b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2

Transcript

1 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם q היא מנת הסדרה היא סדרה הנדסית. מכיוון ש- < q גם < q n כלומר, סדרה c היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: b -q =.8 b -q =.8(+q) q= b /: -q. =, n מנת הסדרה c היא מנת הסדרה b היא n פתרון לשאלה א. נתון:.BC = AB = AC = AD = BD = CD = a בפירמידה הנתונה כל מקצועותיה הצדדיים שווים, כלומר הפירמידה היא פירמידה ישרה. DO הוא גובה הפירמידה. בפירמידה ישרה עקב הגובה )נקודה O( הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש שווה צלעות מרכז המעגל החוסם הוא נקודת החיתוך של התיכונים במשולש. OB a a של התיכון במשולש שווה צלעות :ABC = = קטע OB הוא פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

2 D לפי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית :DOB a DO DB OB a a = = =.BDC הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים DK C לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית :DKB A O B K a DK = DB KB = a = a הזווית שבין הפאה הצדדית CDB ובין הבסיס היא הזווית DKO )הזווית בין שני האנכים לישר החיתוך BC של מישורים אלה(., DK = a = במשולש ישר זווית, DO a :DKO an DKO = DO = = OK a : a DKO. גודל הזווית שבין הפאה הצדדית ובין הבסיס הוא כ-.. S DBC a = DK BC = ב. שטח הבסיס שווה לשטח הפאה הצדדית DBC כי הם משולשים חופפים: V = = = S DO a a DBC a נפח הפירמידה : פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q.q עלינו למצוא את, =, M = 8,, M א. נכתוב את הנתונים עבור שנת =, : 8, q = q = =.75 8, =, q,.m =, 7,M.q =.89, = עלינו למצוא את נכתוב את הנתונים עבור שנת 5: 7 M =,.89 8,85 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

3 ערך היאכטה בשנה 5 יהיה כ- 8,85 ש"ח. ב. % ממחיר יאכטה חדשה הוא,), =..(,. עלינו למצוא את M. =,, M =,, נרשום את הנתונים המתאימים: =.89 q שימו לב : ניתן לפתור את השאלה מבלי לחשב % ממחיר יאכטה חדשה באמצעות M =.M כתיבה: = log =., =, ערך היאכטה ירד ל- % ממחירה של יאכטה חדשה אחרי שנה. פתרון לשאלה כדי לפתור משימה זו יש לבצע שלבים רבים שאינם כתובים כסעיפים בשאלה. חלק חשוב בפתרון המשימה הוא תכנון. תכנון אפשרי: )( נמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה-. )( נמצא את נגזרת הפונקציה.f() )( נכתוב את משוואות המשיקים לגרף בנקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-. )( נמצא את נקודות החיתוך של שני המשיקים. )5( נחשב את השטח המוגבל בגרף הפונקציה f() ובשני המשיקים כסכום של שני אינטגרלים. )( נמצא נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : = = = = = = או f() cos cos או = y= ( = :, f( ) =, f'( ) = sin = משוואת המשיק: ) f'() = sin ) ( )( המשיק לגרף בנקודה או y = p פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

4 = משוואת המשיק: f( ),f'( המשיק לגרף בנקודה ) sin = = = : = או y= + y ( ) )( נקודת החיתוך של שני המשיקים: = + 8= = ) = )5( השטח המוגבל בגרף הפונקציה f() ובשני המשיקים : S = ( f())d + ( + f())d = ( + sin) + ( + + sin ) = 9 9 ( sin ) ( sin ) ( sin 8 8 ) ( = sin ) =.7 פתרון לשאלה 5 א. נמצא את נגזרת הפונקציה :f(). f() = a + בנקודת הקיצון שבה = ערך הנגזרת הוא : a = f'() = a = f() = ln(+ התקבלה הפונקציה ( ב. הפונקציה f() מוגדרת כאשר > +, כלומר עבור - > תחום ההגדרה של הפונקציה f() הוא התחום - > העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

5 ג. נבדוק האם לפונקציה f() יש נקודות קיצון נוספות: (+ ) + ( )( + ) f'() = = = = + (+ ) (+ ) (+ ) לשבר שהתקבל יש שתי נקודות אפס, אבל רק = נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה.f() כלומר, לפונקציה f() אין נקודות קיצון נוספות חוץ מהנקודה שבה =. בתחום <- < הפונקציה f() יורדת בתחום > הפונקציה f() עולה. < < = > f '() - + f() ln. עולה יורדת y ד. כדי למצוא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y נציב = :.y = f() = ה. f() = ו. 9 ln.9 לפונקציה f() יש שתי נקודות אפס: = ונקודה הנמצאת בין = ובין =, מכיוון ש: >()f ו- f()> פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

6 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה a = b = a, a = b א. נסמן : b = (b-a) הוא a n הפרש הסדרה מנת הסדרה b היא q= b a n b a +(b-a) = a a אפשר לכתוב כך: a5 = b את הנתון b -a= b a /:a b a -=(b a ) q -q += q =, q = אם = q, אז כל איברי הסדרה b זהים ולפי הנתון הם שונים. n מנת הסדרה b היא. n S ב. הסכום של עשרת האיברים ראשונים של הסדרה a הוא: n = (a+9(b-a)) =5(9b-7a) S = (a+5(b-a)) =(5b-a) :a n הסכום של ששת האיברים ראשונים של הסדרה העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

7 כעת יש לחשב את היחס בין שני הביטויים, כאשר הערך של כל אחד מהביטויים אינו ידוע. איננו יודעים את ערכי המשתנים a ו- b, אך אנו יודעים את ערך היחס ביניהם q. ניעזר בנתון זה: S S = 5(9b-7a) /:a (5b-a) /:a = 5(9q-7) (5q-) 5(9-7) = (5 -) = = 5 9 = 7 9 סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה a גדול מהסכום של ששת האיברים הראשונים של הסדרה n a n פי. 7 9 פתרון לשאלה לא נוח לפתור משימה זו בעזרת הנתונים. נוכל לענות על כל השאלות על הפירמידה, אם נדע את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. במקרים כאלה יש לסמן את אורך צלע הבסיס, להביע אותו באמצעות S ולמצוא את אורך צלע הבסיס כפתרון המשוואה. לאחר מכן נוכל לענות על כל השאלות. D א. נסמן ב- a את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה. במשולש שווה שוקיים וישר זווית :DCB BC = a + a = a C הוא תיכון וגובה במשולש שווה DK,CB אמצע הקטע - K A O B K שוקיים.DCB, BD = a, BK = במשולש ישר זווית a :BKD a לפי משפט פיתגורס, KD = BD BK = a = a. שטח של כל פאה צדדית של הפירמידה הוא a שטח המעטפת של הפירמידה הוא סכום השטחים של שלושה משולשים שווי שוקיים חופפים: a. = S a= S. אורך צלע הבסיס BC = a = S S אורך המקצוע הצדדי הוא פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

8 ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי DB ובין הבסיס היא הזווית DBO )הזווית שבין DB לבין היטלו BO במישור.)ABC DO הוא גובה הפירמידה. בפירמידה ישרה עקב הגובה )נקודה O( הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש שווה צלעות זאת נקודת החיתוך של תיכונים במשולש. OB a a של התיכון במשולש שווה צלעות :ABC = = קטע OB הוא a a לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית DO = DB OB = a = :DOB. sindbo = DO a במשולש ישר זווית SBO 5. :BOD = = DB a פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q 5 א. נכתוב את הנתונים עבור שנת :5 =,M, =, M = 7.5 עלינו למצוא את.q 5 q=. q = 7.5 = = 7.5 q 5.M.q =., =, M עלינו למצוא את נכתוב את הנתונים עבור שנת :5 7.5 = M = בשנת 5 יהיו ביער 9. מיליון טונות של עץ. ב. נכתוב את הנתונים עבור שש שנים: = q =., M = M. = 8M במהלך שש שנים כמות העץ ביער גדלה פי שמונה או ב- 7%.. עלינו למצוא את M. = M ג. כאשר כמות העץ ביער מכפילה את עצמה:. = M = M. = log. כמות העץ ביער מכפילה את עצמה בכל שנתיים. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

9 פתרון לשאלה כדי לפתור משימה זו יש לבצע שלבים רבים שאינם כתובים כסעיפים בשאלה. חלק חשוב בפתרון המשימה הוא תכנון. תכנון אפשרי: )( נמצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים. )( נמצא איזה גרף הוא גרף הפונקציה f() ואיזה גרף הוא גרף הפונקציה.g() S )( נחשב את השטח S )( נחשב את השטח. S S )5( נחשב את היחס בין שני השטחים )( נמצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים: + cos = sin + (cos ) = sin cos cos = sin cos cos (cos sin ) = או cos= cos= sin אז בתחום הנתון =, = )( פונקציה f() היא פונקציה זוגית והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה- y הגרף המתאים לה הוא הגרף I בשרטוט, פונקציה g() היא פונקציה אי-זוגית והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים הגרף המתאים לה הוא הגרף II בשרטוט. : = מאפס עד נקודת החיתוך בגבולות הוא השטח המוגבל בשני הגרפים ובציר ה- y S )( השטח S = (f() g())d ( cos sin)d ( sin = + = + + sin = ( + + cos sin cos ) ( + + ) = cos פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

10 S מורכב משני חלקים - החלק הראשון מתחת גרף הפונקציה g() והחלק השני מתחת גרף )( השטח הפונקציה :f() S = (g()d + (f()d= sin d + (+ cos)d = cos ( ) ( sin ) ( ) ( ) ( = + + = + + ) = S S )5 ) היחס בין שני השטחים = פתרון לשאלה 5 א. גרף מתאים לפונקציה יורדת, כלומר לפונקציה,g() =.5 כי בסיס הפונקציה המעריכית קטן מ-. גרף מתאים לפונקציה יורדת, כלומר לפונקציה,f() = כי בסיס הפונקציה המעריכית גדול מ-. ב. לפי הגרפים, ערך הפונקציה f() = קטן מערך מתאים של הפונקציה g() =.5 כאשר <. פתרון האי-שוויון < - הוא <. = + = + = + = S f()d g()d d.5 d =. ln ln.5 ln ln ln ג. שטח המוגבל בשני הגרפים, בציר ה-, בישר -= ובישר = הוא. ln ד. בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה g() עם ציר ה- y. = נמצא ()'g ו-( g( : g() =, g'() = ln.5 = ln g'() =.5 ln.5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

11 y= ln + משוואת המשיק: y f() S = (f() ( ln)d = ( + ln)d = ( ln ln ) ( ln ln ) = + = + = ln = ln + ln.79 ה. השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f() המשיק. + והישר = הוא ln ln.79 פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

12 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. a הוא האיבר הראשון, d הוא הפרש הסדרה n a, הוא מספר האיברים בסדרה a. נכתוב את כל n n הנתונים דרך שלושת המשתנים האלה: a + (a האיבר הראשון והאיבר האחרון הם מספרים נגדיים: = d(n-)) + הסכום של האיבר הרביעי ושל האיבר החמישי הוא 5 : a + 7d = 5 (a + d) + (a + d) = 5 a n הוא." יש דרכים שונות לכתוב את הנתון הסכום של חמשת האיברים האחרונים בסדרה a n בסדר הפוך )מהסוף להתחלה(, אז תתקבל סדרה חשבונית שימו לב, אם נכתוב את הסדרה. d וההפרש -a שהאיבר הראשון שלה הוא חמשת האיברים האחרונים בסדרה a הם חמשת האיברים הראשונים בסדרה זו: n a = d a d = 5(-a -d) = :a נציב במשוואה 5 = 7d + a = = 8 d = ( d ) + 7d = 5 n = -8 + (-8 + (n - ) = a + (a כדי למצוא את n נציב כך: = )) - (n + d בסדרה a n יש איברים. ב. כדי למצוא מספר איברים חיובים בסדרה, נכתוב נוסחה לאיבר הכללי: a n = -8 + (n - ) -8 + (n - ) > n>7 כלומר, האיברים החיוביים בסדרה הם איברי הסדרה מהאיבר השמיני ועד האיבר האחרון שמספרו. בסדרה יש שישה איברים חיוביים. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

13 פתרון לשאלה לא נוח לפתור משימה זו בעזרת הנתונים. נוכל לענות על כל השאלות על הפירמידה, אם נדע את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. במקרים כאלה יש לסמן את אורך צלע הבסיס, להביע אותו באמצעות S ולמצוא את אורך צלע הבסיס כפתרון המשוואה. לאחר מכן נוכל לענות על כל השאלות. S נסמן ב- a את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. אז שטח הבסיס הוא a. לפי הנתון, שטח המעטפת של הפירמידה גדול פי שלושה משטח הבסיס, לכן הוא a, אז שטחה של כל פאה צדדית הוא. a.asb הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים SK,AB אמצע הקטע - K שטחה של כל פאה צדדית : ABS = = = D AB SK a SK a SK a A K B O C לפי משפט פיתגורס, במשולש : KSB 9a a = KS + BK = + = a א. הזווית שבין הפאה הצדדית ABS ובין הבסיס היא הזווית SKO )הזווית בין שני האנכים לישר החיתוך BC של מישורים אלה(. :KOS הוא גובהה של הפירמידה. במשולש ישר זווית - SO 9a a OS = KS OK = = a cos SKO KO = = SKO 7.5 KS,KS= KO = a לפי משפט פיתגורס: a פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

14 ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי SB ובין הבסיס היא הזווית SBO )הזווית שבין SB לבין היטלו BO במישור.)ABC במשולש ישר זווית :BOS sin SBO SO a = = = SBO. BS a 5 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q שימו לב! במשימה זו נוח לקחת ארבעה חודשים כיחידת זמן..M, M,, q.95 עלינו למצוא את א. נרשום את הנתונים עבור מחשב בן שנתיים: = = = M = 79 = M מחירו של מחשב חדש הוא כ-,79 ש"ח. ב. כאשר ערך המחשב הוא חצי ממחירו המקורי, אלה הם הנתונים: q. =,.95 M =.5M עלינו למצוא את..5M = M =.5 log.5 = log.5 = log.95 כלומר, ערך המחשב יורד לחצי ממחירו המקורי בתוך כתשע יחידות זמן של ארבעה חודשים או בתוך שלוש שנים. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

15 פתרון לשאלה כדי לפתור משימה זו יש לבצע שלבים רבים שאינם כתובים כסעיפים בשאלה. חלק חשוב בפתרון המשימה הוא תכנון. תכנון אפשרי: )( נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( נבדוק האם הפונקציה היא פונקציה מחזורית ונמצא את המחזור היסודי שלה )( נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ותחומי העלייה והירידה )( נמצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים )5( נשרטט את הסקיצה של גרף הפונקציה. )( תחום הפונקציה מוגדרת עבור כל ערך של כי מכנה השבר לא יכול להיות שווה ל-. )( הפונקציה היא פונקציה מחזורית. המחזור היסודי שלה הוא p: cos(+ ) cos f(+ ) = f() sin(+ ) = = sin מספיק לחקור את הפונקציה בתחום שגודלו p, ניקח את התחום p. p )( למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה,f() נמצא נקודות אפס של פונקציה נגזרת של הפונקציה: (cos)'( sin) cos( sin)' sin ( sin ) cos ( cos) f'() = = = ( sin) ( sin) sin cos sin sin = + + = ( sin) (( sin ) sin כאשר =.5 f '() = פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

16 בתחום -p p אלה נקודות =,= 5 < < 5 < < 5 5 < f '() f() - עולה יורדת עולה מינימום מקסימום )( נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- y : ()f. = נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- : cos y= f() = = cos = = sin, = )5( y 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

17 פתרון לשאלה 5 F'() = ' ln + (ln )' = ln + = ln א. תחום ההגדרה של הפונקציה f() הוא >. הוכחנו כי f(). F'() = כלומר, הפונקציה F() היא פונקציה קדומה של הפונקציה f() בתחום ההגדרה שלה. ב. אם הפונקציה G() היא גם פונקציה קדומה של הפונקציה,f() אז היא שונה מהפונקציה הקדומה G() = F() + C = ln- + C במספר קבוע: F() נתון כי = :G(e) G(e) = e lne-e + C = C = התקבלה הפונקציה + ln- G() = ג. = f() f'() =,f'() =, משוואת המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה = : y=- S = ( f())d = ( ln)d = = ( F()) = ( (ln )) = = ( ln) = ( 9 = ln) ln.7 ד. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

18 y השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f() המשיק לה בנקודה = והישר = הוא.7 ln 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

19 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה b b n+ n :b n א. נמצא את היחס בין שני איברים סמוכים בסדרה a n+ +.5a n +.5(a n +) = = = =.5 a + a + a + n n n היחס הוא מספר קבוע =.5 q q <, כלומר, סדרה b היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. n S =b q n - n q - ב. )( נשתמש בנוסחת הסכום של האיברים הראשונים של סדרה הנדסית. b = a קודם נמצא = S =.5 - =.75 b n הוא.75 הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה a n אינה סדרה הנדסית, אז אי אפשר להשתמש בנוסחת סכום האיברים הראשונים של )( הסדרה b n ובתוצאה של הסעיף הקודם: = a n סדרה הנדסית. אבל אפשר להשתמש בנתון + a + a + a + a = (b - ) + (b - ) + (b - ) + (b - ) = S - =.75- = -.5 :a n מחשבים יש אפשרות נוספת למצוא את הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה a n ומחברים אותם: את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה a =, a =.5a =, a =.5a =.5, a =.5a =.75 a n הוא -.5 הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

20 פתרון לשאלה לא נוח לפתור משימה זו בעזרת הנתונים. נוכל לענות על כל השאלות על הפירמידה, אם נדע את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. במקרים כאלה יש לסמן את אורך צלע הבסיס, להביע אותו באמצעות הנתון ולמצוא את אורך צלע הבסיס כפתרון המשוואה. לאחר מכן נוכל לענות על כל השאלות. נסמן ב- a את אורך צלע הבסיס של הפירמידה. - K אמצע הקטע CK,AB הוא תיכון וגובה במשולש שווה צלעות.ACB D לפי משפט פיתגורס במשולש : KCB KC = BC -BK = a - a = a. C AB CK = a a = a שטח הבסיס: A K O B לפי הנתון, שטח המעטפת של הפירמידה גדול פי שניים משטח הבסיס,, a מכאן אז שטח מעטפת הוא. a שטחה של כל פאה צדדית הוא לכן, S = = = = AB DK a DK a DK a א. הזווית שבין הפאה הצדדית DAB ובין הבסיס היא הזווית DKO )הזווית בין שני האנכים לישר החיתוך BA של מישורים אלה(. - SO גובה של הפירמידה. OK = KC = a במשולש ישר זווית,KD = a : KOD cos DKO KO = = DKO = KD העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

21 a a a לפי משפט פיתגורס : = = OK OD = KD 9 ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי CD ובין הבסיס היא הזווית DCO )הזווית שבין CD לבין היטלו CO במישור.)ABC OC = CK = a a =,OD= a במשולש ישר זווית :DOC an DCO = DO a = = OC : DCO.89 a פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. נכתוב את הנתונים עבור חמש שנים: = 5, M =.M q = 5..7 q 5 =..M = M q מספר הסטודנטים במדינה עולה ב-.7% בכל שנת לימודים. 5 ב. בסעיף זה נוח לקחת =, M בשנת הלימודים ו- M מספר הסטודנטים בשנת הלימודים : M, M עלינו למצוא את =,, = 8, q =.7 8 M =,,7, בשנת הלימודים יהיו במדינה כ-, סטודנטים. פתרון לשאלה א. בנקודה שגרף הפונקציה f() משיק לישר = y שיפוע ה של הפונקציה וערך הנגזרת שלה הוא אפס. נמצא את נגזרת הפונקציה f() לפי נוסחת הנגזרת של פונקצית מנה: cos(a sin) sin ( cos) acos f'() = = (a sin) (a sin) פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

22 = זאת הנקודה p בתחום.cos כאשר = f '() = sin f( ) לפי הנתון הערך של y בנקודת ההשקה הוא = : a = = a = a sin sin ב. פונקציה = f() מוגדרת לכל ערכי ה- כי הביטוי במכנה לא שווה ל-. sin למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נשתמש בנגזרת של הפונקציה שמצאנו בסעיף א: cos f'() = ( sin) : = cos = בלבד. בתחום p זאת הנקודה = הנגזרת מוגדרת לכל ערכי ה- ושווה לאפס בנקודה = < r < f '() + - f() יורדת עולה מקסימום הפונקציה f() עולה בתחום < ויורדת בתחום <. ג. כדי למצוא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y : נציב = לפונקציה :f() y = sin כדי למצוא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : f() = = sin בתחום p אלה הנקודות. =, = p גרף הפונקציה f() עובר דרך ראשית הצירים וחותך את ציר ה- בנקודה. = p העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

23 y ד. r p פתרון לשאלה 5 א. הפונקציה f() מוגדרת עבור כל ערכי ה-, כי מכנה השבר לא יכול להיות שווה לאפס. ב. למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמצא את הנגזרת שלה לפי נוסחת הנגזרת של פונקציית מנה: e( + ) e e( ) f'() = = ( + ) ( + ) < > f '() + + f() = e עולה עולה אין קיצון מסקנה כלומר, הפונקציה f() עולה בכל תחום הגדרתה. לפונקציה f() אין נקודות קיצון. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

24 ג. נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y : כאשר =.f() =, נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y היא ) (., נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : = f(), y = גרף הפונקציה f() לא חותך את ציר ה-. לכל ערך של, ערך מכוון ש- > e+ הפונקציה f() הוא חיובי. ה. אם המשיק לגרף הפונקציה f() מקביל לציר ה-, אז ערך הנגזרת בנקודת ההשקה הוא : e( ) f'() = ( + ) עבור =, = y = e. y = משוואת המשיק בנקודה = : e f() y= f'()( ) + או משוואת המשיק המקביל לציר ה- e. y = היא העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

25 פתרון מבחן מס' 5 פתרון לשאלה :b n א. נמצא את היחס בין איברים סמוכים בסדרה b b n+ n = a a (n+) n = a a n+ n =q =-.5 b n הוא מספר קבוע.5-. הערך המוחלט של היחס קטן מ-. היחס בין איברים סמוכים בסדרה b n היא.-.5 זאת אומרת כי סדרה b היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. מנת הסדרה n :b n ב. יש למצוא יחס בין סכום הסדרה a לסכום הסדרה n שימו לב, איננו יכולים למצוא את הסכומים של סדרות אלו, כי אין נתונים למציאת האיברים הראשונים שלהן, אך אפשר למצוא את היחס בין הסכומים: S S = a -(-.5) : a (-.5) a -(-.5) b = a.5 :.5a.5 = = b n פי. סכום הסדרה a גדולה מסכום הסדרה n פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

26 פתרון לשאלה A נסמן ב- a את גודל הזווית.BAC א. במשולש ישר זווית : ABC BC AB sinα= BC = AC sinα= sin α;cosα= AB = AC sinα= cos α AC AC D בפירמידה ישרה עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש ישר זווית ABC מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר AC )נקודה - O O(. אמצע הקטע,AC a C.ACD הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים DO הזווית שבין המקצוע הצדדי CD ובין הבסיס של a O הפירמידה היא זווית.DCO B לפי הנתון: DCO= BAC =α במשולש ישר זווית : DOC DO anα= h= DO= OC anα= anα OC נפח הפירמידה: V S h sin cos an sin 5 sin = ; ABC = α α α= α= α= α= BC = sinα=,ab= cosα=, h= DO = anα= גודל הזווית שבין המקצוע הצדדי ובין הבסיס הוא ב. משולש ADC הוא משולש שווה צלעות, כלומר =AC=DC=AD ס"מ. שטח המעטפה של הפירמידה הוא סכום שטחי שלושת המשולשים שהם הפאות הצדדיות. AC DO שטח המשולש :ADC = AD גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים ( AB ) = 5 = 75 = 5 5 :ABD העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

27 . שטח המשולש :ADB 5 = BD גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים ( CB ) = 75 = 5 = 5 :CBD. שטח המשולש :CDB 9 = 5 5 שטח המעטפה של הפירמידה: פתרון לשאלה. M M q = נוסחת גידול ודעיכה:.q נמצא את, = 5, M = 8, M א. נרשום את הנתונים מ-. עד ב. : = 5 8 q =..7 q = =. 8 = 5 q כעבור שנה אלה הם הנתונים: =.7 q =, M = M.7 M.5 כעבור שנה כמות תרנגולי ההודו בחווה תגדל ב- 5.%. M =,, M ב. כאשר כמות תרנגולי ההודו בחווה תגיע ל-, הנתונים הם: =.7 q,5 =,.7 =.85 = = log כלומר, כמות תרנגולי ההודו בחווה תגיע ל-, בעוד פחות מ- 7 חודשים או בחודש מאי בשנה הבאה. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

28 פתרון לשאלה א. בגרף רואים כי: a מכאן =,f() = acos bsin = a אז = f() = )( r r )( היא נקודת מקסימום של הפונקציה,f() לכן = ) '(.f 8 8 f'() = sin bcos f'( ) = sin bcos = 8 = b = (+ b) = b= קיבלנו את הפונקציה.f() = cos + sin ב. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : f() = cos + sin = /:cos an = אז בתחום הנתון 7 7 = או = = או = , 7 גרף הפונקציה f() בתחום p חותך את ציר ה- בשתי הנקודות = = S = f()d = (cos + sin )d = ((sin cos) 8 ) = ג. (sin 7 cos 7 ) (sin cos = + ) = + =.8 השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f() ועל ידי ציר ה- בתחום p הוא.8. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

29 פתרון לשאלה 5 a b :f() משמע כי =, = בנקודה חותך את ציר ה- f() = א. גרף הפונקציה f() = a b= a= b a a ולכן אפשר לכתוב = f().. f() =, f'() = a b גרף הפונקציה = f() משיק לישר =y, משמע כי בנקודת ההשקה: a a a a a( ). זאת אומרת שבנקודת ההשקה = f'() = + = + = = a a a f() = = = a= b= f'() = התקבלה הפונקציה:. כאשר = f '() - = ו- ( f'() ) ב. בסעיף הקודם מצאנו כי < < > f '() + - f() יורדת עולה מקסימום מסקנה הפונקציה עולה בתחום < <, יורדת בתחום >. בנקודה = לפונקציה f() יש נקודת מקסימום. ג. השטח המבוקש הוא שטח המלבן פחות השטח שנמצא מתחת לגרף הפונקציה f() מ- עד. S = f()d = ( )d= (ln + ) = (ln + ) = ln. השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,f() המשיק =y ושני הצירים הוא.. ln פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

30 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה.b n = 5 - a n a n נובע כי + b n א. מהנתון = 5 נמצא: b n + - b n = (5-a n + ) - (5 - a n ) = - (a n + - a n ) = b n היא סדרה ההפרש בין איברים סמוכים בסדרה b הוא מספר קבוע חיובי. מכאן שהסדרה n חשבונית עולה..a n ב. )( יש שתי דרכים שונות למצוא את הסכום של ששת האיברים הראשונים של הסדרה דרך : נתון: סכום ששת האיברים הראשונים של הסדרה b הוא 5. n (b + 5) S = =5 b = -5 a = 5 - (-5) = ( - 5) S = =5 :a n סכום ששת האיברים הראשונים של הסדרה דרך : a + a + a + a + a 5 + a = (5-b ) + (5-b ) + + (5-b ) = -(b + b + b + b + b 5 + b ) = = -5 = 5 סכום ששת האיברים הראשונים של הסדרה a הוא 5. n b 7 = b + = = )( a 8 = a + 7 ( ) = = b 7 + a 8 = העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

31 פתרון לשאלה א. נתון כי בסיס התיבה הוא מלבן, היחס בין צלעות המלבן.AD:AB=: נסמן AD = BC = a מכאן.AB = DC = a S שטח הבסיס: = a. a a= a = S S הפאה הצדדית BCC'B היא ריבוע, כלומר = a BB' = CC' = BC = שטח הפנים של התיבה הוא סכום של שטח המעטפה ושטחי הבסיס: (AB + BC) BB' + AB BC = a + S = S + S = 5S D' C' ב. הזווית בין אלכסון התיבה AC' ובין בסיס התיבה היא זווית A' A D B B' C בין AC' לבין ההיטל שלו AC במישור,ABCD והיא זווית.CAC' במשולש ישר זווית BC = a, AB = a :ABC AC = AB + BC = a 5 לפי משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית :ACC' CC' a an CAC' = = = CAC'.9 AC a 5 5 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. )( נרשום את הנתונים עבור השקעה בבנק א לעשר שנים: =. q =, M = M..M כלומר, השקעה של עשר שנים בבנק א תיתן רווח של כ-.%.. עלינו למצוא את M, =.M )( נכתוב את הנתון עבור רווח של =. %: q, log. = log. = =..M = M.. log. השקעה בבנק א תקנה רווח של % בתוך תשע שנים. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

32 ב. )( נרשום את הנתונים עבור השקעה בבנק ב לעשר שנים: =, M =.M עלינו למצוא את q.. q =.. q =..M = M q כלומר, הריבית השנתית בבנק ב היא כ-.%. )( מכיוון ש- % גדולים מ-.%, בבנק א הריבית השנתית גבוהה יותר. פתרון לשאלה א. כדי למצוא תחומי עליה וירידה של הפונקציה f() נמצא נקודות אפס של פונקצית הנגזרת:. f'() = sin cos /:cos an = = בתחום הנתון = או = = או = אם p p אז טבלת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() בתחום p : p < < < < f '() f() עולה יורדת עולה מינימום מקסימום ו- <, הפונקציה f() עולה בתחומים: < הפונקציה f() יורדת בתחום < <. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

33 . f'() = sin ב. f() היא פונקציה קדומה של הפונקציה cos f() = (sin cos )d = cos sin + C נתון כי גרף הפונקציה f() עובר דרך ראשית הצירים, כלומר = ()f: f() = sin cos+ C= + C=, C= נציב בפונקציה :f() f() = cos sin + ג. שיעורי נקודות הקצה של הפונקציה f() בתחום : f( ) = f( ) = שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f() בתחום : f( ) cos( ) sin( = ) + = +.8 f( ) = cos( ) sin( ) + =.8 y ד. p p פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

34 פתרון לשאלה 5 א. הפונקציה f() מוגדרת עבור כל ערכי ה-. למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמצא את הנקודות שבהן פונקציית הנגזרת שווה לאפס: + f'() = e e = e(e e ) = = < > f'() + - f() יורדת e עולה מקסימום מסקנה כלומר, הפונקציה f() עולה בתחום <. הפונקציה f() יורדת בתחום > לפונקציה f() יש נקודת מקסימום (, e.) y נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y : כאשר =,. f() = e. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- y היא (, e-) שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- : + + y= f() = e e = e ( e ) = = + ln.9 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

35 גרף הפונקציה f() חותך את ציר ה- בנקודה ).)+ln, בכל התחום שבו < +ln ערך הפונקציה f() הוא מספר חיובי. בכל התחום שבו > +ln ערך הפונקציה f() הוא מספר שלילי. ב. השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לשני הצירים הוא.7 +e e פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

36 פתרון מבחן מס' 7 פתרון לשאלה n(a +d(n -)) S n א. נשתמש בנוסחת הסכום של איברים ראשונים בסדרה חשבונית: = S -S = S סכום האיברים, מהאיבר ה- עד האיבר ה-, הוא: 75- נכתוב את הנתונים כמערכת משוואות: d = d = a +9d =5 a +9d = 5 (a + 9d)) = 75 (a +9d)) - 75 = 75 a = -.5 a נציב את = d במשוואה הראשונה: = ב. הסכום של n איברי הסדרה, החל מהאיבר התשיעי, הוא ההפרש בין הסכום של + 8 n האיברים הראשונים של הסדרה לבין סכום שמונת האיברים הראשונים של הסדרה. 8( + 7)) נמצא את סכום שמונת האיברים הראשונים של הסדרה: = = S8 נכתוב את הנתון סכום איברי הסדרה החל מאיבר התשיעי הוא " כמשוואה: S -S = (n+8)(-+(n+7)) -= n+8 8 (n + 8) (n + ) = 7 למשוואה הזו יש פתרון אחד טבעי = n כדי לקבל את הסכום יש לחבר מאיברי הסדרה החל מהאיבר התשיעי. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

37 פתרון לשאלה א. נסמן את אורך הצלע של הריבוע בבסיס התיבה ב-. מכאן אורך אלכסון הריבוע BD הוא. הזווית בין אלכסון התיבה BD' ובין בסיס התיבה היא הזווית DBD' )זווית בין BD' לבין ההיטל שלו A' A D' D B B' C' C.)ABCD במישור BD נתון: = DBD'. במשולש ישר זווית DBD' BD cos DBD' = = = = a BD' a BD = = לפי משפט פיתגורס:. V= h = = 8 a a a )( נפח התיבה: )( שטח הפנים של התיבה הוא סכום של שטח המעטפה ושטחי הבסיס: a + = + = + a a a a(.5 8 ).97a ב. הזווית בין אלכסון התיבה BD' ובין הפאה הצדדית ABB'A' היא הזווית A'BD' )זווית בין BD' לבין ההיטל שלו A'B במישור.)AA'B'B במשולש ישר זווית A'BD' BD' = a,a'd' = = a אז A'D' a sin A'BD' BD' :a = = = A'BD'. DD' h BD' BD a a a = = = = D' C' A' B' D C A B פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

38 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. נמצא בעוד כמה שנים סכום הכסף 9, ש"ח מגיע ל-, ש"ח:. עלינו למצוא את M. = 9,, M הנתונים המתאימים הם: =.55 q,, =, = 9,.55.=.55 = log.= log. log כלומר, במשך שנתיים האדם יקבל רווח שנתי של 5.5% ובמשך ארבע שנים הוא יקבל רווח שנתי של.5%. ב. תחילה נמצא מה סכום הכסף שאדם יקבל עבור שנתיים ברווח שנתי של 5.5%: הנתונים המתאימים הם =.55 q,m = 9,, =, עלינו למצוא את M. M = 9,.55 =,7.5 בתקופה של ארבע שנים הסכום ההתחלתי M הוא,7.5 ש"ח. =, M נרשום את הנתונים עבור ארבע שנים ברווח שנתי =.5.5%: q,,7.5 = M =, ,87 הרווח עבור תקופה של שש שנים: = 8,87 8,87-9, עבור תקופה של שש שנים האדם מקבל רווח של כ- 8,87 ש"ח. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

39 פתרון לשאלה א. לכל ערך של מתקיים: f( ) cos + sin(+ ) + = = cos( ) sin( + 8 ) cos sin = + = = f() כלומר, פונקציה f() היא פונקציה מחזורית ו- p הוא מחזור שלה. ב. נכתוב את משוואת המשיק בנקודה : = p f'() sin cos f'( ) sin = = cos( ) = = sin( ) f( ) = cos = משוואת המשיק בנקודה = p היא = y וזה ציר ה-. sin( ) בנקודה f( ) = cos = : = p הנקודה (, p) היא נקודה משותפת של גרף הפונקציה f() ושל ציר ה- X, אבל היא לא נקודת ההשקה כי = = ). f'( ) = sin cos( S = f()d (cos sin = ) = (sin cos cos cos( ) = + ) = (sin + ) (sin + ) = 8 ג. השטח המוגבל בגרף הפונקציה f() ובציר ה- X בתחום p p הוא 8. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

40 פתרון לשאלה 5 א. בגרף I ניתן לראות שהפונקציה המתאימה לו עולה בתחום < < ויורדת בתחום >. בגרף II ניתן לראות שהפונקציה המתאימה לו חיובית בתחום < < ושלילית בתחום >. כלומר, גרף I מתאים לפונקציה f() וגרף II מתאים לפונקציה.f'() ב. בגרף II אפשר לראות שהנקודה = היא נקודת האפס של פונקציה.f'() נמצא את הנגזרת של f'() = הפונקציה f() לפי נוסחת הנגזרת של פונקציית מנה: (a+ ln) a ln = a ln f'() = = a= a= = = + ln a,f() = ln נקבל:,f'() ג. למציאת תחומי העלייה והירידה ונקודות הקיצון של הפונקציה f'() נמצא את פונקציית הנגזרת שלה: (f '())' + ln ln = = ln e = = =.5 < < e.5 e.5 >e.5 (f'())' - + f'() עולה יורדת - e מינימום מסקנה העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

41 < < הפונקציה f'() יורדת בתחום e.5 > הפונקציה f'() עולה בתחום e.5.5.f'() היא נקודת המינימום של הפונקציה e), - הנקודה ) e ד. הפונקציה f() היא פונקציה קדומה של הפונקציה.f'() = = + ln f'()d f() = + ln.5 = ln f'()d= ln פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

42 פתרון מבחן מס' 8 פתרון לשאלה א. בעזרת נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית ניתן לכתוב את הנתונים כמערכת משוואות של שני :d ו- a משתנים a +d a +7d =.5 / (a +7d) (a +d)(a +8d) = a +d a + 7d =.5 (a +d)(a +8d) = a לאחר פישוט המשוואה הראשונה קיבלנו 9d = לאחר שנציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה נקבל: = d יש שתי אפשרויות: a = a + d = - a = 9d = 8 d = )( יש למצוא את מספרו של איבר הסדרה השווה ל- :.n = -8 + (n-) או = a + d(n-) = a = a + d = a = 9d = 8 d = - )( יש למצוא מספרו של איבר הסדרה השווה ל- -: n = 8-(n-) = או - a + d(n-) = - בכל אחת משתי האפשרויות מספרו של איבר הסדרה הנגדי לאיבר הרביעי הוא. ב. איברי הסדרה הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית בעלת הפרש d המתחילה a. n יש למצוא את הסכום של 7 האיברים הראשונים של הסדרה. מהאיבר השני של הסדרה לפי שתי האפשרויות שקיבלנו בפתרון של סעיף א: a = -8, a = -, d =. a 7 (- + ) S 7 = = העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

43 7 ( - ) S 7 = = a = 8, a =, d = -. b a + a + a +. + a בכל אחת משתי האפשרויות: = פתרון לשאלה א. במשולש ישר זווית 8=AC :ABC ס"מ, BAC= 5. sin BAC = BC BC = AC sin5 = AC כלומר, אורך צלע הבסיס הוא ס"מ. שטח המעטפה של הפירמידה הוא סכום שטחי ארבעה משולשים חופפים שהם הפאות הצדדיות. S הנקודה K היא אמצע הקטע.AB.ASB הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים SK שטח המעטפה של הפירמידה: A K B O D C S= AB SK = SK = 8 SK = SK = במשולש ישר זווית SK =,AK = : SKA לפי משפט פיתגורס: AS = AK + KS = 8+ = = ב. הקטע SO הוא גובה הפירמידה. כיוון שהפירמידה SABCD היא פירמידה ישרה, הנקודה O היא אמצע האלכסון.AC פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב

44 S SK =,OK = BC = Sin KSO = OK = KSO= SK במשולש ישר זווית :SOK A K B O D C פתרון לשאלה א. נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q נרשום את הנתונים המתאימים לגודל האוכלוסייה בעיר מלפני שנתיים עד היום: q. עלינו למצוא את M. =,, M =,, =, q =..7 q =., =, q, נרשום את הנתונים המתאימים לגודל האוכלוסייה מהיום עד חמש שנים מהיום: M.q =.7, M עלינו למצוא את =,, = 5 5 M =..7,5 כעבור חמש שנים גודל האוכלוסייה בעיר יהיה כ-,5 תושבים. M ב. נרשום את הנתונים המתאימים לגודל האוכלוסייה מהיום ועד שיהיו בעיר, תושבים: =. עלינו למצוא את,,, M =,, q =.7.7, =.5, =..7, log.5 = log.5 =.5.7 log.7 כלומר, בעוד בערך.5 שנים יהיו בעיר, תושבים. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

45 פתרון לשאלה א. בגרף רואים כי > '(),f כאשר < < וכאשר f '() <, < < כאשר < 5 5. < כלומר, פונקציה f() עולה בתחום < < ובתחום < <, ויורדת בתחום < 5 5. < ב. המשיק לגרף הפונקציה f() מקביל לציר ה- X כאשר = ()' f.. = 5 לפי הגרף, זאת הנקודות אשר = או y ג. הפונקציה f() היא פונקציה קדומה לפונקציה cos :f '() = f() = (cos )d= sin + C f() = sin + C= C= לפי הנתון = :f() = f'() = cos התקבלה הפונקציה + f() = sin ד ה. שימו לב! מדובר על גרף הפונקציה ()' f ולא על גרף הפונקציה.f() S= f'()d = f() = (sin + ) = 5 (sin 5 5 ) (sin ) = = +.8 שטח המוגבל בגרף הנתון של פונקציה ()' f ובציר ה- הוא פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

46 פתרון לשאלה 5 א. נתון כי הנקודה ),( היא נקודת קיצון של הפונקציה.f() זאת אומרת כי = ()f, ()'f = אז + a + a + a f'() = e f'() = e = e = + a= a= f() = e + b= b=.f() = - e מכאן, התקבלה הפונקציה - +,a = -, b= f'() = e = e = = = ב. < > f '() + - f() יורדת עולה מקסימום מסקנה לפונקציה f() יש נקודת מקסימום ),( ואין נקודות קיצון נוספות. הפונקציה עולה בתחום <, הפונקציה יורדת בתחום >. y ג. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

47 ד. אם לגרף הפונקציה f() יש משיק המקביל לישר,y= אז הנגזרת בנקודת ההשקה שווה לשיפוע של הישר y = שהוא : f'() = e =, e = אבל המשוואה אינה יכולה להתקיים כיוון שלכל ערך של e - >, כלומר, לגרף הפונקציה f() אין משיק המקביל לישר y. = פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 7

48 פתרון מבחן מס' 9 פתרון לשאלה א. אם בסדרה יש מספר אי-זוגי של איברים, אז מספר האיברים במקומות האי-זוגיים גדול ב- ממספר האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. נסמן ב- n את מספר האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים, במקומות האי-זוגיים נמצאים ( + n) האיברים. האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית:,8,, האיבר הראשון שלה הוא, הפרש הסדרה. סכום של + n האיברים ראשונים של הסדרה הזו: S = n+ (n + ) ( + (n + -)) =n +n איברים הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית:.,,, האיבר הראשון שלה הוא, הפרש הסדרה. הסכום של n האיברים הראשונים של הסדרה הזו: S = n n( + (n - )) =n לפי הנתון: ) n + n =.(n למשוואה הזו יש פתרון אחד טבעי = 5 n.n - n = /:. n -5n = חמישה איברים נמצאים במקומות הזוגיים, שישה איברים נמצאים במקומות האי-זוגיים, ובסך הכול יש בסדרה איברים. 8 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

49 S = a ב. האיבר האחרון בסדרה: = = + לפי נוסחת הסכום של איברים ראשונים של סדרה חשבונית: ( + ( - )) = - יש למצוא כך ש- = - למשוואה הזו יש פתרון אחד טבעי = 5 הסכום של חמשת האיברים הראשונים בסדרה המקורית שווה לאיבר האחרון של הסדרה. פתרון לשאלה :ABC לפי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית. AC = א. נסמן:,BC= אז 9 AB 5 = = לפי הנתון, פאה CBD היא משולש שווה צלעות, כלומר, BC = BD = DC = DK b אורך הגובה של המשולש = b = :CBD = = D בפירמידה ישרה כל מקצועותיה הצדדיים שווים: b BD = AD = CD = = B K C פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 9

50 בפירמידה ישרה, עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. במשולש ישר זווית ABC מרכז D המעגל החוסם הוא אמצע היתר AC )נקודה O(. לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית :DOC OC AC b = = = = b, CD = b A O B C b b 7 DO = DC OC = = b =.7b ב. הזווית שבין המקצוע הצדדי DC ובין הבסיס היא הזווית DCO )הזווית שבין DC לבין היטלו CO במישור.)ABC = OC אז במשולש ישר זווית b, CD = b :DOC cos DCO OC CD b:( b ) = = = DCO. פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. נרשום את הנתונים המתאימים לגדילת כמות האצות מ עד 5.5.8: q. עלינו למצוא את M. =,, M =,, =, q =.78.9 q =.78, =, q, כדי למצוא את אחוז גדילת כמות האצות בחצי שנה, נרשום את הנתונים הבאים: =.9 q =,.5.5 M = M.9.7M כמות האצות באגם גדלה ב-.7% בכל חצי שנה. 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

51 ב. מ עד 5..5 עברו.5 שנים. נרשום את הנתונים המתאימים לגדילת כמות האצות M M. עלינו למצוא את בתקופה זו: =.5,, q =.9, =.5 M =,.9 9, ב באגם יהיו כ- 9, ק"ג אצות. פתרון לשאלה f'() = cos asin f '( ) = cos asin = a = a = א. נתון כי = ) )'f אז: התקבלה הפונקציה f() = sin-cos. ב. נכתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה = נחשב:= f( ) = sin cos אז משוואת המשיק: = y הוא ציר ה-. הפונקציה f() = sin - cos היא פונקציה מחזורית בעלת המחזור p: f(+ ) = sin(+ ) cos(+ ) = sin cos = f() כלומר, לגרף הפונקציה f() יש אינסוף נקודות השקה לציר ה-. כאשר n הוא מספר שלם. = + אלה כל הנקודות מהצורה n ג. נמצא את כל נקודות בהן הנגזרת שווה ל- ונמלא את טבלת תחומי העלייה והירידה בתחום p : f'() = cos+ sin= sin + sin = ( sin )(+ sin ) sin= או sin = :, 7, = = בתחום p הנגזרת שווה ל- בנקודות = פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

52 < 5 < 5 5 < < < f '() f() - עולה יורדת עולה עולה מינימום מקסימום אין קיצון = לפונקציה f() יש מינימום בנקודה שבה 5 לפונקציה f() יש מקסימום בנקודה שבה = לפונקציה f() אין קיצון. בנקודה = ד. y 5 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

53 פתרון לשאלה 5 א. הפונקציה f() מוגדרת עבור כל ערכי. ב. למציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמצא את הנגזרת שלה: f'() e = = e = = ln.9 <ln ln >ln f'() + f() עולה. ln יורדת מינימום מסקנה הפונקציה f() עולה בתחום. > ln הפונקציה f() יורדת בתחום. < ln לפונקציה f() יש נקודת מינימום ln).(ln, y ג. נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם f() = e = ציר ה- y : כאשר =, גרף הפונקציה f() חותך את ציר ה- y בנקודה ), ( לגרף הפונקציה f() אין נקודות חיתוך עם ציר ה-. כי לפונקציה f() יש נקודת קיצון אחת, נקודה זו היא נקודת מינימום וערך הפונקציה בנקודה זו הוא חיובי. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 5

54 ה. פונקציה f() היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה :g() g'() = (e )' = e = f() כיוון שהפונקציה f() חיובית בכל תחום הגדרתה, הפונקציה g() עולה לכל. ו. נמצא את שיעורי נקודות החיתוך של שני הגרפים: f() = g() e = e =. או = = S = (g() f())d = ((e ) (e ))d = = ( )d = ( = = ) 8 השטח בין שני הגרפים של הפונקציות f() ו-( g( הוא y f() g() 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

55 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה שלושת המספרים הראשונים מהווים סדרה חשבונית: a, a + d, a + d לפי הנתון סכום של ארבעה מספרים הוא ", המספר האחרון הוא (d a)- + את הנתון: שלושה מספרים אחרונים מהווים סדרה הנדסית" נכתוב כפרופורציה: - (a + d) a + d = a + d a + d את הנתון "המספר הראשון קטן מהמספר האחרון פי.5" נכתוב כמשוואה: a)- + (d =.5a - (a + ( -.5a)) a + ( -.5a) = a + ( -.5a) a + ( -.5a) אחרי פישוט: d = -.5a נציב בפרופורציה: אחרי פישוט: = a.75a - למשוואה זו יש פתרון שלם אחד =.a נציב ב- d = d = -.5a ארבעת המספרים הם:, 8,, 8 פתרון לשאלה A' B' C' א. )( נקודה K היא אמצע הקטע.AC לכן BK הוא תיכון וגובה במשולש שווה שוקיים.ABC A C B פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 55

56 במשולש ישר זווית :ABK cos BAK AK = AK = AB cos = b AC = AK = b AB b BK = b sin = המשולש BA'C' הוא משולש שווה שוקיים: A'B = C'B כי קטעים אלה הם אלכסונים במלבנים חופפים. כיוון שהבסיסים של המנסרה הם מצולעים חופפים,.A'C' = AC במשולש BA'C' BM, הוא תיכון וגובה. לפי הנתון שטח המשולש BA'C' הוא.5b אז = = = A'C' BM b BM.5b BM b A' M C' לפי משפט פיתגורס: A'B ( b ) BM 5 = + = b + b = b B לפי משפט פיתגורס, במשולש ישר זווית :AA'B אורך המקצוע הצדדי של המנסרה, 5 AA' A'B AB b b b = = =.58b )( שטח הפנים של המנסרה: (AB+ BC+ AC) AA' + S = (b+ b ) b + AC BK = b ( + + ) b ABC 7.55b A' C' ב. הזווית בין האלכסון BC' ובין הפאה הצדדית AA'C'C היא הזווית B' שבין BC' להיטלו C'K במישור AA'C'C כלומר זווית.KC'B A K C הוא אנך ל- AA'C'C. BK אז C'C BK וגם AC BK B 5 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

57 BK b, BC' BA' b 5 במשולש ישר זוויתKC'B : = = = sin b KC'B = 5 C' = :(b ) =, KC'B.8 5 פתרון לשאלה נוסחת גידול ודעיכה:. M = M q א. בשאלה זאת נוח לקחת חצי שעה כיחידת זמן. נרשום את הנתונים המתאימים להתפרקות החומר משעה 8: בבוקר עד הצהריים: q. עלינו למצוא את M, =, M =, = 7 q =.7.89 q =.7 = q כמות החומר הרדיואקטיבי אחרי חצי שעה היא 8.9% מהכמות ההתחלתית. הכמות קטנה בזמן זה ב- 7.% = %-8.9% משקל החומר הרדיואקטיבי בכל חצי שעה קטן ב- 7.%. ב. נרשום את הנתונים עבור זמן מחצית החיים של החומר הרדיואקטיבי:. עלינו למצוא את,q =.89, M =.5 M נציב בנוסחה:.5 =.89.5M = M.89 = log לקחנו חצי שעה כיחידת זמן, אז.7 יחידת זמן הוא.85 שעות או שעה ו- 5 דקות. זמן מחצית החיים של החומר הרדיואקטיבי הוא שעה ו- 5 דקות. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 57

58 פתרון לשאלה א. גרף I הוא גרף הפונקציה f(( וגרף II הוא גרף פונקצית הנגזרת שלה כי תחומי העלייה והירידה בגרף I הם תחומי החיוביות ושליליות בגרף II בהתאמה. ב. הפונקציה f() היא פונקציה זוגית כי לכל ערך של מתקיים: f( ) = ( )sin( ) = ( ) ( sin ) = sin = f() נמצא את פונקצית הנגזרת של הפונקציה f() לפי כלל הנגזרת של המכפלה: f'() = ' sin + (sin )' = sin + cos f'( ) = sin( ) cos( ) = sin cos = f'() לכל ערך של מתקיים: פונקצית הנגזרת של הפונקציה f() היא פונקציה אי-זוגית. f'() = sin + cos f'( ) = sin + cos = ג. f( ) sin = =. y = או y = + משוואת המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה = היא ) ( S= f'()d = f() = (sin) = + sin.8 ד. השטח הצבוע בסרטוט הוא. sin העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.

59 פתרון לשאלה 5 א. לפי הגרף של פונקציית הנגזרת של הפונקציה( f( אפשר למלא את הטבלה. < < > f'() + - f() יורדת עולה מקסימום מסקנה פונקציה f() עולה בתחום < < פונקציה f() יורדת בתחום > לפונקציה f() יש נקודת קיצון אחת בתחום. זאת נקודת מקסימום ), (. ב. הטענה הנכונה היא טענה b "עבור כל ערכי ה- "f() כי בנקודת מקסימום = f() ואין נקודות y קיצון נוספות. ג. ראו גרף ד. נמצא ביטוי לפונקציה ()' f כנגזרת של פונקציה מכפלה: f'() = ( )e + ( )e = ( )e פונקציה f() היא פונקציה קדומה של הפונקציה :f'() S= f'()d = f() = ( )e = ( e) = e = השטח המוגבל בגרף הנתון ובציר ה- הוא. פוקוס במתמטיקה שאלון 585 אנטולי קורופטוב 59