ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA"

Transcript

1 ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA Princip smanjenja smetnji Na području zapadne obale Istre i nekih dijelova almacije već više mjeseci traju smetnje u prijamu digitalnih televizijskih programa iz svih digitalnih mreža što je posljedica utjecaja signala talijanskih TV postaja koje rade na istim kanalima kao i odašiljači tvrtke Odašiljači i veze čije usluge emitiranja koriste svi televizijski koncesionari na nacionalnoj i regionalnoj razini. Smetnje u prijamu TV signala smanjujemo na taj način da povećamo odnos između korisnog i smetajućeg signala. Bilo kakav pokušaj rješenja s ugradnjom pojačala, usisnih filtera neće riješiti problem smetnji. Na području zapadne obale Istre radi o istokanalnim smetnjama na kanalu K28, K29 i K53. Rješenje, koje osjetno može smanjiti ili čak u potpunosti eliminrati utjecaj smetnje, ovisno o lokaciji i jačini smetajućeg signala, je korištenje 2 ili više prijamnih antena. Razlike u nivoima između korisnog i smetajućeg signala su ovisne o položaju mjesta prijama te predložena rješenja nisu uvijek dostatna za potpuno otklanjanje smetnji. Osim toga utjecaj smetnji je uveliko ovisan i o vremenskim uvjetima i propagaciji, što je ljeti posebno izraženo. Prijemno polje se može znatno promijeniti i ukoliko pomaknemo antenu za nekoliko metara ili antenu zaklonimo kako bi smanjili utjecaj smetajućeg signala tako da treba potražiti optimalan položaj prijamne antene. Svjesni smo da na obiteljskim kućama za to nema previše mogućnosti te je to najčešće nemoguće, ali na stambenim zgradama treba svakako pokušati primjeniti i tu metodu. Istovremeno je važno napomenuti da se prijemno polje mijenja i po visini tako da opće rašireno uvjerenje da je najbolje postaviti antenu na vrh stupa ne znači i da je to najbolje rješenje. Teoretski se amplituda jačina polja sinusoidalno mijenja sa visinom pa se lako može dobiti i minimum signala koji može biti čak i db manji od maksimuma na toj istoj poziciji. Perioda te sinusoide je ovisna o udaljenosti odašiljačke i prijemne točke, visinske razlike među njima, odbijanja od zemlje, mora i ne postoji formula za njeno točno određenje. Ako na krovu već postoji antenski stup, treba pokušati promjenom visine, naći optimalnu poziciju. Tehnika HTV-a 1

2 Izbor antene Pravilno odabrana antena je najvažniji element u otklanjanju, odnosno, smanjenju utjecaja smetnje. Najbolje je koristiti usmjerene YAGI UHF antene, koje su duže vrijeme bile zapostavljene, a neko vrijeme ih čak nije bilo moguće niti nabaviti. Te antene su skuplje od logaritamskih antena pa ih se zato rijeđe koristi, no, njihove prednosti, kvaliteta, dugovječnost će se vrlo brzo isplatiti. U tekstu nisu navedeni proizvođači antena, ali su opisana i prikazana neka od rješenja. Rješenja je moguće izvesti i sa logaritamskim UHF antenama, ali su rezultati lošiji jer je dobitak tih antena, u odnosu na YAGI antene, osjetno manji (6 i više db). Najbolji rezultati se postižu ukoliko koristite kanalne antene (antene za grupe kanala) te ukoliko kompletan sustav primjenjujete na pojedinačni prijem kanala. akle posebno rješenje za K28 (MUX A) i za K53 (MUX B). Zbog susjednih kanala K28 i K29 (MUX A i MUX ) rješenje može biti zajedničko, ukoliko smetnja dolazi iz istog smjera Odnos kanal /frekvencija /valna duljina širina UHF kanala je 8MHz UHF kanal frekvencija valna duljina UHF kanal frekvencija valna duljina UHF kanal frekvencija valna duljina MHz (m) MHz (m) MHz (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,407 Zaštita s usmjerenošću antene Teoretski je rješenje problema jednostavno. ovoljno je upotrijebiti prijamnu antenu, čiju izrazitu nulu u njenom antenskom dijagramu postavimo u smjer smetnje. Taj postupak ima ograničeno područje primjene : zato jer je nula često pod pravim kutem u odnosu na smjer glavnog snopa signala te ukoliko na taj način postavimo antenu, izgubit ćemo i dio korisnog signala. zato jer je kod nekih antena nula slabo izražena Tehnika HTV-a 2

