέσουν τους αριθμούς 4 και 3, τότε λέμε ότι χρησιμοποιούν τη διαδικασία της απαρίθμησης όλων όταν: μετρήσουν ένα-ένα 4 δάκτυλα ή αντικείμενα, μετά μετρήσουν άλλα 3, τα βάλουν όλα μαζί και τα μετρήσουν πάλι όλα από την αρχή. Λέμε ότι χρησιμοποιούν τη διαδικασία της επαρίθμησης ή ευθείας αρίθμησης από, όταν ξεκινήσουν από το 4 και ανέβουν 3 αριθμούς έναν-έναν με τα δάκτυλα ή νοερά, δηλαδή πουν (4), 5, 6, 7. 3 Για παράδειγμα, αν οι μαθητές έχουν να προσθέσουν τους αριθμούς 14 και 12, τότε λέμε ότι χρησιμοποιούν διαδικασίες ανάκλησης ενδιάμεσων πράξεων όταν: ανακαλούν από τη μνήμη τους την πράξη 10+10=20 την πράξη 4+2=6 και στη συνέχεια υπολογίζουν 20+6=26.

15 15 Οι τύποι των δύο πρώτων προβλημάτων είναι εύκολοι για τους μαθητές, και όπως είδαμε στα προηγούμενα, μπορεί να λυθούν και από ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών του νηπιαγωγείου που δεν διδάχτηκαν καθόλου πρόσθεση ή αφαίρεση. Η αιτία της ευκολίας των προβλημάτων αυτών οφείλεται στα εξής: Αφενός είναι εύκολο να αναπαρασταθούν από τους μαθητές είτε νοερά είτε υλικά (δάκτυλα ή αντικείμενα) γιατί η εξέλιξη των γεγονότων και των δεδομένων ακολουθεί μια κανονική χρονική εξέλιξη. Π.χ. στο πρώτο πρόβλημα ο μαθητής παίρνει 6 αντικείμενα που βρίσκονται στη διάθεσή του ή σηκώνει 6 δάκτυλα για τις 6 καραμέλες, μετά παίρνει άλλα 5 αντικείμενα ή δάκτυλα και τα μετράει όλα μαζί για να βρει το αποτέλεσμα. Αφετέρου ο μετασχηματισμός που συντελείται στο πρόβλημα (έδωσε ακόμη πρόσθεση, σκάνε τα αφαίρεση) είναι συμβατός με την αντίστοιχη πράξη. Στα δύσκολα προβλήματα παρατηρούμε ότι δεν είναι εύκολη η άμεση υλική αναπαράσταση. Για παράδειγμα, στο τέταρτο πρόβλημα: Ο Γιάννης όταν έφυγε από το σπίτι είχε στην τσέπη του κάστανα... δεν μπορεί αυτό να αναπαρασταθεί με υλικά αντικείμενα. Επίσης, οι μετασχηματισμοί των προβλημάτων (κέρδισε αφαίρεση, έφαγε τα πρόσθεση) είναι αντίθετοι με τις αντίστοιχες πράξεις. Στη σημερινή διδασκαλία τα προβλήματα που προτείνονται στο βιβλίο του μαθητή της Α, Β αλλά και Γ τάξης, εκτός από το ότι είναι λίγα, στην πλειοψηφία τους είναι από τα εύκολα προβλήματα. Αλλά εκτός από αυτό εάν παρατηρήσουμε τις εκφωνήσεις των περισσοτέρων προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης που προτείνονται στους μαθητές της Α τάξης για εμπέδωση, βλέπουμε ότι το ζητούμενο μπορεί να βρεθεί από το μαθητή με μια απλή απαρίθμηση πάνω στην εικονογραφημένη αναπαράσταση του προβλήματος. Δηλαδή οι μαθητές δεν χρειάζεται να προβληματιστούν καθόλου. αρκεί να μετρήσουν στην εικόνα που τους δίνεται για να βρουν την απάντηση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η σελίδα 81 του δεύτερου τεύχους (Γ. Αποστολίκας, κ.ά, 1996) όπου προτείνονται προβλήματα εμπέδωσης των πράξεων μετά από πολλά μαθήματα σ αυτές, σχεδόν προς το τέλος της χρονιάς (μάθημα 95 ο, 96 ο ). Το ερώτημα που τίθεται είναι: πρέπει να δίνουμε στους μαθητές μόνο τύπους προβλημάτων που είναι εύκολα; Βεβαίως όχι, αφού οι τύποι αυτών των προβλημάτων όπως ήδη τονίσαμε λύνονται και από μαθητές του νηπιαγωγείου. Όταν θέτουμε προβλήματα στους μαθητές δεν το κάνουμε μόνο για να διαπιστώσουμε τι ξέρουν, αλλά για να τους προβληματίσουμε και να τους εισάγουμε σε νέες γνώσεις και δεξιότητες. Όταν πρόκειται για δύσκολα προβλήματα, για να διευκολύνουμε τους μαθητές, μπορούμε να τροποποιήσουμε (με εικονογράφηση, κ.ά) τις εκφωνήσεις των προβλημάτων αυτών. ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΣΤΟΥΣ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ: ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΟ ΟΡΓΑΝΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ Κατά τη γνώμη μας η μάθηση των απλών προσθέσεων (πίνακας της πρόσθεσης) και αφαιρέσεων δηλαδή των αθροισμάτων και διαφορών μονοψήφιων αριθμών που είναι μικρότεροι από το δέκα, είναι από τις πιο σημαντικές και καθοριστικές μαθήσεις που δέχεται ο μαθητής στα πλαίσια της στοιχειώδους εκπαίδευσης. Είναι σημαντική μάθηση γιατί με βάση τη γνώση των απλών αθροισμάτων και διαφορών θα

16 16 οικοδομήσει το παιδί τη γνώση και των άλλων απλών πράξεων (πολλαπλασιασμό, διαίρεση). Στις απλές αυτές πράξεις θα βασιστεί στη συνέχεια η μάθηση των γραπτών αλγοριθμικών πράξεων με πολυψήφιους αριθμούς. Άρα η μάθηση αυτών των απλών πράξεων αποτελεί δομικό και ουσιαστικό στοιχείο της μάθησης γενικά των τεσσάρων πράξεων, η οποία καλύπτει τη μεγαλύτερη έκταση της ύλης των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου. Επίσης πιστεύουμε ότι η μάθηση αυτή είναι καθοριστική για τη στάση του μαθητή απέναντι στα μαθηματικά. Η εύρεση των απλών αθροισμάτων ή διαφορών είναι από τα πρώτα προβλήματα που αντιμετωπίζει το παιδί στο μάθημα των Μαθηματικών. Η ευκολία αντιμετώπισής τους και το αίσθημα της επιτυχίας ή αποτυχίας στις πρώτες αυτές διανοητικές δοκιμασίες, θα είναι κάποιοι από τους καθοριστικούς παράγοντες για μια θετική ή αρνητική στάση του παιδιού απέναντι στο μάθημα αυτό. Για τους παραπάνω λόγους λοιπόν πιστεύουμε ότι η