4. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ

Transcript

1 4 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να βρούμε ολοκληρώματα της κίνησης χωρίς να λύσομε το δυναμικό πρόβλημα Βρίσκομε δηλαδή σχέσεις οι οποίες ισχύουν για την πραγματική κίνηση και είναι της μορφής F ( q, q, t) c = σταθερό (4) Μια τέτοια έκφραση είναι αυτή που σχετίζεται με τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας ή κάποιας συνιστώσας της ορμής κτλ Η ύπαρξη συμμετρίας στο δυναμικό σύστημα οδηγεί σε διατήρηση κάποιας ποσότητας κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος Το αντίστροφο δεν συμβαίνει, δηλαδή υπάρχουν διατηρούμενες ποσότητες που δεν σχετίζονται με συμμετρίες Οι πιο σημαντικές τέτοιες περιπτώσεις όπου έχομε διατηρούμενες ποσότητες χωρίς να υπάρχουν αντίστοιχες συμμετρίες, είναι στη θεωρία πεδίων όπου είναι πεδία που έχουν λύσεις σολιτόνια, τέτοια πεδία περιγράφονται με την εξίσωση se-godo ή την εξίσωση των Koteweg-de Ves Μια απλή περίπτωση διατήρησης που προέρχεται από συμμετρία είναι η εξής, έστω ότι η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται από κάποια συγκεκριμένη συντεταγμένη έστω την q, ενώ μπορεί να περιέχει την αντίστοιχη ταχύτητα q Η συντεταγμένη αυτή λέγεται κυκλική ή αγνοήσιμη Μερικοί λένε κυκλική αυτήν που δεν υπάρχει στην κινητική ενέργεια και αγνοήσιμη αυτήν που δεν υπάρχει στη λαγκρανζιανή Χρησιμοποιείται και ο όρος κινοσθενική (kosthec) αντί του όρου αγνοήσιμη Αν έχομε αγνοήσιμη μεταβλητή, τότε λέμε ότι το σύστημα έχει μια συμμετρία και εννοούμε ότι η λαγκρανζιανή δεν μεταβάλλεται κατά μετατόπιση ως προς αυτή τη μεταβλητή Ορίζομε ως γενικευμένη ορμή που σχετίζεται με μια συντεταγμένη q την ποσότητα p L (4) q Αυτή λέγεται και κανονική ορμή ή συζυγής ορμή Αν έχομε λαγκρανζιανό σύστημα τότε ισχύει για την συντεταγμένη q d L L t q q d (43) L Αφού το L( qqt,, ) δεν εξαρτάται από την q προφανώς q άρα d L dp L, p σταθερό (44) dt q dt q

2 Αφού ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης του Lagage, η ποσότητα διατηρείται κατά τη διάρκεια της πραγματικής κίνησης Η τιμή της εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες Αν έχομε φορτισμένο σωμάτιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που ούτε το διανυσματικό ούτε το βαθμωτό δυναμικό εξαρτώνται από (έστω) τη συντεταγμένη x, τότε διατηρείται η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή p x e A σταθερά (45) x q x Μπορεί να δειχτεί ότι ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους είναι για τη συγκεκριμένη περίπτωση που δεν υπάρχει η εξάρτηση από το x, η συνιστώσα της ορμής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στην κατεύθυνση x Στην περίπτωση που έχομε μόνο βαθμωτό δυναμικό που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες και αν η λαγκρανζιανή δεν μεταβάλλεται αν κάνομε μια μετατόπιση σε ορισμένη κατεύθυνση στον καρτεσιανό μας χώρο, τότε η προβολή της συνήθους ορμής σε αυτή την κατεύθυνση διατηρείται 4 Ενεργειακή συνάρτηση-διατήρηση της ενέργειας Υποθέτομε ότι ασχολούμαστε με λαγκρανζιανά συστήματα στα οποία οι δεσμοί είναι ολόνομοι οι οποίοι έχουν εξαλειφθεί με εισαγωγή των κατάλληλων συντεταγμένων Ας θεωρήσομε τη λαγκρανζιανή L( qqt,, ) που στην κανονική (φυσιολογική) της μορφή δίνεται από τη γνωστή σχέση L( qqt,, ) Tqqt (,, ) Uqqt (,, ) Τονίζομε ότι η λαγκρανζιανή μπορεί να έχει τροποποιηθεί ή γενικώς να γραφτεί σε τέτοια μορφή που να μην ισχύει αυτή η σχέση Γενικώς θα έχομε για την εξέλιξη στο χρόνο dl L L L q qj dt q q t j j j j j (46) Εφόσον μελετούμε πραγματική κίνηση ισχύουν οι εξισώσεις του Lagage οπότε L d L q dt q j j (47)

3 3 Άρα dl d L L L qj qj dt j dt q j j qj t (48) ή dl d L L q j dt j dt q j t (49) Άρα d L L qj L dt j q j t (4) Η παράσταση στην παρένθεση λέγεται, συνήθως, ενεργειακή συνάρτηση και συμβολίζεται με h L hqqt (,, ) qj L q j j (4) Αυτή δεν είναι η χαμιλτονιανή, που θα δούμε αργότερα, παρόλο που έχουν σε κάθε σημείο του χώρου και του χρόνου την ίδια τιμή Πολλοί χωρίς αυστηρότητα αναφέρονται και στην h με τον όρο χαμιλτονιανή Θα προσπαθήσομε να αποφεύγομε αυτή την πρακτική Η χαμιλτονιανή είναι συνάρτηση άλλων μεταβλητών, των qpt,, όπου p παριστάνει τις συζυγείς ορμές Επομένως η Εξ(4) και (4) οδηγούν στην Εξ(4) dh L (4) dt t Αν η λαγκρανζιανή είναι της μορφής L Lqq (, ), δηλαδή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, τότε h σταθερό, δηλαδή διατηρείται κατά τη διάρκεια της πραγματικής κίνησης του δυναμικού συστήματος Αυτό είναι ένα ολοκλήρωμα της κίνησης και συνήθως ονομάζεται ολοκλήρωμα του Jacob Εδώ έχομε συμμετρία που σχετίζεται με το γεγονός ότι η λαγκρανζιανή δεν επηρεάζεται από μετατόπιση στο χρόνο Θα δούμε τώρα ότι σε ειδικές περιπτώσεις η συνάρτηση h είναι η (ολική) μηχανική ενέργεια του δυναμικού συστήματος Υποθέτομε ότι L T U Σύμφωνα με το Παράρτημα Π, η κινητική ενέργεια μηχανικού συστήματος γράφεται ως TT( qt, ) T( qqt,, ) T( qqt,, ) (43) Ο πρώτος όρος είναι ανεξάρτητος από τις ταχύτητες, ο δεύτερος εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες και ο τελευταίος όρος είναι τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες Όλοι οι όροι είναι ομογενείς συναρτήσεις ως προς τις ταχύτητες, βαθμών, και αντίστοιχα Το θεώρημα του Eule λέει ότι για μια ομογενή συνάρτηση f, βαθμού k ως προς τα x,,,,, ισχύει

4 4 f x kf (44) x Σε πολλές περιπτώσεις η λαγκρανζιανή μπορεί να γραφτεί σε ανάλογη μορφή όπως η κινητική ενέργεια, δηλαδή L( q, q, t) L ( q, t) L ( q, q, t) L ( q, q, t) (45) όπου οι τρεις όροι έχουν ομογένεια,, βαθμών αντιστοίχως όπως συμβαίνει στην κινητική ενέργεια Σε αυτή την περίπτωση βρίσκομε ότι hl L L ( L L L ) L L (46) Αν το T T ( q, q ) και αν επιπλέον το δυναμικό δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, δηλαδή, τότε από τη σχέση U V V( q, t), L( qqt,, ) L( qqt,, ) L( qqt,, ) L( qt, ) σε συνδυασμό με τη σχέση L TV( qt, ) T( qq, ) V( qt, ) Είναι ευνόητο ότι ισχύουν L ( q, q, t), L οπότε η Εξ(46) οδηγεί στην T και L V, ht ( q, q) V( q, t) T( q, q ) V( q, t) E (47) Η ισχύς της σχέσης T T ( q, q ) μπορεί να οφείλεται στο ότι οι εξισώσεις μετασχηματισμού από τις καρτεσιανές στις γενικευμένες συντεταγμένες, δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο, βλέπε παράρτημα Π, τότε T T και T T Η Εξ (47) λέει ότι η ενεργειακή συνάρτηση είναι και η ολική μηχανική ενέργεια του δυναμικού συστήματος Υπό αυτές τις συνθήκες και αν επιπλέον η δυναμική συνάρτηση (το δυναμικό) είναι V V( q), δηλαδή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, ούτε η λαγκρανζιανή θα εξαρτάται L άμεσα από το χρόνο, Άρα σύμφωνα με την Εξ(47) που τώρα γράφεται ως t dh de L = (48) dt dt t

5 5 η ενέργεια διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος, δηλαδή E T V σταθερή Ενώ η λαγκρανζιανή για κάθε δυναμικό σύστημα καθορίζεται πλήρως από τη σχέση LT U και αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τις ειδικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται, η ενεργειακή συνάρτηση h για δεδομένο δυναμικό σύστημα, δεν είναι η ίδια αλλά εξαρτάται σε μέγεθος αλλά και σε μορφή (ως συνάρτηση) από τις ειδικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται Για το ίδιο δυναμικό σύστημα το φυσικό νόημά της είναι διαφορετικό και εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες συντεταγμένες Ας δούμε ξανά τι γίνεται αν έχομε δυναμική συνάρτηση της γενικής μορφής U U( q, q, t) Θα υποθέσομε ότι ( ) Ξεκινούμε από τη σχέση L h q L q, σχηματίζομε την L T U Εύκολα βρίσκομε ότι U ht T U q q Αν υποθέσομε ότι, δηλαδή, έχομε U ht U q q Συνηθίζεται να ονομάζομε την έκφραση στην παρένθεση, U δυναμική ενέργεια του συστήματος, V( q, q, t) U q, η οποία όμως μπορεί να q εξαρτάται και από τις ταχύτητες και από το χρόνο, τότε έχομε την ανάλογη σχέση (φορμαλιστικά) που έχομε για την ολική ενέργεια,, δηλαδή h T V Ας προχωρήσομε ακόμη ένα βήμα πιο πέρα και ας υποθέσομε αυτό που έχομε αναφέρει στα προηγούμενα, δηλαδή ότι ισχύει U a( qtq, ) a( qt, ) Τότε βρίσκομε V a ( q, t) V( q, t) και επομένως βρίσκομε τη γνωστή σχέση h E T ( q, q ) V ( q, t ) Εδώ σημειώνομε ότι αφού η δυναμική συνάρτηση εξαρτάται και από το χρόνο, η έτσι οριζόμενη ολική μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος και έτσι μπορεί κάποιος να αμφισβητήσει τον όρο που δώσαμε, δυναμική ενέργεια Παρόλα αυτά ο όρος χρησιμοποιείται, αλλά η αξία του είναι πλέον χρήσιμη όταν έχομε σύστημα συντηρητικό, διατηρητικό, δηλαδή σύστημα που εκτός των άλλων και η δυναμική ενέργεια είναι ανεξάρτητη του χρόνου Τότε κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος, κάθε μεταβολή της κινητικής ενέργειας ( ) αντισταθμίζεται από αντίστοιχη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, V V( q) έτσι που η ολική ενέργεια, V, διατηρείται

6 6 4 Θεώρημα της Noethe για διακριτά συστήματα Αναφερόμαστε σε λαγκρανζιανά συστήματα, δηλαδή σε συστήματα που υπάρχει λαγκρανζιανή και η κίνησή τους μπορεί να βρεθεί με αρχή μεταβολών που οδηγεί στις εξισώσεις Eule-Lagage και στις ειδικές για το σύστημα (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Από όσα έχομε αναφέρει, οι εξισώσεις Lagage ισχύουν για οποιεσδήποτε συντεταγμένες Δηλαδή, οι εξισώσεις Lagage είναι αναλλοίωτες στη μορφή αν οι συντεταγμένες που περιγράφουν το σύστημα μετασχηματιστούν σύμφωνα με (αντιστρεπτούς) μετασχηματισμούς, έχομε q q( q, q,, q, t),,,, d L L d L L,,,,, dtq q dtq q Η μετασχηματισμένη λαγκρανζιανή προκύπτει από την αρχική, αντικαθιστώντας τα q με τα q( q, q,, q, t) Γενικώς, τέτοιοι μετασχηματισμοί δεν αφήνουν τη μορφή της λαγκρανζιανής αναλλοίωτη, L( q, q, t) L( q, q, t) Οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για συγκεκριμένη λαγκρανζιανή δεν έχουν την ίδια μορφή στα δυο συστήματα γενικευμένων συντεταγμένων Μπορεί να λύσει κάποιος τις εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για συγκεκριμένο σύστημα ως προς τα q και να προσδιορίσει την κίνηση του συστήματος, δηλαδή να βρει τις κινηματικές σχέσεις (εξισώσεις) λύσεις, q q() t Το ίδιο μπορεί να κάνει για το σύστημα με τα μετασχηματισμένα μεγέθη και να βρει τα q q () t Αν εφαρμοστούν οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων στις λύσεις q q() t θα προκύπτουν οι λύσεις q q () t και αντιστρόφως Από τους μετασχηματισμούς στους οποίους μπορούν να υποβληθούν τα μεγέθη που περιγράφουν ένα δυναμικό σύστημα, υπάρχει ένα σύνολο με ιδιαίτερο ενδιαφέρον, είναι οι μετασχηματισμοί που αφήνουν αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων κίνησης του συγκεκριμένου συστήματος Αυτοί λέγονται μετασχηματισμοί (δυναμικής) συμμετρίας Θα δούμε πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί το (πρώτο) θεώρημα της Noethe που σχετίζεται με τέτοιους μετασχηματισμούς, ώστε να οδηγηθούμε στην εύρεση μεγεθών που διατηρούνται κατά την κίνηση, δηλαδή είναι σταθερές της κίνησης Θα μπορούσαμε να κάμομε χρήση, ως ειδική περίπτωση για μονοδιάστατο χώρο, των αποτελεσμάτων του Παραρτήματος Π4 που αναφέρεται στην αρχή μεταβολών και στο πιο γενικό θεώρημα της Noethe, για πολυδιάστατους χώρους Προτιμούμε να ασχοληθούμε αυτοτελώς με το πρώτο θεώρημα της Noethe για διακριτά συστήματα Ένα διακριτό λαγκρανζιανό σύστημα περιγράφεται από μια λαγκρανζιανή της μορφής L Lqqt (,, ), το ολοκλήρωμα της δράσης είναι

7 7 t I Lqqt (,, )dt (49) t Ισχύουν q( q( t), q( t),, q( t)), q ( q( t), q( t),, q ( t)) Έστω ότι έχομε τους κατωτέρω μετασχηματισμούς qq( q, t, ), q q( q, t,) tt( q, t, ), t t( q, t,) q( q, q,, q ), (,,, ) (4) Οι μετασχηματισμοί εξαρτώνται από ανεξάρτητες παραμέτρους, τις (,,, ), οι οποίες μπορούν να είναι απειροστές, έχομε δηλαδή συνεχείς μετασχηματισμούς ως προς τις παραμέτρους Με τους μετασχηματισμούς αυτούς το ολοκλήρωμα δράσης μετασχηματίζεται στο t I L( q, q, t)dt (4) t Γράφομε αυτούς τους μετασχηματισμούς στη μορφή απειροστών μετασχηματισμών, όπου οι ανεξάρτητες παράμετροι είναι απειροστές ποσότητες Έχομε q( t) q ( t) δ q ( t), ttδt α α α α α α q ( t ) q () t εξ ( qt,), δq () t εξ ( qt,) t t εη( qt, ), δ t εη( qt, ) α α α α α α (4) Ισχύουν οι σχέσεις q ( qt, ), ( qt, ) t (43) Από τις σχέσεις (4) έχομε

8 8 d q ( t) d q( t) dδ q( t) dt dq dδq dt dt dt dt dt dt dt dδt dt dt dt dδt dt dt d q ( t) dq dδq dδt dt dt dt dt (44) Έχομε για τη μεταβολή της παραγώγου κατά το μετασχηματισμό d q( t) d q ( t) d q( t) δ dt dt dt (45) Από τις σχέσεις (44) και (45) βρίσκομε σε προσέγγιση πρώτης τάξεως ως προς τα απειροστά dδ q( t) dq dq dδt δ dt dt dt dt (46) Αυτή η σχέση μας λέει ότι, γενικώς, η διαφόριση και η μεταβολή στη θέση ένεκα των απειροστών μετασχηματισμών δεν μετατίθενται Θα υποθέσομε ότι οι μετασχηματισμοί των Εξ(4) ή καλύτερα των Εξ (4) είναι τέτοιοι που οι τελικές (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος να έχουν την ίδια μορφή (αναλλοίωτο ως προς τη μορφή) στις αρχικές και στις μετασχηματισμένες συντεταγμένες, συμπεριλαμβανομένων των αντίστοιχων χρόνων (μετασχηματισμοί συμμετρίας) Αυτό βάζει περιορισμούς στη μετασχηματισμένη λαγκρανζιανή, L( q, q, t) Έχομε δει στα προηγούμενα ότι η λαγκρανζιανή που οδηγεί σε συγκεκριμένες εξισώσεις κίνησης δεν είναι μοναδική, αλλά κάθε λαγκρανζιανή που συνδέεται με μιαν άλλη έστω d Gqt (, ) την L( qqt,, ) μέσω της σχέσης Lqqt (,, ), όπου η συνάρτηση Gqt (, ) είναι dt καλά συμπεριφερόμενη αλλά αυθαίρετη συνάρτηση, που δεν εξαρτάται από τις παραγώγους qt (), οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις κίνησης Επομένως για να έχομε αναλλοίωτο στη μορφή των (τελικών) εξισώσεων κίνησης μπορούμε να απαιτήσομε η μετασχηματισμένη λαγκρανζιανή να συνδέεται με την αρχική σύμφωνα με τη σχέση d Gq (, t) L( q, q, t) L( q, q, t) dt όπου ισχύουν d q ( t) q q ( t) dt

9 9 Για απειροστούς μετασχηματισμούς έχομε δ Gqt (, ) F( qt, ) dδ Gq (, t) L( q, q, t) L( q, q, t) dt Η τελευταία σχέση λέμε ότι δηλώνει ημιαναλλοιώτητα στη μορφή της λαγκρανζιανής Η σχέση L( q, q, t) L( q, q, t) δηλώνει αναλλοιώτητα στη μορφή της λαγκρανζιανής Θα δούμε ότι εφαρμόζοντας τους ανωτέρω απειροστούς μετασχηματισμούς και κρατώντας απειροστά μέχρι πρώτης τάξης ως προς τις μεταβολές, δηλαδή ως προς τις απειροστές παραμέτρους, αυτό οδηγεί σε σταθερές κίνησης, πλήθους ίσου με το πλήθος των ανεξάρτητων παραμέτρων Τέτοιοι μετασχηματισμοί συμμετρίας είναι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου στη μη σχετικιστική φυσική και οι μετασχηματισμοί του Loetz στην περίπτωση ισχύος της ειδικής σχετικότητας Και οι δυο αυτές ομάδες μετασχηματισμών χαρακτηρίζονται από ανεξάρτητες παραμέτρους και έτσι οδηγούν σε ανεξάρτητες σταθερές κίνησης Για να ισχύει το θεώρημα της Noethe πρέπει α) Για το ολοκλήρωμα δράσης πριν και μετά το μετασχηματισμό, με προσέγγιση πρώτης τάξεως στα διαφορικά, να ισχύουν t t L( q, q, t)d t L( q, q, t)dt t t t t ή δ I L( q, q, t)d t L( q, q, t)dt t t (47) Αυτό το κριτήριο είναι δύσκολο να χρησιμοποιηθεί στην πράξη Θα δούμε παρακάτω πως προκύπτει αντί αυτού, ένα πιο εύχρηστο κριτήριο β) Γενικώς, να υπάρχει ημιαναλλοιώτητα με την έννοια της Εξ (48), που αναφέραμε λίγο πριν, dδ Gq (, t) L( q, q, t) L( q, q, t) (48) dt Προχωρούμε στην ανάπτυξη του θεωρήματος Η δεύτερη από τις Εξ(47) με χρήση της Εξ(48) δίνει t t t dδ Gq (, t) δ I L( q( t), q( t), t)d tl( q( t), q ( t), t)dt dt (49) dt t t t

10 Αλλάζοντας μεταβλητές, σύμφωνα με τους απειροστούς μετασχηματισμούς, βρίσκομε t dδt δ I Lqt ( () δ qt (), qt () δ qt (), tδ) t dt dt t t t dt dδ G( qδ q, tδ t) Lqt ( ( ), qt ( ), t)dt dt dt dt t t (43) Αναπτύσσομε την υπό ολοκλήρωση συνάρτηση του πρώτου και του τρίτου ολοκληρώματος σε σειρά Taylo και κρατούμε διαφορικά μέχρι πρώτης τάξεως οπότε σε συνδυασμό με το δεύτερο ολοκλήρωμα βρίσκομε t L L L dδt dδ G( q, t) δi δq δq δtl dt q q t dt dt t (43) Επειδή τα όρια t, t είναι αυθαίρετα με χρήση ίδιας ιδέας με αυτήν του θεμελιώδους λήμματος του λογισμού μεταβολών, καταλήγομε σε ένα πιο εύχρηστο κριτήριο για να είναι ο μετασχηματισμός, μετασχηματισμός συμμετρίας (λέγεται και νεδεριανός μετασχηματισμός) Συγκεκριμένα, πρέπει η υπό ολοκλήρωση παράσταση να είναι μηδέν Δηλαδή πρέπει να ισχύει L L L dδt dδg δq δq δtl (43) q q t dt dt Αυτό σημαίνει ότι η παράσταση που περιέχει τους τέσσερεις πρώτους όρους πρέπει να είναι ολική παράγωγος ως προς το χρόνο της συνάρτησης δ Gqt (, ) Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις σχέσεις μετασχηματισμών που περιέχουν τις απειροστές παραμέτρους οπότε, επειδή οι παράμετροι είναι ανεξάρτητες και αυθαίρετες, η Εξ(43) που είναι το κριτήριο για να είναι ο μετασχηματισμός νεδεριανός, δηλαδή μετασχηματισμός συμμετρίας, οδηγεί στις το πλήθος σχέσεις, L L L (,) qt (,) qt q (,) qt (,) qt q q t L ( q, t) F ( q, t) α,,, (433) Έχομε τη σχέση βρίσκομε dδ t dδ d t t dt dt dt, με χρήση της δεύτερης από τις σχέσεις της Εξ(44)

11 dδt dδt dt dδt dδt dt dt dt dt dt dδt dδt dδt dδt dδt dδt dt dδt dt dt dt dt dt dt Παραλείπομε απειροστά τάξης ανώτερης της πρώτης οπότε έχομε (κατά προσέγγιση) dδt dδ t dt dt (434) Λαβαίνομε υπόψη την Εξ(46) και την (434) η Εξ(43) γίνεται L L dδq L L dδt dδt dδg δq δt q L q q dt t q dt dt dt (435) Αυτή γράφεται στη μορφή d L L L d L δq q δtlδt δq dt q q q t q d L d L L dδg q δt t dt q t dt (436) Ισχύει η σχέση d Lqqt (,, ) L L L q q (437) dt q q t Με χρήση της Εξ(437) και αν θεωρήσομε ότι ισχύουν οι εξισώσεις Eule-Lagage, δηλαδή ότι L d L,,, q dt q η Εξ(436) γίνεται

12 d L L δq q δtlδtδg dt q q (438) Αυτή είναι η έκφραση ενός νόμου διατήρησης Η διατηρούμενη ποσότητα κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος είναι η L L δq q LδtδG σταθερά της κίνησης (439) q q Μπορούμε να εισαγάγομε σε αυτή τη σχέση τις συζυγείς ορμές, p Έχομε τις σχέσεις L q δ G( q, t) δ G ( q, t), δ G ( q, t) F ( q, t) δ Gq (, t) F( q, t) (44) Επομένως η Εξ (439) είναι ισοδύναμη με την Lqqt (,, ) Lqqt (,, ) ( qt, ) q Lqqt (,, ) ( qt, ) q q F ( q, t) = σταθερά της κίνησης (44) Αφού τα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους τότε κάθε όρος του αθροίσματος είναι από μόνος του μηδέν, οπότε τελικώς έχομε, Lqqt (,, ) Lqqt (,, ) ( qt, ) q Lqqt (,, ) ( qt, ) q (44) F ( q, t), =,,, q Μπορούμε να χρησιμοποιούμε την Εξ(439) υποθέτοντας ότι οι απειροστές ποσότητες αντιστοιχούν σε ένα στοιχείο της ομάδας μετασχηματισμών (ουσιαστικά πάλι σε ένα από τα ε ), πχ στην ομάδα των μετασχηματισμών του Γαλιλαίου σε απειροστή μετατόπιση κατά μήκος ενός από τους τρεις καρτεσιανούς άξονες

13 3 Παραδείγματα Διατήρηση ενεργειακής συνάρτησης Ας θεωρήσομε την περίπτωση που η λαγκρανζιανή μηχανικού συστήματος δεν εξαρτάται L άμεσα από το χρόνο, Θα δείξομε ότι διατηρείται η ενεργειακή συνάρτηση h t κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος Λύση Εφαρμόζομε στο σύστημα το μετασχηματισμό t tδ t, =, δt q q, δ q =, =, δ q = Οι Εξ(43) και (433) γίνονται αντιστοίχως L dδg L δt, F t dt t Αυτό όμως είναι το κριτήριο για να είναι ο μετασχηματισμός νεδεριανός Δηλαδή είναι νεδεριανός και μάλιστα αφήνει τη λαγκρανζιανή αναλλοίωτη στη μορφή Τότε, σύμφωνα με την Εξ(439) ή την Εξ(44) ή (44) έχομε τη διατήρηση της ενεργειακής συνάρτησης h, η οποία, αν ισχύουν οι γνωστές προϋποθέσεις, ισούται με την ενέργεια, δηλαδή L L q h q σταθερά της κίνησης Θεώρημα του κέντρου μάζας Ας θεωρήσομε σύστημα από N σωμάτια, για το οποίο ισχύει το νεδεριανό κριτήριο σε μετασχηματισμό του Γαλιλαίου που συνδέει αδρανειακά συστήματα μεταξύ τους (χωρίς χωρικές και χρονικές μετατοπίσεις ούτε περιστροφές, δηλαδή έχομε μετασχηματισμούς τύπου boost, μετάβασης) Υποθέστε ότι δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα και οι εσωτερικές πληρούν την αρχή δράσης αντίδρασης Βρείτε μια ποσότητα που διατηρείται (σταθερά κίνησης) κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος Οι αντίστοιχοι άξονες των δυο συστημάτων είναι παράλληλοι μεταξύ τους Ο δείκτης στο x =,,3 δηλώνει τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες, x x, x y, x3 z Το δηλώνει το αντίστοιχο σωμάτιο V είναι η αντίστοιχη συνιστώσα ταχύτητας του τονούμενου συστήματος συντεταγμένων (κινούμενο) ως προς το μη τονούμενο σύστημα συντεταγμένων (ακίνητο) Εδώ έχομε την περίπτωση της ημιαναλλοιώτητας, δηλαδή δεν έχομε αναλλοίωτη τη μορφή της λαγκρανζιανής κατά το μετασχηματισμό

14 4 Λύση Ο πεπερασμένος μετασχηματισμός έχει τη μορφή για τις καρτεσιανές συνιστώσες x () x() Vt t t x () x () V Ο αντίστοιχος απειροστός μετασχηματισμός που ισχύει για απειροστή ταχύτητα του τονούμενου συστήματος ως προς το μη τονούμενο, είναι δ x ( ) δvt δ x ( ) δv δt Το κριτήριο Νέδερ, Εξ(43), γίνεται δvt N L L dδg δv x () x () dt N Το πρώτο άθροισμα στο πρώτο μέλος της ανωτέρω σχέσης είναι μηδέν, N L x () Αυτό ισχύει διότι αυτή είναι η συνολική συνιστώσα δύναμης που ασκείται σε όλο το σύστημα όπου δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις και οι εσωτερικές δυνάμεις υπακούουν στην αρχή δράσης-αντίδρασης, άρα αλληλοεξουδετερώνονται L Η συνιστώσα της ορμής του σωματίου είναι p() x (), η x () συνιστώσα της ολικής ορμής είναι dδg δvp dt Σε διανυσματική μορφή έχομε N P p() Επομένως το κριτήριο γίνεται δg 3 α δg dδg (δ V P) dt α

15 5 Αυτό σημαίνει ότι έχομε αναλλοίωτο μορφής της λαγκραντζιανής όταν τα δv και P είναι κάθετα μεταξύ τους Αν αυτό δεν ισχύει τότε με χρήση των σχέσεων P x X x N N c (), () M βρίσκομε ότι το νεδεριανό κριτήριο δίνει N c δg δ V x ( ) δv MX c M = ολική μάζα, X = η α συνιστώσα του κέντρου μάζας του συστήματος Από το θεώρημα της Noethe (Εξ(439) προκύπτει ότι για κάθε μια συνιστώσα L N N c δ x( ) δg δ Vt p( ) δvmx x () σταθερά της κίνησης Από αυτήν προφανώς καταλήγομε στην MX c tp σταθερά της κίνησης Σε διανυσματική μορφή ισχύει MXc tpσταθερά της κίνησης Από αυτήν μπορούμε να δούμε ότι αν διατηρείται και η ολική ορμή, δηλαδή αν d P dt, P τότε ισχύει X c σταθερά, η οποία εξαρτάται από το αδρανειακό σύστημα M αναφοράς Δηλαδή το κέντρο μάζας κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα σε κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς Αυτό είναι το θεώρημα του κέντρου μάζας Για ένα σωμάτιο μπορούμε να πούμε ότι αυτό είναι η σύνδεση μεταξύ γαλιλαιικής σχετικότητας και αρχής της αδράνειας 3 Κίνηση σε πεδίο Schwazschld Βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης δοκιμαστικού σωματίου μέσα στο βαρυτικό πεδίο Schwazschld Μια μη τετριμμένη λύση των εξισώσεων του Este στον κενό χώρο, δηλαδή στον χώρο που είναι εκτός των πηγών του βαρυτικού πεδίου, είναι η λύση Schwazschld με μετρική την εξής d ds c d c ( a/ )dt d s d a/ GM as c

16 6 a είναι η ακτίνα Schwazschld, M είναι η μάζα σφαιρικής κατανομής ύλοενέργειας, με σφαιρική συμμετρία, χωρίς συστροφή (σπιν), ακίνητης στην αρχή των συντεταγμένων Gc, είναι οι γνωστές σταθερές Οι συντεταγμένες θέσης και ο χρόνος συμπίπτουν με αυτά του Mkowsk για μεγάλες αποστάσεις από την πηγή του βαρυτικού πεδίου όπου το πεδίο είναι πρακτικώς μηδέν, οι συντεταγμένες για μεγάλες αποστάσεις είναι οι σφαιρικές συντεταγμένες Λύση Για την περίπτωσή μας οι συντεταγμένες του τετραχώρου είναι (, t,, ) Έχομε για τη μετρική του τετραχώρου g gtt c ( a/ ), g g / ( a/ ), g g, g33 g s Όλες οι μη διαγώνιες συνιστώσες είναι μηδέν, g, Σύμφωνα με όσα έχομε αναφέρει στη θεωρία μεταβολών, η λαγκρανζιανή για «ελεύθερο» δοκιμαστικό σωμάτιο είναι Lc ( a/ ) t s a/ d y y d Σημειώνομε ότι για τον Ήλιο as 3, k και για τη Γη ae 8,9 Πολλές φορές, όταν a/ << μπορούμε να προσεγγίσομε την έκφραση / a/ a Θεωρούμε ευνόητο ότι η κίνηση γίνεται σε επίπεδο οπότε λαμβάνομε ως επίπεδο κίνησης π αυτό με Έτσι η λαγκρανζιανή γίνεται Lc ( a/ ) t a/ d y y d Το σωμάτιο κινείται πάνω σε γεωδαισιακή Για σωμάτιο μη μηδενικής μάζας παίρνομε ως παράμετρο της γεωδαισιακής τον ιδιόχρονο, δηλαδή Η λαγκρανζιανή είναι ένα πρώτο ολοκλήρωμα (σταθερά) κίνησης Συγκεκριμένα ισχύει

17 7 Lc ( a/ ) t c σταθ a/ d y y d Η L έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα μάζας Η L δεν εξαρτάται άμεσα από τα t, οπότε έχομε και τις ακόλουθες δυο σταθερές κίνησης, αντιστοίχως a σταθ, c t E l σταθ Μπορεί να δειχτεί ότι, εφόσον έχομε στατικό πεδίο, ισχύει c a/ dl dl E, =, dl d d / c d a/ dt a/ Η E αντιπροσωπεύει την ενέργεια ανά μονάδα μάζας του κινούμενου σωματίου και η l αντιπροσωπεύει στροφορμή ανά μονάδα μάζας του σωματίου Το ότι η E που είναι διατηρούμενη ποσότητα κατά την κίνηση του σωματίου, ταυτίζεται με την ενέργεια φαίνεται από το γεγονός ότι για >> a η σχέση αυτή ταυτίζεται με τη σχέση για τη σχετικιστική μηχανική ενέργεια στο χώρο Mkowsk, ειδική Σχετικότητα Από τις τρεις αυτές σχέσεις βρίσκομε σχέση η οποία είναι αντίστοιχη της σχέσης που ισχύει για την περίπτωση της νευτώνειας μηχανικής, για τη διατήρηση της ενέργειας, εδώ έχομε d a l GM l GM l E c ( E c ) 3 d c Η αντίστοιχη της νευτώνειας περίπτωσης για τη διατήρηση της ενέργειας (ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης) είναι GM l E d dt Αν αγνοήσομε τους σταθερούς όρους και το γεγονός ότι οι χρόνοι (παράμετροι) είναι διαφορετικοί,,t αντιστοίχως, παρατηρούμε ότι στη Γενική Σχετικότητα υπάρχει ο επιπλέον όρος με εξάρτηση 3 d Προφανώς ισχύει η σχέση Η σχέση ( ) είναι η εξίσωση της τροχιάς του d σωματίου χωρίς τη χρήση παραμέτρου, όπως είναι ο χρόνος Από τις τέσσερις αυτές σχέσεις προκύπτει η d ac E 4 c 3 l l al ( ) d

18 8 Η νευτώνεια θεώρηση δίνει d GM l E 4 l d Επίσης η εξίσωση κίνησης για τη μεταβλητή είναι, l GM 3GM l Ο τελευταίος όρος «δύναμης» αντιστοιχεί στον όρο 3 4 c 3 δυναμικής ενέργειας με εξάρτηση / που είδαμε προηγουμένως Η νευτώνεια περίπτωση δίνει l GM 3 Εύκολα μπορεί κάποιος να βρει και την άλλη (τελική διαφορική) εξίσωση κίνησης που περιέχει μέχρι και δεύτερες παραγώγους της γωνίας Στην περίπτωση κινούμενου σωματίου χωρίς μάζα η διαδικασία πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα Σύμφωνα με όσα έχομε αναφέρει στα προηγούμενα ds, οπότε η τιμή της διατηρούμενης λαγκρανζιανής κατά την κίνηση (δηλαδή κατά μήκος της γεωδαισιακής) είναι μηδέν, Lc ( a/ ) t a/ d y y d Ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία όπως πριν καταλήγομε πάλι στις διατηρούμενες ποσότητες a c t E σταθ, l σταθ Εδώ τα E, l έχουν διαστάσεις που εξαρτώνται από τις διαστάσεις της παραμέτρου Λαμβάνοντας υπόψη ότι d, από την έκφραση για τη λαγκρανζιανή βρίσκομε d d E 4 c 3 l ( ) l al d ο όρος με το / Παρατηρούμε ότι τώρα λείπει από το δεύτερο μέλος

19 9 4 Διάνυσμα Laplace-Ruge-Lez Δείξτε ότι στην περίπτωση της κίνησης σωματίου σε κεντρικό δυναμικό του τύπου k/ (πρόβλημα του Keple), το διάνυσμα Laplace-Ruge-Lez (LRL), A plk /, είναι σταθερά της κίνησης Αναφερόμαστε σε μη σχετικιστική κίνηση Λύση Το ότι το διάνυσμα LRL είναι σταθερά της κίνησης μπορεί να δειχτεί με χρήση του θεωρήματος της Noethe ένεκα υπάρξεως κάποιας ασυνήθιστης συμμετρίας Το πρόβλημα του Keple είναι μαθηματικά ισοδύναμο με σωμάτιο που κινείται ελεύθερο πάνω σε σφαίρα σε τετραδιάστατο χώρο Το σύστημα είναι συμμετρικό υπό την επίδραση ορισμένων περιστροφών σε αυτόν τον τετραδιάστατο χώρο, υπάρχει συμμετρία SO(4) Αυτό οδηγεί στη διατήρηση του παραπάνω διανύσματος Εδώ θα ακολουθήσομε την απλή θεώρηση, χωρίς τη χρήση της παραπάνω συμμετρίας Αν κεντρική δύναμη f ( ) ασκείται σε σωμάτιο μάζας με ορμή p, έχομε το νόμο του Νεύτωνα dp f f() e (443) dt dl Η στροφορμή L p διατηρείται αφού έχομε κεντρική δύναμη, άρα dt, d επομένως με χρήση αυτής της σχέσης και θέτοντας p, και χρησιμοποιώντας την d t ταυτότητα a ( bc ) ( a c) b ( a b) c, βρίσκομε Με χρήση και της ταυτότητας d dp dl dp d ( pl) L p L f( ) e dt dt dt dt dt d d f() dt dt d d d d ( ) ( ) dt dt dt dt d d d d ( p L) f () f () (445) dt dt dt dt (444) καταλήγομε στη σχέση Στην περίπτωση της κεντρικής δύναμης της μορφής όπως στο πρόβλημα του Keple, δηλαδή όταν έχομε f () k /, καταλήγομε, τελικώς, στη σχέση d dt da plke, άρα πράγματι Aσταθερό (446) dt

20 Το σχήμα που ακολουθεί δίνει κάποιες εξηγήσεις για τα διάφορα διανύσματα που υπεισέρχονται στο πρόβλημα των ελλειπτικών τροχιών Keple, σε διάφορα σημεία της τροχιάς Το διατηρούμενο αυτό διάνυσμα δεν βρέθηκε για πρώτη φορά από τους τρεις των οποίων το όνομα φέρει Έχει χρησιμοποιηθεί από τον W Lez σε μια εργασία του σχετική με την παλιά κβαντική θεώρηση του ατόμου του υδρογόνου Ο W Paul με χρήση αυτού του διανύσματος (με εισαγωγή τελεστών και της θεωρίας των μητρών) βρήκε τις ενεργειακές στάθμες του ατόμου του υδρογόνου χωρίς τη χρήση της εξίσωσης του Schoedge Αυτό έγινε λίγο πριν κάνει το ίδιο ο Schoedge με χρήση της εξίσωσής του Είναι ενδιαφέρον ότι με χρήση αυτού το διανύσματος μπορεί να βρει, ευκολότερα, διάφορες σχέσεις της κίνησης τύπου Keple και τη σχέση που περιγράφει τις τροχιές, δηλαδή την ( ) που είναι η εξίσωση της τροχιάς σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες 5 Θεώρημα του Betad Το θεώρημα (του) Betad λέει ότι, στην περίπτωση της κεντρικής κίνησης η κίνηση είναι κλειστή (επαναλαμβανόμενη) μόνον όταν η δύναμη είναι ελκτική της μορφής όπου ή Δηλαδή στην περίπτωση της κίνησης τύπου Keple ή κίνησης υπό την επίδραση δύναμης τύπου Hook, ισοτροπικός αρμονικός ταλαντωτής (σε τρεις διαστάσεις) Λύση Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αντιμετώπισης του προβλήματος εκτός του αρχικού τρόπου που ακολούθησε ο Betad Ακολουθούμε έναν από αυτούς Θεωρούμε ότι είναι γνωστό ότι η κίνηση γίνεται στο επίπεδο και χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες (, ) Θεωρούμε ότι είναι γνωστό ότι η κίνηση γίνεται στο επίπεδο Ξέρομε ότι διατηρείται η ενέργεια E και η στροφορμή l περί άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνησης ο οποίος διέρχεται από το ελκτικό κέντρο Θέτοντας u / καταλήγομε στην «εξίσωση ενέργειας» du d l u l u V E E (447) Αυτή η σχέση μας λέει ότι είναι σαν να έχομε μονοδιάστατη κίνηση υλικού σημείου μάζας ίσης με τη μονάδα, μέσα σε «ενεργό» (ισοδύναμο) δυναμικό της μορφής

21 ( ) l u (448) Wu u V Στη συνέχεια αντί για μορφή V u θα γράφομε απλώς V( u ) Ξαναγράφομε την Εξ(447) στη du Wu ( ) E (449) d Θεωρούμε το δισδιάστατο χώρο με συντεταγμένες πρόκειται για ένα είδος δισδιάστατου χώρου των φάσεων Προφανώς έχομε ( uu, ), u du, ουσιαστικά d du u ( u) E W( u) (45) d Από τον ορισμό του u / προκύπτει ότι ενδιαφέρει η περίπτωση που u Στο δισδιάστατο αυτό χώρο η Εξ(45) παριστάνεται από μια συνεχή (φασική) καμπύλη συμμετρική ως προς τον άξονα u Ένεκα της συμμετρίας μπορούμε να περιοριστούμε μόνο στον ένα κλάδο αυτόν με u Αν η τιμή της ενέργειας E είναι τέτοια που η καμπύλη ( ), τροχιά του σωματίου σε πολικές συντεταγμένες, είναι κλειστή, τότε η παραπάνω φασική καμπύλη περνά από δυο σημεία τα ( u,) και ( u,) που βρίσκονται πάνω στον άξονα u Ισχύουν, u /, u /,, u< u u Τα, είναι πεπερασμένα και είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του που αντιστοιχεί στη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του u κατά μήκος της κλειστής φασικής καμπύλης u u( u) Αυτά αντιστοιχούν στο περίκεντρο και το απόκεντρο της καμπύλης ( ), δηλαδή στα αψιδωτά (apsdal) της σημεία Από τον ορισμό προκύπτει ότι u Η επιφάνεια που περικλείεται από αυτή την κλειστή φασική καμπύλη είναι u u (45) u u A u du E W( u) du Από την Εξ(45) προκύπτει η σχέση du d E Wu ( ) (45) Επομένως η γωνία μεταξύ δυο διαδοχικών απόκεντρων ή περίκεντρων δίνεται από τη σχέση

22 Από τις Εξ(45), (453) προκύπτει ότι ισχύει u du Φ (453) E Wu ( ) u A Φ (454) E Για κάποιες τιμές της ενέργειας το οπότε η ( ) εκτείνεται στο άπειρο, δεν είναι κλειστή (επαναλαμβανόμενη) τροχιά Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει μόνο ένα αψιδωτό σημείο το περίκεντρο Αφού θα έχομε u / και για το εμβαδόν της Εξ(45) στο φασικό χώρο έχομε Η Εξ(453) γίνεται u A E W( u) du (455) u du Φ (456) E W( u) είναι η γωνία μεταξύ της ασύμπτωτης (ευθείας) της τροχιάς ( ) και της ευθείας μεταξύ του ελκτικού κέντρου και του σημείου της καμπύλης που απέχει ελάχιστη απόσταση από αυτό (περίκεντρο) Θα εξετάσομε τις φασικές καμπύλες u u ( u) για μικρές αποκλίσεις τους από την μορφή τους για ευσταθή κυκλική κίνηση Για κυκλικές τροχιές ( ) έχομε d d u, διότι τότε σταθερό Επομένως η ενέργεια για κυκλική d d τροχιά είναι σύμφωνα με την Εξ(449) E Wu ( ) όπου το u είναι το σημείο dw ακρότατου της W( u, ) δηλαδή W( u) ( u) Για ευσταθείς κυκλικές τροχιές du d W μπορεί να δειχτεί ότι ισχύει W( u) ( u ) Χρησιμοποιούμε την Εξ(448) και dt βρίσκομε ότι το u προσδιορίζεται από τη σχέση u d V ( u ) l du (457) Η ενέργεια για κυκλική τροχιά δίνεται από τη σχέση

23 3 E u V( u ) (458) l Η συνθήκη ευστάθειας σημαίνει ότι d V ( u ) (459) l d Η καμπύλη στο χώρο uu, για κυκλική τροχιά είναι ένα σημείο το ( u,) Αν η ενέργεια μεταβληθεί κατά μικρή ποσότητα δe έτσι που στροφορμή l να μείνει σταθερή, έχομε ότι u u δ u, E E δe, οπότε για τη φασική καμπύλη έχομε dδu Wu ( δ u) E δe d (46) Αναπτύσσομε το δυναμικό W σε σειρά Taylo μέχρι τη δεύτερη τάξη στην περιοχή του u u και χρησιμοποιούμε τη συνθήκη για κυκλικές τροχιές οπότε καταλήγομε στη σχέση u V dδ d (δ u) ( u) δe d l du (46) Χρησιμοποιούμε τη σχέση δu u u και καταλήγομε στο ότι έχομε φασική καμπύλη η οποία είναι έλλειψη με κέντρο το ( u,) και ημιάξονες a b δe δe d V ( u ) l du (46) Υπολογίζομε τη γωνία Θ μεταξύ του απόκεντρου και του αμέσως επόμενου περίκεντρου με χρήση της σχέσης Θ Φ (463) Η επιφάνεια που περικλείεται από τη φασική καμπύλη είναι

24 4 A πδe (464) d V ( u ) l du Με χρήση της Εξ(454) βρίσκομε π Θ (465) d V ( u ) l du Γενικώς η γωνία Θ εξαρτάται από την ενέργεια E και τη στροφορμή l, Θ Θ ( E, l) Πρέπει να βρεθεί τέτοια δυναμική συνάρτηση (δυναμική ενέργεια, δηλαδή δυναμικό) ώστε η γωνία αυτή να μην εξαρτάται από αυτές τις ποσότητες Αυτό μπορεί να γίνει αν d V ( u ) c σταθερά l du (466) Με χρήση και της Εξ(457) καταλήγομε στη σχέση d Vu ( ) dl u d u c du u (467) Απαιτούμε αυτή η σχέση να ισχύει σε όλη την επιτρεπτή περιοχή τιμών για το u Αυτό σημαίνει ότι αυτή η εξίσωση είναι στην ουσία διαφορική εξίσωση με άγνωστη (προς προσδιορισμό) συνάρτηση το V( u ), χωρίς τον περιορισμό που αναφέρεται στη θέση u u Εύκολα βρίσκομε ότι η λύση της είναι C c Vu ( ) u c Για c ξεκινούμε από τη διαφορική εξίσωση και βρίσκομε τη λύση για το δυναμικό η οποία είναι λογαριθμικής μορφής, l u άρα και l Η τροχιά που προκύπτει είναι περιορισμένη (δεν πάει στο άπειρο) αλλά δεν είναι κλειστή οπότε απορρίπτεται Για απλούστευση γράφομε τη λύση στη μορφή s Vu ( ) Ku (468) Από τη συνθήκη ευστάθειας Εξ(459) προκύπτει ότι c, οπότε αφού cs θα πρέπει να ισχύει ότι s Αντικαθιστούμε το c στην Εξ(465) και βρίσκομε π Θ (469) s

25 5 Για να είναι αυτές οι ελαφρά διαταραγμένες (σε σχέση με την κυκλική) τροχιές κλειστές (δηλαδή επαναλαμβανόμενες), πρέπει το s να είναι ρητός αριθμός (λόγος ακεραίων) Όμως για να οδηγεί το δυναμικό σε περιορισμένες τροχιές που να είναι όλες κλειστές πρέπει η γωνία Θ να είναι ανάλογη του π, όπου ο συντελεστής αναλογίας (όπως στην Εξ(469)) να είναι ρητός αριθμός, όχι μόνο για τις ελαφρά διαταραγμένες τροχιές που αναφερθήκαμε στα προηγούμενα, αλλά για κάθε περιορισμένη τροχιά Συνοψίζομε, η σχέση που πρέπει να ισχύει για τις κλειστές τροχιές, δηλαδή η σχέση (469) δείξαμε ότι ισχύει μόνο για E που δεν διαφέρει πολύ από το E Χρειάζεται να βρούμε γενικότερες συνθήκες για τις οποίες κάθε περιορισμένη τροχιά είναι κλειστή Για δυναμικό της μορφής της Εξ(468), το u προσδιορίζεται από την Εξ(457) από όπου έχομε u s l (47) Ks Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι τα K, s δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα Αφού u, θα ισχύει ότι Ks Έτσι πρέπει να εξετάσομε δυο περιπτώσεις, α) K, s και β) K, s Στην περίπτωση α) το V( u) όταν u και V( u), όταν u Η ενέργεια για κυκλική τροχιά είναι u s E W( u) Ku (47) l Με χρήση και της Εξ(47) καταλήγομε στη σχέση E u (47) s Για το μονοδιάστατο δυναμικό έχομε (473) l s Wu ( ) u Ku s Για αρκούντως μικρές τιμές του u έχομε ότι Wu ( ) Ku και για αρκούντως μεγάλες l τιμές του u καταλήγομε στη σχέση Wu ( ) u Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού και επειδή E, οδηγούν στο ότι για ενέργειες E, τέτοιες που να ισχύει η σχέση E E οι τροχιές είναι πάντοτε περιορισμένες Στη συνέχεια θα εξετάσομε το όριο της φασικής καμπύλης που συνδέεται με περιορισμένες τροχιές καθώς η ενέργεια τείνει στο άπειρο Για τα σημεία (επαναφοράς) στα οποία αντιστοιχούν τα u, u, όταν E E, ισχύουν

26 6 u u E (474) Για τον προσδιορισμό της οριακής φασικής καμπύλης όταν E, χρησιμοποιούμε την εξίσωση της ενέργειας, Εξ(447) και την Εξ(468) οπότε βρίσκομε du d l s u Ku E (475) Αφού s, όταν E μπορούμε να αγνοήσομε τον τρίτο όρο του πρώτου μέλους και με χρήση της δεύτερης σχέσης από την Εξ(474) βρίσκομε du u u E d (476) Από αυτήν συμπεραίνομε ότι το όριο της φασικής καμπύλης καθώς το E, είναι ένα ημικύκλιο ακτίνας E Οπότε το εμβαδόν της περικλειόμενης επιφάνειας είναι A πe Η συμπεριφορά στο όριο της γωνίας Θ ( E ) μπορεί να βρεθεί από τις Εξ(454) και (463), οπότε έχομε (π E) π l Θ ( E) (477) E E Οπότε σε συνδυασμό με την Εξ(469) βρίσκομε ότι η συνθήκη για να είναι όλες οι περιορισμένες τροχιές κλειστές είναι s (478) Επομένως αφού s η δυναμική συνάρτηση (το δυναμικό) είναι V Ku K (479) Αυτό είναι το δυναμικό του ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή Τώρα θα αναλύσομε την περίπτωση β) με K, s Επειδή ισχύει η συνθήκη ευστάθειας χρειάζεται να εξεταστεί μόνο η περίπτωση s Το μονοδιάστατο δυναμικό είναι (48) l s Wu ( ) u Ku

27 7 Για αρκούντως μεγάλες τιμές του u ο επικρατέστερος όρος είναι ο πρώτος, δηλαδή Wu ( ) u Για μικρές τιμές του u το δυναμικό αυτό τείνει στο μηδέν και κυριαρχεί ο s δεύτερος όρος, δηλαδή Wu ( ) Ku Επομένως, όπως μπορεί να διαπιστωθεί και l από την Εξ(47), η ελάχιστη τιμή του W( u, ) η οποία καθορίζει την κυκλική τροχιά, είναι αρνητική Όλες οι περιορισμένες τροχιές έχουν ενέργειες E, στο διάστημα E E Η οριακή τροχιά για E έχει μόνο ένα αψιδωτό σημείο σε πεπερασμένη απόσταση (το άλλο είναι στο άπειρο), διότι σε αυτή την περίπτωση u Αυτό σημαίνει ότι όταν E η τροχιά είναι ανοιχτή Επομένως l Θ ( E ) E Η δίνεται από την Εξ(456) για E Επομένως ισχύει E u du l Θ ( E ) (48) Wu ( ) Η u βρίσκεται από τη σχέση Wu ( ) (48) Από τις Εξ(48) και (48) βρίσκομε ότι ισχύει η σχέση u s l (483) K Το μονοδιάστατο δυναμικό παίρνει τη μορφή Wu u u ( ) u Από αυτήν και την Εξ(48) βρίσκομε s (484) E u du l Θ ( E) (485) s u u u Κάνομε αλλαγή μεταβλητής σύμφωνα με τη σχέση

28 8 x u u s (486) Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύει du dx (487) u s x Με το συνδυασμό των τριών τελευταίων σχέσεων καταλήγομε στη σχέση E dx π l Θ ( E) (488) s s x Αυτό το αποτέλεσμα συμπίπτει με αυτό της Εξ(469) μόνον αν s s, πράγμα που ισχύει μόνον όταν s Επομένως σε αυτή την περίπτωση, το δυναμικό για όλες τις περιορισμένες κλειστές τροχιές είναι της μορφής V K K u (489) Από τα βασικά δυναμικά που υπάρχουν στη φύση, πρόκειται για το νευτώνειο δυναμικό, συμπεριλαμβανομένου του ελκτικού δυναμικού Coulob Το συμπέρασμα είναι ότι τα μόνα κεντρικά δυναμικά τα οποία οδηγούν σε κλειστές τροχιές είναι το δυναμικό τύπου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή και το νευτώνειου τύπου δυναμικό, συμπεριλαμβανομένου του ελκτικού δυναμικού Coulob Αυτή είναι η διατύπωση του θεωρήματος του Beltad 6 Θεώρημα val Η λέξη val είναι από τα Λατινικά όπου σημαίνει δύναμη ή ενέργεια Θα αποδείξομε το θεώρημα val Αυτό είναι ένα χρήσιμο θεώρημα της μηχανικής το οποίο είναι στατιστικού χαρακτήρα Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι έχομε ένα σύστημα σωματίων πάνω στα οποία ασκούνται δυνάμεις (ενεργητικές και δυνάμεις δεσμών) Υποθέτομε ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι τετραγωνική συνάρτηση των ταχυτήτων Υποθέτομε ακόμη ότι το σύστημα εκτελεί κίνηση σε πεπερασμένο μέρος του χώρου με πεπερασμένες ταχύτητες, μπορεί το σύστημα να είναι και περιοδικό Θα δείξομε ότι N T F

29 9 Το δεύτερο μέλος λέγεται το (ή η) val (του Clausus) του συστήματος Οι μέσοι όροι λαμβάνονται ως προς το χρόνο και για χρονικό διάστημα ίσο με μια περίοδο ή για χρονικό διάστημα που τείνει στο Λύση Ξεκινούμε από τις σχέσεις N p F, G p Στη συνέχεια βρίσκομε N N dg p p dt Ο πρώτος όρος του δευτέρου μέλους γίνεται N N N p T Ο δεύτερος όρος του δευτέρου μέλους γίνεται, με χρήση του θεμελιώδους νόμου του Νεύτωνα, N N p F Επομένως βρίσκομε N dg T F dt Λαμβάνομε τη μέση τιμή του πρώτου και του δεύτερου μέλους αυτής της σχέσης για το χρονικό διάστημα t, οπότε έχομε N dg dg dt T F dt, dt οπότε N T F G( ) G() Αν η κίνηση είναι περιοδική και ως ληφθεί μια περίοδος, τότε G( ) G(), οπότε το δεύτερο μέλος είναι μηδέν Αν η κίνηση δεν είναι περιοδική αλλά όλες οι συντεταγμένες και ταχύτητες είναι πεπερασμένες οπότε και η G είναι πεπερασμένη (άρα είναι φραγμένη), τότε λαμβάνοντας τον χρόνο αρκούντως μεγάλο, μπορούμε να πούμε ότι η έκφραση του δευτέρου μέλους μπορεί να γίνει αρκούντως μικρή, δηλαδή μπορεί να ληφθεί ίση με μηδέν Έτσι καταλήγομε τελικώς στη σχέση N T F Αυτή η σχέση εκφράζει το θεώρημα val Το δεύτερο μέλος λέγεται val του Clausus ή val του συστήματος

30 3 7 Εισαγωγή στα βαρυτικά κύματα και την ανίχνευσή τους με συμβολομετρία Το θέμα της ύπαρξης και της ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων έχει απασχολήσει την επιστημονική κοινότητα από τότε που διατυπώθηκε η Γενική Σχετικότητα (96) Ο πρώτος που ασχολήθηκε με πειράματα άμεσης ανίχνευσής τους ήταν ο Joseph Webe στη δεκαετία των 96 Η μέθοδος που ακολούθησε στηρίζονταν στη δύναμη που ασκεί το βαρυτικό κύμα σε έναν κύλινδρο με μεγάλη μάζα Ασκούνται δυνάμεις συμπίεσης και εφελκυσμού οπότε αναμένεται να προκαλούνται ταλαντώσεις στον κύλινδρο Αυτό θα οδηγούσε σε συντονισμούς και η μέθοδος λέγεται μέθοδος με ανιχνευτές συντονισμού Ο Webe και οι συνεργάτες του έφτιαξαν εξαιρετικά ευαίσθητες συσκευές ανίχνευσης πάρα πολύ μικρών ταλαντώσεων, αλλά δεν μπόρεσαν να ανιχνεύσουν βαρυτικά κύματα Από την ίδια περίοδο (μέσα των 96) ξεκίνησε η ιδέα να γίνει και πάλι άμεση ανίχνευση με χρήση συμβολομετρίας με λέηζερ Αυτό οδήγησε στο σχεδιασμό και κατασκευή τέτοιων ανιχνευτών στα Η σημασία της ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων είναι σημαντική όχι μόνο για την επιβεβαίωση της Γενικής Σχετικότητας αλλά και της διάκρισης μεταξύ διαφόρων επεκτάσεων της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας και την καλύτερη κατανόηση του σύμπαντος Για πρώτη φορά το 6 δυο συστήματα ανιχνευτών αυτού του τύπου, σε μεγάλη απόσταση μεταξύ τους στις ΗΠΑ, ανίχνευσαν για πρώτη φορά άμεσα βαρυτικά κύματα Πρόκειται για το πρόγραμμα, συνεργασία LIGO (Lase Itefeoete Gavtatoal wave Obsevatoy) Έμεσα υπήρχε από πριν ανίχνευση στηριζόμενη στην απώλεια ενέργειας ένεκα παραγωγής βαρυτικών κυμάτων από διπλούς αστέρες Θα ασχοληθούμε μόνο με τη συμβολομετρική μέθοδο ανίχνευσης Στο Σχήμα φαίνεται το σχηματικό διάγραμμα της διάταξης ενός από τους δυο ανιχνευτές Έχει τη μορφή συμβολομέτρου Mchelso Σχήμα

31 3 Στην προσέγγιση ασθενών βαρυτικών πεδίων, για τα πεδία των βαρυτικών κυμάτων ισχύει εξίσωση ελεύθερου κύματος παρόμοια με τη γνωστή εξίσωση κυμάτων Σε αυτή την περίπτωση ο μετρικός τανυστής γράφεται g h όπου είναι ο γνωστός τανυστής του Mkowsk Ισχύουν h Μπορούμε να πούμε ότι σε ένα «επίπεδο» υπόβαθρο,, έχομε μια μικρή διαταραχή, h, που οφείλεται στα βαρυτικά κύματα και αυτή είναι που μας ενδιαφέρει Δηλαδή έχομε μια μικρή μεταβολή στον μετρικό τανυστή και ισχύει: h () c t Αυτή είναι η συνήθης εξίσωση κυμάτων με ταχύτητα αυτήν της διάδοσης του φωτός στο κενό, c Στην κατάλληλη αναπαράσταση, τα κύματα είναι εγκάρσια, κάθετα στην διεύθυνση διάδοσης την οποία εδώ θα θεωρούμε πως είναι η z (θετική κατεύθυνση), Σχήμα Η γενική λύση της σχέσης, για μια συχνότητα και διάδοση κατά μήκος του z, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δυο ανεξάρτητων λύσεων, που σε μιγαδική μορφή είναι e exp ( kz t) και e exp ( kz t), δηλαδή h Re e e exp ( kzt) Ισχύει η γνωστή σχέση k Οι δυο c λύσεις αντιστοιχούν στην πόλωση + (plus, συν) και στην πόλωση (coss, διαγώνια) αντιστοίχως Τα e και e είναι οι τελεστές επίπεδης πόλωσης των βαρυτικών κυμάτων που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση z Υπάρχουν και κυκλικά πολωμένα κύματα (ανάλογα με αυτά που ισχύουν για τον ηλακτρομαγνητισμό) που είναι γραμμικός συνδυασμός αυτών των δυο επίπεδων κυμάτων Δεν θα αναφερθούμε σε αυτά τα κύματα Ισχύουν οι σχέσεις e, e - Έχομε hxx hyy, hxy hyx που γενικώς μπορεί να είναι και μιγαδικά Έτσι μπορούμε να γράψομε h ( z, t) Re exp kzt -

32 3 Το κύμα με πόλωση + είναι ανάλογο του xx Κύμα με πόλωση είναι ανάλογο ( ) Η πιο γενική μορφή κύματος (διαταραχής) είναι υπέρθεση του xy μονοχρωματικών κυμάτων, οπότε ισχύει h (,) z t f ( z ct) f ( z ct) f ( z ct) - f ( z ct) Τα βαρυτικά κύματα δεν μπορούν να ανιχνευτούν τοπικά, διότι σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας, για μικρές περιοχές τα φαινόμενα της βαρύτητας μπορεί να εξαλειφθούν Έτσι δεν μπορεί να ανιχνευτούν το βαρυτικά κύματα με χρήση ενός μόνο δοκιμαστικού σωματίου Μπορεί να ανιχνευτούν από την επίδρασή τους πάνω σε δυο ή περισσότερα δοκιμαστικά σωμάτια που βρίσκονται σε διαφορετικά (απομακρυσμένα μεταξύ τους) σημεία στο χώρο Θα ασχοληθούμε με το θέμα αυτό, με χρήση συμβολομετρίας και δυο δοκιμαστικά σωμάτια σε ελεύθερη πτώση μέσα στο πεδίο του βαρυτικού κύματος Η αρχή της μεθόδου φαίνεται στο Σχήμα Η πηγή φωτός είναι ένα λέηζερ Στη θέση Ο υπάρχει ημιδιαφανές πλακίδιο, διαχωριστής δέσμης φωτός Η δέσμη φωτός από το λέηζερ χωρίζεται σε δυο δέσμες, μια κατά τον άξονα x και μια κατά τον y Σε ίσες αποστάσεις από το Ο υπάρχουν κάτοπτρα, έχομε ΟΑ=ΟΒ= L Οι δέσμες ανακλώνται στα κάτοπτρα και επιστρέφουν στο Ο και μετά από διέλευση και ανάκλαση στο διαχωριστή φτάνουν στον ανιχνευτή φωτός Η ανίχνευση στηρίζεται στο γεγονός ότι η διέλευση βαρυτικού κύματος από τη διάταξη μεταβάλει τις σχετικές φάσεις των συμβαλλόντων κυμάτων φωτός στον ανιχνευτή Μια πρώτη αντίδραση είναι ότι, η βαρύτητα επηρεάζει το χώρο αλλά και το μήκος κύματος του φωτός κατά τον ίδιο τρόπο, επομένως είναι αδύνατο να ανιχνευτούν βαρυτικά κύματα με συμβολομετρία Είναι σαν να λέμε ότι το μήκος που θέλομε να μετρήσομε και το μέτρο που θα χρησιμοποιήσομε μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο από τη βαρύτητα οπότε η μέτρηση δεν θα διαφέρει από αυτήν όταν δεν υπάρχει βαρύτητα Η παρακάτω ανάλυση θα δείξει ότι η μέθοδος της συμβολομετρίας οδηγεί σε ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων Έχομε για τις συνιστώσες του τανυστή του βαρυτικού πεδίου ακτινοβολίας: h f ( z ct), h f ( z ct), h h f ( z ct), h h f ( z ct) Οι άλλες συνιστώσες του τανυστή είναι μηδέν Για αρμονικό κύμα έχομε Re exp ( ), Re exp ( ) h Re exp ( kz t), h Re exp ( kz t) h h kz t h h kz t Οι άλλες συνιστώσες είναι μηδέν Τα h, h σχετίζονται με βαρυτικά κύματα +, ενώ τα h, h με κύματα Στη συνέχεια θα εξετάσομε την παραμόρφωση που προκαλεί η διέλευση βαρυτικού κύματος σε μια κυκλική διάταξη δοκιμαστικών σωματίων που βρίσκονται στο επίπεδο

33 33 x, y, με το z δεδομένο Τα σωμάτια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, είναι αρχικώς ακίνητα σε έναν χώρο Mkowsk Το βαρυτικό κύμα επηρεάζει πολύ λίγο τη μετρική του χώρου, στην επίπεδη μετρική Mkowsk,, προστίθεται το πεδίο ακτινοβολίας h Θυμίζομε ότι έχομε για τον πολύ λίγο διαταραγμένο χώρο Mkowsk, τη σχέση g h Τώρα υποθέτομε πως έχομε αρμονικό κύμα τύπου +, h hcos( kz t) Σύμφωνα με τα προηγούμενα βρίσκομε xx g -+ hxx (t) -- hxx ( t) - Άρα ds c dt hxx ( t) dx hxx ( t) dy dz Η φυσική (atual, φυσιολογική) χωρική απόσταση δυο υλικών σημείων μια χρονική στιγμή t, όταν έχουν συντεταγμένες (,,) και ( x, y,) ( z σταθ) είναι ( ) ( ) l h t x h t y xx xx Επομένως cos( ) cos( ) l h kz t x h kz t y Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στη φυσική απόσταση κατά τον άξονα x και ο δεύτερος κατά τον y Στο Σχ με ανοικτά κυκλάκια φαίνεται η αρχική κυκλική διάταξη των δοκιμαστικών σωματίων Όταν ( kz t) π, τότε l h( t) x h( t) y x y h( y x ), οπότε έχομε ελλειπτική διάταξη όπως στο Σχήμα α Όταν ( kz t) π τότε l x y, οπότε έχομε κυκλική διάταξη, Σχήμα β Όταν ( kz t) ( )π τότε έχομε τη διάταξη, έλλειψη, του Σχ γ 3 Όταν ( kz t) π έχομε και πάλι κυκλική διάταξη, Σχ δ, κοκ Ανάλογα ισχύουν για κύμα με πόλωση Σε αυτή την περίπτωση οι σχηματισμοί, ως προς τους ίδιους άξονες x, y, θα έχουν περιστραφεί κατά 45 ο αντίστροφα από τους δείκτες του ρολογιού Σχήμα 3

34 34 Συνεχίζομε με την αρχή λειτουργίας της συμβολομετρικής μεθόδου ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων Για ευκολία θεωρούμε ότι το βαρυτικό κύμα διαδίδεται κάθετα στο επίπεδο των δυο βραχιόνων που επίσης είναι κάθετοι μεταξύ τους, ΟΑ και ΟΒ, Σχ Το κύμα είναι τύπου + To σύστημα αξόνων είναι το τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων x, yz, Τα κάτοπτρα και ο διαχωριστής φωτός είναι τρεις δοκιμαστικές μάζες (ελεύθερες, δηλαδή σε ελεύθερη πτώση στο πεδίο βαρύτητας του κύματος Αυτό επιτυγχάνεται διότι οι μάζες αυτές είναι αξαρτημένες από νήματα και αποτελούν τρία εκκρεμή που οι περίοδοί τους είναι κατά πολύ μεγαλύτερες από την περίοδο και τη διάρκεια του βαρυτικού κύματος Επίσης πολύ μεγαλύτερες από τη διάρκεια της μέτρησης Η ελεύθερη πτώση που μας ενδιαφέρει νοείται στο επίπεδο xy Το βαρυτικό πεδίο περιγράφεται σε σύστημα συντεταγμένων που είναι το λεγόμενο Tasvese Taceless Gauge (Εγκάρσιας Βαθμίδας Μηδενικού Ίχνους) Ισχύει πως το βαρυτικό κύμα δεν επηρεάζει τη διαμήκη συνιστώσα, z Η μετρική στο επίπεδο x, y είναι ( ) ( ) ds c dt h t dx h t dy Χωρίς βαρύτητα ds c dt dx dy, δηλαδή έχομε μετρική Mkowsk Οι συντεταγμένες x, y ενός σημείου ή ενός «ελεύθερου» δοκιμαστικού σωματίου, είναι σταθερές ανεξάρτητα από την ύπαρξη ή μη βαρυτικού κύματος Από τα προηγούμενα συμπεραίνομε ότι η φυσική απόσταση μεταξύ του σημείου (,) και του σημείου (d x,), πάνω στον άξονα x, είναι d lx ( h )dx Για τον άξονα y έχομε d l ( h )dy Δηλαδή, η φυσική απόσταση μεταξύ δυο y δοκιμαστικών σωματίων σε ελεύθερη πτώση, μεταβάλλεται όταν διέρχεται βαρυτικό κύμα Για κύμα τύπου + οι μεταβολές κατά μήκος των αξόνων είναι αντίθετες, όταν στην διεύθυνση x είναι μεγέθυνση, στην y είναι σμίκρυνση και αντιθέτως Ας δούμε τώρα τι γίνεται με το φως Υποθέτομε ότι από το Ο ξεκινά παλμός φωτός κινούμενος κατά μήκος του x Για το φως ισχύει ds, άρα ct d ( h )dx Δηλαδή d t ( h )dx Για τον άξονα y έχομε ct d ( h )dy και c d t ( h )dy Επομένως, από τα προηγούμενα προκύπτει ότι η φυσική ταχύτητα c του φωτός d l x dt κατά μήκος του x και d l y κατά μήκος του y, είναι η γνωστή c, δηλαδή dt δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη του βαρυτικού κύματος Ας φανταστούμε στη συνέχεια ότι, από το Ο στέλνονται ταυτόχρονα δυο παλμοί φωτός προς τα κάτοπτρα στις διευθύνσεις x και y Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε πότε γύρισε στο Ο παλμός που ξεκίνησε από το Ο και ανακλάστηκε στο κάτοπτρο Α Υποθέτομε ότι η τιμή του h () t δεν μεταβάλλεται σημαντικά από την τιμή που είχε τη στιγμή t που ξεκίνησαν οι παλμοί μέχρι την επιστροφή τους στο Ο, h() t h( t) Αυτό σημαίνει ότι η περίοδος του βαρυτικού κύματος είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τους χρόνους διαδρομής των παλμών στους δυο βραχίονες της διάταξης Έστω t η στιγμή που ο παλμός φτάνει στο Α, από τα προηγούμενα έχομε για τον βραχίονα x, tt h ( t)dx Αφού h έχομε h( t) h( t), μετά την ολοκλήρωση βρίσκομε t t L h ( t ) L

35 35 Για τον βραχίονα y βρίσκομε t t L h ( t), t είναι ο χρόνος διαδρομής από τη θέση Ο στη θέση του κατόπτρου Β Για τις αντίστροφες διαδρομές (τότε ισχύουν dx, dy ) έχομε αντιστοίχως: to t h( t)dxl h( t) L, to t h( t)dxl h( t) L, t, t είναι οι χρόνοι αφίξεως στο Ο των O O παλμών που οδεύουν κατά μήκος του x και y αντιστοίχως Αυτά σημαίνουν ότι οι χρόνοι αφίξεως των δυο παλμών που ξεκίνησαν συγχρόνως, διαφέρουν κατά L Δ t h ( t) Ας φανταστούμε τώρα πως αντί για παλμούς έχομε σύμφωνα αρμονικά c κύματα φωτός λέηζερ Έστω ότι τα δυο κύματα είναι συμφασικά όταν ξεκινούν Είδαμε πως η φυσική ταχύτητα του φωτός είναι c Ας παρακολουθήσομε ένα (θετικό) «μέγιστο» του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, αυτά τα μέγιστα παίζουν το ρόλο του παλμού που μελετήσαμε και εκπέμπονται με ρυθμό που εξαρτάται από τη συχνότητα του φωτός Επίσης, για ευκολία στο συλλογισμό μας, ας υποθέσομε ότι τα μέγιστα για τους δυο βραχίονες ξεκίνησαν τη στιγμή t Αυτά σημαίνουν ότι κατά την άφιξη των δυο L φωτεινών κυμάτων στον ανιχνευτή έχουν διαφορά φάσης Δ Δ t h ( t) c είναι η κυκλική συχνότητα του φωτός του λέηζερ Αν χρησιμοποιήσομε το μήκος κύματος του φωτός βρίσκομε Δ 4π h ( t ) Η ένταση του φωτός στον ανιχνευτή L εξαρτάται από τη διαφορά φάσης, Δ, των δυο συμβαλλόντων φωτεινών κυμάτων, η οποία εξαρτάται από το μέγεθος της βαρυτικής διαταραχής h ( t) Πράγματι, cos( tδ ) cos( t)=cos ( tδ t)cos ( tδ t) cos(δ / ) cos( t Δ /) Όταν δεν υπάρχει διαφορά φάσης, Δ, το πλάτος διπλασιάζεται, προσθετική συμβολή, όταν Δ π, έχομε καταστροφική συμβολή, αλληλοαναίρεση, και το κύμα μηδενίζεται Στην περίπτωσή μας το Δ είναι μικρό Ο ανιχνευτής μας δίνει αυτή τη βαρυτική διαταραχή που αντιστοιχεί στο βαρυτικό κύμα Η διαφορά φάσης εξαρτάται επίσης από το μήκος L των βραχιόνων Οι βραχίονες πρέπει να έχουν μεγάλο μήκος για να είναι το φαινόμενο ανιχνεύσιμο Εδώ αναφερόμαστε απλώς στην βασική αρχή του πειράματος, υπάρχουν βελτιώσεις, όπως η αύξηση του ενεργού μήκους των βραχιόνων αλλά γι αυτό παραπέμπομε στη σχετική βιβλιογραφία Υπάρχει και άλλος τρόπος θεώρησης του ίδιου φαινομένου τον οποίο σκιαγραφούμε στα επόμενα Στην προηγούμενη ανάλυση, ουσιαστικά χρησιμοποιήσαμε συντεταγμένες με χρήση κοσμικών γραμμών που διαγράφουν σημειακές δοκιμαστικές μάζες σε ελεύθερη πτώση Αντί γι αυτό, στη συνήθη πρακτική του εργαστηρίου γίνεται χρήση στερεών μετρητικών διατάξεων (στερεών ράβδων-μέτρων) Στη Γενική Σχετικότητα η κίνηση δεν γίνεται με χρήση της συνήθους βαρυτικής δύναμης αλλά με την καμπύλωση του χωρόχρονου Στη φύση όμως υπάρχουν και οι μη βαρυτικές δυνάμεις, η επίδραση των οποίων μπορεί και περιγράφεται σε αδρανειακά συστήματα συντεταγμένων, όπως πολλές φορές του εργαστηρίου Είναι γεγονός πως στην προσέγγιση που μας ενδιαφέρει εδώ, των ασθενών