Κεφάλαιο 18. Μηχανική Μάθηση (Machine Learning) Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 18. Μηχανική Μάθηση (Machine Learning) Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η."

Transcript

1 Κεφάλαιο 18 Μηχανική Μάθηση (Machine Learning) Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 1 -

2 Εισαγωγή Η µάθηση σε ένα γνωστικό σύστηµα, όπως γίνεται αντιληπτή στην καθηµερινή ζωή, µπορεί να συνδεθεί µε δύο βασικές ιδιότητες: την ικανότητά στην πρόσκτηση γνώσης κατά την αλληλεπίδρασή του µε το περιβάλλον, την ικανότητά να βελτιώνει µε την επανάληψη τον τρόπο εκτέλεσης µία ενέργειας. Έχουν προταθεί διάφοροι ορισµοί για τη µάθηση: Simon ('83), "η µάθηση σηµατοδοτεί προσαρµοστικές αλλαγές σε ένα σύστηµα µε την έννοια ότι αυτές του επιτρέπουν να κάνει την ίδια εργασία, ή εργασίες της ίδιας κατηγορίας, πιο αποδοτικά και αποτελεσµατικά την επόµενη φορά". Minsky ('85), "... είναι να κάνουµε χρήσιµες αλλαγές στο µυαλό µας". Michalski ('86), "... είναι η δηµιουργία ή η αλλαγή της αναπαράστασης των εµπειριών". Για τα συστήµατα που ανήκουν στην συµβολική ΤΝ, η µάθηση προσδιορίζεται ως πρόσκτηση επιπλέον γνώσης, που επιφέρει µεταβολές στην υπάρχουσα γνώση. Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα (που ανήκουν στην µη συµβολική ΤΝ) έχουν δυνατότητα µάθησης µετασχηµατίζοντας την εσωτερική τους δοµή, παρά καταχωρώντας κατάλληλα αναπαριστάµενη γνώση. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 2 -

3 Ορισµός Μηχανικής Μάθησης Ο άνθρωπος προσπαθεί να κατανοήσει το περιβάλλον του παρατηρώντας το και δη- µιουργώντας µια απλοποιηµένη (αφαιρετική) εκδοχή του που ονοµάζεται µοντέλο (model). Η δηµιουργία ενός τέτοιου µοντέλου, ονοµάζεται επαγωγική µάθηση (inductive learning) ενώ η διαδικασία γενικότερα ονοµάζεται επαγωγή (induction). Επιπλέον ο άνθρωπος έχει τη δυνατότητα να οργανώνει και να συσχετίζει τις εµπειρίες και τις παραστάσεις του δηµιουργώντας νέες δοµές που ονοµάζονται πρότυπα (patterns). Η δηµιουργία µοντέλων ή προτύπων από ένα σύνολο δεδοµένων, από ένα υπολογιστικό σύστηµα, ονοµάζεται µηχανική µάθηση (machine learning). ιάφοροι ορισµοί: Carbonell (1987), "... η µελέτη υπολογιστικών µεθόδων για την απόκτηση νέας γνώσης, νέων δεξιοτήτων και νέων τρόπων οργάνωσης της υπάρχουσας γνώσης". Mitchell (1997), "Ένα πρόγραµµα υπολογιστή θεωρείται ότι µαθαίνει από την εµπειρία E σε σχέση µε µια κατηγορία εργασιών Τ και µια µετρική απόδοσης P, αν η απόδοση του σε εργασίες της Τ, όπως µετριούνται από την P, βελτιώνονται µε την εµπειρία E". Witten & Frank (2000), "Κάτι µαθαίνει όταν αλλάζει τη συµπεριφορά του κατά τέτοιο τρόπο ώστε να αποδίδει καλύτερα στο µέλλον". Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 3 -

4 Είδη µηχανικής µάθησης Έχουν αναπτυχθεί πολλές τεχνικές µηχανικής µάθησης που χρησιµοποιούνται ανάλογα µε τη φύση του προβλήµατος και εµπίπτουν σε ένα από τα παρακάτω δυο είδη: µάθηση µε επίβλεψη (supervised learning) ή µάθηση µε παραδείγµατα (learning from examples), µάθηση χωρίς επίβλεψη (unsupervised learning) ή µάθηση από παρατήρηση (learning from observation). Στη µάθηση µε επίβλεψη το σύστηµα καλείται να "µάθει" µια έννοια ή συνάρτηση από ένα σύνολο δεδοµένων, η οποία αποτελεί περιγραφή ενός µοντέλου. Στη µάθηση χωρίς επίβλεψη το σύστηµα πρέπει µόνο του να ανακαλύψει συσχετίσεις ή οµάδες σε ένα σύνολο δεδοµένων, δηµιουργώντας πρότυπα, χωρίς να είναι γνωστό αν υπάρχουν, πόσα και ποια είναι. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 4 -

5 A) Μάθηση µε Επίβλεψη Στη µάθηση µε επίβλεψη το σύστηµα πρέπει να "µάθει" επαγωγικά µια συνάρτηση που ονοµάζεται συνάρτηση στόχος (target function) και αποτελεί έκφραση του µοντέλου που περιγράφει τα δεδοµένα. Η συνάρτηση στόχος χρησιµοποιείται για την πρόβλεψη της τιµής µιας µεταβλητής, που ονοµάζεται εξαρτηµένη µεταβλητή ή µεταβλητή εξόδου, βάσει των τιµών ενός συνόλου µεταβλητών, που ονοµάζονται ανεξάρτητες µεταβλητές ή µεταβλητές εισόδου ή χαρακτηριστικά. Η επαγωγική µάθηση στηρίζεται στην "υπόθεση επαγωγικής µάθησης" (inductive learning hypothesis), σύµφωνα µε την οποία: Κάθε υπόθεση h που προσεγγίζει καλά τη συνάρτηση στόχο για ένα αρκετά µεγάλο σύνολο παραδειγ- µάτων, θα προσεγγίζει το ίδιο καλά τη συνάρτηση στόχο και για περιπτώσεις που δεν έχει εξετάσει. Στην µάθηση µε επίβλεψη διακρίνονται δυο είδη προβληµάτων (learning tasks), τα προβλήµατα ταξινόµησης και τα προβλήµατα παρεµβολής. Η ταξινόµηση 1 (classification) αφορά στη δηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης διακριτών τάξεων (κλάσεων/κατηγοριών) (π.χ. οµάδα αίµατος). Η παρεµβολή (regression) αφορά στη δηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης αριθµητικών τιµών (π.χ. πρόβλεψη ισοτιµίας νοµισµάτων ή τιµής µετοχής). 1 Ο όρος ταξινόµηση συναντάται στην ελληνική βιβλιογραφία και ως κατηγοριοποίηση Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 5 -

6 1) Μάθηση Εννοιών (Concept Learning) Η έννοια (concept) είναι ένα υποσύνολο αντικειµένων που ορίζονται σε σχέση µε ένα µεγαλύτερο σύνολο. π.χ. η έννοια "πουλί" ορίζεται ως "το υποσύνολο των ζώων που έχουν φτερά" Εναλλακτικά, η έννοια είναι µια συνάρτηση που επιστρέφει λογική τιµή: αληθής για τα αντικείµενα ενός συνόλου που ανήκουν σε αυτήν και ψευδής για τα αντικείµενα που δεν ανήκουν. Η µάθηση εννοιών είναι τυπικό παράδειγµα επαγωγικής µάθησης κατά την οποία: Το σύστηµα τροφοδοτείται µε παραδείγµατα που ανήκουν (θετικά παραδείγµατα) ή δεν ανήκουν (αρνητικά παραδείγµατα) στη συγκεκριµένη έννοια. Ακολούθως πρέπει να παραχθεί κάποια γενικευµένη περιγραφή της έννοιας, δηλαδή να δηµιουργηθεί ένα µοντέλο, ώστε να είναι δυνατό στη συνέχεια να αποφασιστεί αν µια άγνωστη περίπτωση ανήκει σε αυτήν την έννοια. Ο πιο γνωστός αλγόριθµος µάθησης εννοιών είναι ο αλγόριθµος απαλοιφής υποψηφίων. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 6 -

7 Ο Αλγόριθµος Απαλοιφής Υποψηφίων Candidate Elimination Algorithm Περιορίζει το χώρο αναζήτησης επιτελώντας γενικεύσεις και εξειδικεύσεις σε κάποιες αρχικές υποθέσεις (έννοιες) µε βάση τα δεδοµένα εκπαίδευσης. ιατηρεί δύο σύνολα, G και S, που από κοινού περιγράφουν όλο το χώρο αναζήτησης και ορίζονται ως εξής: G: το σύνολο των πιο γενικών (maximally general) υποψήφιων υποθέσεων (δηλαδή εννοιών). S: το σύνολο των πιο εξειδικευµένων (maximally specific) υποψήφιων υποθέσεων. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 7 -

8 Περιγραφή του Αλγορίθµου Αρχικοποίησε: Το G στο σύνολο όλων των υποθέσεων. Το S στο κενό σύνολο. Για κάθε δεδοµένο εκπαίδευσης x: Αν το x είναι θετικό: i) ιέγραψε τα µέλη του G που δεν ικανοποιούν το x. ii) Για κάθε υπόθεση s S που δεν ικανοποιεί το x: α) ιέγραψε την s από το S. β) Πρόσθεσε στο S όλες τις ελάχιστες γενικεύσεις h της s, έτσι ώστε κάθε υπόθεση h να ικανοποιεί το x και να υπάρχει κάποια υπόθεση του G που να είναι πιο γενική. γ) ιέγραψε από το S όποια υπόθεση είναι πιο γενική από κάποια άλλη υπόθεση του S. Αν το x είναι αρνητικό: i) ιέγραψε τα µέλη του S που δεν ικανοποιούν το x. ii) Για κάθε υπόθεση g G που δεν ικανοποιεί το x: α) ιέγραψε την g από το G. β) Πρόσθεσε στο G όλες τις ελάχιστες ειδικεύσεις h της g, έτσι ώστε κάθε υπόθεση h να ικανοποιεί το x και να υπάρχει κάποια υπόθεση του S που να είναι πιο ειδική. γ) ιέγραψε από το G όποια υπόθεση είναι πιο ειδική από κάποια άλλη υπόθεση του G. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 8 -

9 Σχηµατική Περιγραφή του Τρόπου Λειτουργίας Σύνορο G????????? Σύνορο S Τα σύνολα G και S ορίζουν κάποια σύνορα στο χώρο των υποθέσεων/εννοιών, τα οποία τον χωρίζουν σε περιοχές µε θετικά, αρνητικά και απροσδιόριστης φύσης παραδείγµατα. Κατά την εκπαίδευση το σύνορο G συρρικνώνεται ενώ το S επεκτείνεται µέχρις ότου εξαντληθούν τα παραδείγµατα. O αλγόριθµος παρέχει ανά πάσα στιγµή µία αποδεκτή (αλλά όχι την καλύτερη) περιγραφή του σταδίου της εκπαίδευσης καθώς χρησιµοποιεί τα δεδοµένα εκπαίδευσης σταδιακά. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 9 -

10 Παράδειγµα Προβλήµατος Χρησιµοποιώντας δύο θετικές και τρεις αρνητικές περιπτώσεις πελατών µιας τράπεζας που δανειοδοτήθηκαν, ζητείται µία περιγραφή της έννοιας "καλός υποψήφιος για δανειοδότηση". Οι παράµετροι που έχουν καταγραφεί για τις παρελθούσες περιπτώσεις και οι δυνατές τους τιµές είναι: Τρέχουσες Οφειλές: Υψηλές, Χαµηλές Εισόδηµα: Υψηλό, Χαµηλό Παντρεµένος(η): Ναι, Όχι Χαρακτηρισµός: Καλός (θετικό παράδειγµα), Κακός (αρνητικό παράδειγµα) Ζητούµενο είναι η περιγραφή των πελατών µε χαρακτηρισµό "Καλός" µε βάση τις τρέχουσες οφειλές, το εισόδηµα και την οικογενειακή τους κατάσταση, µε αυτή τη σειρά. Πελάτης Τρέχουσες Εισόδηµα Παντρεµένος(η) Χαρακτηρισµός Οφειλές 1 Υψηλές Υψηλό Ναι Καλός (p) 2 Χαµηλές Υψηλό Όχι Κακός (n) 3 Χαµηλές Υψηλό Ναι Καλός (p) 4 Υψηλές Χαµηλό Ναι Κακός (n) 5 Χαµηλές Χαµηλό Ναι Κακός (n) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

11 Παράδειγµα: Εκτέλεση Αλγόριθµου Απαλοιφής Υποψηφίων Στο Σχήµα δίνονται οι τελικές καταστάσεις σε κάθε κύκλο εκπαίδευσης, µετά δηλαδή από τη χρήση ενός από τα δεδοµένα του παρελθόντος. G: {(X,Y,Z)} S: { } (Υψηλές, Υψηλό, Ναι) (#1 p) G: {(X,Y,Z)} S: {(Υψηλές, Υψηλό, Ναι)} (Χαµηλές, Υψηλό, Όχι) (#2 n) G: {(Υψηλές,Y,Z), (X, Χαµηλό,Z), (X,Y, Ναι) } S: {(Υψηλές, Υψηλό, Ναι)} (Χαµηλές, Υψηλό, Ναι) (#3 p) G: {(X,Y, Ναι) } S: {(X, Υψηλό, Ναι)} (Υψηλές, Χαµηλό, Ναι) (#4 n) G: {(Χαµηλές,Y, Ναι), (X, Υψηλό, Ναι)} S: {(X, Υψηλό, Ναι)} (Χαµηλές, Χαµηλό, Ναι) (#5 n) G: {(X, Υψηλό, Ναι)} S: {(X, Υψηλό, Ναι)} Συµπέρασµα: ο "καλός υποψήφιος για δανειοδότηση" πρέπει να έχει σχετικά υψηλό εισόδηµα και να είναι παντρεµένος. Παρατήρηση: οι τρέχουσες οφειλές του υποψήφιου δεν "φαίνεται" να αποτελούν αποτρεπτικό παράγοντα για δανειοδότηση (φυσικά µε βάση τα δεδοµένα εκπαίδευσης). Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

12 2) ένδρα Ταξινόµησης/Απόφασης ενδροειδής δοµή που µε γραφικό τρόπο περιγράφει τα δεδοµένα. Έστω τα δεδοµένα εταιρείας κινητής τηλεφωνίας που περιγράφουν περιπτώσεις συνδροµητών που παρέµειναν ή έφυγαν µετά τη λήξη του συµβολαίου τους, µε βάση τη διάρκεια και το είδος αυτού. Μια αναπαράσταση σε δένδρο θα µπορούσε να έχει την µορφή του σχήµατος δεξιά. Κάθε κόµβος ορίζει µια συνθήκη ελέγχου της τιµής κάποιου χαρακτηριστικού των περιπτώσεων Κάθε κλαδί που φεύγει από ένα κόµβο αντιστοιχεί σε µια διαφορετική διακριτή τιµή του χαρακτηριστικού που σχετίζεται µε τον κόµβο. Στα κλαδιά φύλλα έχουµε το τι συνέβη. Τα δένδρα ταξινόµησης χρησιµοποιούνται για να προβλέψουν, µε κάποιο βαθµό ακρίβειας, την τιµή της µεταβλητής που µοντελοποιούν µε βάση τις τιµές των θεωρούµενων ανεξάρτητων µεταβλητών (χαρακτηριστικών). Ναι Παραµένει Ναι ιάρκεια (έτη) < 1 Μικρή Χρήση Όχι Όχι Είδος Συµβολαίου Άλλη Χρήση ιάρκεια < 1.2 ιάρκεια < 2 Ναι Όχι Φεύγει Παραµένει Παραµένει Φεύγει Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

13 Αναπαράσταση µε Κανόνες Εναλλακτικά, το δένδρο µπορεί να αναπαρασταθεί και ως σύνολο κανόνων if-then, που ονοµάζονται κανόνες ταξινόµησης (classification rules). Με χρήση µόνο AND προκύπτουν τόσοι κανόνες όσα και τα φύλλα του δένδρου. π.χ. για τα δεδοµένα της εταιρίας κινητής τηλεφωνίας προκύπτουν 5 κανόνες: 1) if ιάρκεια<1 then Παραµένει 2) if ιάρκεια>1 and Είδος_Συµβολαίου=Μικρή Χρήση and ιάρκεια<1.2 then Φεύγει 3) if ιάρκεια>1 and Είδος_Συµβολαίου=Μικρή Χρήση and ιάρκεια>1.2 then Παραµένει 4) if ιάρκεια>1 and Είδος_Συµβολαίου=Άλλη_Χρήση and ιάρκεια<2 then Παραµένει 5) if ιάρκεια>1 and Είδος_Συµβολαίου=Άλλη Χρήση and ιάρκεια>2 then Φεύγει Ναι Παραµένει ιάρκεια (έτη) < 1 Όχι Είδος Συµβολαίου Αν γίνει χρήση και του τελεστή OR, κάποιοι από τους παραπάνω κανόνες ενοποιούνται. τελικά µένουν τόσοι κανόνες όσες είναι και οι διαθέσιµες κατηγορίες. Ναι Μικρή Χρήση Όχι Άλλη Χρήση ιάρκεια < 1.2 ιάρκεια < 2 Ναι Όχι Φεύγει Παραµένει Παραµένει Φεύγει Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

14 Ο Αλγόριθµος ID3 (1/2) Είναι ο πιο γνωστός αλγόριθµος µάθησης δένδρων ταξινόµησης. Είναι αναδροµικός και στη γενική του µορφή περιγράφεται ως εξής: 1. Βρες την ανεξάρτητη µεταβλητή η οποία αν χρησιµοποιηθεί ως κριτήριο διαχωρισµού των δεδοµένων εκπαίδευσης θα οδηγήσει σε κόµβους κατά το δυνατό διαφορετικούς σε σχέση µε την εξαρτηµένη µεταβλητή. 2. Κάνε το διαχωρισµό. 3. Επανέλαβε τη διαδικασία για κάθε έναν από τους κόµβους που προέκυψαν µέχρι να µην είναι δυνατός περαιτέρω διαχωρισµός. ηλαδή ο ID3 κατασκευάζει το δένδρο άπληστα (greedy) από πάνω προς τα κάτω επιλέγοντας αρχικά το πιο κατάλληλο χαρακτηριστικό για έλεγχο στη ρίζα. Η επιλογή βασίζεται σε κάποιο στατιστικό µέτρο που υπολογίζεται από τα δεδοµένα. Στη συνέχεια, για κάθε δυνατή τιµή του χαρακτηριστικού δηµιουργούνται οι αντίστοιχοι απόγονοι της ρίζας και τα δεδοµένα µοιράζονται στους νέους κόµβους ανάλογα µε την τιµή που έχουν για το χαρακτηριστικό που ελέγχεται στη ρίζα. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

15 Ο Αλγόριθµος ID3 (2/2) Η όλη διαδικασία επαναλαµβάνεται για κάθε νέο κόµβο. Η επιλογή όµως του κατάλληλου χαρακτηριστικού σε κάθε νέο κόµβο αποφασίζεται χρησιµοποιώντας µόνο τα δεδοµένα που ανήκουν σε αυτόν τον κόµβο. Η διαδικασία τερµατίζει όταν οι κόµβοι γίνουν τερµατικοί (ή φύλλα). Ένας κόµβος γίνεται τερµατικός όταν: Όλα τα δεδοµένα που ανήκουν σε αυτόν ανήκουν στην ίδια κατηγορία. Η κατηγορία αυτή γίνεται και η τιµή του κόµβου. Ο κόµβος ονοµάζεται αµιγής κόµβος (pure node). Σε κάποιο βάθος τελειώσουν τα χαρακτηριστικά προς έλεγχο. Τιµή του κόµβου είναι η κατηγορία στην οποία ανήκει η πλειοψηφία των δεδοµένων του κόµβου αυτού. Το βασικότερο στάδιο του αλγορίθµου είναι η επιλογή της ανεξάρτητης µεταβλητής πάνω στην οποία θα συνεχιστεί η ανάπτυξη του δένδρου. Απαιτείται ο ορισµός κάποιου µηχανισµού που θα καθοδηγήσει την αναζήτηση προς το καλύτερο δένδρο (περιγραφή) µέσα στο σύνολο των δυνατών δένδρων. Η συνάρτηση αξιολόγησης που καθοδηγεί την αναζήτηση είναι το Κέρδος Πληροφορίας που µε τη σειρά του βασίζεται στο µέγεθος Εντροπία Πληροφορίας (αναπτύσσονται παρακάτω) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

16 Εντροπία Πληροφορίας (Information Entropy) Μέγεθος στο οποίο βασίζεται το κλασικότερο κριτήριο διαχωρισµού. Η τιµή της δίνεται από τη σχέση: E ( S) = p+ log2( p+ ) p log2( p όπου S είναι το σύνολο των δεδοµένων εκπαίδευσης στο στάδιο (κόµβο) του διαχωρισµού, p+ είναι το κλάσµα των θετικών παραδειγµάτων του S και p- είναι το κλάσµα των αρνητικών παραδειγµάτων του S. Γενικότερα, για c διαφορετικές κατηγορίες, η εντροπία ορίζεται από τη σχέση: E( S) = c i= 1 p i log ( p i 2 ) όπου p i το ποσοστό των παραδειγµάτων του S που ανήκουν στην κατηγορία i. ) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

17 Κέρδος Πληροφορίας (Information Gain) Gain(S,A) ή G(S,A) χρησιµοποιείται ως κριτήριο διαχωρισµού. Αναπαριστά τη µείωση της εντροπίας του συνόλου εκπαίδευσης S αν επιλεγεί ως παράµετρος διαχωρισµού η µεταβλητή Α. Όταν µειώνεται η πληροφοριακή εντροπία, αυξάνεται η πυκνότητα πληροφορίας και άρα η περιγραφή γίνεται περισσότερο συµπαγής. ίνεται από τη σχέση: G ( S, A) = E( S) u Values( A) S u S E ( E(S) είναι η εντροπία πληροφορίας του υπό εξέταση κόµβου, Α είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή, µε τιµές Values(A), βάσει της οποίας επιχειρείται ο επόµενος διαχωρισµός, u είναι µία από τις δυνατές τιµές του Α, Su είναι το πλήθος των εγγραφών µε Α=u και E(Su) η εντροπία πληροφορίας του υπό εξέταση κόµβου ως προς την τιµή Α=u. S u) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

18 Παράδειγµα (εκτέλεση) (1/2)...για το σύνολο δεδοµένων εκπαίδευσης του προβλήµατος δανειοδότησης 1 ος κύκλος εκτέλεσης µε κριτήριο διαχωρισµού το Gain S 0 = 5, p + = 2/5, p - = 3/5 E(S)= -p + *log 2 p + - p - *log 2 p - = -2/5 * log 2 (2/5) - 3/5* log 2 (3/5) = 0.97 Αν A=Εισόδηµα, οι δυνατές τιµές του είναι: V(A)={Υψηλό, Χαµηλό}. Οπότε: Για u=υψηλό έχουµε p + =2/3, p - =1/3, S u=υψηλό =3 E(S u=υψηλό )= -p + *log 2 p + - p - *log 2 p - = 0.92 Για u=χαµηλό έχουµε p + =0, p - =2/2=1, S u=χαµηλό =2 E(S u=χαµηλό )= -p + *log 2 p+ - p - *log 2 p - = 0 Υπολογίζουµε το Gain(S 0, A). Gain(S 0, A=εισόδηµα) = 0.97-(3/5 * /5 * 0) = 0.42 Όµοια: Gain(S 0, A=Χρεός)=0.02 και Gain(S 0, A=Παντρεµένος)=0.17 Εισόδηµα Χρέος Παντρεµένος Σύνολα Υψηλό Χαµηλό Υψηλό Χαµηλό Ναι Όχι S p+ 2/5 2/3 0 1/2 1/3 1/2 0 p- 3/5 1/3 1 1/2 2/3 1/2 1 E Gain Άρα ο κόµβος-ρίζα θα διαχωριστεί µε βάση τις τιµές του πεδίου Εισοδηµα καθώς το Κέρδος Πληροφορίας (άρα και η µείωση της Εντροπίας Πληροφορίας) για αυτό το πεδίο ήταν το µεγαλύτερο. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

19 Παράδειγµα (εκτέλεση) (2/2) Παρατηρήσεις: Σε κάθε κύκλο τα παραπάνω µεγέθη επαναϋπολογίζονται για τον πληθυσµό S των δεδοµένων εκπαίδευσης που ανήκουν στον υπό εξέταση κόµβο. Σε δύο διαφορετικούς κόµβους µπορεί να επιλεγεί διαφορετική µεταβλητή διαχωρισµού. Το τελικό δένδρο απόφασης στο πρόβληµα δανειοδότησης Παντρεµένος? Όχι Καλός (0) 0.0 % Κακός (1) % Σύνολο % Υψηλό Καλός (2) 66.7 % Κακός (1) 33.3 % Σύνολο % Καλός (2) 40.0 % Κακός (3) 60.0 % Σύνολο 5 Εισόδηµα Ναι Καλός (2) % Κακός (0) 0.0 % Σύνολο % Χαµηλό Καλός (0) 0.0 % Κακός (2) % Σύνολο % Η ανάπτυξη του δένδρου τερµατίστηκε διότι οι τερµατικοί του κόµβοι έχουν την ίδια τιµή στην εξαρτηµένη µεταβλητή για όλα τα παραδείγµατα τους, δηλαδή είναι αµιγείς (φυσική συνθήκη τερµατισµού ανάπτυξης). Άλλη φυσική συνθήκη τερµατισµού: Όταν δεν υπάρχουν άλλες, προς εξέταση, µεταβλητές. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

20 3) Μάθηση Κανόνων Ταξινόµησης Οι κανόνες if-then είναι από τις πιο εκφραστικές και κατανοητές για τον άνθρωπο αναπαραστάσεις. Κυριότερες κατηγορίες κανόνων προτασιακοί (propositional rules) κατηγορηµατικοί κανόνες πρώτης τάξης (first order predicate rules) Οι προτασιακοί κανόνες: Μπορεί να προκύψουν από άλλες µορφές αναπαράστασης (π.χ. δένδρα, γενετικούς αλγόριθµους) αλλά και από απ' ευθείας µάθηση µε αλγόριθµους σειριακής κάλυψης. εν περιλαµβάνουν µεταβλητές και έτσι δεν µπορεί να αναπαραστήσουν γενικές σχέσεις ανάµεσα στις τιµές των χαρακτηριστικών. π.χ. ο παρακάτω κανόνας ισχύει για µία συγκεκριµένη οικογένεια: if Father1=Bob and Name2=Bob and Female1=true then Daughter1_2=true Οι κατηγορηµατικοί κανόνες πρώτης τάξης: Περιέχουν µεταβλητές (µεγάλη εκφραστική ικανότητα). Προκύπτουν µε απ'ευθείας µάθηση µέσω αλγορίθµων µάθησης κανόνων 1ης τάξης. π.χ. ο επόµενος κανόνας ισχύει για όλες τις οικογένειες: if father(y,x) and female(y) then daughter(x,y) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

21 Μάθηση Προτασιακών Κανόνων Ταξινόµησης (1/2) Αφορά σε προβλήµατα όπου δεν απαιτείται η αναπαράσταση σχέσεων ανάµεσα στις τιµές των διαφόρων χαρακτηριστικών (όπως και στα δένδρα ταξινόµησης/απόφασης). Ένας γενικός αλγόριθµος µάθησης τέτοιων κανόνων είναι ο αλγόριθµος σειριακής κάλυψης (Sequential Covering Algorithm). ηµιουργεί ένα σύνολο προτασιακών κανόνων σταδιακά (incrementally) µαθαίνοντας έναν κανόνα κάθε φορά. Κάθε κανόνας καλύπτει ένα σύνολο θετικών παραδειγµάτων, που είναι ξένο προς τα σύνολα των υπολοίπων κανόνων. Ένας κανόνας καλύπτει ένα παράδειγµα όταν οι τιµές των χαρακτηριστικών της συνθήκης του κανόνα συµφωνούν µε τις αντίστοιχες τιµές του παραδείγµατος. Το σύνολο των κανόνων καλύπτει το σύνολο των θετικών παραδειγµάτων. Τα βήµατα του αλγορίθµου είναι: Αλγόριθµος Σειριακής Κάλυψης 1. Αρχικοποίησε το Σύνολο_Κανόνων µε το κενό σύνολο. 2. Μάθε_έναν_Κανόνα(Εξαρτηµένη_Μεταβλητή,Μεταβλητές,Παραδείγµατα). 3. Αν ο Κανόνας ικανοποιεί το Κριτήριο Απόδοσης: 3α. Αφαίρεσε τα θετικά παραδείγµατα που κάλυψε ο Κανόνας αυτός. 3β. Πρόσθεσε τον Κανόνα στο Σύνολο_Κανόνων. 4. Επανέλαβε από το 2, όσο ικανοποιείται το Κριτήριο Απόδοσης. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

22 Μάθηση Προτασιακών Κανόνων Ταξινόµησης (2/2) Η συνάρτηση Μάθε_έναν_Κανόνα είναι κρίσιµη για την απόδοση του αλγορίθµου και έχει την παρακάτω µορφή: Συνάρτηση Μάθε_έναν_Κανόνα (Εξαρτηµένη_Μεταβλητή,Χαρακτηριστικά,Παραδείγµατα) //Αναζήτηση "Γενικό προς Ειδικό" (General-to-Specific Search) 1. Έστω η βέλτιστη υπόθεση (αρχικά, ο πιο γενικός κανόνας) που ταιριάζει µε όλα τα παραδείγµατα του συνόλου εκπαίδευσης. 2. Επανέλαβε, όσο υπάρχουν υποψήφιες υποθέσεις: Εξειδίκευσε τη βέλτιστη υπόθεση, προσθέτοντας το ζεύγος χαρακτηριστικού-τιµής που βελτιστοποιεί το κριτήριο απόδοσης. Το Κριτήριο_Απόδοσης είναι ένα µέτρο της απόδοσης του κανόνα που καθορίζει ο χρήστης, όπως η Εντροπία, η Σχετική Συχνότητα ή ο m-εκτιµητής Ακρίβειας. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

23 4) Μάθηση κατά Περίπτωση (Instance-based Learning) Τα δεδοµένα εκπαίδευσης διατηρούνται αυτούσια......σε αντίθεση µε τις άλλες µεθόδους µηχανικής µάθησης οι οποίες κωδικοποιούν τα παραδείγµατα εκπαίδευσης σε µια συµπαγή περιγραφή. Όταν ένα τέτοιο σύστηµα κληθεί να αποφασίσει για την κατηγορία µιας νέας περίπτωσης, εξετάζει εκείνη τη στιγµή τη σχέση της µε τα ήδη αποθηκευµένα παραδείγµατα. Χαρακτηριστικότερος είναι ο αλγόριθµος των k-κοντινότερων γειτόνων (k-nearest Neighbors) Κάνει την παραδοχή ότι τα διάφορα παραδείγµατα µπορεί να αναπαρασταθούν ως σηµεία σε κάποιον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο Rn όπου n ο αριθµός των χαρακτηριστικών (ανεξάρτητων µεταβλητών). Κάθε νέα περίπτωση τοποθετείται στο χώρο αυτό ως νέο σηµείο και η τιµή του προσδιορίζεται µε βάση το χαρακτηρισµό των k γειτονικών σηµείων. Οι κοντινότεροι γείτονες µιας περίπτωσης υπολογίζονται µε βάση την Ευκλείδεια απόστασή τους. d( x, x') = n ( ar( x) ar( x' )) r = 1 2 Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

24 Παράδειγµα Προσδιορισµός κατηγορίας µε βάση τον 1 και τους 5 κοντινότερους γείτονες x' Στο Σχήµα όπου υπάρχουν παραδείγµατα δυο κατηγοριών, η νέα περίπτωση x' χαρακτηρίζεται ως θετική, αν ληφθεί υπ' όψη µόνο ο πλησιέστερος γείτονας (1-Nearest Neighbor) και ως αρνητική αν ληφθούν υπ' όψη οι πέντε πλησιέστεροι γείτονες (5-Nearest Neighbors) καθώς η πλειοψηφία αυτών έχει αρνητικό χαρακτηρισµό (εξωτερικός κύκλος στο σχήµα). Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

25 5) Μάθηση κατά Bayes Στη µάθηση κατά Bayes (Bayesian learning) κάθε παράδειγµα εκπαίδευσης µπορεί σταδιακά να µειώσει ή να αυξήσει την πιθανότητα να είναι σωστή µια υπόθεση. Μια πρακτική δυσκολία στην εφαρµογή της µάθησης κατά Bayes είναι η απαίτηση για τη γνώση πολλών τιµών πιθανοτήτων. Όταν αυτές οι τιµές δεν είναι δυνατό να υπολογιστούν επακριβώς, υπολογίζονται κατ' εκτίµηση από παλαιότερες υποθέσεις, εµπειρική γνώση, κτλ. Η παραπάνω δυσκολία εφαρµογής έχει δώσει µεγάλη πρακτική αξία σε µια απλουστευµένη εκδοχή της µάθησης κατά Bayes, τον απλό ταξινοµητή Bayes, στον οποίο γίνεται η παραδοχή ότι τα χαρακτηριστικά είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

26 Απλός ταξινοµητής Bayes Ο απλός ταξινοµητής Bayes (simple/naive Bayes classifier) είναι µια πρακτική µέθοδος µάθησης που στηρίζεται σε στατιστικά στοιχεία (κατανοµές πιθανότητας). Η ποσότητα P που περιγράφει έναν απλό ταξινοµητή Bayes για ένα σύνολο παραδειγµάτων εκφράζει την πιθανότητα να είναι c η τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής C µε βάση τις τιµές x=(x1, x2,..., xn) των χαρακτηριστικών X=(X1, X2,..., Xn) και δίνεται από τη σχέση: Pc ( x) Pc ( ) Px ( c) = όπου τα χαρακτηριστικά Χ i θεωρούνται ανεξάρτητα µεταξύ τους. Ο υπολογισµός της παραπάνω ποσότητας για ένα σύνολο Ν παραδειγµάτων γίνεται µε βάση τις σχέσεις: P(c) = N(c) / N, P(x i c) = N(x i,c) / N(c), για χαρακτηριστικό X i µε διακριτές τιµές, P(x i c) = g(x i, µc,σc2), για χαρακτηριστικό X i µε αριθµητικές τιµές, N(c) είναι ο αριθµός των παραδειγµάτων που έχουν στην εξαρτηµένη µεταβλητή την τιµή c, N(x i,c) είναι ο αριθµός των παραδειγµάτων που έχουν για το χαρακτηριστικό Χ i και την εξαρτηµένη µεταβλητή, τιµές xi και c αντίστοιχα, και g(x i, µc,σc2) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gauss µε µέσο όρο µc και διασπορά σc για το χαρακτηριστικό X i. i i Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

27 6) Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση (regression) Η διαδικασία προσδιορισµού της σχέσης µιας µεταβλητής y (εξαρτηµένη µεταβλητή ή έξοδος) µε µια ή περισσότερες άλλες µεταβλητές x1, x2,, xn (ανεξάρτητες µεταβλητές ή είσοδοι). Σκοπός της είναι η πρόβλεψη της τιµής της εξόδου όταν είναι γνωστές οι είσοδοι. Το πιο διαδεδοµένο µοντέλο είναι το γραµµικό (linear) όπου η αναµενόµενη τιµή της εξόδου µοντελοποιείται µε µία γραµµική συνάρτηση ή σταθµισµένο άθροισµα (weighted sum) των παραµέτρων εισόδου. y j = β 0 + β 1 x 1j + β 2 x 2j + + β n x nj j = 1, 2,, m όπου m είναι ο αριθµός των δεδοµένων (παραδειγµάτων) εκπαίδευσης, ενώ το ζητούµενο είναι να υπολογιστούν οι συντελεστές βi. ιαδεδοµένη µέθοδοςς επίλυσης: η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (least squares). Ελαχιστοποιεί το σφάλµα µεταξύ της εκτιµώµενης συνάρτησης και των πραγµατικών δεδοµένων. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

28 7) Νευρωνικά ίκτυα (Neural Networks) Παρέχουν ένα πρακτικό (εύκολο) τρόπο για την εκµάθηση αριθµητικών και διανυσµατικών συναρτήσεων ορισµένων σε συνεχή ή διακριτά µεγέθη. Χρησιµοποιούνται τόσο για παρεµβολή (γραµµική και µη γραµµική) όσο και για ταξινόµηση. Έχουν το µεγάλο πλεονέκτηµα της ανοχής που παρουσιάζουν σε δεδοµένα εκπαίδευσης µε θόρυβο, δηλαδή δεδοµένα που περιστασιακά έχουν λανθασµένες τιµές (π.χ. λάθη καταχώρησης). Αδυνατούν όµως να εξηγήσουν ποιοτικά τη γνώση που µοντελοποιούν. Λόγω της σηµαντικότητάς τους, τα νευρωνικά δίκτυα παρουσιάζονται λεπτοµερώς σε άλλο κεφάλαιο. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

29 8) Μηχανές ιανυσµάτων Υποστήριξης (Μ Υ) Support Vector Machines (SVMs) Στηρίζονται στη Θεωρία Στατιστικής Μάθησης (Statistical Learning Theory) και στα νευρωνικά δίκτυα τύπου Perceptron Προτάθηκαν από τον Vladimir Vapnik και τους συνεργάτες του το Η γενικότερη ιδέα στην οποία στηρίζονται είχε προταθεί αρκετά νωρίτερα (δεκαετία '60) Έχουν εδραιωθεί ως µια από τις πιο διαδεδοµένες µεθόδους (γραµµικής και µη) παρεµβολής και ταξινόµησης, µε πλήθος εφαρµογών. αναγνώριση γραφής (handwriting recog-nition), ταξινόµηση κειµένων (text categorization), ταξινόµηση δεδοµένων έκφρασης γονιδίων (gene expression data), κτλ Στην περίπτωση της ταξινόµησης, οι Μ Υ προσπαθούν να βρουν µια υπερ-επιφάνεια (hypersurface) που να διαχωρίζει στο χώρο των παραδειγµάτων τα αρνητικά από τα θετικά παραδείγµατα. Η υπερεπιφάνεια αυτή επιλέγεται έτσι, ώστε να απέχει όσο το δυνατόν περισσότερο από τα κοντινότερα θετικά και αρνητικά παραδείγµατα (maximum margin hypersurface). Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

30 Β) Μάθηση Χωρίς Επίβλεψη Στη µάθηση χωρίς επίβλεψη το σύστηµα έχει στόχο να ανακαλύψει συσχετίσεις και οµάδες από τα δεδοµένα, βασιζόµενο µόνο στις ιδιότητές τους. Σαν αποτέλεσµα προκύπτουν πρότυπα (περιγραφές), κάθε ένα από τα οποία περιγράφει ένα µέρος από τα δεδοµένα. Παραδείγµατα προτύπων πληροφόρησης είναι οι κανόνες συσχέτισης (association rules) και οι οµάδες (clusters), οι οποίες προκύπτουν από τη διαδικασία της οµαδοποίησης (clustering). Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

31 1) Κανόνες Συσχέτισης (1/2) Η ανακάλυψη ή εξόρυξη κανόνων συσχέτισης (association rule mining) εµφανίστηκε αρκετά αργότερα από τη µηχανική µάθηση και έχει περισσότερες επιρροές από την ερευνητική περιοχή των βάσεων δεδοµένων. Προτάθηκε στις αρχές της δεκαετίας του '90 από τον Rakesh Agrawal ως τεχνική ανάλυσης καλαθιού αγορών (market basket analysis) όπου το ζητούµενο είναι η ανακάλυψη συσχετίσεων ανάµεσα στα αντικείµενα µιας βάσης δεδοµένων. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός αντικειµένων (items), για παράδειγµα ψωµί, γάλα, κτλ. Οι πελάτες γεµίζουν τα καλάθια τους µε κάποιο υ- ποσύνολο αυτών των αντικειµένων και το ζητούµενο είναι να βρεθεί ποια από αυτά τα αντικείµενα αγοράζονται µαζί, χωρίς να ενδιαφέρει ποιος είναι ο αγοραστής. Οι κανόνες συσχέτισης είναι προτάσεις της µορφής {Χ1,...,Χn} Y, που σηµαίνει ότι αν βρεθούν όλα τα Χ1,..., Χn στο καλάθι (στην ανάλυση καλαθιού αγορών) τότε είναι πιθανό να βρεθεί και το Y. Για παράδειγµα, ένας τέτοιος κανόνας θα µπορούσε να λέει: "όποιος αγοράζει καφέ (Χ1) και ζάχαρη (Χ2) αγοράζει και αναψυκτικά (Y)" Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

32 Κανόνες Συσχέτισης (2/2) Απλή αναφορά ενός τέτοιου κανόνα δεν έχει µεγάλη αξία αν δε συνοδεύεται από κάποια ποσοτικά µεγέθη που µετρούν την ποιότητα των ευρεθέντων κανόνων συσχέτισης. Τέτοια µεγέθη είναι τα: Υποστήριξη (support) ή κάλυψη (coverage): εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το καλάθι {Χ1,..., Χn, Y} στη βάση δεδοµένων και ισούται µε το λόγο των εγγραφών που περιλαµβάνουν το {Χ1,...,Χn, Y} προς το σύνολο των εγγραφών. Εµπιστοσύνη (confidence) ή ακρίβεια (accuracy): εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το Y σε ένα καλάθι που περιέχει τα {Χ1,..., Χn} και ισούται µε το λόγο των εγγραφών που περιλαµβάνουν το {Χ1,..., Χn, Y} προς το σύνολο των εγγραφών που περιλαµβάνουν τα Χi. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

33 Αλγόριθµοι Εύρεσης Κανόνων Συσχέτισης Για την ανακάλυψη κανόνων συσχέτισης χρησιµοποιείται η ιδιότητα της µονοτονίας (monotonicity property) ή αλλιώς ιδιότητα a priori σύµφωνα µε την οποία: "Αν ένα σύνολο αντικειµένων S είναι συχνό, τότε όλα τα υποσύνολα του S είναι επίσης συχνά". π.χ. αν είναι συχνό το {γάλα, ψωµί, λάδι} τότε είναι τουλάχιστον εξίσου συχνό και το {γάλα, ψωµί} (ή το {γάλα, λάδι}, ή το {ψωµί, λάδι}) Συχνό είναι ένα σύνολο αντικειµένων όταν εµφανίζεται σε ποσοστό των καλαθιών ίσο ή µεγαλύτερο από ένα όριο που συνήθως ορίζει ο χρήστης. Σε έναν αλγόριθµο εύρεσης κανόνων συσχέτισης µας ενδιαφέρει κυρίως ο αριθµός των περασµάτων στα δεδοµένα που απαιτείται κατά την εκτέλεσή του. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

34 Ο αλγόριθµος Apriori Προτάθηκε από τον Rakesh Agrawal το 1994 και είναι ίσως ο κλασικότερος αλγόριθµος ανακάλυψης κανόνων συσχέτισης. Περιλαµβάνει δυο βασικά βήµατα, τη δηµιουργία των συχνών συνόλων αντικειµένων και τη δηµιουργία των κανόνων συσχέτισης. Η διαδικασία της δηµιουργίας συχνών συνόλων αντικειµένων περιλαµβάνει δύο στάδια: Αρχικά δηµιουργείται ένα σύνολο υποψήφιων συχνών αντικειµένων Ci και στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας το όριο υποστήριξης (support), δηµιουργείται το σύνολο των συχνών συνόλων αντικειµένων Li. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται πραγµατοποιώντας διαδοχικά περάσµατα στα δεδοµένα µέχρι να βρεθούν είτε τα συχνά σύνολα αντικειµένων ενός προκαθορισµένου επιπέδου ή τα µέγιστα συχνά σύνολα αντικειµένων. Το πρώτο στάδιο επιπλέον αποτελείται από ένα βήµα συνένωσης (join step) και ένα βήµα κλαδέµατος (prune step) τα οποία συνήθως εκτελούνται στη µνήµη και έτσι δεν είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα. Για τη δηµιουργία των κανόνων συσχέτισης ελέγχεται η εµπιστοσύνη (confidence) όλων των πιθανών κανόνων που προκύπτουν από τα µέγιστα συχνά σύνολα αντικειµένων και στο τέλος µένουν εκείνοι των οποίων η εµπιστοσύνη ξεπερνά το όριο που τέθηκε από το χρήστη. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

35 ηµιουργία Συχνών Συνόλων Αντικειµένων Έστω ότι το όριο υποστήριξης είναι sup. Στο πρώτο πέρασµα βρίσκονται τα αντικείµενα εκείνα που εµφανίζονται στη βάση δεδοµένων σε ένα ποσοστό sup των καλαθιών ή µεγαλύτερο. Αυτό το σύνολο ονοµάζεται σύνολο συχνών αντικειµένων (frequent 1- itemset) και συµβολίζεται µε L1. Από το L1 προκύπτουν, κάνοντας όλους τους δυνατούς συνδυασµούς, τα υποψήφια (συχνά) ζεύγη αντικειµένων C2. Στο δεύτερο πέρασµα, τα ζεύγη του C2 των οποίων το πλήθος ικανοποιεί το κριτήριο sup, δηµιουργούν το L2, δηλαδή τα συχνά ζεύγη (frequent 2-itemsets). Από το L2 προκύπτουν οι υποψήφιες (συχνές) τριάδες αντικειµένων C3 που θα χρησιµοποιηθούν στο τρίτο πέρασµα. Οι υποψήφιες τριάδες C3 είναι σύνολα του τύπου {A,B,C} τέτοια, ώστε όλα τα υποσύνολά του µεγέθους δυο, δηλαδή τα {A,B}, {A,C}, {B,C}, να ανήκουν στο L2. Στο τρίτο πέρασµα, υπολογίζεται ο αριθµός των εµφανίσεων των τριάδων του C3 και µε βάση το κριτήριο sup δηµιουργείται το L3. Η διαδικασία συνεχίζεται για προκαθορισµένο αριθµό επιπέδων ή µέχρι να αδειάσουν τα υποψήφια συχνά σύνολα αντικειµένων και να δηµιουργηθούν τα µέγιστα συχνά σύνολα αντικειµένων. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

36 Παράδειγµα Εφαρµογής του Apriori (1/4) Έστω ένα σύνολο δεδοµένων που αντιστοιχούν σε 10 διαφορετικά καλάθια αγορών από ένα super market. Κάθε καλάθι περιλαµβάνει ένα υποσύνολο των προϊόντων του super market. Για παράδειγµα, στο πρώτο καλάθι ο πελάτης αγόρασε µόνο ψωµί και γάλα. Καλάθι Ψωµί Καφές Γάλα Ζάχαρη # # # # # # # # # # Έστω επίσης ότι η ζητούµενη υποστήριξη είναι sup=40% και η ζητούµενη εµπιστοσύνη conf=80%. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

37 Παράδειγµα Εφαρµογής του Apriori (2/4) Στο πρώτο βήµα, ο Apriori υπολογίζει την υποστήριξη όλων των αντικειµένων, δηλαδή δηµιουργεί το σύνολο L1. S{Ψωµί} = 7/10 = 70% sup S{Καφές} = 5/10 = 50% sup S{Γάλα} = 6/10 = 60% sup S{Ζάχαρη} = 7/10 = 70% sup Συνεπώς L1={ Ψωµί, Καφές, Γάλα, Ζάχαρη } Στο δεύτερο βήµα, παράγονται όλοι οι δυνατοί συνδυασµοί των αντικειµένων, για να δηµιουργηθεί το σύνολο υποψήφιων ζευγών αντικειµένων, δηλαδή το σύνολο C2. C2={ {Ψωµί,Καφές},{Ψωµί,Γάλα},{Ψωµί,Ζάχαρη},{Καφές,Γάλα}, {Καφές,Ζάχαρη},{Γάλα,Ζάχαρη} } Κατόπιν, υπολογίζεται η υποστήριξη των µελών του C2 και απορρίπτονται εκείνα που δεν ξεπερνούν το όριο ελάχιστης υποστήριξης, ώστε να δηµιουργηθεί το σύνολο συχνών ζευγών L2. S({Ψωµί, Καφές}) = 3/10 = 30% < sup (απορρίπτεται) S({Ψωµί, Γάλα}) = 5/10 = 50% sup κτλ. Τελικά: L2={{Ψωµί,Γάλα},{Ψωµί,Ζάχαρη},{Γάλα,Ζάχαρη}} Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

38 Παράδειγµα Εφαρµογής του Apriori (3/4) Από το L2, µε τον ίδιο τρόπο, θα δηµιουργηθούν τα C3 και L3 (αν τελικά υπάρχουν "συχνές" τριάδες). Στο συγκεκριµένο παράδειγµά, το βήµα δηµιουργίας υποψήφιων τριάδων έχει ως εξής: Βήµα συνένωσης: {Ψωµί,Γάλα} {Ψωµί,Ζάχαρη}= {Ψωµί,Γάλα,Ζάχαρη} Βήµα κλαδέµατος: Οι επιµέρους δυάδες (ζεύγη) του {Ψωµί,Γάλα,Ζάχαρη} ανήκουν όλες στο L2, άρα: C3={{Ψωµί,Γάλα,Ζάχαρη}} S({Ψωµί,Γάλα,Ζάχαρη})=3/10=30% (απορρίπτεται), άρα L3={}. Ο αλγόριθµος εύρεσης συχνών συνόλων αντικειµένων σταµατά εδώ και συνεπώς το µέγιστο συχνό σύνολο αντικειµένων είναι το L2. Το επόµενο βήµα είναι η εξαγωγή των κανόνων από τα συχνά σύνολα (στο συγκεκριµένο παράδειγµα µόνο το L2), βάσει της εµπιστοσύνης τους. L2={{Ψωµί,Γάλα},{Ψωµί,Ζάχαρη},{Γάλα,Ζάχαρη}} Ελέγχεται η εµπιστοσύνη όλων των πιθανών κανόνων που µπορεί να προκύψουν από το L2. {Ψωµί,Γάλα} Ψωµί Γάλα: εµπιστοσύνη = 5/7 = 71% < conf (απορρίπτεται) Γάλα Ψωµί: εµπιστοσύνη = 5/6 = 83% > conf (εγκρίνεται) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

39 Παράδειγµα Εφαρµογής του Apriori (4/4) {Ψωµί,Ζάχαρη} Ψωµί Ζάχαρη: εµπιστοσύνη = 5/7 = 71% < conf (απορρίπτεται) Ζάχαρη Ψωµί: εµπιστοσύνη = 5/7 = 71% < conf (απορρίπτεται) {Γάλα,Ζάχαρη} Γάλα Ζάχαρη: εµπιστοσύνη = 4/6 = 66% < conf (απορρίπτεται) Ζάχαρη Γάλα: εµπιστοσύνη = 4/7 = 57% < conf (απορρίπτεται) Τελικά παράγεται µόνο ο κανόνας: Γάλα Ψωµί, δηλαδή όποιος αγοράζει Γάλα αγοράζει και Ψωµί. Αν ελαττώσουµε τη ζητούµενη εµπιστοσύνη στο 70% τότε θα παραχθούν τέσσερις κανόνες. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

40 2) Οµάδες (clusters) Είναι πρότυπα πληροφόρησης που προκύπτουν µε οµαδοποίηση (clustering) δηλαδή διαχωρισµό ενός συνόλου (συνήθως πολυδιάστατων) δεδοµένων σε οµάδες, ώστε: σηµεία που ανήκουν στην ίδια οµάδα να µοιάζουν όσο το δυνατόν περισσότερο και σηµεία που ανήκουν σε διαφορετικές οµάδες να διαφέρουν όσο το δυνατόν περισσότερο. Στο Σχήµα απεικονίζεται γραφικά µία υποθετική οµαδοποίηση σε δεδοµένα αγοραστών σπορ αυτοκινήτων, µε βάση την ηλικία (άξονας x), το ετήσιο εισόδηµα (άξονας y) και το φύλο. ιακρίνονται τρεις οµάδες: "αγοραστές νεαρής ηλικίας ανεξαρτήτως φύλλου", "άνδρες αγοραστές µε υψηλό εισόδηµα, όλων των ηλικιών µέχρι τα 53 χρόνια" και "άνδρες αγοραστές ηλικίας περίπου 44 ανεξαρτήτως εισοδήµατος". Ετήσιο Εισόδηµα (χιλιάδες ) 60 Άνδρας Γυναίκα Ηλικία (χρόνια) Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

41 Αλγόριθµοι Οµαδοποίησης Υπάρχουν τρεις γενικές κατηγορίες αλγορίθµων οµαδοποίησης: Οι αλγόριθµοι βασισµένοι σε διαχωρισµούς (partition based), που προσπαθούν να βρουν τον καλύτερο διαχωρισµό ενός συνόλου δεδοµένων σε ένα συγκεκριµένο αριθµό οµάδων. Οι ιεραρχικοί (hierarchical) αλγόριθµοι, που προσπαθούν µε ιεραρχικό τρόπο να ανακαλύψουν τον αριθµό και τη δοµή των οµάδων. Οι πιθανοκρατικοί (probabilistic) αλγόριθµοι, που βασίζονται σε µοντέλα πιθανοτήτων. Η οµαδοποίηση απαιτεί κάποιο µέτρο της οµοιότητας ή διαφοράς µεταξύ των δεδοµένων. Συνήθως υπολογίζεται η "απόσταση" µεταξύ των δεδοµένων. Έστω ένα σύνολο δεδοµένων D, και δύο δεδοµένα του, x, y που περιγράφονται από m χαρακτηριστικά (x 1,x 2,,x m ), (y 1,y 2,,y m ). Τυπικά µέτρα απόστασης αυτών των δύο δεδοµένων είναι η απόσταση Μανχάταν και η Ευκλείδεια απόσταση: 2 d ( x, y) x i y i d( x, y) = ( x i y i ) = i Απόσταση Μανχάταν Ευκλείδεια απόσταση Αν κάποια χαρακτηριστικά είναι διακριτά, τότε η απόσταση των τιµών τους θεωρείται 0 αν πρόκειται για την ίδια τιµή και 1 αν πρόκειται για διαφορετικές τιµές. Τα αριθµητικά χαρακτηριστικά θα πρέπει να οµογενοποιούνται ώστε η απόστασή τους να πέφτει µέσα στο διάστηµα [0,1]. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση i

42 Αλγόριθµοι Βασισµένοι σε ιαχωρισµούς Ο αλγόριθµος των Κ-µέσων (1/2) Ένας από τους πιο γνωστούς αλγόριθµους οµαδοποίησης αυτής της κατηγορίας είναι ο αλγόριθµος των Κ-µέσων (K-means). Ο αριθµός Κ των οµάδων καθορίζεται πριν την εκτέλεση του αλγορίθµου. Ο αλγόριθµος ξεκινά διαλέγοντας K τυχαία σηµεία από τα δεδοµένα ως τα κέντρα των οµάδων. Έπειτα αναθέτει κάθε σηµείο στην οµάδα της οποίας το κέντρο είναι πιο κοντά (µικρότερη απόσταση) σε αυτό το σηµείο. Στη συνέχεια, υπολογίζει για κάθε οµάδα το µέσο όρο όλων των σηµείων της (µέσο διάνυσµα) και ορίζει αυτό ως νέο κέντρο της. Τα δύο τελευταία βήµατα επαναλαµβάνονται για ένα προκαθορισµένο αριθµό βηµάτων ή µέχρι να µην υπάρχει αλλαγή στο διαχωρισµό των σηµείων σε οµάδες. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

43 Ο αλγόριθµος των Κ-µέσων (2/2) Ο αλγόριθµος των των Κ-µέσων δίνεται σε ψευδογλώσσα στη συνέχεια: Αλγόριθµος Κ-µέσων είσοδος: Σύνολο δεδοµένων D = {x 1,, x n } Αριθµός Οµάδων k έξοδος: Οµάδες C i 1.//ανάθεση τυχαίων κέντρων για i= 1,,k κάνε: θεώρησε m i ως ένα τυχαίο στοιχείο από το D; 2.//οµαδοποίηση όσο υπάρχουν αλλαγές στις οµάδες Ci κάνε: 2α.//δηµιουργία οµάδων για i = 1,, k κάνε C i = {x D d(m i,x) d(m j,x) για όλα τα j = 1,,k, j k}; 2β.//υπολογισµός νέων κέντρων για i = 1,,k κάνε m i = το µέσο διάνυσµα των σηµείων που ανήκουν στην οµάδα C i ; Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

44 Παράδειγµα Εκτέλεσης του Αλγορίθµου των Κ-µέσων Έστω ότι ο αλγόριθµος εκτελείται µε k=2 για τα 7 σηµεία του Σχήµατος. Αρχικά επιλέγονται τυχαία, έστω τα σηµεία 3 και 4, ως κέντρα για τις δύο οµάδες Α και Β Κάθε σηµείο από τα υπόλοιπα ανατίθεται στην οµάδα στης οποίας το κέντρο είναι πιο κοντά, άρα τα σηµεία 1, 2, 3 και 5 θα ανήκουν στην οµάδα Α ενώ τα 4, 6 και 7 στην Β. Ξαναϋπολογίζονται τα κέντρα κάθε οµάδας και µε αυτόν τον τρόπο ολοκληρώνεται ένας κύκλος υπολογισµών. Τα νέα κέντρα απεικονίζονται στο Σχήµα (α) µε ρόµβο. Α (α) Β 4 Ο παραπάνω κύκλος υπολογισµών επαναλαµβάνεται χρησιµοποιώντας αυτήν τη φορά τις αποστάσεις των σηµείων από τα νέα κέντρα. Μια µεταβολή που συντελείται είναι ότι το σηµείο 2 αλλάζει οµάδα και ανήκει πλέον στη Β. Επιπλέον, τα κέντρα των οµάδων µετατοπίζονται σε νέες θέσεις που στο Σχήµα (β) σηµειώνονται µε τετράγωνο. Κατά την τρίτη επανάληψη των παραπάνω υπολογισµών, δε συντελείται καµία µεταβολή στον πληθυσµό κάθε οµάδας, οπότε η διαδικασία τερµατίζει. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση Α (β) Β

45 Αλγόριθµοι Ιεραρχικής Οµαδοποίησης (1/3) Οι αλγόριθµοι ιεραρχικής οµαδοποίησης συνδυάζουν οµάδες σε µεγαλύτερες οµάδες ή διαιρούν µεγάλες οµάδες σε µικρότερες. Το αποτέλεσµα των αλγορίθµων αυτών είναι µια ιεραρχία από διαφορετικές οµαδοποιήσεις των δεδοµένων στο ένα άκρο της οποίας βρίσκεται µια µόνο οµάδα µε όλα τα δεδοµένα, και στο άλλο τόσες οµάδες όσες και ο αριθµός των δεδοµένων. Με βάση την κατεύθυνση ανάπτυξης της ιεραρχίας που ακολουθούν, οι ιεραρχικοί αλγόριθµοι οµαδοποίησης χωρίζονται στους αλγορίθµους συγχώνευσης (agglomerative) και στους αλγορίθµους διαίρεσης (divisive). Οι αλγόριθµοι συγχώνευσης είναι οι πιο σηµαντικοί και διαδεδοµένοι από τους δύο. Βασίζονται σε µετρικές απόστασης ανάµεσα σε οµάδες. εδοµένης µιας αρχικής οµαδοποίησης (για παράδειγµα, κάθε σηµείο αποτελεί µια οµάδα), οι αλγόριθµοι αυτοί βρίσκουν τις δύο πιο κοντινές οµάδες και τις συγχωνεύουν µε µία. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου προκύψει µία µόνο οµάδα. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

46 Αλγόριθµοι Ιεραρχικής Οµαδοποίησης (2/3) ίνεται ο γενικός αλγόριθµος ιεραρχικής οµαδοποίησης, σε ψευδογλώσσα: Ιεραρχικός Αλγόριθµος Οµαδοποίησης είσοδος: Σύνολο δεδοµένων D = {x 1,, x n } Συνάρτηση d(c i, C j ) απόστασης δύο οµάδων C i, C j έξοδος: Οµάδες C i 1. για i = 1,,n κάνε: θεώρησε C i = {x i }; 2. όσο ο αριθµός των οµάδων είναι µεγαλύτερος από 1 κάνε: 2α. Υπολόγισε την απόσταση µεταξύ όλων των οµάδων ανά δύο 2β. C i = C i C j, όπου C i και C j οι δυο πιο κοντινές οµάδες 2γ. Αφαίρεσε την οµάδα C j από το σύνολο των οµάδων Οι ιεραρχίες που προκύπτουν από τους αλγορίθµους ιεραρχικής οµαδοποίησης µπορεί να απεικονιστούν µε έναν πρακτικό και εύκολο τρόπο µέσω ενός γραφήµατος δενδρικής µορφής, το οποίο ονοµάζεται δενδρόγραµµα. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

47 Αλγόριθµοι Ιεραρχικής Οµαδοποίησης (3/3) Στο Σχήµα αριστερά, φαίνονται κάποια σηµεία στο διδιάστατο χώρο, ενώ δεξιά παρουσιάζεται το δενδρόγραµµα που προκύπτει µέσω ιεραρχικής οµαδοποίησης ενδρόγραµµα Ιεραρχικής Οµαδοποίησης Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

48 Άλλα Είδη Μάθησης Εκτός από τις µεθόδους που παρουσιάστηκαν, υπάρχουν και άλλες προσεγγίσεις στο πρόβληµα της µηχανικής µάθησης. ύο από αυτές, είναι οι γενετικοί αλγόριθµοι και η ενισχυτική µάθηση. Γενετικοί Αλγόριθµοι (Genetic Algorithms) Mέθοδος µάθησης που βασίζεται στην προσοµοίωση του φυσικού φαινοµένου της εξέλιξης (evolution) - (παρουσιάζονται αναλυτικά σε σχετικό κεφάλαιο). Οι υποθέσεις συνήθως αναπαριστώνται από ακολουθίες bit (bit-strings). Η αναζήτηση της κατάλληλης υπόθεσης ξεκινάει τυχαία µε έναν πληθυσµό (µια συλλογή) αρχικών υποθέσεων, τα µέλη του οποίου παράγουν τη νέα "γενιά" µέσω διαδικασιών αναπαραγωγής αντίστοιχων των βιολογικών, όπως: διασταύρωση (crossover) τυχαία µετάλλαξη (random mutation) Σε κάθε βήµα, οι υποθέσεις του τρέχοντος πληθυσµού αξιολογούνται βάσει µιας προκαθορισµένης συνάρτησης καταλληλότητας (fitness function). Βάσει αυτής επιλέγονται για το αν θα υφίστανται ή όχι στην επόµενη γενιά. Συµπέρασµα: Η µάθηση αντιµετωπίζεται σαν µία ειδική περίπτωση βελτιστοποίησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

49 Ενισχυτική Μάθηση Reinforcement Learning Γενική περιγραφή οικογένειας τεχνικών στις οποίες το σύστηµα µάθησης προσπαθεί να µάθει µέσω άµεσης αλληλεπίδρασης µε το περιβάλλον. Εφαρµογές: έλεγχο κίνησης ροµπότ, βελτιστοποίηση εργασιών σε εργοστάσια, µάθηση επιτραπέζιων παιχνιδιών, κτλ. Είναι εµπνευσµένη από τα αντίστοιχα ανάλογα της µάθησης µε επιβράβευση και τιµωρία που συναντώνται στα έµβια όντα. Σκοπός του συστήµατος µάθησης: να µεγιστοποιήσει µια συνάρτηση του αριθµητικού σήµατος ενίσχυσης (ανταµοιβή), για παράδειγµα την αναµενόµενη τιµή του σήµατος ενίσχυσης στο επόµενο βήµα. Το σύστηµα δεν καθοδηγείται από κάποιον εξωτερικό επιβλέποντα για το ποια ενέργεια θα πρέπει να ακολουθήσει αλλά πρέπει να ανακαλύψει µόνο του ποιες ενέργειες είναι αυτές που θα του αποφέρουν το µεγαλύτερο κέρδος. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

50 Το Πλαίσιο της Ενισχυτικής Μάθησης (1/2) Στο βασικό πλαίσιο της ενισχυτικής µάθησης, η οντότητα που µαθαίνει και παίρνει αποφάσεις ονοµάζεται πράκτορας (agent), ενώ οτιδήποτε άλλο εκτός του πράκτορα ονοµάζεται περιβάλλον. Ο πράκτορας και το περιβάλλον αλληλεπιδρούν συνεχώς, µε τον πρώτο να επιλέγει ενέργειες και το δεύτερο να αποκρίνεται σε αυτές και να του παρουσιάζει καινούριες καταστάσεις. Το περιβάλλον δίνει στον πράκτορα ανταµοιβές (rewards), ειδικές αριθµητικές τιµές τις οποίες αυτός προσπαθεί µακροπρόθεσµα να µεγιστοποιήσει. Ο πράκτορας και το περιβάλλον αλληλεπιδρούν σε µια ακολουθία διακριτών χρονικών στιγµών, t=0, 1, 2,.... Σε µια χρονική στιγµή t, o πράκτορας λαµβάνει µια αναπαράσταση της κατάστασης του περιβάλλοντος, s t S, S είναι το σύνολο των πιθανών καταστάσεων στις οποίες µπορεί να βρεθεί ο πράκτορας. Ο πράκτορας διαλέγει µια ενέργεια, a t A(s t ), A(s t ) είναι το σύνολο των ενεργειών που είναι διαθέσιµες στην δεδοµένη κατάσταση s t Την επόµενη χρονική στιγµή, σαν αποτέλεσµα της ενέργειάς του, ο πράκτορας λαµβάνει µια αριθµητική ανταµοιβή, r t+1 R, και µεταβαίνει σε µια καινούρια κατάσταση, s t+1. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

51 Το Πλαίσιο της Ενισχυτικής Μάθησης (2/2) Το Σχήµα δείχνει την αλληλεπίδραση του πράκτορα µε το περιβάλλον. κατάσταση s t Πράκτορας ανταµοιβή r t ενέργεια a t r t+1 Περιβάλλον s t+1 Σε κάθε χρονική στιγµή ο πράκτορας πραγµατοποιεί µια απεικόνιση από τις καταστάσεις σε πιθανότητες επιλογής κάθε δυνατής ενέργειας. Η απεικόνιση αυτή ονοµάζεται πολιτική του πράκτορα και υποδηλώνεται ως π, π(s t, a t ) είναι η πιθανότητα να επιλεγεί η ενέργεια a t στη κατάσταση s t. Άρα η ενισχυτική µάθηση πραγµατοποιείται σε πραγµατικό χρόνο µέσω της αλληλεπίδρασης του πράκτορα µε το περιβάλλον. Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 6 Ικανοποίηση Περιορισµών Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Ικανοποίηση Περιορισµών Ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών (constraint

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

Η Μηχανική Μάθηση στο Σχολείο: Μια Προσέγγιση για την Εισαγωγή της Ενισχυτικής Μάθησης στην Τάξη

Η Μηχανική Μάθηση στο Σχολείο: Μια Προσέγγιση για την Εισαγωγή της Ενισχυτικής Μάθησης στην Τάξη 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο «Διδακτική της Πληροφορικής» Φλώρινα, 20-22 Απριλίου 2012 Η Μηχανική Μάθηση στο Σχολείο: Μια Προσέγγιση για την Εισαγωγή της Ενισχυτικής Μάθησης στην Τάξη Σάββας Νικολαΐδης 1 ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 8 Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αναπαράσταση Γνώσης Σύνολο συντακτικών

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Α ληροφόρητη αναζήτηση

Ε ανάληψη. Α ληροφόρητη αναζήτηση ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Το ική Αναζήτηση Local Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Α ληροφόρητη αναζήτηση σε πλάτος, οµοιόµορφου κόστους, σε βάθος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ (ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΚΕΦ. 6 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΤΩΝ ΒΛΑΧΑΒΑ, ΚΕΦΑΛΑ, ΒΑΣΙΛΕΙΑ Η, ΚΟΚΚΟΡΑ & ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ) Ι. ΧΑΤΖΗΛΥΓΕΡΟΥ ΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Είναι γνωστές µερικές

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ρ. Χαράλαµπος Π. Στρουθόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου 2.87 Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Μέχρις_ότου Ημορφή της δομής επανάληψης Μέχρις_ότου είναι: Μέχρις_ότου Συνθήκη Η ομάδα εντολών στο εσωτερικό της επανάληψης, εκτελείται μέχρις ότου ισχύει η συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Μηχανικής Μάθησης στην επεξεργασία Τηλεπισκοπικών Δεδομένων. Δρ. Ε. Χάρου

Μέθοδοι Μηχανικής Μάθησης στην επεξεργασία Τηλεπισκοπικών Δεδομένων. Δρ. Ε. Χάρου Μέθοδοι Μηχανικής Μάθησης στην επεξεργασία Τηλεπισκοπικών Δεδομένων Δρ. Ε. Χάρου Πρόγραμμα υπολογιστικής ευφυίας Ινστιτούτο Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΕΦΕ ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ exarou@iit.demokritos.gr Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Εξόρυξη Γνώσης από εδοµένα (data mining)

Εξόρυξη Γνώσης από εδοµένα (data mining) Εξόρυξη νώσης από εδοµένα (data mining) Ε.Κ.Ε.Φ.Ε. ηµόκριτος Ινστ. Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών εώργιος Παλιούρας Email: paliourg@iit.demokritos.gr WWW: http://www.iit.demokritos.gr/~paliourg Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Γενετικοί Αλγόριθμοι. Εισαγωγή

Γενετικοί Αλγόριθμοι. Εισαγωγή Τεχνητή Νοημοσύνη 08 Γενετικοί Αλγόριθμοι (Genetic Algorithms) Εισαγωγή Σε αρκετές περιπτώσεις το μέγεθος ενός προβλήματος καθιστά απαγορευτική τη χρήση κλασικών μεθόδων αναζήτησης για την επίλυσή του.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΓΚΡΙΣΗΣ ΠΙΣΤΩΤΙΚΗΣ ΚΑΡΤΑΣ ΑΠΟ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΓΚΡΙΣΗΣ ΠΙΣΤΩΤΙΚΗΣ ΚΑΡΤΑΣ ΑΠΟ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΓΚΡΙΣΗΣ ΠΙΣΤΩΤΙΚΗΣ ΚΑΡΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων Ενότητα 7: Ομαδοποίηση Μέρος Α Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

13/5/2015 ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ. Δομές Δεδομένων. Ουρές Προτεραιότητας

13/5/2015 ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ. Δομές Δεδομένων. Ουρές Προτεραιότητας ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ Δομές Δεδομένων Τι θα δούμε Ουρές προτεραιότητας Πράξεις Διωνυμικές Ουρές Διωνυμικά Δέντρα Διωνυμικοί Σωροί Ουρές Fibonacci Αναπαράσταση Πράξεις Ανάλυση Συγκρίσεις Ουρές προτεραιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Εξόρυξη Δεδομένων. Ανάλυση Δεδομένων. Η διαδικασία εύρεσης κρυφών (ήκαλύτεραμηεμφανών) ιδιοτήτων από αποθηκευμένα δεδομένα,

ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Εξόρυξη Δεδομένων. Ανάλυση Δεδομένων. Η διαδικασία εύρεσης κρυφών (ήκαλύτεραμηεμφανών) ιδιοτήτων από αποθηκευμένα δεδομένα, ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ηλίας Κ. Σάββας Εξόρυξη Δεδομένων Η διαδικασία εύρεσης κρυφών (ήκαλύτεραμηεμφανών) ιδιοτήτων από αποθηκευμένα δεδομένα, Μετατροπή δεδομένων σε ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, Πολλά δεδομένα αποθηκευμένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ομή Επανάληψης

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ομή Επανάληψης ΕΠ.1 Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα εκτυπώνει τους διψήφιους άρτιους ακέραιους. Η άσκηση στην ουσία θα πρέπει να εκτυπώσει του αριθμούς 10, 12, 14,.,96, 98. Μεμιαπρώτηματιάθαμπορούσαμενατηνλύσουμεμετοναπροσπελάσουμετιςτιμές

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά Τσάπελη Φανή ΑΜ: 243113 Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots Τελική Αναφορά Περιγραφή του παιχνιδιού Το παιχνίδι dots παίζεται με δύο παίχτες. Έχουμε έναν πίνακα 4x4 με τελείες, και σκοπός του κάθε παίχτη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. ΜΕΡΟΣ Α: Επίλυση Προβληµάτων... 17

Περιεχόµενα. ΜΕΡΟΣ Α: Επίλυση Προβληµάτων... 17 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... I ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΩΝ...III ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... IX ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... XI 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 1.1 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ... 1 1.1.1 Ορισµός της Νοηµοσύνης... 2 1.1.2 Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Τεχνητή Νοημοσύνη 1η Σειρά Ασκήσεων

Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Τεχνητή Νοημοσύνη 1η Σειρά Ασκήσεων Π Π Τ Μ Τ Μ Η/Υ Π Δ Μ Π Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Τεχνητή Νοημοσύνη 1η Σειρά Ασκήσεων Φοιτητής: Ν. Χασιώτης (AM: 0000) Καθηγητής: Ι. Χατζηλυγερούδης 22 Οκτωβρίου 2010 ΑΣΚΗΣΗ 1. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η συνολική εικόνα. Ποιοτική Αναβάθμιση δεδομένων. Λογισμικό Επικοινωνιών DATA WAREHOUSE. Σχεδιασμός Ενοποίηση Επιλογή Συγχρονισμός Συντονισμός

Η συνολική εικόνα. Ποιοτική Αναβάθμιση δεδομένων. Λογισμικό Επικοινωνιών DATA WAREHOUSE. Σχεδιασμός Ενοποίηση Επιλογή Συγχρονισμός Συντονισμός Η συνολική εικόνα Τοπικές Βάσεις Βάσεις Κεντρικών Συστημάτων Βάσεις Τρίτων Ποιοτική Αναβάθμιση δεδομένων Λογισμικό Επικοινωνιών DATA WAREHOUSE Σχεδιασμός Ενοποίηση Επιλογή Συγχρονισμός Συντονισμός Warehouse

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση εικόνων κατά JPEG

Κωδικοποίηση εικόνων κατά JPEG Κωδικοποίηση εικόνων κατά JPEG Εισαγωγή Προετοιµασία της εικόνας ρυθµός Ακολουθιακός απωλεστικός ρυθµός Εκτεταµένος απωλεστικός ρυθµός Μη απωλεστικός ρυθµός Ιεραρχικός ρυθµός Τεχνολογία Πολυµέσων 09-1

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1) Ποιοι είναι οι τελεστές σύγκρισης και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Δέντρα Απόφασης (Decision(

Δέντρα Απόφασης (Decision( Δέντρα Απόφασης (Decision( Trees) Το μοντέλο που δημιουργείται είναι ένα δέντρο Χρήση της τεχνικής «διαίρει και βασίλευε» για διαίρεση του χώρου αναζήτησης σε υποσύνολα (ορθογώνιες περιοχές) Ένα παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα