ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó"

Transcript

1 ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple  Ó

2 תוכן העניינים מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם... משפחות של פונקציות... גבול של פונקציה ורציפות של פונקציה... חישוב גבולות... אסימפטוטות לגרף הפונקציה... נגזרת של פונקציה... משיק לגרף הפונקציה... חקירת פונקציות בשילוב אנליזה... אינטגרל ופונקציה קדומה... חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים... מפתח א-ב...

3 מושגים בסיבסיסיים הגדרות ותיאורים אם משתנה y תלוי במשתנה כך שלכל ערך של מתאים ערך אחד ויחיד של המשתנה y, (הערך של מגדיר את הערך של y), כלומר, אם ידועה שיטה למציאת הערך של y לכל ערך של, אז אומרים שהמשתנה y הוא פונקציה של המשתנה.y=f() : המשתנה נקרא המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה y נקרא המשתנה התלוי (הפונקציה). דוגמאות מחיר נסיעה במונית הוא פונקציה של אורך הדרך שעברה המונית בנסיעה. אורך הדרך הוא המשתנה הבלתי תלוי ומחיר הנסיעה הוא המשתנה התלוי. שטח של עיגול הוא פונקציה של רדיוס העיגול. רדיוס העיגול הוא המשתנה הבלתי תלוי ושטח העיגול הוא המשתנה התלוי. מחיר מברק הוא פונקציה של מספר המילים במברק. מספר המילים הוא המשתנה הבלתי תלוי ומחיר המברק הוא המשתנה התלוי. אורך עמוד הכספית במד חום הוא פונקציה של הטמפרטורה. הטמפרטורה היא המשתנה הבלתי תלוי ואורך עמוד הכספית הוא המשתנה התלוי..... קבוצת כל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי נקראת תחום הפונקציה (תחום ההגדרה). בדוגמאות לעיל: בדוגמאות ו-, תחום ההגדרה של הפונקציות הנתונות הוא כל המספרים החיוביים. בדוגמה תחום ההגדרה הוא כל המספרים הטבעיים. בדוגמה תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים... קבוצת כל ערכי הפונקציה (המשתנה התלוי), או כל קבוצה המכילה אותה, נקראתטווח הפונקציה. בדוגמה, טווח הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים הגדולים מהמחיר ההתחלתי. בדוגמה ובדוגמה, טווח הפונקציה הוא כל המספרים החיוביים. אם הפונקציה היא קבועה, אז הטווח יכול להיות קבוצה המכילה ערך אחד או כל קבוצה המכילה את הערך הזה..

4 הגדרות ותיאורים ייצוג אלגברי של פונקציה הוא שיטה להצגת הפונקציה בעזרת נוסחה (או כמה נוסחאות) המאפשרת למצוא את ערכי הפונקציה. דוגמאות. f()= -5. g()= +. h () =, 0, < 0-0. y 5 7. ייצוג גרפי של הפונקציה הוא שיטה להצגת הפונקציה כאוסף נקודות במערכת צירים, כך ששיעור ה- של כל נקודה הוא ערך המשתנה הבלתי תלוי, ושיעור ה- y של כל נקודה הוא ערך הפונקציה. אוסף של כל הנקודות הללו נקרא גרף הפונקציה. בגרף הפונקציה אפשר לראות כל מיני תכונות ומאפיינים של הפונקציה. טבלת הערכים של פונקציה היא שיטה להצגת הפונקציה בעזרת טבלה, שבה ליד ערך של המשתנה הבלתי תלוי מופיע ערך הפונקציה המתאים לו. אם לכל ערך של הפונקציה y=f() קיים ערך יחיד. של המשתנה המתאים לו, כלומר, לערכים שונים של מתאימים ערכים שונים של y, אז הפונקציה y=f() נקראת פונקציה חד חד ערכית. הפונקציה f()= היא פונקציה חד חד ערכית, כי לכל שני ערכים שונים של מתאימים ערכים שונים של y: אם אז. הפונקציה g()= איננה פונקציה חד חד ערכית, כי קיימים ערכים שונים של שמתאים להם אותו ערך של y. למשל, g()=g(-)=.

5 הגדרות ותיאורים אם y=f() היא פונקציה חד חד ערכית, אז המשתנה הוא גם פונקציה של המשתנה y: =g(y). הפונקציה הזאת נקראת הפונקציה ההפוכה לפונקציה.f() לפונקציה שאיננה חד חד ערכית לא קיימת פונקציה הפוכה. דוגמאות הפונקציה: מחיר הנסיעה הוא פונקציה של אורך הדרך. לכל אורך דרך נתון אפשר לחשב את מחיר הנסיעה. הפונקציה ההפוכה: אורך הדרך הוא פונקציה של המחיר. לכל מחיר נסיעה נתון אפשר לחשב את מרחק הנסיעה. הפונקציה: המשקל שלי הוא פונקציה של הגיל שלי. בכל גיל יש לי משקל מסוים. בשנתיים האחרונות המשקל שלי לא השתנה. מכאן שלפונקציה הזאת אין פונקציה הפוכה, כי בגילים שונים היה לי אותו משקל. הפונקציה: f() = איננה פונקציה חד חד ערכית בתחום של כל המספרים הממשיים. בתחום הזה אין לה פונקציה הפוכה. אבל בתחום המספרים החיובים, הפונקציה f()= היא פונקציה חד חד ערכית והפונקציה ההפוכה שלה היא:. g () =... כדי למצוא את הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה בייצוג אלגברי יש לבטא את המשתנה הבלתי תלוי באמצעות המשתנה התלוי (בדרך כלל, את המשתנה באמצעות המשתנה y). מצאו את הפונקציה ההפוכה לפונקציה.y=- y + נחלץ את, ונקבל:,=y+. = זוהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה. אפשר גם להחליף את סימון המשתנים: +. y = בצורה גרפית: הגרפים של שתי פונקציות הפוכות הם סימטריים ביחס לישר.y= 5

6 . הגדרות ותיאורים פונקציה שמוצגת על-ידי משוואה מהצורה 0=(y f(, נקראת פונקציה סתומה. שימו לב! לא כל משוואה מהצורה 0=(y f(, מגדירה פונקציה. דוגמאות המשוואה +y=0 מגדירה פונקציה סתומה כי לכל ערך של אפשר למצוא ערך יחיד של y שהוא השורש היחיד של המשוואה הליניארית. למשל, אם = אז - =y וכו' המשוואה 0=- y אינה מגדירה פונקציה כי ישנם ערכי שעבורם יש לפונקציה שני ערכים של y (ולא ערך יחיד). למשל, עבור =, גם =y וגם -=y מקיימים את המשוואה.. פונקציה קבועה היא פונקציה שהטווח שלה כולל רק מספר אחד, כלומר, לכל ערכי מתאים אותו ערך של הפונקציה. הגרף של פונקציה קבועה הוא קו ישר המקביל לציר ה- X. אם המשתנה y הוא פונקציה של, כלומר.,y=f() והמשתנה z הוא פונקציה של y, כלומר,z=g(y) אז לכל ערך של מתאים ערך מסוים של. z פירוש הדבר שהמשתנה z גם הוא פונקציה של :.z=g(f()) פונקציה זו נקראת פונקציה מורכבת. יש לי שטר של 00 ש"ח ואני רוצה לקנות גבינה. מחיר הקנייה הוא פונקציה של משקל הגבינה:.y=f() העודף שאקבל מ- 00 ש"ח הוא פונקציה של מחיר הקנייה:.z=g(y) לכן, העודף שאקבל מ- 00 ש"ח גם הוא פונקציה של משקל הגבינה: z=g(f()) אם f()= ו-,g(y)=5y- אז.f(g(y))=(5y-),g(f())=5 -. 6

7 וסביבות אינטרוולים הגדרות ותיאורים ציר המספרים קו ישר שמוגדרים עליו נקודת אפס וקטע יחידה. לכל נקודה על ציר המספרים אפשר למצוא את שיעור הנקודה, ולכל מספר ממשי אפשר למצוא נקודה המתאימה לו על ציר המספרים. קטע יחידה דוגמאות 0 אינטרוול סגור b] a b [a, הוא אוסף כל המספרים הגדולים מ- a או שווים לו וקטנים מ- b או שווים לו. כלומר, כל הנקודות המקיימות a. b. האינטרוול [,0] כולל את המספרים 0, ואת כל המספרים שביניהם. למשל: 0.,, וכו'.. האינטרוול [,] אינו כולל מספרים כלל (הקבוצה הריקה) כי אין מספרים הגדולים מ- וקטנים מ-.. האינטרוול (,0) כולל את כל המספרים שבין 0 ו- ולא כולל 0 ו-.. האינטרוול (,) אינו כולל מספרים (הקבוצה הריקה) כי אין מספרים הגדולים מ- וקטנים מ-. אינטרוול פתוח a b (b,a) הוא אוסף כל המספרים הגדולים מ- a וקטנים מ- b. כלומר, כל הנקודות המקיימות.a<<b. האינטרוול [,-) כולל את כל המספרים שבין - ו- ולא כולל -.. האינטרוול (,] כולל את כל המספרים שבין ו- ולא כולל. a a b b אינטרוול חצי פתוח (חצי סגור) [b,a) ) b) [a, ( הוא אוסף כל המספרים המקיימים.(a < b ) a< b a 7

8 (-, ) הגדרות ותיאורים אינטרוולים אינסופיים (a, -) כולל את כל המספרים המקיימים. <a [a, -) כולל את כל המספרים המקיימים. a (,a) כולל את כל המספרים המקיימים. >a (,a] כולל את כל המספרים :. a דוגמאות כולל את כל המספרים המקיימים [5, -) כולל את כל המספרים המקיימים (,-) כולל את כל המספרים (,0] כולל את כל המספרים. <. 5. המקיימים >- המקיימים. 0 סביבה של נקודה היא אינטרוול פתוח המכיל את הנקודה. האינטרוול ) δ (a- δ, a+ נקרא -δ סביבה של נקודה a. סביבה נקובה של נקודה היא סביבה של הנקודה ללא הנקודה עצמה. האינטרוול הפתוח (5,) הוא סביבה של. האינטרוול הפתוח ) δ (a- δ, a+ הוא -δ סביבה של נקודה a. התחום (,.) U 0.8,) ( נקודה : הוא סביבה נקובה של סביבה של אינסוף היא קבוצת כל המספרים הגדולים ממספר כלשהו:.(m, ) האינטרוול (,) הוא סביבה של אינסוף. סביבה של מינוס אינסוף היא קבוצת כל המספרים הקטנים ממספר כלשהו: (m, -). האינטרוול (, -) הוא סביבה של מינוס אינסוף. 8

9 מאפיינים של פונקציות לחקור פונקציה פירושו למצוא את כל המאפיינים שלה. הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות פונקציה עולה בתחום לכל זוג ערכים של בתחום אם מתקיים: אם, > אז.f( )>f( ) פונקציה יורדת בתחום לכל זוג ערכים של בתחום מתקיים: אם, > אז f( )<f( ) צורה גראפית ודוגמאות פונקציה עולה בתחום מסוים אם הגרף שלה עולה בכיוון משמאל לימין. פונקציה יורדת בתחום מסוים אם הגרף שלה יורד בכיוון משמאל לימין. פונקציה f() היא פונקציה עולה מונוטונית בתחום מסוים A, אם למשתנה בלתי תלוי גדול יותר בתחום מתאים משתנה תלוי (ערך הפונקציה) גדול יותר בטווח. פונקציה f() היא פונקציה יורדת מונוטונית בתחום מסוים A, אם למשתנה בלתי תלוי גדול יותר בתחום מתאים משתנה תלוי (ערך הפונקציה) קטן יותר בטווח. פונקציה f() עולה (יורדת) בנקודה מסוימת, אם קיימת סביבה של הנקודה שבה הפונקציה עולה (יורדת). פונקציה עולה (יורדת) בתחום מסוים אם ורק אם היא עולה (יורדת) בכל נקודה בתחום. אם הפונקציה עולה בתחום מסוים, היא עולה בכל נקודה בתחום הזה. אם הפונקציה עולה בכל נקודה של תחום מסוים, היא פונקציה עולה בתחום כולו. הפונקציה עולה בנקודה ויורדת בנקודה 0. 9

10 הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות היא נקודת מקסימום (נקודת מינימום) של הפונקציה f() אם קיימת סביבה של הנקודה כך שלכל נקודה בסביבה, השונה מהנקודה ושייכת לתחום ההגדרה, מתקיים: )<f() f(.(f( )>f()) צורה גראפית ודוגמאות לפונקציה הנתונה יש מקסימום מקומי בנקודה - = (הנקודה שבה גרף הפונקציה הוא הגבוה ביותר בסביבה). לפונקציה הנתונה יש מינימום מקומי בנקודה = (הנקודה שבה גרף הפונקציה הוא הנמוך ביותר בסביבה).. לפונקציה f() יש מקסימום מקומי בנקודה אם קיימת סביבה של הנקודה שבה ערך הפונקציה בנקודה גדול מכל ערכי הפונקציה האחרים בסביבה. נקראת נקודת מקסימום.. לפונקציה f() יש מינימום מקומי בנקודה אם קיימת סביבה של הנקודה שבה ערך הפונקציה בנקודה קטן מכל ערכי הפונקציה האחרים בסביבה. נקראת נקודת מינימום. נקודות מקסימום מקומי ונקודות מינימום מקומי של הפונקציה נקראות נקודות הקיצון שלה. בדרך כלל, נקודת קיצון של פונקציה היא נקודה שבה משתנה האפיון של הפונקציה מפונקציה עולה לפונקציה יורדת או להפך. לפונקציה בסרטוט יש שלוש נקודות קיצון: שתי נקודות מינימום ונקודת מקסימום אחת. אם הערך של הפונקציה f() בנקודה גדול (קטן) מכל ערכי הפונקציה האחרים בתחום נתון, היא נקודת המקסימום המוחלט (נקודת המינימום המוחלט) בתחום הנתון. אם פונקציה f() היא פונקציה רציפה בתחום מסוים, אז נקודת המקסימום (המינימום) המוחלט שלה בתחום הזה היא נקודת המקסימום (המינימום) המקומי או אחת מנקודות הקצה של התחום הנתון. הנקודה 6= שהיא נקודת קצה של האינטרוול הנתון, והיא נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה בתחום הנתון (לנקודה 6= מתאימה הנקודה הכי גבוה של הגרף בתחום). הנקודה =, שהיא נקודת מינימום מקומי, היא נקודת המינימום המוחלט של הפונקציה בתחום. (לנקודה = מתאימה הנקודה הכי נמוכה של הגרף בתחום). 0

11 הגדרות ותיאורים נקודת אפס של פונקציה היא נקודה כזו שערך הפונקציה המתאים לה שווה לאפס: 0=(.f( צורה סימבולית והערות כדי למצוא נקודות אפס של פונקציה f() יש לפתור את המשוואה.f()= 0 צורה גראפית ודוגמאות בסרטוט, = היא נקודת אפס של הפונקציה הנתונה: 0=()f. נקודת אפס היא נקודת חיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- X. תחום חיוביות (שליליות) של פונקציה הוא חלק מתחום ההגדרה של הפונקציה שבו כל ערכי הפונקציה חיוביים (שליליים). כדי למצוא תחום חיוביות של פונקציה f() יש לפתור את האי- שוויון.f()>0 כדי למצוא תחום שליליות של פונקציה f() יש לפתור את האי- שוויון.f()< 0 בסרטוט מופיע הגרף של פונקציה נתונה באינטרוול [,-]. האינטרוול (,-] הוא תחום שליליות של הפונקציה (הגרף נמצא מתחת לציר ה- X ). האינטרוול [,) הוא תחום חיוביות של הפונקציה (הגרף נמצא מעל לציר ה- X ). פונקציה זוגית היא פונקציה שעבורה f(-)=f() לכל ערכי בתחום ההגדרה שלה. פונקציה אי-זוגית היא פונקציה שעבורה -f() f(-)= לכל ערכי בתחום ההגדרה שלה. בחקירה של פונקציה זוגית או אי-זוגית, אפשר לחקור את הפונקציה רק עבור 0 ולקבל אוטומטית את כל המאפיינים של הפונקציה עבור 0>. גרף של פונקציה זוגית הוא גרף סימטרי ביחס לציר ה- Y. גרף של פונקציה אי- זוגית הוא גרף סימטרי ביחס לראשית הצירים.

12 הגדרות ותיאורים פונקציה f() נקראת פונקציה מחזורית אם קיים מספר p השונה מאפס כך שלכל בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים: p)=f().f(+ המספר p נקרא מחזור הפונקציה. המחזור החיובי הקטן ביותר נקרא המחזור היסודי של הפונקציה. אם קיימת סביבה של הנקודה כך שמשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה נמצא מתחת גרף הפונקציה בסביבה זו, אומרים שהפונקציה f() קמורה בנקודה. אם קיימת סביבה של הנקודה כך שמשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה נמצא מעל גרף הפונקציה בסביבה זו, אומרים שהפונקציה f() קעורה בנקודה. צורה סימבולית והערות בחקירה של פונקציה מחזורית בעלת מחזור p, אפשר לחקור אותה רק בתחום [p,0], ולקבל באופן אוטומטי את כל המאפיינים של הפונקציה עבור תחומים אחרים. פונקציה היא קמורה בנקודה אם קצב השינוי שלה עולה בנקודה זו. פונקציה היא קעורה בנקודה אם קצב השינוי שלה יורד בנקודה זו. צורה גראפית ודוגמאות בגרף של פונקציה מחזורית, חלק של הגרף חוזר על עצמו אינסוף פעמים. הפונקציות הנתונות להלן הן קעורות בנקודות המסומנות. הפונקציות הנתונות להלן הן קמורות בנקודות המסומנות. הנקודה = היא נקודת פיתול של הפונקציה המופיעה בסרטוט. אם קיימת סביבה של הנקודה כך שמשמאל (מימין) לנקודה, המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה נמצא מתחת לגרף, ומימין (משמאל) לנקודה המשיק נמצא מעל הגרף, אז הנקודה נקראת נקודת פיתול של גרף הפונקציה. בנקודת פיתול, הפונקציה משתנה מפונקציה קמורה לקעורה או להפך.

13 קווית פונקציה פונקציה שניתן להציג אותה בצורה f()=m +n ליניארית (פונקציה קווית). הגרף של פונקציה ליניארית הוא קו ישר. בפונקציה, כאשר m ו- n הם פרמטרים, נקראת פונקציה f()=m+n המקדם m נקרא השיפוע של גרף הפונקציה הליניארית. השיפוע m מציג את אופי הפונקציה (עולה או יורדת) ואת קצב ההשתנות שלה: ככל שערכו המוחלט של השיפוע גדול יותר, קצב ההשתנות של הפונקציה גדול יותר. m=0 m<0 m>0 הקו הישר יוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה X. הקו הישר יוצר זווית קהה עם הכיוון החיובי של ציר ה X. הקו הישר מקביל לציר ה X. בפונקציה f()=m+n המקדם n מגדיר את שיעור ה- y של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- Y. כל קו ישר במערכת צירים שאינו מקביל לציר ה - Y, מוגדר על ידי פונקציה ליניארית,f()= m +n כאשר m הוא שיפוע הקו הישר ו -n הוא שיעור y של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-.Y קו ישר המקביל לציר ה- Y אפשר לתאר על ידי משוואה מהצורה =a (כאשר a הוא פרמטר), והוא אינו פונקציה ליניארית (כי לאותו ערך של מתאימים ערכים רבים של הגרף אינו מתאר פונקציה:.(y

14 ה, טבלת הערכים של פונקציה ליניארית בטבלת הערכים של פונקציה ליניארית אפשר לראות את השינוי של הפונקציה הליניארית: השינוי של הפונקציה שווה לשיפוע שלה כאשר משנים את ערך ה- ביחידה. דוגמה: נתונה הפונקציה הליניארית,f()=- שהשיפוע שלה הוא y בטבלת הערכים של הפונקציה אפשר לראות שבכל פעם שהערך של גדל ב- ערך של f() גדל ב-. מקרים מיוחדים כאשר בייצוג f()=m+n 0=n, הקו הישר עובר דרך ראשית הצירים. כאשר בייצוג f()=m+n 0=m, הקו הישר מקביל לציר ה- X. כאשר בייצוג f()=m+n 0=n וגם 0=m, הקו הישר מתלכד עם ציר ה- X.

15 ליניאריות בייצוגים שונים דוגמאות של פונקציות ייצוג אלגברי ערכי הפרמטרים ייצוג גרפי טבלת ערכים y m=, n=-5 השיפוע f ()=-5 הפרש בין ערכי y y m=-, n=- - השיפוע g ()= -- הפרש - בין ערכי y y m=0, n=6 השיפוע 0 h ()=6 y לא משתנה. הפרש 0 בין ערכי y y m=, n=0 השיפוע p ()= הפרש בין ערכי y 5

16 פונקציה ריבועית פונקציה שניתן להציג אותה בצורה, f()=a +b+c כאשר,a,b c הם פרמטרים ו- a 0 (הצורה הפולינומית של הפונקציה), נקראת פונקציה ריבועית (פונקציה ממעלה שנייה). הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. בפרבולה קיימת תמיד נקודת מינימום או נקודת מקסימום. הנקודה הזאת נקראת קדקוד הפרבולה. שיעורי קדקוד הפרבולה הם: = b a, y b = c a שני חלקי הפרבולה היוצאים מהקדקוד נקראים ענפי הפרבולה. 6

17 על הגרף השפעת מקדמי הפונקציה f()=a +b+c הסימן של המקדם a מגדיר את כיוון הפרבולה: אם 0<a, קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום; אם 0>a, קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום. הערך המוחלט של המקדם a משפיע על קצב ההשתנות של הפונקציה (התלילות של ענפי הפרבולה). a>0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום a<0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום a =0. a = קצב ההשתנות של הפונקציה הימנית גבוה מקצב ההשתנות של הפונקציה השמאלית. b= a= b > 0 a b=- a= b < 0 a b=0 המקדם b משפיע על מיקומו של קדקוד הפרבולה: שיעור ה- של קדקוד הפרבולה b הוא. a אם 0=b, גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה- Y. הפרבולה סימטרית ביחס לציר ה- X c<0 c=0 c>0 המקדם c שווה לשיעור ה- y של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- y. אם 0=c, גרף הפונקציה עובר דרך ראשית הצירים. 7

18 והחיתוך של הפרבולה נקודות האפס של הפונקציה f()=a +b+c עם ציר הה- X מספר נקודות האפס של פונקציה ריבועית תלוי בסימן הביטוי b. -ac הביטוי נקרא דיסקרימיננטה והוא מסומן ב-. אם 0<, לפונקציה יש שתי נקודות אפס. הפרבולה חותכת את ציר ה- X בשתי נקודות. a<0 a>0 a<0 a>0 אם 0>, לפונקציה אין נקודות אפס. הפרבולה אינה חותכת את ציר ה- X. a<0 a>0 אם 0=, לפונקציה יש נקודת אפס אחת. הפרבולה משיקה לציר ה- X. תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f()=a +b+c עבור 0<a, הפונקציה יורדת בתחום ) (, b a b ועולה בתחום ), (. a b היא נקודת מינימום. a b (, ) a 0>a, עבור ויורדת בתחום הפונקציה עולה בתחום b. (, ) a היא נקודת מקסימום. b a צורות ייצוג נוספות של פונקציה ריבועית הצורה הקדקודית:.f()=a(-v) p+ בייצוג זה, (p, v) הם שיעורי קדקוד הפרבולה. אם לפונקציה הריבועית יש שתי נקודות אפס r ו- s, אפשר להציג אותה גם בצורת המכפלה:. f()=a(-r)(-s) 8

19 פונקצית החזקה פונקצית החזקה היא פונקציה מהצורה,f()= n כאשר n הוא מספר טבעי קבוע. צורת הגרף והמאפיינים של פונקציית חזקה תלויים בחזקה n. קיימים שני מקרים:. אם n הוא מספר זוגי, הפונקציה f()= n היא פונקציה זוגית והטווח שלה הוא (,0]. כל ערכי הפונקציה הם מספרים לא שליליים. לכל פונקציה מהסוג הזה יש מינימום בנקודה (0,0). גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה- Y.. אם n הוא מספר אי-זוגי, הפונקציה f()= n היא פונקציה אי- זוגית והטווח שלה הוא (, -). הפונקציה מקבלת את כל הערכים הממשיים. כל פונקציה מהסוג זה עולה מונוטונית בכל התחום. גרף הפונקציה הוא בעל סימטריה סיבובית ביחס לראשית הצירים. 9

20 פולינום פונקציית פונקציית פולינום היא פונקציה מהצורה f()=a 0 n +a n- 0, a, a n כאשר a הם מספרים כלשהם. + +a n תחום ההגדרה של כל פונקציות הפולינום הוא כל המספרים הממשיים: (, -).. (, b] או [ a, הטווח של פונקציית פולינום ממעלה זוגי הוא אינטרוול אינסופי חצי פתוח: (. (, הטווח של פונקציית פולינום ממעלה אי-זוגי הוא קבוצה של כל המספרים הממשיים: ( כל פונקציית פולינום היא רציפה בכל התחום. לפולינום ממעלה n יכולות להיות לכל היותר (-n) נקודות קיצון (נקודות מקסימום או מינימום). לגרף של פונקציית פולינום אין אסימפטוטות. לחקירת פונקציית הפולינום נוח להשתמש בנגזרת. להלן דוגמאות של שלוש פונקציות פולינום: שלוש נקודות קיצון הטווח מוגבל מצד אחד שתי נקודות קיצון הטווח אינסופי משני הצדדים אין נקודות קיצון הטווח אינסופי משני הצדדים 0

21 פונקציית מנה פונקציית מנה (פונקציה רציונאלית) היא פונקציה מהצורה p() f () = q() כאשר p() ו- q() הם פולינומים. תחום ההגדרה של פונקציית מנה הוא כל המספרים הממשיים חוץ ממספרים שמאפסים את המכנה q(). כל נקודות האפס של המכנה הן גם נקודות אי-רציפות של פונקציית המנה. במקרה כזה הגרף של פונקציית המנה מורכב מכמה ענפים. בכל נקודת אפס של המכנה שהמונה בה שונה מאפס, לגרף פונקציית המנה יש אסימפטוטה אנכית. אם מעלת המונה קטנה או שווה למעלת המכנה, לגרף הפונקציה יש גם אסימפטוטה אופקית. אם מעלת המונה גדולה באחד ממעלת המכנה, לגרף הפונקציה יש גם אסימפטוטה משופעת. לחקירת פונקציה המנה יש להשתמש בנגזרת ובאסימפטוטות. להלן שלוש דוגמאות של פונקציית מנה: + אסימפטוטה אחת אנכית ואחת משופעת טווח אינסופי משני הצדדים שני ענפים שתי אסימפטוטות אנכיות טווח אינסופי משני הצדדים שלושה ענפים + אסימפטוטה אופקית-ציר X פונקציה רצופה טווח מוגבל

22 פונקציית הערך המוחלט פונקציית הערך המוחלט מוגדרת על ידי f()=. הגרף של הפונקציה מורכב משתי קרניים שראשן בראשית הצירים. הערך המינימאלי של הפונקציה הוא אפס. בתחום 0>, הפונקציה יורדת. בתחום 0<, הפונקציה עולה., > 0 f () הנגזרת של הפונקציה נתונה על ידי : =, < 0 בנקודה 0=, לפונקציית הערך המוחלט אין נגזרת. פונקציית הערך המוחלט של פונקציה כלשהי הפונקציה f(), =y פונקציית הערך המוחלט של הפונקציה,f() היא פונקציה לא שלילית בכל התחום f (), f() 0 f () = ומקיימת: f (), f() < 0 ולכן, כדי לקבל את גרף הפונקציה,y= f() יש לשקף ביחס לציר ה- X את חלקי הגרף של הפונקציה הנמצאים מתחת לציר ה- X. y=f() y = log y = y = דוגמאות: y = log y = y =

23 פונקציות טריגונומטריות הפונקציה f()=sin תחום הפונקציה: כל המספרים הממשיים (, -). טווח הפונקציה: ] [-,. לכל ערכי.- sin, פונקציה אי זוגית: sin(-)=-sin לכל ערכי. גרף הפונקציה הוא בעל סימטרייה סיבובית ביחס לראשית הצירים. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של sin(+π)=sin π: לכל ערכי. נקודות אפס: לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן,=πn כאשר n הוא מספר שלם. תחומי חיוביות: π(n+)] [πn,, כאשר n מספר שלם. תחומי שליליות: πn],[π(n-), כאשר n מספר שלם. π נקודות מקסימום: πn,) + (, כאשר n מספר שלם. π πn, + (, כאשר n מספר שלם. נקודות מינימום: ( π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי עלייה: πn) + גרף הפונקציה f()=sin π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי ירידה: πn) + הפונקציה f()=cos תחום הפונקציה: כל המספרים הממשיים (, -). טווח הפונקציה: ] [-,. לכל ערכי.- cos, פונקציה זוגית: cos (-)=cos לכל ערכי. גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה- Y. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של cos(+π)=cos π: לכל ערכי. π נקודות אפס: לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן, = + πn כאשר n מספר שלם. π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי חיוביות: πn) + π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי שליליות: πn) + נקודות מקסימום: πn,) (, כאשר n מספר שלם. ( π(n כאשר n מספר שלם. ), נקודות מינימום:, (- תחומי עלייה: πn],[π(n-), כאשר n מספר שלם. תחומי ירידה: π(n+)],[πn, כאשר n מספר שלם. גרף הפונקציה f()=cos

24 הפונקציה f()=tan π תחום הפונקציה: כל המספרים הממשיים חוץ ממספרים מהצורה. = + πn טווח הפונקציה: ) (-,. פונקציה אי זוגית: tan (-)=-tan לכל ערכי. גרף הפונקציה סימטרי ביחס לראשית הצירים. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של tan(+π)=tan π: לכל ערכי. נקודות אפס: לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן, = πn כאשר n מספר שלם. π πn, (, כאשר n מספר שלם. תחומי חיוביות: πn) + π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי שליליות: πn) לפונקציה אין נקודות מקסימום או מינימום. π π, ( + πn, פונקציה רציפה בכל תחום πn) + כאשר n מספר שלם. גרף הפונקציה f()=tan π π, ( + πn, פונקציה עולה בכל תחום πn) + כאשר n מספר שלם.

25 הפונקציה המעריכית פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה, f () = a כאשר a הוא מספר חיובי השונה מ-. a< a> הגרף של כל פונקציה מעריכית עובר דרך הנקודה (,0). a עולה אם <a, הפונקציה מונוטונית בכל התחום. a יורדת אם >a, הפונקציה מונוטונית בכל התחום. הפונקציה יורדת הפונקציה עולה תחום ההגדרה של כל הפונקציות המעריכיות הוא כל המספרים הממשיים: (, -). טווח הפונקציות המעריכיות הוא כל המספרים החיובים: (,0). הלוגריתמית הפונקציה הפונקציה הלוגריתמית היא פונקציה מהצורה, f () = log a כאשר הבסיס a הוא מספר חיובי השונה מ-. הפונקציה log a היא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית a. תחום ההגדרה של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא כל המספרים החיובים: (,0). הטווח של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא כל המספרים הממשיים: (, -). a< הפונקציה יורדת a> הפונקציה עולה הגרפים של כל הפונקציות הלוגריתמיות עוברים דרך הנקודה 0).(, אם,a> הפונקציה log a עולהמונוטוניתבכל התחום. אם,a< הפונקציה log a יורדת מונוטונית בכל התחום. 5

26 משפחות של פונקציות הגדרות ותיאורים אוסף של פונקציות בעלות תכונה משותפת כלשהי נקרא משפחה של פונקציות. אחת הדרכים ליצור משפחה של פונקציות היא ביצוע שינויים גרפיים (הזזות, מתיחות, וכדומה) על הגרף של פונקציה מסוימת. דוגמאות המשפחה התקבלה על ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה. f()= המשפחה התקבלה על ידי מתיחה אנכית של גרף הפונקציה.f()= בייצוג אלגברי של משפחה של. פונקציות מופיעים פרמטר אחד או כמה פרמטרים. לייצוג כזה קוראים ייצוג פרמטרי של המשפחה. נתונה משפחת הפונקציות m ) f()=m-n ו- n הם שני פרמטרים. לדוגמה, הפונקציות f()=-6 f()=--6, שייכות למשפחה. כל הפונקציות במשפחה הן פונקציות קוויות. a, נתונה משפחת הפונקציות = () f a, < (a הוא פרמטר)., = () f שייכת לדוגמה, הפונקציה, < למשפחה. נתונה משפחת הפונקציות הריבועיות g()=a +b+c (באמצעות שלושה פרמטרים b a, ו- c ). לדוגמה, הפונקציות f()=- ++, f()= - שייכות למשפחה אפשר להגדיר משפחה של פונקציות על ידי התכונה המשותפת לכל הפונקציות במשפחה. משפחה של פונקציות זוגיות. משפחה של פונקציות עולות בתחום [,0]. משפחה של פונקציות ליניאריות העוברות דרך הנקודה.(, ) 6

27 דוגמאות נוספות של משפחות של פונקציות בייצוגים שונים ייצוג פרמטרי המשפחה התקבלה על ידי סיבוב גרף הפונקציה f()= סביב ראשית הצירים. ייצוג גרפי תכונות המשפחה ערכי הפונקציות פרופורציוניים לערכי המשתנה הבלתי-תלוי : כל פונקציה f השייכת למשפחה f () מקיימת: = f ( ) f()=k - k פרמטר המשפחה התקבלה על ידי מתיחה והזזה אנכית של גרף הפונקציה.f()= משפחת כל הפונקציות הריבועיות הזוגיות. g()=a +b a ו- b - פרמטרים המשפחה התקבלה על ידי הזזה של גרף הפונקציה f()=- משפחה של פונקציות ליניאריות בעלות שיפוע.- f()=m- - m פרמטר 7

28 הביטוי האלגברי של הקשר בין שינוי הגרף של הפונקציה לבין שישינוי הפונקציה כאשר נתונים הגרף והביטוי האלגברי של פונקציה, כל שינוי של הגרף גורם לשינוי מסוים של הביטוי האלגברי, ולהפך, כל שינוי של הביטוי האלגברי גורם לשינוי מסוים של הגרף. בטבלה שלהלן מוצגות טרנספורמציות המבוצעות על גרף של פונקציה והשינוי המתאים בביטוי האלגברי. טרנספורמציות של הגרף הזזה אופקית ב -a יחידות שינוי הביטוי האלגברי דוגמאות על ידי הזזה של גרף הפונקציה f()= ב- יחידות ימינה על הציר האופקי, מקבלים את הגרף של הפונקציה.g()=(-) f(-a) f()+a הזזה אנכית ב -a יחידות על ידי הזזה של גרף הפונקציה f()=ב- יחידות מעלה על הציר האנכי, מקבלים את הגרף של הפונקציה.h()= + על ידי מתיחה אופקית של גרף הפונקציה f()= בגורם, מקבלים את הגרף של הפונקציה h()=() f( ) k מתיחה אופקית בגורם מתיחה k. מתיחה אנכית k f() בגורם מתיחה k. על ידי מתיחה אנכית של גרף הפונקציה f()= בגורם, מקבלים את ה גרף של הפונקציה.g()= שיקוף בציר ה- X -f() על ידי שיקוף גרף הפונקציה f()= בציר ה- X,מקבלים את הגרף של הפונקציה. g()=- 8

29 טרנספורמציות של הגרף שיקוף בציר ה- Y שינוי הביטוי האלגברי דוגמאות על ידי שיקוף גרף הפונקציה f()= בציר ה- Y, מקבלים את הגרף של הפונקציה.g()=(-) מאחר ש (-), = מתקבל גרף זהה לגרף של.f()= f(-) על ידי שיקוף גרף הפונקציה - f()= + בראשית הצירים, מקבלים את הגרף של הפונקציה. g()=-[(-) -(-)+] שיקוף בראשית -f(-) הצירים 9

30 ס ) גבול של פונקציה ורציפות של פונקציה הגדרות ותיאורים הגדרה כללית (אינטואיטיבית) המספר a הוא גבול של הפונקציה בנקודה : ) lim f ( אם כאשר שואף ל- אז f() שואפת = a דוגמאות וגרפים דוגמה. כאשר שואף ל- אז הפונקציה שואפת ל- -= שואף ל- אז הפונקציה f()= - ל- a. הערה. ההגדרה הזאת אינה מדויקת כי המילה "שואף" דורשת פרוש. דוגמה. כאשר שואפת ל- += כי בכל נקודה חוץ מ- =. f() = שווה ל- + lim. 0 + ( + ) = = + δ. + = = ε ההגדרה המדויקת של גבול בנקודה המספר a הוא גבול של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר חיובי δ כך ש: לכל מספר שעבורו 0< - δ> אז מתקיים ש f()-.a <ε ניסוח אחר:מספר a הוא גבול של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל סביבה של a קיימת סביבה נקובה ביבה של הנקודה ללא הנקודה עצמה). של כך ש: לכל מספר השייך לסביבה הנקובה של f() שייך לסביבה של הנקודה : a אם ( ) ( δ, + נקודה δ f ( ) ( a ε, a + ε ) ) אז דוגמה. יש להוכיח כי פתרון. בכל חוץ מ- = 0 תהי נתון מספר > 0 ε ניקח ε ( + ) < ε < ε 0 < δ =. אז כלומר אם מ.צ.ל. שימו לב! גבול של הפונקציה בנקודה לא תלוי בערך הפונקציה בנקודה עצמה מכיוון שבהגדרת הגבול מופיעה סביבה נקובה של הנקודה. lim f ( ) = a lim lim f ( ) = a = 0 גבולות באינסוף המספר a הוא גבול של הפונקציה f() כאשר שואף lim f ( ) לאינסוף = a אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר כלשהו M כך שאם f()-a <ε אז מתקיים גם >M המספר a הוא גבול של הפונקציה f() כאשר שואף lim f ( ) = a למינוס אינסוף אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר כלשהו N שאם <N אז גם כך דוגמה. (המכנה הולך וגדל לאינסוף ולכן השבר הולך וקטן ושואף ל- 0).. f()-a <ε. 0

31 דוגמה. = lim 0 + דוגמה. = lim דוגמה. = lim + גבולות אינסופיים הפונקציה f() בנקודה שואפת לאינסוף ( lim f ( אם עבור כל מספר M קיים מספר =.f()>m אז - <δ חיובי δ כך שאם הפונקציה f() בנקודה שואף למינוס אינסוף: lim f ( ) = - אם עבור כל מספר N קיים מספר חיובי δ כך שאם.f()<N אז <δ גבולות חד צדדיות המספר a הוא גבול חד צדדי ימני lim f ( ) בנקודה = a : של הפונקציה f() + אם כאשר שואף ל- מימין אז f() שואפת ל- a. כלומר, המספר a הוא גבול ימני של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר חיובי f()- יהיה 0< - <δ שעבורו כך ש: לכל מספר δ (, + δ ) או בניסוח אחר: אם a <ε f ( ) אז ) ε ( a ε, a + המספר a הוא גבול חד צדדי שמאלי של הפונקציה f() שואף ל- אם כאשר lim f ( ) בנקודה = a : משמאל אז f() שואפת ל- a. כלומר, המספר a הוא גבול משמאל של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר חיובי δ שעבורו 0< -<δ יהיה f()-a <ε גורר ( δ, ) כך ש: לכל מספר או בניסוח אחר : ( f ( אם בנקודה כלשהי לפונקציה ( a ε, a + ε) קיימים שני גבולות חד צדדיות אבל הם לא שווים : lim אז גרף הפונקציה מתפצל f ( ) lim + f ( ) לענפים נפרדים. רציפות של הפונקציה תהי פונקציה f() מוגדרת בסביבת הנקודה. אם קיים גבול של הפונקציה בנקודה השווה לערכה ( lim f ( ) של הפונקציה בנקודה(כלומר, ) = f ( אז אומרים כי הפונקציה.. רציפה בנקודה f() פונקציה רציפה בתחום אם היא רציפה בכל נקודה בתחום זה. אם פונקציה רציפה בתחום ההגדרה שלה אז אומרים כי הפונקציה רציפה. כל הפונקציות :פולינומים, פונקציות שבר, פונקציות טריגונומטריות, פונקציות מערכיות ולוגריתמיות רציפות בכל אינטרוול השייך לתחום ההגדרה שלהן. כל פונקציה רציונאלית רציפה בכל נקודה חוץ מנקודות אפס של המכנה. ( f ( יש שתי נקודות אי-רציפות: דוגמה. לפונקציה = =. = -, זאת אומרת שגרף הפונקציה מתפצל לשלושה חלקים.

32 גרף של פונקציה רציפה ניראה כקו שלם, ללא קפיצות. בנקודות אי-רציפות גרף הפונקציה מתפצל לחלקים נפרדים. פונקציה רציפה בנקודה f( ) חישוב גבולות גבולות בסיסיים תהיינה. lim f( ) = f( אז ). 0<n פרמטרים, הם ו- n a כאשר lim a n = 0 sin lim = גבול הטריגונומטרי הבסיסי: 0 גבולות מערכיים או לוגריתמיים בסיסיים: e e, lim =, 0 lim( + ) = e 0 ln( + ) lim = 0 א. ב. ג. הוא מספר קבוע :.788=e. : lim g( ) = K וגם lim f ( ) = L,. lim( f ( ) + g( )) = L + K lim ( f ( ) g( )) = L K f ( ) L בתנאי כי K 0 lim = g( ) K lim f [ g( )] = lim f ( ) K.... חוקי הגבולות תהיינה f() ו-( g( שתיפונקציות המקיימות:....

33 חישוב גבול בנקודה: נתאר חישוב של גבול בנקודה של פונקציה רציפה בנקודה וחישוב של גבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה. גבול בנקודה של פונקציה רציפה בנקודה: גבול בנקודה של פונקציה הרציפה בנקודה שווה לערך של הפונקציה. דוגמה: + 5.= מוגדרת ורציפה בנקודה - f ( ) כי הפונקציה = lim = = + + גבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה: יש כמה שיטות למציאת הגבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה זו. גבול של פונקציה רציונאלית (פונקצית שבר) בנקודה שבה המכנה שווה לאפס. הגבול לא קיים או שווה ל ±. ) במקרה שהמונה לא שווה לאפס, דוגמאות: לא קיים (קיימים גבולות lim 0 חד צדדים). lim ( ) = lim 0 = ) במקרה שגם המונה וגם המכנה שווים לאפס בנקודה יש לצמצם את השבר בגורם השווה לאפס בנקודה. דוגמה ( )( + ) + lim = lim = lim 6 ( ) אחרי הצמצום קבלנו את הפונקציה הרציפה בנקודה = אז הגבול שווהלערך הפונקציה בנקודה =: + +. lim = = דוגמה lim + = + lim ( + )( + + ) + = lim = lim ( + )( + + ) ( + )( + + ) = = + + +

34 . גבולות של פונקציות טריגונומטריות בחישוב גבולות טריגונומטריות (בנקודות אי רציפות של הפונקציה הנתונה) משתמשים בגבול הטריגונומטרי ( sin הבסיסי: = lim. 0 sin f ( ) מהגבול הזה נגזר הגבול הבא: = lim a f ( ) בתנאי ש- f() היא פונקציה רציפה בנקודה a ו- f(a)=0. בחישוב גבולותטריגונומטריות (בנקודות אי רציפות של הפונקציההנתונה) משתמשים בגבול הטריגונומטרי sin הבסיסי: = lim 0 דוגמה. sin f ( ) ומאז = lim a f ( ) בתנאי ש- f() היא פונקציה רציפה בנקודה a ו- f(a)=0. ( π ) 0 π sin sin 5 lim = lim( ) = = 0 sin 5 0 sin tan sin sin lim = lim = lim( 0 0 cos 0 π sin( ) lim = lim π π π π sin( ) π ( ) = 5 דוגמה. ) = = cos דוגמה. כי אם אז π sin( ) lim = = π π גבולות מערכיים ולוגריתמיים. בחישוב גבולות מערכיים ולוגריתמיים (בנקודותאי רציפות של הפונקציה הנתונה) משתמשים בגבולות המעריכים או ( הלוגריתמיים הבסיסיים (ר' לעיל): דוגמה:. lim( + ) 0 = lim ( + ) 0 = e חישוב גבול באינסוף בחיפוש גבולשלשבר באינסוף יש לחלק גם את המונה וגם את המכנה של השבר ב- n כאשר n הוא החזקה הגדולה n טבעי. ביותר של דוגמאות המופיעה בשבר ואחר כך להיעזר ב- = 0 lim עבור כל n הגבול לא קיים. lim = lim + / lim = lim / / + / / / / / / lim = lim + / + / / 0 = lim = = / + / = lim / / = lim / + / = = = =

35 אסימפטוטות לגרף של פונקציה אסימפטוטה לגרף של פונקציה היא קו ישר שהגרף שואף אליו. ישנם כמה סוגים שונים של אסימפטוטות. הישר =y הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה f() הגדרות ותיאורים קו ישר y=a שגרף הפונקציה y=f() שואף אליו כאשר שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף), נקרא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה. צורה סימבולית והערות אם = a או צורה גראפית lim f () lim f () = a אז הישר y=a הוא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה. y=f() ציר ה- X הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה g() קו ישר y= m +n שגרף הפונקציה y=f() שואף אליו כאשר שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף), נקרא אסימפטוטה משופעת לגרף הפונקציה y=f(). (ההפרש בין f() לבין הפונקציה הליניארית m+ n שואף ל- 0 ). הערה: אסימפטוטה אופקית היא מקרה מיוחד של אסימפטוטה משופעת שבו 0=m. קו הישר =a שגרף הפונקציה y=f() שואף אליו נקרא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה y=f() אם [ (m + n) ] 0 או = lim f () = [ (m + n) ] 0 lim f () אז הישר =y m+n הוא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה.y=f() כדי למצוא אסימפטוטה אופקית, יש למצוא תחילה f () את m = lim (אם הגבול קיים), ואחר כך את m) n = lim (f () אם גרפים של הפונקציות שואפים באין סוף לקו ישר גרף הפונקצה שואף לקו ישר באין סוף ובמינוס אינסוף = () lim f או a, limf() = a דוגמאות. אז הקו הישר =a הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה y=f(). בדרך כלל, a היא נקודה שאינה נמצאת בתחום ההגדרה של הפונקציה. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציות הנתונות. א. = g(). פתרון: = = lim. lim = האסימפטוטה היא =y. האסימפטוטה =y. היא 5

36 האסימפטוטה היא ציר ה- X. אין אסימפטוטות אופקיות. ב. = (). f + 0. lim = lim פתרון: = 0 = + + האסימפטוטה היא 0=y (ציר ה- X ). ג. = h(). + פתרון: = = lim. lim = לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית.. מצאו את כל האסימפטוטות של גרף הפונקציה. f () = פתרון: אסימפטוטות אופקיות הן מקרה מיוחד של אסימפטוטות משופעות, ולכן, אם, צריך למצוא את כל האסימפטוטות, כמו בדוגמה הזאת, לא כדאי לחפש בנפרד אסימפטוטות אופקיות, אלא כדאי לחפש משוואה של אסימפטוטה משופעת: f () m = lim = lim = lim = = 0 n = lim (f ( ) m ) = lim ( ) = lim ( ) = lim = lim = = / 0 מכאן שמשוואת האסימפטוטה המשופעת היא.y=+ כדי למצוא אסימפטוטה אנכית נבדוק אם הפונקציה שואפת לאינסוף בנקודות שבהן היא אינה מוגדרת. כלומר, בנקודה.=. lim f () = lim = = 0 מכאן שהישר = הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה.f() 6

37 נגזרת של פונקציה הגדרות ותיאורים הגדרת הנגזרת בנקודה תהי היא פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה. f() הנגזרת של הפונקציה f() בנקודה היא הגבול f ( + h) f () lim בתנאי שהוא קיים. h 0 h הנגזרת בנקודה מסומנת ).f '( לעיתים היא נקראת המספר הנגזר ואומרים שהפונקציה f() גזירה בנקודה. דוגמאות וגרפים דוגמה חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה f()= בנקודה =. פתרון: ( + h) h + h f () = lim = lim = h 0 h h 0 h h( + h) = lim = lim( + h) = h 0 h h 0 לכן הנגזרת של הפונקציה f()= בנקודה = שווה ל-. דוגמה חשבו לפי ההגדרה את הפונקציה הפונקציה הנגזרת הנגזרת של הפונקציה.f()= ערכי הנגזרת בכל הנקודות שעבורם הפונקציה f() גזירה, פתרון: f( + h) f() מרכבים פונקציה חדשה ()' f שהיא הפונקציה הנגזרת של ) + (h f () = lim = lim = h 0 h h 0 h הפונקציה f() (הנגזרת הראשונה). h+ h h( + h) = lim = lim = lim( + h) = f( + h) f( ) h 0 h h 0 h h 0. f ( ) = lim ולכן: h 0 h כלומר, הפונקציה הנגזרת של הפונקציה. היא,f()= כותבים כך:.f '( )= נגזרת מסדר גבוה הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ()' f נקראת הנגזרת השנייה של הפונקציה.f() מסומנת ''() f או ().f () הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ()'' f נקראת הנגזרת השלישית של הפונקציה.f() מסומנת '''() f או ().f () אפשר להגדיר הנגזרת מסדר גבוה באופן כללי: כאשר n מספר טבעי. דוגמה. מצאו את הנגזרת השנייה ואת הנגזרת השלישית של הפונקציה f()= - פתרון מוצאים קודם את הנגזרת הראשונה: f ( ) = f ( ) = ( f ( ) ) הנגזרת השנייה: = 6 f ( ) = ( f ( ) ) הנגזרת השלישית: = 6 f ( n+ ) ( n) ( ) = ( f ( )) המשמעות של הנגזרת בנקודה סימן הנגזרת של הפונקציה בנקודה מאפיין את הכיוון השינוי של הפונקציה בנקודה: בנקודות שבהן הנגזרת חיובי הפונקציה עולה, בנקודות שבהן הנגזרת שלילי - הפונקציה יורדת. 7

38 ערך המוחלט של נגזרת הפונקציה בנקודה מאפיין את קצב השינוי של הפונקציה בנקודה. המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת. ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה שווה לשיפוע של המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הזו. בנקודות ו- 5 הפונקציה עולה, ערכי הנגזרת חיובים. קצב השינוי של הפונקציה בנקודה = יותר גבוה מקצב השינוי בנקודה 5=. בנקודה 0= הפונקציה יורדת, ערך הנגזרת הוא מספר שלילי. f () = m = tan α כאשר m הוא שיפוע המשיק ו- ά הזווית בין המשיק ובין הכיוון החיובי של ציר ה- X טבלה של נגזרות בסיסיות f '() f '() פונקציה f() C (מספר קבוע) פונקציה נגזרת 0 פונקציה f() sin פונקציה נגזרת cos -sin cos n n n cos tan k m k m m k sin cot arcsin ln a log a arccos ln + arctan a ln a a + arccot e e 8

39 . חוקי הגזירה משפטים הנגזרת של סכום (הפרש) של שתי פונקציות צורה סימבולית (f () ± g()) = = f () ± g () דוגמאות 5 ( ) = 5. ( + sin ) = + cos. ( ) = =. ( cos ) = ( sin ) = sin ( ln ) = ln + = ln + 6 ( ) = + = ( ) ( ( + ) = + ) =. (sin ) = sin ( ) ( ) = cos( ) בדוגמה הזו : y = f () =,g() = sin. ((sin ) ) = sin cos בדוגמה הזו : y = f () = sin,g() = פונקציה היא פונקציה ההפוכה ( ) לפונקציה מאז: = פונקציה arcsin היא פונקציה ההפוכה לפונקציה. sin מאז: (arcsin ) = = cos(arcsin ).. ( a f ()) = a f () (f() g()) = = f () g() + f() g () f () ( ) = g() f () g() f () g () = (g()) ( g(f ())) = g (y) f () כאשר () y = f y 0 y = y הנגזרת של פונקציה המכפלת במספר קבוע הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות הנגזרת של מנת שתי פונקציות הנגזרת של פונקציה מורכבת: כלל השרשרת נגזרת הפונקציה ההפוכה נגזרת של פונקציה סתומה כאשר כדי למצוא נגזרת של פונקציה סתומה אפשר לגזור שני אגפי המשוואה המתאימה אם פונקציה y=f() נתונה על ידי המשוואה: =y+. נגזור שני אגפי המשוואה: = או y + y, ( ) = (y + ) y y = y = y + ומאז 9

40 משיק לגרף הפונקציה קירוב ליניארי של הפונקציה f() הוא פונקציה ליניארית הכי קרובה לפונקציה f() בתחום מסוים. יש כמה סוגי קירוב ליניארי של פונקציה. סוג הקירוב תלוי בתחום הקירוב. אינטרפולציה ליניארית היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה בתחום b] [a, אסימפטוטה משופעת היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה באינסוף משיק לגרף הפונקציה בנקודה היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה בסביבת הנקודה לסיכום: משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה ) A(, y הנקודה A הקרוב ביותר לגרף הפונקציה בסביבת הנקודה. הגדרהשל משיק: נתון גרף הפונקציה f() ו ) A(, y נקודה על הגרף. אם מעבירים קווים ישרים דרך נקודה A כך שכל ישר עובר גם דרך נקודה נוספת על גרף הפונקציה f() והנקודה תלך ותתקרב על גבי הגרף לנקודה A אז יתקבל ישר גבולי שנקראת משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה. סוגים שונים של משיק לגרף הפונקציה. המקיימת את הפונקציה הוא קו ישר העובר דרך ייצוג גרפי תיאור מילולי ייצוג גרפי תיאור מילולי הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בנקודה. הגרף נמצא בצד אחד של המשיק. הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בכמה נקודות. הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בנקודה ונמצא משני צידי הגרף של הפונקציה. עובר מצד האחד של הגרף לצידו השני לפונקציה אין משיק. בנקודה הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בנקודה וחותך את הגרף בנקודה נוספת. הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה ומקביל לציר ה- Y (אינו פונקציה) אולי לשנות בכל מקום כמו הניסוח הזה. 0

41 משוואת המשיק. תהי נתונה הפונקציה f() והנקודה שבה הפונקציה מוגדרת וגזירה אז: שווה לנגזרת של הפונקציה בנקודה :. y f () = f () ( ) קיים משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה.. השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה..m=f '( ) משוואת המשיק לגרף הפונקציה. f() בנקודה היא דוגמאות למציאת משוואת המשיק משימה כתבו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f()= - בנקודה. = פתרון גרף f ( ) = ו-( :f '( = מחשבים ) f( f () =, f () = = מציביםבמשוואתהמשיק הכללית: y + = ( ) ומקבלים את משוואת המשיק: 9 y = מכיוון שהמשיק מקביל לישר y= שיפועו שווה ל-. אז יש למצוא נקודה שבה הנגזרת של הפונקציה g() שווה ל- :,5 ולכן = g () = 5 g'()=. = ± בנקודה =, g()= ועל ידי הצבה במשוואה הכללית מקבלים שמשוואת המשיק היא -y. y = או + =(-) בנקודה - =, g()=- ועל ידי הצבה במשוואה הכללית מקבלים שמשוואת המשיק היא. y = כנ"ל כתבו את משוואת המשיק לגרף g() הפונקציה = 5 המקביל לישר.y= מצאו משיק לגרף הפונקציה f () = שעובר דרך + 6 הנקודה (,0) (הנקודה לא נמצאת על הגרף). אם a הוא שעור ה של נקודת ההשקה אז: f (a) = a f () = a + 6 משוואת המשיק: a) y a 6 = a ( נציב 0=, =y (לפי הנתונים) ונקבל a = ±, a =, a 6 = a אם a= אז 7=()f, fמשוואת =()' המשיק היא ) ( y 7 = או + y = אם a=- אז,f(-)=7 f '(-)=- משוואת y 7 = ( או המשיק היא ( +. y = +

42 ק( חקירת פונקציות בשילוב אנליזה (נגזרות וגבולות) משפטים והסברים מציאת נקודות קיצון (נקודות מינימום ומקסימום) אם פונקציה f() גזירה פעמיים בנקודה f () 0,f ( ו- 0 = ) אז לפונקציה f() יש ערך קיצון בנקודה : () f אז אם > 0 נקודת הקיצון היא נקודת מינימום. () f אז אם < 0 נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. שימו לב! יתכן כי הפונקציה לא גזירה בנקודת הקיצון. מציאת תחומי עליה וירידה אם בכל נקודה באינטרוול כלשהו אז הפונקציה צורה גרפית דוגמאות מצאו נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה. f()=- פתרון. נגזור את הפונקציה: f () = f () > 0 f() עולה באינטרוול הזה. אם בכל נקודה באינטרוול כלשהו () f אז הפונקציה < 0 f() יורדת באינטרוול הזה. שימו לב! בנקודות שייכות לתחום עלייה או לתחום ירידה של הפונקציה יתכן כי הנגזרת שווה לאפס או הפונקציה לא גזירה. מציאתמינימום מוחלט ומקסימום מוחלט של פונקציה באינטרוול. אם פונקציה רציפה באינטרוול, אז היא יכולה להשיג את המינימום המוחלט ואת המקסימום המוחלט באינטרוול הזה רק בנקודות קיצון של הפונקציה או בקצות האינטרוול. ישר יורד. בתחום עליה של הפונקציה הנגזרת חיובית.המשיק הוא ישר עולה. בתחום ירידה של הפונקציה הנגזרת שלילית.המשיק הוא הפונקציה עולה בכל התחום. בנקודה 0 הנגזרת שווה לאפס. בנקודה הפונקציה לא גזירה. הפונקציה מוגדרת ורציפה באינטרוול [0,8] המקסימום המוחלט נימצא בנקודה 8= צה האינטרוול) המינימום המוחלט נימצא בנקודה 5= (נקודת הקיצון) הנקודות אפס של הנגזרת: = ±, נבדוק את הסימן של הנגזרת השנייה בנקודות האלה: f () = 6, f ( ) = 6 > 0, f () = -6 < 0 בנקודה = לפונקציה יש מקסימום =()f בנקודה -= לפונקציה יש מינימום f(-)=- מצאו את תחומי העליה והירידה של הפונקציה. f()= - f () פתרון. נגזור את הפונקציה: = כאשר < כלומר, 0<-, הפונקציה עולה. כאשר > כלומר, 0>-, הפונקציה יורדת. נוח לראות את זה בציר המספרים: בתחום < הנגזרת חיובית הפונקציה עולה בתחום > הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת מצאו את הנקודות מקסימום מוחלט ומינימום מוחלט של הפונקציה g() = בתחום ].[-, פתרון. הפונקציה הנתונה רציפה בתחום ולכן מספיק לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות שבהן נגזרת שווה לאפס (כל הנקודות קיצון נמצאות ביניהן) וערכי הפונקציה בנקודות הקצה. g () = = ( ) =, בנקודות =0 g '()=0 נחשב ערכי הפונקציה בנקודות האלה: g (0) =, g() = - g ( ) ובנקודות הקצה: = g(), = נקבל מקסימום מוחלט: = () g. g() מינימום מוחלט: =

43 מציאת נקודות פיתול. אם היא נקודת פיתול של פונקציה f() והפונקציה גזירה פעמיים ב- אז.f ''( )=0 שימו לב! לא כל נקודה שבה )=0 f ''( היא נקודת פיתול. יתכן כי בנקודת אפס של הנגזרת השנייה אין נקודת פיתול. למציאת נקודות פיתול יש להוכיח כי הנגזרת השנייה משנה את סימנה בנקודה. מצאו נקודות פיתול של הפונקציה 5 f() = 5 פתרון. נחפש נקודות אפס של הנגזרת השנייה: f () = 5 0 f () = (f ()) = = 60 ( ). = 0, בנקודות = f () = 0 שינוי הסימן של ()'' f: בנקודה =0 הנגזרת השנייה לא משנה את סימנה, זאת אומרת שהנקודה הזו איננה נקודת פיתול של הפונקציה. בנקודה = הנגזרת השנייה משנה את סימנה, זאת אומרת שהנקודה הזו היא נקודת פיתול של הפונקציה. f ( ) = 0 f ( ) 0 נקודת קיצון f (0) = f (0) = 0 f (0) 0 נקודת פיתול f () = f () = = f () = 0 f () () 0 הכללה: נקודות קיצון ונקודות פיתול. תהי פונקציה f() גזירה n פעמים בנקודה. אם f ( ) = f ( ) =... = f (n) (n ) ( ) = 0 () f אז: אבל 0 אם n זוגי אז. היא נקודת קיצון, אם n אי זוגי אז. היא נקודת פיתול מצאו נקודות קיצון ונקודות פיתול של 5 f() (דוגמה מהסעיף הפונקציה = 5 הקודם בדרך אחרת). פתרון. נחשב נגזרות ונקודות אפס שלהן: f () = 5 0 = 5 ( ) f f () = 60 () () = 80 =, 60 = =, = נקודות אפס: 0 = 60 ( ) נקודות אפס: 0 0 = 60( ) f () = 60 0 עבור =0 () (). f (0) 0,f (0) = f (0) = f (0) = 0 מאז 0= נקודת קיצון ( הוא מספר זוגי).. f ( ) 0,f עבור = = 0 ) ( מאז = נקודת קיצון ( הוא מספר זוגי). מצאו תחומי קמירות וקעירות של הפונקציה f () = 6 + פתרון. נגזור את הפונקציה פעמיים: f () = 6,f () = + הנגזרת השנייה שווה לאפס אם 0=-6, f שינוי הסימן של = - + :''() f () כאשר > > 0 הפונקציה קמורה. f () כאשר < < 0 הפונקציה קעורה. () נקודת קיצון קמירות בנקודה = f () > 0 קעירות בנקודה = f () < 0 מציאת תחומי קעירות וקמירות של הפונקציה. תהי f() פונקציה הגזירה פעמיים בנקודה () f אז. אם > 0. קמורה בנקודה f f אז f () אם < 0 קעורה בנקודה.

44 התנהגות של פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות אי רציפות יש הרבה אפשרויות שונות להתנהגות של פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות אי רציפות. בטבלה שלהלן מופיע קמה מאפשרויות האלה. ר' גם סעיף "אסימפטוטות". התנהגות של פונקציה באינסוף התנהגות של פונקציה בסביבת נקודות אי רציפות בסביבת הנקודה אי הפונקציה שואף רציפות הגרף שואף לאינסוף באופן לאינסוף משני חופשי (לא שואף לקו הצדדים ישר איזשהו) באינסוף הגרף שואף לקו הישר המשופע בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאינסוף מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד השני באינסוף הגרף שואף לקו הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף למספר מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד השני באינסוף הגרף שואף לקו הישר המשופע ובמינוס אינסוף הגרף שואף לקב הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לנקודה מצד אחד ולנקודה האחרת מצד השני גם באינסוף וגם במינוס אינסוף הגרף שואף לאותה קו הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאותה הנקודה משני הצדדים הפונקציה שואפת לאינסוף באינסוף ושואפת לאפס במינוס אינסוף. הפונקציה מוגדרת בנקודה אי רציפות. בצד אחד ממנה הגרף שואף לאינסוף.

45 אינטגרל ופונקציה קדומה מושגים בסיסים הגדרות ותיאורים צורה גרפית, הערות דוגמאות. כל פונקציה F() המקיימת '()=f() F בתחום A נקראת פונקציה קדומה של פונקציה f() בתחום A. הפעולה של מציאת פונקציה קדומה נקראת אינטגרציה. שימו לב! יתכן כי לפונקציה מסוימת בתחומים שונים יש כמה פונקציות קדומות שונות הפונקציה הבאה היא פונקציה קדומה של הפונקציה: הפונקציה F()= היא פונקציה קדומה של הפונקציה f()=. ( ) כי = הפונקציה = () F היא פונקציה קדומה של הפונקציה בתחום 0 f () = והפונקציה = () F היא פונקציה קדומה לפונקציה בתחום.<0 f () =. אם פונקציה F() היא פונקציה קדומה של פונקציה f() בתחום, A אז כל פונקציה מהצורה (C F()+C מספר קבוע) גם היא פונקציה קדומה של הפונקציה f() באותו התחום. אוסף הפונקציות F()+C נקרא אינטגרל לא מסוים של הפונקציה.f() המספר C נקרא קבוע האינטגרציה.. f()d = F() + C כלומר, אינטגרל לא מסוים הוא אוסף פונקציות השונות זו מזו במספר קבוע. אוסף הפונקציות הוא אינטגרל לא מסוים של הפונקציה: הפונקציה F()= היא פונקציה קדומה של פונקציה f()= כי ( ) = כל אחת מהפונקציות,F ()= + F ()= -0.,F ()= -5 וכן הלאה גם הן פונקציות קדומות של הפונקציה.f()= אינטגרל לא מסוים של הפונקציה d = + C : אם F() היא פונקציה קדומה של הפונקציה f() בתחום [b,a] אז ההפרש F(b)-F(a) נקרא אינטגרל מסוים של הפונקציה a המספרים.[a, b] בתחום f() ו- b נקראים גבולות האינטגרציה. a הוא הגבול התחתון ו- b הוא הגבול העליון. הערה: אינטגרל מסוים הוא מספר (ולא פונקציה). המספר הזה לא תלוי בבחירת הפונקציה הקדומה מבין הפונקציות השייכות לאוסף הפונקציות.F()+C חשבו. d פתרון. אחת מהפונקציות הקדומות של הפונקציה היא הפונקציה (ר' סעיף הקודם). ולכן: d = [ ] = ( ) = כלומר, האינטגרל המסוים של הפונקציה בתחום ] [-, הוא. b f()d = [F()] a = F(b) F(a) b a = 5

46 ... אינטגרלים לא אמיתיים הם אינטגרלים קשורים לאינסוף. כלומר: אם אחד מגבולות האינטגרציה או שניהם הוא, - או תחום האינטגרציה כולל נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת ושואפת ל- או -. במקרים כאלה יש לעבור לגבול המתאים:. חשבו ) d ( פתרון. פונקציה הקדומה של הפונקציה היא פונקציה = 0 = d = [ ] = = lim( ) ( ) = 0 + =. חשבו d 0 פתרון. פונקציה הקדומה של הפונקציה היא פונקציה. F () = הנקודה =0 לא שייך לתחום ההגדרה של הפונקציה לכן יש צורך לעבור לגבול: d = lim d = + 0 t 0 t = lim[ ] = lim ( t ) = + t 0 t + t 0 f ()d = lim f ()d a b t t a f()d = lim f()d b b t t lim f()d = כאשר f()d a b t a t lim f() = ± a טבלת אינטגרלים מיידיים (הטבלה התקבלה על סמך טבלת הנגזרות). a a ln a e e sin -cot cos tan cos sin sin -cos ln n n - n + n + פונקציה f() פונקציה קדומה F() הערה a פונקציה קבועה בטבלה נתונה רק אחת מהפונקציות הקדומות. על ידי הוספת מספר קבוע (C+ ( נקבל כל פונקציה קדומה a אחרת. כללי אינטגרציה צורה מילולית אינטגרל של סכום (הפרש) של שתי פונקציות שווה לסכום (הפרש) של שני האינטגרלים המתאימים צורה סימבולית (f () ± g()d) = = f ()d ± g()d דוגמאות (sin + )d = sin d + + d = cos + + C 6

47 d = d = + C = 5 5 = + C 5 ( )d = d d = = + C = 5 + C.. (af())d = a f () d אינטגרל של מכפלת פונקציה בגורם קבוע שווה למכפלת האינטגרל של הפונקציה באותו הגורם. (גורם קבוע אפשר להוציא מחוץ לאינטגרל) ( 5) d = z dz = 5 z 5 = + C = ( 5) C f(k+ b)d= f(z) dz k כשה z = k + b אינטגרל של פונקציה מפונקציה קווית שווה למכפלה של אינטגרל של הפונקציה המתווכת במספר ההפוך לשיפוע של הפונקציה הקווית. חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים צורה מילולית השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f() (מלמעלה), הישרים =b,=a וציר ה- X (מלמטה) שווה לאינטגרל המסוים של הפונקציה f() בתחום [b,a].(a<b) צורה סימבולית צורה גרפית S = b a f ()d S = b f ()d a השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f() (מלמטה), הישרים =b,=a וציר ה- X (מלמעלה) שווה לנגדי של האינטגרל המסוים של הפונקציה f() בתחום.(a<b) [a, b] אולי לכתוב שהוא שווה האינטגרל המסוים. S= S b + S = = f()d f()d c c a במקרה שחלק מהגרף של הפונקציה f() בתחום האינטגרציה נמצא מעל לציר ה- X וחלק אחר של הגרף נמצא מתחת לציר ה- X, אפשר לחשב כל אחד מהחלקים של השטח בנפרד ואחר כך לחבר אותם. 7

48 S = b a (f() g())d השטח בין גרפים של שתי פונקציות בתחום שאחד מהגרפים נימצא מעל הגרף האחר, שווה לאינטגרל מסוים של ההפרש של שתי הפונקציות. S= S b + S = = (f() g())d+ a c + (g() f())d b אם שני הגרפים נחתכים בתחום האינטגרציה, אפשר להרכיב את השטח ממספר חלקים. דוגמאות משימה. חשבו את השטח המוגבל ע "י גרף הפונקציה, f()=- ציר ה- X והישר.=. חשבו את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f()=sin וציר ה- X בתחום [π,π-]. גרף פתרון לפי הסרטוט, הגבול התחתון של האינטגרציה הוא והגבול העליון הוא נקודת אפס של הפונקציה :f() =0, =0, = ולכן = - הוא הגבול העליון. עכשיו אפשר לחשב את השטח: S = ( )d = [ ] = = ( ) ( ) = 9 חלק אחד מהגרף נמצא מעל ציר ה- X וחלק האחר תחת הציר. לכן השטח שווה לסכום של שני השטחים: S = S + S = [ cos] = sin d + sin d = 0 π + [ cos] π 0 = (cos0 cos( π)) + + ( cosπ ( cos0)) = = ( ( )) + ( ( )) = 0 π -π 0 = 8

49 S =. חשבו את השטח בין שתי הפרבולות: f()= - ו- g()=- נחשב קודם את גבולות האינטגרציה שהן נקודות החיתוך של שני הגרפים:. =, = - = מכיוון שבתחום האינטגרציה גרף הפונקציה g() נמצא מעל גרף הפונקציה f() אז: (g() = ( = ( f ())d ( ))d = + + )d = = [ + + ] = = ( + + ) ( ) ( + ( ) + ( )) = 9 לשני הגרפים יש שלוש נקודות חיתוך: ו- ועוד שתי נקודות =0 =, =, 6 = בתחום [0,-] גרף הפונקציה f() נמצא מעל גרף הפונקציה g() ובתחום [,0] להפך ולכן: S = S + (g() f ())d = 0 + (9 )d = [ [ + S ] = = (f () g())d ( 9 ] = + = 8 9)d חשבו שטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות - f()= ו- g()=. 6 9

50 מפתח לפי א-ב מושג אינטגרל מסוים אינטגרלים לא אמיתיים אינטגרל לא מסוים אינטגרלים מיידיים (טבלה) אינטרוול אינסופי אינטרוול חצי פתוח אינטרוול סגור אינטרוול פתוח אסימפטוטה לגרף הפונקציה אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה אסימפטוטה משופעת לגרף הפונקציה גבול של פונקציה בנקודה גבול של פונקציה באינסוף גבול אינסופי גבולות האינטגרציה (הגבול התחתון, הגבול העליון) גבול חד צדדי גבולות בסיסיים גבולות של פונקציות טריגונומטריות גבולות של פונקציה רציונאלית (פונקציה שבר) גבולות האינטגרציה (הגבול התחתון והגבול העליון) גרף הפונקציה הזזה של גרף הפונקציה הקשר בין שינוי הגרף לבין שינוי הביטוי האלגברי השפעת מקדמי הפונקציה הריבועית על הגרף שלה התנהגות של הפונקציה באינסוף חוקי הגבולות חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים טבלת אינטגרלים מיידיים טבלת הערכים של פונקציה טבלת נגזרות טווח הפונקציה ייצוג אלגברי של הפונקציה עמוד , ,

51 ,8, ,7 5,9,0, ייצוג אלגברי של משפחת הפונקציות ייצוג גרפי של הפונקציה ירידה של פונקציה בתחום ירידה של פונקציה בנקודה כללי אינטגרציה מחזור הפונקציה המחזור היסודי של הפונקציה מינימום מקומי של הפונקציה מינימום מוחלט של הפונקציה מקסימום מקומי של הפונקציה מקסימום מוחלט של הפונקציה משוואת המשיק לגרף הפונקציה משיק לגרף הפונקציה משפחה של פונקציות משתנה תלוי משתנה בלתי תלוי מתיחה אופקית של גרף הפונקציה מתיחה אנכית של גרף הפונקציה נגזרת של פונקציה בנקודה (המספר הנגזר) נגזרת מסדר גבוה נקודת אפס של הפונקציה נקודת פיתול של הפונקציה נקודת קיצון של הפונקציה סביבה של אינסוף סביבה של נקודה סביבה נקובה של נקודה עליה של פונקציה בתחום עליה של פונקציה בנקודה פונקציה פונקציה חד חד ערכית פונקציית הערך המוחלט פונקציה הפוכה פונקציה החזקה פונקציה זוגית, פונקציה אי-זוגית פונקציות טריגונומטריות: cos,sin פונקציה tan פונקציה לוגריתמית 5

52 ,9,0 5 פונקציה מעריכית פונקציה מחזורית פונקציה מורכבת פונקציה מנה (פונקציה רציונאלית) פונקציה סתומה פונקציה פולינום פונקציה קדומה פונקציה קבועה פונקציה קווית (ליניארית) פונקציה קמורה בנקודה פונקציה קעורה בנקודה פונקציה ריבועית פונקציה רציפה צורה קדקודית של פונקציה ריבועית צורה המכפלה של פונקציה ריבועית ציר המספרים קבוע האינטגרציה קירוב ליניארי של הפונקציה שיקוף גרף הפונקציה בציר ה-, Xבציר ה- Y שיקף גרף הפונקציה בראשית הצירים תחום הפונקציה, תחום ההגדרה של הפונקציה תחום חיוביות (שליליות) של הפונקציה תחום עליה (ירידה) של הפונקציה תחום קעירות (קמירות) של הפונקציה תכונה משותפת של משפחה של פונקציות 5

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד).

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). כח דלמבר במערכת מסתובבת : מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5 בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a system החוק F F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). השני של ניוטון = ma body לא

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1]

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1] מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [] תוכן עניינים מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג')... 4 טעויות ספציפיקציה... ) הוספת משתנה לא רלוונטי.... ) השמטת משתנה רלוונטי... מולטיקוליניאריות... 4 ) מולטיקוליניאריות

Διαβάστε περισσότερα

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO אנטנות בתקשורת אלחוטית וגיוון ריבוי עניינים תוכן אלחוטית בהעדר קו ראייה, תקשורת הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה (LOS) (NLOS) משוואת תקשורת עם קו ראייה פיתוח משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח של

Διαβάστε περισσότερα

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá 77 ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá Æ ÈÂÙˆ appleèá ÌÎÈÚÂˆÈ Ó ÂÓ Ï ÌÎÏ Ù Ó ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá ÌÎÈappleÙÏ ÆÔÓÊ ÂÏ Ó ÏÚ Â Ó ÆÌ ÂappleÁ È ÌÈ apple Ï Ù ÏÎÎ ÌÈÓ ÌÈ apple appleèá ÂÏ Â ÙÏ ÂÏ Æ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית פברואר 00 כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה )ע"ר( אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי, או ללמדה - כולה או חלקים ממנה - בלא אישור בכתב

Διαβάστε περισσότερα

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï Ò כולנו יחד - מתחברים לטוב יליון מסß אר ון קבלה לעם תשרי תשע א ספטמבר ± מחג לחג: יומן מסע פנימי חינוך עמß עמß µ מהי קבלה? עמß עמß הנה

Διαβάστε περισσότερα

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME ד"ר אורלי יזדי-עוגב המרכז לקידום השליטה המוטורית ותפקודי למידה ; 050-5382160050-6930972 נייד : 04 -רח' הדקל 10 חדרה 38220 טלפקס: 6344476 ; אתר: ; yazdi@macam.98.ac.il ; y_orly@netvision.net.il אלקטרוני:דואר

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010 ביטאון אגודת חובבי הרדיו בישראל ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE גיליון 392 פברואר 2010 בגיליון: תורן השידור בברלין תחרות WFF לוויינים שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... הכל על הכל - מידעון לחובבי הרדיו

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 17 38 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

נוסחאות ונתונים בפיזיקה

נוסחאות ונתונים בפיזיקה מדינת ישראל משרד החינוך נוסחאות ונתונים בפיזיקה נספח לבחינות הבגרות ברמה של 5 יח"ל לשאלונים מס' 654,653,65,97553,97554,97555,98,3654,975,9753 )החל בקיץ תשס"ז( תוכן העניינים נוסחאות עמוד מכניקה אלקטרומגנטיות

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון ילדים רבעון בנושא רפואת ילדים מרץ - מאי 2007 גיליון מס' 2 חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון מו"ל: שלמה בואנו עורכת:

Διαβάστε περισσότερα

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB Hands-free Car Kit Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG HEB P.3 Parrot 3200 LS-COLOR PLUS English עברית Ελληνικά......... 07-20 34-21 35-48 www.parrot.com GENERAL INFORMATION

Διαβάστε περισσότερα

שיווק מכונות בע"מ מכשיר סימון נייד. מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת

שיווק מכונות בעמ מכשיר סימון נייד.  מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת גיליון מס 184 פברואר מרץ 25 2014, ש ח כולל מע מ עיתון לענף המתכת בהוצאת מירב-דסקלו הפקות בע מ עיבוד שבבי l עיבוד פח l יציקות תבניות l ריתוך l ציפוי וגימור מתכות וחומרים l תיב מ www.benygrinding.co.il 36

Διαβάστε περισσότερα

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן 33 אקולוגיה וסביבה ;12 :)1(3 42-33 מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן עודד פוצ'טר ]1, 2[*, ירון יעקב ]1[, לימור בר )שעשוע( ]3[, ]5[ שבתאי כהן ]4[, יוסי טנאי ]4[ ופועה בר )קותיאל(

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

"רבי, מה אני לחיי העולם הבא"? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליט"א

רבי, מה אני לחיי העולם הבא? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליטא בס"ד 152 קובץ שבועי בעניני יהדות מהוצאת להזמנת עלונים ולפרסום טל: 03-6762226 מופץ בכל הארץ ב- 90,000 עותקים "ו לא ת ח לּ לוּ א ת שׁ ם ק דשׁ י ו נ קדּ שׁ תּ י בּ תוֹ ך בּ נ י י שׂ רא ל א נ י ה' מ קדּ שׁ כ ם" "רבי, מה

Διαβάστε περισσότερα

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran Texts 1. Ben Sira 51:23 (MS B): Turn aside to me, you untutored, and lodge in my house of study. 2. 1QS (Community Rule) 8.12-15: פנו אלי סכלים ולינו בבית

Διαβάστε περισσότερα

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard אוקימתא מחקרים בספרות התלמודית והרבנית שנה א (תשע"ג) תוכן העניינים 1 25 71 93 105 133 195 243 293 319 369 421 שלמה גליקסברג מוטי ארד גלעד ששון אפרים בצלאל הלבני מנחם בן שלום שמא יהודה פרידמן רבין שושטרי

Διαβάστε περισσότερα

LXX w/ Logos Morphology

LXX w/ Logos Morphology א דנ י י הו ה א ת ה ה ח ל ות ל ה רא ות Deut 3:24 א ת ע ב ד א ת ג דל ו א ת י ד ה ח ז ק ה א ש ר מ י א ל ב ש מ י ם וב א רץ א ש ר י ע ש ה כ מ ע ש י ו כ ג ב ו רת Deut 9:26 ו א ת פ ל ל א ל י הו ה ו א מ ר א דנ

Διαβάστε περισσότερα

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון פרופ' המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון הפקולטה למדעי הטבע, המחלקה לכימיה ביולוגית חיים כהן,, טל. 03-9066623, פקס. 08-9200749, email:hcohen@ariel.ac.il דו"ח מסכם בדיקת היתכנות - קיבוע פסולות רדיואקטיביות

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á Ï È ÁÏ ÌÈÏ Â È ÔÂÎÓ המרכז למדיניות סביבתית מייסודה של קרן צ'רלס ה' רבסון ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á ÏÂÚÙ Â ÏÂ Èapple Ï ÂÓ Ô È ÏÏ Ú Á Ò Ì ÒÈÚ תשס"ז 2007 פרסומי המרכז למדיניות

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group A Publication of The אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group רבעון בנושא אלרגיה, אסתמה ומחלות דרכי הנשימה גיליון מס' 2 תזונת תינוקות-המלצות > דרכי הטיפול באמפיזמה תורשתית > COPD ואסתמה - המשיק והשונה >

Διαβάστε περισσότερα

החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז

החינוך וסביבו שנתון המכללה לז החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז תשע"ה 2015 1 החינוך וסביבו כרך ל ז, תשע ה - 2015 עורכת: ד ר אסתי אדיבי-שושן מערכת: פרופ נמרוד אלוני פרופ ליאורה גביעון ד ר חיים חיון ד ר מעין מזור פרופ דן סואן פרופ אלי צור

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37742-05B / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37742-05B Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C דוגמאותלשאלותבגאומטרייה כוללהצעותשונותלדרכיפתרון שאלות 1,2,3 מתאימיםלשלישהראשוןשלכיתהח', יתר השאלותמתאימות לשלישהשלישישלכיתהח' E במשולש. נקודהעלהצלע במשולש, נקודהעלהצלע E נמקומדועמשולש דומהלמשולשE E 1

Διαβάστε περισσότερα

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς.

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς. Exodus 20:1-4, 7-9, 12-20 (rcl Year a, Proper 22) 20:1 Καὶ ε λα' λησεν κυ' ριος πα' ντας τοὺς λο' γους του' τους λε'γων 20:2 Εγω' ει μι κυ' ριος ο θεο' ς σου, ο«στις ε ξη' γαγο' ν σε ε κ γη^ς Αι γυ' πτου

Διαβάστε περισσότερα

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim GENESIS 48 1 And it came to pass after these things, that one said to Joseph: 'Behold, thy father is sick.' And he took with him his two sons, Manasseh and Ephraim. 1 ויהי אחרי הדברים האלה ויאמר ליוסף

Διαβάστε περισσότερα

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity כלי ערכת מדידה בטיפול באדם פגיעה עם נוירולוגית פברואר תוכן עניינים 8 7 8 6 7 8 9 6 מבוא לשימוש בכלי מדידה ליקויים פיזיקליים - Functions Body Structures and תנועות אקטיביות: טופס הערכת תנועות אקטיביות טונוס

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א'

הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א' הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א' עדי אלימלך, דורית ארם מבוא המעבר מהגן לבית-הספר מהווה תקופה משמעותית בהתפתחותם של ילדים והבנת מערכת הכתב מהווה את אחד האתגרים המרכזיים

Διαβάστε περισσότερα

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5 Tabelle der lexikalischen Semitismen Einträge in [ ] bedeuten: semitische Verwendung des Wortes nur in aufgelisteten Stellen Table of Lexical Semitisms Entries in [ ] mean: Semitic usage of word only in

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÒÈappleÎ M.P.H, M.Med. Sc, M.S.W, M.N, M.A, M.Sc, M.B.A, M.H.A, H.M.B.A Èapple Â È ÂÓÈÏÏ Á ٠ÌÂÈ Ph.D È ÈÏ Â Â apple È ÂˆÈÚ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÌÈΠÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ÁÂ

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3

No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 0 5 Ασκήσεις παραγώγισης γινοµένου No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Formulario di Trigonometria

Formulario di Trigonometria Formulario di Trigonometria Indice degli argomenti Formule fondamentali Valori noti delle funzioni trigonometriche Simmetrie delle funzioni trigonometriche Relazioni tra funzioni goniometriche elementari

Διαβάστε περισσότερα

1 (32-2) And Jacob went on his way, and the messengers of Elohim met him. ve ya 'a kov ha lach le dar kov vai yif ge 'u-vov mal 'a chei e lo him.

1 (32-2) And Jacob went on his way, and the messengers of Elohim met him. ve ya 'a kov ha lach le dar kov vai yif ge 'u-vov mal 'a chei e lo him. GENESIS 32 [Genesis 31:55 is Genesis 32:1 in Hebrew] [Genesis 32:1-32 is Genesis 32:2-33 in Hebrew] 1 (32-2) And Jacob went on his way, and the messengers of Elohim met him. 1 ויעקב הלך לדרכו ויפגעו בו

Διαβάστε περισσότερα

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ve dib bar ta e lav koh-a mar yhvh e lo hei ha 'iv rim shal lach et-am mi ve ya 'av du ni.

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ve dib bar ta e lav koh-a mar yhvh e lo hei ha 'iv rim shal lach et-am mi ve ya 'av du ni. EXODUS 9 1 Then Yahowah said unto Moses: 'Go in unto Pharaoh, and tell him: Thus saith Yahowah, the Elohei of the Hebrews: Let My people go, that they may serve Me. 1 ויאמר יהוה אל משה בא אל פרעה ודברת

Διαβάστε περισσότερα

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ki-a ni hich bad ti et-lib bov ve 'et-lev a va dav le ma 'an shi ti o to tai el leh be kir bov.

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ki-a ni hich bad ti et-lib bov ve 'et-lev a va dav le ma 'an shi ti o to tai el leh be kir bov. EXODUS 10 1 And Yahowah said unto Moses: 'Go in unto Pharaoh; for I have hardened his heart, and the heart of his servants, that I might show these My signs in the midst of them; 1 ויאמר יהוה אל משה בא

Διαβάστε περισσότερα

קטלוג יולי

קטלוג יולי קטלוג יולי 2014 www.k-a.co.il ליצירת קשר מוקד שירות לקוחות 4959* מנהל מכירות ערן זינגר 052-8371943 erans@k-a.co.il מנהל תחום תאורה קלוד טיבי 052-2926281 claudet@k-a.co.il מנהלת שירות לקוחות אתי נשיא 052-3273159

Διαβάστε περισσότερα

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר Dip.Ac. www.aviv-clinic.co.il נושאי ההרצאה דגשים כיצד בוחרים את הפורמולות והצמחים הכרה של הגישה הטיפולית בסוכרת הרפואה הסינית כשפה טיפולית ספרות ומחקרים

Διαβάστε περισσότερα

Medi power (Overseas) Public Co. Limited

Medi power (Overseas) Public Co. Limited Medi power (Overseas) Public Co. Limited לכבוד הבורסה לניירות ערך רח' אחד העם 54 תל-אביב 65202 לכבוד רשות ניירות ערך רח' כנפי נשרים 22 ירושלים 95464 ניקוסיה, 24 יולי, 2011 ג.א.נ., הנדון: מדיפאואר (אוברסיז)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Texts for Scriptural Reasoning

Texts for Scriptural Reasoning Texts for Scriptural Reasoning 7. Prayer The Scriptural Reasoning Society 1 Psalm 44 1 1 For the Leader; a Psalm of the sons of Korah. Maschil. 2 O God, we have heard with our ears, our fathers have told

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ORDNING FÖR MIDDAGSBÖN (L = ledare, F = församling)

ORDNING FÖR MIDDAGSBÖN (L = ledare, F = församling) ORDNING FÖR MIDDAGSBÖN (L = ledare, F = församling) TILL INGÅNG L: Herre, låt oss se din nåd. F: Och ge oss din frälsning. (Ps 85:8) F: Nu och alltid och i evigheters evighet. Amen, halleluja! HYMN PSALTARPSALM

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = x x, x [ 1, 2]. Να βρείτε:

f (x) = x x, x [ 1, 2]. Να βρείτε: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 And Elohim blessed Noah and his sons, and said unto them: 'Be fruitful and multiply, and replenish the earth.

1 And Elohim blessed Noah and his sons, and said unto them: 'Be fruitful and multiply, and replenish the earth. GENESIS 9 1 And Elohim blessed Noah and his sons, and said unto them: 'Be fruitful and multiply, and replenish the earth. 1 ויברך אלהים את נח ואת בניו ויאמר להם פרו ורבו ומלאו את הארץ vay va rech e lo

Διαβάστε περισσότερα

1 And it came to pass at the end of two full years, that Pharaoh dreamed: and, behold, he stood by the river.

1 And it came to pass at the end of two full years, that Pharaoh dreamed: and, behold, he stood by the river. GENESIS 41 1 And it came to pass at the end of two full years, that Pharaoh dreamed: and, behold, he stood by the river. 1 ויהי מקץ שנתים ימים ופרעה חלם והנה עמד על היאר vay hi mik ketz she na ta yim ya

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ.

ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ. ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 56. Μηχανική Ι (ακαδ. έτος 6-7, χειμερινό εξ.) Προπτυχιακός Φοιτητής: Νικολαράκης Αντώνιος Αριθμός Μητρώου: 337

Διαβάστε περισσότερα

November Compressed November Condensed November

November Compressed November Condensed November Typotheque type specimen & OpenType feature specification. Please read before using the fonts. November Compressed November Condensed November OpenType font family supporting Latin based languages with

Διαβάστε περισσότερα

Οι εντολές του MaLT+

Οι εντολές του MaLT+ Έλεγχος του χαρακτήρα Οι εντολές του MaLT+ Ελληνική Εντολή Αγγλική Εντολή Περιγραφή Παράδειγμα Κίνηση του χαρακτήρα Μπροστά/μ Πίσω/π fw/fd/forward bw/bk/backward προχωράει μπροστά τόσα βήματα όσο ο προχωράει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOL ATION)

ΤΡΟΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOL ATION) . 1 (INTERPOLATION) A a 1x1 [ ] Sin[ A] [ Sin[ a]], Cos[ A] [ Cos[ a]], Tan[ A] [ Tan[ a]], Cot[ A] [ Cot[ a]]. a x + yi x, y R Sin[ a] Cosh[ y] Sin[ x] + Cos[ x] Sinh[ y] i Cos[ a] Cos[ x] Cosh[ y] Sin[

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια Συνέχεια ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ mail: info@iliaskosgr wwwiliaskosgr f] g,! R f] g,, f] g

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΦΥΕ 10-3 η. Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα. Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΦΥΕ 10-3 η. Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα. Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ - 3 η ΟΣΣ Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Ανάπτυγμα Taylr Ολοκληρώματα τεχνικές ολοκλήρωσης ΟΔΠ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Α) Όριο

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète (540-603) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι

Διαβάστε περισσότερα

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

1 And it came to pass after these things, that Elohim did prove Abraham, and said unto him: 'Abraham'; and he said: 'Here am I.'

1 And it came to pass after these things, that Elohim did prove Abraham, and said unto him: 'Abraham'; and he said: 'Here am I.' GENESIS 22 1 And it came to pass after these things, that Elohim did prove Abraham, and said unto him: 'Abraham'; and he said: 'Here am I.' 1 ויהי אחר הדברים האלה והאלהים נסה את אברהם ויאמר אליו אברהם

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Collectif al-hanifiyyah Création : 25/12/2016

Collectif al-hanifiyyah Création : 25/12/2016 Analyse du terme grec «Kurios» ou comment les chrétiens Collectif al-hanifiyyah Création : 25/12/2016 Introduction Parmi les grandes différences entre les chrétiens et les musulmans, il y a la divinité

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

1 And Dinah the daughter of Leah, whom she had borne unto Jacob, went out to see the daughters of the land.

1 And Dinah the daughter of Leah, whom she had borne unto Jacob, went out to see the daughters of the land. GENESIS 34 1 And Dinah the daughter of Leah, whom she had borne unto Jacob, went out to see the daughters of the land. 1 ותצא דינה בת לאה אשר ילדה ליעקב לראות בבנות הארץ vat te tze di nah bat-le 'ah a

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה

Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה ע בר י ת/ English/Español/Português/Ελληνικά CUH-ZVR1 7028446 What's in the box? Qué contiene

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

wayyäbö élöhîm el- ábîmeºlek BaHálôm halläºylâ wayyöº mer lô hinnükä mët `al-hä iššâ ášer-läqaºhtä wühiw Bü`ùºlat Bäº`al

wayyäbö élöhîm el- ábîmeºlek BaHálôm halläºylâ wayyöº mer lô hinnükä mët `al-hä iššâ ášer-läqaºhtä wühiw Bü`ùºlat Bäº`al GENESIS 20 And Abraham journeyed from thence toward the land of the South, and dwelt between Kadesh and Shur; and he sojourned in Gerar. ויסע משם אברהם ארצה הנגב וישב בין קדש ובין שור ויגר בגרר vai yis

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

1 Now these are the generations of the sons of Noah: Shem, Ham, and Japheth; and unto them were sons born after the flood.

1 Now these are the generations of the sons of Noah: Shem, Ham, and Japheth; and unto them were sons born after the flood. GENESIS 10 1 Now these are the generations of the sons of Noah: Shem, Ham, and Japheth; and unto them were sons born after the flood. 1 ואלה תולדת בני נח שם חם ויפת ויולדו להם בנים אחר המבול ve 'el leh

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1 Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης . Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική

Διαβάστε περισσότερα