β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1"

Transcript

1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα λόγια ότι ο λογικός τύπος (p ( (( p) q))) (p q) p είναι μια ταυτολογία. Εχουμε: p ( (( p q))) (p q) νόμος De Morgan p ( ( p) q) (p q) νόμος διπλής άρνησης p (p q) (p q) προσεταιριστική ιδιότητα [(p p) q] (p q) (p q) (p q) επιμεριστική ιδιότητα p ( q q) νομος ταυτότητας p t p Εναλλακτικά, μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα αληθείας για τους δυο λογικούς τύπους (παρακάτω συμβολίζουμε με P τον σύνθετο λογικό τύπο p (( p) q)). p q p q p ( p) q (( p) q) P P (p q) Να αποδείξετε ότι: α) 3 (n 3 + 2n), n N β) 3 n < n!, n > 6 γ) n i1 i i! (n + 1)! 1, n 1 1

2 Και στις τρεις περιπτώσεις θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής στην απλή της μορφή. α) Ας είναι P (n) το κατηγόρημα 3 (n 3 + 2n). Εχουμε: 1) Βασικό βήμα. Η πρόταση P (0) είναι αληθής αφού 3 ( ) 0. 2) Επαγωγικό βήμα. Υποθέτουμε πως η πρόταση P (k) είναι αληθής για κάποιο k N, δηλαδή ότι 3 (k 3 + 2k). 3) Πρέπει να δείξουμε πως η πρόταση P (k + 1) είναι επίσης αληθής, δηλαδή ότι 3 [(k + 1) 3 + 2(k + 1)]. Είναι: (k + 1) 3 + 2(k + 1) k 3 + 3k 2 + 3k (k + 1) k 3 + 3k 2 + 3k k + 2 (k 3 + 2k) + 3k 2 + 3k + 3 (k 3 + 2k) + 3(k 2 + k + 1) Ομως από το επαγωγικό βήμα γνωρίζουμε πως το (k 3 +2k) διαιρείται από το 3. Επιπλέον, το 3(k 2 +k +1) είναι επίσης πολλαπλάσιο του 3 και άρα η P (k + 1) είναι αληθής. β) Ας είναι P (n) το κατηγόρημα 3 n < n!. Εχουμε: 1) Βασικό βήμα. Η πρόταση P (7) είναι αληθής αφού < ! 2) Επαγωγικό βήμα. Υποθέτουμε πως η πρόταση P (k) είναι αληθής για κάποιο k 7, δηλαδή ότι 3 k < k!. 3) Πρέπει να δείξουμε πως η πρόταση P (k + 1) είναι επίσης αληθής, δηλαδή ότι 3 k+1 < (k + 1)!. Είναι: 3 k k 3 3 k < 3 k! < (k + 1) k! k! (k + 1) (k + 1)! γ) Ας είναι P (n) το κατηγόρημα n i1 i i! (n + 1)! 1. Εχουμε: 1) Βασικό βήμα. Η πρόταση P (1) είναι αληθής αφού 1 1! 1 (1 + 1)! 1 2

3 2) Επαγωγικό βήμα. Υποθέτουμε πως η πρόταση P (k) είναι αληθής για κάποιο k 1, δηλαδή ότι k i1 i i! (k + 1)! 1. 3) Πρέπει να δείξουμε πως η πρόταση P (k + 1) είναι επίσης αληθής, δηλαδή ότι k+1 i1 i i! (k + 2)! 1. Είναι: k+1 i i! i1 k i i! i1 +(k + 1)(k + 1)! }{{} επαγωγικό βήμα (k + 1)! 1 + (k + 1)(k + 1)! (k + 1)!(1 + k + 1) 1 (k + 1)!(k + 2) 1 (k + 2)! 1 Κεφάλαιο 3: Σύνολα - Απεικονίσεις 1. Να αποδείξετε ότι: (A B) (B A) (A B) (A B) Θεωρούμε τυχόν στοιχείο x (A B) (B A), οπότε έχουμε: x (A B) (B A) x (A B) x (B A) (x A x / B) (x B x / A) [(x A x / B) x B] [(x A x / B) x / A] [(x A x B) (x / B x B)] [(x A x / A) (x / B x / A)] [(x A B) t] [t (x B x A)] x A B (x A B) x A B x / A B x (A B) (A B) 3

4 2. Ενας λόχος έχει 12 στρατιώτες. α) Αποδείξτε πως τουλάχιστον δυο στρατιώτες έχουν γενέθλια την ίδια μέρα της εβδομάδας. β) Αν στο λόχο μετατεθούν ακόμη δυο στρατιώτες, αποδείξτε πως υπάρχουν στρατιώτες που έχουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. γ) Αν υποθέσουμε πως ο λόχος χωρίζεται σε τέσσερις διμοιρίες, αποδείξτε πως κάποια διμοιρία έχει τουλάχιστον τρεις στρατιώτες. α) Υπάρχουν συνολικά 12 στρατιώτες (περιστέρια): A {φ 1, φ 2,..., φ 12 } τους οποίους θέλουμε να αντιστοιχίσουμε στις 7 ημέρες της εβδομάδας (φωλιές): B {Κυριακή, Δευτέρα, Τρίτη, Τετάρτη, Πέμπτη, Παρασκευή, Σάββατο}. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : A B η οποία απεικονίζει τον κάθε στρατιώτη στην ημέρα της εβδομάδας την οποία γεννήθηκε. Επειδή είναι A 12 > 7 B, σύμφωνα με την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον δυο από τους 12 στρατιώτες έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα της εβδομάδας. β) Πλέον είναι A {φ 1, φ 2,..., φ 14 } και B {Ιανουάριος, Φεβρουάριος,..., Δεκέμβριος}. Θεωρούμε τη συνάρτηση g : A B που απεικονίζει τον κάθε στρατιώτη στον μήνα της γέννησής του. Επειδή A 14 > 12 B, από την αρχή του περιστερώνα, υπάρχουν σίγουρα τουλάχιστον 2 στρατιώτες που έχουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. γ) Ας είναι A {φ 1, φ 2,..., φ 12 } το σύνολο των στρατιωτών και B {δ 1, δ 2, δ 3, δ 4 } το σύνολο των διμοιριών του λόχου. Θεωρούμε τη συνάρτηση h : A B που απεικονίζει τον κάθε στρατιώτη στη διμοιρία του. Τότε, σύμφωνα με: Γενικευμένη αρχή του περιστερώνα: Αν ένα σύνολο με m στοιχεία διαμερίζεται σε k < m υποσύνολα, τότε τουλάχιστον ένα από αυτά τα υποσύνολα περιέχει τουλάχιστον m/k στοιχεία. Υπάρχει σίγουρα τουλάχιστον μία διμοιρία που περιέχει τουλάχιστον 12/4 3 3 στρατιώτες. 4

5 Κεφάλαιο 4: Σχέσεις - Πράξεις - Δομές 1. Εστω R η σχέση στο σύνολο A {1, 2, 3, 4} που δίνεται από την: a R b, αν και μόνο αν a + 2b είναι περιττός. Αναπαραστήστε τη σχέση R με κάθε έναν από τους ακόλουθους τρόπους: α) ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών β) ως έναν πίνακα γ) ως ένα γράφο δ) είναι η σχέση: ανακλαστική, συμμετρική ή μεταβατική; α) Παρατηρούμε πως το 2b είναι άρτιος b N. Επομένως, για να είναι το a + 2b περιττός θα πρέπει το a να είναι περιττός. Συνεπώς, είναι: R {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} β) Μπορούμε επίσης να αναπαραστήσουμε τη σχέση R ως έναν 4 4 πίνακα M R. Υποθέτοντας πως η σειρά των στοιχείων του συνόλου A είναι {1, 2, 3, 4}, καταχωρούμε στη διασταύρωση της γραμμής i με τη στήλη j την τιμή 1 όταν (a i, a j ) R και 0 διαφορετικά. Εύκολα μπορούμε να δούμε πως: M R γ) Η σχέση R μπορεί να αναπαρασταθεί και ως προσανατολισμένος γράφος. Για κάθε στοιχείο a i A σχεδιάζουμε μια κορυφή και για κάθε ζεύγος (a i, a j ) R σχεδιάζουμε μια προσανατολισμένη ακμή από την κορυφή a i προς την κορυφή a j. Συνεπώς, το προσανατολισμένο γράφημα που αντιστοιχεί στη σχέση R είναι: 5

