METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar"

Transcript

1 METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

3 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

4 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Posmatra se puni štap tipa k u ravni OXY, dakle štap koji je kruto vezan na svojim krajevima i, k Lokalni sistem štapa u ravni nosača je xy, pri čemu je koordinatni početak u (prvom) čvoru i, a lokalna osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i k Kao što je rečeno, nepoznate veličine su čvorna pomeranja: - u čvoru i... u i, v i, ϕ i, ili, alternativno q 1, q 2, q 3 - u čvoru k... u k, v k, ϕ k, ili, alternativno q 4, q 5, q 6 Dakle, štap tipa k ( beam ), kao deo nosača u ravni, raspolaže sa 6 stepeni slobode (6 dof )

5 Matrična analiza linijskih nosača u ravni : čvorne sile i pomeranja Štap tipa k je dužine l i od materijala sa konstantnim modulom elastičnosti E Poprečni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama: - površina preseka... F - momenat inercije... J

6 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Štap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni je element punog nosača u ravni Štap tipa k može da bude izložen - aksijalnom naprezanju - savijanju U linearnoj teoriji štapa (koja se usvaja), takva dva naprezanja su međusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju se superpozicijom

7 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 6 elemenata sa utvrđenim redosledom, prvo za čvor i, pa za čvor k: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k Sa u i v su označene komponente pomeranja u pravcima osa x i y, dok je ϕ obrtanje oko ose z

8 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Razdvajanje naprezanja kod punih štapova Aksijalno naprezanje i savijanje su međusobno nezavisni u linearnoj teoriji štapa Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi se princip superpozicije

9 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Matrica krutosti i odgovarajuće relacije za štap izložen aksijalnom naprezanju su iste kao što je prikazano u razmatranju rešetkastih štapova Posmatra se štap tipa k izložen savijanju Za savijanje relevantna su čvorna pomeranja - u čvoru i... v i, ϕ i - u čvoru k... v k, ϕ k kao i čvorne sile - u čvoru i... T i, M i - u čvoru k... T k, M k

10 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Analiza savijanja kod punih štapova U nezavisnom posmatranju savijanja štapa ima po dve nepoznate u svakom čvoru Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste se oznake q 1, q 2, q 3, q 4, za čvorna pomeranja, kao i R 1, R 2, R 3, R 4 za čvorne sile Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi se računa o redosledu nepoznatih

11 Matrična analiza linijskih nosača u ravni - savijanje Pošto se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnog naprezanja, čvorne sile i čvorna pomeranja, kao i druge veličine, označavaju se sa gornjim indeksom s Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 4 elementa: q 1 R 1 q s q = 2 R s R = 2 q 3 R 3 q 4 R 4

12 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti za slučaj savijanja K s može da se izvede na bazi fizičkog značenja elemenata matrice krutosti: Koeficijent matrice krutosti k ij pretstavlja čvornu silu R i obostrano uklještenog štapa usled jediničnog čvornog pomeranja q j = 1, pri čemu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j Reakcije veza obostrano uklještene grede za jedinična pomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila

13 Matrica krutosti štapa tipa k, za q 1 = 1 Obostrano uklještena greda je dva puta statički neodređena (treća nepoznata, sila u pravcu ose štapa, jednaka je nuli za slučaj savijanja) Osnovni sistem je prosta greda i nepoznate su spregovi na krajevima štapa

14 Uticaji u osnovnom sistemu

15 Dobijene reakcije vezaza za q 1 = 1 Reakcije veza za q 1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti

16 Matrica krutosti štapa tipa k Reakcije veza za svako od jediničnih pomeranja pretstavljaju odgovarajuću kolonu matrice krutosti K s Isprekidanom linijom prikazana je elastična linija štapa (ugibi)

17 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti K s je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 4 Elementi matrice krutosti dati su sa K s = EJ l l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (1)

18 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa Q 1 Q s Q = 2 Q 3 Q 4 Elementi vektora ekvivalentog opterećenja jednaki su negativnim vrednostima reakcija obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja

19 Vektor ekvivalentnog opterećenja Za jednostavna opterećenja postoje gotova rešenja za reakcije veza obostrano uklještene grede Za proizvoljno opterećenje p y (x) reakcije veza se određuju primenom metode sila (za dva puta statički neodređen nosač)

20 Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const

21 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednakopodeljenog opterćenja p y (x) = p = const dat je sa: Q s p = pl 2 pl 2 12 pl 2 pl2 12 = pl 2 1 l 6 1 l 6

22 Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k usled temperaturne razlike t

23 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj temperaturne razlike t dat je sa: Q s t = E J α t t h Sa α t je označen koeficijent temperaturne dilatacije, dok je h visina preseka nosača

24 Matrica krutosti štapa tipa k

25 Matrica krutosti štapa tipa k Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 6 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije

26 Matrica krutosti štapa tipa k

27 Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k

28 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k

29 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta

30 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednako-podeljenog aksijalnog opterćenja p x (x) = const, kao i istovremenog jednako-podeljenog transverzalnog opterćenja p y (x) = const, dat je sa: Q s p = p xl 2 p yl 2 p yl 2 12 p xl 2 p yl 2 pyl2 12

31 - savijanje Štap tipa g Posmatra se štap tipa g, dakle, štap koji je na jednom kraju, u čvoru i, kruto vezan, a na drugom kraju, čvor g, zglobno vezan Prema tome, takav štap ima 5 stepeni slobode: 3 u krutom čvoru i, i 2 nepoznate u zglobu g (obrtanje ϕ g nije nepoznata veličina, jer može da se odredi iz uslova M g = 0)

32 - savijanje Štap tipa g Dakle, vektori čvornih pomeranja i čvornih sila, u lokalnim koordinatama, imaju po pet elemenata: q 1 u i R 1 N i q 2 v i R 2 T i q = q 3 = ϕ i R = R 3 = M i q 4 u g R 4 N g q 5 v g R 5 T g Kao i kod štapova tipa k, u linearnoj teoriji aksijalno naprezanje je nezavisno od savijanja

33 Razdvajanje aksijalnog naprezanja i savijanja U linearnoj teoriji štapa aksijalno naprezanje (kao i torzija za 3D) je nezavisno od savijanja

34 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Bez obzira na redosled u ukupnom vektoru čvornih nepoznatih, u razdvojenom posmatranju aksijalnog naprezanja i savijanja, u analizi savijanja tri nepoznate se označavaju sa q 1, q 2 i q 3

35 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Matrica krutosti za aksijalno naprezanje K a je ista kao i za rešetkasti štap Matrica krutosti za savijanje K s određuje se direktnim putem, na osnvu fizičkog značenja koeficijenata matrice krutosti Koeficijent k ij matrice krutosti za savijanje štapa tipa g je reakcija R i jednostrano uklještenog štapa sa pokretnim osloncem na drugom kraju, usled jediničnog pomeranja q j = 1

36 Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti K s štapa tipa g su reakcije jednostrano uklještenog štapa, sa zglobnom vezom na drugom kraju, usled jediničnih čvornih pomeranja Isprekidanom linijom je prikazana odgovarajuća elastična linija (ugib)

37 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti pri savijanju štapa tipa g dobijaju se u obliku: K s = E F 3 3l 3 l 3 3l 3l 2 3l 3 3l 3 Kao što se vidi, matrica krutosti za savijanje štapa tipa g je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 3

38 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g izloženog savijanju ima tri elementa u lokalnom sistemu Q 1 Q = Q 2 Q 3 Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija jednostrano uklještene grede i zglobno vezane na drugom kraju, usled zadatog opterećenja

39 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija veza usled posmatranog opterećenja

40 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const

41 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednakopodeljenog opterećenja p y (x) = p = const dobija se u obliku: 5 8 pl 1 Q p = 8 pl2 3 8 pl = p l l 3

42 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za temperaturnu promenu t

43 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj temperaturne promene t dobija se u obliku: Q t = 1.5 E J α t t h 1 l 1 1 l

44 Matrica krutosti štapa tipa g Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 5 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije

45 Matrica krutosti štapa tipa g

46 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g

47 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta

48 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednako-podeljenog opterećenja u pravcu ose štapa p x (x) = const, kao i jednako-podeljenog opterećenja upravno na štap p y (x) = const, dobija se u obliku: Q = 1 2 p xl 5 8 p yl 1 8 p yl p xl 3 8 p yl

49 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

50 Transformacija koordinata za štap tipa k Štap tipa k, u sastavu nosača u ravni, zauzima proizvoljan položaj u odnosu na globalni koordinatni sistem Položaj štapa u posmatranom nosaču, koji pripada globalnoj ravni OXY, određen je sa položajem prvog čvora i štapa i k, kao i orjentisanim uglom α = (X, x) koji zaklapa lokalna osa štapa x prema globalnoj osi X Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnuto određene su matricom transformacije T

51 Globalni i lokalni sistem Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

52 Transformacija koordinata za štap tipa k Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 6 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 6 R =. R 6 q q = 2. q 6 R = R 1 R 2. R 6

53 Globalni i lokalni sistem Prikazi vektora čvornih pomeranja i čvornih sila štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

54 Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije štapa tipa k dobija se kada se, npr., čvorne sile u lokalnom sistemu R i izraze preko čvornih sila u globalnom sistemu R i Imajući u vidu da je α = (X, x), dobijaju se sledeće relacije, posmatrajući čvorne sile u čvoru i: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α R 2 = R 1 sin α + R 2 cos α (2) R 3 = R 3

55 Transformacija koordinata za štap tipa k Prikazano u matričnom obliku, relacije (2) mogu da se napišu kao R 1 R 2 R 3 = cos α sin α 0 sin α cos α R 1 R 2 R 3 Relacije (3) mogu da se napišu u skraćenom obliku: (3) R i = t R i (4)

56 Transformacija koordinata za štap tipa k Analogne relacije mogu da se napišu i za sile u čvoru k: R k = t R k (5) Matrica t je čvorna matrica transformacije Relacije (4) i (5) mogu da se zajedno napišu u obliku { } [ ] { } Ri t 0 R = i R k 0 t Rk (6) ili u kompaktnijem obliku R = T R (7)

57 Transformacija koordinata za štap tipa k Relacija (7) pretstavlja transformaciju vektora čvornih sila iz globalnih u lokalne koordinate Matrica T je matrica transformacije za štap Napisano u razvijenom obliku, relacije (7) glase R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 (8)

58 Transformacija koordinata za štap tipa k Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T data je sa T = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α Matrica transformacije je simetrična kvadratna matrica reda 6 (9)

59 Transformacija koordinata za štap tipa k Na isti način, važe relacije između čvornih pomeranja q: q = T q (10) kao i između vektora ekvivalentnog opterećenja Q: Q = T Q (11) Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalna matrica, odn. njena transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici: T T = T 1 (12)

60 Transformacija koordinata za štap tipa k Imajući u vidu relacije (7) i (11), kao i svojstvo ortogonalnosti matrice transformacije, vektori čvornih sila i vektori ekvivalentnog opterećenja, izraženi u lokalnom sistemu, mogu da se izraze u globalnom sistemu: R = T R R = T T R Q = T Q Q = T T Q (13) Radi skraćenog pisanja, koriste se oznake λ = cos α, µ = sin α

61 Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije za čvor, kao i njena inverzna matrica, date su λ µ 0 λ µ 0 t = µ λ 0 t 1 = µ λ dok je matrica transformacije za štap data sa T = λ µ µ λ λ µ µ λ (14)

62 Transformacija koordinata za štap tipa k Ako su poznate globalne koordinate čvorova i i k štapa i k: (X i, Y i ), (X k, Y k ), onda se lako izračunavaju elementi matrice transformacije λ i µ za dati štap: l = (X k X i ) 2 + (Y k Y i ) 2 λ = 1 l (X k X i ) µ = 1 l (Y k Y i )

63 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Posmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa R = K q Unoseći u ovu jednačinu relacije između čvornih sila i čvornih pomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama: R = T R q = T q dobija se T R = K T q (15)

64 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Ako se jedn. (15) pomnoži sa transponovanom matricom transformacije sa leve strane, dobija se T T T R = T T K T q Imajući u vidu ortogonalnost matrice transformacije, T T = T 1, dobija se R = T T K T q (16) ili skraćeno, R = K q (17)

65 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Jednačina (17) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa u globalnim koordinatama U toj jednačini matrica K pretstavlja vezu između čvornih sila i čvornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da je K matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama: K = T T K T (18)

66 Globalni i lokalni sistem - štap tipa g Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa g u lokalnom i globalnom sistemu

67 Transformacija koordinata za štap tipa g Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 5 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 5 R =. R 5 q q = 2. q 5 R = R 1 R 2. R 5

68 Transformacija koordinata za štap tipa g Veze između vektora čvornih sila, pomeranja i ekvivalentnog opterećenja su, formalno, iste kao i za štap tipa k R = T R q = T q Q = T Q Razlika je samo u matrici transformacije T : kako štap tipa g ima 5 čvornih nepoznatih, tako je i matrica transformacije kvadratna matrica reda 5 Ako je čvor, odn. zglob, g drugi čvor, onda je momenat savijanja u zglobu g jednak nuli i nema veze oblika R 6 = R 6, jer se R 6 odnosi na momenat savijanja koji je u zglobu jednak nuli

69 Transformacija koordinata za štap tipa g Prema tome, u matrici transformacije za štap tipa k, datoj sa (9) ili sa (14), treba samo da se izbaci 6. kolona i 6. vrsta koje se odnose na momenat, odn. obrtanje u zglobu g Dakle, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: cos α sin α sin α cos α T = cos α sin α sin α cos α (19)

70 Transformacija koordinata za štap tipa g Alternativno, koristeći oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: T = λ µ µ λ λ µ µ λ (20)

71 Transformacija koordinata za štap tipa g Matrica transformacije za štap tipa g je simetrična i ortogonalna matrica, pa važe iste inverzne relacije kao i za štap tipa k: q = T T q R = T T R Q = T T Q Takođe, matrica krutosti štapa tipa g, izražena u odnosu na globalne koordinate, data je na isti način: K = T T KT

72 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

73 Osnovna jednačina opterećenog štapa u lokalnom sistemu glasi R = Kq Q (21) Pri tome, isti oblik jednačine (21) važi i za rešetkaste štapove, kao i za štapove tipa k ili g - razlika je samo u dimenzijama matrica i vektora U jedn. (21) unosi se veza q = T q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa T T : T T R = T T KT q T T Q (22)

74 Imajući u vidu veze (13), kao i izraz (18) za matricu krutosti u globalnom sistemu, jednačina (22) može da se prikaže u obliku R = K q Q (23) Jednačina (23) pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenog štapa u globalnom sistemu Zbog različitih položaja štapova u sklopu linijskog nosača (u ravni, ali i u prostoru!) neophodna je transformacija u globalni koordinatni sistem za sve štapove nosača

75 Posmatra se jedan od štapova u sklopu nosača - štap j, tipa k Da se naglasi da se osnovna jednačina (23) odnosi baš na štap j, uvodi se oznaka štapa kao gornji indeks: R j = K j q j Q j (24) U jedn. (24) nepoznata su čvorna pomeranja q j, dok su matrica krutosti K j i vektor ekvivalentnog opterećenja Q j poznati - određuju se iz geometrije i zadatog opterećenja duž štapa

76 U cilju razdvajanja doprinosa svakog štapa na čvorove na svojim krajevima, vrši se particija vektora čvornih sila i čvornih pomeranja po čvorovima na kraju štapa: R j = { R j i R j k } q j = { q j i q j k Broj vektora čvornih pomeranja q i jednak je broju čvorova K u posmatranom nosaču: i = 1, 2,..., K Pri tome svaki vektor čvornih pomeranja q i ima onoliko komponenti koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru (za nosač u ravni od 0 do 3) }

77 Nepoznati vektori čvornih pomeranja q i određuju se iz uslova ravnoteže sila u izdvojenim čvorovima U pojedinim čvorovima postoje spoljašnje veze koje ograničavaju pojedine stepene slobode kretanja, odn. pretstavljaju granične uslove, jer je nosač, po definiciji, nepokretan sistem Prema tome, neki od stepeni slobode kretanja su unapred poznati, zbog postojećih graničnih uslova

78 Kada se postavljaju uslovi ravnoteže sila u čvorovima, čvorne sile se, prema vezama oblika (23), izražavaju preko čvornih pomeranja U takvim uslovima ravnoteže sila u čvorovima figurišu i čvorna pomeranja koja su poznata zbog datih graničnih uslova Poznata čvorna pomeranja mogu da se eliminišu iz uslova ravnoteže Nepoznata čvorna pomeranja u posmatranom nosaču određuju se iz uslova ravnoteže sila u slobodnim čvorovima

79 Jedino su u spoljašnjem uklještenju sprečana sva čvorna pomeranja (ukinuta su sva 3 stepena slobode kretanja za nosač u ravni) Drugi oslonci (npr. nepokretan ili pokretan zglob) ukidaju samo neki od stepena slobode kretanja Dakle, u formiranju jednačina ravnoteže sila u čvorovima nosača, mogu da se odmah eliminišu (uklone) poznata pomeranja (granični uslovi) i da se dobije sistem jednačina u kome figurišu samo nepoznata pomeranja

80 Alternativno, moguće je da se iz sistema jednačina ravnoteže sila u čvorovima ne uklone poznata pomeranja U tom slučaju iz uslovnih jednačina mogu da se dobiju i nepoznate reakcije veza (sile u čvorovima koje odgovaraju poznatim pomeranjima) Posmatra se čvor i koji je izdvojen iz nosača (u skladu sa Aksiomama statike) Uticaj uklonjenih štapova u čvoru, npr. štapa j, zamenjen je silama veze, odn. silama na krajevima štapova R j m, m=1,2,3

81 Sile na kraju štapa j, R j m, pozitivne su u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Po Principu akcije i reakcije uticaj štapa na čvor je dat sa istim silama ali suprotnih smerova Prema tome, uticaj štapa j na čvor i u kome je štap vezan, ogleda se silama Rm, j m = 1, 2, 3, koje su pozitivne u negativnim smerovima globalnih osa

82 Izdvojen čvor i iz nosača u ravni i sile koje deluju na čvor: - uticaj uklonjenih štapova na čvor - spoljašnje koncentrisane sile koje deluju na čvor

83 Osim sila koje sa uklonjenih štapova deluju na čvor, na čvor mogu da deluju i spoljašnje koncentrisane sile u čvoru To su sile Pi koje su pozitivne u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Ako je broj štapova j koji su vezani čvoru i jednak n i, onda su uslovi ravnoteže sila u čvoru i dati, u vektorskom obliku, sa: P i n i j=1 R j i = 0 (25)

84 Osnovna jednačina opterećenog štapa j data je sa: R j = K j q j Q j (26) Imajući u vidu čvorove i i k štapa j, vrši se particija vektora i matrica u jedn. (26) na subvektore i submatrice prema čvorovima štapa { R j i R j k } = [ K j ii K j ki K j ik K j kk ] { q j i q j k } { Q j i Q j k } (27)

85 Subvektori R j i i R j k su čvorne sile štapa j koje su na krajevima štapa j ka čvorovima i i k Slično, subvektori q j i i q j k su vektori pomeranja čvorova, dok su Q j i i Q j k vektori ekvivalentnog opterećenja štapa j koji deluju u čvorovima i i k Najzad, submatrice K j ii, K j ik i K j kk su čvorne matrice krutosti štapa j

86 Čvorne sile štapa j u čvoru i, R j i, mogu da se dobiju iz jednačine (27) u obliku: R j i = K j ii q j i + K j ik q j k Q j i (28) Unoseći ove sile u jedn. ravnoteže sila u čvoru i (25), dobija se P i n i j=1 (K j ii q j i + K j ik q j k Q j i ) = 0 (29)

87 Uvode se oznake n i Kii = j=1 K j ii Kik = K j ik (i k) n i Q i = j=1 Q j i (30) pa se jednačina ravnoteže sila u čvoru i dobija u obliku K iiq i + k K ik q k = P i + Q i (31)

88 Matrica Kii jednaka je zbiru svih čvornih matrica krutosti K j ii štapova j koji su povezani u čvoru i Matrica Kik postoji samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani i jednaka je matrici K j ik štapa j koji povezuje čvorove i i k Vektor čvornih sila Q i jednak je zbiru subvektora ekvivalentnog opterećenja Q j i za čvor i po svim štapovima j koji su povezani u čvoru i (i naravno, opterećeni duž štapa)

89 Ako se vektori Pi i Q i saberu: P i + Q i = S i jednačine ravnoteže sila u čvoru i (31) mogu da se prikažu kao: K iiq i + k K ik q k = S i (32) Jednačina ravnoteže (32) ima onoliko koliko ima čvorova: i = 1, 2,..., K

90 Ako se napišu sve jednačine (32), i = 1, 2,..., K, mogu da se prikažu kao jedna matrična jednačina: K q = S (33) Matrica K je matrica krutosti sistema štapova, vektor q je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama)

91 Matrica krutosti sistema štapova je kvadratna matrica sa K submatrica Kik, (i, k = 1, 2,..., K), gde je K ukupan broj čvorova nosača: K11 K12 K1k K 1K K21 K22 K2k K 2K K =.... Ki1 Ki2 Kik KiK (34).... KK1 KK2 KKk KKK

92 Dijagonalni blokovi (submatrice) Kii su uvek različiti od nule, dok vandijagonalni blokovi Kik postoje samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani, inače su Kik nulti blokovi Prema tome, matrica krutosti sistema štapova nije puna matrica, već je trakaste strukture koja zavisi od topologije nosača, kao i od načina numerisanja čvorova nosača Red matrice krutosti K zavisi od broja stepeni slobode u svakom čvoru: maksimalno je 3 K Napominje se da u jednačinu (34) nisu uneti granični uslovi

93 Vektori čvornih pomeranja q i čvornih sila S imaju po K subvektora q i i S i, (i = 1, 2,..., K), od kojih svaki subvektor ima onoliko elemenata koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru i (maksimalno po 3): q = q 1 q 2. q i. q K S = S 1 S 2. S i. S K (35)

94 Osnovne osobine matrice krutosti K su sledeće: - matrica K je kvadratna matrica reda N, gde je N 3 K i pretstavlja ukupan broj stepeni slobode (broj generalisanih koordinata, odn. pomeranja čvorova nosača) - matrica K je simetrična - matrica K je trakaste strukture - matrica K je singularna Kako su sve čvorne matrice krutosti, kao i matrice krutosti pojedinih štapova, simetrične, to je i matrica K simetrična, jer se dobija sabiranjem i raspoređivanjem čvornih matrica krutosti

95 Trakasta struktura matrice krutosti je zavisna od topologije posmatranog nosača, kao i od načina numeracije čvorova nosača Matrica krutosti sistema štapova K je singularna, odn. rang matrice krutosti je manji od reda matrice N i ne postoji inverzna matrica Neki od redova (ili kolona) matrice krutosti su međusobno zavisni, jer u jednačine ravnoteže (33) nisu uneti odgovarajući granični uslovi po pomeranjima Znači, odgovarajuća pomeranja oslonačkih čvorova su poznata (obično su jednaka nuli)

96 To što u matricu krutosti K nisu uneti granični uslovi po pomeranjima znači da su u vektoru pomeranja q sadržana i pomeranja nosača kao krute ploče (kao krute figure) u ravni, tako da položaj nosača nije definisan Da bi se odredio položaj sistema u ravni, neophodno je da se zadaju konturni uslovi, odn. da se unesu uslovi oslanjanja nosača Za unutrašnje kinematički stabilne ravne sisteme minimalan broj konturnih uslova je tri, pošto sistem, kao kruto telo u ravni, raspolaže sa tri stepena slobode kretanja

97 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

98 u ravni Matrice krutosti štapova (punih i rešetkastih) u lokalnim koordinatama zavise od - dužine štapa... l - geometrijskih karakteristika poprečnog preseka... F, J - karakteristika materijala... E Matrice krutosti štapova u globalnim koordinatama zavise još i od - položaja štapa u odnosu na globalni sistem... ugao α = (X, x)

99 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Ulazni podaci koji definišu računski model posmatranog nosača sastoje se iz sledećih celina: - opšti podaci o računskom modelu (naziv, vrsta analize,... ) - podaci o topologiji nosača: koordinate čvorova i povezanost štapova - podaci o poprečnim presecima i o materijalima - podaci o graničnim uslovima - podaci o opterećenju: osnovni slučajevi opterećenja i kombinacije opterećenja U posmatranom nosaču (u ravni, ali i u 3D) svaki čvor i svaki štap imaju svoj jedinstveni identifikacioni broj

100 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Numeracije čvorova, kao i štapova, međusobno su nezavisne i počinju sa 1,2,3,... Za svaki čvor unose se koordinate tačaka (u globalnom sistemu) Za svaki štap unose se globalni brojevi prvog i drugog čvora (i, k), pri čemu je lokalna x osa orjentisana od i ka k Formiraju se liste različitih poprečnih preseka i različitih materijala u modelu nosača Unose se podaci o graničnim uslovima: koji čvor je granični i kakvi su granični uslovi

101 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Unose se podaci o osnovnim slučajevima opterećenja: - naziv slučaja opterećenja (eventualno i redni broj) - podaci o koncentrisanim silama i spregovima u čvorovima nosača - podaci o raspodeljenim opterećenjima duž osa štapova: konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena opterećenja - podaci o koncentrisanim opterećenjima duž ose štapa (mada je moguće da se štap podeli na 2 dela na mestu koncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom čvoru) - podaci o temperaturnim uticajima duž ose štapa Podaci o kombinacijama osnovnih slučajeva opterećenja

102 u ravni U fazi učitavanja i analize ulaznih podataka svakom čvoru nosača dodeljuju se globalni brojevi za čvorna pomeranja u tom čvoru Ti globalni brojevi čvornih pomeranja pretstavljaju redne brojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja u ukupnom vektoru generalisanih pomeranja q Za svaki štap time su određeni globalni brojevi čvornih pomeranja njegovih čvornih tačaka i i k Za sve štapove koji su vezani u zajedničkoj čvornoj tački globalni brojevi čvornih pomeranja u zajedničkom čvoru su isti

103 u ravni Prema tome, svaki štap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnih stepeni slobode (u i, v i, ϕ i, u k, v k, ϕ k ) i svaka od tih generalisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj Globalni redni brojevi čvornih nepoznatih nazivaju se kodni brojevi Za svaki štap se formira odgovarajuća matrica krutosti, prvo u lokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu Matrica krutosti štapa j u globalnom sistemu ima razdvojene submatrice koje odgovaraju njenim čvorovima i i k: k j ii, k j ik, k j ki = k j ik, k j kk (čvorne matrice krutosti)

104 u ravni Posle toga vrši se sabiranje matrica krutosti po svim elementima ( assembly ) Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutosti nosača K i svi elementi se iniciraju sa nulom Zatim se redom, za svaki štap j, u globalnu matricu krutosti nosača unose čvorne matrice krutosti k j ii, k j ik, k j ki, k j kk, pri čemu se čvorne matrice unose u pozicije globalne matrice koje odgovaraju globalnim brojevima čvornih pomeranja posmatrane čvorne matrice (postupak kodnih brojeva)

105 u ravni Kada se na istoj poziciji nađu čvorne matrice krutosti dva ili više štapova, elementi matrica čvornih krutosti se sabiraju Kada se saberu matrice krutosti svih štapova, odn. unesu čvorne krutosti svih štapova na odgovarajuće pozicije globalne matrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema štapova u globalnom sistemu K

106 u ravni Formiranje vektora slobodnih članova Zatim se vrši formiranje vektora slobodnih članova u globalnim koordinatama S Vektor slobodnih članova čine spoljašnje sile koje su direktno koncentrisane u čvorovima nosača, P, kao i vektor ekvivalentnog opterećenja koji pretstavlja uticaj spoljašnjeg opterećenja duž štapova nosača R : S = P + R

107 u ravni Za svaki štap koji je opterećen duž svoje ose formira se vektor ekvivalentnog opterećenja, prvo u lokalnom, a zatim u globalnom sistemu Vektor ekvivalentnog opterećenja pripada čvorovima i i k štapa na kome se nalazi raspodeljeno opterećenje Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi) nepoznatih pomeranja u posmatranom čvoru Ako je više opterećenih štapova vezano u istom čvoru, odgovarajuće komponente vektora ekvivalentnog opterećenja u tom čvoru se sabiraju

108 u ravni Na sličan način se formira i vektor slobodnih članova, koji je dat kao odgovarajući zbir vektora koncentrisanih sila u čvorovima nosača, kao i vektora ekvivalentog opterećenja koji potiče od opterećenja duž štapova Tako dobijen sistem jednačina K q = S ne može da se reši, jer je matrica krutosti sistema štapova singularna matrica - nisu uneti granični uslovi

109 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

110 u ravni U vektoru čvornih pomeranja q veći deo su nepoznata generalisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranja oslonačkih čvorova Ako se nepoznata čvorna pomeranja označe sa qf, a poznata čvorna pomeranja sa qb, onda je moguće da se izvrši particija: { } q q = f qb

111 u ravni Takođe, moguće je da se jednačine ravnoteže (33) prikažu u dekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatih i poznatih pomeranja: [ K ff K fb K bf K bb ] { q f q b } = { S f S b Jednačina (36) može da se napiše u vidu dve jednačine: } (36) K ff q f + K fb q b = S f K bf q f + K bb q b = S b (37)

112 u ravni Iz prve od jednačina (37) dobija se vektor nepoznatih čvornih pomeranja: q f = K 1 ff (S f K fb q b ) (38) Imajući u vidu da je S b = R b + Q b iz druge od jednačina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcija oslonaca: R b = K bf q f + K bb q b Q b (39)

113 u ravni Granični uslovi mogu da budu: - homogeni... q b = 0 - nehomogeni... q b 0 U slučaju homogenih graničnih uslova dobija se: 1 vektor nepoznatih čvornih pomeranja 2 vektor nepoznatih reakcija veza qf = K 1 ff Sf Rb = Kbf qf Q b = Kbf K 1 ff Sf Q b

114 u ravni U slučaju nehomogenih graničnih uslova (zadata pomeranja oslonaca), koriste se izrazi (38) i (39) Međutim, u realnoj implementaciji matrične analize linijskih nosača, odn. u izradi odgovarajućih računarskih programa, koriste se drugi pristupi unošenja graničnih uslova: 1 redukcija matrice krutosti 2 transformacija matrice krutosti Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponenta pomeranja, nepoznatog ili zadatog graničnim uslovima, ima svoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricu krutosti

115 u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće: - neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn. zadat graničnim uslovom (jednak je nuli) - vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti, uključujući i element m u vektoru slobodnih članova (unesu se nulte vrednosti) - sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatorno se pomere na gore za jedan red, tako što red m + 1 dospe u poziciju reda m i tako što poslednji red N dospe u poziciju reda N 1 - sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno se pomere levo za jednu kolonu, tako što kolona m + 1 dospeva u kolonu m, a poslednja kolona N dolazi u položaj kolone N 1

116 u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - na taj način, za jedan granični uslov matrica krutosti se smanji za jedan: sa reda N na red N 1 - takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih članova, vrši se redom za sve granične uslove po generalisanim pomeranjima - time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosi samo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovan vektor slobodnih članova - tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularna kvadratna simetrična matrica koja ima inverznu matricu

117 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće: - neka je zadat granični uslov po pomeranjima: q m = 0, gde je m globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q - u matrici krutosti postojećem elementu na glavnoj dijagonali na mestu (m, m), dakle elementu k mm koji odgovara čvornom pomeranju q m, dodaje se jako veliki broj - jako veliki broj se dobija kada se najveći broj u matrici krutosti (to je, obično, neki od elemenata na glavnoj dijagonali) pomnoži sa, recimo, 10 6

118 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - isto se uradi i sa svim ostalim zadatima graničnim uslovima: na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih (homogenih) graničnih uslova dodaju se veliki brojevi - takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se red matrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, dodaju veliki brojevi - posledica takve transformacije matrice krutosti je da su promenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti koji odgovaraju rednim brojevima čvornih pomeranja koja su zadata graničnim uslovima (jednaka su nuli)

119 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - tako transformisana matrica krutosti nije više singularna (ima inverznu matricu) i sistem jednačina može da se reši - zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matrice krutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, u rešenju se dobijaju nule za čvorna pomeranja koja su zadata homogenim graničnim uslovima (jer se deli sa jako velikim brojem) Metoda transformacije matrice krutosti više je u upotrebi od metode redukcije jer se lakše implementira u programu

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

ROŽNJAČE. Rožnjače

ROŽNJAČE. Rožnjače 1 ROŽNJAČE 2 Rožnjače Opšte 3 Rožnjače primaju i prenose opterećenje sa krovne površine na glavne nosače. Leže u krovnoj ravni i pružaju se paralelno sa podužnom osom hale. Raspon l: od 4,0 do 18,0 m (uobičajeno

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama -odnos stanja naprezanja u nosivim elementima -linijski nosivi elementi (prosta greda; kontinualna

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi i strukture podataka

Algoritmi i strukture podataka Algoritmi i strukture podataka vežbe 5 Mirko Stojadinović 6. novembar 2015 1 1 Grafovi 1.1 Osnovni pojmovi Graf G = (V, E) se sastoji od skupa čvorova V i skupa grana E, pri čemu grane predstavljaju relacije

Διαβάστε περισσότερα