טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

Transcript

1 טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה: סינוס זווית BAC (אלפא) שווה ליחס בין הניצב a שממול הזווית ליתר c. ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות של זווית כלשהי במעגל בעל רדיוס = R (המעגל הטריגונומטרי): שיעורי הנקודה A במערכת צירים x-y הם cos ו- sin בהתאם: הערה: במשולש ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות וזוויות חדות בלבד. y - x (מכיוון ש- =.(R - הגדרת הפונקציות במעגל הטריגונומטרי אינה מוגבלת לזוויות חדות בלבד, אלא לכל טווח הזוויות: הערות. כאשר הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, שתי ההגדרות זהות: במשולש ישר זווית OAA x מתקיים: 6

2 מדידת הזוויות (מעלות ורדיאנים) רדיוס OA נקרא רדיוס התחלתי. אם סובבים רדיוס התחלתי נגד מגמת השעון, נחשבת הזווית חיובית (דוגמה: הזווית.(AOB הזווית שמתקבלת בסיבוב הרדיוס ההתחלתי במגמת השעון (לדוגמה, הזווית (AOC נחשבת הזווית שלילית. קשתות וזוויות נמדדות במעלות או ברדיאנים. הגדרה: ל- מעלה אחת ( ) היא הזווית השווה מהזווית של סיבוב שלם. דקה אחת (') שווה ל- של מעלה. שנייה אחת (") שווה ל- של דקה. הגדרה : רדיאן אחד הוא זווית מרכזית הנשענת על קשת המעגל שאורכה שווה לרדיוס: זווית בת 0 AB = OA = R AOB מידת הזווית ברדיאנים מתקבלת כיחס של אורך הקשת AB של מעגל בעל רדיוס כלשהו לגודל OA של רדיוס המעגל. - זווית בת רדיאן. 7

3 מדידת הזוויות מעלות ורדיאנים (המשך) זוויות במעלות זוויות ברדיאנים הערה: π הוא מספר (יחס של היקף המעגל לקוטר) המתבטא בשבר עשרוני אינסופי: π = בחישובים משתמשים בד"כ בערך מקורב: 3.4 π נוסחת המעבר מרדיאנים למעלות נוסחת המעבר ממעלות לרדיאנים A גודל זווית במעלות, זווית במעלות דרך חישוב זווית ברדיאנים דוגמאות - גודל הזווית ברדיאנים זווית ברדיאנים דרך חישוב זווית במעלות A

4 ערכי הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות פונקציה x במעלות x ברדיאנים 0 לא מוגדר לא מוגדר 0 0 לא מוגדר לא מוגדר 0-9

5 ctg x זווית פונקציה ערכי הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות (המשך) tg x cos x sin x π π π π π π 75 0

6 סימני הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות תחום זוויות רביע I II III IV פונקציות טריגונומטריות של זוויות גדולות

7 sin + cos = ; tg = tg = זהויות טריגונומטריות בסיסיות sin, cos π (n + ), n Z; cos, πn, n Z; sin tg ctg =, + tg = + ctg =, cos sin π n, n Z; π (n + ), n Z;, πn, n Z הצגת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות פונקציות טריגונומטריות אחרות sin פונקציה cos tg ctg sin sin ± cos ± tg + tg ± + ctg cos ± sin cos ± + tg ± ctg + ctg tg ± sin sin ± cos cos tg ctg ctg ± sin sin ± cos cos tg ctg

8 sin = sin cos cos = cos tg = tg פונקציות מחצית הזווית sin tg cos sin = + cos cos = sin cos tg = = + cos sin ( π (n + ), n Z) נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה sin + sin = sin sin + sin = cos cos + cos = cos cos + cos = sin + β cos + β sin + β cos + β sin cos + sin = cos (45 ) cos sin = sin (45 ) β β β β = sin + β sin β tg ± tg = sin( ± β) cos cosβ, π (n ), n Z ctg ± ctg = sin( ± β) sin sin β, πn, n Z 3

