Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις"

Transcript

1 Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου v V ( ), τότε v v 0 o ( V ( ) V ( )) V ( ) {0} o V V V V d( ( ) ( )) d ( ) d ( )) o Αν B βάση του V ( ), τότε B βάση του V ( ) V ( ) o d V ( ) ( ) για κάθε, όπου ( ) είναι η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής Ορισμός διαγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο Διαγωνισιμότητας : Έστω,, οι διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o Η είναι διαγωνίσιμη V ( ) V ( ) V o o d V ( ) d V ( )) d V ( x) ( ) ( x ) ( x ) και για κάθε,,, d V ( ) o Αν η γραμμική απεικόνιση : V V έχει dv διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε είναι διαγωνίσιμη Αντίστοιχα όλων των παραπάνω για πίνακες Εύρεση για διαγωνίσιμο πίνακα Α, αντιστρέψιμου πίνακα P με P P διαγώνιο Εφαρμογές (δυνάμεις πινάκων, ρίζες πινάκων, αναδρομικές ακολουθίες κα) Συνιστώμενες ασκήσεις: -8, 0-8, 5-44 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω γραμμικές απεικονίσεις είναι διαγωνίσιμες :, ( x, y, z) ( x y, y z,y 4 z), g x y z x y y z y z h : [ x] [ x], g( ( x)) () x :, (,, ) (,, 4 ), ή Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι διαγωνίσιμοι Αν κάποιος πίνακας είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί μία βάση του που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του, ένας αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιο και ο πίνακας P P a, b, c, d e 4 Έστω διαγωνίσιμος πίνακας

2 Ασκήσεις 6 a Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο ( ) είναι διαγωνίσιμος είναι διαγωνίσιμος και γενικά για κάθε ( x) [ x] ο b Δείξτε ότι αν 0 για κάποιο θετικό ακέραιο, τότε 0 c Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] 0 d Αν ( x ) ( x ) να βρεθεί ο e Έστω X με X 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Δείξτε ότι X 0 Έστω ότι ο είναι αντιστρέψιμος και Είναι δυνατό ο να είναι όμοιος με τον dag (,,,,) ; 4 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, για κάθε ιδιοτιμή της Δείξτε ότι 5 Έστω V a Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του, μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του b Να εξεταστεί αν ο είναι διαγωνίσιμος και στην περίπτωση που είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο P P να είναι διαγώνιος 4 a 6 Έστω a Αποδείξτε ότι ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a b Έστω a Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες είναι διακεκριμένοι διαγώνιοι πίνακες a b 7 Έστω c d P, Q τέτοιους ώστε οι P P και Q a Δείξτε ότι αν ( a d) 4bc 0, τότε ο είναι διαγωνίσιμος b Έστω ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή Βρείτε το c Έστω ότι τουλάχιστον ένας από τους b, c είναι διάφορος του μηδενός Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( a d) 4bc 0 8 a Έστω ένας διαγωνίσιμος πίνακας του οποίου οι ιδιοτιμές είναι μη αρνητικές Δείξτε ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B 0 b Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος και ότι δεν υπάρχει B τέτοιος ώστε B Έστω, P, τέτοιοι ώστε P P και είναι διαγώνιος, a Δείξτε ότι για κάθε,, έχουμε P b Έστω,, Βρείτε έναν τα P, όπου ( ) ( ) με ιδιοτιμές τις,, ( ) P είναι η -στήλη του P Q να και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα

3 Ασκήσεις 7,, Είναι ο μοναδικός; 0 Δείξτε ότι για κάθε ο παρακάτω πίνακας δεν είναι διαγωνίσιμος Να βρεθούν όλα τα a τέτοια ώστε η γραμμική απεικόνιση ακόλουθες περιπτώσεις a ( x, y, z) ( x az, y, ay z), b ( x, y, z) ( ax y z, x ay z, x y az) : να είναι διαγωνίσιμη στις Έστω ένας άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής *, 0 δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου είναι ίσο με Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν είναι διαγώνιος Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος 4 Να βρεθούν οι τιμές των a, b, c ώστε ο 0 0 a 0 b c να είναι διαγωνίσιμος 5 Να βρεθούν οι τιμές του a ώστε η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του 0 0 a 0 a 0 0 να είναι ίση με 6 Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε κάθε v V {0} είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε V 7 Έστω : V V ένας ισομορφισμός Δείξτε τα εξής a Αν το είναι μια ιδιοτιμή της, τότε 0 b Το είναι ιδιοτιμή της το είναι ιδιοτιμή της

4 Ασκήσεις 8 8 Έστω c Για κάθε {0}, V ( ) V ( ) του d διαγωνίσιμη : με διαγωνίσιμη ( v, v, v ) μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε υπάρχει διατεταγμένη βάση a Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη b Αληθεύει ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 0 ( :, ) c Έστω ότι, 0 Δείξε ότι το v v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της 9 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση a Δείξτε ότι er er και I I για κάθε θετικό ακέραιο b Δείξτε ότι V er I c Αληθεύει το συμπέρασμα του a ή b χωρίς την υπόθεση ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 Έστω τέτοιος ώστε 0 για κάποιο Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν a Α διαγωνίσιμος 0 b Tr 0 c det( ) 0 I d Έστω Τότε κάθε ιδιοτιμή του I είναι ίση με Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Αποδείξτε ότι αν ο Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο όμοιοι πίνακες Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο διαγωνίσιμοι πίνακες Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν ( x) ( x) B 4 Για κάθε θετικό ακέραιο υπολογίστε τον, όπου Έστω a Υπολογίστε τη δύναμη, b Να βρεθεί ένας πίνακας B τέτοιος ώστε B c Πόσους πίνακες B μπορείτε να βρείτε τέτοιους ώστε B ; 6 Θεωρούμε την ακολουθία ( a ),,,, η οποία ορίζεται από τους όρους a, a 4 και τον αναδρομικό τύπο a a a,, 4, Να βρεθεί ο γενικός όρος a συναρτήσει των a, a και 7 Θεωρούμε την ακολουθία ( ), 0,,, που ορίζεται από 0 0,,, (ακολουθία Fboacc) Χρησιμοποιώντας διαγωνοποίηση πινάκων, δείξτε ότι

5 Ασκήσεις , 0,,, a Έστω διαγωνίσιμος τέτοιος ώστε για κάθε ιδιοτιμή του Δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε B B b Δείξτε ότι δεν υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε 9 Έστω ότι Δείξτε ότι X Y, όπου B B I X {( a ) a 0, j}, Y {( a ) a 0, j}, j j j j αλλά το άθροισμα δεν είναι ευθύ Στη συνέχεια δείξτε ότι X, όπου {( a ) a 0, j} j j 0 Έστω ότι Δείξτε ότι U V, όπου t t U { }, V { } Επίσης, δείξτε ότι v( v ) v( v ) d U, d V Έστω ότι Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση, αποδείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση t :,, είναι διαγωνίσιμη Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμό της Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση, ένας υπόχωρος U του V λέγεται -αναλλοίωτος αν ( U ) U Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε τα ακόλουθα: a Αν g g, τότε κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Έστω ότι V W U, όπου W, U είναι ιδιόχωροι των, g αντίστοιχα Αν κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος, τότε g g Έστω, g : V V δυο γραμμικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε η είναι διαγωνίσιμη και κάθε ιδιοδιάνυσμα της είναι ιδιοδιάνυσμα της g Δείξτε ότι g g 4 Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος και W, W υπόχωροι του V τέτοιοι ώστε V W W Έστω : W W,,, γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε ότι η απεικόνιση : V V, w w ( w ) ( w ), όπου w W, είναι καλά ορισμένη γραμμική απεικόνιση και ότι αν οι είναι διαγωνίσιμες, τότε και η είναι διαγωνίσιμη 5 Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε ο πίνακας ab ab ab ab είναι μη μηδενικός a Δείξτε ότι ra b Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν Tr( ) 0 6 Δείξτε ότι ο πίνακας

6 Ασκήσεις 0 είναι διαγωνίσιμος a b b b b a b b b b a b b b b a 7 Έστω a και ( v, v, v) μια διατεταγμένη βάση του : που ορίζεται από ( v ) v, ( v) v av v, ( v) a v av a Δείξτε ότι η δεν είναι διαγωνίσιμη b Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση 8 Έστω Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε όχι όλα είναι ίσα με 0 και ab 0 Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα a a a b b b 0 και δείξτε ότι αυτός δεν είναι διαγωνίσιμος 9 Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Δικαιολογήστε την απάντησή σας 4 4 a Υπάρχει διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση : τέτοια ώστε ( x) x ( x ) και d(i ) b Για κάθε a, b, οι πίνακες 4 a 0 5, 5 0 b 4 είναι όμοιοι c Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση Αν είναι δυο ιδιοτιμές της, τότε η γραμμική απεικόνιση g : V ( ) V ( ) V ( ) V ( ), g( u v) ( u v), είναι διαγωνίσιμη 40 Έστω με ra r Αποδείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι της μορφής r ( ) x a x a x 4 Έστω και, r οι ιδιοτιμές του Δείξτε ότι αν, τότε κάθε θετικό ακέραιο, ( I) ( I) 4 Έστω με ra και Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a Ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 0 a 0 0 a 0 0 a b Tr( ) 0 ο Α είναι διαγωνίσιμος 4 Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x] που ορίζεται από

7 Ασκήσεις x ( ) x, ( x ) x () x 8 Θέτουμε g V, V [ x] a Να βρεθεί μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της και κάθε ιδιόχωρο της g b Να εξεταστεί αν οι, g είναι διαγωνίσιμες c Να εξεταστεί αν οι, g είναι είναι ισομορφισμοί 44 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα 44 a Αν με ( x ) x ( x )( x ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 b Αν με ( x ) x ( x )( x ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 c Έστω με ( x ) x ( x )( x ) Τότε ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν d V(0) d Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος e Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος Κάθε αντιστρέψιμος πίνακας είναι διαγωνίσιμος g Αν είναι διαγωνίσιμος, τότε υπάρχει μοναδικός αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος h Κάθε πολυώνυμο της μορφής x ax b [ x] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου διαγωνίσιμου Κάθε πολυώνυμο της μορφής j Αν διαγωνίσιμου είναι διαγωνίσιμος και x ax b x [ ] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου ( ) ( ), τότε 0 x x 0

8 Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Απάντηση: Η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την Πρόταση 9 γιατί έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τις,, Για τη g μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 0 ) Η g δεν είναι διαγωνίσιμη, γιατί οι ιδιοτιμές είναι οι,, και για τους αντίστοιχους ιδιόχωρους έχουμε d V () d V () H h είναι διαγωνίσιμη, γιατί από την απάντηση της άσκησης 0 έχουμε V (0) { ax bx c [ x] a b c 0} και V () { bx [ x] b 0}, οπότε d V (0) d V () d [ x] Απάντηση a O δεν είναι διαγωνίσιμος αφού δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) b O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V ( ), V ( ) Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P έχουμε P P dag(, ) c O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0), V () Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P έχουμε P P dag(0, ) d O δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς υπάρχει μοναδική ιδοτιμή, το 0, και d V (0) e O 4 είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0), 0, V () Μια ζητούμενη βάση του είναι η, 0, 0 Για P4 0 0 έχουμε P4 4 P4 dag(0, 0,) Λύση: Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας dag(,, ) με P P Οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: άσκηση 0 = άσκηση 0 από τις Ασκήσεις στην eclass

9 Ασκήσεις a Επειδή ο είναι διαγώνιος, ξέρουμε ότι ο ( ) είναι διαγώνιος για κάθε πολυώνυμο ( x) [ x] (Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( ) dag( ( ),, ( )) P P για κάθε θετικό ακέραιο Με επαγωγή στο αποδεικνύεται ότι P P P P Πράγματι, η σχέση αυτή είναι προφανής αν Αν P P P P για κάποιο, τότε Έχουμε P P P P P P P P P P ( ) ( ) P PP P P I P P P P P Τώρα αν ( x) a x ax a0 [ x], έχουμε P ( ) P P a a a a I P 0 a P P a P P a P P a P I P 0 a ( P P) a ( P P) a ( P P) a I 0 a a a a I ( ) 0 και ο ( ) είναι διαγώνιος Άρα ο P ( ) P είναι διαγωνίσιμος b Από P P έχουμε P P Είδαμε πριν ότι P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω ότι 0 για κάποιο ακέραιο Τότε 0 Άρα dag(,, ) PP 0 c Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε 0 για κάθε,, οπότε ο είναι αντιστρέψιμος και dag(,, ) Από P P παίρνουμε P P P ( P ) P P, δηλαδή P P dag(,, ) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος και το ζητούμενο έπεται από το ερώτημα a 0 d Από ( x ) ( x ) έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με Επειδή ο είναι διαγωνίσιμος, παίρνουμε ότι ο είναι όμοιος με τον πίνακα dag(,,,) I0, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος P 00 με P P I0 Τότε e Έστω X 0, όπου X Άρα P P X 0, οπότε Έστω P X παίρνουμε P( I ) P ( PI P ) I Έχουμε P P ( P X ) 0 y Από ( P X ) 0, δηλαδή y y 0, y 0 P P P P

10 Ασκήσεις 4 y 0 0 ή y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 y 0 y 0 y Δηλαδή έχουμε ( P X ) και άρα X P( P X ) 0 0 Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας dag(,, ) με P P Έχουμε P P και επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε (όπως στο c) P P Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον dag (,,,,) Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, παίρνουμε ότι το είναι ιδιοτιμή του Έχουμε PP P P P( ) P Pdag(,, ) P Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Συνεπώς έχουμε για κάποιο, δηλαδή 0 Όμως το τριώνυμο x δεν έχει πραγματική ρίζα, άτοπο 4 Λύση: Από την υπόθεση υπάρχει μια βάση u,, u του V και,,,,, (Πρόταση ) Άρα x με ( u ) u, ( u ) ( ( u )) ( u ) ( u ) u u, για κάθε,, Άρα u,, u er( V ) και επειδή τα u,, u παράγουν το V έχουμε er( V ) V, δηλαδή V 5 Απάντηση: Έχουμε ( x ) ( x ) ( x 8) οπότε οι ιδιοτιμές είναι - (με πολλαπλότητα ) και 8 (με πολλαπλότητα ) Οι ιδιόχωροι του είναι V ( ) { x 0 y x, y }, V (8) { x x } 0 και αντίστοιχες βάσεις είναι τα σύνολα { 0, }, { } 0 Η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του είναι ίση με γιατί τα διανύσματα 0,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 Ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα v) Ένας P είναι ο P 0 0

11 Ασκήσεις 5 σύμφωνα με την απόδειξη της Πρότασης 5 6 a Λύση: Έχουμε ( x ) x 7 x a Έστω 7 4( a) a ) Έστω a Τότε 0 και το ( ) x έχει δυο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 ) Έστω a Τότε 0 και το ( ) x δεν έχει πραγματική ρίζα Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος 7 ) Έστω a Τότε 0 και ( ) x x Για 7 έχουμε: d V ( ) ισούται με τη 7 0 διάσταση του διανυσματικού χώρου των λύσεων του x I, που είναι (πράξεις) Άρα y 0 ο Α δεν είναι διαγωνίσμος σύμφωνα με το Θεώρημα b Απάντηση: Με πράξεις βρίσκουμε V (), V (6) Άρα, αν P, έχουμε 0 P P 0 6 και αν Q, έχουμε 6 0 Q Q 0 a d 7 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό της προηγούμενης άσκησης Απάντηση για το b: 8 a Υπόδειξη: Αν P P είναι διαγώνιος, δείξτε ότι B, όπου P P 9 b Απάντηση: Από το a έπεται ότι ο είναι μοναδικός και ( ά) Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Επειδή είναι τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου ισούται με, ο έχει μοναδική ιδιοτιμή το (με πολλαπλότητα ν) Ξέρουμε ότι d V ( ) ra( I ) Επειδή ο πίνακας I

12 Ασκήσεις 6 είναι σε κλιμακωτή μορφή, το ra του ισούται με το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του Άρα ra( I ) και d V ( ) ( ) Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος (βλ πχ Θεώρημα 0 ή Πρόταση ) aλύση: Αν είναι ο πίνακας της ως προς τη συνήθη βάση του, τότε 0 a a Έχουμε ( x) ( x) ( x )( x ) και οι ιδιοτιμές της είναι,, Ξέρουμε ότι d V () (), d V () () σύμφωνα με το Θεώρημα Από το Θεώρημα 0 συμπεραίνουμε ότι διαγωνίσιμη d V () d V () d V () Άρα d V () ra( I) ra( I) Επειδή 0 a I 0 0 0, 0 a 0 βλέπουμε ότι ra( I) a 0 b Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό του a Εδώ έχουμε ( x ) ( x a ) ( x a ) Απάντηση: Είναι διαγωνίσιμη για κάθε a Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ο είναι διαγωνίσιμος, τότε I Λύση: Είδαμε στην άσκηση από Ασκήσεις, ότι ( x) ( ) ( x ) Χρησιμοποιώντας παραγώγους παρατηρούμε ότι ( ( x), ( x)) (( ) x,( ) ( x )) Άρα το πολυώνυμο ( x) ( ) ( x ) έχει διακεκριμένες ρίζες στο σύμφωνα με την Πρόταση 0 και συνεπώς ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 4 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της άσκησης 0 Εδώ έχουμε διαγωνίσιμος d V () Απάντηση: a 0 5 Απάντηση: a 0 6 Λύση: Έστω { v,, v } μια βάση του V Από την υπόθεση υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( v ) v,,, Άρα 7 ( v v) ( v ) ( v ) v v Από την άλλη μεριά, η υπόθεση δίνει ότι για κάποιο ( v v ) ( v v ) v v Άρα v v v v Επειδή τα v,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε Δηλαδή ( v ) v για κάθε Επειδή τα v,, v παράγουν το V και η είναι γραμμική, παίρνουμε ( v) v για κάθε v V Πράγματι, αν v V, τότε υπάρχουν a τέτοια ώστε v av av Επειδή η είναι γραμμική έχουμε ( v) a ( v ) a ( v ) a v a v ( a v a v ) v

13 Ασκήσεις 7 8 a Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι ο πίνακας ( :, ) είναι διαγώνιος b Απάντηση: Όχι αναγκαστικά Ένα αντιπαράδειγμα προκύπτει όταν 0 και 0 Πράγματι, αν ο ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα γιατί κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 Αλλά τότε θα ήταν ίσος με το μηδενικό πίνακα 9 Λύση: Από την Πρόταση υπάρχει βάση B v v ώστε Θέτουμε,, του V και υπάρχουν,, τέτοια ( v ) v,,, j j και B v j B j 0 B v B 0 Τότε έχουμε την ξένη ένωση B B B Άρα B B και V B B Έστω ένας θετικός ακέραιος Τότε για κάθε,, έχουμε ( v ) v Επομένως ισχύει B Ker και B I (γιατί;) Άρα B B d er d I Όμως ξέρουμε ότι d er d I και συνεπώς η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα Άρα B d er και B d I Αυτό σημαίνει ότι: το B είναι βάση του er a Επειδή τα B, B δεν εξαρτώνται από το έχουμε για κάθε και το B είναι βάση της I b Από V B B έχουμε V er I Ker για κάθε (γιατί;) Ker και I I 0 Λύση: Από την υπόθεση έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 a Σωστό Αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος, τότε P P 0 0 b Σωστό Ξέρουμε ότι το Tr είναι το άθροισμα των ιδιοτιμών του (Πόρισμα 7) c Λάθος Το δεν είναι ιδιοτιμή του d Σωστό Αν είναι τέτοιο ώστε det( I I ) 0, τότε det( ( ) I ) 0 ιδιοτιμή του, και άρα από τημ υπόθεση Υπόδειξη: Αν τα X,, X είναι μια βάση του ότι τα X, X είναι ιδιοδιανύσματα του B και κάθε X είναι ιδιοδιάνυσμα του, δείξτε Υπόδειξη: Αν B Q Q και P P, τότε B ( P Q) P Q Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ( x) ( x), τότε οι, B είναι όμοιοι με τον ίδιο διαγώνιο πίνακα B 4 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 ) Έχουμε ( x) ( x )( x ) 0, οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι και (διπλή ρίζα) Για, οι λύσεις του συστήματος

14 Ασκήσεις 8 που είναι οι x 0 ( ) X x 0, 0 6 x 0 x x x, x, x αποτελούν τον ιδιόχωρο V ( ) της Επιλέγουμε το ιδιοδιάνυσμα p Για, οι λύσεις του συστήματος Είναι οι 0 x 0 ( ) X x 0 0 x 0 x 0 x x 0 x, x, x x 0 0 Επομένως για ο ιδιόχωρος V () παράγεται από τα p 0, p Τα ιδιοδιανύσματα 0 0 p, p, p είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επειδή det 0 0, άρα αποτελούν βάση του 0 Άρα ο Α διαγωνοποιείται Θέτοντας 0 P 0 0 βρίσκουμε με πράξεις ότι 0 P 0 Ξέρουμε ότι ισχύει 0 0 P P Από την τελευταία σχέση έχουμε :

15 Ασκήσεις 9 0 ( ) ( ) P P πράξεις ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 5 Απάντηση: Οι ιδιοτιμές είναι,, Βάσεις των ιδιόχωρων V ( ), V (), V () είναι αντίστοιχα τα διανύσματα 0, 0, 0 0 Έχουμε P P 0 0, όπου P a Άρα 0 0 P 0 0 P 0 0 Με πράξεις βρίσκουμε 0 ( ) 0 0 ( ) b Ως B μπορούμε να θέσουμε 0 0 B P 0 0 P (πράξεις) c Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι κάθε εξίσωση της μορφής x a, όπου a {0}, έχει τρεις διακεκριμένες λύσεις στο, βλέπουμε ότι καθεμία από τις ιδιοτιμές,, έχει τρεις διακεκριμένες κυβικές ρίζες στο Επιπλέον αυτές οι 9 κυβικές ρίζες είναι ανά δύο διάφορες Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 7 ανά δύο διάφοροι πίνακες B τέτοιοι ώστε B 6 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 ) Έχουμε το σύστημα a a a a a a a a 0 a Θέτουμε και παίρνουμε 0 a a a a Διαδοχικά έχουμε ()

16 Ασκήσεις 40 a a a a a a a4 a Από την τελευταία σχέση αρκεί να υπολογίσουμε τον Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι ( x) ( x )( x ), οι ιδιοτιμές του Α είναι και, οπότε ο πίνακας διαγωνοποιείται Στην ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα p και στην αντιστοιχεί το p Θέτουμε P οπότε P Άρα 4 ( ) 0 ( ) ( ) P P, 0 4 ( ) ( ) οπότε από την () προκύπτει ( ) ( ) a a a 4 Με αντικατάσταση των όρων a και a 4, έχουμε ( ) 5 a, 4 7 Υπόδειξη: Έχουμε, όπου 0, και άρα Υπολογίστε τον 0 όπως στην προηγούμενη άσκηση διαγωνοποιώντας τον 8 b Λύση: Από B B I παίρνουμε B B I 0 και άρα κάθε ιδιοτιμή του B στο ικανοποιεί 0 Άρα ο B δεν έχει πραγματική ιδιοτιμή Όμως το πολυώνυμο B ( x ) έχει πραγματικούς συντελεστές και περιττό βαθμό, οπότε έχει πραγματική ρίζα (Πρόταση 8), άτοπο 9 Απάντηση: Το άθροισμα δεν είναι ευθύ καθώς έχουμε ότι X Y {( a ) a 0, j} {0} 0 Λύση Αν, τότε t t U V Άρα t t t U V Επίσης U V 0 0 Άρα το άθροισμα είναι ευθύ Αποδεικνύεται (άσκηση) ότι μία βάση του U είναι η { E,, } { E E j } και μια βάση του V είναι η όπου Λύση Ej j j { E E j }, j j είναι ο πίνακας που έχει παντού 0 εκτός από τη θέση (, j ) όπου έχει Άρα v( v ) v( v ) d U v, v( v ) d V j j

17 Ασκήσεις 4 Επειδή βλέπουμε ότι οι πιθανές ιδιοτιμές είναι, Για τους ιδιόχωρους έχουμε V () και V ( ) V (βλ άσκηση, από Ασκήσεις ) Άρα V () V ( ) (από την προηγούμενη άσκηση) και συνεπώς η είναι διαγωνίσιμη Για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχουμε ( x) ( ) ( x ) ( x ), Επειδή η είναι διαγωνίσιμη το Θεώρημα 0 ) και η προηγούμενη άσκηση δίνουν ( ) d V (), ( ) d V ( ), ( ) ( ) ( x) ( ) ( x ) ( x ) Σημείωση: Μια άλλη λύση μπορεί να δοθεί με βάση την παρατήρηση ότι a Λύση Αν v V ( ), τότε ( v) v και άρα g( ( v)) g( v), οπότε από την υπόθεση έχουμε ( g( v)) g( v), δηλαδή g( v) V ( ) Συνεπώς ο υπόχωρος V ( ) είναι g -αναλλοίωτος Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε w W και u U έχουμε g g ( w) g g ( u) 0 Λύση: Επειδή η είναι διαγωνίσιμη, υπάρχει βάση{ v,, v } του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( v ) v,,, (Πρόταση ) Από την υπόθεση υπάρχουν,, με g( v ) v,,, Άρα g g ( v ) ( g( v )) g( ( v )) ( v ) g( v ) ( v ) g( v ) v v 0, l δηλαδή g g ( v ) 0 για κάθε,, Επειδή η απεικόνιση g g είναι γραμμική και το σύνολο { v,, v } παράγει το V, έπεται ότι ( g g )( v) 0 για κάθε v V Άρα g g 0 4 Υπόδειξη: Σύμφωνα με την Πρόταση υπάρχει βάση B του W αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της,, Δείξτε ότι το B B είναι βάση του V αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της Άρα η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση 5 Υπόδειξη: a Δείξτε ότι κάθε δυο στήλες του είναι γραμμικά εξαρτημένες Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι a b b a και χρησιμοποιήστε το ότι ra( BC) { rab, rac} b Για τις ιδιοτιμές του Α, βλέπε άσκηση 8 Χρησιμοποιήστε τη σχέση d V (0) ra και το Θεώρημα 6 Υπόδειξη: Στην άσκηση 5 υπολογίσαμε τους ιδιόχωρους Εφαρμόστε το Θεώρημα 7 Λύση a Ο πίνακας της ως προς τη δοσμένη βάση είναι ο U

18 Ασκήσεις 4 οπότε εύκολα βρίσκουμε ότι 0 0 a a, 0 a ( x) ( x) x ( x ) και οι ιδιοτιμές της είναι οι 0,0, Παρατηρούμε ότι ra (αφού det 0 και ο έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες Άλλος τρόπος είναι να υπολογίσουμε μια κλιμακωτή μορφή του και να διαπιστώσουμε ότι το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών σε αυτή είναι ) Ξέρουμε ότι d V (0) ra Επειδή d V (0) (0), η δεν είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με το Θεώρημα 0 b Με εύκολη επαγωγή αποδεικνύεται ότι για κάθε, ο * * είναι της μορφής και άρα ra Άρα έχουμε d V (0), d V () και d V (0) d V () που σημαίνει ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε σύμφωνα με το Θεώρημα 0 8 Θα δείξουμε επαγωγικά στο ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου πίνακα είναι το ( ) x ab x (*) Για v το αποδεικτέο επαληθεύεται με άμεσο υπολογισμό Έστω ότι και ότι το αποτέλεσμα ισχύει για ν- στη θέση του Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 a x 0 a 0 x 0 0 x 0 a det x det ( ) a det ( 0 x a 0 0 x ) 0 0 x a b b x b b b b b b x Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε, x 0 a det ( ) x ab x () 0 x a b b x Με ανάπτυγμα ως προς την πρώτη στήλη έχουμε 0 x 0 x 0 det ( ) b det ( ) b ( x) () 0 0 x 0 x b b b Αντικαθιστώντας τις (), () στην () προκύπτει το ζητούμενο Τώρα από την υπόθεση ab 0 και τη (*) έπεται ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου πίνακα είναι ( ) x που σημαίνει ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με 0 Αν ήταν διαγωνίσιμος, θα ήταν ίσος με το μηδενικό, άτοπο από την υπόθεση ότι τουλάχιστον ένα από τα a,, a, b,, b είναι διάφορο του 0

19 Ασκήσεις 4 9 Λύση a Λάθος, γιατί διαφορετικά d(i ) d V (0) d(er ) 4d(I ) (0) b Σωστό Καθένας από τους δύο δοσμένους πίνακες έχει ιδιοτιμές τις 4,5 και άρα είναι διαγωνίσιμος (είναι και έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, βλ Πόρισμα 9) Άρα καθένας από αυτούς είναι όμοιος με τον και επομένως μεταξύ τους είναι όμοιοι c Σωστό Άμεσα επαληθεύεται ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο από καθέναν από του υπόχωρους V ( ), V ( ) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της g Αν B, B είναι βάσεις αντίστοιχα των V ( ), V ( ), ξέρουμε ότι η ένωση B B είναι μια βάση του V ( ) V ( ) (Πόρισμα 6) Άρα ο χώρος V ( ) V ( ) έχει μια βάση από ιδιοδιανύσματα της g Συνεπώς η g είναι διαγωνίσιμη (Πρόταση ) 40 Λύση: Έχουμε d V (0) (0) σύμφωνα με το Θεώρημα Ξέρουμε ότι d V (0) r και άρα (0) 4 Λύση: Έστω r r Συνεπώς x ( x) X από τον ορισμό του (0), X ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές, αντίστοιχα Το σύνολο { X, X } είναι μια βάση του γιατί X, X είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού Συνεπώς για να δείξουμε το ζητούμενο αρκεί να δειχτεί ότι X ( I) ( I) X,, Για το αριστερό σκέλος είναι X X και το δεξιό ( I) ( I) X ( X X) ( X X) ( X X) ( X X) X Άρα ισχύει η ισότητα για Με ανάλογο υπολογισμό επαληθεύεται η ισότητα και για Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος λύσης είναι ο ακόλουθος Επειδή, υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με P P 0 0 Συνεπώς αρκεί να δειχτεί ότι I I ( ) ( ) Αυτό επαληθεύεται με πράξεις πινάκων 4 Λύση a Επειδή ra, ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή το 0 είναι μια ιδιοτιμή του Α Έχουμε d V(0) ra Έστω u,, u μια βάση του V (0) Επειδή ra, υπάρχει με u u u u και u 0 Ισχυριζόμαστε ότι τα u,, u, u αποτελούν μια βάση του Πράγματι, αρκεί να δειχτεί ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα Αν u u u 0, όπου, τότε πολλαπλασιάζοντας με στα αριστερά έχουμε u u u u 0 0

20 Ασκήσεις 44 Άρα u u 0 και επομένως 0 αφού τα u,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα υπάρχουν,, a a με u au a u Τότε ο πίνακας 0 0 a 0 0 a B 0 0 a είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης :, ( u ) u ως προς τη διατεταγμένη βάση { u,, u, u } του Άρα ο είναι όμοιος με τον B b Από το προηγούμενο ερώτημα, ο Α είναι όμοιος με τον B Άρα Tr TrB a και ( x) ( x) ( ) x ( x a ) ( ) x ( x Tr) B Έστω ότι Tr 0 Τότε d V(0) ra (0) και d V( Tr) ( Tr), οπότε ο Α είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 0 Έστω ότι Tr 0 Αν ο Α ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα, άτοπο αφού ra 0 4 Λύση a Θεωρούμε τη διατεταγμένη βάση { v, v, v } του [ x], όπου v x, v x, v (δικαιολογήστε γιατί είναι βάση) Εργαζόμενοι όπως ακριβώς στη λύση της άσκησης 9, βρίσκουμε V (0) v v, v v, V () v, οπότε αντίστοιχες βάσεις είναι { v v, v v},{ v} (δικαιολογήστε γιατί είναι βάση) Επειδή η g είναι πολυώνυμο g ( ) της, ξέρουμε ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα της που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, είναι ιδιοδιάνυσμα της g ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ( ) Εδώ 8 ( x) x, οπότε V (0 ) V (), V ( ) V () g g Άρα d V () d V (0 ), d V () d V (), οπότε d V () d V () g g Άρα d V () d V () και οι προηγούμενες ανισότητες είναι ισότητες, οπότε g g V () V (0 ), V () V ( ) g g Συνεπώς έχουμε για τους ιδιόχωρους της g τις ίδιες βάσεις με τους ιδιόχωρους της που βρήκαμε πριν b H είναι διαγωνίσιμη αφού d V (0) d V () H g είναι διαγωνίσιμη αφού d V () d V () g g c Η δεν είναι ισομορφισμός, αφού το 0 είναι ιδιοτιμή της H g είναι ισομορφισμός αφού το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g Πράγματι, ξέρουμε ότι η διάσταση του υπόχωρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα της g είναι το άθροισμα των διαστάσεων των ιδιόχωρων της g Επειδή d V () d V (), η g δεν έχει άλλo ιδιόχωρο Άρα το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g g Σημείωση: Ότι το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g προκύπτει άμεσα από το θεώρημα φασματικής απεικόνισης που θα δούμε σε παρακάτω ενότητα 44 Απάντηση a Λ Οι ιδιοτιμές του 44 είναι οι 0, Έχουμε d V (0) (0) (Θεώρημα ) Άρα d V(0) Όμοια d V( ) Άρα d V(0) d V( ) 4 Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα ) 44 b Σ Ο έχει 4 διακεκριμένες ιδιοτιμές g g

21 Ασκήσεις 45 c Σ Έχουμε d V (0) (0), d V () () και d V () () σύμφωνα με το Θεώρημα Άρα d V() () και d V() () Από το Επομένως, από το Θεώρημα ), διαγωνίσιμος d V (0) d V () d V () 4 d V (0) d Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι 0 0, 0 0 B Παρατηρούμε ότι ο είναι τριγωνικός με 0 και 0 στη διαγώνιο Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,0 Επειδή ο είναι πίνακας και έχει δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές, είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Όμοια ο B είναι διαγωνίσιμος Αλλά ο B δεν είναι διαγωνίσιμος (γιατί;) 0 e Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι 0 0, 0 0 B Είδαμε πριν ότι οι, B είναι διαγωνίσιμοι 0 0 Εδώ B που δεν είναι διαγωνίσιμος (γιατί;) 0 0 Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι ο (γιατί;) 0 g Λ Βλ άσκηση 6b h Λ Το x δεν μπορεί να είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου διαγωνίσιμου αφού δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] (βλ Θεώρημα 0 )) Σ Αν οι ρίζες του x ax b [ x] στο είναι οι,, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του 0 x 0 πίνακα είναι det ( x)( x) x ax b 0 0 x j Σ Βλ άσκηση d

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

( A = A = 3 5 A 2 + B 2.

( A = A = 3 5 A 2 + B 2. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Χειμερινό Εξάμηνο 25 Ασκήσεις Για πίνακες A R m n και B R p q ορίζονται οι πίνακες AB και BA και ισχύει AB = BA Τι συμπεραίνετε για τα m, n, p, q; 2 Για A, B R n n : (α Δείξτε ότι (A

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10) Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Μαρινα Μπομπολακη Κανονικη Μορϕη Jordan Πτυχιακη Εργασια Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Μαρτίου 27 Εισηγητης: Ευστράτιος Πρασίδης Επιτροπη Βασίλειος Μεταϕτσής Νικόλαος Παπαλεξίου Θα ήθελα

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα