ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. Εξέταση στη Μηχανική Ι Περίοδο Σεπτεµ ρίου 25Σεπτεµ ρίου2007

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. Εξέταση στη Μηχανική Ι Περίοδο Σεπτεµ ρίου 25Σεπτεµ ρίου2007"

Πυθαγόρας Κανακάρης-Ρούφος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Φυσική Εξέταση στη Μηχανική Ι Περίοδο Σεπτεµ ρίου 25Σεπτεµ ρίου27 Τµήµα Π. Ιωάννου& Θ. Αποστολάτου Απαντήστεσεόσαπερισσότεραερωτήµαταµπορείτε.Ησαφήνεια,ακρί εια,λακωνικότητακαι κοµψότητα των απαντήσεων σα εκτιµούνται ιδιαίτερα και οι ολοκληρωµένε απαντήσει σε ερωτήµατα έχουν περισσότερο βάρο από τι αποσπασµατικέ και µερικέ απαντήσει. Ολα τα προ λήµαταείναιισοδύναµααλλάπαρουσιάζονταικατάσειράαυξανόµενη δυσκολία.καλήσα επιτυχία..ηλεκτρόνιοφορτίου eκινείταιεντό τουσταθερούµαγνητικούπεδίου B (,, B).Ηθέση του είναι r(t) (x(t), y(t), z(t)). Γράψτε τι εξισώσει κίνηση σε καρτεσιανέ συντεταγµένε και προσδιορίστε τη γενική κίνηση του ηλεκτρονίου. 2. Πλανήτη µάζα m µε µηδενικέ διαστάσει (θεωρούµενο σηµειακό ) κινείται εντό του δυνα- µικού V k /r (έχοντα δυναµικήενέργεια V k m/r),όπου k > και rηαπόσταση του από κάποιο ελκτικό κέντρο. είξτε από του νόµου του Νεύτωνα ότι διατηρείται η ενέργειακαιηστροφορµήτουπλανήτηκαθώ καιότιηκίνησηπουπροκύπτειπεριορίζεταισεένα επίπεδο. Αν ο πλανήτη εκτελεί κυκλική τροχιά πόση είναι συνολική του ενέργεια. Αν ενώ ο πλανήτη εκτελείκυκλικήκίνησηηδυναµικήτουενέργειαγίνειακαριαία V βk m/r,χωρί νααλλάξειηθέσηκαιηταχύτητατουσωµατιδίουποιαηνέαενέργειατουπλανήτη; είξτεότι ηένεργειαέχειτοίδιοπρόσηµοαν /2 < β. Περιγράψτετηναλλαγήτη τροχιά σεαυτότο δίαστηµα τιµών. Ποιο φυσικό φαινόµενο θα µπορούσε να περιγράψει µία τέτοια αλλαγή; 3. Κτυπούµε µε ένα σφυρί τη µάζα µονοδιάστατου κλασικού ταλαντωτή µάζα m και σταθερά ελατηρίου k έτσι ώστε η µάζα να αποκτήσει ακαριαία ταχύτητα v. Προσδιορίστε την µετέπειτα θέσητουταλαντωτή x (t)αναρχικάήτανακίνητο στοσηµείοισορροπία.τώραθεωρήστεότι η δύναµη που ασκείται από το σφυρί δεν είναι ακαριαία αλλά έχει διάρκεια δt, θεωρούµε δηλαδή ότι ασκείται στον ταλαντωτή η δύναµη F(t) mv (Θ(t) Θ(t δt)), δt όπου Θ(x)ησυνάρτησηβήµατο ηοποίαείναιγιαx καιγια x >.Θέλουµεναβρούµετο λάθο που κάναµε στην εκτίµηση τη κίνηση όταν θεωρήσαµε ότι το σφυρί έδρασε ακαριαία. Για να απαντήστε στο ερώτηµα αυτό αποδείξτε ότι η θέση ενό τέτοιου σωµατιδίου που ήταν αρχικά ακίνητο στη θέση ισορροπία και στο οποίο ασκείται µια χρονοεξαρτώµενη δύναµη F(t) για t είναι x(t) sin[ω(t s)]f(s) ds mω (ω k/m). [Υπόδειξη:Παραγωγίστεαπλώ τοολοκλήρωµαδύοφορέ ω προ tπροκειµένου να υπολογίσετε την επιτάχυνση. Η παραγώγιση ενό ολοκληρώµατο τη µορφή δίνει G(t, t) + G(t, x)dx G(t, x) dx. ] t

2 είξτεότιγιατησυγκεκριµένηδύναµηπουδρατοχρονικόδιάστηµα δtηθέσητουταλαντωτή γιαχρόνου t > δtείναι x(t) v ( sin(ωt) sin(ωδt) + cos(ωt) cos(ωδt) ). ω ωδt ωδt είξτεότιστοόριο δt ανακτάταιτοακαριαίοόριο x (t)καιότιγια ωδt << τολάθο στην απόκρισηανχρησιµοποιήσουµετηλύση x (t)είναιφραγµένοαπότησταθερά: x(t) x (t) vδt 2 + O(δt2 ). Εξηγήστε γιατί το αποτέλεσµα αυτό είναι αναµενόµενο. Θα µπορούσατε χωρί κανένα υπολογισµό να καταλήξετε αµέσω σε αυτό; Εκτιµήστε το λάθο αυτό σε µια ρεαλιστική περίπτωση. 4. Ενα σύστηµα οκτώ ίδιων σωµατιδίων, µάζα m το καθένα, τοποθετούνται στι κορυφέ ενό κύ ουακµή a καιαφήνονταιακίνητανααλληλεπιδράσουνβαρυτικά. (α)εξηγήστεγιατίη βαρυτικήέλξηθαοδηγήσειτονκυ ικόσχηµατισµόσεκατάρρευσηδιατηρώντα όµω τοκυ- ικόσχήµα. (β) Εστωηακµήτουκύ ουτηχρονικήστιγµή tείναι a(t).υπολογίστετησυνολική δυναµική ενέργεια του συστήµατο. Προ τούτο υπολογίστε τη δυναµική ενέργεια αλληλεπίδραση ενό συγκεκριµένου σωµατιδίου µε όλα τα άλλα. Στη συνέχεια υπολογίστε τη δυναµική ενέργεια όλων µαζί των σωµατιδίων σκεπτόµενοι πόσε φορέ λήφθηκε υπόψη το κάθε ζευγάρι στην άθροιση αυτή. (γ) Οσον αφορά στην κινητική ενέργεια του συστήµατο σκεφθείτε ποιο είναι το τελικό σηµείο τη κατάρρευση του συστήµατο και θέτοντα v την ταχύτητα κίνηση κάθε σωµατιδίου προ το σηµείο αυτό σκεφθείτε πώ σχετίζεται ο ρυθµό προσέγγιση ȧ των σωµατιδίωνµετην v.μηνξεχνάτεότιηȧαφοράτησχετικήκίνηση 2γειτονικώνσωµατιδίων. (δ) Γράψτε τώρα την εξίσωση διατήρηση τη ολική ενέργεια του συστήµατο. (ε) Υπολογίστετηµάζα Mστοπεδίοτη οποία κινείταιακτινικάένασωµατίδιοµάζα m (η Mθεωρείται πακτωµένη), ώστε η εξίσωση διατήρηση τη ολική ενέργεια του συστήµατο να είναι ακρι- ώ σαντηνπροηγούµενηεξίσωση.γιαναβρείτετοχρόνοκατάρρευση τουκύ ουµπορείτε να χρησιµοποιήσετε το µοντέλο M m που διέπεται από την ίδια εξίσωση κίνηση (αφού η ενέργεια παίρνει την ίδια µορφή). Προ τούτο χρησιµοποιήστε τον 3ο νόµο του Kepler, δηλαδή ότιηποσότητα (µεγάλο ηµιάξονα ) 3 /(περίοδο ) 2 παραµένειίδιαγιακάθετροχιά. Ετσιγιατο σύστηµα M mεξισώστετολόγοαυτόγιακυκλικήτροχιάακτίνα a καιπολύέκκεντρητροχιά µεαφήλιο a καιπεριήλιο.μηνξεχνάτεότιχρειάζεστετηµισήπερίοδοαφούµα ενδιαφέρειοχρόνο µέχριτηνκατάρρευση.σεπόσοχρόνολοιπόνθακαταρρεύσεισεσηµείοοκύ ο. (στ)ανοαρχικό κύ ο περιστρεφότανλίγογύρωαπότονάξονασυµµετρία πουπερνάαπό τα κέντρα δύο απέναντι εδρών του θα επέρχονταν ταυτόχρονα η σύγκρουση όλων των σωµατιδίων;ποιασωµατίδιαθασυγκρουστούνπρώτα;τελικάθακαταρρεύσεισεένασηµείοοκύ ο τότε; 2

3 Λύσει. Η εξίσωση κίνηση του σωµατιδίου είναι: Αναλύοντά τη σε καρτεσιανέ συντεταγµένε Παραγωγίζοντα άλλη µία φορά την πρώτη m r e v B mẍ eẏb mÿ eẋb m z m... x ebÿ e2 B 2 m ẋ Εποµένω ẋ A cos( ebt + φ),δηλαδή x x m + A sin( eb t + φ),όπου A, φσταθερέ πουεξαρτώνταιαπότι αρχικέ συνθήκε και A A/ω A/(eB/m). Ηδεύτερηαπότι εξισώσει m κίνηση γίνεται τότε mÿ eẋb eba cos( eb m t + φ) y y A cos( eb m t + φ) A είναιηακτίνατη κυκλική τροχιά στοεπίπεδο x y.τέλο ητρίτηεξίσωσηκίνηση δίνει z z + v z t. 2. ( m r F k ) m k m r r r k m ˆr 2 r 2 Απότοπρώτοκαιτοτρίτοσκέλο τη ισότητα m d u dt v ( k ) m v r δηλαδή Με άλλα λόγια διατηρείται η ολική ενέργεια ( ) d m v v + d ( k ) m dt 2 dt r 2 m v v k m r Ηστροφορµή L m r vδιατηρείταιαφούτοπεδίοείναικεντρικό: dl ( dt m r v r k ) m ˆr r 2 λόγωτουότι r ˆr. Ηκίνησηεκτελείταισεεπίπεδοαφούηστροφορµήδιατηρείται. Για κυκλική τροχιά m v2 R k m mv 2 /2 k m R 2 2R Εποµένω η συνολική ενέργεια είναι k m 2R 3

4 Αντώρααλλάξειηδυναµικήενέργειασε βk m/rηολικήενέργειαθαγίνει ( ) k m R 2 β Για β > /2ηολικήενέργειαθαπαραµείνειαρνητικήκαιεποµένω ητροχιάθαείναικλειστή και µάλιστα έλλειψη. Μετά από µια πλήρη τροχιά ο πλανήτη θα επιστρέψει στην ίδια απόσταση R. Γιαναδούµεαναυτότοσηµείοθαπαίζειρόλοπεριηλίουήαφηλίουθαεξετάσουµεπου παρουσιάζει ελάχιστο το ενεργό δυναµικό. V ef (R ) L2 mr 3 V eff L2 2mr βk m 2 r + βk m R 2 R (L/m)2 βk (vr)2 βk Εποµένω για /2 < β <, R > Rοπότεηελλειπτικήτροχιάθαέχειτο Rω περιήλιο,ενώγια β, R < Rοπότεηελλειπτικήτροχιάθαέχειτο Rω αφήλιο. 3. Ψάχνουµε για λύσει τόυ απλού αρµονικού ταλαντωτή µε αρχική ταχύτητα (αυτή που δόθηκε απότοκτύπηµα) vκαιαρχικήθέση x ().Ηλύσηείναι Παραγωγίζουµε τη δοσµένη σχέση µια φορά mω dx dt Άλλη µια φορά F(t) sin(ω(t t)) + ω x (t) v ω sin(ωt). mω d2 x t ωf(t) cos(ω(t t)) ω2 dt2 Συνεπώ mẍ + kx F(t) ω cos(ω(t s))ds ω R β F(s) cos(ω(t s))ds sin(ω(t s))ds ωf(t) ω 2 sin(ω(t s))ds... + k mω... F(t) Αποδείχθηκε λοιπόν ότι η προτεινόµενη έκφραση αποτελεί λύση τη εξίσωση κίνηση. Για το συγκεκριµένο τύπο δύναµη x(t) mω v ω δt δt δt F sin(ω(t s))ds sin(ω(t s))ds ] δt v cos(ω(t s)) ω δt ω [ v cos(ω(t δt)) cos(ωt) ] ω δt ω ω [ v cos(ωt) cos(ω δt) + sin(ωt) sin(ω δt) cos(ωt) ] ω δt ω ω v [ ] cos(ω δt) sin(ω δt) cos(ωt) + sin(ωt) ω ω δt ω δt () 4

5 δηλαδήτοζητούµενο.στοόριο δt x(t) v ] (ω δt)2 [cos(ωt) + sin(ωt) x (t) + O(δt) ω 2ω δt Εποµένω x(t) x (t) cos(ωt) v δt 2 + O(δt2 ) Εποµένω είναι φραγµένο το λάθο από v δt/2. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού κατά τη διάρκεια δράση τη δύναµη δενέχειπρολά ειοταλαντωτή νααποµακρυνθείαπότηθέσηισορροπία οπότε εκτελεί απλώ επιταχυνόµενη κίνηση. Στην προσέγγιση αυτή x(δt) F 2 m δt2 v δt 2 Οτανδενλαµ άνεταιυπόψητοχρονικόπάχο τη δύναµη οταλαντωτή ξεκινάαπότοµηδέν καισεχρόνο δtέχειδιανύσει v sin(ω δt)/ω vδ.ηδιαφοράτου είναιαυτήπουβρήκαµεπροηγουµένω.πρακτικάγια v m/s, ω rad/sτοπλάτο τη ταλάντωση θαήταν m.ανο χρόνο κρούση ήταν.sτοσφάλµαστηθέσηανθεωρούσαµεδέλταώθησηθαήταντοπολύ 5mm. 4. (α) Λόγω συµµετρία όλα τα σωµατίδια θα πρέπει να εκτελέσουν την ίδια κίνηση, εποµένω το κυ ικόσχήµαθαδιατηρηθεί. (β)ηδυναµικήενέργειαενό σωµατιδίουείναι V Gm2 a (3 + 3/ 2 + / 3) αφούοιαποστάσει αυτούµεταάλλαείναι aµετατρίακοντινότερα, a 2µετατρίαδιαγώνιά τουστι 3έδρε και a 3µετοαπέναντίτου.Ανπολλαπλασιάσουµεεπί 8την V θαπάρουµε τη συνολική ενέργεια πολλ/µένη επί 2 αφού το κάθε ζεύγο σωµατιδίων θα έχει ληφθεί 2 φορέ. Εποµένω V ολ 4 Gm2 a (3 + 3/ 2 + / 3) (γ)τοσηµείοκατάρρευση θαείναιπροφανώ τοκέντροτουκύ ουπουαποτελείτοκέντρο µάζα αυτούπουήταναρχικάακίνητο.ανηταχύτητακάθεσωµατιδίουπρο τοκέντροείναι vη προ ολήαυτή επίµια ακµή τουκύ ουείναι v/ 3καιεποµένω ηπροσέγγισηδύογειτονικών σωµατιδίων (ρυθµό µείωση τη πλευρά τουκύ ου)είναι ȧ 2v/ 3 (δ) Η εξίσωση διατήρηση τη ενέργεια είναι λοιπόν ( ) 2 3ȧ 2 8m 4 Gm2 2 a (3 + 3/ 2 + / 3) 4 Gm2 (3 + 3/ 2 + / 3) a (ε) Το αντίστοιχο σύστηµα M m έχει εξίσωση διατήρηση ενέργεια 2 mȧ2 GMm a GMm a Ηµίαεξίσωσηγίνεταιίδιαµετηνάλληανθέσουµε M 4m(3 + 3/ 2 + / 3)/6.Στηνπερίπτωσηπεδίουαπόµιατέτοιαµάζα,όταντοσωµατίδιοπεριστρέφεταισεαπόσταση a απόαυτήν έχει περίοδο T 2πa v 5

6 µε Εποµένω v 2 GM a a 2 v GM/a T 2πa GM/a (µεγάλο ηµιάξονα ) 3 (περίοδο ) 2 GM 4π 2 Ηπολύέκκεντρητροοχιάθαέχειµεγάλοηµιάξονα a /2καιπερίοδο T.Εµεί χρειαζόµαστετο χρόνοκατάρρευση πουανητιστοιχείστο T /2.Συνεπώ T c T 2 4π2 (a /2) 3 2 GM π a 3 4 Gm / 3 (στ) Αν είχαµε και περιστροφή οι φυγοκεντρικέ δυνάµει που θα αναπτύσσονταν στα δύο εν λόγω απέναντι επίπεδα θα καθυστερούσαν τη σύγκλιση των 2 τετραγώνων εποµένω πρώτα ο κύ ο θαπατιότανώστεοι 2αυτέ έδρε νασυµπέσουν.τασωµατίδιατη µια έδρα θασυναντούσαντααντίστοιχάτου.οκύ ο τελικάδενθακατέρρεεσεένασηµείοαφούτοφυγοκεντρικό δυναµικό δεν θα επέτρεπε στα 4 νέα σωµατίδια µετά τη σύγκρουση των ζευγαριών να πλησιάσουν οσοδήποτε. Τα 4 αυτά σωµατίδια θα εκτελούν ελλείψει γύρω από το αρχικό κέντροτουκύ ουαφούηδύναµηπουθασκείταιστοκαθέναθακοιτάζειπρο τοσηµείοαυτόκαι το δυναµικό θα είναι τη µορφή /r (βλέπε παραπάνω). 6

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 Καλή σας επιτυχία. Σύνολο πόντων 130. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Πρόβλημα Α 1. Να γραφεί το διάνυσμα της έντασης του βαρυτικού πεδίου