ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Κωνσταντίνος Α.

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κωνσταντίνος Α. Αλεξόπουλος ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Συμπληρωματικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-time) Αθήνα Σεπτέμβριος 2016

2

3 Στους γονείς μου

4

5 Ευχαριστίες Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή μου κο. Ψαράκη Στυλιανό, για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με ένα τόσο σύγχρονο και ενδιαφέρον θέμα. Η αμέριστη συμπαράσταση και κατανόηση του καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας μου ήταν καθοριστική για την ολοκλήρωσή της. Επίσης, θα ήθελα να εκφράσω τη βαθύτατη ευγνωμοσύνη μου στον Καθηγητή Ντζόυφρα Ι. για τις πολύτιμες συμβουλές του κατά τη διάρκεια των φοιτητικών μου χρόνων. Τέλος, θέλω να εκφράσω ιδιαίτερες ευχαριστίες προς την οικογένειά μου για τη διαρκή στήριξη και πίστη τους σε μένα. Η ολοκλήρωση της διπλωματικής εργασίας χρηματοδοτήθηκε από το Ι.Κ.Υ. στο πλαίσιο του προγράμματος χορήγησης υποτροφιών για μεταπτυχιακές σπουδές πρώτου κύκλου (μάστερ) στην Ελλάδα με ένταξη στην αγορά εργασίας, ακαδ. έτους Οφείλω, λοιπόν, να ευχαριστήσω το Ι.Κ.Υ. για τη βοήθεια και τη στήριξη που μου έχει προσφέρει αυτά τα δύο χρόνια, και ελπίζω να συνεχίσει να προσφέρει σε όσους θέλουν να κυνηγήσουν το όνειρο τους είτε στην Ελλάδα, είτε στο εξωτερικό. I

6 II

7 Abstract September 2016 Statistical Process Control with Applications In this era of strains on the resources and rising costs of manufacturing, it becomes increasingly apparent that decisions must be made on facts, not just opinions. Consequently, data must be gathered and analysed. This is where Statistical Process Control, commonly referred to as SPC, comes in. For over 80 years, the manufacturing arena has benefited from the tools of SPC that have helped guide the decision-making process. In particular, the control chart has helped determine whether special-cause variation is present implying that action needs to be taken to either eliminate that cause if it has a detrimental effect on the process or to make it standard operating procedure if that cause has a beneficial effect on the process. If no specialcause variation is found to be present, SPC helps define the capability of the stable process to judge whether it is operating at an acceptable level. Along with covering traditional methods, this thesis describes some recent SPC methods that improve upon the more established techniques. After exploring the role of SPC and other statistical methods in quality control and management, this thesis covers basic statistical concepts and methods useful in SPC. It then systematically describes traditional SPC charts, including the Shewhart, CUSUM, and EWMA charts, and fundamental multivariate SPC charts under the normality assumption in various situations. All computations in the examples are solved using R. III

8 IV

9 Περίληψη Σεπτέμβριος 2016 Στατιστικός Έλεγχος Διεργασιών με Εφαρμογές Σε μια εποχή που οι πρώτες ύλες συνεχώς περιορίζονται και το κόστος παραγωγής αυξάνεται, γίνεται ολοένα και πιο προφανές ότι οι αποφάσεις πρέπει να λαμβάνονται με βάση τα δεδομένα και όχι απλά με τις απόψεις. Έτσι, λοιπόν, η συλλογή και η ανάλυση των δεδομένων κρίνεται απαραίτητη. Στο σημείο αυτό εισέρχεται και ο Στατιστικός Έλεγχο Διεργασιών (SPC). Εδώ και περίπου 80 χρόνια, οι διαδικασίες παραγωγής επωφελούνται από τα εργαλεία του SPC, ο οποίος έχει βοηθήσει σε μέγιστο βαθμό τη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Συγκεκριμένα, το διάγραμμα ελέγχου αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία του SPC, το οποίο δίνει τη δυνατότητα να εντοπίσουμε μια ειδική αιτία μεταβλητότητας, προκειμένου να ενεργήσουμε κατάλληλα είτε εξαλείφοντας την αν η επίδραση της είναι αρνητική για την ομαλή λειτουργία της διεργασίας, είτε υιοθετώντας την αν η εμφάνισή της κρίνεται ευεργετική. Αν δεν εντοπίσουμε τέτοιου είδους μεταβλητότητα, ο SPC χρησιμοποιείται για να καθορίσει την αποτελεσματικότητα της διεργασίας. Η παρούσα εργασία περιγράφει τις παραδοσιακές μεθόδους του SPC, σε συνδυασμό με κάποιες πιο σύγχρονες που βελτιώνουν την αποτελεσματικότητά αυτών που έχουν ήδη καθιερωθεί. Αφού εξηγήσουμε τις βασικές έννοιές του SPC, το ρόλο του στον έλεγχο ποιότητας και στη διοίκηση, στη συνέχεια περιγράφουμε και αναλύουμε τα σημαντικότερα διαγράμματα ελέγχου, όπως τα διαγράμματα Shewhart, CUSUM, και EWMA, καθώς και τα θεμελιώδη πολυμεταβλητά διαγράμματα κάτω από την υπόθεση της κανονικής κατανομής. Όλοι οι υπολογισμοί στα παραδείγματα και τις εφαρμογές έχουν πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας το στατιστικό πακέτο R V

10 VI

11 Περιεχόμενα Ευχαριστίες Abstract Περίληψη Περιεχόμενα Λίστα Πινάκων Λίστα Γραφημάτων Πρόλογος I III V VII XI XIII XVII 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας Εισαγωγή Τι είναι Ποιότητα; Ιστορική Αναδρομή Τι είναι μια Διεργασία - Διαδικασία; Τι είναι ο Έλεγχος; Στατιστικός Έλεγχος Διεργασιών Φάση I και ΙΙ Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Ποιότητας 11 VII

12 Περιεχόμενα 2.1 Εισαγωγή Διάγραμμα Αιτίου - Αποτελέσματος Το Φύλλο Ελέγχου Διάγραμμα Ελέγχου Ιστόγραμμα Διάγραμμα Pareto Διάγραμμα Διασποράς ή Διασκόρπισης (Scatterplot) Στρωματοποίηση Σχόλια Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Εισαγωγή Χαρακτηριστικά ενός Διαγράμματος Ελέγχου Σχεδιασμός ενός Διαγράμματος Ελέγχου Χαρακτηριστικές Καμπύλες Average Run Length (ARL) Ερμηνεία ενός Διαγράμματος Ελέγχου Shewhart Διαγράμματα Ελέγχου Shewhart Διαγράμματα Ελέγχου για συνεχείς μεταβλητές Το και Διάγραμμα Ελέγχου Το και Διάγραμμα Ελέγχου Το και Διάγραμμα Ελέγχου για μεμονωμένες παρατηρήσεις Shewhart Διαγράμματα Ελέγχου για κατηγορικές μεταβλητές Τα και Διαγράμματα Ελέγχου VIII

13 Περιεχόμενα Τα, και Διαγράμματα Ελέγχου Σχόλια CUSUM Διαγράμματα Ελέγχου Εισαγωγή Διαγράμματα CUSUM για τον Μέσο μιας Κανονικής Διεργασίας Η V-μάσκα και το διάστημα απόφασης του διαγράμματος CUSUM Σχεδιασμός του διαγράμματος CUSUM για τον μέσο Μέθοδος Άμεσης Αρχικής Αντίδρασης Περιπτώσεις συσχετισμένων παρατηρήσεων Βελτιστοποίηση του διαγράμματος CUSUM Διαγράμματα CUSUM για τη Διακύμανση μιας Κανονικής Διεργασίας Μεταβλητότητα διεργασίας και ποιότητα προϊόντων Σχεδιασμός του διαγράμματος CUSUM για τη διακύμανση Διαγράμματα CUSUM για κατανομές της εκθετικής οικογένειας Συνεχείς κατανομές της εκθετικής οικογένειας Διακριτές κατανομές της εκθετικής οικογένειας Self-Starting διαγράμματα CUSUM Σχόλια EWMA Διαγράμματα Ελέγχου Εισαγωγή Διαγράμματα EWMA για τον Μέσο μιας Κανονικής Διεργασίας Σχεδιασμός και εφαρμογή του διαγράμματος EWMA για τον μέσο Μέθοδος Άμεσης Αρχικής Αντίδρασης IX

14 Περιεχόμενα Περιπτώσεις συσχετισμένων παρατηρήσεων Σύγκριση με τα διαγράμματα CUSUM Διαγράμματα EWMA για τη Διακύμανση μιας Κανονικής Διεργασίας Σχεδιασμός του διαγράμματος EWMA για τη διακύμανση Self-Starting διαγράμματα EWMA Σχόλια Πολυμεταβλητός Στατιστικός Έλεγχος Διεργασιών Εισαγωγή Η πολυμεταβλητή κανονική κατανομή και οι ιδιότητές της Βασικά πολυμεταβλητά διαγράμματα Shewhart Διαγράμματα Shewhart για τον έλεγχο του μέσου Διαγράμματα Shewhart για τον έλεγχο της διακύμανσης Πολυμεταβλητά Διαγράμματα CUSUM Διαγράμματα MCUSUM για τον έλεγχο του μέσου Διαγράμματα MCUSUM για τον έλεγχο του πίνακα διακύμανσης Πολυμεταβλητά Διαγράμματα EWMA Διαγράμματα MEWMA για τον έλεγχο του μέσου Διαγράμματα MEWMA για τον έλεγχο του πίνακα διακύμανσης Σχόλια Συζήτηση - Συμπεράσματα 175 Βιβλιογραφία 179 X

15 Λίστα Πινάκων Πίνακας 2.1: Μήκος γραναζιών (cm) Πίνακας 3.1: Αποτελέσματα OC καμπυλών για μετατόπιση 1.5 τυπικής απόκλισης από το μέσο Πίνακας 4.1: Τιμές για τις σταθερές ( ) και ( ) για την κατασκευή των διαγραμμάτων και R όταν το μέγεθος του δείγματος είναι Πίνακας 4.2: Πίνακας 4.3: Περιγραφικά μέτρα 24 δειγμάτων από μια διεργασία χύτευσης με έκχυση. Τα πρώτα 20 δείγματα συλλέχθηκαν για την κατασκευή των διαγραμμάτων ελέγχου, και τα τελευταία 4 για τον έλεγχο της διεργασίας σε πραγματικό χρόνο. Το ποιοτικό χαρακτηριστικό στο παράδειγμα αυτό είναι η αντοχή (psi) των υλικών κάτω από συμπίεση Είκοσι παρατηρήσεις ( ) σχετικά με τη συγκέντρωση (σε g/l) ενεργού συστατικού σε ένα υγρό καθαριστικό που παράγεται από μια χημική διαδικασία, και τα δειγματικά εύρη ( ) Πίνακας 4.4: Αριθμός προϊόντων που δεν πληρούν τις προδιαγραφές τους σε 20 δείγματα και τα αντίστοιχα δειγματικά ποσοστά τους Πίνακας 4.5: Αριθμός ελαττωμάτων σε 24 δείγματα που αποτελούνται από πλακέτες κυκλώματος. Τα πρώτα 20 δείγματα συλλέχθηκαν για την κατασκευή των διαγραμμάτων ε- λέγχου, και τα τελευταία 4 για την παρακολούθηση της διεργασίας σε πραγματικό χρόνο Πίνακας 5.1: Τιμές του για τα μονόπλευρα και το δίπλευρο CUSUM με παραμέτρους και ή Πίνακας 5.2: τιμές του μονόπλευρου διαγράμματος CUSUM συσχετισμένων παρατηρήσεων που ακολουθούν το (1) μοντέλο με συντελεστή φ, για διαφορετικούς συνδυασμούς των, XI

16 Λίστα Πινάκων Πίνακας 6.1: ARL τιμές του δίπλευρου διαγράμματος EWMA συσχετισμένων παρατηρήσεων που ακολουθούν το (1) μοντέλο με συντελεστή φ, για διαφορετικούς τιμές των λ,ρ Πίνακας 6.2: Βέλτιστες τιμές και οι αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων των διαγραμμάτων upper CUSUM (5.7)-(5.8) και upper EWMA (5.1) με άνω όριο ελέγχου της (6.7), όταν η κατανομή της εντός ελέγχου κατάστασης είναι ( ) και ο μέσος αυξάνεται κατά μέγεθος σε ένα χρονικό σημείο Πίνακας 7.1: Πίνακας 7.2: Πίνακας 7.3: Ο πίνακας περιέχει 30 παρατηρήσεις από μια γραμμή παραγωγής με 3-διάστατη κανονική κατανομή. Οι πρώτες 20 συλλέχθηκαν για την ανάλυση της φάσης Ι και οι τελευταίες 10 για την ανάλυση της φάσης ΙΙ Δεδομένα 30 παρατηρήσεων φάσης ΙΙ μιας 3-διάστατης διεργασίας και οι υπολογισμένες τιμές των στατιστικών και που ορίστηκαν στις σχέσεις (7.40) και (7.41), αντίστοιχα τιμές του MEWMA διαγράμματος (7.54)-(7.55) για τον εντοπισμό μετατοπίσεων διαφορετικών μεγεθών όταν,, και λ και Πίνακας 7.4: Ο πίνακας παρουσιάζει τιμές για το όριο ελέγχου του MEWMA διαγράμματος (7.66)-(7.67) για κάποιες από τις πιο συνηθισμένες τιμές λ και όταν Ο πίνακας είναι ένα μέρος του Πίνακα 1 των Hawkins και Maboudou- Tchao (2008) Πίνακας 7.5: Ο πίνακας παρουσιάζει τις πρώτες 30 παρατηρήσεις φάσης ΙΙ μιας 3-διάστατης διεργασίας (στήλες 2-4), τις τρεις συνιστώσες του ( ) υπολογισμένες από την (7.65) (στήλες 5-7), και τις τιμές του στατιστικού του MEWMA διαγράμματος (7.66)-(7.67) (τελευταία στήλη) για το οποίο είναι λ και XII

17 Λίστα Γραφημάτων Γράφημα 1.1: Μια διεργασία Γράφημα 2.1: Διάγραμμα Αιτίου-Αποτελέσματος. Μία οριζόντια ευθεία γραμμή σχηματίζεται και το αποτέλεσμα εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά. Από την κεντρική γραμμή εξέχουν γραμμές που αναφέρονται στις ομάδες αιτιών που προκύπτουν από τη μέθοδο των πέντε Μ, σχηματίζοντας έτσι ένα ψαροκόκαλο. Οι πιθανές αιτίες για κάθε ο- μάδα εμφανίζονται δίπλα σε αυτές τις γραμμές Γράφημα 2.2: Συμπληρωμένο Διάγραμμα Ελέγχου. Ο χειριστής καταγράφει τα γεγονότα για κάθε πιθανή αιτία που μπορεί να οδηγήσει σε αποτυχία του προϊόντος Γράφημα 2.3: Διάγραμμα Ελέγχου για το για το μήκος των γραναζιών. Παρατηρούμε ότι το διάγραμμα εντοπίζει τρία διαδοχικά σημεία εκτός ελέγχου Γράφημα 2.4: Ιστόγραμμα συχνοτήτων για το μήκος των γραναζιών Γράφημα 2.5: Διάγραμμα Pareto. Αποτελεί έναν συνδυασμό ενός διαγράμματος σημείων (dot plot) και ενός διαγράμματος γραμμών (line plot), χρησιμοποιώντας τα συσσωρευτικά ποσοστά. Παρατηρούμε τις αιτίες που μπορεί να προκαλούν πρόβλημα στη διαδικασία παραγωγής Γράφημα 2.6: Διάγραμμα Διασποράς για τον έλεγχο συσχέτισης μεταξύ τον δύο μεταβλητών Γράφημα 2.7: Διάγραμμα Πλαισίου Απολήξεων για κάθε επίπεδο της κατηγορικής μεταβλητής. Παρέχει τη δυνατότητα για άμεση απεικόνιση πιθανών διαφορών μεταξύ των ομάδων, σχετικά με την κεντρική τάση και τη μεταβλητότητα Γράφημα 3.1: Διάγραμμα ελέγχου vs. συνάρτηση πιθανότητας. Το διάγραμμα ελέγχου δείχνει την ακολουθία των παρατηρήσεων. Η μεταβλητότητα γύρω από την κεντρική γραμμή μας δίνει μια ιδέα για τη μορφή της συνάρτησης πιθανότητας Γράφημα 3.2: Σφάλμα τύπου Ι και ΙΙ για ένα διάγραμμα XIII

18 Λίστα Γραφημάτων Γράφημα 3.3: Χαρακτηριστικές καμπύλες. Κάθε καμπύλη αναπαριστά μία συνάρτηση της πιθανότητας του σφάλματος τύπου ΙΙ ως συνάρτηση της απόκλισης από το μέσο της διαδικασίας, την οποία το διάγραμμα ελέγχου θα μπορεί να εντοπίσει για διαφορετικά μεγέθη δείγματος Γράφημα 3.4: Εντοπισμός σημείου εκτός ελέγχου. Στις περιπτώσεις αυτές, προχωρούμε σε έρευνα προκειμένου να αφαιρέσουμε την πηγή που προκαλεί το πρόβλημα Γράφημα 3.5: Μοτίβα στα διαγράμματα ελέγχου. Μπορούμε να εντοπίσουμε διάφορα μοτίβα σε ένα διάγραμμα ελέγχου, ενδεικτικά αναφέρουμε: τους επαναλαμβανόμενους κύκλους/εποχικότητα (a), μετατοπίσεις (b), τάσεις (c) Γράφημα 3.6: Ζώνες διαγραμμάτων ελέγχου. Η κατανομή των παρατηρήσεων στις τρεις ζώνες μπορεί να υποδείξουν καταστάσεις εκτός ελέγχου Γράφημα 4.1: και διαγράμματα για τα δεδομένα του Πίνακα 4.2. Η μπλε κάθετη γραμμή χωρίζει τις δύο φάσεις, φάση Ι και φάση ΙΙ. Οι δειγματικοί μέσοι και τα δειγματικά εύρη των πρώτων 20 δειγμάτων φαίνονται με μαύρες κουκίδες ενωμένες με μαύρες γραμμές. Όπως φαίνεται η διεργασία είναι εντός ελέγχου στις πρώτες 20 χρονικές στιγμές (φάση Ι), οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα διαγράμματα για τη φάση ΙΙ. Στη φάση ΙΙ οι δειγματικοί μέσοι και τα δειγματικά εύρη αναπαριστούνται με τις άσπρες κουκίδες ενωμένες με διακεκομμένες γραμμές και αντιστοιχούν στις 4 τελευταίες παρατηρήσεις του Πίνακα 4.2. Διαπιστώνουμε μετατόπιση του μέσου στο 24ο χρονικό σημείο, όπου και η διαδικασία σταματά για να ερευνηθούν πιθανές ειδικές αιτίες μεταβλητότητας Γράφημα 4.2: και διαγράμματα για τα δεδομένα του Πίνακα 4.2. Η μπλε κάθετη γραμμή χωρίζει χρονικά τις δύο φάσεις, φάση Ι και φάση ΙΙ. Οι δειγματικοί μέσοι και οι δειγματικές τυπικές αποκλίσεις των πρώτων 20 δειγμάτων φαίνονται με μαύρες κουκίδες ενωμένες με μαύρες γραμμές. Αφού η διεργασία είναι εντός ελέγχου στις πρώτες 20 χρονικές στιγμές, τα διαγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της φάσης ΙΙ. Οι δειγματικοί μέσοι και οι δειγματικές τυπικές απόκλίσεις της φάσης ΙΙ αναπαριστούνται με τις άσπρες κουκίδες ενωμένες με διακεκομμένες γραμμές και αντιστοιχούν στις 4 τελευταίες παρατηρήσεις του Πίνακα 4.2. Λαμβάνουμε σήμα μετατόπισης της μεταβλητότητας της διεργασίας στο 22ο χρονικό σημείο, οπότε η διεργασία πρέπει να σταματήσει αμέσως για να ερευνηθούν πιθανές ειδικές αιτίες που το προκάλεσαν Γράφημα 4.3: και διαγράμματα για τον έλεγχο 20 μεμονωμένων παρατηρήσεων σχετικά με τη συγκέντρωση (σε g/l) ενεργού συστατικού σε ένα υγρό καθαριστικό που παράγεται από μια χημική διεργασία Γράφημα 4.4: Διάγραμμα για τα δεδομένα του Πίνακα Γράφημα 4.5: Το διάγραμμα για τον έλεγχο του αριθμού των ελαττωμάτων σε 24 πλακέτες κυκλώματος XIV

19 Λίστα Γραφημάτων Γράφημα 5.1: Διάγραμμα για τα 20 δείγματα του παραδείγματος 5.1 χρησιμοποιώντας τα όρια ελέγχου (4.6). Τα πρώτα 10 δείγματα αφορούν την εντός ελέγχου κατάσταση με κατανομή ( ). Στο 11ο χρονικό σημείο ο μέσος μετατοπίζεται κατά 0.2 μονάδες, οπότε η κατανομή τον επόμενων 10 δειγμάτων ακολουθούν ( ) κατανομή Γράφημα 5.2: Σύγκριση διαγραμμάτων και CUSUM Γράφημα 5.3: Η V-μάσκα του διαγράμματος CUSUM. Στο διάγραμμα παρατηρούμε τις τιμές των συσσωρευμένων αθροισμάτων. Η γραμμοσκιασμένη περιοχή σχηματίζει μία V-μάσκα, η οποία μπορεί να χρη-σιμοποιηθεί για τον εντοπισμό μετατόπισης του μέσου στο. Μια μετατόπιση του μέσου που συμβαίνει πριν το ανιχνεύεται αν κάποιες τιμές των για βρεθούν εκτός του χωρίου που ορίζει η V-μάσκα Γράφημα 5.4: Ένα δίπλευρο διάγραμμα CUSUM. Οι τιμές των και έχουν υπολογιστεί από τα δεδομένα του Παραδείγματος 5.1 και εμφανίζονται με μαύρο και μπλε χρώμα αντίστοιχα. Στο διάγραμμα επιλέξαμε και, έτσι ώστε η τιμή του να είναι ίση με 100. Παρατηρούμε ότι ο μέσος της διεργασίας παρουσιάζει μεταβολή προς τα πάνω Γράφημα 5.5: Διαγράμματα upper και lower CUSUM για τον έλεγχο μεταβολής της διακύμανσης. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε αύξηση της μεταβλητότητας της διεργασίας, ενώ στη δεύτερη μείωση Γράφημα 6.1: Διάγραμμα EWMA με λ και ρ. Συμβολίζουμε με μαύρες κουκίδες τις τιμές του στατιστικού για τα δεδομένα του Παραδείγματος 6.1. Οι κόκκινες γραμμές αναπαριστούν τα δύο όρια ελέγχου Γράφημα 6.2: Γράφημα 6.3: τιμές του EWMA διαγράμματος όταν η κατανομή της εντός ελέγχου κατάστασης είναι ( ) για διάφορες τιμές λ και ρ τιμές του EWMA διαγράμματος όταν η κατανομή της εντός ελέγχου κατάστασης είναι ( ), με, για διάφορες τιμές λ 0.05, 0.1, 0.2, 0.3 και το μέγεθος της μεταβολής του μέσου της διεργασίας αλλάζει από 0 έως 2.0 με βήμα Γράφημα 6.4: (a) upper CUSUM διάγραμμα (5.7)-(5.8) με ( ) ( ) για 100 μεμονωμένες παρατηρήσεις από μια γραμμή παραγωγής, όταν ο μέσος μετατοπίζεται κατά 0.5 στο 51ο χρονικό σημείο. (b) Το ίδιο διάγραμμα όταν εφαρμόζεται στους τυποποιημένους δειγματικούς μέσους 20 δειγμάτων μεγέθους 5 το κάθε ένα από μια γραμμή παραγωγής, όταν ο μέσος μετατοπίζεται κατά 0.5 στο 11ο χρονικό σημείο. Τα διαγράμματα (c) και (d) αφορούν τα ίδια δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν στο (a) και (b), αλλά αντί για το CUSUM εφαρμόσαμε το EWMA διάγραμμα των (6.1) και (6.7) με (λ ρ) ( ) XV

20 Λίστα Γραφημάτων Γράφημα 6.5: Upper EWMA διάγραμμα με λ, ρ και όριο ελέγχου, και lower EWMA διάγραμμα με λ, ρ και όριο ελέγχου για τα δεδομένα του Παραδείγματος Γράφημα 7.1: (a) Η μορφή μιας διδιάστατης κανονικής κατανομής, όταν ( ),,, και ρ. (b) Διάγραμμα τεσσάρων ισοϋψών καμπυλών (contour curves) {( ) ( ) } με Γράφημα 7.2: Στην περίπτωση δύο τυχαίων μεταβλητών με,,,, και ρ, η έλλειψη κατασκευάζεται από την κατανομή του ( ) έτσι ώστε το να έχει 90.25% πιθανότητα να βρίσκεται εντός της έλλειψης, ενώ στην περίπτωση που οι συνιστώσες του είναι ανεξάρτητες η πιθανότητα είναι 95% Γράφημα 7.3: (a) Πολυμεταβλητό διάγραμμα Shewhart (7.12)-(7.14) για τις πρώτες 20 παρατηρήσεις φάσης Ι του Πίνακα 7.1, όταν. (b) Πολυμεταβλητό διάγραμμα Shewhart (7.15)-(7.17) για τις 10 τελευταίες παρατηρήσεις φάσης ΙΙ του Πίνακα 7.1, όταν Γράφημα 7.4: Τα διαγράμματα (a)-(c) δείχνουν τις τρεις συνιστώσες των αρχικών παρατηρούμενων δεδομένων, τα (d)-(f) εμφανίζουν τις τρεις συνιστώσες των τυποποιημένων καταλοίπων, τα διαγράμματα (g)-(i) παρουσιάζουν τα τρία μεμονωμένα διαγράμματα CUSUM που ορίζονται από τις (7.38)-(7.39), και τα διαγράμματα (j)- (k) εμφανίζουν τα πολυμεταβλητά διαγράμματα CUSUM των (7.40) και (7.41)- (7.42), αντίστοιχα. Οι διακεκομμένες γραμμές των διαγραμμάτων CUSUM αναπαριστούν τα όρια ελέγχου σε κάθε περίπτωση. Για τα (j), (k) έχει επιλεγεί και Γράφημα 7.5: Τα διαγράμματα (a)-(c) παρουσιάζουν τo διάγραμμα Shewhart, το πολυμεταβλητό διάγραμμα CUSUM (7.47)-(7.48) με, και το διάγραμμα COT (7.45)-(7.46) με, αντίστοιχα, όταν εφαρμόζονται σε ένα σύνολο 30 παρατηρήσεων μιας 3-διάστατης παραγωγικής διαδικασίας για το σενάριο (i). Σε κάθε διάγραμμα η τιμή του είναι ίση με 200 και αντίστοιχο όριο ελέγχου εμφανίζεται με διακεκομμένη γραμμή. Τα αποτελέσματα για τα σενάρια (ii) και (iii) παρουσιάζονται στα σχετικά διαγράμματα της 2ης και 3ης σειράς, αντίστοιχα Γράφημα 7.6: Το MEWMA διάγραμμα ελέγχου (7.54)-(7.55) για τα δεδομένα του Παραδείγματος 7.2, όταν λ και, έτσι ώστε Γράφημα 7.7: Το EWMA διάγραμμα (7.66)-(7.67) όταν εφαρμόζεται στα δεδομένα του Πίνακα 7.5 για λ, και όριο ελέγχου XVI

21 Πρόλογος Η σύγχρονη εποχή με τη ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας χαρακτηρίζεται από μια συνεχή αύξηση του ανταγωνισμού μεταξύ των επιχειρήσεων, γεγονός που δυσχεραίνει σε μεγάλο βαθμό την επιβίωση τους. Για να διατηρήσει μια επιχείρηση τη θέση της στην αρένα της αγοράς θα πρέπει να εξασφαλίσει ότι οι πελάτες της παραμένουν ικανοποιημένοι με το παραγόμενο προϊόν ή την παρεχόμενη υπηρεσία, ενώ ταυτόχρονα η λειτουργία της θα αποφέρει κέρδος. Με την πάροδο του χρόνου έγινε αντιληπτό ότι η επίτευξη των παραπάνω στόχων μπορεί να επέλθει σε σημαντικό βαθμό μέσω της εστίασης των δραστηριοτήτων της επιχείρησης στη διασφάλιση και τη συνεχή βελτίωση της ποιότητας. Η ποιότητα έχει αναδειχθεί καθοριστικός παράγοντας επιτυχίας ή αποτυχίας των προϊόντων και υπηρεσιών στην αγορά. Κατ' επέκταση, τα οικονομικά αποτελέσματα, η ανάπτυξη, η ανταγωνιστικότητα όλων των επιχειρήσεων, ανεξαρτήτως μεγέθους και τομέα δραστηριότητας, καθορίζονται σήμερα σε μεγάλο βαθμό από την ποιότητα των παραγόμενων προϊόντων και των παρεχόμενων υπηρεσιών τoυς. Μέχρι πρότινος οι περισσότερες επιχειρήσεις προκειμένου να εξασφαλίσουν ότι τα τελικά προϊόντα που παράγονται διαθέτουν την απαιτούμενη ποιότητα ακολουθούσαν την προσέγγιση της επιθεώρησης των τελικών προϊόντων, για τον εντοπισμό τυχόν ελαττωματικών, με εξαιρετικά περιορισμένη χρήση στατιστικών μεθόδων. Με αυτόν τον τρόπο, όμως, δεν εμποδίζεται η παραγωγή ελαττωματικών προϊόντων και δεν μπορούν να προσδιοριστούν οι αιτίες που την προκάλεσαν. Επίσης μια τέτοια προσέγγιση είναι συχνά αναξιόπιστη, ανεπαρκής, χρονοβόρα, δαπανηρή και δεν παρέχει δυνατότητες βελτίωσης της ποιότητας. Το μόνο που εξασφαλίζει είναι ότι ένα μόνο μέρος αυτών των προϊόντων θα καταλήξει στους καταναλωτές με συνέπειες που μπορεί να αποβούν μερικές φορές επικίνδυνες και μη αναστρέψιμες, ιδιαίτερα αν αναλογιστούμε τον τομέα της υγείας ή των τροφίμων. Σε αυτό ακριβώς το σημείο εισέρχεται ο Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας - SQC (Statistical Quality Control). O SQC στοχεύει στην πρόληψη, τη συνεχή βελτίωση και την ενσωμάτωση της ποιότητας σε όλα τα στάδια της παραγωγικής διεργασίας. Ο SQC αποτελείται από τρεις τομείς: τη Δειγματοληψία Αποδοχής (Acceptance Sampling), το Στατιστικό Έλεγχο Διεργασιών (Statistical Process Control) και το Σχεδιασμό Πειραμάτων (Design of Experiments). Στις σελίδες που ακολουθούν εξετάζονται τα πιο σημαντικά από τα κλασσικά θέματα του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασιών - SPC σε συνδυασμό με κάποιες πιο σύγχρονες μεθόδους και τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί πρόσφατα. Ο SPC, λοι- XVII

22 Πρόλογος Γράφημα: Σύννεφο λέξεων με τις κυριότερες έννοιες. πόν, με τη χρήση στατιστικών εργαλείων, είναι μια μέθοδος παρακολούθησης, ελέγχου, και ανάλυσης μιας διεργασίας, με στόχο την πρόληψη ελαττωμάτων και τη βελτίωση της ποιότητας. Η ποιότητα έχει αποκτήσει στρατηγική σημασία, είναι βασικό εργαλείο του ανταγωνισμού και μπορεί να εξελιχθεί, κατά περίπτωση, σε μείζον συγκριτικό πλεονέκτημα ή αντίθετα σε πηγή σοβαρών προβλημάτων, που μπορεί να απειλήσουν ακόμη τη βιωσιμότητα της επιχείρησης. Είναι αυτονόητο, λοιπόν, ότι τα στελέχη των επιχειρήσεων σήμερα οφείλουν να γνωρίζουν τις τεχνικές του στατιστικού ελέγχου διεργασιών. Αυτό, όχι μόνο διότι πρέπει να είναι σε θέση να κατανοούν το σημαντικό ρόλο του SPC στη λειτουργία της επιχείρησης, αλλά επίσης διότι, γνωρίζοντας το θέμα σε βάθος, θα μπορέσουν με δική τους πρωτοβουλία να εφαρμόσουν τις αναγκαίες μεθόδους στις επιχειρήσεις που διευθύνουν, αν σε αυτές ο έλεγχος της μορφής αυτής είναι άγνωστός. XVIII

23 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας Σ το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο προκειμένου να κατανοήσουμε τις θεμελιώδεις έννοιες του ελέγχου ποιότητας που απαιτούνται για τη συνέχεια. Συγκεκριμένα, κάνουμε μια σύντομη ιστορική ανασκόπηση, ορίζουμε βασικές έννοιες που σχετίζονται με την ποιότητα και τη βελτίωσή της, τον στατιστικό έλεγχο διεργασιών και τη φάση I και ΙΙ. 1.1 Εισαγωγή Στη καθημερινή μας ζωή συχνά αναφερόμαστε στην ποιότητα ενός προϊόντος. Το προϊόν μπορεί να είναι μικρά αντικείμενα που δεν μπορούμε να ζήσουμε χωρίς αυτά, όπως ρούχα, παπούτσια, φαγητό κ.α. Μπορεί να είναι, επίσης, μεγαλύτερα αντικείμενα, όπως, κινητά, υπολογιστές, αυτοκίνητα, μηχανές, τηλεόραση κ.α., τα οποία λίγο έως πολύ χρησιμοποιούμε όλοι μας. Προϊόν μπορεί να θεωρηθεί ακόμα και ένα σύστημα δικτύου, όπως το τραπεζικό σύστημα, το σύστημα υγείας, το διαδίκτυο κλπ. Στις περιπτώσεις όπου η ποιότητα κάποιου από τα παραπάνω προϊόντα παρουσιάσει κάποιο πρόβλημα, η καθημερινή μας ζωή γίνεται δυσκολότερη. Γενικότερα αυτό που μας ενδιαφέρει, κυρίως, είναι η ποιότητα οποιουδήποτε προϊόντος παράγουμε, ανεξάρτητα από το πόσο άμεσα μας επηρεάζει ή όχι. Και εδώ εγείρεται ένα καίριο ερώτημα. Με ποιο τρόπο μπορούμε να ελέγξουμε ή να βεβαιώσουμε την ποιότητα των προϊόντων; Για να απαντηθεί το ερώτημα αυτό πολλές θεωρίες οργάνωσης, διοίκησης και στατιστικές μεθοδολογίες έχουν αναπτυχθεί στη βιβλιογραφία. Ένα σημαντικό μέρος των μεθοδολογιών αυτών είναι αυτό που αποκαλούμε στατιστικό έλεγχο ποιότητας (statistical process control - SPC). Στην παρούσα εργασία μας θα περιγράψουμε κάποιες από τις σημαντικότερες μεθοδολογίες του στατιστικού ελέγχου ποιότητας. 1

24 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας 1.2 Τι είναι Ποιότητα (quality); Πολλές φορές η λέξη «ποιότητα» (quality) χρησιμοποιείται ως κριτήριο για να δηλώσει πόσο καλό είναι ένα προϊόν ή πόσο καλή είναι μια υπηρεσία. Χαρακτηριστική είναι η φράση που ακούμε συχνά «προϊόν άριστης ποιότητας». Για κάποιες εταιρείες, η ποιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για υποδείξει ότι ένα προϊόν προσαρμόζεται σε συγκεκριμένα φυσικά χαρακτηριστικά που καθορίζονται με ιδιαίτερα αυστηρές προδιαγραφές. Ωστόσο, αν θέλουμε να διαχειριστούμε την ποιότητα θα πρέπει να οριστεί με τέτοιο ώστε να αναγνωρίζει τις πραγματικές απατήσεις του καταναλωτή. Πως θα μπορούσε, όμως, να οριστεί η λέξη «ποιότητα»; Η απάντηση είναι ότι μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Το λεξιλόγιο ISO 8402 (1986) δίνει τον εξής ορισμό: Ποιότητα είναι το σύνολο των ιδιοτήτων και χαρακτηριστικών ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας που συμβάλουν στην ικανότητά του να ικανοποιεί εκφρασμένες ή υπονοούμενες ανάγκες. Ο παραπάνω ορισμός αναφέρεται σε προϊόντα και υπηρεσίες. Κατά καιρούς οι ειδικοί της ποιότητας, ανάλογα με τη φιλοσοφία του ο καθένας, έχουν δώσει τους δικούς τους ορισμούς, για να προσδιορίσουν καλύτερα τη σημασία ενός ομολογουμένως πολυδιάστατου όρου. Ποιότητα σημαίνει να ταιριάζει το προϊόν ή η υπηρεσία στο σκοπό ή τη χρήση για την οποία προορίζεται. Juran (1950) Ποιότητα είναι κάτι καλύτερο από αυτό των ανταγωνιστών σου. Oakland (1989) Ποιότητα τελικά είναι η αξία ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας για τα χρήματα που δίνει, όπως τη βλέπει ο πελάτης. Donald Campbell - IQA Secretary General (1996) Οι ορισμοί αυτοί είναι μόνο κάποιοι από τους δεκάδες που έχουν καθιερωθεί, μέσα στην εξέλιξη της ιστορίας και της τεχνολογίας. Δεν μπορούμε να πούμε ότι κάποιος ορισμός είναι σωστός, ενώ άλλος είναι λάθος, διότι όλοι βλέπουν το ίδιο θέμα από διαφορετική οπτική. Είναι χαρακτηριστική όμως η εξέλιξη του όρου «ποιότητα». Από τη στενή σχέση που είχε το 1950 με το προϊόν, έχει σήμερα διευρυνθεί σε έννοια διοίκησης με νέα στοιχεία που καθορίζουν την ανταγωνιστικότητα σε παγκόσμιο πλέον επίπεδο. Γενικότερα, μπορούμε να ορίσουμε ότι είναι η προσαρμογή όλων των χαρακτηριστικών του προϊόντος ή της υπηρεσίας στις απαιτήσεις του χρήστη-καταναλωτή. Εμείς προτιμούμε, όμως, ένα μοντέρνο και με περισσότερο στατιστικό νόημα ορισμό: Η ποιότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της μεταβλητότητας. Montgomery (2009) Με άλλα λόγια, αν θεωρήσουμε ότι η ποιότητα ενός προϊόντος αυξάνεται καθώς η μεταβλητότητα σε σημαντικά χαρακτηριστικά του μικραίνει, τότε θα λέμε ότι η ποιότητα είναι αντιστρόφως 2

25 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας ανάλογη της μεταβλητότητας του προϊόντος. Με τον όρο «μεταβλητότητα» αναφερόμαστε στην ανεπιθύμητη ή την επιβλαβή μεταβλητότητα. 1.3 Ιστορική Αναδρομή Πίσω στο 1924, καθώς o Walter Α. Shewhart εργαζόταν, στα εργαστήρια της Bell Telephone Co., για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονταν με την ποιότητα ορισμένων ηλεκτρικών εξαρτημάτων, δημιούργησε τα θεμέλια του σύγχρονου στατιστικού ελέγχου ποιότητας. Μέχρι ε- κείνη τη στιγμή, η ποιότητα περιοριζόταν απλά στον έλεγχο ότι ένα χαρακτηριστικό ενός προϊόντος βρίσκεται μεταξύ των ορίων σχεδιασμού του. Η συνεισφορά του Shewhart ήταν η ιδέα του ελέγχου διεργασιών (process control). Σύμφωνα με αυτή τη νέα προσέγγιση, η συνθήκη ένα χαρακτηριστικό ενός προϊόντος να βρίσκεται μεταξύ των ορίων σχεδιασμού του είναι μεν απαραίτητη -αλλά όχι επαρκής- για να επιτρέψει στον ερευνητή να είναι ικανοποιημένος με τη διεργασία. Η ιδέα του Shewhart είχε να κάνει με το γεγονός ότι η φυσική και αναπόφευκτη Walter A. Shewhart ( ) μεταβλητότητα που εμφανίζεται σε κάθε διεργασία μπορεί να εντοπιστεί με απλά και βασικά στατιστικά εργαλεία, που παρέχουν τη δυνατότητα στον ερευνητή να εντοπίσει τη στιγμή ακριβώς στην οποία η αφύσικη μεταβλητότητα εμφανίζεται στη διαδικασία. Εκείνη ακριβώς τη στιγμή η διαδικασία χαρακτηρίζεται ως «εκτός ελέγχου», και πρέπει να ενεργήσουμε άμεσα ώστε να διορθωθεί η κατάσταση. Ο Shewhart συνέχισε να δουλεύει και να βελτιώνει τη θεωρία του και το 1931 εκδίδει το βιβλίο «Economic Control of Quality of Manufactured Product». Το βιβλίο αυτό αποτέλεσε βάση για μεταγενέστερες εφαρμογές των στατιστικών μεθόδων στον έλεγχο ποιότητας. Οι θεωρίες του αφομοιώθηκαν πολύ γρήγορα από τη βιομηχανία και ακόμα και σήμερα, σχεδόν ένα αιώνα μετά την πρωτοποριακή του έρευνα, αποτελούν έναν από τους βασικότερους πυλώνες της σύγχρονης ποιότητας. 1.4 Τι είναι μια Διεργασία ή Διαδικασία (process); Καθημερινά εργαζόμενοι σε επιχειρήσεις και εργοστάσια παραγωγής εξετάζουν ενδελεχώς τα α- ποτελέσματα που προκύπτουν από ελέγχους της παραγωγικής τους διαδικασίας. Μια διεργασία (process) είναι η μετατροπή ενός συνόλου στοιχείων, που μπορεί να είναι υλικά, μέθοδοι, ενέργειες και λειτουργίες, σε ένα επιθυμητό αποτέλεσμα με την έννοια του προϊόντος, της πληροφορίας ή της υπηρεσίας. Σε κάθε λειτουργία ενός οργανισμού πραγματοποιούνται πολλές διεργασίες. Κάθε λειτουργία μπορεί να αναλυθεί από την εξέταση των στοιχείων που εισάγουμε σε αυ- 3

26 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας τή (inputs) και των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από αυτή (outputs). Η ανάλυση αυτή θα καθορίσει τις απαιτούμενες ενέργειες προκειμένου να προχωρήσουμε στη βελτίωση της ποιότητας. Το στοιχείο που προκύπτει από μια διαδικασία είναι αυτό που μεταφέρεται κάπου ή σε κάποιον (τον καταναλωτή). Για να παράγουμε, λοιπόν, ένα τέτοιο στοιχείο το οποίο ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις του καταναλωτή, είναι απαραίτητο να καθορίσουμε, να παρακολουθήσουμε και να ελέγξουμε τα στοιχεία που εισάγουμε στη διαδικασία. Συχνό φαινόμενο αποτελεί το γεγονός ότι στοιχεία που εισάγουμε σε μια διαδικασία μπορεί να αποτελούν αποτελέσματα που έχουν παραχθεί από προγενέστερες διαδικασίες. Προκειμένου να ξεκινήσουμε την ανάλυση και τον έλεγχο μιας διεργασίας, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ποιά είναι η διεργασία, τα στοιχεία που εισάγουμε σε αυτή και ποια τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Μπορούμε πολύ εύκολα να κατανοήσουμε ορισμένες διαδικασίες που σχετίζονται με ήδη γνωστές, π.χ. η παραγωγή ενός γραναζιού ή ενός γυαλιού ή μιας μηχανής, το γέμισμα ενός μπουκαλιού με αναψυκτικό, ο πολυμερισμός ενός χημικού. Υπάρχουν, βέβαια, και άλλες διαδικασίες οι οποίες είναι λιγότερο εύκολα αναγνωρίσιμες, π.χ. η εξυπηρέτηση ενός πελάτη, μια ακαδημαϊκή διάλεξη, η αποθήκευση ενός προϊόντος, η εισαγωγή δεδομένων σε έναν υπολογιστή. Από την άλλη, υπάρχουν και περιπτώσεις όπου μπορεί να είναι δύσκολο να καθορίσουμε τη διαδικασία. Για παράδειγμα, αν η διαδικασία είναι μια τηλεφωνική πώληση, είναι ζωτικής σημασίας να γνωρίζουμε εάν η έκταση της διαδικασίας επιτρέπει την πρόσβαση σε πιθανό πελάτη. Ο καθορισμός, λοιπόν, της έκτασης μιας διαδικασίας είναι εξαιρετικά σημαντικός, καθώς με αυτό τον τρόπο προσδιορίζονται τα απαραίτητα στοιχεία που εισάγουμε και τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Ένα απλό μοντέλο μιας διαδικασίας δίνεται στο Γράφημα 1.1. Έχοντας ορίσει τη διαδικασία, μπορούμε να καθορίσουμε τα στοιχεία εισαγωγής και τους προμηθευτές, τα αποτελέσματα και τους πελάτες, μαζί με τις απαιτήσεις που προκύπτουν από τη γνώμη του καταναλωτή. Συχνά, οι πιο δύσκολοι τομείς να εφαρμόσει κάνεις τη μεθοδολογία αυτή είναι σε οργανισμούς που δεν εντάσσονται στον κλάδο της βιομηχανίας ή τον κατάσκευαστικό κλάδο. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι κατάλληλες διενέργειες ερωτήσεων και η σχεδίαση ενός πλάνου ή μιας στρατηγικής μπορούν να αποκαλύψουν την απαιτούμενη πληροφορία. Η δυσκολία αυτή πηγάζει πολλές φορές από προηγούμενη απουσία ακριβούς πληροφόρησης σχετικά με τις απαιτήσεις και τις δυνατότητες της διαδικασίας. Οι παράγοντες που εισάγουμε σε μα διαδικασία μπορεί να περιλαμβάνουν εξοπλισμό, εργαλεία, υπολογιστές ή εργοστάσια, υλικά, ανθρώπινο δυναμικό (και τα στοιχεία που απαιτούνται, όπως ικανότητες και δεξιότητες, εκπαίδευση, γνώση, εμπειρία, κ.α.), όπως επίσης και οι πληροφορίες. Οι πληροφορίες αποτελούν, γενικότερα, αξιοσημείωτο παράγοντα σε μια διαδικασία, καθώς καθορίζουν τις προδιαγραφές των αποτελεσμάτων, τις μεθόδους και τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται, τις οδηγίες που πρέπει να ακολουθηθούν, αλλά και το περιβάλλον εφαρμογής. Η αποφυγή της αποτυχίας σε κάθε διεργασία είναι εφικτή, μόνο εφόσον έχουν καταγραφεί και συμφωνηθεί οι παράγοντες που την επηρεάζουν. Η καταγραφή των πληροφοριών αυτών 4

27 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας Γράφημα 1.1: Μια διεργασία επιτρέπουν τη συλλογή αξιόπιστων και πολύτιμων δεδομένων σχετικά με την ίδια τη διαδικασία (η φωνή της διαδικασίας), που με τη σειρά τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιαδήποτε ανάλυση, με σκοπό τη βελτίωση της διαδικασίας και ταυτόχρονα την αποτροπή αποτυχίας ή μησυμμόρφωσης του αποτελέσματος με τις προδιαγραφές που έχουν καθοριστεί. Σκοπός της λειτουργίας κάθε διαδικασίας είναι η απόλυτη αποφυγή της αποτυχίας. Κλειδί της επιτυχίας αποτελεί η κατάλληλη ανάθεση ρόλων και αρμοδιοτήτων στους εργαζόμενους, σχετικά με την επιχείρηση και τις λειτουργίες της. Αυτός είναι ο πυρήνας της ευθυγράμμισης/εναρμόνισης διαδικασιών (process alignment) και της αναδιαμόρφωσης επιχειρησιακών διεργασιών (business process re-design, BPR) 1. 1 Αναδιαμόρφωση Επιχειρησιακών Διεργασιών (Business Process Re-Design, BPR): Θεμελιώδης ανάλυση και καινοτομικός επανασχεδιασμός των επιχειρηματικών διαδικασιών και των συστημάτων διοίκησης με στόχο τη δραματική άνοδο ή τη βελτίωση της απόδοσης. Το BPR χρησιμοποιεί αντικειμενικές μεθόδους και εργαλεία που αναλύουν, επανασχεδιάζουν και μεταβάλλουν τις επιχειρηματικές διαδικασίες, συμπεριλαμβανομένων των δομών υποστήριξης, των πληροφοριακών συστημάτων, της κατανομής αρμοδιοτήτων και του επιπέδου αποδοτικότητας. 5

28 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας Το BPR προτρέπει τους μάνατζερ να επανεξετάσουν τις παραδοσιακές τους μεθόδους και να εστιάσουν περισσότερο σε μια διαδικασία προς την κατεύθυνση του πελάτη. Αρκετές επιχειρήσεις που διαπρέπουν έχουν επιτύχει και διατηρήσει την κυριαρχία τους στις αγορές μέσω της αναδιαμόρφωσης διεργασιών. Επιχειρήσεις που χρησιμοποίησαν αυτές τις τεχνικές παρουσίασαν αξιοσημείωτα αποτελέσματα, όπως καλύτερες σχέσεις με τους πελάτες, αυξημένη παραγωγικότητα, λιγότερα σφάλματα και μεγαλύτερη κερδοφορία. Ο καθορισμός, η ανάλυση και η αναδιαμόρφωση επιχειρησιακών διαδικασιών με σκοπό τη βελτίωση της ικανοποίησης των πελατών αποδίδει, τελικά, με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. 1.5 Τι είναι ο Έλεγχος (control); Έλεγχος είναι το σύνολο των ενεργειών ή των δραστηριοτήτων που εξασφαλίζουν την παρακολούθηση και αξιολόγηση των λειτουργιών και συμπεριφορών όλων των συντελεστών της επιχείρησης ή του οργανισμού, ώστε να επιτυγχάνεται η αποτελεσματικότητά τους. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ο έλεγχος ασκείται τόσο πάνω στις λειτουργίες και τις συμπεριφορές που παρατηρούνται στο πλαίσιο της επιχείρησης ή του οργανισμού όσο και πάνω στα αποτελέσματά τους, τα οποία προσδιορίζονται κατά τη λειτουργία του προγραμματισμού. Τα βασικά στάδια του ελέγχου είναι: i) Καθορισμός προτύπων. Τα πρότυπα (standards) εκφράζουν συγκεκριμένα επιθυμητά αποτελέσματα, επιδόσεις ή στόχους, χαρακτηριστικά συμπεριφορών, τρόπους ενεργειών και ιδιότητες καταστάσεων. Για παράδειγμα, τα πρότυπα μπορεί να περιγράφουν τις ποσότητες και την ποιότητα των πρώτων υλών που προμηθεύεται η επιχείρηση ή ο οργανισμός στο χρόνο, το επιθυμητό ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων, το κόστος παραγωγής, τη συμπεριφορά προς τους πελάτες, τα επιθυμητά κέρδη κτλ. Συνήθως ο καθορισμός των προτύπων βασίζεται στους στόχους της ε- πιχείρησης ή του οργανισμού, που εμπεριέχονται στα προγράμματα της. Αυτή η σχέση δείχνει και τη στενή σύνδεση μεταξύ της λειτουργίας του προγραμματισμού και του ελέγχου. ii) Παρακολούθηση - Αξιολόγηση - Μέτρηση. Οι λειτουργίες, οι συμπεριφορές, οι καταστάσεις και τα αποτελέσματα παρακολουθούνται, αξιολογούνται και μετρούνται, ώστε τα στελέχη της επιχείρησης (ή του οργανισμού) να γνωρίζουν αυτό που ακριβώς συμβαίνει στα πλαίσια της. iii) Σύγκριση συμπεριφορών και αποτελεσμάτων με πρότυπα. Αφού καθοριστούν τα πρότυπα (δηλαδή οι επιθυμητές καταστάσεις, συμπεριφορές, λειτουργίες και αποτελέσματα) και αξιολογηθούν ή μετρηθούν αυτά που πραγματικά συμβαίνουν ή έχουν συμβεί, τότε το λογικά επόμενο βήμα είναι η σύγκριση μεταξύ τους, με σκοπό να διαπιστωθεί ο βαθμός στον οποίο έχουν επιτευχθεί το επιθυμητό ή οι στόχοι. Δηλαδή, αυτή η σύγκριση σκοπεύει να εντοπίσει πιθανές αποκλίσεις μεταξύ των στόχων και των αποτελεσμάτων. iv) Ανάλυση αποκλίσεων και εντοπισμοί αιτίων. Οι προηγούμενες αποκλίσεις αναλύονται με 6

29 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας σκοπό να εξηγηθούν, αφού εντοπιστούν οι αιτίες που τις έχουν προκαλέσει ή τις προκαλούν. v) Διόρθωση αποκλίσεων. Σε αυτό το στάδιο αποφασίζονται και εφαρμόζονται μέτρα ή ενέργειες που αφορούν τη διόρθωση των αποκλίσεων με την εξάλειψη των αιτίων που τις προκαλούν. Εδώ ακριβώς επανασυνδέεται η λειτουργία του ελέγχου με αυτήν του προγραμματισμού. Η λειτουργία του ελέγχου είναι απαραίτητη και αναγκαία για κάθε επιχείρηση ή οργανισμό. Χωρίς αυτή δε θα ήταν δυνατό να εκτιμηθεί ούτε ο βαθμός υλοποίησης των επιθυμητών α- ποτελεσμάτων και συμπεριφορών ούτε να εντοπιστούν προβλήματα και ευκαιρίες για βελτιώσεις ούτε βέβαια θα μπορούσε να επιτευχθεί ο συντονισμός, η συνοχή, η προσαρμογή στο περιβάλλον και η αποτελεσματικότητά τους. Η αναγκαιότητα του ελέγχου γίνεται κατανοητή, αν σκεφτεί κανείς έναν αθλητή στο αγώνισμα του ύψους ή του μήκους να προπονείται, χωρίς να μετρά τις επιδόσεις του, ή ένα μαθητή, χωρίς να ελέγχει τι μαθαίνει. 1.6 Στατιστικός Έλεγχος Διεργασιών (Statistical Process Control) Από τη σύντομη συζήτηση σχετικά με τις βασικές έννοιες του ελέγχου ποιότητας, καταλαβαίνουμε, τελικά, πόσο σημαντικός είναι ο έλεγχος ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας. Ο έλεγχος, δηλαδή, κατά πόσο το παραγόμενο προϊόν προσαρμόζεται και συμφωνεί στις απαιτήσεις του αρχικού σχεδιασμού. Αν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η παραγωγική διαδικασία πρέπει να διακοπεί όσο τον δυνατόν συντομότερα. Διαφορετικά, πολύτιμος χρόνος και κυρίως χρήμα ξοδεύονται άσκοπα, καθώς το προϊόν δεν ανταποκρίνεται στις ανάγκες του καταναλωτικού κοινού. O Στατιστικός Έλεγχος Διεργασιών (SPC) αποτελεί βασικό στατιστικό εργαλείο για την παρακολούθηση και τον έλεγχο προσαρμογής ενός προϊόντος σε καθορισμένες προδιαγραφές. Όπως πολύ εύστοχα ισχυρίστηκε ο Shewhart, σε κάθε παραγωγική διεργασία, ανεξάρτητα από το πόσο καλά σχεδιασμένη είναι και το πόσο προσεκτικά επιβλέπεται και συντηρείται, θα υπάρχει πάντα μια μορφή φυσικής μεταβλητότητας που θα τη συνοδεύει. Δηλαδή, όσο καλά ρυθμισμένα και να είναι τα μηχανήματα, όσο ικανοί και να είναι οι χειριστές των μηχανημάτων, όσο ικανοποιητική και να είναι η πρώτη ύλη, δύο παραγόμενα προϊόντα δεν θα είναι πάντα ίδια (θα υπάρχει κάποιο μετρήσιμο μέγεθος του προϊόντος του οποίου η τιμή θα είναι διαφορετική στα δύο προϊόντα). Αυτή η φυσική μεταβλητότητα είναι το αθροιστικό αποτέλεσμα πολλών μικρών αιτιών οι οποίες ονομάζονται «κοινές/συνήθεις ή τυχαίες αιτίες μεταβλητότητας» (common or chance causes of variation). Η φυσική μεταβλητότητα είναι συνήθως μικρή σε μέγεθος και δεν μπορεί να αποδοθεί σε ελέγξιμους παράγοντες. Μια διεργασία (διαδικασία) η οποία λειτουργεί μόνο με την παρουσία φυσικής μεταβλητότητας λέμε ότι είναι εντός ελέγχου διεργασία (in control process). Όμως σε μια διεργασία μπορεί να εμφανίζονται περιστασιακά και άλλες μορφές μεταβλητότητας οι οποίες δεν οφείλονται σε τυχαίες αιτίες, αλλά αφορούν τη συστηματική αλλαγή στο επίπεδο κάποιου ή κάποιων παραγόντων που καθορίζουν την ποιότητα του προϊόντος. Αυτές 7

30 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας οι μορφές μεταβλητότητας οφείλονται συνήθως σε λανθασμένα ρυθμισμένες μηχανές, σε λάθη των χειριστών των μηχανημάτων, σε κακής ποιότητας ή ελαττωματική πρώτη ύλη. Η μεταβλητότητα που οφείλεται στους παραπάνω λόγους είναι σε μέγεθος πολύ μεγαλύτερη της φυσικής μεταβλητότητας και η παρουσία της οδηγεί συνήθως σε μη αποδεκτά επίπεδα λειτουργίας της παραγωγικής διεργασίας. Αυτή η μεταβλητότητα αναφέρεται ως ειδική μεταβλητότητα και οι αιτίες που οδηγούν σε αυτή ονομάζονται ειδικές ή προσδιορισμένες αιτίες μεταβλητότητας (special or assignable causes of variation). Μια διεργασία η οποία λειτουργεί με παρουσία ειδικής μεταβλητότητας λέμε ότι είναι εκτός (στατιστικού) ελέγχου διεργασία (out of control process). Άμεσα συνδεδεμένη έννοια με την παραγωγή ενός προϊόντος είναι τα όρια προδιαγραφών (specification limits) των ποιοτικών χαρακτηριστικών (quality characte-ristics) του προϊόντος τα οποία καθορίζονται στη φάση σχεδιασμού του. Αυτά είναι το κάτω και το άνω όριο προδιαγραφών (lower and upper specification limits) και συμβολίζονται ως και, αντίστοιχα. Εντός αυτών των ορίων πρέπει να βρίσκονται οι τιμές του ποιοτικού χαρακτηριστικού για κάθε παραγόμενο προϊόν προκειμένου να είναι ποιοτικά αποδεκτό. Επίσης, στη φάση σχεδιασμού του προϊόντος ορίζεται και μια επιθυμητή τιμή για το ποιοτικό χαρακτηριστικό που ονομάζεται τιμή στόχος (target value), συμβολίζεται ως T και είναι συνήθως το μέσο του διαστήματος [ ]. Κάτω από συνθήκες φυσικής μεταβλητότητας η συντριπτική πλειοψηφία των τιμών του ποιοτικού χαρακτηριστικού στα παραγόμενα προϊόντα βρίσκεται εντός των ορίων των προδιαγραφών. Όμως κάτω από συνθήκες ειδικής μεταβλητότητας δεν ισχύει το ίδιο. Υπό συνθήκες φυσικής μεταβλητότητας σχεδόν όλα τα παραγόμενα προϊόντα πληρούν τις προδιαγραφές τους. Η εμφάνιση ειδικής μεταβλητότητας μπορεί να επιφέρει αλλαγή στην κατανομή των τιμών του ποιοτικού χαρακτηριστικού, είτε μετατοπίζοντας (shift) μονάχα τον μεσο της κατανομής, είτε μεταβάλλοντας μόνο τη διακύμανση της κατανομής, είτε τον μέσο και τη διακύμανση της κατανομής ταυτόχρονα. Σε κάθε περίπτωση, η επίδραση της ειδικής μεταβλητότητας μεταφράζεται σε αύξηση των παραγόμενων προϊόντων που έχουν τιμές ποιοτικού χαρακτηριστικού εκτός των ορίων προδιαγραφών. Το κύριο αντικείμενο του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασιών είναι η έγκαιρη ανίχνευση της εμφάνισης ειδικών αιτιών μεταβλητότητας σε μια διεργασία έτσι ώστε να προχωρήσουμε σε έρευνα και να προβούμε στις απαραίτητες διορθωτικές ενέργειες προτού κατασκευαστούν αρκετά προϊόντα μη συμμορφωμένα με τις προδιαγραφές. 1.7 Φάση Ι και ΙΙ (Phase I and II) Ο SPC χωρίζεται, συχνά, σε δύο διαφορετικές φάσεις. Στη φάση Ι, προσπαθούμε να ορίσουμε μια παραγωγική διαδικασία, η οποία θα λειτουργεί με σταθερότητα. Συνήθως, στο αρχικό στάδιο της φάσης I δεν γνωρίζουμε πολλά για τη διαδικασία. Έτσι, διεξάγουμε μια στατιστική ανάλυση, προκειμένου να αποκαλύψουμε τη φύση της διαδικασίας. Πολλές φορές, η αριθμητική σχέση μεταξύ των ποιοτικών χαρακτηριστικών του παραγόμενου προϊόντος και συγκεκριμένων στοιχείων που εισάγουμε στη διαδικασία (inputs), αρχικά, μελετούνται με τη χρήση σχεδιασμού 8

31 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στον Έλεγχο Ποιότητας πειραμάτων (design of experiments, DOE), ανάλυσης διακύμανσης (analysis of variance, ANO- VA), παλινδρόμησης (regression) και άλλων σχετικών στατιστικών μεθόδων. Έχοντας μελετήσει τη σχέση των ποιοτικών χαρακτηριστικών και των στοιχείων εισαγωγής, τα στοιχεία εισαγωγής θέτονται σε συγκεκριμένα επίπεδα, τέτοια ώστε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά να ανταποκρίνονται σε ένα ευρύτερο πλαίσιο στις προδιαγραφές τους. Κάτω από τη συνθήκη αυτή, ένα σύνολο δεδομένων της διαδικασίας (π.χ. παρατηρήσεις σχετικά με τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του προϊόντος) συλλέγεται και αναλύεται με τη χρήσης ενός SPC διαγράμματος. Οποιαδήποτε ασυνήθιστη μεταβλητότητα παρατηρείται, οδηγεί σε αναπροσαρμογή και βελτίωση των στοιχείων εισαγωγής της διαδικασίας. Έπειτα, συλλέγεται εκ νέου ένα σύνολο δεδομένων και αναλύεται ξανά ένα SPC διάγραμμα. Αυτό το βήμα ελέγχου-προσαρμογής επαναλαμβάνεται αρκετές φορές, έως ότου όλες οι ειδικές ή προσδιορισμένες αιτίες μεταβλητότητας θεωρηθούν ότι έχουν αφαιρεθεί και η λειτουργία της διαδικασίας εξελίσσεται με ομαλό και σταθερό τρόπο. Έτσι, καταλήγουμε με ένα σύνολο δεδομένων, που έχει συλλεχθεί κάτω από συνήθεις και κανονικές συνθήκες λειτουργίας. Κατόπιν, τα δεδομένα αυτά χρησιμοποιούνται να για εκτιμήσουμε την εντός ελέγχου κατανομή των ποιοτικών χαρακτηριστικών. Στη φάση II, αρχικά η διαδικασία θεωρείται εντός ελέγχου, και κύριος στόχος μας είναι να παρακολουθήσουμε την εξέλιξη της διαδικασίας σε πραγματικό χρόνο, ώστε να εξασφαλίσουμε ότι παραμένει σταθερή. Στο σημείο αυτό παραγόμενα προϊόντα επιλέγονται δειγματοληπτικά ανά τακτά χρονικά διαστήματα, και παρατηρήσεις των δειγματικών ποιοτικών χαρακτηριστικών απεικονίζονται με τη βοήθεια ενός SPC διαγράμματος. Το διάγραμμα μας ενημερώνει όταν εντοπίσει μια ασυνήθιστη μεταβλητότητα. Οποιαδήποτε χρονική στιγμή εμφανιστεί κάτι ανάλογο, η διαδικασία πρέπει να διακόπτεται αμέσως και οι αιτίες που προκάλεσαν τη μετατόπιση πρέπει να ερευνούνται και να αφαιρούνται. Από την παραπάνω περιγραφή, μπορούμε να διακρίνουμε κάποιες ουσιώδεις διαφορές μεταξύ της φάσης Ι και ΙΙ. Ενώ το μέγεθος των ήδη παρατηρούμενων δεδομένων της διαδικασίας στη φάση Ι έχει καθοριστεί, το σύνολο των παρατηρούμενων δεδομένων στη φάση ΙΙ αυξάνεται ακολουθιακά, καθώς εξελίσσεται η διαδικασία. Επίσης, η κατανομή των ποιοτικών χαρακτηριστικών είναι συνήθως άγνωστη στην περίπτωση της φάσης Ι, αντίθετα στην περίπτωση της φάσης ΙΙ είτε θεωρείται γνωστή, είτε εκτιμάται από ένα εντός ελέγχου σύνολο δεδομένων. Εξαιτίας αυτών των σημαντικών διαφορών μεταξύ προβλημάτων φάσης Ι και ΙΙ, έχουν αναπτυχθεί πολλές και διαφορετικές μέθοδοι για την αντιμετώπισή τους. 9

32 10

33 Κεφάλαιο 2 Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Σ κοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να εισάγουμε και να παρουσιάσουμε τις κυριότερες τεχνικές του Ελέγχου Διεργασιών από τη σκοπιά των Επτά Εργαλείων Ελέγχου όπως συνηθίζεται να ονομάζονται. Διάγραμμα αιτίου-αποτελέσματος, φύλλο ελέγχου, διάγραμμα ελέγχου, ιστόγραμμα, διάγραμμα Paretο, διάγραμμα διασποράς και στρωματοποίηση είναι κάποια από τα βασικότερα και ταυτόχρονα εξαιρετικά χρήσιμα εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών. 2.1 Εισαγωγή Ο Kaoru Ishikawa είναι ένας από τους σημαντικότερους Ιάπωνες επιστήμονες στον τομέα της ποιότητας. Υιοθέτησε ένα σύνολο από επτά πολύ απλά εργαλεία, με τα οποία τα περισσότερα προβλήματα παραγωγής και ποιότητας μπορούν να αντιμετωπιστούν με αρκετά μεγάλη αποτελεσματικότητα. Αυτά είναι: 1. Διάγραμμα Αιτίου - Αποτελέσματος (Cause-and-effect diagram) 2. Το Φύλλο Ελέγχου (Check sheet) 3. Διάγραμμα Ελέγχου (Control chart) 4. Ιστόγραμμα (Histogram) 5. Διάγραμμα Pareto (Pareto chart) 6. Διάγραμμα Διασποράς (Scatterplot) 11

34 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών 7. Στρωματοποίηση 2 (Stratification) Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε εν συντομία και θα παρουσιάσουμε διαισθητικά κάθε ένα από τα επτά εργαλεία χρησιμοποιώντας ένα ρεαλιστικό παράδειγμα, με τη βοήθεια της R. Παράδειγμα 2.1: Μήκος γραναζιού Ας υποθέσουμε ότι η μηχανή ενός εργοστασίου είναι προγραμματισμένη να παράγει ένα συγκεκριμένο γρανάζι. Σύμφωνα με τις τεχνικές προδιαγραφές το μήκος του γραναζιού είναι αποδεκτό αν είναι μεταξύ 10.5cm και 10.9cm. Σε διάστημα μίας ημέρας ο υπεύθυνος παραγωγής πραγματοποίησε δειγματοληψίες ανά μία ώρα από τη μηχανή. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφηκαν οι τιμές σε εκατοστά για το μήκος του γραναζιού τις τελευταίες 24 ώρες. Πίνακας 2.1: Μήκος γραναζιών (cm) Διάγραμμα Αιτίου - Αποτελέσματος (Cause-and-effect diagram) Σε κάθε μελέτη ενός προβλήματος ελέγχου ποιότητας το αποτέλεσμα (effect) είναι συνήθως γνωστό. Το διάγραμμα αιτίου-αποτελέσματος, γνωστό και ως Ishikawa διάγραμμα ή διάγραμμα του «ψαροκόκαλου» χρησιμοποιείται συχνά ώστε να αναγνωρίσει τις αιτίες του προβλήματος. Αναφέρεται και σαν διάγραμμα του «ψαροκόκαλου» από την ομοιότητα που παρουσιάζει με το κόκκαλο ενός ψαριού. Συχνά, όταν διαπιστωθεί ένα πρόβλημα, καλούμαστε να εντοπίσουμε τις αιτίες που το προκαλούν, με σκοπό να μετριάσουμε την επίδρασή του. Σε πρώτο στάδιο, εντοπίζουμε κάποιες ομάδες αιτιών και στη συνέχεια για κάθε ομάδα εντοπίζουμε υπό αιτίες. Ένας καλός τρόπος να ξεκινήσουμε τον εντοπισμό των ομάδων είναι να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των πέντε «M», από τις λέξεις Manpower (εργατικό δυναμικό), Materials (υλικά), Machines (μηχανές), Methods (μέθοδοι) και Measurements (μετρήσεις). Στη συνέχεια, για κάθε μία από αυτές τις ομάδες εντοπίζουμε πιθανές υπό αιτίες. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι ένα διάγραμμα αιτίου-αποτελέσματος το ποίο είναι σωστά κατασκευασμένο τελικά αποσκοπεί στην αποκάλυψη των αιτιών του προβλήματος και στην σωστή και γρήγορη αντιμετώπισή του. Στο Γράφημα 2.1 δίνεται ένα διάγραμμα αιτίου-αποτελέσματος για τα δεδομένα του Πίνακα Πολλοί αντικαθιστούν τη «στρωματοποίηση» με διάγραμμα το διαδοχικών τιμών (run chart) ή το διάγραμμα ροής (flow chart). 12

35 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.1: Διάγραμμα Αιτίου-Αποτελέσματος. Μία οριζόντια ευθεία γραμμή σχηματίζεται και το αποτέλεσμα εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά. Από την κεντρική γραμμή εξέχουν γραμμές που αναφέρονται στις ομάδες αιτιών που προκύπτουν από τη μέθοδο των πέντε Μ, σχηματίζοντας έτσι ένα ψαροκόκαλο. Οι πιθανές αιτίες για κάθε ομάδα εμφανίζονται δίπλα σε αυτές τις γραμμές. 2.3 Το Φύλλο Ελέγχου (Check Sheet) Το φύλλο ελέγχου είναι ένας τρόπος καταγραφής όλων των λεπτομερειών σχετικά με το είδος και το χρόνο προβλημάτων σε μια διαδικασία. Η καταγραφή αυτή μπορεί να βοηθήσει στο να α- νιχνεύσουμε ποιες είναι οι κυριότερες αιτίες προβλημάτων στη διαδικασία καθώς και αν σχετίζεται ο χρόνος με αυτές. Επιπλέον, στο φύλλο ελέγχου καταγράφονται το είδος των δεδομένων, η μέρα, η παρτίδα, η βάρδια εργασίας και γενικά κάθε πληροφορία που αφορά τη διαδικασία. Το φύλλο ελέγχου μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως φύλλο εργασίας για την εισαγωγή δεδομένων στον υπολογιστή. Αυτό βέβαια με την ικανότητα ηλεκτρονικού ελέγχου και εισαγωγής των στοιχείων απευθείας στον υπολογιστή έχει περιορισμένη χρήση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα δίνεται στο Γράφημα

36 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.2: Συμπληρωμένο Διάγραμμα Ελέγχου. Ο χειριστής καταγράφει τα γεγονότα για κάθε πιθανή αιτία που μπορεί να οδηγήσει σε αποτυχία του προϊόντος. 2.4 Διάγραμμα Ελέγχου (Control Chart) Τα διαγράμματα ελέγχου αποτελούν το βασικότερο εργαλείο στον στατιστικό έλεγχο ποιότητας. Είναι εκείνα τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να διατηρήσουμε μια διαδικασία υπό έλεγχο, δηλαδή μεταξύ κάποιων ορίων που ονομάζονται όρια ελέγχου. Όταν οι μετρήσεις μια διαδικασίας βρεθούν εκτός των ορίων ελέγχου, πρέπει να εξετάσουμε και να περιορίσουμε την αιτία της μεταβλητότητας αυτής. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 3, όπου και θα παρουσιάσουμε αναλυτικότερα τα διαγράμματα ελέγχου, είναι σημαντικό να μην συγχέουμε τα όρια ελέγχου με τα ό- ρια προδιαγραφών. Επανερχόμαστε στο παράδειγμα για τις μετρήσεις του μήκους των γραναζιών και κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για το μέσο, όπως φαίνεται στο Γράφημα Ιστόγραμμα (Histogram) Το ιστόγραμμα αποτελεί μια γραφική απεικόνιση στατιστικών συχνοτήτων περιοχών τιμών ενός μεγέθους και σχηματίζεται από παρακείμενα ορθογώνια. Η επιφάνεια κάθε ορθογωνίου είναι μέτρο της συχνότητας εμφάνισης της συγκεκριμένης περιοχής τιμών, ενώ το ύψος του ισούται με το λόγο της συχνότητας προς το εύρος των τιμών που αντιπροσωπεύει το ορθογώνιο. Πρόκειται για τη συνηθέστερη επιλογή γραφικής παράστασης συνεχών μεταβλητών. Στα συνεχή δεδομένα, όπως φαίνεται και στο Γράφημα 2.4 οι τιμές της μεταβλητής ομαδοποιούνται και οι ομά- 14

37 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.3: Διάγραμμα Ελέγχου για το για το μήκος των γραναζιών. Παρατηρούμε ότι το διάγραμμα εντοπίζει τρία διαδοχικά σημεία εκτός ελέγχου. δες διατάσσονται στον οριζόντιο άξονα κατά αύξουσα σειρά. Στη συνέχεια από κάθε ομάδα υ- ψώνουμε ορθογώνια, το ύψος των οποίων αντιστοιχεί στη συχνότητα κάθε ομάδας. 2.6 Διάγραμμα Pareto (Pareto Chart) Το διάγραμμα Pareto πήρε το όνομα του από τον Ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Pareto, ο οποίος είναι κυρίως γνωστός για την παρατήρησή του ότι η κατανομή του 80% - 90% του πλούτου της χώρας του ήταν συγκεντρωμένη στο 10% - 20% του πληθυσμού (κανόνας 80/20, αρχή Pareto). Στην αρχή Pareto βασίζεται, λοιπόν, και η φιλοσοφία του διαγράμματος και θεωρείται ότι το 80% των ελαττωμάτων βασίζεται στο 20% των αιτιών. Σκοπός του διαγράμματος είναι να αποκαλυφθούν οι βασικές αιτίες που δημιουργούν το πρόβλημα και κατόπιν να αντιμετωπιστούν με τον καταλληλότερο τρόπο. Τα βασικά βήματα που ακολουθούνται για την κατασκευή ενός διαγράμματος Pareto είναι i) καταγραφή όλων των στοιχείων, ii) μέτρηση των στοιχείων, iii) διάταξη των στοιχείων, iv) δημιουργία αθροιστικών κατανομών, χρησιμοποιώντας αθροιστικές σχετικές συχνότητες με διάταξη από τα μεγαλύτερα στα μικρότερα χρησιμοποιούμενα μέτρα, v) σχεδίαση του διαγράμματος, vi) ερμηνεία. 15

38 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.4: Ιστόγραμμα συχνοτήτων για το μήκος των γραναζιών. Επιστρέφουμε στο παράδειγμα μας και σύμφωνα με την τα στοιχεία που μας έδωσε ο χειριστής στο Γράφημα 2.2 σχεδιάζουμε ένα διάγραμμα Pareto (Γράφημα 2.5), που θα απεικονίζει τις πιθανές αιτίες που οδηγούν τη διαδικασία σε εκτός ελέγχου κατάσταση. 2.7 Διάγραμμα Διασποράς (Scatterplot) Το διάγραμμα διασποράς χρησιμοποιείται για να αποκαλύψει αν υπάρχει σχέση μεταξύ δύο συνεχών μεταβλητών. Είναι ένα γράφημα που απεικονίζει τις τιμές δύο μεταβλητών με τη μορφή σημείων σε ένα επίπεδο. Αν είναι μεταβλητές είναι συσχετισμένες, τότε τα σημεία ακολουθούν την πορεία μιας γραμμής ή καμπύλης. Όσο πιο έντονη είναι η συσχέτιση τόσο πιο πολύ τα σημεία "αγκαλιάζουν" τη γραμμή. Αν διαπιστωθεί μία πιθανή σχέση αιτίας-αποτελέσματος πρέπει να επαληθευτεί. Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα του παραδείγματος με το μήκος των γραναζιών και ας υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία λειτουργίας του μηχανήματος κοπής (gear blade) είναι καταγεγραμμένη. Προκειμένου να ελέγξουμε τη σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα διασποράς. Το διάγραμμα διασποράς είναι ένα γράφημα δύο διαστάσεων στο οποίο η μία μεταβλητή εμφανίζεται στο οριζόντιο άξονα και η άλλη μεταβλητή στον κάθετο. Έτσι, κάθε σημείο στο διάγραμμα αναπαριστά την τιμή του κάθε ζευγαριού των 16

39 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.5: Διάγραμμα Pareto. Αποτελεί έναν συνδυασμό ενός διαγράμματος σημείων (dot plot) και ενός διαγράμματος γραμμών (line plot), χρησιμοποιώντας τα συσσωρευτικά ποσοστά. Παρατηρούμε τις αιτίες που μπορεί να προκαλούν πρόβλημα στη διαδικασία παραγωγής. δύο μεταβλητών. Στο παράδειγμά μας προσομοιώσαμε τιμές για τη θερμοκρασία λειτουργίας του μηχανήματος και προσθέσαμε τυχαίο θόρυβο από την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Σύμφωνα με το Γράφημα 2.6, είναι φανερό πως όταν αυξάνεται η μία μεταβλητή, αυξάνεται και η άλλη σε μέγεθος, υποδηλώνοντας μια συσχέτιση μεταξύ των δύο. Παρόλα αυτά, συνήθως α- παιτείται εκτενέστερος έλεγχος προκειμένου να αποδειχθεί ότι υπάρχει σχέση αιτίας-αποτελέσματος. 2.8 Στρωματοποίηση (Stratification) Σε αρκετές περιπτώσεις, μπορεί να έχουν καταγραφεί μετρήσεις συνεχών μεταβλητών σε διαφορετικές ομάδες μιας κατηγορικής μεταβλητής. Όταν υπάρχει διαθέσιμη τέτοια πληροφορία, η ανάλυση πρέπει να πραγματοποιείται στις διαφορετικές ομάδες ή στρώματα (strata). Εφαρμόζουμε την τεχνική της στρωματοποίησης, κατασκευάζοντας διαγράμματα Πλαισίου και Απολήξεων (Box plots), τα οποία αποτελούν ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία απεικόνισης διαφορών μεταξύ ομάδων μια κατηγορικής μεταβλητής. Χρησιμοποιώντας την ίδια κλίμακα μέτρησης 17

40 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.6: Διάγραμμα Διασποράς για τον έλεγχο συσχέτισης μεταξύ τον δύο μεταβλητών. στον κάθετο άξονα, η κατανομή της υπό μελέτη μεταβλητής μπορεί να παρουσιαστεί για κάθε επίπεδο. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι τέτοιου είδους ανάλυση απαιτεί συλλογή όσο το δυνατόν περισσότερης πληροφορίας σχετικά με την κατηγορική μεταβλητή και τα επίπεδα αυτής, καθώς είναι ο παράγοντας που διαχωρίζει τα δεδομένα μας. Η στρωματοποίηση είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται γενικότερα σε κάθε ένα από τα επτά κυριότερα εργαλεία που παρουσιάσαμε, αλλά και σε οποιαδήποτε άλλη τεχνική στον έλεγχο ποιότητας. Χαρακτηριστικό παράδειγμα θα αποτελούσε το φύλλο ελέγχου που σχεδιάσαμε, στην περίπτωση, όμως, που ο χειριστής κατέγραφε, αντί για μία, τρεις ομάδες συχνοτήτων, μία για κάθε πιθανό προμηθευτή υλικών (π.χ. Α, Β και C). Επίσης, η στρωματοποίηση μπορεί να εφαρμοστεί και σε ιστογράμματα, σε διαγράμματα διασποράς ή σε διαγράμματα Pareto. Στο παράδειγμα που έχουμε χρησιμοποιήσει στο κεφάλαιο αυτό, ας υποθέσουμε ότι έ- χουμε στη διάθεση μας τρεις προμηθευτές Α, Β και C. Έτσι, έχουμε μία συνεχή μεταβλητή (μήκος γραναζιού) και μια κατηγορική με τρία επίπεδα (προμηθευτής) με την οποία ομαδοποιούνται τα δεδομένα μας. Με αυτό τον τρόπο, μπορούμε να προχωρήσουμε σε στρωματοποίηση για να ελέγξουμε, για παράδειγμα, αν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των ομάδων της κατηγορικής μεταβλητής. 18

41 Κεφάλαιο 2.Τα 7 Βασικότερα Εργαλεία του Ελέγχου Διεργασιών Γράφημα 2.7: Διάγραμμα Πλαισίου Απολήξεων για κάθε επίπεδο της κατηγορικής μεταβλητής. Παρέχει τη δυνατότητα για άμεση απεικόνιση πιθανών διαφορών μεταξύ των ομάδων, σχετικά με την κεντρική τάση και τη μεταβλητότητα. 2.9 Σχόλια Τα επτά βασικότερα εργαλεία ελέγχου ποιότητας αποτελούν ένα θέμα που έχει μελετηθεί από πολλούς ερευνητές, καθώς αποτελούν έναν εύκολο και αρκετά αποτελεσματικό τρόπο για τον ελέγχου μιας διαδικασίας. Από αυτή την άποψη, τα έξι προηγούμενα που παρουσιάσαμε εμφανίζονται σε κάθε λίστα. Παρ όλα αυτά, κάποιοι αντικαθιστούν τη μέθοδο της στρωματοποίησης με το διάγραμμα το διαδοχικών τιμών (run chart) ή το διάγραμμα ροής (flow chart). Ένα διάγραμμα διαδοχικών τιμών θεωρείται μια απλουστευμένη μορφή ενός διαγράμματος ελέγχου. Στην περίπτωση αυτή τα δεδομένα απεικονίζονται ως σημεία και εμφανίζονται με ακολουθιακό τρόπο. Όσον αφορά τα διαγράμματα ροής και παρόμοιων μεθόδων αποτελούν ένα αρχικό στάδιο στρωματοποίησης. Οι τεχνικές αυτές επιτρέπουν να χωρίσουμε τη διαδικασία σε στάδια και να αναγνωρίσουμε τους διαφορετικούς παράγοντες που μπορεί να επηρεάζουν το αποτέλεσμα της διαδικασίας αυτής και ως εκ τούτου να ορίσουμε τις ομάδες που θα εφαρμόσουμε την στρωματοποίηση. 19

42 20

43 Κεφάλαιο 3 Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Τ α διαγράμματα ελέγχου (control charts) αποτελούν ένα από τα βασικότερα εργαλεία του στατιστικού ελέγχου ποιότητας. Είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται ευρέως για την ανίχνευση σε πραγματικό χρόνο της εμφάνισης ειδικών αιτιών μεταβλητότητας σε μια διεργασία (online process monitoring). Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα διαγράμματα ελέγχου, στο οποίο παρουσιάζουμε τα κύρια χαρακτηριστικά τους, εξετάζουμε τον σχεδιασμό τους και την ερμηνεία τους. 3.1 Εισαγωγή Στo κεφάλαιο 2 εισαγάγαμε με τη βοήθεια ενός παραδείγματος το διάγραμμα ελέγχου ως ένα από τα βασικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται στον έλεγχο ποιότητας. Στην πραγματικότητα, τα διαγράμματα ελέγχου αποτελούν το σημαντικότερο εργαλείο στον Στατιστικό Έλεγχο Διεργασιών (SPC). Η βασική ιδέα των διαγραμμάτων ελέγχου είναι η κατασκευή φυσικών ορίων βασιζόμενοι σε ένα στατιστικό μέτρο ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού. Κάτω από την παρουσία κοινών (φυσικών) αιτιών μεταβλητότητας, αυτό το στατιστικό μέτρο αναμένουμε να βρίσκεται μεταξύ αυτών των ορίων. Ωστόσο, αν το στατιστικό εμφανιστεί εκτός των ορίων, είναι αρκετά απίθανο να είναι παρούσα μόνο η φυσική μεταβλητότητα. Έτσι, πρέπει να ανιχνεύσουμε πιθανή ύπαρξη ειδικών ή προσδιορισμένων αιτιών μεταβλητότητας, και να τις εξαλείψουμε. Στην πράξη, τα φυσικά όρια θα εκτιμηθούν σύμφωνα με την κατανομή του στατιστικού που παρακολουθούμε και θα αναφερόμαστε σε αυτά ως όρια ελέγχου (control limits). Στην πραγματικότητα, κάθε σημείο σε ένα διάγραμμα ελέγχου οδηγεί σε έναν έλεγχο υπόθεσης: ένα σημείο που εμφανίζεται εκτός των ορίων ελέγχου ενδεχομένως να υποδηλώνει μια ασυνήθιστη μεταβλητότητα της υπό μελέτη διεργασίας, και ως αποτέλεσμα, η διεργασία μπορεί να θεωρηθεί ως εκτός ελέγχου. Αντίθετα, εάν όλα τα σημεία παραμένουν εντός των ορίων ελέγχου, η διεργασία μπορεί να θεωρηθεί ως εντός ελέγχου. 21

44 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου 3.2 Χαρακτηριστικά ενός Διαγράμματος Ελέγχου Ένα διάγραμμα ελέγχου είναι ένα δύο διαστάσεων διάγραμμα, του οποίου ο άξονας αναπαριστά τη μεταβλητή που μελετούμε. Γενικότερα, υπολογίζουμε το στατιστικό μέτρο που μας ενδιαφέρει για κάθε δείγμα της διεργασίας, και το σχεδιάζουμε ακολουθιακά με τη σειρά που εμφανίστηκαν τα δείγματα. Ο άξονας του διαγράμματος είναι μία απεικόνιση τέτοιου δείγματος. Κάποιες φορές αυτό το δείγμα μπορεί να είναι μία μεμονωμένη τιμή, και κάποιες άλλες το δείγμα είναι ένα σύνολο τιμών, για. Αν όλα τα δείγματα έχουν το ίδιο μέγεθος, τότε θεωρούμε. Οι τιμές απεικονίζονται ως σημεία και συνδέονται με ευθείες γραμμές με σκοπό να αναγνωρίσουμε κάποια συγκεκριμένη μορφή (pattern), η οποία υποδεικνύει σημαντικές αλλαγές στη λειτουργία της διεργασίας. Ταυτόχρονα με τα σημεία, σχεδιάζουμε και τρείς πολύ σημαντικές γραμμές: 1. Κεντρική γραμμή (Center Line, ): Αυτή είναι η κεντρική τιμή, γύρω από την οποία θα πρέπει να κινείται το στατιστικό. Για παράδειγμα, ο μέσος της διεργασίας. 2. Κάτω όριο ελέγχου (Lower Control Limit, ): Αυτή είναι η κατώτερη τιμή, η οποία είναι σχεδόν απίθανο να πάρει το στατιστικό μέτρο όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου. 3. Άνω όριο ελέγχου (Upper Control Limit, ): Είναι το αντίθετο του, δηλαδή η ανώτερη τιμή του διαστήματος. Τα και είναι συμμετρικά εάν η συνάρτηση πιθανότητας του στατιστικού είναι συμμετρική (π.χ., κανονική). Τα όρια ελέγχου είναι τελείως διαφορετικά από τα όρια προδιαγραφών (specification limits). Τα όρια προδιαγραφών είναι τα όρια πέρα από τα οποία η διεργασία δε θα είναι αποδεκτή από τον πελάτη. Αντίθετα, τα όρια ελέγχου υπολογίζονται ως διαστήματα εμπιστοσύνης που περιλαμβάνουν ένα μεγάλο ποσοστό των τιμών. Τα πιο συνηθισμένα όρια ελέγχου είναι εκείνα μεταξύ του μέσου και τριών τυπικών αποκλίσεων ( ). Για μια κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτά τα όρια περιλαμβάνουν το 99.73% των δεδομένων. Έτσι, εάν δεν εμφανιστεί κάτι ασυνήθιστο στη διεργασία, η πιθανότητα εμφάνισης μιας μεμονωμένης παρατήρησης εκτός των ορίων ελέγχου θα είναι ίση με Επιπλέον, ένα διάγραμμα ελέγχου προσθέτει πληροφορία σχετικά με τη μεταβλητότητα της διεργασίας. Το Γράφημα 3.1 μας δείχνει τον τρόπο με τον οποίο σχετίζονται. 3.3 Σχεδιασμός ενός Διαγράμματος Ελέγχου Κύριο μέλημα στο σχεδιασμό ενός διαγράμματος ελέγχου είναι με ποιο τρόπο θα καταφέρουμε να ορίσουμε τα όρια ελέγχου. Γενικά, είναι μια διαδικασία δύο φάσεων. Στη φάση Ι, εκτιμούμε αξιόπιστα όρια ελέγχου χρησιμοποιώντας ένα προκαταρτικό σύνολο δειγμάτων. 22

45 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Γράφημα 3.1: Διάγραμμα ελέγχου vs. συνάρτηση πιθανότητας. Το διάγραμμα ελέγχου δείχνει την ακολουθία των παρατηρήσεων. Η μεταβλητότητα γύρω από την κεντρική γραμμή μας δίνει μια ιδέα για τη μορφή της συνάρτησης πιθανότητας. Προκειμένου να εκτιμήσουμε κατάλληλα όρια ελέγχου, η διεργασία πρέπει να είναι εντός ελέγχου στη φάση Ι. Έτσι, εάν εντοπιστούν ειδικές αιτίες μεταβλητότητας, τα σημεία αυτά πρέπει να αφαιρεθούν από τα δεδομένα. Επίσης, θεωρείται σαν γενικός κανόνας ότι τα όρια ελέγχου πρέπει να υπολογίζονται με τουλάχιστον δείγματα. Στη συνέχεια, στη φάση ΙΙ τα μεταγενέστερα δείγματα σχεδιάζονται σε ένα διάγραμμα με τα προηγούμενα όρια ελέγχου. Όταν μεμονωμένες παρατηρήσεις του στατιστικού που παρακολουθούμε είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου, θεωρούμε τη διεργασία ως εντός ελέγχου. Αξίζει να αναφέρουμε ότι μερικές φορές τα όρια ελέγχου φάσης Ι θεωρούνται προκαθορισμένα, επειδή για παράδειγμα οι ονομαστικές τιμές είναι απoδεκτές για τη συγκεκριμένη διεργασία.. Στην περίπτωση αυτή, πρέπει να το επιβεβαιώνουμε με κατάλληλους ελέγχους υποθέσεων. Σε κάθε περίπτωση, αν η διεργασία αλλάξει, π.χ., μια μείωση της μεταβλητότητας εμφανιστεί, τότε τα όρια ελέγχου πρέπει να αναπροσαρμοστούν. Διαφορετικά, το διάγραμμα ελέγχου χάνει την αποτελεσματικότητα του. Η στρατηγική της δειγματοληψίας είναι το άλλο κύριο μέλημά μας όταν σχεδιάζουμε ένα διάγραμμα ελέγχου. Το πρώτο ζητούμενο είναι αν θα συλλέξουμε ομάδες παρατηρήσεων ή θα βασιστούμε απλά σε μεμονωμένες παρατηρήσεις. Είναι προτιμότερο, όπου υπάρχει η δυνατότητα, να συλλέγουμε ομάδες παρατηρήσεων για να απεικονίσουμε το μέσο αντί μεμονωμένες παρατηρήσεις, καθώς οι μέθοδοι δειγματοληψίας είναι περισσότερο ισχυρές ως προς τις αποκλίσεις των δεδομένων που προέρχονται από την κανονική κατανομή. Αυτονόητο είναι ότι η δειγματοληψία πρέπει να είναι τυχαία, και η σειρά των δειγμάτων γνωστή. Το βασικότερο χαρακτη- 23

46 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου ριστικό του δείγματος που συλλέγουμε είναι ότι θα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό της διεργασίας που μελετούμε κάτω από κανονικές συνθήκες. Κυριότερες μέθοδοι δειγματοληψίας είναι η απλή τυχαία (simple random sampling), η στρωματοποιημένη (stratified sampling), η δειγματοληψία κατά ομάδες (cluster sampling) και η συστηματική (systematic sampling) 3. Στη συνέχεια, πρέπει να καθορίσουμε το μέγεθος των δειγματικών ομάδων. Θα χρησιμοποιήσουμε τις Χαρακτηριστικές Καμπύλες (Operating Characteristic curves) ως εργαλείο για τον καθορισμό του μεγέθους του δείγματος για ένα διάγραμμα. Τέλος, μας ενδιαφέρει να αποφασίσουμε τη συχνότητα με την οποία θα πραγματοποιείται η δειγματοληψία.. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό χρησιμοποιούμε το Average Run Length ( ) Χαρακτηριστικές Καμπύλες (Operating Characteristic curves, ) Ένα διάγραμμα ελέγχου, είναι κατά μία έννοια, ένας έλεγχος υπόθεσης, ο οποίος πραγματοποιείται σε πραγματικό χρόνο, δείγμα-δείγμα. Σε κάθε έλεγχο υπόθεσης υπάρχουν δύο πιθανά σφάλματα: Το σφάλμα τύπου Ι: Απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση, ενώ είναι αληθής. Το σφάλμα τύπου ΙΙ: Δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση, ενώ είναι λανθασμένη. Στο Γράφημα 3.2 παρουσιάζονται οι δύο υποθέσεις για ένα διάγραμμα ελέγχου το οποίο καταγράφει τη δειγματική μέση τιμή, π.χ., το διάγραμμα. Σε αυτό το διάγραμμα, η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση είναι αντίστοιχα: Πιο συγκεκριμένα, αν ήταν αληθής (αριστερή πλευρά του γραφήματος), και ένα δείγμα Α έπεφτε εκτός ορίων ελέγχου θα μας οδηγούσε στην απόρριψη της (σφάλμα τύπου Ι). Από την άλλη, εάν η ήταν λανθασμένη (δεξιά πλευρά του γραφήματος), και ένα δείγμα Β έπεφτε εντός ορίων ελέγχου θα μας οδηγούσε στη μη-απόρριψη της (σφάλμα τύπου ΙΙ). Οι πιθανότητες αυτών των δύο περιπτώσεων να συμβούν συμβολίζονται ως για το σφάλμα τύπου Ι, και για το σφάλμα τύπου ΙΙ, και καθορίζονται στο στάδιο του σχεδιασμού κάθε ελέγχου υπόθεσης. Τα όρια ελέγχου μπορούν να μεγαλώσουν ή να στενέψουν ανάλογα με την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι που θα επιλέξουμε. Αν για παράδειγμα επιλέξουμε τότε τα όρια γίνονται πιο στενά. Αν αντίστοιχα επιλέξουμε κάποια τιμή του μικρότερη του , τότε τα όρια θα γίνουν πιο ευρέα. Φυσικά πιο στενά ή πιο ευρέα όρια έχουν σχέση με τις 3 Για περισσότερα σχετικά με τις μεθόδους δειγματοληψίας στον στατιστικό έλεγχο ποιότητας μπορεί κανείς να ανατρέξει στο βιβλίο του Cohran, W.: Sampling Techniques. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics. Wiley, New York (1977) και του Montogomery, D.: Statistical Quality Control, 7th edn. Wiley Global Education, Hoboken (2012). 24

47 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου πιθανότητες σφάλματος τύπου Ι και ΙΙ. Συγκεκριμένα η χρήση πιο ευρέων ορίων, σημαίνει ότι μειώσαμε την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι ( ). Αντίθετα, με τον τρόπο αυτό αυξήσαμε την πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ ( ). Είναι φανερό, λοιπόν, ότι δεν υπάρχει κάποια βέλτιστη πολιτική για την επιλογή των και. Αυτό το οποίο μπορούμε να πούμε είναι ότι για την κατασκευή των ορίων επιλέγουμε τα και συνεκτιμώντας τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα που θα επιφέρει κάθε επιλογή. Γράφημα 3.2: Σφάλμα τύπου Ι και ΙΙ για ένα διάγραμμα. Στην περίπτωση των διαγραμμάτων ελέγχου είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε την ι- κανότητα του διαγράμματος να ανιχνεύει μια συγκεκριμένη μεταβολή στη διαδικασία., π.χ., μεταβολή του μέσου. Η ικανότητα αυτή ονομάζεται ισχύς του διαγράμματος και υπολογίζεται ως Συνήθης πρακτική αποτελεί η απεικόνιση του ως συνάρτηση του για διαφορετικά μεγέθη δείγματος. Το διάγραμμα αυτό ονομάζεται «χαρακτηριστικές καμπύλες» (operating characteristic curves, ) και αποτελεί ένα εργαλείο για τον καθορισμό του μεγέθους του δείγματος για ένα διάγραμμα ελέγχου. Θα παρουσιάσουμε τις χαρακτηριστικές καμπύλες για την περίπτωση του διαγράμματος ελέγχου, με τυπική απόκλιση γνωστή και σταθερή. Όπως είδαμε στο Γράφημα 3.2, το αποτελεί την πιθανότητα ένας δειγματικός μέσος να βρεθεί μέσα στα όρια ελέγχου, ενώ ο μέσος της διαδικασίας έχει μετατοπιστεί κατά μέγεθος από την πραγματική τιμή. Με άλλα λόγια αν η τιμή του μέσου μεταβληθεί από (τιμή η οποία βρίσκεται εντός ελέγχου) σε, τότε η πιθανότητα να μην εντοπιστεί η αλλαγή στο πρώτο δείγμα είναι ίση με:. 25

48 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου { } (3.1) Αφού ( ) και τα όρια ελέγχου και, η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να γραφεί ως: [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] όπου Φ αντιπροσωπεύει την τυποποιημένη αθροιστική κανονική κατανομή. Αν εκφράσουμε το σε όρους τυπικών αποκλίσεων, δηλαδή, καταλήγουμε στη σχέση [ ] [ ] (3.2) καμπύλες χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 2.1 του Κεφα- Στη συνέχεια θα σχεδιάσουμε τις λαίου 2 για ένα διάγραμμα. Παράδειγμα 3.1: Μήκος γραναζιών (συνέχεια) Σύμφωνα με το παράδειγμα, έχουμε στη διάθεσή μας 24 μετρήσεις για το μήκος ενός γραναζιού. Οι μετρήσεις δίνονται στον Πίνακα 2.1 του κεφαλαίου 2. Για να σχεδιάσουμε τις καμπύλες για ένα διάγραμμα, πρέπει ομαδοποιήσουμε τα δεδομένα μας. Ας υποθέσουμε ότι ανά τέσσερις μετρήσεις αποτελούν μία ομάδα. Με αυτό τον τρόπο, προκύπτουν 6 δείγματα μεγέθους 4 το κάθε ένα. Το Γράφημα 3.3 αναπαριστά το για διαφορετικά μεγέθη δείγματος. Το διάγραμμα αυτό είναι εξαιρετικό χρήσιμο μιας και αποτελεί τη βάση για να καθορίσουμε το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, ώστε να είμαστε σε θέση να εντοπίσουμε μια συγκεκριμένη μετατόπιση της διαδικασίας με ανάλογη επιθυμητή πιθανότητα. Έτσι, λοιπόν, στο παράδειγμά μας αν επιθυμούσαμε να εντοπίσουμε μετατόπιση 1.5 τυπικής απόκλισης από το μέσο στο πρώτο δείγμα θα παίρναμε τα αποτελέσματα του Πίνακα 3.1. Πίνακας 3.1: Αποτελέσματα OC καμπυλών για μετατόπιση 1.5 τυπικής απόκλισης από το μέσο. β β

49 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Από το συγκεκριμένο μέγεθος δείγματος ( ), η πιθανότητα των λανθασμένων αρνητικών ενδείξεων β, δηλαδή η διαδικασία να βρίσκεται εκτός ελέγχου ενώ το διάγραμμα δεν εντοπίζει τη μεταβολή, είναι περίπου 50%. Όπως διαπιστώνουμε, χρειαζόμαστε ομάδες μεγέθους 10 για να έχουμε την ίδια πιθανότητα περίπου στο 0.04 και κατ επέκταση την ισχύ τουλάχιστον στο 95%. Γράφημα 3.3: Χαρακτηριστικές καμπύλες. Κάθε καμπύλη αναπαριστά μία συνάρτηση της πιθανότητας του σφάλματος τύπου ΙΙ ως συνάρτηση της απόκλισης από το μέσο της διαδικασίας, την οποία το διάγραμμα ελέγχου θα μπορεί να εντοπίσει για διαφορετικά μεγέθη δείγματος. Γενικά, η πιθανότητα η αλλαγή στη διαδικασία να εντοπιστεί στο r δείγμα είναι ίση με: ( ) Average Run Length ( ) Εκτός από τον καθορισμό του δείγματος, μας ενδιαφέρει εξίσου η συχνότητα με την οποία θα πραγματοποιείται η δειγματοληψία. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, εξετάζουμε το Average Run Length ( ). To αποτελεί τον αναμενόμενο αριθμό δειγμάτων που πρέπει να ληφθούν για να εντοπιστεί η αλλαγή στη διαδικασία. 27

50 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Το μέτρο αυτό ακολουθεί Γεωμετρική κατανομή, με μοναδική παράμετρο, η οποία συμβολίζει την πιθανότητα ένα σημείο να βρεθεί εκτός ορίων ελέγχου, π.χ., όπως είδαμε και στην υποενότητα Η μέση τιμή μιας Γεωμετρικής κατανομής είναι και, έτσι, σε μια εντός ελέγχου διαδικασία, θα εντοπίσουμε, κατά μέσο όρο, έναν λανθασμένο εκτός ελέγχου συναγερμό κάθε 370 δείγματα περίπου, Ενδιαφερόμαστε, λοιπόν, να καθορίσουμε τον αριθμό δειγμάτων που απαιτούνται για να εντοπίσει το διάγραμμα μια μετατόπιση της διαδικασίας. Στην περίπτωση αυτή, η πιθανότητα εντοπισμού αποτελεί την ισχύ του διαγράμματος ελέγχου, δηλ., όπου το υπολογίζεται από τις χαρακτηριστικές καμπύλες, όπως αναφέραμε και στην προηγούμενη ενότητα. Έτσι, για να ανιχνεύσουμε μια μετατόπιση του μέσου, αντίστοιχη ενός δεδομένου, το είναι: ( ) Για κάθε διάγραμμα ελέγχου το που είμαστε εντός ελέγχου το αποτελεί ένα μέτρο συμπεριφοράς του. Στην περίπτωση ορίζεται ως (3.3) και όταν είμαστε εκτός ελέγχου ως ( ) (3.4) όπου όπως ορίστηκε στην (3.2). Ένα δεύτερο μέτρο συμπεριφοράς του διαγράμματος ελέγχου είναι το Average Time to Signal ( ). Το είναι ο αριθμός χρονικών περιόδων μέχρι να εμφανιστεί κάποιο σημείο εκτός ελέγχου στο διάγραμμα. Αν θεωρήσουμε ότι τα δείγματα παίρνονται σε ίση χρονική απόσταση μεταξύ τους, τότε ισχύει: 3.4 Ερμηνεία ενός Διαγράμματος Ελέγχου Όπως έχουμε ήδη επισημάνει σε μια παραγωγική διαδικασίας υπάρχει πάντα μια φυσική μεταβλητότητα που οφείλεται σε συνηθισμένες ή κοινές αιτίες. Αντίθετα, η μεταβλητότητα που εντο- 28

51 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου πίζει το διάγραμμα ως εκτός των ορίων ελέγχου οφείλεται σε ειδικές αιτίες. Οι συνηθισμένες αιτίες προέρχονται από τυχαιότητα και αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσπαθήσουμε να τη μειώσουμε με σκοπό τη βελτίωση της διαδικασίας. Από την άλλη, οι ειδικές αιτίες οφείλονται σε μεταβλητότητα η οποία δεν είναι αποτέλεσμα τυχαιότητας. Έτσι, όταν ένα σημείο βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου του διαγράμματος, αντιμετωπίζουμε κατάσταση συναγερμού (alarm) και η αιτία που είναι υπεύθυνη για αυτή τη συμπεριφορά πρέπει να ανιχνευθεί, να αναλυθεί και αν κριθεί απαραίτητο να εξαλειφθεί. Γράφημα 3.4: Εντοπισμός σημείου εκτός ελέγχου. Στις περιπτώσεις αυτές, προχωρούμε σε έρευνα προκειμένου να αφαιρέσουμε την πηγή που προκαλεί το πρόβλημα. Οι ειδικές αιτίες μεταβλητότητας μπορούν, επίσης, να προκαλέσουν και άλλα σημαντικά προβλήματα σε μια διαδικασία και δεν είναι λίγες οι φορές που το διάγραμμα ενδέχεται να μην καταφέρει να τα εντοπίσει με ευκολία. Ακόμα και στην περίπτωση, δηλαδή, που όλα τα σημεία βρίσκονται εντός ορίων ελέγχου αλλά συμπεριφέρονται με ένα συστηματικό ή μη τυχαίο τρόπο τότε και αυτό αποτελεί ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. Οι βασικότερες μορφές προτύπων ή μοτίβων (patterns) μη τυχαίου τρόπου συμπεριφοράς μιας χρονοσειράς σημείων, όπως βλέπουμε και στο Γράφημα 3.5 είναι τα πρότυπα επαναλαμβανόμενων κύκλων ή εποχικότητας (recurring cycles, seasonality), τα πρότυπα μετατοπίσεων ή αλμάτων (shifts), και τα πρότυπα τάσεων (trends). Στα επαναλαμβανόμενα κυκλικά πρότυπα εμφανίζεται μια περιοδικότητα στη διάταξη των σημείων με αποτέλεσμα να σχηματίζονται επαναλαμβανόμενοι κύκλοι. Πιθανές αιτίες είναι οι περιοδικές διακυμάνσεις των περιβαλλοντικών συνθηκών και συνθηκών παραγωγής, όπως είναι η θερμοκρασία, η ηλεκτρική τάση, η εναλλαγή εργατοτεχνιτών, η εναλλαγή μηχανών, κτλ. Τα πρότυπα μετατοπίσεων οφείλονται συνήθως σε νέους εργαζόμενους, νέες μεθό- 29

52 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου δους παραγωγής, νέες μηχανές, διαδοχική επεξεργασία παρτίδων πρώτων υλών διαφορετικής ποιότητας, κ.α. Τα πρότυπα τάσεων οφείλονται συνήθως σε παράγοντες όπως η σταδιακή φθορά εργαλείων, η κόπωση εργαζομένων κτλ. Υπάρχουν ενδείξεις, οι οποίες αρκετά συχνά υιοθετούνται και ως κανόνες, που πολλές φορές μπορούν να μας επιβεβαιώσουν εκτός ελέγχου καταστάσεις όπως ήδη είδαμε ενδεικτικά στο Γράφημα 3.4 και στο Γράφημα 3.5 και αναφέρουμε τις χαρακτηριστικότερες: Ένα ή περισσότερα σημεία εκτός ορίων ελέγχου, Επτά συνεχόμενα σημεία στην ίδια πλευρά (πάνω ή κάτω) της κεντρικής γραμμής, Έξι συνεχόμενα σημεία είτε με αύξουσα είτε φθίνουσα διάταξη, Δεκατέσσερα συνεχόμενα σημεία να εναλλάσσονται πάνω και κάτω, Οποιοδήποτε άλλο ασυνήθιστο μοτίβο ή μη τυχαία ακολουθία σημείων. 30

53 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Γράφημα 3.5: Μοτίβα στα διαγράμματα ελέγχου. Μπορούμε να εντοπίσουμε διάφορα μοτίβα σε ένα διάγραμμα ελέγχου, ενδεικτικά αναφέρουμε: τους επαναλαμβανόμενους κύκλους/εποχικότητα (a), μετατοπίσεις (b), τάσεις (c). Σε πολλές περιπτώσεις για να κάνουμε περισσότερο ευαίσθητο ένα διάγραμμα ελέγχου ως προς την ικανότητα του να ανιχνεύει πιο γρήγορα εκτός ελέγχου διεργασίες, εκτός από τα όρια ελέγχου, σχεδιάζουμε επίσης και τα προειδοποιητικά όρια (warning limits) εσωτερικά των ορίων ελέγχου, όπως φαίνεται χαρακτηριστικά στο Γράφημα 3.6. Η σχεδίαση των προειδοποιητικών ορίων προϋποθέτει την ανάπτυξη διαγραμμάτων ελέγχου χρησιμοποιώντας το μοντέλο των ορίων τριών σίγμα (3σ). Καθορίζονται, δηλαδή, τρεις ζώνες ως εξής: 1. Ζώνη C: εκτείνεται μεταξύ της κεντρική γραμμή και μίας τυπικής απόκλισης, 2. Ζώνη B: εκτείνεται μεταξύ μίας και δύο τυπικών αποκλίσεων από την κεντρική γραμμή, 3. Ζώνη A: εκτείνεται μεταξύ δύο και τριών αποκλίσεων από την κεντρική γραμμή. Αφού καθορίσουμε τις τρεις ζώνες, μπορεί να αναγνωρίσουμε καταστάσεις ως εκτός ελέγχου, παρατηρώντας κάποιες από τις παρακάτω καταστάσεις: Δύο από τρία συνεχόμενα σημεία στη Ζώνη Α ή πιο πάνω, Τέσσερα από πέντε συνεχόμενα σημεία στη Ζώνη Β ή πιο πάνω, Δεκαπέντε συνεχόμενα σημεία στη Ζώνη Β. 31

54 Κεφάλαιο 3.Εισαγωγή στα Διαγράμματα Ελέγχου Γράφημα 3.6: Ζώνες διαγραμμάτων ελέγχου. Η κατανομή των παρατηρήσεων στις τρεις ζώνες μπορεί να υποδείξουν καταστάσεις εκτός ελέγχου. 32