Metode pomakâ (1) V. S. & K. F.
|
|
- Ζώνα Λαμέρας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. O metodama pomakâ Metode pomakâ (1) V. S. & K. F. Metode pomakâ su metode proračuna štapnih sistema u kojima su nepoznanice vrijednosti translacijskih pomaka i kutovi zaokreta odabranih točaka sistema nazvanih čvorovima. Čvorovi su, u kontekstu metoda pomakâ, sve na neki način istaknute točke sistema, poput ležajeva 1, 2 i 3 sistema sa slike 1., točaka 4, 6 i 10 u kojima se sastaje više štapova, točaka 8 i 9 u kojima se dva štapa sastaju pod nekim kutom, točke 7 u kojoj su dva kolinearna štapa spojena zglobno ili slobodnoga kraja prepusta 11, ali se čvorom može proglasiti bilo koja točka točka 5, primjerice. Krutim čvorom nazivamo čvor u kojemu su svi štapovi medusobno kruto spojeni (4, 5, 6 i 8), a zglobnim čvor u kojem su svi štapovi spojeni zglobno (7 i 9); čvor može biti i mješoviti kruto zglobni (10). Kako uvodenjem unutrašnjih zglobova zaplet postaje zamršenijim, uzet ćemo zasad da su svi čvorovi u sistemu kruti; sa zglobovima ćemo se ponovo susresti u odjeljku 4.4. Elementom, potpunije: štapnim elementom ili linijskim elementom, nazivamo dio štapa izmedu dva susjedna čvora; u našem primjeru elementi su: (1,4), (2,6), (3,8), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (4,9), (6,10), (9,10) i (10,11) Slika 1. Prikaz metoda pomakâ započet ćemo analizom ravninskih štapnih sistema, i to sistema s ravnim štapovima. Za ravninu u kojoj opisujemo sistem odabrat ćemo, kao i obično, ravninu xz. Svaki kruti ravninski čvor j, ako nije ležajni, ima dva translacijska stupnja slobode translacijski pomak po općem pravcu možemo uvijek rastaviti na komponente Øu j u j Øı, u smjeru osi x, i Øw j w j Ø k, u smjeru osi z i jedan rotacijski stupanj slobode zaokret za kut ϕ j oko osi okomite na ravninu sistema (slika 2.). 1
2 j w j ϕ j u j Slika 2. Zanemare li se uzdužne deformacije ravnih elemenata, razmak čvorova jednoga elementa ne mijenja se pa izmedu njihovih translacijskih pomaka postoji kinematičko ograničenje; time se broj nepoznanica smanjuje, ali treba prepoznati neovisne translacijske pomake sistema. Takva se inačica metode naziva inženjerskom metodom pomakâ, dok ćemo metodu u općoj formulaciji, u kojoj se sve tri komponente pomaka čvora uzimaju kao nepoznanice, nazivati općom ili točnom metodom pomakâ. Za razliku od metode sila i inženjerske metode pomakâ, opću je metodu pomakâ razmjerno lako formalizirati, pa je ta metoda algoritamska osnova većine kompjutorskih programa za proračun štapnih konstrukcija. Na zamislima i postupcima opće metode pomakâ utemeljena je i metoda konačnih elemenata koja omogućava proračun plošnih (ploče, zidovi, ljuske,...) i masivnih sistema, a primjenjuje se i u drugim područjima tehnike, poput hidromehanike ili geomehanike. Napomenut ćemo još i da se metodama pomakâ mogu, osim statički neodredenih, proračunavati i statički odredeni sistemi. 2. Mehanička metafora Proračun nekom od metoda pomakâ provodi se, kao i u metodi sila, na osnovnom sistemu. No, osnovni sistem sada oblikujemo dodavanjem zamišljenih veza koje sprečavaju translacijske pomake i zaokrete čvorova (slika 3.b.). U prvome se koraku proračuna na osnovni sistem nanose zadane sile i sva ostala zadana djelovanja, poput slijeganja ležajeva i temperaturnih promjena. Kako bismo osnovni sistem doveli u mehaničko stanje u kojemu se nalazi izvorni sistem, u drugome se koraku njegovi čvorovi prisilno zaokreću i pomiču po pravcima zamišljenih veza. Iz te se skice proračunskoga slijeda može naslutiti da je mehanička interpretacija matematičkog formalizma, koji ćemo u sljedećim odjeljcima podrobno razraditi, dualna zamisli iz koje je izvedena metoda sila: U metodi sila osnovni sistem nastaje raskidanjem veza pa se pod zadanim djelovanjima sile koje su te veze prenosile ne mogu razviti i oduprijeti pomacima, što znači da su po pravcima raskinutih veza omogućeni pomaci kojih nema u izvornom sistemu. U metodama pomakâ pak osnovni sistem nastaje dodavanjem veza. Te veze sprečavaju slobodne pomake i zaokrete čvorova pa će se u njima pri zadanim djelovanjima pojaviti reaktivne sile i momenti kojih u izvornome sistemu nema. 2
3 q h P v P h a. b. c. d. M ssp e. f. M spp g. h. M Slika 3. 3
4 Pod zadanim se djelovanjima osnovni sistem metode sila nalazi u jednome od mogućih stanja ravnoteže izvornoga sistema. No, to moguće stanje nije i stvarno stanje ravnoteže izvornog sistema unutarnje sile ne daju polje pomakâ koje zadovoljava uvjete kompatibilnosti. Analogno, polje pomakâ osnovnoga sistema neke od metoda pomakâ u stanju spriječenih pomaka čvorova odgovarat će tek jednom od mogućih stanja pomakâ izvornoga sistema (slika 3.c.). Mogućim ili dopustivim stanjem pomakâ nazivamo svako polje pomakâ koje zadovoljava uvjete neprekinutosti i ležajne uvjete. To stanje, u kojemu je osnovni sistem, nije, medutim, stvarno stanje pomakâ izvornoga sistema zamišljene veze prenose na podlogu dio sila koje djeluju na čvorove pa bez njih čvorovi, izrežemo li ih sistema, neće biti u ravnoteži (primjerice, momentni dijagram na slici d.). Osnovni sistem metode sila dovodimo u stvarno stanje ravnoteže izvornoga sistema tako da raskinute veze nadomjestimo statički neodredenim silama s pravim vrijednostima. Te vrijednosti nepoznanice metode sila moraju zadovoljiti jednadžbe neprekinutosti: raskinute se veze moraju zatvoriti. Analogno, osnovni ćemo sistem metode pomakâ dovesti u stvarno stanje pomakâ izvornoga sistema tako da stanju spriječenih pomaka čvorova pribrojimo stanje prisilnih pomaka čvorova (slika 3.e.), pri čemu ti pomaci i zaokreti moraju biti takvi da reakcije, koje se zbog njih razvijaju u zamišljenim vezama, ponište reakcije izazvane zadanim djelovanjima (momentni dijagram na slici f.). Kada reakcije iščeznu, na čvorove osnovnoga sistema djelovat će samo one sile koje djeluju na čvorove izvornog sistema. Budući da su u izvornom sistemu te sile u ravnoteži, bit će u ravnoteži i u osnovnom sistemu (momentni dijagram na slici h.). Slijedi da uvjete iščezavanja reakcija u zamišljenim reakcijama možemo izraziti kao uvjete ravnoteže sila i momenata u čvorovima. Drugim riječima, sustavu jednadžbi neprekinutosti dualan je u metodi pomakâ sustav jednadžbi ravnoteže njihovo su rješenje tražene, do tada nepoznate vrijednosti pomakâ čvorova i kutovi njihovih zaokreta. Stvarno je stanje pomakâ skicirano na slici g. U inženjerskoj se metodi pomakâ najčešće koristimo samo uvjetima ravnoteže momenata te sustav nadopunjujemo jednadžbama virtualnih radova na neovisnim translacijskim pomacima. 3. Matrična formulacija opće metode pomakâ 3.1. Sile na krajevima štapnoga elementa Štapni element priključen u čvorove i i j označavat ćemo sa Ôi, jõ; očito je, naime, da taj par čvorova jednoznačno odreduje element. Krajeve elementa označit ćemo prema pripadnim čvorovima pa ćemo govoriti o kraju i i kraju j. Desni lokalni koordinatni sustav odabrat ćemo tako da čvor i leži u njegovu ishodištu i da se uzdužna os štapa poklapa s osi ξ (slika 4.). Statičke i kinematičke veličine na i-tom kraju elementa Ôi, jõ označavat ćemo parom (donjih) indeksa i,j, a veličine na kraju j parom j,i. 4
5 i j l (i,j) ξ ζ Slika 4. Poopćene sile kojima čvorovi djeluju na element nazvat ćemo silama na krajevima štapnoga elementa. Uzet ćemo zasad da je element u čvorove priključen krutim vezama pa na oba kraja postoje sve tri poopćene sile uzdužna i poprečna sila te moment. (To, naravno, ne mora biti slučaj, ali, spomenuli smo već, štapovi sa zglobnim ili pomičnim vezama zahtijevaju dodatnu obradu. Na to ćemo se kasnije vratiti, u odjeljku o statičkoj kondenzaciji.) Za razliku od unutarnjih sila, sile na oba kraja štapnoga elementa dogovorno su pozitivne ako se njihov smisao djelovanja poklapa s pozitivnim smislom odgovarajuće osi; na slici 5. prikazane su pozitivno orijentirane sile na krajevima elementa i pozitivno orijentirane unutarnje sile. Vidjet ćemo da takav dogovor o orijentacijama sila na krajevima olakšava postavljanje jednadžbi ravnoteže čvorova. M i,j M(ξ) M(ξ) T(ξ) M j,i N i,j T i,j T(ξ) N(ξ) N(ξ) T j,i N j,i Slika 5. Iz skice temeljne zamisli možemo zaključiti da su ukupne sile na krajevima zbrojevi sila u stanju spriječenih pomaka čvorova i sila u stanju prisilnih pomaka. Za vrijednosti sila na kraju i možemo stoga pisati: N i,j n i,j N i,j, T i,j t i,j T i,j, (1) M i,j m i,j M i,j, gdje su n i,j, t i,j, m i,j vrijednosti sila u stanju prisilnih, a N i,j, T i,j, M i,j vrijednosti sila u stanju spriječenih pomaka. Analogni se izrazi mogu napisati za vrijednosti sila na kraju j Sile stanja spriječenih pomaka Opterećenja na štapnim elementima ulaze u jednadžbe ravnoteže u obliku (poopćenih) sila upetosti: f Ö N i,j T i,j M i,j N j,i T j,i M j,i T. Izraze za njihovo izračunavanje možemo izvesti metodom sila, a za mnoge tipove opterećenja ti se izrazi mogu naći u udžbenicima gradevne statike i u raznim priručnicima. 5
6 Primjerice, za jednoliko raspodijeljene sile koje djeluju u smjerovima lokalnih osi ξ i ζ, s vrijednostima q ξ i q ζ, vrijednosti sila upetosti su: N ij 1 2 q ξ l, T ij 1 2 q ζ l, M ij 1 12 q ζ l 2, N ji 1 2 q ξ l, T ji 1 2 q ζ l, M ji 1 12 q ζ l 2. Djeluju li pak u točki koja je za a udaljena od čvora i koncentrirane sile P ξ i P ζ u smjerovima osi ξ i ζ i moment M, vrijednosti su sila upetosti: N ij P ξ b a, N ji P ξ, l l T ij P ζ Ô3 a bõ b 2 l 3 M 6 a b Ôa 3 bõ a 2, T l 3 ji P ζ l 3 M 6 a b, l 3 M ij P ζ a b 2 l 2 M b Ô3 a l Õ a 2 b, M l 2 ji P ζ l 2 M a Ô3 b l Õ, l 2 gdje je b l a. [Sve navedene izraze izvedite metodom sila! Proračunska shema štapa s krutim vezama na oba kraja obostrano je upeta greda.] 3.3. Odnos izmedu sila na krajevima i pomakâ krajeva Sile u stanju prisilnih pomaka posljedica su poopćenih pomaka krajeva elementa koji su jednaki pomacima čvorova sistema. Ti su pomaci prisilni pomaci ležajeva obostrano upete grede (slika 6.a.) koja je proračunska shema štapnoga elementa: u i,j i w i,j te u j,i i w j,i vrijednosti su komponenata pomaka ležajeva i i j po osi elementa i okomito na nju, dok su ϕ i,j i ϕ j,i kutovi njihovih zaokreta (slika 6.b.). Pozitivni smisao tih komponenata odgovara pozitivnom smislu osî lokalnoga koordinatnog sustava, a time i pozitivnom smislu sila na krajevima elementa. Izraze za vrijednosti sila na krajevima štapnoga elementa kao funkcija vrijednosti poopćenih pomaka krajeva izvest ćemo metodom sila. Za osnovni sistem odabrat ćemo konzolu sa slike 6.c. Pretpostavimo li da je štapni element konstantnoga poprečnog presjeka, IÔxÕ I i AÔxÕ A, te da je modul elastičnosti konstantan po njegovoj duljini, EÔxÕ E, matrica fleksibilnosti je l 0 0 E A l 3 l 2 D 0 3 E I 2 E I l 2 l 0 2 E I E I 6
7 a. i l (i,j) j ξ ζ b. ξ w i,j u j,i w j,i ϕ j,i ζ u i,j ϕ i,j c. X 3 X 2 X 1 d. u i,j δ 1,0 w i,j δ 2,0 (w i,j) δ 3,0 δ 2,0 (ϕ i,j) ϕ i,j Slika 6. [dokažite!]. S pomoću dijagrama pomakâ prikazanih na slici 6.d. odredujemo vrijednosti δ 1,0, δ 2,0 i δ 3,0 poopćenih pomaka hvatišta prekobrojnih sila po pravcima njihova djelovanja, prouzročenih pomacima ležaja i, pa je sustav jednadžbi neprekinutosti l 0 0 E A l 3 l E I 2 E I l 2 l 0 2 E I E I X 1 X 2 X 3 u i,j w i,j ϕ i,j l ϕ i,j [Zašto vrijednosti poopćenih pomaka ležaja j dolaze na desne strane jednadžbi?] 7 u j,i w j,i ϕ j,i.
8 Inverzna je matrica matrice fleksibilnosti E A 0 0 l 12 E D 1 I 0 l 3 6 E I 0 l 2 Uvedemo li definicijama k a def E A l i k f 6 E I l 2 4 E I l pojmove aksijalne i fleksijske krutosti elementa, bit će k a k f 6 k f D 1 0 l 2 l 6 k f 0 4 k f l pa je rješenje sustava X 1 u j,i u i,j X 2 D 1 w j,i w i,j ϕ i,j l X 3 ϕ j,i ϕ i,j k a Ôu j,i u i,j Õ 12 k f Ôw l 2 j,i w i,j Õ def. 6 k f l Ôϕ j,i ϕ i,j Õ 6 k f l Ôw j,i w i,j Õ 4 k f ϕ j,i 2 k f ϕ i,j E I l (2) Osnovni smo sistem odabrali tako da sile X 1, X 2 i X 3 odgovaraju silama na kraju j štapnoga elementa te su neposredno n j,i X 1 k a Ô u i,j u j,i Õ,. t j,i X 2 12 k f l 2 Ô w i,j w j,i Õ 6 k f l Ôϕ i,j ϕ j,i Õ, m j,i X 3 6 k f l Ô w i,j w j,i Õ 2 k f ϕ i,j 4 k f ϕ j,i. 8
9 Izraze za vrijednosti sila na kraju i možemo sada izvesti iz jednadžbi ravnoteže cijeloga štapa [skicirajte štap sa silama koje na nj djeluju!]: n i,j n j,i k a Ôu i,j u j,i Õ, t i,j t j,i 12 k f Ôw i,j w j,i Õ l 2 6 k f l Ô ϕ i,j ϕ j,i Õ, m i,j m j,i l t j,i 6 k f l Ô w i,j w j,i Õ 4 k f ϕ i,j 2 k f ϕ j,i. Dobivene ćemo izraze zapisati u matričnom obliku: k a 0 0 k a k f 6 k f 12 k f 6 k f n 0 i,j l 2 0 l l 2 l t i,j 6 k f 6 k f m i,j 0 4 k f 0 2 k f l l n j,i k a 0 0 k a 0 0 t j,i 12 k f 6 k f 12 k f 6 k f 0 0 m j,i l 2 l l 2 l 6 k f 6 k f 0 2 k f 0 4 k f l i, jezgrovito, matričnom stenografijom : l u i,j w i,j ϕ i,j u j,i w j,i ϕ j,i, (3) f k u. (4) Matrica k je matrica krutosti elementa izražena u lokalnom koordinatnom sustavu, vektor u je vektor vrijednosti poopćenih pomaka krajeva elementa u smjerovima osi lokalnoga koordinatnog sustava, a vektor f je vektor vrijednosti sila na krajevima štapnoga elementa zbog pomakâ njegovih krajeva. Komponenta k α,β, α, β 1,...,6, matrice k vrijednost je poopćene sile s indeksom α, f, izazvane jediničnim poopćenim pomakom s indeksom β, uô1õ (slika 7.). α β Odmah možemo vidjeti da je matrica krutosti elementa simetrična, a lako je pokazati i da je singularna. Za postavljenje jednadžbi ravnoteže čvorova izraz (4) pogodno je napisati u obliku f k k i i,i u i,j i, (5) f k j k j,i u j,j j 9
10 1 1 k (i,j)1,1 k (i,j)4,1 k (i,j)1,4 l (i,j) l (i,j) k (i,j)4,4 k (i,j)5,2 k (i,j)2,5 k (i,j)2,2 k (i,j)5,5 1 k (i,j)6,2 1 k (i,j)3,5 k (i,j)3,2 k (i,j)6,5 k (i,j)2,3 1 k (i,j)5,3 k (i,j)2,6 k (i,j)3,3 k (i,j)6,3 1 k (i,j)3,6 k (i,j)5,6 k (i,j)6,6 Slika 7. gdje su: f i Ön i,j t i,j m i,j T vektor vrijednosti sila na kraju i, f j Ön j,i t j,i m j,i T vektor vrijednosti sila na kraju j, u i Öu i,j w i,j ϕ i,j T vektor vrijednosti (poopćenih) pomaka kraja i, u j Öu j,i w j,i ϕ j,i T vektor vrijednosti (poopćenih) pomaka kraja j; matrica k rastavljena je na odgovarajaći način na blokove 3 3, tako da (pod)matrice k i,i i k izražavaju utjecaje pomakâ krajeva i i j na vrijednosti sila na kraju i: i,j f i k i,i k i,j u i u j [Napišite odgovarajući matrični izraz za sile na j-tom kraju!]. Izrazi za vrijednosti sila na krajevima mogu se izvesti i rješavanjem diferencijalnih jednadžbi polja uzdužnih i poprečnih pomaka ravnoga štapa Prijelaz u globalni koordinatni sustav Jednadžbe ravnoteže čvorova postavljaju se u smjerovima osi globalnoga koordinatnog sustava, pa sile na krajevima elemenata treba izraziti u tom sustavu (slika 8.), što znači da vektor sila, vektor pomakâ i matricu krutosti treba transformirati iz lokalnoga u globalni koordinatni sustav. 1 M. An-delić: Gradevna statika II, Gradevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2005., odjeljak
11 a. x b. x N j,i ξ F z j,i z M j,i T j,i z M j,i F x j,i T i,j M i,j M i,j F x i,j N i,j ζ Slika 8. F z i,j Ako je α kut izmedu globalne osi x i lokalne osi ξ (slika 9.), transformacija koordinata iz globalnoga u lokalni sustav rotacija je oko osi y η za kut α : cosα 0 sin α (6) sin α 0 cosα ξ α (i,j) x y, η z ζ Slika 9. Zamijenimo li drugi i treći stupac, tako da poredak komponenata u retku odgovara poretku komponenata vektora ÖF x, F z, M, T, i potom drugi i treći redak, tako da poredak redaka odgovara poretku komponenata vektora ÖN, T, M, T, matrica transformacije prelazi u r cosα sin α 0 sin α cosα 0. (7) Za transformaciju vektorâ sila na krajevima elementa i vektora pomakâ krajeva oblikujemo matricu r 0 R (8) 0 r 11
12 te su f R f g, (9) f R fg, (10) u R u g. (11) Komponente vektora f g Öfx i,j f z i,j m i,j f x j,i f z j,i m j,i T vrijednosti su sila na krajevima elementa u stanju prisilnih pomaka pri rastavu na komponente na pravcima koji su usporedni s osima globalnoga koordinatnog sustava, komponente vektora fg ÖF x i,j F z i,j M i,j F x j,i F z j,i M j,i T vrijednosti su sila upetosti u rastavu na takve komponente, a vektor u g sadrži vrijednosti komponenata pomakâ krajeva po pravcima usporednim s globalnim osima. Pomaci krajeva elementa jednaki su pomacima čvorova pa je u g ui, u j gdje (pod)vektor u i sadrži vrijednosti komponenata pomakâ čvora i, a u j čvora j: Uvest ćemo oznaku u i,j Öu i u j T. u i Öu i w i ϕ i T i u j Öu j w j ϕ j T. Iz izraza (9), (10) i (11) slijedi da je transformacija vektorâ sila i pomakâ iz lokalnoga u globalni koordinatni sustav dana izrazima f g R 1 f, (12) fg R 1 f, (13) u i,j R 1 u. (14) Matrica r je ortogonalna te su r 1 rt i R 1 RT. Uvrstimo li (9) i (11) u (4), bit će R f g k R u i,j, odnosno, i konačno f g R 1 k R u i,j, f g kg u i,j, (15) 12
13 gdje je k g R 1 k R (16) matrica krutosti elementa izražena u globalnom koordinatnom sustavu. Preveden u globalni koordinatni sustav, matrični izraz (5) postaje f g k g k g ui i i,i i,j. (17) u j f g j k g j,i k g j,j Usput rečeno, lako je vidjeti da je k g k g i,i i,j k g j,i k g j,j r 1 k r i,i r 1 k r i,j r 1 k j,i r r 1 k j,j r Jednadžbe ravnoteže čvorova Na svaki čvor i sistema djeluju sile od priključenih elemenata, a mogu djelovati i zadane ili reaktivne koncentrirane sile i momenti čije ćemo vrijednosti svrstati u vektor p i ÖP x i P z i M i T. Vektor je ukupnih vrijednosti sila na i-tome kraju štapnoga elementa Ôi, jõ ˆfg k g k g i i,i i,j u i fg u. (18) j i Kraj i elementa Ôi, jõ djeluje na čvor i suprotno orijentiranim silama čije su vrijednosti komponente vektora ˆf g pa je formalni zapis uvjetâ ravnoteže čvora i: i ô ˆfg Ôi,e i Õ Ôi,e i p Õ i 0, (19) i gdje je sumacija po svim elementima Ôi, e i Õ koji su priključeni u taj čvor. Matrična jednadžba (19) sadrži tri jednadžbe koje izražavaju ravninske uvjete ravnoteže: iščezavanje zbroja sila koje na čvor i djeluju u smjeru osi x, iščezavanje zbroja sila u smjeru osi z te iščezavanje zbroja momenata. Uvrštavanje izraza (18) daje nakon sredivanja ô ³± k g Ôi,e Ôi,e i k g u i i Õ Õ i,i Ôi,e i» Õ i,e i ¹ fg u ei ôôi,e i Õ Ôi,e i Õ i p i. (20) Ta jednadžba sažeto izražava temeljnu zamisao metoda pomakâ: zasad nepoznati pomaci čvorova, čije su vrijednosti komponente vektorâ u i i u ei za sve e i, moraju biti upravo takvi 13
14 da sile koje izazovu u priključenim elementima, a kojima ti elementi djeluju na čvor i (lijeva strana jednadžbe), uravnoteže poznata djelovanja na taj čvor sile upetosti i zadane koncentrirane sile (desna strana jednadžbe). U ležajnim čvorovima djeluju nepoznate reakcije, no pokazat ćemo uskoro da se pripadne jednadžbe ne uvode u nastavak postupka izračunavanja pomakâ. Na odredivanje vrijednostî reakcija vratit ćemo se u pododjeljku 3.8. Napišemo li matrične jednadžbe (20) redom za sve čvorove, dobivamo sustav (u matričnom zapisu) Ku q. (21) Vektori u i q imaju po 3n komponenti, gdje je n broj čvorova sistema: T T u1 u 2 u n, q q1 q 2 q n ; pritom je u ô q i fg Ôi,e i Õ Ôi,e i Õ i p i. (22) Matrica K sastavljena je od n n blokova tipa 3 3. Dijagonalni su blokovi ô K i,i Ôi,e i Õ kg Ôi,e i Õ i,i. Ako su čvorovi i i j povezani elementom Ôi, jõ, tada će (vandijagonalni) blokovi i, j i j, i biti K i,j k g i K j,i k g ; i,j j,i nisu li čvorovi povezani, ti će blokovi biti 3 3 nul matrice. Matrica K je simetrična i singularna. Medutim, osim nepoznatih vrijednosti pomaka slobodnih čvorova, vektor u sadrži i vrijednosti poznatih pomaka po pravcima ležajnih veza 2 ti pomaci mogu biti ili spriječeni ili jednaki zadanim pomacima ležajeva. Permutacijom komponenata vektora u i odgovorajućom permutacijom stupaca matrice K (a potom i njezinih redaka, kako bi se očuvala simetrija, te, istodobno, komponenata vektora q) sustav (21) može se prevesti u oblik Ks,s K s,l us K l,l u l K l,s qs q l, (23) gdje (pod)vektor u s sadrži vrijednosti nepoznatih, a (pod)vektor u l vrijednosti spriječenih ili zadanih pomaka. Slijedi K s,s u s q s K s,l u l. (24) Vektor q s je, prema (22), zbroj vektora vrijednosti koncentriranih sila zadanih u slobodnim čvorovima i vektora koji sadrži (negativne) zbrojeve vrijednosti sila upetosti elemenata priključenih u te čvorove, q s p s f g s, te je poznat. Budući da vektor u l sadrži 2 Naravno, vrijednosti komponenata pomakâ ležajnih čvorova, koje nisu na pravcima veza, takoder su nepoznate. 14
15 vrijednosti poznatih pomaka, umnožak K s,l u l može se takoder izračunati. Ako nema zadanih pomaka ležajeva, tj. ako je u l 0, sustav (24) postaje jednostavno K s,s u s q s. (25) Ima li konstrukcija dovoljno ležajnih veza, ispravno rasporedenih, matrica K s,s je pozitivno definitna, te se sustavi (24) ili (25) mogu riješiti, odnosno, mogu se izračunati vrijednosti nepoznatih pomaka čvorova. Permutacija redaka i stupaca matrice razmjerno je dugotrajna operacija. Osim toga, može se pokazati da (pod)matrice K s,l, K l,s i K l,l, koje se pojavljuju u prikazanom formalnom izvodu, ne treba ni izračunavati. Matrica K s,s može se, uz malo knjigovodstva, neposredno oblikovati; opis postupka, medutim, prelazi okvire ovoga sažetog prikaza Prisilni pomaci ležajeva Ako se (pod)matrica K s,l ne izračunava, zadani se pomaci ležaja u proračun uključuju kao sile upetosti zbog prisilnih pomaka krajeva elemenata priključenih u te ležajeve. Izrazi za vrijednosti sila upetosti jednaki su, naravno, izrazima za vrijednosti sila na krajevima elementa u stanju prisilnih pomaka čvorova. Komponente pomakâ ležajeva zadaju se najčešće u smjerovima osi globalnoga koordinatnog sustava: ū g i Öū i w i ϕ i T. Za izračunavanje vrijednostâ sila upetosti treba zadane pomake izraziti u lokalnom koordinatnom sustavu elementa Ôi, jõ: ū i r ū g i. Ako je zadan pomak čvora i, vrijednosti su sila upetosti f k i,i k j,i a ako je zadan pomak čvora j, te su vrijednosti f k i,j k j,j ū i, ū j Ukupne sile na krajevima elementa Rješavanjem sustava (24) ili (25) dobivamo vrijednosti komponenata pomaka čvorova u smjerovima osi globalnoga koordinatnog sustava. Za izračunavanje vrijednosti sila na krajevima elementa i unutarnjih sila treba naći vrijednosti komponenata pomaka u smjerovima osi lokalnoga koordinatnog sustava elementa: u R u i,j. Vrijednosti su konačnih sila na krajevima elementa sadržane u vektoru ˆf k k u f. (26) 15
16 3.8. Reakcije Vektor q l u (23) zbroj je vektora (negativnih) vrijednosti sila upetosti i nepoznatih vrijednosti reakcija u ležajnim vezama, q l f g l p l. Iz (23) slijedi da se vrijednosti reakcija mogu izračunati prema izrazu p l q l fg l K l,s u s K l,l u l fg l. (27) Ne oblikuju li se matrice K l,s i K l,l eksplicitno, vrijednosti se reakcija mogu izračunati iz jednadžbi ravnoteže ležajnog čvora njihovi su intenziteti jednaki zbroju intenziteta odgovarajućih komponenata ukupnih sila na krajevima elemenata priključenih u ležajne čvorove, a smisao djelovanja suprotan. 16
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.09.2015. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD TEMA: USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENIH SUSTAVA
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραGeometrijske imperfekcije
Geometrijske imperfekcije K. F. Pri izvodu diferecijalnih jednadžbi ravnoteže za ravnu gredu u ravnini (predavanje Statička nelinearnost za štap u ravnini (1), odjeljci. i 3.) pretpostavili smo da je u
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Dragana Zekić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραKosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda
V Hari i V Zadelj-Martić: Kosinus-sinus dekompozicija, mathe 10, veljača 007 1/14 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 10 http://emathhr/ Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
Διαβάστε περισσότεραMETODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar
METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότερα