METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar"

Transcript

1 METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

3 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

4 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Posmatra se puni štap tipa k u ravni OXY, dakle štap koji je kruto vezan na svojim krajevima i, k Lokalni sistem štapa u ravni nosača je xy, pri čemu je koordinatni početak u (prvom) čvoru i, a lokalna osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i k Kao što je rečeno, nepoznate veličine su čvorna pomeranja: - u čvoru i... u i, v i, ϕ i, ili, alternativno q 1, q 2, q 3 - u čvoru k... u k, v k, ϕ k, ili, alternativno q 4, q 5, q 6 Dakle, štap tipa k ( beam ), kao deo nosača u ravni, raspolaže sa 6 stepeni slobode (6 dof )

5 Matrična analiza linijskih nosača u ravni : čvorne sile i pomeranja Štap tipa k je dužine l i od materijala sa konstantnim modulom elastičnosti E Poprečni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama: - površina preseka... F - momenat inercije... J

6 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Štap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni je element punog nosača u ravni Štap tipa k može da bude izložen - aksijalnom naprezanju - savijanju U linearnoj teoriji štapa (koja se usvaja), takva dva naprezanja su međusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju se superpozicijom

7 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 6 elemenata sa utvrđenim redosledom, prvo za čvor i, pa za čvor k: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k Sa u i v su označene komponente pomeranja u pravcima osa x i y, dok je ϕ obrtanje oko ose z

8 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Razdvajanje naprezanja kod punih štapova Aksijalno naprezanje i savijanje su međusobno nezavisni u linearnoj teoriji štapa Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi se princip superpozicije

9 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Matrica krutosti i odgovarajuće relacije za štap izložen aksijalnom naprezanju su iste kao što je prikazano u razmatranju rešetkastih štapova Posmatra se štap tipa k izložen savijanju Za savijanje relevantna su čvorna pomeranja - u čvoru i... v i, ϕ i - u čvoru k... v k, ϕ k kao i čvorne sile - u čvoru i... T i, M i - u čvoru k... T k, M k

10 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Analiza savijanja kod punih štapova U nezavisnom posmatranju savijanja štapa ima po dve nepoznate u svakom čvoru Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste se oznake q 1, q 2, q 3, q 4, za čvorna pomeranja, kao i R 1, R 2, R 3, R 4 za čvorne sile Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi se računa o redosledu nepoznatih

11 Matrična analiza linijskih nosača u ravni - savijanje Pošto se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnog naprezanja, čvorne sile i čvorna pomeranja, kao i druge veličine, označavaju se sa gornjim indeksom s Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 4 elementa: q 1 R 1 q s q = 2 R s R = 2 q 3 R 3 q 4 R 4

12 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti za slučaj savijanja K s može da se izvede na bazi fizičkog značenja elemenata matrice krutosti: Koeficijent matrice krutosti k ij pretstavlja čvornu silu R i obostrano uklještenog štapa usled jediničnog čvornog pomeranja q j = 1, pri čemu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j Reakcije veza obostrano uklještene grede za jedinična pomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila

13 Matrica krutosti štapa tipa k, za q 1 = 1 Obostrano uklještena greda je dva puta statički neodređena (treća nepoznata, sila u pravcu ose štapa, jednaka je nuli za slučaj savijanja) Osnovni sistem je prosta greda i nepoznate su spregovi na krajevima štapa

14 Uticaji u osnovnom sistemu

15 Dobijene reakcije vezaza za q 1 = 1 Reakcije veza za q 1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti

16 Matrica krutosti štapa tipa k Reakcije veza za svako od jediničnih pomeranja pretstavljaju odgovarajuću kolonu matrice krutosti K s Isprekidanom linijom prikazana je elastična linija štapa (ugibi)

17 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti K s je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 4 Elementi matrice krutosti dati su sa K s = EJ l l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (1)

18 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa Q 1 Q s Q = 2 Q 3 Q 4 Elementi vektora ekvivalentog opterećenja jednaki su negativnim vrednostima reakcija obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja

19 Vektor ekvivalentnog opterećenja Za jednostavna opterećenja postoje gotova rešenja za reakcije veza obostrano uklještene grede Za proizvoljno opterećenje p y (x) reakcije veza se određuju primenom metode sila (za dva puta statički neodređen nosač)

20 Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const

21 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednakopodeljenog opterćenja p y (x) = p = const dat je sa: Q s p = pl 2 pl 2 12 pl 2 pl2 12 = pl 2 1 l 6 1 l 6

22 Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k usled temperaturne razlike t

23 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj temperaturne razlike t dat je sa: Q s t = E J α t t h Sa α t je označen koeficijent temperaturne dilatacije, dok je h visina preseka nosača

24 Matrica krutosti štapa tipa k

25 Matrica krutosti štapa tipa k Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 6 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije

26 Matrica krutosti štapa tipa k

27 Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k

28 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k

29 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta

30 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednako-podeljenog aksijalnog opterćenja p x (x) = const, kao i istovremenog jednako-podeljenog transverzalnog opterćenja p y (x) = const, dat je sa: Q s p = p xl 2 p yl 2 p yl 2 12 p xl 2 p yl 2 pyl2 12

31 - savijanje Štap tipa g Posmatra se štap tipa g, dakle, štap koji je na jednom kraju, u čvoru i, kruto vezan, a na drugom kraju, čvor g, zglobno vezan Prema tome, takav štap ima 5 stepeni slobode: 3 u krutom čvoru i, i 2 nepoznate u zglobu g (obrtanje ϕ g nije nepoznata veličina, jer može da se odredi iz uslova M g = 0)

32 - savijanje Štap tipa g Dakle, vektori čvornih pomeranja i čvornih sila, u lokalnim koordinatama, imaju po pet elemenata: q 1 u i R 1 N i q 2 v i R 2 T i q = q 3 = ϕ i R = R 3 = M i q 4 u g R 4 N g q 5 v g R 5 T g Kao i kod štapova tipa k, u linearnoj teoriji aksijalno naprezanje je nezavisno od savijanja

33 Razdvajanje aksijalnog naprezanja i savijanja U linearnoj teoriji štapa aksijalno naprezanje (kao i torzija za 3D) je nezavisno od savijanja

34 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Bez obzira na redosled u ukupnom vektoru čvornih nepoznatih, u razdvojenom posmatranju aksijalnog naprezanja i savijanja, u analizi savijanja tri nepoznate se označavaju sa q 1, q 2 i q 3

35 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Matrica krutosti za aksijalno naprezanje K a je ista kao i za rešetkasti štap Matrica krutosti za savijanje K s određuje se direktnim putem, na osnvu fizičkog značenja koeficijenata matrice krutosti Koeficijent k ij matrice krutosti za savijanje štapa tipa g je reakcija R i jednostrano uklještenog štapa sa pokretnim osloncem na drugom kraju, usled jediničnog pomeranja q j = 1

36 Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti K s štapa tipa g su reakcije jednostrano uklještenog štapa, sa zglobnom vezom na drugom kraju, usled jediničnih čvornih pomeranja Isprekidanom linijom je prikazana odgovarajuća elastična linija (ugib)

37 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti pri savijanju štapa tipa g dobijaju se u obliku: K s = E F 3 3l 3 l 3 3l 3l 2 3l 3 3l 3 Kao što se vidi, matrica krutosti za savijanje štapa tipa g je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 3

38 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g izloženog savijanju ima tri elementa u lokalnom sistemu Q 1 Q = Q 2 Q 3 Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija jednostrano uklještene grede i zglobno vezane na drugom kraju, usled zadatog opterećenja

39 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija veza usled posmatranog opterećenja

40 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const

41 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednakopodeljenog opterećenja p y (x) = p = const dobija se u obliku: 5 8 pl 1 Q p = 8 pl2 3 8 pl = p l l 3

42 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za temperaturnu promenu t

43 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj temperaturne promene t dobija se u obliku: Q t = 1.5 E J α t t h 1 l 1 1 l

44 Matrica krutosti štapa tipa g Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 5 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije

45 Matrica krutosti štapa tipa g

46 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g

47 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta

48 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednako-podeljenog opterećenja u pravcu ose štapa p x (x) = const, kao i jednako-podeljenog opterećenja upravno na štap p y (x) = const, dobija se u obliku: Q = 1 2 p xl 5 8 p yl 1 8 p yl p xl 3 8 p yl

49 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

50 Transformacija koordinata za štap tipa k Štap tipa k, u sastavu nosača u ravni, zauzima proizvoljan položaj u odnosu na globalni koordinatni sistem Položaj štapa u posmatranom nosaču, koji pripada globalnoj ravni OXY, određen je sa položajem prvog čvora i štapa i k, kao i orjentisanim uglom α = (X, x) koji zaklapa lokalna osa štapa x prema globalnoj osi X Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnuto određene su matricom transformacije T

51 Globalni i lokalni sistem Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

52 Transformacija koordinata za štap tipa k Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 6 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 6 R =. R 6 q q = 2. q 6 R = R 1 R 2. R 6

53 Globalni i lokalni sistem Prikazi vektora čvornih pomeranja i čvornih sila štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

54 Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije štapa tipa k dobija se kada se, npr., čvorne sile u lokalnom sistemu R i izraze preko čvornih sila u globalnom sistemu R i Imajući u vidu da je α = (X, x), dobijaju se sledeće relacije, posmatrajući čvorne sile u čvoru i: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α R 2 = R 1 sin α + R 2 cos α (2) R 3 = R 3

55 Transformacija koordinata za štap tipa k Prikazano u matričnom obliku, relacije (2) mogu da se napišu kao R 1 R 2 R 3 = cos α sin α 0 sin α cos α R 1 R 2 R 3 Relacije (3) mogu da se napišu u skraćenom obliku: (3) R i = t R i (4)

56 Transformacija koordinata za štap tipa k Analogne relacije mogu da se napišu i za sile u čvoru k: R k = t R k (5) Matrica t je čvorna matrica transformacije Relacije (4) i (5) mogu da se zajedno napišu u obliku { } [ ] { } Ri t 0 R = i R k 0 t Rk (6) ili u kompaktnijem obliku R = T R (7)

57 Transformacija koordinata za štap tipa k Relacija (7) pretstavlja transformaciju vektora čvornih sila iz globalnih u lokalne koordinate Matrica T je matrica transformacije za štap Napisano u razvijenom obliku, relacije (7) glase R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 (8)

58 Transformacija koordinata za štap tipa k Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T data je sa T = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α Matrica transformacije je simetrična kvadratna matrica reda 6 (9)

59 Transformacija koordinata za štap tipa k Na isti način, važe relacije između čvornih pomeranja q: q = T q (10) kao i između vektora ekvivalentnog opterećenja Q: Q = T Q (11) Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalna matrica, odn. njena transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici: T T = T 1 (12)

60 Transformacija koordinata za štap tipa k Imajući u vidu relacije (7) i (11), kao i svojstvo ortogonalnosti matrice transformacije, vektori čvornih sila i vektori ekvivalentnog opterećenja, izraženi u lokalnom sistemu, mogu da se izraze u globalnom sistemu: R = T R R = T T R Q = T Q Q = T T Q (13) Radi skraćenog pisanja, koriste se oznake λ = cos α, µ = sin α

61 Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije za čvor, kao i njena inverzna matrica, date su λ µ 0 λ µ 0 t = µ λ 0 t 1 = µ λ dok je matrica transformacije za štap data sa T = λ µ µ λ λ µ µ λ (14)

62 Transformacija koordinata za štap tipa k Ako su poznate globalne koordinate čvorova i i k štapa i k: (X i, Y i ), (X k, Y k ), onda se lako izračunavaju elementi matrice transformacije λ i µ za dati štap: l = (X k X i ) 2 + (Y k Y i ) 2 λ = 1 l (X k X i ) µ = 1 l (Y k Y i )

63 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Posmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa R = K q Unoseći u ovu jednačinu relacije između čvornih sila i čvornih pomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama: R = T R q = T q dobija se T R = K T q (15)

64 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Ako se jedn. (15) pomnoži sa transponovanom matricom transformacije sa leve strane, dobija se T T T R = T T K T q Imajući u vidu ortogonalnost matrice transformacije, T T = T 1, dobija se R = T T K T q (16) ili skraćeno, R = K q (17)

65 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Jednačina (17) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa u globalnim koordinatama U toj jednačini matrica K pretstavlja vezu između čvornih sila i čvornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da je K matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama: K = T T K T (18)

66 Globalni i lokalni sistem - štap tipa g Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa g u lokalnom i globalnom sistemu

67 Transformacija koordinata za štap tipa g Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 5 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 5 R =. R 5 q q = 2. q 5 R = R 1 R 2. R 5

68 Transformacija koordinata za štap tipa g Veze između vektora čvornih sila, pomeranja i ekvivalentnog opterećenja su, formalno, iste kao i za štap tipa k R = T R q = T q Q = T Q Razlika je samo u matrici transformacije T : kako štap tipa g ima 5 čvornih nepoznatih, tako je i matrica transformacije kvadratna matrica reda 5 Ako je čvor, odn. zglob, g drugi čvor, onda je momenat savijanja u zglobu g jednak nuli i nema veze oblika R 6 = R 6, jer se R 6 odnosi na momenat savijanja koji je u zglobu jednak nuli

69 Transformacija koordinata za štap tipa g Prema tome, u matrici transformacije za štap tipa k, datoj sa (9) ili sa (14), treba samo da se izbaci 6. kolona i 6. vrsta koje se odnose na momenat, odn. obrtanje u zglobu g Dakle, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: cos α sin α sin α cos α T = cos α sin α sin α cos α (19)

70 Transformacija koordinata za štap tipa g Alternativno, koristeći oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: T = λ µ µ λ λ µ µ λ (20)

71 Transformacija koordinata za štap tipa g Matrica transformacije za štap tipa g je simetrična i ortogonalna matrica, pa važe iste inverzne relacije kao i za štap tipa k: q = T T q R = T T R Q = T T Q Takođe, matrica krutosti štapa tipa g, izražena u odnosu na globalne koordinate, data je na isti način: K = T T KT

72 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

73 Osnovna jednačina opterećenog štapa u lokalnom sistemu glasi R = Kq Q (21) Pri tome, isti oblik jednačine (21) važi i za rešetkaste štapove, kao i za štapove tipa k ili g - razlika je samo u dimenzijama matrica i vektora U jedn. (21) unosi se veza q = T q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa T T : T T R = T T KT q T T Q (22)

74 Imajući u vidu veze (13), kao i izraz (18) za matricu krutosti u globalnom sistemu, jednačina (22) može da se prikaže u obliku R = K q Q (23) Jednačina (23) pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenog štapa u globalnom sistemu Zbog različitih položaja štapova u sklopu linijskog nosača (u ravni, ali i u prostoru!) neophodna je transformacija u globalni koordinatni sistem za sve štapove nosača

75 Posmatra se jedan od štapova u sklopu nosača - štap j, tipa k Da se naglasi da se osnovna jednačina (23) odnosi baš na štap j, uvodi se oznaka štapa kao gornji indeks: R j = K j q j Q j (24) U jedn. (24) nepoznata su čvorna pomeranja q j, dok su matrica krutosti K j i vektor ekvivalentnog opterećenja Q j poznati - određuju se iz geometrije i zadatog opterećenja duž štapa

76 U cilju razdvajanja doprinosa svakog štapa na čvorove na svojim krajevima, vrši se particija vektora čvornih sila i čvornih pomeranja po čvorovima na kraju štapa: R j = { R j i R j k } q j = { q j i q j k Broj vektora čvornih pomeranja q i jednak je broju čvorova K u posmatranom nosaču: i = 1, 2,..., K Pri tome svaki vektor čvornih pomeranja q i ima onoliko komponenti koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru (za nosač u ravni od 0 do 3) }

77 Nepoznati vektori čvornih pomeranja q i određuju se iz uslova ravnoteže sila u izdvojenim čvorovima U pojedinim čvorovima postoje spoljašnje veze koje ograničavaju pojedine stepene slobode kretanja, odn. pretstavljaju granične uslove, jer je nosač, po definiciji, nepokretan sistem Prema tome, neki od stepeni slobode kretanja su unapred poznati, zbog postojećih graničnih uslova

78 Kada se postavljaju uslovi ravnoteže sila u čvorovima, čvorne sile se, prema vezama oblika (23), izražavaju preko čvornih pomeranja U takvim uslovima ravnoteže sila u čvorovima figurišu i čvorna pomeranja koja su poznata zbog datih graničnih uslova Poznata čvorna pomeranja mogu da se eliminišu iz uslova ravnoteže Nepoznata čvorna pomeranja u posmatranom nosaču određuju se iz uslova ravnoteže sila u slobodnim čvorovima

79 Jedino su u spoljašnjem uklještenju sprečana sva čvorna pomeranja (ukinuta su sva 3 stepena slobode kretanja za nosač u ravni) Drugi oslonci (npr. nepokretan ili pokretan zglob) ukidaju samo neki od stepena slobode kretanja Dakle, u formiranju jednačina ravnoteže sila u čvorovima nosača, mogu da se odmah eliminišu (uklone) poznata pomeranja (granični uslovi) i da se dobije sistem jednačina u kome figurišu samo nepoznata pomeranja

80 Alternativno, moguće je da se iz sistema jednačina ravnoteže sila u čvorovima ne uklone poznata pomeranja U tom slučaju iz uslovnih jednačina mogu da se dobiju i nepoznate reakcije veza (sile u čvorovima koje odgovaraju poznatim pomeranjima) Posmatra se čvor i koji je izdvojen iz nosača (u skladu sa Aksiomama statike) Uticaj uklonjenih štapova u čvoru, npr. štapa j, zamenjen je silama veze, odn. silama na krajevima štapova R j m, m=1,2,3

81 Sile na kraju štapa j, R j m, pozitivne su u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Po Principu akcije i reakcije uticaj štapa na čvor je dat sa istim silama ali suprotnih smerova Prema tome, uticaj štapa j na čvor i u kome je štap vezan, ogleda se silama Rm, j m = 1, 2, 3, koje su pozitivne u negativnim smerovima globalnih osa

82 Izdvojen čvor i iz nosača u ravni i sile koje deluju na čvor: - uticaj uklonjenih štapova na čvor - spoljašnje koncentrisane sile koje deluju na čvor

83 Osim sila koje sa uklonjenih štapova deluju na čvor, na čvor mogu da deluju i spoljašnje koncentrisane sile u čvoru To su sile Pi koje su pozitivne u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Ako je broj štapova j koji su vezani čvoru i jednak n i, onda su uslovi ravnoteže sila u čvoru i dati, u vektorskom obliku, sa: P i n i j=1 R j i = 0 (25)

84 Osnovna jednačina opterećenog štapa j data je sa: R j = K j q j Q j (26) Imajući u vidu čvorove i i k štapa j, vrši se particija vektora i matrica u jedn. (26) na subvektore i submatrice prema čvorovima štapa { R j i R j k } = [ K j ii K j ki K j ik K j kk ] { q j i q j k } { Q j i Q j k } (27)

85 Subvektori R j i i R j k su čvorne sile štapa j koje su na krajevima štapa j ka čvorovima i i k Slično, subvektori q j i i q j k su vektori pomeranja čvorova, dok su Q j i i Q j k vektori ekvivalentnog opterećenja štapa j koji deluju u čvorovima i i k Najzad, submatrice K j ii, K j ik i K j kk su čvorne matrice krutosti štapa j

86 Čvorne sile štapa j u čvoru i, R j i, mogu da se dobiju iz jednačine (27) u obliku: R j i = K j ii q j i + K j ik q j k Q j i (28) Unoseći ove sile u jedn. ravnoteže sila u čvoru i (25), dobija se P i n i j=1 (K j ii q j i + K j ik q j k Q j i ) = 0 (29)

87 Uvode se oznake n i Kii = j=1 K j ii Kik = K j ik (i k) n i Q i = j=1 Q j i (30) pa se jednačina ravnoteže sila u čvoru i dobija u obliku K iiq i + k K ik q k = P i + Q i (31)

88 Matrica Kii jednaka je zbiru svih čvornih matrica krutosti K j ii štapova j koji su povezani u čvoru i Matrica Kik postoji samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani i jednaka je matrici K j ik štapa j koji povezuje čvorove i i k Vektor čvornih sila Q i jednak je zbiru subvektora ekvivalentnog opterećenja Q j i za čvor i po svim štapovima j koji su povezani u čvoru i (i naravno, opterećeni duž štapa)

89 Ako se vektori Pi i Q i saberu: P i + Q i = S i jednačine ravnoteže sila u čvoru i (31) mogu da se prikažu kao: K iiq i + k K ik q k = S i (32) Jednačina ravnoteže (32) ima onoliko koliko ima čvorova: i = 1, 2,..., K

90 Ako se napišu sve jednačine (32), i = 1, 2,..., K, mogu da se prikažu kao jedna matrična jednačina: K q = S (33) Matrica K je matrica krutosti sistema štapova, vektor q je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama)

91 Matrica krutosti sistema štapova je kvadratna matrica sa K submatrica Kik, (i, k = 1, 2,..., K), gde je K ukupan broj čvorova nosača: K11 K12 K1k K 1K K21 K22 K2k K 2K K =.... Ki1 Ki2 Kik KiK (34).... KK1 KK2 KKk KKK

92 Dijagonalni blokovi (submatrice) Kii su uvek različiti od nule, dok vandijagonalni blokovi Kik postoje samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani, inače su Kik nulti blokovi Prema tome, matrica krutosti sistema štapova nije puna matrica, već je trakaste strukture koja zavisi od topologije nosača, kao i od načina numerisanja čvorova nosača Red matrice krutosti K zavisi od broja stepeni slobode u svakom čvoru: maksimalno je 3 K Napominje se da u jednačinu (34) nisu uneti granični uslovi

93 Vektori čvornih pomeranja q i čvornih sila S imaju po K subvektora q i i S i, (i = 1, 2,..., K), od kojih svaki subvektor ima onoliko elemenata koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru i (maksimalno po 3): q = q 1 q 2. q i. q K S = S 1 S 2. S i. S K (35)

94 Osnovne osobine matrice krutosti K su sledeće: - matrica K je kvadratna matrica reda N, gde je N 3 K i pretstavlja ukupan broj stepeni slobode (broj generalisanih koordinata, odn. pomeranja čvorova nosača) - matrica K je simetrična - matrica K je trakaste strukture - matrica K je singularna Kako su sve čvorne matrice krutosti, kao i matrice krutosti pojedinih štapova, simetrične, to je i matrica K simetrična, jer se dobija sabiranjem i raspoređivanjem čvornih matrica krutosti

95 Trakasta struktura matrice krutosti je zavisna od topologije posmatranog nosača, kao i od načina numeracije čvorova nosača Matrica krutosti sistema štapova K je singularna, odn. rang matrice krutosti je manji od reda matrice N i ne postoji inverzna matrica Neki od redova (ili kolona) matrice krutosti su međusobno zavisni, jer u jednačine ravnoteže (33) nisu uneti odgovarajući granični uslovi po pomeranjima Znači, odgovarajuća pomeranja oslonačkih čvorova su poznata (obično su jednaka nuli)

96 To što u matricu krutosti K nisu uneti granični uslovi po pomeranjima znači da su u vektoru pomeranja q sadržana i pomeranja nosača kao krute ploče (kao krute figure) u ravni, tako da položaj nosača nije definisan Da bi se odredio položaj sistema u ravni, neophodno je da se zadaju konturni uslovi, odn. da se unesu uslovi oslanjanja nosača Za unutrašnje kinematički stabilne ravne sisteme minimalan broj konturnih uslova je tri, pošto sistem, kao kruto telo u ravni, raspolaže sa tri stepena slobode kretanja

97 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

98 u ravni Matrice krutosti štapova (punih i rešetkastih) u lokalnim koordinatama zavise od - dužine štapa... l - geometrijskih karakteristika poprečnog preseka... F, J - karakteristika materijala... E Matrice krutosti štapova u globalnim koordinatama zavise još i od - položaja štapa u odnosu na globalni sistem... ugao α = (X, x)

99 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Ulazni podaci koji definišu računski model posmatranog nosača sastoje se iz sledećih celina: - opšti podaci o računskom modelu (naziv, vrsta analize,... ) - podaci o topologiji nosača: koordinate čvorova i povezanost štapova - podaci o poprečnim presecima i o materijalima - podaci o graničnim uslovima - podaci o opterećenju: osnovni slučajevi opterećenja i kombinacije opterećenja U posmatranom nosaču (u ravni, ali i u 3D) svaki čvor i svaki štap imaju svoj jedinstveni identifikacioni broj

100 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Numeracije čvorova, kao i štapova, međusobno su nezavisne i počinju sa 1,2,3,... Za svaki čvor unose se koordinate tačaka (u globalnom sistemu) Za svaki štap unose se globalni brojevi prvog i drugog čvora (i, k), pri čemu je lokalna x osa orjentisana od i ka k Formiraju se liste različitih poprečnih preseka i različitih materijala u modelu nosača Unose se podaci o graničnim uslovima: koji čvor je granični i kakvi su granični uslovi

101 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Unose se podaci o osnovnim slučajevima opterećenja: - naziv slučaja opterećenja (eventualno i redni broj) - podaci o koncentrisanim silama i spregovima u čvorovima nosača - podaci o raspodeljenim opterećenjima duž osa štapova: konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena opterećenja - podaci o koncentrisanim opterećenjima duž ose štapa (mada je moguće da se štap podeli na 2 dela na mestu koncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom čvoru) - podaci o temperaturnim uticajima duž ose štapa Podaci o kombinacijama osnovnih slučajeva opterećenja

102 u ravni U fazi učitavanja i analize ulaznih podataka svakom čvoru nosača dodeljuju se globalni brojevi za čvorna pomeranja u tom čvoru Ti globalni brojevi čvornih pomeranja pretstavljaju redne brojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja u ukupnom vektoru generalisanih pomeranja q Za svaki štap time su određeni globalni brojevi čvornih pomeranja njegovih čvornih tačaka i i k Za sve štapove koji su vezani u zajedničkoj čvornoj tački globalni brojevi čvornih pomeranja u zajedničkom čvoru su isti

103 u ravni Prema tome, svaki štap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnih stepeni slobode (u i, v i, ϕ i, u k, v k, ϕ k ) i svaka od tih generalisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj Globalni redni brojevi čvornih nepoznatih nazivaju se kodni brojevi Za svaki štap se formira odgovarajuća matrica krutosti, prvo u lokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu Matrica krutosti štapa j u globalnom sistemu ima razdvojene submatrice koje odgovaraju njenim čvorovima i i k: k j ii, k j ik, k j ki = k j ik, k j kk (čvorne matrice krutosti)

104 u ravni Posle toga vrši se sabiranje matrica krutosti po svim elementima ( assembly ) Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutosti nosača K i svi elementi se iniciraju sa nulom Zatim se redom, za svaki štap j, u globalnu matricu krutosti nosača unose čvorne matrice krutosti k j ii, k j ik, k j ki, k j kk, pri čemu se čvorne matrice unose u pozicije globalne matrice koje odgovaraju globalnim brojevima čvornih pomeranja posmatrane čvorne matrice (postupak kodnih brojeva)

105 u ravni Kada se na istoj poziciji nađu čvorne matrice krutosti dva ili više štapova, elementi matrica čvornih krutosti se sabiraju Kada se saberu matrice krutosti svih štapova, odn. unesu čvorne krutosti svih štapova na odgovarajuće pozicije globalne matrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema štapova u globalnom sistemu K

106 u ravni Formiranje vektora slobodnih članova Zatim se vrši formiranje vektora slobodnih članova u globalnim koordinatama S Vektor slobodnih članova čine spoljašnje sile koje su direktno koncentrisane u čvorovima nosača, P, kao i vektor ekvivalentnog opterećenja koji pretstavlja uticaj spoljašnjeg opterećenja duž štapova nosača R : S = P + R

107 u ravni Za svaki štap koji je opterećen duž svoje ose formira se vektor ekvivalentnog opterećenja, prvo u lokalnom, a zatim u globalnom sistemu Vektor ekvivalentnog opterećenja pripada čvorovima i i k štapa na kome se nalazi raspodeljeno opterećenje Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi) nepoznatih pomeranja u posmatranom čvoru Ako je više opterećenih štapova vezano u istom čvoru, odgovarajuće komponente vektora ekvivalentnog opterećenja u tom čvoru se sabiraju

108 u ravni Na sličan način se formira i vektor slobodnih članova, koji je dat kao odgovarajući zbir vektora koncentrisanih sila u čvorovima nosača, kao i vektora ekvivalentog opterećenja koji potiče od opterećenja duž štapova Tako dobijen sistem jednačina K q = S ne može da se reši, jer je matrica krutosti sistema štapova singularna matrica - nisu uneti granični uslovi

109 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2

110 u ravni U vektoru čvornih pomeranja q veći deo su nepoznata generalisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranja oslonačkih čvorova Ako se nepoznata čvorna pomeranja označe sa qf, a poznata čvorna pomeranja sa qb, onda je moguće da se izvrši particija: { } q q = f qb

111 u ravni Takođe, moguće je da se jednačine ravnoteže (33) prikažu u dekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatih i poznatih pomeranja: [ K ff K fb K bf K bb ] { q f q b } = { S f S b Jednačina (36) može da se napiše u vidu dve jednačine: } (36) K ff q f + K fb q b = S f K bf q f + K bb q b = S b (37)

112 u ravni Iz prve od jednačina (37) dobija se vektor nepoznatih čvornih pomeranja: q f = K 1 ff (S f K fb q b ) (38) Imajući u vidu da je S b = R b + Q b iz druge od jednačina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcija oslonaca: R b = K bf q f + K bb q b Q b (39)

113 u ravni Granični uslovi mogu da budu: - homogeni... q b = 0 - nehomogeni... q b 0 U slučaju homogenih graničnih uslova dobija se: 1 vektor nepoznatih čvornih pomeranja 2 vektor nepoznatih reakcija veza qf = K 1 ff Sf Rb = Kbf qf Q b = Kbf K 1 ff Sf Q b

114 u ravni U slučaju nehomogenih graničnih uslova (zadata pomeranja oslonaca), koriste se izrazi (38) i (39) Međutim, u realnoj implementaciji matrične analize linijskih nosača, odn. u izradi odgovarajućih računarskih programa, koriste se drugi pristupi unošenja graničnih uslova: 1 redukcija matrice krutosti 2 transformacija matrice krutosti Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponenta pomeranja, nepoznatog ili zadatog graničnim uslovima, ima svoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricu krutosti

115 u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće: - neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn. zadat graničnim uslovom (jednak je nuli) - vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti, uključujući i element m u vektoru slobodnih članova (unesu se nulte vrednosti) - sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatorno se pomere na gore za jedan red, tako što red m + 1 dospe u poziciju reda m i tako što poslednji red N dospe u poziciju reda N 1 - sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno se pomere levo za jednu kolonu, tako što kolona m + 1 dospeva u kolonu m, a poslednja kolona N dolazi u položaj kolone N 1

116 u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - na taj način, za jedan granični uslov matrica krutosti se smanji za jedan: sa reda N na red N 1 - takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih članova, vrši se redom za sve granične uslove po generalisanim pomeranjima - time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosi samo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovan vektor slobodnih članova - tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularna kvadratna simetrična matrica koja ima inverznu matricu

117 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće: - neka je zadat granični uslov po pomeranjima: q m = 0, gde je m globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q - u matrici krutosti postojećem elementu na glavnoj dijagonali na mestu (m, m), dakle elementu k mm koji odgovara čvornom pomeranju q m, dodaje se jako veliki broj - jako veliki broj se dobija kada se najveći broj u matrici krutosti (to je, obično, neki od elemenata na glavnoj dijagonali) pomnoži sa, recimo, 10 6

118 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - isto se uradi i sa svim ostalim zadatima graničnim uslovima: na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih (homogenih) graničnih uslova dodaju se veliki brojevi - takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se red matrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, dodaju veliki brojevi - posledica takve transformacije matrice krutosti je da su promenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti koji odgovaraju rednim brojevima čvornih pomeranja koja su zadata graničnim uslovima (jednaka su nuli)

119 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - tako transformisana matrica krutosti nije više singularna (ima inverznu matricu) i sistem jednačina može da se reši - zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matrice krutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, u rešenju se dobijaju nule za čvorna pomeranja koja su zadata homogenim graničnim uslovima (jer se deli sa jako velikim brojem) Metoda transformacije matrice krutosti više je u upotrebi od metode redukcije jer se lakše implementira u programu

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Metalne konstrukcije 1 P6-1 Osobenosti višedelnih štapova Poprečni presek se sastoji od više samostalnih elemenata koji su mestimično povezani;

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

P z. =1.1MN/m _ =0.68MNm/m. k b =460.0MN/m 3 z. Dispozicija opterećenja grupe šipova preko krute naglavnice

P z. =1.1MN/m _ =0.68MNm/m. k b =460.0MN/m 3 z. Dispozicija opterećenja grupe šipova preko krute naglavnice BROJNI PRIMER - 9 Na slici 9.1 je orečni resek trakastog temelja obalnog zida. Temelj zida je kruta naglavnica na šiovima. Oterećenje otornog zida je redukovano u težište naglavnice. Podužno rastojanje

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske transformacije

Geometrijske transformacije Računarstvo i informatika Računarska grafika Geometrijske transformacije Prof. Dr Slobodanka Đorđević - Kajan Katedra za računarstvo Elektronski fakultet Niš 1 Ciljevi Upoznati osnovne 2D geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI 3/7/013 CETRIČO PRITISUTI ELEMETI 1 Primeri primene 1 3/7/013 Oblici poprečnih presea 3 Specifičnosti pritisnutih elemenata ivijanje Konrola napona u poprečnom preseu nije dovoljan uslov a dimenionisanje;

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7.

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7. ODSEK ZA KONSTRUKCIJE 28.01.2015. grupa A g=50 kn/m p=60 kn/m 60 45 15 75 MB 35, RA 400/500 7.5 m 5 m 25 1.1 Odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima (preseci na mestima maksimalnih

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKE MEHANIKE II ZA STUDENTE ARHITEKTURE

TEHNIČKE MEHANIKE II ZA STUDENTE ARHITEKTURE AUTORIZOVANA PREDAVANJA IZ TEHNIČKE MEHANIKE II ZA STUDENTE ARHITEKTURE Marina Mijalković 1 1. ZADATAK STATIKE TEHNIČKA MEHANIKA II UVOD Delatnost građevinskog inženjera i inženjera arhitekture je usredsređena

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. * Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,

Διαβάστε περισσότερα