b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2"

Transcript

1 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם q היא מנת הסדרה היא סדרה הנדסית. מכיוון ש- < q גם < q n כלומר, סדרה c היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: b -q =.8 b -q =.8(+q) q= b /: -q. =, n מנת הסדרה c היא מנת הסדרה b היא n פתרון לשאלה א. נתון:.BC = AB = AC = AD = BD = CD = a בפירמידה הנתונה כל מקצועותיה הצדדיים שווים, כלומר הפירמידה היא פירמידה ישרה. DO הוא גובה הפירמידה. בפירמידה ישרה עקב הגובה )נקודה O( הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש שווה צלעות מרכז המעגל החוסם הוא נקודת החיתוך של התיכונים במשולש. OB a a של התיכון במשולש שווה צלעות :ABC = = קטע OB הוא פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

2 D לפי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית :DOB a DO DB OB a a = = =.BDC הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים DK C לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית :DKB A O B K a DK = DB KB = a = a הזווית שבין הפאה הצדדית CDB ובין הבסיס היא הזווית DKO )הזווית בין שני האנכים לישר החיתוך BC של מישורים אלה(., DK = a = במשולש ישר זווית, DO a :DKO an DKO = DO = = OK a : a DKO. גודל הזווית שבין הפאה הצדדית ובין הבסיס הוא כ-.. S DBC a = DK BC = ב. שטח הבסיס שווה לשטח הפאה הצדדית DBC כי הם משולשים חופפים: V = = = S DO a a DBC a נפח הפירמידה : פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q.q עלינו למצוא את, =, M = 8,, M א. נכתוב את הנתונים עבור שנת =, : 8, q = q = =.75 8, =, q,.m =, 7,M.q =.89, = עלינו למצוא את נכתוב את הנתונים עבור שנת 5: 7 M =,.89 8,85 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

3 ערך היאכטה בשנה 5 יהיה כ- 8,85 ש"ח. ב. % ממחיר יאכטה חדשה הוא,), =..(,. עלינו למצוא את M. =,, M =,, נרשום את הנתונים המתאימים: =.89 q שימו לב : ניתן לפתור את השאלה מבלי לחשב % ממחיר יאכטה חדשה באמצעות M =.M כתיבה: = log =., =, ערך היאכטה ירד ל- % ממחירה של יאכטה חדשה אחרי שנה. פתרון לשאלה כדי לפתור משימה זו יש לבצע שלבים רבים שאינם כתובים כסעיפים בשאלה. חלק חשוב בפתרון המשימה הוא תכנון. תכנון אפשרי: )( נמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה-. )( נמצא את נגזרת הפונקציה.f() )( נכתוב את משוואות המשיקים לגרף בנקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-. )( נמצא את נקודות החיתוך של שני המשיקים. )5( נחשב את השטח המוגבל בגרף הפונקציה f() ובשני המשיקים כסכום של שני אינטגרלים. )( נמצא נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : = = = = = = או f() cos cos או = y= ( = :, f( ) =, f'( ) = sin = משוואת המשיק: ) f'() = sin ) ( )( המשיק לגרף בנקודה או y = p פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

4 = משוואת המשיק: f( ),f'( המשיק לגרף בנקודה ) sin = = = : = או y= + y ( ) )( נקודת החיתוך של שני המשיקים: = + 8= = ) = )5( השטח המוגבל בגרף הפונקציה f() ובשני המשיקים : S = ( f())d + ( + f())d = ( + sin) + ( + + sin ) = 9 9 ( sin ) ( sin ) ( sin 8 8 ) ( = sin ) =.7 פתרון לשאלה 5 א. נמצא את נגזרת הפונקציה :f(). f() = a + בנקודת הקיצון שבה = ערך הנגזרת הוא : a = f'() = a = f() = ln(+ התקבלה הפונקציה ( ב. הפונקציה f() מוגדרת כאשר > +, כלומר עבור - > תחום ההגדרה של הפונקציה f() הוא התחום - > העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

5 ג. נבדוק האם לפונקציה f() יש נקודות קיצון נוספות: (+ ) + ( )( + ) f'() = = = = + (+ ) (+ ) (+ ) לשבר שהתקבל יש שתי נקודות אפס, אבל רק = נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה.f() כלומר, לפונקציה f() אין נקודות קיצון נוספות חוץ מהנקודה שבה =. בתחום <- < הפונקציה f() יורדת בתחום > הפונקציה f() עולה. < < = > f '() - + f() ln. עולה יורדת y ד. כדי למצוא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y נציב = :.y = f() = ה. f() = ו. 9 ln.9 לפונקציה f() יש שתי נקודות אפס: = ונקודה הנמצאת בין = ובין =, מכיוון ש: >()f ו- f()> פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

6 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה a = b = a, a = b א. נסמן : b = (b-a) הוא a n הפרש הסדרה מנת הסדרה b היא q= b a n b a +(b-a) = a a אפשר לכתוב כך: a5 = b את הנתון b -a= b a /:a b a -=(b a ) q -q += q =, q = אם = q, אז כל איברי הסדרה b זהים ולפי הנתון הם שונים. n מנת הסדרה b היא. n S ב. הסכום של עשרת האיברים ראשונים של הסדרה a הוא: n = (a+9(b-a)) =5(9b-7a) S = (a+5(b-a)) =(5b-a) :a n הסכום של ששת האיברים ראשונים של הסדרה העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

7 כעת יש לחשב את היחס בין שני הביטויים, כאשר הערך של כל אחד מהביטויים אינו ידוע. איננו יודעים את ערכי המשתנים a ו- b, אך אנו יודעים את ערך היחס ביניהם q. ניעזר בנתון זה: S S = 5(9b-7a) /:a (5b-a) /:a = 5(9q-7) (5q-) 5(9-7) = (5 -) = = 5 9 = 7 9 סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה a גדול מהסכום של ששת האיברים הראשונים של הסדרה n a n פי. 7 9 פתרון לשאלה לא נוח לפתור משימה זו בעזרת הנתונים. נוכל לענות על כל השאלות על הפירמידה, אם נדע את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. במקרים כאלה יש לסמן את אורך צלע הבסיס, להביע אותו באמצעות S ולמצוא את אורך צלע הבסיס כפתרון המשוואה. לאחר מכן נוכל לענות על כל השאלות. D א. נסמן ב- a את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה. במשולש שווה שוקיים וישר זווית :DCB BC = a + a = a C הוא תיכון וגובה במשולש שווה DK,CB אמצע הקטע - K A O B K שוקיים.DCB, BD = a, BK = במשולש ישר זווית a :BKD a לפי משפט פיתגורס, KD = BD BK = a = a. שטח של כל פאה צדדית של הפירמידה הוא a שטח המעטפת של הפירמידה הוא סכום השטחים של שלושה משולשים שווי שוקיים חופפים: a. = S a= S. אורך צלע הבסיס BC = a = S S אורך המקצוע הצדדי הוא פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

8 ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי DB ובין הבסיס היא הזווית DBO )הזווית שבין DB לבין היטלו BO במישור.)ABC DO הוא גובה הפירמידה. בפירמידה ישרה עקב הגובה )נקודה O( הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש שווה צלעות זאת נקודת החיתוך של תיכונים במשולש. OB a a של התיכון במשולש שווה צלעות :ABC = = קטע OB הוא a a לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית DO = DB OB = a = :DOB. sindbo = DO a במשולש ישר זווית SBO 5. :BOD = = DB a פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q 5 א. נכתוב את הנתונים עבור שנת :5 =,M, =, M = 7.5 עלינו למצוא את.q 5 q=. q = 7.5 = = 7.5 q 5.M.q =., =, M עלינו למצוא את נכתוב את הנתונים עבור שנת :5 7.5 = M = בשנת 5 יהיו ביער 9. מיליון טונות של עץ. ב. נכתוב את הנתונים עבור שש שנים: = q =., M = M. = 8M במהלך שש שנים כמות העץ ביער גדלה פי שמונה או ב- 7%.. עלינו למצוא את M. = M ג. כאשר כמות העץ ביער מכפילה את עצמה:. = M = M. = log. כמות העץ ביער מכפילה את עצמה בכל שנתיים. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

9 פתרון לשאלה כדי לפתור משימה זו יש לבצע שלבים רבים שאינם כתובים כסעיפים בשאלה. חלק חשוב בפתרון המשימה הוא תכנון. תכנון אפשרי: )( נמצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים. )( נמצא איזה גרף הוא גרף הפונקציה f() ואיזה גרף הוא גרף הפונקציה.g() S )( נחשב את השטח S )( נחשב את השטח. S S )5( נחשב את היחס בין שני השטחים )( נמצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים: + cos = sin + (cos ) = sin cos cos = sin cos cos (cos sin ) = או cos= cos= sin אז בתחום הנתון =, = )( פונקציה f() היא פונקציה זוגית והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה- y הגרף המתאים לה הוא הגרף I בשרטוט, פונקציה g() היא פונקציה אי-זוגית והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים הגרף המתאים לה הוא הגרף II בשרטוט. : = מאפס עד נקודת החיתוך בגבולות הוא השטח המוגבל בשני הגרפים ובציר ה- y S )( השטח S = (f() g())d ( cos sin)d ( sin = + = + + sin = ( + + cos sin cos ) ( + + ) = cos פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

10 S מורכב משני חלקים - החלק הראשון מתחת גרף הפונקציה g() והחלק השני מתחת גרף )( השטח הפונקציה :f() S = (g()d + (f()d= sin d + (+ cos)d = cos ( ) ( sin ) ( ) ( ) ( = + + = + + ) = S S )5 ) היחס בין שני השטחים = פתרון לשאלה 5 א. גרף מתאים לפונקציה יורדת, כלומר לפונקציה,g() =.5 כי בסיס הפונקציה המעריכית קטן מ-. גרף מתאים לפונקציה יורדת, כלומר לפונקציה,f() = כי בסיס הפונקציה המעריכית גדול מ-. ב. לפי הגרפים, ערך הפונקציה f() = קטן מערך מתאים של הפונקציה g() =.5 כאשר <. פתרון האי-שוויון < - הוא <. = + = + = + = S f()d g()d d.5 d =. ln ln.5 ln ln ln ג. שטח המוגבל בשני הגרפים, בציר ה-, בישר -= ובישר = הוא. ln ד. בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה g() עם ציר ה- y. = נמצא ()'g ו-( g( : g() =, g'() = ln.5 = ln g'() =.5 ln.5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

11 y= ln + משוואת המשיק: y f() S = (f() ( ln)d = ( + ln)d = ( ln ln ) ( ln ln ) = + = + = ln = ln + ln.79 ה. השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f() המשיק. + והישר = הוא ln ln.79 פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

12 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. a הוא האיבר הראשון, d הוא הפרש הסדרה n a, הוא מספר האיברים בסדרה a. נכתוב את כל n n הנתונים דרך שלושת המשתנים האלה: a + (a האיבר הראשון והאיבר האחרון הם מספרים נגדיים: = d(n-)) + הסכום של האיבר הרביעי ושל האיבר החמישי הוא 5 : a + 7d = 5 (a + d) + (a + d) = 5 a n הוא." יש דרכים שונות לכתוב את הנתון הסכום של חמשת האיברים האחרונים בסדרה a n בסדר הפוך )מהסוף להתחלה(, אז תתקבל סדרה חשבונית שימו לב, אם נכתוב את הסדרה. d וההפרש -a שהאיבר הראשון שלה הוא חמשת האיברים האחרונים בסדרה a הם חמשת האיברים הראשונים בסדרה זו: n a = d a d = 5(-a -d) = :a נציב במשוואה 5 = 7d + a = = 8 d = ( d ) + 7d = 5 n = -8 + (-8 + (n - ) = a + (a כדי למצוא את n נציב כך: = )) - (n + d בסדרה a n יש איברים. ב. כדי למצוא מספר איברים חיובים בסדרה, נכתוב נוסחה לאיבר הכללי: a n = -8 + (n - ) -8 + (n - ) > n>7 כלומר, האיברים החיוביים בסדרה הם איברי הסדרה מהאיבר השמיני ועד האיבר האחרון שמספרו. בסדרה יש שישה איברים חיוביים. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

13 פתרון לשאלה לא נוח לפתור משימה זו בעזרת הנתונים. נוכל לענות על כל השאלות על הפירמידה, אם נדע את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. במקרים כאלה יש לסמן את אורך צלע הבסיס, להביע אותו באמצעות S ולמצוא את אורך צלע הבסיס כפתרון המשוואה. לאחר מכן נוכל לענות על כל השאלות. S נסמן ב- a את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. אז שטח הבסיס הוא a. לפי הנתון, שטח המעטפת של הפירמידה גדול פי שלושה משטח הבסיס, לכן הוא a, אז שטחה של כל פאה צדדית הוא. a.asb הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים SK,AB אמצע הקטע - K שטחה של כל פאה צדדית : ABS = = = D AB SK a SK a SK a A K B O C לפי משפט פיתגורס, במשולש : KSB 9a a = KS + BK = + = a א. הזווית שבין הפאה הצדדית ABS ובין הבסיס היא הזווית SKO )הזווית בין שני האנכים לישר החיתוך BC של מישורים אלה(. :KOS הוא גובהה של הפירמידה. במשולש ישר זווית - SO 9a a OS = KS OK = = a cos SKO KO = = SKO 7.5 KS,KS= KO = a לפי משפט פיתגורס: a פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

14 ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי SB ובין הבסיס היא הזווית SBO )הזווית שבין SB לבין היטלו BO במישור.)ABC במשולש ישר זווית :BOS sin SBO SO a = = = SBO. BS a 5 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q שימו לב! במשימה זו נוח לקחת ארבעה חודשים כיחידת זמן..M, M,, q.95 עלינו למצוא את א. נרשום את הנתונים עבור מחשב בן שנתיים: = = = M = 79 = M מחירו של מחשב חדש הוא כ-,79 ש"ח. ב. כאשר ערך המחשב הוא חצי ממחירו המקורי, אלה הם הנתונים: q. =,.95 M =.5M עלינו למצוא את..5M = M =.5 log.5 = log.5 = log.95 כלומר, ערך המחשב יורד לחצי ממחירו המקורי בתוך כתשע יחידות זמן של ארבעה חודשים או בתוך שלוש שנים. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

15 פתרון לשאלה כדי לפתור משימה זו יש לבצע שלבים רבים שאינם כתובים כסעיפים בשאלה. חלק חשוב בפתרון המשימה הוא תכנון. תכנון אפשרי: )( נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( נבדוק האם הפונקציה היא פונקציה מחזורית ונמצא את המחזור היסודי שלה )( נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ותחומי העלייה והירידה )( נמצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים )5( נשרטט את הסקיצה של גרף הפונקציה. )( תחום הפונקציה מוגדרת עבור כל ערך של כי מכנה השבר לא יכול להיות שווה ל-. )( הפונקציה היא פונקציה מחזורית. המחזור היסודי שלה הוא p: cos(+ ) cos f(+ ) = f() sin(+ ) = = sin מספיק לחקור את הפונקציה בתחום שגודלו p, ניקח את התחום p. p )( למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה,f() נמצא נקודות אפס של פונקציה נגזרת של הפונקציה: (cos)'( sin) cos( sin)' sin ( sin ) cos ( cos) f'() = = = ( sin) ( sin) sin cos sin sin = + + = ( sin) (( sin ) sin כאשר =.5 f '() = פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

16 בתחום -p p אלה נקודות =,= 5 < < 5 < < 5 5 < f '() f() - עולה יורדת עולה מינימום מקסימום )( נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- y : ()f. = נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- : cos y= f() = = cos = = sin, = )5( y 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

17 פתרון לשאלה 5 F'() = ' ln + (ln )' = ln + = ln א. תחום ההגדרה של הפונקציה f() הוא >. הוכחנו כי f(). F'() = כלומר, הפונקציה F() היא פונקציה קדומה של הפונקציה f() בתחום ההגדרה שלה. ב. אם הפונקציה G() היא גם פונקציה קדומה של הפונקציה,f() אז היא שונה מהפונקציה הקדומה G() = F() + C = ln- + C במספר קבוע: F() נתון כי = :G(e) G(e) = e lne-e + C = C = התקבלה הפונקציה + ln- G() = ג. = f() f'() =,f'() =, משוואת המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה = : y=- S = ( f())d = ( ln)d = = ( F()) = ( (ln )) = = ( ln) = ( 9 = ln) ln.7 ד. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

18 y השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f() המשיק לה בנקודה = והישר = הוא.7 ln 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

19 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה b b n+ n :b n א. נמצא את היחס בין שני איברים סמוכים בסדרה a n+ +.5a n +.5(a n +) = = = =.5 a + a + a + n n n היחס הוא מספר קבוע =.5 q q <, כלומר, סדרה b היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. n S =b q n - n q - ב. )( נשתמש בנוסחת הסכום של האיברים הראשונים של סדרה הנדסית. b = a קודם נמצא = S =.5 - =.75 b n הוא.75 הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה a n אינה סדרה הנדסית, אז אי אפשר להשתמש בנוסחת סכום האיברים הראשונים של )( הסדרה b n ובתוצאה של הסעיף הקודם: = a n סדרה הנדסית. אבל אפשר להשתמש בנתון + a + a + a + a = (b - ) + (b - ) + (b - ) + (b - ) = S - =.75- = -.5 :a n מחשבים יש אפשרות נוספת למצוא את הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה a n ומחברים אותם: את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה a =, a =.5a =, a =.5a =.5, a =.5a =.75 a n הוא -.5 הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

20 פתרון לשאלה לא נוח לפתור משימה זו בעזרת הנתונים. נוכל לענות על כל השאלות על הפירמידה, אם נדע את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. במקרים כאלה יש לסמן את אורך צלע הבסיס, להביע אותו באמצעות הנתון ולמצוא את אורך צלע הבסיס כפתרון המשוואה. לאחר מכן נוכל לענות על כל השאלות. נסמן ב- a את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. - K אמצע הקטע CK,AB הוא תיכון וגובה במשולש שווה צלעות.ACB D לפי משפט פיתגורס במשולש : KCB KC = BC -BK = a - a = a. C AB CK = a a = a שטח הבסיס: A K O B לפי הנתון, שטח המעטפת של הפירמידה גדול פי שניים משטח הבסיס,, a מכאן אז שטח מעטפת הוא. a שטחה של כל פאה צדדית הוא לכן, S = = = = AB DK a DK a DK a א. הזווית שבין הפאה הצדדית DAB ובין הבסיס היא הזווית DKO )הזווית בין שני האנכים לישר החיתוך BA של מישורים אלה(. - SO גובה של הפירמידה. OK = KC = a במשולש ישר זווית,KD = a : KOD cos DKO KO = = DKO = KD העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

21 a a a לפי משפט פיתגורס : = = OK OD = KD 9 ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי CD ובין הבסיס היא הזווית DCO )הזווית שבין CD לבין היטלו CO במישור.)ABC OC = CK = a a =,OD= a במשולש ישר זווית :DOC an DCO = DO a = = OC : DCO.89 a פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. נכתוב את הנתונים עבור חמש שנים: = 5, M =.M q = 5..7 q 5 =..M = M q מספר הסטודנטים במדינה עולה ב-.7% בכל שנת לימודים. 5 ב. בסעיף זה נוח לקחת =, M בשנת הלימודים ו- M מספר הסטודנטים בשנת הלימודים : M, M עלינו למצוא את =,, = 8, q =.7 8 M =,,7, בשנת הלימודים יהיו במדינה כ-, סטודנטים. פתרון לשאלה א. בנקודה שגרף הפונקציה f() משיק לישר = y שיפוע ה של הפונקציה וערך הנגזרת שלה הוא אפס. נמצא את נגזרת הפונקציה f() לפי נוסחת הנגזרת של פונקצית מנה: cos(a sin) sin ( cos) acos f'() = = (a sin) (a sin) פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

22 = זאת הנקודה p בתחום.cos כאשר = f '() = sin f( ) לפי הנתון הערך של y בנקודת ההשקה הוא = : a = = a = a sin sin ב. פונקציה = f() מוגדרת לכל ערכי ה- כי הביטוי במכנה לא שווה ל-. sin למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נשתמש בנגזרת של הפונקציה שמצאנו בסעיף א: cos f'() = ( sin) : = cos = בלבד. בתחום p זאת הנקודה = הנגזרת מוגדרת לכל ערכי ה- ושווה לאפס בנקודה = < r < f '() + - f() יורדת עולה מקסימום הפונקציה f() עולה בתחום < ויורדת בתחום <. ג. כדי למצוא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y : נציב = לפונקציה :f() y = sin כדי למצוא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : f() = = sin בתחום p אלה הנקודות. =, = p גרף הפונקציה f() עובר דרך ראשית הצירים וחותך את ציר ה- בנקודה. = p העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

23 y ד. r p פתרון לשאלה 5 א. הפונקציה f() מוגדרת עבור כל ערכי ה-, כי מכנה השבר לא יכול להיות שווה לאפס. ב. למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמצא את הנגזרת שלה לפי נוסחת הנגזרת של פונקציית מנה: e( + ) e e( ) f'() = = ( + ) ( + ) < > f '() + + f() = e עולה עולה אין קיצון מסקנה כלומר, הפונקציה f() עולה בכל תחום הגדרתה. לפונקציה f() אין נקודות קיצון. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

24 ג. נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y : כאשר =.f() =, נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y היא ) (., נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : = f(), y = גרף הפונקציה f() לא חותך את ציר ה-. לכל ערך של, ערך מכוון ש- > e+ הפונקציה f() הוא חיובי. ה. אם המשיק לגרף הפונקציה f() מקביל לציר ה-, אז ערך הנגזרת בנקודת ההשקה הוא : e( ) f'() = ( + ) עבור =, = y = e. y = משוואת המשיק בנקודה = : e f() y= f'()( ) + או משוואת המשיק המקביל לציר ה- e. y = היא העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

25 פתרון מבחן מס' 5 פתרון לשאלה :b n א. נמצא את היחס בין איברים סמוכים בסדרה b b n+ n = a a (n+) n = a a n+ n =q =-.5 b n הוא מספר קבוע.5-. הערך המוחלט של היחס קטן מ-. היחס בין איברים סמוכים בסדרה b n היא.-.5 זאת אומרת כי סדרה b היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. מנת הסדרה n :b n ב. יש למצוא יחס בין סכום הסדרה a לסכום הסדרה n שימו לב, איננו יכולים למצוא את הסכומים של סדרות אלו, כי אין נתונים למציאת האיברים הראשונים שלהן, אך אפשר למצוא את היחס בין הסכומים: S S = a -(-.5) : a (-.5) a -(-.5) b = a.5 :.5a.5 = = b n פי. סכום הסדרה a גדולה מסכום הסדרה n פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

26 פתרון לשאלה A נסמן ב- a את גודל הזווית.BAC א. במשולש ישר זווית : ABC BC AB sinα= BC = AC sinα= sin α;cosα= AB = AC sinα= cos α AC AC D בפירמידה ישרה עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש ישר זווית ABC מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר AC )נקודה - O O(. אמצע הקטע,AC a C.ACD הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים DO הזווית שבין המקצוע הצדדי CD ובין הבסיס של a O הפירמידה היא זווית.DCO B לפי הנתון: DCO= BAC =α במשולש ישר זווית : DOC DO anα= h= DO= OC anα= anα OC נפח הפירמידה: V S h sin cos an sin 5 sin = ; ABC = α α α= α= α= α= BC = sinα=,ab= cosα=, h= DO = anα= גודל הזווית שבין המקצוע הצדדי ובין הבסיס הוא ב. משולש ADC הוא משולש שווה צלעות, כלומר =AC=DC=AD ס"מ. שטח המעטפה של הפירמידה הוא סכום שטחי שלושת המשולשים שהם הפאות הצדדיות. AC DO שטח המשולש :ADC = AD גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים ( AB ) = 5 = 75 = 5 5 :ABD העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

27 . שטח המשולש :ADB 5 = BD גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים ( CB ) = 75 = 5 = 5 :CBD. שטח המשולש :CDB 9 = 5 5 שטח המעטפה של הפירמידה: פתרון לשאלה. M M q = נוסחת גידול ודעיכה:.q נמצא את, = 5, M = 8, M א. נרשום את הנתונים מ-. עד ב. : = 5 8 q =..7 q = =. 8 = 5 q כעבור שנה אלה הם הנתונים: =.7 q =, M = M.7 M.5 כעבור שנה כמות תרנגולי ההודו בחווה תגדל ב- 5.%. M =,, M ב. כאשר כמות תרנגולי ההודו בחווה תגיע ל-, הנתונים הם: =.7 q,5 =,.7 =.85 = = log כלומר, כמות תרנגולי ההודו בחווה תגיע ל-, בעוד פחות מ- 7 חודשים או בחודש מאי בשנה הבאה. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

28 פתרון לשאלה א. בגרף רואים כי: a מכאן =,f() = acos bsin = a אז = f() = )( r r )( היא נקודת מקסימום של הפונקציה,f() לכן = ) '(.f 8 8 f'() = sin bcos f'( ) = sin bcos = 8 = b = (+ b) = b= קיבלנו את הפונקציה.f() = cos + sin ב. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : f() = cos + sin = /:cos an = אז בתחום הנתון 7 7 = או = = או = , 7 גרף הפונקציה f() בתחום p חותך את ציר ה- בשתי הנקודות = = S = f()d = (cos + sin )d = ((sin cos) 8 ) = ג. (sin 7 cos 7 ) (sin cos = + ) = + =.8 השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f() ועל ידי ציר ה- בתחום p הוא.8. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

29 פתרון לשאלה 5 a b :f() משמע כי =, = בנקודה חותך את ציר ה- f() = א. גרף הפונקציה f() = a b= a= b a a ולכן אפשר לכתוב = f().. f() =, f'() = a b גרף הפונקציה = f() משיק לישר =y, משמע כי בנקודת ההשקה: a a a a a( ). זאת אומרת שבנקודת ההשקה = f'() = + = + = = a a a f() = = = a= b= f'() = התקבלה הפונקציה:. כאשר = f '() - = ו- ( f'() ) ב. בסעיף הקודם מצאנו כי < < > f '() + - f() יורדת עולה מקסימום מסקנה הפונקציה עולה בתחום < <, יורדת בתחום >. בנקודה = לפונקציה f() יש נקודת מקסימום. ג. השטח המבוקש הוא שטח המלבן פחות השטח שנמצא מתחת לגרף הפונקציה f() מ- עד. S = f()d = ( )d= (ln + ) = (ln + ) = ln. השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f() המשיק =y ושני הצירים הוא.. ln פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

30 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה.b n = 5 - a n a n נובע כי + b n א. מהנתון = 5 נמצא: b n + - b n = (5-a n + ) - (5 - a n ) = - (a n + - a n ) = b n היא סדרה ההפרש בין איברים סמוכים בסדרה b הוא מספר קבוע חיובי. מכאן שהסדרה n חשבונית עולה..a n ב. )( יש שתי דרכים שונות למצוא את הסכום של ששת האיברים הראשונים של הסדרה דרך : נתון: סכום ששת האיברים הראשונים של הסדרה b הוא 5. n (b + 5) S = =5 b = -5 a = 5 - (-5) = ( - 5) S = =5 :a n סכום ששת האיברים הראשונים של הסדרה דרך : a + a + a + a + a 5 + a = (5-b ) + (5-b ) + + (5-b ) = -(b + b + b + b + b 5 + b ) = = -5 = 5 סכום ששת האיברים הראשונים של הסדרה a הוא 5. n b 7 = b + = = )( a 8 = a + 7 ( ) = = b 7 + a 8 = העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

31 פתרון לשאלה א. נתון כי בסיס התיבה הוא מלבן, היחס בין צלעות המלבן.AD:AB=: נסמן AD = BC = a מכאן.AB = DC = a S שטח הבסיס: = a. a a= a = S S הפאה הצדדית BCC'B היא ריבוע, כלומר = a BB' = CC' = BC = שטח הפנים של התיבה הוא סכום של שטח המעטפה ושטחי הבסיס: (AB + BC) BB' + AB BC = a + S = S + S = 5S D' C' ב. הזווית בין אלכסון התיבה AC' ובין בסיס התיבה היא זווית A' A D B B' C בין AC' לבין ההיטל שלו AC במישור,ABCD והיא זווית.CAC' במשולש ישר זווית BC = a, AB = a :ABC AC = AB + BC = a 5 לפי משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית :ACC' CC' a an CAC' = = = CAC'.9 AC a 5 5 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. )( נרשום את הנתונים עבור השקעה בבנק א לעשר שנים: =. q =, M = M..M כלומר, השקעה של עשר שנים בבנק א תיתן רווח של כ-.%.. עלינו למצוא את M, =.M )( נכתוב את הנתון עבור רווח של =. %: q, log. = log. = =..M = M.. log. השקעה בבנק א תקנה רווח של % בתוך תשע שנים. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

32 ב. )( נרשום את הנתונים עבור השקעה בבנק ב לעשר שנים: =, M =.M עלינו למצוא את q.. q =.. q =..M = M q כלומר, הריבית השנתית בבנק ב היא כ-.%. )( מכיוון ש- % גדולים מ-.%, בבנק א הריבית השנתית גבוהה יותר. פתרון לשאלה א. כדי למצוא תחומי עליה וירידה של הפונקציה f() נמצא נקודות אפס של פונקצית הנגזרת:. f'() = sin cos /:cos an = = בתחום הנתון = או = = או = אם p p אז טבלת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() בתחום p : p < < < < f '() f() עולה יורדת עולה מינימום מקסימום ו- <, הפונקציה f() עולה בתחומים: < הפונקציה f() יורדת בתחום < <. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

33 . f'() = sin ב. f() היא פונקציה קדומה של הפונקציה cos f() = (sin cos )d = cos sin + C נתון כי גרף הפונקציה f() עובר דרך ראשית הצירים, כלומר = ()f: f() = sin cos+ C= + C=, C= נציב בפונקציה :f() f() = cos sin + ג. שיעורי נקודות הקצה של הפונקציה f() בתחום : f( ) = f( ) = שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f() בתחום : f( ) cos( ) sin( = ) + = +.8 f( ) = cos( ) sin( ) + =.8 y ד. p p פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

34 פתרון לשאלה 5 א. הפונקציה f() מוגדרת עבור כל ערכי ה-. למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמצא את הנקודות שבהן פונקציית הנגזרת שווה לאפס: + f'() = e e = e(e e ) = = < > f'() + - f() יורדת e עולה מקסימום מסקנה כלומר, הפונקציה f() עולה בתחום <. הפונקציה f() יורדת בתחום > לפונקציה f() יש נקודת מקסימום (, e.) y נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y : כאשר =,. f() = e. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y היא (, e-) שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : + + y= f() = e e = e ( e ) = = + ln.9 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

35 גרף הפונקציה f() חותך את ציר ה- בנקודה ).)+ln, בכל התחום שבו < +ln ערך הפונקציה f() הוא מספר חיובי. בכל התחום שבו > +ln ערך הפונקציה f() הוא מספר שלילי. ב. השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לשני הצירים הוא.7 +e e פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

36 פתרון מבחן מס' 7 פתרון לשאלה n(a +d(n -)) S n א. נשתמש בנוסחת הסכום של איברים ראשונים בסדרה חשבונית: = S -S = S סכום האיברים, מהאיבר ה- עד האיבר ה-, הוא: 75- נכתוב את הנתונים כמערכת משוואות: d = d = a +9d =5 a +9d = 5 (a + 9d)) = 75 (a +9d)) - 75 = 75 a = -.5 a נציב את = d במשוואה הראשונה: = ב. הסכום של n איברי הסדרה, החל מהאיבר התשיעי, הוא ההפרש בין הסכום של + 8 n האיברים הראשונים של הסדרה לבין סכום שמונת האיברים הראשונים של הסדרה. 8( + 7)) נמצא את סכום שמונת האיברים הראשונים של הסדרה: = = S8 נכתוב את הנתון סכום איברי הסדרה החל מאיבר התשיעי הוא " כמשוואה: S -S = (n+8)(-+(n+7)) -= n+8 8 (n + 8) (n + ) = 7 למשוואה הזו יש פתרון אחד טבעי = n כדי לקבל את הסכום יש לחבר מאיברי הסדרה החל מהאיבר התשיעי. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

37 פתרון לשאלה א. נסמן את אורך הצלע של הריבוע בבסיס התיבה ב-. מכאן אורך אלכסון הריבוע BD הוא. הזווית בין אלכסון התיבה BD' ובין בסיס התיבה היא הזווית DBD' )זווית בין BD' לבין ההיטל שלו A' A D' D B B' C' C.)ABCD במישור BD נתון: = DBD'. במשולש ישר זווית DBD' BD cos DBD' = = = = a BD' a BD = = לפי משפט פיתגורס:. V= h = = 8 a a a )( נפח התיבה: )( שטח הפנים של התיבה הוא סכום של שטח המעטפה ושטחי הבסיס: a + = + = + a a a a(.5 8 ).97a ב. הזווית בין אלכסון התיבה BD' ובין הפאה הצדדית ABB'A' היא הזווית A'BD' )זווית בין BD' לבין ההיטל שלו A'B במישור.)AA'B'B במשולש ישר זווית A'BD' BD' = a,a'd' = = a אז A'D' a sin A'BD' BD' :a = = = A'BD'. DD' h BD' BD a a a = = = = D' C' A' B' D C A B פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

38 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. נמצא בעוד כמה שנים סכום הכסף 9, ש"ח מגיע ל-, ש"ח:. עלינו למצוא את M. = 9,, M הנתונים המתאימים הם: =.55 q,, =, = 9,.55.=.55 = log.= log. log כלומר, במשך שנתיים האדם יקבל רווח שנתי של 5.5% ובמשך ארבע שנים הוא יקבל רווח שנתי של.5%. ב. תחילה נמצא מה סכום הכסף שאדם יקבל עבור שנתיים ברווח שנתי של 5.5%: הנתונים המתאימים הם =.55 q,m = 9,, =, עלינו למצוא את M. M = 9,.55 =,7.5 בתקופה של ארבע שנים הסכום ההתחלתי M הוא,7.5 ש"ח. =, M נרשום את הנתונים עבור ארבע שנים ברווח שנתי =.5.5%: q,,7.5 = M =, ,87 הרווח עבור תקופה של שש שנים: = 8,87 8,87-9, עבור תקופה של שש שנים האדם מקבל רווח של כ- 8,87 ש"ח. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

39 פתרון לשאלה א. לכל ערך של מתקיים: f( ) cos + sin(+ ) + = = cos( ) sin( + 8 ) cos sin = + = = f() כלומר, פונקציה f() היא פונקציה מחזורית ו- p הוא מחזור שלה. ב. נכתוב את משוואת המשיק בנקודה : = p f'() sin cos f'( ) sin = = cos( ) = = sin( ) f( ) = cos = משוואת המשיק בנקודה = p היא = y וזה ציר ה-. sin( ) בנקודה f( ) = cos = : = p הנקודה (, p) היא נקודה משותפת של גרף הפונקציה f() ושל ציר ה- X, אבל היא לא נקודת ההשקה כי = = ). f'( ) = sin cos( S = f()d (cos sin = ) = (sin cos cos cos( ) = + ) = (sin + ) (sin + ) = 8 ג. השטח המוגבל בגרף הפונקציה f() ובציר ה- X בתחום p p הוא 8. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

40 פתרון לשאלה 5 א. בגרף I ניתן לראות שהפונקציה המתאימה לו עולה בתחום < < ויורדת בתחום >. בגרף II ניתן לראות שהפונקציה המתאימה לו חיובית בתחום < < ושלילית בתחום >. כלומר, גרף I מתאים לפונקציה f() וגרף II מתאים לפונקציה.f'() ב. בגרף II אפשר לראות שהנקודה = היא נקודת האפס של פונקציה.f'() נמצא את הנגזרת של f'() = הפונקציה f() לפי נוסחת הנגזרת של פונקציית מנה: (a+ ln) a ln = a ln f'() = = a= a= = = + ln a,f() = ln נקבל:,f'() ג. למציאת תחומי העלייה והירידה ונקודות הקיצון של הפונקציה f'() נמצא את פונקציית הנגזרת שלה: (f '())' + ln ln = = ln e = = =.5 < < e.5 e.5 >e.5 (f'())' - + f'() עולה יורדת - e מינימום מסקנה העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

41 < < הפונקציה f'() יורדת בתחום e.5 > הפונקציה f'() עולה בתחום e.5.5.f'() היא נקודת המינימום של הפונקציה e), - הנקודה ) e ד. הפונקציה f() היא פונקציה קדומה של הפונקציה.f'() = = + ln f'()d f() = + ln.5 = ln f'()d= ln פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

42 פתרון מבחן מס' 8 פתרון לשאלה א. בעזרת נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית ניתן לכתוב את הנתונים כמערכת משוואות של שני :d ו- a משתנים a +d a +7d =.5 / (a +7d) (a +d)(a +8d) = a +d a + 7d =.5 (a +d)(a +8d) = a לאחר פישוט המשוואה הראשונה קיבלנו 9d = לאחר שנציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה נקבל: = d יש שתי אפשרויות: a = a + d = - a = 9d = 8 d = )( יש למצוא את מספרו של איבר הסדרה השווה ל- :.n = -8 + (n-) או = a + d(n-) = a = a + d = a = 9d = 8 d = - )( יש למצוא מספרו של איבר הסדרה השווה ל- -: n = 8-(n-) = או - a + d(n-) = - בכל אחת משתי האפשרויות מספרו של איבר הסדרה הנגדי לאיבר הרביעי הוא. ב. איברי הסדרה הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית בעלת הפרש d המתחילה a. n יש למצוא את הסכום של 7 האיברים הראשונים של הסדרה. מהאיבר השני של הסדרה לפי שתי האפשרויות שקיבלנו בפתרון של סעיף א: a = -8, a = -, d =. a 7 (- + ) S 7 = = העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

43 7 ( - ) S 7 = = a = 8, a =, d = -. b a + a + a +. + a בכל אחת משתי האפשרויות: = פתרון לשאלה א. במשולש ישר זווית 8=AC :ABC ס"מ, BAC= 5. sin BAC = BC BC = AC sin5 = AC כלומר, אורך צלע הבסיס הוא ס"מ. שטח המעטפה של הפירמידה הוא סכום שטחי ארבעה משולשים חופפים שהם הפאות הצדדיות. S הנקודה K היא אמצע הקטע.AB.ASB הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים SK שטח המעטפה של הפירמידה: A K B O D C S= AB SK = SK = 8 SK = SK = במשולש ישר זווית SK =,AK = : SKA לפי משפט פיתגורס: AS = AK + KS = 8+ = = ב. הקטע SO הוא גובה הפירמידה. כיוון שהפירמידה SABCD היא פירמידה ישרה, הנקודה O היא אמצע האלכסון.AC פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

44 S SK =,OK = BC = Sin KSO = OK = KSO= SK במשולש ישר זווית :SOK A K B O D C פתרון לשאלה א. נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q נרשום את הנתונים המתאימים לגודל האוכלוסייה בעיר מלפני שנתיים עד היום: q. עלינו למצוא את M. =,, M =,, =, q =..7 q =., =, q, נרשום את הנתונים המתאימים לגודל האוכלוסייה מהיום עד חמש שנים מהיום: M.q =.7, M עלינו למצוא את =,, = 5 5 M =..7,5 כעבור חמש שנים גודל האוכלוסייה בעיר יהיה כ-,5 תושבים. M ב. נרשום את הנתונים המתאימים לגודל האוכלוסייה מהיום ועד שיהיו בעיר, תושבים: =. עלינו למצוא את,,, M =,, q =.7.7, =.5, =..7, log.5 = log.5 =.5.7 log.7 כלומר, בעוד בערך.5 שנים יהיו בעיר, תושבים. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

45 פתרון לשאלה א. בגרף רואים כי > '(),f כאשר < < וכאשר f '() <, < < כאשר < 5 5. < כלומר, פונקציה f() עולה בתחום < < ובתחום < <, ויורדת בתחום < 5 5. < ב. המשיק לגרף הפונקציה f() מקביל לציר ה- X כאשר = ()' f.. = 5 לפי הגרף, זאת הנקודות אשר = או y ג. הפונקציה f() היא פונקציה קדומה לפונקציה cos :f '() = f() = (cos )d= sin + C f() = sin + C= C= לפי הנתון = :f() = f'() = cos התקבלה הפונקציה + f() = sin ד ה. שימו לב! מדובר על גרף הפונקציה ()' f ולא על גרף הפונקציה.f() S= f'()d = f() = (sin + ) = 5 (sin 5 5 ) (sin ) = = +.8 שטח המוגבל בגרף הנתון של פונקציה ()' f ובציר ה- הוא פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

46 פתרון לשאלה 5 א. נתון כי הנקודה ),( היא נקודת קיצון של הפונקציה.f() זאת אומרת כי = ()f, ()'f = אז + a + a + a f'() = e f'() = e = e = + a= a= f() = e + b= b=.f() = - e מכאן, התקבלה הפונקציה - +,a = -, b= f'() = e = e = = = ב. < > f '() + - f() יורדת עולה מקסימום מסקנה לפונקציה f() יש נקודת מקסימום ),( ואין נקודות קיצון נוספות. הפונקציה עולה בתחום <, הפונקציה יורדת בתחום >. y ג. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

47 ד. אם לגרף הפונקציה f() יש משיק המקביל לישר,y= אז הנגזרת בנקודת ההשקה שווה לשיפוע של הישר y = שהוא : f'() = e =, e = אבל המשוואה אינה יכולה להתקיים כיוון שלכל ערך של e - >, כלומר, לגרף הפונקציה f() אין משיק המקביל לישר y. = פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

48 פתרון מבחן מס' 9 פתרון לשאלה א. אם בסדרה יש מספר אי-זוגי של איברים, אז מספר האיברים במקומות האי-זוגיים גדול ב- ממספר האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. נסמן ב- n את מספר האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים, במקומות האי-זוגיים נמצאים ( + n) האיברים. האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית:,8,, האיבר הראשון שלה הוא, הפרש הסדרה. סכום של + n האיברים ראשונים של הסדרה הזו: S = n+ (n + ) ( + (n + -)) =n +n איברים הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית:.,,, האיבר הראשון שלה הוא, הפרש הסדרה. הסכום של n האיברים הראשונים של הסדרה הזו: S = n n( + (n - )) =n לפי הנתון: ) n + n =.(n למשוואה הזו יש פתרון אחד טבעי = 5 n.n - n = /:. n -5n = חמישה איברים נמצאים במקומות הזוגיים, שישה איברים נמצאים במקומות האי-זוגיים, ובסך הכול יש בסדרה איברים. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

49 S = a ב. האיבר האחרון בסדרה: = = + לפי נוסחת הסכום של איברים ראשונים של סדרה חשבונית: ( + ( - )) = - יש למצוא כך ש- = - למשוואה הזו יש פתרון אחד טבעי = 5 הסכום של חמשת האיברים הראשונים בסדרה המקורית שווה לאיבר האחרון של הסדרה. פתרון לשאלה :ABC לפי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית. AC = א. נסמן:,BC= אז 9 AB 5 = = לפי הנתון, פאה CBD היא משולש שווה צלעות, כלומר, BC = BD = DC = DK b אורך הגובה של המשולש = b = :CBD = = D בפירמידה ישרה כל מקצועותיה הצדדיים שווים: b BD = AD = CD = = B K C פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

50 בפירמידה ישרה, עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש ישר זווית ABC מרכז D המעגל החוסם הוא אמצע היתר AC )נקודה O(. לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית :DOC OC AC b = = = = b, CD = b A O B C b b 7 DO = DC OC = = b =.7b ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי DC ובין הבסיס היא הזווית DCO )הזווית שבין DC לבין היטלו CO במישור.)ABC = OC אז במשולש ישר זווית b, CD = b :DOC cos DCO OC CD b:( b ) = = = DCO. פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. נרשום את הנתונים המתאימים לגדילת כמות האצות מ עד 5.5.8: q. עלינו למצוא את M. =,, M =,, =, q =.78.9 q =.78, =, q, כדי למצוא את אחוז גדילת כמות האצות בחצי שנה, נרשום את הנתונים הבאים: =.9 q =,.5.5 M = M.9.7M כמות האצות באגם גדלה ב-.7% בכל חצי שנה. 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

51 ב. מ עד 5..5 עברו.5 שנים. נרשום את הנתונים המתאימים לגדילת כמות האצות M M. עלינו למצוא את בתקופה זו: =.5,, q =.9, =.5 M =,.9 9, ב באגם יהיו כ- 9, ק"ג אצות. פתרון לשאלה f'() = cos asin f '( ) = cos asin = a = a = א. נתון כי = ) )'f אז: התקבלה הפונקציה f() = sin-cos. ב. נכתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה = נחשב:= f( ) = sin cos אז משוואת המשיק: = y הוא ציר ה-. הפונקציה f() = sin - cos היא פונקציה מחזורית בעלת המחזור p: f(+ ) = sin(+ ) cos(+ ) = sin cos = f() כלומר, לגרף הפונקציה f() יש אינסוף נקודות השקה לציר ה-. כאשר n הוא מספר שלם. = + אלה כל הנקודות מהצורה n ג. נמצא את כל נקודות בהן הנגזרת שווה ל- ונמלא את טבלת תחומי העלייה והירידה בתחום p : f'() = cos+ sin= sin + sin = ( sin )(+ sin ) sin= או sin = :, 7, = = בתחום p הנגזרת שווה ל- בנקודות = פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

52 < 5 < 5 5 < < < f '() f() - עולה יורדת עולה עולה מינימום מקסימום אין קיצון = לפונקציה f() יש מינימום בנקודה שבה 5 לפונקציה f() יש מקסימום בנקודה שבה = לפונקציה f() אין קיצון. בנקודה = ד. y 5 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

53 פתרון לשאלה 5 א. הפונקציה f() מוגדרת עבור כל ערכי. ב. למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמצא את הנגזרת שלה: f'() e = = e = = ln.9 <ln ln >ln f'() + f() עולה. ln יורדת מינימום מסקנה הפונקציה f() עולה בתחום. > ln הפונקציה f() יורדת בתחום. < ln לפונקציה f() יש נקודת מינימום ln).(ln, y ג. נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם f() = e = ציר ה- y : כאשר =, גרף הפונקציה f() חותך את ציר ה- y בנקודה ), ( לגרף הפונקציה f() אין נקודות חיתוך עם ציר ה-. כי לפונקציה f() יש נקודת קיצון אחת, נקודה זו היא נקודת מינימום וערך הפונקציה בנקודה זו הוא חיובי. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

54 ה. פונקציה f() היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה :g() g'() = (e )' = e = f() כיוון שהפונקציה f() חיובית בכל תחום הגדרתה, הפונקציה g() עולה לכל. ו. נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של שני הגרפים: f() = g() e = e =. או = = S = (g() f())d = ((e ) (e ))d = = ( )d = ( = = ) 8 השטח בין שני הגרפים של הפונקציות f() ו-( g( הוא y f() g() 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

55 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה שלושת המספרים הראשונים מהווים סדרה חשבונית: a, a + d, a + d לפי הנתון סכום של ארבעה מספרים הוא ", המספר האחרון הוא (d a)- + את הנתון: שלושה מספרים אחרונים מהווים סדרה הנדסית" נכתוב כפרופורציה: - (a + d) a + d = a + d a + d את הנתון "המספר הראשון קטן מהמספר האחרון פי.5" נכתוב כמשוואה: a)- + (d =.5a - (a + ( -.5a)) a + ( -.5a) = a + ( -.5a) a + ( -.5a) אחרי פישוט: d = -.5a נציב בפרופורציה: אחרי פישוט: = a.75a - למשוואה זו יש פתרון שלם אחד =.a נציב ב- d = d = -.5a ארבעת המספרים הם:, 8,, 8 פתרון לשאלה A' B' C' א. )( נקודה K היא אמצע הקטע.AC לכן BK הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים.ABC A C B פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 55

56 במשולש ישר זווית :ABK cos BAK AK = AK = AB cos = b AC = AK = b AB b BK = b sin = המשולש BA'C' הוא משולש שווה שוקיים: A'B = C'B כי קטעים אלה הם אלכסונים במלבנים חופפים. כיוון שהבסיסים של המנסרה הם מצולעים חופפים,.A'C' = AC במשולש BA'C' BM, הוא תיכון וגובה. לפי הנתון שטח המשולש BA'C' הוא.5b אז = = = A'C' BM b BM.5b BM b A' M C' לפי משפט פיתגורס: A'B ( b ) BM 5 = + = b + b = b B לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית :AA'B אורך המקצוע הצדדי של המנסרה, 5 AA' A'B AB b b b = = =.58b )( שטח הפנים של המנסרה: (AB+ BC+ AC) AA' + S = (b+ b ) b + AC BK = b ( + + ) b ABC 7.55b A' C' ב. הזווית בין האלכסון BC' ובין הפאה הצדדית AA'C'C היא הזווית B' שבין BC' להיטלו C'K במישור AA'C'C כלומר זווית.KC'B A K C הוא אנך ל- AA'C'C. BK אז C'C BK וגם AC BK B 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

57 BK b, BC' BA' b 5 במשולש ישר זוויתKC'B : = = = sin b KC'B = 5 C' = :(b ) =, KC'B.8 5 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. בשאלה זאת נוח לקחת חצי שעה כיחידת זמן. נרשום את הנתונים המתאימים להתפרקות החומר משעה 8: בבוקר עד הצהריים: q. עלינו למצוא את M, =, M =, = 7 q =.7.89 q =.7 = q כמות החומר הרדיואקטיבי אחרי חצי שעה היא 8.9% מהכמות ההתחלתית. הכמות קטנה בזמן זה ב- 7.% = %-8.9% משקל החומר הרדיואקטיבי בכל חצי שעה קטן ב- 7.%. ב. נרשום את הנתונים עבור זמן מחצית החיים של החומר הרדיואקטיבי:. עלינו למצוא את,q =.89, M =.5 M נציב בנוסחה:.5 =.89.5M = M.89 = log לקחנו חצי שעה כיחידת זמן, אז.7 יחידת זמן הוא.85 שעות או שעה ו- 5 דקות. זמן מחצית החיים של החומר הרדיואקטיבי הוא שעה ו- 5 דקות. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 57

58 פתרון לשאלה א. גרף I הוא גרף הפונקציה f(( וגרף II הוא גרף פונקצית הנגזרת שלה כי תחומי העלייה והירידה בגרף I הם תחומי החיוביות ושליליות בגרף II בהתאמה. ב. הפונקציה f() היא פונקציה זוגית כי לכל ערך של מתקיים: f( ) = ( )sin( ) = ( ) ( sin ) = sin = f() נמצא את פונקצית הנגזרת של הפונקציה f() לפי כלל הנגזרת של המכפלה: f'() = ' sin + (sin )' = sin + cos f'( ) = sin( ) cos( ) = sin cos = f'() לכל ערך של מתקיים: פונקצית הנגזרת של הפונקציה f() היא פונקציה אי-זוגית. f'() = sin + cos f'( ) = sin + cos = ג. f( ) sin = =. y = או y = + משוואת המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה = היא ) ( S= f'()d = f() = (sin) = + sin.8 ד. השטח הצבוע בסרטוט הוא. sin העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

59 פתרון לשאלה 5 א. לפי הגרף של פונקציית הנגזרת של הפונקציה( f( אפשר למלא את הטבלה. < < > f'() + - f() יורדת עולה מקסימום מסקנה פונקציה f() עולה בתחום < < פונקציה f() יורדת בתחום > לפונקציה f() יש נקודת קיצון אחת בתחום. זאת נקודת מקסימום ), (. ב. הטענה הנכונה היא טענה b "עבור כל ערכי ה- "f() כי בנקודת מקסימום = f() ואין נקודות y קיצון נוספות. ג. ראו גרף ד. נמצא ביטוי לפונקציה ()' f כנגזרת של פונקציה מכפלה: f'() = ( )e + ( )e = ( )e פונקציה f() היא פונקציה קדומה של הפונקציה :f'() S= f'()d = f() = ( )e = ( e) = e = השטח המוגבל בגרף הנתון ובציר ה- הוא. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 59

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3 סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

יחידה - 7 זוויות חיצוניות

יחידה - 7 זוויות חיצוניות יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת

Διαβάστε περισσότερα

פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה

פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה שאלון - 806 מבחן פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') A n יואב ודניאל עובדים בהעמסת ארגזים למשאיות במפעל. יואב מסוגל להעמיס לבדו 0 ארגזים בשעה. דניאל מסוגל להעמיס

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

כאן מבנה הבחינה שתיערך השנה תשע"ד. הבחינות של מועד תשע"ג מותאמות לבחינה שתיערך השנה. כמו כן ישנן שאלות שלא רלוונטיות לתוכנית ההיבחנות החדשה.

כאן מבנה הבחינה שתיערך השנה תשעד. הבחינות של מועד תשעג מותאמות לבחינה שתיערך השנה. כמו כן ישנן שאלות שלא רלוונטיות לתוכנית ההיבחנות החדשה. לתלמידי כיתה י' אנו שמחים להציג בפניכם את חוברת מבחני המחצית של כיתה י' שנערכו בשנים האחרונות שימו לב כי לא כל הבחינות המופיעות בחוברת זו, הן במבנה של הבחינה שתיערך לכם השנה, לכן מובא לכם כאן מבנה הבחינה

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

מכניקה אנליטית תרגול 6

מכניקה אנליטית תרגול 6 מכניקה אנליטית תרגול 6 1 אלימינציה של קואורדינטות ציקליות כאשר יש בבעיה קואורדינטה ציקלית אחת או יותר, לעתים נרצה לכתוב פעולה חדשה (או, באופן שקול, לגראנז'יאן חדש) אשר לא כולל את הקואורדינטות הללו, וממנו

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

פתח דבר לתלמידים ולמורים, ספר זה מיועד לתלמידי פיזיקה אינטרניים ואקסטרניים, המתכוננים לבחינת הבגרות במכניקה, באופטיקה ובגלים.

פתח דבר לתלמידים ולמורים, ספר זה מיועד לתלמידי פיזיקה אינטרניים ואקסטרניים, המתכוננים לבחינת הבגרות במכניקה, באופטיקה ובגלים. פתח דבר לתלמידים ולמורים, ספר זה מיועד לתלמידי פיזיקה אינטרניים ואקסטרניים, המתכוננים לבחינת הבגרות במכניקה, באופטיקה ובגלים. הספר מעודכן לתוכנית הלימודים של משרד החינוך לקיץ 4, בהתאם לחוזרי המפמ"ר ולמסמך

Διαβάστε περισσότερα

חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה

חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה סימנים לפניכם טבלה של סימנים מקובלים הכתובים בבחינה. הסימן «x x x < x 0 < x, x ± x x : משמעותו הישרים ו- מקבילים זה לזה הישרים ו- מאונכים זה לזה זווית של 90, זווית ישרה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה עש איבי ואלדר פליישמן אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס: פיזיקה משך הבחינה: שלוש שעות 1 יש לענות על כל השאלות 1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי, ולכל סעיף אותו משקל

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

2 a 2 x ( ) a3 x 2

2 a 2 x ( ) a3 x 2 . טכניקה אלגברית חד-איבר (חזרה) ביטויים מהסוג: 5a,b (-)bc,-a 7,y המהווים מכפלה של מספרים, אותיות (משתנים) וחזקות, מכונים חד-איבר. גם מספר, משתנה או חזקה בודדים מכונים חד-איבר. לדוגמה, כל אחד מהביטויים

Διαβάστε περισσότερα

חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון.

חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון. חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון. מהדורה פנימית שאינה מיועדת למטרות רווח. תלמידים יקרים, לקראת פתיחת שנה"ל הקרובה, בה תחלו את צעדיכם הראשונים בתיכון המושבה, חוברה עבורכם חוברת זו אשר תקל על השתלבותכם

Διαβάστε περισσότερα

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס:

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: w = f (z) = U (x, y) + iv (x, y), U = V = 0 הפונקציה f מעתיקה ממישור y) zלמישור = (x,

Διαβάστε περισσότερα

תשס"ז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 ס"מ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10

תשסז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 סמ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10 Q 0 חוק קולון: שאלות מהחוברת: שאלה : פיזיקה למדעי החיים פתרון תרגיל 5 חוק קולון,שדה חשמלי ופוטנציאל חשמלי ו- Q 5 0 Q Q 3 ס"מ חשב את הכוח החשמלי הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים במרחק 3 ס"מ זה מזה.

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A =

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A = פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום,

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא כמות השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה

Διαβάστε περισσότερα

אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר

אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר 9 המושגים הבסיסיים ב (חזרה) משתנה אקראי הגדרות גודל שמאפיין איבר מסוים בקבוצת איברים מאותו סוג, מאיבר לאיבר באקראי. ושעשוי להשתנות משתנה אקראי מאופיין על ידי שם, מספר האיבר שאותו הוא מאפיין, וגודל (ערך).

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 28 בספטמבר 2009

תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 28 בספטמבר 2009 תורה אלקטרומגנטית מרצה: בוריס שפירא 8 בספטמבר 009 מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של פרופ בוריס שפירא. המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות. אין הטכניון או מי מטעמו ובפרט, הפקולטה לפיזיקה, על מרציה ומתרגליה,

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים חידה לחימום בסל מקש יש צמר. כדורי 00 שני שחקנים משחקים בתורות: כל שחקן, בתורו, צריך להוציא כמות כלשהי של כדורי צמר מהסל לפחות כדור אחד, אך לא יותר ממחצית מכמות כדורי הצמר שבסל. מי שלא יכול לעשות מהלך (מתי

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה

אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה 1. סיכום אלגוריתמי המיון שנלמד: הנחות והערות זכרון נוסף זמן (טוב) זמן (ממוצע) זמן (גרוע) האלגוריתם מיון במקום O(1)

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים תאור המערכת: תור / M M / ( ) שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. זמן

Διαβάστε περισσότερα

5. משוואות ושאלות מילוליות 253

5. משוואות ושאלות מילוליות 253 א. 1. משוואות מגלים מגלים ולומדים א. משוואות וזהויות מיינו את השוויונות שלפניכם לשלוש הקבוצות: שוויונות שמתקיימים לכל ערך של אות, שוויונות שאינם מתקיימים, שוויונות שמתקיימים רק לערכים מסוימים של האות.

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות

תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות 1856 1 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 פיסיקה כללית : חשמל ואופטיקה לתלמידי ביולוגיה חשמל ואופטיקה 774, תשס"ו - פתרונות 1 מטענים, שדות ופטנציאלים (5) ו- am µc נגדיר d האלכסון בין הקודקודים B המרחק בין

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

69163) C [M] nm 50, 268 M cm

69163) C [M] nm 50, 268 M cm א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט אוניברסיטת ירושלים הנושא: אינדוקציה מתמטית - אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה הוכן ע"י: נצה מובשוביץ-הדר, המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, הטכניון, חיפה. תקציר: במאמר מוצגות

Διαβάστε περισσότερα

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5.

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5. דוגמאות 1. ארגז שמסתו 5kg נמצא על משטח אופקי. על הארגז פועל כוח שגודלו 30 וכיוונו! 20 מתחת לציר האופקי. y x א. שרטטו דיאגרמת כוחות על הארגז. f W = mg ב. מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל על הארגז?

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 12 השראות חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות השראות הדדית ועצמית בשבוע שעבר דיברנו על השראות בין לולאה לבין השינוי בשטף המגנטי שעובר דרכה על ידי שימוש בחוק פאראדיי ε = dφ m dt הפעם נסתכל על מקרה בו יש יותר מלולאה

Διαβάστε περισσότερα

דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא ע"פ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!!

דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא עפ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!! דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה פונקצית תמסורת : Y( s) G X ( s) הגדרות בסיסיות : סדר של פונקצית תמסורת סדר הפולינום במכנה (החזקה הכי גבוהה של פולינום המכנה). אפסים- שורשים של פולינום המונה. קטבים שורשים

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

לדובב זה לגרום למישהו אחר לדבר. להאיץ זה לגרום למישהו אחר להזדרז. התשובה הנכונה היא (1). שזר פירושו אסף דברים לזר. גיבב פירושו אסף דברים לערמה.

לדובב זה לגרום למישהו אחר לדבר. להאיץ זה לגרום למישהו אחר להזדרז. התשובה הנכונה היא (1). שזר פירושו אסף דברים לזר. גיבב פירושו אסף דברים לערמה. חשיבה מילולית- פרק ראשון לדובב זה לגרום למישהו אחר לדבר להאיץ זה לגרום למישהו אחר להזדרז שזר פירושו אסף דברים לזר גיבב פירושו אסף דברים לערמה ( ( אכיפת החוק היא פעולה שתפקידה למנוע עבריינות אטימה היא פעולה

Διαβάστε περισσότερα

חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי

חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי בשנת 1784 מדד הפיזיקאי הצרפתי שארל קולון את הכוח השורר בין שני גופים הטעונים במטענים חשמליים ונמצאים במנוחה. q הנמצאים במרחק r זה q 1 ו- תוצאות המדידה היו: בין שני מטענים חשמליים

Διαβάστε περισσότερα

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית,

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית, אלקטרוסטטיקה בנוכחות חומרים התחום שבין מישור y למישור t ממולא בחומר בעל פולריזציה לא אחידה +α)ˆ P 1)P כאשר P ו - α קבועים. מצא את צפיפויות המטען הנתונה ע"י σ). חשב את סה"כ המטען הקשור בגליל (מהחומר ומשטחית

Διαβάστε περισσότερα

29 תרגיל 2) העבר את המספרים המוצגים בבסיס להצגה בינארית 25() 24 () 243 () תרגיל ( 3 דוגמא העבר את המספר המבוטא בבסיס בינארי לצורה עשרונית (2) פתרון :

29 תרגיל 2) העבר את המספרים המוצגים בבסיס להצגה בינארית 25() 24 () 243 () תרגיל ( 3 דוגמא העבר את המספר המבוטא בבסיס בינארי לצורה עשרונית (2) פתרון : 29 תרגילי חזרה: העברת בסיסים נתון המספר ()43 מצא את ערכו של המספר בבסיס 2 הראה את הדרך לפתרון ( פתרון התרגיל : נגדיר תבניות שערכן גדל פי 2 החל מהמספר עד תבנית הגדולה וסמוכה למספר 256 28 64 32 6 8 4 2 ממלאים

Διαβάστε περισσότερα

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2 סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם": לקידום שיפור וריענון החינוך המתימטי

קשר-חם: לקידום שיפור וריענון החינוך המתימטי הטכניון מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשרחם": לקידום שיפור וריענון החינוך המתימטי הנושא: פתרון משוואות במהלך ההיסטוריה ויישומים להוראת מתמטיקה הוכן ע"י: רותי רייז. תקציר: בחומר

Διαβάστε περισσότερα

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 18 ביוני 15 התרגום למושגים הפיזיקליים הוא חופשי שלי. אבשלום קור, מאחוריך. לא נתתי דוגמאות לשימושים שכן ראינו (גיאומטריים). אפשר למצוא דוגמאות בתרגולים.

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013 מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות 80711 אור דגמי, or@digmi.org 23 בינואר 2013 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ מתניה בן ארצי בשנת לימודים 2013. ספר לימוד של פינצ ובר רובינשטיין מבוא למד

Διαβάστε περισσότερα

פרק 1 עדשות שתייםמהןהןמרכיב הכרחיבמשקפיים,גלגלים שappleייםמהםהםמרכיבהכרחיבאופappleיים. בארוןappleיתןלבצעפעולת אפסון,בבריכה appleיתןלבצעפעולת שחייה.

פרק 1 עדשות שתייםמהןהןמרכיב הכרחיבמשקפיים,גלגלים שappleייםמהםהםמרכיבהכרחיבאופappleיים. בארוןappleיתןלבצעפעולת אפסון,בבריכה appleיתןלבצעפעולת שחייה. ניב רווח פסיכומטרי -- פתרון סימולציה IV פרק...3.4.5.6.7.8.9 עדשות שתייםמהןהןמרכיב הכרחיבמשקפיים,גלגלים שappleייםמהםהםמרכיבהכרחיבאופappleיים. בארוןappleיתןלבצעפעולת אפסון,בבריכה appleיתןלבצעפעולת שחייה.

Διαβάστε περισσότερα

תשובות לשאלות בפרק ד

תשובות לשאלות בפרק ד תשובות לשאלות בפרק ד עמוד 91: ( היבט מיקרוסקופי ) בהתחלה היו בכלי מולקולות של מגיבים בלבד, אשר התנגשו וכך נוצרו מולקולות מסוג חדש, מולקולות תוצר. קיום של מולקולות תוצר מאפשר התרחשות של תגובה הפוכה, בה

Διαβάστε περισσότερα

בהצלחה! הוראות אוניברסיטת בן גוריון הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיסיקה

בהצלחה! הוראות אוניברסיטת בן גוריון הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיסיקה פיסיקה א' מספר הקורס: 5330 המרצה: פרופ' גז'גוז' יונג מועד: ב', טור: א' תאריך: משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר מותר: דף נוסחאות המצורף לבחינה ומחשבון פשוט אוניברסיטת בן גוריון הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיסיקה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

ןמנירג ןואל \ הקיטסיטטס הקיטסיטטסב הרזח ה יפד ךותמ 14 דו 1 מע

ןמנירג ןואל \ הקיטסיטטס הקיטסיטטסב הרזח ה יפד ךותמ 14 דו 1 מע עמוד מתוך 4 סטטיסטיקה תיאורית X- תצפית -f( שכיחות מספר פעמים שהתצפית חזרה על עצמה - גודל מדגם -F( שכיחות מצטברת ישנם שני סוגי מיון תצפיות משתנה בדיד סוג תצפית ספציפי.משתנה שכל ערכיו מספרים בודדים. משתנה

Διαβάστε περισσότερα

מבנה נתונים סיכומי הרצאות

מבנה נתונים סיכומי הרצאות מבנה נתונים סיכומי הרצאות 22 ביוני 2010 הערה לקראת המבחנים מרצה: דורית אהרונוב סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com כרגע חסרים מספר דברים בסיכום, כמו פונקציות גיבוב, וכמובן שתמיד

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תש"ע

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תשע אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים 89-120 תרגולים (חלקי) מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין נכתב ונערך ע"י: גלעד אשרוב סמסטר ב', תש"ע הערות כלליות. המסמך מכיל סיכומי תרגולים שניתנו במהלך הסמסטר (סמסטר ב', תש"ע).

Διαβάστε περισσότερα

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב.

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב. אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 אתר הקורס.clickit3 מרצה : בני מוניץ הציון: מבחן סופי: 80% שיעורי בית 20% ואפשרות לבוחן אמצע 20% מגן גרפים הגדרה: תהי V קבוצה סופית לא ריקה. ותהי E קבוצה

Διαβάστε περισσότερα

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, אב (. תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט

Διαβάστε περισσότερα

ו- 5 יחידות לימוד) חלק א' שאלונים ו (כתום אדום). ו- 806.

ו- 5 יחידות לימוד) חלק א' שאלונים ו (כתום אדום). ו- 806. מעגל- הנדסת המישור קובץ תרגילים עם מעגל לתלמידי 4 ו- 5 יח"ל עפ"י הנחיות הפיקוח על המתמטיקה צריך ללמד בכיתה י' על דמיון משולשים ובכיתה י"א צריך ללמד על המעגל. בהתאם להנחיות אלה נכתב הספר מתמטיקה (4 ו- 5

Διαβάστε περισσότερα

אקונומטריקה ד"ר חמי גוטליבובסקי סמסטר א' תש "ע

אקונומטריקה דר חמי גוטליבובסקי סמסטר א' תש ע 009 אקונומטריקה ד"ר חמי גוטליבובסקי סמסטר א' תש "ע סיכום: דביר צנוע הקדמה הדפים שלפניכם מהווים סיכום של קורס מבוא לאקונומטריקה, אשר הועבר באוניברסיטת תל- אביב ע"י ד"ר חמי גוטליבובסקי בסמסטר א' תש"ע. הסיכום

Διαβάστε περισσότερα

חוק קולומב והשדה החשמלי

חוק קולומב והשדה החשמלי דף נוסחאות פיסיקה 2 - חשמל ומגנטיות חוק קולומב והשדה החשמלי F = kq 1q 2 r 2 r k = 1 = 9 10 9 [ N m2 חוק קולומב 4πε ] C 2 0 כח שפועל בין שני מטענים נקודתיים E (r) = kq r 2 r שדה חשמלי בנקודה מסויימת de

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017 מבוא לתורת החבורות מהדורה 3.931 הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, 88-211, באוניברסיטת בר אילן. הקורס

Διαβάστε περισσότερα

פיזיקה 2 שדה מגנטי- 1

פיזיקה 2 שדה מגנטי- 1 Ariel University אוניברסיטת אריאל פיזיקה שדה מגנטי- 1. 1 MeV 1.חשב את זמן המחזור של פרוטון בתוך השדה המגנטי של כדור הארץ שהוא בערך B. 5Gauss ואת רדיוס הסיבוב של המסלול, בהנחה שהאנרגיה של הפרוטון הוא M

Διαβάστε περισσότερα

Electric Potential and Energy

Electric Potential and Energy Electric Potential and Energy Submitted by: I.D. 039033345 The problem: How much energy is needed to create the following configuration? The solution: Let φ i be the potential at the position of the charge

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות

Διαβάστε περισσότερα

משוואות מקסוול משוואות מקסוול בתחום הזמן: B t H dl= J da+ D da t ρ Η= J+ B da= t בחומר טכני פשוט: משוואות מקסוול בתחום התדר:

משוואות מקסוול משוואות מקסוול בתחום הזמן: B t H dl= J da+ D da t ρ Η= J+ B da= t בחומר טכני פשוט: משוואות מקסוול בתחום התדר: 4414 שדות אלקטרומגנטים, סיכום הקורס, עמוד 1 מתוך 6 משוואות מקסוול l= B a l= J a+ D a D a= v B a= S a+ ( wev+ wmv) = J v J a+ v= S = 1 we = D 1 wm = B l= jω B a l= J a+ jω D a D a= v B a= 1 * S a+ jω( wm

Διαβάστε περισσότερα