ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Transcript

1 ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν τις ανώνυμες απαντήσεις των 315 μαθητριών και μαθητών του 41 ου Γυμνασίου και Λυκείου στο ερώτημα «Πόσα χρήματα ξοδεύετε κατά μέσο όρο την εβδομάδα στο κυλικείο του σχολείου». Στις δύο πρώτες διδακτικές ώρες που ήταν συνεχόμενες, οι μαθητές, χωρισμένοι σε ομάδες, ασχολήθηκαν με τα ερωτήματα του φύλλου εργασίας. Συγκεκριμένα την 1 η διδακτική ώρα με τα πρώτα 5 ερωτήματα και τη 2 η με το 6 ο ερώτημα. Την 3 η διδακτική ώρα, μέσω βίντεο-προβολέα και με χρήση του λογισμικού fathom, έγινε παρουσίαση της κατανομής των μέσων όρων μεγάλου πλήθους τυχαίων δειγμάτων. Σκοπός της συγκεκριμένης παρέμβασης είναι οι μαθητές, μέσω της εμπλοκής τους στη διεξαγωγή μιας πραγματικής στατιστικής έρευνας, να αντιληφθούν ότι οι μέχρι τώρα μαθηματικές τους γνώσεις επαρκούν για να κατανοήσουν σ ένα πρώτο επίπεδο, τις έννοιες του τυπικού σφάλματος και του διαστήματος εμπιστοσύνης. Να καταλάβουν ότι το τυπικό σφάλμα και το διάστημα εμπιστοσύνης από τη μία και το μέγεθος του πληθυσμού από την άλλη, είναι οι παράγοντες που καθορίζουν το μέγεθος του δείγματος σε μια στατιστική έρευνα. Σκοπός επίσης είναι να βοηθηθούν στο να «διαβάζουν» και να ερμηνεύσουν σωστά τα αποτελέσματα στατιστικών ερευνών τέτοιου τύπου. Η 1 η ερώτηση του φύλλου εργασίας έχει στόχο να εισάγει την έννοια του δείγματος και μέσα από συζήτηση να αναδειχθεί η αναγκαιότητα της ύπαρξής του σε μια στατιστική έρευνα, καθώς και οι λόγοι που οδηγούν στην επιλογή του μεγέθους του. Παρατηρήσαμε ότι, σχεδόν το σύνολο των μαθητών, χωρίς να έχει προηγούμενη σχολική γνώση, κατείχε την έννοια του δείγματος, γνώριζε ότι κάθε έρευνα χρησιμοποιεί δείγμα του πληθυσμού. Διαπιστώσαμε επίσης, ότι γνώριζαν τους βασικούς λόγους που επιβάλλουν την επιλογή δείγματος (μεγάλος πληθυσμός, έξοδα απογραφής, οικονομία χρόνου).

