5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. 5.1 Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής

Transcript

1 5 5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Θα περιοριστούμε στην κίνηση φορτισμένου σωματίου μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η γενική περίπτωση συστήματος τέτοιων σωματίων με μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις είναι πολύ πιο πολύπλοκη, ιδιαίτερα στα πλαίσια της Ειδικής Σχετικότητας. Ακόμη και χωρίς αλληλεπιδράσεις οι γνωστές έννοιες από τη νευτώνεια μηχανική, όπως κέντρο μάζας κτλ, πρέπει να οριστούν με ιδιαίτερη προσοχή. Γι αυτό που θα αναπτύξομε εδώ υπάρχουν δυο τρόποι αντιμετώπισης, ο ένας τρόπος είναι πιο εύκολος και στηρίζεται σε απλές γενικεύσεις της νευτώνειας μηχανικής ώστε να συμπεριλάβει τα σχετικιστικά φαινόμενα σε κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του Loretz. Ο άλλος τρόπος είναι ο (εμφανώς) συναλλοίωτος φορμαλισμός [(mafestly) covarat formulato]. Σε αυτόν το φορμαλισμό ο χρόνος μαζί με το χώρο σχηματίζουν το χωρόχρονο και εισάγονται ως οι τέσσερις συνιστώσες ενός τετραδιανύσματος. Γενικώς, όλα τα φυσικά μεγέθη είναι συνιστώσες τανυστών, τετραδιανυσμάτων, είναι σπίνορες ή είναι αναλλοίωτα μεγέθη (scalar, βαθμωτά). Με αυτό τον τρόπο γίνεται προφανές το συναλλοίωτο των σχέσεων σε μετασχηματισμούς του Loretz. Αυτός είναι ο ποιο κομψός τρόπος και ανεξάρτητος από το (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται, αλλά είναι πιο δύσκολος στην κατανόηση και χρήση. 5. Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής Στην αρχή θα ακολουθήσομε την πρώτη διαδικασία που αναφέραμε προηγουμένως. Θα προσπαθήσομε να βρούμε μια λαγκρανζιανή που μας οδηγεί στις εξισώσεις του Lagrage με χρήση της αρχής του Hamlto. Έχομε την αρχή μεταβολών του Hamlto t δi δ Ldt (5.) t Οι σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης που πρέπει να βρούμε για ένα σωματίδιο, σε καρτεσιανές συντεταγμένες και αδρανειακό σύστημα αναφοράς (του Loretz), είναι dp mx F, p,,,3 dt. (5.) Μια κατάλληλη λαγκρανζιανή για δυναμική συνάρτηση που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες και το χρόνο είναι η

2 6 Lxxt (,, ) L ( xxt,, ) L L V( xt, ) free ter free x ( x, x, x ), x( x, x, x ) 3 3 (5.3) όπου L ( x, x, t) free είναι η λαγκρανζιανή του ελεύθερου σωματιδίου (ελεύθερη λαγκρανζιανή, δηλαδή χωρίς αλληλεπίδραση) και Lter V( x, t) είναι η λαγκρανζιανή αλληλεπίδρασης με εξωτερική δυναμική συνάρτηση (δυναμικό). Στη συνέχεια κάνομε την ακόλουθη επιλογή για την ελεύθερη λαγκρανζιανή, Lfree( x, x, t) mc, ( x x x 3 ) (5.4) c c Υπάρχουν και άλλες επιλογές για τη λαγκρανζιανή που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις του Lagrage, αλλά αυτή εδώ γίνεται διότι οδηγεί στο ότι η παρακάτω Εξ.(5.9) δίνει και την ενέργεια του συστήματος και επίσης οι συζυγείς ορμές υπολογίζονται όπως και στη νευτώνεια μηχανική. Η αρχή μεταβολών του Hamlto μας οδηγεί στις εξισώσεις του Lagrage Έχομε όμως d L L,,,3 dtx x L mx p,,,3 x. (5.5). (5.6) Επομένως οι εξισώσεις κίνησης για αυτή τη λαγκρανζιανή των Εξ.(5.3) και Εξ. (5.4) είναι d mx dt V F,,,3 x. (5.7) Βρήκαμε τις Εξ.(5.) που θέλαμε, επομένως αυτή η επιλογή της λαγκρανζιανής είναι μια σωστή επιλογή. Παρά τις δυσκολίες που αναφέραμε για συστήματα πολλών σωματιδίων, μπορούμε να γράψομε τις σχέσεις για σύστημα με πολλά σωμάτια, μη αλληλεπιδρώντα μεταξύ τους, θεωρώντας ως λαγκρανζιανή του συστήματος το άθροισμα των λαγκρανζιανών των επιμέρους σωματίων για συγκεκριμένο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Για N σωμάτια η γενικευμένη ορμή του συστήματος θα είναι κατά τα γνωστά L p,,,...,3n q. (5.8) Η ενεργειακή συνάρτηση είναι και σε αυτή τη σχετικιστική περίπτωση 3N. (5.9) h q p L

3 7 Αν L Lqq (, ), δηλαδή η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, τότε η h διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος αφού ισχύει η γνωστή σχέση dh L. dt t Γενικώς η ανωτέρω σχετικιστική λαγκρανζιανή L Lqqt (,, ), δεν είναι άθροισμα ομογενών συναρτήσεων ως προς τις ταχύτητες άρα ούτε και ομογενής βαθμού, γι αυτό δεν μπορούμε να πούμε εκ των προτέρων ότι η h είναι η ενέργεια του συστήματος. Ας κάνομε τον υπολογισμό της h από τις Εξ.(5.3), (5.4) και Εξ. (5.9), βρίσκομε N N mll h mc l l V( x, t) l l l mc V x t T x mc V x t E N N l (, ) ( ) (, ) l l l l x( x, x,..., x ), x ( x, x,..., x ) 3N 3N (5.) Παρατηρούμε ότι και στη σχετικιστική περίπτωση η h είναι η ολική ενέργεια και μάλιστα η σχετικιστική ενέργεια αφού περιλαμβάνει και τις ενέργειες ηρεμίας των σωματίων. Η ολική ενέργεια διατηρείται αν η δυναμική συνάρτηση, άρα και η λαγκρανζιανή, δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Έστω η περίπτωση της εξωτερικής ηλεκτρομαγνητικής επίδρασης σε φορτισμένο κινούμενο σωμάτιο, η κατάλληλη λαγκρανζιανή σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι Lmc qe qea (5.) ( xt, ), A Axt (, ). Εδώ η λαγκρανζιανή αλληλεπίδρασης είναι L q q A. (5.) ter e e Η γενικευμένη ορμή είναι mx p q e A,,,3. (5.3) Η ενεργειακή συνάρτηση ισούται με τη σχετικιστική ενέργεια, συγκεκριμένα έχομε h mc e q x t ( ) q (, ) 3 3 (, ) x( x, x, x ), x ( x, x, x ) E h. m T x mc e x t E (5.4)

4 8 Δηλαδή η σχετικιστική ενέργεια δίνεται από την ίδια σχέση Εξ.(5.). Η ενεργειακή συνάρτηση και η ίση της (σχετικιστική) μηχανική ενέργεια εξαρτώνται μόνο από το βαθμωτό δυναμικό. Η σχετικιστική μηχανική ενέργεια είναι άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας, της κινητικής ενέργειας και του όρου της δυναμικής συνάρτησης που περιέχει το βαθμωτό δυναμικό, αυτή είναι ουσιαστικά η δυναμική ενέργεια. Στο κινούμενο σωμάτιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ασκείται ηλεκτρική δύναμη Axt (, ) Fe qee qe ( x, t) qe και μαγνητική δύναμη F m qe A ( x, t). t Στη μηχανική ενέργεια υπεισέρχονται όροι που σχετίζονται με την ηλεκτρική δύναμη που προκύπτει από την κλίση του βαθμωτού δυναμικού, δηλαδή ο όρος είναι το βαθμωτό δυναμικό επί το φορτίο. Η μαγνητική δύναμη δεν προκύπτει με τέτοιο τρόπο και δεν παράγει έργο κατά την κίνηση του φορτίου. Ούτε ο άλλος όρος της ηλεκτρικής δύναμης προκύπτει έτσι, είναι όρος που οφείλεται στην ηλεκτρομαγνητική επαγωγή και μπορεί να παράγει έργο επί του σωματίου. Τελικώς συμπεραίνομε ότι οι όροι που περιέχουν το διανυσματικό δυναμικό δεν παίζουν ρόλο στη μηχανική ενέργεια και επομένως το διανυσματικό δυναμικό δεν υπεισέρχεται στη μηχανική ενέργεια. Μπορεί να οριστεί ως δυναμική ενέργεια το μέγεθος Uqqt (,, ) V( q, t) q U( q, q, t). q Η μηχανική ενέργεια είναι E T V( q, t) E. Η ενέργεια ηρεμίας, E, δεν χρειάζεται στη μη σχετικιστική μηχανική, διότι σε αυτή την περίπτωση, είναι πάντοτε σταθερή αφού δεν γίνεται μετατροπή ενέργειας ηρεμίας σε κινητική ή δυναμική ενέργεια. Δηλαδή, ίδια ισχύουν για μη σχετικιστική μηχανική με τη διαφορά πως δεν υπάρχει ο όρος ενέργειας ηρεμίας. Απαντήστε στο ερώτημα: Αν το βαθμωτό δυναμικό δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο διατηρείται η ενέργεια; 5. Εμφανώς συναλλοίωτος λαγκρανζιανός φορμαλισμός Σε ότι ακολουθεί σε αυτή την ενότητα, ισχύει η άθροιση άνω και κάτω δεικτών που χρησιμοποιείται στον τανυστικό λογισμό. Η αρχή του Hamlto θα είναι σε μορφή εμφανώς συναλλοίωτη (mafestly covarat). Αυτό σημαίνει ότι κατά την πραγματική κίνηση, το ολοκλήρωμα δράσης πρέπει να είναι μια παγκόσμια βαθμωτή ποσότητα. Κατά την πραγματική κίνηση, ο χρόνος δεν θα είναι ανεξάρτητος από τις συντεταγμένες θέσης και μαζί τους θα σχηματίζει ένα τετραδιάνυσμα. Για την περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος στο θεσικό χώρο στο φορμαλισμό με θεωρία μεταβολών πρέπει να διαλέξομε μια βαθμωτή παράμετρο. Αυτά σημαίνουν ότι και η λαγκρανζιανή θα είναι βαθμωτό μέγεθος. Επίσης, με αυτή τη φιλοσοφία, η λαγκρανζιανή πρέπει να είναι συνάρτηση όχι των συνήθων συντεταγμένων αλλά συντεταγμένων του χώρου του Mkowsk (τετραχώρος) και των παραγώγων τους ως προς την ανωτέρω παράμετρο. Θα

5 9 ασχοληθούμε μόνο με σύστημα ενός σωματίου με μη μηδενική μάζα. Μια βαθμωτή παράμετρος που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος στο θεσικό χώρο, είναι ο ιδιόχρονος (κύριος χρόνος) του σωματίου (proper tme). Σε αυτή την περίπτωση, κατά την «πραγματική» κίνηση, οι συνιστώσες της γενικευμένης dx ταχύτητας u, u x δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά ικανοποιούν τη d δεσμευτική σχέση u u u u c (5.5) Θυμίζομε τις σχέσεις dx u u u u u u x d 3 x ct, x x, x y, x z 3 (,,, ), =,,,3 ds c d c d t (d x ) (d x ) (d x ) 3 (5.6) Η λαγκρανζιανή ελεύθερου σωματίου της Εξ.(5.4), γραφτεί ως L mc, μπορεί να free L free mc Το ολοκλήρωμα δράσης γίνεται u u,. (5.7) I mc u u d. (5.8) Η εξίσωση κίνησης που περιμένομε να πάρομε εφαρμόζοντας την αρχή του Hamlto είναι η d u u d που προφανώς ισχύει για ελεύθερο σωμάτιο. Όμως όπως είπαμε έχομε τη δεσμευτική σχέση της Εξ.(5.5) ή την ισοδύναμή της u du uu d. (5.9) Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αντιμετώπισης του θέματος. Για παράδειγμα, μπορεί κάποιος να υποθέσει ότι αυτή η δεσμευτική σχέση ισχύει και για τις γειτονικές μη πραγματικές τροχιές και να χειριστεί το θέμα με χρήση της τεχνικής των πολλαπλασιαστών του Lagrage. Εδώ θα ακολουθήσομε τη διαδικασία όπου η δεσμευτική σχέση δεν ισχύει για τις παραλλαγμένες διαδρομές αλλά μόνο για την τελική, την πραγματική διαδρομή. Ακολουθούμε, ουσιαστικά, παρόμοια διαδικασία όπως αυτή που ακολουθήσαμε για τη Γενική Σχετικότητα. Ουσιαστικά οι Εξ. (5.5), (5.9) δεν είναι συνήθεις, δυναμικές,

6 δεσμευτικές σχέσεις της κίνησης, είναι μια γεωμετρική συνέπεια του τρόπου που ορίστηκε το. Αυτές οι δεσμευτικές σχέσεις μας λένε ότι δε μπορούμε να βρισκόμαστε στον όλο τετραδιάστατο χώρο του u. Είμαστε περιορισμένοι σε μια τρισδιάστατη επιφάνεια του όλου χώρου. Ο Drac ονομάζει τέτοιες δεσμευτικές σχέσεις ασθενείς εξισώσεις. Σύμφωνα με αυτή την ιδέα μπορούμε να θεωρήσομε τα u ανεξάρτητα και αφού γίνουν όλες οι παραγωγίσεις, στο τέλος να χρησιμοποιηθούν οι ανωτέρω δεσμευτικές σχέσεις. Η διαφορική παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα στην Εξ.(5.8) είναι το στοιχειώδες μήκος στον τετραχώρο, πράγματι ds u u d x x d g dx dx όπου g, g, g, g 33 g,, dscd. Κατά την κίνηση και στην περίπτωση της Ειδικής Σχετικότητας, το τετραμήκος είναι στάσιμο. Λαμβάνομε ως παράμετρο περιγραφής της κίνησης μια παράμετρο που το χαρακτηριστικό της είναι πως είναι μονότονη συνάρτηση του ιδιόχρονου, κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς. Κατά τα άλλα είναι αυθαίρετη παράμετρος. Αυτά μας οδηγούν στο να αντικατασταθεί το ολοκλήρωμα δράσης της Εξ.(5.8) με το ολοκλήρωμα δράσης dx dx mc g d d d (5.) Κατά μήκος της κίνησης (μόνο), L mc σταθ. Οι συντεταγμένες είναι συναρτήσεις του, x x ( ). Αφού δεν έχομε δεσμευτική σχέση, μπορούμε να κάνομε τις δυνατές dx μεταβολές ελεύθερα. Ορίζομε x. d Η αρχή των μεταβολών, αρχή του Hamlto, δίνει τις εξισώσεις των Euler- Lagrage, Οπότε έχομε d L L d x x d x d xx / (5.) (5.) Σε αυτό το σημείο που καταλήξαμε στη (διαφορική) εξίσωση για την πραγματική κίνηση, επιβάλομε τη δεσμευτική σχέση (5.5) οπότε έχομε dx dx g d cd d d Η σχέση (5.) ισχύει κατά την (πραγματική) κίνηση, το έχει γίνει, οπότε ο παρονομαστής είναι μια σταθερά, έτσι βρίσκομε τις γνωστές σχέσεις

7 d x d x (5.3) που είναι η σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης ελεύθερου σωματίου. Το τετραμήκος της πραγματικής διαδρομής (κοσμικής τροχιάς του σωματίου) στον τετραχώρο, σε αυτή την περίπτωση, γίνεται μέγιστο. Δηλαδή έχομε τον μέγιστο ιδιόχρονο μεταξύ των δυο άκρων. Η τροχιά είναι γεωδαισιακή τροχιά. Στην περίπτωση φορτισμένου σωματίου σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο η μορφή για την λαγκρανζιανή αλληλεπίδρασης είναι αυτή της Εξ.(5.), ξεκινούμε με την ολική λαγκρανζιανή L mc g x x qe x A ( x) (5.4) Με την προηγούμενη διαδικασία βρίσκομε mc g x x + qex A ( x) d (5.5) Τελικώς καταλήγομε στις εξισώσεις Euler-Lagrage d L L d x x. (5.6) Μετά από πράξεις αυτή γίνεται A ( x) mx qea ( x) qex. (5.7) x Όμως έχομε A x A, x mx q A A x. (5.8) άρα e Αυτή είναι η εξίσωση κίνησης με τη δύναμη του Loretz.

8 6. ΧΑΜΙΛΤOΝΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με μιαν άλλη θεώρηση της μηχανικής που αναφέρεται ως φορμαλισμός του Hamlto, χαμιλτονιανός φορμαλισμός. Από πλευράς φυσικής δεν προστίθεται κάτι καινούργιο όμως πρόκειται για μια πιο δυνατή μέθοδο εργασίας με τις αρχές της φυσικής που είναι ήδη καθιερωμένες. Η χαμιλτονιανή μέθοδος δεν είναι ανώτερη από τη λαγκρανζιανή μέθοδο κατά την άμεση λύση προβλημάτων της μηχανικής. Το προσόν αυτής της μεθόδου είναι ότι είναι η βάση της προχωρημένης θεωρητικής μηχανικής και βάζει τα θεμέλια για θεωρητικές επεκτάσεις σε πολλές περιοχές της φυσικής. Τέτοιες περιπτώσεις στα πλαίσια της ίδιας της μηχανικής είναι η θεωρία των Hamlto-Jacob, διαταραχές και χάος. Έξω από την μηχανική την ίδια, αυτός ο φορμαλισμός παρέχει ένα μεγάλο μέρος από τη γλώσσα της στατιστικής μηχανικής και της κβαντομηχανικής. Σε ότι ακολουθεί υποθέτομε ότι οι δυνάμεις είναι μονογενείς, τα δυναμικά συστήματα είναι ολόνομα χωρίς δεσμούς, δηλαδή οι δεσμοί έχουν απαλειφτεί με την κατάλληλη επιλογή (γνήσιων) γενικευμένων συντεταγμένων, έχομε δηλαδή λαγκρανζιανά δυναμικά συστήματα. 6. Εξισώσεις του Hamlto Για λαγκρανζιανό δυναμικό σύστημα ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrage, d L L,,,..., t q q d. (6.) Οι εξισώσεις κίνησης είναι δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση καθορίζεται από αρχικές τιμές. Αυτές μπορεί να είναι οι τιμές των q ( t ) και οι τιμές των q () t κάποια χρονική στιγμή t, ή οι τιμές των q ( t ) δυο χρονικές στιγμές t, t, δηλαδή έχομε αρχικά μεγέθη. Οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες. Οι εξισώσεις Χάμιλτον είναι το πλήθος και είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Οι εξισώσεις του Hamlto συνηθίζεται να λέγονται και κανονικές εξισώσεις. Μπορεί κάποιος να καταλήξει στις εξισώσεις χάμιλτον χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις κίνησης του Lagrage και το μετασχηματισμό του Legedre αλλά μπορεί να ακολουθήσει και άλλη μέθοδο, μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrage. Ας ακολουθήσομε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Legedre (βλέπε παράρτημα Π6). Οι μεταβλητές στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό είναι οι qq,. Στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό είναι οι μεταβλητές q, p όπου p οι συζυγείς ορμές Lqqt (,, ) p,,,...,. (6.) q Στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό που θα αναπτύξομε δε μπορεί να υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών q, p, αυτές είναι ανεξάρτητες. Θα επανέλθομε σε αυτό

9 3 το θέμα αργότερα. Θα χρησιμοποιήσομε μετασχηματισμό Legedre ως προς τις ταχύτητες q οι οποίες θεωρούνται ανεξάρτητες των q. Έχομε L L L dl dq dq dt q q t (6.3) Από τις Εξ.(6.) και Εξ. (6.) βρίσκομε ότι L p (6.4) q επομένως η Εξ.(6.3) δίνει L dl p dq pdq dt. (6.5) t Η χαμιλτονιανή H ( q, p, t ) θα είναι η νέα συνάρτηση αντί της λαγκρανζιανής L( qqt,, ) που κατασκευάζεται σύμφωνα με το μετασχηματισμό Legedre, παράρτημα Π6. Ας ξεκινήσομε από την περίεργη συνάρτηση H ( q, p, t, q ) H ( q, p, t, q) q p L( q, q, t). (6.6) Όταν τα q έχουν εκφρασθεί ως προς ( q, p, t ) μέσω της Εξ.(6.) αυτή θα είναι η χαμιλτονιανή H ( q, p, t ). Οι συναρτήσεις h( q, q, t), H( q, q, p, t), H( q, p, t) έχουν στα ίδια «σημεία» ίδιες τιμές, αλλά είναι εκφρασμένες ως προς διαφορετικές μεταβλητές. Η μια μετατρέπεται στην άλλη με κατάλληλους μετασχηματισμούς των μεταβλητών τους. Από την Εξ.(6.6) με χρήση και της Εξ.(6.5) βρίσκομε L dh qdp pdq p dq pdq dt t L qdp p dq dt t (6.7) Αν διαφορίσομε τη χαμιλτονιανή H ( q, p, t ) βρίσκομε H H H dh d q + d p+ dt q p t. (6.8) Προφανώς dh dh άρα από τις Εξ.(6.7), (6.8) και (6.4) καταλήγομε στις σχέσεις

10 4 H q p H p,,,..., q. (6.9) L H L H, t t q q Από αυτές οι πρώτες εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις του Hamlto. Είναι σύστημα από διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης ως προς το χρόνο. Είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες εξισώσεις δεύτερης τάξης του Lagrage. Παρόλο που οι πρώτες από τις κανονικές εξισώσεις είναι οι αντεστραμμένες εξισώσεις ορισμού των συζυγών ορμών Εξ.(6.) και δεν δίνουν επομένως τίποτα καινούργιο, όμως μη ξεχνούμε ότι οι εξισώσεις του Hamlto μπορεί να ληφθούν ως η αρχή και όχι ότι προήλθαν από το μετασχηματισμό του λαγκρανζιανού φορμαλισμού. Δηλαδή μπορεί να ξεκινήσομε με μια χαμιλτονιανή που δεν έχει σημασία πως τη βρήκαμε και τότε η Εξ.(6.) δεν προϋπάρχει του χαμιλτονιανού φορμαλισμού και δεν υπεισέρχεται σε αυτόν. Ο μετασχηματισμός Legedre παρουσιάζει δυϊκότητα και γι αυτό λέγεται και δυϊκός μετασχηματισμός. Η δυϊκότητα φαίνεται στα παρακάτω, Παλιό σύστημα Νέο σύστημα Συνάρτηση: Lqqt (,, ) Hqpt (,, ) Μεταβλητές: q p Δυϊκός μετασχηματισμός (μετασχηματισμός Legedre) Lqqt (,, ) H( q, pt, ) p q q p H pq ( qpt,, ) L qqqpt, (,, ), t L p( qqtq,, ) H q, pqqt (,, ), t H H( q, p, t) L L( q, q, t) (6.) Η τυπική διαδικασία για να βρούμε τη χαμιλτονιανή ξεκινώντας από τη λαγκρανζιανή είναι αυτή που ακολουθεί.. Με τις επιλεγμένες γενικευμένες συντεταγμένες q,,,..., φτιάχνεται η λαγκρανζιανή L( qqt,, ).. Ορίζονται οι συζυγείς ορμές με τις Εξ.(6.) ως συναρτήσεις των qqt,,. 3. Χρησιμοποιείται η Εξ.(6.6) για να οριστεί η περίεργη συνάρτηση H ( qq,, pt, ) που θα οδηγήσει στη χαμιλτονιανή. 4. Οι Εξ.(6.) αντιστρέφονται και μας δίνουν τα q συναρτήσει των qpt.,, 5. Με το αποτέλεσμα του βήματος 4 απαλείφονται τα q από την H ( qq,, pt, ) και προκύπτει η ζητούμενη χαμιλτονιανή H ( q, p, t ).

11 5 Ξέροντας τη χαμιλτονιανή γράφομε τις εξισώσεις κίνησης του Hamlto για το εξεταζόμενο δυναμικό σύστημα. Με αντίστροφη (δυϊκή) διαδικασία μπορούμε από τη χαμιλτονιανή να βρούμε τη λαγκρανζιανή. Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να απλοποιήσομε την ανωτέρω διαδικασία εύρεσης της χαμιλτονιανής. Όπως είπαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο, σε πολλά προβλήματα η λαγκρανζιανή μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ομογενών όρων ως προς τις ταχύτητες, βαθμών,,. Τότε η ενεργειακή συνάρτηση h που ορίζεται από την Εξ.(4.) που είναι η ανάλογη της Εξ.(6.6) η οποία ορίζει την H, δίνεται από τη σχέση h L L. Όπως είπαμε προηγουμένως, τα μεγέθη hh,, H είναι εκφράσεις του ίδιου μεγέθους ως προς διαφορετικές μεταβλητές. Αν εκφράσομε τις ταχύτητες με τη χρήση των Εξ.(6.) συναρτήσει των qpt,, βρίσκομε από την hqqt (,, ) L L, τη χαμιλτονιανή, Hqpt (,, ) L L. Ουσιαστικά δεν χρειαζόμαστε το βήμα 3. Αν επιπλέον T T, το T δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, τότε L Tqq (, ). Όπως έχομε ξαναπεί στην παράγραφο 4. αυτό μπορεί να συμβεί, π.χ. αν οι σχέσεις που μετασχηματίζουν από τις καρτεσιανές στις γενικευμένες συντεταγμένες δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο. Στην ίδια παράγραφο είδαμε ότι αν επιπλέον η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες οπότε V V( q, t) τότε L V. Σε αυτή την περίπτωση ht( q, q ) V( q, t) E δηλαδή η ενεργειακή συνάρτηση είναι η ολική μηχανική ενέργεια. Αν εκφράσομε με χρήση των Εξ.(6.) τις ταχύτητες συναρτήσει των qpt,, τότε αν ξέρομε την έκφραση της ολικής ενέργειας καταλήγομε στη χαμιλτονιανή, διότι τώρα H ( q, p, t,) E T V. Δηλαδή δεν χρειαζόμαστε και πάλι το βήμα 3. Στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό η κίνηση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται στο θεσικό χώρο με τις ανεξάρτητες συντεταγμένες q ( t),,,...,. Στο χαμιλτονιανό φορμαλισμό η κίνηση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται στο φασικό χώρο (phase space) όπου οι ανεξάρτητες συντεταγμένες είναι τα qt (), pt (). 6. Αγνοήσιμες συντεταγμένες και θεωρήματα διατήρησης Ανεξάρτητα του πως βρήκαμε τη χαμιλτονιανή του συστήματος που εξετάζομε, αν λείπει από τη χαμιλτονιανή η συντεταγμένη r, τότε η αντίστοιχη κανονική εξίσωση του Χάμιλτον δίνει H L p r, pr σταθερά της κίνησης. (6.) q q r r Αν μια συντεταγμένη λείπει από τη λαγκρανζιανή (είναι αγνοήσιμη, αλλιώς κυκλική), προφανώς θα λείπει και από τη χαμιλτονιανή διότι ακολουθείται η προηγούμενη διαδικασία για να κατασκευάσομε τη χαμιλτονιανή από τη λαγκρανζιανή. Αν η H δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο τότε με χρήση και των εξισώσεων του Hamlto θα δείξομε ότι είναι σταθερά της κίνησης. Πράγματι έχομε

12 6 d Hqpt (,, ) H H H q p dt q p t H H q, p p q (6.) dh H L. dt t t Η τελευταία σχέση ισχύει κατά την κίνηση, άρα H ( q, p) σταθερά της κίνησης. (6.3) Έστω ότι για κάποιο μηχανικό σύστημα κάνομε μετασχηματισμό συντεταγμένων από καρτεσιανές σε γενικευμένες συντεταγμένες, όπου λαμβάνονται υπόψη και οι δεσμοί που μπορεί να εξαρτώνται άμεσα και από το χρόνο. Οι αρχικές καρτεσιανές συντεταγμένες αναφέρονται σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Σημειώνομε ότι όταν ένας τέτοιος μετασχηματισμός εφαρμοστεί στις φυσικές ποσότητες LTV,,, E, αυτές εξαρτώνται από τις γενικευμένες συντεταγμένες και τις παραγώγους τους ως προς το χρόνο (ταχύτητες), γενικώς μπορεί να αλλάξει τη συναρτησιακή μορφή τους αλλά οι τιμές τους στα αντίστοιχα σημεία δεν μεταβάλλονται. Το μηχανικό σύστημα εξετάζεται ως προς το ίδιο αρχικό σύστημα αναφοράς και απλώς μεταβάλλονται οι γενικευμένες συντεταγμένες περιγραφής του, ενώ μπορεί να υπάρχει και ο χρόνος στις εξισώσεις μετασχηματισμού. Αυτό σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός, για παράδειγμα της κινητικής ενέργειας, που είναι απλώς μια απλή αντικατάσταση των διαφόρων συντεταγμένων με τις εκφράσεις τους συναρτήσει των «νέων» συντεταγμένων, αλλάζει τη συναρτησιακή μορφή της κινητικής ενέργειας αλλά δεν μεταβάλλει την τιμή της στα αντίστοιχα σημεία, βλέπε Παράρτημα Π. Η κινητική ενέργεια εξακολουθεί να είναι ως προς το ίδιο σύστημα αναφοράς παρόλο που είναι δυνατό το φυσικό νόημα των νέων συντεταγμένων να είναι συντεταγμένες ως προς άλλο σύστημα αναφοράς που κινείται κατά γνωστό τρόπο ως προς το αρχικό. Αν ο μετασχηματισμός περιέχει άμεσα και το χρόνο είναι δυνατόν οι νέες συντεταγμένες να είναι ως προς κινούμενο σύστημα αναφοράς. Οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων από ένα σύστημα αναφοράς σε άλλο σύστημα αναφοράς που κινείται ως προς το πρώτο, εξαρτώνται άμεσα από το χρόνο, όμως αν ένας μετασχηματισμός εξαρτάται άμεσα από το χρόνο δεν είναι κατ ανάγκη τέτοιος μετασχηματισμός, απλώς είναι δυνατόν οι δεσμευτικές σχέσεις να εξαρτώνται άμεσα από το χρόνο. Τονίζομε επίσης ότι η κινητική ενέργεια ως προς το κινούμενο σύστημα αναφοράς δεν είναι η παραπάνω μετασχηματισμένη κινητική ενέργεια, ως προς το κινούμενο σύστημα αναφοράς, έχει διαφορετικές τιμές από αυτές στα αντίστοιχα σημεία του αρχικού συστήματος αναφοράς και υπολογίζεται από τη σχέση mr με ταχύτητες τις ταχύτητες των σωματίων ως προς το νέο σύστημα αναφοράς (σχετικές ταχύτητες). Προφανώς ανάλογα ισχύουν και για τη μηχανική ενέργεια. Τονίζομε επίσης ότι η ενεργειακή συνάρτηση ως προς τις νέες συντεταγμένες δεν βρίσκεται με απλή εφαρμογή του μετασχηματισμού συντεταγμένων.

13 7 Αν οι εξισώσεις μετασχηματισμού δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο και η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες ( V V( q, t) ), τότε η ενέργεια ισούται με την ενεργειακή συνάρτηση και με τη χαμιλτονιανή αφού η τελευταία είναι η ενεργειακή συνάρτηση με διαφορετικές συντεταγμένες, δηλαδή τις ( q, p ), E h, E H T V. (6.4) Αν επιπλέον η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο (εδώ, αυτό σημαίνει ότι V V( q) ), τότε έχομε, E H T V σταθερά της κίνησης. Γενικώς, αν η λαγκρανζιανή ή η χαμιλτονιανή μένουν αναλλοίωτες στη μορφή ως προς διάφορους μετασχηματισμούς, π.χ. σε περιστροφές περί άξονα, τότε υπάρχει κάποια συζυγής ορμή, π.χ. η στροφορμή περί τον εν λόγω άξονα, που διατηρείται. Αυτά εκφράζονται πολύ καλύτερα με χρήση του πρώτου θεωρήματος της Noether. Το να είναι η χαμιλτονιανή ή η ενεργειακή συνάρτηση σταθερά της κίνησης είναι ανεξάρτητο από το αν ισούται με τη μηχανική ενέργεια. Επίσης μπορεί οι ανωτέρω εξισώσεις μετασχηματισμού να εξαρτώνται άμεσα από το χρόνο ενώ η λαγκρανζιανή (και η χαμιλτονιανή) να μην εξαρτάται, τότε διατηρείται η ενεργειακή συνάρτηση και η χαμιλτονιανή αλλά δεν είναι ίσες με τη μηχανική ενέργεια. Η χρήση διαφορετικών γενικευμένων συντεταγμένων για κάποιο συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα, μπορεί να αλλάξει και τη μορφή της ενεργειακής συνάρτησης και της χαμιλτονιανής και τις τιμές τους. Η ενεργειακή συνάρτηση ή η χαμιλτονιανή μπορεί να διατηρείται για κάποιες συντεταγμένες και για άλλες όχι. Επίσης μπορεί να είναι η ενέργεια για κάποιες και για άλλες να μην είναι. Η λαγκρανζιανή είναι μια ειδική συνάρτηση η οποία μπορεί να αλλάζει μορφή με την αλλαγή συστήματος γενικευμένων συντεταγμένων, που μπορεί να περιλαμβάνει και αλλαγή συστήματος αναφοράς, αλλά η τιμή της μένει ίδια. Στη φυσική (φυσιολογική) της μορφή μπορεί να υπολογιστεί κατά τα γνωστά από τη σχέση LT U, ή την LT V. Σημειώνομε ότι σε αντίθεση με τις άλλες ποσότητες, τις hhtvu,,,,, μια λαγκρανζιανή μπορεί να βρεθεί για κάθε σύστημα αναφοράς, ξεκινώντας από ένα αρχικό σύστημα αναφοράς όπου είναι γνωστή μια λαγκρανζιανή, με απλή εφαρμογή των εξισώσεων μετασχηματισμού, δηλαδή με απλή αντικατάσταση. Αυτή έχει διαφορετική μορφή για διαφορετικές συντεταγμένες, συμπεριλαμβανομένης της περίπτωσης αλλαγής συστήματος αναφοράς, αλλά οι τιμές τις στα αντίστοιχα σημεία είναι ίδιες. Δηλαδή, είναι αναλλοίωτη ως προς την τιμή της και είναι η σωστή λαγκρανζιανή στις νέες συντεταγμένες. Αυτό δεν συμβαίνει για τις άλλες ποσότητες που αναφέραμε παραπάνω, HhE.,, Ακόμη αναφέρομε ότι μπορεί η λαγκρανζιανή που υπολογίζεται με αυτό τον τρόπο να διαφέρει από αυτήν που υπολογίζεται απευθείας ως προς το δεύτερο σύστημα αναφοράς, αλλά και αυτή είναι μια κατάλληλη λαγκρανζιανή που οδηγεί στις ίδιες, σωστές, εξισώσεις κίνησης. Προσοχή! Μετά από αλλαγή συντεταγμένων για τη λαγκρανζιανή, τα hh, πρέπει να υπολογιστούν από την νέα λαγκρανζιανή με τη γνωστή διαδικασία, εκτός αν ισχύουν οι ειδικές περιπτώσεις που έχομε αναφέρει όπου αυτά συμπίπτουν με την ενέργεια. Σημειώνομε ότι το κριτήριο για τη διατήρηση της ενεργειακής συνάρτησης είναι L H L. Για τη χαμιλτονιανή το κριτήριο διατήρησής της είναι ή. t t t

14 8 Προσοχή στα κριτήρια! Αν η έκφραση της μηχανικής ενέργειας δεν περιέχει άμεσα το χρόνο αυτό δεν σημαίνει πως αυτή διατηρείται. Το απλό μονοδιάστατο παράδειγμα που ακολουθεί είναι χρήσιμο για την κατανόηση αυτών των εννοιών. Στο Σχ.(6.) έχομε ένα σωμάτιο μάζας m στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου με σταθερά επαναφοράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε καρότσι που κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η θετική φορά είναι προς τα δεξιά. Έστω x η συντεταγμένη του σωματίου ως προς το ακίνητο (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο κινείται το καρότσι. Προφανώς και το καρότσι είναι αδρανειακό σύστημα. Έστω x η συντεταγμένη του σωματίου ως προς το σταθερό στο καρότσι άκρο του ελατηρίου, δηλαδή ως προς το κινούμενο με το καρότσι σύστημα αναφοράς. Ο μετασχηματισμός μεταξύ x και x είναι μετασχηματισμός που περιέχει άμεσα και το χρόνο. Ας περιγράψομε την κίνηση με βάση τη συντεταγμένη x. Η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από την επιμήκυνση του ελατηρίου. Σχήμα 6. Αρμονικός ταλαντωτής στερεωμένος σε καρότσι που κινείται με σταθερή ταχύτητα. Για ευκολία, ας υποθέσομε ότι έχομε μια κατάλληλη κατασκευή τέτοια που το «φυσικό μήκος» του ελατηρίου είναι μηδέν, δηλαδή όταν x η δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου είναι μηδέν. Θεωρούμε επίσης ότι τη στιγμή t το δεμένο στο καρότσι άκρο του ελατηρίου περνά από την αρχή του ακίνητου συστήματος αναφοράς. Θα ξεκινήσομε να υπολογίζομε τα διάφορα μεγέθη ως προς το αδρανειακό (ακίνητο σύστημα) αναφοράς, με συντεταγμένη την x. Η δυναμική ενέργεια είναι V( x, t) kx t. (6.5) Έχομε για την κινητική ενέργεια ως προς το ακίνητο σύστημα T mx. (6.6) Επομένως

15 9 (,, ). (6.7) L xxt mx k x t Το δυναμικό δεν εξαρτάται από την ταχύτητα x. Η ενεργειακή συνάρτηση, η ενέργεια και η γενικευμένη ορμή είναι: L ( h x L mx k xt ) V E x L p mx, x p/ m. x (6.8) Σύμφωνα με όσα είπαμε βρίσκομε ότι η χαμιλτονιανή είναι: p k (6.9) m H( x, p, t) ( x t) E L H Έχομε ότι h E, H E. Αφού η, δεν διατηρούνται η h και η H t t κατά την κίνηση του συστήματος, άρα δεν διατηρείται ούτε η ενέργεια. Αυτό είναι κατανοητό διότι ο δεσμός ο οποίος αναγκάζει το άκρο του ελατηρίου που είναι στερεωμένο στο καρότσι να κινείται με ταχύτητα, ασκεί δύναμη (δεσμού) που εκτελεί έργο επί του ελατηρίου κατά την (πραγματική) κίνηση, εφόσον το σημείο εφαρμογής της μετατοπίζεται με το χρόνο. Έστω στη συνέχεια ότι χρησιμοποιούμε και πάλι ως προς το ακίνητο σύστημα αναφοράς, ως συντεταγμένη την x, θα έχομε: x x t. (6.) Αυτός είναι ο μετασχηματισμός μεταξύ συντεταγμένων που περιέχει άμεσα και τον χρόνο. Για την κινητική ενέργεια, για τη δυναμική συνάρτηση και για τη λαγκρανζιανή, ως προς το ακίνητο σύστημα, βρίσκομε x x m x m T( x, x, t) mx T ( x ) m( x ) m x k V( x, t) kxt V( x, t) ( x) m x m k Lxxt (,, ) TV L( x, x) m x ( x) (6.) Η h και η H είναι:

16 h mx kx m E p H kx p E. m (6.) L Εφόσον και τα h, H διατηρoύνται κατά την πραγματική κίνηση, t t αλλά, όπως σημειώσαμε και θα δούμε παρακάτω, δεν είναι η ενέργεια του συστήματος ως προς το ακίνητο σύστημα αναφοράς που εργαζόμαστε. Με τα παραπάνω κριτήρια δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν η ενέργεια διατηρείται. Η ενέργεια του συστήματος ως προς το ακίνητο σύστημα, με μεταβλητές τα x, x και x, p, είναι: k ETV mx m x m x L p p, x x m p k E( x, p) x. m (6.3) Επομένως, πράγματι h( x, x ) E( x, x ) και H ( x, p) E( x, p). Θα εξετάσομε χωριστά τι γίνεται με την ενέργεια. Η ενέργεια είναι ανεξάρτητη του χρόνου, ας δούμε αν διατηρείται ή όχι. Υπολογίζομε την έκφραση d E και την εξίσωση κίνησης dt την οποία θα χρησιμοποιήσομε για να βρούμε την εξέλιξη της ενέργειας με το χρόνο κατά την πραγματική κίνηση: de x ( mx kx) m x dt mx kx de άρα m x. dt (6.4) Παρατηρούμε ότι d E, επομένως η ενέργεια παρόλο που δεν εξαρτάται άμεσα dt από το χρόνο, δεν διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος. Ας μεταβούμε τώρα στο κινούμενο σύστημα αναφοράς όπου θα εξετάσομε μόνο την περίπτωση με συντεταγμένη την x που είναι και το πλέον «φυσιολογικό» να κάνομε. Αυτό το σύστημα είναι επίσης αδρανειακό επομένως δεν υπάρχουν αδρανειακές δυνάμεις, έχομε:

17 k mx, V x k E T V mx x k L T V mx x k h mx x L p p, x x m p k p k E x, H x. m m (6.5) L H Όπως αναμέναμε ισχύουν h E, H E,,, επομένως τα t t h, E, H διατηρούνται. Τώρα θα ξεκινήσομε από την λαγκρανζιανή στο ακίνητο σύστημα, με συντεταγμένη την x και με απλή εφαρμογή του μετασχηματισμού από x σε x θα δούμε σε τι καταλήγομε. L mx k ( x t ) x x t, x x L mx kx m x m (6.6) Η λαγκρανζιανή που βρίσκομε διαφέρει από αυτήν που βρήκαμε κάνοντας υπολογισμούς ως προς το κινούμενο σύστημα, όμως η διαφορά είναι κατά μια σταθερά και μια ολική παράγωγο συνάρτησης του x. Αυτό σημαίνει ότι και αυτή η λαγκρανζιανή είναι σωστή λαγκρανζιανή του συστήματος και οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις κίνησης. Από όλες τις συναρτήσεις που αναφέραμε μόνο η λαγκρανζιανή μπορεί να πει κάποιος ότι είναι ανεξάρτητη του συστήματος συντεταγμένων συμπεριλαμβανομένου του συστήματος αναφοράς. Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να αναφερόμαστε σε λαγκρανζιανή κάποιου μηχανικού συστήματος, γενικώς, χωρίς αναφορά στις γενικευμένες συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται. Τονίζομε ξανά Προσοχή! Αυτό δεν ισχύει για τις άλλες ποσότητες. Έστω ότι έχομε τη σωστή ενεργειακή συνάρτηση ως προς τις αρχικές συντεταγμένες και ταχύτητες. Αν απλώς αντικαταστήσομε σε αυτή την έκφραση τις θέσεις και ταχύτητες με τις σχέσεις μετασχηματισμού που τις συνδέουν με τις νέες γενικευμένες συντεταγμένες και ταχύτητες, αυτό δεν οδηγεί σε σωστή ενεργειακή συνάρτηση ως προς τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Για να βρούμε τη σωστή ενεργειακή συνάρτηση (και από αυτήν τη χαμιλτονιανή) πρέπει να ακολουθήσομε τη διαδικασία που προκύπτει από τον ορισμό της με χρήση της λαγκρανζιανής ή με τυχόν απλοποιήσεις.

18 Εύκολα μπορείτε να διαπιστώσετε αυτό που λέμε κάνοντας τη λάθος και τη σωστή διαδικασία για την περίπτωση του παραπάνω καροτσιού για το μετασχηματισμό συντεταγμένων μεταξύ x, x, το αφήνομε ως άσκηση. 6.3 Η διαδικασία του Routh Ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός δεν βοηθά στην κατευθείαν λύση μηχανικών προβλημάτων. Έχομε διπλάσιες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης σε σχέση με την περίπτωση του λαγκρανζιανού φορμαλισμού όπου έχομε τις μισές διαφορικές εξισώσεις αλλά δεύτερης τάξης. Στην πράξη απαλείφομε τις συζυγείς ορμές και καταλήγομε στη λύση διαφορικών εξισώσεων του Lagrage που είναι οι μισές αλλά δεύτερης τάξης. Η μεθοδολογία με τις εξισώσεις του Hamlto είναι χρήσιμη για αγνοήσιμες συντεταγμένες. Έστω ότι η συντεταγμένη q είναι αγνοήσιμη, τότε L L( q, q,..., q, q, q,..., q, t), παρόλα αυτά πρέπει κανείς να συμπεριλάβει την αντίστοιχη εξίσωση του Lagrage για να λύσει το δυναμικό πρόβλημα. Στην περίπτωση όμως του χαμιλτονιακού φορμαλισμού έχομε ότι για τη συζυγή ορμή p =σταθερά και η χαμιλτονιανή γίνεται Hq (, q,..., q, p, p,... p,, t) Δηλαδή το πρόβλημα είναι πρόβλημα με συντεταγμένες. Η σταθερά προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Προφανώς η εξέλιξη με το χρόνο της αγνοήσιμης συντεταγμένης προσδιορίζεται από τη λύση της εξίσωσης που ακολουθεί αφού προσδιοριστούν τα υπόλοιπα q ( t), p ( t),,...,. Έτσι θα έχομε H ( qt ( ), pt ( ),, t) H( qt ( ), pt ( ),, t) q, q( t) dt Η διαδικασία του Routh εκμεταλλεύεται τα πλεονεκτήματα του χαμιλτονιακού φορμαλισμού στην περίπτωση αγνοήσιμων συντεταγμένων συνδυάζοντάς τον με το λαγκρανζιανό φορμαλισμό. Αυτό που γίνεται είναι ότι μετασχηματίζει κανείς μόνο ως προς τις αγνοήσιμες συντεταγμένες από q σε p ενώ αφήνει τις άλλες απείραχτες. Έτσι για τις αγνοήσιμες καταλήγει σε εξισώσεις του Hamlto ενώ για τις άλλες σε εξισώσεις του Lagrage. Αυτό γίνεται με χρήση μιας συνάρτησης που παίζει το ρόλο και λαγκρανζιανής και χαμιλτονιανής και λέγεται routha (ρουθιανή). Έστω ότι οι αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι qs, qs,..., q δηλαδή οι q, s, s,..., δηλαδή οι τελευταίες s το πλήθος. Ορίζομε τη ρουθιανή ως προς αυτές με τα εξής βήματα όπως κάναμε και για τον προσδιορισμό της χαμιλτονιανής R pq L( q, q,..., qs, q, q,..., q, t) s L p, s, s,..., q R Rq (, q,..., q, q, q,..., q, p, p,..., p, t) s s s s (6.7)

19 3 Διαφορίζομε την πρώτη σχέση οπότε βρίσκομε s L L L dr qdp pdq dq dq dt q q t s s s s L L L qdp dq dq dt q q t s. (6.8) Από τη διαφόριση της τρίτης έχομε s s R R R R dr dq dq dp dt q q p t s. (6.9) Προφανώς dr dr άρα βρίσκομε ότι R L R L,,,,..., s q q q q R R p, q, s, s,..., q p (6.3) R L. t t R Η σχέση p για s, ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο διότι τα p είναι σταθερές q της κίνησης και η R δεν εξαρτάται από τα q, s, s,...,. Οι εξισώσεις που ισχύουν για,,..., s ουσιαστικά μας λένε ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrage για τις μη αγνοήσιμες συντεταγμένες με τη ρουθιανή στη θέση της λαγκρανζιανής, δηλαδή d R R,,,..., s t q q d. (6.3) Οι υπόλοιπες εξισώσεις με s, s,...,, δηλαδή για τις αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι εξισώσεις του Hamlto με τη ρουθιανή στη θέση της χαμιλτονιανής, δηλαδή είναι οι δεύτερη σειρά των σχέσεων της Εξ.(6.3), δηλαδή έχομε R q R p, q, s, s,...,. (6.3) p

20 4 Είναι ευνόητο ότι μια συντεταγμένη που δεν υπάρχει στη λαγκρανζιανή δεν θα υπάρχει ούτε στη ρουθιανή. Οι συζυγείς ορμές p, s, s,..., είναι σταθερές της κίνησης, p, s, s,..., και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έτσι η ρουθιανή μπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση μόνο των μη αγνοήσιμων συντεταγμένων, των ταχυτήτων τους και του χρόνου. R Rq (, q,..., q, q, q,..., q,,,...,, t). (6.33) s s s s Ένα απλό παράδειγμα της μεθόδου του Routh είναι η επίπεδη κίνηση σωματίου σε k κεντρικό δυναμικό της μορφής V() r. Εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες και r έχομε προφανώς, m k L ( r r ) r. (6.34) Η είναι αγνοήσιμη. m k R p ( r r ) r L p p mr, mr p k R mr. mr r (6.35) Για το μη αγνοήσιμο r η εξίσωση του Lagrage δίνει p k mr. (6.36) 3 mr r Για την αγνοήσιμη έχομε από τις εξισώσεις του Hamlto p, p mr p mr l. (6.37) Το l διατηρείται και είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνησης που περνά από το ελκτικό κέντρο.

21 5 6.4 Εξισώσεις του Hamlto από μια αρχή παραλλαγών (μεταβολών) Όπως είδαμε οι εξισώσεις του Lagrage μπορεί να βγουν από μιαν αρχή παραλλαγών, δηλαδή την αρχή του Hamlto. Θα βρούμε μιαν αρχή παραλλαγών που να μας οδηγεί στις εξισώσεις του Hamlto. Τέτοιες μεθοδολογίες είναι χρήσιμες διότι επεκτείνονται εύκολα σε συστήματα που δεν βρίσκονται στην περιοχή της μηχανικής. Ας ξεκινήσομε από τη γνωστή αρχή του Hamlto (για αμιγώς λαγκρανζιανά συστήματα, δηλαδή που περιγράφονται πλήρως από λαγκρανζιανή χωρίς να υπάρχουν δεσμοί). Αυτή η αρχή αναφέρεται σε τροχιές στο θεσικό χώρο των διαστάσεων. Έχομε t t δι δ Lqqt (,, )dt δ Lqqt (,, )dt. (6.38) t t Οι μεταβλητές στο χαμιλτονιανό φορμαλισμό είναι τα q, p(που θεωρούνται μεταξύ τους ανεξάρτητες), άρα είμαστε στο φασικό χώρο με διαστάσεις. Χρησιμοποιούμε τη σχέση που ορίζει από τη λαγκρανζιανή τη χαμιλτονιανή οπότε έχομε t t δι δ pq H( q, p, t) dtδ pq H( q, p, t) dt. (6.39) t t Αυτή αναφέρεται ως τροποποιημένη αρχή του Hamlto (modfed Hamlto s prcple). Εφόσον η υπό ολοκλήρωση παράσταση f ( q, p, q, p, t) pq H( q, p, t) είναι συνάρτηση των q, p καθώς επίσης και των χρονικών παραγώγων τους q, p (εδώ βέβαια δεν υπάρχουν τα p ) και του χρόνου t η αρχή παραλλαγών θα οδηγήσει στις εξισώσεις του Lagrage. Έχομε d f f d f f,,,,..., dt q q dt p p. (6.4) Άρα Επομένως f d f f H p = p =- q dt q q q H H p, q. (6.4) q p. Δηλαδή βρίσκομε τις εξισώσεις του Hamlto. Εδώ πρέπει να τονίσομε τα εξής, στην περίπτωση της θεωρίας παραλλαγών στα άκρα της ολοκλήρωσης απαιτούμε οι μεταβολές των συντεταγμένων να είναι μηδέν. Δηλαδή όλες οι τροχιές περνούν από τα ίδια αρχικό και τελικό σημεία. Εδώ ο χώρος είναι ο χώρος των φάσεων δηλαδή οι μεταβλητές, που

22 6 είναι οι συντεταγμένες του χώρου αυτού είναι τα q, p άρα είναι φυσικό να απαιτήσομε ότι δ q ( t )=δ q ( t ) δ p ( t )=δ p ( t ). Μια προσεκτική ματιά σε όσα είπαμε στα προηγούμενα δείχνει ότι η απαίτηση αυτή χρειάζεται όταν υπάρχουν οι παράγωγοι των μεταβλητών γιατί έτσι μετά την παραγοντική ολοκλήρωση που χρησιμοποιείται, φεύγουν οι όροι που προκύπτουν που έχουν ως παράγοντες τις ανωτέρω μεταβολές στα άκρα των συντεταγμένων. Αν δεν υπάρχει κάποια παράγωγος δεν χρειάζεται η αντίστοιχη δεσμευτική σχέση της μεταβλητής. Στην περίπτωσή μας εφόσον ξεκινήσαμε από τη λαγκρανζιανή για να καθορίσομε τη χαμιλτονιανή, η προκύπτουσα έκφραση στο ολοκλήρωμα τροποποιημένης δράσης δεν περιέχει παραγώγους ως προς το χρόνο των μεταβλητών p άρα δεν χρειάζεται να απαιτήσομε να ισχύουν δ p( t)=δ p( t). Όμως υπάρχουν πλεονεκτήματα να απαιτήσομε κάτι τέτοιο επειδή ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητος του λαγκρανζιανού. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της αρχής του Hamlto όπου όλες οι τροχιές στο θεσικό χώρο περνούν από τα ίδια ακραία σημεία, μπορούμε να προσθέσομε στην υπό ολοκλήρωση συνάρτηση, την ολική παράγωγο ως προς το χρόνο οποιασδήποτε καλά συμπεριφερόμενης συνάρτησης των συντεταγμένων και αυτό να οδηγήσει στις ίδιες εξισώσεις. Στην περίπτωσή μας αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι της μορφής Fqptκαι (,, ) η παράγωγός της d F ( qpt,, ) που προφανώς dt μπορεί να εισαγάγει παραγώγους και των p. Ένα απλό παράδειγμα είναι η προσθήκη στη χαμιλτονιανή ενός d όρου της μορφής qp αυτό οδηγεί στη σχέση d t t δi δ pq H( q, p, t) dt. t Από αυτήν εύκολα προκύπτουν οι ίδιες εξισώσεις Hamlto που προκύπτουν χωρίς την προσθήκη του όρου αυτού, πρέπει όμως να δεσμεύσομε τα p στα άκρα ώστε να ισχύουν και για αυτά οι σχέσεις δ p( t)=δ p( t). Ενδιαφέρον παρουσιάζει να δει κάποιος πως μετασχηματίζεται η χαμιλτονιανή όταν προστεθεί όρος της μορφής d Fqt (, ) στην αντίστοιχη λαγρανζιανή. Θα δούμε παρακάτω dt την απόδειξη, εδώ απλώς αναφέρομε ότι ισχύουν

23 7 d Fqt (, ) L( qqt,, ) Lqqt (,, ) dt Fqt (, ) p p q Fqt (, ) H( q, p, t) Hq, p( q, p, t), t. t Οι ισοδύναμες εξισώσεις Χάμιλτον είναι Hqpt (,, ) p q Hqpt (,, ) q p και οι Hqpt (,, ) p q Hqpt (,, ) q. p 6.5 Η αρχή της ελάχιστης δράσης Πρόκειται γενικώς για στάσιμη κατάσταση της δράσης και όχι πάντα για ελάχιστη δράση. Παρόλα αυτά έχει επικρατήσει ο όρος ελάχιστη δράση. Αυτή η αρχή σχετίζεται με το χαμιλτονιανό φορμαλισμό. Αναφέρεται σε συστήματα που διατηρείται η χαμιλτονιανή, H δηλαδή η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο,. t Σε αυτή την περίπτωση εισάγεται μια άλλη έννοια μεταβολής μεγεθών η λεγόμενη μεταβολή-δ. Στην περίπτωση της γνωστής μεταβολής δ όλες οι παραλλαγμένες τροχιές αρχίζουν και τερματίζονται στο θεσικό χώρο κατά τις ίδιες χρονικές στιγμές t, t με την πραγματική τροχιά. Επίσης τα ακραία σημεία όλων των τροχιών είναι τα ίδια άρα ισχύουν δ q( t) δ q( t). Στην περίπτωση της μεταβολής Δ οι παραλλαγμένες τροχιές έχουν γενικώς άκρα που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς χρόνους από αυτούς της πραγματικής τροχιάς και τα άκρα της κάθε μιας τροχιάς στο θεσικό χώρο είναι γενικώς διαφορετικά. Μπορούμε να παραμετροποιήσομε τις τροχιές (ανάλογο μπορούμε να κάνoμε και για τις μεταβολές τύπου δ ) με χρήση μιας παραμέτρου, οπότε έχομε για τις διάφορες τροχιές, q ( t, ),,...,. Το για την πραγματική τροχιά, δηλαδή q ( t) q ( t,),,...,. (6.4) Έστω ότι κάνομε την παραμετροποίηση q ( t, ) q ( t) ( t),,...,. (6.43)

24 8 Οι συναρτήσεις () t είναι αυθαίρετες αλλά παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για να μπορούμε να έχομε τη δυνατότητα διαφορετικών χρόνων t και διαφορετικών χρόνων t για κάθε παραλλαγμένη τροχιά (στα άκρα), κατά τη μεταβολή-δ, τα αντίστοιχα σημεία είναι όπως φαίνεται στο Σχ.(6.), όπου εικονίζεται η πραγματική και μια Δ - παραλλαγμένη τροχιά, για την απλή περίπτωση δυο μεταβλητών στο θεσικό χώρο. Δηλαδή, στην γενική αυτή περίπτωση, τα αντίστοιχα σημεία της πραγματικής τροχιάς και της οποιασδήποτε παραλλαγμένης δεν μπορεί να έχουν ίδια t, ενώ αυτό γίνεται αν όλοι οι αρχικοί χρόνοι t είναι ίσοι μεταξύ τους και αντιστοίχως οι τελικοί t. Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι, οι αντίστοιχοι χρόνοι t Δt στην παραλλαγμένη τροχιά των χρόνων t της πραγματικής τροχιάς εξαρτώνται και από την παράμετρο. Με χρήση της απλής περίπτωσης του Σχ. 6. μπορούμε να καταλήξομε, σε πρώτη προσέγγιση ως προς τις μικρές μεταβολές, στη σχέση Δq δ q() t q ()Δ t t. Μπορούμε επίσης να δείξομε αυτή τη σχέση χρησιμοποιώντας την παραμετροποίηση της Εξ.(6.43). Από την παραμετροποίηση έχομε για οποιαδήποτε αντίστοιχα σημεία ότι, Δ q q ( tδ t, ) q ( t,) q ( tδ t,) q ( t,) ( t Δ t). Σχήμα 6. Η μεταβολή-δ στο θεσικό χώρο. Σε πρώτη προσέγγιση, για μικρές ποσότητες,δt έχομε Δ q q ()Δ t tδ q () t. (6.44) Προφανώς η μεταβολή-δ δεν μπορεί να εναλλαχτεί με τη συνήθη διαφόριση d, ενώ αυτό γίνεται για τη μεταβολή-δ. Για τα άκρα, έχομε για κάθε παραλλαγμένη τροχιά Δ t() Δ t,δ t() Δt, αυτά είναι προφανώς συναρτήσεις της παραμέτρου της αντίστοιχης τροχιάς. Οι Εξ.(6.44) δίνουν για τα άκρα Δ q() δ q() q ()Δt Δ q () δ q () q ()Δ t. (6.45) Ας υπολογίσομε τη μεταβολή-δ του ολοκληρώματος δράσης, Lt d. t t

25 9 t tδt t. (6.46) Δ Ld t L( )d t L()dt t tδt t Για το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους ισχύει tδt t tδt tδt L( )d t L( )d t L( )d t L( )dt. (6.47) t Δt t t t Κάνοντας πρώτη προσέγγιση στα απειροστά για το δεύτερο και τρίτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της Εξ.(6.47), βρίσκομε από την Εξ.(6.46) t t t (6.48) Δ Ld t L( t )Δ t L( t )Δ t L( )d t L()d t. t t t Επειδή τα ολοκληρώματα του δευτέρου μέλους έχουν τα ίδια άκρα t, t, μπορούμε να πάρομε ως αντίστοιχα σημεία της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς σημεία όπου Δt. Τότε όμως σύμφωνα με την Εξ.(6.44) οι μεταβολές Δ και δ συμπίπτουν οπότε t t t (6.49) Δ Ld tlt ( )Δ t Lt ( )Δt δ Ld t Lt ( )Δ t Lt ( )Δt δld. t t t t Για τη μεταβολή-δ έχομε προφανώς ότι t t L L d L δldt δq δqdt d t q t q t q. (6.5) Ο όρος από την παραγοντική ολοκλήρωση δεν μηδενίζεται διότι τα δ q(), δ q() στα άκρα δεν μηδενίζονται στην περίπτωση της μεταβολής-δ. Ισχύουν οι εξισώσεις του L Lagrage και η σχέση p, επομένως οι Εξ.(6.49) και (6.5) οδηγούν στην q t Δ Ld t L( t)δt pδq. (6.5) t Τα δ q( t),δ q( t ) στην Εξ.(6.5) είναι οι μεταβολές που φαίνονται στο Σχ.(.) για τα αντίστοιχα σημεία των άκρων της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς. Στη

26 3 συνέχεια θέλομε να εκφράσομε τη μεταβολή -Δ του ολοκληρώματος της Εξ.(6.5) ως προς τις μεταβολές Δq των q μεταξύ παραλλαγμένης και πραγματικής τροχιάς για τα ακραία αντίστοιχα σημεία τους λαμβάνοντας υπόψη και τους διαφορετικούς χρόνους για τα άκρα της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς. Οι σχέσεις της Εξ.(6.45) οδηγούν από την Εξ.(6.5) στην t Δ Ldt LΔt pq Δt pδq pδq Δt t. (6.5) Το επόμενο βήμα για να βρούμε τη λεγόμενη αρχή της ελάχιστης δράσης είναι να βάλομε τους παρακάτω περιορισμούς.. Θεωρούμε μόνο δυναμικά συστήματα που η Η δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο οπότε είναι σταθερά της κίνησης.. Η παραλλαγή είναι τέτοια που η Η διατηρείται και στην παραλλαγμένη όπως και στην πραγματική τροχιά (στο θεσικό χώρο) αλλά για κάθε διαφορετική τροχιά έχει, γενικώς, διαφορετικό μέγεθος H για κάθε μια παραλλαγμένη τροχιά και διαφορετική (γενικώς) H για την πραγματική. 3. Για τα άκρα των παραλλαγμένων τροχιών θέτομε Δ q () Δ q (), ενώ Δt, Δt. Δηλαδή οι τροχιές τέμνονται στα άκρα () και () στο θεσικό χώρο δυο διαφορετικές στιγμές, άρα έχομε ότι τα H είναι όλα ίσα οπότε H H =σταθερά. Έτσι η Εξ.(6.5) γίνεται t L t Η t t. (6.53) t Δ d ( ) Υπό τις ίδιες συνθήκες έχομε για το ολοκλήρωμα της δράσης t t Ldt pq d tη( t t). (6.54) t t Για την παραλλαγή-δ αυτής της έκφρασης έχομε ότι t t L t pq tη t t. (6.55) t t Δ d Δ d (Δ Δ ) Από τις Εξ.(6.53) και (6.55) βρίσκομε την αρχή της ελάχιστης δράσης που φαίνεται στην Εξ.(6.56)

27 3 t Δ pq dt. (6.56) t Παλιά το ολοκλήρωμα στην Εξ.(6.56) λέγονταν δράση ή ολοκλήρωμα δράσης, σήμερα όμως έτσι λέγεται το ολοκλήρωμα της αρχής του Hamlto, και το ολοκλήρωμα της Εξ.(6.56) λέγεται απλουστευμένη (ή συνοπτική) δράση (abbrevated acto). Η αρχή της ελάχιστης δράσης μπορεί να πάρει διάφορες μορφές. Έστω ότι η κινητική ενέργεια είναι τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες χωρίς άμεση εξάρτηση από το χρόνο, δηλαδή έχει τη μορφή Tqq (, ) M jkqq j k. (6.57) jk, Έστω επιπλέον ότι η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται άμεσα από τα ταχύτητες, V V( q, t), τότε οι κανονικές ορμές προσδιορίζονται μόνο από το T και ισχύει pq T τότε η αρχή της ελάχιστης δράσης παίρνει τη μορφή t Δ Tdt. (6.58) t Έστω επίσης ότι διατηρείται η κινητική ενέργεια, τότε η αρχή της ελάχιστης δράσης γίνεται Δ( t t ). (6.59) Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, στην περίπτωση στερεού στο οποίο δεν εφαρμόζονται ασκούμενες δυνάμεις αλλά μόνο δυνάμεις δεσμών τέτοιες που για οποιαδήποτε μετατόπιση του στερεού δεν παράγουν έργο. Η Εξ. (6.59) δείχνει γιατί στην αρχή της ελάχιστης δράσης χρειάζεται να επιτρέπονται και διαφορετικοί χρόνοι άκρων, δηλαδή διαφορετικά διαστήματα χρόνου διαγραφής των τροχιών. Η σχέση της Εξ.(6.59) λέει ότι, υπό τις ανωτέρω προϋποθέσεις, από όλες τις πιθανές τροχιές μεταξύ δυο σημείων, όπου η ενέργεια διατηρείται κατά την διαγραφή των τροχιών, το σύστημα κινείται κατά μήκος εκείνης της τροχιάς (πραγματική) για την οποία ο χρόνος διαδρομής είναι ο μικρότερος (ποιο σωστά είναι στάσιμος). Μπορούμε να φτιάξομε ένα θεσικό χώρο όπου τα M jk της Εξ.(6.57) να σχηματίζουν το μετρικό τανυστή του χώρου. Το στοιχείο μήκους d αυτού του, γενικώς καμπύλου και μη ορθογώνιου, χώρου θα δίνεται από την Εξ.(6.6) (d ) M jk( q)dqjdqk jk,. (6.6)

28 3 Η κινητική ενέργεια θα είναι Τ d dt. (6.6) Από αυτήν βρίσκομε d dt. (6.6) Τ Αλλάζομε ανεξάρτητη μεταβλητή στην Εξ.(6.58) οπότε η αρχή της ελάχιστης δράσης γίνεται t. (6.63) Δ Tdt Δ Τ /d Δ Τ /d t ΑΑ Τελικώς έχομε H V q. (6.64) ΑΑ Δ ( )d Σε αυτή τη σχέση δεν εμφανίζεται άμεσα ο χρόνος και έχομε μόνο τροχιές χωρίς να φαίνεται πως διαγράφονται συναρτήσει του χρόνου. Θυμίζομε ότι οι παραλλαγμένες τροχιές και η πραγματική τροχιά περνούν όλες από τα δυο ίδια σημεία Α, Α, του θεσικού χώρου. Χρησιμοποιώντας την Εξ.(6.6) βρίσκομε (6.65) Δ H V( q)d Δ H V( q) Mkdqd qk. ΑΑ ΑΑ k, Η Εξ.(6.64), όπως και η ισοδύναμή της Εξ.(6.65), λέγεται συχνά μορφή του Jacob της αρχής της ελάχιστης δράσης. Αυτή η αρχή μπορεί να γραφτεί σε πιο πρακτική μορφή, εκφράζοντας τις καμπύλες συναρτήσει μιας μεταβλητής που μεταβάλλεται μονότονα κατά τη διαγραφή της κάθε καμπύλης στο θεσικό χώρο και κατά τη μεταβολή-δ ισχύει ότι το =σταθερό. Η παίζει το ρόλο της ανεξάρτητης μεταβλητής της θεωρίας παραλλαγών και αφού κατά τη μεταβολή-δ η (ανεξάρτητη) μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι σταθερή, η μεταβολή-δ γίνεται μεταβολή-δ. Σύμφωνα με τα ανωτέρω θα έχομε \

29 33 q q ( ), r,,..., r Δ H V( q)d Δ H V( q) M dqdq ΑΑ ΑΑ ΑΑ r k, k, dq dqk =δ H V( q) Mk d. d d k k (6.66) Θέτομε d q ( ) q d k, f f( q, q, ) H V( q) M qq. k k (6.67) Αυτό σημαίνει ότι έχομε πρόβλημα θεωρίας παραλλαγών τύπου μεταβολών-δ οπότε θα καταλήξομε στις γνωστές εξισώσεις του Euler, δηλαδή ισχύουν δ f( q, q, )d δ f( q, q, )d ΑΑ ΑΑ d f f d q q. (6.68) Μερικές φορές αντί της μπορεί η ανεξάρτητη μεταβλητή να είναι μια από τις συντεταγμένες θέσης. Τονίζομε ότι καταλήξαμε σε εξισώσεις της Διαφορικής Γεωμετρίας, χωρίς το χρόνο, δηλαδή έχομε τις τροχιές χωρίς να εμφανίζεται η κίνηση του συστήματος. Αν δεν υπάρχουν ενεργητικές (ασκούμενες) δυνάμεις τότε το T είναι σταθερό κατά την κίνηση και η αρχή του Jacob λέει ότι το σημείο του συστήματος στον ανωτέρω θεσικό χώρο ακολουθεί δρόμο μεταξύ δυο σημείων που είναι στάσιμος. Ισοδύναμα λέμε ότι το σημείο κινείται πάνω σε γεωδαισιακή καμπύλη. Η αρχή της ελάχιστης δράσης στη μορφή της αρχής του Fermat βρίσκει πολλές χρήσιμες εφαρμογές στη γεωμετρική οπτική και την «οπτική» δεσμών ηλεκτρονίων. Υπάρχουν και άλλες παρόμοιες αρχές μεταβολών στην κλασική μηχανική. Ένα παράδειγμα είναι η αρχή της ελάχιστης καμπυλότητας του Hertz. Σύμφωνα με αυτήν την αρχή, για την περίπτωση που δεν υπάρχουν ασκούμενες δυνάμεις παρά μόνο δυνάμεις των συνδέσμων, το σημείο που περιγράφει το σύστημα κινείται σε τροχιά ελάχιστης καμπυλότητας. Επίσης υπάρχει η αρχή του ελάχιστου εξαναγκασμού.

30 Πότε τα στάσιμα σημεία είναι σημεία ελάχιστου Θα διατυπώσομε ένα θεώρημα που μας λέει πότε ένα στάσιμο σημείο του ολοκληρώματος της οποιασδήποτε μορφής δράσης είναι πραγματικά σημείο ελάχιστου. Ας θεωρήσομε ότι βρισκόμαστε στο θεσικό χώρο ενός μηχανικού συστήματος. Έστω ένα σημείο Α μιας πραγματικής τροχιάς στο θεσικό χώρο. Έστω ότι από το ίδιο σημείο περνά και μια άλλη πραγματική τροχιά που σχηματίζει μικρή γωνία με την πρώτη στο σημείο Α. Έστω ότι η δεύτερη τροχιά συναντά την πρώτη σε ένα άλλο σημείο, έστω Β. Φανταζόμαστε ότι ενώ η πρώτη τροχιά παραμένει σταθερή η δεύτερη μεταβάλλεται ενώ συναντά στο σταθερό σημείο Α την πρώτη, τότε θα μεταβάλλεται επίσης η θέση του σημείου Β. Η οριακή θέση του σημείου Β όταν η γωνία στο Α μεταξύ των δυο πραγματικών τροχιών τείνει στο μηδέν, λέγεται κινητική εστία (ketc focus) του Α στην πρώτη τροχιά ή λέμε ότι το Β είναι το συζυγές σημείο του Α. Το θεώρημα λέει αυτό που ακολουθεί. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς μεταξύ δυο δεδομένων σημείων είναι πραγματικό ελάχιστο, με την προϋπόθεση ότι κατά τη διαδρομή από το αρχικό σημείο του ολοκληρώματος φτάνομε στο τελικό χωρίς να συναντήσομε την κινητική εστία του αρχικού σημείου. Αν φτάνομε στο τελικό σημείο συναντώντας κατά τη διαδρομή την κινητική εστία, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν το ολοκλήρωμα είναι ελάχιστο ή όχι. Δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι για αρκούντως μικρά διαστήματα στα οποία υπολογίζεται το ολοκλήρωμα, αυτό έχει ελάχιστο. Μια απλή περίπτωση είναι η περίπτωση σωματίου δεσμευμένου να κινείται σε λεία σφαιρική επιφάνεια χωρίς τη δράση ασκούμενων δυνάμεων. Οι πραγματικές τροχιές είναι μέγιστοι κύκλοι. Η απλουστευμένη δράση κατά μήκος οποιασδήποτε τροχιάς, ανεξάρτητα του αν είναι μέγιστος κύκλος ή όχι (αρκεί η ενέργεια να είναι δεδομένη, σταθερή) είναι ανάλογη του μήκους της τροχιάς. Η κινητική εστία οποιουδήποτε σημείου Α είναι το διαμετρικά αντίθετο σημείο του Α το Α. Το θεώρημα που αναφέραμε λέει ότι οποιοδήποτε τόξο μέγιστου κύκλου που ενώνει οποιαδήποτε δυο σημεία έχει ελάχιστο μήκος σε σχέση με τις τροχιές πάνω στη σφαίρα που ενώνουν τα ίδια αυτά σημεία, αρκεί το μήκος του τόξου αυτού να είναι μικρότερο από το μισό του μήκους ενός μέγιστου κύκλου της σφαίρας. 6.7 Γενικά χαρακτηριστικά της κίνησης συστήματος Γενικώς, η πραγματική κίνηση ενός συγκεκριμένου μηχανικού συστήματος στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό, μπορεί να προσδιοριστεί από τις (αρχικές) θέσεις και ταχύτητες κάποια δεδομένη (αρχική) στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι τα τρία μεγέθη ( qt ( ), qt ( ), t) μιας πραγματικής κίνησης δεν μπορεί να ανήκουν σε δυο ή περισσότερες διαφορετικές κινήσεις του ίδιου μηχανικού συστήματος. Αυτό προκύπτει από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Euler-Lagrage που είναι διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εξαίρεση αποτελούν ιδιάζοντα σημεία που είναι σημεία ισορροπίας, όπου ( qt ( ), qt ( ), t). Σε αυτά μπορεί να τείνουν πολλές κινήσεις ή καμία. Στην περίπτωση του χαμιλτονιανού φορμαλισμού, η πραγματική κίνηση ενός συγκεκριμένου μηχανικού συστήματος, μπορεί να προσδιοριστεί από τις θέσεις και ορμές κάποια δεδομένη (αρχική) στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι τα τρία μεγέθη ( qt ( ), pt ( ), t ) μιας

31 35 πραγματικής κίνησης δεν μπορεί να ανήκουν σε δυο ή περισσότερες διαφορετικές κινήσεις του ίδιου μηχανικού συστήματος. Αυτό προκύπτει από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του Hamlto οι οποίες είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Εξαίρεση αποτελούν και πάλι ιδιάζοντα σημεία, δηλαδή σημεία ισορροπίας όπου ( qt ( ), pt ( ), t). Θα αναφερθούμε περισσότερο στα σημεία ισορροπίας, αργότερα. Η κίνηση προκύπτει από τη λύση των εξισώσεων του λαγκρανζιανού ή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού. Γενικώς πρόκειται για συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Αν οι εξισώσεις αυτές δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο τότε είναι αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις και το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα λέγεται αυτόνομο. Για ένα μη αυτόνομο σύστημα η λύση των εξισώσεων κίνησης θα είναι για τις περιπτώσεις των δυο φορμαλισμών, αντίστοιχα, της μορφής q q ( q, q, t, t),,,..., q q ( q, p, t, t) p p ( q, p, t, t),,,..., (6.69) Για ένα αυτόνομο σύστημα η λύση των εξισώσεων κίνησης θα είναι για τις περιπτώσεις των δυο φορμαλισμών, αντίστοιχα, της μορφής q q ( q, q, t),,,..., q q ( q, p, t) p p ( q, p, t),,,..., (6.7) Υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των αυτόνομων και των μη αυτόνομων συστημάτων. Σε ένα μη αυτόνομο σύστημα η κίνηση, μετά την αρχική στιγμή, εξαρτάται εκτός από τις αρχικές τιμές q, q ή αντίστοιχα q, pκαι από την αρχική στιγμή t. Με άλλα λόγια για τις ίδιες αρχικές τιμές q, q ή q, pέχομε γενικώς διαφορετικές κινήσεις αν οι αρχικοί χρόνοι t είναι διαφορετικοί. Σε ένα αυτόνομο σύστημα η κίνηση μετά την αρχική στιγμή δεν εξαρτάται από το t αλλά μόνο από τις αρχικές τιμές q, q ή q, p. Αν ένα σύστημα είναι λαγκρανζιανό θα είναι αυτόνομο αν L Lqq (, ). Αν ένα σύστημα είναι χαμιλτονιανό τότε είναι αυτόνομο αν H H( q, p). Η περιγραφή δυναμικών συστημάτων γίνεται σε διάφορους χώρους, όπως φαίνεται στα επόμενα. α) Ο θεσικός χώρος έχει διάσταση και αποτελείται από το σύνολο των σημείων θέσης, δηλαδή των συντεταγμένων θέσης ( q, q,..., q ). Αυτό το σημείο (θέσης) του θεσικού χώρου διαγράφει μια καμπύλη κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος, αφού κατά την κίνηση q q() t. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, ένα συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα μπορεί να διαγράφει διάφορες καμπύλες στο θεσικό χώρο που η κάθε μια εξαρτάται από τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες του συστήματος σε κάποια, κάθε φορά, αρχική χρονική στιγμή. Οι καμπύλες που διαγράφει κατά την κίνησή του το μηχανικό σύστημα στο θεσικό χώρο, μπορεί να τέμνονται μεταξύ τους. Πράγματι, οποιοδήποτε σημείο μιας τέτοιας αρχικής καμπύλης μπορεί να ληφθεί ως αρχικό σημείο κατά μια νεοεπιλεγόμενη αρχική στιγμή και γενικώς, με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες (ή

32 36 αντίστοιχα αρχικές συζυγείς ορμές) από αυτές που έχει το μηχανικό σύστημα στο σημείο του θεσικού χώρου κατά τη διαγραφή της αρχικής καμπύλης. Είναι ευνόητο ότι από αυτή τη νέα χρονική στιγμή και μετά η εξέλιξη του συστήματος με το χρόνο θα είναι διαφορετική, άρα από το σημείο της αρχικής καμπύλης θα ξεκινήσει μια άλλη καμπύλη πραγματικής κίνησης του ίδιου μηχανικού συστήματος στο θεσικό χώρο, άρα οι καμπύλες γενικώς τέμνονται. β) Ως γεγονός θεωρείται ο συνδυασμός ( q, q,..., q, t ). Αυτός ο συνδυασμός είναι ένα σημείο του χώρου των γεγονότων που έχει διάσταση. Είναι ευνόητο ότι και σε αυτό το χώρο καμπύλες που περιγράφουν την κίνηση κάποιου δεδομένου μηχανικού συστήματος μπορεί να τέμνονται διότι κάθε σημείο μιας αρχικής πραγματικής καμπύλης κίνησης μπορεί να ληφθεί ως αρχικό σημείο όπου οι ταχύτητες (ή οι ορμές) να είναι διαφορετικές από αυτές της αρχικής κίνησης. Αυτό θα οδηγήσει σε άλλη καμπύλη κίνησης που θα τέμνει την αρχική. γ) Ο χώρος των καταστάσεων έχει συντεταγμένες τα ( qq, ) άρα έχει διάσταση. Καμπύλες που παριστάνουν πραγματική κίνηση κάποιου μη αυτόνομου μηχανικού συστήματος μπορεί να τέμνονται, όμως, δεν μπορούν να τέμνονται την ίδια χρονική στιγμή διότι τότε, με τις ίδιες αρχικές συνθήκες (θέσεων και ταχυτήτων ή ορμών, την ίδια αρχική χρονική στιγμή) θα είχαμε δυο διαφορετικές εξελίξεις του ίδιου μηχανικού συστήματος πράγμα που δεν γίνεται. Εξαίρεση αποτελούν τα σημεία ισορροπίας. Αν η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, οπότε είναι σταθερά της κίνησης και έχομε αυτόνομο μηχανικό σύστημα, τότε οι καμπύλες στο χώρο ( qq, ) δεν τέμνονται εκτός των σημείων ισορροπίας. δ) Στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό μπορεί να έχομε ως χώρο των καταστάσεων, το χώρο των φάσεων, δηλαδή τα σημεία ( q, p ), με διάσταση. Γενικώς, για μη αυτόνομα μηχανικά συστήματα, οι καμπύλες που περιγράφουν την πραγματική κίνηση σε αυτόν το χώρο μπορεί να τέμνονται, όμως δεν μπορούν να τέμνονται την ίδια χρονική στιγμή διότι τότε, με τις ίδιες αρχικές συνθήκες (θέσεων και συζυγών ορμών την ίδια αρχική χρονική στιγμή) θα είχαμε δυο διαφορετικές εξελίξεις του ίδιου μηχανικού συστήματος πράγμα που δεν γίνεται. Εξαίρεση αποτελούν τα σημεία ισορροπίας που αναφέραμε στην αρχή. Αν η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, οπότε είναι σταθερά της κίνησης και το σύστημα είναι αυτόνομο, τότε οι καμπύλες στο χώρο των φάσεων δεν τέμνονται εκτός των σημείων ισορροπίας. Οι καμπύλες στο χώρο των φάσεων λέγονται και φασικές καμπύλες ή φασικές τροχιές. ε) Ο χώρος κατάστασης-χρόνου αποτελείται από τα σημεία ( qqt,, ), άρα έχει διάσταση. Αυτή η περίπτωση καλύπτεται από όσα αναφέραμε στο (γ). Οι καμπύλες δεν τέμνονται παρά μόνο σε σημεία ισορροπίας. στ) Μπορούμε να αναφερόμαστε και στο χώρο ( q, p, t ). Η περίπτωση καλύπτεται από όσα είπαμε στο (δ). Οι καμπύλες δεν τέμνονται παρά μόνο σε σημεία ισορροπίας. Μπορούμε να κατανοήσομε με απλό τρόπο τι γίνεται σε ιδιάζοντα σημεία εξετάζοντας την ειδική περίπτωση του απλού εκκρεμούς παράγραφος 6.8. που ακολουθεί. Θα δούμε ότι στην περίπτωση του φασικού χώρου, αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιάζον σημείο, σημείο ισορροπίας, τότε παραμένει εκεί συνεχώς. Υπάρχουν τροχιές στο φασικό χώρο οι οποίες οριακά καθώς ο χρόνος τείνει στο ή στο τείνουν σε ιδιάζοντα σημεία.

33 Το απλό εκκρεμές στο χώρο των φάσεων Έστω η περίπτωση του απλού εκκρεμούς του Σχ.(6.3). Η κίνηση θεωρείται στο επίπεδο και η μοναδική γενικευμένη συντεταγμένη είναι το. Η χαμιλτονιανή είναι H p mgl cos. (6.7) ml Το μηχανικό σύστημα είναι αυτόνομο, η χαμιλτονιανή διατηρείται κατά την κίνησή του. Οι εξισώσεις κίνησης του Hamlto είναι p, p mgl s ml. (6.7) Σχήμα 6.3 Απλό εκκρεμές. Η χαμιλτονιανή είναι η ενέργεια του συστήματος και είναι σταθερή. p mgl cos E. (6.73) ml Από αυτή τη σχέση βρίσκομε p ml E mgl ( cos ). (6.74) Αν η ενέργεια έχει τιμές που να επαληθεύεται η σχέση E mgl (6.75)

34 38 τότε θα έχομε για τη γωνία τον περιορισμό E mgl cos > ή cos >- E. (6.76) mgl Αυτό σημαίνει ότι για τέτοιες τιμές της ενέργειας η κίνηση θα περιορίζεται να έχει τέτοια που. m m Όπου E m arccos π. (6.77) mgl Η κίνηση θα παριστάνεται στο φασικό χώρο, στο Σχ.(6.4), με τις κλειστές φασικές καμπύλες της περιοχής Α. p Σχήμα 6.4 Φασικές καμπύλες απλού εκκρεμούς. Το ιδιάζον σημείο Ο είναι σημείο (ευσταθούς) ισορροπίας, διότι για αυτό το σημείο ισχύουν, p= (επομένως E mgl, E mgl ) και από τις εξισώσεις κίνησης προκύπτει πράγματι η συνθήκη ισορροπίας, δηλαδή ότι, p. Η ολική μηχανική ενέργειά του είναι μόνο δυναμική ( mgl) και είναι η ελάχιστη δυναμική ενέργεια που μπορεί να έχει. Το σωμάτιο βρίσκεται στο κατώτατο σημείο ακίνητο, οπότε ξέρομε ότι αυτή είναι και θέση ευσταθούς ισορροπίας. Αυτό είναι ένα μεμονωμένο σημείο από όπου δεν διέρχεται καμία τροχιά (φασική καμπύλη). Έστω ότι η ενέργεια είναι αρκετά μεγάλη, δηλαδή

35 39 E mgl. (6.78) Σε αυτή την περίπτωση το μπορεί να είναι οποιοδήποτε και οι φασικές καμπύλες φαίνονται στην περιοχή Β του Σχ.(.4). Τα βέλη δείχνουν πως διαγράφονται η καμπύλες με την εξέλιξη στο χρόνο. Για μια τιμή ενέργειας έχομε δυο καμπύλες μια πάνω από τον άξονα των και μια κάτω από αυτόν που διαγράφονται με αντίθετες φορές. Ειδική περίπτωση είναι αυτή που για την ενέργεια ισχύει E mgl. (6.79) Αυτή είναι η περίπτωση που το εκκρεμές έχει τόση ενέργεια όση του χρειάζεται για να φτάσει οριακά στο ανώτατο σημείο της διαδρομής του. Η σχετική καμπύλη στο χώρο των φάσεων στο Σχ.(6.4) είναι η S. Αυτή χωρίζει το φασικό χώρο στις περιοχές Α και Β. Η καμπύλη S λέγεται διαχωριστική (separatrx). Η Εξ.(6.74) γράφεται για αυτή την περίπτωση p m gl 3 ( cos ). (6.8) Το πρόσημο + αντιστοιχεί στον άνω φασικό χώρο όπου p και το στον κάτω φασικό χώρο όπου p. Από την πρώτη των Εξ.(6.7) βρίσκομε ότι για τη διαχωριστική καμπύλη ισχύει g g ( cos ) cos l l. (6.8) Άρα g +π +π t l ta l ta l 4 4 π. (6.8) Τελικώς g π 4 arcta exp t ta π l 4 π. (6.83) Η άνω διαχωριστική φασική καμπύλη, με p, καθώς t τείνει στο ιδιάζον σημείο (ασταθούς ισορροπίας) +π και καθώς t τείνει στο ιδιάζον σημείο (ασταθούς ισορροπίας) π. Η κάτω διαχωριστική καμπύλη, με p, καθώς t τείνει στο π και καθώς t τείνει στο +π. Επειδή για το εκκρεμές η μεταβλητή είναι περιοδική με περίοδο π, μπορούμε να απεικονίσομε το χώρο των φάσεων στην επιφάνεια κυλίνδρου όπως στο Σχ.(6.5).

36 4 Σχήμα 6.5 Κυλινδρική απεικόνιση του χώρου των φάσεων απλού εκκρεμούς. Τώρα τα σημεία +π και π συμπίπτουν. Είναι φανερό ότι στην περιοχή Α έχομε ταλάντωση, στην περιοχή Β έχομε περιστροφική κίνηση, με αυτή την απεικόνιση ουσιαστικά και τα δυο είδη είναι κλειστές τροχιές. Για την τιμή της ενέργειας της διαχωριστικής καμπύλης έχομε ουσιαστικά τρεις κινήσεις μια στο κάτω τμήμα όπου η διαδρομή στο χρόνο είναι από +π προς π, μια στο άνω τμήμα όπου η κίνηση είναι από π προς +π και μια που είναι ισορροπία στο +π ή (ισοδύναμα) στο π. 6.9 Λαγκρανζιανές με ανώτερες παραγώγους και το θεώρημα του Ostrogradsky Στα πλαίσια της Μηχανικής θεμελιωδών διακριτών συστημάτων, όπως και στα πλαίσια των θεμελιωδών Θεωριών Πεδίου, οι εξισώσεις κίνησης είναι διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Στη Μηχανική συστημάτων με δεσμούς όπως και στη Μηχανική συνεχών συστημάτων έχομε εξισώσεις κίνησης που είναι δυνατόν να έχουν παραγώγους ανώτερης τάξης από τη δεύτερη. Η χρήση τέτοιων διαφορικών εξισώσεων κίνησης με ανώτερες παραγώγους για την περίπτωση υλικών σωματιδίων ή θεμελιωδών Θεωριών Πεδίου, δημιουργεί προβλήματα. Ένα γνωστό παράδειγμα όπου δημιουργείται πρόβλημα είναι από την Κλασική Ηλεκτροδυναμική, συγκεκριμένα είναι η θεώρηση και της αντίδρασης ακτινοβολίας κινούμενου φορτισμένου σωματιδίου. Η εξίσωση κίνησης είναι διαφορική εξίσωση τρίτης τάξεως. Αυτό έχει ως συνέπεια την ύπαρξη (ru away) λύσεων που αντιστοιχούν σε επιταχυνόμενη (εκθετική εξέλιξη με το χρόνο) κίνηση ακόμη και αν δεν υπάρχει εξωτερική δύναμη που να δρα στο σωμάτιο. Η αποφυγή τέτοιων λύσεων οδηγεί σε «μικρή» παραβίαση της αρχής της αιτιότητας. Γενικώς, παρουσιάζεται η λεγόμενη αστάθεια Ostrogradsky. Δηλαδή μπορεί να καταλήξομε σε ασταθή συστήματα. Τέτοιες εξισώσεις κίνησης μπορεί να προέλθουν από λαγκρανζιανές οι οποίες εξαρτώνται από παραγώγους ανώτερης τάξης. Σημειώνομε ότι στην συνήθη περίπτωση η εξάρτηση της λαγκρανζιανής από παραγώγους περιορίζεται μέχρι την πρώτη τάξη. Το Θεώρημα του Ostrogradsky ερμηνεύει γιατί τέτοιες λαγκρανζιανές οδηγούν σε προβληματικές καταστάσεις. Θα περιοριστούμε σε διακριτά μονοδιάστατα συστήματα