διδασκαλία των απλών αθροισμάτων και διαφορών αποκτά ιδιαίτερη βαρύτητα και θα πρέπει οι εκπαιδευτικοί να την αντιμετωπίσουν με τη δέουσα σοβαρότητα. Έστω ότι προτείνουμε στους μαθητές το εξής πρόβλημα: Ο Πέτρος έχει επτά καραμέλες, η μητέρα του του δίνει άλλες τέσσερις. Πόσες θα γίνουν όλες οι καραμέλες του Πέτρου μαζί με αυτές που του έδωσε η μητέρα του; Ξέρουμε ότι οι μαθητές μπορεί να χρησιμοποιήσουν διάφορες διαδικασίες ή στρατηγικές για να λύσουν αυτό το πρόβλημα: - Μπορεί να μετρήσουν ένα-ένα επτά αντικείμενα ή τις ίδιες τις καραμέλες ή τα δάκτυλά τους, μετά να μετρήσουν άλλα τέσσερα στη συνέχεια να τα βάλουν όλα μαζί και να τα μετρήσουν πάλι για να βρουν το άθροισμα. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε απαρίθμηση όλων ή επαναρίθμηση. - Να πουν επτά και στη συνέχεια να ανέβουν ένα-ένα τέσσερα βήματα για να βρουν το 11 χρησιμοποιώντας τα δάκτυλά τους ή χωρίς δάκτυλα αριθμώντας νοερά από μέσα τους. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε αρίθμηση από ή επαρίθμηση. Οι παραπάνω διαδικασίες έχουν το χαρακτηριστικό της μέτρησης των αριθμών έναένα και τις ονομάζουμε διαδικασίες μέτρησης. - Άλλοι μαθητές μπορεί να πουν: 7 και 3 κάνει 10, 10 και 1 κάνει 11. Οι μαθητές αυτοί κατασκευάζουν νοερά το άθροισμα αυτό. Ανακαλούν δηλαδή από τη μνήμη τους το άθροισμα 7+3=10 και προσθέτουν σ αυτό το 1 γιατί έχουν αναλύσει το 4 σε 3+1. Η διαδικασία αυτή παρατηρούμε ότι είναι ένας νοερός υπολογισμός. - Άλλοι μαθητές μπορεί να απαντήσουν γρήγορα 7+4=11. Οι μαθητές αυτοί ξέρουν απέξω την πράξη 7+4=11 και την ανακαλούν αμέσως από τη μνήμη τους. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε άμεση ανάκληση. Γνωρίζουμε ότι η πλειοψηφία των μικρών μαθητών στην αρχή χρησιμοποιεί τις διαδικασίες μέτρησης: απαρίθμηση όλων, επαρίθμηση και υπαρίθμηση (ή αντίστροφη αρίθμηση για την αφαίρεση). Ένα βασικό ερώτημα που τίθεται είναι: Πως θα οδηγήσουμε τους μαθητές από τις διαδικασίες μέτρησης στους νοερούς υπολογισμούς ή τις διαδικασίες άμεσης ανάκλησης; Όπως είδαμε στην ιστορική αναδρομή, κατά την πρώτη περίοδο στόχος της διδασκαλίας των απλών πράξεων ήταν η άμεση και μηχανική απομνημόνευση με τη συνεχή επανάληψη. Στη δεύτερη περίοδο εγκαταλείφθηκε αυτή η λογική. Στη σημερινή διδασκαλία δεν υπάρχει συγκεκριμένη στρατηγική βάσει της οποίας θα οδηγηθούν οι

17 17 μαθητές σε μια αποτελεσματική μάθηση των απλών πράξεων. Μέσα από την παράθεση της ύλης στο βιβλίο του μαθητή μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι κύριες διαδικασίες που μεταδίδονται στους μαθητές για την εύρεση των απλών αθροισμάτων και διαφορών είναι αυτές της μέτρησης ένα προς ένα (απαρίθμηση όλων, επαρίθμηση και υπαρίθμηση). Δεν υπάρχει κάποια οργανωμένη και επιτηδευμένη διδασκαλία για να οδηγήσει τους μαθητές να προχωρήσουν από τις διαδικασίες μέτρησης στις διαδικασίες νοερών υπολογισμών. Τα παιδιά δεν μαθαίνουν να υπολογίζουν με το να επαναλαμβάνουν τα αθροίσματα του πίνακα της πρόσθεσης και τις διαφορές, αυτό δηλαδή που ονομάζουμε μαθαίνουν απέξω. Δεν μαθαίνουν να υπολογίζουν ούτε με τις διαδικασίες αρίθμησης. Πολλά παιδιά, όπως γνωρίζουμε, όταν χρησιμοποιούν συστηματικά τις διαδικασίες μέτρησης ένα προς ένα και εγκλωβίζονται μόνο σ αυτές έχουν σοβαρές δυσκολίες για μεγάλο χρονικό διάστημα στους υπολογισμούς. Η μάθηση της αρίθμησης, όπως θα δούμε στη συνέχεια, είναι αναγκαία και αναπόφευκτη αλλά δεν είναι ικανή από μόνη της να οδηγήσει γρήγορα και αποτελεσματικά τους μαθητές στους υπολογισμούς. Θα πρέπει να διδάξουμε συστηματικά την επαρίθμηση και την υπαρίθμηση; Σε μια έρευνά μας στο τέλος της Α τάξης, με προσωπικές συνεντεύξεις σε 127 μαθητές από την περιοχή της Φλώρινας και της Θεσσαλονίκης (Χ. Λεμονίδης, 1998), είδαμε ότι ένα μεγάλο ποσοστό μαθητών χρησιμοποιεί συστηματικά τη διαδικασία της επαρίθμησης και υπαρίθμησης. Ακόμη και σε αθροίσματα όπως το 10+4, το 10+6, το 6+5, το 8-3 αφού έχει δοθεί αμέσως προηγούμενα το 3+5 και το 10-3 αφού έχει δοθεί αμέσως προηγούμενα το 7+3. Όταν οι μαθητές χρησιμοποιούν τη διαδικασία της επαρίθμησης για παράδειγμα στο άθροισμα 6+5 κρατούν στο μυαλό τους το 6 και ανεβαίνουν 5 βήματα αριθμώντας έναένα με τα δάκτυλα ή νοερά τους αριθμούς 7, 8, 9, 10, 11 και βρίσκουν το άθροισμα 11. Στη διαδικασία αυτή οι ποσότητες των αριθμών και οι μεταξύ τους σχέσεις δεν έχουν καμιά σημασία. Ξεκινούν από το μεγαλύτερο αριθμό, οποιοσδήποτε και αν είναι αυτός, χωρίς να εκτιμούν την ποσότητα και τη σχέση του με τον άλλο αριθμό. Στο παραπάνω παράδειγμα 6+5, το 6 θα μπορούσε να θεωρηθεί ως 5+1 και να εφαρμοστεί η διαδικασία της υπέρβασης της δεκάδας 6+5=5+1+5=10+1. ακόμη περισσότερο στο άθροισμα 10+4 και 10+6 φαίνεται ότι οι μαθητές δεν ελέγχουν τους αριθμούς προτού εφαρμόσουν τις αριθμητικές διαδικασίες γιατί το αποτέλεσμα της πράξης μας το λέει η ίδια η γλώσσα: δεκατέσσερα, δεκαέξι. Όλες οι διαδικασίες της μέτρησης ένα-ένα δεν δίνουν κανένα προνομιακό ρόλο στον αριθμό 10, ο οποίος είναι βασικός και χωρίς αυτόν δεν μπορεί να υπάρχει καλή αντίληψη των ποσοτήτων. Πολύ συχνά οι μαθητές εκτελούν λάθος τη διαδικασία της επαρίθμησης ή της υπαρίθμησης και βρίσκουν το αποτέλεσμα με -1 ή +1 αντίστοιχα. Αρκετοί μαθητές κάνουν συστηματικά για πολύ καιρό αυτό το λάθος. Το λάθος -1 στην επαρίθμηση: π.χ. στο άθροισμα 6+5, ο μαθητής μετράει και το 6 στα 5 βήματα, δηλαδή μετράει τα 5 βήματα 6, 7, 8, 9, 10 και βρίσκει το αποτέλεσμα 10. Το λάθος +1 στην υπαρίθμηση: π.χ. στη διαφορά 18-6 ο μαθητής μετράει μαζί με το 18 τα 6 βήματα (18, 17, 16, 15, 14, 13) και βρίσκει το αποτέλεσμα 13. Οι διαδικασίες αυτές, όταν βέβαια εκτελούνται σωστά, είναι συστηματικές και εφαρμόσιμες σε όλους τους μικρούς αριθμούς και επιτρέπουν στο μαθητή να βρίσκει

18 18 κάθε φορά το σωστό αποτέλεσμα. Στερούν όμως από το μαθητή τη δυνατότητα να βλέπει τους αριθμούς σαν ποσότητες (ποσοποίηση των αριθμών) να τους συγκρίνει μεταξύ τους, να σκέπτεται πάνω σ αυτούς και να έχει τα κριτήρια για να ελέγχει το αποτέλεσμα που βρίσκει. Δηλαδή οι διαδικασίες αυτές επιτρέπουν να βρίσκεται το αναμενόμενο αποτέλεσμα χωρίς να εκτιμούνται, να αναλύονται και να συγκρίνονται οι αριθμοί οι οποίοι χρησιμοποιούνται. Αυτό δεν επηρεάζει θετικά τη μάθηση γιατί σε μια πρώτη φάση της μάθησης των αριθμητικών εννοιών και οι πράξεις συμβάλουν στην κατανόηση και την εμπέδωση των αριθμών. Πιστεύουμε λοιπόν ότι θα πρέπει να είμαστε επιφυλακτικοί σε μια συστηματική διδασκαλία της επαρίθμησης και της υπαρίθμησης. Θα πρέπει από την αρχή να εισάγουμε διαδικασίες υπολογισμού που να περιορίζουν την αυθόρμητη χρήση των διαδικασιών αυτών από τους μαθητές και να τους δίνουν τη δυνατότητα να υπολογίσουν με τους αριθμούς παίρνοντας υπόψη την ποσότητά τους. Εμείς προτείνουμε ο μαθητής να χρησιμοποιεί αποτελέσματα που του είναι γνωστά και αποθηκεύονται πρόωρα στη μνήμη του για να υπολογίσει άλλες πράξεις. Στην πρόσθεση θα χρησιμοποιήσουμε σαν βάση τα αθροίσματα των ομοίων όρων (ν+ν=2ν: 1+1=2, 2+2=4, 3+3=6,...) τη δεκάδα και τα αθροίσματά της 10+ν, και την πεντάδα και τα αθροίσματά της 5+ν, για τους αριθμούς τους μικρότερους από το 10. Ο υπολογισμός, σε αντίθεση με την επαρίθμηση όπου εφαρμόζεται η ίδια μέθοδος για όλα τα αθροίσματα, εφαρμόζεται διαφοροποιημένος κάθε φορά ανάλογα με το άθροισμα. Για παράδειγμα, το άθροισμα 9+4 είναι κατάλληλο για να εφαρμοστεί η υπέρβαση της δεκάδας (9+1=10, 10+3=13), το άθροισμα 4+3 είναι κατάλληλο για να εφαρμοστεί η μέθοδος των ομοίων (4+3=3+1+3=6+1 ή 4+4=8-1=7), κτλ. Η απομνημόνευση των αριθμών και των απλών πράξεων Οι αριθμοί δεν είναι οργανωμένοι στη μνήμη μόνο σύμφωνα με τη σειρά της ακολουθίας τους. Αυτό δεν θα αρκούσε για να αναλύσουμε καθέναν από αυτούς σε αθροίσματα, διαφορές, γινόμενα ή πηλίκα άλλων αριθμών και να τα συγκρίνουμε μεταξύ τους. Δηλαδή αν οι αριθμοί ήταν απομνημονευμένοι μόνο κατά σειρά μέσα στη μνήμη μας, όπως συμβαίνει για παράδειγμα με τα γράμματα της αλφαβήτα, τότε αυτό θα έμοιαζε με μια γραμμική διάταξη ενός νήματος με κόμπους, όπου κάθε κόμπος θα αναπαριστούσε ένα αριθμό. Σε μια τέτοια περίπτωση η δυνατότητα σύγκρισης και ανάλυσης των αριθμών σε άλλους αριθμούς θα ήταν εντελώς περιορισμένη. Π.χ. για το γράμμα π μπορούμε να βρίσκουμε το αμέσως προηγούμενο ή το επόμενο γράμμα αλλά δεν μπορούμε να βρίσκουμε συνδυασμούς: π=κ+ζ ή π=δxδ, όπως συμβαίνει με τους αριθμούς. Η οργάνωση των αριθμών στην μνήμη μοιάζει περισσότερο με ένα δίκτυο όπου κάθε αριθμός μπορεί να συνδέεται με όλους τους άλλους. Στο δίκτυο αυτό μερικές αριθμητικές σχέσεις είναι πιο εύκολα αναγνωρίσιμες από άλλες. Οι αριθμοί που ανήκουν σε περισσότερες σχέσεις είναι οι κόμβοι του δικτύου. Πολλοί ψυχολόγοι και διδακτικοί (J. Groen & J.M. Parkman, 1972, M. Fayol, 1990, J.P. Fisher, 1992, κ.ά) συμφωνούν ότι υπάρχουν δύο βασικοί μηχανισμοί για την εύρεση των αποτελεσμάτων των απλών πράξεων. Ο πρώτος ονομάζεται αναπαραγωγική διαδικασία (reproductive processes) ή δηλωτική (declarative) και λειτουργεί με το να ανακαλεί άμεσα τα αποτελέσματα των απλών πράξεων που είναι αποθηκευμένα στη μνήμη μακράς διάρκειας (Μ.Μ.Δ.). Για παράδειγμα, ξέρουμε απέξω και απαντούμε αυτόματα ότι 5+3=8 ή 6x7=42, γιατί τις πράξεις αυτές τις

19 19 ανακαλούμε αμέσως από τη μνήμη μας, όπως θα ανακαλούσαμε οποιοδήποτε όνομα, ή γεγονός. Ο δεύτερος μηχανισμός ονομάζεται διαδικασία αναδόμησης (reconstructive processes) ή διαδικαστική (procedurale). Η λειτουργία αυτή δεν είναι άμεση κι απαιτεί κάποιες διαδικασίες υπολογισμού για να βρεθεί η απάντηση. Οι υπολογισμοί αυτοί συντελούνται στη μνήμη βραχείας διάρκειας ή μνήμη εργασίας με δεδομένα που ανασύρονται από τη Μ.Μ.Δ. Για παράδειγμα, όταν δε θυμόμαστε απέξω το αποτέλεσμα της πράξης 8x9 για να το ανασύρουμε αυτόματα από τη Μ.Μ.Δ. τότε εκτελούμε κάποιους υπολογισμούς με δεδομένα που ανακαλούμε από τη Μ.Μ.Δ. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορεί να ανακαλέσουμε από τη μνήμη το 8x10=80 και να εκτελέσουμε την πράξη 80-8=72. Πρώτοι οι ερευνητές J. Groen και J.M. Parkman (1972) μετρώντας τους χρόνους αντίδρασης σε απλές προσθέσεις με μαθητές Α τάξης, βρήκαν ότι από τα πρώτα αθροίσματα που απομνημονεύονται στη μνήμη είναι τα αθροίσματα της μορφής ν+ν (1+1, 2+2, 3+3,...) τα διπλά όπως ονομάστηκαν. Επίσης οι ερευνητές S.S. Woods, L.B. Resnick και G. J. Groen (1975) βρήκαν ότι οι πρώτες διαφορές που απομνημονεύονται στη μνήμη είναι: τα διπλά ν-ν, αλλά και οι διαφορές της μορφής 2νν (4-2, 6-3,...). Στη γρήγορη απομνημόνευση των αθροισμάτων της μορφής ν+ν βοηθάει η γλώσσα. Οι φράσεις της μορφής δύο και δύο, τέσσερα, τρία και τρία, έξι επειδή επαναλαμβάνεται δύο φορές η ίδια λέξη, μαθαίνονται από τους μαθητές εύκολα απέξω χωρίς πολλές φορές να καταλαβαίνουν τη σημασία τους. Για τα διπλά δηλαδή, συχνά η απομνημόνευση προηγείται της κατανόησης. Παρόμοια περίπτωση, που βοηθάει η γλώσσα για μια γρήγορη μάθηση, είναι τα αθροίσματα της μορφής 10+ν, όπου ο ν είναι μονοψήφιος φυσικός μεγαλύτερος του 2. Δηλαδή το αποτέλεσμα των αθροισμάτων 10+3,..., 10+9 το φανερώνει η ίδια η λέξηαριθμός: δεκατρία, δεκατέσσερα,..., δεκαεννιά. Νεότερες έρευνες (J.I.D. Campbell & D.J. Graham 1985, J.I.D. Campbell 1987, J.P. Fischer 1989) που προσπάθησαν να ερμηνεύσουν με τη βοήθεια της μέτρησης του χρόνου αντίδρασης τον τρόπο που οργανώνονται στη μακρόχρονη μνήμη τα πολλαπλασιαστικά γεγονότα, καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η μάθηση των απλών πολλαπλασιαστικών πράξεων είναι περισσότερο ανακλητική παρά ανακατασκευαστική. Δηλαδή ο πίνακας του πολλαπλασιασμού μαθαίνεται μ ένα τρόπο περισσότερο ανακλητικό από ό,τι οι προσθέσεις και προπαντός οι αφαιρέσεις. Θα πρέπει να τονίσουμε στο σημείο αυτό, όσον αφορά στην εισαγωγή της πράξης του πολλαπλασιασμού, ότι δεν θα πρέπει να βιαστούμε για να εισάγουμε την πράξη αυτή. Οι μαθητές για να μπορούν να υπολογίζουν τα γινόμενα μικρών αριθμών με επαναλαμβανόμενη πρόσθεση θα πρέπει να είναι ικανοί να εκτελούν τα διάφορα αθροίσματα με άμεση ανάκληση από τη μνήμη ή τουλάχιστον με κάποιους σύντομους έμμεσους υπολογισμούς. Αν οι μαθητές καταφεύγουν σε διαδικασίες μέτρησης ένα προς ένα για τον υπολογισμό των αθροισμάτων, πράγμα που συμβαίνει συχνά τουλάχιστον στην Α τάξη, τότε προφανώς ο υπολογισμός του γινομένου γίνεται για το μαθητή μια πολύ δύσκολη και εκτεταμένη διαδικασία. Θα πρέπει λοιπόν, για να εισάγουμε τον πολλαπλασιασμό, να είμαστε σίγουροι ότι οι μαθητές μας μπορούν να εκτελούν γρήγορα και με ευχέρεια τα αθροίσματα.

20 20 Μέτρηση στα αντικείμενα ή δάκτυλα και υπολογισμός στα αντικείμενα ή δάκτυλα Ένα ερώτημα που τίθεται είναι: από πότε πρέπει να εισάγουμε τους μαθητές στους υπολογισμούς; Υπάρχει μια αρκετά διαδεδομένη άποψη που υποστηρίζει ότι στην αρχή θα πρέπει οι μαθητές να χρησιμοποιούν τις διαδικασίες απαρίθμησης και στη συνέχεια να τους εισάγουμε σε διαδικασίες υπολογισμών και πράξεων. Εμείς πιστεύουμε ότι οι υπολογισμοί μπορεί να αρχίσουν από την αρχή της μάθησης των αριθμητικών εννοιών, δηλαδή από το νηπιαγωγείο, όπου το παιδί θα αρχίσει να δέχεται μια οργανωμένη διδασκαλία και θα ενεργεί πάνω στα αντικείμενα για να ανακαλύψει τους αριθμούς. Η άποψη αυτή προτείνεται και αναλύεται από το Γάλλο ερευνητή Rémi Brissiaud (1989, 1991) 4. Ο Rémi Brissiaud (1991, σελ. 9-10) υποστηρίζει ότι από την αρχή της μάθησης των αριθμητικών εννοιών θα πρέπει να διαχωρίσουμε τους όρους: απαρίθμηση των αντικειμένων και υπολογισμός πάνω στα αντικείμενα. Λέει χαρακτηριστικά: έστω ότι έχουμε ένα παιδί 3 χρόνων που δεν ξέρει ακόμη να αναγνωρίζει την ποσότητα των τριών αντικειμένων και έχει μπροστά του τρία γλυκά. Τότε ο ενήλικος για να υποδείξει στο παιδί την ποσότητα των τριών γλυκών έχει δύο επιλογές: Η πρώτη συνίσταται στο να διδάξει την απαρίθμηση. Ενήλικος: Πόσα γλυκά θα φας; Παιδί: Δεν ξέρει. Ενήλικος: Υπάρχουν 3, βλέπεις 1, 2, 3 (απαριθμώντας τα ένα-ένα). Αυτό είναι μια δραστηριότητα απαρίθμησης των αντικειμένων. Υπάρχει και μια άλλη επιλογή: Ενήλικος: Είναι 2 τα γλυκά που θα φας; Ελπίζουμε ότι το παιδί αναγνωρίζει τα 2 γλυκά μεταξύ των 3 που βρίσκονται μπροστά του 5 και απαντάει: Παιδί: Θα φάω 2 και ακόμη αυτό εδώ. Ενήλικος: Ναι, 2 και ακόμη 1, βλέπεις, αυτό ονομάζεται 3. Είναι ουσιώδες να υπογραμμίσουμε ότι εδώ πρόκειται για δύο πολύ διαφορετικές στρατηγικές ποσοποίησης. Πράγματι, στην περίπτωση της απαρίθμησης, τα αντικείμενα διαχωρίζονται το ένα μετά το άλλο απαγγέλλοντας τις λέξεις-αριθμούς (ένα, δύο, τρία) με τη συμβατική σειρά. Το παιδί που χρησιμοποιεί την άλλη στρατηγική ορίζει μια ποσότητα που του είναι άγνωστη με την βοήθεια γνωστών ποσοτήτων, των ποσοτήτων δύο και ένα, προτού ο ενήλικος κατονομάσει αυτή τη νέα ποσότητα: αυτό ονομάζεται τρία. Αυτός ο διάλογος είναι ένα είδος παράφρασης της ισότητας 2+1=3. Επειδή αυτή η κατάσταση απαιτεί την παρουσία αντικειμένων (εδώ τα γλυκά), θα μιλάμε για υπολογισμό πάνω στα αντικείμενα. Μπορούμε να διδάξουμε τους υπολογισμούς πάνω σε αντικείμενα, για μικρούς αριθμούς μέχρι το 3 εκμεταλλευόμενοι την πρώιμη ικανότητα των παιδιών για άμεση εκτίμηση (subitizing), που είδαμε στο κεφάλαιο ΙΙΙ, χωρίς να χρειάζεται η απαρίθμηση. 4 Ο Rémi Brissiaud πάνω σ αυτό το θέμα έγραψε το βιβλίο: Comment les enfants apprennent à calculer, πως οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν. Στη λογική αυτή έγραψε και σχολικά βιβλία της Α δημοτικού J apprends les maths (1991), Μαθαίνω μαθηματικά. 5 Η ελπίδα αυτή είναι πολύ λογική γιατί πολύ πρόωρα τα μικρά παιδιά αναγνωρίζουν και ονομάζουν μια ποσότητα με 2 αντικείμενα. Πολλές φορές μάλιστα το αναγνωρίζουν αυτό πριν ακόμη μάθουν να απαριθμούν μέχρι το 2. (J. P. Fischer, 1984).