2 Στην ερώτηση αν έπρεπε να ξαναμαζέψουν τα δεδομένα, ορισμένοι μαθητές υποστήριξαν ότι θα έπρεπε να επαναλάβουν τη διαδικασία απογραφής. Δεν είμαστε σίγουροι αν αυτή η άποψη οφείλεται στο ότι στις μαθηματικές ασκήσεις που λύνουν τους ζητείται πάντα ακρίβεια στο αποτέλεσμα ή στο ότι θεώρησαν ότι δεν είναι πολύ δύσκολο να ξαναμαζέψουν τα δεδομένα. Οι περισσότεροι μαθητές υποστήριξαν ότι και χωρίς τις 50 παρατηρήσεις θα μπορούσαμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το μέσο όρο των χρημάτων που ξοδεύουν οι μαθητές την εβδομάδα, χωρίς να αποκλίνουμε σοβαρά από τον πραγματικό μέσο όρο. Πιστεύω ότι σ αυτό το σημείο υπήρξε έλλειψη στο σχεδιασμό της παρέμβασης, διότι δεν αναδεικνύεται σε ποιες περιπτώσεις μας εξυπηρετεί το ίδιο καλά μια ικανοποιητική προσέγγιση του πραγματικού μέσου όρου, από τον ακριβή υπολογισμό του. Αφήνεται να εννοηθεί ότι σκοπός μας είναι ο ακριβής υπολογισμός του πραγματικού μέσου και επειδή χάθηκαν οι 50 παρατηρήσεις, απλώς συμβιβαζόμαστε με τον μέσο των υπόλοιπων παρατηρήσεων. Θεωρώ ότι η μη αναγκαιότητα επανάληψης της απογραφής θα έπρεπε να αναδειχθεί μέσα από ένα πραγματικό πρόβλημα, που για την αντιμετώπισή του να αρκούσε μια ικανοποιητική προσέγγιση του μέσου όρου, άρα να μην ήταν αναγκαία η απογραφή. Για παράδειγμα αν το κυλικείο νοικιάζεται μέσω μειοδοτικού διαγωνισμού και έπρεπε κάποιος να καταθέσει την πρότασή του στη σχολική επιτροπή για το πόσα χρήματα θα καταβάλει για κάθε μαθητή το χρόνο. Με τη 2 η και 3 η ερώτηση θέλαμε οι μαθητές να διαπραγματευτούν και να ανταλλάξουν απόψεις, αρχικά ως ομάδα και στη συνέχεια ως τμήμα, σχετικά με τον όρο «καλή» στατιστική έρευνα και τις έννοιες «τυπικό στατιστικό σφάλμα» και «διάστημα εμπιστοσύνης». Οι απόψεις τους σίγουρα δεν μπορεί να βασίζονται σε σχολικές γνώσεις, αλλά σε γνώσεις αντλούμενες από το ευρύτερο κοινωνικό περιβάλλον. Διαπιστώσαμε ότι στο συγκεκριμένο ερώτημα, αντεπεξήλθαν καλύτερα οι μαθητές της Β τάξης. Φαίνεται, ότι όσον αφορά την κοινωνική γνώση, η διαφορά ενός χρόνου ηλικίας δεν είναι καθοριστικός παράγοντας, αλλά έχει να κάνει με τα ερεθίσματα που δέχεται κανείς από το περιβάλλον και πώς ο ίδιος τα αξιοποιεί. Στο 3 ο ερώτημα, για να κατανοήσουν την έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης, απαιτείται η σωστή χρήση του ποσοστού που οι μαθητές έχουν διδαχθεί, αλλά και η χρήση της πιθανότητας που δεν έχουν διδαχθεί. Επίσης, για την ερμηνεία του τυπικού

3 σφάλματος, ο συμβολισμός 3,09% συνδέεται με την απόσταση δύο αριθμών, δηλαδή με την έννοια της απόλυτης τιμής. Με την 4 η ερώτηση στοχεύαμε οι μαθητές να προσεγγίσουν διαισθητικά το ζήτημα. Παρατηρώντας τις ταυτότητες των τριών ερευνών που τους δώσαμε, να φτάσουν στο συμπέρασμα ότι το στατιστικό σφάλμα και το διάστημα εμπιστοσύνης σχετίζονται άμεσα με το μέγεθος του δείγματος και το μέγεθος του πληθυσμού. Στην 5 η ερώτηση δεν αναμέναμε οι μαθητές να δώσουν εμπεριστατωμένη απάντηση, αλλά είχε ως στόχο να τους προετοιμάσει για το επόμενο βήμα, όπου μέσα από ένα παράδειγμα μικρού πληθυσμού ώστε να είναι εφικτοί οι υπολογισμοί, να κατανοήσουν ότι το μέγεθος του δείγματος είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το διάστημα εμπιστοσύνης και το στατιστικό σφάλμα. Στο 6 ο ερώτημα οι μαθητές εμπλέκονται με τις έννοιες, του μέσου όρου και των συνδυασμών. Αν και δεν είχαν διδαχθεί το μέσο όρο, όλοι οι μαθητές ήταν σε θέση να γνωρίζουν τι σημαίνει και πώς υπολογίζεται. Την έννοια των συνδυασμών δεν την γνώριζαν καθόλου, αλλά μέσα από την εμπλοκή τους στο πρόβλημα την προσέγγισαν με επιτυχία. Οι πλειοψηφία των ομάδων ήταν σε θέση να εντοπίσει πόσοι και ποιοι είναι οι συνδυασμοί 5 ανά 3. Σ αυτό το βήμα, δώσαμε στους μαθητές τις τιμές, υποτίθεται των πρώτων 5 παρατηρήσεων και θέλαμε να διαπιστώσουν ότι αν πάρουμε ένα οποιοδήποτε δείγμα 3 παρατηρήσεων, ο πραγματικός μέσος όρος απέχει 0, 4 από το μέσο του δείγματος με πιθανότητα 80%, δηλαδή συμβαίνει στα 8 από τα 10 δυνατά διαφορετικά δείγματα. Απ ότι φάνηκε, με την ολοκλήρωση αυτού του βήματος οι μαθητές πράγματι το διαπίστωσαν και αυτό πιστεύω συνέβαλε στη σωστή κατανόηση του τυπικού σφάλματος και του διαστήματος εμπιστοσύνης. Από την άλλη όμως, ίσως πέρασε η ιδέα στους μαθητές ότι αυτό συμβαίνει για οποιεσδήποτε 5 παρατηρήσεις, πράγμα που δεν ισχύει. Οι 5 παρατηρήσεις ήταν επιλεγμένες από εμάς ώστε να συμβαίνει αυτό. Ορθότερο θα ήταν οι μαθητές να διαπιστώσουν ότι σε μεγάλους πληθυσμούς, που οι δυνατοί συνδυασμοί του δείγματος είναι πάρα πολλοί, πράγματι το διάστημα εμπιστοσύνης τείνει στο ποσοστό που δίνεται. Το μικρό πλήθος παρατηρήσεων που χρησιμοποιήσαμε στο βήμα αυτό, διευκόλυνε τους υπολογισμούς αλλά αναπόφευκτα μπορεί να οδήγησε σε λανθασμένο συμπέρασμα τους μαθητές. Μάλλον θα έπρεπε να

4 σχεδιάσουμε την παρέμβαση, έτσι ώστε οι μαθητές να το διαπιστώσουν πειραματιζόμενοι με το λογισμικό fathom που προσφέρεται γι αυτή την περίπτωση. Αυτό όμως απαιτούσε και περισσότερο χρόνο και πρόσβαση στο εργαστήριο πληροφορικής, δυνατότητες που για τη συγκεκριμένη παρέμβαση δεν είχαμε. Την 3 η διδακτική ώρα κάναμε παρουσίαση μέσω βίντεο-προβολέα. Με χρήση του λογισμικού fathom παρουσιάσαμε την κατανομή τυχαίων δειγμάτων 150 παρατηρήσεων, ξεκινώντας από 100 τυχαία δείγματα και φτάνοντας μέχρι τα Στόχος ήταν, οι μαθητές να διαπιστώσουν ότι όσο αυξάνεται ο αριθμός των τυχαίων δειγμάτων, ο μέσος όρος αυτών που αποκλίνουν από τον πραγματικό μέσο κατά 0,3, είναι περίπου το 90%, άρα το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για να πετύχουμε στατιστικό σφάλμα 0, 3 με διάστημα εμπιστοσύνης 90%, είναι περίπου 150. Πιστεύω ότι θα ήταν διδακτικά προτιμότερο αν αντί της παρουσίασης από εμάς, οι μαθητές, με τη δική μας συνδρομή, πειραματιζόταν οι ίδιοι με το fathom κατά ομάδες στο εργαστήριο πληροφορικής. Θα είχαν μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα, αν εντόπιζαν μόνοι τους το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για διαφορετικούς συνδυασμούς τυπικού σφάλματος και διαστήματος εμπιστοσύνης. Όμως, για τους λόγους που προαναφέραμε, αυτό δεν ήταν εφικτό. Στη συνέχεια ζητήσαμε τις απόψεις των μαθητών για το τι μέγεθος πρέπει να είναι το δείγμα, ώστε να πετύχουμε τυπικό σφάλμα 0, 3 με διάστημα εμπιστοσύνης 90%, αν ο πληθυσμός αντί για 315 ήταν 1.000, ή και επίσης τυπικό σφάλμα 0,2 με διάστημα εμπιστοσύνης 95%, αν ο πληθυσμός ήταν ή Στόχος ήταν οι μαθητές να κατανοήσουν γιατί οι στατιστικές έρευνες που αρχικά τους δώσαμε, χρησιμοποιούν τόσο μικρό δείγμα σε σχέση με τον πληθυσμό. Εδώ αναμέναμε ότι κυρίαρχο ρόλο στις απαντήσεις των μαθητών θα έπαιζε η αναλογία. Υπήρξαν μαθητές που απάντησαν σκεπτόμενοι αναλογικά, αλλά τελικά δεν ήταν αυτή η κυρίαρχη τάση στις απαντήσεις τους. Τέλος, θέλαμε να έχουν μια εικόνα οι μαθητές για το πλήθος των δυνατών συνδυασμών των 315 παρατηρήσεων ανά 150. Φυσικά δεν θα μπορούσαν να φανταστούν ότι οι διαφορετικοί συνδυασμοί είναι (96 μηδενικά). Δεν αναφερθήκαμε στο πώς υπολογίζονται οι δυνατοί συνδυασμοί, διότι ξέφευγε από τους στόχους της παρέμβασης, απλώς αναφέραμε το πλήθος τους.

5 Τα βήματα που ακολουθήσαμε στην παρέμβαση, η διαμόρφωση του φύλλου εργασίας και γενικά ο σχεδιασμός της παρέμβασης, έγινε μέσα από διαπραγμάτευση της ομάδας. Η αρχική ιδέα ήταν να πραγματοποιήσουν οι ίδιοι οι μαθητές όλα τα βήματα μιας στατιστικής έρευνας, συγχρόνως όμως, θα έπρεπε να είχαν τη δυνατότητα να ελέγξουν το αποτέλεσμα. Η ιδέα της απογραφής ήταν σημαντική διότι έλυσε το ζήτημα ελέγχου του αποτελέσματος. Η συνεργασία της ομάδας και κατά τον σχεδιασμό, αλλά και κατά την διεξαγωγή της παρέμβασης, λειτούργησε ικανοποιητικά. Πιστεύω ότι ο σχεδιασμός παρεμβάσεων που ξεφεύγουν από τα σχολικά εγχειρίδια και το αναλυτικό πρόγραμμα, πρέπει να προκύπτει μέσα από τη συνεργασία των εκπαιδευτικών. Πιστεύω επίσης, ότι για να εξυπηρετηθούν οι διδακτικοί στόχοι μιας τέτοιας παρέμβασης, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η εμπειρία της διεξαγωγής, διότι οι αντιδράσεις των μαθητών φωτίζουν παραλήψεις στο σχεδιασμό και την πρακτική της τάξης που δεν είναι δυνατό να προβλεφτούν από πριν. Αν λάβουμε υπόψη ότι ο τρόπος διδασκαλίας της στατιστικής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση δεν αναδεικνύει το στοχαστικό τρόπο σκέψης, αντίθετα εμμένει στον αλγεβρικό τρόπο αντιμετώπισης, τέτοιου είδους παρεμβάσεις μπορεί να μας δώσουν ιδέες για αποδοτικότερο τρόπο διδασκαλίας. Μέσα από την όλη εμπλοκή μου στην παρέμβαση, δηλαδή από τη συνεργασία στο σχεδιασμό και την εμπειρία της διεξαγωγής, συνειδητοποίησα καλύτερα ορισμένες στατιστικές έννοιες, στοιχείο που θα με βοηθήσει στη διδασκαλία τους. Κρίνοντας συνολικά την παρέμβαση, θεωρώ ότι ήταν ένα δύσκολο εγχείρημα, διότι απαιτούσε την εμπλοκή των μαθητών σε πολλές νέες έννοιες που δεν έχουν διδαχθεί και που ορισμένες από αυτές είναι εκ φύσεως δύσκολο να κατανοηθούν. Συνυπολογίζοντας ότι έπρεπε να πραγματοποιηθεί σε τρεις διδακτικές ώρες χωρίς πρόσβαση στο εργαστήριο πληροφορικής, αναπόφευκτα θα άφηνε κενά και αναπάντητα ερωτήματα. Για τις έννοιες του μέσου όρου και της πιθανότητας, οι μαθητές, αν και δεν τις είχαν διδαχθεί, τις κατείχαν από την εμπειρία τους, κάτι που το αναμέναμε. Εδώ, σημαντικό στοιχείο ήταν το ότι μια παρατήρηση με τιμή 1100 δεν την έλαβαν καθόλου υπόψη, ενώ μια άλλη με τιμή 80, την αντικατέστησαν θεωρώντας την ως 8. Αυτή η πρωτοβουλία των μαθητών φανερώνει ότι εμπειρικά γνώριζαν ότι οι ακραίες αυτές τιμές θα επηρέαζαν το μέσο όρο αλλοιώνοντας το αποτέλεσμα.

6 Με την έννοια των συνδυασμών οι μαθητές επίσης αντεπεξήλθαν με επιτυχία, εντοπίζοντας με σχετική ευκολία όλους τους δυνατούς συνδυασμούς 5 ανά 3. Αναπόφευκτα όμως, έμεινε αναπάντητο το πώς υπολογίζουμε το πλήθος των δυνατών συνδυασμών. Το δύσκολο σημείο ήταν το τυπικό σφάλμα και το διάστημα εμπιστοσύνης. Απ ότι φάνηκε, κατανόησαν τις έννοιες αυτές, αλλά δεν είμαστε σίγουροι αν, μέσω της παρουσίασης την 3 η διδακτική ώρα, συνειδητοποίησαν ότι όταν π.χ. μιλάμε για διάστημα εμπιστοσύνης 90%, δεν εννοούμε ότι αυτό συμβαίνει ακριβώς στο 90% των δειγμάτων. Εδώ αναπόφευκτα εμπλέκεται το κατά πόσο οι μέσοι των δειγμάτων προσεγγίζουν την κανονική κατανομή, κάτι που οι μαθητές το είδαν μεν γραφικά στην παρουσίαση, αλλά χωρίς να γίνει καμία αναφορά σ αυτό. Μόνο αν πειραματιζόταν οι ίδιοι με διαφορετικούς πληθυσμούς, χρησιμοποιώντας το fathom, θα βοηθούσε προς αυτή την κατεύθυνση. Ένα άλλο ερώτημα που έμεινε αναπάντητο και που δεν θα μπορούσε να γίνει διαφορετικά, ήταν το πώς υπολογίζουμε το μέγεθος του δείγματος. Αυτό που προσπαθήσαμε να αναδείξουμε μέσα από την παρέμβαση, είναι ότι εξαρτάται από το τι στατιστικό σφάλμα και διάστημα εμπιστοσύνης επιθυμούμε και από το μέγεθος του πληθυσμού. Νομίζω ότι σε μεγάλο βαθμό το πετύχαμε.