6 δ) Η σχέση R δεν είναι ανακλαστική αφού δεν περιέχει το ζεύγος (2, 2). Επιπλέον, η R δεν είναι ούτε συμμετρική γιατί ενώ περιέχει το ζεύγος (3, 4), δεν περιέχει το ζεύγος (4, 3). Τέλος, η R είναι μεταβατική διότι a, b, c A τ.ω.: (a, b) R (b, c) R (a, c) R. [ ] 1 a 2. Δείξτε ότι η δομή (Π, ), όπου Π { : a Z} και ο γνωστός πολλαπλασιασμός πινάκων, είναι αβελιανή πολλαπλασιαστική ομάδα. Ας θεωρήσουμε τυχόντες πίνακες A, B, C Π με: A [ ] 1 a, B [ ] 1 b, C [ ] 1 c για κάποια τυχόντα a, b, c Z 1. Κατ αρχήν, πρέπει να εξετάσουμε αν η πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων αποτελεί κλειστή διμελή πράξη στο σύνολο Π. A B [ ] 1 a [ ] 1 b [ ] 1 a + b και επειδή το a + b Z συμπεραίνουμε πως A B Π, δηλαδή ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι κλειστή πράξη στο Π. 6

7 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα έχουμε: A (B C) [ ] ([ ] [ ]) 1 a 1 b 1 c [ ] [ ] 1 a 1 b + c [ ] 1 a + (b + c) [ ] 1 (a + b) + c [ ] [ ] 1 a + b 1 c ([ ] [ ]) [ ] 1 a 1 b 1 c (A B) C 3. Παρατηρούμε πως ο ταυτοτικός (ή μοναδιαίος) πίνακας I ανήκει στο σύνολο Π (για a 0 Z). Είναι: A I [ ] 1 a [ ] 1 0 [ ] 1 a [ ] 1 0 [ ] 1 a I A και άρα ο I είναι το ουδέτερο στοιχείο του Π ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων. 4. Για κάθε πίνακα A Π, υπάρχει ο αντίστροφός του A 1 Π. Πράγματι, αν υπάρχει το αντίστροφο του πίνακα και το συμβολίσουμε με θα πρέπει: A [ ] A A 1 a + a I [ ] 1 a [ ] A 1 a [ ] 1 0 a + a 0 a a 7

8 όμως a Z το a Z και άρα το αντίστροφο στοιχείο του A είναι ο πίνακας: [ ] 1 a A 1 Οι ιδιότητες 2-4 καθιστούν το (Π, ) ομάδα. 5. Τέλος, ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι αντιμεταθετική πράξη στο σύνολο Π, αφού για τυχόντες πίνακες από το Π : [ ] [ ] 1 a 1 b A B [ ] 1 a + b [ ] 1 b + a [ ] [ ] 1 b 1 a B A και άρα η ομάδα (Π, ) είναι αβελιανή. Κεφάλαιο 5: Αριθμητική Υπολοίπων Κυκλικές Ομάδες 1. Να λυθούν οι γραμμικές ισοτιμίες: α) 7x 5 (mod 13) β) 16x 5 (mod 22) γ) 10x 25 (mod 45) δ) 7x + 3 5x + 8 (mod 17) α) Εύκολα βλέπουμε πως μκδ(7, 13)1 και άρα η γραμμική ισοτιμία έχει λύση. Μπορούμε επίσης να δούμε (είτε άμεσα, είτε με τη βοήθεια 8

9 του Διευρυμένου Ευκλείδειου αλγορίθμου) πως ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του 7 modulo 13 είναι το 2. Άρα πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με το 2, προκύπτει ότι: 2 7 x 2 5(mod13) 14x 10(mod13) x 10(mod13) β) Η ισοτιμία είναι αδύνατη διότι μκδ(16, 22)2 το οποίο δεν είναι διαιρέτης του 5. γ) Είναι μκδ(10, 45)5 το οποίο διαιρεί το 25 και άρα η ισοτιμία έχει 5 διακεκριμένες λύσεις modulo 45. ( x 25(mod45) ) ( ) 25 x (mod 5 2x 5(mod9) 2 5x 5 5(mod9) 10x 25(mod9) x 7(mod9) ( ) 45 ) 5 Η x 7(mod9) είναι η μοναδική λύση της ισοτιμίας modulo 9. Επομένως οι 5 λύσεις modulo 45 είναι: x (mod45) x (mod45) x (mod45) x (mod45) x (mod45) δ) Χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους η ισοτιμία γράφεται ισοδύναμα ως εξής: 7x 5x 8 3(mod17) 2x 5(mod17) Είναι μκδ(2, 17)1 και άρα η ισοτιμία έχει μοναδική λύση modulo 17. Ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του 2 modulo 17 είναι το 9 και άρα 9

10 έχουμε: 9 2x 9 5(mod17) 18x 45(mod17) x 11(mod17) 2. Βρείτε την τάξη του 2 ως προς mod 31. Γνωρίζουμε ότι Z 31 {[0], [1],..., [30]} είναι το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων modulo 31. Από τη θεωρία, είναι επίσης γνωστό ότι ord b (a) n, όταν το n είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε: a n 1(modb). Υπολογίζοντας της διαδοχικές δυνάμεις του 2 modulo 31, έχουμε: 2 1 2(mod31) 2 2 4(mod31) 2 3 8(mod31) (mod31) και άρα συνάγουμε ότι ord 31 (2) (mod31) 1(mod31) 3. Να αποδειχθεί ότι: (mod 31). Η τάξη ενός στοιχείο ως προς δοθέν modulo αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο όταν θέλουμε να δείξουμε ισοτιμίες για μεγάλες δυνάμεις. Από την προηγούμενη άσκηση, γνωρίζουμε πως ord 31 (2) 5, δηλαδή 2 5 1(mod31). Ομως και άρα έχουμε: (2 5 ) (mod31) Εναλλακτικά, είναι μκδ(2, 31) 1 και άρα από το Θεώρημα του Fermat ισχύει 10

11 ότι: 2 φ(31) 1(mod31) (mod31) (mod31) Ομως, από την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του 341 με το 31 έχουμε ότι: και άρα: (2 30 ) (mod31) Τέλος, είναι: (mod31). Κεφάλαιο 6: Συνδυαστική 1. Πρόεδρος, Γραμματέας και Ταμίας πρόκειται να εκλεγούν μεταξύ 10 ατόμων. Πόσοι τρόποι εκλογής υπάρχουν αν: α) Δεν υπάρχουν περιορισμοί. β) Οι Α και Β θα εκλεγούν και οι δύο ή κανένας εκ των δύο. γ) Ο Α θα εκλεγεί στην επιτροπή. δ) Ο Α θα είναι Πρόεδρος ή δε θα συμμετέχει καθόλου. α) Ως γνωστόν, τα τρία πόστα για τα οποία θέλουμε να εκλέξουμε άτομα διέπονται από κάποια ιεραρχία. Συνεπώς μας ενδιαφέρει και η διάταξη των ατόμων που θα επιλεγούν αναμεταξύ τους. Επιπλέον, όπως είναι σαφές, η επιλογή γίνεται χωρίς επανάληψη. Άρα, αν δεν υπάρχουν περιορισμοί, υπάρχουν ! 10! (10 3)! 7! β) Αναφορικά με τους Α και Β διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η περίπτωση: (Κανένας από τους Α και Β δεν εκλέγεται) Σε αυτήν την περίπτωση, η εκλογή της 3-μελούς επιτροπής θα γίνει επιλέγοντας ανάμεσα στα 8 υπόλοιπα άτομα με 8 3 8! (8 3)! 336 δυνατούς τρόπους. 11

12 2η περίπτωση: (Αμφότεροι οι Α και Β εκλέγονται στην επιτροπή) Σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να εκλεγεί ένα ακόμη από τα οκτώ υποψήφια ( άτομα στην επιτροπή, πράγμα που μπορεί να γίνει με 8 ) 1 8! 8 δυνατούς τρόπους και έπειτα να διαταχθούν 1!(8 1)! τα άτομα που έχουν εκλεγεί για την κάλυψη των 3 πόστων. Το τελευταίο μπορεί να γίνει με 3! τρόπους. Άρα υπάρχουν 3! (8 1) δυνατές επιλογές. Άρα συνολικά υπάρχουν: ! (8 1) 384 δυνατές επιλογές. γ) Εάν ο Α εκλεγεί στην επιτροπή, τότε υπάρχουν 3 δυνατά πόστα τα οποία μπορεί να αναλάβει. Επιπλέον, πρέπει να εκλεγούν ακόμη 2 από τα εναπομείναντα 9 υποψήφια άτομα και να τους ανατεθούν πόστα στην επιτροπή. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με 9 2 δυνατούς τρόπους. Άρα υπάρχουν συνολικά επιτροπές στις οποίες μετέχει ο Α. δ) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1η περίπτωση: (Ο Α δε συμμετέχει καθόλου στην επιτροπή) Σε αυτήν την περίπτωση, κατασκευάζουμε την επιτροπή επιλέγοντας άτομα από τα 9 που απομένουν. Υπάρχουν επομένως 9 3 δυνατές επιλογές. 2η περίπτωση: (Ο Α συμμετέχει στην επιτροπή ως Πρόεδρος) Σε αυτήν την περίπτωση, εκλέγουμε 2 ακόμη άτομα από το σύνολο των 9 υπολοίπων υποψηφίων και τους κατανέμουμε στα 2 εναπομείναντα πόστα. Υπάρχουν επομένως 9 2 δυνατές επιλογές. Επομένως, συνολικά υπάρχουν δυνατές τριμελείς επιτροπές με πρόεδρο τον Α. 2. Μια φοιτήτρια έχει 8 φίλες από τις οποίες θα προσκαλέσει τις 5 για καφέ. i) Πόσες επιλογές έχει αν δυο από τις φίλες της έχουν τσακωθεί και δεν είναι δυνατόν να προσκληθούν ταυτόχρονα; ii) Πόσες επιλογές έχει αν δυο από τις φίλες της πρέπει να προσκληθούν μαζί; 12

13 i) Προφανώς για τη φοιτήτρια υπάρχουν 2 (συμπληρωματικές) περιπτώσεις: 1η ( περίπτωση: Αν δεν προσκαλέσει καμία από τις 2, τότε έχει 6 ) 5 6 δυνατές επιλογές, καθώς θα πρέπει να επιλέξει την πεντάδα που θα καλέσει από τις υπόλοιπες 6. 2η περίπτωση: Αν προσκαλέσει μόνο μια από τις τσακωμένες φίλες της), τότε πρέπει να επιλέξει ποιά από τις 2 θα καλέσει με ( 2 1) 2 δυνατούς τρόπους. Επειτα πρέπει να επιλέξει τις υπόλοιπες 4 από το σύνολο των 6 φίλων στο οποίο δε συμπεριλαμβάνονται οι ( δυο τσακωμένες φίλες της. Το τελευταίο μπορεί να γίνει με 6 ) ( τρόπους. Άρα έχει 2 ) ( 6 ) δυνατές επιλογές. ( Άρα από τον κανόνα του αθροίσματος η φοιτήτρια έχει συνολικά: 2 ) ( 0 6 ) ( ) ( 1 6 ) 4 36 δυνατές επιλογές. ii) Ομοίως, εάν η φοιτήτρια έχει 2 φίλες που πρέπει οπωσδήποτε να προσκληθούν μαζί, τότε υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: 1η ( περίπτωση: Αν δεν προσκαλέσει καμία εκ των δυο, τότε έχει 6 ) 5 6 δυνατές επιλογές. 2η περίπτωση: Αν προσκαλέσει και τις δυο φίλες της, τότε πρέπει να συμπληρώσει την πεντάδα εκλέγοντας 3 ακόμη φίλες από τις εναπομείνασες 6. Αυτό μπορεί να γίνει με ( 6 3) δυνατούς τρόπους. Επομένως, ( από τον κανόνα του αθροίσματος, η φοιτήτρια έχει: 6 ) ( ) 3 26 δυνατές επιλογές. 3. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν 8 άνθρωποι να τοποθετηθούν σε μια γραμμή εάν: α) Δεν υπάρχουν περιορισμοί στην τοποθέτησή τους. β) Οι άνθρωποι Α και Β πρέπει να καθίσουν ο ένας δίπλα στον άλλο. γ) Υπάρχουν 5 άνδρες και πρέπει να καθίσουν ο ένας δίπλα στον άλλο. δ) Υπάρχουν 4 παντρεμένα ζευγάρια και κάθε ζευγάρι πρέπει να καθίσει μαζί. 13

14 α) Προφανώς υπάρχουν 8! δυνατοί τρόποι τοποθέτησης των 8 ατόμων σε γραμμή αφού αυτοί είναι 1-1 διακεκριμένες οντότητες και επιπλέον δεν υφίστανται περιορισμοί. β) Δεδομένου ότι οι άνθρωποι Α και Β δεσμεύουν ένα ζεύγος συνεχόμενων θέσεων, υπάρχουν 7 τέτοια δυνατά ζεύγη τα οποία θα μπορούσαν να καταλάβουν. Επιπλέον, για κάθε επιλογή θέσεων, το ζεύγος των Α και Β μπορεί να διαταχθεί με 2! 2 τρόπους. Τέλος, για κάθε επιλογή θέσεων και κάθε διάταξη του ζεύγους, οι υπόλοιποι 6 άνθρωποι μπορούν να διαταχθούν με 6! 720 τρόπους. Συνεπώς, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, υπάρχουν 7 2! 6! δυνατοί τρόποι τοποθέτησης. γ) Ομοίως με το ερώτημα β), υπάρχουν δυνατές τοποθετήσεις της πεντάδας κατά συνεχή τρόπο. Η πεντάδα μπορεί να διαταχθεί (εσωτερικά) με 5! 120 τρόπους και για κάθε έναν από αυτούς οι υπόλοιποι 3 άνθρωποι μπορούν να διαταχθούν με 3! 6 τρόπους. Άρα από τον κανόνα του γινομένου υπάρχουν 4 5! 3! δυνατοί τρόποι. δ) Προφανώς τα 4 παντρεμένα ζευγάρια μπορούν να τοποθετηθούν σε σειρά με 4! 24 τρόπους. Επιπλέον, για κάθε έναν από αυτούς τους τρόπους, τα μέλη του κάθε ζεύγους μπορούν να τοποθετηθούν σε σειρά με 2! 2 τρόπους. Άρα έχουμε συνολικά: 4! 2! 2! 2! 2! 4! (2!) δυνατούς τρόπους. Κεφάλαιο 8: Αναδρομικές ακολουθίες - Αθροίσματα 1. Να βρεθεί η a n που ικανοποιεί την αναδρομική σχέση: με αρχικές συνθήκες a 0 0, a 1 1. a n 3a n 1 + 2a n 2 2 n, n 2 Η αντίστοιχη ομογενής αναδρομική εξίσωση είναι: a n 3a n 1 + 2a n

15 με χαρακτηριστική εξίσωση: x 2 3x της οποίας οι ρίζες είναι οι ρ 1 1 (απλή) και ρ 2 2 (απλή) και άρα η γενική λύση της ομογενούς αναδρομικής εξίσωσης είναι της μορφής: a H n A 1 n + B 2 n Για να βρούμε μια μερική λύση της μη ομογενούς αναδρομικής σχέσης, παρατηρούμε πως το μη γραμμικό τμήμα της αναδρομικής εξίσωσης γράφεται: f(n) 2 n 2 n 1 και το s 2 είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς. Επομένως, μια μερική λύση της μη ομογενούς γραμμικής αναδρομικής εξίσωσης θα είναι της της μορφής: a P n n 1 c 0 s n c 0 n2 n Αντικαθιστώντας τη μερική λύση στη μη ομογενή αναδρομική εξίσωση, έχουμε: c 0 n2 n 3c 0 (n 1)2 n 1 + 2c 0 (n 2)2 n 2 2 n 2c 0 n 3c 0 (n 1) + c 0 (n 2) 2 2c 0 n 3c 0 n + 3c 0 + c 0 n 2c 0 2 c 0 2 και άρα a P n n2 n+1. Επομένως, συνδυάζοντας τη μερική λύση της μη ομογενούς αναδρομικής εξίσωσης με τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς, προκύπτει ότι: a n a P n + a H n A + B 2 n + n2 n+1 Για να βρούμε τις τιμές των σταθερών A και B, χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες. Είναι: για n 0: a 0 A + B A + B A + B 0 15

16 για n 1: a 1 A + B A + 2B + 4 A + 2B 3 Οι σχέσεις που βρήκαμε αποτελούν ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους: { A + B 0 A + 2B 3 του οποίου η λύση είναι A 3, B 3. αναδρομικής σχέσης είναι: Άρα η γενική λύση της a n 2 n (2n 3) + 3, n N 2. Να βρεθεί η a n που ικανοποιεί την αναδρομική σχέση: a 0 0 a 1 1 a n 4a n 1 4a n n 1, n 2 Η αντίστοιχη ομογενής αναδρομική εξίσωση είναι: με χαρακτηριστική εξίσωση: a n 4a n 1 + 4a n 2 0 x 2 4x η οποία έχει διπλή ρίζα το ρ 2 και άρα η γενική λύση της ομογενούς αναδρομικής εξίσωσης είναι της μορφής: a H n A 2 n + B n2 n Για να βρούμε μια μερική λύση της μη ομογενούς αναδρομικής σχέσης, παρατηρούμε πως το μη γραμμικό τμήμα της αναδρομικής εξίσωσης γράφεται: f(n) 3 n n και το s 3 δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής 16

17 εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς. Επομένως, μια μερική λύση της μη ομογενούς γραμμικής αναδρομικής εξίσωσης θα είναι της της μορφής: a P n c 0 s n c 0 3 n Προφανώς η μερική αυτή λύση θα πρέπει να επαληθεύει τη μη ομογενή αναδρομική εξίσωση. Επομένως έχουμε: c 0 3 n 4c 0 3 n 1 4c 0 3 n n c 0 4 3c 0 4c c 0 12c 0 4c c 0 3 και άρα a P n 3 n+1. Επομένως, συνδυάζοντας τη μερική λύση της μη ομογενούς αναδρομικής εξίσωσης με τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς, προκύπτει ότι: Από τις αρχικές συνθήκες έχουμε: για n 0: για n 1: a n a P n + a H n A 2 n + B n 2 n + 3 n+1 a 0 A A + 3 A 3 a 1 2A + 2B B + 9 2B 2 B 1 Άρα η γενική λύση της αναδρομικής σχέσης είναι: a n 3 2 n n 2 n + 3 n+1 2 n (n + 3) + 3 n+1 17

18 3. Υπολογίστε το άθροισμα: n k1 2k + 1 k 2 + k Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση: η οποία γράφεται ισοδύναμα: f(x) : 2x + 1, x R {0, 1} x 2 + x f(x) 2x + 1, x R {0, 1} x(x + 1) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς A, B τέτοιους ώστε: επομένως πρέπει: δηλαδή A B 1. Άρα έχουμε: 2x + 1 A x(x + 1) x + B x + 1 2x + 1 A(x + 1) + Bx 2x + 1 (A + B)x + A { A 1 A + B 2 n 2k + 1 n k 2 + k ( 1 k + 1 k + 1 ) k1 k1 n k1 1 n k + 1 k + 1 k1 ln(n) + O(1) + ln(n) + O(1) 1 2ln(n) + O(1) 18

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/008-09.(i) S =, : 0 =, :, με + 0 {( ) } {( ) ( )( ) } {(, ):, με 0, 0 } {(, ):, με 0, 0} = + + = 0 + = 0 = (ii). 3 {( ) ( )} ( ) ( ) {(, ):, με 0 ή. } { = } S=, :, με = + =, :,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση:

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών Εμμανουήλ Καπνόπουλος Επιβλέπων καθηγητής Ιωάννης Αντωνιάδης Μεταπτυχιακή Εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Οκτώβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διµελής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς :

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

( ( )) ( 3 1) 2( 3 1)

( ( )) ( 3 1) 2( 3 1) Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 7/4/2017 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Αφού ξέρουμε με ακρίβεια τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί ο κάθε αλγόριθμος σε δεδομένα μεγέθους, θα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

w S n lim (n 1)! = x(x + q)(x + q + q 2 ) (x + q + q q n 1 ),

w S n lim (n 1)! = x(x + q)(x + q + q 2 ) (x + q + q q n 1 ), Ασκήσεις #1 1. Εστω a(n, k) το πλήθος των υποσυνόλων του {1, 2,..., n} με k στοιχεία τα οποία δεν περιέχουν διαδοχικούς ακεραίους. (α) Δείξτε ότι το a(n, k) είναι ίσο με το πλήθος των συνθέσεων (r 0, r

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα