ΣΠ. ΛΟΥΒΡΟΣ, Ν. ΣΚΛΑΒΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΠ. ΛΟΥΒΡΟΣ, Ν. ΣΚΛΑΒΟΣ"

Transcript

1 Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Χ Ε Ι ΑΣ Η ΒΙΒΛΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΠ. ΛΟΥΒΡΟΣ, Ν. ΣΚΛΑΒΟΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΙΚΤΥΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΝΑΥΠΑΚΤΟΥ ΝΑΥΠΑΚΤΟΣ 2005

2 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Χ Ε Ι Α Σ Η ΒΙΒΛΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ Για την συγγραφή του φυλλαδίου συνεργάστηκαν οι: Λούβρος Σπυρίδων Ι, ρ. Φυσικός Σκλάβος Νικόλαος Ι, ρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Τεχνολογίας Υπολογιστών Ι Επιστηµονικός Συνεργάτης, Τµήµατος Τηλεπικοινωνιακών Συστηµάτων & ικτύων Ακαδηµαϊκό Έτος II

3 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή στο Μάθηµα της Λογικής Σχεδίασης Εργαστηριακή Άσκηση 1: «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Λογικές Πύλες Οικογένειες Ψηφιακής Λογικής Πύλες Ολοκληρωµένων Κυκλωµάτων Χαρακτηριστικά Οικογενειών Ψηφιακής Λογικής Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 2: «Ιδιότητες βασικών πυλών AND-OR, Θεώρηµα De Morgan» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Βασικοί Ορισµοί Αξιώµατα Αλγεβρικών οµών Βασικά Θεωρήµατα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 3: «Βασικές Πύλες NAND, ΝΟR Ιδιότητες Βασικών Πυλών» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Λογικές Πύλες NAND και NOR και Προσεταιριστική Ιδιότητα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 4: «Σχεδιασµός Ψηφιακών Κυκλωµάτων µε την χρήση πυλών NAND και ΝΟR» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 5: «Συναρτήσεις της Άλγεβρας Boole Ανάλυση και Σχεδιασµός Κυκλωµάτων» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Απλοποίηση συναρτήσεων Boole Η Μέθοδος του Χάρτη Χάρτης ύο µεταβλητών Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 6: «Λογικές Πύλες X-OR και Χ-NOR» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 7: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αθροιστή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Άθροιση Αριθµών Πλήρης Αθροιστής (Full-Adder) Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης III

4 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ 9 Εργαστηριακή Άσκηση 8: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αφαιρέτη» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Αφαίρεση Αριθµών Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 9: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Πολλαπλασιαστή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η πράξη του πολλαπλασιασµού στα ψηφιακά κυκλώµατα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 10: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα ιαιρέτη» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η πράξη της διαίρεσης στα ψηφιακά κυκλώµατα Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 11: «Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Κυκλώµατα Συγκριτή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 12: «Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Κυκλώµατα Κωδικοποιητή» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Αποκωδικοποητής: Σύντοµη Περιγραφή και Λειτουργία Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 13: «ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Εισαγωγή στα FLIP-FLOPs Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 14: «ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Εισαγωγή στους Καταχωρητές Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Εργαστηριακή Άσκηση 15: «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ (ALU) 8-bit» Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ενέργειες Άσκησης Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης Βιβλιογραφία...96 IV

5 ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ 1 Εισαγωγή στο Μάθηµα της Λογικής Σχεδίασης Το µάθηµα της Λογικής Σχεδίασης διδάσκεται στον Α Εξάµηνο του Προγράµµατος Σπουδών, του Τµήµατος τηλεπικοινωνιακών Συστηµάτων & ικτύων. Η διδασκαλία του µαθήµατος περιλαµβάνει 2 ώρες θεωρητικής διδασκαλίας και 2 εργαστηριακές ώρες. Οι θεµατικές ενότητες που συµπεριλαµβάνονται στην διδασκαλία του µαθήµατος αυτού είναι οι ακόλουθες: Εισαγωγή στην Άλγεβρα Boole Λογικές Συναρτήσεις Απλοποίηση Λογικών Συναρτήσεων Συνδυαστικά Κυκλώµατα, Βασικά Ολοκληρωµένα Ψηφιακά Κυκλώµατα Σύγχρονα Ολοκληρωµένα Κυκλώµατα Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδίασης Καταχωρητές, Μετρητές, Μονάδες, Μνήµης Αλγοριθµική Μηχανή Κατάστασης Θέµατα Χρονισµού Υλοποίηση Μονάδας Ελέγχου µε Πολυπλέκτη PLA Ασύγχρονα Ακολουθιακά Κυκλώµατα Η διεξαγωγή του εργαστηρίου αποσκοπεί στην πρακτική εφαρµογή και εξάσκηση της διδασκόµενης θεωρητικής διδασκαλίας, µέσω των εκτελούµενων εργαστηριακών ασκήσεων. Οι εργαστηριακές ασκήσεις πραγµατοποιούνται µε την χρήση λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 1

6 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 2 Εργαστηριακή Άσκηση 1: «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ» 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι αρχικά η εξοικείωση του σπουδαστή µε την χρήση του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης ψηφιακών κυκλωµάτων. Στη συνέχεια µελετάται η λειτουργία των βασικών πυλών ψηφιακής λογικής σχεδίασης: AND, OR, NOT, XOR, και NAND οι οποίες χρησιµοποιούνται ως δοµικά στοιχεία στις εφαρµογές των ψηφιακών ηλεκτρονικών. Ο σπουδαστής θα εισαχθεί στην χρήση των δοµικών ηλεκτρονικών στοιχείων (components) των βιβλιοθηκών (libraries) του προγράµµατος σχεδίασης και εξοµοίωσης, στην επιλογή των καταλλήλων στοιχείων για την εκτέλεση των εργαστηριακών ασκήσεων, καθώς και στον σχεδιασµό κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής. Τέλος θα µελετηθεί η διαδικασία ελέγχου της ορθής λειτουργίας των σχεδιαζόµενων λογικών κυκλωµάτων κάθε φορά. Το επόµενο µέρος της άσκησης αναφέρεται στην επαλήθευση των πινάκων αληθείας των βασικών πυλών δύο και τριών εισόδων, µε την χρήση απλών λογικών πυλών από την χρησιµοποιούµενη βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τέλος, ο σπουδαστής θα εισαχθεί στα ολοκληρωµένα κυκλώµατα ψηφιακών πυλών τεχνολογίας TTL (Transistor-Transistor-Logic) και θα επαληθεύσει την λειτουργία τους µέσω της διαδικασίας της προσοµοίωσης. 2.2 Λογικές Πύλες Τα ηλεκτρονικά ψηφιακά κυκλώµατα λέγονται επίσης «λογικά κυκλώµατα», επειδή µε τις κατάλληλες εισόδους παράγουν εξόδους που είναι λογικές συναρτήσεις. Τα ηλεκτρικά σήµατα (τάσεις ή εντάσεις) που υπάρχουν σε ένα ψηφιακό κύκλωµα είναι πάντα στη µία από δύο ευδιάκριτες περιοχές τιµών (εκτός από τη διάρκεια της µετάβασης από τη µία στην άλλη). Τα κυκλώµατα που λειτουργούν µε ηλεκτρικές τάσεις, για παράδειγµα, ανταποκρίνονται µε διαφορετικό τρόπο στις «υψηλές» και στις «χαµηλές» τάσεις και έτσι χρησιµοποιούµενε αυτές τις τάσεις για να παριστάνουµε το λογικό 1 και το λογικό 0. Για παράδειγµα, κάποιο συγκεκριµένο ψηφιακό σύστηµα µπορεί να ορίζει το λογικό 1 σαν ένα σήµα µε ονοµαστική τιµή 3 Volt και το λογικό 0 σαν σήµα µε ονοµαστική τιµή 0 Volt. Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα, κάθε επίπεδο δυναµικού έχει µια αποδεκτή απόκλιση από την ονοµαστική τιµή του. Η ενδιάµεση ζώνη µεταξύ των επιτρεπόµενων περιοχών χρησιµοποιείται µόνο στην µεταβατική κατάσταση. Πληροφορίες σχετικές µε ζητήµατα υπολογισµού και ελέγχου µπορούν να επεξεργαστούν µε τη χρήση σηµάτων από διάφορους συνδυασµούς λογικών κυκλωµάτων, όπου κάθε σήµα παριστάνει µια µεταβλητή και µεταφέρει ένα bit πληροφορίας. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 2

7 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 Σχήµα 1: Ολοκληρωµένα τύπου (α) 7408 και (β) 7432 Το παρακάτω σήµα δείχνει τα σύµβολα των λογικών πυλών Το µαθηµατικό σύστηµα της δυαδικής λογικής είναι γνωστό σαν «Άλγεβρα Boole» (Boolean Algebra), ή σαν «Άλγεβρα ιακοτπών» (Switching Algebra). Αυτή η άλγεβρα χρησιµοποιείται για την περιγραφή της λειτουργίας των ψηφιακών κυκλωµάτων. Οι σχεδιαστές ψηφιακών συστηµάτων χρησιµοποιούν την Άλγεβρα Boole για να µετατρέπουν διαγράµµατα κυκλωµάτων σε αλγεβρικές εκφράσεις και αντίστροφα. 2.3 Οικογένειες Ψηφιακής Λογικής Οι ψηφιακές πύλες ταξινοµούνται όχι µόνο µε τη λογική τους λειτουργία, αλλά επίσης και µε την «οικογένεια» (family) του λογικού κυκλώµατος στην οποία ανήκουν. Κάθε λογική οικογένεια έχει το δικό της βασικό ηλεκτρονικό κύκλωµα από το οποίο αναπτύσσονται οι διαφορές πύλες (συνήθως τα βασικά κυκλώµατα είναι πύλες NAND και NOR). Οι λογικές οικογένειες παίρνουν συνήθως το όνοµά τους από τα ηλεκτρονικά χαρακτηριστικά του βασικού τους κυκλώµατος. Ανάµεσά τους οι ευρέως διαδεδοµένες είναι οι εξής: ΤΤL ECL MOS CMOS Transistor Transistor Logic Emitter Coupled Logic Metal Oxide Semiconductor Complementary MOS Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 3

