Kompozitni materijali. Prof.dr Darko Bajić Mašinski fakultet Podgorica
|
|
- Γεννάδιος Δημαράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kompozitni Prof.dr Darko Bajić fakultet Podgorica
2 Mnoga tehnička rješenja zahtijevaju primjenu novih materijala od kojih se zahtijevaju svojstva koja ne posjeduje ni jedan metalni materijal ni njihove legure, niti keramički, a ni polimerni. Ovakvi zahtjevi su prisutni u aerokosmonautici, automobilskoj industriji, brodogradnji itd. Primjer: komponente avionskih motora treba da posjeduju malu gustinu, veliku čvrstoću i krutost, veliku otpornost na abraziju i koroziju. Ova kombinacija je moguća samo primjenom KOMPOZITNIH MATERIJALA. Composite (latinski Compositum) sastavljeno Kompozitni se sastoje od dva ili više različitih materijala (konstituenata), koji su čvrsto međusobno povezani. Kompozitni poprimaju najbolja svojstva svojih konstituenata (matrica i ojačavač), a ne rijetko i svojstva koja ne posjeduju konstituenti. Optimalnim izborom komponentnih materijala (procentualni udio) u strukturi novoformiranog kompozitnog materijala, možemo dobiti materijal sa zahtjevanim svojstvima: čvrstoće, tvrdoće, krutosti, otpornosti na koroziju, otpornosti na habanje, termičke i akustične izolacije i male mase. Napomena: jednovremeno dobijanje svih pomenutih prametara je nemoguće, a i najčešće ne postoji zahtjev za tim. 2
3 Kategorije kompozitnih materijala: ojačani česticama (beton) ojačani vlaknima (stakloplastika staklena vlakna+polimer) i laminarni kompozitni (laminat unakrsno lijepljen furnir). materijal A materijal B materijal A matrica čestice matrica vlakna Svojstva kompozitnih materijala zavise od: - svojstava konstituenata (matrice i ojačavača), - zapreminskog udjela konstituenata, - intenziteta veze između konstituenata, - oblika konstituenata i njihovog rasporeda. 3
4 Kompoziti, ugljenična vlakna Titan Aluminijum litijum Kevlar Rafel francuski višenamjenski dvomotorni borbeni avion 4
5 Komande leta kao što su krilca, vazdušne kočnice (spojleri) napravljeni su od kompozitnih materijala 5
6 6
7 B-2 bombarder 7
8 Prednosti primjene kompozitnih materijala: - lake konstrukcije, - mogućnost izrade konstrukcija složene geometrije, - laka obrada i spajanje, - minimalna naknadna obrada, - otpornost na koroziju, - dimenziona stabilnost u ekstremnim radnim uslovima. Kompozitni : Česticama ojačani kompozitni materijal - ako su čestice ravnomjerno raspoređene, kompozitni matrijal imaće izotropna svojstva. Vlaknasto ojačan kompozitni materijal - anizotropna ili izotropna svojstva. Strukturni kompoziti - laminarni kompozitni (samo anizotropna svojstva) i sendvič konstrukcije. 8
9 Česticama ojačani kompozitni - Sadrži veću količinu čestica različitog geometrijskog oblika, ali su približno istih dimenzija u svim pravcima. - Veličina čestica bitno utiče na svojstvo kompozitnih materijala; preporuka je da prečnik čestica budu 1 m i da su ravnomjerno raspoređene unutar matrice. - Kompoziti s disperzijom prečnik čestice <0,1 μm. - Kompoziti s velikim česticama prečnik čestice >1 μm. - Najčešće korišćene čestice su oskidi, karbiti i nitridi: Al2O3, SiC, WC... - Sadržaj čestica takođe utiče na svojstva kompozitnog materijala; potrebni sadržaj čestica kreće se u intervalu 30-40% zapreminskog učešća. - Modul elastičnosti česticama ojačanog kompozitnog materijala se određuje računski i mora biti u granicama: č č č č č E - modul elastičnosti, V - zapreminski udio komponente, Indeksi c, m i č - kompozit, matrica i čestica 9
10 Česticama ojačani kompozitni koriste kombinacije sve tri vrste materijala: metal, keramika i polimer. Kermeti to su česticama ojačani kompozitni na bazi kombinacije keramičkih materijala i metala. Najviše korišćeni kermet: čestice volfram karbida (WC) ili titan karbida (TiC), raspoređene su u metalnoj matrici kobalta (vezivno sredstvo). Kompozit na bazi titan karbida se koristi za alate pri rezanju termički obrađenih čelika. Tvrde čestice karbida obezbjeđuju dobra režuća svojstva za vrijeme obrade, i imaju visoku temperaturu topljenja što im obezbjeđuje rad na povišenim temperaturama. Alati za rezanje od čistog volfram karbida izuzetno su krti. U cilju povećanja žilavosti alata, čestice volfram karbida se kombinuju sa kobaltom u prahu, presuju se i žare na temperaturama koje su veće od temperature topljenja kobalta - rastopljeni kobalt obloži svaku česticu volfram karbida. Za grubu obradu rezanjem potrebno je što više kobalta, čime se povećava žilavost alata. Za završnu, finu obradu rezanjem, treba manja količina kobalta, jer tada istupljene čestice volfram karbida lakše ispadaju, a nove čestice oštrih stranica se pojavljuju. 10
11 Brušenje Kod tocila za brušenje i sječenje, čestice za ojačanje su od tvrdih čestica aluminijum oksida (Al2O3), silicijum karbida (SiC), bor nitrida (BN) ili dijamanta. Žilavost tocila se povećava povezivanjem abrazivnih čestica pomoću matrice koja je polimerni materijal. Elektrokontakti Električni kontakti kod prekidača i releja proizvode se od materijala koji su otporni na habanje i imati dobru električnu provodljivost. Koriste se česticama ojačani kompoziti koji se sastoje od srebra kao matrice, ojačanog česticama volframa. Kod kompozita srebro-volfram, potrebnu električnu provodnost obezbjeđuje srebro, dok čestice volframa obezbeđuju zahtjevanu otpornost na habanje. Mnogi polimerni sadrže razne punioce i suštinski predstavljaju česticama ojačani kompozitni materijal. Osnovna funkcija ovih kompozita je da su: - otporni na havanje i - otporni na visoke temperature. 11
12 Vlaknasto ojačani kompozitni Dobijeni su sjedinjavanjem čvrstih, krutih i krtih vlakana (prekidna i disperzna faza) sa mekom i plastičnom matricom (neprekidna faza). Matrica služi da prenosi opterećenja na vlakna i da obezbjedi potrebnu plastičnost i žilavost, kao i sposobnost oblikovanja, štiti vlakna od spoljašnjeg uticaja. Vlakna služe da nose opterećenje. Mogu imati različit raspored i orjentaciju, što ima veliki uticaj na čvrstoću vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala. matrica vlakna Neprekidna jednosmjerno orjentisana vlakna Upravo orjentisana neprekidna vlakna Proizvoljno orjentisana isprekidana vlakna Mnogostruko isprevijana proizvoljno orjentisana vlakna 12
13 Područje I vlakno lom kompozit matrica Područje III zatezna čvrstoća - Rm, N/mm2 napon, R Bor Kevlar S-staklo 2000 E-staklo 1000 Područje II jed. izduženje, ε 0,01 0,02 0,03 jed. izduženje - ε, % 13
14 U fati izrade vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala, u mogućnostio smo da kontrolišemo i utičemo (koristeći pravila mješanja) na izmjenu pojedinih njihovih svojstava. Gustina Vm - zapreminski udio matrice Vv - zapreminski udio vlakana m gustina matrice v gustina vlakana Električna i toplotna provodnost Ako su vlakna neprekidna i jednosmjerno orjentisana: Vm - zapreminski udio matrice Vv - zapreminski udio vlakana m električna provodnost matrice v električna provodnost vlakan km toplotna provodnost matrice kv toplotna provodnost vlakana 14
15 Modul elastičnosti Za opterećenja koja djeluju u pravcu neprekidnih i jednosmjerno orjentisanih vlakana: Vm - zapreminski udio matrice Vv - zapreminski udio vlakana Em modul elastičnosti matrice Ev modul elastičnosti vlakana Povećanjem napona, matrica vlaknasto ojačnog kompozitnog materijala se deformiše, kriva napon - deformacija nije više prava linija, pa je udio matrice u ukupnoj krutosti kompozita značajno smanjena njen udio se zanemaruje u prethodnom izrazu. Za opterećenje koje djeluje upravno na vlakna, svaka komponenta kompozita djeluje nezavisno jedna od druge, pa je: 1 15
16 Čvrstoća Čvrstoća vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala zavisi od veze vlakna-matrica. Ograničena je deformacijom matrice, pa je stvarna zatezna čvrstoća Rmc skoro uvijek manja nego vrijednost izračunata po pravilu miješanja. Vm - zapreminski udio matrice Vv - zapreminski udio vlakana Rmm zatezna čvrstoća matrice Rvmv zatezna čvrstoća vlakana Ukupna čvrstoća vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala zavisi od: zatezne čvrstoće vlakana, uzajamnog odnosa dužine i prečnika vlakna vlakna su duga (neprekidna) ili kratka, zapreminskog udjela vlakana u kompozitu, orjentacije vlakana. Dimenzije vlakana se definišu uzajamnim odnosom dužine i prečnika (l/d). Sa povećanjem odnosa dužine i prečnika, svojstva kompozitnih materijala se poboljšavaju. Upotreba vlakana sa što je moguće manjim prečnikom daje najmanju površinu, pa samim tim i mali broj površinskih grešaka koje mogu biti inicijatori krtog loma. Vlakna sa većom dužinom su bolja jer krajevi vlakana prenose manji deo opterećenja nego ostatak vlakna. 16
17 Tehnološki je veoma teško proizvesti i ukomponovati u matricu duga (neprekidna) vlakna. Za razliku od dugih, kratka vlakna se veoma lako spajaju sa matricom, ali stvaraju relativno slabo ojačavanje. Kako bi se obezbijedio neophodni nivo ojačanja, a samim tim i povećala krutost vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala, neophodno je da upotrebljena vlakna imaju minimalno potrebnu dužinu - kritičnu dužinu (lc) Rm zatezna čvrstoća vlakna c smičući napon između vlakna i matrice d prečnik vlakna Za veći broj vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala. Neprekidna vlakna Prekinuta (kratka) vlakna Zapreminski udio vlakana Sa povećanjem zapreminskog udjela vlakana u vlaknasto ojačanom kompozitnom materijalu raste njihova čvrstoća i krutost. Kao gornjom granicom, do koje vlakna mogu biti potpuno okružena matricom, smatra se oko 80% zapreminskog učešća vlakana. 17
18 Staklena vlakna duga Staklena vlakna - kratka Ugljenična vlakna Udarna žilavost, J/m Zatezna čvrstoća, N/mm Ugljenična vlakna Vlakna, % Savojna čvrstoća, N/mm2 400 Staklena vlakna duga i kratka Modul savijanja, GPa Vlakna, % 40 0 Staklena vlakna duga Staklena vlakna - kratka Ugljenična vlakna Vlakna, % Staklena vlakna duga Staklena vlakna - kratka Ugljenična vlakna Vlakna, % 18
19 Postoje dva ekstremna slučaja: proizvoljna orjentacija vlakana jednosmjerno uređena vlakna. Kompoziti sa proizvoljnom orjentacijom vlakana, a malim odnosom dužine i prečnika (prekinuta vlakna), ponašaju se izotropno, ali se sa njima ne mogu postići optimalna mehanička svojstva. Vlaknasto ojačani kompozitni sa jednosmjernom orjentacijom vlakana, ako opterećenje deluje u pravcu vlakana, postižu optimalne vrijednosti čvrstoće i krutosti. Ukoliko opterećenje djeluje upravno na pravac vlakana, vrijednosti čvrstoće i krutosti su znatno manje. Modul elastičnosti, x103n/mm2 Zatezna čvrstoća, N/mm2 Orjentacija vlakana (1380) (1035) Modul elastičnosti (690) Zatezna čvrstoća 70 (350) (350) 140 (690) 205 (1035) 275 (1380) Modul elastičnosti, N/mm2 Zatezna čvrstoća, N/mm2 Vlaknasto ojačani kompozitni sa jednosmjernom orjentacijom vlakana su anizotropni. Međutim, ako ih opteretimo iz više pravaca, nastaje nepovoljno naponsko stanje. 19
20 Svojstva vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala mogu se poboljšati: paralelnim postavljanjem slojeva neprekidnih vlakana ali sa njihovom različitom orjentacijom u svakom sloju ili korišćenjem tkanine sa različitom orjentacijom vlakana u zavisnosti od načina tkanja. Plain - biaksijalno tkanje vlakana Triaksijalno tkanje vlakana Basket Leno Twill Satin Trodimenzionalno tkanje vlakana 20
21 Materijal vlakana treba da ima dobru čvrstoću, krutost i malu masu polimer, keramika ili visker. Za kompozite koji se koriste na povišenim temperaturama, ojačavajuća vlakna moraju imati visoku temperaturu topljenja. Čvrstoća se izražava kao specifična čvrstoća R е / Krutost se izražava kao specifična krutost E/ Rе [N/mm2] napon tečenja (za polimerne materijale zatezna čvrstoća) [kg/cm2] gustina Specifična čvrstoća, m x 104 E [N/mm2] - modul elastičnosti Kevlar Kevlar 49 Ugljenična vlakna visoke čvrstoće 20 S-staklo 15 Borna vlakna 10 E-staklo Čelik 5 Ugljenična vlakna visokog modula Aluminijum Specifična krutost, m x Ojačavajuća vlakna mogu biti polikristalna ili amorfna. - Imaju mali prečnik (~ 0,01 mm). - Vlakna imaju visoku vrijednost zatezne čvrstoće: - molekuli u vlaknima su orjentisani uzdužno - poprečni presjek je mali (mala vjerovatnoća da postoje greške kristalne rešetke). - Vlakna mogu biti kratka (l/d=20-60) i duga (l/d= ). - Ojačavajuća faza može biti i u obliku čestica ili listića. - Materijali koji se najviše koriste za proizvodnju vlakana su: staklo, ugljenik, bor, aramid, najlon. 21
22 Orjentacija u jednom pravcu Orjentacija u dva pravca Orjentacija u tri pravca Vlaknom ojačan kompozit Vlakna Matrica 22
23 Staklena vlakna Staklena vlakna se izrađuju izvlačenjem rastopljenog stakla kroz male otvore u alatima od platine i to od dvije vrste stakla: 1. E-staklo, borsilikatno staklo 2. S-staklo, magnezijum-aluminijum oksid-silikat staklo. E-staklo ima relativno dobru zateznu čvrstoću i modul elastičnosti, a najviše se koristi za izradu dugih - neprekidnih vlakana. S-staklo ima veću vrijednost specifične čvrstoće i krutosti od E-stakla, ali je znatno skuplje. Staklena vlakna imaju najnižu cijenu u odnosu na druga vlakna. Ugljenična vlakna Izrađuju se procesom hemijskog razlaganja dugih vlakana poliakrilnitrida (PAN) na povišenim temperaturama: I faza: stabilizacija II faza: karbonizacija III faza: grafitizacija. 23
24 grafitizacija C karbonizacija C oksidacija C (230 C) I faza stabilizacija PAN vlakna II faza Karbonizacija Vlakna visoke vrijednosti zatezne čvrstoće III faza Grafitizacija visoka vrijednost modula elastičnosti I faza: PAN vlakna oksidišu na vazduhu temperature od C u zategnutom stanju. II faza: Stabilisana PAN vlakna se zagrijavaju sve dok se ne prevedu u ugljenična vlakna eliminisanjem 0, H i N. Proces se obavlja u inertnoj atmosferi na temperaturi C. Vlakna postižu visoku vrijednost zatezne čvrstoće. III faza: Ova faza se koristi ako se zahtijeva visoka vrijednost modula elastičnosti uz smanjenje čvrstoće. Ugljenična vlakna sadrže 93-95% C, a grafitna vlakna sadrže 99% C. Ugljenična vlakna imaju malu gustinu i visoke vrijednosti specifične čvrstoće i krutosti, i znatno su skuplja u odnosu na staklena vlakna. 24
25 Aramidna vlakna Aramidna vlakna (Kevlar vlakan) su aromatični poliamidni polimer ojačan benzolovim prstenom. Zbog svoje male gustine ova vlakna imaju najveću specifičnu čvrstoću i krutost. Pod dejstvom opterećenja aramidna vlakna se prije kidanja prvo plastično deformišu. Otporna su na zamor. Sa porastom temperature preko 100 C, svojstva aramidnih vlakana se naglo smanjuju. Borna vlakna Borna vlakna sastoje se od bora koji se nanosi postupkom naparavanja na vlakna od volframa (d=0,01 mm). Каkо је osnova ovih vlakana volfram, borna vlakna imaju veliku gustinu, visoke vrijednosti zatezne i pritisne čvrstoće, modula elastičnosti i otporna su na visokim temperaturama. 25
26 Ostala vlakna Primjenu za izradu vlakana u cilju ojačavanja faza kod vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala, ima: najlon, silicijum karbid, silicijum nitrid, alummijum oksid, volfram, molibden, bor karbid, bor nitrid, tantal karbida i čelik visoke čvrstoće. 26
27 Viskerom ojačan kompozit Visker (monokristalno vlakno) je mali izduženi monokristali kod kog je ekstremno velik odnos dužina/prečnik. Čvrstoća viskera u odnosu na čelik iste debljine je 5-10 puta veća. Posjeduju izrazito veliku termootpornost Tt = C Prečnik od 0,5-30 μm. Dužina do 20 mm. Viskeri mogu biti od grafita, Al2O3 i SiC. Kao ojačavajuća faza koriste se viskersi igličasti kristali (d=1-10 m), koji imaju ekstremno veliki odnos l/d= Zbog malog prečnika, imaju veliki stepen kristalne savršenosti - izuzetno visoka vrijednosti čvrstoće. Viskersi zbog svoje visoke cijene i problema oko formiranja čvrste veze sa većinom materijala matrice, rijetko se koriste. TiB visker Viskersi se izrađuju od: grafita, aluminijum oksida, silicijum karbida, silicijum nitrida, bor karbida i hroma. 27
28 I funkcija matrice: Ona međusobno povezuje vlakna i djeluje kao posrednik koji spoljna opterećenja prenosi i raspoređuje na vlakna. Materijal matrice treba da je ima sposobnost plastične deformacije pošto su opterećenja koja primaju čvrsta i najčešće krta vlakna, znatno veća od onih što prima matrica. Neophodno je da modul elastičnosti vlakna bude mnogo veći nego kod matrice. II funkcija matrice: Treba da štiti vlakna od mehaničkih oštećenja ili hemijskih uticaja sredine u kojoj funcioniše. Površinska oštećenja vlakana su izvori formiranja prslina koje mogu prouzrokovati lom i pri manjim vrijednostima zatežućih napona. III funkcija matrice: Matrica služi kao barijera širenju prslina. Razdvajanjem vlakana i zahvaljujući njenoj plastičnosti sprečava eventualno širenje krtog loma od vlakna do vlakna, što bi dovelo do konačnog loma konstrukcije. Čak i ako neka pojedina vlakna popuste usled širenja prsline, do loma kompozitnog materijala neće doći, osim ako se veliki broj vlakana odjednom ne prekine, a zatim odvoji i izvuče iz matrice. Čvrstoća veze vlakna-matrice mora da bude dovoljno velika, kako bi se spriječilo izvlačenje vlakana, čime bi se ugrozila čvrstoća kompozitnog materijala. Kao materijal matrice za vlaknasto ojačane kompozitne materijale koriste se metalni i polimerni, koji posjeduju potrebnu plastičnost. Na povišenim temperaturama od oko 300 C i više, koristi se poliamidna matrica sa ugljenim vlaknima. 28
29 Materijal matrice može biti: - Metal - aluminijum, aluminijum-litijum, magnezijum i titan, bakar - Keramika Al2O3, SiC... Polimer - veliki broj termoplastičnih i termostabilnih materijala (poliestarske smole, epoksidne smole,...). Materijali matrice najčešće su: epoksidi, poliestri, polietarsulfan, poliamidi i silikon. - Upotreba epoksidne smole je velika (do 80% od svih polimera), a zatim poliestera koji je jeftiniji od epoksidnih smola. 2 Vlakno/polimerna matrica Vlakno/metalna matrica E-staklo-epoksid Specifična čvrstoća, m x 104 Za vlaknasto ojačane kompozitne materijale za matrice, koje su izložene povišenim temperaturama od oko 300 C i više, koristi se poliamidna matrica sa ugljenim vlaknima. 1 HS-ugljenik-epoksid Bor-aluminijum Kevlar - epoksi Metali Bor-epoksid Titan Čelik Aluminijum Ugljenik magnezijum Bor-titan Polimeri 0 2,5 5 7,5 Specifična krutost, m x Zavisno od komponenata vlakno-matrica, vlaknasto ojačani kompozitni su grupisani u tri sistema: 1. vlakno-metalna matrica (MMC Metal Matrix Comopozites), 2. vlakno-keramička matrica (CMC Ceramic Matrix Comopozites) i 3. vlakno-polimerna matrica (PMC Polimer Matrix Comopozites). 29
30 Vlakno-metalna matrica Kompozitni sa metalnom matricom, u odnosu na kompozite sa polimernom matricom, imaju veću otpornost na povšenim temperaturama, veću plastičnost i žilavost. Ograničenja - veća gustina i teškoće koje se javljaju u tehnologiji izrade dijelova. Materijal matrice: aluminijum alumimjum-litijum olovo bakar magnezijum i titan. Materijal vlakana: grafit aluminijum oksid silicijum karbid i bor sa volframom i berilijumom. 30
31 Vlakno-matrica Primjena Grafit aluminijum Za izradu komponenti satelita, raketa i helikoptera. Grafit magnezijum Strukture kosmičkih letilica i satelita. Grafit olovo Ploče akumulatora. Grafit bakar Za električne kontakte. Bor aluminijum Za izradu kompresorskih lopatica, i nosećih struktura. Bor magnezijum Za noseće strukture antena. Bor titan Al2O3 aluminijum Al2O3 olovo Al2O3 magnezijum SiC aluminijum, titan Za izradu lopatica fena mlaznih motora. Superprovodnički usporivači u nuklearnim reaktorima. Ploče akumulatora. Konstrukcija prenosa kod helikoptera. Za izradu komponeti izloženih visokim temperaturama. SiC super legure Za izradu komponenti motora izloženih visokim temperaturama. Molibden,volfram super legure Za izradu komponenti motora izloženih visokim temperaturama 31
32 Vlakno-keramička matrica Posjeduju: - veliku čvrstoću, - veliku krutost, - otporni su na visokim temperaturama, - veoma su krti i - imaju malu žilavost loma. Keramičke matrice od silicijum karbida, silicijum nitrida i aluminijum oksida zadržavaju visoku čvrstoću i do 1700 C. Kompozit ugljenik-ugljenična matrica zadržava dobra svojstva i do C. Primjena: komponente mlaznih motora i motora sa unutrašnjim sagorijevanjem, dijelovi opreme podmornica, posude pod pritiskom... 32
33 Vlakno-polimerna matrica Kompozitni ove klase sačinjeni su od polimerne matrice koja je ojačana vlaknima visoke čvrstoće od polimera, metala ili keramike. Posjeduju: - izuzetno dobru kombinaciju čvrstoće, krutosti i male mase, - dobru otpornost na zamor i puzanje, - pri relativno niskim temperaturama gube svoju čvrstoću. Ugljenična (zahtev za velikom krutošću i dobrom žilavosti) i aramidna (gdje je veliko opterećenje) vlakna u polimernoj matrici su najviše korišćeni kompozitni. U novije vrijeme polietilenskih vlakna se koriste kod jako opterećenih dijelove, gdje je neophodna dobra žilavost. Za dijelove izložene dejstvu sila iz raznih pravaca, ojačavajuća vlakna se postavljaju unakrsno u matricu, kao što je to slučaj sa tankozidnim posudama pod pritiskom. Primjena: komponente aviona, raketa, helikopterskih rotora, zaštitnih šlemova, cijevi, posuda pod pritiskom, dijelova karoserije automobila, lisnatih opruga, brodskih korita itd. 33
34 Vlakno-matrica Kevlar-epoksi Kevlar-poliester Primjena Vazduhoplovstvo, aerokosmonautika (komponente space shuttle), brodska korita, sportska oprema (teniski reketi, štapovi za golf, štapovi za pecanje), neprobojni prsluci. Grafit-polimer Aerokosmonautika, komponente automobila, sportska oprema. Staklo-polimer Vazduhoplovstvo, aerokosmonautika, automobilska industrija, brodogradnja, sportska oprema, komponente otporne na koroziju. 140 m dug pješački most kompozit-čelik Holandija 34
35 US $ 9.4 milijardi US $935 milijardi 35
36 Strukturni kompoziti Laminarni kompozitni Kompozitni koji se sastoje od vrlo tankih prevlaka od različitih materijala koji se nanose na osnovni materijal, debljih zaštitnih površina, bimetala, oslojenih metala, laminata i vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala u obliku tankih slojeva, nazivaju se laminarni kompozitni. Prevashodna namjena: povećanje korozione i abrazivne otpornosti osnovnog materijala i povećanj čvrstoće vlaknasto ojačanih kompozitnih materijala u više ravni. Na osnovu pravila o miješanju, svojstva laminarnih kompozitnih materijala, kao što su gustina, toplotna i električna provodnost i modul elastičnosti, mogu se proračunati sa malom greškom. gustina toplotna provodnost električna provodnost modul elastičnosti Svojstva upravno na lamele toplotna provodnost električna provodnost modul elastičnosti
37 Šper-ploča je laminat koji je sačinjen od neparnog broja furnira složenih tako da drvena vlakna furnira budu orjentisana pod pravim uglom u odnosu na prethodni sloj. Otpona je na pojavu prslina i vitoperenje. Sigurnosna stakla su laminat kod koga su dva stakla spojena plastičnim ljepilom. Pri lomljenju stakla, ljepilo sprečava da se komadići rasprše po prostoru. Aral je laminat koji se sastoji od naizmjenično postavljenih slojeva aramidnih vlakana i aluminijuma. Veza među slojevima je ljepilo. Koristi se za izradu oplate aviona. aluminijum Aramid-polimer Aramid-polimer aluminijum aluminijum 37
38 Bimetali su kompozitni koji se sastoje iz dva međusobno čvrsto spojena metala, različitih koeficijenata linearnog širenja. Korišćeni metali za izradu bimetala moraju: da imaju veliku razliku u koeficijentima linearnog širenja, visoku vrijednost modula elestičnosti. Bimetali se koriste za prekidanje strujnog kola kada temperatura u sistemu prekorači kritičnu vrijednosi. Materijal za bimetale: Invar (nikal-železo), monel (nikal-bakar), magnezijum-nikal-bakar, nikalhrom-železo ili čisti nikal. 38
39 Sendvič konstrukcije Sendvič konstrukcije su specifična vrsta kompozitnih materijala koji imaju malu masu, a visoke vrijednosti specifične čvrstoće i specifične krutosti. Sendvič konstrukcije se sastoji iz dva tanka spoljna sloja i jezgra (saće) koji su spojeni ljepilom ili nekom drugom tehnikom spajanja. Ljepilo se takođe može smatrati strukturnom komponentom kompozita. ploča ljepilo saće ljepilo Sendvič konstrukcija ploča 39
40 Saće sendvič konstrukcije Materijal saća (ispuna) i materijal spoljnih ploča nemaju pojedinačno veliku vrijednost čvrstoće i krutosti, ali sendvič konstrukcija-kompozit posjeduje visoke vrijednosti oba svojstva. Spoljne ploče sendvič konstrukcije služe da prenose najveći dio opterećenja, i napone usled naprezanja na savijanje. Materijal ploča je: legure aluminijuma, titan, nerđajući čelici, legure nikla, vlaknasto ojačani polimeri i šper ploče. Saće sendvič konstrukcija ima dvije funkcije: da razdvoji spoljne ploče i pojavu deformacije upravne na ravan ploča da obezbijedi određen stepen čvrstoće na smicanje duž ravni koje su upravne na ploče. Materijal za saće je: ekspandirani polimeri, sintetička guma i balza (vrsta lakog drveta). Još jedna dosta rasprostranjena ispuna, koja se koristi kod sendvič konstrukcija ima oblik saća. To je tanka folija oblikovana u zatvorene ćelije heksagonalnog, kvadratnog, pravougaonog i sinusoidnog oblika sa osom orientisanom upravno na spoljne ploče. 40
41 41
42 Sendvič panel 42
43 43 Prof.dr Darko R.Bajić
44 44
45 45
46 46
47 Nanokompoziti Materijal se naziva nanokompozitom ako je bar jedna od faza ima jednu ili više dimenzija (visina, širina, dužina) manju od 100 m. Materijali budućnosti: karbonske nanocijevi CNT Karbonske nanocijevi su koji imaju izvanredna mehanička, toplotna i električna svojstva. Pretpostavlja se (u toku su ispitivanja) da će postavljanjem nanocijevi u odgovarajuće matrice, nastali kompoziti imati poboljšana svojstva. Izuzetna krutost i specifična zatezna čvrstoća ugljenikovih nanocijevi čini ih pogodnim za upotrebu kao pojačavača polimernih kompozita. Karbonske nanocijevi su zanemarljivo male, a identifikovane su kao najjači vlaknasti trenutno. Inženjeri sa Massachusetts Institute of Technology (MIT) koriste ugljenikove nanocijevi koje su debele kao milijarditi dijelovi metra kako bi učiniti oplatu aviona i drugih proizvoda oko 10 puta jačim. 47
48 Ugljenične nanocijevi Polimena matrica 48
49 Biokompoziti - Čine ih prirodna vlakna biljnog i životinjskog porijeka i biološki nerazgradivi polimeri (duromeri i plastomeri)kao matrica. ili - Sintetička vlakna i biopolimeri (preradom materije biljnog porijekla). Prirodna vlakna: - Biljnog porijeka: slama, trska, trava, riža, lan, juta, bambus... drvo (meko ili tvrdo) lišće (banna, palma) sjeme (kokos). - Životinjskog porijeka: dlaka vuna svila. 49
50 biokompozit vlakna konoplje-polietilen Bio matrica od skroba. 50
51 biokompozit vlakna konoplje-polietilen Companija JELU (Njemačka) - razvila je kompozit - Matrica - termoplastični skrob (TPS) - Vlakno - drvena vlakna (WPC) Zadovoljava Evropski standard za kompostabilnost DIN EN
52 Prednosti prirodnih vlakana: - obnovljivi izvori, - niska cijena - bezbjednost (zdravlje) pri proizvodnji - visoka zvučna izolacija, - mala gustina... Nedostaci prirodnih vlakana: - njihovom proizvodnjom smanjuju se površine za proizvodnju hrane koja je potrebna čovjeku, - higroskopna su, - podložna uticaju mikroorganizama i gljivica, - negativan uticaj visokih temperatura, - mehanička svojstva slabija u odnosu na sintetička vlakna... 52
53 Osnovna literatura Vitomir Đorđević - prvi deo Univerzitet u Beogradu, fakultet Beograd 2000 Fotografije (dio) sa interneta 53
Mašinski materijali. Predavanje broj 10 Obojeni metali I legure
Mašinski materijali Predavanje broj 10 Obojeni metali I legure 1 Klasifikacija materijala 2 Aluminijum Aluminijum spada u grupu lakih metala(specifične mase 2,7g/cm 3 ) i pripada grupi materijala niske
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPOSTUPCI PROIZVODNJE METALNIH I KERAMIČKIH KOMPOZITA
Prof.dr.sc. Tomislav Filetin, Doc.dr.sc. Gojko Marić Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu Zavod za materijale POSTUPCI PROIZVODNJE METALNIH I KERAMIČKIH KOMPOZITA Napredne tehnologije
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραPRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότερα3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOpšte KROVNI POKRIVAČI I
1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće
Διαβάστε περισσότεραDINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραTABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότερα1. PODELA MATERIJALA
1. PODELA MATERIJALA metali keramika polimeri VRSTE MATERIJALA kompoziti Metalni materijali Keramički materijali Polimeri Kompozitni materijali metal + keramika polimeri + keramika metal + polimeri Slika
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU
V E Ž B E TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU Rade Tokalić Suzana Lutovac ISPITIVANJE METALA I LEGURA I ispitivanja sa razaranjem uzoraka II ispitivanja bez razaranja uzoraka III - ispitivanja strukture
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραNOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA
NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD
Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti
Διαβάστε περισσότεραPRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)
Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότεραCenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.
Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραProračunski model - pravougaoni presek
Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραEuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje
EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti
Διαβάστε περισσότεραPREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα