ΣΠ. ΛΟΥΒΡΟΣ, Ν. ΣΚΛΑΒΟΣ

Transcript

1 Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Χ Ε Ι ΑΣ Η ΒΙΒΛΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΠ. ΛΟΥΒΡΟΣ, Ν. ΣΚΛΑΒΟΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΙΚΤΥΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΝΑΥΠΑΚΤΟΥ ΝΑΥΠΑΚΤΟΣ 2005

2 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Χ Ε Ι Α Σ Η ΒΙΒΛΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ Για την συγγραφή του φυλλαδίου συνεργάστηκαν οι: Λούβρος Σπυρίδων Ι, ρ. Φυσικός Σκλάβος Νικόλαος Ι, ρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Τεχνολογίας Υπολογιστών Ι Επιστηµονικός Συνεργάτης, Τµήµατος Τηλεπικοινωνιακών Συστηµάτων & ικτύων Ακαδηµαϊκό Έτος II

3 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή στο Μάθηµα της Λογικής Σχεδίασης Εργαστηριακή Άσκηση 1: «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Λογικές Πύλες Οικογένειες Ψηφιακής Λογικής Πύλες Ολοκληρωµένων Κυκλωµάτων Χαρακτηριστικά Οικογενειών Ψηφιακής Λογικής Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 2: «Ιδιότητες βασικών πυλών AND-OR, Θεώρηµα De Morgan» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Βασικοί Ορισµοί Αξιώµατα Αλγεβρικών οµών Βασικά Θεωρήµατα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 3: «Βασικές Πύλες NAND, ΝΟR Ιδιότητες Βασικών Πυλών» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Λογικές Πύλες NAND και NOR και Προσεταιριστική Ιδιότητα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 4: «Σχεδιασµός Ψηφιακών Κυκλωµάτων µε την χρήση πυλών NAND και ΝΟR» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 5: «Συναρτήσεις της Άλγεβρας Boole Ανάλυση και Σχεδιασµός Κυκλωµάτων» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Απλοποίηση συναρτήσεων Boole Η Μέθοδος του Χάρτη Χάρτης ύο µεταβλητών Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 6: «Λογικές Πύλες X-OR και Χ-NOR» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 7: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αθροιστή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Άθροιση Αριθµών Πλήρης Αθροιστής (Full-Adder) Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης III

4 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ 9 Εργαστηριακή Άσκηση 8: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αφαιρέτη» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Αφαίρεση Αριθµών Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 9: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Πολλαπλασιαστή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η πράξη του πολλαπλασιασµού στα ψηφιακά κυκλώµατα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 10: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα ιαιρέτη» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η πράξη της διαίρεσης στα ψηφιακά κυκλώµατα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 11: «Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Κυκλώµατα Συγκριτή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 12: «Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Κυκλώµατα Κωδικοποιητή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Αποκωδικοποητής: Σύντοµη Περιγραφή και Λειτουργία Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 13: «ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Εισαγωγή στα FLIP-FLOPs Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 14: «ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Εισαγωγή στους Καταχωρητές Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 15: «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ (ALU) 8-bit» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Βιβλιογραφία...96 IV

5 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ 1 Εισαγωγή στο Μάθηµα της Λογικής Σχεδίασης Το µάθηµα της Λογικής Σχεδίασης διδάσκεται στον Α Εξάµηνο του Προγράµµατος Σπουδών, του Τµήµατος τηλεπικοινωνιακών Συστηµάτων & ικτύων. Η διδασκαλία του µαθήµατος περιλαµβάνει 2 ώρες θεωρητικής διδασκαλίας και 2 εργαστηριακές ώρες. Οι θεµατικές ενότητες που συµπεριλαµβάνονται στην διδασκαλία του µαθήµατος αυτού είναι οι ακόλουθες: Εισαγωγή στην Άλγεβρα Boole Λογικές Συναρτήσεις Απλοποίηση Λογικών Συναρτήσεων Συνδυαστικά Κυκλώµατα, Βασικά Ολοκληρωµένα Ψηφιακά Κυκλώµατα Σύγχρονα Ολοκληρωµένα Κυκλώµατα Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδίασης Καταχωρητές, Μετρητές, Μονάδες, Μνήµης Αλγοριθµική Μηχανή Κατάστασης Θέµατα Χρονισµού Υλοποίηση Μονάδας Ελέγχου µε Πολυπλέκτη PLA Ασύγχρονα Ακολουθιακά Κυκλώµατα Η διεξαγωγή του εργαστηρίου αποσκοπεί στην πρακτική εφαρµογή και εξάσκηση της διδασκόµενης θεωρητικής διδασκαλίας, µέσω των εκτελούµενων εργαστηριακών ασκήσεων. Οι εργαστηριακές ασκήσεις πραγµατοποιούνται µε την χρήση λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 1

6 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 2 Εργαστηριακή Άσκηση 1: «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ» 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι αρχικά η εξοικείωση του σπουδαστή µε την χρήση του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης ψηφιακών κυκλωµάτων. Στη συνέχεια µελετάται η λειτουργία των βασικών πυλών ψηφιακής λογικής σχεδίασης: AND, OR, NOT, XOR, και NAND οι οποίες χρησιµοποιούνται ως δοµικά στοιχεία στις εφαρµογές των ψηφιακών ηλεκτρονικών. Ο σπουδαστής θα εισαχθεί στην χρήση των δοµικών ηλεκτρονικών στοιχείων (components) των βιβλιοθηκών (libraries) του προγράµµατος σχεδίασης και εξοµοίωσης, στην επιλογή των καταλλήλων στοιχείων για την εκτέλεση των εργαστηριακών ασκήσεων, καθώς και στον σχεδιασµό κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής. Τέλος θα µελετηθεί η διαδικασία ελέγχου της ορθής λειτουργίας των σχεδιαζόµενων λογικών κυκλωµάτων κάθε φορά. Το επόµενο µέρος της άσκησης αναφέρεται στην επαλήθευση των πινάκων αληθείας των βασικών πυλών δύο και τριών εισόδων, µε την χρήση απλών λογικών πυλών από την χρησιµοποιούµενη βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τέλος, ο σπουδαστής θα εισαχθεί στα ολοκληρωµένα κυκλώµατα ψηφιακών πυλών τεχνολογίας TTL (Transistor-Transistor-Logic) και θα επαληθεύσει την λειτουργία τους µέσω της διαδικασίας της προσοµοίωσης. 2.2 Λογικές Πύλες Τα ηλεκτρονικά ψηφιακά κυκλώµατα λέγονται επίσης «λογικά κυκλώµατα», επειδή µε τις κατάλληλες εισόδους παράγουν εξόδους που είναι λογικές συναρτήσεις. Τα ηλεκτρικά σήµατα (τάσεις ή εντάσεις) που υπάρχουν σε ένα ψηφιακό κύκλωµα είναι πάντα στη µία από δύο ευδιάκριτες περιοχές τιµών (εκτός από τη διάρκεια της µετάβασης από τη µία στην άλλη). Τα κυκλώµατα που λειτουργούν µε ηλεκτρικές τάσεις, για παράδειγµα, ανταποκρίνονται µε διαφορετικό τρόπο στις «υψηλές» και στις «χαµηλές» τάσεις και έτσι χρησιµοποιούµενε αυτές τις τάσεις για να παριστάνουµε το λογικό 1 και το λογικό 0. Για παράδειγµα, κάποιο συγκεκριµένο ψηφιακό σύστηµα µπορεί να ορίζει το λογικό 1 σαν ένα σήµα µε ονοµαστική τιµή 3 Volt και το λογικό 0 σαν σήµα µε ονοµαστική τιµή 0 Volt. Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα, κάθε επίπεδο δυναµικού έχει µια αποδεκτή απόκλιση από την ονοµαστική τιµή του. Η ενδιάµεση ζώνη µεταξύ των επιτρεπόµενων περιοχών χρησιµοποιείται µόνο στην µεταβατική κατάσταση. Πληροφορίες σχετικές µε ζητήµατα υπολογισµού και ελέγχου µπορούν να επεξεργαστούν µε τη χρήση σηµάτων από διάφορους συνδυασµούς λογικών κυκλωµάτων, όπου κάθε σήµα παριστάνει µια µεταβλητή και µεταφέρει ένα bit πληροφορίας. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 2

7 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 Σχήµα 1: Ολοκληρωµένα τύπου (α) 7408 και (β) 7432 Το παρακάτω σήµα δείχνει τα σύµβολα των λογικών πυλών Το µαθηµατικό σύστηµα της δυαδικής λογικής είναι γνωστό σαν «Άλγεβρα Boole» (Boolean Algebra), ή σαν «Άλγεβρα ιακοτπών» (Switching Algebra). Αυτή η άλγεβρα χρησιµοποιείται για την περιγραφή της λειτουργίας των ψηφιακών κυκλωµάτων. Οι σχεδιαστές ψηφιακών συστηµάτων χρησιµοποιούν την Άλγεβρα Boole για να µετατρέπουν διαγράµµατα κυκλωµάτων σε αλγεβρικές εκφράσεις και αντίστροφα. 2.3 Οικογένειες Ψηφιακής Λογικής Οι ψηφιακές πύλες ταξινοµούνται όχι µόνο µε τη λογική τους λειτουργία, αλλά επίσης και µε την «οικογένεια» (family) του λογικού κυκλώµατος στην οποία ανήκουν. Κάθε λογική οικογένεια έχει το δικό της βασικό ηλεκτρονικό κύκλωµα από το οποίο αναπτύσσονται οι διαφορές πύλες (συνήθως τα βασικά κυκλώµατα είναι πύλες NAND και NOR). Οι λογικές οικογένειες παίρνουν συνήθως το όνοµά τους από τα ηλεκτρονικά χαρακτηριστικά του βασικού τους κυκλώµατος. Ανάµεσά τους οι ευρέως διαδεδοµένες είναι οι εξής: ΤΤL ECL MOS CMOS Transistor Transistor Logic Emitter Coupled Logic Metal Oxide Semiconductor Complementary MOS Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 3

8 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 H TTL είναι µια πολύ διαδεδοµένη λογική οικογένεια που υπάρχει εδώ και αρκετό καιρό. Θεωρείται ως πρότυπη οικογένεια. Η ECL χρησιµοποιείται σε συστήµατα µε πολύ υψηλή ταχύτητα λειτουργίας. Η MOS χρησιµοποιείται όπου απαιτείται υψηλή συγκέντρωση πυλών σε µικρό χώρο και η CMOS σε συστήµατα χαµηλής κατανάλωσης ισχύος. Η οικογένεια ΤΤL αναπτύχθηκε από µια προηγούµενη τεχνολογία, που χρησιµοποιούσε διόδους και τρανζίστορς για τη βασική λογική πύλη NAND. Αυτή η τεχνολογία λεγόταν DTL (Diode Transistor Logic). Αργότερα οι δίοδοι άλλαξαν µε τρανζίστορς, για να βελτιωθεί η λειτουργία και η απόδοση και το όνοµα της οικογένειας άλλαξε σε ΤΤL. 2.4 Πύλες Ολοκληρωµένων Κυκλωµάτων Η οικογένεια TTL, στην πραγµατικότητα, αποτελείται από αρκετές υποοικογένειες ή σειρές. Ο ακόλουθος πίνακας παραθέτει το όνοµα κάθε σειράς και το χαρακτηριστικό της πρόθεµα, το οποίο δείχνει ότι κάποιο ολοκληρωµένο είναι µέλος αυτής της σειράς. Τα ολοκληρωµένα που είναι µέλη των standard TTL έχουν ένα χαρακτηριστικό αριθµό που αρχίζει µε 74. Οι διαφορές µεταξύ διαφόρων σειρών TTL είναι στα ηλεκτρικά τους χαρακτηριστικά, όπως η κατανάλωση ισχύος, η καθυστέρηση διάδοσης και η ταχύτητα εναλλαγής. εν διαφέρουν στις συνδέσεις των εξωτερικών ακροδεκτών ή στη λογική λειτουργία που επιτελείται από τα εσωτερικά κυκλώµατα. Για παράδειγµα, όλα τα ολοκληρωµένα που παραθέτονται µε τον αριθµό 86, ανεξάρτητα από το πρόθεµα, περιέχουν τέσσερις πύλες ΧΟR µε τις ίδιες συνδέσεις για τους εξωτερικούς ακροδέκτες σε κάθε περίβληµα. Σειρές TTL Πρόθεµα Παράδειγµα Standard TTL Υψηλής Ταχύτητας TTL 74Η 74Η86 Ισχύος TTL 74L 74L86 Schottky TTL 74S 74S86 Χαµηλής Ισχύος Schottky TTL 74LS 74LS86 Προηγµένα Ισχύος Schottky TTL 74AS 74AS86 Προηγµένα Χαµηλής Ισχύος Schottky TTL 74ALS 74ALS86 Πίνακας 1: Σειρές της Λογικής Οικογένειας TTL Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 4

9 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Χαρακτηριστικά Οικογενειών Ψηφιακής Λογικής Τα χαρακτηριστικά των οικογενειών ψηφιακών κυκλωµάτων συνήθως συγκρίνονται, αφού αναλύσουµε το κύκλωµα της βασικής πύλης σε κάθε οικογένεια. Οι πιο σηµαντικές παράµετροι, που εκτιµώνται και συγκρίνονται, παραθέτονται µε συντοµία στις επόµενες παραγράφους. Η ικανότητα οδήγησης (fan out) είναι ο αριθµός των τυπικών φορτίων που µπορεί να οδηγήσει η έξοδος µιας πύλης χωρίς να κινδυνέψει η κανονική της λειτουργία. Το τυπικό φορτίο (standard load) ορίζεται συνήθως το ποσό του ρεύµατος που χρειάζεται µια είσοδος µιας άλλης παρόµοιας πύλης της ίδιας οικογένειας. Η κατανάλωση ισχύος (power dissipation) είναι η ισχύς τροφοδοσίας που απαιτείται για να λειτουργήσει η πύλη. Η καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay) είναι ο µέσος χρόνος που χρειάζεται για να διαδοθεί η αλλαγή ενός σήµατος από την είσοδο στην έξοδο µιας πύλης. Η ταχύτητα λειτουργίας είναι αντιστρόφως ανάλογη µε την καθυστέρηση διάδοσης. Το περιθώριο θορύβου (noise margin) είναι η ελάχιστη τάση εξωτερικού θορύβου που προκαλεί η ανεπιθύµητη αλλαγή στην έξοδο. 2.6 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες AND, OR, XOR, NAND δύο εισόδων και NOT από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Επιβεβαιώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας κάθε φορά. X Y Ζ Πίνακας 2: Πίνακας Αληθείας Λογικού AND, (Ζ=Χ ΑND Y) X 0 1 Πίνακας 3: Πίνακας Αληθείας Λογικού NOT, (Ζ=NOT Y) Ζ X Y Ζ Πίνακας 4: Πίνακας Αληθείας Λογικού ΟR, (Ζ=Χ OR Y) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 5

10 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 X Y Ζ Πίνακας 5: Πίνακας Αληθείας Λογικού XOR, (Ζ=Χ XOR Y) X Y Ζ Πίνακας 6: Πίνακας Αληθείας Λογικού NAND, (Ζ=Χ NΑND Y) Μέρος B : Χρησιµοποιώντας τις βασικές λογικές πύλες AND, OR τριών εισόδων, από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης, σχεδιάστε τις συναρτήσεις ψηφιακής λογικής F1(x,y,z): A=XYZ και F2(x, y,z): Β=Χ+Υ+Ζ. Επιβεβαιώσατε τους αντίστοιχους πίνακες αληθείας για κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις ξεχωριστά: X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 7: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1(x,y,z) X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 8: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 6

11 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 Μέρος Γ : Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων) και τύπου 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Επιβεβαιώστε τους πίνακες αληθείας του δεύτερου µέρους. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Σχήµα 2: Ολοκληρωµένα τύπου (α) 7408 και (β) 7432 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 7

12 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 1 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 8

13 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 3 Εργαστηριακή Άσκηση 2: «Ιδιότητες βασικών πυλών AND-OR, Θεώρηµα De Morgan» 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η εργαστηριακή άσκηση αυτή έχει ως απώτερο σκοπό την εξοικείωση του σπουδαστή µε τις µαθηµατικές ιδιότητες των πυλών ψηφιακής λογικής AND και OR, της άλγεβρας Boole. Αναλυτικότερα, στόχος είναι να αποδειχθεί ότι για τις πύλες AND και OR ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Η εφαρµογή της ιδιότητας αυτής έχει ως αποτέλεσµα το σχεδιασµό και την υλοποίηση λογικών πυλών, µε περισσότερες από δύο εισόδους. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε την χρησιµοποίηση και το συνδυασµό βασικών λογικών πυλών δύο εισόδων. Με την µέθοδο αυτή επιτυγχάνεται µία ευελιξία, κατά την σχεδίαση κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής. Το τελευταίο µέρος της άσκησης, επικεντρώνεται στο θεώρηµα De Morgan. Το θεώρηµα De Morgan είναι ένα από τα βασικότερα θεωρήµατα της άλγεβρας Boole. Η µελέτη του θεωρήµατος αυτού θα γίνει µε την εφαρµογή παραδειγµάτων προσοµοίωσης κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής. 3.2 Βασικοί Ορισµοί Η άλγεβρα Boole (Boolean Algebra), όπως και κάθε άλλο επαγωγικό µαθηµατικό σύστηµα, µπορεί να οριστεί µε ένα σύνολο στοιχείων, ένα σύνολο τελεστών και ένα σύνολο αξιωµάτων που τα δεχόµαστε χωρίς απόδειξη. Ένα «σύνολο» (set) είναι κάθε συλλογή αντικειµένων που έχουν µια κοινή ιδιότητα. Εάν S είναι ένα σύνολο, για τα αντικείµενα χ και y, ο συµβολισµός x S σηµαίνει ότι το χ είναι µέλος του συνόλου S και y S σηµαίνει ότι το y δεν είναι στοιχείο του S. Ένα σύνολο µε αριθµήσιο αριθµό στοιχείων µπορεί να οριστεί µε άγκιστρα: π.χ. Α={1,2,3,4} σηµαίνει ότι τα στοιχεία του συνόλου είναι αριθµοί 1,2,3, και 4. Ένας δυαδικός τελεστής (binary operator) ορισµένος σε ένα σύνολο S είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε ζευγάρι στοιχείων του S ένα µοναδικό στοιχείο από το S. Σαν παράδειγµα, θεωρούµε τη σχέση a*b=c. Λέµε ότι το * είναι ένας δυαδικός τελεστής εάν ορίζει έναν κανόνα για να βρίσκουµε το c από το ζευγάρι (a,b) και επίσης εάν τα a,b,c S. Ωστόσο, το * δεν είναι ένας δυαδικός τελεστής εάν τα a,b,c S, εάν ο κανόνας δίνει κάποιο c S. 3.3 Αξιώµατα Αλγεβρικών οµών Τα πιο συνηθισµένα αξιώµατα, που χρησιµοποιούνται για το σχηµατισµό διαφόρων αλγεβρικών δοµών, είναι: Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 9

14 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 1. Κλειστότητα (closure). Ένα σύνολο S είναι κλειστό ως προς έναν δυαδικό τελεστή εάν, για κάθε ζευγάρι στοιχείων του S, ο δυαδικός τελεστής αντιστοιχίζει ένα (µοναδικό) στοιχείο που ανήκει στο S. Για παράδειγµα το σύνολο των φυσικών αριθµών N = {1,2,3,4, } είναι κλειστό ως προς το δυαδικό τελεστή συν (+) µε τον κανόνα της αριθµητικής πρόσθεσης, αφού για κάθε a,b Ν, η πράξη a + b = c δίνει ένα µοναδικό c Ν. Το σύνολο των φυσικών αριθµών δεν είναι κλειστό ως προς το δυαδικό τελεστή πλην (-) µε τον κανόνα της αριθµητικής αφαίρεσης, διότι 2-3=-1 και 2,3, Ν, ενώ το (-1) Ν. 2. Προσεταιριστικός νόµος (Associative law). Ένας δυαδικός τελεστής * σε ένα σύνολο S λέµε ότι είναι προσεταιριστικός, όταν: (x * y) * z = x * (y * z) για όλα x,y,z S 3. Αντιµεταθετικός νόµος (Communicative law). Ένας δυαδικός τελεστής * σε ένα σύνολο S λέµε ότι είναι αντιµεταθετικός, όταν: x * y = y * x για όλα x,y S 4. Ουδέτερο στοιχείο (Identity Element). Ένα σύνολο S λέµε ότι έχει ένα ουδέτερο στοιχείο ως προς έναν δυαδικό τελεστή * πάνω S, εάν υπάρχει ένα στοιχείο e S, µε την ιδιότητα: e * x = x * e = x για κάθε e S 5. Αντίστροφο (Inverse). Ένα σύνολο S που έχει το ουδέτερο στοιχείο e ως προς έναν δυαδικό τελεστή * λέµε ότι έχει αντίστροφο όταν, για κάθε x S, υπάρχει ένα στοιχείο y S τέτοιο ώστε: x * y = e 6. Επιµεριστικός νόµος (Distributive law). Εάν * και. είναι δύο δυαδικοί τελεστές πάνω σε ένα σύνολο S, o * λέγεται ότι είναι επιµεριστικός ως προς τον. όταν: χ * ( y.z ) = (x*z). ( x*z ) 3.4 Βασικά Θεωρήµατα Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει έξι θεωρήµατα της άλγεβρας Boole και τέσσερα από τα αξιώµατά της. Τα αξιώµατα προφανώς δεν αποδεικνύονται τα θεωρήµατα πρέπει να αποδειχτούν ξεκινώντας από τα αξιώµατα. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 10

15 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Αξίωµα 1 (a) x + 0 = x (b) x. 1 = x Αξίωµα 2 (a) x + x = 1 (b) x. x = 0 Θεώρηµα 1 (a) x + x = x (b) x. x = x Θεώρηµα 2 (a) x + 1 = 1 (b) x. 0 = 0 Θεώρηµα 3 (δύο αρνήσεις) (x ) = x Αξίωµα 3 (αντιµεταθετική) (a) x + y = y + x (b) xy = yx Θεώρηµα 4 (προσεταιριστική) (a) x + (y+z) = (x+y) + z (b) x ( yz ) = ( xy ) z Αξίωµα 4 (επιµεριστική) (a) x(y+z) = xy + xz (b) x + yz = (x+y) (x+z) Θεώρηµα 5 (De Morgan) (a) (x + y) = x y (b) (xy) = x + y Θεώρηµα 6 (απορρόφηση) (a) x+ xy = x (b) x ( x+y ) = x Πίνακας 9: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2(x,y,z) 3.5 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Από το λογισµικό σχεδίασης και προσοµοίωσης να βρεθούν οι βασικές πύλες της ψηφιακής λογικής AND και OR δύο εισόδων. Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος που υλοποιεί την συνάρτηση F1(x,y,z)=(XY)Z: Σχήµα 3: Ψηφιακό Κύκλωµα Λογικών Πυλών AND, συνάρτησης F1 Για το ψηφιακό κύκλωµα του παραπάνω σχήµατος να βρεθεί ο ακόλουθος πίνακας αληθείας του: X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 10: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 11

16 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος που υλοποιεί την συνάρτηση F2(x,y,z)=X(YZ) και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας του. Είναι οι δύο πίνακες αληθείας ίδιοι; Εάν ναι, αυτό συνεπάγεται ότι η λογική πράξη AND είναι προσεταιριστική, εποµένως µία πύλη AND πολλαπλών εισόδων µπορεί να υλοποιηθεί µε διαδοχικές λογικές πύλες AND µε µικρότερο αριθµό εισόδων. Σχήµα 4: Ψηφιακό Κύκλωµα Λογικών Πυλών AND, Συνάρτησης F2 X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 11: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2(x,y,z) Εφαρµογή της παραπάνω ιδότητας είναι η υλοποίηση µίας πύλης AND τεσσάρων εισόδων, µε την χρησιµοποίηση δύο πυλών AND δύο εισόδων. Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος που υλοποιεί την συνάρτηση F3(x,y,z,w) και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας του. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 12

17 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σχήµα 5: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F3 X Y Z W F3 Πίνακας 12: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3 Αντικαταστήσατε στο παραπάνω κύκλωµα τις πύλες AND πολλαπλών εισόδων µε αντίστοιχες πύλες AND δύο εισόδων, σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα: Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 13

18 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σχήµα 6: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F4 Είναι οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F3 και F4 ίδιοι; Εάν ναι αυτό σηµαίνει ότι τα κυκλώµατα των συναρτήσεων F3 και F4 είναι ισοδύναµα και εποµένως η αντικατάσταση των πυλών AND πολλαπλών εισόδων, µε πύλες AND δύο εισόδων είναι σωστή. X Y Z W F3 Πίνακας 13: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος για κάθε µία από τις συναρτήσεις F5(x,y,z)=(X+Y)+Z και F6(x,y,z)=X+(Y+Z): Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 14

19 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σχήµα 7: Ψηφιακά Κύκλωµα Συναρτήσεων F5 και F6 Για τα ψηφιακά κυκλώµατα του παραπάνω σχήµατος να βρεθούν οι πίνακες αληθείας τους: X Y Z F5(x,y,z) Χ Y Z F6(x,y,z) Πίνακας 14 : Πίνακες Αληθείας των Συναρτήσεων F5(x,y,z) και F6(x,y,z) Είναι οι δύο πίνακες αληθείας ίδιοι; Από τα παραπάνω αποτελέσµατα µπορούµε µε ασφάλεια να συνάγουµε το συµπέρασµα ότι ψηφιακά κυκλώµατα µε πύλες περισσοτέρων των δύο εισόδων (µεταβλητών), οι τελευταίες µπορούν να αντικατασταθούν από ισοδύναµους συνδυασµούς πυλών δύο εισόδων (µεταβλητών). Μέρος Β : Χρησιµοποιώντας τις βασικές λογικές πύλες AND και OR δύο εισόδων να υλοποιήσετε τα παρακάτω λογικά κυκλώµατα και να δηµιουργήσετε τους αντίστοιχους πίνακες αληθείας. Επαληθεύσατε εάν είναι ίδιοι οι δύο πίνακες αυτοί. Σχήµα 8: Ψηφιακά Κύκλωµα Συναρτήσεων F7 και F8 Για τα ψηφιακά κυκλώµατα του παραπάνω σχήµατος να βρεθούν οι πίνακες αληθείας τους: Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 15

20 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 X Y F7(x,y) Χ Y F8(x,y) Μέρος Γ : Πίνακας 15 : Πίνακες Αληθείας των Συναρτήσεων F7(x,y) και F8(x,y) Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων), 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) και 7404 (έξι πύλες ΝΟΤ) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Υλοποιήσατε τις ακόλουθες µαθηµατικές πράξεις χρησιµοποιώντας τα ολοκληρωµένα των παραπάνω τύπων: (Χ+Υ) Χ Υ Επαληθεύσατε εάν οι πίνακες αληθείας των παραπάνω πράξεων είναι ίδιοι. Σχήµα 9: Ολοκληρωµένα τύπου (α) 7408 (β) 7432 (γ) 7404 X Y (Χ+Υ) Χ Y Χ Υ Πίνακας 16 : Πίνακες Αληθείας Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 16

21 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 2 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 17

22 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 4 Εργαστηριακή Άσκηση 3: «Βασικές Πύλες NAND, ΝΟR Ιδιότητες Βασικών Πυλών» 4.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τις βασικές πύλες ψηφιακής λογικής NAND και NOR, δύο και τριών εισόδων (µεταβλητών). Οι πύλες αυτές θεωρούνται πολύ βασικές διότι µε τη χρήση αυτών µπορούν να υλοποιηθεί οποιαδήποτε άλλη πύλη AND, OR, NOT και για αυτόν τον λόγο ονοµάζονται καθολικές (universal). Έχουν, εντούτοις, ένα βασικό µειονέκτηµα: δεν είναι προσεταιριστικές. Συνέπεια τούτου είναι η αδυναµία υλοποίησης µιας πύλης τύπου NAND ή NOR τριών εισόδων (µεταβλητών), βασισµένη σε πύλες NAND, NOR δύο εισόδων (µεταβλητών). Αντικείµενο της άσκησης αυτής είναι επίσης η υλοποίηση πυλών NAND και NOR τριών εισόδων µε τη χρήση λογικών πυλών AND, OR δύο εισόδων (µεταβλητών), σε συνδυασµό µε µια πύλη NOT. 4.2 Λογικές Πύλες NAND και NOR και Προσεταιριστική Ιδιότητα Η πράξη ΝAND δεν είναι προσεταιριστική. Αυτό µπορεί να αποδειχθεί χρησιµοποιώντας το θεώρηµα De Morgan: ((ΧΥ) Ζ) = ((ΧΥ) ) + Ζ = ΧΥ+Ζ, Bάσει του θεωρήµατος De Morgan (Χ(ΥΖ) ) = = Χ +((ΥΖ) ) = Χ +ΥΖ, Bάσει του θεωρήµατος De Morgan Εποµένως (ΧΥΖ) ((ΧΥ) Ζ) (Χ(ΥΖ) ) Εφόσον δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στην πράξη NAND-NOR δεν µπορούµε να υλοποιήσουµε µια πύλη NAND τριών εισόδων µε πύλες NAND δύο εισόδων. Αντ αυτού, εφόσον η πράξη AND είναι προσεταιριστική και εφόσον η πράξη NAND είναι η πράξη AND µε αντιστροφή (ΝΟΤ), η υλοποίηση µια πύλης NAND τριών εισόδων γίνεται µε την χρήση πυλών AND και NOT. 4.3 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες ΝAND, ΝOR δύο εισόδων από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Επιβεβαιώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας για κάθε πύλη. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 18

23 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 X Y Ζ Πίνακας 17: Πίνακας Αληθείας Λογικού ΝAND, (Ζ=Χ ΝΑND Y) X Y Ζ Πίνακας 18: Πίνακας Αληθείας Λογικού ΝΟR, (Ζ=Χ ΝOR Y) Μέρος Β : Σχεδιάστε το κύκλωµα του ακόλουθου σχήµατος. Σχήµα 10: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F1=((ΧΥ) Ζ) Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F1 του παραπάνω κυκλώµατος. X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 19: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 19

24 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχεδιάστε το κύκλωµα του ακόλουθου σχήµατος, και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F2 του κυκλώµατος. Σχήµα 11: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F2 X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 20: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2=(Χ(ΥΖ) ) Είναι οι δύο παραπάνω πίνακες αληθείας ίδιοι ; Εάν όχι δεν ισχύει η προσεταιριστικότητα. Μέρος Γ : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες AND (δύο εισόδων), και NOT από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Να σχεδιάστε το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας του. Σχήµα 12: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 20

25 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 X Y Z F3(x,y,z) Πίνακας 21: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3 Βρείτε την πύλη NAND τριών εισόδων από την βιβλιοθήκη του πργράµµατος σχεδιασµού και εξοµοίωησης και να υπολογίσετε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας της. X Y Z NAND Πίνακας 22: Πίνακας Αληθείας Πύλης NAND Να βρείτε από την βιβλιοθήκη µία πύλη NAND τριών εισόδων και να υπολογίστε τον πίνακα αληθείας της. Είναι ο πίνακας αληθείας της πύλης αυτής ίδιος µε τον πίνακα αληθείας της παραπάνω συνάρτησης F3 ; Στην περίπτωση της θετικής απάντησης τότε ισχύει η ισοδυναµία του κυκλώµατος της συνάρτησης F3, µε την πύλη της ψηφιακής λογικής NAND τριών εισόδων. Μέρος : Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων), 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) και 7404 (έξι πύλες ΝΟΤ) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 21

26 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχήµα 13: Ολοκληρωµένα Οικογενειών Ψηφιακής Λογικής 7408, 7432, 7404 Επανασχεδιάσατε µόνο µε πύλες AND και OR δύο εισόδων (µε την χρήση των ολοκληρωµένων των συγκεκριµένων τύπων) το παρακάτω κύκλωµα της συνάρτησης F4 και να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας του συγκεκριµένου κυκλώµατος. Σχήµα 14: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F4 X Y Z F4(x,y,z) Πίνακας 23: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 22

27 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 23

28 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 5 Εργαστηριακή Άσκηση 4: «Σχεδιασµός Ψηφιακών Κυκλωµάτων µε την χρήση πυλών NAND και ΝΟR» 5.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τον σχεδιασµό λογικών ψηφιακών κυκλωµάτων, βασισµένο στις πύλες ψηφιακής λογικής NAND και NOR. Η δυνατότητα της υλοποίησης βασικών πυλών και πράξεων της άλγεβρας Boole (AND, OR, NOT), µε την χρήση πυλών τύπου NAND, NOR είναι ένα από τα βασικότερα πλεονεκτήµατα της ψηφιακής λογικής σχεδίασης. Το χαµηλό κόστος της βιοµηχανικής κατασκευής των πυλών ψηφιακής λογικής NAND και NOR προσφέρει τη δυνατότητα στους σχεδιαστές κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής να σχεδιάζουν κυκλώµατα που αποτελούνται µόνο από πύλες NAND και/ή OR. Κύριος στόχος της εργαστηριακής άσκησης είναι ο σχεδιασµός κυκλωµάτων µόνο µε τη χρησιµοποίηση πυλών NAND, NOR. 5.2 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες ΝAND δύο εισόδων από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης και σχεδιάστε το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος. Σχήµα 15: Ψηφιακό Κύκλωµα Συναρτήσεων F1, F2, F3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 24

29 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας για κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις. X Y F1(x,y) F2(x,y) F3(x,y) Πίνακας 24: Πίνακας Αληθείας Συναρτήσεων F1(x,y), F2(x,y), F3(x,y) Με ποιες γνωστές συναρτήσεις µοιάζουν οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F1(x,y,z), F2(x,y,z), και F3(x,y,z); Μέρος Β : Έστω η συνάρτηση F4(x,y,z): F4 = X ( Y + Z ) + ( X + Y ) Z Nα σχεδιάσατε µε τη χρήση του λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης το αντίστοιχο κύκλωµα της συναρτήσεως F4 χρησιµοποιώντας µόνον πύλες AND-OR- NOT. Σχήµα 16: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F4=(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 25

30 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F4 του παραπάνω κυκλώµατος. X Y Z F4(x,y,z) Πίνακας 25: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Nα σχεδιάσατε µε τη χρήση του λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης το κύκλωµα της συναρτήσεως F4 χρησιµοποιώντας µόνο πύλες NAND δύο εισόδων αυτή τη φορά. Ποίο είναι το κύκλωµα αυτό ; Να υπολογίστε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F5(x,y,z) του τελευταίου κυκλώµατος. X Y Z F5(x,y,z) Πίνακας 26: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F5 Είναι οι πίνακες αληθείας των δύο συναρτήσεων F1, F2 ίδιοι; Εάν ναι τότε τα δύο αντίστοιχα κυκλώµατα είναι ισοδύναµα. Μέρος Γ : Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων), 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) και 7404 (έξι πύλες ΝΟΤ) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Να σχεδιάσατε το αντίστοιχο κύκλωµα της συναρτήσεως F4 χρησιµοποιώντας µόνο πύλες AND, OR και NOT (δύο εισόδων) κάνοντας χρήση των ολοκληρωµένων των παραπάνω τύπων. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 26

31 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σχήµα 17: Ολοκληρωµένα Τύπου α) 7408, β) 7432, γ) 7404 Στη συνέχεια να βρείτε από την βιβλιοθήκη το ολοκληρωµένο τύπου 7400 (τέσσερις πύλες NAND δύο εισόδων) και να επανασχεδιάσατε το κύκλωµα της συνάρτησης F5 χρησιµοποιώντας αυτήν τη φορά µόνο πύλες NAND (δύο εισόδων) από το ολοκληρωµένο τύπου7400. Σε ποιο συµπέρασµα καταλήγετε από τον παραπάνω σχεδιασµό; Σχήµα 18: Ολοκληρωµένο Τύπου 7400 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 27

32 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 4 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 28

33 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 6 Εργαστηριακή Άσκηση 5: «Συναρτήσεις της Άλγεβρας Boole Ανάλυση και Σχεδιασµός Κυκλωµάτων» 6.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τις συναρτήσεις της άλγεβρας Boole. Η ιδιαιτερότητα των συναρτήσεων αυτών είναι ότι µπορούν να απλοποιηθούν µέσω αντιστοίχων θεωρηµάτων της άλγεβρας Boole. H ιδιότητα αυτή συνεπάγεται στο να παράγονται τα ίδια αποτελέσµατα από τις νέες συναρτήσεις µε απλούστερες όµως και πιο ευέλικτες υλοποιήσεις αυτή τη φορά. Αρχικά δηλαδή, στο σχεδιασµό λογικών ψηφιακών κυκλωµάτων προσπαθούµε να απλοποιήσουµε την µορφή ενός κυκλώµατος, µε την χρήση γνωστών τεχνικών από την θεωρία, όπως οι πίνακες Karnaugh. 6.2 Απλοποίηση συναρτήσεων Boole Η πολυπλοκότητα των ψηφιακών πυλών που υλοποιούν µια συνάρτηση Boole σχετίζεται άµεσα µε την πολυπλοκότητα της αλγεβρικής έκφρασης από την οποία υλοποιείται η συνάρτηση. Η αναπαράσταση µιας συνάρτησης µε πίνακα αληθείας είναι µοναδική, ενώ η αλγεβρική αναπαράσταση µπορεί να πάρει αρκετές διαφορετικές µορφές. Οι συναρτήσεις Boole µπορούν να απλοποιηθούν µε διάφορους αλγεβρικούς τρόπους όπως έχει µελετηθεί σε προηγούµενη άσκηση. Αυτή η µεθοδολογία υλοποίησης αποδεικνύεται δύσχρηστη, διότι δεν έχει συγκεκριµένους κανόνες που ν καθορίζουν κάθε φορά πιο είναι το επόµενο βήµα κτλπ. Η µέθοδος του χάρτη (map) είναι µια απλή µέθοδος για την ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων Boole. H µέθοδος αυτή µπορεί να θεωρηθεί είτε µια µορφή σχηµατικού πίνακα αληθείας. Αναπτύχθηκε πρώτα από τον Veitch και τροποποιήθηκε από τον Karnaugh για αυτό και είναι γνωστή σαν «χάρτης Karnaugh». 6.3 Η Μέθοδος του Χάρτη Ο χάρτης είναι ένα διάγραµµα αποτελούµενο από τετράγωνα. Κάθε τετράγωνο παριστάνει έναν ελαχιστόρο (minterm). Κάθε συνάρτηση Boole µπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισµα ελαχιστόρων. Για το λόγο αυτό κάθε συνάρτηση Boole αναγνωρίζεται γραφικά στο χάρτη, από την περιοχή που καλύπτουν τα τετράγωνα των ελαχιστόρων που περιέχονται στη συνάρτηση. Με άλλα λόγια, ο χάρτης είναι ένα σχηµατικό διάγραµµα όλων των δυνατών τρόπων µε τους οποίους η συνάρτηση µπορεί να εκφραστεί σε πρωτότυπη µορφή. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 29

34 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο σχεδιαστής/χρήστης µπορεί να δηµιουργήσει εναλλακτικές αλγεβρικές παραστάσεις για την ίδια συνάρτηση, από τις οποίες (εκφράσεις) µπορεί να διαλέξει την απλούστερη κάθε φορά. 6.4 Χάρτης ύο µεταβλητών Ένας χάρτης δύο µεταβλητών φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα (α): (α) (β) Πίνακας 27: Χάρτης ύο Μεταβλητών Στον παραπάνω πίνακα υπάρχουν τέσσερις ελαχιστόροι για δύο µεταβλητές, κι έτσι ο χάρτης αποτελείται από τέσσερα τετράγωνα, ένα για κάθε ελαχιστόρο. Στον πίνακα (β) φαίνεται η σχέση ανάµεσα στα τετράγωνα και τις δύο µεταβλητές. Τα 0 και 1 που σηµειώνονται για κάθε γραµµή και στήλη καθορίζουν τις τιµές των µεταβλητών x και y. Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε, το x εµφανίζεται ως συµπλήρωµα στη γραµµή 0 και κανονικά στη γραµµή 1. Ανάλογα, το y, εµφανίζεται ως συµπλήρωµα στη στήλη 0 και κανονικά στη στήλη 1. Αν σηµειώσουµε τα τετράγωνα εκείνα των οποίων οι ελαχιστόροι ανήκουν σε µια δοσµένη συνάρτηση, ο χάρτης δύο µεταβλητών γίνεται ένας νέος χρήσιµος τρόπος για την αναπαράσταση οποιασδήποτε από τις 16 συναρτήσεις Boole δύο µεταβλητών. Στον επόµενο πίνακα παρουσιάζεται το παράδειγµα, όπου η συνάρτηση xy φαίνεται στο πίνακα (α). Αφού το xy ισούται µε m 3, βάζουµε έναν άσσο στο τετράγωνο που ανήκει στο m 3. Όµοια, η συνάρτηση x+y αναπαριστάνεται στον χάρτη του πίνακα (β) µε τρία τετράγωνα που σηµειώνονται µε 1. Αυτά τα τετράγωνα βρίσκονται από τους ελαχιστόρους της συνάρτησης: x + y = x y + xy + xy = m 1 + m 2 + m 3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 30

35 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 (α) Πίνακας 28: Αναπαράσταση Συναρτήσεων στο Χάρτη (β) 6.5 Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole Η απλοποίηση των συναρτήσεων µε τη χρήση του χάρτη στηρίζεται στην βασική ιδιότητα των γειτονικών τετραγώνων. Οποιαδήποτε δύο γειτονικά τετράγωνα στο χάρτη διαφέρουν κατά µία µόνο µεταβλητή, η οποία εµφανίζεται σαν συµπλήρωµα της στο ένα τετράγωνο και µε την πραγµατική τιµή της στο άλλο. Για παράδειγµα τα m 5 και m 7 βρίσκονται σε δύο γειτονικά τετράγωνα. Η µεταβλητή y είναι µε το συµπλήρωµα της στο m 5 και µε την πραγµατική της τιµή στο m 7, ενώ οι δύο άλλες µεταβλητές είναι ίδιες και στα δύο τετράγωνα. Από τα αξιώµατα της άλγεβρας Boole έπεται ότι το άθροισµα των δύο ελαχιστόρων σε γειτονικά τετράγωνα µπορεί να απλοποιηθεί σε έναν όρο ΚΑΙ µε δύο µόνο παράγοντες. Έστω ότι θεωρούµε δύο τετράγωνα που διαφέρουν στη µεταβλητή y, η οποία µπορεί να απαλειφθείς τον τύπο του αθροίσµατος ελαχιστόρων. Έτσι, οποιοιδήποτε δύο ελαχιστόροι σε γειτονικά τετράγωνα που σχετίζονται µεταξύ τους µε τη λογική πράξη OR, δικαιολογούν µια αποµάκρυνση της διαφορετικής µεταβλητής. Πίνακας 29: Χάρτη Τριών Μεταβλητών Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 31

36 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Ενέργειες Άσκησης 5 Μέρος Α : Για την συνάρτηση F1(x,y,z) : F1(x,y,z) = X + Y + (YZ) + (XZ ) (X + Z) Να σχεδιάσατε το λογικό κύκλωµα που περιγράφει η παραπάνω συνάρτηση F1 χρησιµοποιώντας πύλες τύπου AND, OR, NOT. Ποιο είναι το αντίστοιχο κύκλωµα ψηφιακής λογικής; Από την προσοµοίωση του κυκλώµατος να συµπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας: X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 30: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1 Χρησιµοποιώντας τον πίνακα Karnaugh να απλοποιήσετε την παραπάνω συνάρτηση. Ποία είναι η απλοποιηµένη συνάρτηση F2 που προκύπτει; F2(x,y,z) = Να σχεδιάσετε το κύκλωµα της απλοποιηµένης συνάρτησης F2 χρησιµοποιώντας µόνον πύλες NAND δύο εισόδων (µεταβλητών). Ποιο είναι το κύκλωµα το νέο κύκλωµα που προκύπτει; Να συµπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας της συνάρτησης F2(x,y,z) από την προσοµοίωση του κυκλώµατος. X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 31: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 32

37 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέρος Β : ίνεται το λογικό κύκλωµα της συνάρτησης F3(x,y,z) του ακόλουθου σχήµατος: Σχήµα 19: Κύκλωµα Συνάρτησης F3(x,y,z,w) Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας του παραπάνω κυκλώµατος: X Υ Ζ W F3 Πίνακας 32: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3(x,y,z,w) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση Boole F3 που περιγράφει το παραπάνω κύκλωµα. Να βρείτε την µαθηµατική έκφραση της συνάρτησης αυτής; Να ελαχιστοποιήσετε την συνάρτηση F3(x,y,z,w). Ποια είναι η µαθηµατική έκφραση της νέας συνάρτησης F4(x,y,z,w); Ποιο είναι το ψηφιακό λογικό κύκλωµα της νέας συνάρτησης F4(x,y,z,w); Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 33

38 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέρος Γ : Να βρείτε από την βιβλιοθήκη το ολοκληρωµένο τύπου 7400 (τέσσερις πύλες NAND δύο εισόδων) και να σχεδιάσατε το κύκλωµα της συνάρτησης F4 χρησιµοποιώντας αυτή την φορά µόνο πύλες NAND (δύο εισόδων) µε τη χρήση του προαναφερθέντος ολοκληρωµένου. Σχήµα 20: Ολοκληρωµένο Τύπου 7400 Να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας του παραπάνω κυκλώµατος της συνάρτησης F4(x,y,z,w). X Υ Ζ W F4 Πίνακας 33: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4(x,y,z,w) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 34

39 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 5 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 35

40 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 7 Εργαστηριακή Άσκηση 6: «Λογικές Πύλες X-OR και Χ-NOR» 7.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τις πύλες X-OR και X-NOR. Οι πύλες αυτές είναι προσεταιριστικές και αντιµεταθετικές. Αυτό συνεπάγεται ότι µπορούµε να υλοποιήσουµε πύλες περισσοτέρων εισόδων (µεταβλητών) µε απλούστερες πύλες (µικρότερου αριθµού εισόδων). Η εφαρµογή αυτών των πυλών είναι ευρεία για το λόγο ότι κυκλώµατα αριθµητικών πράξεων µπορούν να υλοποιηθούν εύκολα µε τέτοιου είδους πύλες. 7.2 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Πύλη X-OR δύο µεταβλητών: Η πράξη X-OR είναι µία από τις πιο βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Βρείτε την πύλη X-OR δύο εισόδων από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. X Y Ζ Πίνακας 34: Πίνακας Αληθείας Πύλης Χ-OR Να ξανασχεδιάσετε την έκφραση της παραπάνω λογικής πύλης Χ-OR χρησιµοποιώντας πύλες AND-OR-NOT. Η ισοδύναµη συνάρτηση που προκύπτει είναι η F1(x,y) = XY + X Y. Βρείτε το πίνακα αληθείας για την συνάρτηση αυτή. X Y F1(x,y) Πίνακας 35: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1(x,y) Εφόσον ο παραπάνω πίνακας είναι ίδιος µε αυτόν της X-OR τo κύκλωµα της συνάρτησης F1(x,y) είναι ισοδύναµο µε την πύλη X-OR. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 36

41 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Πύλη X-OR τριών µεταβλητών: Βρείτε από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης την πύλη X-OR τριών εισόδων και συµπληρώσατε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. X Υ Ζ W Πίνακας 36: Πίνακας Αληθείας X-OR Τριών Εισόδων Να σχεδιάσατε λογικό κύκλωµα (F2) µε πύλες AND-OR-NOT, ισοδύναµο µε την λογική πύλη X-OR τριών εισόδων. Βρείτε το πίνακα αληθείας της συνάρτησης F2(x,y). X Υ Ζ F2(x,y,z) Πίνακας 37: Πίνακας Αληθείας X-OR Τριών Εισόδων Ελαχιστοποιείται η συνάρτηση F2(x,y); Εξηγήστε την απάντηση σας. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 37

42 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Προσεταιριστική ιδιότητα της πύλης X-OR: Η πράξη X-OR είναι προσεταιριστική. Μαθηµατικά αυτό µπορεί να εκφραστεί ως: X Y Z = ( X Y ) Z = X ( Y Z) Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να υλοποιήσουµε µία πύλη X-OR πολλών εισόδων µε απλούστερες πύλες µικρότερου αριθµού εισόδων. Να υλοποιήσετε το παρακάτω κύκλωµα. Το κύκλωµα αυτό υλοποιεί την πράξη X ( Y Z). Σχήµα 21: Κύκλωµα Συνάρτησης F3(x,y,z) Να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F3(x,y,z). X Υ Ζ F3(x,y,z) Πίνακας 38: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3 Να υλοποιήσετε το παρακάτω κύκλωµα. Το κύκλωµα αυτό υλοποιεί την πράξη ( X Y ) Z. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 38

43 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχήµα 22: Κύκλωµα Συνάρτησης F4(x,y,z) Να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F4(x,y,z). X Υ Ζ F4(x,y,z) Πίνακας 39: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Είναι οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F 3, F 4 ίδιοι; Εάν ναι τότε η πράξη X- OR είναι προσεταιριστική και ισχύει η ισοδυναµία των δύο κυκλωµάτων. Μέρος Β : Πύλη X-ΝOR δύο µεταβλητών: Η πράξη X-ΝOR είναι µία από τις πιο βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Βρείτε την πύλη X-ΝOR δύο εισόδων από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 39

44 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 X Y Ζ Πίνακας 40: Πίνακας Αληθείας Πύλης Χ-ΝOR Να ξανασχεδιάσετε την έκφραση της παραπάνω λογικής πύλης Χ-OR χρησιµοποιώντας πύλες AND-OR-NOT. Η ισοδύναµη συνάρτηση που προκύπτει είναι η F5(x,y) = XΥ + X Y. Βρείτε το πίνακα αληθείας για την συνάρτηση αυτή. X Y F5(x,y) Πίνακας 41: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F5(x,y) Εφόσον ο παραπάνω πίνακας είναι ίδιος µε αυτόν της X-ΝOR τo κύκλωµα της συνάρτησης F5(x,y) είναι ισοδύναµο µε την πύλη X-ΝOR. Προσεταιριστική ιδιότητα της πύλης X-ΝOR: Η πράξη X-ΝOR είναι προσεταιριστική. Μαθηµατικά αυτό µπορεί να εκφραστεί ως: X Y Z = X ( Y Z) = ( X Y ) Z Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να υλοποιήσουµε µία πύλη X-OR πολλών εισόδων µε απλούστερες πύλες µικρότερου αριθµού εισόδων. Σχέση µεταξύ πυλών X-OR και X-NOR: Αποδεικνύεται µε µαθηµατικό τρόπο ότι η πύλη X-ΝOR προκύπτει από την πύλη X-OR µε απλή αντιστροφή της εξόδου της και αντιστρόφως, δηλαδή: ( X Y )' = X Y Εποµένως οι πύλες X-NOR µπορούν να υλοποιηθούν µε πύλες X-OR και πύλες NOT. Αυτό είναι ένα χρήσιµο συµπέρασµα για την υλοποίηση κυκλωµάτων µε οµοιογενή στοιχεία. Να υλοποιήσετε το ακόλουθο κύκλωµα της συνάρτησης F6(x,y): Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 40

45 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχήµα 23: Κύκλωµα Συνάρτησης F6(x,y) Nα συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας της συνάρτησης F6(x,y) X Y F6(x,y) Πίνακας 42: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F6(x,y) Εφόσον ο πίνακας είναι ίδιος µε αυτόν της πύλης X-NOR ισχύει η ισοδυναµία του κυκλώµατος της συνάρτησης F6 µε την πύλη X-NOR. Μέρος Γ : Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F7(x,y,z) του παρακάτω κυκλώµατος. Σχήµα 24: Κύκλωµα Συνάρτησης F7(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 41

46 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 X Υ Ζ F7(x,y,z) Πίνακας 43: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F7(x,y,z) Να επανασχεδιάσατε το κύκλωµα της συνάρτησης F7(x,y,z) αντικαθιστώντας τις πύλες X-NOR µε αντίστοιχες X-OR (συνάρτηση F8). Επιβεβαιώστε ότι οι συναρτήσεις F7(x,y,z) και F8(x,y,z) έχουν ίδιο πίνακα αληθείας. X Υ Ζ F8(x,y,z) Πίνακας 44: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F8(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 42

47 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 6 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 43

48 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 8 Εργαστηριακή Άσκηση 7: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αθροιστή» 8.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τα κυκλώµατα αθροιστή. Στους σύγχρονους επεξεργαστές, οι οποίοι είναι η καρδιά των ηλεκτρονικών υπολογιστών, όλες οι πράξεις εκτελούνται µε την χρήση µόνο κυκλωµάτων αθροιστών. Αντικείµενο της άσκησης αυτής είναι η υλοποίηση της αριθµητικής πράξης της πρόσθεσης µε την χρήση κυκλωµάτων αθροιστών. 8.2 Άθροιση Αριθµών Η άθροιση των αριθµών µε βάση τα ψηφιακά κυκλώµατα γίνεται µε τον ίδιο τρόπο, που πραγµατοποιείται και στο δεκαδικό σύστηµα. Η ουσιαστική διαφορά είναι στα ψηφιακά κυκλώµατα αθροίζονται δυαδικοί αριθµοί. Για το λόγο αυτό ορίζονται οι στοιχειώδεις πράξεις άθροισης µεταξύ µονοψηφίων δυαδικών αριθµών (bit), όπως φαίνεται και στον ακόλουθο πίνακα. Α Β Carry - Sum Πίνακας 45: Άθροιση Αριθµών Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε, στην πράξη της άθροισης σε κάθε περίπτωση έχουµε δύο εξόδους, το άθροισµα S (Sum) και το κρατούµενο C (Carry). Το άθροισµα είναι το δεξί δυαδικό ψηφίο και το κρατούµενο είναι το αριστερό. 8.3 Πλήρης Αθροιστής (Full-Adder) Ο ηµιαθροιστής (Half-Adder) αποτελεί το στοιχειώδες κύκλωµα άθροισης µονοψήφιων δυαδικών αριθµών. Το µεγαλύτερο µειονέκτηµα του είναι ότι den λαµβάνει υπ όψιν το κρατούµενο από την προηγούµενη πράξη, το οποίο πρέπει να αθροιστεί µε το επόµενο άθροισµα. Εποµένως το κύκλωµα του ηµιαθροιστή δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την ολοκληρωµένη πρόσθεση δυαδικών αριθµών. Ο πλήρης αθροιστής (Full-Adder) λαµβάνει υπ όψιν το κρατούµενο των προηγουµένων πράξεων και εποµένως υλοποιεί οποιαδήποτε περίπτωση άθροισης δυαδικών αριθµών. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 44

49 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Η πράξη της άθροισης δύο τετραψήφιων δυαδικών αριθµών παρουσιάζεται στον ακόλουθο πίνακα: Αριθµός A 4 A 3 A 2 A 1 Α Αριθµός B 4 B 3 B 2 B 1 Β C 3 C 2 C 1 C 0 =0 C 4 S 4 S 3 C 3 S 2 C 2 S 1 C 1 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ Α Θ Ρ Ο Ι Σ Η Σ C 4 S 4 S 3 S 2 S 1 Πίνακας 46: Πλήρης Άθροιση Αριθµών 8.4 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Η πράξη X-OR είναι µία από τις βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Ο πίνακας αληθείας της πράξης X-OR θα προκύψει από µία µόνο πύλη και όχι ως σχεδιασµός περισσότερων πυλών. Βρείτε την πύλη X-OR δύο εισόδων από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. X Y Ζ Πίνακας 47: Πίνακας Αληθείας Λογικού X-OR, (Ζ=Χ XOR Y) Ξανασχεδιάσατε την έκφραση της παραπάνω λογικής πύλης Χ-OR χρησιµοποιώντας λογικές πύλες AND, OR, και NOT. Βρείτε από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης την λογική πύλη X-OR τριών εισόδων και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Επαναλάβατε τον παραπάνω σχεδιασµό της λογικής πύλης Χ-OR τριών εισόδων χρησιµοποιώντας λογικές πύλες AND, OR, και NOT. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 45

50 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 X Y Z W Πίνακας 48: Πίνακας Αληθείας X-OR, τριών εισόδων Να υλοποιήσετε τι ακόλουθο κύκλωµα της συνάρτησης F1 και να συµπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Σχήµα 25: Λογικό Κύκλωµα Συνάρτησης F1 X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 49: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1 Να υλοποιήσετε τι ακόλουθο κύκλωµα της συνάρτησης F2 και να συµπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Είναι οι δύο πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F 1, F 2 ίδιοι; Εάν ναι τότε η πράξη X-OR είναι προσεταιριστική και ισχύει η ισοδυναµία κυκλωµάτων. Μία πύλη δηλαδή X- OR τριών εισόδων µπορεί να υλοποιηθεί από δύο πύλες X-OR δύο εισόδων. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 46

51 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σχήµα 26: Λογικό Κύκλωµα Συνάρτησης F2 X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 50: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2 Μέρος Β : Να υλοποιήσετε το παρακάτω κύκλωµα του ηµιαθροιστή (half adder) και να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας του κυκλώµατος αυτού. Σχήµα 27: Λογικό Κύκλωµα Ηµιαθροιστή Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 47

52 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 A B Carry Sum Πίνακας 51: Πίνακας Αληθείας Κυκλώµατος Ηµιαθροιστή Από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδιασµού και προσοµοίωσης βρείτε το ολοκληρωµένο κύκλωµα του ηµιαθροιστή. Στις εισόδους A, B εισάγουµε τους µονοψήφιους δυαδικούς αριθµούς προς άθροιση, για κάθε µία από τις περιπτώσεις. Σε κάθε µία από τις εξόδους Σ, Co συνδέουµε ένα LED. Σχήµα 28: Κύκλωµα Ηµιαθροιστή A B C0 Σ Πίνακας 52: Πίνακας Αληθείας Ηµιαθροιστή Από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδιασµού και προσοµοίωσης βρείτε το ολοκληρωµένο κύκλωµα του πλήρη αθροιστή (Full Adder). Είσοδοι είναι κάθε φορά τα ψηφία των αριθµών Α, Β καθώς και το κρατούµενο από προηγούµενη άθροιση C i. Έξοδοι είναι το άθροισµα Σ και το κρατούµενο C 0. Εποµένως στις εξόδους Σ, C 0 µπορούµε να συνδέσουµε από ένα LED. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 48

53 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σχήµα 29: Κύκλωµα Πλήρη Αθροιστή Συµπληρώστε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς. Α Β Ci C0 Σ Πίνακας 53: Πίνακας Αληθείας Πλήρη Αθροιστή Με βάση την περιγραφή της άθροισης δυαδικών αριθµών, όπως περιγράφτηκε στο θεωρητικό µέρος της άσκησης στη συνέχεια θα αθροιστούν οι δύο δυαδικοί αριθµοί Α, και Β σύµφωνα µε τον ακόλουθο πίνακα. Αριθµός Α Αριθµός Β Αποτέλεσµα Πίνακας 54: Πίνακας Άθροισης Α, Β Η υλοποίηση µε την χρήση κυκλωµάτων αθροιστή πραγµατοποιείται ως εξής: Για κάθε πράξη της στήλης του παραπάνω πίνακα χρησιµοποιούµε έναν πλήρη αθροιστή. Εποµένως χρειαζόµαστε 4 πλήρεις αθροιστές (Full Adders). Συνδέουµε την έξοδο C 0 κάθε πλήρη αθροιστή µε την είσοδο C i του επόµενου αθροιστή. Τέλος την είσοδο Ci του πρώτου πλήρη αθροιστή θα τη συνδέουµε µε την γείωση ώστε να έχει την απαιτούµενη τιµή λογικού 0. Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του ακόλουθου σχήµατος για την άθροιση των αριθµών Α= [1001] και Β= [0111]. Να επιβεβαιωθεί ότι το αποτέλεσµα είναι ίσο µε Σ=[1000]. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 49

54 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Αριθµός Α= Αριθµός Β= Σχήµα 30: Κύκλωµα Άθροισης Α και Β Χρησιµοποιώντας το ίδιο κύκλωµα να βρεθεί το αποτέλεσµα της άθροισης των αριθµών Α= [1101] και Β= [0101]. Ποια είναι η τιµή του αθροίσµατος τους ; Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 50

55 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 7 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 51

56 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 8 9 Εργαστηριακή Άσκηση 8: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αφαιρέτη» 9.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τα κυκλώµατα του αφαιρέτη. Στους σύγχρονους επεξεργαστές, οι οποίοι αποτελούν την καρδιά των υπολογιστών, όλες οι πράξεις εκτελούνται µε την χρήση µόνο κυκλωµάτων αθροιστή. Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης αυτής είναι η υλοποίηση της πράξης της αφαίρεσης µε τη χρήση κυκλωµάτων αθροιστή και συγκεκριµένων αλγορίθµων. 9.2 Αφαίρεση Αριθµών Η πράξη της αφαίρεσης είναι η συµπληρωµατική πράξη της πρόσθεσης, δηλαδή η αφαίρεση είναι η άθροιση του αντιθέτου. Εποµένως βασική προϋπόθεση για να ορίσουµε την πράξη της αφαίρεσης είναι η ύπαρξη αντιθέτου αριθµού στην χρησιµοποιούµενη άλγεβρα. Με τα θεωρήµατα της άλγεβρας Boole αποδεικνύεται ότι υπάρχει ο αντίθετος. Βέβαια η άλγεβρα Boole έχει σηµαντικές διαφορές από την ευρέως άλγεβρα των µαθηµατικών. Για το λόγο αυτό υπάρχουν κάποιες µικρές αλλαγές στον αλγόριθµο υλοποίησης. Για να αφαιρέσουµε δύο αριθµούς αντιστρέφουµε όλα τα ψηφία του αφαιρετέου, προσθέτουµε τον αφαιρετέο στον µειωτέο και θέτουµε ως αρχικό κρατούµενο ίσο µε την µονάδα, αντί για µηδέν. Επίσης δεν λαµβάνουµε υπ όψιν το τελευταίο κρατούµενο. Για παράδειγµα για να πραγµατοποιηθεί η πράξη της αφαίρεσης του αριθµού Β = 0110 από τον αριθµό Α = 1011 ακολουθούµε την εξής διαδικασία : Μειωτέος (αριθµός Α) Αφαιρετέος (αριθµός Β) Αντιστροφή Αφαιρετέου Επανάληψη πράξης Μειωτέος Αντεστραµµένος Αφαιρετέος Άθροιση = 1 ιαφορά Κρατούµενο 1 Πίνακας 55: Πίνακας Αφαίρεσης Α, Β Εποµένως το αποτέλεσµα της πράξης είναι ίσο µε 1011 (Α) 0110 (Β) = 0101 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 52

57 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Να υλοποιηθεί µε την χρήση του λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης ο παραπάνω αλγόριθµος αφαίρεσης των αριθµών Α και Β, σύµφωνα µε τα ακόλουθα στάδια. Η υλοποίηση του παραπάνω αλγορίθµου γίνεται ως εξής: Χρησιµοποιούµε πύλες ΝΟΤ για να αντιστρέψουµε τον αφαιρετέο. Στη συνεχεία προσθέτουµε τον αντεστραµµένο αφαιρετέο στον µειωτέο θεωρώντας, ότι το αρχικό κρατούµενο είναι 1. Στην έξοδο του κρατουµένου του τελευταίου αθροιστή βάζουµε µία πύλη AND δύο εισόδων, µε την µία είσοδο µονίµως βραχυκυκλωµένη, ώστε πάντα το τελευταίο ψηφίο να παίρνει την τιµή του λογικού 0. Σχήµα 31: Κύκλωµα Αφαίρεσης Α, Β Χρησιµοποιώντας το παραπάνω κύκλωµα εκτελέσατε την αφαίρεση µεταξύ των Α 4 Α 3 Α 2 Α 1 = 1000 και Β 4 Β 3 Β 2 Β 1 = Ποιο είναι το αποτέλεσµα της αφαίρεσης αυτή τη φορά; Μέρος Β : Να υλοποιήσετε το ακόλουθο κύκλωµα. Για να αθροίσουµε τους δύο αριθµούς Α = Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 και Β = Β 1 Β 2 Β 3 Β 4 επιλέγουµε να βάλουµε την τιµή 0 volts στον διακόπτη S 1. Για να αφαιρέσουµε τον Β από τον Α, (Α-Β), επιλέγουµε να βάλουµε την τιµή +5 volts στον διακόπτη S 1. Με βάση τις παραπάνω επισηµάνσεις να εκτελέσετε τις δύο παρακάτω πράξεις για A = 1011 και B = Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 53