9 נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה + cos = cos cos =sin + sin = cos (45 ) sin = sin (45 ) + tg = sin(45 cos 45 + ) cos = sin(45 cos + ), a π + πn, n Z tg = sin(45 ) = cos 45 cos sin(45 cos tg cos π =, + πn, n Z cos ctg cos =, πn + πn, n Z cos ) π, a + πn, n Z נוסחאות ההמרה של מכפלת הפונקציות הטריגונומטריות לסכומם sin sin β = (cos( β) cos ( + β)) sin cos β = (sin( β) + sin ( + β)) cos cos β = (cos( β) + cos ( + β)) cos sin β = (sin(β ) + sin (β + )) 5

10 הבעת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות טנגנס של מחצית זווית נוסחאות הורדת החזקה של הפונקציות הטריגונומטריות 6

11 ctg פונקציה זווית פונקציות מחצית הזווית, זווית כפולה, זווית משולשת ועוד... tg cos sin ± + cos cos ± cos + cos ± + cos ± cos tg ctg tg tg cos sin sin cos 3 ctg 3ctg 3ctg 3tg 3 3tg tg 4cos 3 3cos 3sin 4sin 3 3 cos 4 6cos sin + sin 4 4cos 3 sin 4cos sin 3 4 tg נוסחאות לטנגנס מחצית הזווית: cos sin sin + cos ± cos + cos נוסחאות לקוסינוס של זווית כפולה: cos sin cos cos sin 7

12 דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר בין פונקציות טריגונומטריות שימו לב: אם ידועה אחת מהפונקציות הטריגונומטריות של הזווית והרביע שבו נמצאת הזווית, אפשר לחשב את כל הפונקציות האחרות של אותה הזווית. sin t = π < t < 3 5 3π דוגמה נתון: הזווית t נמצאת ברביע ה-.III מצאו:.ctg t,tg t,cos t פתרון 3 cos t = sint = = 5 III cos t = = 5 5 הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה- ctg t = tg t 4 3 הקוסינוס הוא שלילי. sin t tg t = = : = cos t = cos = 3 3π, π דוגמה נתון: פתרון sin = cos = tg sin = 8 9 = = הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה- IV הסינוס הוא שלילי. = sin cos = 3 : 3 ctg = = : = tg 3 = 4 הזווית נמצאת ברביע ה-.IV מצאו: ctg, tg, sin 8

13 דוגמה 3 נתון: דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר בין פונקציות טריגונומטריות (המשך) tg x = 0 π < x < π נמצאת ברביע ה- II..ctg x,cos x,sin x הזווית x מצאו: פתרון cos x = = = + rg x cos x = 0 הסימן מינוס מופיע מכיוון שברביע ה - II הקוסינוס הוא שלילי. sin x = tg x cos x = 0 ctg x = = tg x 0 מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות תנועה סיבובית של הנקודה P במעגל הטריגונומטרי היא מחזורית: כל סיבוב שלם מחזיר את הנקודה לאותו מקום. מכיוון שמקום הנקודה במעגל קובע את הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של זווית הסיבוב, אלה גם חוזרים על עצמם לאחר סיבוב שלם אחד (או כמה סיבובים). לפונקציות סינוס וקוסינוס המחזור הקטן ביותר שווה ל- 360 = π רדיאן: sin = sin ( + πk) k = 0, ±, ±, cos = cos ( + πk) 9

14 מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות (המשך) לפונקציות טנגנס וקוטנגנס המחזור הקטן ביותר שווה ל- 80 או π רדיאן: מספר k מציין את מספר הסיבובים השלמים שאותם עברה הנקודה. אם k חיובי 0) > (k הנקודה מסתובבת נגד מגמת השעון, אם k הוא שלילי - הנקודה מסתובבת בכיוון מגמת השעון. דוגמאות sin 765 חשבו: פתרון מציגים זווית של הפונקציה כמספר שלם של מחזורים ושארית הקטנה מהמחזור: sin765 = sin ( )=sin 45 =. תשובה: חשבו: פתרון cos (-70 ) = cos (70 ) = = cos ( ) = cos 90 = 0 את סימן המינוס משמיטים, מכיוון שקוסינוס הוא פונקציה זוגית. תשובה: 0. cos (-70 ). 30

15 זוגיות ואי-זוגיות של פונקציות טריגונומטריות פונקציה בדיקת זוגיות זוגית - אי-זוגית אי-זוגית sin x זוגית cos x אי-זוגית tg x אי-זוגית ctg x דוגמאות 3

16 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = sin x x R תכונות הפונקציה y = sin x תחום ההגדרה כל המספרים הממשיים תחום הערכים זוגי אי-זוגי מחזוריות : הפונקציה היא מוגבלת הפונקציה היא אי-זוגית: הפונקציה sin x היא מחזורית המחזור הקטן ביותר: שורשים (נקודות האפס ( תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי עלייה תחומי ירידה נקודות מקסימום נקודות מינימום 3

17 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = cos x תכונות הפונקציה y = cos x כל המספרים הממשיים x R תחום ההגדרה : y [, -] תחום הערכים הפונקציה היא מוגבלת זוגי אי-זוגי מחזוריות הפונקציה היא זוגית: cos (-x) = cos x הפונקציה cos x היא מחזורית המחזור הקטן ביותר: π שורשים (נקודות האפס) תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי עלייה תחומי ירידה נקודות מקסימום נקודות מינימום 33

18 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = tg x תכונות הפונקציה y = tg x תחום ההגדרה כל המספרים הממשיים, מלבד המספרים תחום הערכים כל ציר המספרים; הפונקציה היא בלתי מוגבלת זוגי אי-זוגי מחזוריות הפונקציה היא אי-זוגית: tg (-x) = -tg x הפונקציה tg x היא מחזורית. המחזור הקטן ביותר: π שורשים (נקודות האפס) תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי עלייה 34

19 גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה y = ctg x תכונות הפונקציה y = ctg x כל המספרים הממשיים, מלבד המספרים x = π + πk, k Z תחום ההגדרה תחום הערכים כל ציר המספרים; הפונקציה היא בלתי מוגבלת ctg (-x) = -ctg x זוגי אי-זוגי הפונקציה היא אי-זוגית: הפונקציה ctg x היא מחזורית. המחזור הקטן ביותר: π ctg (x + πk) = ctg x, k Z מחזוריות שורשים (נקודות האפס) תחומי חיוביות תחומי שליליות תחומי ירידה 35

20 משוואות טריגונומטריות המשוואה כוללת סינוסים ו/או קוסינוסים בלבד. דוגמאות: משוואה ממעלה מהסוג: הומוגנית ראשונה משוואה הומוגנית ממעלה שנייה מהסוג: משוואה מהסוג: וכדומה. שיטת פתרון שיטת פתרון שיטת פתרון שיטת פתרון אפשר להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית (או דו-ריבועית ( לגבי סינוס (או קוסינוס) מחלקים את שני האגפים ב- cos x (בתנאי שהוא אינו שווה לאפס). מקבלים: מחלקים את שני האגפים ב- מקבלים משוואה ריבועית לגבי טנגנס: מציבים ומקבלים משוואה ריבועית לגבי טנגנס. נוסחאות נוסחאות נוסחאות נוסחאות 43

21 משוואות טריגונומטריות המשוואות הבסיסיות cos x = a sin x = a הערה: למשוואות האלה קיים פתרון רק במקרים שבהם הערך המוחלט של a לא גדול מ- : cot x = a tan x = a הערה: למשוואות האלה קיים פתרון לכל הערכים של a. sin x = a המשוואה הבסיסית.I הפתרון על פי השרטוט לשתי הזוויות, ו-, ערך הסינוס שווה ל- a: מכיוון שפונקצית סינוס היא מחזורית בעלת מחזור של,πk למשוואה sin x = a שתי קבוצות שורשים מהסוג: 44

22 cos x = a המשוואה הבסיסית.II הפתרון על פי השרטוט לשתי הזוויות, ו- - ערך הקוסינוס שווה ל- a: מכיוון שפונקצית הקוסינוס היא מחזוריות בעלת מחזור של,πk למשוואה cos x = a שתי קבוצות שורשים מהסוג: פתרון המשוואות הבסיסיות sin x = a ו- cos x = a במקרים מיוחדים פתרון משוואה פתרון משוואה 45

23 פתרון המשוואות הבסיסיות cos x = a במקרים מיוחדים sin x = a ו- (המשך) פתרון משוואה פתרון משוואה ctg x = a ו- tg x = a המשוואות הבסיסיות.IV -III לשתי המשוואות הפתרונות קיימים תמיד, לכל הערכים של a, מכיוון שתחום הערכים של הפונקציות כל המספרים הממשיים. על פי הגרפים, מספר הפתרונות הוא אינסופי (הפונקציות מחזוריות), ואפשר לכתוב אותם בנוסחה אחת לכל משוואה: 46

24 פתרון המשוואות הבסיסיות ו- ctg x = a במקרים מיוחדים tg x = a פתרון משוואה פתרון משוואה 47

25 פתרון משוואות טריגונומטריות. המשוואות המובאות למשוואות ריבועיות דרך הפתרון 3. לפתור משוואה בסיסית מהסוג: sin x = a cos x = a tg x = b ctg x = a.. להביא את המשוואה לביטוי הכולל פונקציה אחת בלבד. דוגמה: פתרון: לפתור משוואה ריבועית לגבי אותה הפונקציה. במקום cos x מציבים את ביטויו באמצעות סינוס, ומקבלים: פותחים סוגריים: מגדירים נעלם חדש: מקבלים משוואה ריבועית: פותרים אותה: אין פתרון תשובה: 48

26 . המשוואות שבהן אפשר לפרק אגף שמאל לגורמים דוגמה: פתרון הגורם השני: פתרון המשוואה: 3. משוואה הומוגנית (אחידה) מהמעלה הראשונה הגדרה: המשוואה מהסוג = 0 +c a sinx + b cosx נקראת משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה. דרך הפתרון: לאחר חלוקת שני האגפים ב- cos x מתקבלת משוואה פשוטה לגבי טנגנס: = 0 b a tg x + דוגמה: פתרון המשוואה: 49

27 4. משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה המשוואה מהסוג = 0 d a sin x + b sinx cosx + נקראת משוואה הומוגנית ממעלה שנייה לגבי sin x ו- x.cos הגדרה:.d = d (sin x + cos x) (d של 0 (במקרה d דרך הפתרון: מציגים את בצורה הבאה: מחלקים את שני האגפים ב- cos x ומקבלים כתוצאה משוואה ריבועית לגבי טנגנס. דוגמה: פתרון: תשובה: פתרון המשוואה מהסוג (0 c,0 a),0 b באמצעות משתנה עזר. a sinx + b cosx = c.5 דרך הפתרון: נגדיר זווית ϕ חדשה: נשתמש בנוסחה של קוסינוס ההפרש: קיבלנו משוואה בסיסית: מחלקים את שני האגפים בשורש: 50

28 .5 פתרון המשוואה מהסוג a sinx + b cosx = c (0 c,0 a),0 b באמצעות משתנה עזר (דוגמה). פתרו משוואה: נרשום נתונים ונחשב שורש: נחלק את שני האגפים של המשוואה ב- 0: נגדיר זווית ϕ חדשה באמצעות הקוסינוס: והסינוס שלה: נציב במשוואה: נשתמש בנוסת קוסינוס הפרש הזוויות: קיבלנו משוואה בסיסית; פותרים אותה ומקבלים תשובה סופית:.6 פתרון המשוואה מהסוג = 0 cosx a sinx + b פתרו משוואה: cos x 0,sin x = 0 ברור שקוסינוס אינו שווה לאפס: אחרת היינו מקבלים מהמשוואה גם מה שלא יכול להתקיים בו-זמנית. נחלק את שני האגפים ב- :cos x נמצא טנגנס הזווית, נפתור משוואה בסיסית, ונקבל תשובה: 5

29 משפט סינוסים משפט פתרון משולשים ביטוי R הוא רדיוס המעגל החוסם. משפט קוסינוסים תיכון - קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע מולו. ביטוי לאורך תיכון המועבר מקודקוד :A גובה - אנך היורד מקודקוד לצלע ממול. ביטוי לאורך הגובה היורד מקודקוד A: חוצה זווית קטע שקצותיו בקודקוד הזווית ובצלע שמולה, והוא חוצה את הזווית. ביטוי לאורך חוצה הזווית A: 5

30 פתרון משולשים (המשך) משפט טנגנסים ביטוי שרטוט רדיוס מעגל חסום - p חצי היקף של המעגל. שטח משולש = משפט גרון שטח משולש: - p חצי היקף של המעגל כאשר a = b = c אז: 53

31 פתרון משולשים באמצעות משפטים מטריגונומטריה נתון מצא פתרון את הזוויות B ו- C מחשבים בעזרת המחשבון. את הזווית A מחשבים בעזרת המחשבון. את הזווית B מחשבים בעזרת המחשבון. 54