מתמטיקה טריגונומטריה

Transcript

1 אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 5 לתלמידי 4 ו- יחידות לימוד כ- 50 תרגילים עם פתרונות מלאים

2 הקדמה ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים" הסדרה מיועדת לשימוש כהשלמה לכל ספר לימוד מקובל כל ספר בסדרה כולל בתוכו מגוון רחב של תרגילים המלווים בהסברים ובפתרונות מלאים ומפורטים כדי להתאים לצרכים רבים יותר ולהיות יעיל כספר עזר ספר זה מיועד לתלמידי 4 ו- 5 יח"ל הניגשים לשאלונים הוא מכסה את כל החומר היסודי בטריגונומטריה ומקנה טכניקות יעילות לפתרון בעיות כל פרק פותח בהצגה ברורה של הגדרות, משפטים ונוסחאות בשילוב הבהרות תשומת לב רבה הוקדשה לשיבוץ התרגילים בכל נושא לפי דרגות קושי התרגילים המסומנים ב- הם תרגילים יותר קשים ואתגריים התרגילים הפתורים משמשים לפישוט והבהרה של תיאוריה ומאפשרים לתלמיד לרכוש ידע, מיומנות וביטחון עצמי שחשובים מאוד להצלחה תודה מיוחדת לבארי ז'יבוטובסקי שעזר רבות בהכנת ספר זה, העיר הערות חשובות והארות מועילות תודה למורים צביה פורת, רומן דורפמן, ורה יונובה שבדקו את הספר מבחינה מקצועית ותרמו רבות מהידע שלהם בברכה ובהכרת טובה אקבל כל הערה והארה אלכס זיו -mil: zbooks@wllcom כל הזכויות שמורות לאלכס זיו

3 תוכן עניינים פרק : מושגי יסוד וזהויות מושגי יסוד הגדרות ונוסחאות, תרגילים אורך קשת שטח גזרה הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר-זווית הרחבת הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות על ידי מעגל היחידה הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות (טבלה) חיוביות ושליליות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנס זהויות טריגונומטריות ייצוג של פונקציות טריגונומטריות בעזרת זווית חדה הזהויות הטריגונומטריות היסודיות הפונקציות הטריגונומטריות של סכום והפרש שתי זוויות הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כפולה הפונקציות הטריגונומטריות של מחצית הזווית זהויות לסכום והפרש שתי פונקציות טריגונומטריות זהויות המעבר מכפל לסכום או הפרש פונקציות טריגונומטריות פונקציה זוגית ואי-זוגית

4 פרק : משוואות טריגונומטריות מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות הגדרות ונוסחאות, תרגילים sin x cos x tn x = sin = cos = tn משוואות טריגונומטריות מהצורה sin x = הפתרונות המיוחדים עבור סינוס משוואות טריגונומטריות מהצורה או cos x = או tn x = הפתרונות המיוחדים עבור קוסינוס משוואות טריגונומטריות מהצורה הפתרונות המיוחדים עבור טנגנס פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום נתון משוואות טריגונומטריות שונות או משוואות בהן מופיע ריבוע של פונקציה טריגונומטרית משוואות עם פירוק לגורמים משוואות הכוללות משוואה ריבועית משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה sin mx + b cos mx = 0 משוואות הומוגניות ממעלה שנייה sin mx + b sin mx cos mx + c cos mx = 0 תרגילים לסיכום הפרק

5 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור בעיות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית חישובים במשולש שווה-שוקיים חישובים במרובעים שטח משולש על-פי שתי צלעות וזווית שביניהן מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי-זווית משפט הסינוסים משפט הקוסינוסים תרגילים לסיכום הפרק הגדרות ונוסחאות, תרגילים

6 פרק 4: בעיות טריגונומטריות במרחב זוויות במרחב זווית בין ישר למישור זווית בין שני מישורים משפט שלושת האנכים מנסרה תיבה מנסרה ישרה משולשת מנסרה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו פירמידה פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר-זווית פירמידה ישרה שבסיסה משולש שונה צלעות פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע פירמידה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו פירמידה לא ישרה גליל ישר חרוט ישר הגדרות ונוסחאות, תרגילים הנושאים המסומנים באדום אינם כלולים בשאלוני בגרות של 4 ו- 5 יח"ל (שאלונים 5805 ו- 5807) * ** הנושאים הבאים: הזווית בין שני מישורים, השימוש במשפט הסינוסים או במשפט הקוסינוסים בגופים במרחב אינם כלולים בשאלון ( יח"ל)

7 פרק : מושגי יסוד וזהויות פרק : מושגי יסוד וזהויות מושגי יסוד הגדרה זווית בת מעלה אחת ( ) במעגל הנשענת על קשת שהיא המעגל היא הזווית המרכזית 60 מאורך היקף R R R הגדרה זווית מרכזית במעגל, הנשענת על קשת שאורכה שווה לרדיוס המעגל, נקראת זווית בת רדיאן אחד π π ידוע כי היקף מעגל שרדיוסו R הוא ( π (4 R, לכן בסיבוב מלא יש רדיאנים (או 60 ) לפיכך מתקיים π רדיאנים = 60, מכאן π רדיאנים =80 אם מסמנת את הזווית במעלות ו- γ מסמנת את אותה הזווית ברדיאנים, מתקיימת הפרופורציה γ π = 80 מהפרופורציה הנ"ל נוכל לקבל נוסחאות מעבר: = γ רדיאנים 80 π γ π = 80 π 5 ד 0 חשב את גודלן של הזוויות הבאות ברדיאנים: א 0 ב 45 ג 60 ד 08 π π π תשובה: א ב ג 4 6 7

8 פרק : מושגי יסוד וזהויות 8599 א 0 רשום במעלות את הזוויות הבאות הנתונות ברדיאנים: π תשובה: ב π 4 א 0 ג 5 ב 5 ג אורך קשת לפי הגדרת הרדיאן, הזווית המרכזית שגודלה רדיאן, מתאימה לקשת שאורכה שווה לרדיוס : γr של המעגל לפיכך הזווית המרכזית שגודלה רדיאן מתאימה לקשת שאורכה R γ אורך הקשת רדיוס המעגל הזווית המרכזית ברדיאנים L= γ R L R γ πr L= 80 אורך הקשת המתאימה לזווית בת הוא: 8 ס"מ ג 0 נתונה זווית מרכזית (ברדיאנים) במעגל שרדיוסו ס"מ = R חשב את אורך הקשת המתאימה לזווית: 5 ג 7 π π א ב 9 6 תשובה : א 57 ס"מ ב 5 ס"מ ג 59 ס"מ 04 נתונה זווית מרכזית (במעלות) במעגל שרדיוסו ס"מ = R חשב את אורך הקשת המתאימה לזווית: = 54 ג = 7 ב = 45 א 76 ס"מ ב 77 ס"מ א תשובה: 05 אורך הקשת הוא 54 ס"מ חשב את הזווית המרכזית (ברדיאנים) המתאימה לקשת הנתונה, אם רדיוס המעגל הוא 6 ס"מ = R תשובה: 5 8

9 פרק : מושגי יסוד וזהויות 06 אורך הקשת הוא ס"מ חשב את הזווית המרכזית (במעלות) המתאימה לקשת הנתונה, אם רדיוס המעגל הוא ס"מ = R תשובה: 97 שטח גזרה שטח העיגול ניתן באמצעות הנוסחה שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת ולכן שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת π =S π R ידוע כי בסיבוב מלא יש רדיאן הוא: רדיאנים, לכן π π R R S = = רדיאן הוא: γ S = R γ R g R שטח הגזרה רדיוס המעגל הזווית המרכזית ברדיאנים S R γ S = π R 60 שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת הוא: 07 נתונה זווית מרכזית לזווית: תשובה: א א (ברדיאנים) במעגל שרדיוסו π ב 8 5 ס"מ = R חשב את שטח הגזרה המתאימה סמ"ר 67 סמ"ר 5 ב חשב את שטח הגזרה המתאימה 08 נתונה זווית מרכזית (במעלות) במעגל שרדיוסו 5 ס"מ = R לזווית: א 84 ב 8 תשובה: א 8 סמ"ר ב 89 סמ"ר 9

10 פרק : מושגי יסוד וזהויות ושטחה 5 סמ"ר חשב את אורך הקשת של הגזרה 6 ס"מ = R "מ 09 רדיוס של גזרה הוא תשובה: ס 5 4π 5 0 אורך הקשת של גזרה הוא המרכזית של הגזרה תשובה: π 5 ס"מ ושטחה הוא סמ"ר חשב את רדיוס הגזרה ואת הזווית ס"מ 4 γ = π 0, R = הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר-זווית הערה: הגדרות ותכונות הבאות נכונות גם לזוויות הנתונות במעלות וגם לזוויות הנתונות ברדיאנים ( = 90 ) במשולש ישר-זווית = β, =, = c נסמן:, = b, = להלן נביא הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית c b b הניצב ליד הזווית היתר b cos = = c הניצב מול הזווית היתר sin = = c הניצב מול הזווית tn = = הניצב ליד הזווית b cot = הניצב ליד הזווית b = = tn cot הניצב מול הזווית c ו- b, cot β ו- tnβ נתבונן במשולש שבציור הנ"ל ונביע את, cosβ, sin β לפי ההגדרות של פונקציות טריגונומטריות נקבל: באמצעות b sinβ= = c cosβ= = c הניצב ליד הזווית היתר הניצב מול הזווית היתר b tn β= = cot β= = b הניצב ליד הזווית הניצב מול הזווית הניצב מול הזווית הניצב ליד הזווית 0

11 פרק : מושגי יסוד וזהויות קל לראות את הקשרים הבאים: sin β= cos ; cosβ= sin ; tnβ= cot ; cotβ= tn β = 90 במשולש ישר-זווית לכן מתקיים: +β= 90, מכאן sin( 90 ) = cos cos( 90 ) = sin tn( 90 ) = cot = cot ( 90 ) =tn tn הערה הגדרות הנ"ל מתייחסות רק לזוויות חדות בהמשך נראה שאפשר להגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות גם לזוויות קהות וגם לזווית המוגדרות כזוויות שליליות הרחבת הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות על-ידי מעגל היחידה R = הגדרה המעגל שרדיוסו ומרכזו בראשית הצירים, נקרא מעגל היחידה y O b + x ( β<0) זווית במעגל היחידה: קודקוד הזווית נמצא בראשית הצירים (0,0), קרן אחת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה-, x והקרן השנייה של הזווית היא קרן ניידת כאשר הקרן הניידת נעה נגד כיוון השעון, מתקבלת זווית חיובית, וכאשר היא נעה עם כיוון מחוגי השעון, מתקבלת זווית שלילית בציור, היא זווית חיובית β היא זווית שלילית,( > 0) 80 y 90 y O 70 R= P (x, y) 0 x 60 x נגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות שאינן בהכרח חדות לכל זווית מרכזית במעגל היחידה מתאימה נקודה אחת ויחידה על המעגל (נקודת החיתוך נסמנה (y, )P x הקרן הניידת עם המעגל) של שיעוריה של הנקודה מקיימים: (ראה ציור) x x = cos = cos R x =cos y y = sin = sin R y =sin

12 פרק : מושגי יסוד וזהויות לזווית המרכזית = 0 (הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה- ( x מתאימה sin 0 = 0, cos 0 = הנקודה 0) P(, זאת אומרת, לזווית המרכזית = 90 (הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה- ( y מתאימה sin 90 =, cos 90 = הנקודה ) P(0, כלומר, 0 לזווית המרכזית = 80 (הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון השלילי של ציר ה- ( x מתאימה sin80 = הנקודה 0), P( דהיינו, cos80 =, 0 לזווית המרכזית = 70 (הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון השלילי של ציר ה- ( y מתאימה sin 70 =, cos 70 = הנקודה ) P(0, כלומר, 0 לכן לכל זווית מתקיים: y, מהגדרתו של מעגל היחידה נובע כי x sin, cos נוסף על כך, במעגל היחידה היחס בין שיעור ה- y לשיעור ה- x של הנקודה, P שווה לטנגנס הזווית היחס בין שיעור ה- x לבין שיעור ה- y שווה לקוטנגנס הזווית, דהיינו: y x tn = = x < tn <, < cot < ( x 0 ), cot ( y 0) y תחום הערכים של טנגנס וקוטנגנס הוא: מהגדרות של cot, tn, cos, sin ניתן לראות את הקשרים הבאים: sin cos tn = cot = tn cot = cos sin הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות נרכז בטבלה את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות מיוחדות sin cos tn cot π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 80 π 0 70 π 0 לא מוגדרת לא מוגדרת 0 60 π 0 0 לא מוגדרת לא מוגדרת לא מוגדרת 0 0

13 פרק : מושגי יסוד וזהויות חיוביות ושליליות של cot,tn,cos, sin על-ידי התבוננות במעגל היחידה נמצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות הטריגונומטריות, y > 0, x > 0 ( 0 << 90 ברביע הראשון ) מתקיים: לכן sin > 0, cos> 0, tn > 0, cot > 0, y > 0, x< 0 ( 90 << 80 ברביע השני ) מתקיים: מכאן sin > 0, cos < 0, tn < 0, cot < 0, y < 0, x< 0 ( 80 << 70 ברביע השלישי ) מתקיים: לפיכך sin < 0, cos< 0, tn > 0, cot > 0, y < 0, x > 0 ( 70 << 60 ברביע הרביעי ) מתקיים: לכן sin< 0, cos> 0, tn< 0, cot< 0 בציורים הנ"ל ניתן לראות את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות הטריגונומטריות סינוס: y 90 קוסינוס: y 90 טנגנס, קוטנגנס: y O x 80 O x 80 + O x sin cos tn, cot

14 פרק : מושגי יסוד וזהויות זהויות טריגונומטריות ייצוג של פונקציות טריגונומטריות בעזרת זווית חדה כל זווית ו- β הנתונה במעלות ניתן להציג בצורה הבאה:,β= 90 n ± n כאשר זווית חדה אם הזווית נתונה ברדיאנים, אז ניתן להציג אותה בצורה מספר שלם π, β= n ± n = 0, ±, ±,) כדי להציג פונקציות ו- cot ( 90 n ±) ( ±), tn 90 n ( ±), cos 90 n π ( 0 < < ( ±), sin 90 n באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה, נוח להשתמש בכלל הבא: כלל א ב אם n מספר אי-זוגי, אזי שם הפונקציה סינוס משתנה לקוסינוס, קוסינוס משתנה לסינוס, טנגנס משתנה לקוטנגנס, וקוטנגנס משתנה לטנגנס אם n מספר זוגי, אזי שם הפונקציה איננו משתנה הסימן של הפונקציה המתקבלת (פונקציה של זווית חדה) זהה לסימנה של הפונקציה המקורית ברביע שבו "מסתיימת" הזווית המקורית sin ( 90 n ) דוגמה הצג את הפונקציה א באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה כאשר: n = n = n = ב ג = 4 n ד פתרון: א עבור = n הפונקציה המקורית היא 90 ) n = sin ( הוא מספר אי-זוגי, לכן שם הפונקציה המקורית סינוס משתנה לשם קוסינוס היא זווית חדה, לפיכך הזווית ( 90 ( "מסתיימת" ברביע הראשון הפונקציה המקורית סינוס חיובית ברביע הראשון, לכן הפונקציה המתקבלת גם היא חיובית לפיכך נקבל: sin 90 = cos 4

15 פרק : מושגי יסוד וזהויות ב עבור = n הפונקציה המקורית היא הפונקציה אינו משתנה היא זווית חדה, מכאן הזווית סינוס חיובית לכן נקבל: n = sin ( 80 ) (80 ) הוא מספר זוגי, לכן שם "מסתיימת" ברביע השני שבו הפונקציה sin 80 = sin ג ד כאשר = n הפונקציה המקורית היא n = sin 70 מספר אי-זוגי, לפיכך השם סינוס של הפונקציה המקורית משתנה לקוסינוס היא זווית חדה, לכן הזווית ( 70) "מסתיימת" ברביע השלישי, שבו סינוס שלילי ולכן הפונקציה המתקבלת (קוסינוס) גם תהיה שלילית כלומר מתקיים: sin(70 ) = cos sin ( 60 ) = 4 n הוא מספר זוגי, לכן שם עבור = 4 n הפונקציה המקורית היא הפונקציה אינו משתנה היא זווית חדה, מכאן הזווית ( 60) "מסתיימת" ברביע הרביעי, שבו סינוס sin 60 = sin שלילי לפיכך נקבל: באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה, n = cos(90 n +) n = דוגמה הצג את הפונקציה כאשר: א ב = n ג = 5 n ד פתרון: א עבור = n הפונקציה המקורית היא (+ n = cos(90 הוא מספר אי-זוגי, לכן השם קוסינוס של הפונקציה משתנה לסינוס היא זווית חדה, לפיכך הזווית (+ 90) "מסתיימת" ברביע השני שבו קוסינוס שלילי, לכן הפונקציה המתקבלת גם תהיה שלילית מכאן קיבלנו: cos 90 + = sin cos( 80 +) ב ג = n הוא מספר זוגי, לכן כאשר = n הפונקציה המקורית היא השם המקורי קוסינוס איננו משתנה הזווית (+ 80) "מסתיימת" ברביע השלישי שבו קוסינוס שלילי מכאן שהפונקציה cos(80 + ) = cos המתקבלת גם היא תהיה שלילית לפיכך מתקיים: עבור = n הפונקציה המקורית היא +) n = cos(70 הוא מספר אי-זוגי, לכן השם המקורי קוסינוס משתנה לסינוס הזווית (+ 70) "מסתיימת" ברביע הרביעי שבו קוסינוס חיובי, לפיכך הפונקציה המתקבלת גם תהיה חיובית כלומר, cos 70 + = sin 5

16 פרק : מושגי יסוד וזהויות cos( 450 +) ד = 5 n הוא מספר אי-זוגי, לפיכך כאשר = 5 n הפונקציה המקורית היא השם המקורי קוסינוס משתנה לסינוס הזווית +) (450 "מסתיימת" ברביע השני ) כי 450 += הזווית 60 היא סיבוב מלא, והזווית +90 "מסתיימת" ברביע השני) הפונקציה המקורית קוסינוס שלילית ברביע השני, מכאן שהפונקציה המתקבלת אף היא cos = sin שלילית כתוצאה מכך נקבל:, דוגמה הצג את הפונקציה כאשר: א tn ( 90 n +) n = ב באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה n = = 4 n ג פתרון: = n הוא מספר זוגי, לכן א עבור = n הפונקציה המקורית היא 80 +) tn ( השם המקורי טנגנס איננו משתנה הזווית (+ 80 ( "מסתיימת" ברביע השלישי שבו טנגנס חיובי, לפיכך הפונקציה המתקבלת גם תהיה חיובית אי לכך מתקיים: tn +80 = tn tn ( 90 +) ב ג = n הוא מספר אי-זוגי, לכן כאשר = n הפונקציה המקורית היא השם המקורי טנגנס משתנה לקוטנגנס הזווית (+ 90) "מסתיימת" ברביע השני שבו טנגנס שלילי מכאן שהפונקציה המתקבלת גם תהיה שלילית לפיכך נקבל: tn ( 90 + ) = או tn ( 90 + ) = cot tn tn ( 60 +) לפיכך = 4 n הוא מספר זוגי, עבור = 4 n הפונקציה המקורית היא השם המקורי טנגנס איננו משתנה "מסתיימת" ברביע הראשון שבו טנגנס חיובי ומכך נובע שהפונקציה הזווית (+ 60) tn 60 + = tn לכן מתקיים: המתקבלת גם חיובית הערה ניתן להשתמש בכלל הנ"ל גם אם לא נתון במפורש ש- היא זווית חדה אלה, יש להניח ש- היא חדה ולהסתמך על הכלל במקרים 6

17 פרק : מושגי יסוד וזהויות ד דוגמה 4 הצג את הפונקציות הטריגונומטריות הבאות באמצעות פונקציות טריגונומטריות של זווית א +) sin(80 ב ) cos(80 ג +) tn(70 sin(450 ) ה cos( 540 +) פתרון: א הזווית הנתונה מקיימת: = במקרה זה = n (מספר זוגי), לכן השם המקורי סינוס איננו משתנה מהנחה ש- זווית חדה, נקבל כי הזווית (+ 80) "מסתיימת" ברביע השלישי שבו sin 80 + = sin סינוס שלילי לפיכך נקבל: ב ג ד ה = במקרה זה = n (מספר זוגי), לכן הזווית הנתונה מקיימת: השם המקורי קוסינוס איננו משתנה מהנחה ש- זווית חדה נקבל כי הזווית ( 80) "מסתיימת" ברביע השני שבו cos 80 = cos קוסינוס שלילי כלומר: הזווית הנתונה מקיימת: = במקרה זה = n (מספר אי-זוגי), לפיכך השם המקורי טנגנס משתנה לקוטנגנס מהנחה ש- זווית חדה נקבל כי הזווית (+ 70) "מסתיימת" ברביע הרביעי שבו tn ( 70 + ) = או tn ( 70 + ) = cot טנגנס שלילי לכן: tn = במקרה זה = 5 n (מספר אי-זוגי), הזווית הנתונה מקיימת: לכן השם המקורי סינוס משתנה לקוסינוס מההנחה ש- היא זווית חדה, נקבל שהזווית ( 450) "מסתיימת" ברביע הראשון שבו סינוס חיובי זאת אומרת, sin 450 = cos הזווית הנתונה מקיימת: 540 += במקרה זה = 6 n (מספר זוגי), לכן השם המקורי קוסינוס איננו משתנה מהנחה ש- זווית חדה, הזווית (+ 540) "מסתיימת" ברביע השלישי שבו קוסינוס cos = cos שלילי לפיכך נקבל: π, x = n± כדי להציג את הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות כאשר x או = 90 n± n =,,, 4 בעזרת זווית, ניתן להיעזר בטבלה הבאה: 7

18 פרק : מושגי יסוד וזהויות x π π + π π + π π + π sinx cos cos sin sin cos cos sin cosx sin sin cos cos sin sin cos tnx cot cot tn tn cot cot tn cotx tn tn cot cot tn tn cot tn 5 cot 00 5π tn בתרגילים 9 חשב ללא מחשבון: cos5 cos 40 7π cos sin0 sin 5 π sin תשובות: הזהויות הטריגונומטריות היסודיות sin +cos = () לכל זווית מתקיים: דוגמה cos נתון כי 90 << 80, מצא את, sin = 8

19 פרק : מושגי יסוד וזהויות פתרון: sin +cos = cos = sin cos =± sin לפי הנתון, הזווית "מסתיימת" ברביע השני שבו קוסינוס שלילי, לכן נקבל: cos = sin cos= = cos= 4 sin, 80 << 70, cos = 08 דוגמה נתון כי פתרון: מצא את sin +cos = sin = cos sin =± cos "מסתיימת" ברביע השלישי שבו סינוס שלילי לפיכך מתקיים: sin = cos sin = ( 08) = 06 sin = 06 הזווית דוגמה cot, tn,cos, 70 << 60 5, sin = נתון כי פתרון: מצא את sin +cos = cos = sin cos =± sin "מסתיימת" ברביע הרביעי שבו קוסינוס חיובי, לכן מתקיים : cos = sin cos = = cos = sin tn = cos : cot tn הזווית נחשב את ואת tn = : = tn = ; cos cot = sin 5 cot = : = cot = 5 5 נעבור לזהויות הבאות: 9

20 פרק : מושגי יסוד וזהויות +tn = ( cos 0) cos +cot = ( sin 0) sin cos () הזהות () מתקבלת כאשר את שני האגפים של זהות מחלקים ב- sin () הזהות () מתקבלת כאשר את שני האגפים של זהות מחלקים ב- cot, sin, cos cot = 90 << 80, tn = 0 נתון כי תשובה: מצא את,sin =, cos = tn, cos tn =, sin 8 0 << 90, cot = 8 נתון כי תשובה: מצא את, cos = 8,sin= הפונקציות הטריגונומטריות של סכום והפרש שתי זוויות ( 4) sin + β =sin cosβ +cos sinβ ( ) ( 5) sin β =sin cosβ cos sinβ הסינוס של סכום והפרש שתי זוויות: π π π π sin cos cos sin דוגמה פשט את הביטויים הבאים: א sin 5 cos7 + cos5 sin 7 פתרון: א בהסתמך על זהות נקבל: ב (4) 0

21 פרק : מושגי יסוד וזהויות sin( + β ) =sin cosβ +cos sinβ sin 5 cos7 + cos5 sin 7 = sin ( ) = sin 90 = sin( β ) =sin cosβ cos sinβ 6 (5) ב בהסתמך על זהות נקבל: π π π π π π π sin cos cos sin = sin = sin = ב sin 7β cosβ cos 7β sinβ sin 4β פשט את הביטויים הבאים: א sin cos + cos sin א תשובה: sin ב חשב ללא מחשבון: א תשובה: א sin 75 ( + ) ב ב sin5 ( ) ג sin05 ( + ) ג = ( 6) cos + β cos cosβ sin sinβ ( ) = + ( 7) cos β cos cosβ sin sinβ הקוסינוס של סכום והפרש שתי זוויות: x cos x cos sinx sin cos( + β)= cos cosβ sin sinβ x דוגמה פשט את הביטויים הבאים: π π π π cos cos sin sin 4 4 א פתרון: א נשתמש בזהות ונקבל: ב (6) 7 π π π π π π π cos cos sin sin = cos + = cos 4 4 4

22 פרק : מושגי יסוד וזהויות (7) ב על-פי זהות נקבל: cos( β) = cos cosβ + sin sinβ x x x x cos x cos + sinx sin = cos x = cos cos( 45 ) cos( 5 +) sin ( 45 ) sin ( 5 +) 4 פשט את הביטוי הבא: תשובה: cos50 5 חשב ללא מחשבון: א תשובה: א cos5 ( + ) ב ב 4 tn +tnβ = tn tnβ ( 8) tn + β tn tn tnβ +tn tnβ ( β) = ( 9) הטנגנס של סכום והפרש שתי זוויות: דוגמה tn 6 + tn9 פשט את הביטוי: tn6 tn9 פתרון: נשתמש בזהות (8) ונפשט את הביטוי: tn +tnβ tn 6 + tn9 = = tn = tn 45 = tn tnβ tn6 tn9 tn + β tn β β tn β β + tn tn דוגמה פשט את הביטוי:

23 פרק : מושגי יסוד וזהויות פתרון: על-פי זהות (9) נקבל: tn tnβ tn tn β β ( β) tn β β tn = = = tn β +tn tnβ + tn tn β β ( + ) + ( ) tn x y tn x y tn x + y tn x y tn +tnβ tn( + β)= tn tnβ ( + ) + ( ) דוגמה פשט את הביטוי: פתרון: בהסתמך על זהות (8) נקבל: tn x y tn x y = tn ( x + y) + ( x y) = tn x tn x + y tn x y 7 6 הוכח את הזהויות הבאות: cos cos = tn sin sin sin = sin sin 4 + tn sin + sin + = + tn 4 4 cos sin = sin sin cos = + cos sin tn 80 + cos 90 + = tn sin β = β +β sin sin sin sin π ( + ) = ( ) cos cos sin 4 sin ( + 45 ) sin ( 45 ) = cos π π cosβ = cos +β + cos β בתרגילים

24 פרק : מושגי יסוד וזהויות tn = tn 45 + tn sin ( +β) tn + tnβ= cos cosβ 6 7 הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כפולה הסינוס של זווית כפולה: sin ( + ) = sin cos + cos sin sin = sin cos ( 0) β במקום בזהות (4) נציב את ונקבל: (0) ומצא את: ב sin0 ג sin 7 ד sin sin = sin cos נקבל: sin 4= sin = sin cos sin0= sin 5 = sin 5 cos ( ) sin 7= sin = sin cos sin = sin = sin cos דוגמה פתרון: א ב ג ד השתמש בזהות א sin 4 על-פי הזהות הקוסינוס של זווית כפולה: cos( + ) = cos cos sin sin β בזהות (6) נציב את במקום ונקבל: cos =cos sin 4

25 פרק : מושגי יסוד וזהויות () sin = cos מזהות () נובע כי לקבל את הזהויות הבאות: ו- cos = sin לפיכך מזהות ניתן cos =cos ( ) ; cos = sin ( ) cos cos5 ( ), ( ), () דוגמה א השתמש בזהויות ב ומצא את: ג ד cos 6= cos = cos sin ; cos4 cos 6 cos 6 cos cos ; cos 6 cos sin = = = = פתרון: א cos4= cos 7 = cos 7 sin 7 ; cos4 cos 7 cos 7 ; cos4 cos 7 sin 7 = = = = ( ) 5 5 cos 5 = cos = cos sin ; cos5= cos cos ; cos5 cos = = = sin = = 5 5 cos cos cos sin ; cos = cos cos ; cos cos = = = sin ב ג ד הטנגנס של זווית כפולה: β בזהות (8) נציב את במקום ונקבל: tn + tn tn ( + ) = tn tn tn tn = tn () 5

26 פרק : מושגי יסוד וזהויות tn tn () דוגמה פתרון: א השתמש בזהות ומצא את: ב ג tn 4 tn tn 4= tn ( ) = tn tn tn = tn ( ) = tn tn = tn = tn tn א ב ג cos tn = + tn 9 בתרגילים 4 8 הוכח את הזהויות הבאות: sin tn = + tn 8 cot tn tn = sin cos sin + = 40 הפונקציות הטריגונומטריות של מחצית הזווית הסינוס של מחצית הזווית: ( ) ניעזר בזהות ונמצא: cos = sin = = cos sin = cos sin sin cos sin = ± cos ( ) שים לב, הסימן לפני השורש בזהות ) ( נקבע לפי הרביע בו נמצאת 6

27 פרק : מושגי יסוד וזהויות sin 5 cos sin = sin = 6 cos6 sin = sin ( ) = 5 cos5 sin ( ) = sin () דוגמה פתרון: א ב ג א השתמש בזהות ומצא את: ב ג sin הקוסינוס של מחצית הזווית: ( ) ניעזר בזהות ונמצא: cos =cos cos= cos cos = + cos cos = +cos ( 4) cos = ± +cos ( 4 ) שים לב, הסימן לפני השורש בזהות ) 4 ( נקבע לפי הרביע בו נמצאת (4) דוגמה השתמש בזהות ומצא את: cos 7β cos 4x cos פתרון: א ב ג + cos cos = cos = 8x + cos8x cos 4x = cos = 7β + cos7β cos ( ) = א ב ג 7

28 פרק : מושגי יסוד וזהויות הטנגנס של מחצית הזווית: נחלק את הזהות ( ( בזהות (4 ( ונקבל: sin = = cos + cos + cos cos sin : cos : cos tn cos = +cos ( 5) tn = ± cos +cos ( 5 ) שים לב, הסימן לפני השורש בזהות ) 5 ( נקבע לפי הרביע בו נמצאת tn tn 5 tn 9 x tn 5β (5) דוגמה פתרון: א ב א השתמש בזהות ומצא את: ב ג cos = tn = + cos β= tn = + cos0 β 0 β cos0 β tn tn 9 x cos9x = + cos9x ג בתרגילים 44 4 הוכח את הזהויות הבאות: sin = tn + cos cos tn = sin 4 4 cos cos = cot sin cos 44 8

29 פרק : מושגי יסוד וזהויות זהויות לסכום והפרש שתי פונקציות טריגונומטריות sin +sinβ = sin + β cos β β + β sin sinβ = sin cos סכום והפרש של שתי פונקציות סינוס: ( 6) ( 7) sin sin דוגמה א ב נבטא את סכום (או הפרש) של שתי פונקציות בעזרת מכפלה sin0β sin 4β ג sin 5x + sin x בהסתמך על זהויות (6) ו- (7) נקבל: 5x + x 5x x sin 5x + sin x = sin cos = sin 4x cos x 0β 4β 0β+ 4β sin0β sin 4β= sin cos = sin β cos 7β sin + sin = sin cos = sin cos פתרון: א ב ג סכום והפרש של שתי פונקציות קוסינוס: cos +cosβ =cos + β cos β + β β cos cosβ = sin sin ( 8) ( 9) γ γ cos cos דוגמה א ב נבטא את סכום (או הפרש) של שתי פונקציות בעזרת מכפלה ג cosx cos 5x cos9 + cos 4 פתרון: ו- (9) נקבל: על-פי זהויות (8) 9

30 פרק : מושגי יסוד וזהויות cos9+ cos 4 = cos cos = cos cos x + 5x x 5x cosx cos5x = sin sin = sin 8x sin x γ γ γ γ γ γ + γ γ cos cos sin sin sin sin 5 = = א ב ג בתרגילים הוכח את הזהויות הבאות: sin + sin + sin = 4sin cos sin 5 sin = sin cos 4+ cos sin 5 + sin + sin = tn cos 5+ cos + cos זהויות המעבר מכפל לסכום או הפרש פונקציות טריגונומטריות cos cosβ = cos β +cos + β ( 0) cos cos 5 דוגמה פתרון: א ב ג א נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת סכום ב cos 7γ cos 6γ ג cosx cos x בהסתמך על זהות (0) נקבל: cosx cos x = cos( x x) + cos( x + x) = ( cos x + cos 4x) cos 7γ cos 6γ= cos( 7γ 6γ ) + cos( 7γ+ 6γ ) = ( cos γ+ cosγ) cos cos = cos cos ( cos cos ) + + = + 0

31 פרק : מושגי יסוד וזהויות sin sinβ = cos β cos + β sin γ sin γ דוגמה פתרון: א ב ג א נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת הפרש ב sin 5β sinβ ג sin 4x sinx על-פי זהות () נקבל: sin 4x sinx = cos( 4x x) cos( 4x + x) = ( cosx cos6x) sin 5β sinβ= cos( 5β β) cos( 5β+ β ) = ( cos β cos 7β) γ γ γ γ 5γ sin γ sin = cos( ) cos( ) γ γ+ = ( cos cos ) sin cosβ = sin + β +sin β sin x x 5 cos דוגמה פתרון: א ב ג נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת סכום א sin 9β cos 4β ב 7 sin cos ג נשתמש בזהות () ונקבל: sin 9β cos 4β= sin ( 9β+ 4β ) + sin ( 9β 4β ) = ( sinβ+ sin 5β) sin cos = sin + + sin = sin + sin 5x x 5x x 5x x 7x sin cos = sin ( + ) + sin ( ) = ( sin + sin x ) cos sinβ = sin + β sin β דוגמה נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת הפרש cos x x 7 sin 6 cos sin 4 א cos0γ sin8γ ב ג

32 פרק : מושגי יסוד וזהויות פתרון: א ב ג נשתמש בזהות () ונקבל: cos0γ sin 8γ= sin 0γ+ 8γ sin 0γ 8γ = sin8γ sin γ x 5 cos sin = sin sin sin sin 4 + = x x x x x x x cos sin sin sin sin sin = + = פונקציה זוגית ואי-זוגית ו-( x ) x f ( x) = f ( x) הגדרה פונקציה זוגית פונקציה המקיימת הגדרתה פונקציה אי-זוגית פונקציה המקיימת בתחום הגדרתה לכל ו- לכל בתחום (x) x f ( x) = f ( x) הערה לא כל פונקציה היא בהכרח זוגית או אי-זוגית f(x) היא זוגית, אזי היא סימטרית ביחס לציר ה- y אם הפונקציה f(x) היא אי-זוגית, אזי היא סימטרית ביחס לראשית הצירים אם הפונקציה משפט קוסינוס היא פונקציה זוגית כלומר, cos( x) = cos x פונקציות סינוס, טנגנס וקוטנגנס הן אי-זוגיות דהיינו, מתקיים: sin( x) = sin x, tn( x) = tn x, cot( x) = cot x f( x) f x = sinx cosx דוגמה נתונה הפונקציה פתרון: נראה שהפונקציה הוכח כי היא פונקציה אי-זוגית f( x) = f(x) מקיימת f(x) f x = sin x cos x sin x = sinx cos x = cosx משל = f(x) f( x) = sinx cosx f( x)

33 פרק : מושגי יסוד וזהויות ( ) ( ) f( x) דוגמה sin x x) f ( הוכח כי נתונה הפונקציה = tn x פתרון: נראה כי הפונקציה f(x) מקיימת היא פונקציה זוגית ( ) ( ) f( x) = f(x) sin x sin x = sinx sin x sin x f ( x) = f ( x) = = tn x tn x = tnx tn x tn x משל f(x) f( x) = f( x) = f x cosx sin 4x דוגמה נתונה הפונקציה פתרון: נראה כי מקיימת הוכח כי היא פונקציה זוגית f( x) = f(x) f(x) f x = cos x sin 4x cos x = cosx sin 4x = sin4x f x = cosx sin4x f x = cosx sin 4x משל f(x) f( x) = בתרגילים הוכח את הזהויות הבאות: cos( ) + sin ( 80 8) sin ( 60 ) = 4cos cos 4 sin 6 ( β ) β sin sin β + sin = sin sin 7 ( cos + cos 4 + cos 6 ) = sin

34 פרק : משוואות טריגונומטריות פרק : משוואות טריגונומטריות מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות x כך שלכל, T > 0, T הקטן הגדרה פונקציה f(x) נקראת מחזורית, אם קיים מספר קבוע x + T x בתחום ההגדרה של הפונקציה, גם T ההגדרה ומתקיים: וגם נמצאים בתחום ( ) = = ( + ) f x T f x f x T המספר החיובי ביותר המקיים את השוויון הנ"ל, נקרא המחזור של הפונקציה משפט הפונקציות הטריגונומטריות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנס הן פונקציות מחזוריות המחזור של סינוס וקוסינוס הוא (60 ) והמחזור של טנגנס π (80 ) וקוטנגנס הוא π כלומר, מתקיים: sin x = sin ( x ± π K), cos x = cos( x ± πk), tn x = tn x ±π K, cot x = cot x ±πk K = 0, ±, ±, T f(mx+ n) f(x) +, T הוא f(x) הערות א אם מחזורה של פונקציה מספרים קבועים, אזי הפונקציה גם היא מחזורית, בעלת אותו מחזור T m, T ( 0 f(x),) ב אם הפונקציה מספרים קבועים, היא מחזורית בעלת מחזור גם היא מחזורית, אזי הפונקציה בעלת מחזור ( m 0 m,n) דוגמה f x = tnx f(x) = sinx+ 7 מצא את המחזור של הפונקציות הבאות: א f(x) = cosx ד ב ג x f(x) = cos + 5 4

35 פרק : משוואות טריגונומטריות f(x) = cosx T = π פתרון: א המחזור של cos x הוא גם הוא T = π על-פי הערה א', המחזור של הפונקציה ב המחזור של sin x הוא T = π על סמך הערה א', T = π גם הוא f(x) = sinx+ 7 מחזורה של הפונקציה f(x) = tnx T = π tn x ג המחזור של הוא על-פי הערה ב', מחזורה של הפונקציה T = π הוא ד המחזור של cos x הוא T = π לפי הערות א' וב', π x T = = 6π הוא f(x) = cos + 5 המחזור של הפונקציה sinx = sin משוואות טריגונומטריות מהצורה sinx = או הערה המשוואות sin x = כאשר = sin ו- sin x = sin ( ) הן משוואות שקולות, sinx = sin sinx = sin אם אם זווית במעלות, אזי פתרונות המשוואה הם: x = + 60 K או K = 0, ±, ±, x = K זווית ברדיאנים, אזי פתרונות המשוואה הם: x = +πk או K = 0, ±, ±, x = π +πk sin x = sin x + 5 = 0 06 בתרגילים 06 0 תן פתרון כללי למשוואות הבאות: 5 sin x = sin π x sin = sin π sin x = sin 5 sin x =

36 פרק : משוואות טריגונומטריות,, π x = + πk x =,x = π x = + 0πK x = K K K 05 x =,x =, x = K 0 x =,x = K K K K 06 תשובות: 0 π x = + πk π x = + 0πK 9 הפתרונות המיוחדים עבור סינוס sinx = 0 sinx = sinx = x = 80 K x =π K K = 0, ±, ±, x = K π x = + π K K = 0, ±, ±, x = K π x = + π K K = 0, ±, ±, בתרגילים פתור את המשוואות הבאות: x sin 8 = 0 07 ( ) π sin 6x + = sin( x+ 6 ) + = π π x = + K x = K x = K תשובות: 6

37 פרק : משוואות טריגונומטריות משוואות טריגונומטריות מהצורה cosx = או cosx = cos הערה המשוואות cos x = ו- cos x = cos ( ) כאשר = cos הן משוואות שקולות, cosx = cos cosx = cos אם אם זווית במעלות, אזי פתרונות המשוואה הם: x = + 60 K או K = 0, ±, ±, x = + 60 K זווית ברדיאנים, אזי פתרונות המשוואה הם: x = +πk או K = 0, ±, ±, x = +πk בתרגילים 5 0 תן פתרון כללי למשוואות הבאות: cos x = cos π cos 5x 5 = x cos 0 + = 0 5 cos x = cos8 cosx+ = 0 x π 6cos + = π π x = + π K,x 0 = + πk 0 x = K,x = + 7 K x = ± K x = ± K 7π π x = + 4 π K,x 6 = + 4πK 6 x = K,x = K תשובות: cosx = 0 cosx = cosx = הפתרונות המיוחדים עבור קוסינוס π x = x = +π = 0, ±, ±, K K K x = 60 K x = π K K = 0, ±, ±, x = K x =π+ π K K = 0, ±, ±, 7

38 פרק : משוואות טריגונומטריות x π cos + = 9 π x = + 9πK בתרגילים 8 6 פתור את המשואות הבאות: 7 7 x ( ) x cos = K = + x = K x cos = תשובות: 6 8 משוואות טריגונומטריות מהצורה tnx = או tnx = tn הערה המשוואות tn x = כאשר = tn ו- tn x = tn ( < < ) הן משוואות שקולות, אם אם זווית במעלות, אזי פתרון המשוואה הוא: tnx = tn x= + 80 K, K = 0, ±, ±, זווית ברדיאנים, אזי פתרון המשוואה הוא: tnx = tn x = + πk, K = 0, ±, ±, 0 x cos כלומר, tnx sinx tnx = cosx, הערה היות ש- הפונקציה לפיכך מוגדרת עבור בכל משוואה שכוללת את פונקציית π ( K) x +π x K הטנגנס צריך לשים לב לתחום ההגדרה של המשוואה 8 5 tn 4x = tn π x π 6 tn + = 4 בתרגילים 9 פתור את המשוואות הבאות: 0 tn x = tn6 tn ( 5x + 4 ) = 9 8

39 פרק : משוואות טריגונומטריות π π x = + K 5 4 π x = + π 4 K 9 0 x = K x = K 9 תשובות: הפתרונות המיוחדים עבור טנגנס tnx = 0 tnx = tnx = x = 80 K x =π K K = 0, ±, ±, π 4 π x = K x = +π K K = 0, ±, ±, x = K x = +π K K = 0, ±, ±, 4 5x tn 5 = 8 x = + 88 K בתרגילים 5 פתור את המשוואות הבאות: 4 4 π πk x = x = K π ( ) 9x tn 4x + = 0 tn = תשובות: 5 פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום נתון כדי למצוא את הפתרונות בתחום הנתון, צריך למצוא את הפתרון הכללי של המשוואה ( K = 0, ±, ±, ) הטריגונומטרית ולהציב מספר ערכים שלמים במקום K מבין הפתרונות המתקבלים יש לבחור את אלה שנמצאים בתחום הנתון 90 < x < 90 דוגמה פתור את המשוואה = ) 0 + 4x tn ( בתחום 9

40 פרק : משוואות טריגונומטריות, לכן מתקיים: = tn60 פתרון: נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה ידוע כי tn ( 4x + 0 ) = tn 60 4x + 0 = K 4x = K : 4 x = K, K = 0, ±, ±, ( x = K) נמצא את הפתרונות בתחום < 90 x 90 < מספר ערכים שלמים במקום נציב בפתרון הכללי K = : x= ( ) x= 5 K = : x= ( ) x= 80 K = : x= ( ) x= 5 K = 0 : x = x = 0 K = : x= x= 55 K אינו שייך לתחום אינו שייך לתחום = 00 x K = : x = על מנת לפשט את תהליך הפתרון ניתן להשתמש בטבלה הבאה: K 0 x = K קבוצת הפתרונות של המשוואה השייכים לתחום < 90 x >90 היא: x= { 80, 5,0, 55 } בתרגילים 6 משמאל למשוואה פתור את המשוואות הבאות ומצא את הפתרונות בתחום הרשום 90 < x < 70 π x π 0 x 60 π π x 0 x 60 π x π tn ( 6x + 50 ) = tn x cos4x = π ( ) = cos x 9x ( + ) = ( π π + ) = ( ) cos 4x sin 8 0 sin x sin x 6 cos 4x sin x =

41 פרק : משוואות טריגונומטריות x = { 4, 50, 86,, 58 } { 5, 75,05,65,95, 55, 85, 45 } x = 8π π 5π π π π 4π 7π { } x =,,,,,,, x = { 6, 6,86,06,66,86, 46, 66, 6, 46 } π π π π 5π 5π x = {,,,,, } 5π 7π π π π π 9π { } x =,,,,,, תשובות: משוואות טריגונומטרית שונות משוואות בהן מופיע ריבוע של פונקציה טריגונומטרית sin x = x 4sin = בתרגילים 5 פתור את המשוואות הבאות: 5 tn x = cos x = 4,x = K x = ± K x =,x = K K x = ± K 4 x = K תשובות: או = { K, K, K, K} x משוואות עם פירוק לגורמים ( + sinx) ( cos5x) = 0 5 tn x tn x = 0 בתרגילים 40 6 פתור את המשוואות הבאות: 7 9 π sin x tn x + = 0 cos x+ cosx = 0 sin 4x = sin 4x

42 פרק : משוואות טריגונומטריות π { K} x = πk, +π = { 5 80 K, 9 7 K, K} x + ± + + = { K, K} x + ± + = { 60 K, K} x + = { 45 K, K, K} x תשובות: משוואות הכוללות משוואה ריבועית cos x cosx = 0 4sin x 8sin x + = 0 בתרגילים 44 4 פתור את המשוואות הבאות: 4 44 tn x+ tnx = 0 tnx cotx 5= { K, K} x = + + { 0 60 K, 60 K} x = ± + = { K, K} x + + = { 5 80 K, K} x תשובות: ( sinmx+b cosmx= משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה (0 sin x 4cosx = 0 בתרגילים פתור את המשוואות הבאות: 46 sin x + cos x = 0 x ( π x π ) sin + cos + = x = K 46 x = K תשובות: 45 π x = + πk

43 פרק : משוואות טריגונומטריות משוואות הומוגניות ממעלה שנייה ( sin mx + b sinmx cosmx + c cos mx = 0 ) בתרגילים פתור את המשוואות הבאות: sin x + sin x cos x cos x = 0 4sin x 7sin x cos x cos x = 0 6sin x + sin x cos x + 7cos x = = { K, K} x + + = { 7 90 K, 7 90 K} x + + = { K, K} x תשובות: תרגילים לסיכום הפרק cos x cos x + = 0 sin x + cos x = 0 cos x sin x + cos x = cos x sin x = sin 5x x cosx+ 5sin = 0 בתרגילים 6 5 פתור את המשוואות הבאות: cos x+ 5sinx+ = 0 5 tn x 8 = x x 6 cos x sin 7x sin cos = 0 tnx cotx tn x + = cos 5x + sin x = sin x + cos x = sin x = { K, K} x + + = { 90 K, 8 6 K} x + 55 = { 5 90 K, 7 90 K} x + + = { 0 60 K, 0 60 K} x תשובות: 5 = { K, 60 K} x ± + = { K, K, K} x = { 5 45 K, K} x

44 פרק : משוואות טריגונומטריות 80 K { 60 K } x =, 7 x = K { 60 K K} x = +, = { K, K} x x tn x tn = 0 64 בתרגילים 64 6 פתור את המשוואות הבאות: cos x + tnx = 0 6 sin x + cosx = 0 6 x = 60 K 64 x = K 6 x = 80 K תשובות: 6 sin 7x + sin x = sin 4x sin 4x + sin x = cos5x cos x בתרגילים 7 65 פתור את המשוואות הבאות: cosx + cos x + cos x = 0 x cos x cos x = sin sin x + sin x = cos x + cos 4x ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) sin x 60 sin x 60 cos x 60 cos x 60 = tn x + 0 cosx + cos x = 0 sin9x sinx= = { 60 K, 0 40 K, K} x + + = { K, 8 6 K} x = { K, 0 60 K} x + ± + 67 = { K, K} x + ± + 65 = { 45 K, 50 0 K} x ± + = { 60 K, K, 0 0 K} x x = K = { 60 K, 0 60 K} x ± + תשובות: בתרגילים 77 7 פתור את המשוואות הבאות: π π π sin 5x cos + cos5x sin = sin x

45 פרק : משוואות טריגונומטריות π cos 7x cos x sin 7x sin x = cos x sin x + cos x = x x sin cos = 6 4sinx cosx = π πk π πk {, } x = = { K, 0 70 K} x π π { K, 5 π π K } x = = { 5 80 K, K} x + + = { 4 60 K, K} x + + תשובות: בתרגילים 8 78 פתור את המשוואות הבאות: cos8x cos 4x cos x cosx = 0 sin 6x sin x = cosx cos x π π π π ( + ) ( ) = ( ) ( ) sin 5x cos x sin 6x sin x sin x sin ( x + 60 ) sin ( x 60 ) = = { 8 6 K, 0 60 K} x + + = { 0 0 K, 50 0 K} x { K K} x = 6, = { 5 45 K, K} x תשובות: 45

46 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור פרק : בעיות טריגונומטריות במישור בעיות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית בפרק הגדרנו פונקציות טריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר-זווית c b b sin = = c b cos = = c הניצב מול הזווית היתר הניצב ליד הזווית היתר הניצב מול הזווית היתר הניצב ליד הזווית היתר b sinβ = = c cosβ = = c tn = = b tnβ b = = הניצב מול הזווית הניצב ליד הזווית הניצב מול הזווית הניצב ליד הזווית נשתמש בהגדרות הנ"ל לפתרון בעיות גיאומטריות במישור במשולש ישר-זווית נביא דוגמה לחישובים דוגמה במשולש ישר-זווית שבו = 90, = 6, 0 ס"מ =, מצא את אורכי הניצבים ו- פתרון: במשולש ישר-זווית נתונים אורך היתר וגודל הזווית החדה הוא הניצב שמול הזווית הנתונה נשתמש בהגדרה של פונקציית הסינוס ונחשב את אורכו של 588 ס"מ= 6 sin 6 = = 0 sin 0 : הניצב מול הזווית היתר sin = = c הניצב השני הוא הניצב שליד הזווית הנתונה נשתמש בהגדרה של פונקציית הקוסינוס ונחשב את אורכו של : 809 ס"מ cos6 = = 0 cos6 = 0 הניצב ליד הזווית היתר 6 0 b b cos = = c 46

47 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 7 7, ( = 90 ) 0 במשולש ישר-זווית = 7 נתון: ס 7 "מ =, חשב את ואת מצא את שטח המשולש תשובה: 66 ס"מ, 8 ס"מ, 7547 סמ"ר 9 4 ( = 90 ) 0 במשולש ישר-זווית = 9 נתון: 4 ס"מ =, חשב את אורכי הצלעות, ומצא את תשובה: 6 ס"מ, 9 ס"מ, 7 אחת מהזוויות החדות 0 במשולש ישר-זווית, אחד מהניצבים גדול ב- 5 ס"מ מהניצב השני היא בת חשב את ניצבי המשולש תשובה: 75 ס"מ, 5 ס"מ 5 ס"מ =, = נתון: 8 ס"מ, ( = 90 ) 04 במשולש ישר-זווית חשב את הזוויות החדות של המשולש ומצא את שטחו 56 סמ"ר 5, תשובה:, 868 הוא ישר-זווית ) = 90 (, הוא 05 המשולש = נתון: ס"מ =, התיכון לניצב חשב את הזווית א חשב את אורך התיכון ב ב 88 ס"מ א 55 תשובה: 47

48 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 94 5 הוא, ( = 90 ) ישר-זווית 06 במשולש = 5 הגובה ליתר נתון: 94 ס"מ =, א חשב את אורך הניצב ב מצא את שטח המשולש תשובה: א 77 ס"מ ב 945 ס"מ, ( = 90 ) 07 במשולש ישר-זווית הוא חוצה הזווית נתון: 6 ס"מ =, 74 ס"מ = א חשב את ב מצא את שטח המשולש תשובה: א 949 ס"מ ב 866 סמ"ר 5 4, ( = 90 ) ( = ) 08 במשולש ישר-זווית הוא חוצה הזווית נתון: 5 ס"מ =, 4 ס"מ = חשב את הזווית א חשב את ב ב 65 ס"מ א 5 תשובה: הוא משולש ישר-זווית ) = 90 (, 09 O O ( = ) הוא חוצה הזווית הקטע הוא הגובה ליתר הקטעים נפגשים בנקודה נתון: 4 ס"מ =, ס"מ = O חשב את אורך הקטע O תשובה: 66 ס"מ 48

49 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 5 85, ( = 90 ) 0 במשולש ישר-זווית לניצב הוא חוצה הזווית הוא התיכון ( = ) ו-, נתון: 5 ס"מ =, 85 ס"מ = חשב את הזווית א חשב את שטח המשולש ב ב סמ"ר א 754 תשובה: b ( = 90 ) במשולש ישר-זווית נתון: העבירו קטע tn = tn β, = β, = הוכח כי = חישובים במשולש שווה-שוקיים 7 ס"מ = =, = 48 נתון:, במשולש שווה-שוקיים חשב את הגובה לבסיס א חשב את שטח המשולש ב ב 8 סמ"ר 69 ס"מ א תשובה: סמ"ר, ( = ) במשולש שווה-שוקיים ב הוא הגובה לבסיס 6 ס"מ =, 46 ס"מ = נתון: חשב את זוויות המשולש א חשב את שטח המשולש ב א,84, תשובה: 49

50 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 4 חשב את הזוויות של משולש שווה-שוקיים שבו חוצה זווית הראש שווה באורכו לבסיס תשובה:,54, הוא משולש שווה-שוקיים ) ( = הוא תיכון O 5 לבסיס, הוא גובה לשוק והם נפגשים בנקודה = 8 נתון: 4 ס"מ =, חשב את אורך הקטע O תשובה: 574 ס"מ O, ( = ) 6 במשולש שווה-שוקיים הוא חוצה זווית הראש ), ( = הוא התיכון לשוק הקטעים 6 ס"מ = נתון: 9 ס"מ =, נפגשים בנקודה O חשב את גודל הזווית 749 תשובה: β 7 במשולש שווה-שוקיים, אורך השוק שווה ל- וזווית הבסיס היא ואת שטחו באמצעות הבע את היקף המשולש S = sinβ ; β ו- תשובה: cosβ) P= ( + חישובים במרובעים O 4 8 O = 4 במלבן נתון: 4 ס"מ =, חשב את צלעותיו של המלבן תשובה: 657 ס"מ, 6 ס"מ 50

51 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור הקטע F חותך את האלכסון 9 בריבוע F F = בנקודה נתון: F חשב את זוויות המשולש תשובה:, 45, ס"מ והזווית הקהה היא האלכסון הקטן במעוין הוא מצא את האלכסון הגדול של המעוין א מצא את גובה המעוין ב ב 668 ס"מ א 78 ס"מ תשובה: 6 ( = ) בטרפז ישר-זווית, 90 = 6 נתון:, = = הבע את היקף הטרפז באמצעות תשובה: P = 46 =, נתון: במלבן S = cos S הוכח כי: (, = = 90 ) = 4 בטרפז ישר-זווית נתון:, =, =, 7 הבע את בסיסי הטרפז באמצעות תשובה: 097, 05 5

52 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור שטח משולש על-פי שתי צלעות וזווית שביניהן b g שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתיים מצלעותיו בסינוס הזווית הכלואה ביניהן S = b sinγ, 56 ס"מ =, דוגמה במשולש נתון: ס"מ = = 54 חשב את שטח המשולש פתרון: שטח המשולש הוא: S = b sinγ S = sin 75 סמ"ר= S = 56 sin 54 S 7 4, 4 ס"מ =, = 7 ס"מ נתון: 4 במשולש = חשב את שטח המשולש 95 סמ"ר תשובה: 7 ס"מ ו- 58 ס"מ שתי הצלעות שלו הן 87 סמ"ר 5 שטחו של משולש הוא חשב את שני הערכים האפשריים לזווית שבין שתי הצלעות הנ"ל 64 או 658 תשובה: 5

53 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי-זווית 6 מחומש משוכלל חסום במעגל שרדיוסו 4 ס"מ א חשב את שטח המחומש ב חשב את היקף המחומש תשובה: א 805 סמ"ר ב 5 ס"מ 5 ס"מ חשב את שטחו של המשושה 7 במשושה משוכלל חסום מעגל שרדיוסו תשובה: 96 סמ"ר 8 צלעות) חסום במעגל היקפו של המתומן הוא ב 776 סמ"ר ס"מ 8 (מתומן - מצולע בעל מתומן משוכלל חשב את שטח המעגל א חשב את שטח המתומן ב א 75π סמ"ר תשובה:, חוסם מעגל ( n, מספר טבעי) שאורך צלעו הוא n צלעות 9 מצולע משוכלל בעל R r וחסום במעגל שרדיוסו שרדיוסו באמצעות ו- n ו- R r הבע את א הוכח כי היחס בין שטח המעגל החסום במצולע הנ"ל לבין שטח המעגל החוסם את ב המצולע, תשובה: הוא א R = sin 90 n cos 90 ; r = tn n 90 n 5

54 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור משפט הסינוסים b c R O b g משפט בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס הזווית מולה יחס זה שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש, דהיינו: b c = = = R sin sinβ sinγ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש R 55 8 O 5 : הוא 5 ס"מ = R דוגמה רדיוס המעגל החוסם את המשולש = 55 נתון: = 8, מצא את אורכי הצלעות של המשולש נמצא את הזווית במשולש פתרון: + + = 80 = = 4 בהסתמך על משפט הסינוסים, נמצא את אורכי הצלעות של המשולש R sin = R sin 5 sin ס"מ R sin = R sin 5 sin ס"מ R sin = R sin 5 sin8 99 ס"מ "מ = 55 ס"מ = 0 = 6, ס 8 במשולש נתון: = 9, חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש וחשב את אורכי הצלעות ו- תשובה: 409 ס"מ = R, 79 ס"מ =, 54

55 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור = 9 במשולש נתון: 4 ס"מ =, 0 ס"מ =, חשב את הזוויות הנותרות, ואת שטחו של המשולש תשובה:,8, סמ"ר או 64 ס"מ = b רדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא 48, 4964, 9554 שתי צלעות של משולש הן 48 ס"מ =, 4 ס"מ = R חשב את זוויות המשולש תשובה:, 48, = במשולש נתון: = 76, הוא חוצה הזווית ואורכו ס"מ חשב את אורכי הצלעות ו- תשובה: 087 ס"מ =, 95 ס"מ = 4 חוצה, ( = ) 4 במשולש שווה-שוקיים ורדיוס המעגל נתון: = 4 הזווית 65 ס"מ = R הוא החוסם את המשולש חשב את אורכו של א חשב את שטח המשולש ב ב 87 סמ"ר א 85 ס"מ תשובה: ( ) 5 בטרפז שווה-שוקיים 65 4 = 45, = 65 נתון: 4 ס"מ =, חשב את היקף הטרפז תשובה: 405 ס"מ 55

56 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 4 6, נתון: ס 4 "מ =, ס 6 "מ = חשב את אורך הצלע 5 ס"מ 6 במשולש = תשובה: 4 = 8 7 הוא התיכון לצלע נתון: במשולש, = 50 4 ס"מ =, חשב את שטח המשולש תשובה: 9 סמ"ר , = נתון: "מ ( ) ס 5 8 בטרפז = 6 ס 4 "מ =, 7 ס"מ =, חשב את גודל הזווית, ואת אורך הבסיס תשובה: = 5789, 48 ס"מ = b 9 הוא חוצה הזווית הישרה במשולש ישר-זווית = b, = נתון: ( = 90 ) b tn = sin 5 ( ) b הבע את תשובה: ואת באמצעות ו- b sin ; = sin ( 5 ) = β נתון: ( = ) sin β = sinβ cosβ 40 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות 56

57 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור O r r 4 נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו r המשיק למעגל בנקודה חותך את המשכו של הרדיוס O בנקודה ( < 45 ) נתון = הבע את רדיוס המעגל החוסם את המשולש א באמצעות r ו- הבע את שטחו של המשולש באמצעות r ו- ב r tn sin ב r tn א תשובה: cos g R 4 המשולש שווה-צלעות חסום במעגל שרדיוסו = γ היא נקודה על המעגל נתון: הוכח: + = משפט הקוסינוסים c b g משפט ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית הכלואה ביניהן, דהיינו: c = +b bcosγ +b c cosγ = b מהמשפט נובע כי: 57

58 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 6 4 4, ס 6 "מ =, דוגמה במשולש נתון: ס 4 "מ = = 4 חשב את אורך הצלע : פתרון: נשתמש במשפט הקוסינוסים ונחשב את c + b bcosγ = = + cos 49 ס"מ= = cos4 = = 6, 5 ס"מ = ס"מ=, 7 ס"מ 4 במשולש נתון: חשב את אורך הצלע תשובה: נתון: ס 6 "מ=, 45 ס"מ =, חשב את זוויות המשולש 58,957,8 44 במשולש ס 7 "מ = תשובה: במקבילית נתון: ס 5 "מ =, = 70 ס 8 "מ =, חשב את אורכי האלכסונים ו- של המקבילית תשובה: 785 ס"מ =, 079 ס"מ =, 57 ס"מ = 48 ס"מ =, 46 במשולש נתון: 6 ס"מ = חשב את שטח המשולש תשובה: 86 סמ"ר 58

59 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור נתון: ס 4 "מ =, במקבילית 65 ס"מ =, ס 8 "מ = חשב את גודל הזווית א חשב את אורך האלכסון ב 7 ס"מ ב א 865 תשובה: 4 F 48 בתוך משולש חסום מעגל המשיק לצלעות, ו- בנקודות, ו- F בהתאמה = 8 נתון: ס "מ =, ס 4 "מ =, חשב את אורכי הצלעות ו- תשובה: 5 ס"מ =, 5 ס"מ = 8 9 4, 49 המרובע חסום במעגל נתון: 4 ס"מ = ס 9 "מ =, ס 8 "מ =, ס"מ = חשב את שטח המרובע תשובה: 096 סמ"ר האלכסון ( ) 50 בטרפז שווה-שוקיים 45 8 שאורכו 8 ס"מ יוצר זווית בת 45 עם הבסיס הגדול אורך הבסיס קטן ב- ס 8 "מ מכל שוק של הטרפז חשב את אורך הבסיס תשובה: 4 ס"מ = b d d, = b, = נתון: = d d + d = ( + b ) 5 במקבילית, = d הוכח כי: 59

60 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 5 שלושת התיכונים במשולש הם ו- F, לצלעות, ו- בהתאמה התיכונים נפגשים F = m c, = m b, = m בנקודה O נתון: = m + m m הוכח: b c (הדרכה: היעזר בתוצאה של תרגיל קודם) p m n p ( ) 5 בטרפז שווה-שוקיים נתון כי = = p, = n, = m הבע את אורך אלכסון הטרפז באמצעותn,m ו- p p תשובה: + nm (t > 0) = t, = 5 נתון:, = המשולש, t 54 במשולש עבור אילו ערכי תשובה: או יהיה קהה זווית? 0 < t < 5 t > הנקודה נמצאת על הצלע 55 במעוין b g 5479 = γ, = β, = נתון: א ב הבע את cos γ באמצעות β מצא את הזווית, γ כאשר = 60 β 7 cosβ תשובה: א cosβ 0 + 6cosβ ב 60

61 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור תרגילים לסיכום הפרק O ו- O O 56, ו- הן נקודות על מעגל שמרכז נחתכים בנקודה (ראה ציור) S O = 5, O = O S 9 נתון: חשב את O תשובה: במשולש, חוצה את הזווית נתון: = γ, =β, = b א הבע את באמצעות β, b ו- γ b β= נתון: γ, = הבע את באמצעות b β β sin bsin γ γ+ sinβ sin γ ב א תשובה: ב M 58 S MN N = R 58 ) ( חסום מעגל בטרפז שווה-שוקיים שרדיוסו R קטע האמצעים MN מחלק את לשני טרפזים NM ו- MN (ראה ציור) ( 90 << 80 ) נתון: = א הבע את שטחי הטרפזים NM ו- MN באמצעות R ו- cos sin, S NM SNM = חשב את נתון: SMN = R + cos תשובה: א ) ( sin ב ב 6

62 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 59,( = 90, ) בטרפז ישר-זווית חוצה את הזווית (ראה ציור) ( > 45 ) =, = m, = נתון: א הראה כי שטח הטרפז שווה ל- m sin S = חשב את 5 נתון: S 8 תשובה: ב 64 ב b 60 נתון מעגל שקוטרו המשיק למעגל בנקודה בנקודה נתון: הוא מיתר במעגל זה חותך את המשך הקוטר ( 0 <β< 45 ) =β, = m mcosβ () i הראה כי רדיוס המעגל שווה ל- cosβ m שעבורה רדיוס המעגל שווה ל- β חשב את ( ii) m cosβ הראה כי שטח המשולש הוא: tn β β = 0 תשובה: א ii) ) א ב O 6 מרובע חסום במעגל שמרכז O כך ש- הוא קוטר במעגל (ראה ציור) נתון: = γ, =, = הראה כי היקף המרובע הוא: + cos+ cos γ cos( +γ) cos γ F 6 במשולש שווה-צלעות חסום משולש שווה-צלעות F (ראה ציור) נתון: F = F = הוכח כי א cos 60 ב F = נתון: חשב את () i ו- F,, מה התכונה ההנדסית של הנקודות ( ii) עבור התוצאה שקיבלת i ב-() ii) ( אמצעי הצלעות 60 ב () i תשובה: 6

63 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור b 6 מרובע חסום במעגל, כך שהצלעות ו- נמצאות על ישרים הניצבים זה לזה (ראה ציור) נתון: = β, =, = m א הבע את האלכסונים ו- באמצעות, m ו- β ב הראה כי ) +β tn ( ( +β) ( + β) mcos = cos = msin +β, = cos + β א תשובה: b M N b ( = 90 ) 64 במשולש ישר-זווית נתון: MN, N = (ראה ציור) =β S NM S N א הראה כי: = tn β = S N S S MN = חשב את β ב נתון כי S NM תשובה: ב 0 b F g 65 במשולש שווה-שוקיים, ( = ) הוא גובה לבסיס F חותך את בנקודה (ראה ציור) נתון: F = γ, =β, = באמצעות β ו- γ הבע את היחס הבע את ו- F באמצעות β, ו- γ (היעזר בסעיפים F = 4 הראה כי = נתון: 9 7 א' וב') sin γ tn γ F =, = תשובה: א ב sin β+γ cos β tnβ א ב ג c M N b 66 במשולש, הם אורכי הצלעות c ו- b,, ו- בהתאמה R הוא רדיוס במעגל החוסם את הנקודות M ו- N נמצאות על הצלע MN (ראה ציור) = NM = כך ש- S = R tn הוכח: S b c MN 6

64 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 67 הנקודות,,, נמצאות על ישר אחד הנקודה נמצאת מחוץ לישר חיברו את עם כל הנקודות הנ"ל (ראה ציור) נתון: = 0 = = = הוכח: 68 ),( נקודה כלשהי על השוק בטרפז = β, =, = = נתון: הבע באמצעות ו- β את היחס בין שטח המשולש לבין שטח המשולש sin β sin sin sin β תשובה: O 69 במשולש שווה-שוקיים ( = ) נקודה היא מרכז המעגל החוסם את המשולש, נקודה O היא מרכז המעגל O =, החסום במשולש נתון: = א הבע את אורכי הקטעים O ו- באמצעות ו- ב מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החוסם את המשולש cos =, O = sin cos cos א תשובה: sin tn ב נתון: R 70 משולש חסום במעגל בעל רדיוס חוצה את הזווית, = β, = (ראה ציור) המשכו של חותך את המעגל בנקודה הוכח: א = R sin ( +β) R sin sinβ = sin ( +β) R sin β = sin ( +β) ב ג הוכח: הוכח: 64

65 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור b O F 7 במעגל שמרכז O ורדיוסו R חסום משולש שווה-שוקיים שבו = β, = נקודה היא נקודת מפגש של גבהים במשולש הנ"ל (ראה ציור) א הבע את באמצעות R ו- β ב הבע את שטח המשולש O באמצעות R ו- β תשובה: א R cos β ב R sinβ cosβ O שמחוץ R מנקודה 7 נתון מעגל שמרכז O ורדיוסו למעגל העבירו משיק וישר O חיברו את O עם ורדיוסו r משיק ל- O ומשיק מעגל נוסף שמרכזו נתון: להמשכי הקטעים ו- O (ראה ציור) = R r = + tn הראה כי: O ( π ) R 7 הקודקודים ו- של משולש נמצאים על היקפו של מעגל שמרכז O ורדיוסו R הקודקוד השלישי נמצא על = β, הקוטר (ראה ציור) נתון: = ) ו- β זוויות ברדיאנים) א הבא את שטח המשולש באמצעות, R ו- β =β הבע את השטח החסום בין π, = 5π ב נתון: 4 הקשת לבין המיתר (השטח המקווקו שבציור) באמצעות R R sin + β cos +β sin sinβ א תשובה: ב O F ו- R 74 הוא קוטר במעגל שמרכז O ורדיוסו שני מיתרים במעגל זה המשכו של הרדיוס O חותך את המיתר בנקודה (ראה ציור) =, נתון: R ו- הבע את שטח המשולש באמצעות א חשב את הזווית שעבורה O = OF ב S S F עבור ג שחישבת בסעיף ב', מצא את היחס: 65

66 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 5 R sin + 45 sin 45 cos א תשובה: ג ב b 75 חוצה את הזווית במשולש שונה צלעות = b, =, נתון: γ= γ הוכח: = b cos + b c b = 76 במשולש, היא נקודה על צלע כך ש- c) ( > (ראה ציור) נתון: = c, = b, = ( c ) = + b c הוכח כי: O 77 הנקודה O היא מרכז המעגל החסום במשולש = γ, =β, זוויות המשולש הן: = sin S O הראה כי = S β γ cos cos נתון כי רדיוס המעגל החסום במשולש הוא r הבע את המכפלה O O O באמצעות β,, r ו- γ r sin β γ sin sin א ב ב תשובה: b q p r 78 נקודה כלשהי בתוך משולש שווה-צלעות צלעו נתון:, שאורך = β, = r, = q, = p p r = א הראה כי q sin ( 0 β) ב נתון: =β 5 הבע את שטח המשולש באמצעות r ו- p p r 4 תשובה: ב 66

67 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור K b M L 79 משולש חד-זווית חוסם מעגל שרדיוסו r הנקודות M,L,K הן נקודות ההשקה KML = β, KLM (ראה ציור) נתון: = הראה כי רדיוס המעגל החוסם את הוא: r +β β R = 4cos cos cos O b 80 הוא קוטר במעגל שמרכז O ורדיוסו R המיתר חותך את הרדיוס O בנקודה (ראה ציור) נתון: = 60 O O = β, א הבע את שטח המשולש באמצעות ב מהו שטח המשולש כאשר = 0 β β ו- R R 8 ( β) ( +β) sin( 60 +β) R sin 0 cos 0 א תשובה: ב M 8 בטרפז שווה שוקיים ( ) שאלכסוניו = β, נחתכים בנקודה, M נתון: = א הוכח כי היחס בין שטח המשולש M לבין שטח S M sin β = S M sin ( +β) ב המשולש M הוא: הוכח כי היחס בין שטח המשולש לבין S sin( +β) cos = שטח המשולש M הוא: S sin( +β) M β S 0, 5 = = S M 9 ג 86 נתון גם: ג תשובה: חשב את F 8 משולש חסום במעגל היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות הפנימיות במשולש זה הישר חותך את המעגל בנקודה F (ראה ציור) נתון: = γ, = β, = m א הבע את באמצעותm, β ו- γ ב הראה כי F הוא משולש שווה-שוקיים והבע את היקפו באמצעותm, β ו- γ 67

68 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור β ( + γ) ( β+ γ) msin sin sin msinβ sin γ sin ( β + γ) א תשובה: ב 8 = γ, =β, במשולש נתון: = γ, β, הן זוויות חדות נקודה היא נקודת חיתוך גבהים במשולש = = א הוכח: cos cosβ cos γ ב נסמן ב- R את רדיוס המעגל החוסם את הראה כי המשולשים,, ניתן לחסום במעגלים בעלי רדיוס R F 84 = β, = b, = במקבילית נתון: ) β חדה) מקודקוד העבירו ישר החותך את הצלע וחותך את המשכה של הצלע, F בנקודה בנקודה (ראה ציור) שטח המרובע F הוא b 5 א הבע את עורך הקטע באמצעות b, ו- β S = חשב את β ב נתון: S 5 sin β ב 687 תשובה: א 5sinβ על השוקיים של =θ 85, = m שבו ( = ) נתון משולש שווה-שוקיים משולש זה בנו משולש שווי-צלעות ו- (ראה ציור) הוכח כי א הבע את באמצעות m ו- θ ב S = S נתון: ג θ חשב את () i מה המשמעות ההנדסית של התוצאה שקיבלת ii) ( לגבי המרובע ( ii) 0 () i θ m cos 0 sin θ ב תשובה: ג מלבן 68

69 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור b g 86 מרובע חסום במעגל אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה נתון: = γ, =β, =, = א הבע את באמצעות β, ו- γ ב הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המרובע β γ cos R = הוא: β+γ sinβ cos( ) sinγ תשובה: א sinβ F G 87 טרפז ומשולש שווה-שוקיים (F = G) FG של הטרפז הוא קוטר חסומים במעגל הבסיס הגדול FG של המשולש שוקי הטרפז במעגל ומקביל לבסיס G = γ, FG = m נתון: מקבילות לשוקי המשולש הבע את שוקי הטרפז באמצעות m ו- γ א הראה כי שטח הטרפז שווה לשטח המשולש והבע את ב השטח באמצעות m ו- γ m tn 4 γ ב = = m תשובה: א sin γ F 88 משולש חסום במעגל חוצי הזוויות, ו- חותכים את המעגל בנקודות, ו- F בהתאמה (ראה ציור) נתון: = γ, = β, = א הראה כי היחס בין היקף המשולש לבין היקפו של sin + sinβ+ sinγ המשולש F הוא: cos + cosβ+ cos γ ב הראה כי היחס בין שטח המשולש לבין שטח 8sin sinβ sin המשולש F הוא: γ O 89 טרפז חסום במעגל שמרכז O הוא גובה בטרפז (ראה ציור) נתון: O = β, O =, = h h א הראה כי רדיוס המעגל שווה ל- cos + cosβ h tn ( + ) β ב הראה כי שטח הטרפז הוא: 69

70 פרק : בעיות טריגונומטריות במישור 90 הוא גובה לצלע במשולש (ראה ציור) נתון: = + 45, = b, = = הראה כי b =,4 b = חשב את זוויות המשולש נתון: תשובה: ב, 4847, א ב 9 במשולש ישר-זווית ( = 90 ) העבירו כך ש- המקביל ל- העבירו מנקודה = (ראה ציור) נתון: 0 << 45 ) = ( S 4 = sin S cos cos S = S אם ידוע ש- ב 87 א הראה כי: ב חשב את תשובה: b m F ו- עם הנקודות 9 מיתר במעגל חיברו נקודה הנקודות ו- F הן נקודות החיוך של ו- עם המעגל SF נתון: = Q, = m, =β, = בהתאמה Q sin ( +β) F = m sin sinβ הראה כי: א 6 ס "מ=, F 8 ס "מ=, = 45, m נתון כי: ב חשב את β ( ) סמ"ר = Q ב תשובה: 60 p m n b q ( ) 9 בטרפז נתון:, = n, = m = β, =, = q, = p ( m + n p q א הראה כי: +β) = mn + pq cos ב נתון כי בטרפז ניתן לחסום מעגל הראה כי: mn β = sin pq ( + ) 70