3 Taj postupak se koristi u slučaju ako smetnja dolazi samo iz jednog smjera što se rijetko događa s obzirom da se signal odbija od brda, zgrada i metalnih dijelova tako da imamo prisutan i reflektirani smetajući signal. Tu metodu možemo upotrijebiti samo ako je nivo smetnje niži od nivoa korisnog signala te ako nam smjer dolaska smetnje to omogućava, kako razlika kuta usmjerenja antene i korisnog smjera ne bi bila prevelika. Ta se način dosta koristi i kod smanjenja utjecaja susjednih SFN odašiljača iste mreže digitalnih odašiljača tako da često imate slučaj da najbolji smjer antene nije u smjeru odašiljača, odnosno, antena nije usmjerena prema samom odašiljaču. U tom slučaju i logaritamska antena može biti dobra jer joj je nula dosta izražena. U takvim slučajevima odstupanje antene od glavnog, korisnog signala, može biti i značajno pa se to i ne može uvijek primjeniti te treba odabrati antenu s drugim antenskim dijagramom, odnosno antenu čija konstrukcija ima nulu u potrebnom smjeru. Primjer korištenja nule antene za smanjenje utjecaja susjednog SFN odašiljača ili smetnje akle, problem je ipak kompleksan i rješenja, nažalost, nisu tako jednostavna te najčešće treba koristiti sustave sa dvije ili četiri antene. Tehnika HTV-a 3

4 Sustav s dvije antene u horizontalnoj ravnini Odaberemo 2 identične UHF antene, preporučamo kanalne UHF YAGI antene (ili antene za grupu kanala), postavljene u istoj horizontalnoj ravnini, kao na slici. Napon na antenama, koji dobijamo iz korisnog polja se praktički duplira, dakle, poveća se za 3 db i to ako su antene paralelne i ako se nalaze u homogenom elektromagnetskom polju. Istovremeno, napon smetajućeg signala, koji je na antenama, isti po jačini, dobijemo s različitom fazom, ovisno o razmaku antena i kuta upada smetajućeg signala. Postupak je slijedeći: a) izjednačimo jačinu nivoa smetajućeg signala na obje antene kako bi mogli dobiti gušenje s depolarizacijom premještanjem položaja antena ili na jedan kraj kabela postavimo promjenjivi atenuator 0,5 2db ili rotacijom cijelog sustava oko osi b) reguliramo udaljenost kako bi dobili protufazni nivo smetajućeg signala Problem je riješiv, osim ako smetajući i korisni signal dolaze iz istog smjera! S obzirom da je povećanje korisnog signala nešto manje od 3 db, što se u praksi niti ne osjeti, važno je napomenuti da se pri tome smanjio nivo smetajućeg signala čime se povećao odnos korisnog signala u odnosu na smetajući. Ako želimo postići dovoljan zaštitni odnos korisnog u odnosu na smetajući signal, moramo biti jako precizni pri podešavanju antena i određivanju iste amplitude smetajućeg signala, a time i protufaznosti ukupnog signala pa preporučamo korištenje odgovarajućih mjernih uređaja. Ovakav sustav s dvije antene možemo realizirati sa bilo kojim UHF antenama pod uvjetom da su antene iste i da su kabeli odlično simetrirani (identični!) Prije nego postavimo sustav s 2 antene za otklanjanje smetnje, moramo postaviti i odrediti glavne karakteristike sustava te predvidjeti razna mehanička rješenja. Na slici se nalazi primjer spojnice ukrute horizontalne cijevi na kojoj se nalaze antene s mogućnošću rotacije oko vertikalne osi (stupa). Kao antene smo koristili antene koje imaju podesive držače za V i H polarizaciju što nam je uveliko pomoglo pri postavljanje paralelnosti antena i koje nam omogućava lako podešavanje razmaka između antena. Tehnika HTV-a 4

5 Pretpostavimo da smetnja upada pod kutem α u odnosu na korisni signal. Unatoč reflektiranim signalima postoji sigurno glavni smjer smetnje te računski možemo dosta precizno odrediti udaljenost. Precizno podešavanje razmaka radimo uz pomoć instrumenata. = (2k+1) 2 sin α = valna duljina smetajućeg signala, koji je u našem slučaju identična korisnom signalu. Ne ulazeći u detaljne rasprave i objašnjenja vezana uz protufazne kuteve, možemo zaključiti da je razmak ovisan od valnoj duljini i kutu upada smetajućeg signala. Pri tome naglašavamo da za koeficijent k treba izabrati što manju vrijednost, a da razmak antena bude primjeren. Antene ne smiju biti preblizu jer se onda pojačava njihov međusobni utjecaj (antene se mogu zakuplati i taj efekat treba izbjeći!). U slučajevima malog kuta α dobijamo male vrijednosti razdaljine. Te probleme, osim povećanja faktora k možemo riješiti na 2 načina: a) rotacijom antenskog dijagrama s mehaničkom rotacijom sustava oko vertikalne osi. Udaljenost je u tom slučaju izračunata za kut α + β, a ne samo za kut α jer je vrijednost za premala = (2k+1) 2 sin(α + β) Pri tome ćemo, naravno, izgubiti mali dio nivoa korisnog signala, ali ćemo dobiti na povećanju odnosa korisni/smetajući signal. Tehnika HTV-a 5

6 b) električkom rotacijom antenskog dijagrama, koja se umjesto električki jednakih koaksijalnih kabela, postiže različitim dužinama kabela, zbog kompliciranosti ne preporučamo jer zahtjeva precizno mjerenje dužine kabela i mjerenja specijalnim laboratorijskim instrumentima. Kao što smo već ranije spomenuli, u slučaju da pomoću formula dobijemo male vrijednosti razmaka, tada bi antene bile preblizu i dobit uslijed dvojnih paralelnih antena bi bila manja od 3 db. Pri tome je sustav loše prilagođen, a problem je i mehaničke prirode (nemogućnost smještaja antene do antene). S obzirom na dimenzije dipola, preporučamo da razmak između krajeva dipola ne bude manji od /2, odnosno, minimalni preporučeni razmak (mjereno od centra dipola) između dvije antene je. Za sustav za K28 je taj minimalni razmak 56 cm, a za K53 je minimalni razmak 41 cm kut α (K=0, za K28) (K=1, za K28) (K=0, za K53) (K=1, za K53) 5 3,248-2, ,630-1, ,094-0, ,828-0, ,670-0, ,566-0, ,493 1,480 0,358 1, ,440 1,321 0,320 0, ,400 1,201 0,291 0, ,369 1,108 0,268 0, ,346 1,037 0,251 0,753 Tehnika HTV-a 6

7 kut α (K=0, za K28) (K=1, za K28) (K=0, za K53) (K=1, za K53) 60 0,327 0,980 0,237 0, ,312 0,937 0,227 0, ,301 0,904 0,219 0, ,293 0,879 0,213 0, ,287 0,862 0,209 0, ,284 0,852 0,206 0, ,283 0,849 0,206 0, ,284 0,852 0,206 0, ,287 0,862 0,209 0, ,293 0,879 0,213 0, ,301 0,903 0,219 0, ,312 0,937 0,227 0, ,327 0,980 0,237 0, ,345 1,036 0,251 0, ,369 1,108 0,268 0, ,400 1,200 0,290 0, ,440 1,320 0,320 0, ,493 1,479 0,358 1, ,566-0, ,669-0, ,826-0, ,091-0, ,625-1, ,226-2,342 - Minimalna vrijednost za razmak antena, ako je kut α = 90 iznosi = (2k+1) 2 te ako je k=0, onda je = 2 što je zapravo jako mala vrijednost, npr. za K28, ukoliko je k=0, = cca 28cm Sličnu situaciju imamo za sve kuteve između 40 i 140. Prva mogućnost rješenja tog problema je uzimanje vrijednost k=1 i tada je = 3 / 2 za kut α = 90, no, tada je sustav previše selektivan. U ovim slučajevima se također može upotrijebiti metoda rotacije dijagrama, ali u suprotnom smjeru. Pri tome se selektivnost ne promjeni, ali se izgubi malo korisnog signala. U tom slučaju se razmak d računa po formuli = (2k+1) 2 sin(α β) Tehnika HTV-a 7

8 napomene: rotacijom sustava paralelnih antena deformiramo antenski dijagram. Pri tome izgubimo dio korisnog signala i ne postižemo najoptimalniji razmak, ali predstavlja jedno od mogućih rješenja, predlažemo da kombinirate metode rotacije oko vertikalne osi i precizno podešavanje razmaka, kod malih kuteva je razmak dosta velik pa morate koristiti čvršću križnu spojnicu za ukrutu horizontalne cijevi, radi smanjenja prijamnog kuta antena možete koristiti sustav sa 4 antene, koji predstavlja i 2 takva sustava postavljena po vertikali. Sustav s dvije antene s pomakom antena Antene postavljene jedna iznad druge s pomakom po vertikali Ako je smjer smetnje približno 180, prema formuli je razmak jako velik. Sa rotacijom osi antenskog sustava možemo dobiti zadovoljavajuće mehaničke i električke karakteristike, no, u takvim slučajevima, kada smetnja dolazi pod velikim kutem α, postoje i druge metode, Jedna je od njih je da antene postavimo jednu iznad druge tako da ostanu u istoj vertikalnoj ravnini u smjeru korisnog odašiljača, ali dipoli YAGI antena nisu u istoj vertikali. To se postiže tako da se jedna antena postavite direktno na vertikalni stup, a drugu antenu s pomoću križne spojnice i L držača postavite iznad te antene s pomakom prema naprijed. Tehnika HTV-a 8

9 L držač križna spojnica (90-90 ) Sustav je kompliciran za izvedbu i potrebna je strpljivost i preciznost. projekcija u vertikalnoj ravnini projekcija u horizontalnoj ravnini Koaksijalni kabel do spojišta, a kao spojište se koristi antenski razdjelnik s F konektorima, su različitih duljina i do antene A1 je je električki duži od kabela do antene A2. užina L je razlika dužina ta dva koaksijalna kabela. U ovom slučaju je fazni pomak prijemnog polja u spojištu ovisan o razlici puta signala u prostoru i razlike puta signala u kabelima. Vrijednost udaljenosti d mora biti što bliže vrijednosti L kako bi faza korisnog signala bila što bolja. Pri tome moramo uzeti u obzir da je kod koaksijalnih kabela električna dužina manja od geometrijske (približno 2/3). Bolji proizvođači kabela specifikacijama navode taj koeficijent skraćenja, koji je najčešće ima vrijednost od k=0,66 do k=0,85 Tehnika HTV-a 9

10 ako je d=l d = (2k+1) 2 (1 cosα) s obzirom da želimo smanjiti selektivnost uzimamo da je k=0 i tada za razmak d dobijamo slijedeću vrijednost d = 2 (1 cosα) Kod kuta α =180 dobijamo da je udaljenost d= /4, no, s obzirom da su antene pomaknute i u vertikalnoj ravnini nemamo problema s njihovim međusobnim utjecajem. kut α d (K=0, za K28) d (K=0, za K53) 75 0,382 0, ,343 0, ,310 0, ,283 0, ,260 0, ,241 0, ,225 0, ,211 0, ,199 0, ,189 0, ,180 0, ,172 0, ,166 0, ,160 0, ,156 0, ,152 0, ,148 0, ,146 0, ,144 0, ,143 0, ,142 0, ,142 0,103 Minimalni vertikalni razmak između antena smije biti vrijednost /2, a preporuča se vrijednost ( vodite računa o duljini kabela!) Tehnika HTV-a 10

11 vostruki horizontalni pomak antena U slučajevima dolaznog kuta smetajućeg odašiljača od 180 postoji i druga mogućnost, a to je postavljanje antena u horizontalnoj ravnini s pomakom. Za montažu treba koristiti križnu spojnicu (90 90 ), s horizontalnom cijevi i adaptere za vertikalnu polarizaciju koje postavite na horizontalnu cijev i oko koje ćete rotirati antene radi usmerenja prema korisnom odašiljaču. Koaksijalni kabel do antene A1 je za dužinu L (električki) dulji od dužine kabela do antene A2. Ako, kao i u prethodnom primjeru uzmemo da je L=d onda su polja korisnog signala na obje antene u fazi. Za smetajući signal je fazni pomak ovisan o razlici dužine koaksijalnih kabela i razlike puta signala po zraku. tg γ= d ukoliko znamo kut γ, udaljenost d možemo odrediti iz formule: d [ L + sin (α γ ) sin γ ] = 2 Ova metoda nam pruža dosta mogućnosti jer uz definiciju da je fazni kut Ψ = π (analizu nismo pokazali) imamo dva promjenjiva parametra i d ili u drugom slučaju d i kut γ. Ako je α = 180, dobit ćemo udaljenost d = /4 pri čemu za udaljenost izaberemo primjerenu (željenu) vrijednost (ne manju od ). Tehnika HTV-a 11

12 vostruki horizontalni i vertikalni pomak antena Ova treća mogućnost predstavlja sustav kao u slučaju dvostrukog horizontalnog pomaka antena samo što je jedna antena dodatno pomaknuta u vertikalnoj ravnini i to tako da je gornja antena pomaknuta prema naprijed kao u slučaju vertikalnog pomaka antena. Zbog kompliciranosti proračuna i montaže samo spominjemo tu mogućnost. Sustav za zaštitu od dva smetajuća signala Sustav je posebno interesantan za zaštitu od dvije smetnje s različitim valnim duljinama pa čak i sa dva različita kuta upada smetajućeg signala (kutevi mogu biti i jednaki). U tom slučaju ne upotrebljavamo kanalne antene već širokopojasne (za cijeli UHF frekvencijski opseg). To je primjenjivo za eliminaciju smetnje na K28 i K29 (ukoliko je smetnja na K29 iz približno istog smjera) i eliminaciju smetnje na K53. Ukoliko su upadni kutevi smetnje na K28 i K29 različiti, taj sustav ćemo morati upotrijebiti samo za tu kombinaciju s time da se onda koriste kanalne UHF antene. Najprije napravimo sustav sa dvije pomaknute antene ili vertikalno pomaknute ili u horizontalnoj ravnini, kako je prije opisano. Radi lakše montaže predlažemo horizontalnu ravninu antena. Sa tim prvim sustavom napravimo zaštitu od smetajućeg signala valne duljine 1 i upadnog kuta α 1. Izbor sustava ovisi o razmaku i kutu upada smetnje α. Signal sa te dvije antene zbrojimo s razdjelnikom. Nakon toga napravimo drugi sustav identičan prethodno odabranom kojim napravimo zaštitu od smetajućeg signala valne duljine 2 i upadnog kuta α 2. Ako je jedan smetajući signal po kutu blizu korisnog signala, npr. α 1 = 20, a drugi smetajući signal dolazi pod kutem α 2 = 180 moramo napraviti slijedeće: za zaštitu protiv smjera α 1 : dvije antene u horizontalnoj ravnini s pomakom treba postaviti okomito na smjer korisnog odašiljača za zaštitu protiv smjera α 2 : uzmemo dva takva sustava i pomaknemo ih po osi Naravno, možemo upotrijebiti bilo koju od metoda, no, pri tome treba paziti na vrijednosti α 1 i α 2, a prije svega treba paziti na mehaničku konstrukciju držača. Metoda za eliminaciju smetnji iz dva smjera nije jednostavna, kao što možda izgleda na prvi pogled jer osim što treba računati odnose za α1 i α2 treba uzeti u obzir jačinu polja smetajućih signala i mehaničke mogućnosti. pa ga baš i ne preporučamo, ukoliko nemate mjerni instrument i ukoliko imate ograničen prostor na krovu. U kombinaciji sa kosim krovom izvedba takvog sustava zahtjeva strpljenje i dosta vremena. Rješenje takvog sustava nije ni teroretski baš najjednostavnije. Naime, kako bi eliminirali utjecaj te dvije smetnje, moramo dobiti nulu u smjeru α1 za kanal frekvencije f1 i nulu za smjer α2 za kanal frekvencije f2. što predstavlja 2 parametra za svaku smetnju. Tehnika HTV-a 12

13 Naravno, da se problem može riješiti sa dva nezavisna sustava dvostrukih antena gdje lako reguliramo dva parametra : razmak i duljinu L ili npr. dvostrukim pomakom. Loša strana te metode je što ti parametri nisu baš u potpunosti neovisni jer regulacija jednoga poremeti položaj obije nule za α1 i α2 pa je podešavanje, ponavljamo, dugotrajno i dosta teško (sporo). Metoda korištenja 4 antene rješava problem međusobne ovisnosti nule jer lagano podešavamo i postavimo svaku pojedinačnu nulu. Osim toga dobijemo i 3dB korisnog signala u odnosu na sustav sa dvije antene. No, sustav je skuplji i zauzima dosta prostora na krovu i antenskom stupu. = 1 2 sin α 1 razmak predstavlja zaštitu od smetajućeg signala 1 α 1, za k=0 Δ = sin α 2 razmak Δ predstavlja zaštitu od smetajućeg signala 2 α 2, za k=0 Opisana metoda je uprabiva i ako je α 1 = α 2, ali tada 1 i 2 ne smiju biti jednaki (primjer: smetnje iz istog smjera na oba kanala K28 i K53) odnosno 1 = 2 ali tada α 1 i α 2 ne smiju biti jednaki. To je u slučaju ako smetnja dolazi iz istog odašiljača, ali iz dva smjera (glavni i reflektirani signal, no, najčešće je tada dovoljan sustav sa dvije antene. U slučaju K28 i K29, zbog male razlike možemo smatrati da je uvjet 1 = 2 zadovoljen te ukoliko imamo takav slučaj možemo koristiti ovu metodu za eliminaciju smetnje iz dva smjera. U slučaju da je nivo korisnog odašiljača dovoljno velik i ukoliko je nivo smetnje manji ili nije jako izražen, odnosno, u slučaju da je dovoljno gušenje smetnje u iznosu od 6 do 10dB možemo postaviti sustav sa dvije antene tako da sa finom regulacijom razmaka i osi zagušimo signal smetnje. U slučaju da je nivo korisnog signala mali, a nivo smetnji veliki, moramo postaviti sustav sa 4 prijamne antene. Tehnika HTV-a 13

14 Ograničenja pri upotrebi antena za eliminaciju smetnji Razumljivo je da opisani sustavi daju rezultate samo u ukoliko su signali konstani po nivou i fazi. Promjene signala uslijed vremena (fading), najčešće mijenjaju samo nivo signala čime se mijenja odnos korisnog prema smetajućem signalu što može predstavljati dodatni problem, na koji ne možemo utjecati. Pri brzoj promjeni nivoa smetajućeg signala, uslijed promjena propagacijskih uvjeta, teško je podešavati razmak antena antena što zna još više zakomplicirati sam postupak eliminacije smetnji i u takvim uvjetima je taj postupak praktički nemoguće izvesti. U slučaju da lokalni gap filler (pretvarač) već na ulazu u uređaj prima ometani signal, tada opisana rješenja također neće pomoći u otklanjanju smetnji. napomene: odabrane antene moraju biti identične po svim karakteristikama, koaksijalni kabeli moraju biti iste kvalitete, po mogućnosti sa istog koluta, u sustavima gdje kabeli moraju biti jednake dužine, obratite posebnu pozornost pri rezanju kabela. S višom frekvencijom morate povećati preciznost određivanja jednakih dužina kabela: npr. za 800 Mhz razlika od 0,7mm odgovara faznom pomaku od 1, kabeli od antena do razdjelnika (spojišta) moraju biti što kraći, ako računamo sa geometrijskim dužinama. Ako ne računamo gubitak u kabelima pri produljenju kabela za duljinu L postoji mogućnost promjene električne duljine kabela. Ako se kabeli moraju razlikovati za duljinu L, moraju biti uvijek veći od /2. užina L+n odgovara dužini L, ali samo za jedan kanal ili za centralnu frekvenciju grupe kanala. Ne zaboravite da je selektivnost dužine L+n veća od dužine L i zato morate biti jako precizni kod rezanja kabela i izrade konektora, poželjna je uporaba jako usmjerenih antena jer time dobijamo veliko pojačanje korisnog signala. Takva antena ima uzak glavni snop i male bočne latice pa je pogodna za gušenje smetnji, antene sastavljene u sustave sa 4 ili 8 antena imaju jako uski prijemni kut i sa podešavanjem njihovog međusobnog razmaka može se precizno odrediti položaj nule antene. Naglašavamo da se uvijek grupiraju dvije i dvije antene zajedno. Takvi kompleksni antenski sustavi imaju i veliku prijamnu antensku površinu pa treba paziti na to te ne pretjerivati sa brojem antena. Osim toga, ne smijemo zaboraviti da se povećanjem broja antena povećava i dužina koaksijalnih kabela čime se povećava i gušenje korisnog, ali i smetajućeg signala, no, pri tome se ne mijenja njihov odnos. obratite pozornost na mehaničku čvrstoću kompletnog sustava. Sustav mora biti dovoljno čvrst i otporan na utjecaj vjetra. sve spojeve dobro zaštitite vulkanizirajućom gumenom trakom, kako zbog prodora vode ne bi došlo do električne promjene antenskog sustava. Tehnika HTV-a 14

ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija

ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija Tehnika HTV a ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija UVOD Princip

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI S 2 ANTENE ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA

ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI S 2 ANTENE ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI S 2 ANTENE ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA UVOD Na području zapadne obale Istre i nekih dijelova Dalmacije već više od godinu dana traju smetnje u prijamu digitalnih

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα