Ανάλυση Χρονοϊστορίας Κατασκευών Εδραζόμενων σε Επίπεδα Εφέδρανα Ολίσθησης. Διατριβή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ανάλυση Χρονοϊστορίας Κατασκευών Εδραζόμενων σε Επίπεδα Εφέδρανα Ολίσθησης Διατριβή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης Ανδρέα Ι. Ζέρβα Πολιτικού Μηχανικού ΠΑΤΡΑ 2017

2

3 Αφιερώνεται στην οικογένειά μου

4

5 Πρόλογος Η παρούσα Διατριβή Διπλώματος Ειδίκευσης εκπονήθηκε στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Με αφορμή την παρούσα εργασία, βρίσκω την ευκαιρία να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Πέτρο Μαραθιά, Δρ. Πολιτικό Μηχανικό, Λέκτορα του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, για την επιστημονική του καθοδήγηση στην εκπόνηση της, και για τον χρόνο που μου έχει διαθέσει απλόχερα για να εμβαθύνω πάνω σε θέματα αντισεισμικού σχεδιασμού κατασκευών. Εκφράζω επίσης την ιδιαίτερη εκτίμηση και τις ευχαριστίες μου στα μέλη της εξεταστικής επιτροπής κ. Απόστολο Παπαγεωργίου, Δρ. Πολιτικό Μηχανικό, Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών και κ. Μανόλη Σφακιανάκη, Δρ. Πολιτικό Μηχανικό, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, για την υποστήριξή τους κατά τη διάρκεια των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών σπουδών μου. Ιδιαίτερα ευχαριστώ τον συνάδελφο μου και μεταπτυχιακό φοιτητή Νικόλαο Σκρέτα για τη πολύτιμη βοήθειά του σε θέματα προγραμματισμού Η/Υ, κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας αυτής, καθώς και την συνάδελφο Ηρώ Χαραλαμποπούλου για τις παρατηρήσεις της κατά τη σύνταξη του κειμένου. Τέλος, θέλω από καρδιάς να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την αμέριστη στήριξη που μου έχει προσφέρει σε όλη την διάρκεια των σπουδών μου.

6

7 Περίληψη Ο κίνδυνος για την ακεραιότητα δομημάτων που γειτνιάζουν σε ενεργά σεισμικά ρήγματα έχει γίνει αντιληπτός από την αρχαιότητα. Η συνήθης πρακτική που ακολουθείτο ήταν αυτή της ισχυροποίησης τους με σκοπό την αύξηση της ασφάλειάς τους έναντι σεισμού. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 όμως, έγινε σαφές ότι η αύξηση της δυσκαμψίας και της αντοχής ενός δομήματος δεν λύνει το σεισμικό του πρόβλημα με τεχνικοοικονομικά αποδεκτό τρόπο, καθώς ο κίνδυνος αστοχίας του εδάφους θεμελίωσης ή και ανατροπής του δεν μπορεί να εξαλειφθεί. Έτσι, προτάθηκε ο ενδοτικός τρόπος σχεδιασμού των κατασκευών, δια του οποίου, με τη δημιουργία αξιόπιστου ελαστοπλαστικού συστήματος στον φέροντα οργανισμό, εξασφαλίζεται με την επιθυμητή πιθανότητα, η μη κατάρρευση. Δεν είναι όμως δυνατόν να αποφευχθεί παράλληλα και το μεγάλο κόστος επισκευών που συνεπάγεται η είσοδος των υλικών του δομήματος στην πλαστική περιοχή παραμορφώσεων τους. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1970, ξεκίνησε η ανάπτυξη της σεισμικής μόνωσης, μιας νέας μεθόδου αντιμετώπισης του σεισμικού κινδύνου των κατασκευών, βασιζόμενης στην ιδέα της απομονώσεώς τους από την κίνηση του εδάφους θεμελιώσεως. Η υλοποίηση της επιτυγχάνεται δια της παρεμβολής, μεταξύ θεμελιώσεως και δομήματος, συσκευών (anti-seismic devices) μειωμένης δυσκαμψίας, με ελαστική ή ελεγχόμενη και εγγυημένη ελαστοπλαστική συμπεριφορά. Έχουν μέχρι σήμερα αναπτυχθεί αρκετά διαφορετικά και το καθένα με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, συστήματα σεισμικής μόνωσης. Κύριος όμως στόχος όλων των συστημάτων είναι η αύξηση της πρώτης ιδιοπεριόδου της κατασκευής ώστε να βρεθεί στην περιοχή του φάσματος όπου οι απόλυτες επιταχύνσεις έχουν απομειωθεί σημαντικά. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι αρχικά, η δημιουργία αξιόπιστου προγράμματος H/Y για την αντιμετώπιση σεισμικά μονωμένων κατασκευών οποιουδήποτε μεγέθους και πολυπλοκότητας και στη συνέχεια η διερεύνηση των παραμέτρων που επηρεάζουν την απόκριση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης. Η εργασία αυτή αναπτύσσεται στα κεφάλαια 1 έως 6 και στο παράρτημα Αʹ. Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια αναφορά στην καταστροφική επίδραση των σεισμών στις κατασκευές, δια της παραθέσεως των αποτελεσμάτων πραγματικών σεισμικών γεγονότων του παρελθόντος. Παρουσιάζεται επίσης ο τρόπος αντιμετώπισης τους από

8 τους κανονισμούς κατά τη διάρκεια του προηγούμενου αιώνα. Στο κεφάλαιο 2 γίνεται παρουσίαση της μεθόδου προστασίας των κατασκευών δια της σεισμικής μόνωσής τους και εξηγείται ο μηχανισμός απομείωσης της σεισμικής απόκρισης τους. Παρουσιάζονται ακόμη τα κύρια συστήματα σεισμικής μόνωσης που βασίζονται στη χρήση ελαστομεταλλικών εφεδράνων και εφεδράνων ολίσθησης. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται η μεθοδολογία εξιδανίκευσης για τη δυναμική ανάλυση σεισμικά μονωμένων κατασκευών τόσο όσον αφορά τη δυσκαμψία και την κατανομή της ύλης της ανωδομής, όσο και τη μη γραμμική συμπεριφορά των στοιχείων σεισμικής μόνωσης (anti-seismic devices). Ειδικότερα εξετάζονται οι παράμετροι που διέπουν τη συμπεριφορά επιπέδων εφεδράνων ολίσθησης, μέσω της χρήσης του μοντέλου υστέρησης Bouc Wen. Στο κεφάλαιο 4 διατυπώνεται το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που διέπει την κίνηση των ποσοτήτων ύλης της κατασκευής υπό σεισμική φόρτιση. Το σύστημα αυτό συμπληρώνεται με τις απαιτούμενες διαφορικές εξισώσεις ανά εφέδρανο ολίσθησης για τον υπολογισμό των δυνάμεων τριβής με τη χρήση του μοντέλου Bouc Wen. Για τις ανάγκες της επίλυσης γίνεται κατάλληλη επιλογή του βήματος ολοκλήρωσης, το οποίο βαίνει μειούμενο κατά τη μετάβασης από ολίσθηση σε σύνδεση και αυξανόμενο στην αντίθετη περίπτωση. Στο κεφάλαιο 5 γίνεται χρήση του προγράμματος Η/Υ για την επίλυση πραγματικού 26 ορόφου σεισμικά μονωμένου κτιρίου. Παρουσιάζονται τα γεωμετρικά και κινηματικά χαρακτηριστικά της κατασκευής και γίνεται υπολογισμός της απόκρισης της, για διάφορες θεωρήσεις σύνδεσης ανωδομής θεμελίωσης. Στη συνέχεια γίνεται συγκριτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων, αναφορικά με την επιρροή του συντελεστή τριβής των εφεδράνων ολίσθησης στην απόκριση και υπολογισμός της αποτελεσματικότητας της σεισμικής μόνωσης ανάλογα με την ένταση των εδαφικών επιταχύνσεων. Στο κεφάλαιο 6 γίνεται συνοπτική παρουσίαση των βασικών δομών (classes) του προγράμματος, με τη χρήση της αντικειμενοστραφούς γλώσσας προγραμματισμού C++ και διαγραμματική παρουσίαση των βασικών συναρτήσεων για την ολοκλήρωση του συστήματος των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που διέπουν την κίνηση της κατασκευής. Στο παράρτημα Αʹ παρατίθενται ο κώδικας σε C++ των βασικών συναρτήσεων που αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Με τα αποτελέσματα της εργασίας αυτής, επιβεβαιώνεται η αποτελεσματικότητα της εξιδανίκευσης του τρόπου εισαγωγής των δυνάμεων τριβής από εφέδρανα ολίσθησης σε

9 πολυβάθμια ταλαντούμενα συστήματα με τη χρήση του μοντέλου Bouc Wen. Αποδεικνύεται επίσης ότι η μείωση της απόκρισης σεισμικά μονωμένων κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα τριβής είναι σημαντική ακόμα και στην περίπτωση υψηλών κτιρίων, με ιδιαίτερα μεγάλη πρώτη ιδιοπερίοδο της τάξης των 2 sec. Τέλος αναδεικνύεται ο κρίσιμος ρόλος του συντελεστή τριβής στη μείωση της σεισμικής απόκρισης. Αντικείμενο περαιτέρω έρευνας είναι ο ακριβής καθορισμός του βέλτιστου συντελεστή τριβής δια του οποίου πετυχαίνεται η μέγιστη μείωση των απολύτων επιταχύνσεων των ταλαντούμενων μαζών των εξεταζόμενων δομημάτων. Ο καθορισμός αυτός θα πρέπει να συνυπολογίζει τα γεωμετρικά και αδρανειακά χαρακτηριστικά του δομήματος, τα χαρακτηριστικά του εδάφους θεμελιώσεως και τα αντιπροσωπευτικά επιταχυνσιογραφήματα της περιοχής του έργου.

10

11 Περιεχόμενα Πρόλογος Περίληψη i v Εισαγωγή 1 1 Σεισμοί και κατασκευές Ιστορικά στοιχεία Σεισμική μόνωση Εξέλιξη της σεισμικής μόνωσης Μείωση σεισμικής απόκρισης Συστήματα σεισμικής μόνωσης Ελαστομεταλλικά εφέδρανα Εφέδρανα ολίσθησης Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Ανωδομή Δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας Στατική συμπύκνωση Στοιχεία σεισμικής μόνωσης Γενικά Μοντέλο υστέρησης Bouc Wen Επίπεδα Εφέδρανα τριβής Δυνάμεις τριβής Συντελεστής τριβής Παράμετροι μοντέλου Bouc Wen Συνθήκες στήριξης της ανωδομής Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης 41 ix

12 4.1 Εξισώσεις κίνησης Δυνάμεις από εφέδρανα τύπου Bouc Wen Δυνάμεις κάθετες στη διεπιφάνεια επαφής, επιπέδων εφεδράνων ολίσθησης Επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων Μεταβαλλόμενο βήμα ολοκληρώσεως Ανάλυση χρονοϊστορίας 26-ορόφου κτιρίου Περιγραφή του υπάρχοντος κτιρίου Γεωμετρικά χαρακτηριστικά Κατανομή ποσοτήτων ύλης στο χώρο Σύστημα σεισμικής μόνωσης και δυναμικά χαρακτηριστικά Εναλλακτικές θεωρήσεις σύνδεσης Ανωδομής Θεμελίωσης Σεισμική διέγερση βάσης κτιρίου Αποτελέσματα ανάλυσης χρονοϊστορίας Σύγκριση των αποτελεσμάτων για εναλλακτικές θεωρήσεις σύνδεσης Ανωδομής Θεμελίωσης Επιρροή των συντελεστών τριβής στην απόκριση Επιρροή του μεγέθους της σεισμικής διέγερσης Πρόγραμμα Η/Υ Classes AntiSeismicDevice IsolatedStructure Snapshot EarthquakeObject DynamicSimulation Bασικές συναρτήσεις της DynamicSimulation class Συνάρτηση Solve Συνάρτηση RungeKutta Συνάρτηση Dercal Συνάρτηση PostRKCalcs Συνάρτηση UpdateAxialForces Συνάρτηση UpdateFlatSliderData Βιβλιογραφία 125

13 Αʹ Παράρτημα 131 Αʹ.1 Κώδικας Η/Υ Αʹ.1.1 Συνάρτηση Solve Αʹ.1.2 Συνάρτηση RungeKutta Αʹ.1.3 Συνάρτηση CalculateDt Αʹ.1.4 Συνάρτηση UpdateAxialForces Αʹ.1.5 Συνάρτηση UpdateAxialForces Αʹ.1.6 Συνάρτηση Post_RK_Calcs Αʹ.1.7 Συνάρτηση GroundAccelerationVector Αʹ.1.8 Συνάρτηση Dercal Αʹ.1.9 Συνάρτηση ZetaDercalcal Αʹ.1.10 Συνάρτηση CalculateLinearBWForces Αʹ.1.11 Συνάρτηση CalculateNonLinearBWForces Αʹ.1.12 Συνάρτηση CalculateDampingMatrix Αʹ.1.13 Συνάρτηση EigenSolution

14

15 Κατάλογος σχημάτων 1.1 Σεισμική τράπεζα κατασκευασθείσα από τον John Milne, Η πόλη του San Fransisco αμέσως μετά το σεισμό του Η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου του Stanford, αμέσως μετά το σεισμό του Η διάταξη της σεισμικής τράπεζας του Πανεπιστημίου του Stanford Σεισμός της Messina, Σεισμός Santa Barbara, O John Blume στην σεισμική τράπεζα του Stanford Σεισμός Long Beach, Σεισμός San Fernando, ανατροπή τμήματος του Olive View Hospital, Σεισμός Northridge, κατάρρευση κτιρίου, Jacob Bechtold, 1907 και Johannes Calantarients, Διάταξη Αλεξισεισμίου Συστήματος Δικαστικό Μέγαρο Αθηνών, και Εμπορικό Κέντρο Πειραιά Τοποθέτηση εφεδράνων LRB στη θεμελίωση του κτιρίου William Clayton (1984) Σεισμικά μονωμένο, Cruas Nuclear Power Plant, France Εφέδρανα με καμπύλες επιφάνειες τριβής Κτίριο στην πόλη Sendai της Ιαπωνίας, σεισμικά μονωμένο με το σύστημα TASS Φάσμα απόλυτης επιτάχυνσης El Centro Επιρροή στην απόκριση των ανωτέρων ιδιομορφών Απλό ελαστομεταλλικό εφέδρανο (Mageba) Τομή ελαστομεταλλικού εφεδράνου με πυρήνα μολύβδου (Maurer) Τομή ελαστομεταλλικού εφεδράνου υψηλής απόσβεσης (Alga) Pot Bearings μίας και δύο διευθύνσεων (Canam) Πολυμερές υλικό MSM (Maurer) xiii

16 3.1 Ενδεικτικός στατικός φορέας επί διατάξεων σεισμικής μόνωσης Διαγράμματα Δύναμης-Μετάθεσης, παράμετροι του μοντέλου Bouc Wen Επίπεδο εφέδρανο ολίσθησης Σχέση Δύναμης-Μετάθεσης για επίπεδο εφέδρανο Neoprene-Teflon-Stainless Steel Βαθμοί ελευθερίας στη θέσης στήριξης επί ενός στοιχείου σεισμικής μόνωσης Βαθμοί ελευθερίας των εφεδράνων, που σχετίζονται με τις δυνάμεις Bouc Wen Σχετική θέση στοιχείου σεισμικής μόνωσης, ως προς το Κ.Μ. του δίσκου σεισμικής μόνωσης Παραμορφωμένος φορέας τη χρονική στιγμή t=t Εύρεση του y(t + Δt) με την μέθοδο Euler Εύρεση του y(t + Δt) με την μέθοδο Runge Kutta 4 ης τάξεως Μεταβολή του βήματος ολοκλήρωσης συναρτήσει της σχετικής ταχύτητας δίσκου-εδάφους Εμπορικό κέντρο Πειραιά Εμπρόσθια και πλευρική τομή κτιρίου Κάτοψη τυπικού Ορόφου Δίσκος στάθμης 1: Διάταξη στοιχείων σεισμικής μόνωσης Δίσκος στάθμης 1: Διάταξη στοιχείων σεισμικής μόνωσης Επίπεδο εφέδρανο ολίσθησης Επιταχυνσιογραφήματα σεισμού El Centro για 30sec Φάσμα απολύτων επιταχύνσεων, συνιστώσα X G, ξ= Φάσμα απολύτων επιταχύνσεων, συνιστώσα Z G, ξ= Μείωση μέγιστων τιμών τέμνουσας, καθ ύψος Απόλυτες επιταχύνσεις, κτίριου μονολιθικά συνδεδεμένου με τη θεμελίωση, κατά X G Απόλυτες επιταχύνσεις, κτίριου μονολιθικά συνδεδεμένου με τη θεμελίωση, κατά Z G Απόλυτες στροφικές επιταχύνσεις, κτίριου μονολιθικά συνδεδεμένου με τη θεμελίωση, κατά Y G Απόλυτες επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί ελαστομεταλλικών εφεδράνων, κατά X G

17 5.15 Απόλυτες επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί ελαστομεταλλικών εφεδράνων, κατά Z G Απόλυτες στροφικές επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί ελαστομεταλλικών εφεδράνων, κατά Y G Απόλυτες επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0%, κατά X G Απόλυτες επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0%, κατά Z G Απόλυτες στροφικές επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0%, κατά Y G Απόλυτες επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5%, κατά X G Απόλυτες επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5%, κατά Z G Απόλυτες στροφικές επιταχύνσεις, κτιρίου εδραζόμενου επί εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5%, κατά Y G Απόλυτη τιμή τέμνουσας βάσης Μέγιστες τέμνουσες ορόφων Μέγιστες ροπές ανατροπής ορόφων Μέγιστες σχετικές μεταθέσεις ορόφων Φάσματα απολύτων επιταχύνσεων ορόφων, διεύθυνση X G Φάσματα απολύτων επιταχύνσεων ορόφων, διεύθυνση Z G Μεταθέσεις στάθμης 23 κατά τη διεύθυνση X G Μεταθέσεις στάθμης 23 κατά τη διεύθυνση Z G Σχετικές με το έδαφος μετατοπίσεις του δίσκου σεισμικής μόνωσης Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 1.5% και f max = 7.0% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z

18 5.37 Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Δύναμη εφεδράνων ολίσθησης με f min = 0.5% και f max = 3.5% και μέτρο του αδιάστατου συντελεστή z Τέμνουσα βάσης συναρτήσει του συντελεστή τριβής Απόλυτη τιμή τέμνουσας βάσης για διάφορους συντελεστές τριβής Μέγιστες τέμνουσες ορόφων για διάφορους συντελεστές τριβής Μέγιστες ροπές ανατροπής ορόφων για διάφορους συντελεστές τριβής Μέγιστη τέμνουσα βάσης, για μεγέθυνση των εδαφικών επιταχύνσεων του El Centro Class Hierarchy για τα Anti-seismic Devices Δημιουργία πολλών αναλύσεων και παράλληλη εκτέλεση τους Συνάρτηση Solve Συνάρτηση RungeKutta Συνάρτηση Dercal Συνάρτηση PostRKCalcs

19 xvii Κατάλογος πινάκων 5.1 Πίνακας κατ εξιδανίκευση συγκεντρωμένων ποσοτήτων ύλης στα κέντρα βάρους των πλακών, στις διάφορες στάθμες του κτιρίου (βλ. σχήμα 5.2) Ελαστομεταλλικά εφέδρανα υποστυλωμάτων Ελαστομεταλλικά εφέδρανα πυρήνα Δυναμικά χαρακτηριστικά κατασκευής εδραζόμενης επί ελαστομεταλλικών εφεδράνων Δυναμικά χαρακτηριστικά κατασκευής μονολιθικά συνδεδεμένης με τη θεμελίωση Εφέδρανα ολίσθησης πυρήνα Εφέδρανα ολίσθησης υποστυλωμάτων Δυναμικά χαρακτηριστικά για την κατάσταση ολίσθησης Δυναμικά χαρακτηριστικά για την κατάσταση μη-ολίσθησης

20

21 Εισαγωγή Τα φαινόμενα των σεισμικών κινήσεων, και η επίδραση τους στις κατασκευές, έχουν απασχολήσει τους μηχανικούς όλων των εποχών από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Παρά την τεράστια πρόοδο που έχει συντελεστεί τόσο αναφορικά με τον υπολογισμό της απόκρισης των ταλαντούμενων συστημάτων όσο και με τη σύνταξη κανονισμών, η πολυπλοκότητα του αντισεισμικού σχεδιασμού των κατασκευών εξακολουθεί να είναι τόσο μεγάλη, έτσι ώστε να μην είναι εφικτό να διατυπωθεί μια σαφής μαθηματική διαδικασία που να είναι ικανή να αντιμετωπίσει κάθε περίπτωση έργου. Η εμπειρία, η επιστημονική εμβάθυνση και η κρίση του μελετητή μηχανικού αλλά και η άριστη γνώση της συμπεριφοράς των χρησιμοποιούμενων υλικών και κατασκευαστικών μεθόδων είναι επομένως καθοριστικής σημασίας για την ορθολογική τεχνικοοικονομικά αντιμετώπιση του σεισμικού προβλήματος στις κατασκευές. Το προεξάρχον στοιχείο του αντισεισμικού σχεδιασμού, είναι προφανώς, η σε βάθος κατανόηση τόσο της φύσης των σεισμικών δυνάμεων όσο και του τρόπου ανάπτυξης της εσωτερικής εντατικής κατάστασης λόγω της σεισμικής κίνησης του εδάφους θεμελιώσεως. Οι σεισμοί αναμένονται τόσο σε θέσεις ενεργών, όσο και σε θέσεις ανενεργών ή μη καταγεγραμμένων ρηγμάτων του στερεού φλοιού της γης. Η κοινή αντίληψη μεταξύ των μηχανικών, που έχει διαμορφωθεί από την εμπειρία στο σχεδιασμό κτιρίων και που συνήθως καταλήγει στο σχεδιασμό, μεγάλης αντοχής, δύσκαμπτων κτιρίων ακλόνητα συνδεδεμένων με το έδαφος, δεν είναι συνήθως ικανοποιητικά αποτελεσματική και καταλήγει σε αντιοικονομικά δομήματα. Οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί, από το 1960, μέχρι σήμερα εξασφαλίζουν με την εφαρμογή τους κατασκευές που ανταπεξέρχονται ελαστικά στους μικρούς σεισμούς, με ζημιές στα μη φέροντα στοιχεία στους μέτριους σεισμούς και με πιθανοτικά εγγυημένη μη κατάρρευση στους καταστροφικούς σεισμούς. Οι έλεγχοι αντοχής των φερόντων στοιχείων, βασίζονται στην εσωτερική εντατική κατάσταση που υπολογίζεται για στατικά εφαρμοζόμενα φορτία, που με τη σειρά τους εξιδανικεύουν τη δυναμική απόκριση της κατασκευής στη σεισμική κίνηση της βάσης της. Η αποφυγή της κατάρρευσης στους καταστροφικούς σεισμούς, επιτυγχάνεται δια της εισόδου του υλικού, σε επιλεγμένες θέσεις, στην πλαστική του περιοχή εξασφαλίζοντας 1

22 έτσι συνολικά την ελαστοπλαστική συμπεριφορά του όλου δομήματος. Η φύση των σεισμικών δυνάμεων, είναι ιδιαιτέρως ιδιάζουσα. Οι δυνάμεις αυτές, δεν είναι αντιδράσεις, δηλαδή δευτερογενείς δυνάμεις που οφείλουν την ύπαρξη τους στην επιβολή στον φέροντα οργανισμό άλλων δυνάμεων. Είναι πρωτογενείς εξωτερικές δυνάμεις, που η δράση τους συνεπάγεται την κίνηση (ταλάντωση) ολόκληρου του φέροντος οργανισμού, ως παραμορφώσιμου συνόλου. Κατά την ταλάντωση αυτή ο φέρον οργανισμός αναλαμβάνει τις δυνάμεις που του ασκεί το έδαφος θεμελίωσης και οι ταλαντούμενες ποσότητες ύλης του τεχνικού έργου. Δοσμένης της σεισμικής κίνησης του εδάφους θεμελιώσεως, οι παραπάνω δυνάμεις προσδιορίζονται ως συναρτήσεις του χρόνου. Το μέγεθος των δυνάμεων αυτών συνεπάγεται επιταχύνσεις στις θέσεις των ποσοτήτων ύλης, ακόμα και πενταπλάσιες της βαρύτητας, γι αυτό και είναι εξαιρετικά καταστροφικές. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της καταστροφικότητας των σεισμικών δυνάμεων είναι η περίπτωση του Φάρου της Αλεξανδρείας, ύψους 135 μέτρων που σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε το 300π.Χ. από τον Έλληνα μηχανικό Σώστρατο τον Κνίδιο, ο οποίος και καταστράφηκε από σεισμό περίπου το 1300μ.Χ.. Από το 1970 και ύστερα, ανεπτύχθησαν νέες τεχνικές σχεδιασμού κατά τις οποίες ο φέρον οργανισμός σχεδιάζεται κατάλληλα, έτσι ώστε είτε να αποφεύγει δια ανεξαρτητοποιήσεως του από το έδαφος τις σεισμικές πρωτογενείς δράσεις, είτε να μειώνει τα αποτελέσματα τους δια μηχανισμών απορρόφησης ενέργειας. Η υλοποίηση των παραπάνω γίνεται μέσω ειδικών διατάξεων (Anti-seismic Devices) που εμφυτεύονται σε διάφορα σημεία του φέροντος οργανισμού (κυρίως στη βάση του κτιρίου). Αυτή η τεχνική σχεδιασμού, εντάσσεται στον κλάδο του Παθητικού Ελέγχου των Ταλαντώσεων ( Passive Vibration Control ), κύριο τμήμα του οποίου είναι η Σεισμική Μόνωση ( Seismic Isolation ). Η ένταξη των ειδικών αυτών μηχανισμών διατάξεων στον φέροντα οργανισμό περιορίζει αποτελεσματικά τις σεισμικές δράσεις αλλά εγείρει το θέμα του ακριβούς δυναμικού, μη γραμμικού αντισεισμικού υπολογισμού του συνολικού φορέα στο χώρο. Ενώ η αποτελεσματικότητα της ένταξης συστήματος σεισμικής μόνωσης σε μια κατασκευή μπορεί να φανεί εύκολα στην περίπτωση εξαιρετικά απλουστευτικών εξιδανικευμάτων, είναι αντιθέτως εξαιρετικά πολύπλοκο να γίνει στην περίπτωση πραγματικών κατασκευών με πολλές ταλαντούμενες μάζες, περίπλοκο στατικό σύστημα δυσκαμψίας και μεγάλο αριθμό μη γραμμικών Anti-seismic Devices, τοποθετημένων σε τυχαίες θέσεις. Για τον σκοπό αυτό συντάχθηκε πρόγραμμα Η/Υ, σε γλώσσα αντικειμενοστραφούς προγραμματισμού (C++), που δίνει τη δυνατότητα επίλυσης πολύπλοκων χωρικών κατασκευών με οσοδήποτε αριθμό Anti-seismic Devices. Επιλύθηκε υπάρχον 26 όροφο κτίριο από οπλισμένο και προεντεταμένο σκυρόδεμα που έχει κατασκευασθεί με σύστημα σεισμικής μόνωσης και έγιναν σχετικές παρατηρήσεις επί των αποτελεσμάτων.

23 1. Σεισμοί και κατασκευές 1.1 Ιστορικά στοιχεία Η συστηματική παρατήρηση και μελέτη των σεισμικών κινήσεων ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της Βιομηχανικής Επανάστασης από την Αγγλία, όπου ο Robert Hooke έδωσε διαλέξεις σχετικές με τους σεισμούς στο διάστημα στην Royal Society of London [28]. Οι John Michell και Robert Mallet, θεωρούνται θεμελιωτές της επιστήμης της σεισμολογίας. Ειδικότερα, ο John Michell στην δημοσίευση του [26] μετά τον σεισμό της Λισαβόνας (1755), υποστήριξε για πρώτη φορά την θεωρεία της διάδοσης των σεισμικών κινήσεων με τη μορφή κυμάτων. Ο Robert Mallet σύμφωνα με τον George Housner [17] καθιέρωσε διεθνώς τους όρους seismology και epicenter. Πραγματοποίησε επίσης πειράματα για τον καθορισμό της ταχύτητας διάδοσης των σεισμικών κινήσεων, διερεύνησε την κατανομή των σεισμικών γεγονότων και επινόησε την έννοια των isoseismal lines. Εικόνα 1.1: Σεισμική τράπεζα κατασκευασθείσα από τον John Milne, 1890 Οι John Milne, James Ewing και Thomas Gray ίδρυσαν το 1880 την Seismological 3

24 4 Σεισμοί και κατασκευές Κεφάλαιο 1 Εικόνα 1.2: Η πόλη του San Fransisco αμέσως μετά το σεισμό του 1906 Society of Japan. Ο John Milne σε συνεργασία με τον Ιάπωνα Fusakichi Omori έκαναν την πρώτη προσπάθεια κατασκευής σεισμικής τράπεζας για την διεξαγωγή πειραμάτων [33]. Η επιστήμη της Σεισμικής Μηχανικής, διαφοροποιείται από τη Σεισμολογία, διότι αντικείμενο μελέτης γι αυτήν αποτελεί ο σχεδιασμός των κατασκευών σε περιοχές με υψηλή σεισμική επικινδυνότητα. Η επιστήμη αυτή μπορεί να θεωρηθεί σχετικά νέα, καθώς η ανάπτυξη της ξεκίνησε στις αρχές του 20ου αιώνα, με την αύξηση της ανοικοδόμησης στις Ηνωμένες Πολιτείες και με την ώθηση να δίνεται ύστερα από τον ιστορικό σεισμό του San Fransisco στις 18 Απριλίου το Οι καταστροφές που προκλήθηκαν άμεσα από τη σεισμική αυτή κίνηση αλλά και από την πυρκαϊά που ακολούθησε υπολογίζεται πως ανέρχονται στα $, ενώ τα θύματα υπολογίζεται πως ήταν πάνω από Από τον τότε πληθυσμό των κατοίκων της πόλης, έμειναν άστεγοι. Μεγάλες ζημιές προκλήθηκαν και στις εγκαταστάσεις του Πανεπιστημίου του Stanford, οι οποίες ήταν κατασκευασμένες κυρίως από τοιχοποιία. Καταρρεύσεις αλλά και σοβαρές ζημιές προκλήθηκαν συγκεκριμένα στην Βιβλιοθήκη, το Μουσείο, το Γυμναστήριο και την Εκκλησία του Πανεπιστημίου. Οι σοβαρές συνέπειες του σεισμού του San Fransisco οδήγησαν την ακαδημαϊκή κοινότητα του Πανεπιστημίου του Stanford να ασχοληθεί με το πρόβλημα των σεισμών. Ο καθηγητής του τμήματος Φυσικής, F.J.Rogers, θέλοντας να μελετήσει τη φύση των σεισμικών φαινομένων, έκανε την δεύτερη προσπάθεια μετά τον John Milne για την κατασκευή σεισμικής τράπεζας στο τμήμα του Mechanical Engineering του Πανεπιστημίου του Stanford και μελέτησε τη συμπεριφορά εδαφών διαφοροποιώντας των βαθμό κορε-

25 Παρ. 1.1 Ιστορικά στοιχεία 5 Εικόνα 1.3: Η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου του Stanford, αμέσως μετά το σεισμό του 1906 σμού τους, με την επιβολή αρμονικών κινήσεων μεταβαλλόμενου εύρους και συχνότητας. Η εκ νέου ανοικοδόμηση του San Fransisco έγινε με την πρόβλεψη οριζοντίων φορτίων για να ληφθεί υπόψιν η επίδραση του ανέμου και παράλληλα των σεισμικών δράσεων. Οι φορτίσεις αυτές ήταν της τάξης των 30psf επιβαλλόμενες επί των επιφανειών των όψεων των κτιρίων [32]. Ακολούθησε ο σημαντικός σεισμός στην Messina της Ιταλίας το 1908, κατά τον οποίο η περιοχή της Messina και της Reggio Calabria καταστράφηκαν σχεδόν ολοσχερώς, ενώ ο αριθμός των θυμάτων υπολογίζεται στις Ο σεισμός ωστόσο που αναζωπύρωσε το ενδιαφέρον των επιστημόνων ήταν αυτός της Santa Barbara το 1925, οδηγώντας για πρώτη φορά στην εισαγωγή στον Uniform Building Code το έτος 1927, οριζοντίων σεισμικών δυνάμεων αναλόγων της μάζας του ταλαντούμενου κτιρίου. Εικόνα 1.4: Η διάταξη της σεισμικής τράπεζας του Πανεπιστημίου του Stanford

26 6 Σεισμοί και κατασκευές Κεφάλαιο 1 Εικόνα 1.5: Σεισμός της Messina, 1908 Ταυτοχρόνως, ο καθηγητής Lydik Jacobsen στο Πανεπιστήμιο του Stanford έστρεψε το ενδιαφέρον του στην κατασκευή μιας νέας σεισμικής τράπεζας, ενώ συνέχεια στη μελέτη των σεισμικών φαινομένων δόθηκε από τον γνωστό μηχανικό John Blume ο οποίος ξεκίνησε να φοιτά στο Πανεπιστήμιο του Stanford το Εκεί, ο John Blume, επικεντρώθηκε κυρίως στη μελέτη της απόκρισης κατασκευών σε σεισμικές κινήσεις, με ένα από τα πρώτα του αντικείμενα να είναι η κατασκευή ενός μοντέλου 15 ορόφου κτιρίου με συγκεντρωμένες μάζες στους ορόφους, το οποίο υποβλήθηκε σε δοκιμές στην σεισμική τράπεζα που κατασκευάστηκε από τον Lydik Jacobsen. Την περίοδο των πρώτον ετών ενασχόλησης του John Blume με το θέμα της Σεισμικής Μηχανικής συνέβη ένας ακόμη ιστορικός σεισμός, ο σεισμός του Long Beach (1933), ο οποίος οδήγησε στην καταστροφή πολλών κτιρίων μεταξύ των οποίων και πολλών δη- Εικόνα 1.6: Σεισμός Santa Barbara, 1925

27 Παρ. 1.1 Ιστορικά στοιχεία 7 Εικόνα 1.7: O John Blume στην σεισμική τράπεζα του Stanford μοσίων σχολείων, που ευτυχώς εκείνη τη στιγμή δεν λειτουργούσαν. Ως αποτέλεσμα των καταστροφών του σεισμού αυτού, κατά το έτος 1937 οι απαιτήσεις του αντισεισμικού κανονισμού αυξήθηκαν, επιβάλλοντας ως οριζόντια φορτία το 10% του βάρους τους, για κτίρια μικρότερα των τριών ορόφων, χωρίς φέροντα οργανισμό αποτελούμενο από πλαίσια και 6% του βάρους τους, για κτίρια μεγαλύτερου ύψους, με φέροντα οργανισμό αποτελούμενο από πλαίσια. Ο σεισμός του El Centro (Imperial Valley California) το 1940 είναι επίσης ιδιαίτερης ιστορικής αξίας, καθώς ήταν το πρώτο ισχυρό σεισμικό γεγονός που καταγράφηκε από σεισμογράφους. Τα όργανα που κατέγραψαν τον συγκεκριμένο σεισμό ήταν εγκατεστημένα στο εσωτερικό του κτιρίου του El Centro Terminal Substation. Το 1943 στην πόλη του Los Angeles αναγνωρίστηκε εμμέσως για πρώτη φορά η επιρ- Εικόνα 1.8: Σεισμός Long Beach, 1933

28 8 Σεισμοί και κατασκευές Κεφάλαιο 1 ροή των δυναμικών χαρακτηριστικών των κατασκευών στις σεισμικές δυνάμεις που δρούν επί αυτών, μέσω της σχέσης: όπου: C = 60 N C το επί τοις εκατό ποσοστό του βάρους που θα ασκηθεί ως οριζόντια δύναμη στη στάθμη του εξεταζόμενου ορόφου. Ν ο αριθμός των υπερκείμενων ορόφων, με μέγιστο αριθμό ορόφων τους 13. Το 1957 το όριο ύψους στο Los Angeles έπαψε να υπάρχει και το 1959 η παραπάνω σχέση τροποποιήθηκε ως εξής: όπου: C = 4.6S N + 0.9(S 8) S ο συνολικός αριθμός των ορόφων για κτίρια με περισσότερους από 13 ορόφους ή S = 13 για κτίρια με 13 ή λιγότερους ορόφους. Στην περιοχή του San Fransisco ωστόσο μέχρι και το έτος 1947 ο υπολογισμός των σεισμικών δυνάμεων γινόταν με τη χρήση συντελεστών μεταξύ του 8% του βάρους (για την περίπτωση μονώροφων κτιρίων) και 3.7% (για την περίπτωση κτιρίου 30 ορόφων). Το 1948 έγινε η σύσταση επιτροπής για το θέμα του καθορισμού των σεισμικών δυνάμεων, η οποία τελικώς πρότεινε τον υπολογισμό με τη χρήση της σχέσης: C = Κ Τ όπου: Κ =0.015 για κτίρια και για άλλου τύπου κατασκευές T η ιδιοπερίοδος της κατασκευής Τα ανώτατα και κατώτατα όρια τέθηκαν ως εξής: C max = 0.03 C max = 0.10 C min = 0.02 για κτίρια και, C min = 0.04 για άλλου τύπου κατασκευές. Για τον υπολογισμό των οριζοντίων φορτίων ο συντελεστής C εφαρμοζόταν επί του ιδίου βάρους της κατασκευής και του 25% των κινητών φορτίων για κτίρια κατοικιών ή 50% των ωφελίμων φορτίων για αποθηκευτικούς χώρους. Το 1956 στο San Fransisco υιοθετήθηκε μια παραλλαγή των συντελεστών:

29 Παρ. 1.1 Ιστορικά στοιχεία 9 Κ =0.02 για κτίρια και για άλλου τύπου κατασκευές Με τα ανώτατα και κατώτατα όρια να αλλάζουν ως εξής: C max = C max = 0.10 C min = για κτίρια και, C min = 0.04 για άλλου τύπου κατασκευές. Κατά το έτος 1957 η Seismology Committee of the Structural Engineers of California ανέλαβε τη δημιουργία κοινού κώδικα για όλες τις σεισμογενείς περιοχές των Ηνωμένων Πολιτειών, πράγμα το οποίο οδήγησε στη δημοσίευση του SEAOC Recommended Lateral Force Requirements, γνωστού και ως Blue Book το 1959, όπου για πρώτη φορά αναφέρθηκε η τριγωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων καθ ύψος των κατασκευών. Ο John Blume συνέβαλε σημαντικά τόσο στην μελέτη της ενδοτικής συμπεριφοράς των κτιρίων από οπλισμένο σκυρόδεμα όσο και στην εισαγωγή της για πρώτη φορά στον Uniform Building Code του Στον συγκεκριμένο κανονισμό συμπεριλήφθηκαν τα εξής: Διατάξεις σχετικές με τον σχεδιασμό ενδοτικών πλαισιωτών φορέων (Ductile Moment- Resisting SpaceFrames), Διατάξεις σχετικές με τον σχεδιασμό φερόντων οργανισμών με τοιχώματα δυσκαμψίας, υπό σεισμικές φορτίσεις (Earthquake Resisting Concrete Shear Walls and Braced Frames), Διατάξεις που προέβλεπαν την εγκατάσταση τουλάχιστον τριών σεισμογράφων σε κτίρια μεγάλου μεγέθους (Earthquake Recording Instrumentation). Σημαντικό μέρος της έρευνας αυτής του John Blume αλλά και των Nathan Newmark και Leo Corning παρουσιάζεται στο βιβλίο Design of Multistory Reinforced Concrete Buildings for Earthquake Motions [23] ενώ περαιτέρω μελέτη και πειράματα σχετικά με τη ενδοτικότητα έγιναν στη Νέα Ζηλανδία από το Πανεπιστήμιο του Canterbury και τους Robert Park και Thomas Paulay [29]. Ο αντισεισμικός σχεδιασμός των κατασκευών, ο βασιζόμενος στην ενδοτικότητα, όπως φάνηκε στους σεισμούς που ακολούθησαν, δεν έλυσε το πρόβλημα των καταστροφών και της απώλειας ανθρωπίνων ζωών. Το έτος 1971 ο σεισμός του San Fernando, οδήγησε στην κατάρρευση μεγάλου μέρους του Olive View Hospital, το οποίο είχε παραδοθεί προς χρήση μόλις 6 μήνες πριν τον σεισμό. Πολλές γέφυρες κατέρρευσαν επίσης στο συγκεκριμένο σεισμικό γεγονός. Δημιουργήθηκε λοιπόν η ανάγκη επανεξέτασης των αντισεισμικών κανονισμών και γίνεται η ίδρυση του Applied Technology Council που στόχο είχε την έρευνα αλλά και

30 10 Σεισμοί και κατασκευές Κεφάλαιο 1 Εικόνα 1.9: Σεισμός San Fernando, ανατροπή τμήματος του Olive View Hospital, 1971 την βελτίωση των κανονισμών που σχετίζονται με τις κατασκευές. Η έκδοση του ATC 3-06, Tentative Provisions For The Development Of Seismic Regulations For Buildings συμπεριλήφθηκε στον UBC του Τον σεισμό του San Fernando ακολούθησαν οι σεισμοί: Mexico City 1985 Whittier Narrows 1987 Loma Prietta 1989 Εικόνα 1.10: Σεισμός Northridge, κατάρρευση κτιρίου, 1994

31 Παρ. 1.1 Ιστορικά στοιχεία 11 Ο ακόμα πιο πρόσφατος σεισμός του Northridge το 1994 οδήγησε και αυτός πολλές σύγχρονες κατασκευές σε κατάρρευση, ενώ ταυτοχρόνως το σεισμικά μονωμένο με ελαστομερικά εφέδρανα με πυρήνα μολύβδου, USC University Hospital που απείχε μόλις 23 μίλια από το επίκεντρο του σεισμού είχε μηδενικές βλάβες [16]. Σαν φυσική εξέλιξη των παραπάνω, η σεισμική μόνωση έχοντας ήδη εφαρμοστεί αρκετές φορές από το τέλος της δεκαετίας του 60, συμπεριλαμβάνεται πλέον για πρώτη φορά στον Αμερικάνικο Κανονισμό ASCE 7-95 με το ειδικό κεφάλαιο Provisions for Seismically Isolated Structures το 1995.

32 12 Σεισμοί και κατασκευές Κεφάλαιο 1

33 2. Σεισμική μόνωση 2.1 Εξέλιξη της σεισμικής μόνωσης Η βασική ιδέα της σεισμικής μόνωσης μιας κατασκευής, είναι η ανεξαρτητοποίηση της κίνησης της από εκείνη του εδάφους θεμελιώσεως δια της μεταξύ τους παρεμβολής κατάλληλων διατάξεων ( Sesimic Isolators ). Εικόνα 2.1: Jacob Bechtold, 1907 και Johannes Calantarients, 1909 Tο 1907 o Γερμανικής καταγωγής (Munich, Germany) Jacob Bechtold, πρότεινε την έδραση των κατασκευών επί σφαιριδίων, όπως διατυπώνεται στο κείμενο του Αμερικάνικου Διπλώματος Ευρεσιτεχνίας [8] με τίτλο Earthquake-Proof Building. Το 1909 o Αγγλικής καταγωγής (Scarborough, England) ιατρός, Johannes A. Calantarients πρότεινε την παρεμβολή ενός στρώματος κοκκώδους υλικού μεταξύ της κατασκευής και του εδάφους όπως περιγράφεται στο Αμερικάνικο Δίπλωμα Ευρεσιτεχνίας [10] με τίτλο Building Construction to Resist the Action of Earthquakes. Η ωρίμανση των συνθηκών και συγκεκριμένα η εξέλιξη της τεχνολογίας των υλι- 13

34 14 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2 Εικόνα 2.2: Διάταξη Αλεξισεισμίου Συστήματος κών, η ανάπτυξη του θεωρητικού υποβάθρου και η συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας ευρέσεως μιας πιο δραστικής λύσης στο σεισμικό πρόβλημα, οδήγησε στην σχεδόν ταυτόχρονη ανάπτυξη πολλών συστημάτων σεισμικής μόνωσης στις διάφορες προηγμένες αντισεισμικά, περιοχές του κόσμου. Το 1969, Ελβετοί μηχανικοί, κατασκεύασαν το δημοτικό σχολείο Pestallozi των Σκοπίων και τοποθέτησαν στη θεμελίωση του, για την προστασία του από τους σεισμούς, εφέδρανα από φυσικό καουτσούκ χωρίς μεταλλικά ελάσματα. Η τεκμηρίωση, θεωρητική και πειραματική για το σύστημα αυτό, έγινε πολύ αργότερα στο Πανεπιστήμιο ETH της Ζυρίχης και στο Berkeley το Το 1972 στο Παγκόσμιο Συμπόσιο Αντισεισμικών Κατασκευών της FIP στην Τιφλίδα, της πρώην Σοβιετικής Ένωσης 1, ανακοινώθηκε το Αλεξισείσμιο Σύστημα από τον Δρ. Πολιτικό Μηχανικό και μετέπειτα καθηγητή της Στατικής των Κατασκευών του Πανεπιστημίου Πατρών, Αρίσταρχο Οικονόμου. Το Alexisismon κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας στην Ελλάδα το 1972 και στις Ηνωμένες Πολιτείες το 1979 [20], το 1981 [21] και το 1985 [22] ενώ είχε ήδη εφαρμοστεί σε πολυόροφα κτίρια, όπως το Δικαστικό Μέγαρο Αθηνών (Άρειος Πάγος), το Εμπορικό Κέντρο Πειραιά (Πύργος Πειραιά) και σε κτίρια κατοικιών, από το Είναι το πρώτο σύστημα που πέτυχε τη σεισμική μόνωση με χρήση αποκλειστικά ελαστικών στοιχείων δια του διαχωρισμού του δρόμου μεταφοράς κατακορύφων και οριζοντίων δυνάμεων στη θεμελίωση ( Separation of functions ). Το 1978 ο Νεοζηλανδός μηχανικός, William Robinson κατοχύρωσε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας στις Ηνωμένες Πολιτείες [30] τα ελαστομεταλλικά εφέδρανα με πυρήνα μολύβδου LRB (Lead Rubber Bearing). Το πρώτο κτίριο που κατασκευάστηκε με χρήση των εφεδράνων αυτών είναι το κτίριο William Clayton στην πολη Wellington της Νέας Ζηλανδίας. Το σύστημα αυτό, λόγω της απλότητας του βρήκε ευρεία εφαρμογή στην πε- 1 Symposium of the Federation Internationale de la Precontrainte, Tbilisi, USSR, September, 1972

35 Παρ. 2.1 Εξέλιξη της σεισμικής μόνωσης 15 Εικόνα 2.3: Δικαστικό Μέγαρο Αθηνών, και Εμπορικό Κέντρο Πειραιά ρίπτωση κατασκευών που σχεδιάζονται για σεισμούς μέτριας έντασης και γενικά εκεί που το πρόβλημα λυγισμού των εφεδράνων δεν είναι σημαντικό. Το 1978 ο Γαλλικής καταγωγής Gilles Delfosse παρουσίασε το σύστημα με τον διακριτικό τίτλο GAPEC [15]. Το σύστημα αυτό περιλαμβάνει τη χρήση ελαστομεταλλικών εφεδράνων, και έχει βρεί εφαρμογή σε ένα σχολείο της πόλης Lambesc, σε μία εγκατάσταση επεξεργασίας πυρηνικών αποβλήτων και σε τέσσερα κτίρια κατοικιών στη Γαλλία. Την ίδια περίοδο παρουσιάστηκε το επίσης γαλλικό σύστημα σεισμικής μόνωσης Electricite de France (EDF) στο οποίο γίνεται χρήση ελαστομεταλλικών εφεδράνων και εφεδράνων ολίσθησης με διεπιφάνειες ανοξείδωτου χάλυβα και κράματος χαλκού και μολύβδου. Το σύστημα αυτό εφαρμόστηκε για την προστασία των πυρηνικών αντιδρα- Εικόνα 2.4: Τοποθέτηση εφεδράνων LRB στη θεμελίωση του κτιρίου William Clayton (1984)

36 16 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2 Εικόνα 2.5: Σεισμικά μονωμένο, Cruas Nuclear Power Plant, France στήρων Cruas στη Γαλλία και Koeberg στη Νότιο Αφρική [14]. Το 1987 ο Δρ. Πολιτικός Μηχανικός Victor Zayas, κατοχύρωσε μέσω διπλώματος ευρεσιτεχνίας στις Ηνωμένες Πολιτίες [44] με τίτλο Earthquake Protective Column Support ένα νέο σύστημα που χρησιμοποιεί καμπύλα εφέδρανα ολίσθησης. Το σύστημα αυτό φέρει την διακριτική ονομασία Friction Pendulum System (FPS). Εχει εφαρμοστεί σε πολλές περιπτώσεις κτιριακών έργων και έργων γεφυροποιίας, ενώ το 2006 εξελίχθηκε με τη δημιουργία εφεδράνων με πολλές καμπύλες τριβόμενες επιφάνειες[43]. Το σύστημα Taisei Shake Suppression (TASS) είναι και αυτό βασισμένο στην τριβή με χρήση εφεδράνων PTFE και ελαστομεταλλικών εφεδράνων για την επαναφορά του φορέα στην αρχική θέση. Έχει εφαρμοστεί τόσο για την ενίσχυση υπαρχόντων κτιρίων, όσο και για τον σχεδιασμό νέων, κυρίως στην Ιαπωνία. Παράλληλα με την εξέλιξη των συστημάτων σεισμικής μόνωσης, ανάλογη εξέλιξη είχαν και οι αντισεισμικοί κανονισμοί. Ήδη από το 1995 με τον ASCE 7-95 καθορίστηκαν προδιαγραφές για την μελέτη σεισμικά μονωμένων κτιρίων ενώ η σεισμική μόνωση συμπεριλήφθηκε ως ανεξάρτητη μεθοδολογία αντισεισμικού σχεδιασμού κτιριακών έργων Εικόνα 2.6: Εφέδρανα με καμπύλες επιφάνειες τριβής

37 Παρ. 2.2 Εξέλιξη της σεισμικής μόνωσης 17 και έργων γεφυροποιίας και στον Ευρωκώδικα 8. Επειδή οι αντισεισμικοί κανονισμοί των χωρών με υψηλό σεισμικό κίνδυνο, διαφέρουν ως προς την αυστηρότητα και την πολυπλοκότητα τους, η σεισμική μόνωση βρήκε είτε ραγδαία εφαρμογή, όπως στην περίπτωση της Ιαπωνίας σε δομήματα κάθε μεγέθους και σπουδαιότητας, είτε περιορισμένη εφαρμογή όπως στην περίπτωση των ΗΠΑ όπου εφαρμόστηκε σε μεμονωμένα κτίρια μεγάλης σημασίας και γέφυρες. Η διαφοροποίηση στις απαιτήσεις για σχεδιασμό δομημάτων με σεισμική μόνωση στις δύο αυτές χώρες φαίνεται στη δημοσίευση [37]. Εκτός από τους κανονισμούς που διέπουν τον σχεδιασμό των σεισμικά μονωμένων κατασκευών, έχουν αναπτυχθεί και πρότυπα που αφορούν στην πιστοποίηση και τον έλεγχο των διαφόρων συσκευών (Anti-seismic devices) που χρησιμοποιούνται για την σεισμική μόνωση κατασκευών. Στο πρότυπο EN περιλαμβάνονται οι προδιαγραφές και οι απαιτήσεις για κάθε είδος Anti-seismic device, τόσο όσον αφορά στη διαδικασία κατασκευής, όσο και στη διαδικασία ελέγχου. Οι αντίστοιχες προδιαγραφές για τις ΗΠΑ περιλαμβάνονται στον ASCE 7. Εικόνα 2.7: Κτίριο στην πόλη Sendai της Ιαπωνίας, σεισμικά μονωμένο με το σύστημα TASS

38 18 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο Μείωση σεισμικής απόκρισης Η καταγραφή της κίνησης του εδάφους λόγω κάποιου σεισμικού γεγονότος γίνεται από επιταχυνσιογράφους, οι οποίοι αν υποθέσουμε πως είναι εγκατεστημένοι επί του εδάφους, καταγράφουν τις απόλυτες επιταχύνσεις αυτού. Ένα εργαλείο για την κατανόηση της φύσης των σεισμικών κινήσεων είναι το φάσμα αποκρίσεως. Σε αυτό γίνεται η απεικόνιση της μεγίστης τιμής ενός μεγέθους αποκρίσεως, όπως για παράδειγμα της απολύτου επιτάχυνσης, για μονοβάθμιους ταλαντωτές με διαφορετικές ιδιοπεριόδους υποβαλλόμενους στην ίδια εδαφική κίνηση. Η μορφή των φασμάτων αποκρίσεως απόλυτης επιτάχυνσης, σεισμογραφημάτων από διαφορετικά σεισμικά γεγονότα, έχει παρατηρηθεί πως είναι παραπλήσια. Συγκεκριμένα όπως φαίνεται για παράδειγμα στο σχήμα?? για μικρές τιμές ιδιοπεριόδων, η μέγιστη απόλυτη επιτάχυνση αποκτά ιδιαίτερα μεγάλες τιμές, ενώ για μεγάλες τιμές ιδιοπεριόδων η απόλυτη επιτάχυνση τείνει να μηδενιστεί. Η αποτελεσματικότητα της σεισμικής μόνωσης, βασιζόμενη στην παραπάνω παρατήρηση, έχει δύο βασικούς στόχους: Την αύξηση της τιμής της πρώτης ιδιοπεριόδου ώστε να βρεθεί στην περιοχή του φάσματος όπου οι απόλυτες επιταχύνσεις έχουν απομειωθεί σημαντικά Την εξάλειψη της συνεισφοράς των ανωτέρων ιδιομορφών, οι οποίες αντιστοιχούν σε μικρές ιδιοπεριόδους στις οποίες το φάσμα απολύτων επιταχύνσεων έχει μεγάλες τιμές Εικόνα 2.8: Φάσμα απόλυτης επιτάχυνσης El Centro 1940 Για την επίτευξη των παραπάνω, γίνεται η έδραση της κατασκευής επί στοιχείων μικρής δυσκαμψίας κατά τις δυο οριζόντιες διευθύνσεις, διατασσόμενων συνήθως σε ένα

39 Παρ. 2.2 Μείωση σεισμικής απόκρισης 19 επίπεδο που καλείται isolation interface. Γενικά οι συσκευές σεισμικής μόνωσης μπορεί να έχουν έντονα μη γραμμική συμπεριφορά, όπως συμβαίνει για παράδειγμα στην περίπτωση εφεδράνων ολίσθησης. Ωστόσο για την παρουσίαση μέσω των εξισώσεων κίνησης των ιδιοτήτων που κάνουν αποτελεσματική την λύση της σεισμικής μόνωσης, η θεώρηση γραμμικά ελαστικής συμπεριφοράς τόσο για την ανωδομή όσο και για τα εφέδρανα σεισμικής μόνωσης είναι αποδεκτή. Για τη δυναμική του ανάλυση, ο φέρον οργανισμός μιας κατασκευής, εξιδανικεύεται με N κατάλληλα επιλεγμένους δυναμικούς βαθμούς ελευθερίας (ΔΒΕ). Οι εξισώσεις κίνησης που αφορούν τον φορέα αυτόν για την περίπτωση εδαφικής κίνησης με γνωστή την επιτάχυνση του εδάφους ανά πάσα χρονική στιγμή είναι: όπου [K] N N {u(t)} N + [c] N N { u(t)} N + [m] N N { u(t)} N = = [m] N N {H } N u g (t) [m] N N {H } N w g (t) (2.1) {u(t)} N, { u(t)} N, { u(t)} N οι σχετικές με το έδαφος μεταθέσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις των ΔΒΕ της ανωδομής, [K] N N, [c] N N, [m] N N τα μητρώα Δυσκαμψίας, Απόσβεσης, Μάζας αντίστοιχα, μετά την στατική συμπύκνωση, u g (t), w g (t) οι οριζόντιες συνιστώσες της σεισμικής επιτάχυνσης του εδάφους, {H } N, {H } N, {H } N διανύσματα στήλες διαμορφωμένα ανάλογα με την διεύθυνση των ΔΒΕ. Έστω τώρα ότι εξετάζουμε την σεισμική κίνηση σε μία διέυθυνση, για παράδειγμα στην X G. Τότε το σύστημα των εξισώσεων 2.1, γίνεται: [K] N N {u(t)} N + [c] N N { u(t)} N + [m] N N { u(t)} N = [m] N N {H } N u g (t) = {s} N u g (t) (2.2) όπου {s} N = [m] N N {H } N, μητρώο στήλη με στοιχεία, σταθερούς πολλαπλασιαστές της συνάρτησης της σεισμικής επιτάχυνσης του εδάφους u g (t) καλούμενο και ώς μητρώο ενεργών σεισμικών δυνάμεων [12]. Το γινόμενο {s} N u g (t) εκφράζει την εξωτερική φόρτιση του συστήματος, η οποία μπορεί αυθαίρετα να επιμερισθεί ως εξής: {s} N u g (t) = {s } N u g (t) + {s } N u g (t) + + {s N } N u g (t) = {{s } N + {s } N + + {s N } N } u g (t)

40 20 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2 Εάν επομένως επιλεγούν Μ από τα Ν διανύσματα {s i } N ως σημαντικά αντιπροσωπευτικά της φόρτισης, τότε: M {s} N {s i } N (2.3) Από την επίλυση του προβλήματος των ιδιοτιμών για τα μητρώα [K] και [m] υπολογίζονται οι κυκλικές συχνότητες ω i και τα ιδιοδιανύσματα {Φ i } που ικανοποιούν τη σχέση: [K]{Φ i } N = ωi [m]{φ i } N (2.4) Δημιουργούμε το μητρώο [Φ] N M = [{Φ } {Φ } {Φ M } ] N M που έχει ως στήλες τα M ιδιοδιανύσματα {Φ i } N. Στη συνέχεια, επιλέγουμε να εκφράσουμε το δεύτερο μέλος της εξίσωσης 2.3 ως: i= M M {s i } N = [m] N N {Φ i } N Γ i i= i= = [m] N N {Φ } N Γ + [m] N N {Φ } N Γ + + [m] N N {Φ M } N Γ M Με πολλαπλασιασμό από αριστερά της παραπάνω σχέσης με κάθε ένα από τα {Φ i } T N και χρήση της ιδιότητας του ορθογωνισμού ως προς το μητρώο [m], προκύπτει: M {Φ } N {s i } N = {Φ } N[m] N N {Φ } N Γ i= M {Φ } N {s i } N = 0 + {Φ } N[m] N N {Φ } N Γ i= M {Φ M } N {s i } N = {Φ M } N[m] N N {Φ M } N Γ M i= Οπότε επιλύοντας τις παραπάνω σχέσεις ως προς Γ i έχουμε: Γ i = {Φ i} N M i= {s i} N {Φ i } N[m]{Φ i } N (2.5) και επειδή M i= {s i} N {s} N = [m] N N {H } N Γ i = {Φ i} N[m] N N {H } N {Φ i } N[m]{Φ i } N (2.6) Επομένως με τον υπολογισμό ενός ιδιοδιανύσματος {Φ i } N είναι δυνατή η εύρεση του συντελεστή Γ i και κατά συνέπεια ο υπολογισμός του μητρώου {s i } N = [m] N N {Φ i } N Γ i, το

41 Παρ. 2.3 Μείωση σεισμικής απόκρισης 21 οποίο είναι προφανώς ανεξάρτητο από τον τρόπο κανονικοποίησης των ιδιοδιανυσμάτων {Φ i } N και αποτελεί συγκρινόμενο με το {s} N, ένα μέτρο συμμετοχής της i ιδιομορφής, στην απόκριση της κατασκευής. Οι σεισμικά μονωμένες κατασκευές, λόγω της πολύ μικρής δυσκαμψίας των εφεδράνων μόνωσης σε σχέση με τη δυσκαμψία της κατασκευής, έχουν το πρόσθετο χαρακτηριστικό, η πρώτη ιδιομορφή τους ανά διεύθυνση να οφείλεται κυρίως στην παραμόρφωση των εφεδράνων. Συνεπώς εάν για παράδειγμα θεωρήσουμε πως οι ΔΒΕ της κατασκευής αφορούν μόνο την κίνηση κατά τον άξονα X G, τότε για τα στοιχεία της πρώτης ιδιομορφής έχουμε: {Φ } = Φ, Φ, Φ N, Όπου λ ένας συντελεστής κανονικοποίησης λ 1.0 (2.7) Η ισχύς της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών ως προς τη μάζα δηλαδή, {Φ i } T [m]{φ j } = 0 για i j ωστόσο, οδηγεί στην παρακάτω σχέση: m m {Φ } T 0.0 [m]{φ j } = λ m N = λ m m m N Φ,j Φ,j Φ N, = λ(m Φ,j + m Φ,j + + m N Φ N, ) = 0.0 Επομένως, ο συντελεστής Γ της πρώτης ιδιομορφής είναι: Γ = {Φ } T N[m] N N {H } N {Φ } T N[m] N N {Φ } N λ{ι} N[m] N N{Ι} N λ {Ι} N [m] N N {Ι} N ενώ ο πολλαπλασιαστικός συντελεστής {s } που εκφράζει τη συνεισφορά της πρώτης ιδιομορφής γίνεται: = 1 λ Φ,j Φ,j Φ N, {s } = Γ [m] N N {Φ } N 1 λ [m] N Nλ{Ι} N = [m] N N {H } N = {s} Παρατηρούμε, δηλαδή πως στην περίπτωση των σεισμικά μονωμένων κατασκευών, όσο η πρώτη ιδιομορφή τείνει στη μορφή της 2.7 τόσο η συνεισφορά της στο μητρώο σεισμικών ενεργών δυνάμεων μεγαλώνει, με την παράλληλη εξάλειψη της επιρροής των ανωτέρων ιδιομορφών όπως φαίνεται σχεδιαγραμματικά στο σχήμα 2.9.

42 22 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2 u,tot = N i=,iy i (t) u, =, Y (t) λόγω ης ιδιομορφής u, =, Y (t) λόγω ης ιδιομορφής u,n =, Y N (t) λόγω N ης ιδιομορφής Εικόνα 2.9: Επιρροή στην απόκριση των ανωτέρων ιδιομορφών 2.3 Συστήματα σεισμικής μόνωσης Ως σύστημα σεισμικής μόνωσης νοείται ο κατάλληλος συνδυασμός στοιχείων (Antiseismic Devices) με κατάλληλη τοποθέτηση τους σε κάτοψη στη βάση του κτιρίου. Λόγω της διαρκούς εξέλιξης των υλικών και των μηχανολογικών μεθόδων κατασκευής, τα συστήματα αυτά εξελίσσονται, συνήθως κρατώντας την αρχική βασική και με πατέντες προστατευμένη, ιδέα τους. Βασικός στόχος των σεισμικών μονωτήρων είναι να αποτρέψουν την εμφάνιση των σεισμικών δυνάμεων στη βάση του κτιρίου. Αυτό επιτυγχάνεται αξιοποιώντας, είτε την πολύ μικρή οριζόντια δυσκαμψία των αξονικά καταπονούμενων ελαστομεταλλικών εφεδράνων από Neoprene, είτε την μικρή οριζόντια αντίσταση λεπτής πλάκας PTFE που ολισθαίνει οριζόντια, μέ ή χωρίς λίπανση, σε πλάκα ανοξείδωτου χάλυβα.

43 Παρ. 2.3 Συστήματα σεισμικής μόνωσης Ελαστομεταλλικά εφέδρανα Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται εφέδρανα, τα οποία χρησιμοποιούνται για την ανάληψη των κατακορύφων φορτίων με την ταυτόχρονη εισαγωγή οριζοντίων δυνάμεων επαναφοράς κατά τη διάρκεια της σεισμικής κίνησης. Τρεις είναι οι βασικοί τύποι ελαστομεταλλικών εφεδράνων: Απλά ελαστομεταλλικά εφέδρανα Eλαστομεταλλικά εφέδρανα με πυρήνα μολύβδου (LRB) Ελαστομεταλλικά εφέδρανα υψηλής απόσβεσης (HDRB) Τα απλά ελαστομεταλλικά εφέδρανα κατασκευάζονται από επάλληλες στρώσεις ελαστομερούςχαλύβδινων ελασμάτων τα οποία συσσωματώνονται μέσω της διαδικασίας του βουλκανισμού. Η χρήση τέτοιων εφεδράνων ξεκίνησε σε έργα γεφυροποιίας για την ανάληψη μικρών οριζόντιων μετακινήσεων, λόγω θερμοκρασιακών συστολοδιαστολών. Η διατομή τέτοιων εφεδράνων σε κάτοψη είναι συνήθως ορθογωνική ή κυκλική. Εικόνα 2.10: Απλό ελαστομεταλλικό εφέδρανο (Mageba) Η ύπαρξη των χαλύβδινων ελασμάτων οδηγεί στην μεγάλη αύξηση της αξονικής δυσκαμψίας των εφεδράνων αυτών, ενώ η οριζόντια δυσκαμψία τους εξαρτάται από τον αριθμό των στρώσεων του ελαστομερούς και το πάχος τους. Το μέτρο διάτμησης του ελαστομερούς υλικού είναι της τάξης του 1.0 MPa. Τα ελαστομεταλλικά εφέδρανα με πυρήνα μολύβδου ή LRB (Lead Rubber Bearings) διαθέτουν όπως και τα προηγούμενα, επάλληλες στρώσεις ελαστομερούς-ελασμάτων χάλυβα, με την επιπλέον προσθήκη ενός συμπαγούς κυλίνδρου από μόλυβδο στο εσωτερικό τους. Έτσι, η μικρή οριζόντια δυσκαμψία λόγω του ελαστομερούς, συνδυάζεται με

44 24 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2 την ελαστοπλαστική συμπεριφορά του μολύβδου, δίνοντας την δυνατότητα αύξησης της απόσβεσης της σεισμικά μονωμένης κατασκευής. Η διατομή τους είναι συνήθως κυκλική, ενώ ο συντελεστής αποσβέσεως τέτοιων εφεδράνων είναι της τάξης του 20 30%. Εικόνα 2.11: Τομή ελαστομεταλλικού εφεδράνου με πυρήνα μολύβδου (Maurer) Τα ελαστομεταλλικά εφέδρανα υψηλής απόσβεσης, διαφοροποιούνται από τα απλά ελαστομεταλλικά εφέδρανα λόγω της σύνθεσης του ελαστομερούς τους η οποία προσφέρει αύξηση του συντελεστή απόσβεσης, από το 5% των απλών ελαστομεταλλικών εφεδράνων, μέχρι και στο 16%. Εικόνα 2.12: Τομή ελαστομεταλλικού εφεδράνου υψηλής απόσβεσης (Alga) Η σύνδεση των ελαστομεταλλικών εφεδράνων με τα στοιχεία του φέροντος οργανισμού της κατασκευής γίνεται είτε μέσω τριβής, είτε με τη χρήση αγκυρίων και μετωπικών πλακών που έχουν υποστεί βουλκανισμό με το ελαστομερές.

45 Παρ. 2.3 Συστήματα σεισμικής μόνωσης Εφέδρανα ολίσθησης Τα εφέδρανα ολίσθησης ξεκίνησαν να χρησιμοποιούνται ευρέως σε έργα γεφυροποιίας για την εξασφάλιση ελευθεριών μετάθεσης, για λόγους θερμοκρασιακών μεταβολών. Τα λεγόμενα Pot Bearings είναι τα κυρίως χρησιμοποιούμενα σε τέτοιες εφαρμογές καθώς, λόγω του περισφιγμένου ελαστομερικού μέρους τους έχουν πολύ μεγάλη κατακόρυφη δυσκαμψία ακόμα και σε μικρές τιμές των κατακορύφων φορτίων. Τα εφέδρανα αυτού του τύπου μπορεί να επιτρέπουν κίνηση είτε σε δύο οριζόντιες διευθύνσεις, είτε μόνο σε μία, με τη χρήση οδηγών, ενώ παράλληλα λόγω της ύπαρξης του ελαστομερικού τμήματος, επιτρέπεται και η ανάπτυξη στροφών γύρω από οριζόντιους άξονες. Εικόνα 2.13: Pot Bearings μίας και δύο διευθύνσεων (Canam) Τα υλικά που χρησιμοποιούνται στην περίπτωση των εφεδράνων ολίσθησης, είναι το Πολυτετραφθοροαιθυλένιο ή συντομογραφικά PTFE και ο ανωξείδωτος χάλυβας, τα οποία δημιουργούν μια διεπιφάνεια με ιδιαίτερα μικρό συντελεστή τριβής, της τάξης του 2% για αργές ταχύτητες ολίσθησης. Σε νέα πολυμερή υλικά με βελτιωμένες ιδιότητες, όπως για παράδειγμα το υλικό MSM της εταιρίας MAURER ο συντελεστής τριβής μπορεί να είναι μέχρι της τάξης του 0.5% [36]. Η εφαρμογή εφεδράνων ολίσθησης για τους σκοπούς της σεισμικής προστασίας των κατασκευών, γίνεται: με τη χρήση επίπεδων εφεδράνων ολίσθησης ή με την χρήση καμπύλων εφεδράνων ολίσθησης που ταυτοχρόνως παίζουν τον ρόλο οριζοντίου ελατηρίου λόγω της γεωμετρίας τους. Bασικό πλεονέκτημα των συστημάτων σεισμικής μόνωσης που βασίζονται στη χρήση επίπεδων εφεδράνων ολίσθησης έναντι προγενεστέρων συστημάτων, είναι η δυνατότητα διαφοροποίησης των θέσεων κατακόρυφης στήριξης της ανωδομής και των θέσεων από

46 26 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2 Εικόνα 2.14: Πολυμερές υλικό MSM (Maurer) όπου θα ασκούνται οι δυνάμεις επαναφοράς του κτιρίου στην αρχική του θέση. Οι λόγοι που καθιστούν σημαντική αυτή τη δυνατότητα, είναι: η δυνατότητα ανάπτυξης μεγάλων μετακινήσεων χωρίς κίνδυνο λυγισμού, όπως στην περίπτωση των ελαστομεταλλικών εφεδράνων, η δυνατότητα ρύθμισης της δυσκαμψίας του συστήματος μόνωσης, ανεξάρτητα από το μέγεθος των αξονικών δυνάμεων των κατακορύφων στοιχείων στήριξης. Τέτοια συστήματα είναι το Alexisismon, Earthquake Guarding System και το και τo TASS, Taisei Shake Suppresion. Τα στοιχεία που περιλαμβάνονται στο Alexisismon είναι: εφέδρανα ολίσθησης για την ανάληψη των κατακορύφων δράσεων της κατασκευής, εφέδρανα που ασκούν δυνάμεις επαναφοράς και δεν φέρουν αξονικά (κατακόρυφα) φορτία, διατηρώντας την ιδιότητα τους αυτή για μεγάλες σχετικές με το έδαφος μετακινήσεις μέχρι και της τάξης του 1.0 μέτρου. μεταλλικές ράβδοι σύνδεσης Ανωδομής-Θεμελίωσης με προκαθορισμένο όριο θραύσης (Fuse-Restraints), για την περίπτωση μικρών οριζοντίων φορτίων όπως ο άνεμος. Το σύστημα Taisei Shake Suppression (TASS), βασίζεται επίσης στη χρήση εφεδράνων ολίσθησης για την ανάληψη των κατακορύφων φορτίων και ανεξαρτήτων ελαστομεταλλικών εφεδράνων για την εισαγωγή δυνάμεων επαναφοράς. Η διαφορά των δύο συστημάτων έγκειται στο ότι τα ελαστομεταλλικά εφέδρανα που χρησιμοποιούνται στο σύστημα TASS, καταπονούνται εφελκυστικά στην περίπτωση μεγάλων σχετικών μετακινήσεων εδάφους-δίσκου σεισμικής μόνωσης.

47 Παρ. 2.3 Συστήματα σεισμικής μόνωσης 27 Τα εφέδρανα ολίσθησης τύπου εκκρεμούς έχουν την ιδιότητα να παρέχουν ταυτόχρονα κατακόρυφη στήριξη και οριζόντιο ελατήριο τυχούσης διεύθυνσης, λόγω της σφαιρικής μορφής της διεπιφάνειας ολίσθησης. Η δυσκαμψία στην οριζόντια διεύθυνση για τα εφέδρανα αυτού του τύπου, είναι ανάλογη της γενικώς μεταβαλλόμενης κατά τη διάρκεια της σεισμικής κίνησης, κατακόρυφης δύναμης που φέρουν. Ξεκίνησαν να παράγονται από την εταιρία Earthquake Protection Systems του εφευρέτη τους Δρ. Victor Zayas με την επωνυμία Friction Pendulum System. Ωστόσο, εφέδρανα αυτού του τύπου κατασκευάζονται πλέον και από άλλες εταιρίες, με διάφορες επωνυμίες όπως Friction Isolation Pendulum της εταιρίας FIP και Sliding Isolation Pendulum της εταιρίας MAURER.

48 28 Σεισμική μόνωση Κεφάλαιο 2

49 3. Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Ο αντισεισμικός σχεδιασμός μιας κατασκευής προϋποθέτει τον υπολογισμό της εντατικής και παραμορφωσιακής κατάστασης του φέροντος οργανισμού για τον σεισμό σχεδιασμού, και στη συνέχεια την διαστασιολόγηση του. Για τον υπολογισμό αυτόν που γίνεται με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή, είναι απαραίτητη η δημιουργία ενός μαθηματικού μοντέλου (εξιδανικεύματος) της δυσκαμψίας, της κατανομής των ποσοτήτων ύλης, της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής, των φορτίσεων, σταθερών ή μεταβλητών με τον χρόνο, των ιδιοτήτων του υλικού κλπ.. Οι παραπάνω εξιδανικεύσεις ενσωματώνονται στις εξισώσεις του διαφορικού συστήματος δευτέρας τάξεως που περιγράφει την κίνηση της του φέροντος οργανισμού της κατασκευής. Λόγω του ότι ο σεισμός που θα καταπονήσει οριακά την κατασκευή, δεν είναι εκ των προτέρων γνωστός, καθορίζεται συνήθως από τους αντισεισμικούς κανονισμούς μέσω φάσματος αποκρίσεως, που είναι περιβάλλουσα φασμάτων για πολλές καταγραφές, συμβατές με τα χαρακτηριστικά της περιοχής του έργου. Για την περίπτωση της αναλύσεως ειδικού τύπου κατασκευών, συνήθως μεγάλης σπουδαιότητας, είναι απαραίτητη η χρησιμοποίηση πραγματικών ή και τεχνητών επταχυνσιογραφημάτων συμβατών κατά το δυνατόν με το φάσμα αποκρίσεως του σεισμού της περιοχής και με διάρκεια τέτοια που να αντιπροσωπεύει την καταστροφικότητα του αναμενόμενου σεισμικού γεγονότος. Αυτά τα επιταχυνσιογραφήματα βρίσκουν εφαρμογή στην ανάλυση κατασκευών με σεισμική μόνωση, λόγω του ότι η έντονα μη γραμμική συμπεριφορά των σχετικών εξιδανικευμάτων δεν μπορεί ικανοποιητικά να αντιμετωπιστεί με τις απλουστευτικές μεθόδους της Ισοδύναμης Στατικής και Δυναμικής Φασματικής ανάλυσης. Με την επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων υπολογίζονται τελικώς, τόσο οι παράμετροι των μεταθέσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων σχετικώς με το κινούμενο έδαφος, όσο και η εντατική κατάσταση στο τυχαίο σημείο του φέροντος οργανισμού. Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του φορέα που εξετάζεται, η δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας μπορεί να είναι γραμμική ή μη γραμμική. Για την περίπτωση της γραμμικής δυναμικής ανάλυσης χρονοϊστορίας μπορεί να ακολουθηθούν δύο βασικές μέθοδοι: 29

50 30 Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 3 Δυναμική Ανάλυση χρονοϊστορίας, με ανάλυση σε ιδιομορφές Δυναμική Ανάλυση χρονοϊστορίας, με άμεση αριθμητική ολοκλήρωση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων κίνησης Στην περίπτωση σεισμικά μονωμένων κατασκευών, η μείωση των σεισμικών δυνάμεων, επιτρέπει τον σχεδιασμό με την θεώρηση ελαστικής συμπεριφοράς της ανωδομής, ωστόσο η μη γραμμική συμπεριφορά του συστήματος σεισμικής μόνωσης οδηγεί, σε πολλές περιπτώσεις στην ανάγκη για μη γραμμική ανάλυση χρονοϊστορίας. Στην περίπτωση αυτή το πλεονέκτημα της χρήσης των ιδιομορφών δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αφού το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων κίνησης, μεταβάλλεται συνεχώς. Έτσι η εύρεση της απόκρισης τέτοιων κατασκευών απαιτεί την άμεση ολοκλήρωση του συστήματος των εξισώσεων κίνησης. Ακολουθεί η περιγραφή, τόσο των γραμμικών ελαστικών εξιδανικεύσεων που αφορούν της ανωδομή ενός έργου, όσο και των μη γραμμικών δυναμικών χαρακτηριστικών των επίπεδων εφεδράνων ολίσθησης από PTFE. 3.1 Ανωδομή Στην περίπτωση κτιριακών έργων, η υλοποίηση της σεισμικής μόνωσης γίνεται κατά κανόνα με τoν διαχωρισμό της ανωδομής από την θεμελίωση πάνω από τη στάθμη του εδάφους θεμελιώσεως. Η στάθμη αυτή καλείται επίπεδο σεισμικής μόνωσης ή isolation interface, και εντός της διατάσσονται οι σεισμικοί μονωτήρες και τα εφέδρανα που ασκούν τις απαιτούμενες δυνάμεις επαναφοράς. Ακριβώς πάνω από το επίπεδο σεισμικής μόνωσης, κατασκευάζεται συνήθως ένας δίσκος μεγάλης αξονικής δυσκαμψίας από οπλισμένο σκυρόδεμα που καλείται δίσκος σεισμικής μόνωσης ή isolation disk. Η εξιδανίκευση της ανωδομής της κατασκευής μπορεί να γίνει με χρήση μελών γραμμικής, επιφανειακής ή και χωρικής παραμόρφωσης, και την δημιουργία αρχικά του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας της, το οποίο συνδέει τις εξωτερικές δυνάμεις στη διεύθυνση οποιουδήποτε βαθμού ελευθερίας, με τις μετακινήσεις όλων των ελεύθερων κόμβων Δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας Η εκτέλεση της δυναμικής ανάλυσης απαιτεί την εξιδανίκευση της κατανομής της μάζας επί του ιστού του φέροντος οργανισμού. Παρότι η πραγματικότητα είναι πως η μάζα είναι κατανεμημένη σε όλον τον όγκο της κατασκευής, μπορεί υπό κάποιες προϋποθέσεις, για λόγους μείωσης του υπολογιστικού

51 Παρ. 3.1 Ανωδομή 31 κόστους, να θεωρηθεί συγκεντρωμένη σε κατάλληλα επιλεγμένους κόμβους. Οι κόμβοι αυτοί θεωρούνται αντιπροσωπευτικοί, με την έννοια πως η εύρεση των μεταθέσεων γι αυτούς, επιτρέπει την εύρεση των μεταθέσεων για το σύνολο του φορέα. Στην περίπτωση των κτιριακών έργων, η μεγάλη δυσκαμψία των δίσκων κάθε στάθμης, επιτρέπει την εύρεση μιας κινηματικής σχέσης για τα σημεία που βρίσκονται επί αυτών. Έτσι, η συνολική μάζα κάθε στάθμης μπορεί να θεωρηθεί συγκεντρωμένη σε ένα κόμβο κάθε ορόφου, για τον οποίο διατυπώνονται δύο εξισώσεις κίνησης στις οριζόντιες διευθύνσεις και μία εξίσωσης στροφικής ταλάντωσης γύρω από κατακόρυφο άξονα. Αυτές οι τρεις δυνατότητες μετάθεσης και στροφής κάθε χαρακτηριστικού κόμβου μιας στάθμης, καλούνται δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας (dynamic degrees of freedom) Στατική συμπύκνωση Από το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής, για την εκτέλεση των δυναμικών υπολογισμών, υπολογίζεται το καλούμενο συμπυκνωμένο μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής (condensed stiffness matrix) το οποίο συνδέει τις δυνάμεις επί των προαναφερθέντων δυναμικών βαθμών ελευθερίας, με τις μεταθέσεις σε αυτούς, μέσω της διαδικασίας της στατικής συμπύκνωσης (static condensation). Εικόνα 3.1: Ενδεικτικός στατικός φορέας επί διατάξεων σεισμικής μόνωσης

52 32 Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 3 Η διαδικασία αυτή υλοποιείται πρακτικά με την μαθηματική επεξεργασία του ήδη υπολογισθέντως συνολικού μητρώου δυσκαμψίας, μέσω αναδιατάξεων των γραμμών και στηλών του και κατάλληλου συνδυασμού των μεθόδων απαλοιφής Gauss και Crout για την εξοικονόμηση υπολογιστικού κόστους. Για την ορθή σύνθεση του συμπυκνωμένου μητρώου δυσκαμψίας της ανωδομής, σημαντική είναι η κατάλληλη εξιδανίκευση των συνθηκών σύνδεσης στις θέσεις όπου υπάρχουν στοιχεία σεισμικής μόνωσης. Για τον σκοπό αυτό για τους έξι βαθμούς ελευθερίας των κόμβων των στηρίξεων, ορίζονται: Δεσμοί, όταν δεν επιτρέπεται η σχετική μετάθεση ή στροφή Ελευθερίες μετάθεσης στροφής, όταν η αντίσταση σε τέτοια κίνηση είναι αμελητέα ή όταν κατά τη διεύθυνση αυτή θα εισάγονται μη γραμμικές δυνάμεις μέσω μοντέλου υστέρησης Μεταφορικά Στροφικά ελατήρια κατάλληλης δυσκαμψίας, όταν η σχέση δύναμηςμετάθεσης ή ροπής στροφής είναι γραμμική 3.2 Στοιχεία σεισμικής μόνωσης Γενικά Ο δίσκος σεισμικής μόνωσης ενός κτιριακού έργου δέχεται κατά τη διάρκεια της σεισμικής κίνησης δυνάμεις, τόσο από τον ιστό της ανωδομής, όσο και από τα εφέδρανα που το συνδέουν με το έδαφος. Κατά τη διάρκεια της επίλυσης με το πρόγραμμα Η/Υ που συντάχθηκε, οι δυνάμεις που ασκούνται από τα εφέδρανα στον δίσκο, λαμβάνονται υπόψιν με δύο πιθανούς τρόπους, ανάλογα με το είδος των εφεδράνων. Έφέδρανα Γραμμικά Ελαστικά Η δυσκαμψία τους λαμβάνεται απευθείας στο συμπυκνωμένο μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής. Μη Γραμμικά Εφέδρανα Οι δυνάμεις που ασκούνται από αυτού του είδους τα εφέδρανα υπολογίζονται μέσω καταλλήλων μοντέλων υστέρησης, ανάλογα το είδος του εφεδράνου σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης και μεταφέρονται μετά από τον μετασχηματισμό τους στο κέντρο μάζας του δίσκου.

53 Παρ. 3.2 Στοιχεία σεισμικής μόνωσης Μοντέλο υστέρησης Bouc Wen Στην περίπτωση εφεδράνων που παρουσιάζουν μη γραμμικότητα, ζητούμενες κατά τη διάρκεια της ολοκλήρωσης είναι οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα άκρα τους σε κάθε χρονική στιγμή, καθώς αυτές είναι που υπεισέρχονται στις εξισώσεις κίνησης του όλου φορέα. Οι δυνάμεις αυτές εξαρτώνται από την ιστορία των μεταθέσεων ή και των ταχυτήτων των άκρων τους, και ο υπολογισμός τους απαιτεί τη χρήση μοντέλων υστέρησης ή διαδικασιών επάλληλων αλλαγών της δυσκαμψίας μέσω λογικών κριτηρίων [46]. Τέτοιου είδους εφέδρανα είναι τα εφέδρανα με πυρήνα μολύβδου (LRB) και διάφοροι τύποι εφεδράνων με επίπεδες ή καμπύλες επιφάνειες ολίσθησης. Το μοντέλο υστέρησης που χρησιμοποιήθηκε στα πλαίσια της εργασίας αυτής, είναι το λεγόμενο Bouc Wen Model, το οποίο προτάθηκε αρχικά από τον R. Bouc [9] το 1971 και στη συνέχεια παρουσιάστηκε από τον Y. Wen [39] το 1976 στη στοχαστική μελέτη συστημάτων με δυνάμεις υστέρησης. Έχει χρησιμοποιηθεί για την εξιδανίκευση εφεδράνων τριβής ή εφεδράνων με πυρήνα μολύβδου, τόσο από ερευνητικά λογισμικά ανάλυσης κατασκευών όπως το 3D-BASIS που αναπτύχθηκε από το Πανεπιστήμιο του Buffalo [27] όσο και από εμπορικά λογισμικά όπως το SAP2000 και το GT STRUDL. Tο μοντέλο Bouc Wen επιτυγχάνει την αναλυτική έκφραση των δυνάμεων υστέρησης, συναρτήσει των σχετικών μετακινήσεων και ταχυτήτων των άκρων του εφεδράνου. To 1986 προτάθηκε από τους Y. Park, Y. Wen και A. Ang [42] μια γενίκευση του μοντέλου υστέρησης για την περίπτωση κίνησης σε δύο διαστάσεις. Σύμφωνα με τη γενίκευση αυτή, προκύπτει ότι οι συνιστώσες στις δύο οριζόντιες διευθύνσεις της δύναμης που αναπτύσσεται μεταξύ του άνω και κάτω άκρου ενός στοιχείου που ακολουθεί το μοντέλο Bouc Wen είναι: όπου F y,x και F y,z οι δυνάμεις διαρροής, F x (t) = α x F y,x u y,x u x (t) + (1 α x )F y,x z x (t) (3.1) F z (t) = α z F y,z u y,z u z (t) + (1 α z )F y,z z z (t) (3.2) u y,x και u y,z οι σχετικές μεταθέσεις των άκρων του μη γραμμικού εφεδράνου κατά τη διαρροή α x και α z τα ποσοστά της εναπομένουσας δυσκαμψίας μετά τη διαρροή z x (t) και z z (t) αδιάστατες μεταβλητές σχετιζόμενες με την υστέρηση Η απεικόνιση των παραπάνω παραμέτρων του μοντέλου υστέρησης παρουσιάζονται για κάθε οριζόντια διεύθυνση κίνησης, στο σχήμα 3.2.

54 34 Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 3 Εικόνα 3.2: Διαγράμματα Δύναμης-Μετάθεσης, παράμετροι του μοντέλου Bouc Wen Οι αδιάστατες μεταβλητές z x (t) και z z (t) διέπονται από το παρακάτω συζευγμένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων z x (t)u y,x z z (t)u y,z = A u x (t) u z (t) z x(γ sign( u x (t)z x (t)) + β) z x z z (γ sign( u x (t)z x (t)) + β) z x z z (γ sign( u z (t)z z (t)) + β) u x (t) zz(γ sign( u z (t)z z (t)) + β) u z (t) (3.3) Η περιγραφή της υστερετικής συμπεριφοράς για ένα Anti-seismic device, εξιδανικευμένο με το μοντέλο Bouc Wen, απαιτεί την σωστή επιλογή των παραμέτρων του μοντέλου. Για εφέδρανα σεισμικής μόνωσης ή αποσβεστήρες με περίπλοκη μη γραμμική συμπεριφορά, η λεγόμενη ταυτοποίηση των παραμέτρων του μοντέλου από πειραματικές καταγραφές μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους, όπως με τη χρήση γενετικών αλγορίθμων [1]. Στην περίπτωση των βρόγχων υστέρησης εφεδράνων ολίσθησης η ταυτοποίηση των παραμέτρων αυτών είναι σαφέστερη λόγω της απλούστερης μορφής τους. 3.3 Επίπεδα Εφέδρανα τριβής Δυνάμεις τριβής Έστω η διάταξη ενός επίπεδου εφεδράνου τριβής που φαίνεται στο σχήμα 3.3, το οποίο αποτελείται από δύο τμήματα. Το πρώτο τμήμα, που είναι προσαρμοσμένο στην θεμελίωση, αποτελείται από μια μετωπική πλάκα από δομικό χάλυβα, ένα ελαστομεταλ-

55 Παρ. 3.3 Επίπεδα Εφέδρανα τριβής 35 λικό εφέδρανο και μια στρώση πολυμερούς υλικού ολίσθησης, συνήθως PTFE, στο άνω μέρος του εφεδράνου. Το δεύτερο τμήμα, που είναι προσαρμοσμένο στην ανωδομή, αποτελείται από μια πλάκα δομικού χάλυβα για την σύνδεση με το οπλισμένο σκυρόδεμα και μια δεύτερη πλάκα ανοξείδωτου χάλυβα, επί του οποίου ολισθαίνει η επιφάνεια του PTFE. Εικόνα 3.3: Επίπεδο εφέδρανο ολίσθησης Στην περίπτωση εφεδράνων που επιτρέπουν την κίνηση σε δύο οριζόντιες διευθύνσεις, το διάνυσμα της δύναμης της τριβής F f έχει σε κάθε χρονική στιγμή της ολίσθησης τη διεύθυνση της σχετικής ταχύτητας των δύο τριβόμενων επιφανειών, και μέτρο ίσο με το γινόμενο του συντελεστή τριβής μ s επί την κατακόρυφη δύναμη W, κάθετα στην επιφάνεια ολίσθησης: F f (t) = μ s (t)w(t) (3.4) Για την ακριβή εξιδανίκευση των δυνάμεων τριβής, είναι σημαντική, τόσο η μελέτη των παραμέτρων που μπορούν να επηρεάζουν τον συντελεστή τριβής κατά τη διάρκεια της κίνησης, όσο και ο υπολογισμός των μεταβολών των αξονικών δυνάμεων στις θέσεις των εφεδράνων τριβής Συντελεστής τριβής Η ιδιότητες ολίσθησης μεταξύ επιφανειών PTFE και ανοξείδωτου χάλυβα μελετήθηκαν εκτεταμένα στο Πανεπιστήμιο του Buffalo [24] [4] [2] [5]. Συνοπτικά, ο συντελεστής τριβής εξαρτάται από:

56 36 Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 3 τo είδος των τριβόμενων υλικών, τη σχετική ταχύτητα των δύο τριβόμενων επιφανειών, την αναπτυσσόμενη πίεση στην επιφάνεια ολίσθησης. Όσον αφορά την επιρροή της σχετικής ταχύτητας των δύο τριβόμενων επιφανειών, τα μοντέλα που έχουν χρησιμοποιηθεί για τα εφέδρανα ολίσθησης, στο πρόγραμμα που συντάχθηκε στα πλαίσια της εργασίας αυτής είναι τα: Constant friction Coulomb model Velocity dependent friction model Κατά την εισαγωγή των δεδομένων για κάθε εφέδρανο ολίσθησης, καθορίζεται το μοντέλο τριβής που ακολουθεί. Έτσι, αν το εφέδρανο είναι τύπου Coulomb, ο συντελεστής τριβής του επιλέγεται από τον χρήστη και παραμένει σταθερός κατά τη διάρκεια της επίλυσης. Για την περίπτωση του δεύτερου μοντέλου τριβής, το οποίο προτάθηκε από τους Constantinou, Mokha και Reinhorn [24] ο συντελεστής τριβής ολίσθησης αυξάνεται με την αύξηση της ταχύτητας ολίσθησης, μέχρι να φτάσει ένα άνω όριο. Σύμφωνα με τα πειραματικά δεδομένα ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως για ένα εφέδρανο που εξιδανικεύεται με τους κόμβους i επί του εδάφους και j επί του δίσκου σεισμικής μόνωσης, μπορεί σε κάθε χρονική στιγμή t, να περιγραφεί ικανοποιητικά από τη σχέση: όπου μ s (t) = f max Dfe α U(t) (3.5) f max το άνω όριο του συντελεστή τριβής για μεγάλες ταχύτητες, Df η διαφορά μεταξύ μέγιστου f max και ελάχιστου f min συντελεστή τριβής, U(t) = ( u i,x (t) u j,x (t)) + ( u i,z (t) u j,z (t)) η ταχύτητα ολίσθησης, α συντελεστής πειραματικά προσδιοριζόμενος που κυμαίνεται στο εύρος sec/in για την περίπτωση επιφάνειας ολίσθησης PTFE-ανοξείδωτου χάλυβα. Στoν κώδικα που αναπτύχθηκε, ο συντελεστής τριβής υπολογίζεται εκ νέου κάθε φορά που απαιτείται ο υπολογισμός των δυνάμεων τριβής, συγκεκριμένα τέσσερις φορές σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης της μεθόδου Runge Kutta. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται μέσω της συνάρτησης UpdateFlatSliderData. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ δύο επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή για μεγάλο χρονικό διάστημα, μπορεί να αποκτήσει αρκετά μεγάλη τιμή σε σχέση με αυτόν μετά την πρώτη αποκόλληση. Το φαινόμενο αυτό (breakaway friction) για την περίπτωση

57 Παρ. 3.3 Επίπεδα Εφέδρανα τριβής 37 διεπιφάνειας PTFE-ανοξείδωτου χάλυβα παρουσιάσθηκε και ποσοτικοποιήθηκε πειραματικά από τους Constantinou, Mokha και Reinhorn [24]. Έτσι, έως ότου επέλθει η πρώτη ολίσθηση του εφεδράνου που εξετάζεται, ο συντελεστής στατικής τριβής του, πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή b ως εξής: μ s (t) = b(f max Df) (3.6) Όπου ο συντελεστής b εξαρτάται από: το είδος του PTFE την πίεση στην επιφάνεια επαφής PTFE-χάλυβα τη διεύθυνση της ολίσθησης σε σχέση με τη διεύθυνση των ινών του πολυμερούς Οι τιμές του συντελεστή b που βρέθηκαν πειραματικά, συναρτήσει των ανωτέρω παραμέτρων, κυμαίνονται μεταξύ του 1.3 και 4.4. Επισημαίνεται επίσης, πως μία πρότερη ολίσθηση του PTFE επί της επιφανείας του χάλυβα οδηγεί σε δραστική μείωση του συντελεστή αυτού, καθώς γίνεται πλήρωση σε κάποιο βαθμό των ανωμαλιών της επιφάνειας του ανοξείδωτου χάλυβα με PTFE Παράμετροι μοντέλου Bouc Wen Το μοντέλο υστέρησης Bouc Wen, που στη γενική μορφή του περιγράφηκε προηγουμένως, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξιδανίκευση των δυνάμεων τριβής μεταξύ ολισθαίνουσων επιφανειών, με την υιοθέτηση των κατάλληλων παραμέτρων. Γνωρίζοντας την μορφή των βρόγχων δύναμης-μετάθεσης για την περίπτωση τριβόμενων επιφανειών αλλά και με την επεξήγηση των παραμέτρων του μοντέλου Bouc Wen στο σχήμα 3.2, καταλήγουμε στο ότι οι συντελεστές α x και α z των εξισώσεων 3.1 και 3.2 είναι μηδενικοί, αφού μετά την έναρξη της ολίσθησης, για σταθερή αξονική δύναμη και σταθερό συντελεστή τριβής, η δύναμη της τριβής παραμένει σταθερή. Επομένως στην περίπτωση που η ολίσθηση συμβαίνει σε δύο διευθύνσεις, δηλαδή εντός ενός, συνήθως, οριζοντίου επιπέδου, οι συνιστώσες της δύναμης τριβής γράφονται ως εξής: F x (t) = F y,x (t)z x (t) (3.7) F z (t) = F y,z (t)z z (t) (3.8) Ως δυνάμεις διαρροής F y,x και F y,z, ορίζονται οι δυνάμεις πέρα των οποίων λαμβάνει χώρα η ολίσθηση. Είναι μεταβαλλόμενες με το χρόνο καθώς δίνονται ως το γινόμενο του τρέχοντος συντελεστή τριβής επί την τρέχουσα τιμή της αξονικής δύναμης. F y,x = F y,z = μ s (t)w(t) (3.9)

58 38 Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 3 Εικόνα 3.4: Σχέση Δύναμης-Μετάθεσης για επίπεδο εφέδρανο Neoprene-Teflon-Stainless Steel Όσον αφορά τους συντελεστές A, β και γ του συστήματος διαφορικών εξισώσεων 3.3 που διέπουν τους αδιάστατους όρους z x z z, κάθε εφεδράνου τριβής, μετά από επεξεργασία πειραματικών αποτελεσμάτων προτάθηκε από τους M. Constantinou, A. Mokha, A. Reinhorn [24] ότι Α = β + γ = 1 (3.10) και συγκεκριμένα β = 0.1 και γ = 0.9 (3.11) όταν : Σημειώνεται πως η εμφάνιση ολίσθησης σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, συμβαίνει z(t) = z x(t) + z z(t) = 1.0 (3.12) Συνθήκες στήριξης της ανωδομής Οι συνθήκες στήριξης της ανωδομής στις θέσεις των εφεδράνων πρέπει να προσδιορισθούν κατάλληλα ανάλογα με τον τύπο του εφεδράνου που υπάρχει στη θέση αυτή. Έτσι για την περίπτωση των επίπεδων εφεδράνων ολίσθησης, αναφερόμενοι στους βαθμούς ελευθερίας του σχήματος 3.5, έχουμε: u x, u z : ελευθερίες μετάθεσης καθώς στις διευθύνσεις αυτές ασκούνται οι δυνάμεις του μοντέλου Bouc Wen u y : δεσμός μετάθεσης καθώς η αξονική δυσκαμψία του εφεδράνου neoprene υπό τα κατακόρυφα φορτία της ανωδομής είναι πολύ μεγάλη

59 Παρ. 3.3 Επίπεδα Εφέδρανα τριβής 39 θ x, θ z : στροφικά ελατήρια κατάλληλης δυσκαμψίας, ανάλογα με τη γεωμετρία και το υλικό του εφεδράνου neoprene θ y : ελευθερία στροφής Εικόνα 3.5: Βαθμοί ελευθερίας στη θέσης στήριξης επί ενός στοιχείου σεισμικής μόνωσης

60 40 Εξιδανίκευση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 3

61 4. Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης 4.1 Εξισώσεις κίνησης Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που διέπει κάθε χρονική στιγμή την κίνηση του φορέα είναι: [K] N N {u(t)} N + [c] N N { u(t)} N + [m] N N { u(t)} N + {F b } N = = [m] N N {H } N u g (t) [m] N N {H } N w g (t) (4.1) όπου: {u(t)} N, { u(t)} N, { u(t)} N οι σχετικές με το έδαφος μεταθέσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις των ΔΒΕ της ανωδομής, [K] N N, [c] N N, [m] N N τα σταθερά κατά τη διάρκεια της ολοκλήρωσης μητρώα Δυσκαμψίας, Απόσβεσης, Μάζας αντίστοιχα, {F b } N οι δυνάμεις που ασκούνται στους ΔΒΕ από τα μη γραμμικά εφέδρανα, u g (t), w g (t) οι σεισμικές επιταχύνσεις του εδάφους στις δύο οριζόντιες διευθύνσεις, {H } N, {H } N ΔΒΕ. διανύσματα στήλες διαμορφωμένα ανάλογα με την διεύθυνση των Για λόγους απλοποίησης θέτουμε: επομένως η 4.1 γίνεται: { u g (t)} N = {H } N u g (t) + {H } N w g (t) (4.2) [K] N N {u(t)} N + [c] N N { u(t)} N + [m] N N { u(t)} N + {F b } N = [m] N N { u g (t)} N (4.3) Λύνοντας την 4.3 ως προς τις σχετικές με το έδαφος επιταχύνσεις έχουμε: { u(t)} = [m] N N [K] N N {u(t)} N + [c] N N { u(t)} N + {F b } N { u g (t)} N 41

62 42 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4 Το παραπάνω σύστημα των Ν διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως, είναι δυνατόν να γραφεί σαν ένα σύστημα 2Ν διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως με άγνωστες συναρτήσεις τις { u(t)} και {u(t)} N. d { u(t)} dt d {u(t)} dt = [m] N N [K] N N {u(t)} N + [c] N N { u(t)} N + {F b } N { u g (t)} N = { u(t)} d dt { u(t)} {u(t)} N όπου: [m] N N[c] N N [A] N N = { u(t)} = [A] N N {u(t)} [I] N N N [m] N N[K] N N [0] N N { u g (t)} {0} N N N [m] {0} N N{F b } N (4.4) το οποίο όντας πλέον στην μορφή { y} = [A]{y} + {B} μπορεί να επιλυθεί με τη χρήση της μεθόδου αριθμητικής ολοκληρώσεως Runge Kutta 4 ης τάξεως. 4.2 Δυνάμεις από εφέδρανα τύπου Bouc Wen Οι δυνάμεις που ασκούνται επί του δίσκου σεισμικής μόνωσης από μη γραμμικά εφέδρανα τύπου Bouc Wen, που παραπάνω συμβολίστηκαν ως {F b }, αποτελούνται από ένα γραμμικό και ένα μη γραμμικό τμήμα. Στο γραμμικό τμήμα περιλαμβάνονται δυνάμεις που είναι ανάλογες των σχετικών μεταθέσεων των άκρων του εφεδράνου ή και των σχετικών ταχυτήτων στην περίπτωση που υπάρχει και όρος απόσβεσης. Στο μη γραμμικό τμήμα περιλαμβάνεται το μέρος των δυνάμεων που οφείλεται στις αδιάστατες μεταβλητές z x και z z. Έτσι οι δυνάμεις αυτές, οι οποίες εμφανίζονται στο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων κίνησης της κατασκευής, διαχωρίζονται ως εξής: {F b } N = {F b } N,linear + {F b } N,nonlinear (4.5) (4.6) και υπολογίζονται σύμφωνα με τη σχέση 4.2. Έτσι στο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που καλούμαστε να επιλύσουμε, συμπεριλαμβάνονται και οι διαφορικές εξισώσεις που διέπουν τις z x και z z για κάθε ένα από τα εφέδρανα τύπου Bouc Wen της κατασκευής.

63 Παρ. 4.2 Δυνάμεις από εφέδρανα τύπου Bouc Wen 43 Λύνοντας τις εξισώσεις του συστήματος 3.3 ως προς τα z x (t) και z z (t), για μια κατασκευή με m μη γραμμικά εφέδρανα τύπου Bouc Wen, το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων γίνεται: d { u(t)} dt {u(t)} d dt d dt z,x (t) z,z (t) z m,x (t) z m,z (t) Εξισώσεις Κίνησης { u(t)} { u g (t)} [m] {F b } = [A] {u(t)} { } { } N Εξισώσεις εφεδράνου 1 u,x (t) u = A,y,x z,x (γ sign( u,x (t)z,x (t)) + β ) u,z (t) z,x z,z (γ sign( u,x (t)z,x (t)) + β ) u,y,z Εξισώσεις εφεδράνου m u m,x (t) u = A m,y,x z m,x(γ m sign( u m,x (t)z m,x (t)) + β m ) m u m,z (t) z m,x z m,z (γ m sign( u m,x (t)z m,x (t)) + β m ) u m,y,z z,x z,z (γ sign( u,z (t)z,z (t)) + β ) z,z (γ sign( u,z (t)z,z (t)) + β ) u,x (t) u,y,x u,z (t) u,y,z z m,x z m,z (γ m sign( u m,z (t)z m,z (t)) + β m ) z m,z(γ m sign( u m,z (t)z m,z (t)) + β m ) u m,x (t) u m,y,x u m,z (t) u m,y,z Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.1, κάθε εφέδρανο, συνδέεται από τη μία στον κόμβο αρχής i με τη θεμελίωση και από την άλλη στον κόμβο τέλους j με τον δίσκο σεισμικής μόνωσης. Οι απόλυτες μετακινήσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις του κόμβου i λόγω της μεγάλης ακαμψίας της θεμελίωσης μπορεί να θεωρηθεί πως ταυτίζονται με αυτές του εδάφους, ενώ οι αντίστοιχες απόλυτες μετακινήσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις του κόμβου j, με τη θεώρηση διαφραγματικής λειτουργίας του δίσκου σεισμικής μόνωσης, μπορούν να Εικόνα 4.1: Βαθμοί ελευθερίας των εφεδράνων, που σχετίζονται με τις δυνάμεις Bouc Wen

64 44 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4 εκφραστούν με γεωμετρικό μετασχηματισμό των αντίστοιχων μεγεθών στον κόμβο όπου θεωρείται συγκεντρωμένη η ποσότητα ύλης του δίσκου. Εικόνα 4.2: Σχετική θέση στοιχείου σεισμικής μόνωσης, ως προς το Κ.Μ. του δίσκου σεισμικής μόνωσης Έτσι στη θέση του στοιχείου σεισμικής μόνωσης i, του σχήματος 4.2 οι δύο οριζόντιες μετακινήσεις και η στροφή γύρω από κατακόρυφο μπορούν να βρεθούν συναρτήσει των αντιστοίχων μεγεθών του κέντρου μάζας μέσω του μετασχηματισμού: u i,x (t) 1 0 (z ID z i ) u ID,x (t) u i,z (t) = 0 1 (x ID x i ) w ID,z (t) θ i,y (t) θ ID,y (t) Αντιστοίχως ο μετασχηματισμός αυτός εφαρμόζεται και στην περίπτωση των ταχυτήτων.

65 Παρ. 4.3 Δυνάμεις κάθετες στη διεπιφάνεια επαφής, επιπέδων εφεδράνων ολίσθησης Δυνάμεις κάθετες στη διεπιφάνεια επαφής, επιπέδων εφεδράνων ολίσθησης Σε ένα σεισμικά μονωμένο κτίριο, οι κατακόρυφες αντιδράσεις στη θέση έδρασής του, επί του i επιπέδου εφεδράνου ολίσθησης είναι: W i,g λόγω των κατακορύφων φορτίων βαρύτητας W i,eqv (t) λόγω κατακόρυφης σεισμικής κίνησης του εδάφους θεμελιώσεως W i,eqh (t) λόγω οριζόντιας σεισμικής κίνησης του εδάφους θεμελιώσεως W i,fr (t) λόγω των δυνάμεων τριβής στις θέσεις των διεπιφανειών των εφεδράνων ολίσθησης Επομένως, η συνολική κατακόρυφη αντίδραση W i (t) σε κάθε χρονική στιγμή είναι: W i (t) = W i,g + W i,eqv (t) + W i,eqh (t) + W i,fr (t) (4.7) Οι κατακόρυφες δυνάμεις W i,g είναι σταθερές, και υπολογίζονται από την ανάλυση του φορέα στο χώρο για τα κατακόρυφα φορτία του. Ο υπολογισμός αυτός, μπορεί να είναι μια γραμμική ελαστική ανάλυση, στην περίπτωση που η γεωμετρία του φορέα, το μέγεθος των κατακόρυφων φορτίων και η συμπεριφορά των διεπιφανειών ολίσθησης είναι τέτοια, που στις θέσεις αυτές να μην συμβεί ολίσθηση. Μπορεί όμως να είναι και μια μη γραμμική ανάλυση γεωμετρίας στην περίπτωση που ενεργοποιηθεί ο μηχανισμός ολίσθησης, ενός ή περισσοτέρων εφεδράνων. Αυτού του είδους οι αρχικές εντατικές καταστάσεις μπορούν να υπολογισθούν σήμερα με την επίλυση μη γραμμικών προσομοιωμάτων και τη χρήση Η/Υ. Υπάρχει όμως πάντα και η δυνατότητα, οι θέσεις των εφεδράνων ολίσθησης και η σύνδεση μεταξύ τους μέσω του δίσκου σεισμικής μόνωσης να είναι τέτοια που αυτού του είδους οι παρασιτικές εντατικές καταστάσεις, να είναι τόσο μικρές ώστε να μπορούν να παραλείπονται. Λόγω της σεισμικής κίνησης του εδάφους (δύο οριζόντιες και μία κατακόρυφη συνιστώσα), μπορούν με επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων κίνησης σε κάθε χρονική στιγμή να υπολογισθούν οι κάθετες στις διεπιφάνειες των εφεδράνων, δυνάμεις. Επειδή όμως υπάρχουν στις θέσεις των πλακών του κτιρίου, οιονεί απαραμορφώσιμοι αξονικά δίσκοι, και τα υποστυλώματα έχουν μεγάλη αξονική δυσκαμψία σε σχέση με την καμπτική τους, ο υπολογισμός της απόκρισης για τις κτιριακές κατασκευές, γίνεται με την υιοθέτηση, δύο οριζόντιων μεταθετικών δυναμικών βαθμών ελευθερίας και ενός κατακόρυφου στροφικού, παραλείποντας από τις εξισώσεις κίνησης τους όρους:

66 46 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4 μάζα των δίσκων επί την κατακόρυφη απόλυτη επιτάχυνση τους στροφική ροπή αδράνειας των δίσκων γύρω από τους δυο οριζόντιους άξονες, επί τις αντίστοιχες απόλυτες στροφικές επιταχύνσεις τους Οι κατακόρυφες δυνάμεις W i,eqv (t) στη διεπιφάνεια των εφεδράνων λόγω της κατακόρυφης εδαφικής επιτάχυνσης v g (t), βρίσκονται επομένως με επαρκή ακρίβεια ως: W i,eqv (t) = v g (t) W i,g g (4.8) Οι κατακόρυφες δυνάμεις {W Eqh (t)} m στην περίπτωση της απόκρισης λόγω των οριζοντίων συνιστωσών της εδαφικής επιτάχυνσης, στη διεπιφάνεια των m εφεδράνων ολίσθησης μπορούν να υπολογισθούν μέσω των απόλυτων επιταχύνσεων των N δυναμικών βαθμών ελευθερίας, ως εξής: όπου, {W Eqh (t)} m = [N In ] m N [m] N N { u(t)} N + { u g (t)} N (4.9) { u(t)} N + { u g (t)} N οι απόλυτες επιταχύνσεις των δυναμικών βαθμών ελευθερίας [m] N N το μητρώο μάζας της κατασκευής [N In ] m N μητρώο που συνδέει τις αδρανειακές δυνάμεις [m] N N { u(t)} N +{ u g (t)} N με τις m κατακόρυφες αντιδράσεις στις στηρίξεις Το μητρώο [N In ] m N βρίσκεται μέσω μίας ανεξάρτητης γραμμικής ελαστικής ανάλυσης του φορέα. Κάθε μία από τις N στήλες του, αποτελείται από τις αντιδράσεις στα m εφέδρανα λόγω φόρτισης με μοναδιαία δύναμη ή ροπή στη διεύθυνση του αντίστοιχου δυναμικού βαθμού ελευθερίας. Δεδομένου ότι οι δυνάμεις τριβής θα λογιστούν ξεχωριστά, αναφορικά με τη συμβολή τους στις αξονικές δυνάμεις στις διεπιφάνειες των εφεδράνων ολίσθησης, για τον υπολογισμό του μητρώου [N In ] m N, τίθενται ελευθερίες μετάθεσης κατά X G και Ζ G στις θέσεις αυτές. Οι κατακόρυφες δυνάμεις W i,fr (t) που οφείλονται στις δυνάμεις τριβής που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια των επιπέδων εφεδράνων ολίσθησης κατά τη διάρκεια της απόκρισης, μπορούν να υπολογισθούν ως: όπου, {W Fr (t)} m = [N Fr ] m m {F} m (4.10) {F} m οι δυνάμεις τριβής που αναπτύσσονται στα m τον αριθμό εφέδρανα [N Fr ] m m μητρώο που συνδέει τις δυνάμεις τριβής {F} m με τις m τον αριθμό κατακόρυφες αντιδράσεις στις στηρίξεις

67 Παρ. 4.4 Επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων 47 Εικόνα 4.3: Παραμορφωμένος φορέας τη χρονική στιγμή t=t 4.4 Επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων Η αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων αποτελεί ένα σημαντικό εργαλείο για την μελέτη της απόκρισης κατασκευών που υπόκειται στην εδαφική κίνηση, αφού η αναλυτική επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει το πρόβλημα αυτό είναι ανέφικτη. Η βασική ιδέα που επιτρέπει την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση ΣΔΕ, είναι η έκφραση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης n ως ένα σύστημα n συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης πράγμα που εφαρμόστηκε στην περίπτωση της 4.4, όπου το σύστημα των N διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως γράφτηκε ως σύστημα 2N διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως. Το πρόβλημα που μας αφορά ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων αρχικών τιμών (initial value problems), αφού αφορά την εύρεση της λύσεως του συστήματος διαφορικών εξισώσεων, με δεδομένες τις τιμές των αγνώστων συναρτήσεων (μετακινήσεων και στροφών των ΔΒΕ), για μια χρονική στιγμή t = t. Η απλούστερη μορφή τέτοιων αριθμητικών μεθόδων είναι η μέθοδος του Euler που έχει τη μορφή: y(t + Δt) = y(t) + Δty(t) (4.11) και στην οποία όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η τιμή της άγνωστης συνάρτησης

68 48 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4 y την χρονική στιγμή t = t + Δt βρίσκεται με υπολογισμό της κλίσης της συνάρτησης y στην χρονική στιγμή t = t και γραμμική προσέγγιση με την κλίση αυτή της y(t + Δt). Εικόνα 4.4: Εύρεση του y(t + Δt) με την μέθοδο Euler Η μέθοδος αυτή, ωστόσο, δεν χρησιμοποιείται σε πρακτικά προβλήματα λόγω της μικρής της ακρίβειας και της εύκολης εμφάνισης ασταθειών σε σχέση με άλλες μεθόδους. Παρόλα αυτά, η μέθοδος του Euler αποτελεί την βάση για όλες τις υπόλοιπες μεθόδους, αφού τελικά όλες ακολουθούν το σκεπτικό της προσαύξησης της τιμής της άγνωστης συναρτήσεως κατά την τιμή κάποιας παραγώγου (που μπορεί να βρίσκεται με περίπλοκο τρόπο) επί το βήμα ολοκληρώσεως. Μια οικογένεια μεθόδων αριθμητικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων, αποτελούν οι μέθοδοι Runge Kutta, οι οποίες αναπτύχθηκαν στα τέλη του 19 ου αιώνα, από τους Γερμανούς C. Runge και M. Kutta. Η συχνότερα χρησιμοποιούμενη μέθοδος αυτής της ομάδας μεθόδων, είναι η Runge Kutta 4 ης τάξεως, η οποία είναι μια μη επαναληπτική μέθοδος (explicit method) καθώς με δεδομένες τις τιμές των αγνώστων συναρτήσεων στην αρχή του βήματος, προσδιορίζονται απ ευθείας στις τιμές στο τέλος του βήματος. Έστω διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ή σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της μορφής: y(t) = f(t, y(t)) (4.12) με γνωστές τις αρχικές συνθήκες για κάποια χρονική στιγμή y(t ) = y. Τότε, σύμφωνα με τη Runge Kutta 4 ης τάξεως, η εύρεση της τιμής των αγνώστων

69 Παρ. 4.4 Επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων 49 συναρτήσεων σε μια χρονική στιγμή t+δt γίνεται μέσω της σχέσης: Όπου οι συντελεστές k, k, k, k είναι: k = Δt f(t, y(t)), k = Δt f(t + t, y(t) + k ), k = Δt f(t + t, y(t) + k ), k = Δt f(t + Δt, y(t) + k ) y(t + Δt) = y(t) (k + 2k + 2k + k ) (4.13) Στο σχήμα 4.5 φαίνεται η προσέγγιση της πραγματικής τιμής y exact (t + Δt) της άγνωστης συνάρτησης, με τον υπολογισμό της κλίσης της συναρτήσεως στον χρόνο t = t για την εύρεση του k, στον χρόνο t = t+ t για την εύρεση του k. για την εύρεση του k και k και στον χρόνο t = t + Δt

70 50 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4 Εικόνα 4.5: Εύρεση του y(t + Δt) με την μέθοδο Runge Kutta 4 ης τάξεως Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει την κίνηση του σεισμικά μονωμένου φορέα, και τις αδιάστατες μεταβλητές z x, z z του μοντέλου Bouc Wen 4.2 έχει ως άγνωστη συνάρτηση το παρακάτω μητρώο στήλη: { u(t)} N {u(t)} N z,x (t) {y(t)} N+ m = z,z (t) z m,x (t) z m,z (t) N+ m (4.14) Ενώ η αντίστοιχη συνάρτηση f(t, {y(t)}) που δέχεται στο όρισμα της το παραπάνω μητρώο στήλη είναι:

71 Παρ. 4.4 Επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων 51 f(t, {y(t)}) = A A m u,x (t) u,y,x u,z (t) u,y,z u m,x (t) u m,y,x u m,z (t) u m,y,z [m] N N [c] N N [m] N N [K] N N { u(t)} [I] N N [ ] N N {u(t)} { u g (t)} { } [m] {F b } { } z,x (γ sign( u,x (t)z,x (t)) + β ) z,x z,z (γ sign( u,z (t)z,z (t)) + β ) z,x z,z (γ sign( u,x (t)z,x (t)) + β ) z,z (γ sign( u,z (t)z,z (t)) + β ) z m,x(γ m sign( u m,x (t)z m,x (t)) + β m ) z m,x z m,z (γ m sign( u m,x (t)z m,x (t)) + β m ) u,x (t) u,y,x u,z (t) u,y,z z m,x z m,z (γ m sign( u m,z (t)z m,z (t)) + β m ) z m,z(γ m sign( u m,z (t)z m,z (t)) + β m ) Παρατηρούμε πως στην μορφή αυτή μπορεί να επιλυθεί με την μέθοδο Runge Kutta οπότε οι άγνωστες συναρτήσεις σε incremental μορφή είναι οι εξής: u m,x (t) u m,y,x u m,z (t) u m,y,z (4.15) N+ m {y(t+δt)} N+ m = {y(t)} N+ m {k } N+ m + 2{k } N+ m + 2{k } N+ m + {k } N+ m N+ m (4.16) όπου: {k } N+ m = Δt f(t, {y(t)}) {k } N+ m = Δt f(t + t, {y(t)} + {k } ) {k } N+ m = Δt f(t + t, {y(t)} + {k } ) {k } N+ m = Δt f(t + Δt, {y(t)} + {k }) Μεταβαλλόμενο βήμα ολοκληρώσεως Τα ζεύγη των διαφορικών εξισώσεων του μοντέλου Bouc Wen για την περίπτωση που περιγράφουν το φαινόμενο της τριβής μεταξύ δύο επιφανειών, λόγω της απότομης μετάβασης στην κατάσταση ολίσθησης, μπορεί να εμφανίσουν αστάθειες στην αριθμητική επίλυση τους. Αυτό το φαινόμενο είναι εντονότερο όσο πιο κατακόρυφος είναι ο κλάδος του διαγράμματος Δύναμης Μετάθεσης στην φάση που οι δύο επιφάνειες είναι ακόμη συνδεδεμένες, καθώς η μετάβαση στην φάση της ολίσθησης είναι πιο απότομη. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού, της επίλυσης των λεγομένων stiff ζευγών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, έχει προταθεί από τον Satish Nagarajaiah [27] η χρήση μιας semi-implicit μορφής της μεθόδου Runge Kutta. Ωστόσο, η μείωση του βήματος ολοκληρώσεως σε μια explicit μέθοδο, όπως αυτή που χρησιμοποιήθηκε για τους σκοπούς της εργασίας αυτής, μπορεί να έχει εξίσου καλά αποτελέσματα. Η αύξηση της ακρίβειας ολοκληρώσεως, περιορίζοντας ταυτόχρονα το υπολογιστικό κόστος, στην περίπτωση της μεθόδου ολοκλήρωσης Runge Kutta, μπορεί να γίνει με την προσαρμογή του βήματος ολοκληρώσεως. Αυτού του είδους οι μέθοδοι ονομάζονται

72 52 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4 Adaptive Runge Kutta Methods και χρησιμοποιούν μια επαναληπτική διαδικασία σταδιακής μείωσης του βήματος ολοκληρώσεως μέχρι την επίτευξη της επιθυμητής ακρίβειας. Γνωρίζοντας πως η δημιουργία των ασταθειών του μοντέλου Bouc Wen δημιουργείται κατά την μετάβαση από την κατάσταση ολίσθησης στην κατάσταση επανακόλλησης και το αντίθετο, μπορούμε να ορίσουμε ως κριτήριο μείωσης του βήματος ολοκληρώσεως την μείωση της σχετικής ταχύτητας του δίσκου με το έδαφος, η οποία δίνεται από τη σχέση: u disk = u disk,x + u disk,z (4.17) Επομένως όταν η σχετική ταχύτητα δίσκου σεισμικής μόνωσης-εδάφους τείνει να μηδενιστεί, το βήμα μειώνεται δραστικά αφού πρόκειται να γίνει μετάβαση στην κατάσταση επανακόλλησης. Η μεταβολή αυτή του βήματος συναρτήσει της ταχύτητας του δίσκου φαίνεται παρακάτω: Η αναλυτική σχέση που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο του βήμα- Εικόνα 4.6: Μεταβολή του βήματος ολοκλήρωσης συναρτήσει της σχετικής ταχύτητας δίσκου-εδάφους τος είναι η εξής: Δt( u disk ) = Δt max + e u disk α (Δt min Δt max ) (4.18) όπου: Δt το υπολογιζόμενο βήμα ολοκλήρωσης, για το επόμενο βήμα Runge Kutta Δt max το επιθυμητό βήμα ολοκλήρωσης κατά την ολίσθηση Δt min το επιθυμητό βήμα ολοκλήρωσης στην κατάσταση επανακόλλησης u disk η σχετική με το έδαφος, ταχύτητα του δίσκου σεισμικής μόνωσης στο τέλος του προηγούμενου βήματος

73 Παρ. 4.4 Επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων 53 α συντελεστής για τον έλεγχο του ρυθμού αλλαγής του βήματος, από το βήμα ολίσθησης, στο βήμα επανακόλλησης Η αποτελεσματικότητα του κριτηρίου αυτού, οφείλεται στης ύπαρξη του δίσκου σεισμικής μόνωσης, ο οποίος συμβιβάζει την κίνηση όλων των εφεδράνων, με αποτέλεσμα η μετάβαση από την κατάσταση ολίσθησης στην επανακόλληση να γίνεται σχεδόν ταυτόχρονα για όλα τα εφέδρανα ολίσθησης.

74 54 Επίλυση κατασκευών με επίπεδα εφέδρανα ολίσθησης Κεφάλαιο 4

75 5. Ανάλυση χρονοϊστορίας 26-ορόφου κτιρίου Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η περίπτωση πραγματικού κτιρίου 1 26 ορόφων, ύψους μέτρων, με βάρος ΜΝ. Παρουσιάζονται αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα αναλύσεων που έγιναν για τον σεισμό του 1940 στο El Centro (Imperial Valley), με τη βοήθεια ειδικού λογισμικού αντιμετώπισης κατασκευών με σεισμική μόνωση που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Εικόνα 5.1: Εμπορικό κέντρο Πειραιά Η εξιδανίκευση της δυσκαμψίας του φέροντος οργανισμού, έγινε με χρήση μελών γραμμικής παραμόρφωσης για τη δημιουργία χωρικού εξιδανικεύματος. Το εξιδανίκευμα περιλαμβάνει 5017 γραμμικά μέλη και 2739 κομβους με βαθμούς ελευθερίας. Το κτίριο, που είναι στην κατηγορία του το πρώτο σεισμικά μονωμένο κτίριο στον κόσμο, κατασκευάστηκε εξ αρχής με καθολική έδραση επί ελαστομεταλλικών εφεδράνων ενώ για την ανάληψη μικρών οριζοντίων δυνάμεων λόγω ανεμοπιέσεων και σεισμών μικρής έντασης, ο δίσκος σεισμικής μόνωσης συνδέεται με την θεμελίωση μέσω 1 Εμπορικό Κέντρο Πειραιά. Μελέτη Δρ. Πολιτικoύ Μηχανικού Αρίσταρχου Σ. Οικονόμου,