8 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 H TTL είναι µια πολύ διαδεδοµένη λογική οικογένεια που υπάρχει εδώ και αρκετό καιρό. Θεωρείται ως πρότυπη οικογένεια. Η ECL χρησιµοποιείται σε συστήµατα µε πολύ υψηλή ταχύτητα λειτουργίας. Η MOS χρησιµοποιείται όπου απαιτείται υψηλή συγκέντρωση πυλών σε µικρό χώρο και η CMOS σε συστήµατα χαµηλής κατανάλωσης ισχύος. Η οικογένεια ΤΤL αναπτύχθηκε από µια προηγούµενη τεχνολογία, που χρησιµοποιούσε διόδους και τρανζίστορς για τη βασική λογική πύλη NAND. Αυτή η τεχνολογία λεγόταν DTL (Diode Transistor Logic). Αργότερα οι δίοδοι άλλαξαν µε τρανζίστορς, για να βελτιωθεί η λειτουργία και η απόδοση και το όνοµα της οικογένειας άλλαξε σε ΤΤL. 2.4 Πύλες Ολοκληρωµένων Κυκλωµάτων Η οικογένεια TTL, στην πραγµατικότητα, αποτελείται από αρκετές υποοικογένειες ή σειρές. Ο ακόλουθος πίνακας παραθέτει το όνοµα κάθε σειράς και το χαρακτηριστικό της πρόθεµα, το οποίο δείχνει ότι κάποιο ολοκληρωµένο είναι µέλος αυτής της σειράς. Τα ολοκληρωµένα που είναι µέλη των standard TTL έχουν ένα χαρακτηριστικό αριθµό που αρχίζει µε 74. Οι διαφορές µεταξύ διαφόρων σειρών TTL είναι στα ηλεκτρικά τους χαρακτηριστικά, όπως η κατανάλωση ισχύος, η καθυστέρηση διάδοσης και η ταχύτητα εναλλαγής. εν διαφέρουν στις συνδέσεις των εξωτερικών ακροδεκτών ή στη λογική λειτουργία που επιτελείται από τα εσωτερικά κυκλώµατα. Για παράδειγµα, όλα τα ολοκληρωµένα που παραθέτονται µε τον αριθµό 86, ανεξάρτητα από το πρόθεµα, περιέχουν τέσσερις πύλες ΧΟR µε τις ίδιες συνδέσεις για τους εξωτερικούς ακροδέκτες σε κάθε περίβληµα. Σειρές TTL Πρόθεµα Παράδειγµα Standard TTL Υψηλής Ταχύτητας TTL 74Η 74Η86 Ισχύος TTL 74L 74L86 Schottky TTL 74S 74S86 Χαµηλής Ισχύος Schottky TTL 74LS 74LS86 Προηγµένα Ισχύος Schottky TTL 74AS 74AS86 Προηγµένα Χαµηλής Ισχύος Schottky TTL 74ALS 74ALS86 Πίνακας 1: Σειρές της Λογικής Οικογένειας TTL Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 4

9 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Χαρακτηριστικά Οικογενειών Ψηφιακής Λογικής Τα χαρακτηριστικά των οικογενειών ψηφιακών κυκλωµάτων συνήθως συγκρίνονται, αφού αναλύσουµε το κύκλωµα της βασικής πύλης σε κάθε οικογένεια. Οι πιο σηµαντικές παράµετροι, που εκτιµώνται και συγκρίνονται, παραθέτονται µε συντοµία στις επόµενες παραγράφους. Η ικανότητα οδήγησης (fan out) είναι ο αριθµός των τυπικών φορτίων που µπορεί να οδηγήσει η έξοδος µιας πύλης χωρίς να κινδυνέψει η κανονική της λειτουργία. Το τυπικό φορτίο (standard load) ορίζεται συνήθως το ποσό του ρεύµατος που χρειάζεται µια είσοδος µιας άλλης παρόµοιας πύλης της ίδιας οικογένειας. Η κατανάλωση ισχύος (power dissipation) είναι η ισχύς τροφοδοσίας που απαιτείται για να λειτουργήσει η πύλη. Η καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay) είναι ο µέσος χρόνος που χρειάζεται για να διαδοθεί η αλλαγή ενός σήµατος από την είσοδο στην έξοδο µιας πύλης. Η ταχύτητα λειτουργίας είναι αντιστρόφως ανάλογη µε την καθυστέρηση διάδοσης. Το περιθώριο θορύβου (noise margin) είναι η ελάχιστη τάση εξωτερικού θορύβου που προκαλεί η ανεπιθύµητη αλλαγή στην έξοδο. 2.6 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες AND, OR, XOR, NAND δύο εισόδων και NOT από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Επιβεβαιώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας κάθε φορά. X Y Ζ Πίνακας 2: Πίνακας Αληθείας Λογικού AND, (Ζ=Χ ΑND Y) X 0 1 Πίνακας 3: Πίνακας Αληθείας Λογικού NOT, (Ζ=NOT Y) Ζ X Y Ζ Πίνακας 4: Πίνακας Αληθείας Λογικού ΟR, (Ζ=Χ OR Y) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 5

10 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 X Y Ζ Πίνακας 5: Πίνακας Αληθείας Λογικού XOR, (Ζ=Χ XOR Y) X Y Ζ Πίνακας 6: Πίνακας Αληθείας Λογικού NAND, (Ζ=Χ NΑND Y) Μέρος B : Χρησιµοποιώντας τις βασικές λογικές πύλες AND, OR τριών εισόδων, από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης, σχεδιάστε τις συναρτήσεις ψηφιακής λογικής F1(x,y,z): A=XYZ και F2(x, y,z): Β=Χ+Υ+Ζ. Επιβεβαιώσατε τους αντίστοιχους πίνακες αληθείας για κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις ξεχωριστά: X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 7: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1(x,y,z) X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 8: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 6

11 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 1 Μέρος Γ : Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων) και τύπου 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Επιβεβαιώστε τους πίνακες αληθείας του δεύτερου µέρους. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Σχήµα 2: Ολοκληρωµένα τύπου (α) 7408 και (β) 7432 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 7

12 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 1 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 8

13 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 3 Εργαστηριακή Άσκηση 2: «Ιδιότητες βασικών πυλών AND-OR, Θεώρηµα De Morgan» 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η εργαστηριακή άσκηση αυτή έχει ως απώτερο σκοπό την εξοικείωση του σπουδαστή µε τις µαθηµατικές ιδιότητες των πυλών ψηφιακής λογικής AND και OR, της άλγεβρας Boole. Αναλυτικότερα, στόχος είναι να αποδειχθεί ότι για τις πύλες AND και OR ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Η εφαρµογή της ιδιότητας αυτής έχει ως αποτέλεσµα το σχεδιασµό και την υλοποίηση λογικών πυλών, µε περισσότερες από δύο εισόδους. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε την χρησιµοποίηση και το συνδυασµό βασικών λογικών πυλών δύο εισόδων. Με την µέθοδο αυτή επιτυγχάνεται µία ευελιξία, κατά την σχεδίαση κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής. Το τελευταίο µέρος της άσκησης, επικεντρώνεται στο θεώρηµα De Morgan. Το θεώρηµα De Morgan είναι ένα από τα βασικότερα θεωρήµατα της άλγεβρας Boole. Η µελέτη του θεωρήµατος αυτού θα γίνει µε την εφαρµογή παραδειγµάτων προσοµοίωσης κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής. 3.2 Βασικοί Ορισµοί Η άλγεβρα Boole (Boolean Algebra), όπως και κάθε άλλο επαγωγικό µαθηµατικό σύστηµα, µπορεί να οριστεί µε ένα σύνολο στοιχείων, ένα σύνολο τελεστών και ένα σύνολο αξιωµάτων που τα δεχόµαστε χωρίς απόδειξη. Ένα «σύνολο» (set) είναι κάθε συλλογή αντικειµένων που έχουν µια κοινή ιδιότητα. Εάν S είναι ένα σύνολο, για τα αντικείµενα χ και y, ο συµβολισµός x S σηµαίνει ότι το χ είναι µέλος του συνόλου S και y S σηµαίνει ότι το y δεν είναι στοιχείο του S. Ένα σύνολο µε αριθµήσιο αριθµό στοιχείων µπορεί να οριστεί µε άγκιστρα: π.χ. Α={1,2,3,4} σηµαίνει ότι τα στοιχεία του συνόλου είναι αριθµοί 1,2,3, και 4. Ένας δυαδικός τελεστής (binary operator) ορισµένος σε ένα σύνολο S είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε ζευγάρι στοιχείων του S ένα µοναδικό στοιχείο από το S. Σαν παράδειγµα, θεωρούµε τη σχέση a*b=c. Λέµε ότι το * είναι ένας δυαδικός τελεστής εάν ορίζει έναν κανόνα για να βρίσκουµε το c από το ζευγάρι (a,b) και επίσης εάν τα a,b,c S. Ωστόσο, το * δεν είναι ένας δυαδικός τελεστής εάν τα a,b,c S, εάν ο κανόνας δίνει κάποιο c S. 3.3 Αξιώµατα Αλγεβρικών οµών Τα πιο συνηθισµένα αξιώµατα, που χρησιµοποιούνται για το σχηµατισµό διαφόρων αλγεβρικών δοµών, είναι: Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 9

14 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 1. Κλειστότητα (closure). Ένα σύνολο S είναι κλειστό ως προς έναν δυαδικό τελεστή εάν, για κάθε ζευγάρι στοιχείων του S, ο δυαδικός τελεστής αντιστοιχίζει ένα (µοναδικό) στοιχείο που ανήκει στο S. Για παράδειγµα το σύνολο των φυσικών αριθµών N = {1,2,3,4, } είναι κλειστό ως προς το δυαδικό τελεστή συν (+) µε τον κανόνα της αριθµητικής πρόσθεσης, αφού για κάθε a,b Ν, η πράξη a + b = c δίνει ένα µοναδικό c Ν. Το σύνολο των φυσικών αριθµών δεν είναι κλειστό ως προς το δυαδικό τελεστή πλην (-) µε τον κανόνα της αριθµητικής αφαίρεσης, διότι 2-3=-1 και 2,3, Ν, ενώ το (-1) Ν. 2. Προσεταιριστικός νόµος (Associative law). Ένας δυαδικός τελεστής * σε ένα σύνολο S λέµε ότι είναι προσεταιριστικός, όταν: (x * y) * z = x * (y * z) για όλα x,y,z S 3. Αντιµεταθετικός νόµος (Communicative law). Ένας δυαδικός τελεστής * σε ένα σύνολο S λέµε ότι είναι αντιµεταθετικός, όταν: x * y = y * x για όλα x,y S 4. Ουδέτερο στοιχείο (Identity Element). Ένα σύνολο S λέµε ότι έχει ένα ουδέτερο στοιχείο ως προς έναν δυαδικό τελεστή * πάνω S, εάν υπάρχει ένα στοιχείο e S, µε την ιδιότητα: e * x = x * e = x για κάθε e S 5. Αντίστροφο (Inverse). Ένα σύνολο S που έχει το ουδέτερο στοιχείο e ως προς έναν δυαδικό τελεστή * λέµε ότι έχει αντίστροφο όταν, για κάθε x S, υπάρχει ένα στοιχείο y S τέτοιο ώστε: x * y = e 6. Επιµεριστικός νόµος (Distributive law). Εάν * και. είναι δύο δυαδικοί τελεστές πάνω σε ένα σύνολο S, o * λέγεται ότι είναι επιµεριστικός ως προς τον. όταν: χ * ( y.z ) = (x*z). ( x*z ) 3.4 Βασικά Θεωρήµατα Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει έξι θεωρήµατα της άλγεβρας Boole και τέσσερα από τα αξιώµατά της. Τα αξιώµατα προφανώς δεν αποδεικνύονται τα θεωρήµατα πρέπει να αποδειχτούν ξεκινώντας από τα αξιώµατα. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 10

15 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Αξίωµα 1 (a) x + 0 = x (b) x. 1 = x Αξίωµα 2 (a) x + x = 1 (b) x. x = 0 Θεώρηµα 1 (a) x + x = x (b) x. x = x Θεώρηµα 2 (a) x + 1 = 1 (b) x. 0 = 0 Θεώρηµα 3 (δύο αρνήσεις) (x ) = x Αξίωµα 3 (αντιµεταθετική) (a) x + y = y + x (b) xy = yx Θεώρηµα 4 (προσεταιριστική) (a) x + (y+z) = (x+y) + z (b) x ( yz ) = ( xy ) z Αξίωµα 4 (επιµεριστική) (a) x(y+z) = xy + xz (b) x + yz = (x+y) (x+z) Θεώρηµα 5 (De Morgan) (a) (x + y) = x y (b) (xy) = x + y Θεώρηµα 6 (απορρόφηση) (a) x+ xy = x (b) x ( x+y ) = x Πίνακας 9: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2(x,y,z) 3.5 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Από το λογισµικό σχεδίασης και προσοµοίωσης να βρεθούν οι βασικές πύλες της ψηφιακής λογικής AND και OR δύο εισόδων. Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος που υλοποιεί την συνάρτηση F1(x,y,z)=(XY)Z: Σχήµα 3: Ψηφιακό Κύκλωµα Λογικών Πυλών AND, συνάρτησης F1 Για το ψηφιακό κύκλωµα του παραπάνω σχήµατος να βρεθεί ο ακόλουθος πίνακας αληθείας του: X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 10: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 11

16 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος που υλοποιεί την συνάρτηση F2(x,y,z)=X(YZ) και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας του. Είναι οι δύο πίνακες αληθείας ίδιοι; Εάν ναι, αυτό συνεπάγεται ότι η λογική πράξη AND είναι προσεταιριστική, εποµένως µία πύλη AND πολλαπλών εισόδων µπορεί να υλοποιηθεί µε διαδοχικές λογικές πύλες AND µε µικρότερο αριθµό εισόδων. Σχήµα 4: Ψηφιακό Κύκλωµα Λογικών Πυλών AND, Συνάρτησης F2 X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 11: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2(x,y,z) Εφαρµογή της παραπάνω ιδότητας είναι η υλοποίηση µίας πύλης AND τεσσάρων εισόδων, µε την χρησιµοποίηση δύο πυλών AND δύο εισόδων. Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος που υλοποιεί την συνάρτηση F3(x,y,z,w) και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας του. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 12

17 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σχήµα 5: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F3 X Y Z W F3 Πίνακας 12: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3 Αντικαταστήσατε στο παραπάνω κύκλωµα τις πύλες AND πολλαπλών εισόδων µε αντίστοιχες πύλες AND δύο εισόδων, σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα: Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 13

18 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σχήµα 6: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F4 Είναι οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F3 και F4 ίδιοι; Εάν ναι αυτό σηµαίνει ότι τα κυκλώµατα των συναρτήσεων F3 και F4 είναι ισοδύναµα και εποµένως η αντικατάσταση των πυλών AND πολλαπλών εισόδων, µε πύλες AND δύο εισόδων είναι σωστή. X Y Z W F3 Πίνακας 13: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος για κάθε µία από τις συναρτήσεις F5(x,y,z)=(X+Y)+Z και F6(x,y,z)=X+(Y+Z): Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 14

19 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σχήµα 7: Ψηφιακά Κύκλωµα Συναρτήσεων F5 και F6 Για τα ψηφιακά κυκλώµατα του παραπάνω σχήµατος να βρεθούν οι πίνακες αληθείας τους: X Y Z F5(x,y,z) Χ Y Z F6(x,y,z) Πίνακας 14 : Πίνακες Αληθείας των Συναρτήσεων F5(x,y,z) και F6(x,y,z) Είναι οι δύο πίνακες αληθείας ίδιοι; Από τα παραπάνω αποτελέσµατα µπορούµε µε ασφάλεια να συνάγουµε το συµπέρασµα ότι ψηφιακά κυκλώµατα µε πύλες περισσοτέρων των δύο εισόδων (µεταβλητών), οι τελευταίες µπορούν να αντικατασταθούν από ισοδύναµους συνδυασµούς πυλών δύο εισόδων (µεταβλητών). Μέρος Β : Χρησιµοποιώντας τις βασικές λογικές πύλες AND και OR δύο εισόδων να υλοποιήσετε τα παρακάτω λογικά κυκλώµατα και να δηµιουργήσετε τους αντίστοιχους πίνακες αληθείας. Επαληθεύσατε εάν είναι ίδιοι οι δύο πίνακες αυτοί. Σχήµα 8: Ψηφιακά Κύκλωµα Συναρτήσεων F7 και F8 Για τα ψηφιακά κυκλώµατα του παραπάνω σχήµατος να βρεθούν οι πίνακες αληθείας τους: Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 15

20 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 2 X Y F7(x,y) Χ Y F8(x,y) Μέρος Γ : Πίνακας 15 : Πίνακες Αληθείας των Συναρτήσεων F7(x,y) και F8(x,y) Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων), 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) και 7404 (έξι πύλες ΝΟΤ) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Υλοποιήσατε τις ακόλουθες µαθηµατικές πράξεις χρησιµοποιώντας τα ολοκληρωµένα των παραπάνω τύπων: (Χ+Υ) Χ Υ Επαληθεύσατε εάν οι πίνακες αληθείας των παραπάνω πράξεων είναι ίδιοι. Σχήµα 9: Ολοκληρωµένα τύπου (α) 7408 (β) 7432 (γ) 7404 X Y (Χ+Υ) Χ Y Χ Υ Πίνακας 16 : Πίνακες Αληθείας Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 16

21 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 2 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 17

22 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 4 Εργαστηριακή Άσκηση 3: «Βασικές Πύλες NAND, ΝΟR Ιδιότητες Βασικών Πυλών» 4.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τις βασικές πύλες ψηφιακής λογικής NAND και NOR, δύο και τριών εισόδων (µεταβλητών). Οι πύλες αυτές θεωρούνται πολύ βασικές διότι µε τη χρήση αυτών µπορούν να υλοποιηθεί οποιαδήποτε άλλη πύλη AND, OR, NOT και για αυτόν τον λόγο ονοµάζονται καθολικές (universal). Έχουν, εντούτοις, ένα βασικό µειονέκτηµα: δεν είναι προσεταιριστικές. Συνέπεια τούτου είναι η αδυναµία υλοποίησης µιας πύλης τύπου NAND ή NOR τριών εισόδων (µεταβλητών), βασισµένη σε πύλες NAND, NOR δύο εισόδων (µεταβλητών). Αντικείµενο της άσκησης αυτής είναι επίσης η υλοποίηση πυλών NAND και NOR τριών εισόδων µε τη χρήση λογικών πυλών AND, OR δύο εισόδων (µεταβλητών), σε συνδυασµό µε µια πύλη NOT. 4.2 Λογικές Πύλες NAND και NOR και Προσεταιριστική Ιδιότητα Η πράξη ΝAND δεν είναι προσεταιριστική. Αυτό µπορεί να αποδειχθεί χρησιµοποιώντας το θεώρηµα De Morgan: ((ΧΥ) Ζ) = ((ΧΥ) ) + Ζ = ΧΥ+Ζ, Bάσει του θεωρήµατος De Morgan (Χ(ΥΖ) ) = = Χ +((ΥΖ) ) = Χ +ΥΖ, Bάσει του θεωρήµατος De Morgan Εποµένως (ΧΥΖ) ((ΧΥ) Ζ) (Χ(ΥΖ) ) Εφόσον δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στην πράξη NAND-NOR δεν µπορούµε να υλοποιήσουµε µια πύλη NAND τριών εισόδων µε πύλες NAND δύο εισόδων. Αντ αυτού, εφόσον η πράξη AND είναι προσεταιριστική και εφόσον η πράξη NAND είναι η πράξη AND µε αντιστροφή (ΝΟΤ), η υλοποίηση µια πύλης NAND τριών εισόδων γίνεται µε την χρήση πυλών AND και NOT. 4.3 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες ΝAND, ΝOR δύο εισόδων από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Επιβεβαιώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας για κάθε πύλη. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 18

23 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 X Y Ζ Πίνακας 17: Πίνακας Αληθείας Λογικού ΝAND, (Ζ=Χ ΝΑND Y) X Y Ζ Πίνακας 18: Πίνακας Αληθείας Λογικού ΝΟR, (Ζ=Χ ΝOR Y) Μέρος Β : Σχεδιάστε το κύκλωµα του ακόλουθου σχήµατος. Σχήµα 10: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F1=((ΧΥ) Ζ) Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F1 του παραπάνω κυκλώµατος. X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 19: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 19

24 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχεδιάστε το κύκλωµα του ακόλουθου σχήµατος, και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F2 του κυκλώµατος. Σχήµα 11: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F2 X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 20: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2=(Χ(ΥΖ) ) Είναι οι δύο παραπάνω πίνακες αληθείας ίδιοι ; Εάν όχι δεν ισχύει η προσεταιριστικότητα. Μέρος Γ : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες AND (δύο εισόδων), και NOT από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Να σχεδιάστε το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος και να βρεθεί ο πίνακας αληθείας του. Σχήµα 12: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 20

25 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 X Y Z F3(x,y,z) Πίνακας 21: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3 Βρείτε την πύλη NAND τριών εισόδων από την βιβλιοθήκη του πργράµµατος σχεδιασµού και εξοµοίωησης και να υπολογίσετε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας της. X Y Z NAND Πίνακας 22: Πίνακας Αληθείας Πύλης NAND Να βρείτε από την βιβλιοθήκη µία πύλη NAND τριών εισόδων και να υπολογίστε τον πίνακα αληθείας της. Είναι ο πίνακας αληθείας της πύλης αυτής ίδιος µε τον πίνακα αληθείας της παραπάνω συνάρτησης F3 ; Στην περίπτωση της θετικής απάντησης τότε ισχύει η ισοδυναµία του κυκλώµατος της συνάρτησης F3, µε την πύλη της ψηφιακής λογικής NAND τριών εισόδων. Μέρος : Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων), 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) και 7404 (έξι πύλες ΝΟΤ) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 21

26 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχήµα 13: Ολοκληρωµένα Οικογενειών Ψηφιακής Λογικής 7408, 7432, 7404 Επανασχεδιάσατε µόνο µε πύλες AND και OR δύο εισόδων (µε την χρήση των ολοκληρωµένων των συγκεκριµένων τύπων) το παρακάτω κύκλωµα της συνάρτησης F4 και να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας του συγκεκριµένου κυκλώµατος. Σχήµα 14: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F4 X Y Z F4(x,y,z) Πίνακας 23: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 22

27 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 23

28 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 5 Εργαστηριακή Άσκηση 4: «Σχεδιασµός Ψηφιακών Κυκλωµάτων µε την χρήση πυλών NAND και ΝΟR» 5.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τον σχεδιασµό λογικών ψηφιακών κυκλωµάτων, βασισµένο στις πύλες ψηφιακής λογικής NAND και NOR. Η δυνατότητα της υλοποίησης βασικών πυλών και πράξεων της άλγεβρας Boole (AND, OR, NOT), µε την χρήση πυλών τύπου NAND, NOR είναι ένα από τα βασικότερα πλεονεκτήµατα της ψηφιακής λογικής σχεδίασης. Το χαµηλό κόστος της βιοµηχανικής κατασκευής των πυλών ψηφιακής λογικής NAND και NOR προσφέρει τη δυνατότητα στους σχεδιαστές κυκλωµάτων ψηφιακής λογικής να σχεδιάζουν κυκλώµατα που αποτελούνται µόνο από πύλες NAND και/ή OR. Κύριος στόχος της εργαστηριακής άσκησης είναι ο σχεδιασµός κυκλωµάτων µόνο µε τη χρησιµοποίηση πυλών NAND, NOR. 5.2 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Βρείτε τις βασικές λογικές πύλες ΝAND δύο εισόδων από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης και σχεδιάστε το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος. Σχήµα 15: Ψηφιακό Κύκλωµα Συναρτήσεων F1, F2, F3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 24

29 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας για κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις. X Y F1(x,y) F2(x,y) F3(x,y) Πίνακας 24: Πίνακας Αληθείας Συναρτήσεων F1(x,y), F2(x,y), F3(x,y) Με ποιες γνωστές συναρτήσεις µοιάζουν οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F1(x,y,z), F2(x,y,z), και F3(x,y,z); Μέρος Β : Έστω η συνάρτηση F4(x,y,z): F4 = X ( Y + Z ) + ( X + Y ) Z Nα σχεδιάσατε µε τη χρήση του λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης το αντίστοιχο κύκλωµα της συναρτήσεως F4 χρησιµοποιώντας µόνον πύλες AND-OR- NOT. Σχήµα 16: Ψηφιακό Κύκλωµα Συνάρτησης F4=(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 25

30 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F4 του παραπάνω κυκλώµατος. X Y Z F4(x,y,z) Πίνακας 25: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Nα σχεδιάσατε µε τη χρήση του λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης το κύκλωµα της συναρτήσεως F4 χρησιµοποιώντας µόνο πύλες NAND δύο εισόδων αυτή τη φορά. Ποίο είναι το κύκλωµα αυτό ; Να υπολογίστε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F5(x,y,z) του τελευταίου κυκλώµατος. X Y Z F5(x,y,z) Πίνακας 26: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F5 Είναι οι πίνακες αληθείας των δύο συναρτήσεων F1, F2 ίδιοι; Εάν ναι τότε τα δύο αντίστοιχα κυκλώµατα είναι ισοδύναµα. Μέρος Γ : Βρείτε τα ολοκληρωµένα τύπου 7408 (τέσσερις πύλες AND δύο εισόδων), 7432 (τέσσερις πύλες OR δύο εισόδων) και 7404 (έξι πύλες ΝΟΤ) από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδίασης και εξοµοίωσης. Τα διαγράµµατα εισόδων/εξόδων των παραπάνω ολοκληρωµένων (pinout diagrams) παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Να σχεδιάσατε το αντίστοιχο κύκλωµα της συναρτήσεως F4 χρησιµοποιώντας µόνο πύλες AND, OR και NOT (δύο εισόδων) κάνοντας χρήση των ολοκληρωµένων των παραπάνω τύπων. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 26

31 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σχήµα 17: Ολοκληρωµένα Τύπου α) 7408, β) 7432, γ) 7404 Στη συνέχεια να βρείτε από την βιβλιοθήκη το ολοκληρωµένο τύπου 7400 (τέσσερις πύλες NAND δύο εισόδων) και να επανασχεδιάσατε το κύκλωµα της συνάρτησης F5 χρησιµοποιώντας αυτήν τη φορά µόνο πύλες NAND (δύο εισόδων) από το ολοκληρωµένο τύπου7400. Σε ποιο συµπέρασµα καταλήγετε από τον παραπάνω σχεδιασµό; Σχήµα 18: Ολοκληρωµένο Τύπου 7400 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 27

32 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 4 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 28

33 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 6 Εργαστηριακή Άσκηση 5: «Συναρτήσεις της Άλγεβρας Boole Ανάλυση και Σχεδιασµός Κυκλωµάτων» 6.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τις συναρτήσεις της άλγεβρας Boole. Η ιδιαιτερότητα των συναρτήσεων αυτών είναι ότι µπορούν να απλοποιηθούν µέσω αντιστοίχων θεωρηµάτων της άλγεβρας Boole. H ιδιότητα αυτή συνεπάγεται στο να παράγονται τα ίδια αποτελέσµατα από τις νέες συναρτήσεις µε απλούστερες όµως και πιο ευέλικτες υλοποιήσεις αυτή τη φορά. Αρχικά δηλαδή, στο σχεδιασµό λογικών ψηφιακών κυκλωµάτων προσπαθούµε να απλοποιήσουµε την µορφή ενός κυκλώµατος, µε την χρήση γνωστών τεχνικών από την θεωρία, όπως οι πίνακες Karnaugh. 6.2 Απλοποίηση συναρτήσεων Boole Η πολυπλοκότητα των ψηφιακών πυλών που υλοποιούν µια συνάρτηση Boole σχετίζεται άµεσα µε την πολυπλοκότητα της αλγεβρικής έκφρασης από την οποία υλοποιείται η συνάρτηση. Η αναπαράσταση µιας συνάρτησης µε πίνακα αληθείας είναι µοναδική, ενώ η αλγεβρική αναπαράσταση µπορεί να πάρει αρκετές διαφορετικές µορφές. Οι συναρτήσεις Boole µπορούν να απλοποιηθούν µε διάφορους αλγεβρικούς τρόπους όπως έχει µελετηθεί σε προηγούµενη άσκηση. Αυτή η µεθοδολογία υλοποίησης αποδεικνύεται δύσχρηστη, διότι δεν έχει συγκεκριµένους κανόνες που ν καθορίζουν κάθε φορά πιο είναι το επόµενο βήµα κτλπ. Η µέθοδος του χάρτη (map) είναι µια απλή µέθοδος για την ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων Boole. H µέθοδος αυτή µπορεί να θεωρηθεί είτε µια µορφή σχηµατικού πίνακα αληθείας. Αναπτύχθηκε πρώτα από τον Veitch και τροποποιήθηκε από τον Karnaugh για αυτό και είναι γνωστή σαν «χάρτης Karnaugh». 6.3 Η Μέθοδος του Χάρτη Ο χάρτης είναι ένα διάγραµµα αποτελούµενο από τετράγωνα. Κάθε τετράγωνο παριστάνει έναν ελαχιστόρο (minterm). Κάθε συνάρτηση Boole µπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισµα ελαχιστόρων. Για το λόγο αυτό κάθε συνάρτηση Boole αναγνωρίζεται γραφικά στο χάρτη, από την περιοχή που καλύπτουν τα τετράγωνα των ελαχιστόρων που περιέχονται στη συνάρτηση. Με άλλα λόγια, ο χάρτης είναι ένα σχηµατικό διάγραµµα όλων των δυνατών τρόπων µε τους οποίους η συνάρτηση µπορεί να εκφραστεί σε πρωτότυπη µορφή. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 29

34 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο σχεδιαστής/χρήστης µπορεί να δηµιουργήσει εναλλακτικές αλγεβρικές παραστάσεις για την ίδια συνάρτηση, από τις οποίες (εκφράσεις) µπορεί να διαλέξει την απλούστερη κάθε φορά. 6.4 Χάρτης ύο µεταβλητών Ένας χάρτης δύο µεταβλητών φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα (α): (α) (β) Πίνακας 27: Χάρτης ύο Μεταβλητών Στον παραπάνω πίνακα υπάρχουν τέσσερις ελαχιστόροι για δύο µεταβλητές, κι έτσι ο χάρτης αποτελείται από τέσσερα τετράγωνα, ένα για κάθε ελαχιστόρο. Στον πίνακα (β) φαίνεται η σχέση ανάµεσα στα τετράγωνα και τις δύο µεταβλητές. Τα 0 και 1 που σηµειώνονται για κάθε γραµµή και στήλη καθορίζουν τις τιµές των µεταβλητών x και y. Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε, το x εµφανίζεται ως συµπλήρωµα στη γραµµή 0 και κανονικά στη γραµµή 1. Ανάλογα, το y, εµφανίζεται ως συµπλήρωµα στη στήλη 0 και κανονικά στη στήλη 1. Αν σηµειώσουµε τα τετράγωνα εκείνα των οποίων οι ελαχιστόροι ανήκουν σε µια δοσµένη συνάρτηση, ο χάρτης δύο µεταβλητών γίνεται ένας νέος χρήσιµος τρόπος για την αναπαράσταση οποιασδήποτε από τις 16 συναρτήσεις Boole δύο µεταβλητών. Στον επόµενο πίνακα παρουσιάζεται το παράδειγµα, όπου η συνάρτηση xy φαίνεται στο πίνακα (α). Αφού το xy ισούται µε m 3, βάζουµε έναν άσσο στο τετράγωνο που ανήκει στο m 3. Όµοια, η συνάρτηση x+y αναπαριστάνεται στον χάρτη του πίνακα (β) µε τρία τετράγωνα που σηµειώνονται µε 1. Αυτά τα τετράγωνα βρίσκονται από τους ελαχιστόρους της συνάρτησης: x + y = x y + xy + xy = m 1 + m 2 + m 3 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 30

35 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 (α) Πίνακας 28: Αναπαράσταση Συναρτήσεων στο Χάρτη (β) 6.5 Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole Η απλοποίηση των συναρτήσεων µε τη χρήση του χάρτη στηρίζεται στην βασική ιδιότητα των γειτονικών τετραγώνων. Οποιαδήποτε δύο γειτονικά τετράγωνα στο χάρτη διαφέρουν κατά µία µόνο µεταβλητή, η οποία εµφανίζεται σαν συµπλήρωµα της στο ένα τετράγωνο και µε την πραγµατική τιµή της στο άλλο. Για παράδειγµα τα m 5 και m 7 βρίσκονται σε δύο γειτονικά τετράγωνα. Η µεταβλητή y είναι µε το συµπλήρωµα της στο m 5 και µε την πραγµατική της τιµή στο m 7, ενώ οι δύο άλλες µεταβλητές είναι ίδιες και στα δύο τετράγωνα. Από τα αξιώµατα της άλγεβρας Boole έπεται ότι το άθροισµα των δύο ελαχιστόρων σε γειτονικά τετράγωνα µπορεί να απλοποιηθεί σε έναν όρο ΚΑΙ µε δύο µόνο παράγοντες. Έστω ότι θεωρούµε δύο τετράγωνα που διαφέρουν στη µεταβλητή y, η οποία µπορεί να απαλειφθείς τον τύπο του αθροίσµατος ελαχιστόρων. Έτσι, οποιοιδήποτε δύο ελαχιστόροι σε γειτονικά τετράγωνα που σχετίζονται µεταξύ τους µε τη λογική πράξη OR, δικαιολογούν µια αποµάκρυνση της διαφορετικής µεταβλητής. Πίνακας 29: Χάρτη Τριών Μεταβλητών Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 31

36 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Ενέργειες Άσκησης 5 Μέρος Α : Για την συνάρτηση F1(x,y,z) : F1(x,y,z) = X + Y + (YZ) + (XZ ) (X + Z) Να σχεδιάσατε το λογικό κύκλωµα που περιγράφει η παραπάνω συνάρτηση F1 χρησιµοποιώντας πύλες τύπου AND, OR, NOT. Ποιο είναι το αντίστοιχο κύκλωµα ψηφιακής λογικής; Από την προσοµοίωση του κυκλώµατος να συµπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας: X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 30: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1 Χρησιµοποιώντας τον πίνακα Karnaugh να απλοποιήσετε την παραπάνω συνάρτηση. Ποία είναι η απλοποιηµένη συνάρτηση F2 που προκύπτει; F2(x,y,z) = Να σχεδιάσετε το κύκλωµα της απλοποιηµένης συνάρτησης F2 χρησιµοποιώντας µόνον πύλες NAND δύο εισόδων (µεταβλητών). Ποιο είναι το κύκλωµα το νέο κύκλωµα που προκύπτει; Να συµπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας της συνάρτησης F2(x,y,z) από την προσοµοίωση του κυκλώµατος. X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 31: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 32

37 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέρος Β : ίνεται το λογικό κύκλωµα της συνάρτησης F3(x,y,z) του ακόλουθου σχήµατος: Σχήµα 19: Κύκλωµα Συνάρτησης F3(x,y,z,w) Να συµπληρωθεί ο πίνακας αληθείας του παραπάνω κυκλώµατος: X Υ Ζ W F3 Πίνακας 32: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3(x,y,z,w) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση Boole F3 που περιγράφει το παραπάνω κύκλωµα. Να βρείτε την µαθηµατική έκφραση της συνάρτησης αυτής; Να ελαχιστοποιήσετε την συνάρτηση F3(x,y,z,w). Ποια είναι η µαθηµατική έκφραση της νέας συνάρτησης F4(x,y,z,w); Ποιο είναι το ψηφιακό λογικό κύκλωµα της νέας συνάρτησης F4(x,y,z,w); Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 33

38 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέρος Γ : Να βρείτε από την βιβλιοθήκη το ολοκληρωµένο τύπου 7400 (τέσσερις πύλες NAND δύο εισόδων) και να σχεδιάσατε το κύκλωµα της συνάρτησης F4 χρησιµοποιώντας αυτή την φορά µόνο πύλες NAND (δύο εισόδων) µε τη χρήση του προαναφερθέντος ολοκληρωµένου. Σχήµα 20: Ολοκληρωµένο Τύπου 7400 Να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας του παραπάνω κυκλώµατος της συνάρτησης F4(x,y,z,w). X Υ Ζ W F4 Πίνακας 33: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4(x,y,z,w) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 34

39 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 5 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 35

40 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 7 Εργαστηριακή Άσκηση 6: «Λογικές Πύλες X-OR και Χ-NOR» 7.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τις πύλες X-OR και X-NOR. Οι πύλες αυτές είναι προσεταιριστικές και αντιµεταθετικές. Αυτό συνεπάγεται ότι µπορούµε να υλοποιήσουµε πύλες περισσοτέρων εισόδων (µεταβλητών) µε απλούστερες πύλες (µικρότερου αριθµού εισόδων). Η εφαρµογή αυτών των πυλών είναι ευρεία για το λόγο ότι κυκλώµατα αριθµητικών πράξεων µπορούν να υλοποιηθούν εύκολα µε τέτοιου είδους πύλες. 7.2 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Πύλη X-OR δύο µεταβλητών: Η πράξη X-OR είναι µία από τις πιο βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Βρείτε την πύλη X-OR δύο εισόδων από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. X Y Ζ Πίνακας 34: Πίνακας Αληθείας Πύλης Χ-OR Να ξανασχεδιάσετε την έκφραση της παραπάνω λογικής πύλης Χ-OR χρησιµοποιώντας πύλες AND-OR-NOT. Η ισοδύναµη συνάρτηση που προκύπτει είναι η F1(x,y) = XY + X Y. Βρείτε το πίνακα αληθείας για την συνάρτηση αυτή. X Y F1(x,y) Πίνακας 35: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1(x,y) Εφόσον ο παραπάνω πίνακας είναι ίδιος µε αυτόν της X-OR τo κύκλωµα της συνάρτησης F1(x,y) είναι ισοδύναµο µε την πύλη X-OR. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 36

41 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Πύλη X-OR τριών µεταβλητών: Βρείτε από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης την πύλη X-OR τριών εισόδων και συµπληρώσατε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. X Υ Ζ W Πίνακας 36: Πίνακας Αληθείας X-OR Τριών Εισόδων Να σχεδιάσατε λογικό κύκλωµα (F2) µε πύλες AND-OR-NOT, ισοδύναµο µε την λογική πύλη X-OR τριών εισόδων. Βρείτε το πίνακα αληθείας της συνάρτησης F2(x,y). X Υ Ζ F2(x,y,z) Πίνακας 37: Πίνακας Αληθείας X-OR Τριών Εισόδων Ελαχιστοποιείται η συνάρτηση F2(x,y); Εξηγήστε την απάντηση σας. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 37

42 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Προσεταιριστική ιδιότητα της πύλης X-OR: Η πράξη X-OR είναι προσεταιριστική. Μαθηµατικά αυτό µπορεί να εκφραστεί ως: X Y Z = ( X Y ) Z = X ( Y Z) Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να υλοποιήσουµε µία πύλη X-OR πολλών εισόδων µε απλούστερες πύλες µικρότερου αριθµού εισόδων. Να υλοποιήσετε το παρακάτω κύκλωµα. Το κύκλωµα αυτό υλοποιεί την πράξη X ( Y Z). Σχήµα 21: Κύκλωµα Συνάρτησης F3(x,y,z) Να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F3(x,y,z). X Υ Ζ F3(x,y,z) Πίνακας 38: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F3 Να υλοποιήσετε το παρακάτω κύκλωµα. Το κύκλωµα αυτό υλοποιεί την πράξη ( X Y ) Z. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 38

43 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχήµα 22: Κύκλωµα Συνάρτησης F4(x,y,z) Να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F4(x,y,z). X Υ Ζ F4(x,y,z) Πίνακας 39: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F4 Είναι οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F 3, F 4 ίδιοι; Εάν ναι τότε η πράξη X- OR είναι προσεταιριστική και ισχύει η ισοδυναµία των δύο κυκλωµάτων. Μέρος Β : Πύλη X-ΝOR δύο µεταβλητών: Η πράξη X-ΝOR είναι µία από τις πιο βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Βρείτε την πύλη X-ΝOR δύο εισόδων από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 39

44 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 X Y Ζ Πίνακας 40: Πίνακας Αληθείας Πύλης Χ-ΝOR Να ξανασχεδιάσετε την έκφραση της παραπάνω λογικής πύλης Χ-OR χρησιµοποιώντας πύλες AND-OR-NOT. Η ισοδύναµη συνάρτηση που προκύπτει είναι η F5(x,y) = XΥ + X Y. Βρείτε το πίνακα αληθείας για την συνάρτηση αυτή. X Y F5(x,y) Πίνακας 41: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F5(x,y) Εφόσον ο παραπάνω πίνακας είναι ίδιος µε αυτόν της X-ΝOR τo κύκλωµα της συνάρτησης F5(x,y) είναι ισοδύναµο µε την πύλη X-ΝOR. Προσεταιριστική ιδιότητα της πύλης X-ΝOR: Η πράξη X-ΝOR είναι προσεταιριστική. Μαθηµατικά αυτό µπορεί να εκφραστεί ως: X Y Z = X ( Y Z) = ( X Y ) Z Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να υλοποιήσουµε µία πύλη X-OR πολλών εισόδων µε απλούστερες πύλες µικρότερου αριθµού εισόδων. Σχέση µεταξύ πυλών X-OR και X-NOR: Αποδεικνύεται µε µαθηµατικό τρόπο ότι η πύλη X-ΝOR προκύπτει από την πύλη X-OR µε απλή αντιστροφή της εξόδου της και αντιστρόφως, δηλαδή: ( X Y )' = X Y Εποµένως οι πύλες X-NOR µπορούν να υλοποιηθούν µε πύλες X-OR και πύλες NOT. Αυτό είναι ένα χρήσιµο συµπέρασµα για την υλοποίηση κυκλωµάτων µε οµοιογενή στοιχεία. Να υλοποιήσετε το ακόλουθο κύκλωµα της συνάρτησης F6(x,y): Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 40

45 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχήµα 23: Κύκλωµα Συνάρτησης F6(x,y) Nα συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας της συνάρτησης F6(x,y) X Y F6(x,y) Πίνακας 42: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F6(x,y) Εφόσον ο πίνακας είναι ίδιος µε αυτόν της πύλης X-NOR ισχύει η ισοδυναµία του κυκλώµατος της συνάρτησης F6 µε την πύλη X-NOR. Μέρος Γ : Να βρεθεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης F7(x,y,z) του παρακάτω κυκλώµατος. Σχήµα 24: Κύκλωµα Συνάρτησης F7(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 41

46 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 6 X Υ Ζ F7(x,y,z) Πίνακας 43: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F7(x,y,z) Να επανασχεδιάσατε το κύκλωµα της συνάρτησης F7(x,y,z) αντικαθιστώντας τις πύλες X-NOR µε αντίστοιχες X-OR (συνάρτηση F8). Επιβεβαιώστε ότι οι συναρτήσεις F7(x,y,z) και F8(x,y,z) έχουν ίδιο πίνακα αληθείας. X Υ Ζ F8(x,y,z) Πίνακας 44: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F8(x,y,z) Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 42

47 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 6 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 43

48 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 8 Εργαστηριακή Άσκηση 7: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αθροιστή» 8.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τα κυκλώµατα αθροιστή. Στους σύγχρονους επεξεργαστές, οι οποίοι είναι η καρδιά των ηλεκτρονικών υπολογιστών, όλες οι πράξεις εκτελούνται µε την χρήση µόνο κυκλωµάτων αθροιστών. Αντικείµενο της άσκησης αυτής είναι η υλοποίηση της αριθµητικής πράξης της πρόσθεσης µε την χρήση κυκλωµάτων αθροιστών. 8.2 Άθροιση Αριθµών Η άθροιση των αριθµών µε βάση τα ψηφιακά κυκλώµατα γίνεται µε τον ίδιο τρόπο, που πραγµατοποιείται και στο δεκαδικό σύστηµα. Η ουσιαστική διαφορά είναι στα ψηφιακά κυκλώµατα αθροίζονται δυαδικοί αριθµοί. Για το λόγο αυτό ορίζονται οι στοιχειώδεις πράξεις άθροισης µεταξύ µονοψηφίων δυαδικών αριθµών (bit), όπως φαίνεται και στον ακόλουθο πίνακα. Α Β Carry - Sum Πίνακας 45: Άθροιση Αριθµών Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε, στην πράξη της άθροισης σε κάθε περίπτωση έχουµε δύο εξόδους, το άθροισµα S (Sum) και το κρατούµενο C (Carry). Το άθροισµα είναι το δεξί δυαδικό ψηφίο και το κρατούµενο είναι το αριστερό. 8.3 Πλήρης Αθροιστής (Full-Adder) Ο ηµιαθροιστής (Half-Adder) αποτελεί το στοιχειώδες κύκλωµα άθροισης µονοψήφιων δυαδικών αριθµών. Το µεγαλύτερο µειονέκτηµα του είναι ότι den λαµβάνει υπ όψιν το κρατούµενο από την προηγούµενη πράξη, το οποίο πρέπει να αθροιστεί µε το επόµενο άθροισµα. Εποµένως το κύκλωµα του ηµιαθροιστή δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την ολοκληρωµένη πρόσθεση δυαδικών αριθµών. Ο πλήρης αθροιστής (Full-Adder) λαµβάνει υπ όψιν το κρατούµενο των προηγουµένων πράξεων και εποµένως υλοποιεί οποιαδήποτε περίπτωση άθροισης δυαδικών αριθµών. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 44

49 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Η πράξη της άθροισης δύο τετραψήφιων δυαδικών αριθµών παρουσιάζεται στον ακόλουθο πίνακα: Αριθµός A 4 A 3 A 2 A 1 Α Αριθµός B 4 B 3 B 2 B 1 Β C 3 C 2 C 1 C 0 =0 C 4 S 4 S 3 C 3 S 2 C 2 S 1 C 1 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ Α Θ Ρ Ο Ι Σ Η Σ C 4 S 4 S 3 S 2 S 1 Πίνακας 46: Πλήρης Άθροιση Αριθµών 8.4 Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Η πράξη X-OR είναι µία από τις βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Ο πίνακας αληθείας της πράξης X-OR θα προκύψει από µία µόνο πύλη και όχι ως σχεδιασµός περισσότερων πυλών. Βρείτε την πύλη X-OR δύο εισόδων από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. X Y Ζ Πίνακας 47: Πίνακας Αληθείας Λογικού X-OR, (Ζ=Χ XOR Y) Ξανασχεδιάσατε την έκφραση της παραπάνω λογικής πύλης Χ-OR χρησιµοποιώντας λογικές πύλες AND, OR, και NOT. Βρείτε από το λογισµικό σχεδιασµού και προσοµοίωσης την λογική πύλη X-OR τριών εισόδων και συµπληρώστε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Επαναλάβατε τον παραπάνω σχεδιασµό της λογικής πύλης Χ-OR τριών εισόδων χρησιµοποιώντας λογικές πύλες AND, OR, και NOT. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 45

50 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 X Y Z W Πίνακας 48: Πίνακας Αληθείας X-OR, τριών εισόδων Να υλοποιήσετε τι ακόλουθο κύκλωµα της συνάρτησης F1 και να συµπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Σχήµα 25: Λογικό Κύκλωµα Συνάρτησης F1 X Y Z F1(x,y,z) Πίνακας 49: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F1 Να υλοποιήσετε τι ακόλουθο κύκλωµα της συνάρτησης F2 και να συµπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα αληθείας. Είναι οι δύο πίνακες αληθείας των συναρτήσεων F 1, F 2 ίδιοι; Εάν ναι τότε η πράξη X-OR είναι προσεταιριστική και ισχύει η ισοδυναµία κυκλωµάτων. Μία πύλη δηλαδή X- OR τριών εισόδων µπορεί να υλοποιηθεί από δύο πύλες X-OR δύο εισόδων. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 46

51 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σχήµα 26: Λογικό Κύκλωµα Συνάρτησης F2 X Y Z F2(x,y,z) Πίνακας 50: Πίνακας Αληθείας Συνάρτησης F2 Μέρος Β : Να υλοποιήσετε το παρακάτω κύκλωµα του ηµιαθροιστή (half adder) και να συµπληρώσετε τον πίνακα αληθείας του κυκλώµατος αυτού. Σχήµα 27: Λογικό Κύκλωµα Ηµιαθροιστή Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 47

52 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 A B Carry Sum Πίνακας 51: Πίνακας Αληθείας Κυκλώµατος Ηµιαθροιστή Από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδιασµού και προσοµοίωσης βρείτε το ολοκληρωµένο κύκλωµα του ηµιαθροιστή. Στις εισόδους A, B εισάγουµε τους µονοψήφιους δυαδικούς αριθµούς προς άθροιση, για κάθε µία από τις περιπτώσεις. Σε κάθε µία από τις εξόδους Σ, Co συνδέουµε ένα LED. Σχήµα 28: Κύκλωµα Ηµιαθροιστή A B C0 Σ Πίνακας 52: Πίνακας Αληθείας Ηµιαθροιστή Από την βιβλιοθήκη του λογισµικού σχεδιασµού και προσοµοίωσης βρείτε το ολοκληρωµένο κύκλωµα του πλήρη αθροιστή (Full Adder). Είσοδοι είναι κάθε φορά τα ψηφία των αριθµών Α, Β καθώς και το κρατούµενο από προηγούµενη άθροιση C i. Έξοδοι είναι το άθροισµα Σ και το κρατούµενο C 0. Εποµένως στις εξόδους Σ, C 0 µπορούµε να συνδέσουµε από ένα LED. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 48

53 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σχήµα 29: Κύκλωµα Πλήρη Αθροιστή Συµπληρώστε τον ακόλουθο πίνακα αληθείας για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς. Α Β Ci C0 Σ Πίνακας 53: Πίνακας Αληθείας Πλήρη Αθροιστή Με βάση την περιγραφή της άθροισης δυαδικών αριθµών, όπως περιγράφτηκε στο θεωρητικό µέρος της άσκησης στη συνέχεια θα αθροιστούν οι δύο δυαδικοί αριθµοί Α, και Β σύµφωνα µε τον ακόλουθο πίνακα. Αριθµός Α Αριθµός Β Αποτέλεσµα Πίνακας 54: Πίνακας Άθροισης Α, Β Η υλοποίηση µε την χρήση κυκλωµάτων αθροιστή πραγµατοποιείται ως εξής: Για κάθε πράξη της στήλης του παραπάνω πίνακα χρησιµοποιούµε έναν πλήρη αθροιστή. Εποµένως χρειαζόµαστε 4 πλήρεις αθροιστές (Full Adders). Συνδέουµε την έξοδο C 0 κάθε πλήρη αθροιστή µε την είσοδο C i του επόµενου αθροιστή. Τέλος την είσοδο Ci του πρώτου πλήρη αθροιστή θα τη συνδέουµε µε την γείωση ώστε να έχει την απαιτούµενη τιµή λογικού 0. Να σχεδιαστεί το κύκλωµα του ακόλουθου σχήµατος για την άθροιση των αριθµών Α= [1001] και Β= [0111]. Να επιβεβαιωθεί ότι το αποτέλεσµα είναι ίσο µε Σ=[1000]. Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 49

54 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Αριθµός Α= Αριθµός Β= Σχήµα 30: Κύκλωµα Άθροισης Α και Β Χρησιµοποιώντας το ίδιο κύκλωµα να βρεθεί το αποτέλεσµα της άθροισης των αριθµών Α= [1101] και Β= [0101]. Ποια είναι η τιµή του αθροίσµατος τους ; Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 50

55 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Φύλλο Σηµειώσεων & Εργαστηριακών Μετρήσεων Άσκησης 7 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 51

56 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ 8 9 Εργαστηριακή Άσκηση 8: «Αριθµητικές Πράξεις Κυκλώµατα Αφαιρέτη» 9.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Ο σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση του φοιτητή µε τα κυκλώµατα του αφαιρέτη. Στους σύγχρονους επεξεργαστές, οι οποίοι αποτελούν την καρδιά των υπολογιστών, όλες οι πράξεις εκτελούνται µε την χρήση µόνο κυκλωµάτων αθροιστή. Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης αυτής είναι η υλοποίηση της πράξης της αφαίρεσης µε τη χρήση κυκλωµάτων αθροιστή και συγκεκριµένων αλγορίθµων. 9.2 Αφαίρεση Αριθµών Η πράξη της αφαίρεσης είναι η συµπληρωµατική πράξη της πρόσθεσης, δηλαδή η αφαίρεση είναι η άθροιση του αντιθέτου. Εποµένως βασική προϋπόθεση για να ορίσουµε την πράξη της αφαίρεσης είναι η ύπαρξη αντιθέτου αριθµού στην χρησιµοποιούµενη άλγεβρα. Με τα θεωρήµατα της άλγεβρας Boole αποδεικνύεται ότι υπάρχει ο αντίθετος. Βέβαια η άλγεβρα Boole έχει σηµαντικές διαφορές από την ευρέως άλγεβρα των µαθηµατικών. Για το λόγο αυτό υπάρχουν κάποιες µικρές αλλαγές στον αλγόριθµο υλοποίησης. Για να αφαιρέσουµε δύο αριθµούς αντιστρέφουµε όλα τα ψηφία του αφαιρετέου, προσθέτουµε τον αφαιρετέο στον µειωτέο και θέτουµε ως αρχικό κρατούµενο ίσο µε την µονάδα, αντί για µηδέν. Επίσης δεν λαµβάνουµε υπ όψιν το τελευταίο κρατούµενο. Για παράδειγµα για να πραγµατοποιηθεί η πράξη της αφαίρεσης του αριθµού Β = 0110 από τον αριθµό Α = 1011 ακολουθούµε την εξής διαδικασία : Μειωτέος (αριθµός Α) Αφαιρετέος (αριθµός Β) Αντιστροφή Αφαιρετέου Επανάληψη πράξης Μειωτέος Αντεστραµµένος Αφαιρετέος Άθροιση = 1 ιαφορά Κρατούµενο 1 Πίνακας 55: Πίνακας Αφαίρεσης Α, Β Εποµένως το αποτέλεσµα της πράξης είναι ίσο µε 1011 (Α) 0110 (Β) = 0101 Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 52

57 ΕΡΓ. ΑΣΚΗΣΗ Ενέργειες Άσκησης Μέρος Α : Να υλοποιηθεί µε την χρήση του λογισµικού σχεδίασης και προσοµοίωσης ο παραπάνω αλγόριθµος αφαίρεσης των αριθµών Α και Β, σύµφωνα µε τα ακόλουθα στάδια. Η υλοποίηση του παραπάνω αλγορίθµου γίνεται ως εξής: Χρησιµοποιούµε πύλες ΝΟΤ για να αντιστρέψουµε τον αφαιρετέο. Στη συνεχεία προσθέτουµε τον αντεστραµµένο αφαιρετέο στον µειωτέο θεωρώντας, ότι το αρχικό κρατούµενο είναι 1. Στην έξοδο του κρατουµένου του τελευταίου αθροιστή βάζουµε µία πύλη AND δύο εισόδων, µε την µία είσοδο µονίµως βραχυκυκλωµένη, ώστε πάντα το τελευταίο ψηφίο να παίρνει την τιµή του λογικού 0. Σχήµα 31: Κύκλωµα Αφαίρεσης Α, Β Χρησιµοποιώντας το παραπάνω κύκλωµα εκτελέσατε την αφαίρεση µεταξύ των Α 4 Α 3 Α 2 Α 1 = 1000 και Β 4 Β 3 Β 2 Β 1 = Ποιο είναι το αποτέλεσµα της αφαίρεσης αυτή τη φορά; Μέρος Β : Να υλοποιήσετε το ακόλουθο κύκλωµα. Για να αθροίσουµε τους δύο αριθµούς Α = Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 και Β = Β 1 Β 2 Β 3 Β 4 επιλέγουµε να βάλουµε την τιµή 0 volts στον διακόπτη S 1. Για να αφαιρέσουµε τον Β από τον Α, (Α-Β), επιλέγουµε να βάλουµε την τιµή +5 volts στον διακόπτη S 1. Με βάση τις παραπάνω επισηµάνσεις να εκτελέσετε τις δύο παρακάτω πράξεις για A = 1011 και B = Σπ. Λούβρος & Ν. Σκλάβος 53

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR Σκοπός: Να επαληθευτούν πειραµατικά οι πίνακες αληθείας των λογικών πυλών OR, NOR, XOR. Να δειχτεί ότι η πύλη NOR είναι οικουµενική.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ. e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1

2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ. e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND ΚΑΙ OR Οι βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole είναι οι πράξεις NOT, ANDκαι OR. Στα ψηφιακά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι

Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι 4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι Κεφ 2 Κεφ 3 Κεφ 4 Κεφ 6 Συνδυαστική Λογική 2 Εισαγωγή Λογικά Κυκλώµατα Συνδυαστικά: Οι έξοδοι είναι συνάρτηση των εισόδων Ακολουθιακά:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις Χρ. Καβουσιανός Επίκουρος Καθηγητής 2014 Εργαστηριακές Ασκήσεις Ψηφιακής Σχεδίασης 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ Στόχος αυτού του Κεφαλαίου είναι η γνωριμία με τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις στο εσωτερικό του Υπολογιστή. Όπως ήδη έχει αναφερθεί, η Κεντρική Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΥΟ ΕΙΣΟ ΩΝ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 Παράσταση ενός φυσικού αριθμού 1 1.2 Δεκαδικό σύστημα 1 1.3 Δυαδικό σύστημα 2 1.4 Οκταδικό σύστηνα 2 1.5 Δεκαεξαδικό σύστημα 2 1.6 Μετατροπές από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24-5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης ; Ποιες κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 Μάθημα : Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Τεχνολογία ΙΙ Τεχνικών Σχολών, Θεωρητικής Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Μάθηµα 4ο.. Λιούπης

Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Μάθηµα 4ο.. Λιούπης Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Μάθηµα 4ο. Λιούπης Λογική συζευγµένου εκποµπού Emitter-coupled logic (ECL) Χρησιµοποιούνται BJT transistor, µόνο στην ενεργή περιοχή Εµφανίζονται µικρές αλλαγές δυναµικού µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Θεωρητική εισαγωγή

8.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των καταχωρητών. Θα υλοποιηθεί ένας απλός στατικός καταχωρητής 4-bit µε Flip-Flop τύπου D και θα µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αναπαράσταση δυαδικών τιμών στα ψηφιακά κυκλώματα

4.2 Αναπαράσταση δυαδικών τιμών στα ψηφιακά κυκλώματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ 4.1 Εισαγωγή Για την υλοποίηση των λογικών πυλών χρησιμοποιήθηκαν αρχικά ηλεκτρονικές λυχνίες κενού και στη συνέχεια κρυσταλλοδίοδοι και διπολικά τρανζίστορ. Τα ολοκληρωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Γ. Τα Βασικά της Λογικής Σχεδίασης. Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση

Παράρτηµα Γ. Τα Βασικά της Λογικής Σχεδίασης. Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Παράρτηµα Γ Τα Βασικά της Λογικής Σχεδίασης ιαφάνειες διδασκαλίας του πρωτότυπου βιβλίου µεταφρασµένες στα ελληνικά και εµπλουτισµένες

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 1.1 Τι είναι Πληροφορική;...11 1.1.1 Τι είναι η Πληροφορική;...12 1.1.2 Τι είναι ο Υπολογιστής;...14 1.1.3 Τι είναι το Υλικό και το

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr)

Λογική Σχεδίαση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr) Λογική Σχεδίαση Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr) Μέρος Ι Εισαγωγή Ψηφιακά Συστήματα και Ψηφιακοί Υπολογιστές Οι ψηφιακοί υπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

13. ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

13. ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 13. ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Καταχωρητές 1

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Καταχωρητές 1 ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Καταχωρητές Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Περίληψη Καταχωρητές Παράλληλης Φόρτωσης Καταχωρητές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Μαρ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 4 -i: Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Περίληψη Συναρτήσεις και συναρτησιακές (λειτουργικές)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό.

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Μετρητές 1

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Μετρητές 1 ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Μετρητές Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Περίληψη Μετρητής Ριπής Σύγχρονος υαδικός Μετρητής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΟΜΑΔΑ Α Α1. Για τις ημιτελείς προτάσεις Α1.1 και Α1. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ»

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΕΙΣ ΣΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ (ΠΛΣ-5) ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΈΤΟΣ 2007 2008 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Γενικά περί ψηφιακών συστηµάτων Το ψηφιακό σήµα Αριθµητικά συστήµατα υαδικοί κώδικες Ολοκληρωµένα κυκλώµατα Εργαστηριακή υποδοµή

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Γενικά περί ψηφιακών συστηµάτων Το ψηφιακό σήµα Αριθµητικά συστήµατα υαδικοί κώδικες Ολοκληρωµένα κυκλώµατα Εργαστηριακή υποδοµή ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικά περί ψηφιακών συστηµάτων Το ψηφιακό σήµα Αριθµητικά συστήµατα υαδικοί κώδικες Ολοκληρωµένα κυκλώµατα Εργαστηριακή υποδοµή Λογική Σχεδίαση - Εργαστήριο 1.1. ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Η κατάταξη πτυχιούχων ΑΕΙ & ΤΕΙ στη Σχολή ΗΜΜΥ, για το ακαδημαϊκό έτος 2010-11, θα γίνει με κατατακτήριες

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ι

ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ι Ι.Μ. ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ S k k k S k k k 00 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ι ΑΣΚΗΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΕ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ Ψηφιακά Κυκλώµατα, κεφ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Συστήματα. Σημείωση

Ψηφιακά Συστήματα. Σημείωση Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του υποέργου 2 με τίτλο «Ανάπτυξη έντυπου εκπαιδευτικού υλικού για τα νέα Προγράμματα Σπουδών» της Πράξης «Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο» η οποία έχει ενταχθεί στο Επιχειρησιακό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤ ΕΞΑΜΗΝΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤ ΕΞΑΜΗΝΟ Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Διδάσκων: Φλώρος Ανδρέας Περιεχόμενα 1 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7. 91 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 9. 92 Μονάδες µέτρησης χωρητικότητας... 31. 94 Συσκευές εισόδου...

Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7. 91 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 9. 92 Μονάδες µέτρησης χωρητικότητας... 31. 94 Συσκευές εισόδου... Περιεχόµενα Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7 91 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 9 92 Μονάδες µέτρησης χωρητικότητας... 31 93 Οι βασικές λειτουργίες ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή... 37 94 Συσκευές εισόδου...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις παρακάτω προτάσεις Α έως και Α4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Κυκλωμάτων με χρήση της VHDL. Εισαγωγικές έννοιες για σχεδιασμό με τη VHDL

Περιγραφή Κυκλωμάτων με χρήση της VHDL. Εισαγωγικές έννοιες για σχεδιασμό με τη VHDL Περιγραφή Κυκλωμάτων με χρήση της VHDL Εισαγωγικές έννοιες για σχεδιασμό με τη VHDL Οργάνωση Παρουσίασης VHDL εισαγωγικές έννοιες Ροή και επίπεδα σχεδιασμού ψηφιακών κυκλωμάτων Μοντελοποίηση Καθυστερήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Αρχιτεκτονικής στην Σύνθεση

Μοντέλα Αρχιτεκτονικής στην Σύνθεση Μοντέλα Αρχιτεκτονικής στην Σύνθεση Σχεδιαστικά Στυλ & Αρχιτεκτονική Ο σχεδιαστής επιλέγει Σχεδιαστικό στυλ prioritized interrupt instruction buffer bus-oriented datapath serial I/O direct memory access

Διαβάστε περισσότερα

14. ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ. e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1

14. ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ. e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 14. ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ ΤΡΟΠΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ KAI ΡΟΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΥΑ ΙΚΟΥ ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Διδάσκοντες: Θ.Ανδρόνικος - Μ.Στεφανιδάκης Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση κυκλωμάτων ακολουθιακής λογικής

Σχεδίαση κυκλωμάτων ακολουθιακής λογικής Σχεδίαση κυκλωμάτων ακολουθιακής λογικής Βασικές αρχές Σχεδίαση Latches και flip-flops Γιώργος Δημητρακόπουλος Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Φθινόπωρο 2013 Ψηφιακά ολοκληρωμένα κυκλώματα 1 Ακολουθιακή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Υποστηρικτικό Υλικό για την ενσωμάτωση των ΤΠΕ στη μαθησιακή διαδικασία. Θέμα Ηλεκτρολογία Μέση Τεχνική και Επαγγελματική Εκπαίδευση

Επιμορφωτικό Υποστηρικτικό Υλικό για την ενσωμάτωση των ΤΠΕ στη μαθησιακή διαδικασία. Θέμα Ηλεκτρολογία Μέση Τεχνική και Επαγγελματική Εκπαίδευση Επιμορφωτικό Υποστηρικτικό Υλικό για την ενσωμάτωση των ΤΠΕ στη μαθησιακή διαδικασία Θέμα Ηλεκτρολογία Μέση Τεχνική και Επαγγελματική Εκπαίδευση Εργαλείο FESTO INGENATIC Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου Τομέας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1 Περιεχόµενα I Βασικές Γνώσεις 1 1 Μοντελοποίηση Προγραµµάτων 3 1.1 Ψευδογλώσσα....................... 6 1.2 Διαγράµµατα Ροής..................... 6 1.3 Παραδείγµατα σε Ψευδογλώσσα και Διαγράµµατα Ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΗ ΚΑΤΑΚΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. ΓΙΑ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016. Μάθημα Προγραμματισμός Ι.

ΥΛΗ ΚΑΤΑΚΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. ΓΙΑ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016. Μάθημα Προγραμματισμός Ι. ΥΛΗ ΚΑΤΑΚΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. ΓΙΑ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Μάθημα Προγραμματισμός Ι. 1) Προπαρασκευαστική Εισαγωγή, Εισαγωγή στον προγραμματισμό, (Κεφ, 1.2, 1.3,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή

Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή Αριθμός bit δίαυλου δεδομένων (Data Bus) Αριθμός bit δίαυλου διευθύνσεων (Address Bus) Μέγιστη συχνότητα λειτουργίας (Clock Frequency) Τύποι εντολών Αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

και έντασης ρεύματος I 0 που περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω. Το κύκλωμα περιλαμβάνει: α. μόνο ωμική αντίσταση β. μόνο ιδανικό πηνίο

και έντασης ρεύματος I 0 που περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω. Το κύκλωμα περιλαμβάνει: α. μόνο ωμική αντίσταση β. μόνο ιδανικό πηνίο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 26 Συνεχή Ρεύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 26 Συνεχή Ρεύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 26 Συνεχή Ρεύµατα Περιεχόµενα Κεφαλαίου 26 Ηλεκτρεγερτική Δύναµη (ΗΕΔ) Αντιστάσεις σε σειρά και Παράλληλες Νόµοι του Kirchhoff Σειριακά και Παράλληλα EMF-Φόρτιση Μπαταρίας Κυκλώµατα RC Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο 2009

Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ 4 ο ΕΞΑΜΗΝΟ Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ( ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ) ΜΑΙΟΣ 009 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Ηλεκτροτεχνία Εναλλασσόμενου Ρεύματος: Α. Δροσόπουλος:.6 Φάσορες: σελ..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 ο Παράδειγµα (διάρκεια: 15 λεπτά) Κεφάλαιο 17 Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:... ΤΑΞΗ:... ΤΜΗΜΑ:... ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... Β.

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ 1 1-1 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε BJT s 1 και ιπλή Έξοδο Ανάλυση µε το Υβριδικό Ισοδύναµο του Τρανζίστορ 2 Ανάλυση µε βάση τις Ενισχύσεις των Βαθµίδων CE- 4

Διαβάστε περισσότερα

Α.2 Μαθησιακά Αποτελέσματα Έχοντας ολοκληρώσει επιτυχώς το μάθημα οι εκπαιδευόμενοι θα είναι σε θέση να:

Α.2 Μαθησιακά Αποτελέσματα Έχοντας ολοκληρώσει επιτυχώς το μάθημα οι εκπαιδευόμενοι θα είναι σε θέση να: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Τίτλος Μαθήματος Μεθοδολογίες και Συστήματα Βιομηχανικής Αυτοματοποίησης Κωδικός Μαθήματος Μ3 Θεωρία / Εργαστήριο Θεωρία + Εργαστήριο Πιστωτικές μονάδες 4 Ώρες Διδασκαλίας 2Θ+1Ε Τρόπος/Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα